Arbitraje en Un Contexto de Renta Fija Sin Riesgo

E JERCICIOS CAP CAPÍTU ÍTULO LO 2 Arbitraje en un contexto de renta fija sin riesgo

1. Suponga la existencia de cuatro bonos cupón cero con vencimientos a 1, 2, 3 y 4 años, todos ellos con nominal de 1.000 euros y cuyos precios respectivos son 910, 830, 750 y 680 euros. a) Obtenga con ellos la cartera réplica de un bono con cupón anual del 10%, nominal de 10.000 euros euros y vencimiento a 4 años. Determine el precio de esta cartera réplica. b) ¿Cuál debería ser el precio de este bono para que no se puedan realizar operacio operaciones nes de arbitraje? Ilustre una operación de arbitraje si este precio fuese 10.000 euros. c) ¿Puede valer 0,90 euros el bono básico a un año? Argumente su respuesta respuesta y determine el precio de los restantes bonos básicos. d) Obtenga la cartera réplica réplica con bonos básicos del bono con cupón anterior anterior y su precio de no arbitraarbitra je. ¿Coincid ¿ Coincidee éste con el del de l apartado apart ado b)? b) ? Argumente Argument e su respuesta. 2. En el mercado se están negociando dos bonos con las siguientes características. El primero vence dentro de un año, paga un cupón anual del 4% sobre un nominal de 1.000 euros y su precio es 1.025 euros. El segundo también vence dentro de un año pero el cupón es sólo del 3% sobre un nominal de 1.000 euros, siendo su precio 1.020 euros. Ilustre, si existe, alguna operación ventajosa de arbitraje entre estos dos bonos; en caso de no existir, explique la razón. 3. Sea un mercado financiero en el que existen tres activos valorados por el mercado. El primero, cuyo precio es 997,5 euros es un bono con cupón anual del 5%, vencimiento a 1 año y 1.000 euros de nominal; el segundo paga un cupón del 8% sobre un nominal también de 1.000 euros que vence en dos años y cuyo precio es 1.026,4 euros y el tercero vence a los tres años, cuesta hoy 947 ,2 euros y paga un cupón anual del 6%, también sobre un nominal de 1.000 euros. a) Obtenga Obtenga la cartera cartera réplica réplica con estos estos bonos de un bono con nominal nominal de 1.000 1.000 euros, euros, vencimient vencimientoo a tres años y con cupón anual del 3%. ¿Cuál es su precio? b) Repliqu Repliquee también tam bién los l os bonos bo nos básicos b ásicos a 1, 2 y 3 años y obtenga obt enga los l os precios prec ios de d e estas carteras réplica. c) Obtenga los precios precios de los bonos básicos. d) Determine el precio precio de no arbitraje arbitraje del bono del apartado apartado a). e) Determine el precio precio de no arbitraje arbitraje de un bono con cupón del 5%, con vencimiento a tres tres años y nominal de 2.000 euros. 4. Se sabe que los precios de los bonos básicos a 1 y 2 años son respectivamente, 0,95 y 0,94. a) Si supiera con certeza que el tipo de interés anual entre el periodo t = 1 y t = 2 será del 10% (el de este año es 5,26316%), ¿podría realizar alguna operación de arbitraje? b) Consid Considerando erando como ciertos los precios de los bonos básicos, ¿cuáles deberían ser los tipos de interés para este año y para el siguiente? c) Considerando como ciertos los tipos de interés, ¿cuáles deberían ser los precios de ambos bonos básicos? básicos? información sobre los activos A y B: 5. Sea un mercado donde se dispone de la siguiente información

2 / E JERCICIOS DE ECONOMÍA FINANCIERA

PRECIO A B

2 ,5 1 ,8

PAGOS t = 1 t = 2 1 2 2 0

Se pide: a) Obtener los precios de los bonos básicos. básicos. b) ¿Cuánto deben valer los lo s tipos de interés in terés entre en tre los periodos t = 0 y t = 1 ( r 1) y entre t = 1 y t = 2 ( 1r 2) para que no se produzca arbitraje arbitraje secuencial? ) c) ¿Qué operación operación de arbitraje arbitraje realizarí realizaríaa si r 1 = 1r 2 = 0 , 1 ? ¿Y ¿Y si r 1 = 1r 2 = 0 ,125? 6. Sea un mercado donde se dispone de la siguiente información sobre los activos A, B y C: PRECIO A B C

4

PAGOS t = 1 t = 2 1 6 2 5 2 7

a) ¿Puede ser PB = 4? ¿Puede ser PC = 4? Razone en base a los precios de los bonos básicos. b) Suponga que PB = 4 ,15, ¿cuál será entonces el valor de PC ? ¿Existe arbitraje con estos tres precios? c) Encuentre los pag pagos os de dos activos con precio precio igual a 6. Encuentre Encuentre asimismo los pagos del activo activo con precio igual a 6 y que pague lo mismo en los dos periodos. 7. a) Definición y utilidad de los bonos bonos básicos en la teoría teoría de valoración de los activos financieros. financieros. b) Argument Argumentee la veracidad o falsedad de la siguiente afirmació afirmación: n: “Los precios de los bonos básicos pueden entenderse como factores de descuento intertemporales”. c) Suponga que los precios precios de los bonos básicos son: son: b1 = 0 ,85 y b2 = 0 ,90. Comente la irracionalidad económica de estos valores y las operaciones de arbitraje ventajosas que surgirían con ellos. ¿Qué relación entre ambos valores esperaría esperaría en una situación de equilibrio tras la realización de todas las operaciones de arbitraje? 8. Conocidos los precios de los bonos básicos a 1 y 2 años: b1 = 0 ,95 y b2 = 0 ,90, se pide: a) Ilustre una una operación de arbitraje y cuantifique su ganancia si r 1 = 0 ,08. b) ¿Cuál debería ser r 1 para evitar tales operaciones? c) Obtener el cupón de un un bono a un año, de nominal 1.000 euros euros y que se vende en el mercado por 997 ,5 euros. d) Obtener el cupón de un un bono a dos años, de nominal nominal 1.000 euros euros y que se vende en el mercado por 1.011 euros. 9. Se sabe que un bono, A, con cupón del 2,5%, 1.000 euros de nominal y vencimiento a tres años tiene un valor en el mercado de 917,5 euros. Existe en este mercado otro bono, B, con el mismo nominal y vencimiento, pero con cupón creciente de 2% el primer año, 2,5% el segundo y 3% el tercero. a) Justifique la siguiente siguiente afirmación: “Aunque “Aunque la media de los cupones cupones del bono B coincide con el cupón del bono A, su precio de mercado debe ser inferior”.

