Ataurima-Arellano M. (2014) Réplica de paper financiero con MATLAB.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Económica, Estadística y Ciencias Sociales

MATLAB para el Análisis Económico y Financiero SESIÓN No. 6

REPLICA DE PAPER “Volatility Forecast Comparison using Imperfect Volatility Proxies” Andrew Patton (2011) 1

Miguel Ataurima Arellano mataurimaa@uni [email protected] .pe

1

Journal Journal of Econometri Econometrics cs 160 (2011) 246–256

Índice 1. Introducción 1.1. Las funciones de pérdidas “robustas” . . . . . . . . . 1.2. Las funciones de pérdidas “económica” . . . . . . . . . 1.3. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Funciones de pérdida “robustas” en la literatura . . . 1.5. La Prueba de Diebold-Mariano (1995) - West (1996) . 1.6. Funciones de pérdida usadas en pruebas DMW . . . . 1.7. Una condición necesaria para robustez . . . . . . . . . 1.8. Predicción óptima bajo pérdidas MSE . . . . . . . . . 1.9. Predicción óptima bajo pérdidas MAE . . . . . . . . . 1.10. Predicciones óptimas bajo pérdidas MSE-SD . . . . . 1.11. Predicción óptima bajo diversas funciones de pérdida . 1.12. Usando mejores proxies de volatilidad . . . . . . . . . 1.13. Predicción óptima - Analítica, volatilidad constante . . 1.14. Predicción óptima - Simulación, GARCH SV . . . . . 1.15. Predicción óptima - Simulación, log-normal SV . . . . 1.16. Predicción óptima - Simulación, dos factores SV . . . 1.17. Modelos SV usados en las simulaciones . . . . . . . . . 1.18. Generalización de los resultados . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8

2. Una clase de funciones de pérdidas robustas 8 2.1. Supuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Una familia paramétrica de funciones de pérdida para la comparación de predicciones de volatilidad 9 2.3. Unidades de medida y clasificaciones de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Aplicación Empírica para la predicción de la volatilidad de los retornos de IBM 9 3.1. Resultados de la regresión Mincer-Zarnowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Conclusiones

12

5. Anexo 12 5.1. Código Fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2. Fuentes de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MATLAB para el Análisis Económico y Financiero

Facultad de Ingenieria Económica, Estadística y Ciencias Sociales

REPLICA DE PAPER

1. Introducción Los esfuerzos dedicados al modelamiento econométrico y el forecasting genera una fuerte demanda por los métodos de comparación de predicción. El estudio de los métodos de evaluación y comparación tienen una larga historia, desde Cowles (1933) hasta West (2005). Sin embargo, la mayoría de los métodos existentes se basan en variables objetivo que son observables. Muchos problemas de forecasting económico involucra variables no observables: Varianza condicional o varianza integrada Probabilidades de default o probabilidades “crash” Tasa “verdaderas” de crecimiento del PBI o de la inflación (opuesto a las tasas anunciadas). La evaluación y comparación de predicción para variables latentes a menudo involucran el uso de un “proxy”, (esto es, algunas estimaciones imperfectas de la variable de interés). Por ejemplo: Usando retornos cuadrados como proxy de la varianza condicional Usando un indicador por defecto variable para aproximar las probabilidades de default condicional. El uso de proxies en la evaluación de predicción y su comparación puede o no traer complicaciones. En este paper el autor trabajó sobre los resultados de Anderson y Bollerslev (1998), Meddahi (2001), y Hansen y Lunde (2006) para mostrar dos principales resultados: 1. El autor analíticamente derivó los problemas causados por el ruido de las 9 mas comúnes funciones de pérdida, revelando que algunas son peores que otras. (Usando retornos diarios al cuadrado, el rango y la varianza realizada como proxies). 2. El autor propone una clase necesaria y suficiente de funciones de pérdida para usar con un proxy insesgado condicionalmente, pero imperfecto. (Deriva el subconjunto homogéneo de esta clase de funciones, el cual alverga las funciones de pérdida MSE y QLIKE, y provee condiciones de momento para su uso en las pruebas de comparación de predicción).

