Aturan Sin Cos Dan Luas Segitiga

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Kegiatan Belajar 5 A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 5, diharapkan siswa dapat a. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan sinus b. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan kosinus c. Menghitung luas segitiga sembarang

B. Uraian Materi 4

Aturan Sinus Untuk memahami aturan sinus maka lakukan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.1

Tujuan kegiatan : Menemukan aturan aturan sinus Permasalahan

: Bagaimana Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut) jika diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi.

Kegiatan C

Perhatikan gambar di samping, maka

β

diketahui

E a

∠

b

CAB = θ, ∠ ABC = = ά,

∠ BCA

=β

AC = b, AB = c dan BC = a θ A

ά

∟

D

c

B

��

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1) Perhatikan ∆ BDC maka panjang CD adalah.

⇒ sin α =

CD

......... ⇒ CD = sin α × ........

⇒ CD = .... sin α

( persamaan 1)

2) Perhatikan ∆ ADC maka panjang CD adalah

⇒ sin θ =

CD

......... ⇒ CD = sin θ × .......

⇒ CD = ..... sin θ persamaan 2) Dengan cara subtitusi, persamaan 1) dan 2) maka didapat persamaan CD

= ..... sin α

persamaan 1) dan CD

= ..... sin θ

persamaan 2)

maka didapat persamaan

⇒ .....sin α = .....sin θ ⇒

a

=

........

..........

( persamaan 3)

sin α

3) Perhatikan ∆ AEB maka panjang panjang AE adalah.

⇒ sin α =

AE

......... ⇒ AE = sin α × ........

⇒ AE = .... sin α

( persamaan 4)

4) Perhatikan ∆ AEC maka panjang panjang AE adalah.

⇒ sin β =

AE

......... ⇒ AE = sin β × ........

⇒ AE = .... sin β

( persamaan 5)

Dari persamaan 4 dan 5 maka AE = .... sin α

( persamaan 4) dan AE = .... sin β

Diperoleh persamaan

( persamaan 5)









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Dari persamaan 3 dan 6, dapat disimpulkan bahwa a

=

........

......

......

=

sin ...

.......

Dari kegiatan di atas, dapat dirumuskan bahwandalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi- sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah θ, ά, dan β (gambar tampak pada kegiatan 5.1) berlaku aturan sinus berikut :

a

b

=

sin θ

c

=

sin α

sin β

Aturan ini dapat digunakan untuk untuk mencari unsur-unsur unsur-unsur suatu segitiga (panjang sisi dan besar besar sudut) apabila telah diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi tersebut.

Contoh : o

1. Deketahui segitiga ABC , dengan panjang AC = = 25 cm, sudut A = 60 , dan sudut o

jika sin 75 = 0,9659, tentukan panjang BC dan dan AB Penyelesaian

Buat sketsa gambarnya C 75

Maka besar sudut B adalah o

a

25 cm 60o A

Sehingga

c

B

o

∠ B =

180 – (∠ A + ∠ C)

∠ B =

180 – (60 + 75 )

∠ B =

180 – 135

∠ B =

45

o

o

o

o

o

o

o

C = 75 ,









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

⇒ ⇒

Panjang BC BC

AC

=

sin A a

sin B 25

=

sin 60o sin 45o a 25 ⇒ = 1 1 3 2 2 2

⇒

a 2

25 3

=

2

2

⇒a=

25 3

⇒a=

25 3

⇒a=

25

2

×

2

2

2 2

6 25

Jadi panjang BC adalah 

2

6 cm

Panjang AB adalah

⇒ ⇒ ⇒

AB

=

sin C c sin 75 o a 0,9659

⇒

c 2

2

=

AC

sin B 25

=

=

sin 45 o 25 1 2 2

24,1475

⇒ c = 24,1475 ×

2 2

⇒ c = 24,1475 × 2 ⇒ c = (24,1475) 2

≈

34,15

Jadi panjang AB adalah 34,15 cm









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o

2. Pada segitiga ABC, sisi AC = = 16 cm, AB = 8 2 cm, sudut B = 45 tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya. Penyelesaian

