Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ingeniería. Departamento Ingeniería Química
APUNTES DE CLASES:
DISEÑO D DE B B IOR EACTOR ES Version 11
Profesor: César Huiliñir C.
Prologo
El siguiente apunte tiene por objetivo presentar de manera sencilla y aplicada los principios fundamentales que rigen el diseño de bioreactores microbianos, y se basa principalmente en tres textos: “Archivos de Ingeniería Bioquímica: Fundamentos de Ingeniería Bioquímica”, de los autores Fernando Acevedo, Juan Carlos Gentina y Andrés Illanes; “Bioprocess Engineering Principles” de Pauline Doran y “Bioprocess Engineering” de Michael L. Shuler y Fikret Kargi. La estructura de este apunte está enfocado principalmente en mostrar las bases y posteriormente posteriormente desarroll desarro llar ar varios ejemplos ejemplos de apli ap licació caciónn. A juicio del autor hay una serie serie de excelentes textos que muestran los principios básicos (como los arriba citados), pero muchos de éstos no conti cont ie nen material didáctico que permita a los alumnos que por primera vez estudian esta materia a ejercitar los principios aprendidos. Así, estos apuntes buscan mejorar esa falencia y presentar no sólo las bases teóricas, sino también presentar ejercicios resueltos y propuestos que permitan una mejor comprensión de los principios en que se basa el diseño de un bioreac bioreactor tor microbiano. Cabe señalar se ñalar que en e n este primer intento, sól só lo se muestra el diseño de reactores microbianos con biomasa suspendida, sin tomar en cuenta reactores heterogéneos (con biomasa adherida), reactores con plantas o reactores de células animales. Este apunto será de utilidad para todos los alumnos de Ingeniería en Biotecnología, Ingenier Ingeniería ía Civil Química e Ingenierí Ingenier ía en Ejecució Ejecució n Química del departamento de Ingenierí I ngenieríaa Química de la Universidad de Santiago de Chile.
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Prologo
El siguiente apunte tiene por objetivo presentar de manera sencilla y aplicada los principios fundamentales que rigen el diseño de bioreactores microbianos, y se basa principalmente en tres textos: “Archivos de Ingeniería Bioquímica: Fundamentos de Ingeniería Bioquímica”, de los autores Fernando Acevedo, Juan Carlos Gentina y Andrés Illanes; “Bioprocess Engineering Principles” de Pauline Doran y “Bioprocess Engineering” de Michael L. Shuler y Fikret Kargi. La estructura de este apunte está enfocado principalmente en mostrar las bases y posteriormente posteriormente desarroll desarro llar ar varios ejemplos ejemplos de apli ap licació caciónn. A juicio del autor hay una serie serie de excelentes textos que muestran los principios básicos (como los arriba citados), pero muchos de éstos no conti cont ie nen material didáctico que permita a los alumnos que por primera vez estudian esta materia a ejercitar los principios aprendidos. Así, estos apuntes buscan mejorar esa falencia y presentar no sólo las bases teóricas, sino también presentar ejercicios resueltos y propuestos que permitan una mejor comprensión de los principios en que se basa el diseño de un bioreac bioreactor tor microbiano. Cabe señalar se ñalar que en e n este primer intento, sól só lo se muestra el diseño de reactores microbianos con biomasa suspendida, sin tomar en cuenta reactores heterogéneos (con biomasa adherida), reactores con plantas o reactores de células animales. Este apunto será de utilidad para todos los alumnos de Ingeniería en Biotecnología, Ingenier Ingeniería ía Civil Química e Ingenierí Ingenier ía en Ejecució Ejecució n Química del departamento de Ingenierí I ngenieríaa Química de la Universidad de Santiago de Chile.
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Capítulo 1: Crecimiento Microbiano
Cuando se siembran microorganismos en un medio de cultivo apropiado, los mismos comienzan a dividirse activamente empleando los nutrientes que le aporta el medio de cultivo para "fabricar" nuevos microorganismos. Este proceso continúa hasta que algún nutriente del medio de cultivo se agota (sustrato limitante) y el crecimiento se detiene. No todo el sustrato se usa para crecimiento, también se usa para la producción de energía y para la formaci ormac ió n de producto, si s i es el caso. Co Com mo resultado de l uso de nutrientes, nutrientes, la masa microbiana incrementa con el tiempo, pudiendo ser descrita como: Sustrato + células productos extracelulares + más celulas
(1.1)
S X P nX El crecimiento microbiano es un buen ejemplo de una reacción autocatalítica, es decir, la velocidad de crecimiento está directamente relacionada al crecimiento celular, siendo éste a su vez el resultado de la reacción. 1.- Cultivo discontinuo: 1.1.- Patrón de cr c recim ec imiento iento microbiano. microbia no.
Un sistema discontinuo se caracteriza por el no intercambio de materia con los alrededores, excepto lo referente a los gases. En esta modalidad de cultivo, se cargan losnutrientes y posteriormente posteriormente se inoc inocula ula con una una determinada de terminada cantidad de b iomasa viable, entre 5-10% v/v. Una curva típica de crecimiento incluye las siguientes etapas: a.- Fase de latencia; b.- Fase de crecimiento exponencial; c.- fase de crecimiento des-acelerado; d.- Fase estacionaria; e.Fase de muerte o decaimiento. La Figura 2.1 ilustra ilustra el e l ciclo. ciclo.
3
c
d e
Ln X X (g SS/ml)
b
a
t Figura 2.1: Curva de crecimiento típico de una población bacteriana.
a.- Fase de latencia: Etapa de adaptación de los microorganismos al nuevo ambiente. La idea a nivel industrial es disminuir lo más posible esta etapa. Para lo anterior, se aplican las siguientes acciones: Adaptación de microorganismos al medio antes de la inoculación; uso de inóculos con biomasa joven y activa; usar gran cantidad de inóculo (5-10% v/v). b.- fase de crecimiento exponencial o logarítmica: En esta etapa, las células se reproducen a la máxima velocidad posible de acuerdo a las condiciones ambientales existentes. Este es un período de crecimiento balanceado, es decir, todos los componentes de una célula crecen a una misma velocidad, suponiendo que la composición promedio de una célula se mantiene constante. Durante la fase de crecimiento exponencial, la ve locidad de crecimiento celular esta descrita por la pendiente de la recta entre los puntos inicial y final de la zona b de la Fig. 1: m
ln X t
(1.2)
4
La ecuación (1.2) se transforma en una derivada cuando Δt tiende a cero: m
d ln X dt
1 dX
(1.3)
X dt
La pendiente de esta recta se define como la velocidad específica neta de crecimiento, cuyo símbolo es µ:
1 dX X dt
(1.4)
donde X es la concentración de masa celular (g/l), t es el tiempo y es la velocidad de crecimiento específico (h-1 ). Así, la ecuación que describe el cambio de concentración de biomasa en la zona de crecimiento exponencial está dada por: dX dt
X
(1.5)
Con la condición inicial de X = X 0, en t = t 0. Integrando la ecuación (1.5) entre t = 0 y t = t f , se obtiene:
X ln t f X 0
ó
X
X 0 e t f
(1.6)
Frecuentemente se expresa la velocidad de crecimiento en términos del tiempo de duplicación, t d , definido como el tiempo que media entre 2 duplicaciones sucesivas, es decir, X = 2X 0 . Así, la ecuación (1.6) se expresa como:
t d
ln 2
(1.7)
c.- Fase de crecimiento des-ace lerado: El crecimiento desacelerado se debe al decrecimiento de 1 o más nutrientes escenciales o a la ac umulación de componentes tóxicos. El rápido ca mbio ambiental resulta en un crecimiento desbalanceado, es decir, la biomasa activa no necesar iamente está re lacionada con el crecimiento en la masa de la misma.
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d.- Fase estacionaria: En esta etapa se agota algún nutriente, razón por la cual se detiene el crecimiento, es decir, 0 . En esta etapa se producen los metabolitos secundarios debido a la desregulación metabólica. Durante la fase estac ionaria, la célula cataboliza las reservas celulares para crecimiento y energía. A este proceso se le llama metabolismo e ndógeno. El gasto energético para mantener la membrana energizada, para el transporte de nutrientes y para funciones metabólicas esenciales (movilidad, reparación de daños estructurales) se le llama e nergía de mantención. e.- Fase de muerte o decaimiento: Se presentan en aquellos cultivos en los que se inducen enzimas autolítica (enzimas localizadas en las paredes celulares que provocan la desintegración de la célula) en condiciones de inanición. 1.2.- Cinética de formación de productos
Se considerará la producción de compuestos de bajo peso molecular, como etanol, aminoácidos, antibióticos y vitaminas que son excretados desde la célula. La clasificación de los productos se realiza de acuerdo a la relación entre síntesis de productos y generación de energía en la célula. Esta clasificación se conoce como Clasificación de Gaden en honor al científico que la propuso. Así, se tiene que: a.- Formación de producto directamente acoplado a metabolismo energético: Materiales
sintetizados en la cadena de reacciones que producen ATP. Se caracteriza por ser proporcional a la velocidad de crecimiento específica, . El esquema se muestra en la Figura 2.2.
