B. P. Demidovic - Zadaci i Riješeni Primjeri Iz Više Matematike

e)

30.

Izračunajtef {f[j(x)]},

28.

31. 32.

Izračunajte j

(x

=

x 2 i '" (x)

=

2x. U kojim

ako je j (x) = _1_. l-x

40.

članova

X2'

xa čine aritmetičku progresiju, da brojevi f (Xl)'

f

42.

Složene funkcije, zadane lancem jednakosti, napišite u obliku jedne jednakosti:

(x 2) i

Dokažite ako je j (x) potencija, tj. j (x) = aX (a>O), i ako brojevi Xl> x 2, Xa progresiju, da brojevi j (Xl)' j (X2) i j (xa) čine geometrijsku progresiju.

Neka je

a) y = u 2,

f(x)=lgl+x l-x'

e) ,Y

x+y) f(x)+f(y) =f ( - . l+xy

2

(jl(x+ y)

=

u = sinx;

b) y = arctgu,

Pokažite da je

Neka je

ako je x :::;0, . X2, ako je X>O,

X,

Zadane funkcije napišite u obliku lanca jednakosti u kojem svaka karika sadrži jednostavnu elementarnu funkciju (potenciju, eksponencijalnu, trigonometrijsku itd.): x a) y = (2x_5)lO; e) y=igtg-; 2 d) y = arcsin (rXl). b) y = 2 co• x ;

čine aritmetičku

36.

{

41.

j (X3) također čine aritmetičku progresiju.

35.

Za funkciju

odredite inverznu funkciju.

Pokažite ako je i ako brojevi Xl'

biti definirane ove inverzne funkcije?

y=

f(x) = kx+b

34.

područjima će

1) = x 2 • aritmetičke progresije. Pokažite da je

j(n +3)- 3j(n +2)+ 3f(n + 1)- fen) = O.

33.

Y=~1-x3;

+ I), ako jej(x -

Neka je j (n) zbroj n

=~(aX_a-X). 2

43.

u

= J;',

={2u,ako j eu:::;,o, O, ako je u>O;

V=

Igx;

u = x 2 -l.

Napišite u eksplicitnom obliku funkcije y koje su zadane jednadžbama:

Pokažite da je

a) x 2 -arecosy = lt; b) lO x +I0Y = 10;

(jl(x)tp(y)+t/t(x)t/t(y)

I{I(X+ y) = tp (x) t/t (y)+'p(vhf,,(x).

=

e) x+/yi

Odredite

područja

= 2y.

definicije zadanih implicitnih funkcija.

UVOD U

16

ANALIZU

GRAFOVI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

2

2. Grafovi elementarnih funkcija

45.

y = x+b,

Grafove funkcija Y = f (x) konstruiramo tako da naClnlmO dovoljno gustu mrežu tačaka Mi (x" Yi), gdje je Yi = f (xi) ci = O, l, 2, ... ), i te tačke spojimo linijom, koja njima prolazi. Za služiti se logaritamskim računalom. .

46.

y

17

ako je b =0,1,2, -l, -2.

= 1,5x+2.

izračunavanje preporučamo

Konstruirajte grafove cijelih racionalnih funkcija 2. stupnja (parabole):

y

•••• !h

........

\\Y2 \

/

\

"-

x

o

""""

/Y3

~

-1, -2, O.

47.

Y = ax 2 ,

ako je

a = 1, 2,

48.

y=x 2 +c,

ako je

c = O, 1, 2, -L

49.

Y = (X_X O)2,

ako je

Xo

50.

Y = Yo+(x-l)2,

ako je

Yo = O, 1, 2, -L

51*.

)' = ax 2 +bx+c,

ako je:

52•

y = 2+x-x 2.

Odredite sjecišta te parabole s osi

2'

= O, 1, 2, -1.

b = -2, c = 3;

l) a = 1,

2) a= -2, b=6, c=O. .'

....---- .."""'-><'--...

Ox.

Konstruirajte grafove cijelih racionalnih funkcija višeg stupnja: 53*. Slika 3. Konstrukciju grafova olakšava poznavanje grafova osnovnih elementarnih fukcija (vidi prilog VI). Polazeći Dd grafa

Y=f(x), pomoću

(l)

Y

= x3

(kubna parabola).

55.

y

57.

y

=x = 2X2_x4.

54.

y

56.

Y

3 -3x+2.

= 2+(x-l)3. = X4.

Konstruirajte grafove razlomljenih linearnih funkcija (hiperbole):

jednostavnih geometrijskih konstrukcija dobivamo ove grafove funkcija:

l. Y, cc -f (x) 2. Y2=f(·-x) 3. Y3=f(x-a) 4.

y,=b+f(x)

zrcaljenje grafa r na osi OX; zrcaljenje grafa r na osi aY; graf r, pomaknut u smjeru osi OX za graf r, pomaknut u smjeru osi aY za

58*. veličinu

a;

veličinu

b (slika 3).

60.

y =x-2

= sin

(x - ~) .

61*.

m Y =Yo+---,

Rješenje. Tražena krivulja je sinusoida Y = sin x, pomaknuta u smjeru osi OX udesno za

rT

4

x-xo

= l-x'

ako je Xo

= 1,

Yo

=

-1,

m=6.

(sl. 4).

62*.

y

1 Y

x+2'

Primjer. Konstruirajmo graf funkcije y

59.

y=~.

2x-3 Y=--· 3x+2

Konstruirajte grafove razjornljenih racionalnih funkcija: 63.

1 y=x+-. x

65*.

Y =;2'

Slika 4.

Konstruirajte grafove linearnih funkcija (pravci): 44.

.1'

= kx,

ako je

k

=

O,

1,

64.

1

66.

x

2,

2

-1, -2.

67*.

2

Y

=

10 x2+ 1

Demidovič:

(» Versiera« M arije Agnesi).

Zadaci

x2 Y= x+t" Y="3' x

UVOD U

18

ANALIZU

GRAFOVI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

2

2x

68.

Y =

--~ x 2 +1

69.

)' =

x+ 2 ·

10.

y

X2+~

=

( Newtonova serpent ma . ).

1

x

(Newronov trozubac).

91.

y

= sinx+cosx.

92*.

y

= cos 2 X.

93*.

Y

= x+sinx.

94*.

y

= xsinx.

95.

y = tg 2 x.

96.

.\' = 1-2cosx.

91.

.

98.

y

99*.

y = cos-o x

X

Konstruirajte grafove iracionalnih funkcija:

11*. Y= ~

72.'"

v;.

(Neilova parabola).

13*.

y=v

74.

y

75*.

3 ,--Y= ±S)25-x 2 (elipsa).

76.

J' =

±.Jx 2 -1

78*.

y=

±x!24-x

=

Y=

±xj;-

. l. 3 = smx--sm x. 3

l'

2

n

1110.

Konstruirajte grafove eksponencijalnih

11)1:" J'

ako je a

= aX,

=

y

= ±)sinx.

logaritamskih funkcija:

e Ce = 2,718 ... )*).

2, 2

102*.

.

1

v = loga x, ako Je a = 10, 2, -2 , e.

o

(hiperbola).

(Dioklova cisoida).

)' =

79.

l'

2

---o

,h-x2 =

+xJ25-X2.

80*.

Y

82*.

Y = tgx.

83*. y = ctgx.

84*.

y = secx.

85*.

86.

y=Asmx, akoje A=l, 10, - , -2. 2

87*.

v = sin nx, ako je

lH*.

= Sin X.

=~(eX_e-X).

:HI3*. y = shx, gdje je shx

n.

104*. .V = chx, gdje .je chx 105*. y

=

107*. y

=

thx, gdje je thx

Konstruirajte grafove trigonometrijskih funkcija: e -x'

X =~ 2 (ex+e- ).

sh x

=--.

ch x

"

l

II

=

l, 2, 3,

°

2,

. ( x-cp), a k n -3n y=sm o 'Je cp= , -,

2

Tr,

2

89*.

Y = 5sin(2x-3).

90*.

y = asinx+bcosx, ako je a = 6, b = -8.

n

~

106.

J' = 10"

109.

Y = Igx 2 .

111.

r

y =Ig-.

(krivu /ja vjerojatnosti).

Y = cosx. l

88.

l

= cosx+ -cos2x.

(semikubna parabola!.

('---

O

19

y = cosec x.

108.

Y = 2 x'

110.

Y

112.

I y = --o Igx

113.

114.

J=lg(-x).

115.

y = log2(l

U6.

y

117.

J = 2- x sinx.

=

=

Ig2 X.

19(cosx).

=

Ig(lgx).

J

x

+x).

Konstruirajte grafove ciklometrijskih funkcija:

4 118*. y = arcsin x.

119*. J

120*. r=arctgx.

121 *. y = arcctg x.

*>

O broju e detaljnije vidjeti na str. 23.

=

arccos x.

.

I x

123.

122.

y =

arCSlfl-.

124.

y

x+arcctgx.

=

y

=

I arccos - . x

Konstruirajte grafove ovih funkcija:

125.

y

=

126.

14

y

=

1 -(x+lxJ). 2

a

x---

at y---

147. x = 2'+2-',

y = 2'_2-'

148. x = 2cos 2 t,

y=2sin 2 t

146.

149.

x = t_t 2 ,

b) y

=

sinx-Isinxl·

133*. r

132*. r =~ (Arhimedova spirala). 2

= 1 (kružnica). =

134*. r=~ tp

e'l! (logaritamska spirala)

(hiperbolna spirala).

1 r=-sin tp

(pravac).

135.

r = 2cos tp

(kružnica).

136.

137.

r = sec2..:t 2

(parabola).

138*. r = 10 sin 3tp (ruža s tri latice).

139*. r

=

(odsječak

pravca).

y=t 2 _t 3 •

150.* x = a (2 cos t - cos 2t),

151*. x 2 + y2

Y = a(2sint-sin2t)

(kardioida).

a(l+costp) (a>O)

=

25

(kružnica).

152. xy

12

=

(hiperbola).

153*. y 2 = 2x (parabola).

x2 y2 154. 100 +64 = 1 (elipsa).

155.

156*. x"3 + y"3 = a"3 (astroida).

2

y2 =

157*. x+ y Konstruirajte grafove funkcija u sistemu polarnih koordinata (r,
(grana hiperbole).

Konstruirajte grafove funkcija koje su zadane implicitno.

a) y = sinx+lsinxl;

3 - x2 za lxi ~l ; { 129. y- 2 za lxi>!. lxi 130. a) y = [x], b) y = x - [x], gdje je [x] najveće cijelo broja x, tj. najveći cijeli broj, manji ili jednak x.

131.

(polukružnica ).

- J1+;2

- J1+;2'

21

b) y = logj/2lxl.

127. a) y = xlxl; 128.

GRAFOVI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

2

UVOD U ANALIZU

20

x 2 (100-x 2 ). =

1Olgy.

158. x 2

2

=

2

eosy.

159* •

.J x2 + .1'2 =

160*.

X3

161.

Sastavite formulu za prijelaz od Celzijeve (C) skale na skalu Fahrenheita (F), ako znamo, da O °e odgovara 32 oF i 100 °e da odgovara 212 OF. Konstruirajte graf dobivene funkcije.

162.

