qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq Apuntes de clases del Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Matemáticas, Estadística y Economía Preparatorias de Doctorado opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjlzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Abril/2010
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Cálculo de Una Variable: Fundamentos
Un objetivo central de la teoría económica es expresar y entender las relaciones entre variables económicas. Estas relaciones son descritas matemáticamente mediante las funciones. Si estamos interesados en el efecto de una variable económica (como por ejemplo el gasto público) sobre otra variable económica (como el producto interno bruto), debemos estudiar las funciones de una sola variable – un lugar natural para empezar nuestro análisis matemático. La información fundamental acerca de estas relaciones entre variables económicas tiene relación a cómo el cambio de una variable afecta a la otra. ¿Cómo el cambio en la oferta de dinero afecta a la tasa de interés? ¿El incremento de un millón de dólares en el gasto del gobierno incrementará o disminuirá la producción total? ¿En cuánto? Cuando tales relaciones se expresan en términos de funciones lineales, el efecto de un cambio en una de las variables sobre la otra es capturada por “la pendiente” de la función. Para funciones más generales no lineales, el efecto de este cambio es capturado por “la derivada” de la función. La derivada es simplemente la generalización de la pendiente a funciones no lineales. En este capítulo, definiremos la derivada de la función de una variable y aprenderemos a cómo computarla. Funciones en R
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Los fundamentos básicos de las matemáticas son los números y las funciones. En el trabajo con números, nos resultará conveniente representarlos geométricamente como puntos sobre una línea recta. La línea de números es una línea que se extiende infinitamente lejos a la derecha y a la izquierda de un punto llamado el origen. El origen está identificado con el número 0. Los puntos a la derecha representan números positivos y los puntos a la izquierda representan números negativos. Una unidad básica de longitud es elegida, y sucesivos intervalos de esta longitud son marcados a partir del origen. Aquellos que están a la derecha son numerados como
+1, +2, +3,
etc; aquellos a la izquierda son numerados como
−1, −2, −3,
etc. Uno puede
representar cualquier número positivo real sobre la línea mediante la ubicación del punto a la derecha del origen cuya distancia desde el origen en las unidades elegidas es ese número. Los números negativos son identificados de la misma manera pero moviéndonos a la izquierda. Consecuentemente, cualquier número real está representado por exactamente un punto sobre la línea, y cada punto sobre la línea representa uno y sólo un número. Véase la Figura 1
2.1. Escribimos R para el conjunto de todos los números reales. Insertar Figura 2.1.
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1
Una función es simplemente una regla que asigna un número en R a cada número en R . Por ejemplo, hay una función que asigna a cualquier número el número que es una unidad más grande. Escribimos esta función como f ( x) = x+ 1 . Al número 2 , le asigna el número 3 y al número
−3
2 le asigna el número
−1
2 . Escribimos estas asignaciones como:
2
f ( 2 ) = 3
f ( − 3 2 ) = − 1 2
y
La función que asigna a cualquier número su doble puede ser escrita como g ( x ) = 2 x. Escribimos g ( 4 ) = 8 y g ( −3) = 6 para indicar que esta función asigna 8 a 4 y
−6 a −3 ,
respectivamente.
