Clasificación de Secciones Introducción Las secc eccion iones estr estruc uctu tura rale less, sean ean lam laminad inadaas o arm armadas das, se pued puedeen cons consid ideerar rar com omoo un con conjunt juntoo de chap chapas as,, alguna algunass son internas (p.e (p.e.. las las alm almas de las las vigas igas abie abiert rtaas o las las ala alas de las las vigas igas cajón ajón)) y otra otrass son externas (p.e. las las alas alas de las las secc seccio ione ness abie abiert rtas as y las las alas alas de los los angu angula lare res) s) – figu figura ra 1. Dado Dado que que las las chap chapas as que que cons consti titu tuye yenn las las secc eccion iones estru struct ctuurale raless son rela relati tivvamen amente te delg delgad adaas com ompa para rada dass con sus anch anchos os,, cuan cuando do está estánn som omet etid idas as a com compres presió iónn (con (conse secu cuen enci ciaa de carg cargas as axil axiles es apli aplica cada dass a la secc secció iónn comp comple leta ta o com como cons consec ecue uenc ncia ia de esfu esfuer erzo zoss de flex lexión) ión) pued pueden en pand pandea earr loca localm lmen ente te.. La pred predis ispo possició iciónn de cual cualqu quie ierr elem lemento ento chap chapaa que que cons onstitu tituyye la sección transversa rsal a pan pandear, pue puede limitar la capacidad de dicha sección para soporta rtar carga axil, o bien limitar su resistencia a flexión al impedir que se alcance el limite elástico. Evitar que aparezca un fallo prem premat atur uroo debi debido do a los los efec efecto toss del del pand pandeo eo loca locall es posi posibl blee limi limita tand ndoo la rela relaci ción ón anch anchoo-es espe peso sorr para para cada cada chap chapaa individual que constituye la sección transversal. En esto se basa la idea de la clasificación de secciones. Externo Interno
Interno
Externo Alma
Interno Alma
Ala (a) Sección I laminada
Alma
Ala
Ala (b) Sección hueca
Interno
(c) Sección cajón soldada
Figura 1 Elementos internos internos o externos
Clasificación El EC3 def define ine cuat cuatro ro clas lases de secc eccione ioness tran transsvers ersales les. La clas lase en la que que una una secció cciónn part partic icul ulaar alc alcanza anza el agot agotam amie ient ntoo depe depend ndee de la esbe esbelt ltez ez de cada cada elem elemen ento to (def (defin inid idaa media ediant ntee una una rela relaci ción ón anch anchoo-es espe peso sor) r) y de la dist distrib ribuc ució iónn de tens tensio ione ness de comp compre resi sión ón:: unif uniform orme, e, line lineal alme ment ntee varia variable ble...... Las Las clas clases es se defi define nenn en térm términ inos os de sus requerimientos de resistencia a los momentos flectores: Clas Clasee 1 Las seccio ccionnes tra transv nsvers ersale ales en las las que que se pued puedee form formaar una rótu rótula la plás plásti tica ca con la capa capaci cida dadd de giro iro requerida para un análisis plástico. Clas Clasee 2 Las Las secc seccio ione ness tran transv sver ersa sale less en las las que que se pued puedee alca alcanz nzar ar el mom omen ento to plás plásti tico co,, pero pero con con una una capa capaci cida dadd de giro limitada. Por tanto no resultan indicadas para las estructuras diseñadas mediante un análisis plástico. Clas Clasee 3 Las Las secc seccio ione ness tran transv sver ersa sale less en las las que que la tens tensió iónn en la fibr fibraa más com comprim primid idaa de la piez piezaa pued puedee alca alcanz nzar ar el límite elástico pero en las que la abolladura local puede impedir alcanzar el momento plástico. Clase 4 Las secciones transversales en las que para determinar su resistencia a momento flector o a la compresión, es necesario tener en cuenta explícitamente los efectos locales de abolladura.
Máximas relaciones anchura espesor en piezas comprimidas
2
Máximas relaciones anchura espesor en piezas comprimidas Máximas relaciones anchura espesor en piezas comprimidas
3
Piezas sometidas a Tracción Introducción El diseño básico de una pieza a tracción es muy simple – aportar la suficiente sección transversal para resistir el esfuerzo aplicado. Una vez que se ha obtenido la magnitud del esfuerzo a soportar y la resistencia del material ha sido establecida, es posible calcular el área requerida de la sección transversal. Sin embargo, la unión de las piezas traccionadas es, lo mismo que para otros tipos de piezas, una consideración muy importante a tener en cuenta dado que en muchos casos puede gobernar el diseño de la pieza siendo un criterio básico en el diseño y selección de una sección. Normalmente las piezas traccionadas se diseñan utilizando perfiles laminados (Angulares, IPs, HEs, UPN), barras o chapas. Esta lección se refiere al diseño de piezas traccionadas constituidas a partir de dichas secciones sometidas a cargas estáticas – no se consideran cables.
Conexiones Es habitual asumir que la distribución de tensiones de tracción en una pieza traccionada es uniforme. No obstante las conexiones de la pieza pueden afectar la validez de esta suposición de dos modos. En primer lugar, si se emplean tornillos el área de la sección transversal se reduce debido a los agujeros practicados y las tensiones alrededor de los agujeros se incrementan localmente tal y como se muestra en la figura 1. En segundo lugar, cierta excentricidad en las conexiones es a menudo inevitable y por lo tanto aparecen momentos secundarios. Estos problemas pueden ser tenidos en cuenta utilizando para el cálculo de la resistencia plástica de diseño, un área neta efectiva en lugar de la sección bruta.