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Figura 2.2: Esquema del proceso de formación de producto asociado a crecimiento. b.- Formación de producto indirectamente asociado a metabolismo energético: Productos
que requieren energía adicional para síntesis. Toma lugar durante la etapa de crecimiento lento y la fase estacionaria. Por ejemplo, ácido cítrico. La figura 2.3 muestra un esquema de los perfiles en el tiempo.
Figura 2.3: Esquema del proceso de formación de producto indirectamente asociado a
crecimiento.
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c.- Formación de producto no asociado a la formación de producto: Toma lugar durante la
fase estacionaria, cuando = 0. La figura 2.4 muestra un esquema de los perfiles en el tiempo.
Figura 2.4: Esquema del proceso de formación de producto no asociado a crecimiento. 1.3.1.- Expresiones matemáticas de formación de productos
Independiente de la clase de producto, la formación de producto puede ser definida en función de la biomasa como: r P
q P X
(1.8)
Donde 3 r P = velocidad volumétrica de formación de producto, kg P/m s
q P = velocidad específica de formación de producto, kg P kg-1 X s-1 .
Dependiendo de la forma en que se genera el producto (clasificación de Gaden), la forma matemática de q P irá cambiando. De esta manera, se tiene que: a.- Formación de producto acoplado directamente a metabolismo energético: En este caso, q P es proporcional a la velocidad específica de crecimiento, . q P
r P X
Y P/ X
(1.9) 8
Así r P
YP/ X X
(1.10)
b.- Formación de producto indirectamente asociado a metabolismo energético: Incluye la cantidad de producto asociado a mantenc ión a través del parámetro m P (velocidad específica de formación de producto debido a mantención, s-1 ). Idealmente, la relación es la siguiente: r P
qP X YP/ X
dX dt
mP X
(1.11)
Si dX dt
X
(1.12)
Reemplazando ecuación (1.12) en ec. (1.11), se tiene: r P
YP/ X mP X
(1.13)
Donde m P = velocidad específica de formación de producto debido a mantención, s-1 .
La ecuación (1.13) fue generalizada por el modelo de Luedeking y Piret (1959): q P
(1.14)
La ecuación (1.14) es la más utilizada en la práctica, ajustando los valores de α y β a los datos experimentales a través de métodos de ajuste no lineal. c.- Formación de producto no asociado a crecimiento: La formación simplemente se expresa a través de una constante, la cual no depende del crecimiento microbiano: q P
(1.15)
1.4.- Cinética de consumo de sustrato.
El consumo de sustrato puede expresarse matemáticamente de diferentes formas, dependiendo de si hay formación de producto o no. Para entenderlo de manera sencilla, el sustrato se puede dividir en 3 partes: Sustrato para crecimiento (Sc), sustrato para 9
mantención (Sm) y sustrato para producto (S p). El sustrato destinado a mantención varía considerablemente, dependiendo del organismo o cultivo del que se trate. 1.4.1.- Consumo de sustrato en ausencia de formación de producto.
En este caso, el sustrato se distribuye sólo entre el crecimiento y mantención. Así, el consumo de sustrato se puede expresar como: Consumo de sustrato = Consumo por crecimiento + Consumo por mantención
(1.16)
Matemáticamente:
dX dS dt X mS X dt
Y X /S
(1.17)
Si
dX X dt
(1.18)
Finalmente
dS dt
Y X /S
X m s X
(1.19)
donde m s es el coeficiente de mantención y está en g sustrato g-1 biomasa s-1 . Este coeficiente hace referencia a la cantidad de sustrato requerida para mantener las funciones básicas del microorganismo. Se puede hacer notar que el consumo de sustrato varía de la velocidad de crecimiento como de la concentración celular. 1.4.2.- Consumo de sustrato con formación de producto.
El flujo de sustrato en cultivos que forman producto depende de si la formación está asociada o no al crecimiento. a.- Producto asociado a la generación de energía (crecimiento microbiano): En este caso, dado a que no hay un consumo especial o exclusivo para la formación de producto, el consumo de sustrato puede ser descrito por la ecuación (1.19). 10
b.- Producto indirectamente asociado y no asociado a generación de energía (crecimiento microbiano): La ve locidad de consumo de sustrato se asocia a tres factores: Sustrato para
crecimiento (Sc), sustrato para mantención (Sm) y sustrato para producto (S p ). Así:
Consumo de sustrato = Sustrato asociado a crecimiento + Sustrato asociado a formación de producto + Sustrato asociado a mantención En términos matemáticos:
dS dt
r X
Y X /S
rP YP / S
(1.20)
m s X
(1.21)
X m s X
(1.22)
Luego
dS dt
X
Y X /S
q P YP / S
donde q P es la velocidad específica de formación de producto, g P g-1 X s-1 En resumen, la formación de biomasa, la formación de producto y el consumo de sustrato en un bioreactor discontinuo se pueden expresar de diferentes maneras, dependiendo del tipo de proceso. Así:
Sin formación de producto: Biomasa: dX dt
X
(1.23)
Sustrato:
dS dt
Y X /S
X m s X
(1.24)
Con formación de producto o
Asociado a crecimiento
Biomasa: dX dt
X
(1.25)
Sustrato: 11
dS dt
Y X /S
X m s X
(1.26)
Producto: dP dt o
Y P/ X X
(1.27)
Indirectamente asociada a crecimiento:
Biomasa dX dt
X
(1.28)
q P
(1.29)
Sustrato:
dS dt
Y X /S
X
YP / S
X m s X
Producto: dP dt
q P X
(1.30)
En la ecuación (1.30), y se deben determinar experimentalmente.
o
Producto no asociado a crecimiento:
Biomasa dX dt
X
(1.31)
q P
(1.32)
Sustrato
dS dt
Y X /S
X
YP / S
X m s X
Producto dP dt
X
(1.33)
1.4.- Concepto de rendimiento celular aparente u observado.
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1.4.1.- Coeficiente de rendimiento celular observado
En el capítulo 1 se mostró el concepto de factor de rendimiento teórico, el cual definía el valor máximo de biomasa que se puede obtener del sustrato si no hay consumo de sustrato para mantención y/o formación de producto. Sin embargo, lo anterior es ideal y generalmente la formación de biomasa real no coincide con el valor obtenido experimentalmente. Al final del período de crecimiento batch, se puede calcular la cantidad de biomasa producida por e l consumo de un sustrato. Si la masa total de sustrato consumida es S T, una parte (S C ) será usada exclusivamente para crecimiento, mientras el resto (S m y S P ) será canalizado a otros productos o actividades metabólicas no relacionadas al crecimiento, como la mantención o la formación de producto. Por lo tanto: Y X' / S
X X ST SC Sm S P
(1.34)
El término Y X' / S es el llamado coeficiente de rendimiento celular observado. Así, para un reactor discontinuo, se puede indicar que: dS
dt
Y X /S
X m s X
q P
X
Y X / S
(1.35)
En la ec uación (1.35) el primer término de la derecha representa el sustrato consumido para crecimiento, el segundo término de la derecha representa el consumo de sustrato para mantención mientras que el tercer término de la derecha representa el consumo de sustrato para la generación de producto. Reescribiendo la ecuación anterior, se tiene que: dX
dS dt
q dt m s X P X Y X /S
YX /S
(1.36)
Dividiendo la ecuación (1.36) por dX/dt :
dS
dt dX dt
1 Y X /S
m s
X dX dt
q P X Y P / S dX dt
(1.37)
La ecuación (1.37) se puede reescribir utilizando la definición de coeficiente de rendimiento celular observado y la definición de velocidad específica de crecimiento: 13
1
'
Y X / S
1
YX /S
m s
qP Y P /S
(1.38)
La ecuación (1.38) es válida para todo sistema. Cabe hacer notar que Y X' / S Y X / S . 1.3.2.- Coeficiente de rendimiento observado de formación de producto.
En el caso de formación de producto indirectamente asociado a producto, se tiene que: r P
dP dt
YP / X
1
(1.39)
dX : dt asoc. crec.
Dividiendo la ecuación por el término
dX dt
dX mP X dt asoc. crec.
1
dX Y P / X mP X dt
dP dt
(1.40)
Dado que: g
1 dX
X
dP dX
dt
crec
1
Y P' / X dt dt Así, reemplazando ec. (1.41) y (1.42) en ec. (1.40), se tiene: '
Y P / X
(1.41)
Y P / X
m P g
(1.42)
(1.43)
Cabe hacer notar que Y P' / X Y P / X . 1.5.- Efecto de las condiciones de cultivo en la cinética microbiana. 1.5.1.- Efecto de la concentración de sustrato.