A menudo, usamos una variable, digamos x , como la variable insumo, y otra variable, digamos
y , como el producto de la función. En esta notación, podriamos escribir las dos funciones f y g como: y= x+ 1
y
y= 2 x,
respectivamente. La variable insumo x es llamada la variable independiente, o en las aplicaciones económicas, la variable exógena. La variable y es llamada la variable dependiente, o en las aplicaciones económicas, la variable endógena. Polinomios
Hablando analíticamente, la más simple de las funciones son los monomios, aquellas funciones que pueden ser escritas como f ( x) = ax para algún número a y para algún entero positivo k
k ; por ejemplo, f1 ( x) = 3 x4 ,
f2 ( x) = − x7 , y
f3 ( x) = −10 x2
(1.1)
El exponente k que es un entero positivo es llamado el grado del monomio; el número a es llamado un coeficiente. Una función que está formada mediante la adición de monomios es llamado un polinomio. Por ejemplo, si añadimos los tres monomios de (1.1), obtenemos el siguiente polinomio
h ( x ) = − x7 + 3 x4 − 10 x 2 , donde nosotros escribimos los monomios del polinomio en orden de un grado decreciente. Para cualquier polinomio, el grado más alto de cualquier monomio que aparece en el es llamado el grado del polinomio. Por ejemplo, el grado del polinomio de arriba h es 7. Hay tipos de funciones más complejas: las funciones racionales, las que son ratios de polinomios, como
y=
x2 + 1 x1 −
,
y=
x5 + 7 x , 5
y=
x− 1 3
x+ 3 + x2
, y
y=
x2 − 1 2
x+ 1
(1.2)
funciones exponenciales, en las que la variable x aparece como un exponente, como por
ejemplo, y
x
= 10
; funciones trigonométricas, como y
=
sin x y y = cos x; y así
sucesivamente. 3
Gráficos
Usualmente, la información esencial de una función está contenida en su gráfico. El gráfico de una función de una variable consiste de todos los puntos en el plano Cartesiano cuyas coordenadas ( x, y ) satisfacen la ecuación y = f ( x) . En la Figura 2.2 de abajo, se incluyen los gráficos de las cinco funciones mencionadas más arriba.
Funciones crecientes y decrecientes
Las propiedades geométricas básicas de una función es saber si crecen o decrecen y la ubicación de su máximo y mínimo global. Una función es creciente si su gráfico se mueve hacia arriba desde la izquierda hacia la derecha. Más precisamente, una función f es creciente si
x1
>
x2
implica que
f ( x1 ) > f ( x2 )
Las funciones en los dos primeros gráficos de la Figura 2.2 son funciones crecientes. Una función es decreciente si su gráfico se mueve desde la izquierda hacia la derecha, esto es, si
x1
>
x2
implica que
f ( x1 ) < f ( x2 )
La cuarta función en la Figura 2.2, f2 ( x) = − x es una función decreciente. 7
Los puntos en los cuales la función cambia desde creciente a decreciente y viceversa son importantes. Si una función f cambia desde creciente a decreciente en x0 , el gráfico de f se
( x , f ( x ) ) , como en la Figura 2.3. Esto implica que el gráfico de f se ubica arriba del punto ( x , f ( x ) ) . Tal punto ( x , f ( x ) ) es llamado un mueve hacia arriba alrededor del punto
0
0
0
0
0
0
mínimo relativo o local de la función f . Si el gráfico de una función f nunca se ubica debajo
de
( x , f ( x ) ) , esto es, si f ( x) ≥ f ( x ) para todo x, entonces ( x , f ( x ) ) es llamado un 0
0
0
0
0
mínimo global o absoluto de f . El punto ( 0,0 ) es un mínimo global de f1 ( x) = 3 x en la 4
Figura 2.2.
Similarmente, si la función g cambia de creciente a decreciente en z0 , el gráfico de g se mueve hacia abajo en
( z , g ( z ) ) como en la Figura 2.4, y ( z , g ( z ) ) es llamado un máximo 0
0
0
0
relativo o local de g ; analíticamente, g ( x ) ≤ g ( z0 ) para todo x cercano a z0 . Si
g ( x ) ≤ g ( z0 ) para todo x; entonces, ( z0 , g ( z0 ) ) es un máximo global o absoluto de g . La función f3
= −10 x
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en la Figura 2.2. tiene un máximo local y uno global en ( 0, 0 ) .
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Dominio 1
Algunas funciones están definidas sólo en subconjuntos apropiados de . Dada una función
f , el conjunto de número x para los cuales f ( x ) está definida es llamada el dominio de la función f . Para cada una de las cinco funciones de la Figura 2.2, el dominio es todo el conjunto 1
de . Sin embargo, dado que la división por cero está indefinida, la función racional
f ( x ) =
1 x
no está definida en x = 0. Dado que está definida en cualquier otra parte, su 1
dominio es
−
{0} . Hay dos razones por las cuales el dominio de una función puede estar
restringido. La más común de las razones matemáticas para restringir el dominio es que uno no puede dividir por cero y uno no puede tomar la raíz cuadrada (o el logaritmo) de un número negativo. Por ejemplo, el dominio de la función h1 ( x ) = el dominio de la función h2 ( x ) =
1
( x − 1) 2
es todo x excepto
{−1,1} , y
x − 7 es todo x ≥ 7.
