Todo lo referente a Econometría I, desde su introducción hasta los temas básicos de conocimiento y buen manejo de la asignatura.Descripción completa
TM3,1 PRUIM Mis im
CONTENIDO: I.- NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES II.- FUNCIONES III.- VECTORES EN EL PLANO IV.- GEOMETRÍA ANALÍTICA V.- LÍMITES VI.- DERIVADAS VII.- APLICACIONES DE DERIVADAS VIII.- INTEGRALES
IX.- APLICACIONES DE INTEGRALES APV-MIES ` (FRQBLE` AS DE CÁLCULO I' Es una obra Legalmente registrada en eíLibro de jgistro de PPropiedadInteLectua1 bajo la resolución administrativa yV° 040/88 defInstituto Boliviano de Cultura, en favor del autor Víctor Chungara Castro, con regularización el15 deAgosto de(2002, con TTúmero de Depósito Lega[ 4-1-1153-02, en e(Rggistro de (Depósito Legal de Obras Impresas, habiéndose cumpCufo todos Los requisitos de Cey alefecto, por tanto queda absolutamente prohibido su reproducción totalo parcial
1
i NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES 1-1 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ....................... 5 1-2 TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES .......................... 6 1-3 TEOREMAS SOBRE DESIGUALDADES ............................ 8 1-4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA .................................. 10 1-5 INECUACIONES ...................................... 1 I 1-6 INECUACIONES LINEALES ................................... 11 1-7 INECUACIÓN CUADRÁTICA, GRADO MAYOR ................... 13 1-8 INECUACIONES ALGEBRAICAS ............................... .17 1-9 VALOR ABSOLUTO ...................................... 21 1-10 ECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO .......................... 23 1-11 INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO ......................... 24
III VECTORES EN EL PLANO III.1 VECTORES Y ESCALARES .................................... 77 111-2 OPERACIONES DE VECTORES ................................ 78
III-3
PRODUCTO ESCALAR ...........................
80
111-4 111-5 111-6
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ............. PROYECCIÓN ORTOGONAL ...................... LA RECTA (FORMA VECTORIAL) ..................
81 82 84
PROBLEMAS PROPUESTOS .......................
87
IV
GEOMETRÍA ANALÍTICA
IV- 1
SISTEMA DE COORDENADAS .....................
IV-2 IV-3 IV-4 IV-5 IV-6
89 LA RECTA .................................. 91 PENDIENTE DE UNA RECTA ...................... 94 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ............. 95 SECCIONES CÓNICAS ........................... 102 LA CIRCUNFERENCIA ........................... 103
IV-7
LA PARÁBOLA ................................
IV-8 IV-9
LA ELIPSE .................................. 113 LA HIPÉRBOLA ................................ 117 PROBLEMAS PROPUESTOS ....................... 121
V
LÍMITES
V-1
TEORÍA DE LÍMITES .............................
V-2 V-3
LÍMITES Al INFINITO ............................ INDETERMINACIONES ..........................
125 128 132
V-4 V-S V-6 V-7 V-8 V-9 V-10 V-1 I
LÍMITES ALGEBRAICOS .......................... LÍMITES EXPONENCIALES ........................ LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ......... ......... .:. LÍMITES LATERALES .............................. LÍMITES DE FUNCIONES ESPECIALES ................ CONTINUIDAD ................................ VERIFICACIÓN DE LÍMITES ....................... APLICACIONES DE LOS LÍMITES ................... PROBLEMAS PROPUESTOS .......................
134 142 147 155 156 157 161 162 163
109
VI DERIVADAS VI- I VI-2 VI-3 VI-4 VI-5 VI-7
DERIVADAS ................. TABLA DE DERIVADAS .......................... DERIVACIÓN DE FUNCIONES .................... DERIVABILIDAD ............................... DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR ............. ., . DERIVACIÓN IMPLÍCITA ........................ INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA ..................
167 168 173 177 181 184 189
VI-8
RECTA TANGENTE ..........................:..