Durante la fase de crecimiento y declinación de un cultivo discontinuo, μ depende de la concentración de nutrientes en el medio. Frecuentemente, un nutriente ejerce una influencia
14
dominante en μ. Este componente es el sustrato limitante. Frecuentemente es el carbono, nitrógeno, oxígeno (si es un cultivo aeróbico) o NO3- (si es un cultivo anóxico). La relación entre μ y la concentración de sustrato, S , frecuentemente supone una cinética de saturación, llamada ecuación de Monod (equivalente a la ec. de Langmuir-Hinshelwood en cinética química o Michaelis-Menten en cinética enzimática). Así:
max
S K S S
(1.44)
La ecuación de Monod es una ecuación semi-e mpírica, que se basa en la suposición de que una enzima (descrita por la cinética de Michaelis-Mente n) es responsable del consumo de sustrato. En la ecuac ión (1.44), K S es la constante de saturación, cuyo valor representa la concentración donde la velocidad específica de crecimiento (µ) es la mitad de la velocidad máxima específica de crecimiento (µmax ). El comportamiento típico de la velocidad específica de crecimiento se muestra en la Figura 2.5.
Figura 2.5: Variación de µ en función del sustrato limitante S.
¿Existen otras ecuaciones que describan la fase de crecimiento bajo limitación por sustrato? Sí, existen varias: - Ecuación de Blackman: g max
Si S 2 KS
(1.45) 15
g
max
2 K S
Si S < 2 KS
(1.46)
- Ecuación de Tessier: g max 1 e K S
(1.47)
- Ecuación de Moser: S n
g max n K S S
(1.48)
Como se aprecia en la ecuación (1.48), si el valor de n = 1, entonces tenemos la ecuación de Monod. Así, la ecuación de Moser es una generalización de la ecuación de Monod. - Ecuación de Contois: g max
S K SX X
S
(1.49)
La ecuación de Contois tiene una constante de saturac ión proporcional a la concentración de biomasa. Así, a medida que aumenta la concentración de biomasa, disminuye la velocidad específica de crecimiento. Esta ecuación es muy útil para altas concentraciones de biomasa. 1.5.3.1.- Modelo con inhibidores de crecimiento.
Dado que en la naturaleza existen un sinnúmero de compuestos que pueden ser inhibidores, es necesario tener formas de expresar estas inhibiciones para incluirlas en los análisis de los bioreactores. ¿En qué situac iones hay inhibición? Cuando hay altas concentraciones de sustrato o por la existencia de inhibidores. Las formas mate máticas de la inhibición son análogas a la inhibición enzimática. Frecuentemente, el mecanismo de inhibición es complicado y las constantes cinéticas no tienen s ignificado biológico. Así, las constantes se calculan ajustándose a los datos experimentales. a.- Inhibición por sustrato: - Cinética no competitiva g
max
1 KS 1 S S K I
(1.50)
16
Cuando K I >> K S, entonces g max
S S 2 K S S K I
(1.51)
La ecuación (1.51) es la ec uación de Andrew o Haldane, la cual es muy usada en procesos biológicos. ¿Cómo se e vita este tipo de inhbición? A través de la adición de S lenta e intermitentemente. b.- Inhibición por compuestos tóxicos: Cinéticas similares a ecuaciones anteriores. La más usada es la cinética no-competitiva. También en este caso aparece la inhibición acompetitiva: g
max S
S K S 1 I I K I 1 K I
(1.52)
c.- Inhibición por producto: Altas concentraciones de producto pueden inhibir el crecimiento microbiano. La inhibición por producto puede ser competitiva como no competitiva. - Competitiva: g
max S
P KS 1 S K P
(1.53)
- No-competitiva: ecuación más usada. Por ejemplo, la producción de etanol por fermentación de glucosa por levaduras. g
max
1 K S 1 P K S P
(1.54)
Cuando el mecanismo no es conocido, la inhibición puede ser aproximada a expresiones exponenciales o lineales. 1.5.1.- Efecto de la Temperatura.
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En general, la temperatura tiene 2 efectos: un efecto de activación y el otro de inactivación. La división entre cada zona la entrega la temperatura óptima. Si la temperatura aumenta, la velocidad se dobla por cada 10 ºC. Sin embargo, al aumentar la temperatura por sobre la temperatura óptima, se produce una muerte celular. El efecto de activación de la reacción puede ser modelada por una expresión de tipo Arrhenius: A e
E a
RT
(1.55)
donde E a = energía de activación para crecimiento, que cae entre 10 a 20 kcal/mol
Cabe hacer notar que la ubicación de la temperatura óptima determina también la clasificación de los microorganismos en psicrófilos (0 – 15 °C), mesófilos (20 – 40 °C) y termófilos (45°C o más). 1.5.2.- Efecto del pH.
El pH afecta la actividad enzimática, y por lo tanto, el crecimiento del microorganismos. El rango aceptable de pH varía 1 o 2 unidades de pH del óptimo. Generalmente, el efecto del pH se puede modelar por la ecuación de Michaelis, aunque no hay modelos definitivos. Como re gla general, el pH óptimo para bacterias está ubicado en el rango de 6 a 7,5, el de levaduras está entre 3,5 y 5,5 mientras que e l de mohos se extiende e ntre 3 y 7, aunque existen variadas excepciones a ella. 1.5.4.- Efecto del oxígeno disuelto.
El oxígeno disuelto no es un sustrato común, puesto que éste debe ser ingresado desde una fase gaseosa. De esta manera, siempre que incluyamos el oxígeno como un sustrato importante en nuestro sistema, debemos incluir un término de entrada del O2 debido a transferencia de masa desde la fase gas a la fase líquida. Así, para un sistema discontinuo se tiene que: 18
Velocidad de Acc consumo de oxígeno
Velocidad de transferencia de oxígeno gas-líquido
(1.56)
La veloc idad de transferencia de O2 (oxygen transfer rate) desde la fase gas a la fase líquida está dada por: OTR k L a S O* 2
S O 2 ,L
(1.57)
Donde: *
S O2 = concentración de O2 saturado. S O2 , L = concentración de O2 en el seno del fluido.
La veloc idad de consumo de oxígeno (oxygen uptake rate, OUR) se calcula como: OUR
qO2 X
g Y X / O2
X
(1.58)
Donde qO2
= velocidad específica de consumo de O2, mg O2/ g celula seca h
Y X / O2
= rendimiento de biomasa sobre O2 , g célula seca/g O2.
Así, el balance de oxígeno en un reactor discontinuo queda expresado como: dS O2 dt
g Y X / O2
X k La SO*2 S O2 ,L
(1.59)
El efecto del oxígeno puede ser descrito como una cinética de tipo saturación, al igual que muchos otros sustratos. Si el O2 es bajo, puede llegar a ser un factor limitante. Por el contrario, si el O2 es alto, éste no es un factor limitante y puede ser represe ntado como una cinética de orden cero o primer orden. Sin embargo, en la mayoría de los casos, tanto el oxígeno (aceptor de electrones) como algún dador de electrones (generalmente algún compuesto orgánico) son sustratos limitantes, por lo que la velocidad específica de crecimiento se ve afectado por ambos s ustratos. En este caso, se usa una cinética de Monod de múltiples sustratos:
S 1 S O2 max K S S1 K S S O 1 2 2 O
(1.60) 19
La concentración crítica de O2 (en la cual = max /2) está entre el 5 a 10% de la concentración de saturación de O2 en líquido, para bacterias y levaduras. La concentración de saturación de O2 en agua a 25 °C y 1 atm es de 7 mg/L. ¿Qué pasa si sólo el O2 es el sustrato limitante? La velocidad de consumo de O2 es igual a la velocidad de transferencia de O2. Así, tomando la ec uación (1.59) e igualándola a cero: g X Y X / O2 dX dt
k L a SO* 2 SO 2 , L
Y X /O2 k L a SO*2 SO2 , L
(1.61) (1.62)
Así, es posible obtener la variación de la concentración de biomasa en el tiempo sólo en función de la concentración de O2 en el medio. Ejercicios de aplicación
1.- Escherichia coli se está usando para la producción de una hormona de crecimiento porcina. La bacteria se hace crecer aeróbicamente en un cultivo discontinuo con glucosa como fuente limitante de sustrato. Tanto la biomasa como el sustrato se miden en el tiempo. Los resultados se muestran a continuación: Tabla 1: Variación de X y S en función del tiempo:
tiempo (h) X (kg/m ) 0 0,2 0,33 0,21 0,5 0,22 0,75 0,32 1 0,47 1,5 1 2 2,1 2,5 4,42 2,8 6,9 3 9,4 3,1 10,9 3,2 11,6
S (kg/m ) 25 24,8 24,8 24,6 24,3 23,3 20,7 15,7 10,2 5,2 1,65 0,2 20
3,5 3,7
11,7 11,6
0 0
Se pide calcular el valor de e Y X' / S . Analizar los resultados graficando la biomasa calculada con la biomasa medida experimentalmente. ¿Qué sucede con el consumo de sustrato?¿Se podría predecir? Resolución
Como primer paso, calculamos el valor de , usando la ecuación (1.6):
X ln t X 0
(1.63)
Luego, graficando ln(X/X 0 ) v/s t (Figura 2.6) se puede observar que existe una etapa lag (0 < t < 0,5) y otra de no crecimiento o estancamiento (t > 3,5 h). La zona donde es posible calcular µ es sólo la zo na lineal, es decir, cuando 0,5 < t < 3. Al ca lcular la pendiente de la zona lineal, se obtiene µ = 1,5 h-1 . El cálculo de Y X' / S resulta sencillo, aplicando la ecuación (1.34): Y X' / S
X (11,60 0,2) 0,456 g X g-1S S T (0 25)
(1.64)
Finalmente, se hace el análisis para el consumo de sustrato. Dado que en este caso no hay formación de producto y suponiendo que mS = 0 y que µ = µmax , se tiene que:
dS dt
max Y X / S
X
(1.65)
21
4,5 4 3,5 3 ) 0 X / 2,5 X ( 2 n l 1,5 1 0,5 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
tiempo, h
Figura 2.6: Gráfico de ln(X/X0) vs tiempo.
