Apuntes Estática Estructural F Monroy FI UNAM 2008

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

APUNTES DE ESTÁTICA ESTÁTICA ESTRUCTURAL ESTRUCTURAL

FERNANDO MONROY MIRANDA MIRANDA

DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

APUNTES DE ESTÁTICA ESTÁTICA ESTRUCTURAL ESTRUCTURAL

FERNANDO MONROY MIRANDA MIRANDA

DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS

Apuntes de Estática Estructural

PRÓLOGO Estos apuntes de Estática Estructural surgen de la conveniencia de rescatar y actualizar parte de un material existente y que era de uso común por algunos profesores y alumnos de la carrera de Ing. Civil de la Facultad de Ingeniería de la UNAM desde hace varios años. Los cambios en el orden y contenido de la materia producto de las modificaciones al plan de estudios de la carrera hacen necesaria su adecuación para que este material se siga utilizando. Dado que el material original representa el esfuerzo de varios profesores del Departamento de Estructuras, el autor considera conveniente incluir en el presente trabajo parte de ese material enriqueciéndolo con elementos propios desarrollados durante los años en que ha impartido la materia y sobre todo adecuarlos al contenido de la misma. Este material tiene por objeto ayudar a los alumnos que cursan la materia de “ESTÁTICA ESTRUCTURAL” en la teoría y la aplicación de los temas incluidos en el programa de esta asignatura incluyendo una serie de ejercicios típicos que se pueden encontrar dispersos en algunos textos relacionados con la materia. Para la solución de la mayoría de los problemas, en general, aplicarán y reforzarán los conceptos básicos de la estática, es tática, en otros tendrán tendr án que demostrar cierta habilidad en e n el manejo de las ecuaciones de equilibrio estático y relaciones entre ellas. La mayoría de los ejemplos vienen acompañados de la solución correspondiente para que sirva de guía y comprobación al alumno. Se procurará que este material sea revisado con cierta frecuencia para enriquecerlo con los comentarios y sugerencias de los interesados en la materia así como de adecuarlos a los futuros cambios y necesidades del programa de la asignatura mencionada. El autor agradece a loa Ingenieros Luis Herrejón De La Torre y Agripino Galván Sánchez por permitirle incluir, en este trabajo, gran parte del material elaborado por cada uno de ellos, lo que facilitó la actualización de estos apuntes.

Ciudad Universitaria, México, D. F. Mayo 2008

Fernando Monroy Miranda

Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM UNAM

ii


ÍNDICE 1.

Conceptos básicos de la estática Introducción. .

1.1 Definiciones: modelo de cuerpo, partícula, cuerpo rígido y cuerpo deformable 1.2 Leyes de Newton y algunas de sus aplicaciones. 1.3 Descripción de los tipos de fuerzas. Efectos internos y externos producidos por fuerzas. Postulado de Stevin o Regla Generalizada del Paralelogramo. Principios de equilibrio, de transmisibilidad y de superposición de causas y efectos. 1.4 Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje. 1.5 Par de Fuerzas, Momento de un par de fuerzas.

2.

Estudio de los sistemas de fuerzas 2.1 Teorema de Varignon. Sistema general de fuerzas. Sistemas generales de fuerzas, fuerzas concurrentes, colineales, paralelas, en el plano y en el espacio. 2.2 Sistemas equivalentes de fuerzas. Traslación de una fuerza, par de transporte. 2.3 Definición de diagrama de cuerpo libre. 2.4 Ejemplos y aplicaciones a cuerpos rígidos.

3.

Propiedades Geométricas de superficies planas 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4.

Primero momento de superficies planas. Obtención de centroides de superficies planas. Segundo momento de superficies planas. Producto de inercia y radio de giro de superficies planas Centro de gravedad, centros de masa.

Equilibrio de sistemas de fuerzas y de cuerpos 4.1 Sistema de fuerza en equilibrio. Condiciones para el equilibrio en el plano y en el espacio. 4.2 Equilibrio Estático y Dinámico. 4.3 Grados de libertad en el plano y en el espacio. 4.4 Tipos de apoyos más usuales y simbología. Restricciones al giro y al desplazamiento. 4.5 Hipostaticidad, isostaticidad e hiperestaticidad de las estructuras. 4.6 Obtención de reacciones en estructuras isostáticas.

5.

Elementos mecánicos en estructuras formadas por barras


iii


5.1 Fuerzas internas y fuerzas externas. 5.2 Definición de momento flexionante, fuerza cortante y fuerza axial y su relación entre ellos con las fuerzas externas aplicadas. 5.3 Obtención de las ecuaciones de elementos mecánicos y trazo de diagramas. 5.4 Obtención directa de diagramas de elementos mecánicos por el método de la suma y por superposición. 5.5 Obtención de diagramas en estructuras con barras inclinadas, Sistemas de coordenadas globales y locales. Matriz de transformación. 5.6 Obtención de diagramas en estructuras con barras de eje curvo. Arcos en compresión. 5.7 Armaduras isostáticas. Hipótesis para su análisis. Estabilidad geométrica. Método de los nudos. Método de las secciones. Solución de ejemplos por computadora.

Apéndice A. Solicitaciones Sobre las Estructuras Apéndice B. Propiedades Geométricas de una superficie poligonal, aplicación de la computadora Apéndice C. Aplicación de las funciones de singularidad a la obtención de elementos mecánicos Apéndice D. Planteamiento matricial de las ecuaciones de equilibrio estático para la solución de armaduras planas isostáticas, aplicación de la computadora Apéndice E.