U trokutu, kojemu je baza c = 10 i visina h = 6, upisan je pravokutnik (sl. 5). Treba Izraziti površinu y toga pravokutnika kao funkciju njegove baze x. Konstruirajte graf te funkcije i nađite njenu najveću vrijednost.

eArctg

,Ix

(logaritamska spirala).

+y3_3xy = O (Descartesov list).

(kardioida).

140*. r2 = a 2 cos2tp (a>O) (lemniskata). Konstruirajte grafove funkcija koje su zadane parametarski :

141*. x=t 3 ,

y'

142*. x

=

IOeos t, y

143*. x

=

IOcos 3 t,

= sin t

(elipsa). Slika 5.

y = 10 sin 3 t

y

at 2

= --3-

1+1

Slika 6.

(astroida).

144*. x=a(cost+tsint), y=a(sint-teost) at 145*. x = - - ' l+t 3

>.8

y = t 2 (semikubna parabola).

(evoiventa kružnice).

(Descartesov list).

163.

Trokut ABC ima stranice BC = a i AC = b te promjenljivi kut 1:: ACB (sl. 6). Izrazite y = površina L::. ABC kao funkciju od x. Konstruirajte graf ove funkcije i nađite njenu najveću vrijednost.

=

x

22 164.

UVOD U

Grafički

LIMES!

3

ANALIZU

2. Limes funkcije,

riješite ove jednadžbe:

Kažemo, da funkcija f(x)-+A

ili da je

a) 2x z -5x+2=0;

23 kada x-+a (A i a su brojevi),

limf(x) = A, x~a

ako za svaki E> O l'ostoji takav 3 = S (E) >0, da je

b) x3+ x -l =0;

If(x)-A/
e) 19x = O,lx;

Analogno je

Iimf(x)

d) lO-x = x;

=

A,

X~OO

ako je lJ(x)

e) x = 1+0,5sinx; f) ctgx =X

AIN(E).

Dogovorno pišemo

(O
limf(x)

= OO,

x~a

165.

Grafički

što

riješite ove sisteme jednadžbi:

znači,

da je If(x)I>E za 0
3", Jednost .."ni limesL Ako je xa i x-+a, pišemo to ovako: x-+a+O. Brojeve

a) xy = 10,

x+ y = 7;

b) xy = 6,

x 2 + y2 = 13;

f(a -O)

= lim

fCa +0)

f(x)

e) x 2 -x+y=4,

y2-2x=0;

d) x 2 + y = 10,

x+ y2 = 6;

e) y=sinx,

y = eosx

= lim

f(x)

x-a+O

x-a-Q

nazivamo lijevi limes funkcije J (x) u tački a i desni limes funkcije t (x) u tački a (ako ti brojevi postoje). Za postojanje limesa funkcije t (x) kada x-+a nužno je i dovoljno da vrijedi jednakost

fCa -O) = fCa +0).

(0
tl

lim

(x)

t2 (x),

tada vrijede ovi teoremi:

x-*a

1) lim [ft (x) + f2 (x)] = limf! (x) + limf2 (x);

3. Limesi

x~a

x~a

1°. Limes nizao Broj a nazivamo limesom niza

limxn n-

ako za svaki Cc. O postoji takav broj N

=

Xl'

x2

},

',x n , ... :

= a,

~-C

N (s), da je

2) lim [fl (x) . f2 (x)]

=

Iimfl (x) . limf2 (x);

3) lim [ft (x) : fz (x)]

=

limfl (x) ; limf2 (x)

Cesto primjenjujemo ove limese:

Ixn-alN.

1; · sin x lIm--=

Primjer 1. Pokažimo da je 2n + l l i m - - - = 2. tl-+oo n + l

X~O

(l)

lim(l+~)X =

1

21

Prz'fnfer 2. Izračunajrflo desni

n+1

Ocijenivši tu diferenciju po apsolutnoj vrijednosti imat 2n + l _ n+ l

__ < n

l

t(x)

E,

= e = 2,71828 ...

lijevi li:mes funkcije

l

= arctgx

za X-l>O.

l

Rješenje. Imamo:

- l = N (E) .

/2;

t(+

O)

~

lim

( arctg -1 )

x

X-++O

E

Prema tome, za svaki pozitivni broj

lim (l +e>:) 0-+0

ćemo:

ako je

n> -

X

.\"---+0:;

---o

X

I

Rješenje. Tvorirno diferenciju

2n + l ---2= n+l

E

(limf2 (x)#O).

x~a

postoji takav broj N

~~.

l

-

da za ,,> N vrijedi

E

f ( - O)

=

lim x-.,.

nejednadžba (2). Slijedi, da je broj 2 limes niza

Xn

= 211+ " n+l

tj. ispravna je formula (1).

~O

" =-

2

( arctg -l ) = - -11: .

Limes funkcije J (x) kada x-+O u tom

x

2

slučaju, očigledno,

ne postoji.

UVOD U ANALIZU

24 166.

LIMESI

Dokažite da je limes niza

Izračunajte

1 1, -, 4 9

171,

n2

kada n->- oo jednak nuli. Za koje

će

· (1 + -2+ -3+

vrijednosti n biti zadovoljena nejednadžba 1'13.

1 -<8 n2

n

167.

n ako je:

a)

0,1;

=

E

b)

E

0,01;

=

e)

E:

= O,OOJ.

114.

Dokažite da je limes niza

176.

1 xn = - - (n = l, 2, . . .) n+l

kada n--+oo jednak 1. Za koje nadžba

će

lim

n

2

n

vrijednosti n>N biti zadovoljena nejed-

177.

2

n-l)

+ -2'

...

[l2-} +~-l::2+ ... +

,,~r

(E je po volji odabran pozitivni broj)? Izračunajte

ove limese:

lIm - 2 n-+c;o

25

(2n -1) _ 2n

n+1

-!:lj. 115.

[ l lim 1- 3

lim

2 n+ 1 +3 n+ 1

n~ro

2

8

l 9

2 n+3 n

+~n).

+ _1_ + ...

ex)

1 27

+ -- - - + ... +

n~ ac

(n+1)(n+2)(n+3) 3 • n

2

n~acn-(-l)"

lim( ~ + ~ 2 4

lm

n-+ oo

rlm n+(-l)"

n~

r

172,

n

(_1)n-l] n- l . 3

IXn-ll
(E je po volji odabran pozitivni broj)? Izračunajte N, ako je: a) E = 0,1; 168.

b)

E

0,01;

=

e)

E =

·

0,001.

Dokažite da je

e+22+3 2 + ... +n2

lJm------3~-n-+

.

UlO.

limx 2 = 4. x~2

Kakav pozitivni broj nadžbe

o treba odabrati za zadani Ix-21

pozitivni broj

E

da iz nejed-

n~ro

I

lim~~llo·.

n~Y

/l2

+l

Pri traženju limesa kvocijenta dvaju cijelih polinoma u x kada x->- oo, preporučljivo je oba člana kn1Cijenta prethodno podijeliti sa x", gdje je rt najviša potencija tih polinorna. Analogno pustupar110 i u mnogin1

«5

dobivamo nejednadžbu

slučajevima

169.

Objasnite a)

tačni

a) s = 0, l;

je:

b)

E

=

0,01 ;

e)

E

=

·

0,001.

(2x

hm

o,.

b)

lim Y = +00; x-+oo

e)

lim f(x) = oo.

+

X -

2

Jim

1

( -1 )n-l

3

4

n

181.

lim X_N

246 b) - , - , - , ' 3 5 e)

2n 2n-l

Vi, V2V2~ V2 V2V2 ' . ,

d) 0,2;

0,23;

0,233;

x->OO

0,2333 ;

\

+ -5)'(4--'6') x

3+

x

\

l

I

x2

x3

2·3,4

=--=8, 3

Primjer 2.

x

1

x

nm

l

x

x~ro

Odredite limese nizova: a) l,

3" - )(3

.'

--o--'-c-----

smisao dogovornog pisanja:

+O

(2

3) (3x;- 5) (4x - 6)

3x 3

lim 19x = -oo; x-+

170.

o ako

razlomaka s iracionalnim izrazin1a.

Prillljer I.

Ix 2 -41
lim(~ -j;;).

119.

n

'X--,

., 183.

Jim <-,CD

185.

>CO

(x+:D~

x2+l .

x -5x+ 1 3x+7

2 --~--

. (2x+3)3(3x-2)2 l lm ;\"~.

-rl

x 5 +5

Vx + 10 3

liIl11

X, HD

10

I.

1 -+- xa

182.

' 1000x Jlm

x~OO x 2

-1

2

184.

186.

lim 3.~-x+3 x~OO x 3 -8x+5 2X2

lim

-x3_-='!,.

Jx4~1

26

187.

2x+3

lim ----:JF' x ...... ,x.

189.

lim X-T,

lim--- - - - .

lo+xE

X-',

~/x 2+ 1 x+ I

190.

lim

Primjer 5 .

Ako su P (x) i Q (x) cijeli polinorni, a P (alTO ili Q (a)TO, tada limes racionalnog razlomka

lim x-a

Q (a)

=

O, tada se

=

2@3.

x~7

205.

preporuča

razlomak P (x) skratiti jedanput ili neQ(x)

207.

. ~-·h-x .

.

hm x-·.2

191.

~-4

-----=

x2

-

3x

+

2

.

hm x·+2

~-~~+~

(x - 2) (x - 1)

. x+2 hm - x-l

=

=

4.

209.

x->2

x

. if;'+h-Vx h

195.

210.

192. lim x 2 - Sx + 10 x 2-25 x-5

2U.

. x 2 -1 lim - - - - - ' 2 x-'-! x +3x+2

1941.

3 - ') ]'lm -----_.x 3 -.X+L x 4 -4x+3

HIS.

. x 2 _ 2x lIm ----_.-x~2 x2-4x+4

lim CJx+a-.Jx).

198. li

lim (x + ~h

-x

Nađimo

računanju

3)

limesa

često

se koristimo formulom

lim sin X. = 1 X---4O

X

i pretpostavljamo kao poznato da su lim sin x = sin

IX

V!+ x -

lim cos x = cos

IX.

x-a

Primjer 6.

Vlh--l

lim - - - - - . x>O

lim x(-./x 2 +1-x).

3 ).

x~a

Primjer 4.

-4x+3

x- +00

l-x 3 ;

racionalni oblik uvođenjem nove

X

lim [-./ x(x + a) - x J.

214.

, l lim( --- - - :. . -- . l-x

. JX2~ 2x + 6--./x 2 +2x- 6 Ilm 2

x-+co

+ oo

Pri

sin 5x (Sin 5x ) l i m - - = lim - - · 5 = 1·5 =5. x X--I>O 5x

l

x--+O

Rješenje. Ako stavimo -~-

x -

216.

dobivamo lim x--+O

199.

lim x~1

201.

fx- J. x-1

fx-l lim - - - - o x~l \f;-t

Vt + x~l

~

. y' _ I . y2 + y hm -~--~ hm - - ),-»1 y2_ 1 .\'-rl Y-+

200.

+

202.