Integrando la ecuación (1.65):
S S0
X 0 Y X / S
e max t 1
(1.66)
Finalmente: S
S0
X 0 Y X / S
e max t 1
(1.67)
Al aplicar la ecuación (1.67) y comparar los resultados obtenidos con los resultados experimentales, se observa que esta ecuación puede predecir el comportamiento sólo desde la zona posterior a la fase lag del sistema (desde t = 0,33 h), pero con errores involucrados, los cuales no son superiores al 5% dadas las suposiciones y simplificaciones realizadas. La comparación se muestra en la Figura 7. En esta figura, Y X /S Y X' / S = 0,456 g X g-1 S.
22
Figura 7: Comparación de S medido y S calculado por ecuación (1.67).
2.- Se desea producir un cierto metabolito extracelular por cultivo por lotes de una bacteria aeróbica en un medio con sacarosa como única fuente de carbono y energía. La producción del metabolito sigue una cinética de Luedeking y Piret: dP dt
dX
X
dt
Donde α = 0,27 (g producto/g célula), β = 0,31 (g producto/g célula h) La célula posee un μm = 0,44 (h-1 ) y un rendimiento global de sustrato ( Y X' / S ) en células de 0,28. Además, X0 = 0,15 g/L y P0 = 0,08 g/L. El rendimiento máximo de producto (YP/S) es 0,65. Considere una fase de latencia despreciable y un contenido celular de C del 47%. a) Determine el valor del coeficiente de mantenc ión b) Concentración celular y el consumo de sacarosa desp ués de 10 horas de cultivo c) Concentración de producto después de 10 horas de fermentación d) Porcentaje de la fuente de carbono destinado a crecimiento, mantención y producción Resolución
23
a) Se sabe que el proceso es la formación de producto que está indirectamente asociado a crecimiento. Así, los balances en un reactor discontinuo serán: Biomasa: dX dt
X
(1.68)
Producto: dP dt
dX
X X X
(1.69)
X
(1.70)
dt
Así, combinando (1.68) y (1.69): dP dt
El consumo de sustrato para un sistema do nde la formac ión de producto está indirectamente asociado al crecimiento está dada por:
dS dt
Y X / S
X
q P YP / S
X mS X
(1.71)
Realizando un análisis similar al realizado para obtener la ecuación (1.38), se tiene que: 1
'
Y X / S
1 Y X /S
qP Y P / S
m
(1.72)
En la ec uación (1.72), son conocidos los valores de Y X' / S , Y P/ S y q P . El valor de Y X / S debe ser determinado. ¿Cómo se determina? Usando una metodología presentada por Acevedo et al. (1995), quienes indican que Y X / S puede ser aproximado por la siguiente ecuación: Y X / S
f X
% elemento C en nutriente % elemento C en biomasa
(1.73)
Los valores de f X varían entre 0,5 y 0,6 para cultivos aeróbicos, mientras que para cultivos anaeróbicos f X = 0,1. En nuestro caso tene mos sacarosa, C12 H22 O11. % sacarosa = 12x12/(22 + 12x12 + 16x11) x 100 = 42,1. % biomasa = 47 f X = 0,6
Así: Y X / S
42,1 0, 6 0,54 g X g -1S 47
(1.74)
24
Para calcular el valor de q P , se requiere el valor de µ. En este caso, se supone que µ = µmax . Así: gP gP gP 0, 44 h-1 + 0,31 0,4288 gX gXh gXh
q P max 0,27
(1.75)
Despejando mS desde ecuación (1.72):
1 1 q P ' Y Y Y X /S X / S P / S
mS
m S
'
Y X /S
YX /S
q P Y P /S
(1.76)
(1.77)
0, 44 0, 44 0, 4288 gS 0,097 0, 28 0, 54 0, 65 g X h
m S
(1.78)
b) El cálculo de la biomasa se hace con la ecuac ión (1.6): X
X 0 e max t 0,15
g 0,4410 e 12, 22 g/L L
(1.79)
Para estimar el consumo de sustrato, debemos integrar la ecuación (1.35):
dS dt
Y X / S
X m s X
q P
X
(1.80)
YX /S
Luego:
dS dt
Y X / S
X 0 e max t m s X 0 e max t
q P YX /S
X 0 e max t
t max t dS X 0 m s X 0 X 0 e dt Y Y X / S X /S 0 S 0
(1.81)
S
S0 S
X m X max 0 s 0 X 0 e max t 1 max Y X /S max Y X /S
(1.82)
(1.83)
Reemplazando datos: S0 S 46.66 g S/L
(1.84)
Otra forma más sencilla para realizar este cálculo es utilizando el concepto de Y X' / S :
S
X '
Y X / S
12,22 43,63 g S/L 0,28
(1.85)
c) La concentración de producto debe ser determinada integrando la ecuación (1.69): 25
dP dt
max X X
(1.86)
Luego 10
P P0
10
max X dt X dt 0
(1.87)
0
Reemplazando (1.6) en (1.87): 10
P P0
max X 0 e
10 max t
dt e max t dt
0
P P0 X 0 e max t
1
(1.88)
0
X 0 max
e max t 1
(1.89)
Reemplazando valores en ecuación (1.89), se obtiene P 11,84 g P/L
(1.90)
d) Los porcentajes se pueden calcular de la siguiente manera: Sustrato dedicado a crecimiento: Sustrato dedicado a mantención:
1 Y X / S m S max
1,852 0,22
Sustrato dedicado a formación de producto: El consumo de sustrato total fue:
1 '
Y X / S
gS gX
gS gX q P
Y P / S g
3,57
1,499
gS gX
gS gX
Así, los porcentajes son: 1 % crecimiento:
Y X / S
1
100 51, 86%
Y X' / S
% mantención: 6,6 % % producto: 41,97 % 2.- Crecimiento celular en cultivos continuos.
26
Para el estudio de cultivos continuos, generalmente se usan 2 sistemas: el Turb idostato y el Quimiostato. El turbidostato se basa en mantener la concentració n celular constante, a través del monitoreo de la densidad óptica del cultivo y el manejo de la velocidad de flujo. El quimiostato se basa en mantener constante su medio químico, controlando la composición de la a limentación y su velocidad de flujo. Debido a que este último sistema es el más usado, el presente apunte trabajará este sistema.
2.1.- Quimiostato ideal.
Las suposiciones en las cuales se basa el siguiente desarrollo son: a. Fase líquida completamente mezclada y homogénea b. Volumen de reactor constante c. X es la masa celular total (medida como masa seca), NO e l número de células. d. Concentración de biomasa en la alimentación (X 0), el flujo de entrada (Q) y el coeficiente de rendimiento ( Y X / S ) constante. e. El sustrato usado para mantención es despreciable, por lo tanto, mS = 0. El esquema del quimiostato se muestra en la Figura 8.
27
Figura 8: Esquema de un quimiostato ideal.