x
σ0
σ
(a)
T
T
T
T
Fy
(b) Tensiones elásticas
(c) Tensi ones últimas
4
Figura 1 Distribución de tensiones en una sección con agujeros
Resistencia de la Sección Transversal Para piezas no conectadas mediante tornillos, la resistencia a tracción de cálculo es la resistencia plástica de cálculo de la sección transversal bruta. Dada por: N pl.Rd
=
Af y
γ M0
(1)
donde A es el área bruta de la sección transversal f y es el límite elástico del acero γ M0 es el coeficiente parcial de seguridad del acero. Para piezas atornilladas la resistencia de la sección se debilita debido a la reducción del área de la sección transversal por la presencia de agujeros y se requiere una comprobación adicional. A pesar de que los agujeros inducen concentraciones de tensiones (figura 1) la ductilidad del acero permite asumir una distribución de tensiones uniforme a través de la sección neta en el estado límite último. De este modo la resistencia última de cálculo de la sección neta se tomará como: A f N u.Rd = 0,9 net u (2) γ M 2 donde Anet es el área neta de la sección transversal f u es la resistencia última de tracción del acero γ M2 es el coeficiente parcial de seguridad para la resistencia de la sección neta, el cual tendrá probablemente un valor diferente de γ M0 El factor 0,9 es un coeficiente de reducción para tener en cuenta las excentricidades, concentración de tensiones, etc. La resistencia a tracción de cálculo (Nt.Rd) se toma entonces como el menor valor de los proporcionados por las ecuaciones (1) y (2), y se debe comparar con el valor de cálculo del esfuerzo de tracción aplicado (Nsd).
Determinación del área neta El área neta de la sección transversal se obtiene deduciendo de la sección bruta los agujeros de los tornillos y otras aberturas. (Para angulares conectados por un ala, y secciones en T y en U conectadas por las alas se aplican reglas especiales). Por cada agujero, la deducción es el área de la sección bruta transversal del agujero - véase figura 2. Cuando los tornillos están alineados, el área total a deducir de cualquier sección transversal perpendicular al eje de la pieza es la máxima suma de las áreas seccionales de los agujeros. Cuando los tornillos están colocados al tresbolillo el área total a deducir es la mayor de las áreas obtenida para los agujeros cruzando una sección transversal perpendicular o la suma de las áreas de todos los agujeros en cualquier línea diagonal o en zigzag que cruce la pieza menos s2t/4p por cada espacio transversal en la cadena de agujeros – ver figura 2.
5
1,2 Diámetro agujero, d
B
p Dirección de la tracción
Espesor chapa, t
s
s
2
1
En la sección 1-1, Área neta = B·t – d·t
- El área mínima se toma como Anet
En la sección 2-2,
s2 t Área neta = B·t – 2·d·t + - El área mínima se toma como Anet 4p donde s: es el paso entre agujeros paralelo al eje de la pieza p: es el espacio entre líneas medido perpendicularmente al eje de la pieza (en piezas con agujeros en más de un plano, p se medirá a lo largo de la línea trazada por la mitad del espesor de la sección)
p
Figura 2 Área neta
6
Vigas lateralmente arriostradas Introducción Las vigas son tal vez los elementos estructurales más básicos. Es posible utilizar una gran variedad de formas de sección para las vigas dependiendo de la magnitud de las cargas y de la luz, como se muestra en la Tabla 1 Tipo de viga
Rango de luces (m) 3-6
0.
Angulares
1.
Secciones conformadas en frío
4-8
2.
Perfiles laminados UB, IPE, UPN, HE
1 - 30
3.
Viguetas de alma abierta
4 - 40
4.
Vigas de alma aligerada
6 - 60
5.
Secciones compuestas p.e. IPE + UPN
5 - 15
6.
Vigas armadas planas
10 - 100
7.
Vigas en cajón
15 - 200
Notas
Empleadas para correas de cubierta, fachadas, etc. Allí donde se requiera soportar cargas ligeras. Empleadas para correas de cubierta, fachadas, etc. Allí donde se requiera soportar cargas ligeras. Resultan ser los tipos de sección más utilizados; las relaciones espesor/ancho de sus elementos están pensadas para eliminar diversos tipos de fallos Se trata de vigas prefabricadas a partir de angulares o tubos como cordones y redondos para las diagonales del alma; usadas en lugar de perfiles laminados. Utilizadas para luces importantes y/o cargas ligeras, la altura del perfil de base se incrementa en un 50%. Las aberturas del alma se pueden emplear para paso de servicios, etc. Empleadas cuando un único perfil laminado no proporciona la suficiente capacidad resistente. A menudo se disponen de modo que sean capaces de desarrollar también, buena resistencia a la flexión horizontal. Elaboradas soldando 3 chapas (típico: alas + alma). La altura del alma puede llegar hasta los 3-4m. Con frecuencia precisan ser rigidizadas. Fabricadas a partir de chapas casi siempre rigidizadas. Utilizadas para puentes y mástiles de grúas dado su buen comportamiento a torsión y su elevada rigidez transversal.
Tabla 1 Típicas secciones de vigas para varias aplicaciones A menudo las vigas de acero pueden diseñarse simplemente sobre la base de su resistencia al momento flector (asegurándonos de que el momento de agotamiento de la sección transversal seleccionada supera el máximo momento aplicado) y de su rigidez, esto es, que la viga no se deforme tanto que pueda afectar sus condiciones de servicio.
7
Las vigas que son incapaces de desplazarse lateralmente y salirse por tanto de su plano de flexión las denominamos “vigas arriostradas”, y debido a su restricción lateral no se encuentran afectadas por situaciones de pandeo lateral. Las vigas se pueden considerar arriostradas si:
• Un arriostramiento transversal completo lo proporciona por ejemplo un forjado acoplado al ala superior de una viga simplemente apoyada que lo soporte (muchos diseñadores consideran la fricción generada entre losa de hormigón y viga de acero para constituir una sujeción efectiva).
• El adecuado arriostramiento transversal del ala comprimida lo proporciona, por ejemplo la chapa perfilada de cubierta.