Cables flexibles e inextensibles

INTRODUCCIÓN


iv


En el campo de las estructuras, la asignatura de Estática Estructural es el comienzo del aprendizaje con respecto al comportamiento de las estructuras en cuanto a fuerzas se refiere, por lo que constituye un antecedente fundamental para que el alumno pueda cursar las asignaturas de Mecánica de Materiales, Análisis Estructural y Diseño Estructural. Por esta razón, y para evitar deficiencias o complicaciones en el desarrollo del estudiante durante su formación académica, es necesario que comprenda y practique los temas elementales de dicho campo. ca mpo. El presente trabajo se elaboró con el objetivo de integrar los elementos básicos de esta disciplina con base en el programa pr ograma vigente v igente de la materia y pueda p ueda emplearse emplears e como co mo material de texto o apoyo apoy o para par a los alumnos que cursen la asignatura. Sabemos que los temas contenidos en el programa, pueden ser encontrados en una gran variedad de libros, aunque en ocasiones es laborioso encontrar uno de esos textos que nos muestre la mayoría de esos temas. Los apuntes de la materia sirven como un elemento que ayuda a comenzar la búsqueda de información o simplemente como una introducción de lo que contempla el curso. Para abundar o extenderse más en el conocimiento de temas específicos, se proporcionan referencias bibliográficas que ayudarán a ese fin. Por lo anterior, en los capítulos 1 y 2 se presentan los conceptos básicos de la asignatura, como lo son definiciones de estructura, elementos estructurales, solicitaciones y análisis de cargas, todo esto con el propósito de conocer los elementos principales con los que se trabaja en los capítulos subsecuentes, también se estudian los diagramas de cuerpo libre en nudos y barras, los diferentes tipos de apoyo que podemos encontrar en las estructuras. En el capítulo 3 se estudian algunas propiedades de las superficies planas como son momentos estáticos y centroides así como centro de masa, algunos de estos conceptos se aplican para la obtención de resultantes de fuerzas con determinada ley de variación. En el capítulo 4 se estudian a los sistemas de fuerza, obteniéndose la resultante de los diversos sistemas de fuerzas, también se plantean las ecuaciones de equilibrio estático que ayudarán a obtener el valor de las incógnitas (reacciones en los apoyos). También se trata el comportamiento lineal y se incluye el Principio de Superposición, el cual facilita el trabajo con diversos tipos, sistemas y combinaciones de cargas. Este capítulo, finaliza con el análisis de la isostaticidad en las estructuras. En el capítulo 5, se analizan las estructuras isostáticas sometidas a fuerzas estáticas, se presentan los conceptos de momento flexionante y momento torsionante, fuerza cortante y fuerza axial, también conocidos como elementos mecánicos. Ya definidos los términos anteriores se pasa a la obtención de sus características en formas estructurales sencillas: vigas, marcos y arcos para continuar con el trazo de diagramas de elementos mecánicos, que son una herramienta muy útil e indispensable en el área de las estructuras. En este capítulo, también se incluye el análisis de arcos en compresión y el análisis de armaduras planas, para estas se analiza a naliza el e l comportamiento estructural, estabilidad y métodos de análisis, a nálisis, como c omo el método de los nudos, método de las secciones. También se incluyen una serie de apéndices que contienen algunos temas que pueden ser considerados como tópicos sobre la estática estructural, por ejemplo, el tema de cables, elementos importantes en algunas estructuras así como la aplicación de las computadoras a la solución de problemas, ejes principales de superficies planas, propiedades geométricas de una superficie poligonal, aplicación de Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM UNAM

v


las funciones de singularidad a la obtención de elementos mecánicos, solución matricial de armaduras planas isostáticas y el campo de la Ingeniería Estructural. Se sugiere que el alumno complemente el estudio de este material con los ejemplos que sobre la materia se presentan en las publicaciones respectivas editadas por el departamento de Estructuras de la División de Ingeniería Civil y Geomática de la Facultad de la UNAM.

Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

vi


FUNDAMENTOS DE LA ME CÁNICA CLÁSICA

Introducción

Con el fin de comprender aspectos básicos de la Ingeniería Estructural, es necesario precisar algunos términos de uso común, como lo son el de: estructura, elementos estructurales y cargas o acciones. Estructura, es un conjunto de elementos estructurales que interactúan entre sí, convenientemente dispuestos y vinculados entre sí con el propósito, principalmente, de soportar las cargas aplicadas sobre ella y transferirlas a sus apoyos y de estos hacia el terreno (Figura 1.1).

Figura 1.1. Estructura para una nave industrial.

Los elementos estructurales , son las piezas fundamentales de una estructura. Son elementos físicos y están construidos con materiales que, en general, deben ser resistentes y poco deformables (Figura 1.2). La clasificación clásica contempla elementos nombrados generalmente barras, placas y sólidos, y específicamente reciben el nombre de: vigas, trabes, contratrabes, columnas, castillos, diagonales, Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

1


montantes, cuerdas, contravientos, losas, muros, etc. las características específicas que hacen que un elemento reciba particularmente alguno de los nombres anteriores las trataremos más adelante. Los nudos o nodos son las uniones de dos o más elementos estructurales tipo barra, o de barras y apoyos y en la mayoría de los casos se consideran como no deformables (Figura 1.2).

Figura 1.2. Elementos estructurales y su unión entre ellos.

Las cargas o acciones , son todas las fuerzas que afectan a la estructura y que pueden ser de diversa índole, las cuales tienden a moverla en forma global y a deformar a sus elementos y, en general, a todo el conjunto. En una estructura, la aplicación de cargas produce fuerzas y deformaciones a la misma. Al proceso de determinación de estas fuerzas y deformaciones se llama Análisis Estructural. Ahora bien, el Diseño Estructural incluye el arreglo y dimensionamiento de los elementos que integran a la estructura y sus partes, de tal manera que ella soporte satisfactoriamente las cargas colocadas manteniendo prácticamente su forma original con desplazamientos (movimientos) dentro de ciertos límites preestablecidos. La organización e interrelación de todas las partes de una estructura, constituyen su estructuración. A esta le pertenecen los elementos que tienen como propósito mantener la forma del conjunto y la estabilidad del mismo. Además, debe ser capaz de recibir las cargas aplicadas, resistirlas y luego trasmitirlas al terreno de cimentación. El diseño estructural implica, principalmente:



La disposición general de los elementos de la estructura (estructuración).


2




El estudio de los posibles tipos o formas estructurales que representen soluciones factibles.



La selección de los materiales a utilizar con fines estructurales.



Consideración de los tipos de acciones que puedan presentarse sobre la estructura (viento, sismo, etc.).



Análisis y diseño preliminares de las soluciones posibles así como su evaluación.



Selección de una alternativa de solución y análisis y diseño estructural final de la estructura, incluyendo la preparación de planos estructurales, especificaciones, recomendaciones de tipo constructivo, mantenimiento, etc.