El dominio de una función puede también estar restringida por la aplicación en la cual la función surge. Por ejemplo, si C ( x ) es el costo de producir x autos, x es naturalmente un entero positivo. El dominio de C será el conjunto de los enteros positivos. Si redefinimos la función de costo de manera que F ( x ) es el costo de producir x toneladas de autos, el dominio de F es naturalmente el conjunto de los números reales no negativos: + ≡
{ x ∈
1
: x ≥ 0} .
La mitad de la línea de los reales no negativa, es un dominio común de las funciones que surgen en las aplicaciones. Notación. Si el dominio de la función real valorada y = f ( x) es el conjunto D ⊂ , 1
escribimos que 1 f : D → .
Notación de intervalos Hablando de subconjuntos de la línea, revisemos la notación estándar para los intervalos en 1
. Dados dos números
a y b , el conjunto de todos los números entre a y b es llamado un
intervalo. Si los puntos finales están excluidos, el intervalo es llamado un intervalo abierto y se escribe
( a, b ) = {x ∈ 1 : a < x < b}. Si los dos puntos finales están incluidos en el intervalo, el intervalo es llamado intervalo cerrado y escribimos
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[ a, b] = {x ∈ 1 : a ≤ x ≤ b}. Otras posibilidades:
( a, b ] [ a, b ) ( a, ∞ ) = {x ∈ 1 : x > a}
[ a, ∞ ) = { x ∈ 1 : x ≥ a} ( −∞, a ) = {x ∈ 1 : x < a} ( −∞, a ] = { x ∈ 1 : x ≤ a} ( −∞, ∞ ) = 1 Ejercicios. 2.1. Para cada una de las siguientes funciones, dibuje los gráficos. Luego responda las siguientes preguntas: a) ¿Dónde la función está creciendo y donde está decreciendo? b) Encuentre el mínimo y el máximo global de estas funciones: i) y
= 3x − 2
ii) y
= −2 x
iii) y
=
x2 + 1 3
iv) y = x 3
v) y = x vi) y
=
+
−
x x
x
2.2. En los modelos económicos es natural asumir que las funciones de costos son funciones crecientes del producto, ya que más producto requiere más insumo, lo cual debe ser pagado. Nombre dos tipos de funciones que surgen en los modelos económicos que son naturalmente funciones crecientes. Nombre funciones decrecientes. Nombre una que probablemente cambie de creciente a decreciente. 2.3. El grado de una función racional es el grado de su polinomio numerador menos el grado de su polinomio denominador. Cualquier entero, positivo, negativo o cero, puede ser el grado de una función racional. ¿Cuál es el grado de cada una de las funciones en (2)?. 2.4. Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones:
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a) y
=
b) y
=
c) y
=
1 x − 1
1 x − 1
1 x
d) y
=
e) y
=
f) y
=
2
+1
x x 2 − 1
1 − x2 1 1 − x 2 − 1
2.5 ¿Cuál es el dominio de cada una de las cuatro funciones racionales en (2)? 2.6 ¿Cuál es el dominio de las funciones económicas mencionadas en el Ejercicio 2.2?
Funciones Lineales
La más simple de las funciones posibles son los polinomios de grado 0: la función constante
f ( x) = b. Tales funciones asignan el mismo número b a cada número real x ; ellas son demasiado simples para ser interesantes. La más simple de las funciones interesantes son los polinomios de grado uno: funciones de la forma
f ( x) = mx+ b Tales funciones son llamadas funciones lineales porque precisamente son las funciones cuyos cuyos gráficos son líneas rectas, como será demostrado.
La pendiente de una Línea en el Plano
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