A continuación se presentan los balances de masa del sustrato limitante, de la biomasa y de producto, suponiendo producto directamente asociado a crecimiento. -
Biomasa V
dX dt
Q X 0 Q X V X
(1.91)
En la ecuación (1.91), V es el volumen de líquido en el reactor. Luego dX dt
Q V
X 0 X X
(1.92)
Definiendo la velocidad o tasa de dilución: D
F V
1
TRH
(1.93)
Suponiendo que la alimentación no contiene microroganismos. dX dt
D X X
(1.94)
En estado estacionario: D
(1.95)
28
-
Balance de sustrato limitante V
dS dt
Q S0 Q S V X
1
Y X /S
(1.96)
Luego dS dt
D S 0 S
X Y X / S
(1.97)
En estado estacionario D S 0 S
Y X /S
X
(1.98)
Despejando X de ecuación (1.98), se tiene:
Y X / S S 0 S
X
-
(1.99)
Balance de producto V
dP dt
Q P0 Q P V qP X
(1.100)
Luego dP dt
D P0 P q P X
(1.101)
En estado estacionario y suponiendo que la alimentación tiene una concentración de producto despreciable, se tiene D P q P X
(1.102)
Finalmente, el valor de S , P y X es el siguiente, indicando que:
max
S
K S S
(1.103)
Así: S
X
D K S max D
D K S Y X / S S 0 D max P
q P X D
(1.104) (1.105) (1.106) 29
Las ecuaciones anteriores fueron desarrolladas suponiendo que la cantidad de s ustrato usado para mantención es despreciable, pero, ¿Qué pasa si éste es importante? Considerando el efecto de la mantención, el balance de sustrato en el bioreactor queda: V
X Q S0 Q S V m S X dt Y X / S
dS
(1.107)
Luego, en estado estacionario:
S D mS Y X / S
D S 0
X Y X / S
(1.108)
Luego D
S 0 S X
1 Y X / S
D mS X 0
(1.109)
De acuerdo a lo visto anteriormente, los valores de S 0, S y X se relacionan con el coeficiente de rendimiento observado, Y X' / S : Y X' / S
X X f ST S 0 S
(1.110)
Así 1 '
Y X / S
S0
S X
(1.111)
Reemplazando la ec. (1.111) en la ec. (1.109): D '
Y X / S
D mS Y X / S
1 Y X / S
Y X / S
mS D
1 '
Y X / S
0
(1.112)
(1.113)
Los valores de Y X / S y mS pueden calcularse graficando 1/ Y X' / S v/s 1/ D . Lo anterior se muestra en la Figura 9.
30
Figura 9: Cálculo de YX/S a través de datos experimentales en un quimiostato.
Consideremos ahora que la formación de producto está indirectamente o no asociada al crecimiento y que mS > 0. Así: -
Balance Biomasa en estado estacionario D
-
(1.114)
Balance de sustrato en estado estacionario
D q mS P X Y P / S Y X /S
D S 0 S
(1.115)
En la ecuación (1.115), q P puede ser cualquiera de las funciones vistas anteriormente. -
Balance de producto en estado estacionario D P P0 qP X
(1.116)
D P q P X
(1.117)
Haciendo P0 = 0, entonces: Así, suponiendo que µ obedece a una cinética tipo monod: S
X
K S D max D
D S 0
1 Y X / S
S
q D mS Y X /S P Y P /S
(1.118)
(1.119)
31
Ahora, volvamos a considerar las ecuaciones (1.104) y (1.105), además del factor D X
X . Al graficar X y D·X en función de D, se obtiene una gráfica como la de la
Figura 10. Allí aparece un punto llamado Dcrit , a partir del cual la biomasa en el sistema se hace cero, o se “lava”. Es en este punto donde se indica que el quimiostato se lava. El Dcrit para un cultivo sin formación de producto y mS = 0 es: Dcrit
max
S 0 K S S
(1.120)
450
60
400
50
350
X
300
40
250
30 X D
200 150
X
20
100
DX
10
50 0
0 0
0,05
0,1
0,15
0,2
D
Figura 10: Variación de X y DX en función del factor de dilución D. YX/S = 0,5; K S = 50
mg/L; µmax = 0,2 h-1 ; S0 = 800 mg/L. ¿Cuál será el D óptimo, donde se maximiza la concentración de b iomasa? Se obtiene derivando D X con respecto a D e igualando a cero: D X
g X max
S K S S
X
(1.121)
Además S
X
D K S max D
Y X / S S 0 S
(1.122) (1.123)
Reemplazando las ecuaciones (1.122) y (1.123) en (1.121) y derivando, se obtiene: 32
Dop
max 1
K S K S S 0
(1.124)
La ecuación (1.124)es válida sólo para el caso en que mS = 0, aunque de todas maneras puede ser usada como primera aproximación en caso de no conocer los valores demS y q P . Ejercicio de aplicación
1.- 2.- Una nueva cepa de levadura esta siendo considerada para la producción de biomasa. Los siguientes datos fueron obtenidos usando un quimiostato. Una co ncentración de entrada de 800 mg/L y un exceso de oxígeno fue usado a pH = 8,5 y T = 35 °C. Usando los siguientes datos, calcule max , K S , YX / S y ms . Determine además la productividad volumétrica de biomasa, el Dcrit y el D óptimo para el crecimiento de la cepa. Tabla de resultados experimentales: D, ( - ) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
S (mg/L) 16,7 33,5 59,4 101 169 298 702
X (mg/L) 366 407 408 404 371 299 59
Resolución
Para determinar los parámetros cinéticos, debemos calcular primero mS e Y X / S . De acuerdo a la ecuación (1.113), mS puede calcularse de un gráfico 1/ Y X' / S v/s 1/ D . Usando la ecuación (1.110), se calcula Y X' / S para todos los valores de D. Los res ultados se muestran en la Tabla 2. Tabla 2: Valores de Y X' / S en función de D. X
S 0 -S
Y X' / S
366 407 408 404 371
783,3 766,5 740,6 699 631
0,467 0,531 0,551 0,578 0,588 33
299 59
502 98
0,596 0,602
Una vez calculados los valores de Y X' / S , construimos la gráfica 1/ Y X' / S v/s 1/ D , como se muestra en la Figura 11. 2,5
2
1,5 p a Y / 1
puntos experimentales Linealización
1 y = 0,0555x + 1,5958 2
R = 0 ,9899 0,5
0 0
2
4
6
8
10
12
1/D
Figura 11: Gráfico 1/ Y X' / S v/s 1/ D para los datos del problema. De la ecuación de la recta obtenida de la Figura 11, se pueden obtener los parámetros k d , mS e Y X / S . Así: Pendiente de la recta = mS = 0,055 g S/ g X h Intersecto en el eje Y cuando X = 0: 1/ Y X / S = 1,5958. Por lo tanto, Y X / S = 0,627 g X/ g S.
El cálculo de µmax y K S se realiza usando la relación (1.114), suponiendo que µ obedece a una cinética tipo Monod. D
max
S KS S
(1.125)
La ecuación (1.125) se linealiza usando la téc nica de Lineweaber – Burk (o de los recíprocos). Así: K 1 1 1 S (1.126) D
max
max S
Al graficar 1/ D v/s 1/ S , se puede obtener µmax y K S. El gráfico se muestra en la Figura 12.
34
Figura 12: Linealización de ecuación (1.125) para el cálculo de parámetros cinéticos.
Con los datos obtenidos de la gráfica: Intersecto en el eje Y cuando X = 0: 1/ max = 1,0637. Por lo tanto, max = 0,94 h-1 . Pendiente de la recta = K S / max = 145,34. Por lo tanto, K S = 136,64 mg/L. Una vez calculados todos los parámetros cinéticos, se calcula el Dopt , el Dcrit y finalmente la productividad volumétrica máxima. Para el óptimo: K S -1 Dopt max 1 0,58 h K S S 0 Para el crítico: Dcrit
max
S 0 KS S 0
0,80 h -1
El valor de Dcrit fue calculado sin incluir mS , aún así, es válido para realizar el análisis. Finalmente, la productividad óptima: Q X Dopt X opt (1.127) Sin cons iderar efectos de mantención, se calcula Sopt y Xopt : Dopt K S S opt 220,14 mg/L max Dopt X opt
S0 Sopt Y X / S 363,57 mg/L
Así: Q X 210,87 mg X/L h 4.- Ejercicios propuestos
35
1.- Un fermentador de 10 litros de medio es inoculado con 500 mL de inóculo de 4,1 g/L.
