Mecânica dos Solos Ac A c r ésc és c i m o s d e ten t ens s õ es
Tensões normais e de cisalhamento em um plano A figura abaixo mostra um elemento bidimensional do solo que está sendo submetido a esforços normais e
de cisal isalh hame amento ( > ).
Tensões normais e de cisalhamento em um plano A figura abaixo mostra um elemento bidimensional do solo que está sendo submetido a esforços normais e
de cisal isalh hame amento ( > ).
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Para determinar estas tensões em um plano EF, que forma um ângulo com o plano AB, precisamos
considerar o diagrama de corpo livre de EFB (b).
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Sejam e as tensões normal e de cisalhamento, respe espect ctiv ivam amen entte, no plan plano o EF. EF. Temos emos:: + − = + . 2 2 + . 2 () 2 2 − = . 2 − . 2 ( ) 2 çã , é í í ℎ ℎ , , : :
2 2 = −
()
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Para ara os valor alores es forne orneci cido doss , e , a equação (III) forne ornece ce valor alores es de , distintos de 90º um do outro.
Isso significa que existem dois planos que são perpendiculares entre si, nos quais a tensão de cisalhamento é igual a zero, chamados de planos
principais.
Tensões normais e de cisalhamento em um plano As tensões principais podem são obtidos por:
Tensão principal maior + = = + 2
( − ) 2
+ ²
Tensão principal menor + = = − 2
( − ) 2
+ ²
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Obs: •
Os sinais são adotadas como positivos para as
tensões em X ou Y que estejam comprimindo (seta em direção ao centro do solo) o elemento de solo.
•
Os sinais da tensão de cisalhamento é adotado como positivo quando as componentes verticais, dos mesmo, tendem a rotacional o bloco no sentido anti-horário.
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Exemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são = 96 /², = 120 /², τ = 38 /² e = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal.
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Exemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são = 96 /², = 120 /², τ = 38 /² e = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal.
+ = = + 2
+ = = − 2
( − ) 2 ( − ) 2
+ ²
+ ²
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Exemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são = 96 /², = 120 /², τ = 38 /² e = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal. + − = + . 2 + . 2 () 2 2 − = . 2 − . 2 () 2
Tensões normais e de cisalhamento em um plano Exemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são = 96 /², = 120 /², τ = 38 /² e = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal.
2 2 = −
Mecânica dos Solos Acréscimos de tensões
Acréscimos de tensões
Ac rés ci mo s d e ten sõ es
Ac rés ci mo s d e ten sõ es
Distribuição de tensões no solo •
•
A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia. Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que:
•
os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção
0
da área carregada. Nas laterais da área carregada também ocorrem aumentos de
tensão; •
o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em qualquer profundidade;
Distribuição das tensões a diferentes profundidades
Ac rés ci mo s d e ten sõ es
Distribuição de tensões no solo •
A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia.
•
Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que:
•
os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada. Nas laterais da área
0 v
carregada também ocorrem aumentos de
tensão; •
o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em qualquer profundidade;
•
como a área de atuação aumenta, o valor das tensões verticais diminui com a profundidade.
Variação dos acréscimos da tensão vertical ao longo do eixo de simetria vertical da área carregada
Ac rés ci mo s d e ten sõ es
Bulbo de tensões •
Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras.
•
Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões.
0
P 0,8s0
1,00 P 0,50 P
0,5s0
0,2s0
0,10 P 0,1s0
Ac rés ci mo s d e ten sõ es
Bulbo de tensões •
Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras.
•
Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões.
P
Pontos de igual tensão Isóbaras
Índice
Métodos de cálculo
Métodos d e cálculo
Métodos d e cálculo
Determinação das tensões verticais Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como: •
Método do espraiamento das tensões •
Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º.
2L
v 30°
0.
2L 2L
2z.tg30º
30°
Entretanto, o método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos z.tg30°
2L
z.tg30°
efeitos.
Métodos d e cálculo
Determinação das tensões verticais Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como: •
Método do espraiamento das tensões •
Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º.
2L
v
30°
0.
2L 2L
2z.tg30º
30° •
Se a área carregada for quadrada ou circular, os cálculosEntretanto, serão semelhantes, considerando-se o método do o espraiamento em todas as direções. espraiamento não satisfaz
z.tg30°
2L
z.tg30°
o
princípio da superposição dos efeitos.