⇒

AC

sin B

⇒

C

AB

=

sin C

16

=

sin 45 o

a

8 2

16 cm

sin C

45o

 1  ⇒ 16 sin C =  2 (8 2 )  2  ⇒ sin C = ⇒ sin C = ⇒ C = 30

A

8 2 cm

B

8 16 1 2

o

maka ∠ A

o

= 180 – (∠ B B + ∠ C) C)

o o o ∠ A A = 180 – (45 + 30 ) o ∠ A A = 105

o

Jadi besar sudut A adalah 105 dan besar sudut C = = 30

o

Aturan Kosinus Untuk memahami aturan kosinus maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.2 Tujuan kegiatan : Menemukan aturan aturan kosinus Permasalahan

: Bagaimana Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut)









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Kegiatan C

θ b

a

β

ά

∟

A

D

c

B

1) Perhatikan ∆ ADC CD

⇒ sin β =

AC ⇒ CD = ...... sin β

( persamaan 1)

......

⇒ cos β =

AC ⇒ ....... = b. cos β

( persamaan2)

∆ BDC,

2) Perhatikan

d engan engan menggunakan teorema pythagoras, dengan mensubtitusikan

persamaan 1 dan 2 diperoleh 2

2

2

CB = DB + CD 2

2

2

CB = (AB – AD) + CD 2

2

2

2

CB = (AB – 2(AB)(AD) + AD ) + CD 2

2

2

2

a = (c - 2c.b.cos β +( +( ....... cos β ) ) + (…… sin β ) 2

2

2

2

2

2

2

a = c - 2cb.cos β + + b ………. + b ……… a = c - 2cb.cos β + + b (…………+ ………) 2

a = ……+ …… - 2cb.cos β

Dengan cara yang sama kita juga bisa melakukan langkah untuk sudut ά dan sudut θ. Secara umum dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi tersebut adalah β, ά dan θ, berlaku aturan kosinus sebagai berikut :

•

a2

•

2

b

=

b2

=

2

a

2

+ c − 2bc. cos α 2

+ c − 2ac. cos β











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Contoh : o 1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60 ,

tentukan panjang sisi AB Penyelesaian C

60o

4 cm

6 cm

A

B

⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2

−

2( AC )( BC ). cos C

⇒ AB 2

=

⇒ AB

=

36 + 16 − 2(24)( 12 )

⇒ AB

=

52 − 24

⇒ AB

=

28

⇒ AB

=

2 7

62

+

42

−

2(6)(4). cos 60 o

Jadi panjang sisi AB adalah 2 7 cm

2. Diketahui segitiga ABC , dengan AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 5 cm, tentukan tentukan sin A Penyelesaian C

60o 8 cm

5 cm









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maka y =

r 2

− x

2

y = 196 − 121 y = 75 y = 5 3

Sehingga nilai sin A =

5 3 14

Luas Segitiga Untuk memahami menentukan luas segitiga maka kerjakan kegiatan di bawah bawah ini.

Kegiatan 5.3 Tujuan kegiatan : Menemukan rumus menghitung luas segitiga dengan perbandingan trigonometri Permasalahan

: Bagaimana Bagaimana menetukan menetukan luas luas segitiga yang diketahui unsur-unsur unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut).

Kegiatan









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Luas segitiga ABC di di atas adalah L ∆ ABC = L ∆ ABC = L ∆ ABC = L ∆ ABC =

1 2 1 2 1 2 1 2

.(alas )(tinggi )

(.......)(CD ) (......)(.............)

atau atau

..................

L ∆ ABC = L ∆ ABC =

1

(.......)(............) 2 1 ............... 2

Contoh : o

B = 30 . 1. Tentukan luas segitiga ABC , jika diketahui AB = 15 cm, BC = 10 cm, ∠ B Penyelesaian C

L

∆ ABC =

L

∆ ABC =

L

∆ ABC =

L

∆ ABC =

10 cm

30o A

15 cm

B

1 2 1 2

( AB )( BC sin 30 o ) 1  (15)(10 )  

 2 

75 2 37,5 cm

2

o

2. Tentukan luas segitiga PQR, jika diketahui ∠ P = 120 , panjang PR = 10, PQ = 8 . Penyelesaian R

L

∆ PQR =

1 2 1

(PQ )(PR )sin P ( )( )









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3. Hitunglah luas segitiga ABC , dengan panjang sisi-sisinya a = 3 m, b= 8 m, c = 9 m Penyelesaian C