Se sabe que si se deja crecer la cepa, al cabo de 6 horas la biomasa en el fermentador será de 6 g/L. Determinar el tiempo de duplicación y el tiempo que deberá permanecer la cepa en el fermentador para alcanzar la misma concentración del inóculo. (Resp: td = 1,23 h; t (X = 4,1) = 5,35 h.) 2.- Se quiere preparar un cultivo aerobio de Klebsiella aerogenes en un fermentador de 10
litros, inoculando con 500 mL de inóculo (4,1 g/L). El nutriente limitante, glucosa, estará inicialmente presente en una concentración de 18 g/L. a) Estimar el tiempo de cultivo para el consumo total de glucosa, si la velocidad específica de crecimiento a la temperatura de fermentación (28 ºC) es de 0,67 hr -1 . Considere despreciable la fase de latencia y que la célula posee 50% de carbo no. (Resp: bt = 5,62 h) b) Cuando transcurría la mitad del tiempo determinado e n (a), se agregaron 3 litros de una solución estéril de glucosa de 25 g/L, además de los otros componentes de medio. Además, se cambia la temperatura de 28 ºC a 34 ºC. Calcular el tiempo total de cultivo y la concentración celular final, si la energía necesaria para activar su metabolismo reproductivo es de 13 kcal/mol (Resp: t b = 4,98 h; X = 9,57 g/L). 3.- En un experimento de laboratorio se cultiva E. Coli en medio mínimo. El cultivo se
realizó en un incubador rotatorio, primero a 37 ºC hasta consumir la mitad del nutriente limitante, y después a 24 ºC hasta alcanzar la fase estacionaria. Si se ha determinado que la cepa utilizada tiene un tiempo de duplicación de 49 minutos a 37 ºC, y que la energía necesaria para activar su crecimiento es de 16200 cal/mol, calcule el tiempo al cual se realizó el cambio de Tº y el tiempo total de cultivo si se inocula 1 mL de cultivo de 4 g/L a un matraz conteniendo 80 mL de medio estéril. Suponga que S0 = 1 g/L y YX/S = 0,45 g X/g S. (Resp: tcambio = 2 h; ttotal = 4,24 h)
36
4.- Una fermentación batch de una bacteria aeróbica que usa como fuente de carbono
metanol entrega los resultados siguientes: Tiempo, 0 2 4 8 10 12 14 16 18 h Biomasa 0,2 0,211 0,305 0,98 1,77 3,2 5,6 6,15 6,2 (X), g/l Sustrato 9,23 9,21 9,07 8,03 6,8 4,6 0,92 0,077 0 (S), g/l Determine: a.- velocidad máxima de crecimiento específico, max . (Resp: 0,28 h-1 ) b.- Coeficiente de rendimiento observado, YX/S (Resp: 0,65) c.- tiempo de duplicación, td (Resp: 2,48 h) d.- Constante de saturación, K S (Resp: 1,13 g/L) e.- Velocidad específica de crecimiento ( g) a t = 10 h (Resp = 0,24 h-1 ) 5.- Se requiere producir un metabolito en un cultivo discontinuo aerobio de cierto
microorganismo en un fermentador piloto de 100 litros de trabajo. Se sabe que la generación del metabolito esta indirectamente relacionado al crecimiento. El inóculo consistirá en 5 litros de un cultivo de 7 g/L, y se espera lograr una concentración celular de 20 g/L en el fermentador piloto, usando glucosa como fuente de carbono. Se conoce experimentalmente que en este medio el td es de 1,5 horas, YP/S = 0,66, f = 0,6 y el coeficiente de mantenc ión es 0,1. a) Determinar la concentración inicial mínima de glucosa y el tiempo total de cultivo para lograr 20 g/L de biomasa si se sabe que la fase de latencia es de 2 horas y la fase estacionaria es de 4 horas. La cinética de generación de metabolito esta dada por: dP dt
0, 27
dX
2 X q P X
dt
La biomasa contiene un 47% de C. (Resp: S0 = 179,89 g/L, t b = 14,79 h). 37
b) Determinar la concentración final de P, conociendo que inicialmente no hay P presente. (Resp: 90,54 g/L) 6.- En el desarrollo de una tecnología microbiana para tratar un efluente industrial se
requiere operar un quimiostato de 120 litros de volumen de trabajo con un flujo de 20 L/h, que corresponde a una velocidad de dilución equivalente a un 82% del valor crítico. La población presenta un μm de 0,22 h-1 , un K S de 1000 mg/l y un rendimiento de sustrato en células de 0,28 g/g. Bajo estas condiciones, determinar la concentración de sustrato en la alimentación, en la descarga y la concentración celular en estado estacionario. (Resp: S0 = 12,41 g/L; S = 3,151 g/L; X = 2,59 g/L) 7.- Usted dispone de la siguiente información experimental del crecimiento de una bacteria,
obtenida en cultivo batch: Tiempo, 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 h Biomasa 0,10 0,13 0,16 0,21 0,27 0,35 0,45 0,57 0,74 0,94 1,21 1,56 2,00 (X), g/l Sustrato 100 99,93 99,84 99,72 99,57 99,38 99,13 98,82 98,41 97,89 97,22 96,36 95,26 (S), g/l Tiempo, 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50 h Biomasa 2,56 3,29 4,22 5,42 6,95 8,93 11,45 14,70 18,86 24,19 31,01 39,60 41,0 (X), g/l Sustrato 98,34 92,02 89,69 86,70 82,86 79,94 71,62 63,51 53,11 39,78 22,71 1,25 0,00 (S), g/l a) Cuál es la velocidad máxima de crecimiento (Resp: 0,5 h-1 ) b) Cuál es el valor del rendimiento global de sustrato en cé lulas, Y X / S (Resp: 0,409) c) En un quimiostato ideal, cuál sería el rango de velocidad de flujo de alimentación que usted usaría en fermentaciones de cultivo continuo de esta bacteria si el reactor tiene una capacidad de 20 litros (Resp: 10 L/h) d) Usted realiza un experimento de cultivo continuo a velocidad de dilución 0,35 h-1 . Transcurrido un tiempo se observa que el cultivo está contaminado. El microorganismo
38
contaminante se identifica y se sabe que éste tiene una velocidad máxima de crecimiento de 0,4 h-1 . ¿Es posible eliminar el contaminante? J ustifique. 8.- Los siguientes datos fueron obtenidos en un quimiostato para el crecimiento de E. aerogenes en un medio limitado por glicerol con un S0 = 10 mg/ml.
D, hBiomasa (X), mg/ml Sustrato (S), mg/ml
0,05 3,2
0,1 3,7
0,2 4,0
0,4 4,4
0,6 4,75
0,7 4,9
0,8 4,5
0,84 0,5
0,012
0,028
0,05
0,1
0,15
0,176
0,8
9,0
Determine los valores de K S, μmax , YX/S y ms. (Resp: Ks = 0,1346 mg/ml; μmax = 0,925 h-1 ; YX/S = 0,496 mgX/mgS; mS = 0,0593. 9.- Considere la operación en estado estacionario de un quimiostato. Suponga que el
crecimiento bacteriano esta inhibido por sustrato y que el metabolismo endógeno es despreciable tal que: net max
S KS S
S 2 K I
a.- Derive una expresión para la concentración de sustrato residual (S) como función de la tasa de dilución y los parámetros cinéticos ( max , K S, K I). b.- ¿Cuales son las implicancias de operar un quimiostato cuando el organismo esta sujeto a inhibición por sustrato? 10.- Pseudomona putida con un max = 0,5 h-1 es cultivada en un reactor continuo bajo
condiciones aeróbicas usando un D = 0,28 h-1 . La fuente de carbono y energía es lactosa, la cual es alimentada con una concentración de S0 = 2 g/L. La concentración de lactosa en el efluente es de 0,1 g/L. Si la velocidad de crecimiento esta limitada por la transferencia de O2 , usando la siguiente información: Y X / S = 0,45 gX/gS; Y X / O2 = 0,25 gX/gO2 , K H = 1,19x10-3 mol/atm L, calcule: 39
a.- la concentración de biomasa en estado estacionario y la velocidad específica de consumo de oxígeno ( qO2 ). (Resp: X = 0,855 g/L; qO2 = 1,12 gO2/gX h) b.- ¿Cuál debe ser el coeficiente de transferencia de oxígeno (k La) a 1 atm de presión total para superar la limitación por transferencia de O2, es decir, tener concentraciones de O2 en la fase líquida superiores a 2 mg/L? (k La = 160 h-1 )
Capítulo 2: Diseño de Reactores Microbianos
En el capítulo de crecimiento microbiano, ya se mostraron las ecuaciones de diseño para un sistema discontinuo como para un sistema continuo completamente agitado (quimiostato). En este capítulo se estudiarán 2 de los sistemas más usados en biotecnología: El quimiostato con recirculación y el sistema Fed-Batch o por lote alimentado. 2.1.- Quimiostato con recirculación.
En este sistema, la principal diferencia con el quimiostato convencional es la recirculación de biomasa en el reactor para incrementar el tiempo de retención celular y mejorar la eficiencia tanto de consumo de sustrato como de formación de producto. Lo anterior obliga a la instalación de un separador a la salida del quimiostato que permita la sedimentación y recirculación de la biomasa. Existen 2 parámetros asociados a este tipo de sistema: La tasa de reciclo, , y el factor de concentración celular (o razón de concentración), c. Las definiciones se muestran a continuación: - Taza de reciclo:
Qr Q
(2.1)
donde Qr es el caudal de recirculación, mientras que Q es el caudal de entrada. - Factor de concentración celular: 40
c
X r X
(2.2)
donde X r es la concentración de biomasa en la corriente recirculada, mientras que X es la concentración de biomasa en el reactor. El esquema del quimiostato con recirculación se muestra en la Figura 2.1.