190
VI-9
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS ................ 194 TEOREMAS DEL VALOR MEDIO ................... 195
VI-6
VI-10 VI-1 I VI- 12
PUNTOS CRÍTICOS ............................ CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES ................
IX APLICACIONES DE LAS INTEGRALES IX-I APLICACIONES DE INDEFINIDAS ................ ........ 293 IX-2 CALCULO DE ÁREAS POR INTEGRACIÓN ................. 294 IX-3 VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN ................. "........ 299 IX-4 LONGITUDES DE CURVA .............................. 301 IX-5 ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN ................. 302 IX-6 CENTROS GEOMÉTRICOS DE ÁREAS ..................... 304 305 ................ IX-7 APLICACIONES EN FÍSICA IX-8 APLICACIONES EN ECONOMÍA ..... ............ '. . ...... 306 IX-9 INTEGRACIÓN NUMÉRICA .................... ........ 309 PROBLEMAS PROPUESTOS ............................. 311 APÉNDICE A: ÁLGEBRA .......................... 313 APÉNDICE B: TRIGONOMETRÍA ..................... 314 APÉNDICE C: GEOMETRÍA .......................... 315 APÉNDICE D: CALCULO ............................ 316
'APUNTES Y PROBLEMAS DE CÁLCULO I'. es un Texto que contiene la teoría básica del Cálculo 1 (Cálculo ie una variable real). Problemas resueltos y Problemas Propuestos , con sus correspondientes resultados. iu contenido se adapta plenamente a los programas de estudio en actual vigencia en las Carreras de todas as Instituciones de Educación Superior . Esta nueva edición , revisada y actualizada servirá plenamente a : atedráticos y estudiantes que precisan del cálculo. Se agradecen las excelentes sugerencias brindadas por distinguidos catedráticos de Matemáticas.
0
a Autor
HE .4-
En este Capítulo se brindan los fundamentos del Sistema numérico, en particular lo relativo a los Números Reales , simbolizado por R . sus Propiedades . Teoremas. Inecuaciones y Valor Absoluto.
El Conjunto de los Números Reales R. comprende a los Números Racionales (Q) e Irracionales (Q'); por tanto incluye a los Positivos R. Negativos R', el Cero (0). Enteros (Z). Fraccionarios (L'). Naturales (N). El CALCULO I, opera con los Números Reales . de manera que todos los análisis a realizar se efectuarán con esta clase de Números. Se entiende por Axioma a ura proposición evidente por si misma , es decir que no precisa de demostración ni argumentación alguna . Un Teorema es una proposición que para ser aceptada como verdadera. antes debe ser demostrada. El Método matemático para establecer una Teoría consiste en tomar unos cuantos Axiomas, para en base a ellos establecer Teoremas, la reunión ordenada en forma sistemática de Teoremas constituye una Teoría. Sin embargo cuando se procura un enfoque práctico, no es conveniente usar directamente el concepto de Axioma. siendo mejor llamarla Propiedad. en el sentido de que se trata de una característica que cumple un Conjunto de números. Las Propiedades de los Números Reales, que constituyen el sostén básico de los Teoremas y de la Teoría del Cálculo de Números Reales son:
Si: a. b,cER Al a+b=b+a
Conmutatividad de la Suma
A2 a+(b+c)=(a+b)+c Asociatividad de la Suma A3 a + 0 = a
Existencia de Neutro Aditivo (0)
A4 a + (•a) = 0 A5 ab =ba
Existencia de Opuesto Aditivo (-a) Conmutatividad del Producto
A6 a(b c) = (a b)c
Asociatividad del Producto
A7 a•I = a
Existencia de Neutro Multiplicativo (1)
A8 a(a") = 1
Existencia de Inverso Multiplicativo (a"). a * 0
A9 a (b + c) = a b + a.c
Distributividad de Producto a Suma
Al0 a es positivo (a > 0)
ley de Tricotomía
a es Cero (a = 0) a no es positivo (a < 0) Al1 a>0.b>0.a+b>0 a>0.b>0a•b>0
Clausura de la Suma Clausura del Producto
Estas Propiedades determinan que el conjunto de los Números Reales , con las operaciones de suma y producto se constituya en una Estructura algebraica llamada CAMPO o CUERPO CONMUTATIVO . Sin embargo para una total estructuración del Cálculo de Números Rea!es, se debe agregar el llamado Axioma del Supremo 5
1
1
i
1
1
1
:I
0
1
0
-os Principales Teoremas de los Números Reales son: TI) Si: a+c=b+c= a=b
T7) - (-a) = a
TI3) -a°"= (- I)a
T2) Si: ac = b c a =b
T8) (ab) = (-a) (-b)
T14) pa =a'
T9) a (b - c) = ab - a c
T15) a°= 1 .a*0
T4) a-0 = 0
TIO) ax= b.a*0=> x=b a
T16) a-" _
T5) ab= Ó= a=0 o b = 0
Ti I) (ab)-' =a-'b
T3) Si: a + x = b x=b-a
T6)
a(-b ) = -(ab) = (-a)b
T12) a + a = 2a
5
a T17) (a m) (a n)
= a m -"
T18) (am)n = amn
Para demostrar los Teoremas de los Números Reales , se deben usar los Axiomas o Propiedades de los Números Reales, indicados anteriormente, también se pueden usar otros Teoremas. previamente demostrados.
Ei 1-1 Demostración de TI Si: a + c = b + c _* a = b Partiendo de la Proposición original
a +c = b +c
Por A4 (Existencia del Opuesto)
(-c) _ (-c) (a + c) + (-c) _ (b + c) + (-c)
Sumando (-c) á ambos miembros de la Igualdad
a +[c+(-c)] = b+[c+(-c)]
Por A2 (Asociatividad de la Suma) Por A4 (Existencia del Opuesto)
a+0 = b+0
Por A3 (Existencia del Neutro Aditivo)
a=b
Así queda demostrada el Teorema, mediante las Propiedades indicadas.. in Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales: 'a) Si: a + x = a
Este Teorema es una generalización de Ti Por la Proposición original
x=0
a +x =a
Por A4
(-a) _ (-a) (a * x) (-a) = a + (-a)
Sumando (-a)
(x+a)+(-a) =a (-a)
Por Al
x [a + ( -o)] = a + (-a)
Por A2
x+0=0 x=0
Por A4 y por A3. queda demostrado el Teorema.
b) Demostrar: 0 + 0 = 0 Usando A3, considerando que el Número Real: a. puede ser igual a a 0 = a cero.
0 0 = 0 Reemplazando, queda demostrado el Teorema. c) DemcstrarT2: Si: ac = bc , c f 0 a = b ac=b•c
Por la Proposición original
c'' = c -'
Por A8, existe el Inverso de: c. es c`
(a c)(c-') _ (b c)(c-') c(cc-') = b(c c -') a(I) ° b(I) a=b -6-
Multiplicando por c' ambos miembros Por A6 Por A8 Por A7. queda demostrado el Teorema.