• Se disponen elementos de arriostramiento suficientemente próximos entre sí de modo que la esbeltez relativa al eje débil sea menor (véase vigas no arriostradas para detalles). Adicionalmente, las secciones flectadas alrededor de su eje débil no fallan debido a inestabilidad por pandeo lateral y es improbable que secciones con elevada rigidez torsional y lateral (p.e. secciones tubulares rectangulares) fallen por este motivo. El material presentado en este tema presupone un adecuado arriostramiento lateral de las vigas. En la práctica es responsabilidad del diseñador asegurar que los detalles estructurales son consistentes con tal suposición.
Resistencia a momento flector En una viga simplemente apoyada de un solo vano, como se muestra en la figura 1, el fallo se produce cuando el valor de cálculo del momento flector (Msd) supera la resistencia de cálculo a flexión de la sección transversal, cuya magnitud depende de la forma de la sección, la resistencia del material y de la clasificación de la sección. En situaciones en las que el esfuerzo cortante sobre la sección transversal sea suficientemente pequeño para poder despreciar su influencia sobre la resistencia a flexión de la sección (EC3 establece un valor del cortante del 50% de la resistencia plástica a cortante), la resistencia de cálculo a flexión de la sección (Mc,Rd) se puede tomar como:
• Para secciones de clases 1 y 2, el momento resistente plástico de cálculo de la sección bruta Mc.Rd = M pl.Rd =
W pl. f y
γ M0
(1)
• Para secciones de clase 3, el momento resistente elástico de cálculo de la sección bruta Mc.Rd = Mel.Rd =
Wel f y
γ M0
(2)
• Para secciones de clase 4, la resistencia a pandeo local de cálculo Mc.Rd = Mo.Rd =
Weff . f y
γ M1
(3)
8
Carga aplicada F p
B
θ F F
F
θ
2θ L/2 L/2
A Plástico Elastoplástico
F
Elástico
Flecha en el centro δ
Figura 1 – Comportamiento de una viga simplemente apoyada Si hubiera agujeros para tornillos en el ala traccionada de la sección transversal que se comprueba, se requiere adicionalmente chequear que la relación entre la sección neta y la bruta del ala no es tan pequeña como para que se produzca el fallo por tracción en la sección neta antes de que la sección bruta haya superado el límite elástico. Esta verificación que es la misma que la dada para piezas dúctiles traccionadas, queda satisfecha probando que la relación Af.net/Af para el ala traccionada no es menor que 0,81 o 0,88 para aceros S275 y S355 respectivamente siendo los espesores de ala menores de 40mm. Cuando la relación Af.net/Af es inferior al límite dado, se puede tomar un área reducida del ala (Af ) que satisfaga el límite establecido. Es decir el área reducida del ala será el resultado de dividir Af.net por el valor límite. Los agujeros para los tornillos en la zona traccionada del alma deberían ser considerados de modo similar. Conviene apuntar que para estructuras continuas (estáticamente indeterminadas) el momento resistente de cálculo en el punto de máximo momento obtenido a partir de un análisis elástico no conducirá normalmente al colapso (véase figura 2). En su lugar la sección transversal en dicho punto se comportará como una rótula (una vez probado que cumple el requisito de la capacidad de rotación) y el modelo de momentos sobre la estructura variará de la distribución elástica original a medida que las sucesivas rótulas se formen. La redistribución de momentos permite a la estructura soportar cargas más allá de las que producen la primera rótula hasta que se hayan formado las rótulas suficientes para transformar la estructura en un mecanismo. Esto sería un diseño plástico y requiere una sección transversal que pueda girar mientras soporta el momento resistente plástico. Es decir se precisa una sección de clase 1.
9
Carga F
Elasto-plástico F F
Fc
F1st hinge
θ
F
θ θ
F
2θ
2θ L/2
Fyield
L/2
Comportamiento de acuerdo con la teoría plástica simple
θ
L/2
L/2
Plástico
Comportamiento real F
F F
F
Elástico
B
A L
C L
Flecha bajo carga
δ
Figura 2 - Curva carga flecha para una viga estáticamente indeterminada
Resistencia a cortante El momento flector gobierna el diseño de las vigas de acero pero la resistencia que se precisa a cortante puede ser significativa en el caso de vigas cortas con cargas concentradas elevadas. La figura 3 muestra la distribucción de tensiones tangenciales en una sección I suponiendo un comportamiento elástico. Casi todo el esfuerzo cortante es soportado por el alma y dado que la variación de tensiones tangenciales a lo largo del alma es muy pequeña es suficientemente preciso suponer en el cálculo una tensión tangencial media uniforme sobre el alma.
10
τ max
τ
=
3V 2ht
τ
h
Sección transversal b
Variación de tensiones tangenciales τ τ τ =
τ h
t f
Vhb 4I
τ τ max
τ tw Sección transversal
τ τ =
=
Vhb 1 + h 4b 2I
Vhb 2I
Variación de tensiones tangenciales τ Figura 3 –
Distribución de tensiones tangenciales en vigas En un estado tensional de cortadura simple (solo tensiones tangenciales) el acero se agota al alcanzar una tensión tangencial de 1 / 3 f y . Por tanto, el valor de cálculo del esfuerzo cortante (Vs.d) en cada sección transversal se compara con el valor de cálculo de la resistencia plástica a cortante V pl.Rd del área de cortante (Av). V pl.Rd = Av
( f y / 3 ) γ MO
(4)
Áreas de cortante para un rango de tipos de sección se muestran en la tabla 2. La ecuación 4 es válida para almas que sean lo suficientemente robustas para que la abolladura por cortante no sea posible. La resistencia a abolladura por cortante deberá comprobarse si la esbeltez del alma (d/tw) supera los 63,8 o 56,1 para aceros de grado S275 y S355 respectivamente.