Arbitraje en un contexto de renta fija sin riesgo (c.2) / 3

b) Si el precio del bono B es 917, ¿cuál será el precio de otro bono, C, idéntico al B excepto que los cupones son 3% el primer año, 2 ,5% el segundo y 2% el tercero? c) ¿Cuál es el nominal de otro bono, D, también con tres años al vencimiento, cupón constante del 5% y cuyo precio de no arbitraje es 788? 10. Sea un mercado financiero en el que existen tres bonos (A, B y C) con cupón a tres años. El primero, cuyo precio es 1008,5 euros, paga un cupón anual del 5%; el segundo paga un cupón anual del 4% y su precio es 980,8 euros, ambos sobre un nominal de 1.000 euros. Se sabe que la operación de comprar una unidad del bono C, comprar 0,5 unidades del bono A y vender 1,5 unidades del bono B reporta una ganancia presente de 0,05 euros sin ningún compromiso de pago futuro. a) ¿Puede determinar el precio, el nominal y el cupón del bono C? ¿Qué puede decir sobre los precios de los bonos básicos dados los precios de estos tres activos? b) ¿Cómo debería modificarse el precio del bono A para que no existiese ninguna oportunidad de arbitraje posible? c) ¿Qué puede decir ahora sobre los precios de los bonos básicos? 11. La siguiente tabla muestra los resultados de diferentes estrategias de compraventa de activos financieros. Comente razonadamente si puede o no caracterizarlas como ventajosas (de arbitraje): =0 0 ,1 0 ,1 0 0 –0 ,1 –0 ,1 t

Estrategia a) Estrategia b) Estrategia c) Estrategia d) Estrategia e) Estrategia f)

PAGOS t = 1 1 –1 –1 1 1 –1

=2 –1 1 1 –1 –1 1

t

12. Imagine un mercado donde se negocian exclusivamente dos bonos, A y B, con cupones del 10% y 5%, con dos años al vencimiento y 1.000 euros de nominal. En cada uno de los siguientes apartados se muestran dos posibles precios para estos bonos. Razone en cada caso la existencia o no de posibilidades de arbitraje e ilustre una de ellas cuando sean posibles. a) P A = b) P A = c) P A = d) P A =

990 y PB 870 y PB 1.070 y PB 970 y PB

= 895 = 835 = 985 = 885

13. Sean dos bonos con cupón, A y B, ambos con vencimiento a tres años, 1.000 euros de nominal y cupones del 3% y 4%, respectivamente, cuya diferencia en precios es 25,5 euros. Sean, asimismo, otros dos bonos, C y D, con iguales cupones y nominal que los anteriores pero vencimiento a dos años, siendo en este caso la diferencia en precios de 17,5 euros. a) ¿Puede valer el bono con cupón del 3% a tres años más que el correspondiente a dos años con igual cupón? Razone su respuesta. b) ¿Tiene alguna evidencia de la existencia de arbitraje secuencial entre estos cuatro bonos? c) Determine el precio de los dos bonos con vencimiento a tres años. d) Determine la cota máxima y mínima para el precio del bono a dos años con cupón del 3%.

Soluciones

1. a) Los precios y pagos de los cuatro bonos cupón cero citados (que llamamos A, B, C y D, respectivamente), junto con los del bono con cupón (E) se recogen en la siguiente tabla: PRECIO BONO A B C D E

=1 1.000 0 0 0 1.000 t

910 830 750 680 PE

PAGOS t = 2 t = 3 0 0 1.000 0 0 1.000 0 0 1.000 1.000

=4 0 0 0 1.000 11.000 t

Dado que los pagos de cada bono cupón cero coinciden con los cupones del bono E, la cartera que replica los pagos de este último está formada por una unidad del bono A, una del bono B, una del bono C y 11 del bono D. Su coste es, por tanto: P A + PB + PC + 11PD = 910 + 830 + 750 + 11 ! 680 = 9.970 euros.

b) Para que no puedan realizarse operaciones de arbitraje ventajosas, el precio del bono E, PE, debería ser igual al de su cartera réplica; es decir PE = 9.970 euros. Si su precio fuese 10.000 euros, superior al de su cartera réplica, estaría relativamente caro en el mercado, por lo que la operación de arbitraje consistiría en venderlo y comprar la cartera réplica. La siguiente tabla muestra el resultado de esta operación: PRECIO *Vender una unidad del bono E *Comprar la cartera réplica Resultado

+10.000 –9.970 +30

PAGOS t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 –1.000 –1.000 –1.000 –11.000 1.000 1.000 1.000 11.000 0

0

0

0

Con esta operación se obtiene una ganancia actual de 30 euros sin ningún compromiso de pago futuro; es, por tanto, una operación de arbitraje ventajosa. c) El bono básico a un año puede replicarse comprando una milésima parte (1/1.000) del bono A. El coste es 910/1.000 = 0 ,91. Alternativamente, aplicando la ecuación de valoración en ausencia de arbitraje al bono A: 910 = 1.000b1,


de donde b1 = 0 ,91. Si su precio fuese 0,90, ahora inferior al de su cartera réplica, podría realizarse la siguiente operación de arbitraje: PRECIO +0,91 –0,90

=1 –1 +1

+0,01

0

t

*Vender 1/1.000 bonos A *Comprar 1 bono básico a un año Resultado

PAGOS t = 2 t = 3

0

t

0

=4

0

Por el mismo razonamiento, los precios de los bonos básicos a 2, 3 y 4 años se obtienen como: 830 = 1.000b2 750 = 1.000b3 680 = 1.000b4, de donde se obtiene: b2 = 0 ,83 b3 = 0 ,75 b4 = 0 ,68.

d) El uso de bonos básicos simplifica enormemente la réplica de cualquier activo o cartera; basta utilizar tantos bonos básicos de cada tipo como sea el pago del activo en cada periodo. Así, para replicar los pagos del activo E (con pagos 1.000 en t = 1, 1.000 en t = 2, 1.000 en t = 3 y 11.000 en t = 4) basta utilizar 1.000 bonos básicos a un año, 1.000 bonos básicos a dos años, 1.000 bonos básicos a tres años y 11.000 bonos básicos a cuatro años. El coste de esta cartera réplica es: 1.000 ! 0,91 + 1.000 ! 0,83 + 1.000 ! 0,75 + 11.000 ! 0,68 = 9.970 euros. Evidentemente, este coste es el mismo que el del apartado b). En ambos casos se han replicado los pagos del activo E, bien con los bonos A, B, C y D (en el apartado b)), bien con los bonos básicos (en este apartado). 2. Sean A y B los dos bonos del enunciado, cuyos precios y pagos se recogen en la siguiente tabla: PRECIO BONO A B

1.025 1.020

PAGOS t = 1 1.040 1.030.