e o
Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales Se inicia la demostración a partir de una Identidad
Partiendo de una Identidad Por P-1-2- a, ya demostrada
Sumando miembro a miembro Por A9 Por A4 Por P- 1 - 1 -c Existe el Números Real: ab Sumando a ambos miembros: ab Por A2, A3
(-a)(-b) + (-ab) _ (- a)(O) (-a)(-b) + (-ab).= 0 ab = ab ((-a)(-b) + (-ab )] + ab = 0 + ab (-a)(-b) + ((-ab) + ab] = ab (-a)(-b) + 0 = ab Por A4
(-a)(-b) = ab Por A3, queda demostrado el Teorema
d) Demostrar: TIO ax = b x = b: a w 0 a
ax •De la Proposición original • P o r ~ s^e : •p -',,.:. á - 0 Multiplicando ambos miembros por: a
(xa)a' ba
Por AS
x(ao '') = ba '
Por A6
x(1) ba
Por A8
x=ba' x
b
Por A7
Por convenio. a
a -
7
Para operar con- los signos de desigualdad (> Mayor, < Menor). es preciso definir lo siguiente:
!l^^llr1^') 1'jl ;ll+ b
11 efil4iil^lil1 i (
1 ^1 ii1 '
' l '(il 1
Def,i i zc;
ffl
b ifi
á
1 ;
I (^ ^ 7 i
e 1 1'^^I
Los Axiomas o Propiedades de los Números Reales: A 10. A 1 1, A 12. permiten demostrar los Teoremas sobre desigualdades, de los cuales los principales son: TD- 1 Si: a , b E R a>b , a =b. a
a >b,b>c a>c
TD-8 Si : a > b : c > 0 = ac > bc a>b:c ac
TD-3 S i : a > b a+c > b+c
TD-9 Si: a> b: c> d
TD-4 S i : a > 0 . a2 > 0
TD-10 Si : 0 < a < b a2
TD-5 1 e 1 > 0
TD- I I Si: 0 s a < b: 0 s c < d
TD-6 Si:
a > b -a < -b
TD-7 Si ab > 0
a>0 y b>0 a< 0 y b< 0
. a+ c> b+ d
b TD-12 Si: b20=> a2>b -a>a<-^-
e e e e e e
TD-13 Si: b>0=> a2
Ei I -2 Demostración de TD•2 Si:
a > b ; b > c a > c
Para la demostración se usan los Axiomas o Propiedades de los Números Reales , sobre Desigualdades y las anteriores definiciones. Partiendo de las Proposiciones originalmente dadas. a > b b > c a -b 0 b -c> 0 Por la definición: Def 1 (a - b) E R' (b - c) E R' Por A I I . Clausura de la Suma
((a - b) + (b - c)] E R' (a -e) E R' (a-c)>0 a>c
Simplificando
Por la definición: Def 1
E¡] Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades. a) TD-3 Si: a > b a + c > b+c a>b a-b>0
Por la definición Def 1
(a-b)ER
Sumando y restando: e (No afecta a la Expresión)
(a - b +c - c) E R ((j c) - (b +c)] > R' (a + c) - (b - c) > 0
Partiendo de la Proposición original
a+c>b+c
Reordenando Pcr fa definición: Def 1
e e e
b) Si: a < 0 , b < 0 = ab > 0 Variante de TD-7
Partiendo de las Proposiciones originales Por definición.
a < 0 b < 0 a R b ff R -a^R* -bER' R' (-a)(- b) E R' .8 -
ab>0
Por Al 2. Clausura del Producto de Reales. Por P-1-2-b, Teorema ya demostrado(-a)(-b) = ab
e
H
j Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales, sobre D esigualdades. a) Demostrar TD-8: Si-
a>be>0 a>b.c<0 a>b,c>0
a -b > 0
ac > be ac < be a>b,c<0 Por la Def 1
a - b > 0 ceR' (a -b) E R (-e) e R'
(a -b) E R', c e R' c(a - b) E R'
(-c)(a - b) E R'
Por 12
(ec - be) e R'
(-ac + be) E R' -ac+bc > 0
Simultáneamente se demuestran ambas Proposiciones.
ac-bc > 0
be > ac
ac > be
ac < be b) Demostrar: Si: a < 0 Si: a < 0 , a < 0 aa>0
= a2>0
Reiterando la Proposición original Por P- 1 -2-b ya demostrado, así se demuestra que todo Número Real al cuadrado es positivo.
a2>0
c) Demostrar: a 2 + b2 + c2 z ab + ac + be y a. b, e E R (a - b)2 z 0
a2-2ab+b2 z 0
a2+b2 z 2ab
(a -c)2 z 0
a2-2ac+c2 2 0
a2+c2 2 2ac
(b - c)2 i 0
b2-2ac+e2'2 0
b2+c2 2 2bc
Por P-I-4-b (Todo Número Real al cuadrado es positivo).
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 z 2ab + 2ac + 2bc a 2 + b 2 + c 2 z ab +ac +bc
Desarrollando cada binomio y sumando para cada miembro de la desigualdad.