11
Tabla 2 Areas de cortante Av para secciones típicas Laminados
Perfiles I y H
Carga paralela al alma
1,04 h tw *
Carga paralela al alma
(h - 2tf ) tw
h
tw
h
tw
Armados Carga paralela a las alas
d
A- (h - 2tf ) tw *
tw
Perfiles laminados UPN
Perfiles laminados angulares
Carga paralela al alma
1,04 h tw *
Carga paralela al lado mayor
ht
Carga paralela al lado mayor
Ah/(b + h) **
Perfiles laminados huecos
h
tw
h
t
h
b
rectangulares de espesor uniforme Carga paralela al lado menor
Ah/(b + h) **
b
h
Perfiles huecos circulares y tubos de espesor uniforme
0,6 A **
Chapas y piezas sólidas
A **
Se trata de una fómula aproximada. Valores más precisos de Av para perfiles laminados se pueden obtener a partir de las expresiones siguientes: • Para perfiles I y H: Av = A - 2btf + (tw + 2r) tf • Para perfiles en U: Av = A - 2btf + (tw + 2r) tf Es conveniente tener en cuenta que 1,04/√3 = 0,60 y así para perfiles laminados en I, H o U: V pl.Rd = 0,60 h tw f y / γM0 ** A es el área total de la sección transversal *
12
Resistencia a momento flector y esfuerzo cortante Cuando el esfuerzo cortante supere el 50% del valor de cálculo de la resistencia plástica a esfuerzo cortante, el momento resistente de cálculo de la sección transversal se debe de reducir para tener en cuenta la interacción flector+cortante. Se asume que bajo una combinación de tensiones normales y tangenciales el agotamiento viene dado por la fórmula de interacción. 2
2
σ τ + = 1 f y τ y
(5)
El momento plástico de cálculo de una sección que debe de soportar un esfuerzo cortante significativo coexistente con el momento flector se calcula empleando un límite elástico reducido para el área de cortante. Este límite elástico reducido depende de la relación entre el esfuerzo cortante solicitante y el correspondiente valor de agotamiento y viene dado por la expresión.
2Vsd p = − 1 V pl.Rd
2
(6)
Siendo (1-p)f y el límite elástico reducido para el área de cortante. Así, para una viga con sección en I o H, flectada alrededor de su eje de mayor inercia, lo anterior conduce a una resistencia plástica de cálculo a flexión reducida (Mv.Rd) en presencia de cortante significativo. M v.Rd
= Wpl −
pA 2v f y 4 tw
γ Mo
(7)
Flexión esviada Las vigas flectadas respecto de ambos ejes de la sección transversal poseen un eje neutro plástico inclinado respecto de los anteriores una magnitud que depende de la relación entre los momentos aplicados y de la forma precisa de la sección. La figura 4 (ESDEP 7.8.2. Fig11) muestra la curva de interacción para total plasticidad de una sección en I bajo carga biaxial. La forma de la interacción puede expresarse mediante α
M y.Sd M z.Sd β + Mc yRd M czRd .
(8)
Comprobaciones de servicio Además de las comprobaciones de resistencia mencionadas anteriormente, es necesario verificar el comportamiento de las vigas frente a los estados límites de servicio. Las flechas y vibraciones de las vigas deben de limitarse para evitar situaciones indeseables que afecten a la apariencia o al uso eficaz de la estructura, provocando problemas a sus usuarios o dañando otros elementos del edificio. Los límites admisibles para las flechas deberían ser acordados entre el cliente de la estructura, su diseñador y las autoridades competentes. Como guía la tabla 3 da unos valores límites recomendados para flechas verticales. Límites Condiciones Techos en general Techos con utilización frecuente por personas distintas de las encargadas del mantenimiento
δmax
δ2
L/200 L/250
L/250 L/300
13
Suelos en general Suelos y techos que soporten escayola u otros acabados frágiles, o tabiques no flexibles. Suelos que soporten pilares (a no ser que la flecha haya sido incluida en el análisis global para el estado limite último) Donde δmax pueda empeorar la apariencia del edificio
L/250 L/250
L/300 L/350
L/400
L/500
L/250
-
Tabla 3 Valores límite recomendados para flechas verticales Para estructuras abiertas al público es importante asegurar que las oscilaciones y vibraciones no son tan grandes como para causar molestias a sus usuarios. La verificación de la conveniencia de un diseño puede realizarse mediante un análisis dinámico pero en muchos casos con limitar la flecha es suficiente. Por ejemplo, la frecuencia natural más baja para los forjados de piso en viviendas y oficinas debería ser superior a 3 ciclos/segundo. Esta condición será satisfecha si la flecha total instantánea (véase tabla 3) es menor de 28mm. Para pisos en gimnasios o salas de baile, la frecuencia natural más baja no debería ser inferior a 5 ciclos/segundo. En este caso una flecha límite de 10mm permitiría satisfacer la condición. Las cubiertas planas (pendientes menores de 5º) son vulnerables a las goteras si la cubierta se deforma de modo que pueda embalsarse agua. Es por tanto necesario controlar cuidadosamente las deformaciones incluyendo las tolerancias de ejecución, asientos de cimentaciones, deformaciones de los materiales de cubierta, etc.
14
Vigas no arriostradas Introducción Cuando un elemento estructural esbelto es cargado en su plano de mayor rigidez surge una tendencia de dicho elemento a agotarse por pandeo en un plano más flexible. En el caso de una viga sometida a flexión alrededor de su eje de mayor inercia, el fallo puede sobrevenir debido a un modo de pandeo que incluye tanto la deformación lateral como el alabeo de la viga y que denominamos pandeo lateral. La figura 1 ilustra el fenómeno sobre una ménsula solicitada por una carga puntual vertical en su extremo libre. Extremo empotrado
Posición descargada Posición deformada
Peso muerto carga aplicada verticalmente
Figura 1 Pandeo lateral de una ménsula esbelta Si la ménsula fuera perfectamente recta y su sección transversal fuera perfectamente elástica y estuviera inicialmente libre de tensiones, el extremo de la ménsula se deformaría solamente según el plano vertical sin deformación fuera de dicho plano hasta que el momento aplicado alcanzase un valor crítico a partir del cual la viga pandease lateralmente. Un procedimiento de diseño para vigas susceptibles de fallar por pandeo lateral precisa tener en cuenta un gran número de factores – incluyendo la forma de la sección, el grado de arriostramiento lateral, el tipo de carga, la distribución de tensiones residuales, las imperfecciones iniciales – y por lo tanto es bastante complejo. Es conveniente en un principio considerar un modelo básico que posteriormente pueda desarrollarse para incluir casos más generales.