1.1. Las funciones de pérdidas “robustas” Una propiedad, primeramente considerada en Hansen y Lunde (2006), que guiará el análisis del problema de comparación de predicción es el siguiente:

 Definición 1: Una función de pérdida,

L, es “robusta” si la clasificación de cualesquiera dos (posiblemente imperfectas) predicciones de volatilidad, h1t y h 2t , mediante perdidas esperadas es el mismo que si la clasificación es hecha usando la varianza condicional verdadera, σ t2 , o cualquier proxy insesgado condicionalmente, σ ˆt2 . Esto es, si E σ ˆt2 |F t 1 = σ t2 , entonces:



−



E L σt2 , h1t

E L σt2 , h2t

      

ˆt2 , h1t ⇒ E L σ

ˆt2 , h2t E L σ

      

1.2. Las funciones de pérdidas “económica” El escenario ideal en forecasting es cuando el completo problema de decisión del usuario de la predicción es conocido por el productor de la predicción. En tales casos preferimos usar ls funciónes de pérdidas “económicas” relevantes - ver West, et al. (1993), Fleming, et al. (2001) o Engle, et al. (1993) como ejemplos. En tales casos la predicción se converite solo en un input para la decisión, y la predicción de volatilidad óptima no será generalmente la verdadera varianza condicional. Desafortunadamente, la función de pérdidas económica del usuario de una predicción de volatilidad es usualmente desconocida, lo que nos lleva a funciones de pérdida “estadística”. Este paper provee una guía acerca de la elección de funciones de pérdidas estadística para el forecasting de volatilidad.

EXPOSITOR: Miguel Ataurima Arellano

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1.3. Notación Retornos : r t |F t 1 ∼ F t 0, σt2 Retornos Estandarizados :  t ≡ rt /σt ∼ F t (0, 1)

      

−

Varianza : V t

1 [rt ]

−

= E t

1

rt2 = σ t2

1

σ ˆt2 = σ t2

−

Proxy de la volatilidad : σ ˆt2 , tal que E t

−

Predicción de volatilidad ‘optima’ : h t = arg m´ın E t ∗

−

ht

L σ ˆt2 , ht

1

1.4. Funciones de pérdida “robustas” en la literatura Meddahi (2001) mostró que el R 2 de la regresión Mincer-Zarnowitz σ ˆt2 = β 0 + β 1 hit + eit

arroja una clasificación robusta de predicciones de volatilidad. Hansen y Lunde (2006) mostraron que el R2 a partir de la regresión MZ en logaritmos no es robusta. Además, Hansen y Lunde (2006) proporcionan una condición suficiente para que una función de pérdida sera robusta ∂ 3 L σ ˆt2 , h

  2

∂h∂ (ˆσt2 )

=0

1.5. La Prueba de Diebold-Mariano (1995) - West (1996) Esta es la prueba mas ampliamente utilizada para la comparación de predicción. Sea dt = L σ ˆt2 , h1,t − L σ ˆt2 , h2,t 2

2



 



por ejemplo d t = σ ˆt2 − h1,t − σ ˆt2 − h2,t . Si dos pronósticos arrojan la misma pérdida esperada, para alguna función de pérdida, entonces



 



H 0 : E [dt ] = 0 vs. H a : E [dt ]  =0 Esta prueba puede ser conducida mediante una prueba t, con el error estándar apropiadamente ajustado para la dependencia serial (Diebold-Mariano) y/o el error estimado en la predicción (West).

1.6. Funciones de pérdida usadas en pruebas DMW MSE : L σ ˆt2 , ht = σ ˆt2 − ht

        

        





2

σ ˆt2 ht

QLIKE : L σ ˆt2 , ht = log ht +

M SE − LOG : L σ ˆt2 , ht = log σ ˆt2 − log ht M SE − SD : L MSE − prop : L

σ ˆt2 , ht σ ˆt2 , ht

       

2

        

= σ ˆt − =

2



ht

ˆt2 σ −1 ht

2

MAE : L σ ˆt2 , ht = σ ˆt2 − ht

M AE − LOG : L σ ˆt2 , ht = log σ ˆt2 − log ht M AE − SD : L σ ˆt2 , ht = σ ˆt − MAE − prop : L


σ ˆt2 , ht

4

ht

σ ˆt2 = −1 ht

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1.7. Una condición necesaria para robustez Si una función de pérdida es “robusta” E L σt2 , h1t

E L σt2 , h2t

      