2

/,--8 Vx-4

l' lm---. x-64

. fxz-2fx+ l

Ilin - - - - - -

x~l

sin x a) rIm--; x-2

I

(x-l)2

218. 220. 222.

x

rIm---. sin 5x x-o sin2x

lim n-t oo

lim x~a

Cx> O).

h

x-oo

,,\"-

x-l

Izrazi, koji sadrže iracionalnosti, dovode se često varijable.

215.

1- v:l-X r;-'

. -'------'--./x+h-.Jx \lm

212.

+ oo

lim CE2-5x+6-x). x->

. x2-(a+l)x+a hm ----;;-x-a

. (X+h)3_ X3 lim ---------. ~l-O h

213.

lim 3-JS+x

x-3

h~O

3 +1 . x ----Jlm x--l x 2 + 1

x-l

197.

(x*O).

(a> O).

31 . \/x-2

h-O

hm

x-l>

193.

208.

2Va

lim~

x~8

x- 4

hm

x""" o

Primjer 3.

206.

~x-J

vx + ]la

x-+a

204.

;;-1 .

I

lim---

(Vx + ]la)

(x - a)

iim . 1 x-l

koliko puta s binomom x--a.

x---+a

x 2 -49

--o

Q(x)

x-a lim ----=-..,..,.--

hm-x-a

x--+a

p (x)

dobivamo direktno. Ako je pak P (a)

. Vx-lG

.J; _. ___ V·x+vx+vx r--r:

co ,

X~+%

27

Drugi način određivanja limesa iracionanlog izraza je taj da iracionalnost prebacirno iz brojnika u nazivnik ili obrnuto iz nazivnika u brojnik.

x2

188.

X+,I x

LIMESI

3

UVOD 11 ANALIZU

(nSin~). n sin x-sin a

x-a

b) lim x~oo

SIn X X

sin 3x 2:1'3. iim---. x-o x 219. 221.

rIm---. sin n:x

X~ 1

lim x~o

223.

lim x-a

sin 3n:x

1- cos x

x2 cos x -cos a

x-a

224.

226.

, tgnx lnn ...x~-2 x+2 '

225.

lim sin x - cos x x~" l-tgx

227.

'

231.

233.

X~O

230.

lim x~n

' 1-2cosx \lm----n n-3x x--+3

232.

lim

lim tg x - sin x x-o x3

234.

l ;

2X)1 + x =2'=2,

sin lim (- - x

Primjer 8, Nadirno

, hm

(X. +l )X' 2x

X·+OO

2

+l

Rješmje, Imamo

n-x cos mx - cos nx

, l lm

x2

x·~oo

x

+

2x

+l

l ~.' lim . ___x ~ l l 2

2+x

, arcsinx ll m---X~O

+ x) ~

x--~O

x

X~O

lim(1 X~O

J -sin·~

x) ,

~2

x

i prema tome

x

X--+';('

(.2. 2

,1

rlmXStn-, ,I

' ( l-x)tg-, nx hm x~l 2

lim ctg 2x ctg

x~+O

a) hmxstn-

b)

229.

2X)

sin lim ( - -

h~O

X~O

29

Rjde"je, Ovdje je

lim sin (x + ~~in .~, h

4

2 28.

LIMESI

3

UVOD U ANALIZU

28

lim x 2 = -+-

X

(x) •

x-~oo

235.

237.

lim _a_fc_t""g_2_x X~O sin 3x x-sin2x

lim

238.

x+sin 3x

X~O

239.

236.

određivanju

240.

Prema tome je

Primjer 9,

lim

lim Jl+sinx=~~

lim

';O

(xl =

A > O

x - l lim - - -

(3 )

X-4-oo

B.

gdje je O <: A <: +00, -OG <: B <"en, tada je e _. AB; 'p (x) ~ A *- l i lim
2) ako je lim

3) ako je lim

x--+a 'p

(x) ~ l i lim


=

onda stavljamo V' (x)

~

lim x--+OO

X-l)X -- ~ (-x-+1

+1

X

+1

~

1 l-x lim . - - -

1.

=

1

X--+OO

+-x

lim X-)o-OO

rl

+

_

.

(X-l -+-

---l

1

X

l + ,,(x), gdje" (x)-+O kada x->-a , {[ 1.+ (' _ __ 2 hm X + 1

prema tome

)']X = _0

)]"=~}- l!X

x

=

- 2x e X lim --+ oo X T l

-2

X"4--00

t

e=

X

Ako provedemo naprijed pokazanu pretvorbu, dobivamo

x->a

x~a

I)X

X -

.--

<,\'U:

x---+a

x-+a

,

Rješmje, Imamo

= e,

lim tf; (x)

(

X·'-+OO

x

gdje je 'P(x) pozitivna funkcija u nekoj okolini tač-ke a(x ci al, treba imati u "idu I) ako egzistiraju konačni limesi

O

Izračunajmo

limesa oblika

lim [y (X)]
=

2X+l)

x·>oo

l-j;;-

x->O

+ 'x'

1 X (----

lim

nx cos-o lim- . _2 x-l

lim l-Jcosx X~O x2 Pri

, l-x 2 hm·-·--, sin nx

x~l

---

lim {[l+!X(x)J(X)J

>(x)
Iim,(x)
=e x-a

~e

lim ['P (x)-I]t1«x) a

X"""

U zadanom primjeru, ne

služeći

se općim postupkom, možemo naći limes jednostavnije:

X~"

l

gdje je e ~ 2,718, , , Neperov broj,

Primjer 7, Nadimo

,

l'Sin2X")lfX

hm .. - - x-""O x I

)X

, (X ... I); , ( 1--;: ;1!:;-:-1-:-1 -;l~oo (·····-l)X 1+-

x

lim X--.>-CC

f(

l J' 1 _.-:

\

-X]-1

X

l )X ' lim ( 1+x

x--*oo \

e-l

UVOD U ANALIZU

30

LIMESI

3 Općenito

31

je korisno upamtiti da je

a -l 259*. l i m - - (a >0). x-o X X

k)X = i. lim ( 1+X

X-fr·

. C+x)X !tm --3-x

241.

J+l

242.

( x1 lim -x-l x 2 -1

2441.

r :~

x-o

.

hm C)~i .

243.

X-J)

rlm (2 x +2 -

245.

x- i f

247.

x2

r

2X2 + 1

x

shx . a) j lm . - - ;

X-CXl

Izračunajte

264.

y

250.

lim

x+3

n---+

a)

ove jednostrane limese:

lim __x__ . X- -.7)

265.

a)

cr;

(l+~J n

266.

a) lim (cos x) x-o

252**.

a)

lim -o

1 +e

+

gdje je thx

= eX_e- x e.x+ e - x

cf)

rI m -1 -

b)

x

---o

lim th x,

b)

-1 '

x

lim

x-+coN+l

-l

x--+ +0

I +e x

x ;

267.

1

a)

b) lim (cOSX),2. x-o f

b)

J7+1 '

lim thx;

1

lim (l+sinx)x . x-o

l. -e -x

lim - - - o x-o sin x

(vidi br. 103 i 104).

x2

x-o

X"""

1

lim

b) lim chx-l

X

x---+O

x--+

251.

262.

x2-3x+2

lim ( -xx+l

248.

(X_l}'+2 lilT' . - X-Cfe

263.

n---+Cf)

;~n~ (1+ ~y

249.

(Xl -2X+3)

lim(l-~-J n

246.

e -e lim---. x---{oQ

sin x

2x

n-'Xl

bx

QX

261.

2611*. lim nCva-l) (a>O).

Pri izračunayanju niže navedenih limesa korisno je znati, ukoliko egzistira i pozitivan (xl, da je

Jim [Jn f(x)] = ln [lim f(x)].

268.

a)

b)

rl mIsin xl --;

b)

x--+

269.

a)

rl mIn(1+e ---

l" lnO+e X ) lm x- - cc X

-o

lim x-I-O

x-+oo

X

)

X

rI mIsinxl --. x- +0

x-l

X

b)

lim

lx-ll

x-1+0

x x-l

lx-ll

Primjer lO. Dokažimo da je lim

ln (I

:0:-+0

x)

= l.

(*)

27@.

X

a)

x lim x-2-0 x-2

b)

lim x-2+0

x

--

x-2

Rjcšmje. Imamo .

ln (11- x)

hm - - - -

x-o

lim [ln(l

x-.. o

+

Konstruirajte grafove funkcija (n je prirodan broj):

l=

ln [lim (1

+ xl x] =

ln e = 1 .

X-1"O

2'H*.

y = lim (cos 2 nx).

272*.

y = lim _x_ U·+OO 1 +xn

274.

y = lim (arctg nx).

"~OJ

Formulom (*)

često

se koristimo pri rješavanju zadataka.

273. 253.

lim [ln(2x+l)-ln(x+2J]. X""'"

255.

257.

+

. e J§)

J-x'

lim l~ (cos x) . o x2

x-.....

254.

y = lim JX 2+rx 2 .

lim 19 (1±JOx): X

.x~0

oo

~I~~ \~ln

(x:?O).

"-'Xl

a-O

275.

y

= lim r;J 1 + x"

(x ;;:0).

n-oo

256.

lim x[Jn(x+l)-lnx]. x- + ct)

276.

Pretvorite

II običan

razlomak zadani mješoviti periodski razlomak

eX _!

258*.

ci

lim-~-. x-~O

X

razmatrajući

ga kao limes

= 0,13555 ...

konačnog

,

razlomka.

-

UVOD U ANALIZU

32

NEIZMJERNO MALE I

4

277.

Što se dešava s korijenima kvadratne jednadžbe

218.

+bx+c = 0, ako koeficijent a teži k nuli, a koeficijenti b i e su konstantni, pri b O? Izračunajte limes unutarnjeg kuta pravilnog n-terokuta kada n->- oo.

219.

Nađite

280.

Izračunajte

286.

Izračunajte

*

1) =

u 281.

tačkama x

Izračunajte

= e-xcosnx,

n,

kada

O.

(1)

Objasnite geometrijski smisao jednadžbe (l).

limes zbroja ordinata krivulje

= 0, I, 2, ... ,

x 3-+lim, ( kx+b-2 x~ao x +1

je

limes opsega pravilnih n-terokuta upisanih kružnici polumjera R njoj opisanih, kada n--'7 oo.

y

33

konstante k i b iz jednadžbe

ax 2

čemu

NEIZMJERNO VELIKE VELI CINE

287*. Neki kemijski proces tako teče da je prirast količine materije u svakom vremenskom razmaku Tiz beskonačnog niza vremenskih razmaka (iT, (i+ l}r) (i = = 0, l, 2, ... ) proporcionalan količini materije u početku tog vremenskog razmaka i veličini vremenskog razmaka. Pretpostavivši da je u početku količina materije bila Qo, odredite količinu materije Q(~), nakon vremena t

t, ako se količina materije povećava svaki n-ti dio vremena r = - .

n--'7 oo.

n

Izračunajte

limes zbroja površina kvadrata konstruiranih na ordinatama

Qr = lim Q~n).

krivulje y=2 1 -

kao bazama, gdje je 282.

x

= l, 2, 3, ... ,

X

n,

uz uvjet da

4. Neizmjerno male i neizmjerno velike

limes kada n -~ oo duljine lomljene linije MoMI ... Mn' upisane u logaritamsku spiralu r = e-'P,

10. Neizmjerno male

Izračunajte

ako vrhovi te linije imaju polarne kutove 'Po = O,

IT

'P1=2'"

•

,

nil

'Pn

=

2.'

veličine.