Pandeo elástico de una viga simplemente apoyada La figura 2 muestra una viga en I inicialmente recta y perfectamente elástica, solicitada por dos momentos iguales y de sentido contrario aplicados en los extremos respecto del eje de mayor inercia (en el plano del alma). La viga no se encuentra arriostrada a lo largo de su longitud salvo en las secciones extremas donde tienen impedidos mediante un apoyo de horquilla, el desplazamiento lateral y el alabeo pero tienen libertad para girar tanto en el plano del alma como en el plano horizontal. La forma de la viga alabeada y las deformaciones resultantes se muestran también en la figura (nótese que sólo se muestra media viga, y las deformaciones acotadas se refieren a la mitad de la luz).
15
M
M L Perfil
Alzado
Planta z x u
y
φ
Figura 2 Pandeo lateral de una viga I simplemente apoyada solicitada por momento flector uniforme El momento necesario para provocar el pandeo lateral puede obtenerse teniendo en cuenta el efecto perturbador de los momentos aplicados en los extremos, actuando a través de la viga deformada, sobre la resistencia interna de la sección (torsional y a flexión). El valor crítico de los momentos aplicados en los extremos, el denominado momento crítico elástico (Mcr ), vale
π 2 EI z I w L2 GI t Mcr = + 2 L2 I z π EI z
0.5
(1)
donde It es el módulo de torsión; I w es el módulo de alabeo Iz es el momento de inercia respecto del eje débil; L es la longitud sin arriostrar de la viga. La presencia de rigidez a flexión (EIz) y rigidez torsional (GIt y EIw) en la ecuación es una consecuencia directa de los componentes laterales y torsionales en las deformaciones. La importancia relativa de estos items dependerá del tipo de sección transversal considerada. La figura 3 ilustra este punto comparando el momento crítico elástico de una sección en cajón (la cual posee elevadas rigideces torsional y de flexión) con secciones abiertas de diversas formas.
16
1. 0
0. 1 Relación entre Mcr y el M cr para una sección en cajón
0.01
0.001 0
10
20
40
30
50
60
70
Relación longitud altura
Figura 3 Efecto de la forma de la sección transversal sobre el momento crítico elástico teórico La figura 4 compara valores del momento crítico elástico (Mcr ) para una viga en I y otra en H con capacidades similares de momento plástico en el plano de flexión. El pandeo lateral es una consideración de diseño potencialmente más significativa para la sección de viga que presenta una rigidez lateral y torsional mucho menor.
Sección -Ι
14
Mcr Mp
Sección - H
457x152 UB 60
12
10
Wpl (cm3 )
1284
1228
Ι (cm4 ) Ι z (cm4)
25464
14307
79 4
4849
J (cm )
31,5
97,6
Ι w (cm4 )
386700
716400
4
8
254x254 UC 89
6 254x254 UC 89
M
M
4
L 457x152 UB 60
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
L (m)
Figura 4 Comparación de momentos críticos elásticos para secciones en I y H
Desarrollo de un procedimiento de diseño 17
En la realidad las vigas no son perfectamente rectas ni el material es elástico. La Figura 5 muestra los efectos de las tensiones residuales y del endurecimiento por deformación sobre la resistencia a pandeo lateral. Nótese que para valores de esbeltez elevada el comportamiento está bien representado por la teoría de pandeo elástico pero en las vigas robustas hay una interacción compleja a medida que el comportamiento anelástico provoca una reducción de la capacidad, y para vigas muy robustas la capacidad esta limitada por la resistencia plástica de la sección. La aplicación de un tratamiento teórico del problema sería demasiado complejo para el diseño habitual de modo que se precisa combinar la teoría con los resultados de ensayos para disponer de un método de diseño fiable (seguro).
y
M / M l a n o i s n e m i d a o c i t í r c o t n e m o M
Endurecimiento por deformación
Pandeo elástico Plasticidad total M=Mp Vigas sin tensiones residuales
Figura 5 Resistencias de pandeo lateral de vigas I biapoyadas Vigas soldadas con tensiones
La Figura 6 compara un conjunto típico de datos obtenidos de ensayos de pandeo lateral con los momentos residuales críticos elásticos teóricos dados Vigas por la laminadas ecuación 1. Se ha usado un gráfico adimensional dado que permite representar los resultados de diferentes series de ensayos (que presentan diferentes secciones transversales y con tensiones resistencias del material) para serresiduales comparados directamente por medio de una esbeltez adimensional, λ LT. M M Para vigas robustas ( λ LT < 0.4) la capacidad resistente no se encuentra afectada por el pandeo lateral y esta gobernada por el momento resistente plástico de la sección transversal. Las vigas esbeltas ( λ LT > 1.2) tienen capacidades resistentes próximas al momento crítico elástico teórico, Mcr . Sin embargo, las vigas con una esbeltez intermedia, que representan muchas vigas en la práctica, están afectadas negativamente y de modo significativo por la inelasticidad y por las imperfecciones geométricas y por ello la teoría elástica proporciona Relación esbeltez una envolvente superior de la solución. Sede requiere una L/r expresión de cálculo que permita ligar la capacidad y plástica de las vigas robustas con el comportamiento elástico de vigas esbeltas. El EC3 proporciona en este sentido una solución mediante el empleo de un coeficiente de reducción por pandeo lateral, χ LT.