Es importante mencionar que, una propuesta de solución a un problema específico debe ser la más conveniente después de haber considerado la diversidad de factores, que en muchos casos busca lograr el mayor beneficio social posible combinando funcionalidad, resistencia, durabilidad, factores ambientales, estéticos, tiempo y costo. El realizar una obra de ingeniería implica también llevar un orden, que empieza con el planteamiento del problema y termina con la puesta en operación de su solución, sin olvidar el mantenimiento que se le tenga que dar durante su vida útil. El proceso se puede dividir en cinco etapas: a) b) c) d) e)

Planeación Proyecto Análisis Diseño y dimensionamiento Ejecución de la obra (supervisión estructural)

a) Planeación

La etapa de planeación es el estudio de las necesidades y análisis de los recursos, para obtener el planteamiento general de la solución. Un programa de necesidades se deriva del conocimiento del problema por resolver, de cuya solución general se determina un plan a seguir. Para esto se considera toda la gama de elementos que puedan influir en la solución del problema o que aporten alguna proposición particular para ella.

b) Proyecto

El proyecto involucra la geometría general y distribución particular del sistema mecánico o estructural, de acuerdo con los servicios u objetivo que prestará durante su vida útil. Una vez conocidos el programa de necesidades por satisfacer y, en general, los recursos disponibles para ello, se elabora un proyecto o una proposición concreta para resolver el problema, pero sin entrar en detalles sobre las dimensiones de los elementos de dicha proposición. Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

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c) Análisis

Dentro del análisis, primero se determinan todas las cargas que actúan sobre el sistema, incluyendo desde luego, las de su peso propio y otras, producto de su función específica y localización geográfica y topográfica. Después, se definen los tipos de uniones que deben existir entre los diversos elementos del sistema estructural y entre éstos y el sistema de tierra o algún otro al cual se fije. Por último, se calculan los efectos internos (fuerzas y momentos) en las secciones transversales de los elementos del sistema producto de la combinación de acciones (fuerzas) definidas por un criterio o reglamento y según el tipo de estructura. Lo que interesa especialmente, es determinar los valores característicos, o sea, máximos, mínimos o nulos de esos efectos y el lugar específico de la estructura en que se encuentran todos ellos, lo mismo que las funciones matemáticas que los definen. El análisis también incluye la determinación de los efectos externos producidos por esas acciones tales como: deformaciones, vibraciones y agrietamientos con el fin de determinar que ellos no rebasen ciertos límites preestablecidos los cuales, de acuerdo a la experiencia, se consideren adecuados.

Figura 1.3. Modelo de computadora para el análisis estructural de un puente.

d) Diseño y dimensionamiento

En función de las fuerzas y momentos obtenidos en la etapa anterior y tomando en cuenta la forma de las secciones transversales de los diferentes miembros y los materiales disponibles para su construcción, se obtienen o verifican las dimensiones de cada elemento estructural para que todos los elementos sean capaces de resistir esas fuerzas, vertiendo los datos correspondientes en los diferentes tipos de planos. También se verificará que la respuesta (desplazamientos, vibraciones, etc.) que experimentan los elementos estructurales se mantengan dentro de ciertos valores máximos generalmente especificados en el reglamento a utilizar.

e) Ejecución Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

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Una vez terminadas las etapas anteriores, se tiene una serie de planos de la estructura, en los cuales se concreta y detalla la solución propuesta por el equipo de ingeniería; dicho conjunto abarca las diferentes vistas arquitectónicas, los sistemas internos y externos de unión, la ubicación y características de las secciones transversales de los miembros con sus dimensiones particulares y los materiales que constituyen la estructura. Cada plano, debidamente acotado, irá acompañado de los detalles (cortes, uniones, etc,) y notas que aclaren, ayuden y simplifiquen posteriormente el proceso constructivo. Para realizar la obra, se elabora un plan a seguir según la planeación realizada en la primera etapa, considerando todos los recursos disponibles y las recomendaciones generales durante el diseño de la misma. Se idea también un programa de construcción para la obra, durante su ejecución es conveniente realizar inspecciones periódicas para verificar que se han seguido las especificaciones de la estructura indicadas en planos y se han utilizado los materiales estructurales con las calidades y características indicadas por el proyectista de la estructura y que se está construyendo de acuerdo a la práctica usual y se han implementado y realizado las pruebas de obra y laboratorio necesarias para verificar esa calidad.

1.1 Definiciones

Como sabemos, la aplicación de la estática permite el estudio de las fuerzas y los siguientes conceptos acerca del equilibrio son de gran importancia. 1.1.1

Modelo de cuerpo

Un cuerpo puede ser considerado como una cierta cantidad de materia con forma y dimensiones dadas, en los problemas de estática estructural, es común asociar al cuerpo una propiedad de superficie, masa o peso.

Figura 1.4 a. Modelo de cuerpo.


5


Figura 1.4 b. Cuerpo físico (Estructura).

1.1.2

Punto material o partícula

Es un cuerpo cuyas dimensiones son tan pequeñas, que las fuerzas que sobre él actúan pueden considerarse concentradas (Figura 1.5).

Punto material Fuerza

Figura 1.5. Punto material o partícula.

1.1.3

Cuerpo rígido

Es aquel cuyas partículas no sufren desplazamientos relativos al actuar fuerzas sobre él (Figura 1.6a).


6


d  d '

deformación

d = invariable .

.

a

a

d

.

. b

d

d'

a'

b'

b

a) Cuerpo Rígido

b) Cuerpo Deformable

Figura 1.6. Cuerpo rígido y cuerpo deformable.

Ambos conceptos son teóricos puesto que la realidad es diferente, por ejemplo, la mayoría de los cuerpos son deformables. No obstante, los errores que en algunos casos se inducen, son tan pequeños que pueden despreciarse y entonces considerar al cuerpo como rígido.

1.1.4

Cuerpo deformable

Los cuerpos reales son, en mayor o menor grado, siempre deformables, por lo que estos al verse sujetos a cualquier acción externa, en general, se modifica la posición relativa de dos puntos cualesquiera dentro de él como producto del cambio de forma que sufre (Figura 1.6 b).