ˆt2 , h1t ⇒ E L σ

E L σ ˆt2 , h2t

      

entonces se sigue inmediatamente que la predicción óptima bajo aquella función de pérdida debe ser la varianza condicional. Podemos así verificar una condición necesaria para la robustez determinando si la función de pérdida implica ht = σ t2 . ∗

1.8. Predicción óptima bajo pérdidas MSE La pérdida MSE es la función de pérdida empleada mas común. La predicción óptima bajo pérdidas MSE es la varianza condicional verdadera: ht ≡ arg m´ın E t ∗

h

cuya condición de primer orden es ht = E t ∗

1

−

    1

−

rt2 − h

2

rt2 = σ t2

Asi, la función de pérdida satisface la condición necesaria. (Esto también satisface la condición de suficiencia de Hansen y Lunde).

1.9. Predicción óptima bajo pérdidas MAE



Una de las función de pérdida alternativa empleada comúnmente es la del criterio de error absoluto L rt2 , ht = rt2 − ht , la cual arroja:



 

ht = Medianat 1 rt2 ν − 2 2 = σ t2 · , ν > 2 · Mediana [F 1,ν ] , si r t |F t 1 ∼ t 0, σt,ν ν = σ t2 · Mediana χ21 , si r t |F t 1 ∼ N 0, σt2 , ∗

−

≈

0,45σt2

 

−

−

 

 

por lo tanto, esta función de pérdida no satisface la condición necesaria para robustex. MAE es una función de pérdida no robusta .

1.10. Predicciones óptimas bajo pérdidas MSE-SD Otra función de pérdida común es la MSE sobre desviaciones estándar: 2

       

L rt2 , ht = |rt | − ht = (E t ∗

= =

ht

1 [|rt |])

2

−

ν − 2Γ πΓ

ν −1 2 2 σt2 si ν 2 2

los retornos tienen distribución t

2 2 σ ≈ 0,64σt2 si los retornos están distribuidos normalmente π t

Para ambas funciones de pérdida, MAE y MSE-SE, la distorción está exacerbada cuando los retornos tienen exceso de kurtosis.


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1.11. Predicción óptima bajo diversas funciones de pérdida Distribución de retornos diarios 2 rt |F t 1 ∼ 0, σt2 t 0, σt,ν N 0, σt2 σt2 σt2 σt2 exp E t 1 log ε2t σt2 0,22σt2 0,28σt2 (E t 1 [|rt |])2 0,56σt2 0,64σt2 Kurtosist 1 [rt ] σt2 6,00σt2 3,00σt2 Medianat 1 rt2 0,34σt2 0,45σt2 Medianat 1 rt2 0,34σt2 0,45σt2 2 n/a 2,73σt 2,36σt2

          

Función de Pérdida MSE, QLIKE MSE-LOG MSE-SD MSE-prop MAE MAE-SD MAE-prop

−

−

−

−

−

−

1.12. Usando mejores proxies de volatilidad Consideremos el siguiente simple DGP: hay m observaciones igualmente espaciadas por día de trading, y denotemos como r i,m,t al retorno intra diario i-ésimo del día t. rt = d ln P t = σ t dW t στ = σ t ∀ τ ∈ t − 1, t] i/m

ri,m,t ≡

i/m

ˆ

rτ dτ = σ t

(i−1)/m

{ri,m,t }m i=1 ∼

ˆ

dW τ

(i−1)/m

σ t2 m

 

iid N 0,

Un proxy de volatilidad alternativo es la “volatilidad realizada”, ver Anderson, et al. (2001a, 2003), y BarndorffNeilsen y Shepard (2002,2004): m

(m) RV t



≡

2 ri,m,t

i=1

Otra alternativa comúnmente usada a los retornos al cuadrado es el rango intra diario, ver Parkinson (1980) y Feller (1951): RGt ≡ sup log P τ − ´ınf log P τ , t − 1 < τ ≤ t τ

τ

La comparación de eficiencia bajo este DGP es: −

M SE t

1

−

MSE t

rt2 = 2σt4

    

MSE t

1

(m)

RV t

1

−

RGt 2 ∗

= 2σt4 /m ≈

0,4073σt4

1.13. Predicción óptima - Analítica, volatilidad constante Función de Pérdida MSE, QLIKE MSE-LOG MSE-SD MSE-prop MAE MAE-SD MAE-prop