Determinação das tensões verticais Exemplo: Calcule os acréscimos de tensão pela prática do “espraiamento das tensões” de uma construção industrial que apresenta uma planta retangular, com 12 m de largura e 48 m de comprimento, e vai aplicar ao terreno uma pressão uniformemente distribuída de 50kPa. Calcule o valor da tensão para z= 0 m, 2 m, 4 m, 10 m, 20 m.
s v
s 0 .
2 L 2 L 2 z.tg 30º
s v
s 0 .
A0 Aespraiada
Métodos d e cálculo
Determinação das tensões verticais •
Teoria da Elasticidade
Métodos d e cálculo
Teoria da Elasticidade •
Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).
•
Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um ponto são os mesmos em qualquer direção
•
A isotropia reduz as constantes elásticas dom solo as apenas duas: módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson ()
•
Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos de uma massa de solo então ele pode ser considerado homogêneo
Métodos d e cálculo
Teoria da Elasticidade •
Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).
s
E
Ds De
Ds De e
Métodos d e cálculo
Teoria da Elasticidade •
Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos podem não satisfazer as hipóteses:
•
Comportamento linear e elástico Para que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações), tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura
•
Homogeneidade Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade
•
Isotropia O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada
Métodos d e cálculo
Teoria da Elasticidade •
Como ainda não há melhor alternativa para a análise do comportamento das obras e também porque tem tido uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, a Teoria da Elasticidade é aplicada como base de várias soluções desenvolvidas.
Métodos d e cálculo
Soluções com base na Teoria da Elasticidade •
Boussinesq - carga concentrada;
•
Flamant - carga ao longo de uma linha de extensão infinita;
•
Carothers-Terzaghi - carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita;
•
Osterberg - carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita;
•
Carothers - carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita;
•
Love - carga uniforme sobre superfície circular;
•
Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular:
•
•
Newmark
•
Steinbrenner
Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método das superposição de áreas (Ábaco circular de Newmark).
Solução de Boussinesq - Carga concentrada •
•
Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço. A equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q na superfície é: 3Qz
Q
3
σv
2
2
r
z
2
5
r 2
z
Sendo r e z definidos como:
v
Solução de Boussinesq - Carga concentrada •
Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga (r = 0), as tensões são iguais a:
3Qz
Q
3
σv 2
2
σv
r
0,48.Q z
2
z
2
5
r 2
z
v
Métodos d e cálculo
Solução de Boussinesq - carga concentrada •
As tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo Q infinita no ponto de aplicação. Tensão vert ical 0 2 4 6 e 8 d a d i 10 d n u f 12 o r P
14 16
18 20
20
40
60
80 100 120
Solução de Boussinesq - carga concentrada Exemplo: Considere uma carga pontual, P=5 kN. Calcule o aumento da tensão vertical a z=0, 2 m, 4 m, 6 m, 10 m e 20 m. Dados: x=3m e y=4m. 3Qz
3
σv
2
2
r
z
2
5
2
Solução de Flamant - Carga distribuída •
•
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito Exemplos
Solução de Flamant - Carga distribuída •
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito
2Qz σv
r
2
3
z
2
2
Q
r
z
Sendo r e z definidos como:
v
Solução de Flamant - Carga distribuída Exemplo: Conforme a figura abaixo, tem-se duas linhas de carga na superfície do solo. Determine o aumento de tensão no ponto A.
2Qz σv
r
2
3
z
2
2
Tensão vertical causada por um linha de carga horizontal A figura abaixo mostra uma linha de carga flexível horizontal na superfície de uma massa de solo semi-infinita. O aumento da tensão vertical no ponto A, nessa massa, pode ser dada como:
2 =
² + ²
Tensão vertical causada por um linha de carga horizontal Exemplo: Uma carga de linha inclinada com magnitude de 14,6kN/m é mostrada conforme a figura abaixo. Determine o aumento da tensão vertical no ponto A decorrente da linha de carga. Devido a carga vertical:
2 =
³ + ²
Devido a carga horizontal: 2 ² = + ²
Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro •
A figura abaixo mostra a seção transversal de um aterro de altura H. Para esta condição de carregamento bidimensional, o aumento da tensão vertical pode ser expresso como: + = . . + − . : = . = í = + = − =
Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro •
Uma forma simplificada da Equação é: = .