1.2

Leyes de Newton y algunas de sus aplicaciones

Isaac Newton estableció sus leyes del movimiento basándose en el estudio del movimiento de los planetas realizado con anterioridad por Johanes Kepler, puesto que las dimensiones de un planeta son insignificantes en comparación con la amplitud de su movimiento, las leyes de Newton sólo son aplicables directamente al movimiento de un punto material, es decir a un cuerpo tal que todos sus puntos puedan considerarse como teniendo en cualquier momento la misma aceleración. No obstante, en la mayoría de los casos de movimiento de los cuerpos, las aceleraciones de diferentes puntos del cuerpo no son las mismas, por consiguiente, las leyes de Newton no son directamente aplicables a los cuerpos. Desde un punto de vista ingenieríl, en un buen número de casos, puede considerarse a los cuerpos como formados por puntos materiales y, de esta manera, pueden extenderse a ellos las leyes de Newton. Con cierta frecuencia las leyes de Newton han sido enunciadas de la siguiente manera: Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

7


Primera ley. Si sobre un punto material no actúa ninguna fuerza, el punto continúa en reposo o se mueve con una velocidad uniforme en línea recta.

La primera ley implica que un punto material se resiste a que cambie su movimiento es decir, tiene inercia. Implica que una fuerza tiene que actuar sobre el punto para que su movimiento (velocidad) cambie en dirección o en magnitud, es decir, se acelere. Segunda ley. Si sobre un punto material actúa una fuerza, este se acelera; la dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza y su magnitud es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del punto.

La segunda ley es cuantitativa, nos dice cuál debe ser la magnitud y la dirección de la fuerza para producir una cierta aceleración de un punto material especifico y, muestra que, aunque un punto material no puede por sí mismo cambiar su estado de movimiento, sin embargo, si influye en el cambio de movimiento causado por la fuerza, regulando o gobernando la manera en que tendrá lugar la aceleración; es decir, que ésta siempre será inversamente proporcional a la masa del punto. Tercera ley. Entre dos puntos materiales cualesquiera de un cuerpo, existen acciones mutuas tales que la acción de uno sobre el otro es igual, colineal y opuesta a la de aquél sobre éste.

En la segunda ley se supone que sobre un punto único actúa una sola fuerza. Pero la tercera ley hace resaltar el hecho de que no existe una fuerza única. El significado especial de la tercera ley reside en que, mediante su uso, la segunda ley de Newton (que sólo es aplicable a un punto único bajo la influencia de una fuerza única), puede extenderse a un sistema de puntos (cuerpo) sobre el que actúa un sistema de fuerzas. La segunda ley de Newton puede expresarse matemáticamente por medio de la ecuación siguiente. F = ma

(1.1)

Donde a es la aceleración del punto de masa m, y F es la fuerza única que actúa sobre el punto material. En general, la masa de un cuerpo se designará por M y la de un punto material del cuerpo por m o dM . En la Figura 1.7 se muestra un sistema cualquiera de fuerzas F 1, F 2, F 3, etc. que actúa sobre un punto material de masa m produciéndole una aceleración a. F3 F2

a m R

F

F1

Figura 1.7. Sistema de fuerzas actuando sobre una partícula de masa m. Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

8


Designemos por R a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto (Figura 1.8), sean  x ,  y y  z los ángulos que forma R con los ejes x, y y z (sistema cartesiano ortogonal), respectivamente. Según la segunda ley de Newton, tenemos que R = ma, así la multiplicación de cada miembro de esta ecuación por cos  x, conduce a: R cos  x = ma cos  x

(1.2)

Es decir Rx = max

(1.3)

  

Figura 1.8. Fuerzas actuando sobre una partícula.

Pero Rx puede expresarse también en función de las fuerzas que actúan sobre el punto por medio de la ecuación Rx =  F x, y por consiguiente,  F x = max. De la misma manera pueden obtenerse ecuaciones expresando a las componentes y y z de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto. En consecuencia, las ecuaciones del movimiento de un punto material son:

 F x = max  F y = may

(1.4)

 F z = maz

Las Leyes de Newton junto con algunos otros principios e hipótesis, aplicadas a la ingeniería estructural, han logrado, por ejemplo, el desarrollo del Análisis y la Dinámica Estructural permitiendo conocer el comportamiento (respuesta de la estructura) ante diversas acciones tanto estáticas (las características –de las acciones no cambian con el tiempo), como dinámicas (sus características son función de la variable tiempo, entre otras).


9


1.3 Descripción de los tipos de fuerzas 1.3.1 Concepto de fuerza

Una fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro y, cambia o tiende a cambiar su estado de reposo o movimiento. Las fuerzas son cantidades vectoriales, es decir, para definirlas se requieren tres características o cantidades escalares que pueden ser coordenadas o proyecciones o bien, magnitud, dirección y sentido. En Matemáticas se define a un vector como una terna ordenada de números reales (Figura 1.9). Z

Z Fz 

Sentido

F Fy Fx Y

Magnitud

Y

Dirección X

a) Sistema cartesiano de referencia

X c) Características escalares

b) Componentes ortogonales

Figura 1.9. Características de un vector.

Las fuerzas se pueden tratar como vectores: libres, deslizantes y fijos.

1.3.2 Vector libre

Es aquel del que sólo nos interesan sus tres características vectoriales, como sucede cuando se desea obtener una resultante sólo en magnitud, dirección y sentido (Figura 1.10). 

F 3 

F 3

 

F 2



R

F 2



F 1



F 1 Figura 1.10. Vector libre. Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

10


1.3.3 Vector deslizante, localizado o cursor

Es aquel que está restringido a moverse a lo largo de una línea de acción determinada (Figura 1.11). Tal es el caso de las fuerzas que actúan sobre cuerpos considerados rígidos.



F Línea de acción 

F



F Figura 1.11. Vector deslizante.

1.3.4 Vector fijo

Es aquel que está restringido a ser aplicado en un punto determinado (Figura 1.12), por ejemplo, las fuerzas de un campo vectorial.

Campo vectorial

Origen del campo Figura 1.12. Vector fijo.