Ako je

lima (x)

=

0,

x~a

tj. ako je i" (x) I <" za O< lx - al < 8 (e) tada funkciju CI. (x) nazivamo neizmjerno malom velihnom kada x··+a. Analogno se definira neizmjerno mala veličina (J. (x) kada X-+CXJ. Zbroj i produkt konačnog broja neizmjerno malih veličina kada x -+a također je neizmjerno mala veličina kada x-+a. Ako su CI. (x) i f3 (x) neizmjerno male veličine kada x-+a i

lim a(x)

x~aP(X)

b

=

e ,

gdje je C neki broj različit od nule, onda funkcije CI. (x) i f3 (x) nazivamo neizmjerno malim veliči­ nama istoga reda; ako je pak C = O, onda govorimo da je funkcija CI. (x) neizmjerno mala veličina "išeg reda u odnosu na f3 (x), Funkciju CI. (x) nazivamo neizmjerno malom veličinom n-toga reda u odnosu na funkciju f3 (x) ako je

At~0AA~y Slika 7.

veličine

n-o> oo.

lim ~=c x~a [P (x)]" , Slika 8...

gdje je O
283.

284.

285.

AB = a (sl. 7) podijeljen je na n jednakih dijelova, a na svakom od tih dijelova kao bazi konstruiran je istokračni trokut s kutovima uz bazu jednakim rx = 45°. Pokažite, da se limes duljine dobivene lomljene linije razlikuje od duljine odsječka AB bez obzira na to što se u limesu lomljena linija »geometrijski stapa s odsječkom AB«. Odsječak

lim a(x) = l x~a jJ (x) , onda funkcije rt. (x) i fl (x)j nazivamo ekvivalentnim (ili asimptotički jednakim) neizmjerno malim kada x -+ a:

veličinama

Tačka Gl raspolavlja odsječak AB = l; tačka G2 raspolavlja odsječak AGI; tačka G3 raspolavlja odsječak G2 GI , tačka G4 raspolavlja odsječak G2 G3 itd. Odredite granični položaj tačke Gn kada n -->- oo.

Kateta a pravokutnog trokuta razdijeljena je na n jednakih dijelova, a na dobivenim odsječcima konstruirani su upisani pravokutnici (sl. 8). Odredite limes površine dobivenog stepenastog lika, ako n--'7 oo.

a(X)~f3(x),

Na primjer, kada x-+O, imamo: sinx~x;

tgx~x;

ln(l+x)~x

itd. Zbroj dviju neizmjerno malih veličina različitih redova ekviva1entan je sumandu nižeg reda. 3

Demidovič:

Zadaci

34

UVOD U ANALIZU

NEIZMJERNO MALE I

4

Limes kvocijenta dviju neizmjerno malih veličina ne mijenja se ako članove kvocijenta zamijenirno ekvivalentnim veličinama. U skladu s ovim teoremom pri izračunavanju limesa razlomka

. cx(x) Il m-, x~af3(X)

Vx +2x' 3

lim x->O

ln (l + 2x)

lim x->O

Odredite red veličine: a) oplošja kugle, b) volumena kugle, ako je polumjer kugle r neizmjerno mala veličina l-og reda. Kakvi će biti redovi veličine polumjera kugle i volumena kugle u odnosu na oplošje te kugle?

292.

Neka središnji kut rl. kružnog isječka ABO (sl. 9) polumjera R teži k nuli. Odredite redove neizmjerno malih veličina, u odnosu na neizmjerno mali rI.: a) tetive AB; b) visine CD trokuta ABD; c) površine trokuta ABD.

293.

Odredite za x-+O, red

vxs 2x

2

II

c)

if;2-.[;3;

d) l-cosx;

Dokažite da je funkcija

o Slika 9.

e) tgx-sinx. J(x) = sin x x

294.

neizmjerno mala veličina kada x-+ oo. Za koje je vrijednosti x zadovoljena nejednadžba

Dokažite da je duljina neizmjerno malog luka kružnice konstantnog polumjera ekvivalentna duljini tetive.

295.

IJ(x) I
Jesu li ekvivalentni neizmjerno mali odsječak i neizmjerno mala polukružnica, konstruirana na tom odsječku kao promjeru?

Upotrebom teorema o kvocijentu dviju neizmjerno malih

Dokažite da je funkcija

296.

ako je

E

r

lm

X~O

veličina izračunajte:

x

arcsin ~

sin 3x . sin 5x

----3-2-.

(x-x)

297.

J(x)=I-x 2

lim X~O

neizmjerno mala veličina kada x-+ I. Za koje vrijednosti x vrijedi nejednadžba

298.

IJ(x) I
ako je e: po volji odabran pozitivni broj. Izračunajte x ako je: a) e: = 0,1; b) e: = 0,01; c) E = 0,001. 290.

B

A

b) Jx+.jX;

IJ(x)I>N,

289.

u odnosu na x funkcija:

postoji

funkciju f (x) nazivamo neizmjerno velikom veličinom kada x-+a. Analogno se definira neizmjerno velika veličina f (x) kada x-+oo. Slično tomu kako je učinjeno za neizmjerno male veličine, uvodi se pojam neizmjerno velikih veličina različitih redova.

288.

veličine

2x l+x

a)

2°, Neizmjerno velike veličine. Ako za po volji odabrani veliki broj N takav 8 (N), da je za 0< lx-al
35

291.

gdje 1. (x)-+O i f3 (x)-+O kada x-+a, u brojniku i nazivniku razlomka možemo oduzimati ili prib. rajati neizmjerno male veličine viših redova, tako odabrane da veličine koje ostaju budu ekvh'alentne prijašnjim. Primjer 1.

NEIZMJERNO VELIKE VELICINE

300.

l'lm--. Inx

299.

x~11-x

lim X~O

Dokažite da su, kada x-+O,

veličine

~

i

"\ 1- x 2 In(l-x)

cosx-cos2x l-cosx

Vl +x-I

međusobno

ekvi-

valentne. Služeći se tim rezultatom pokažite da pri malom lxi vrijedi približna jednadžba

Dokažite da je funkcija

l J(x)=-

~ x ",,1+x:::::l+--.

x-2

neizmjerno velika veličina kada x -+ 2. U kojim okolinama zadovoljena nejednadžba

Prirrijenom formule (l) odredite približno:

IJ(x)I>N, ako je N po volji odabran pozitivni broj? Izračunajte S, ako je: a) N = 10; b) N = 100; c) N

a) --/1,06;

=

(1)

2

lx - 21 < S je

1000.

b) JO,97;

e)

Fa;

d)

jUO

i usporedite dobivene vrijednosti s podacima iz tablice. :1*

36

UVOD U ANALIZU

tačnošću

Dokažite da za x-+O s nadžbe:

301.

1

~- ~

a)

do

članova

NEPREKINUTOST FUNKCIJA

5

reda x 2 vrijede približne jed-

Ako jc funkcija neprekinuta u svakoj tački nekog tada se naziva neprekt'nutom u tom području.

37

područja

(intervala, s<;gmenta itd.),

Primjer l. Dokažimo da je funkcija

l-x;

= sin x

y

l+x

neprekinut a za svaku vrijednost argumenta x.

b) Ja2+x~a+!:.... 2a

(a>O);

Rješenje. Imamo ~X

e) (1 +x)"~l+nx (n je prirodan broj);

d) Jg(l+x):::;; Mx, Polazeći

~y

2) _1_; 0,97

l) ---; 1,02

l 3) 105;

4)

Ji5;

= sin (x+~x) - sin x =

2

~x

2

= 1ge = 0,43429 ...

gdje je M

2

2 Budući

od tih formula izračunajte približno:

1

~x ( ~X) sin 2 ( L:.X') 2 sin - cos x+- ~~ ---·eos x-L- ·~x.

da je ~x

5) 1,04 3 ;

6) 0,93 4 ;

sinlim _ _ 2

7) 19 1,1.

nx-+O

=

leos(x+

Lix

~X)I ~I,

2

Usporedite dobivene vrijednosti s podacima iz tablica. 302.

to za svaki x imamo: limily

Pokažite, da je cijela racionalna funkcija p (x) = aOx"+alx"-l+ ... +a"

kad

X--l-

Prema tome, funkcija sin x neprekinuta je za -oo
(aOo;FO),

oo, ·neizmjerno velika veličina ekvivalentna najvišem članu aox".

Neka X--l- oo. Uzevši x kao neizmjerno veliku veličinu prvog reda odredite red porasta funkcija:

303.

a) x 2-100x-l000; b)

c) Jx+JX;

x5

2'. Tačke prekinutosti funkcije. Govorimo da funkcija J (X') ima prekillUlOst za vrijednost x ~ x" (ili u tački xo), koja pripada području iiefinieije funkcije, ili je granična za to područje, ako u toj tački nisu ispunjeni uvjeti za neprekinutost funkcije. l (sl. 10,a) prekinuta je za x = l. Ta funkcija nije definirana u (l-x)' tački x = 1, i kako god bismo izabrali broj J(1), dopunjena funkcija J (x) ne bi bila neprekinuta za x = 1.

Primjer 2. Funkcija J (x)

d) Vx~-b:2.

x+2

= ---

Ako za funkciju lim

J (x) postoje

kO'1ačni

5. Neprekinutost funkcija 1°. Definicija neprekinutosti. I; <,) ako je:

neprekinutom za x =~ (ili

x-+I;

limf(x)

=

Da bi funkcija

fm·

J (xo-+-O),

+ O) međusobno jednaka, onda Xo nazivamo

f

tačkom

tada x, nazivamo uklonjivom

t, tj.

=

O

čemu nisu sva tri broja J (x o), (xo - O), J (xo tačkom prekinutosti prve vrsti. Posebno ako je

J (xo-O)

1) ta funkcija definirana u tački t, tj. egzistira broj J (t); 2) egzistira konačni limes lim f (x);

3) taj limes jednak vrijednosti funkcije u tački

X-+Xo+

pri

Funkciju Jex) nazivamo

limesi: lim J(x)

J(x) =J(xo - O)

x---+xo-o

»ll tački

O.

=

.6.x-~O

J (x) bila u

=

J (xo+O),

prekinutosti.

tački Xo

neprekinuta nužno je i dovoljno da je

J(xo) =J(xo - O) =J(xo

(1)

+ O).

x-~

Stavimo li

Primjer 3. Punkcija J (x)

x=~+Li~, gdje ,:11;-+0, možemo uvjet (I) napisati ovako:

lim Nm = lim [/(!:+LiO-fmJ

,,~-o

,,~-o

sinx =--

lxi

ima prekinutost prve vrste za x

Doista je ovdje =

O,

(2)

tj. funkcija J (x) je neprekinuta u tački t; onda i samo onda ako u toj tački neizmjerno malom prirastu argumenta odgovara neizmjerno mali prirast funkcije.

J(

+ O)

sin x =

lim X-I-+O

J ( - O) = lim x---+-o

x sin x ~

x

- \.

=

O.