Aplicando la ecuación de valoración al primer bono: 1.025 = 1.040b1 => b1 = 0 ,9855769. Análogamente, del segundo bono: 1.020 = 1.030b1 => b1 = 0 ,9902912.


Dado que ambos bonos conllevan diferentes precios para el bono básico a un año, cualquiera de ellos debe estar mal valorado respecto del otro, por lo que existirá arbitraje ventajoso. Dado que la rentabilidad (1 + r 1 = 1/ b1) del primer bono (A) es superior a la del segundo (B), la operación de arbitraje con-sistirá en vender éste y comprar el primero. Así, la operación de arbitraje de coste nulo es: PRECIO *Vender una unidad de B *Comprar 1.020/1.025 unidades de A

+1.020 –1.020

PAGOS t = 1 –1.030 +1.034 ,9268

0

+4,9268

Resultado

Alternativamente, puede plantearse una operación con pérdida futura nula: PRECIO *Vender una unidad de B *Comprar 1.030/1.040 unidades de A

+1.020 –1.015,1442

PAGOS t = 1 –1.030 +1.030

+4,8558

0

Resultado

Nótese que 1.030/1.040 es precisamente el número de unidades del bono A que replican los pagos del bono B, aunque, como puede apreciarse, a diferente coste, lo que permite el arbitraje. 3. a) La información sobre los precios y pagos de los tres bonos del enunciado (que denominamos A, B y C, respectivamente), junto con la del bono a replicar (D) se muestra en la siguiente tabla: PRECIO BONO A B C D

=1 1.050 80 60 30 t

997 ,5 1.026,4 947 ,2 PD

PAGOS t = 2 t = 3 0 0 1.080 0 60 1.060 30 1.030

Para replicar los pagos del bono D, se buscan las unidades de bonos A (n A), bonos B (nB) y bonos C (nC ) que resuelven el siguiente sistema de ecuaciones: 30 = 1.050 n A + 80 nB + 60 nC 30 = 1.080 nB + 60 nC 1.030 = 1.060nC donde cada ecuación corresponde a cada uno de los tres periodos de tiempo en que los activos realizan sus pagos. Resolviendo el sistema sucesivamente de la última ecuación hacia arriba se obtiene la solución: n A = –0 ,02496 nB = –0 ,02621 nC = 0 ,97170.


El precio del activo D debe coincidir, para evitar las posibilidades de arbitraje, con el de su cartera réplica; es decir: PD = (–0 ,02496) ! 997,5 + (–0 ,02621) ! 1.026 ,4 + 0,97170 ! 947,2 = 868,6.

b) De forma similar a como se han replicado los pagos del bono D en el apartado anterior, el sistema para obtener la cartera réplica de cada uno de los bonos básicos es: Para el bono básico a un año: 1 = 1.050n A + 80 nB + 60 nC 0 = 1.080nB + 60 nC 0 = 1.060nC . Resolviendo sucesivamente el sistema se obtiene la solución: nC = 0 nB = 0 n A = 1/1.050.

Nótese que a la vista de la tabla de pagos de los bonos, para replicar el bono básico a un año se necesitan 1/1.050 bonos A y nada del resto. Su coste es, por tanto: 997,5/1.050 = 0 ,95. Para el bono básico a dos años: 0 = 1.050n A + 80 nB + 60 nC 1 = 1.080nB + 60 nC 0 = 1.060nC . Resolviendo de nuevo sucesivamente el sistema se obtiene: nC = 0 nB = 1/1.080 n A = –80nB/1.050 = [(–80) ! (1/1.080)]/1.050 = –80/(1.080 ! 1.050).

Intuitivamente, esta réplica consiste en lo siguiente: para obtener la unidad en t = 2 deben comprarse 1/1.080 bonos B (nB). Pero esta compra también genera los pagos no deseados en t = 1 de 80/1.080. Para desprenderse de ellos, se venden al descubierto 80/(1.080 ! 1.050) bonos A (–n A). El coste de esta doble operación es: (1/1.080) ! 1.026,4 – [80/(1.080 ! 1.050)] ! 997 ,5 = 0,88.


Para el bono básico a tres años: 0 = 1.050n A + 80 nB + 60 nC 0 = 1.080nB + 60 nC 1 = 1.060nC . Resolviendo de nuevo sucesivamente el sistema se obtiene la solución: nC = 1/1.060 nB = –60/(1.080 ! 1.060) n A = [(–60/1.060) + (80 ! 60)/(1.080 ! 1.060)]/1.050.

Para obtener la unidad que se desea replicar en t = 3 se compran 1/1.060 unidades del bono C (nC ). Como antes, esta compra también genera unos pagos no deseados en t = 1 y t = 2 de 60/1.060. Para desprenderse del cobro en t = 2 se venden al descubierto 60/(1.060 ! 1.080) bonos B (–nB). A su vez, esta venta elimina (60 ! 80)/(1.060 ! 1.080) de los pagos que se tienen en t = 1, con lo que quedarían en esta fecha (60/1.060) – (60 ! 80)/(1.060 ! 1.080). Finalmente, para eliminar esta cantidad en t = 1 deben venderse al descubierto [(60/1.060) – (60 ! 80)/(1.060 ! 1.080)]/1.050 (–n A) unidades del bono A. El coste de esta triple operación es: {[–(60/1.060) + (60 ! 80)/(1.060 ! 1.080)]/1.050} ! 997,5 + [–60/(1.060 ! 1.080)] ! 1.026,5 + (1/1.060) ! 947,2 = 0,79. c) Bajo ausencia de arbitraje, los precios de los bonos básicos coinciden con los de sus carteras réplicas. Éstos se han obtenido en el apartado anterior, y, por tanto, b1 = 0 ,95 b2 = 0 ,88 b3 = 0 ,79.