1.3.5 Efectos internos y externos producidos por fuerzas

Los efectos externos que una fuerza produce sobre un cuerpo consisten en modificar el estado de movimiento del cuerpo sobre el cual actúa mediante cambios de posición de los elementos o partículas que integran al cuerpo u originar reacciones externas sobre dicho cuerpo (Figura 1.13).


11

Apuntes de Estática Estructural 

F

Fuerza Cambio de movimiento

Reacciones externas



F

Figura 1.13. Efectos externos de una fuerza.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, para que las fuerzas se presenten deben existir cuerpos y la tercera ley de Newton conduce a que, las fuerzas siempre se presentan por pares aunque por simplicidad en ocasiones se consideren aisladas. Las fuerzas pueden ser de contacto o de acción a distancia (Figura 1.14). Las fuerzas de contacto son las que se presentan al actuar un cuerpo directamente sobre otro, entrando en contacto parte de sus superficies externas de ambos cuerpos. Las fuerzas de acción a distancia son aquellas que se ejercen entre cuerpos alejados, tales como las fuerzas de origen gravitatorio o eléctrico. 



F

F

a) Fuerzas de contacto





F

F

b) Fuerzas de acción a distancia

Figura 1.14. Fuerzas de contacto y de acción a distancia.

Las fuerzas también pueden ser externas o internas (Figura 1.15). Las externas son aquellas que se presentan exteriormente al cuerpo y las internas son generadas dentro de él. 



F 1

F 2



R



F 1

F 2

Fuerzas internas

deformación

 





F 4

F 3 







F 1 , F 2 , F 3 , F 4

R

F 4

F 3

 Fuerzas Externas Figura 1.15. Fuerzas externas e internas.


12


Las deformaciones son también efectos internos de las fuerzas sobre un cuerpo, aclarando que, estas y las fuerzas internas, si dependen de la localización de las fuerzas externas a lo largo de su línea de acción. Por ejemplo, los desplazamientos producidos por el cambio de forma generado debido a la aplicación de fuerzas, en el caso de una estructura dependerán del tipo y lugar de aplicación de las fuerzas que sobre ella actúen. Las fuerzas pueden también actuar distribuida o concentradamente (Figura 1.16). Muro Fuerza concentrada Columna

Fuerza distribuída

Losa

Losa

Muro

Muro

Figura 1.16. Fuerzas distribuidas y concentradas.

Las fuerzas, en la realidad, siempre actúan distribuidas en un área o superficie determinada. Una fuerza concentrada es un concepto teórico en el cual se considera a la fuerza aplicada en un punto, ya que, en realidad el área de aplicación es tan pequeña que los errores cometidos pueden despreciarse.

1.3.6 Principio de transmisibilidad

El principio de transmisibilidad se puede expresar de la siguiente manera: “Los efectos externos de una fuerza son independientes del punto de aplicación a lo largo de su línea de acción”.

1.3.7 Principio de superposición de causas y efectos

En el análisis estructural, nos encontraremos con estructuras sujetas a un gran número y tipos de fuerza (concentradas, uniformes, triangulares, etc.). Para ayudarnos en tales situaciones existe una herramienta extraordinariamente útil, el principio de superposición. El principio dice lo siguiente: si el comportamiento estructural (relación causa-efecto) es linealmente elástico (función lineal), las fuerzas que actúan sobre una estructura pueden separarse o dividirse en cualquier forma conveniente para analizar luego la estructura para cada caso por separado. Los resultados finales pueden obtenerse entonces sumando los resultados individuales. Otra manera de enunciar lo anterior es que el efecto que un sistema de fuerzas produce sobre un cuerpo de comportamiento elásticolineal es igual a la suma o superposición del efecto de sus componentes.


13


El principio de superposición, cuando es válido, se puede aplicar no sólo a reacciones (fuerzas en los apoyos), sino también a fuerzas internas, deformacione s y desplazamientos. Así, por ejemplo, si en una estructura tenemos diferentes tipos de fuerzas actuando sobre ella, para facilitar el cálculo de los efectos producidos por las fuerzas es posible hacer el análisis por separado de cada fuerza sobre la estructura y al final sumar algebraicamente las magnitudes de los efectos; por otro lado, también pueden obtenerse fuerzas resultantes de los diferentes tipos de cargas y hacer un cálculo de los efectos con todas las fuerzas resultantes actuando sobre la estructura. Para comprender más claramente la idea anterior, en la Figura 1.17 se muestra una viga bajo la acción de una carga con una ley de distribución particular. En este caso es posible descomponer la fuerza en varias más sencillas para analizar y obtener las resultantes de cada una de ellas, de esta manera será mucho más práctico obtener, por ejemplo, las reacciones en los apoyos.

A

B

C

A

B

= B

A

R AX

+

+ B

A

RBY

B

A

R AX R AY

C

R AX RBY

R AY

L

B

A

R AX RBY

R AY

L

L

RBY

R AY

L

Figura 1.17. Descomposición de una carga.

En la figura anterior podemos observar que no es sencillo determinar fácilmente la magnitud y posición de la fuerza resultante, para esto, se divide la carga en otras tres más sencillas y así tener una resultante para cada una de ellas.

1.4 Momento de una fuerza

Físicamente, el momento de una fuerza produce o tiende a producir un giro. En el caso de la Figura 1.18, la fuerza “F” produce el momento F  d que hace girar al disco alrededor del eje.



F

Eje Disco d

M=F d .

Figura 1.18. Momento de una fuerza


14


M  F d

(1.5)

Obsérvese que una fuerza paralela al eje del disco no produce giro de este, puesto que no produce momento respecto a dicho eje. 

En una forma más estricta el momento de una fuerza F respecto a un punto “o” se define como el 





producto vectorial (producto cruz) de los vectores F y r (Figura 1.19), siendo r un vector de posición que va desde el punto con respecto al cual se evalúa el momento a cualquier punto contenido en la línea  de acción de la fuerza F , es decir:

Z 

F





r



M o

k 

j

Y

0

X



i



Figura 1.19. Momento de la fuerza F con respecto al punto “O” 





M o  r  F (1.6) 

k





 i  j

(1.7) 





La dirección de M 0 es perpendicular al plano formado por r y F el sentido estará de acuerdo con la 



convención que se elija, y la magnitud es el área del paralelogramo formado por r y F (Figura 1.20). 