UVOD U ANALIZU

38

5

Primjer 4. Funkcija y = E (x), gdje E (x) označava najveće cijelo broja x (tj. E (x) je cijeli broj, koji zadovoljava jednadžbu x = E (x) +q, gdje je () ~q< l), prekinuta je (sl. 10,b) u svakoj cjelobojnoj tački: x = 0, ± l, ±2, ... , pri čemu su sve tačke prekinutosti prve nste. Zaista, ako je n cio broj, onda je E (n- O) ta funkcija je, očigledno, neprekinuta.

= 11-

I i E (n + O)

U svim drugim

= ll.

tačkama

tačke prekinutosti funkcije koje nisu tačke prekinutosti prve vrsti nazivamo prekinutosti druge vrsti. U tačke prekinutosti druge vrsti spadaju također tačke neizmjerne prekinU/osti, tj. one tačke xn' za koje je bar jedan od jednostranih limesaJ(xo-O) iliJ(xo+O) jednak oo (vidjeti primjer 2).

Sve

NEPREKINUTOST FUNKCIJA

Funkcija J (x), koja je neprekinuta na

39

bl, ima ova svojstva:

odsječku [a,

Il

f(x) ograđena je u [a, bl tj. postoji neki broj M takav, da je fJ(x)1 ~M za a~x~b;' 2) f (x) ima u [a, bl najmanju i najveću vrijednost; 3) f (x) poprima sve vrijeđnosti između dvije zadane, tj. ako je f (CL) = A i J (fl) = B (a ~,,< (3 ~b) i A XC B, tada za bilo koji broj C između A i B postoji barem jedna vrijednost

x=y ('l.
lačkal1la

Posebno pak ako je f(CL)f((3)
J(x) = O ima u intervalu (CL, (J) barem jedan realni korijen.

y

y

l y= II-x}2

304.

Pokažite da je funkcija y = x 2 neprekinuta za bilo koju vrijednost argumenta x.

305.

Dokažite da je cijela racionalna funkcija

y=EfxJ

21---------~

I I

I

---.,---,

-II I

I

I

I

I

I

I

I

o

2

306.

I

Dokažite, da je razlomljena racionalna funkcija

3 X

n

R(x) = aOx +a 1x

I

aj

b)

y

+ ... +a n

neprekinuta za bilo koju vrijednost x.

I

I I

x

P(x) = aOXn+alXn-l

I

I

n- l

boxm+b1xm-

l

+ .. . +a n + ... +bm

neprekinuta za sve vrijednosti x s izuzetkom onih koje pretvaraju njen nazivnik u nulu.

307*. Dokažite da je funkcija y

x

308.

Dokažite da je funkcija F(x) =

-11

Slika 10. "lT

x

(sl. 10,c) u tački x =

309*. Dokažite da je funkcija y

°

ima prekinutost druge vrsti jer ovdje ne pa-

stoje oba jednostrana limesa:

310.

X

lim cos" X--++O

1) Zbroj i produkt konačnog broja funkcija, koje su u nekom cija, koja je neprekinuta u tom istom području.

području

neprekinute, jest funk-

2) Kvocijent dviju funkcija neprekinutih u nekom području neprekinuta je funkcija sve vrijednosti argumenta iz tog područja za koje divizor nije jednak nuli.

za

3) Ako je funkcija J (x) neprekinuta II intervalu (a, b) pri čemu je skup njenih vrijednosti sadržan u intervalu (A, B), a funkcija 'p (x) neprekinuta u intervalu (A, B), onda je složena funkcija 'p Lf(x)] neprekinuta u intervalu (a, b).

=

b) etg x?

lxi neprekinuta. Konstruirajte graf te funkcije.

312.

Dokažite da je apsolutna vrijednost neprekinute funkcije neprekinuta funkcija. .

313.

Funkcija je zadana formulama

X

3°. Svojstva neprekinutih funkcija. Pri razmatranju funkcija s obzirom nil neprekinutost moramo imati na umu ove teoreme:

cos x neprekinuta za svaki x.

=

Za koje vrijednosti x su neprekinute funkcije: a) tg x

311 *. Dokažite da je funkcija y

lim cos -x--+-o

JiW

neprekinuta u intervalu (a, b) ako je funkcija J (x) neprekinuta inenegativna u tom istom intervalu.

cj

Primjer 5. Funkcija y = cos -

vx neprekinuta za x ? O.

=

I

x 2 _4 f(X)=l x-2 za x=l2,

A

za x = 2.

Kako treba izabrati vrijednost funkcije A = J (2), da bi tako nadopunjena funkcija J (x) bila neprekinuta za x = 2? Konstruirajte graf funkcije y = J (x).

NEPHEKINUTOST FUNKCIJA

;)

331. 314.

Desna strana jednadžte

JCx)

=

. l 1 ~x Stn-

gubi smisao za x = O. Kako treba izabrati vrijednost bude neprekinuta za x = O?

:U5.

Dokažite da je Dirichletova funkcija X(x), koja je jednaka nuli kada je x iracionalan i jednaka l ako je x racionalan, prekinuta za svaku vrijednost x.

Istražite s obzirom na neprekinutost

x

J (O) da funkcija J (x)

Funkcija l

l

333.

Y= lim (xarctgl1x).

334.

a)y = sgnx, b)y = xsgnx, definirana formulama:

gubi smisao za x=2. Je li moguće odrediti takvu vrijednost J (2), da dopunjena funkcija bude neprekinuta za x = 2? FunkcijaJ (x) nije definirana za x kinuta za x = ako je zadano:

°

a) J(x) = (l+x)"~l x

=

=

O. OdrediteJ (O) tako daj (x) bude nepred) JCx)

(11 je prirodan broj);

X

=

eX~e-x. x

e) J(x) = x 2 sin ~ ; x

l~cosx

b) J(x)

2

c) J(x) = In(1 +x)~ln(1~x)

sgn x =

.

321.

x2

x~2

}

.

x2~4

a) Y =

•

Jr

Stn-;

1 +x 3 y=--. l+x

320.

x Y=N'

322.

x Y=SJl1 x

X

b) Y = xsin~. x

I ~ I·

324.

Y

326.

Y = (1 +x)arctg

=

ln tg

r

Navedite primjer koji će pokazati da zbroj dviju prekinutih fl'nkcija može biti neprekinuta funkcija.

337*.

Neka je.~ pravi pozitivni razlomak koji teži k nuli (O
l~x

y=e-;;'

y

{

=

X2 za x ~3 2x+l za x>3.

E(l+Ct)=E(I~!X)+l,

340.

veličine 'l.,

uvrstiti limes

veličine

e
Pokažite da jednadžba Izračunajte

Dokažite da jednadžba tgx = x

325.

Y = arctg-. x

327.

Y = ex + 1.

329.

y=

1

1

~-1-

Konstruirajte graf ove funkcije.

cijelo broja x.

približno taj korijen.

339.*' Dokažite da svaki polinom P ex) neparnog stupnja ima barem jedan realni korijen.

Y = 1n(cosx).

l ~-2'

najveće

x3~3x+ l = O

323.

l+e I 330.

= xE(x), gde je E (x)

336.

338.

1

328.

+1, ako je x>O, = O, ~ l, ako je x < O.

koja vrijedi za sve vrijednosti

318.

sgn (sin x) gdje je funkcija sgn x

1 0, ako je x

ima u intervalu (l, 2) realni korijen.

~ ...fi+x ~ 3 ~

b)y

=

a)y

Razmotrite s obzirom na neprekinutost funkcije: y=-.

= x-E(x),

c)y

335.

f) J(x)=xctgx.

x

317.

(x ?O).

Y

"~m

x~2

316.

!~~ l +x"

konstruirajte grafove ovih funkcija:

332.

J(x) = arctg--

319

41

UVOD U ANALIZU

40

- x

.

ima neizmjerno mnogo realnih korijena,

42

DEHIV1RAN.IE FUNKCI.J .. \.

II

GLAVA II

DERIVIRANJE FUNKCIJA izračunavanje

1. Neposredno

dedvadja

Prirast argumenta i prirast funkcije. Ako su x i x, vrijednosti argumenta x, a y

c~I(x)

i YI

-~I(x,)

odgovarajuće

vrijednosti funkcije y --=f(x), onda

l'.x = xj-x nazivamo prirastom Ql:..r:umellta x

li

intervalu [X Xl]' a j

l'.Y=YI-Y ili

l'.y =f(xJ)-f(x) =f(x+l'.x)-f(x)

(1)

priraSlOIII fllllkeije y u istom intervalu [x, x,J (sl. ll, gdje su :"x = lifA i :"y -, AN). Kvocijent

~J'

= tgrx

l'.x preJstavIja koeficijent smjera sekame ivIN grafa funckije y = f (x> (sl. ll) i naziva se sredIlJom brzinollI mijenjanja funkcije y u intervalu [x, x + i'lx J.

x

X,

x

Slika 11.

Primjer l. Za funkciju y = x2 izračunajmo

~

5x

6

---i

tH i i'ly, koji odgovaraju promjeni argumenta:

al od x ~ I do x = 1,1 ; b) od x = 3 do x = 2.

Rjc{cJlje.

rmamo

a) .:'l.x -

i'ly h) .:'>x .:'l.\'

1,1 -- l = 0, l, (1,1'

5· \,l! 6) -- (1' --- 5· l

2- 3 - I, (2' - 5 . 2 6) - (3 2

-

5 . 3 i 6)

6) ~C

~

O.

0,29;

44

DERIVIRAN')E FUNKCI')A

Il

NEPOSREDNO

I

4''.

Primjer 2. Za hiperbolu y = -- nađimo koeficijent smjera sekante koja prolazi tačkama sapscisama x x =" 3 Xl = 10. Rješenje. Ovdje je

y=3"

.0.x=10-3=7,

.0.y Prema tome je k = L\x

.0.y

=10

limf(x+Ax)-f(x) = Ax

30

funkcije

y

=

J(x) u

tački

x nazivamo limes h,

Izračunajmo

derivaciju

y ~"

V&

lim-, Ax

341.

Izračunajte

prirast funkcije y

a) od x

y' = tgtp.

b) od

X

Određivanje derivacije y' nazivamo deriviranjem Junkezje. Derivacija y' = J'(x) predstavlja brzinu mijenjanja Junkcije u tački x.

c) od

X

342.

derivaciju funkcije y = x2.

Rješenje. Po formuli (l) dobivamo: c.ly

ex

+ c.lX)2 tiy -

c.lX

- x2

= 2x

= 2x.0.x

+ (c.lx)

+ .0.x.

343.

Prema tome je y' =

lim .0.y = lim (2x

D.x--+O ~x

+ .0.x)

=

2x.

344.

.:.l.x--+O

f~(x)

=

f; (x)

= lim f(x+Ax)-f(x)

nazivamo lzjevolll, odnosno desnom derivacijo", funkcije J (x) u tački x. Za egzistenciju derivacije (x) nužno je i dovoljno da bude

f':(x)=f+'(x). lxi·

Rješenje. Imamo po definiciji J:"(O)

=

lim .D.X-I--O

l.0.x I .0.x

-l,

l; (O)

]'

1

do

Xl

1

do

Xl

345.

X2

U tome je

slučaju

. l lm

l.0.x I

6x-->+O

.0.x

I.