Alternativamente, podrían haberse obtenido los precios de los tres bonos básicos construyendo y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante de aplicar la ecuación de valoración a cada bono valorado en el mercado: 997,5 = 1.050b1 1.026 ,4 = 8 0 b1 + 1.080b2 947,2 = 60b1 + 60 b2 + 1.060b3, cuya solución es, obviamente, la misma obtenida previamente. d) Con los bonos básicos es muy fácil replicar (y, por tanto, obtener el precio en ausencia de arbitraje) cualquier bono o activo. Basta utilizar tantos bonos básicos de cada tipo como unidades pague el activo a replicar en el correspondiente periodo y obtener el precio de esta cartera réplica. De esta forma, en lugar de resolver un sistema como el del apartado a) para cada activo que se quiera valorar, se resuelve un sólo sistema para obtener los precios de los bonos básicos y luego la valoración es inmediata. Así, el bono D del apartado a) puede replicarse fácilmente con 30 bonos básicos a un año, 30 bonos básicos a dos años y 1.030 bonos básicos a tres años. Como a su vez estos bonos básicos pueden replicarse con los bonos A, B y C, esta cartera réplica formada por bonos básicos puede reescribirse en términos de aquellos activos; obviamente, el resultado sería el obtenido en el apartado a).


El coste de esta cartera réplica, y, por tanto, del activo D, es: 30 ! 0,95 + 30 ! 0,88 + 1.030 ! 0,79 = 868,6, que coincide exactamente con el obtenido en el apartado a). e) La estructura de pagos de este activo (E) es PRECIO BONO E

PAGOS t = 1 t = 2 t = 3 100 100 2.100

PE

Su precio de no arbitraje en base a la ecuación de valoración se obtiene calculando: 100 ! 0,95 + 100 ! 0,88 + 2.100 ! 0,79 = 1.842. 4. a) Si el tipo de interés entre t = 0 y t = 1 (r 1) es 5,26316%, el precio del bono básico a un año es: b1

=

1 1 + r 1

=

1 1 + 0,0526316

=

0,95

como, efectivamente, se dice en el enunciado. Sin embargo, si el tipo de interés entre t = 1 y t = 2 (1r 2) es 10%, el precio del bono básico a dos años sería: b2

=

1 (1 + r 1 )(1+1 r 2 )

=

0,95 = 0,8636 " 0,94 1 + 0,1

que es diferente (menor) del que se da en el enunciado. Esta diferencia permite realizar una operación de arbitraje en los siguientes términos: PRECIO *Vender 1 bono básico a dos años *Comprar 0,94/0,95 bonos básicos a un año *Prestar 0,9894736 en t = 1 al 10% Resultado

+0,94 –0,94 0

PAGOS t = 1 t = 2 –1 0,9894736 0 –0 ,9894736 1 ,0884211 +0,0884211

Alternativamente, para ilustrar la ganancia del arbitraje en el momento actual se podría haber hecho: PRECIO *Vender 1 bono básico a dos años *Prestar 0,8636 en t = 0 a un año al 5,26316% *Prestar 0,9090 en t = 1 al 10% Resultado

+0,94 –0 ,8636 +0,07636

PAGOS t = 1 t = 2 –1 0,9090 0 –0 ,9090 1 0

Nótese que ambas operaciones representan las mismas ganancias en términos de valor presente o valor en t = 2 (descontando a los tipos 5,26316% entre t = 0 y t = 1, y 10% entre t = 1 y t = 2).


b) Como se ha visto en el apartado anterior, si b1 = 0,95, el tipo de interés entre t = 0 y t = 1 ( r 1) debería ser, para evitar oportunidades de arbitraje: b1

=

1 1 + r 1

=

0,95 # r 1 = 0,0526316.

Si b2 = 0,94, el tipo de interés entre t = 1 y t = 2 (1r 2) debería ser: b2

=

b1

1+1 r 2

=

0,95 1+1 r 2

=

0,94 # 1 r 2 = 0,0106383.

Nótese que así, en la primera operación de arbitraje ilustrada, el resultado de la tercera parte de la misma sería: 0,9894736 ! (1,0106383) = 1, con lo que la ganancia total sería nula. De igual forma, en la segunda operación de arbitraje, para eliminar la ganancia en t = 2 deberíamos prestar en t = 1 la cantidad de 0,9894736 (en lugar de 0,9090); y para obtener esta cantidad debería haberse prestado en t = 0, la cantidad de 0,94 (en lugar de 0,8636), con lo que la ganancia total sería nula, de nuevo. c) Si r 1 = 0 ,0526316 Si 1r2 = 0 ,10 # b2 =

# b1

b1

1+1 r 2

=

=

1 1 + r 1

=

1 = 0 ,95 . 1 + 0,0526316

0,95 = 0,8636. 1 + 0,10

5. a) Aplicando la ecuación de valoración a los activos A y B: 2,5 = b1 + 2 b2 1,8 = 2b1 se obtiene como solución: b1 = 0 ,9 b2 = 0 ,8.

b) Conocidas las relaciones entre los precios de los bonos básicos y los tipos de interés, pueden obtenerse los segundos a través de los primeros: b1

b2

=

=

1 1 + r 1

=

)

0,9 # r 1 = 0,1

1 = 0,8 # 1 r 2 = 0,125 . (1 + r 1 )(1+1 r 2 )

c) Si r 1 = 1r 2 = 0, 1 , 1r 2 es menor de lo que debería ser (0,125), dados los precios de los activos. Por ello, una operación de arbitraje puede ilustrarse como se indica en la siguiente tabla (hay que pedir prestado en t = 1 al ser más barato de lo que debería ser, dados los precios de los activos): )


PRECIO *Comprar 1 unidad de A *Vender 1 unidad de B ) *Pedir prestado 1,8 en t = 1 al 11, 1% ) *Pedir prestado 0,72 en t = 0 al 11 , 1% Resultado

–2,5 1,8 0,72

PAGOS t = 1 t = 2 1 2 –2 0 1,8 –2 –0 ,8

+0,02

0

0

Si r 1 = 1r 2 = 0 ,125, r 1 es ahora mayor de lo que debería ser (0,1), por ello la operación de arbitraje consistirá (entre otras cosas) en prestar en t = 0, como se indica en la siguiente tabla: )

PRECIO *Vender 1 unidad de A *Comprar 1 unidad de B ) *Prestar 1, 7 en t = 1 al 12,5% *Prestar 0,6913579 en t = 0 al 12,5% Resultado