18
M Mpl 1, 0 Mcr Mpl
0 ,8 0, 6 0 ,4 0, 2
Stocky
Intermediate
Slender
0 0 ,2 (a)
0 ,4
0 ,6
Comparison of
0, 8
test
1 ,2
1, 0
data w it h
1,4
L iz
cr
M M pl 1, 0
M M
0, 8
cr pl
0, 6 0, 4 0, 2
Robust a
Esbelt a
Intermedia
0 0 ,2
0 ,4
0 ,6
0, 8
1, 0
1 ,2
1,4
λLT =
M pl M cr
Figura 6 Comparación de datos de ensayos con los momentos críticos elásticos teóricos
La resistencia de cálculo al pandeo lateral (M b.Rd) de una viga sin arriostramiento lateral viene dado entonces como : M b.Rd = χ LT β w W pl.y f y/γm1
(2)
dicho valor es de hecho la resistencia plástica de la sección multiplicada por el coeficiente de reducción ( χ LT). La Figura 7 muestra la relación entre χ LT y la esbeltez adimensional, λ LT Las curvas mostradas están expresadas por
χ LT =
1 φ
+ [φ LT
2
LT − λ
2 0.5
]
(3)
LT
donde
φ LT
= 0.51 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT 2
(4)
en la cual αLT es un coeficiente de imperfección, tomado como 0,34 para perfiles laminados y 0.49 para secciones armadas, con sus tensiones residuales más severas.
19
T L χ
1,0
n ó i c c 1,0 u d e r e d 0,6 e t n e i c i f 0,4 e o C
Perfiles laminados
Vigas armadas
0,2
0
0,5
1,5
1, 0
2,0
Esbeltez λ LT
Figure 11 Lateral-t orsional buckling
Figura 7 Coeficiente de reducción de pandeo lateral La esbeltez adimensional λ LT , definida como M bRd / M cr , puede obtenerse bien calculando el momento resistente plástico y el momento crítico elástico (véase Appendix F.1) o más convenientemente por medio de la relación:
λ 0.5 λ LT = LT β w λ1
(5)
donde
E λ 1 = π f y
0.5
(6)
y λLT puede calcularse utilizando las expresiones apropiadas para una variedad de formas de sección (véase Apendice F.2.2.). Por ejemplo, para una viga lisa (sin rebordes) en I o H con alas iguales, y sometida a momento uniforme con apoyos extremos simples,
λ LT
=
L/iz
1 L/iz 2 1 + 20 h/t f
0.25
(7)
20
Extensión a otros casos 1. Tipo de carga Un momento uniforme aplicado a una viga no arriostrada es la situación más severa que podemos considerar para el pandeo lateral. Un análisis elástico de casos de carga alternativos proporciona valores más altos para los correspondientes momentos críticos. Por ejemplo, el momento crítico elástico para una momento uniforme es (reorganizando la ec. (1))
M cr =
π L
EI z GI t 1 +
π 2 EI w
(8)
2
L GI t
Pero para una viga con una carga puntual en el centro el momento crítico de pandeo lateral es:
M cr =
4.24
EI z GI t 1 +
L
π 2 EI w
(9)
2
L GI t
lo que significa un valor 4.24/ π veces mayor que el caso de partida. El EC3 emplea un factor C1, Figura 8 (dependiente del aspecto del diagrama de momentos.) para permitir que en otras situaciones de carga, el momento crítico se pueda incrementar adecuadamente. El coeficiente C1 aparece como un simple multiplicador en las expresiones del Mcr (véase EC3 ec. F.2) o bien como 1 / C 1 en las expresiones que permiten obtener λLT. Mcr = C 1 Viga y cargas M
π
L
EI GJ
Momento flector
1+
π
2
EI w
2
L GJ M max
C1
M M
1,00
M
1,879
M
M
-M
F
F
F =
=
F =
=
M
2,752
FL 4
1,365
FL 8
1,132
FL 4
1,046
F =
=
3FL 16
0,68
Figure 9 Equivalent uniform moment fact ors ,m, for simply supported beams
Nota: Los valores corresponden a un factor de longitud efectiva k de 1,0
Figura 8 Coeficientes C1 de momento uniforme equivalente 21
.2. Punto de aplicación de la carga La estabilidad lateral de una viga no solo depende de la disposición de las cargas a lo largo de su luz sino también de la posición en donde se aplica la carga relativa al centro de gravedad de la sección. La Figura 9 ilustra el efecto que tendría el posicionar la carga por encima o por debajo del centroide para una viga de un solo vano con una carga puntual en el centro del vano m
e1,4 t n e l a v i u1,2 q e e m r 1,0 o f i n u o t n0,8 e m o m e0,6 d r o t c a0,4 F
F a= d/2
F a= 0
F
1
F
a= d/2
10
100
2
1000
L GI t EI w
Fi ure 10 Effect of level of loadin on beam
Figura 9 Efecto de posición de la carga en la estabilidad de la viga Las cargas aplicadas sobre el ala superior aumentan el efecto desestabilizador como consecuencia del momento de alabeo adicional provocado por la acción de la carga que no pasa por el c.d.g. de la sección. La influencia de este comportamiento se hace más significativa a medida que el canto de la viga aumenta y/o la luz se reduce dado que L2GIt/EIw se hace menor. De nuevo el EC3 tiene en cuenta esta situación introduciendo un factor C2 en la ecuación general del momento crítico elástico y en las expresiones para λLT (véase EC3 ec. F.27 - F.31).