__ v;g

=

oo,

koji odgovara promjeni argumenta:

= 2; = 1,1; = I+h. =

=

0,

Ax

=

0,001;

b) x

=

8,

Ax

=

-9;

c) x

=

a,

Ax

=

h.

lIX: ako je:

Zašto za funkciju y = 2x+3 možemo odrediti prirast Ay znajući samo da je dotični prirast Ax = 5, a za funkciju y = x 2 to ne možemo?

Izračunajte

prirast Ay i kvocijent Ay za funkcije: Ax

= j;

Izračunajte

za x = 1 za x

=

°

za x = 100000

Ax =0,4; Ax

= 0,0001;

Ax = -90000.

Ay i Ay koji odgovaraju promjeni argumenta od x na xf-Ax Ax

za funkcije:

i J; (O) za funkciju lex) =

Xl

e) y=lgx

J'

f": (O)

do

a) x

b) y

Ax ----

=

1

1 a) y = (x 2_2)2

lim f(x+Ax)-f(x) dX~-O Ax

Ll.x~ + o

= = =

Izračunajte L1y za funkciju y

3°. Jednostrane derivacije. Izraze

Primjer 4. Izračunajmo derivacije

tački x.

JIX:'

/'(0) = .\x··'-rO lim ~ x = Ll!~O

Ay

dx-O

Izračunajmo

'

Rješenje. Imamo:

ako taj limes egzistira. Vrijednost derivacije daje koeJiczjent smjera tangente NIT na graf funkcije y = J (x) u tački x (sl. ll):

Primjer 3.

OO.

za funkciju

0-

x

y'

r (O)

45

imamo

tada kažemo, da neprekinuta funkcija J (x) ima beskonačnu derivaciju u tangenta na graf funkcije), = J (x) okomita na os OX. Primjer 5,

:y

tački

dx~O

30

2°. Derivacija. Derivacijom y' = .. L\y A cIJenta .0.x' k ad a ux tež·l k nu l"l, tj.

derivacija. Ako u nekoj

7

l

=10'

)'1

Beskonačna

IZRACUNAVAN.JE DEHIVACIJ,'.

a) y = ax+b;

d) y =.Jx;

b) y=x 3 ;

e) y = Y;

e) y

1

= --::-; x~

f) y

=

ln x.

II

lJEHlVlRANJE FUNKCl.TA

46 Izračunajte

346.

362.

koeficijent smjera sekante panlbole

L,-x 2 ,

)' =

ako su apscise

2;

Xl

= I,

X2

=

b)

Xl

= l,

X2

= 0,9:

e)

Xl

= 1,

Zakon gibanja tačke je s = 5[2, pri čemu je put s zadan u metrima, a vrijeme r u sekundama. Izračunajte brzinu gibanja u trenutku [ = 3.

363.

Nađite koeficijent smjera tangente na krivulju y apscisa x = 2.

364.

Nadite koeficijent smjera tangente na krivulju y

365.

Izračunajte vrijednost derivacije funkcije

presječnih tačaka:

a)

C~ X'l

granicama

l~x<4?

Zakon gibanja tačke je s ~~ 2l" 3r 5, gdje je put s zadan u centimetrima, a vrijeme l u sekundama. Kolika je srednja brzina tačke u vremenu ode ( = l do r ~ S?

a) y

= ,\;';2 II tački

349.

Izračunajte srednji u~pon krivulje y

=

b) V

= z~ II tački

350.

Izračunajte

=

srednji uspon krivulje y

Y u intervalu l ,,;x ~5.

f (x) u intervalu [x,

x+~xl.

Što se razumijeva pod usponom krivulje y ~=

352.

Definirajte: a) srednju brzinu vrtnje, b) trenutnu brzinu vrtnje.

353.

Zagrijano tijelo smješteno je u okolicu niže temperature i hladi se. Šta znači: a) srednja brzina ohladivanja ; b) brzina ohladivanja u danom trenutku?

354.

Šta se razumijeva pod brzinom reagiranja t\'ari u kemijskoj reakciji?

355.

Neka je nl = f (x) masa nehomogene šipke na dijelu [O, x]. Što se razumijeva pod: a) srednjom linearnom gustoćom šipke na dijelu [x, x+~x]; b) linearnom gustočom šipke u tački x )

Izračunajte kvocijent ~y za funkciju ~x

f (x) u zadanoj

u

y =

x

tački

x

=

358.

derivaciju funkcije y

' . y, I zracunaJte

=

2,

ako

je:

359~ '" Izračunajte f' ;R), 360.

Nadite!, (O),

'

(x"

,:;OC

O).

=

~ X

v = x2

U

= 1;

TabličnI)

= O,

(k

(uv)'

= l;

6)

C~)'

7)

C:),

2) (x)'

3) (u±L'), = u'±u';

± l, ± 2,

' ' ·l·

deriviranje

5)

=

,,_c· V' (x), V= ifj (x)

su funkeije

U'1)+1)'U;

ll'U~V'U --~

ev

(ll of. O);

,

(u of. O).

u2

4) (cu)' = cu';

2°. Tablica derivacija o§novnih funkcija

(.\'11)' =

J;;; II.

x2

x

l) (c)'=0;

l'lm -~y ..- za t'un k" ClJU:

cl y =

= Xo

_t"

= O;

, 2k+ 1 tackama x = - - I T 2 2.

tg x.

=

II

x

l". Osnovna pravila deriviranja. Ako je e konstanta, a k(\jc imaju deri\"acijc, onda je

.!.x >0 ~x

a) y = x 3 ; b) r -

I

(x) = -- u tački

Pokažite da ove funkcije nemaju konačnih derivacija u zadanim tačkama:

tački x?

a) ~x=l; b) ~x=O,I; c) ~x=O,OJ. Kolika je derivacija y' za x=2? Izračunajte

367"

e) y = leos XI

351.

sin x u tački (7T; O).

njihovu sjecištu? Izračunajte kut koji zatvaraju te tangente.

348.

+ +

=

366". Koliki su koeficijenti smjerova tangenata na krivulje y

Koja je srednja brzina mijenjanja funkcije )'

U

O, l x 3 u tački kojoj je

=

X

347.

357* *.

f

x2=1+17.

Kojem limesu teži koeficijent smjera sekante u posljednjem primjeru, ako h-->-O?

356.

47

TABLlCNO DERlVIRANJE

3

Cl' -hx

nyn- 1

l 2J;:

V. (tgx)'

(x>O).

=

cos LX'

l VI. (etg x)' =, ~ sin2 x

d) )' = etg x.

ako je f (x)

=

III. (sin x)'

\r;;.

f' (I), f' (2), ako je f (x)

=

x

l)" (x

= eosx.

VII. (aresinx)'=

1 )1-x 2

2)".

361.'" U kojim tačkama se derivacija funkcije f (x) = x 3 brojčano podudara sa vrijednošću same funkcije, tj. kada je f (x) = f'(x)?

IV. (cos x)' = - sim:.

VIII. (arccosx)'

= -

(lxl<1).

~

'v l_x2

(lxl
48

II

DERIVlRANJE FUNKCIJA

X. (arcctgx), =

XVIII. (cth xr

x 2 +1

XI. (ax)' = aXlna (a> O).

XIX. (Arshx),

XII. (ex)' = eX.

XIII. (ln x)' =

XX. (Archx),

~

XIV. (loga x)' = _1 _ = loga e xlna

XV. (shx)'

=

A. Algebarske funkcije

-

=

=

s112 x'

1 J1+x 2

'

1 Jx2-1

(x > 1).

XIX. (Arthx)' =_1_ (lxi < 1). 1-x2

(x>O).

x

derivacije ovih funkcija (u br. 368 do 408 ne primjenjuje se pravilo deriviranja složenih funkcija):

1

=

369.

I l 2 4 V=---x+x -0.5x. . 4 3

y=ax 2 +bx+c.

371.

Y

=

372.

y = at'" + btm+".

373.

y

=

374.

y=-+ln2.

375.

y=3x 3 -2x 2 +x- 3

377.

Y

379.

2x+3 Y=x 2 -5x+5

368.

y

370.

= x 5 -4x 3 +2x-3.

Tt

x

376*. Y

(x>O, a>O).

=

if;i.

x2

x

chx.

XXII. (Arcthx), =

49

DERIVIHANJE

Izračunajte

1 XVII. (thx)' = ch2 x'

1

IX. (arctgx), = 1+x 2 '

TABLICNO

2

x 2 _1

(lxi> 1).

XVI. (ch x)' = shx.

378.

a+bx y=--. c+dx

380.

Y=---- - . 2x-l x

2

l

381.

5x 3

a ax 6 +b Ja 2 +b 2

tl

= 3 f2. 'IX

b_o

if;

- x

1+ J:;Y=J-JZ'

3°. Pravilo deriviran;a složenih funkcija.Akojey=J(u) i u=cp(x) tj.y ••• J[cp(x»). a funkcije y i u imaju derivacije, tada je

B. Trigollolllctrijske i m'kus-funkcije }'x =

ili

drukčije

Yuu~

Izračunajmo

Rješenje. Stavivši y y'

Primjer 2.

383.

Y

=

tgx-ctgx.

sin x+eos x y=-.----. Sll1x-eosx

385.

y

=

2tsin t-(l2-2)e051.

386.

y = aretgx+arcctgx.

387.

y

=

xetgx.

388.

y =c x aresinx.

389.

)'=

390.

y

392.

V=z'

382.

Y

384.

=

5sinx+3cosx.

pisano

dy

dy. du

dx

du dx

To pravilo primjenjuje se na ,lanac « bilo kojega

Primjer 1.

(1)

=

=

broja funkcija koje deriviramo.

derivaciju funkcije

u', pri

(U5)~

konačnog

čemu

(x' - 2x

Izračunajmo

+

y

=

(x' - 3x' 3)5.

je u

=

x'-2x+ 3, Imat

3)~

=

5u 4 (2x - 2)

ćemo

prema (1):

= 10 (x - l) (x' - 2x

=

sin 3 4x.

3)4.

391.

y=(x-l)e x .

393.

y

=.~.

eX cos x.

395.

y

=

(x2-2x+2)e x .

= eX arcsin x.

397.

Y

=

ln x'

= x

e

.

7 .

eX.

x

x

Rješenje. Stavivši y

=

u3 ;

II

= sin v;

7.'

= 4x,

dobivamo

394. f(x) 396.

y'

= 3u 2

•

cos

V •

2

C. Eksponencijalne i logarizamske funkcije

+

derivaciju funkcije

y

(J+x 2 )aretgx-x

y

=

4 = 12 sin 2 4x cos 4x.

4:

Demldovič:

Zadaci

x5 e

x2

II

DERIVIRANJE FUNKCLlA

50

398.

} :c' .v=x·!nx---. :;

400.

y

=

399.

l

. = ---+ 1 21nx _ lnx x x

TABLICNO

2

(.(x) = -

422.

.

lnxlgx-Inalogax.

DERIVIRANJE

J 6(l-3cosX)2

J3SinX~2COSX.

51

423.

1 1 y=------. 3 cos 3 X cos x

425.

Y=

3 i

.

l --,-o cos- x

424.

y =

426.

Y = Vl+arcsinx.

427.

y = )arctgx- (arcsinx)3.