Dicari

8 m

3m

dahulu

B

9 m

y

=

27 2

y

=

729 − 169

y

=

560

y

=

4 35

sin B

=

2

− 13

4 35 27

Jadi luas segitiga ABC adalah L

=

L

=

1

(9)(3)sin B 2 27  4  35   2  27 

satu

menggunakan aturan kosinus. 82

A

salah

=

92

2

+ 3 − 2(9)(3). cos B

64 = 81 + 9 − 54. cos B cos B

=

cos B

=

cos B

=

64 − 90 − 54

26 54 13 27

sudutnya

dengan









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C. Rangkuman 5 A= β , ∠ B B = ά , ∠ C C = θ , Pada segitiga ABC , jika panjang AB = c, AC = b, BC = a, ∠ A= C

θ b

a

β

ά

A

B

c

berlaku : 1. Aturan sinus a

sin θ

=

b

sin α

=

c

sin β

2. Aturan kosinus 2

2

2

2

2

2

2

2

2



a = b + c – 2bc.cos ά



b = a + c – 2ac.cos β



c = a + b – 2cb.cos θ

3. Luas segitiga 

L

∆ ABC =



L

∆ ABC =



L

∆

1 2 1 2 1

bc sin β ac sin α ab sin θ











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D. Lembar Kerja 5

o

o

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 13 cm, ∠ BAC =45 dan ∠ ABC = 30 , tentukan panjang sisi AB. ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................

2. Tentukan besar sudut sudut dan panjang panjang sisi yang belum diketahui dari dari segitiga di bawah. bawah. a.

b. C

R Q









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3. Dalam segitiga ABC diketahui diketahui panjang sisi a = 7, b = 8 dan c = 9, tentukan nilai dari: a. sin A

c. sin B

e. sin C

b. tan A

d. tan B

f. sin C

................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................









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................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ 5. Tentukan luas segitiga ABC jika jika diketahui

∠ A

o

= 120 pajang AC = 10 cm dan

panjang AB = 8 cm ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... .................................. ...... ................................................... ............................................................................... ...................................................... ................................................ ...................... 6. Tentukan luas Jajargenjang ABCD di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, AD o

= 6, ∠ BAD = 60









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12 m

80o 12 m

6m 60o

120o

12 m 9m 105o

100o 15 m

................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................ ................................................... ............................................................................... ...................................................... ...................................................... ............................









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4. Sisi-sisi suatu segitiga ABC adalah 3, 3, 5 , dan 7, maka sudut terbesar dari segitiga tersebut adalah 0 0 a. 75 d. 120 0 0 b. 90 e. 150 0 c. 60 5. Dari segitiga ABC diketahui a = 4 cm, b = 3 cm. Jika luas segitiga = 6 2 cm , maka sudut C =…. 0 0 a. 120 d. 45 0 0 b. 90 e. 30 0 c. 60

9. Suatu segitiga ABC diketahui diketahui panjang BC = = 10 cm, AB = 6 cm, dan

a. 10 13

d. 10 17

b. 20 3

e.

c. 10 21

=

o

30 . luas segitiga ABC adalah… a. 60 3

d. 30

b. 30 3

e. 60

c. 15 10. Diketahui segitiga ABC , dengan BC = 3 cm, AC = 4 cm, dan

a. b.

50 c.

2 5 1 3 1 2

∠ A

cos ∠ B adalah….

maka 6. Jika dalam segitiga ABC diketahui sisi BC = 10, AC = 40, dan ∠ C = o 120 , maka AB =

∠ B

5

d.

5

e.

3

2 3 1 2

o

= 30 ,











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13. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC =10 =10 cm, dan

∠ A

c. a 7

o

= 60 . 17. Pada segitiga ABC diketahui diketahui a + b =

Panjang BC adalah.. adalah..

o

a. 2 19

d. 2 29

o

10, sudut A = 30 , dan sudut B = 45 . maka panjang sisi b adalah….

b. 3 19

e. 3 29 a. 5

2 −1

d. 10 2 + 2

b. 5 2 − 2

e. 10 1 + 2

c. 4 29 14. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang panjang sisinya 5 cm, 6 cm dan

c. 10 2 − 2 18. Pada gambar di bawah, jika PQ =









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Aturan Sin Cos Dan Luas Segitiga

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