3. Condiciones de vinculación en los extremos En todo el planteamiento anterior se han supuesto condiciones de vinculación en los extremos que no permiten el movimiento lateral ni el alabeo de dichas secciones pero si permiten su giro en el plano de la viga. Las vinculaciones extremas que restringen el giro en el plano, aumentan la resistencia a pandeo elástico (en el mismo sentido que las capacidades resistentes de los pilares se ven incrementadas mediante las restriciones al giro de sus extremos). Un modo apropiado de incluir el efecto de diversas condiciones de vinculación es redefinir la longitud sin arriostrar de la viga como un longitud efectiva, o bien de forma más precisa mediante dos coeficientes de longitud efectiva., K y K w. Los coeficientes reflejan los dos tipos posibles de restricción en los extremos, coacción a la flexión y coacción al alabeo. Sin embargo debe tenerse en cuenta que resulta recomendable que K w valga 1,0 a no ser que se hayan tomado medidas especiales para evitar el alabeo de los extremos. El EC3 recomienda valores para K de 0.5 en extremos empotrados, 0.7 para piezas con un extremo articulado y el otro empotrado y por supuesto 1.0 para piezas con sus dos extremos articulados. La elección de K se deja al criterio del diseñador.
4. Vigas con arriostramientos laterales intermedios Cuando las vigas dispongan de puntos de arriostramiento lateral intermedios a lo largo de su luz, cada 22
segmento de viga entre arriostramientos puede estudiarse por separado. En este caso el diseño de la viga estará basado en el segmento más crítico. Para las longitudes de las vigas entre arriostramientos deberemos emplear un coeficiente de longitud efectiva K de 1.0 no 0.7, dado que en la forma pandeada la longitud sin arriostrar adyacente pandeara en sintonía.
5. Vigas contínuas Las vigas contínuas por encima de un número de vanos pueden tratarse como vanos individuales teniendo en cuenta la forma del diagrama de momentos flectores en cada uno de los vano como un resultado de la continuidad y empleando el coeficiente C 1.
23
Pilares Introducción El término “pieza comprimida” generalmente se utiliza para describir elementos estructurales sometidos solamente a cargas axiles de compresión; este término puede describir pilares (bajo condiciones especiales de carga) pero generalmente se refiere a barras comprimidas con los extremos articulados pertenecientes a celosías, vigas de celosía o elementos de arriostramiento. Si estas piezas están sometidas a momentos importantes añadidos a las cargas axiales son denominados vigas-pilares. Esta lección se refiere a las piezas comprimidas y, por lo tanto, concierne a muy pocos pilares reales dado que las excentricidades de las cargas axiales y las fuerzas transversales normalmente no son despreciables. No obstante los elementos comprimidos representan un caso elemental que conduce al entendimiento de los efectos de la compresión en el estudio de las vigas-pilar. Dado que la mayoría de las piezas de acero comprimidas son mas bien esbeltas es fácil que puedan pandear. La lección describe brevemente las diferentes clases de piezas comprimidas y explica el comportamiento de los pilares esbeltos y los pilares robustos. También se dan las curvas de pandeo utilizadas para el diseño de pilares esbeltos.
Pilares poco esbeltos Los pilares robustos tienen una esbeltez muy baja de manera que no se ven afectados por el pandeo global de la pieza. En tales casos la capacidad de la pieza a compresión viene dada por la resistencia a compresión de la sección transversal, que es función de la clasificación de la sección. Las secciones transversales de clases 1, 2, 3 no están afectadas por pandeo local y de ahí que la resistencia de cálculo a compresión se tome como la resistencia plástica, Nc.Rd = N p R d = Af y /γΜ0 (1) Para secciones transversales de clase 4, el pandeo local en uno o mas elementos de la sección transversal impide alcanzar la carga de agotamiento por compresión y así la resistencia a compresión de la pieza está limitada a la resistencia a pandeo local, Nc.Rd = No Rd = Aeff fy /γΜ1 Donde Aeff es el área de la sección transversal efectiva determinada de acuerdo con el apartado 5.3.5. (ver también lección de Pandeo Local).
Pilares esbeltos de acero Dependiendo de su esbeltez, los pilares presentan dos tipos diferentes de comportamiento: los que tienen una esbeltez alta, que presentan un comportamiento a pandeo cuasi elástico mientras que los que tienen una esbeltez media son muy sensibles a los efectos de las imperfecciones. Si
ℓcr es
la longitud crítica, la carga crítica de Euler N cr es igual a:
N cr =
π 2 EI 2
ℓcr
(3)
y es posible definir la tensión crítica de Euler σ cr como: N cr π2 EI σ cr = = A ℓcr 2A
(4)
Introduciendo el radio de giro, i= I / A , y la esbeltez, λ = ℓcr / i, para el modo significativo de pandeo, la 24
ecuación(4) se transforma en:
π2 E σ cr = 2 λ
(5)
Trazando la curva σ cr en función de λ en un gráfico (Figura 1), de modo que la línea horizontal represente la plasticidad perfecta, σ = f y , es interesante observar las zonas idealizadas que representan el fallo por pandeo, el fallo por rebasar el límite elástico y la zona de seguridad.
σ Fallo por haber rebasado el límite elástico
f
P Fallo por pandeo
Curva de pa ndeo de Euler
λ
λ1
Figura 1
Curva de pandeo de Euler y modos de fallo
El punto de intersección P, de las dos curvas representa el valor teórico máximo de la esbeltez de un pilar comprimido para que falle al rebasar el límite elástico. Esta limitación de la esbeltez cuando σ cr es igual al límite elástico del acero viene dada por: λ1
= π [ E /
f y ]0, 5
= 93,9ε
(6)
donde: ε = [ 235 / f y ]0,5
(7)
Por lo tanto λ1 es igual a 93,9 para un acero tipo Fe430 y 76,4 para un acero tipo Fe510.
25
La figura 1 debe ser redibujada ahora de modo adimensional, ver figura 2, dividiendo la tensión crítica de Euler por el límite elástico (σ cr / f y ) y la esbeltez por la esbeltez límite ( λ / λ1) . Esto es útil dado que el mismo gráfico puede aplicarse entonces a barras de diferentes esbelteces y resistencias.