M 0

 A  F  d

(1.8)


15


A/2 Z



F



A/2



F

F



M o



r

A/2 



F

k 

j A 

F

X



0

i

" d !

d ##

Y



Figura 1.20. Características del momento M 0

Nótese que las fuerzas cumplen con la condición de ser vectores deslizantes o cursores, tal y como los 



habíamos considerado anteriormente, y que M 0 es en realidad el momento de F con respecto a un eje 



perpendicular al plano definido por r y F . El momento respecto a cualquier eje es la proyección sobre dicho eje del momento con respecto a uno de sus puntos (Figura 1.21). Z  F 

r

z



A/2

M o X Axy/2

0 d d

! $ xy

Fxy Y Figura 1.21. Momento respecto a cualquier eje

De lo anterior: 

M 0  M 0  A

(1.9)

Geométricamente: Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

16


A xy = Acos  z

(1.10)

Y por definición: M z = M 0 K

(1.11)

M z = M 0 cos  z

(1.12)

Por lo que: M z = Acos  z

(1.13)

Y por lo consiguiente: M z = A xy

(1.14)

Puesto que: A xy = F xyd xy

(1.15)

Resulta que: (1.16)

M z = F xyd xy 

De lo anterior puede observarse que, el momento de F respecto al eje “z” es el momento de su proyección en el plano xy normal a dicho eje, y que la componente paralela al eje no produce momento. Se puede descomponer una fuerza en sus componentes paralelas a los ejes coordenados de referencia, con lo cual quedará más claro lo antes explicado (Figura 1.22). Fz Z



F F x

Mz



r



M o x M

F y z X

0 y

y M

x Y Figura 1.22. Componentes ortogonales de una fuerza y de su momento. Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

17




F ( F x , F y , F z ) 

r ( x, y, z ) 

M 0 ( M x , M y , M z ) 





M 0  r  F Desarrollando el producto cruz tenemos que:



i

M 0  x

j

k

y

z  i ( yF z  zF y )  j ( xF z  zF x )  k ( xF y  yF x )







(1.17)

F x F y F z 



M 0  ( F z y  F y z ) i





( F x z  F z x ) j



 ( F y x  F x y ) k

(1.18) 







M 0  M x i  M y j  M z k

(1.19)

Por lo tanto. M x  F z y  F y z

(1.20)

M y  F x z  F z x

(1.21) M z  F y x  F x y

(1.22)

Se puede obtener el momento con respecto a cualquier eje que pase por “O” asociando dicho eje a un 



vector unitario e y obteniendo la proyección de M 0 dicho eje (Figura 1.23).


18


Z 

F 

r

Plano de la fuerza



M o X



e

0

d 

e Y

Fxy



E e aralelo a F

Figura 1.23. Momento de una fuerza. 



M e  M 0 , e 

e

(1.23)

1

Para el caso del eje z: 



M z  M 0 , k

(1.24) 





Si el eje es paralelo a F , M e  0 puesto que está en el plano de la fuerza que es perpendicular a M 0 . Analíticamente las características de un cursor representativo de una fuerza, pueden expresarse por el 



vector libre F que nos dará la magnitud, dirección y sentido de la fuerza, y el vector M 0 nos dará su línea de acción. 



La pareja ordenada ( F , M 0 ) se denomina coordenadas vectoriales o pluckerianas de las fuerzas. Es 

decir, para caracterizar una fuerza es necesario conocer su magnitud, dirección y sentido ( F ) y su 

momento con respecto a un punto “0” ( M 0 ) siendo esto último equivalente a conocer la posición de su línea de acción o soporte que es la recta de ecuación (Figura 1.24): 





( r  r P )  F  0 



(1.25)



r  F  M 0

(1.26)


19




Z

F



r 

r 

r P

X 0

Y Figura 1.24. Momento de una fuerza. 

En general, para obtener el momento de cualquier fuerza F , respecto a un eje cualquiera, asociando el  vector unitario e , procedemos como sigue (Figura 1.25).

Z 

F 

r P

P





e

 r Q 

r Q



r P

0

X

Y Figura 1.25. Momento de una fuerza con respecto a un eje cualquiera. 

e

1











M e  ( r P  r Q )  F  e

(1.27)

Por las características del doble producto mixto, este es igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores (Figura 1.26).


20


Volumen = V



F



e % &







(r P  r Q ) min

Figura 1.26. Interpretación geométrica del momento de una fuerza.  





V  M e  F r P  r Q min e sen 

(1.28)



M e  F d min sen 

(1.29) 



En donde “d min” es la distancia mínima entre las líneas de acción de F y e , y  es el ángulo entre 





ellas. Obsérvese que sí F y e son paralelos o se cortan M e  0 , es decir, el momento de una fuerza con respecto a un eje es nulo si esta corta a dicho eje o es paralela a él.

1.5 Par de fuerzas

Se denomina par de fuerzas a dos fuerzas paralelas de igual magnitud y sentido contrario (Figura 1.27).

Z



 F

 



F



r 1



M o



d

r 2 X 0 Y Figura 1.27. Par de fuerzas.


21




M 0  Momento del par respecto a 0 









M 0  r 1  F  r 2   F 











(1.30)

 r 1  F  r 2  F 









M 0  r 1  r 2  F puesto que : (r 1  r 2 ) =  Entonces 





M 0    F (1.31) Además observando la Figura 1.28 se tiene que:

F A F F A F F A F d Figura 1.28. Momento de un par de fuerzas.

M 0  Fd

(1.32)

En donde d = brazo del par El momento tiene por magnitud el producto de la magnitud de las fuerzas por el brazo del par, su dirección es normal al plano del par y el sentido estará de acuerdo con la convención elegida. Puede verse que el momento de un par es un vector libre, tal y como se demuestra a continuación (Figura 1.29).


22


Z' 



F

d

r 1 ' 

Z





X'



r 2 '

0'

 F 

F



Y'

r 1 

r 2 0

X

Y Figura 1.29. Momento de un par de fuerzas (vector libre).