Rango σt2 0,85σt2 0,92σt2 1,41σt2 0,83σt2 0,83σt2 1,19σt2

Volatilidad Realizada 30-min: 5-min: Verdadera: m = 13 m = 78 m→∞ 2 2 σt σt σt2 0,91σt2 0,98σt2 σt2 0,96σt2 0,99σt2 σt2 2 2 1,15σt 1,03σt σt2 0,95σt2 0,99σt2 σt2 0,95σt2 0,99σt2 σt2 1,10σt2 1,02σt2 σt2

Diario: m = 1 σt2 0,28σt2 0,56σt2 3,00σt2 0,46σt2 0,46σt2 2,36σt2

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1.14. Predicción óptima - Simulación, GARCH SV Función de Pérdida MSE, QLIKE MSE-LOG MSE-SD MSE-prop MAE MAE-SD MAE-prop

Rango 0,99σt2 0,83σt2 0,91σt2 1,40σt2 0,82σt2 0,82σt2 1,18σt2

Volatilidad Realizada 30-min: 5-min: Verdadera: m = 13 m = 78 m→∞ 2 2 σt σt σt2 0,92σt2 0,98σt2 σt2 0,96σt2 0,99σt2 σt2 2 2 1,16σt 1,03σt σt2 0,94σt2 0,99σt2 σt2 0,94σt2 0,99σt2 σt2 1,10σt2 1,01σt2 σt2


1.15. Predicción óptima - Simulación, log-normal SV Función de Pérdida MSE, QLIKE MSE-LOG MSE-SD MSE-prop MAE MAE-SD MAE-prop

Rango 0,99σt2 0,83σt2 0,91σt2 1,40σt2 0,82σt2 0,82σt2 1,18σt2

Volatilidad Realizada 30-min: 5-min: Verdadera: m = 13 m = 78 m→∞ σt2 σt2 σt2 0,92σt2 0,98σt2 σt2 0,96σt2 0,99σt2 σt2 1,16σt2 1,03σt2 σt2 2 2 0,94σt 0,99σt σt2 0,94σt2 0,99σt2 σt2 1,10σt2 1,02σt2 σt2


1.16. Predicción óptima - Simulación, dos factores SV Función de Pérdida MSE, QLIKE MSE-LOG MSE-SD MSE-prop MAE MAE-SD MAE-prop

Rango σt2 0,35σt2 0,57σt2 0,79σt2 0,31σt2 0,31σt2 3,47σt2

Volatilidad Realizada 30-min: 5-min: Verdadera: m = 13 m = 78 m→∞ 2 2 σt σt σt2 0,37σt2 0,41σt2 σt2 2 2 0,58σt 0,62σt σt2 9,03σt2 6,70σt2 σt2 0,32σt2 0,35σt2 σt2 0,32σt2 0,35σt2 σt2 2 2 3,33σt 2,98σt σt2

Diario: m = 1 1,01σt2 0,12σt2 0,40σt2 20,6σt2 0,17σt2 0,17σt2 6,60σt2

1.17. Modelos SV usados en las simulaciones Para las simulaciones usaron los mismos modelos y valores de parámetros usados en Goncalves y Meddahi (2005): 1. Difusión GARCH, como en Anderson y Bollerslev (1998):



d log P t = 0,0314dt + ν t −0,576dW 1t +

 1

− 0,5762 dW 2t

dν t2 = 0,035 0,636 − ν t2 dt + 0,144ν t2 dW 1t







2. Difusión log-normal, como en Anderson, Benzoni y Lund (2002):



d log P t = 0,0314dt + ν t −0,576dW 1t +



1−

0,5762 dW 2t

d log ν t2 = −0,0136 0,8382 + log ν t2 dt + 0,1148dW 1t






7



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3. Difusión 2 factores, como en Chernov, Gallant, Ghysels y Tauchen (2003):



d log P t = 0,030dt + ν t −0,30dW 1t − 0,30dW 2t + ν t2 = s − exp −1,2 + 0,04ν 12t + 1,5ν 22t



dν 12t = −0,00137ν 12t dt + dW 1t





1−

0,32

− 0,32 dW 3t



dν 22t = −1,386ν 22t dt + 1 + 0,25ν 22t dW 2t





1.18. Generalización de los resultados

Usando una expansión de valor en media de segundo orden para L, la condición de primer orden es: 0 = E t ∂ 3 L(σ ¨t2 ,ht ) ∗