2,5 –1,8 –0 ,6913579

PAGOS t = 1 t = 2 –1 –2 2 0 ) –1, 7 2 ) 0, 7

+0,0086

0

0

6. a) Al conocer el precio del activo A, puede aplicarse la ecuación de valoración a éste para obtener la siguiente relación entre los precios de los bonos básicos: 4 = b1 +6b2 => b1 = 4 – 6b2. * Si PB fuese 4, aplicando a este activo la ecuación fundamental se tendría: 4 = 2b1 + 5 b2 = 2(4 – 6b2) + 5b2 = 8 – 7b2 => b2 = 4/7, y sustituyendo este valor en la ecuación para b1 se obtiene b1 = 4/7. Desde el punto de vista económico, no tiene sentido que los precios de los bonos básicos a uno y dos años coincidan, ya que supone que un euro en t = 2 vale lo mismo que en t = 1, y esto únicamente es posible en un contexto en el que 1r 2 = 0 (o no exista la posibilidad de prestar o pedir prestado entre t = 1 y t = 2). Nótese, además, que si A y B tuviesen el mismo precio sus pagos se valorarían igual, por lo que el euro que paga el activo B de más en t = 1 sería igual de valorado que el euro que paga de menos en t = 2. * Si PC fuese 4, aplicando ahora a este activo la ecuación fundamental se tendría: 4 = 2b1 + 7 b2 = 2(4 – 6b2) + 7b2 = 8 – 5b2 => b2 = 4/5, y sustituyendo este valor en la ecuación para b1 se obtiene b1 = – 4/5. De nuevo, no tiene sentido económico que un bono básico tenga un precio negativo. Además, los pagos del activo C son siempre superiores a los del activo A, por lo que debe tener, lógicamente, mayor precio. b) Conocidos los precios de los activos A y B, pueden obtenerse los de los bonos básicos: 4 = b1 + 6 b2 4,15 = 2b1 + 5 b2


cuya solución es: b1 = 0 ,7 b2 = 0 ,55.

Aplicando la ecuación de valoración al activo C: PC = 2 b1 + 7 b2 = 5 ,25.

Obviamente, al haber obtenido el precio del activo C a través de la ecuación fundamental de valoración de no arbitraje, no existirá posibilidad de arbitraje en este mercado. c) Los activos más fáciles de encontrar con precio igual a 6 son los dos que únicamente pagan en un periodo. Así, el activo que paga 6/0,7 en t = 1 y nada en t = 2 (6/0,7; 0), y el que paga 6/0 ,55 en t = 2 y nada en t = 1 (0; 6/0,55) tienen ambos un precio igual a 6. Para obtener los pagos del activo, idénticos en ambos periodos (X), que conlleven un precio de 6: 0,7X + 0,55X = 6 =>X = 4 ,8. 7. a) Los bonos básicos se definen como bonos cupón cero con nominal de un euro. Su utilidad es que al ser bonos con una estructura de pagos tremendamente sencilla, la réplica con ellos de cualquier otra estructura de pagos (activo) es muy fácil y directa, basta utilizar tantos bonos básicos de cada vencimiento como unidades pague el activo en cada periodo. Así, conocidos los precios de estos bonos básicos, el cálculo del precio de no arbitraje (V) para cada activo se simplifica enormemente conforme a la ecuación fundamental de valoración: T

V

=

$ b C , t

t

t =1

siendo C t el pago o flujo de caja que genera el activo que se desea valorar en cada fecha, desde t = 1 hasta t = T . b) La afirmación es correcta ya que, dada la estructura de pagos de los bonos básicos, su precio no es más que el valor actual de un euro en cada respectivo periodo. De hecho, sustituyendo en la ecuación anterior los precios de los bonos básicos en función de los correspondientes tipos de interés resulta: T

V =

$ b C t

t =1

t

=

b1C 1

+

b2C 2

+

... =

1 1 + r 1

C 1

+

1 (1 + r 1 )(1+1 r 2 )

C 2

+

...

que no es sino la expresión que actualiza la corriente de pagos C 1, C 2, ..., mediante los factores de des1 1 , , ... cuento intertemporales (1 + r 1 ) (1 + r 1 )(1+1 r 2 ) c) Los precios b1 = 0 ,85 y b2 = 0 ,90 ( b1 < b2) permiten el arbitraje secuencial, consistente en vender el bono básico a dos años y comprar el de un año. La siguiente tabla muestra esta operación y su resultado final:


PRECIO *Vender 1 unidad de bono básico a dos años *Comprar 1 unidad de bono básico a un año

0,90 – 0,85 +0,05

Resultado

PAGOS t = 1 t = 2 –1 1 0 1

–1

Nótese que el compromiso de pago en t = 2 puede satisfacerse con la ganancia obtenida en t = 1 (incluso si no se obtiene rentabilidad alguna por ella) y, además, se genera una ganancia en t = 0 positiva. Estas operaciones empujarían el precio del bono a dos años a la baja y el de un año al alza, con lo que la diferencia se reduciría; pero mientras siga existiendo, este tipo de operaciones (y sus efectos en los precios) se realizarán. Este ejemplo sirve para ilustrar que aceptando la posibilidad de prestar y pedir prestado entre t = 1 y t = 2 a un tipo de interés, 1r 2, estrictamente positivo, para que no se pueda producir arbitraje secuencial debe darse b1 > b2. (Si b1 = b2, la anterior operación no obtendría ganancia alguna en t = 0, pero el euro obtenido en t = 1 podría prestarse y obtener más de lo necesario para satisfacer el compromiso en t = 2). De hecho, la relación exacta entre los precios de ambos bonos básicos debe ser b2

=

b1 1 = . (1 + r 1 )(1+1 r 2 ) (1+1 r 2 )

8. a) Si el tipo de interés a un año, r 1, es 0,08, entonces el precio del bono básico a un año debería ser: b1

=

1 (1 + r 1 )

=

1 = 0 ,9259259 (< 0,95 ). 1 + 0,08

Para ilustrar una operación de arbitraje que aproveche esta desigualdad se vende el bono básico a un año y se presta a un año: PRECIO *Vender 1 unidad de bono básico a un año *Prestar 0,95 euros al 8%

0,95 –0 ,95 0

Resultado

PAGOS t = 1 –1 1,026 +0,026

b) Lógicamente, el tipo de interés de ausencia de arbitraje es el que cumple la ecuación: b1

=

1 (1 + r 1 )

# r 1

=

1 b1

%

1=

1 % 1 = 0 ,0526316. 0,95

Note que con este tipo de interés, la operación anterior no resultaría ya ventajosa. c) La estructura de pagos del bono con cupón a un año, nominal 1.000 euros y precio 997 ,5 sería, denominando c al cupón: PRECIO BONO 997 ,5

PAGOS t = 1 1.000 (1 + c)


Aplicando la ecuación de valoración a este bono: 997,5 = 1.000 (1 + c)b1 = 1.000 (1 + c)(0,95) => c = 0 ,05. d) De forma similar, la estructura de pagos de este segundo bono con cupón a dos años, nominal 1.000 euros y precio 1.011 sería denominando c al cupón: PRECIO BONO 1.011