σ/ f y
1
P
1
λ/λ 1
Figura 2 Curva de pandeo adimensional El comportamiento real de los pilares de acero es bastante diferente del comportamiento ideal que acabamos de describir. Los pilares fallan generalmente por pandeo anelástico antes de alcanzar la carga de pandeo de Euler debido a diversas imperfecciones en el elemento “real”: falta de rectitud inicial, tensiones residuales, excentricidad de cargas axiales aplicadas y endurecimiento por deformación. Las imperfecciones afectan al pandeo y, por lo tanto, a la resistencia última del pilar. Estudios experimentales de pilares reales proporcionan los resultados que se muestran en la figura 3
26
σ Esbeltez media
f y
Esbe ltez ele vada
P
Punto de inflexión
λ1
λ
Figura 3 – Resultados de ensayos en pilares reales y curvas de pandeo Comparado con las curvas teóricas, el comportamiento real muestra mayores dispersiones en el intervalo de esbelteces medias que en el intervalo de esbelteces elevadas. En la zona de esbelteces medias (que representa a la mayoría de los pilares), el efecto de las imperfecciones estructurales es significativo y debe ser considerado cuidadosamente. La mayor reducción en el valor teórico se produce en la región de la esbeltez límite λ1. La curva límite inferior se ha obtenido de un análisis estadístico de los resultados de ensayos y representa el límite seguro para la carga. Un pilar puede ser considerado esbelto si su esbeltez es mayor que la correspondiente al punto de inflexión de la curva límite inferior, mostrada en la figura 3. La carga última para dichos pilares esbeltos es similar a la carga crítica de Euler (Ncr) y es por tanto independiente del límite elástico. Los pilares de esbelteces medias son aquellos cuyo comportamiento se desvía mas de la teoría de Euler. Cuando se produce el pandeo, algunas fibras ya han alcanzado el límite elástico y la carga última no sólo es una función de la esbeltez; cuanto más numerosas son las imperfecciones, mayor es la diferencia entre el comportamiento real y el teórico. La falta de rectitud y la presencia de tensiones residuales son las imperfecciones que presentan un efecto más significativo en el comportamiento de este tipo de pilares. Las tensiones residuales pueden distribuirse de forma variada a través de la sección tal y como se observa en la figura 4. Las tensiones residuales combinadas con las tensiones debidas a las cargas axiales hacen que se alcance el límite elástico en la sección transversal y por lo tanto el área efectiva capaz de resistir las cargas axiles se reduce.
27
≈ 0,3 f y compresión
≈
0,2 f y tracción
≈ 0,2 f y
compresión
Ejemplo de tensiones residuales debidas a laminación en caliente
+
N/A
Ejemplo de tensiones residuales por soldadura
(a)
=
o
σR
σn <
f y
Combinación con tensiones axiales
(b)
f y
σn alcanzando f y
Figura 4 Muestra de distribución de tensiones residuales Una falta inicial de rectitud eo, produce un momento flector provocando una tensión máxima de flexión σ B (ver Figura 5a), que añadida a la tensión residual, σ R da la distribución de tensiones mostrada en la Figura 5b. Si σ max supera el límite elástico la distribución final será parcialmente plástica y ciertas secciones de la pieza se habrán agotado en compresión tal como se observa en la Figura 5c.
28
N
e0
e
σB
(a) N
σB
σR
N/A
+
+
σmax
=
(b) P
Zona agotada
P
(c)
Figura 5 Pieza a compresión parcialmente agotada
Esbeltez adimensional λ El Eurocódigo EC3 define la esbeltez adimensional λ de la manera siguiente:
Af y λ = β A N cr
0 ,5
(8)
Dicha expresión puede ser escrita y usada de forma más conveniente como sigue:
λ 0,5 [ β A ] λ 1
λ =
(9)
Curvas de pandeo ECCS 29
Las curvas de pandeo ECCS están basadas en los resultados de más de 1000 ensayos sobre varios tipos de piezas (I H T [ ⊥ Ο), con diferentes valores de esbeltez (entre 55 y 160). Un método probabilista, utilizando la resistencia experimental, asociada con un análisis teórico, permite el dibujo de las curvas que representan la resistencia del pilar como una función de la esbeltez de referencia. Se han tenido en cuenta una imperfección geométrica semisinusoidal de magnitud igual a 1/1000 de la longitud del pilar y los efectos de tensiones residuales relativas a cada tipo de sección transversal. Las curvas de pandeo ECCS (a, b, c o d) se muestran en la Figura 6. Estas proporcionan el valor para el coeficiente de reducción χ de la resistencia del pilar como una función de la esbeltez de referencia para diferentes tipos de secciones transversales (referidas a diferentes valores del coeficiente de imperfección α ).
1.2 1
a
0.8
b
0.6
c
0.4
d
0.2 0 0
1
2
3
Figura 6 – Curvas Europeas de pandeo El EC3 expresa las curvas por medio de la expresión matemática para χ : χ =
1 ≤1 2 φ + [φ 2 − λ ]0,5
(10)
donde: φ
2
= 0,5[1 + α (λ − 0,2) + λ ]
(11)
La tabla 5.5.2 del EC3 proporciona los valores del coeficiente de reducción χ como una función de la esbeltez de referencia λ . El coeficiente de imperfección α depende de la forma de la sección transversal del pilar considerado, de la dirección en la que puede ocurrir el pandeo (eje y o eje z ) y del proceso de fabricación utilizado en la pieza comprimida (laminación en caliente, soldado o conformado en frío); los valores para α , que se incrementan con las imperfecciones, se dan en la Tabla 1. Curva de pandeo Coeficiente de imperfección α
a0 0,13
a 0,21
b 0,34
c 0,49
d 0,76
Tabla 1 Coeficientes de imperfección La Tabla 2 ayuda a seleccionar la curva de pandeo apropiada en función del tipo de sección 5.5.3 transversal, de sus límites dimensionales y de los ejes sobre los que la pieza pueda pandear.
30
31
Tabla 2 Selección de la curva de pandeo apropiada para una sección
32