1. Si

∂ (σ

2 t

2

)

∂h

∂ 3 L(σ ¨t2 ,ht ) ∗

2. Si

2

∂ (σt2 ) ∂h

1

−

    

∂L σ ˆt2 , ht ∂h

∗

  

∂L σt2 , ht ∂ 3 L σ ¨t2 , ht 1 = + · V t 2 ∂h ∂ (σt2 ) ∂h 2

 

∗

∗

1

−

σ ˆt2



= 0 para todo σ 2 , h , entonces h t = σ t2 . Esta es un resultado de Hansen y Lunde (2006).

  

∗

> 0 para todo σ 2 , h , entonces tenemos que

∂L ∂h

< 0 implicando que ht < σt2 . Por ejemplo:

∂L ∂h

> 0 implicando que ht > σt2 . Por ejemplo:

∗

Las funciones de pérdida MSE-SD y MSE-log. ∂ 3 L(σ ¨t2 ,ht ) ∗

3. Si

2

∂ (σt2 ) ∂h

< 0 para todo σ 2 , h , entonces tenemos que

La función de pérdida MSE-prop.

∗

2. Una clase de funciones de pérdidas robustas Las funciones de pérdidas MSE y QLIKE arrojan la varianza condicional como la predicción óptima. Esto conduce a la pregunta: ¿Existe alguna clase general de tales funciones de pérdida? La siguiente proposición sugiere una clase de funciones de pérdida, relacionadas a la familia lineal - exponencial de densidades de Gourieroux, et al. (1984), y a Gourieroux, et al. (1987).

2.1. Supuestos: 1. E σ ˆt2 |F t



2. σ ˆt2 |F t

−

1

−

1 ∼



= σ t2 .

˜ el conjunto de toas las funciones de distribución continuas absolutamente sobre F t ∈ F ,

R+ .

3. L es doblemente diferenciable continuamente con respecto a h y σ ˆ 2 , y tiene un único mínimo en σ ˆ 2 = h. 4. Existe algún h t ∈ int (H) tal que h t = E t ∗

∗

5. L y F t son tales que 1

b) E t

1

−

−

c ) E t

−

1

ˆt2 , donde H es un subconjunto compacto de σ



R++ .

L σ ˆt2 , h < ∞ para algún h ∈ H;

         

a ) E t

1

−

∂L (σ ˆt2 ,σt2 ) ∂h

< ∞; y

∂ 2 L(σ ˆt2 ,σt2 ) ∂h 2

< ∞ para todo t.

 Proposición 2: Manteniendo los supuestos del 1 al 5, la función de pérdida L es “robusta” si y solo si toma la siguiente forma:

˜ (h) + B σ L σ ˆt2 , h = C ˆ 2 + C (h) σ ˆ2 − h

 



 

donde B y C son diferenciables continuamente dos veces, C es una función estrictamente decreciente sobre H, ˜ y C es la anti-derivada de C .


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 Proposición 3: 1. La función de pérdida “MSE” es la única función de pérdida robusta que depende únicamente del error de predicción, σ ˆ 2 − h. 2. La función de pérdida “QLIKE” es la unica función de pérdida robusta que depende únicamente del error de predicción estandarizado, σ ˆ 2 /h.

2.2. Una familia paramétrica de funciones de pérdida para la comparación de predicciones de volatilidad Ahora buscamos una familia paramétrica de funciones de pérdida dentro la amplia clase de funciones de pérdida robustas, que contiene a las funciones de pérdida MSE y QLIKE. Observe que las funciones de pérdida MSE y QLIKE tienen condiciones de primer orden que pueden ser escritas como: ∂L σ ˆt2 , σt E t 1 = 0 = h t k 2 E t 1 σ ˆt2 − ht , k ∈ R ∂h

   ∗

−

∗

−

   ∗

−

 Proposición 4: 1. La siguiente familia de funciones

   

L σ ˆt2 , h; k =



1 σ ˆ 2b+4 − hb+2 (b+1)(b+2) 2 h−σ ˆ 2 + ˆσ 2 log σˆh , σ σ ˆ2 ˆ2 − 1, h − log h

   