PAGOS t = 1 t = 2 1.000c 1.000(1 + c)

Aplicando de nuevo la ecuación de valoración a este bono: 1.011 = 1.000cb1 + 1.000(1 + c)b2 = 1.000c(0,95) + 1.000(1 + c)(0,90) => c = 0 ,06. 9. La estructura de precios y pagos de los cuatro bonos que se citan en el enunciado es la siguiente: PRECIO BONO A B C D

917,5 917 PC

788

PAGOS t = 1 t = 2 25 25 20 25 30 25 N(0,05) N(0,05)

=3 1.025 1.030 1.020 N(1,05) t

a) La afirmación es verdadera, y la razón es el menor valor actual de las rentas obtenidas más tarde en el tiempo, por la posibilidad de prestar a un tipo de interés estrictamente positivo. El activo B paga los mismos euros que el A, pero distribuidos de forma que 5 de ellos los paga en t = 3, mientras que el A los paga en t = 1. Como la posibilidad de prestar y pedir prestado a un tipo estrictamente positivo hace que los euros más diferidos en el tiempo tengan un menor valor actual, el activo B debe valer menos que el A. Una forma alternativa de expresar lo anterior consiste en aplicar la ecuación de valoración a los activos A y B: P A = 25 b1 + 25 b2 + 1.025b3 PB = 20 b1 + 25 b2 + 1.030b3.

Operando con estas ecuaciones: P A – PB = 5 b1 – 5 b3 = 5( b1 – b3).

Como se sabe que para evitar el arbitraje secuencial b1 > b3 => P A – PB > 0 => P A > PB. b) Conociendo el precio del activo B, y utilizando las ecuaciones de valoración para los tres activos: 917,5 = 25b1 + 25 b2 + 1.025b3 917 = 20b1 + 25 b2 + 1.030b3 PC = 30 b1 + 25 b2 + 1.020b3.


De las dos primeras se obtiene: b1 – b3 = 0 ,1. De la primera y la tercera: 917,5 – PC = –5 b1 + 5 b3 = –5(b1 – b3) Y sustituyendo en esta última expresión la anterior se determina el valor de PC = 918. Alternativamente, en este caso pueden replicarse los pagos del activo C con los de A y B: 30 = 25n A + 20 nB 25 = 25n A + 25 nB 1.020 = 1.025n A + 1.030nB, con solución: n A = 2 nB = –1,

y cuyo coste es: PC = 2 P A – PB = 2 ! 917,5 – 917 = 918,

tal y como se había obtenido previamente. c) Con los tres activos A, B y C ya valorados, pueden tratar de determinarse los precios de los bonos básicos: 917,5 = 25b1 + 25 b2 + 1.025b3 917 = 20b1 + 25 b2 + 1.030b3 918 = 30b1 + 25 b2 + 1.020b3. Al ser el mercado no completo (ya que únicamente hay dos activos con pagos linealmente independientes en tres estados de la naturaleza) la solución no es única. De hecho, operando con las dos primeras ecuaciones se obtiene la condición: b1 – b3 = 0,1, que llevada a las demás implica 36 ,6 – 42b3 = b2, sin poder determinar unos únicos valores para cada precio de los bonos básicos. Una de estas múltiples soluciones es: b1 = 0 ,95 b2 = 0 ,90 b3 = 0 ,85.

Como se conoce también el valor del activo D, puede aplicarse la ecuación de valoración a este activo para obtener su nominal (N): 788 = 0,05N(0,95) + 0,05N(0,90) + 1,05N(0,85) =>N = 800. Otra posible solución es: b’1 = 0 ,951 b’2 = 0 ,858 b’3 = 0 ,851,


que conlleva un nominal de: 788 = 0,05N’(0,951) + 0,05N’(0,858) + 1,05N’(0,851) =>N’ = 800,813. 10. La siguiente tabla muestra los precios y pagos de los tres bonos que se citan en el enunciado: PRECIO BONO A B C

PAGOS t = 2 50 40 N(c)

=1 50 40 N(c)

t

1.008,5 980 ,8 PC

=3 1.050 1.040 N(1 + c) t

La operación de arbitraje que se comenta (y su resultado) se muestra a continuación: PRECIO =1 N(c) 25 –60

t

*Comprar 1 unidad de C *Comprar 0,5 de A *Vender 1,5 de B Resultado

–PC –504,25 1.471,2

PAGOS t = 2 N(c) 25 –60

+0,05

=3 N(1 + c) 525 –1.560 t

0

a) Analizando columna por columna el resultado de la operación anterior, pueden establecerse las siguientes ecuaciones: –PC – 504,25 + 1.471,2 = 0,05 N(c) + 25 – 60 = 0 N(c) + 25 – 60 = 0 N(1 + c) + 525 – 1.560 = 0. De la primera ecuación se obtiene PC = 966,9. De la segunda y la tercera: N = 1.000 y c = 0 ,035. Al existir una operación de arbitraje dados los precios de estos tres activos, resultará imposible encontrar un conjunto de precios para los bonos básicos válidos en este mercado. Si existiese, los tres activos estarían bien valorados y hubiera resultado imposible encontrar una operación como la indicada. b) Si aplicamos la ecuación a cada uno de estos tres activos se obtiene el sistema: P A’ = 50b1 + 50 b2 + 1.050b3 980 ,8 = 40b1 + 40 b2 + 1.040b3 966,9 = 35b1 + 35 b2 + 1.035b3.

Restando la segunda de la primera: P A’ – 980,8 = 10b1 + 10 b2 + 10 b3. Restando la tercera de la segunda: 13 ,9 = 5b1 + 5 b2 + 5 b3. Y operando con estas dos últimas se determina P A’ = 1.008,6.