428.

I y = -----. arctg x

429.

y=-../xe-'+x.

430.

y = Z/2e-'-2 x +l+ln 5 x.

431.

2

ySII1

x+

D. Hipcrbolnc i area-funkClJc

,

401. 403. 405. 407.

402.

Y = xshx.

x'

--~.

chx 404.

y=thx-x.

406.

y = arctgx- Arthx.

y

y=

Arch x

= -----.

408.

Y=

3 cth x

y = arcsin x Arsh y

x

=

x

Inx X.

Arcth x

X(X"

Rjde"je. y' = cos 3x . (3x)' - sin 5

-)

5

+

l -1/cV -x)' = eos x

i-x

derivacije lwih funkcija (u br. 409 do 466 treba upotrijebiti pravilo dcril'iranja složenih funkcija s jednim međuargumentom) :

409. y=(I+Jx_5x2)30 da je

I j--3x-Sx 2

=

u; tada je y:;:",:: u 3 (). l)(1hi\"J!l1Cl

Y

=

(il-:<7-?)

'.3- IOx

411. fry)

3 .

413.

Y

=

y=

(3

=

(2u+3hy)2.

+ 2x 2 / .

f(x)

434.

f(t)

sin tsin(t+cp).

435.

l +cos2x Y=----· l-cos2x

436.

x f(x)=actg--

437.

i 2 1 2 Y = - -cos(5x ) - -cosx .

440.

f(x)

442.

y = arcctg-- .

=

438.

439.

VI _I(2x)'

24(2x-1

40(2x-I)5 415.

y

416.

y

= (a 2 /3_

417.

y = (3-2sinx)5

Rjcšenjc.y' = 5 (3-2 sin x)'· (3-2 sin x)' = 5 (3-2 sin X)4 .

420.

tg X

-

2

VT=_,4x

y

=

2

1 arctg ----.

. 2

=

arccos-../x. l+x

l-x

o

y=J1-x2~

V =

'2x)' _ . , -

y = arCSIl1 - .

3

414.

~

4

20

y = arcsin 2x.

Rješenje. y' =

441.

56(2x-l)

418.

= cos (lXX +P).

X

-~

v-·x

433.

X

412.

l

+ 2~ V X cos'

Y = sin(x2-5x+l)+tg~. x

u~=3-IOx;

y~=30U29 O-IOx)-~3()(1 +3x-

5

432.

a

y~=30U29,

410.

5

----2-·

Izračunajte

OZl1aČin10

I x 3 cos 3x- - sin -

2

E. Složene funkCIje

Rje,~cnje.

~

v = sin3x+cos~ +tg-../x 5'

.

I J ~ tg X 3

Y = 2x + 5 cos 3 X.

+

5

tg S X.

(-~2

=

443.

y :. .:. : . Sc- x2

·1,~-~ ..

y

445.

Y = x 2 10 h

446.

f(t)

447.

y=arccosc x .

448.

y

449.

y

450.

y=ln(l-x 2 ).

451.

y=ln 2 x-ln(lnx).

452.

y = ln(e x +5sinx-4arcsinx).

453.

Y = arctg(lnx)

454.

y =

=

5-,2'

Z/a+bx 3 =

t sin 2'.

= ln (2x + 7).

cos x) = -lO cos x (3-2 sinx)'.

419.

Y = -../~tg~-J~tgc;,

421 *.

X

= cosec 2 t + sec 2 1.

'0

=

19 sin x.

+ ln (arctgx).

-../lnx+l+ln(J~+l).

,.-52

DERIVIRANJE FUNKCIJA

II

TABLICNO DERIVIRANJE

53

F. Razne funkcije

455**. Y = sin 5XCOS2~. 3

11 Y = - 2(x-2)2

3

456.

15 _ 10 _ l . 4(x-3)4 3(x-3)3 2(x-3)2

457.

y = _

458.

x8 Y = 8(l-X 2)4

459.

x a2.J a 2+x 2

1

Y = J2x2-2x+l x X

460.

Y =

462.

Y =-~x-+-x ~x+ -x ~X2+_X2~X.

463.

Y

464.

44J§-1 Y =__

46.

3,,,- 18 2 7


I

.r?

6 13

61

465.

o

Y=

x+2

478.

y = sin 2 (t 3 ).

480.

479.

Y = 3 sinxcos 2 x+sin 3 x.

Y =_tg 3 x-tgx+x. 3

481.

cosx 4 y = - - - - + -ctgx. 3 sin 3 x 3

482.

Y = Jrxsin 2 x+f3cos 2 x.

483.

Y = arcsinx 2 +arccosx 2.

484.

Y=

485.

. x 2 -1 y =arcslU--. x2

486.

x y=arcsin ~. l+x2

487.

arccos x y=--Jl-x 2 ·

488.

1 arcslU . (x Y = .fb

489.

y=

490.

. x Y = x~ a -x +a 2 arcslU-.

491.

y = arcsin (1- x) + J 2x - x 2 .

492.

y = (x-

493.

Y = ln(arcsin5x).

494.

y = arcsin (ln x).

495.

y = arctg

497.

Y = 3b 2 arctg

498.

y= -

500.

y

502.

F (t) = e· t cos f3t.

504.

y=

Y -3J(1+x) 23

I

l

~(arcsin X)2 arccos x. 2

9 3 2 I ---+---. 5(x+2)5 (X+2)4 (X+2)3 2(x+2)2

Y=

468.

y = (a+x)Ja-x.

470.

z =

469.

1y+ 5.

Y = J(x+a)(x+b)(x+c).

471. f(t) = (2t+ 1)(3t+2)V3t+2.

x=r=== .J2ay- y 2

(J l + eX -

l) - ln

(J l + eX + l).

473.

y = ln

474.

Y = -cos 3 x(3cos 2 x-5).

l 15

Y

476.

y = tg 2 5x.

J-2--2 . x a - x + a arcsll1 - . a

~2 )arcsin Fx + ~Jx-x2 2 · x sin rx 1- x cos ex

x _ (3b+2x).[i;.;.-x 2. b-x

J22arcctg tgx J2- x.

= esin2x .

~ e-

X

496.

x 2 5tg- +4 y = -arctg _ _2 3 3

J

(3 sin 3x -cos 3x).

10

(tg 2 x -1)(tg 4 X + 10 tg 2 x + 1) 3tg 3 X

475.

~ -;; . a

Y = x4(a _2X 3)2.

(aa-bx" + bX")m.

467.

472.

9 5

3

=8 V(I +X 3)8 -"5 VO +X 3)5. 3

466.

4 x-2

499.

y=if

501.

F~x)

503.

y=

505.

y = x na -x .

= (2ma mx +W.

(rx sin f3x - f3 cos f3x) e'x a 2+ (32 2

l

l . ( x 2) . 477. Y =-s1o 2

506.

y = JcosxaVcosx .

507.

y = 3ctg :;-.

508.

y = In(ax2+bx+c).

509.

y = In(x+Ja 2 +x2).

510: y = x-2Jx+2In(l+Fx).

511.

y = In(a+x+J2ax+x 2).

DERIVIRANJE FUNKCIJA

54 512.

Y=--·

.

514*. Y =

.

l' _

515.

+ 1)3'

;---:

~

l

SIn

2-

X

+ln tgx

X !~2~-2 a2 / -2~-2 = --\IX -a -···-In(x+'\ x - ( I J.

518.

y

=

lnln(3-2x 3 ).

520.

y

=

12-2I n './ x + a + x 1 2'\ X +a 2 _x

522.

y

2

=

x-l

536.

= II1C05-'''-

y =]n (x-1)3(x-2) x-3

DEHlVIHAN.TE

/'( x ) -- x arcs in + x n I ~ -= -x. .

.

Y

517.

y

T ABLICNO

2

X

II1~x-_2t (x

516.

513.

In 2 x

Il

537.

Y = sh 3 2x.

Jl-x 2

538.

y = e' x ch fix.

539.

y=th 3 2x.

540.

Y = Insh2x.

541.

y = Arsh-.

542.

y = Archlnx.

543.

544.

y = Arcth(seex).

545.

546.

Y

= -(x -1) Arthx+ --x.

547.

y

=

548.

Izračunajte

x2

a2

y = Arth (tg x). V

.

2

.

y = 5In 3 (ax+b).

521.

y

tn

=-In(x

2

-il

2

sin (In x - :).

X·

519.

52:t

Y

2

n x-·a )+·_·111"'-' 2a x+a

1

x

J cos x

2

2

2

1

=

), Arth~.

J +x 2

l

2

2

2

(1 1)

I

Arshx - - X ye-2 l +x . 4

-x 2 + 2 4

y', ako je

= - ln tg- - ---:-2'S!I1

55

a) Y

X

=

b) y=xlxl.

lxi;

Konstruirajte grafove funkcija y i y'.

524.

j(x) = ';;;2;'1-ln 1 +

Jx + l 2

525.

x

Y

= J-In ·~~-::3x.:±:.i 3

sin ax

526.

Y

=

2aresm 3x + (1- arccos 3X)2

tg 528.

y=;=

532.

y

=

529.

x

1 + y sin x

ln~~---

535,

Y

= aretg ln x.

1

x-l

6

x+J

531.

J' = arctg ln

l

+ -In-·-·

3

j(X)={I.~X 551.

Izračunajte 1'(0),

1

za x":::O. za x>O.

akoje j(x) = ,,-Xcos3x.

= e -x (-3 sin 3x) - e-X cos 3x;

x ln (l+x)+aresin-. 2

552.

f(x)

=

553.

y

11:X tg3~.

--o

=

6

554.

1'(0)

= eO (-3 sin O) - eO cos O = -l.

Izračunajtej'(I).

(dYJ

, . Izracunajte -. dx x~2

Izračunajte f~(O) i F(O) za funkcije:

i:----

+2arctg'./slnx.

InO +x) -

(x # O).

Izračunajtej'(x), ako je

x

l

2

6

b) f(x)=arcsin

l 2x-1 In(x--x+ I) +-=arc(g.-~. 7

d) j(x)

a) j(x) = Jsin(x2);

3 x2+1 1 x-l l \' =--In .~- + 111---+·aretgx. . 4 x2- l 4 x +1 2

j(x) =

550.

3 cos 3 hx .

l-Jsinx 534.

ako je J' = Inlxl

R)e.\en)e. j'(x)

. 1 . x + . -1 I n 2 x + areSIn I n areSIn n x. 2

J2-

=

3 cos bx +

I' 3 __ S~ !lX

tg'::" +2+J3 2

l' =·~arctg~ . 3 ~2

y

=

_

~ +2-J3

r--

533.

Y

Izračunajte y',

e

-------

'\( 3

530.

527.

549.

x2+x+l'

.

J3

J3

a -x

a +x

x e) j(x) = ~-l' l+e~

2

"2"'-2;

x # O;

=

x 2 sin

2..., x

. 1

e) j(x)=XSII1-, x jeO) = O;

x # O; jeO)

=

O;

x#O; j(O) =0.

r

Il

DERIVIHAN.)E FUNKCIJA

56

izračunajte

555.

Za funkciju j (x) = e-x

556.

Za funkciju j(x)

557.

Zadane su funkcije

558 .

·· j() Z a f un k CIJe x

559.

