Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / T / TEORIA DE CONTROLE AULA 01 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO
O processo de modelagem é uma etapa de grande importância no estudo de sistemas de controle. A modelagem é responsável pro traduzir os elementos do mundo real em termos matemáticos, ou seja, realizar o equacionamento responsável por descrever a dinâmica do sistema em estudo. Durante nosso curso iremos estudar apenas a modelagem de sistemas mecânicos e elétricos, porém, é possível modelar qualquer tipo de sistema, como por exemplo, sistemas térmicos e hidráulicos (uma boa referência de estudo para esses tipos de sistema é o livro Engenharia de Controle Moderno, do autor Katsuhiko Ogata). Nesta aula iremos abordar o processo de modelagem de sistemas mecânicos, para tal utilizaremos o método de Newton. É de grande importância ressaltar que existem diversas formas de se realizar o processo de modelagem e que abordagens distintas podem ser observadas dependendo da bibliografia de referência. 1. NOTAÇÕES
Primeiramente, com objetivo de manter uma comunicação clara e objetiva, faz-se necessário estabelecer uma notação comum. As principais variáveis utilizadas na modelagem de sistemas mecânicos são:
x, posição [m];
v, velocidade [m/s];
a, aceleração [m/s
2
];
f , força [N].
Para facilitar e resumir a notação é comum representar a velocidade v por x , uma vez que v Analogamente a aceleração a é representada por x , uma vez que a
d 2x dt 2
dx dt
.
.
2. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
Também é de grande importância estabelecer um padrão de comunicação gráfico. Qualquer dispositivo mecânico pode ser representado, basicamente, por três elementos: Massa, Mola e Amortecedor. A Tabela 1 apresenta a representação gráfica de cada um desses elementos além de outras situações que geralmente irão aparecer em nossos exercícios.
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Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação Tabela 1: Representação gráfica dos elementos utilizados na modelagem de sistemas mecânicos
Símbolo
Descrição
f
Força [N]
m
Massa [kg]
k
Mola de constante k [N/m]. Gera uma força proporcional e em sentido contrário ao deslocamento x, dada por fk k x
b
Amortecedor de constante viscosa b [N.s/m]. Gera uma força proporcional e em sentido contrário a velocidade x , dada por fb b x
m
m
Bloco de massa m com deslocamento sem atrito
b
Bloco de massa m com deslocamento com atrito viscoso de constante b. O atrito também é responsável por gerar uma força proporcional e em sentido contrário a velocidade x , dada por fb b x
x
Referência de sentido de deslocamento positivo m
3.
MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO
Para se obter o modelo matemático de um sistema mecânico recomendo realizar as três etapas a seguir: 1. DCL (Diagrama de Corpo Livre): etapa para identificar todas as forças presentes no sistema em estudo; 2. Leis dos Elementos: etapa para descrever todas as forças presentes nos elementos em estudo (massa, mola e amortecedor); 3. Leis de Interconexão: etapa para relacionar todas as forças presentes no sistema em estudo com objetivo de obter a EDM (Equação Diferencial do Movimento). 2
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Com objetivo de apresentar a aplicação das três etapas apresentadas acima no processo de modelagem de um sistema mecânico de translação iremos modelar o sistema Massa-MolaAmortecedor.
EXEMPLO 1: Obter a EDM do sistema Massa-Mola-Amortecedor apresentado na Figura 1. x k
b
m
f
Figura 1 : Sistema Massa-Mola-Amortecedor
Primeiramente antes de iniciarmos a criação do DCL vamos identificar os elementos presentes no sistema. Como podemos observar possuímos um bloco de massa m que se desloca sem atrito, uma força f responsável por fornecer "energia" ao sistema, uma mola e um amortecedor responsáveis por gerar forças contrárias a direção do movimento (neste exercício foi adotada arbitrariamente como sentido positivo o sentido da esquerda para direita como apresentado na seta de referência).