c) Resolviendo el sistema: 1.008,6 = 50b1 + 50 b2 + 1.050b3 980,8 = 40b1 + 40 b2 + 1.040b3 966,9 = 35b1 + 35 b2 + 1.035b3, se obtiene que b3 = 0 ,8696 y b1 + b2 = 1 ,91104. Existen, por tanto, infinitos vectores de precios de los bonos básicos válidos para los precios de los tres activos del mercado. Esto indica que los pagos de los tres activos no son independientes (el mercado no es completo); de hecho, a la vista de la resolución del apartado anterior puede observarse que la ecuación para el primer activo es el resultado de sumar tres veces la del segundo activo y restar dos veces la del tercero. Además, note el lector que si tratamos de replicar los pagos del primer activo con los de los otros dos se obtiene el sistema: 50 = 40nB + 35 nC 50 = 40nB + 35 nC 1.050 = 1.040nB + 1.035nC , cuya solución es efectivamente: nB = 3 y nC = –2. Así, al ser el mercado incompleto, el vector de precios de los bonos básicos no es único; aunque, como se ve, no existe arbitraje. 11. Los argumentos para decidir lo ventajoso o no de cada una de las estrategias mostradas consisten en valorar en unidades comunes (en valor presente o futuro) la corriente de pagos que genera cada una de ellas, suponiendo, por supuesto, la posibilidad de prestar o pedir prestado entre cualquier par de periodos a un tipo de interés positivo. Así, la estrategia a) es ventajosa por que con el euro recibido ent = 1 puede obtenerse algo más (1 + 1r 2) en t = 2 de lo que debe pagarse; esto sumado a la ganancia ent = 0, garantiza un valor futuro positivo de la corriente de pagos que dependerá positivamente tanto de 1r 2 como de r 1. En términos de valor presente: 0,1 +

1 1 + r 1

%

1 > 0, &r 1 > 0,1 r 2 > 0. (1 + r 1 )(1+1 r 2 )

Por el contrario, la estrategia b) no asegura una ganancia, ya que la pérdida en t = 1 tiene un mayor valor actual que la ganancia en t = 2 (aunque sea de igual cuantía) y puede que esta diferencia supere el pago positivo en t = 0. Cuanto más pequeño sea r 1 y mayor 1r 2, más probable es que esta estrategia no sea ventajosa. De hecho, esta estrategia únicamente será ventajosa si se cumple: 0,1 %

que se da cuando:

1 r 2 <

0,1 + 0,1r 1 1 % 0,1 % 0,1r 1

1 1 + r 1

+

1 > 0, (1 + r 1 )(1+1 r 2 )

(si el denominador es positivo, como parece sensato).

Para las estrategias c) y d) basta notar que al ser los pagos nulos en t = 0 y la cuantía idéntica en los dos siguientes periodos pero de diferente signo, y dado que los pagos más alejados tienen menor valor actual que los más cercanos, la estrategia c) es con seguridad no ventajosa, mientras que la d) sí es ventajosa: 1 1 + r 1

>

1 &1 r 2 > 0. (1 + r 1 )(1+1 r 2 )


En cuanto a la estrategia e), nótese que coincide con la b) pero con los signos cambiados. Por ello, como antes, no puede asegurarse si es ventajosa o no porque dependerá de los valores de los tipos de interés entre t = 0 y t = 1 (r 1) y entre t = 1 y t = 2 (1r 2), aunque ahora será ventajosa si: 1 r 2

>

0,1 + 0,1r 1 , 1 % 0,1 % 0,1r 1

si el denominador es positivo. Finalmente, de la misma forma que la estrategia a) es siempre ventajosa, la f) nunca lo será, ya que la única ganancia en t = 2 seguro que no es suficiente para cubrir la pérdida de igual cuantía en t = 1 (se podría pedir un préstamo en t = 1, pero al disponer sólo de 1 euro en t = 2 para devolver, la cuantía de éste debería ser necesariamente inferior a la deuda en t = 1) y menos aún para cubrir adicionalmente la deuda en t = 0. 12. Los pagos de los dos bonos se muestran en la siguiente tabla: PRECIO BONO A B

P A PB

PAGOS t = 1 t = 2 100 1.100 50 1.050

Nótese, en primer lugar, que los pagos del bono A son siempre mayores que los del bono B, por lo que su precio debe ser indudablemente superior, para evitar posibilidades de arbitraje. Esto se cumple en las cuatro posibilidades que se plantean. Aun así, para garantizar la inexistencia de operaciones de arbitraje deben existir unos precios de los bonos básicos válidos para los dos bonos. Veamos esto en cada una de las situaciones planteadas. a) Si se aplica la ecuación de valoración a cada activo para determinar los precios de los bonos básicos compatibles con los de los bonos: 100b1 + 1.100b2 = 990 50b1 + 1.050b2 = 895, cuya solución es: b1 = 1 ,1 b2 = 0 ,8.

Evidentemente, el bono básico que paga una unidad en t = 1 no puede valer más de lo que paga. Esto indica que los precios de los bonos con cupón que determinan este precio permiten posibilidades de arbitraje. Para determinar en qué dirección operar para realizar arbitraje, se debe obtener la composición de la cartera réplica del bono básico a un año y venderla. Para ello, se resuelve el siguiente sistema: 100n A + 50 nB = 1 1.100n A + 1.050nB = 0,


cuya solución es: n A = 0 ,021 nB = –0 ,022.

Al vender esta cartera se debe vender el bono A y comprar el B. Supongamos que se hace en las siguientes cantidades: PRECIO

PAGOS =1 –100 52 ,380952

t

*Vender 1 unidad de A *Comprar 1.100/1.050 unidades de B

+990 –937,61905

Resultado

+52,380952

=2 –1.100 1.100 t

–47 ,619048

Sea cual sea el tipo de interés entre t = 0 y t = 1 (pero siempre será positivo), el pago a realizar en t = 1 puede cubrirse con las ganancias obtenidas con esta operación en la fecha t = 0. Por tanto, la operación anterior es una operación de arbitraje derivada de los precios de los dos bonos originales. b) Los precios de los bonos básicos compatibles con los de los bonos con cupón se obtienen ahora resolviendo: 100b1 + 1.100b2 = 870 50b1 + 1.050b2 = 835, cuya solución es: b1 = –0 ,1 b2 = 0 ,8.

De nuevo, el precio del bono básico a un año no puede ser negativo, por lo que existen operaciones de arbitraje consistentes, en este caso, en comprar este bono, o comprar A y vender B como ilustra la siguiente tabla. PRECIO

PAGOS

–870 +874,7619

=1 100 –52,380952

+4,7619

+47 ,619048

t

*Comprar 1 unidad de A *Vender 1.100/1.050 unidades de B Resultado

=2 1.100 –1.100 t

Esta operación genera ganancias positivas en dos periodos sin compromiso de pago en t = 2, por lo que es una buena operación de arbitraje. c) De nuevo, los precios de los bonos básicos compatibles con los de estos bonos se obtienen: 100b1 + 1.100b2 = 1.070 50b1 + 1.050b2 = 985,


cuya solución es: b1 = 0 ,8 b2 = 0 ,9.