Dokažite da je derivacija parne funkcije neparna funkcija, a derivacija neparne funkcije parna funkcija.

560.

Dokažite da je derivacija

=

VI+x f

.

j (O) +x 1'(0).

ili

izračunajte j(3)+(x-3)f'(3).

y'

izračunajte l' (O). ' r . p ' (O)

(x) = tgx i rp (x) = ln (l-x),

= l-

. rp () lX =

X

l

periodične

564.

Izračunajte y'

također periodična

o -~ ln x

x e-X zadovoljava

=

jednadžbu xy'

x' 2

Pokažite da funkcija y= xe

_

l'

= (l - x) y.

-

l

Pokažite da funkcija y =

l +x xy'

=

zadovoljava

+ ln x

Izračunajte

y (y ln x-l).

Primjena prethodnog logaritmiranja funkcije ponekad pojednostavnjuje

l-x

2x

- - -2 + l+x

2x --

l+x 2

l 3 - - cos x sinx

+ 3 etg x

2sinx COS X

' .- 2 tg'x ) .

=

(sin

xy,

l _y' = 1ns1nx y =, (sin

+ xctgx;

xy (ln sin x

+ x ctg x).

Izračunajte y' primjenom prethodnog logaritmiranja funkcije y = j (x):

izračunavanja

derivacije.

=(x+ 1)(2x+ 1)(3x+ l).

566.

y

568.

Y JX(X-I

570.

)' =

572.

y = xx,

574.

Y

576.

y=x

578.

y

=

580.

y

= (arctgx)x.

=

J.

(X+2)2

567.

Y

569.

y=x .

571.

y=

!j73.

y

575.

Y

577.

y=x

579.

Y=(1+~-r

x-2

=

,

(x+l)3(x+3t

$,--o

x 2+ 1

derivaciju složene eksponencijalne funkcije y = u v,

=

~~

y'

(lny)' =L=f'(x) y f(x)'

ako su u

y' ako je y

InJ' = xln sinx;

Rješenje:

Logaritamskom derivacijom funkcije y = f (x) nazivamo derivaciju logaritma te funkcije, tj.

Nađimo

(-l)

+

2 l v' = y (. - - - - . )x l-x

jednadžbu

G. Logaritamska derivacija

Primjer.

I -

3 x

zadovoljava jednadžbu xy' = (l-x 2 )y. 565.

563.

XCO S2 X.

+ ln (I--x) - ln (I + x") + 3 ln sin x + 2ln cos x; 2

funkcija.

odakle je

562.

).

3

y'

561.* Pokažite da funkcija y

+ ~ u'

l-x +x·

. =

v' ln u

UV (

~x2 ·----~s·r13 l ,l

l, =

. rrx.lzracuna)te , . cp' (I) --o 2 1'(1) Rješenje: lny

=

ako jc

SlI1 ~

funkcije

57

TABLICo1O DERIVIRAN.IE

'p (x)

>O

v

=

'fl (x) derivabiIne.

(X_2)9

-'

.)(x-l)5(x-3)11·

~ ~ (x + 2)2 J ex + 3)3

Rješenje. Logaritmiranjem dobivamo: lny

=

v ln u.

Derivirajmo obje strane posljednje jednadžbe po x (lny)' = v' ln u

+ v (ln u)"

= if;

ili

1

_y' = v'lnu y

+v

I

=

y ( v' ln

li

sinx

~U',

U

odakle je y'

xX

=xV;

+ ~ u'

(cosx)$inx,

),

58

DERIVIRAN.JE FUNKCIJA

II

3. Derivacije funkcija koje nisu eksplicitno zadane

Dl,J{IVACUE FUNKCIJA KUJE NISU EKSPLICITNO ZADANE

:l

3°. Dell'ivacija implicitne funkcije. Ako j e zavisnos t među x i derivabiIne funkcij e y zadana u implicitnom obliku

F(x, y)=O;

1°. Deriva"'j", inveltzne funkcije. Ako je za funkciju y =f(x) derivacija Yx'# 0, \)nda je derivacija inverzne funkcije x =f- 1 (y) unda jc za izračunavanje derivacijcy:

== y'

II

(l)

jednostavnijinl slučajevima dovoljno:

1) izračunati derivaciju pn x lijeve strane jednadžbe (l'!, smatrajući y funkcijom od x;

=~~

Xy

59

2) izjedn3L'iti tu deri\'aciju s nulol11 tj. staviti da je

iJi

d '( , -fx,y)=O;

dy

3:-

dy

riješiti dobivenu jednadžbu po y'.

Primjer 3. Nađimo derivaciju y~ ako je

dx Primjer 1. Izračunajmo derivaciju

x 3+y3-3aJ\Y=0.

ako je

Xv

(2)

dx

dx

(3)

Rjc.fC/lje, Izračuna"ši derivaciju lijeve strane jednadžbe (3) i izjednačivši je s nulom, dobivamo:

y

, Riešenje. Imamo Yx=

J

x+l

x

x

1+- = - - ;

= x +- ln x

prema tome je

3x 2

Xv

=

'

x

+ 3y 2y ' -

3a(y

+ xy') =

0,

odakle je

x+

x2

~ay

),'=-'---0

ay _y2

2 '. Derivacija funkcije zadane parametarskl. Ako je zavisnost funkcije y i argumenta x zadana pomoću paran1etra t

5X = I JI =

tada je

581,

Izračunajte

derivaciju

Yx

y=x-~sinx;

x

c) y = O,ix+e 2 •

2

1/1(1),

Odredite derivaciju y'

ako je

b)

a) r=3x+x 3 ;


x~

dy --- za f unk" cIJe y, za ct ane parametarsk'I:

dx

=

l

Xr

X=-

ili drugim oznakanla

582. dy dJ

dt

dx

dx

j

{

= a cos

y = a sin

=-' ~a

dl

2at X

= 1 + t2' 585.

\ \' =

X

sin [

583.

{

(3.

584.

. , ~,d)' k . [ ,nm]cr 2. IzracunaJH10 - , a o Je dx

dx

lV=

l'

a(i-t 2 ) 1+ t 2

,

1+1 Y=

dt

R.ieJef~ic. Nalazimo da je

!x=2t-l,

l

C~lY

X /::3' =.

3at 2

l;=-_

l~

1 + t'

l)

l.

586.

cl)' dl = a cos I

f

,j;~ (y=~ X

=

X

581.

=!1+1,

{

t-l

)'=----'-.

.J t 2 + 1

~

Odatle je d_''11 d.Y

a cns

l

-- a,Sm {

ctg

I

588.

fX =

ly =

a(cost+tsint), a(sint-tcost).

589.

{

X =

y

acos 2 t,

= bsin2

t.

DERIVmAN.TE FUNKCIJA

60

590.

ly=bsin 3

i

COS3

X =

Jx=aeos 3 t.

591

1.

llEfUVACI.JE FUNKCU,\ KOJE NISU

Il

(x 2 )' = (2x),

za x = 2) sin 3 t ~

600.

vCOS 21

592.

1

593.

- arcsin Y -

594.

595.

I

597. 598.

~ + eos t -

a (In 19

y =

2 a(sinl+cosr).

dy

Izračunajte

Izračunajte

a sin a (l

~

(y =

e

-t

Izračunajte

,

=~, ako je

I

a(t-sinl),

Iy =

a(l-cosl).

2x-5y+ 10

603.

x 3

605.

J;'+ fy

607.

Y

3

+ y3

sin t

,

dx

Jr

= -,

4

-

( dY )

,ct;, ~ T t

I -

cos

11:

I

tlnt, Int Y=-, t

,{x

=

implicitnih funkcija y: x2 602. --2 a

= a3.

X-

=

J-;;

Y

609.

a cos 2 (x+ y)

611.

xy

613.

e}' =

615.

Iny+-- = c. y

617.

R'+7

=

=

b.

y2

+ '-z = b

x + y. x

=

X3 +X 2 y+y2=0.

606.

if;z+if? = U7-.

608.

y-O,3siny = x.

610.

tgy

612.

aretg(x+ y) = x.

614.

Inx+e

616.

arctg-

xy.

=

619.

Nađitey'

618.

x

u

tački

-~ x =

C.

yI, 2 = --In(x

x

carctg.L.

I.

604.

x

arclg-' . y

eteosI,

y = et sin t.

xY

2

+ y 2 ).

= yX.

M (J; l),akoje 2y = 1 + xy 3.

Rje,~e!ljr:·

21+3t 2 ,

derivirati jednadžba

a2?

=

O.

=

član

dx

Dokažite da funkcija y, zadana parametarski jednadžbama

sx =

+ y2

po

= I.

-:o

X =

ako Je

član

='--.

SIn -:;-

l - cost

dy

y'

2

x+y

fx =

dr . . za I = l, ako Je

dy za t dx

601.

2

l

cos t)

deri\'aciju

Ot e~.

t) ,

sin

' • . dv T re b a IzraCUnat1 . za dx

dx

fX = )

2'

X =

R;eIm;e,

596.

J 1+1 I

Može li se

Neka je Y=

x

x-<

61

Da li odatle slijedi da je

t

Jcos21'

y-

;" - 'lrccos -vl+r

EKSPLICITNO ZADANE

2'1;' = '\,,3 + 3 xv 2 y' Stavivši x = I i V = I. dohivamo j~.v' ~ .' I. . . .

l)(~rivirRniem dobivamo 2y = 1+ 3y',a odatle

ly=t 2 +2t 3 , 620. Izračunajte derivacije y' zadanih funkcija Y

zadovoljava jednadžbu

Y

599.

Za x

=

=

(:~y +2(:~y

2 vrijedi jednadžba

a) (x+y)3=27(x-y) h) ye Y

=

eX 1·

J

za

x

navedenim tačka ma :

x=2 i y=l;

za

x = O i y = l;

Y za e) y 2 = x + I n -x 2 = 2x.

li

x

=

I

y = 1.

DERIVIRANJE FUNKCIJA

62

4. Primjena derivacija

II

4

će

4°. Duljina tangente i normale kada je krivulja zadana u polarnim koordinatama. Ako je krivulja zadana u polarnim koordinatama jednadžbom T = J ('1'), tada kut I" koji čine tangenta MT i polarni radijus r = OAf (sl. 14) određujemo ovom formulom:

geometriji i mehanici

10. Jednadžbe tangente i normale. Iz geometrijskog smisla derivacije slijedi da jednadžba tangeme na krivulju Y = J (x) ili F (x, y) = O u tački Mo(x o, Yo) biti

Y- Yo

II

= y~(x-xo),

tg II

pn cemu je )'0 vrijednost derivacije Y' za x Xa' Pravac koji prolazi diralištem tangentu nazivamo normalom na krivulju. Za normalu dobivamo jednadžbu

x-x o + Y~(Y- Yo) među

krivuljama. Pod kutom

Y

među

= O.

Jl,fT duUilla polarne tal/gellle,

krivuljama

rz

=/1 (x)

St

tgw

y

IW.N duljina polarne normale,

= OT polarna suptangenta,

Sn = ON polarna subnorlllala.

u njihovoj zajedničkoj tački Af" (x o, YD) (sl. 12) razumijevamo kut MoA i MoB u tački Mo. analitičke

r d