Apuntes Variable Compleja - Castro Vidal

Matemáticas Avanzadas Funcione Funcioness de Variable Compleja Compleja Teoría Teoría,probl ,problem emas as resuel resuelto toss y propue propuesto stoss Lic.Raúl Pedro Castro Vidal Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Universidad Nacional Nacional del Callao Ingeniería Electrónica

Callao, 2014

Prólogo El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde Matemá mátticas icas Avan vanzad zadas que imparto a la primera parte del curso de Mate Ingenierí eríaa Electr Electróni ónica ca  por en la Escu Escuel elaa Acad Académ émic ico o Profe Profesi sion onal al de Ingeni varios semestres académicos. Mis agradecimientos agradecimientos a mis alumnos del curso de Matemáticas Matemáticas Avanzadas  de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad  Nacional del Callao, Callao, a mis colegas y amigos, amigos, quienes con sus inquietudes lograron que plasme estas notas de clase  a fin de facilitar el proceso de aprendizaje de los estudiantes. estudiantes . Agradeceré cualquier cualquier comentario o sugerencia que hagan llegar a rcastro235@hotmail.com.

Callao,Abril 2014. Raúl Pedro Castro Vidal.

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Prólogo El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde Matemá mátticas icas Avan vanzad zadas que imparto a la primera parte del curso de Mate Ingenierí eríaa Electr Electróni ónica ca  por en la Escu Escuel elaa Acad Académ émic ico o Profe Profesi sion onal al de Ingeni varios semestres académicos. Mis agradecimientos agradecimientos a mis alumnos del curso de Matemáticas Matemáticas Avanzadas  de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad  Nacional del Callao, Callao, a mis colegas y amigos, amigos, quienes con sus inquietudes lograron que plasme estas notas de clase  a fin de facilitar el proceso de aprendizaje de los estudiantes. estudiantes . Agradeceré cualquier cualquier comentario o sugerencia que hagan llegar a rcastro235@hotmail.com.

Callao,Abril 2014. Raúl Pedro Castro Vidal.

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Lic. Raúl Pedro Castro Vidal

´ Indice general 1. Preliminares

4

1.1. 1.1. Introdu Introducci cci´o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Represen Representaci´ taci´ on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. 1.4. Ecua Ecuaci ci´o´n del C´ırculo y de la Recta . . . . . . . . . . 13 1.5. 1.5. Proye Proyecci cci´ on o´n Estereogr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. 1.6 . Top opolog´ olog´ıa ıa en

C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. 1.7. Funcion unciones es B´ Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Funciones de Variable Compleja

25

2.1. Funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. 2.2. Algu Alguna nass fun funci cion ones es de varia ariabl blee com compl plej eja. a. . . . . . . . . 37 3. Series

43

3.1. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. 3.2. Rep Represe resen ntaci tacioones nes po porr ser serie iess de Taylor ylor . . . . . . . . . 48 3.3. Serie geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4. 3.4. Extens Extensi´ i´ on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2

Lic. Raúl Pedro Castro Vidal 3 3.5. Prolongaci´ on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6. Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . 56 4. Integraci´ on

57

4.1. Definici´ on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2. Formula de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3. Teor´ıa de indice y homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . 62 4.4. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5. Polos y residuos

74

5.1. Desarrollo en serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . 74 5.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3. C´ alculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4. Aplicai´ on del Teorema de Residuos . . . . . . . . . . 89 5.5. F´ ormula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.6. F´ ormula de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.7. Automorfismos del disco unitario . . . . . . . . . . . 104 6. Ejercicios

109

6.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Lic. Raúl Pedro Castro Vidal

Cap´ıtulo 1

Preliminares 1.1.

Introducci´ on

La primera noci´ on de un nu´mero complejo fue descubierta en conexi´ on con resolver ecuaciones cuadr´ aticas. Consideremos, por ejemplo, la ecuaci´ on z 2 + 1. Obviamente, esta no tiene soluciones reales, ya que para cualquier real x, x2 x2 + 1  >  0.

≥0y

√  La idea es escribir, formalmente, z  = ± −1; pero no existe n´ umero real cuyo cuadrado de −1. Luego, si la ecuaci´on tiene una soluci´on, debe ser en un sistema de n´ umeros mayor que el conjunto de los n´umeros reales. Este fue el problema planteado a matem´aticos por alrededor de 700 a˜nos: Extender los reales a un sistema mayor de n´ umeros en el cual la ecuaci´on z 2 + 1 puede tener una soluci´ on. C. Gauss (1780-1840) fue el primer matem´ atico en usar sistem´atica4

Lic. Raúl Pedro Castro Vidal CAP ´  ITULO 1. PRELIMINARES 

5

mente n´ umeros complejos. La serie Hipergeom´etrica 1+

 ab a(a + 1)b(b + 1) 2 x + x + ... c c(c + 1) 1 2

· ·

Se comprende mejor al analizar los complejos x <  1. (Note que si

 | |

b  =  c y a  = 1 se obtiene la serie geom´etrica).

Gauss Demostr´o: ”Toda ecuaci´ on anz n + an−1z n−1 + ... + a0  = 0 tiene n-soluciones en C”.

A. L. Cauchy di´o la estructura central al desarrollo de variable compleja a trav´es de la idea de la integral de l´ınea:

 

f (z )dz,

γ 

1 la cual da sentido a la f´ormula integral de Cauchy: f (z ) = 2πi

 

f (ζ ) dζ . ζ  z  γ 

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