Es conocido que, dado el descenso en el valor actual de los euros recibidos en periodos posteriores, el precio del bono básico a un año debe ser superior al del bono básico a dos años para evitar el arbitraje secuencial. Los precios de los bonos con cupón en este apartado llevan a unos precios de los bonos básicos que no cumplen esta condición, luego también existe arbitraje. Como el bono básico a un año es relativamente barato, las operaciones de arbitraje consisten de nuevo en comprar su cartera réplica: comprar el bono A y vender el B. La siguiente tabla ilustra una de estas operaciones: PRECIO

PAGOS =1 100 –54,314721

=2 1.100 –1.140 ,6091

45,685279

–40 ,6091

t

* Comprar 1 unidad de A *Vender 1.070/985 unidades de B

–1.070 +1.070

Resultado

t

Como ocurría en el apartado a) las pérdidas en t = 2 pueden cubrirse con las ganancias obtenidas en t = 1, por lo que esta es una buena operación de arbitraje. d) Finalmente, ahora los precios de los bonos básicos compatibles con los de los bonos se obtienen del sistema: 100b1 + 1.100b2 = 970 50b1 + 1.050b2 = 885, cuya solución es: b1 = 0 ,9 b2 = 0 ,8.

En este último caso, los precios de los bonos básicos compatibles con los de los bonos con cupón existentes en el mercado no presentan ninguna irregularidad, por lo que no es posible obtener ninguna ganancia operando con ellos. Veamos, por ejemplo, los resultados de aplicar una estrategia anterior a los precios de este apartado: PRECIO

PAGOS

+970 –927,14286

=1 –100 52 ,380952

+42,85714

–47,619048

t

*Vender 1 unidad de A *Comprar 1.100/1.050 unidades de B Resultado

=2 –1.100 1.100 t

Poniendo la pérdida en t = 1 en valor presente, descontando al tipo de interés determinado por el precio del bono básico #1, se observa que el resultado es nulo: –47,619048 ! b1 = 42 ,85714.


Nótese que la expresión anterior ofrece una forma alternativa de entender que la estrategia mostrada no es de arbitraje; se puede identificar su resultado como un activo y, como muestra tal expresión, está bien valorado. Cualquier otra estrategia que se intente generará una corriente de pagos cuyo valor actual (descontando a los tipos que determinan los precios de los bonos básicos implícitos en los precios de los bonos con cupón) será nulo. Por tanto, con estos precios no existen posibilidades de arbitraje. 13. Los pagos y precios de los cuatro bonos se muestran en la siguiente tabla: PRECIO BONO A B C D

P A PB PC PD

PAGOS t = 1 t = 2 t = 3 30 30 1.030 40 40 1.040 30 1.030 40 1.040

donde se sabe que PB – P A = 25 ,5 y PD – PC = 17 ,5. a) Aplicando la ecuación de valoración a cada bono, y considerando las diferencias en precios señaladas, deben cumplirse las siguientes dos condiciones. Por un lado, PB – P A = 25 ,5 =>40b1 + 40 b2 + 1.040b3 – (30b1 + 30 b2 + 1.030b3) = 10b1 + 10 b2 + 10 b3 = 25 ,5,

de donde b1 + b2 + b3 = 2 ,5. Y por otro, PD – PC = 17 ,5 =>40b1 + 1.040b2 – (30b1 + 1.030b2) = 10b1 + 10 b2 = 17 ,5,

de donde b1 + b2 = 1 ,75. Juntando ambas ecuaciones se obtiene: b 3 = 0 ,8 b1 + b2 = 1 ,75.

Para que el bono a tres años con cupón del 3% sea más caro que el correspondiente a dos años debe cumplirse: 30 b1 + 30 b2 + 1.030 b3 > 30b1 + 1.030 b2 #

b3 b2

>

1.000 = 0 ,9708737. 1.030

Siendo b3 = 0 ,8, la condición anterior resulta en: b2 < 0 ,824. Así, el bono a tres años y cupón del 3% sería más caro que el de dos años cuando se cumplan las condiciones: b 3 = 0 ,8 b2 < 0 ,824 b1 + b2 = 1 ,75.


Siempre que exista algún conjunto de precios de los bonos básicos que cumplan tales condiciones el bono a tres años y cupón del 3% sería más caro que el correspondiente a dos años. Uno de estos conjuntos de precios puede ser: b1 = 0 ,93 b2 = 0 ,82 b3 = 0 ,8,

con lo que P A = 30(0,93) + 30(0,82) + 1.030(0 ,8) = 876,5 > PB = 30(0,93) + 1.030(0,82) = 872,5.

Alternativamente, puede pensarse en retener en t = 2 30 de los 1.030 euros que paga el bono C e invertir los 1.000 restantes al tipo vigente entre t = 2 y t = 3, que se denota por 1r 3. Para que el bono a tres años sea más caro que el de dos años, el resultado de esta inversión debe ser inferior a 1.030: 1.000(1 + 1r 3) < 1.030 => 1r 3 < 0 ,03. Como

b2 b3

= 1 + 1r 3, y b3 = 0,8, debe cumplirse b2 < 0,824, con lo que se obtiene el mismo resultado anterior.

b) De las condiciones derivadas de las diferencias entre los precios de los diferentes bonos, b 3 = 0 ,8 b1 + b2 = 1 ,75

no puede asegurarse que exista arbitraje secuencial. Por ejemplo, el vector de precios propuesto en el apartado anterior es compatible con todos los datos del enunciado y no permite arbitraje secuencial. c) Utilizando, de nuevo, las condiciones derivadas de las diferencias en precios, se tiene que los precios de los bonos A y B son: P A = 30 b1 + 30 b2 + 1.030b3 = 30(b1 + b2) + 1.030b3 = 30(1,75) + 1.030(0 ,8) = 876,5 PB = 40 b1 + 40 b2 + 1.040b3 = 40(b1 + b2) + 1.040b3 = 40(1,75) + 1.040(0,8) = 902.

Note el lector que su diferencia es precisamente PB – P A = 25 ,5. d) Para el caso del bono a dos años y cupón del 3% se tiene: PC = 30 b1 + 1.030b2 = 30(b1 + b2) + 1.000b2 = 30(1,75) + 1.000 b2 = 52 ,5 + 1.000b2.

El precio del bono básico a dos años no se conoce, pero de la relación b1 + b2 = 1 ,75 y de las de ausencia de arbitraje secuencial, b1 < 1 y b2 < b1, se tienen los valores máximo y mínimo para él: 0,75 < b2 < 0 ,875. Así, el precio del bono C debe cumplir: 802,5 < 52,5 + 1.000b2 = PC = 52 ,5 + 1.000b2 < 927,5.

Arbitraje en Un Contexto de Renta Fija Sin Riesgo

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