−

1 b+1 b+1 h

σ ˆ 2 − h , para b ∈ / {−1, −2}

 

para b = −1 para b = −2

satisface L (h, h; k) = 0 para todo h ∈ H, y son de la forma de la Proposición 2. 2. La familia de funciones de pérdida en la parte 1 corresponde a los subconjuntos completos de funciones de pérdida robustas homogéneas. El grado de homogeneidad es igual a b + 2. L αˆ σ2 , αh = α b+2 L σ ˆ 2 , h , ∀α > 0





 

2.3. Unidades de medida y clasificaciones de predicción La elección de unidades en diversos problemas económicos y financieros es arbitrario (precios en dólares versus centavos, retornos en porcentaje versus decimales).

 Proposición 5: 1. La clasificación de cuaqluiera dos (posiblemente imperfectas) predicciones de volatilidad mediante pérdidas esperadas es invariante a un reescalamiento de los datos si la función de pérdidas es robusta y homogénea. 2. La clasificación de cuaqluiera dos (posiblemente imperfectas) predicciones de volatilidad mediante pérdidas esperadas no es invariante a un reescalamiento de los datos si la función de pérdidas es robusta pero no homogénea.

3. Aplicación Empírica para la predicción de la volatilidad de los retornos de IBM Datos diarios e intradiarios de IBM desde Enero de 1993 hasta Diciembre del 2003, 2772 observaciones. El autor considera dos modelos de volatilidad simples que son ampliamente utilizados 1 Rolling window : h 1t = 60

60



rt2

j

−

j =1

Riskmetrics : h 2t = λh2t

−

1 + (1

− λ) rt2 1 , λ = 0,94 −

Las primeras 272 observaciones (aproximadamente 1 año) son usadas para la inicialización de la estimación Riskmetrics, las 2500 últimas observaciones son usadas para comparar las predicciones. EXPOSITOR: Miguel Ataurima Arellano

9

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Diversas funciones de pérdida robustas

2.5

b=1 b=0.5 b=0 (MSE) b=−0.5 b=−1 b=−2 (QLIKE) b=−5

2

1.5 a d i d r é p

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2 hhat (r2=2)

2.5

3

3.5

Figura 1. Funciones de pérdida para diversas elecciones de b. En este ejemplo el verdadero valor es

volatilidad en el rango entre 0 y 4,

b = 0 y b =

4

σ 2 = 2,

con la predicción de −2 corresponden a las funciones de pérdida MSE y QLIKE respectivamente.

Razón de pérdida desde errores de predicción negativos hasta errores de predicción positivos 2.5 b=1 b=0.5 b=0 (MSE) b=−0.5 2 b=−1 b=−2 (QLIKE) b=−5 1.5 a d i d r é p

1

0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 1.2 1.4 Error de predicción (r2=2)

1.6

1.8

2

Figura 2. La razón de pérdidas a partir de los errores de predicción negativos hasta los errores de predicción positivos, para

diversos valores de b. En este ejemplo, el verdadero valor es σ 2 = 2, con la predicción de volatilidad en el rango entre 0 y 4, y b = −2 corresponden a las funciones de pérdida MSE y QLIKE respectivamente.


10

b = 0

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3.1. Resultados de la regresión Mincer-Zarnowitz Las regresiones MZ son σ ˆt2 = β 0 + β 1 hit + eit Proxy de Volatilidad Retornos cuadrados diarios Vol realizado 5-min 2,13 2,13

ˆ0 β (s.e.)

Rolling Window

∗

ˆ1 β

(0,48)

(0,40)

0,55

0,53

(0,09)

(0,07)

χ22 −stat ˆ0 β

25,63 2,39

43,86 2,43

(0,46)

(0,42)

ˆ1 β

0,550

∗

(s.e.)

∗

∗

(s.e.)

RiskMetrics

∗

(s.e.)