= çã . çã é , 1957 .
Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro á çã ã
Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro Exemplo: Um aterro é mostrado conforme abaixo. Determine o aumento da tensão sob o aterro no ponto A.
= .
+ . + − .
= .
Solução para carga distribuída em placa •
Solução de Carothers-Terzaghi, para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga uniformemente distribuída, sobre uma placa corrida, onde uma das dimensões é predominante às demais, podendo ser considerada infinita
Q v
sen
. cos
2 2b Q
z
OBS.: Ângulos em radianos.
v
Solução carregamento triangular •
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de um carregamento triangular linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito
Q
r
v
2
sen 2
r
b
2b Q
z
OBS.: Ângulos em radianos.
v
Solução de Newmark - Superfície retangular •
•
A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933) desenvolveu uma solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular, numa vertical passando por um dos vértices da área . Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas e definiu as seguintes relações: Q σ0
a.b
a a
a
y
b
x
m z
z sv
z b
n
b z
ou
m
ou
n
b z
a z
Métodos d e cálculo
Solução de Newmark para superfície retangular
•
Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é expressa pela equação:
2mn m 2 n 2 1 0,5 m 2 n 2 2 0,5 2 2 s 2mn m n 1 0 . artg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4. m n 1 m n m n 1 m n 1 m n
s
v
•
Trata-se uma solução muito trabalhosa, mas se considerarmos que a tensão num ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, a expressão pode ser reescrita como: I . 0 v
sendo I um coeficiente de influência que pode ser obtido a partir de um ábaco, em função de m e n. Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.
Métodos d e cálculo
Solução de Newmark para superfície retangular 0,25 m ≥ 10
2,0 1,6 1,4 1,2
Q σ0
a.b
a
0,20
y
b
x
1,0 0,9 0,8 0,7
z
06
0,15
sv 05
z
I
a
m
ou
z
0,10
b
m
04
z 03
n
b
ou
z
a n
0,2
z
0,05
0,00 0,01
2
3
4 5 6789
0,10
2
3
n
4 5 6789
1,00
2
3
4 5 6789
Ábaco para a solução m = 0,1 de Newmark para cargas uniformemente distribuídas em área m =0 retangular
10,00
Exercícios
Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z para a área apresentada abaixo:
d
P
-
b a
P
c
P
P
a
c
+
b
d
+
Exercícios
Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z = 10m para a área apresentada abaixo, considere so = 50 kPa: 10
P
3 7
IsA
-
3
IsA 7
IsC
+
IsB IsC
Is = IsB + IsC - IsA =
0,08
+
IsB
+
5
P
5
10
P
P
0,118
-
0,06
a=3
m
b=5
n
a=3
m
b = 10
n
a=7
m
b=5 = 0,138
3
10 3
10 5
Is 0,06 Ábaco
10 7
5
10
0,3
Is 0,08 Ábaco
1
07
10
n
0,5
10
10
0,3
,
Is 0,118 Ábaco 0,5
Exercícios
•
Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z = 10m para a área apresentada abaixo, considere so = 50 kPa:
10
P
3 7
IsA
Is =
7
-
3
IsB
+
5
P
5
10
P
P
IsC
+
0,138
sv = Is so sv = 0,138 . 50 = 6,9 kPa
Índice
Métodos d e cálculo
Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada •
As soluções são apresentada em formas de bulbos de tensões, que apresenta os coeficientes de influência (coeficiente que, multiplicado pela tensão aplicada na superfície, fornece a tensão atuante no ponto), para o cálculo das tensões verticais no interior do solo devidas a carregamento uniformemente distribuído numa área circular, na superfície do terreno.
•
Segue o ábaco:
Métodos d e cálculo
Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada
Métodos d e cálculo
Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada Exemplo: Um tanque metálico circular, com 14m de diâmetro, foi construído com fundação direta na superfície, num terreno plano e horizontal, para estocagem de combustível. O tanque deverá transmitir ao terreno uma pressão de 50kPa. Para a previsão de eventuais recalques, desejam-se conhecer os acréscimos de tensão a 3,5 e a 7 m de profundidade, no centro e na periferia do tanque.