Momento del par respecto a 0’: 























M 0  r 1  F  r 2  ( F ) 

 r 1  F  r 2  F 



 (r 1  r 2 )  F

M 0'    F Ya que: 

M 0





  x F

Por lo tanto: 

M 0



 M 0 '

(Vector libre)

(1.33)

Las maneras de indicar un par de fuerzas se muestran en la Figura 1.30.


23


Z

M Y M

M M X 0

X 0

Y Figura 1.30. Diversas maneras de indicar un par de fuerzas.

Dos pares son iguales siempre y cuando su magnitud, dirección y sentido sean iguales (Figura 1.31). 



M 1  M 2 sí F 1 d1 = F 2 d 2 y además son iguales sus direcciones y sentidos. 

M 1 

Z

F 1 

 F 1

'



F 2  F 2

d 1



M 2



d 2 '

0

X

Y Figura 1.31. Pares iguales.


24


ESTUDIO DE L OS SISTE MAS DE FUERZ AS

2.1 Sistema de fuerzas

Se denomina “sistema de fuerzas”, a un número cualquiera de fuerzas tratadas en conjunto. Dos sistemas de fuerzas son equivalentes cuando producen los mismos efectos externos al actuar sobre un cuerpo. La resultante de un sistema de fuerzas es el sistema equivalente más simple. Un sistema de fuerzas está en equilibrio cuando su resultante es cero. La Figura 2.1 muestra una clasificación típica de los sistemas de fuerzas. Paralelas (Colineales) Concurrentes Coplanares

No paralelas Paralelas No concurrentes No paralelas

Clasificación de los sistemas de fuerzas Paralelas (Colineales) Concurrentes No paralelas No coplanares Paralelas No concurrentes No paralelas

Figura 2.1. !"#$%&%'#'%() +, "-$ .%$/,0#$ +, 12,34#$5

Las fuerzas coplanares son aquellas cuyas líneas de acción se encuentran sobre el mismo plano. Las fuerzas concurrentes son aquellas cuyas líneas de acción concurren en un mismo punto. Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

25


Fuerzas paralelas son aquellas cuyas líneas de acción son paralelas, siendo colineales cuando estas coinciden.

2.1.1 Resultante de una fuerza y un par coplanares

Sean F y M una fuerza y un par coplanares (Figura 2.2).

d

F

.

.

M

a

F

a

F

F

.

F

a

6 +  1

.

b

Figura 2.2. 12,34# 7 8#3 '-8"#)#3,$5

Es decir, al sumarle a la fuerza F (que pasa por “a”) el par M, esta se traslada a una posición paralela (pasando por “b”).

2.1.2 Resultante de una fuerza y un par cualquiera

Con relación a la Figura 2.3, tenemos que: Plano de la fuerzas 



6 



1 

6 3

6 ; 6 9:

a

Torsor 

C

1

1

6 < I

II



6 9

1

C

6 ; b a

6 9 ' 1

b a

ML

b

a

6 9 1

Figura 2.3. =,$2"/#)/, +, 2)# &2,34# 7 2) 8#35 

1 

= Fuerza en el plano I

6 < = Componente tangencial en el plano I 

6 9 = Componente normal al plano I (par de fuerzas en el plano I) 

6 

= Par cualquiera

6 ; = Componente paralela al plano II 

6 9 = Componente normal al plano II (par de fuerzas en el plano II) Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

26






Es decir, al sumarle a la fuerza 1 (pasando por “a”) el par 6 , esta se traslada (pasando por “c”) 



siendo la resultante el torsor constituido por 1 (pasando por “c” y el par 6 ; ).

2.1.3 Teorema de Varignon

“El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes del sistema”. Esto queda implicado al obtener la resultante de un sistema en general, pero lo verificaremos para dos fuerzas concurrentes (Figura 2.4).

Z





=

1 1 

3



1 2

X

0 Y

Figura 2.4. 12,34#$ '-)'233,)/,$5

Sumando los momentos de las fuerzas del sistema: 













 6 0  3  1 1  3  1 2 



 6 0  3 ( 1 1  1 2 ) Pero: 





 1 2  =    6 0  3  =

1 1



(2.1)

2.1.4 Resultante de un sistema de fuerzas en general 



Sea el sistema de fuerzas 1 % (i = 1, 2, 3,...,n) y de pares 6 > (j = 1, 2, 3,...,m) (Figura 2.5), cada una de 





las fuerzas 1 % x 1 % , y los pares % puede trasladarse al origen “0” introduciendo un par de transporte 3 Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

27




6 > como vectores libres también pueden trasladarse a dicho punto, por lo que el sistema exterior puede expresarse como sigue y esto a su vez es igual a una resultante de todas las fuerzas. 

6 4

Z

Z 





6 1

1 1

6 > 1 1







3 1

3 2



X

X



6 0



0

3 )

0





1 )



) 



6 -/   3 % ? 1 %  % 1

0

6 0

Y

Z



6 4



1 )



Y



3 2 x 1 2



3 1 x 1 1



1 4



1 2







3 )

!

1 )

Z

 6 >



> 1

= 

6 ;

Torsor X

X

0

0

Y

Y

Figura 2.5. .%$/,0# @,),3#" +, &2,34#$5

Es decir, la resultante de un sistema de fuerzas en general es un torsor. En casos particulares dicha resultante es sólo una fuerza o un par. Puede también concluirse que para obtener la resultante de un sistema de fuerzas en general, se requiere de dos ecuaciones vectoriales las cuales son equivalentes a 6 ecuaciones escalares como se expresa a continuación: 

) 



=   1 %   1 % 1

= ?   1 ?

  1 7 = 4   1 4

(2.2)

= 7



) 



6 -/   3 % ? 1 %  % 1

0





 6 >   6 0

> 1


28


6 0 ?   6 ? 6 0 7   6 7 6 0 4   6 4 Que expresado gráficamente nos queda como se indica en la Figura 2.6. Z

Z 



1

=





6 ;

6 A< X

X

0

0

Y

Y Z

Z

= B

6 AB

6 AC

X

X

0

= C



6 -3



6 AD

= =D

Y

Y

Figura 2.6. =,$2"/#)/, +, 2) $%$/,0# @,),3#" +, &2,34#$5

2.2 Sistemas equivalentes de fuerzas, traslación de una fuerza y par de transporte

Se dice que dos sistemas son equivalentes cuando ambos producen los mismos efectos en el cuerpo o estructura sobre la que actúan, así pues, por ejemplo, recordando el teorema de Varignon, podemos ver que, de acuerdo a la Figura 2.7, la fuerza R y las fuerzas F1 y F2 son equivalentes ya que, por ejemplo, el momento que ambos sistemas de fuerza producen con respecto al punto A es: 5(3) + 7(6) = 12(4.75) = 57 Ton-m.