∗

∗

0,51

∗

χ22 −stat

∗

∗

(0,09)

(0,09)

32,99

35,93

∗

∗

Quedando claro que estamos comparando dos predicciones imperfectas Predicciones de varianza condicional

35

30

Rolling window a 60 días RiskMetrics

25 l a n o i c 20 i d n o c a z n 15 a i r a V

10

5

0 Jan94

Jan95

Jan96

Jan97

Jan98

Jan99

Jan00

Jan01

Jan02

Jan03

Dec03

Figura 3. Predicciones de varianza condicional para los retornos de IBM a partir de los modelos simples Rolling window - 60 días

y un RiskMetrics, Enero 1994 a Diciembre 2003.

En la siguiente tabla se presentan los estadísticos t de la prueba de Diebold y Mariano de precisión predictiva para una predicción Rolling Window a 60 días y una predicción RiskMetrics, para IBM sobre el periodo Enero 1994 a Diciembre 2003. Un estadístico t mayor a 1.96 en valor absoluto indica un rechazo de la hipótesis nula de precisión predictiva al 5 % de nivel de significancia. Estos estadísticos son marcados con asterisco. El signo del estadístico t indica cual predicción performa mejor de entre las funciones de pérdida: un estadístico t positivo indica que la predicción Rolling window produce mas grandes perdidas promedio que la predicción RiskMetrics, mientras que un signo negativo indica lo contrario. Estadístico t Función de Pérdida b = 1 b = 0 (M SE ) b = −1 b = −2 (QLIKE ) b = −5

Diario Retornos al cuadrado −1,58 −0,59 1,30 1,94 −0,17


Proxy de volatilidad 65 min. 15 min. Vol realizado Vol realizado −1,66 −1,30 −0,88 −0,03 1,04 1,65 2,21 2,73 0,25 1,63 ∗

11

∗

5 min. Vol realizado −1,35 −0,13 −1,55 2,41 0,65 ∗

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Bajo pérdidas QLIKE, Riskmetrics supera significativamente a las predicciones Rolling window. Bajo pérdidas MSE, Rolling window supera débilmente a las predicciones Riskmetrics.

4. Conclusiones Se ha mostrado algunos de los problemas a los que se arriban cuando un proxy imperfecto es empleado para comparar predicciones de volatilidad, extendiendo el trabajo de Andersen y Bollerslev (1998), Meddahi (2001) y Hansen y Lunde (2006). •

Proxies de volatilidad de mayor precisión han sido mostrados para aliviar estos problemas, pero no lo eliminan por completo.

Se ha presentado una condición necesaria y suficiente en la forma usada de las funciones de pérdida para la comparación de predicción de volatilidad, descartando algunas funciones de pérdida previamente usadas. •

Una nueva familia paramétrica de funciones de pérdida ha sido propuesta, la cual contiene a MSE y QLIKE, y trabaja con proxies de volatilidad ruidosos.

5. Anexo 5.1. Código Fuente El código fuente desarrollado por Andrew Patton (Duke University), es un conjunto de archivos M que hacen uso del Toolbox Econometrics desarrollado por James P.LeSage (University of Toledo). Los archivos M que replican las figuras del paper están organizados de la siguiente manera: Script (1): •

robust_example_code.m: código que centraliza las invocaciones a las funciones que permiten replicar

los resultados empíricos y realizar las gráficas usando una familia robusta de funciones de pérdida para la comparación de predicciones de volatilidad Funciones (5): •

dates2.m: convierte fecha en formato vectorial

•

garchsimulate.m: simula una serie de tiempo GARCH(p,q)

•

nines.m: retorna una matriz con todos los elementos en -999.99.

•

nwest.m: calcula una Regresión de Minimos Cuadrados consistente Newey-West ajustado por hete-

roscedasticidad serial. •

robust_loss_1.m: modela la familia paramétrica de funciones de pérdidas propuestas en el paper

Datos (1): •

robust_ibm_data_apr06.txt: contiene la base de datos de la serie para IBM

5.2. Fuentes de Descarga Todos los códigos desarrollados por Andrew Patton para la réplica del paper se encuentran en el archivo comprimido Patton_robust_loss_apr06.zip que puede ser descargado desde http://public.econ.duke.edu/~ap172/Patton_robust_loss_apr06.zip

El Toolbox Econometrics desarrollado por James P.LeSage se encuentra en el archivo comprimido jplv7.zip que puede ser descargado desde http://www.spatial-econometrics.com/html/jplv7.zip


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Ataurima-Arellano M. (2014) Réplica de paper financiero con MATLAB.pdf

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