Figura 1: Esquema del quimiostato con recirculación.
De ahora en adelante, se hará referencia a la nomenclatura de la Figura 1. Así, presentamos los balances de masa para microorganismos y sustrato limitante.
- Balance de Biomasa V
dX dt
Q X 0 Q c X Q 1 X net X V
(2.3)
Dividiendo por V y en estado estacionario: 0
Q V
X 0
Q V
Q
c X 1 X net X V
(2.4)
En esta ecuación podemos ingresar un nuevo parámetro, conocido como tasa de dilución, el cual es el inverso del tiempo de residencia hidráulico:
41
D
Q V
(2.5)
Utilizando esta definición y si X0 = 0, la ecuación (2.5) se reduce a: D 1 c
(2.6)
Esta última relación es importante y muestra que, en caso de reactores con recirculación, la velocidad específica de crecimiento se puede a umenta en 1 c veces respecto a un quimiostato sin recirculación. Suponiendo un comportamiento tipo Monod, entonces: S max D 1 KS S
c
(2.7)
Despejando el valor de S : S
K S D 1 c max D 1
c
(2.8)
- Balance de sustrato limitante V
dS dt
Q S0 Q S Q 1 S
net X Y X / S
V
(2.9)
Dividiendo por V y en estado estacionario: 0 D S0 D S D 1 S
net X Y X / S
(2.10)
Despejando X : X
D S 0 S net
Y X / S
(2.11)
¿Qué pasa en el separador? - Balance biomasa en el separador en estado estacionario: Q 1 X
Q1 X 1 Q 2 c X Q c X Q Q1 Q2
(2.12) (2.13)
Despejando X 1 de ecuación (2.12) y reemplazando F 2 por ( F - F 1), se obtiene: X1
cX
Q Q1
c 1 1 X
(2.14)
2.2- Reactor Fed-Batch
42
El reactor Fed-batch es un reactor especial en el cual se agrega cierto flujo con sustrato a un reactor, sin salida de líquido del mismo. Así, a medida que se agrega flujo, el volumen aumenta. El objetivo del reactor Fed-Batch es controlar la velocidad de crecimiento (µ) mediante la velocidad de a limentación al reactor. El sistema se puede res umir en la Fig.2.2.
Figura 2.2: Esquema del proceso Fed-batch.
Este tipo de reactores se aplica en la producción de levadura, de penicilina, entre otros. Las ecuaciones generales para este tipo de cultivo se basan en las siguientes suposiciones:
Y X /S = constante Crecimiento balanceado. Metabolismo no se relaciona directamente con la edad del cultivo El consumo de sustrato para mantención es despreciable La formación de producto está directamente relacionado con el metabolismo energético. El aumento del volumen de reactor es igual al volumen de solución nutriente alimentada. De esta manera, los balances para cada componente son: Volumen
dV dt
Q t
(2.15) 43
Masa de microorganismos
d XV dt
XV
(2.16)
Masa de sustrato limitantek
d SV dt
Q S 1
XV Y X /S
(2.17)
Masa de producto
d PV dt
q P XV
(2.18)
S
(2.19)
Cinética de crecimiento
max
K S S
Así, se tienen 5 ecuaciones y 7 incógnitas: V, XV , SV , PV , µ, Q y S 1. Por lo tanto, el sistema requiere fijar al menos 2 variables para tener una solución. En este apunte, se fijarán los valores de Q y S 1 , aunque también pueden fijarse otras variables como µ o la concentración de sustrato en el medio. En este apunte se analizarán 2 formas de operación Fed-Batch, siempre usando un flujo y una concentración de sustrato de entrada constante. La primera será considerando que la alimentación comienza cuando el sustrato limitante se ha agotado (operación en pseudoestado estacionario) y otra será la alimentación en una etapa previa al agotamiento del
sustrato, haciendo que la oferta de sustrato sea mucho mayor a la demanda de éste. Caso 1: Se comienza alimentar cuando el sustrato es cercano a cero (Pseudo estadoestacionario)
En este caso, se inicia la alimentación cuando el sustrato limitante en el sistema d isco ntinuo tiene una concentración muy baja (S0). Se muestra esquemáticamente en la Fig. 2.3, apreciándose que la alimentación comienza una vez que se logra la máxima concentración de biomasa y la mínima concentración de S en un cultivo batch normal.
44
12
10
L / g , n o i c a r t n e c n o c
F, S1
8
6
4 S X
2
0 0
2
4
6
8
10
12
14
tiempo, h
Figura 2.3: Aplicación de la alimentación una vez lograda la fase pseudo-estacionaria. µmax
= 0,3 h; K S = 0,1 g/L; YX/S= 0,5; Q = 0,2 L/h; S1 = 30 g/L; V = 1 L. Como se aprecia en la figura, no sólo la concentración de S se acerca a cero, sino también dS dt
. A pesar que la concentración de sustrato es muy baja, el valor de µ no puede ser cero
y debe ser calculado. A partir de la ecuación (2.15) se tiene que: V0 V f
Q t
(2.20)
Del balance de sustrato limitante, se puede calcular el valor de µ. Aplicando la ley de la cadena a la ecuación (2.17): dS dt
Dado que S ≈ 0 y que
dS dt
V S
dV dt
Q S1
XV Y X /S
(2.21)
0 entonces: Q S 1
XV Y X / S
(2.22)
Despejando el valor de la velocidad específica de crec imiento, se tiene: 45
Q S1 Y X / S XV
(2.23)
Reemplazando la ecuación (2.23) en el balance de masa de microorganismos (ec. (2.16)): d XV dt
XV Q S1 Y X /S
(2.24)
Integrando la ecuación (2.24) entre XV 0 y XV : XV
t
dXV Q S Y dt
(2.25)
XV0 Q S1 Y X /S t
(2.26)
1
X / S
0
XV 0
XV
De la ecuac ión (2.26) es fácil determinar el valor de la masa final de microorganismos en el proceso Fed-Batch: XV
Q S1 Y X / S t XV 0
(2.27)
Así, el valor de µ esta dado por:
Q S1 Y X / S Q S1 Y X /S t XV0
(2.28)
¿Cuál puede ser el criterio para diseñar una alimentación adecuada? De acuerdo a un texto argentino, la oferta del sustrato debe ser igual o superior a la demanda de sustrato por parte del microorganismo. Así, se tiene que: demanda
oferta
XV Y X /S
Q S 1
(2.29) (2.30)
Así, se además se tiene que µ deber ser como máximo µmax , entonces la oferta debe equiparar a la demanda máxima: Q S 1
XV max Y X / S
(2.31)
¿Qué pasa con el producto? Dado que todo el sustrato sólo se utiliza en el crecimiento, entonces: q P
Y P/ X
(2.32)
Luego:
46
d PV dt d PV dt
q P XV
(2.33)
Y P/ X XV
(2.34)
Reemplazando la ecuación (2.23) en la ecuación (2.34): d PV dt
Q S1 Y X / S YP / X
(2.35)
Integrando Integrando la ecuación anterior entre e ntre t = = 0 y t y y entre PV 0 y PV : PV
PV0 Q S1 Y X /S YP / X t
(2.36)
Finalmente, Finalmente, la masa masa de producto pr oducto al a l final final de la etapa Fed-Bat Fed- Batcc h: PV
Q S1 Y X /S YP /X t PV 0
Caso 2: se inicia la alimentación antes que el sustrato se acabe :
(2.37) Este tipo de sistema se
muestra esquemáticamente en la Fig. 4. Allí se aprecia que la alimentación no comienza una vez que se logra el pseudo-estado estacionario (S ≈ 0), sino que antes, mientras el sistema sistema está es tá en pleno desarroll desarro llo, o, com co mo se muestra mues tra en la Figura 2.4.
16
F, S1
14 12
L / g , n 10 o i c a r t 8 n e c n o 6 C
S X
4 2 0 0
5
10
15
20
tiempo, h
Figura 2.4: Operaci Operac ió n del sistema fed-batch para una alimentació alimentaciónn c uando S ≠ 0. Datos
graficados con µmax = 0,3 h; K S = 0,1 g/L; YX/S= 0,5; Q = 0,2 L/h; S1 = 30 g/L; V = 1 L.