29


R = 12 Ton F1 = 5 Ton

F2 = 7 Ton

A 1.75 #"m 3m "

3m "

Figura 2.7. .%$/,0#$ ,E2%F#",)/,$5

Una fuerza se puede descomponer en un par y una fuerza igual y paralela (Figura 2.8).

. a

M=F.d

F

F

F

.

a

b

.

. b F

.

.

a

b

F F

M=F .d

d d

Figura 2.8. G,$'-08-$%'%() +, 2)# &2,34# 7 8#3 +, /3#)$8-3/,5

Entonces podemos concluir que, cuando movemos una fuerza a otro punto que no esté sobre su línea de acción es necesario agregar un par igual al producto de la fuerza por la distancia mínima entre la línea de acción de la fuerza al punto a donde se ha movido la fuerza.

2.3 Definición de diagrama de cuerpo libre

Para simplificar el análisis del equilibrio de un cuerpo, normalmente se considera a éste aislado y las fuerzas que sobre él ejercen otros cuerpos, no las que éste ejerce sobre aquellos (Figura 2.9).


30


1 1

1 1 A

1 2

1 1

1 2

1 2 A

1 3

1 3

Diagrama de cuerpo libre del cuerpo A

1 3 Situación Real Figura 2.9. G%#@3#0# +, '2,38- "%H3, IG5!5;5J5

Entonces, podemos decir que: el diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que muestra todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, objeto, o punto material. Para construir un diagrama de cuerpo libre, debemos considerar que a las fuerzas conocidas deben asignárseles las direcciones y magnitudes apropiadas. Se utilizan letras para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas que se desconocen. Si de una fuerza se conoce la línea de acción, pero no su magnitud, la punta de la flecha, que define el sentido de la fuerza, puede suponerse. El sentido correcto será notorio una vez que se despeje la magnitud desconocida. Por definición, la magnitud de la fuerza es siempre positiva de tal forma que, si en la respuesta se obtiene un escalar negativo, el signo menos indica que la punta de la flecha o sentido de la fuerza es el opuesto al que originalmente se supuso.

2.4 Ejemplos y aplicación a cuerpos rígidos

En la Figura 2.10 observamos una viga apoyada en sus dos extremos y, a su vez, bajo la acción de tres cargas puntuales de magnitud P1, P2 y P3. Cada una de las cargas, además de su magnitud, presentan dirección y sentido en la que actúan y una posición específica con respecto a la longitud de la barra. Ahora bien, para obtener el diagrama de cuerpo libre de dicho elemento, debemos aislar a la barra y representar todas las fuerzas que actúan sobre ella (recordando que no debemos indicar las fuerzas que la barra ejerce sobre los apoyos, sino éstos sobre la barra).


31


Figura 2.10. K#33# #8-7#+# ,) $2$ +-$ ,?/3,0-$ H#>- "# #''%() +, +%&,3,)/,$ '#3@#$5

En la Figura 2.11, tenemos representado el diagrama de cuerpo libre de la barra en el que se han intercambiado los apoyos por las fuerzas que éstos ejercen sobre el elemento. Aquí, cabe aclarar que el apoyo A se intercambió por dos fuerzas y el apoyo B sólo por una, esto debido al tipo de apoyo que tenemos, situación que se explicará más adelante.

Figura 2.11. G%#@3#0# +, '2,38- "%H3, +, "# H#33#5

Para el caso de un nudo, básicamente se realiza lo mismo que en el caso anterior. En la Figura 2.12a observamos un cuerpo enlazado por un cable a un anillo, y éste a su vez está conectado por dos cables fijados en A y C. Si deseamos obtener el diagrama de cuerpo libre del anillo (nudo), primero lo aislamos y posteriormente dibujamos las fuerzas que actúan sobre él, quedando como se muestra en la Figura 2.11b.


32


Fa (fuerza del cable NA

A

que actúa sobre el anillo) C

N

N

Fc (fuerza del cable NC que actúa sobre el anillo)

D

Fd (fuerza del cable ND que actúa sobre el anillo)

a)

b) Figura 2.12. G%#@3#0# +, '2,38- "%H3, ,) 2) )2+-5

A manera de ejemplo, en la Figura 2.13, tenemos una armadura (tema que abordaremos en el capítulo 5) sobre la que actúan diferentes fuerzas. Cada una de las uniones entre barras está articulada. Si aislamos el nudo A, cada una de las barras ejerce una fuerza en el nudo, quedando el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la parte inferior de la Figura 2.13.

A

A

Figura 2.13. G%#@3#0# +, '2,38- "%H3, +, 2) )2+- ,) 2)# #30#+23# .

Es importante mencionar, que cuando les asignamos sentidos a las fuerzas en los diagramas de cuerpo libre, es probable que al resolver el problema analíticamente, encontremos sentidos negativos, lo que nos indicará que asignamos incorrectamente el sentido de dicha fuerza.


33

!"#$%&' )& *'%+%,-. *'%/#-%#/. 0

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE SUPERFICIES PLANAS

3.1 Centro de un sistema de fuerzas paralelas.

12$',)&/&32' 0.' 4#&/5.' 67 8 69 .'2-,.).' . 02' "#$%2' ! 8 : ;6,<#/. =>7?> 

@

"

! 

$ 7

$ 9

# Figura 3.1. %&'()* ,& -' ./.(&01 ,& 2-&)31. 41)15&51.6

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3.2 Momento estático o de primer orden

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3.3.1 Centroide de superficies compuestas

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3.4 Momentos de inercia de áreas planas

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a9

Apuntes Estática Estructural F Monroy FI UNAM 2008

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