ETAPA 1: DCL Nesta etapa deve ser desenhado o corpo em estudo, bloco de massa m, e nele ser colocado todas as forças presentes no sistema, inclusive as força externa. O DCL do exemplo encontra-se na Figura 2.
Figura 2: DCL do sistema Massa-Mola-Amortecedor
Obs.: As forças f , f k e f b eram esperadas, porém, a força f i também aparece no DCL. A força f i corresponde a força de inércia, um artifício que reduz os erros durante o processo de modelagem (comprovado pelo autor deste trabalho ao longo dos anos lecionando esta disciplina).
A força f i é expressa por fi m a e possui sentido contrário ao do movimento, no caso do exemplo, para a esquerda (mesmo sentido das forças f k e f b). Finalizado o DCL pode-se se iniciar a próxima etapa.
ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS Nesta etapa deve-se listar todas as forças presentes no sistema e escrever as equações que às descrevem. Obs.: Não é necessário listar a força externa f , uma vez que esta é vista como uma constante, ou melhor, uma entrada como será visto em aulas futuras. A seguir são apresentadas as equações que descrevem cada uma das forças: vi.
fk k x
vii. viii.
fb b x
(força gerada pela mola)
(força gerada pelo amortecedor) fi m x (força de inércia)
De posse de todas as equações pode-se passar para a próxima etapa que consiste em estabelecer uma relação entre cada uma das forças e suas respectivas equações.
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ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO Uma maneira de se relacionar todas as forças pode-se dar por meio da Lei de D'Lambert que nos fornece que em um corpo de massa constante o somatório de forças externas é igual ao produto da massa e da aceleração do corpo, ou seja:
fext i M x
i
Como em nosso DCL já consideramos a força de inércia f i, também chamada de Força de
D'Lambert, apenas faz-se necessário igualar o somatório de forças à zero f i 0 .
i
Adotando forças no sentido esquerda para direita como sendo positivas, no nosso exemplo temos: f fi fb fk 0
Substituindo i, ii e iii obtidos na Etapa 2, temos: f mx bx kx
Esta equação é a EDM do problema em estudo e será utilizada futuramente para se obter a Função de Transferência do mesmo problema.
EXEMPLO 2: Obter a EDM do sistema Massa-Mola que se movimenta com atrito apresentado na Figura 3. x
k
f m
b
Figura 3: Sistema Massa-Mola com atrito
ETAPA 1: DCL f k f i
m f b
f
Este exemplo é similar ao exemplo anterior, uma vez que o atrito também é modelado como um amortecedor. Assim como o amortecedor o atrito trabalha se opondo ao movimento, ou seja, gera uma força contrária ao sentido do movimento. Diferentemente do exemplo anterior, neste exemplo apenas será apresentado a solução de cada uma das etapas, ficando a cargo do leitor a interpretação, devido o processo de resolução ser idêntico ao do Exemplo 1.
ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS i.
fk k x
ii. iii.
fb b x
ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO f fi fb fk 0 f mx bx kx
fi m x
Como podemos observar a EDM obtida no Exemplo 2 é idêntica à do Exemplo 1 isto deve-se ao fato dos dois sistemas serem equivalentes ou análogos . É extremamente comum uma mesma EDM representar sistemas distintos, esta analogia é aproveitada na modelagem de sistemas térmicos e hidráulicos. 4
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EXEMPLO 3: Obter a EDM do sistema apresentado na Figura 4. x1
Como pode-se observar neste exemplo possuímos dois corpos interligados, isto implica em uma interação entre os dois corpos que deverá ser considerada. Uma vez que existem dois corpos também será necessário elaborar dois DCL, um para cada corpo em estudo. Os elementos que interligam os dois corpos (mola e amortecedor) geram forças que devem aparecer nos DCL dos dois corpos.
x 2 k 2
k1
f
m1
b
m 2
Figura 4: Sistema com dois blocos interligados
ETAPA 1: DCL Um ponto de grande importância que deve ser considerado antes de se iniciar a construção do DCL refere-se aos deslocamentos x1 e x2. Deve-se adotar qual dos dois deslocamentos é maior, ou seja, determinar se o bloco m2 puxa o bloco m1 ou se o bloco m2 é empurrado pelo bloco m1. O autor deste trabalho particularmente prefere adotar x x 0 , fazendo com que o bloco m2 puxe o bloco m1, uma vez que a única força externa esta ligado ao corpo 2. Cabe ressaltar que a escolha de uma configuração diferente não interfere no resultado da modelagem, desde que se mantenha a coerência durante todo o processo de modelagem. 2
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Adotando x x 0 , temos: 2
1
f k2
f k1 f i1
m1
f b
f k2 f i2 f b
m2
f
Pode-se observar que os nos dois corpos foram adicionadas as forças de inércia ( f i1 e f i2), bem como as forças f k2 e f b aparecem nos dois corpos.
De posse dos dois DCL pode-se prosseguir para a próxima etapa.
ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS De forma análoga ao realizado nos outros dois exemplos lista-se todas as forças presentes no sistema e escreve-se as equações que às descrevem. i.
fk 1 k1 x1
ii.
fi1 m1 x1
iii.
fk 2 k2 x2 x1
iv.
fb b x2 x1
v.
fi 2 m2 x2
Uma atenção deve ser dada às equações iii e iv, como pode-se observar em vez de apenas um deslocamento ou uma velocidade, temos uma diferença de deslocamento x x e de velocidade 2
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x x . Isto deve-se ao fato que só aparecerá forças entre os corpos caso um dos corpos se desloque mais que o outro, ou seja, exista um movimento relativo entre os corpos. Atenção esta 2
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situação é muito comum e deve-se analisar cuidadosamente cada caso (exercício) e não decorar que entre dois corpos deve-se utilizar a diferença x x , uma vez que esta deve ser compatível às considerações adotadas bem como a dinâmica do sistema, esta é a maior fonte de erros no processo de modelagem. 2
1
ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO Assim como nos exemplos anteriores deve-se estabelecer uma relação entre as forças, a única diferença neste exemplo deve-se ao fato de ser necessário aplicar a Lei de D'Lambert para cada corpo, obtendo assim um EDM para cada corpo, como apresentado a seguir. Corpo m1
Corpo m2
fk 2 fb fi1 fk 1 0
f fi 2 fb fk 2 0
b x2 x1 k2 x2 x1 m1x1 k1x1
f m2 x2 b x2 x1 k2 x2 x1
bx2 k 2 x2 m1x1 bx1 k 1x 1 k 2x 1
f bx1 k2 x1 m2 x2 bx2 k 2 x2
(I)
( II )
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O método apresentado nesta aula é apenas uma sugestão, aos olhos do autor deste trabalho, este método é eficaz do ponto de vista de reduzir o número de erros durante o processo de modelagem, isto deve-se ao fato de cada uma das etapas conduzir o leitor a uma solução organizada e sucinta. Ao se adquirir prática no processo de modelagem, pode-se eliminar o processo em etapas, porém, neste momento inicial do estudo o autor deste trabalho pondera ser importante seguir o método sugerido. O processo de modelagem apesar de aparentar ser simples necessita de muita atenção e prática sendo necessário treinar, para tal é sugerido alguns exercícios na seqüência, caso sinta a necessidade de praticar mais, recorra a literatura especializada. 5. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Obter a EDM dos sistemas a seguir: a)
b)
x
x1 k 2
k b1
x 2
m
k1
f
f
m1
b 2
b 2
m 2
b 3
b1
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c)
d)
k
b1
k
b1
m
x1
m1
x
f
k 2
b 2
m 2
x 2
f
e)
x1 x 2
k 2
f
m 2 b1
b 3 k1
m 1
b 2
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