47
Dado la complejidad de este tipo de operación, Acevedo et al. (2002)1 desarrollaron una forma simple de calcular S y X , basados en dividir la operación en zonas, de acuerdo al crecimiento celular. >> K S se tiene un sistema donde μ se aproxima a μmax , por lo En la primera fase, cuando S >>
tanto, tenemos una fase de crecimiento exponencial. En la segunda fase, cuando S 0, μ se aproxima a la cinética de Monod (si corresponde), por lo que estamos en la fase de crec crecimiento imiento limitado. a) Zona de crecimiento exponencial : Para esta etapa, los balances de masa son:
- Flujo dV dt
Q
(2.38)
- Biomasa d XV dt
max XV
(2.39)
- Sustrato d SV dt
Q S 1
max XV Y X /S
(2.40)
- Producto: d PV dt
q P XV
(2.41)
Integrando Integrando la ecuación (2.39) e ntre ntre XV y XV 0:
XV ln max t XV 0
(2.42)
XV0 e max t
(2.43)
Luego XV
La ecuación (2.43) es la masa de microorganismos para cualqui cualq uier er tiempot en en la fase de crecimiento exponencial. 1
Acevedo Aceved o F, Gentina Gentina JC, J C, Illanes Illanes A. “Fundamento “Fundamentoss de Ingeniería Ingeniería Bioquímica” (2002)
48
Para determinar la masa de sustrat s ustratoo (SV ), ), tomamos la ecuación (2.43) y la reemplazam reemp lazamos os e n la ecuación (2.40): d SV dt
Q S1
max XV0 e maxt Y X / S
(2.44)
Integrando Integrando e ntre SV y SV 0 : XV 0
e max t 1
(2.45)
e max t 1 SV0
(2.46)
SV
SV0 Q S1 t
SV
Q S1 t
Y X / S
Así: XV 0 Y X /S
La ecuación (2.46) permi per mite te determinar la masa de sustrato e n cualquie cualquie r tiempo t de de la fase de crecimiento exponencial. Para determina determinarr la can ca ntidad de producto, reemplaz ree mplazamos amos la ecuació ecuació n (2.43) en la ecuación ecuació n (2.41) e integramos entre PV y y P 0V 0, y el tiempo t : P V
P0 V0 q P X 0 V0
P V
P0 V0 q P X 0 V0
1 max
e max t 1
(2.47)
e max t 1
(2.48)
Finalmente 1 max
Donde q P
ma x Y P / X
(2.49)
Para encontrar el e l valor de X , S y y P , se divide el valor de las ecuaciones (2.43), (2.46) y (2.48) por el valor de V en en el tiempo t . b) Zona de crecimiento limitado : para esta etapa, lo s balances son similares a lo s
presentados para la zo na de crecimiento exponencial. Así: 49
- Flujo dV dt
Q
(2.50)
XV
(2.51)
- Biomasa d XV dt
- Sustrato d SV dt
XV Y X /S
Q S 1
(2.52)
- Producto d PV dt
q P XV
(2.53)
S
(2.54)
-Velocidad de crecimiento específico
max
K S S
Para poder encontrar la masa de microorganismos, reemplazamos la ecuación (2.51) en (2.52) d SV dt
Q S 1
1 Y X /S
d XV
(2.55)
d XV
(2.56)
dt
Haciendo arreglos matemáticos, se tiene que: d SV Q S1dt
1 Y X /S
Integrando la ecuación (2.56) entre SV y S 0V 0, XV y X 0 V 0, t y t = 0, se tiene: SV
S0V0 Q S1 t
1 Y X /S
XV XV0
(2.57)
Dado que SV 0, despejamos XV : XV
Q S1 t Y X /S SV0 YX /S XV 0
(2.58)
Para encontrar el valor de µ, derivamos la ecuación (2.58) respecto al tiempo: d XV dt
Q S1 Y X /S
(2.59)
Igualando la ecuación (2.51) y la ecuación (2.59): 50
XV
Q S1 Y X /S
(2.60)
De la ecuación (2.60) despejamos μ:
Q S1 Y X / S XV
(2.61)
Para calcular el valor del producto, se tiene que: d PV dt
q P XV YP / X XV
d PV dt
Q1 S1 Y X /S YP / X
(2.62) (2.63)
Integrando e ntre PV y P 0V 0, y el tiempo t : PV
Q S1 Y X /S YP /X t PV 0
(2.64)
Para poder saber en que zona de crecimiento se está operando, es necesario determinar el tiempo de transición (t T), que es equivalente al tiempo que dura la operación en fase de crecimiento exponencial. Para calcular el tiempo de transición, se igualan las ecuaciones ser la misma calculada tanto (2.43) y (2.58), dado que la masa celular en el tiempo t T debe por la ecuación de la fase exponencial como por la fase limitante. Se calcula como el “tiempo fronterizo” donde termina la fase exponencial y comienza la zona de crecimiento limitado. Así: X 0 V0 e max t T
F S1 tT YX / S S0 V0 YX / S X 0 V 0
(2.65)
De ecuación (2.65) se despeja t T o, en su defecto, se obtiene iterando. ¿Qué pasa cuando la mantención no es despreciable o cuando el producto no está directamente relacionado al crecimiento? Cuando la mantención es importante, entonces la ecuación del balance de masa de sustrato cambia. Para un sistema en estado pseudo-estacionario se puede indicar que: Volumen dV dt
Q t
(2.66)
Microorganismos 51
d XV
XV
(2.67)
Q S1 m s XV Y X /S
(2.68)
dt
Sustrato limitante d SV dt
Producto d PV dt
q p XV
(2.69)
Donde q P
Y P/ X
max
S K S S
(2.70)
(2.71)
Nuevamente, de ecuación (2.68) despejamos µ: dS dt
V S
dV dt
Q S1 m s XV
XV Y X / S
(2.72)
Lo anterior se reduce a:
Q S1 Y X / S XV
m s Y X / S
(2.73)
Reemplazando la ecuación (2.73) en ecuación (2.67): d XV dt
Q S Y XV 1 1 X /S m s YX /S XV XV
d XV dt
(2.74)
Q1 S1 Y X /S ms YX /S XV
(2.75)
m s Y X / S XV Q1 S1 YX /S
(2.76)
Así: d XV dt
La ecuación(2.76) es una ecuación diferencial lineal de 1er orden, cuya forma general se escribe como: dy dx
P x y Q x
(2.77)
Para este tipo de ecuaciones, la solución general está dada por: 52
y
P x dx P x dx e Q x e dx C
(2.78)
donde C es una constante. Para el caso que queremos resolver, se tiene que:
m s Y X / S
(2.79)
Q S1 Y X /S
(2.80)
P x Q x
Por lo tanto, se tiene que: t
e
XV
0
t Y Q S1 Y X / S e 0 0 t
Y X / S m s dt
X /S
ms dt
dt C
(2.81)
Desarrollando la primera integral: t
Y
X /S
ms dt YX /S ms t
(2.82)
0
Reemplazando la ecuación (2.82) en la ecuación (2.81) XV
e
Y X / S m s t
t Q S1 Y X / S eY 0
X/ S
m st
dt C
(2.83)
Desarrollando la segunda integral:
Q S1 Y X / S eY X / S ms tdt
Q S1 Y X / S Y X / S ms
eY
X /S
ms t
1
(2.84)
Reemplazando la ecuación (2.84) en la ecuación (2.83): XV
eY
X / S
ms t
1 Q S1 Y X / S eY Y X /S ms
X /S
ms t
1 C
(2.85)
Después de trabajo algebraico se llega a que: XV
Q S1 Y C e m s ms
Q S1
X /S
ms t
(2.86)
Para calcular C , se sabe que a t = 0, XV XV 0 , reemplazando, se encuentra que: C XV 0
(2.87)
Por lo tanto, se puede indicar que: XV
Q S1 Y XV0 e m s m s
Q S1
X / S
ms t
(2.88) 53
2.3.- Ejemplos de aplicación.
1.- Un quimiostato aireado con recirculación, comúnmente conocido como “lodo activo”, es usado para la remoción de materia orgánica desde aguas residuales. Una empresa lleva a cabo un estudio a nivel piloto usando un reactor de 500 L, operando con un flujo de 250 L/h y una concentración de alimentación de 50 g/L de DBO5. Un estudio cinético previo demostró que el cultivo mixto obedece a una cinética tipo Monod. Se le pide calcular: a. Calcular el valor de X , S y X 1 cuando se trabaja sin una purga en el sistema. b. Calcular el valor de X , S y X 1 cuando se trabaja con un flujo de purga de 50 L/h. c. Dado que hay restricciones ambientales en cuanto a la concentración de biomasa en el efluente, calcule el flujo de salida necesario para que la concentración de salida sea nula. d. Calcule para el sistema el Dcrit . (Datos adicionales: µmax = 0,5 h; K S = 2 g/L DBO 5; YX/S = 0,5; = 0,7; c = 1,5). Solución
a) Del balance de masa celular en el reactor, se obtiene la ecuac ión (2.8) y con ésta obtenemos el valor de S : S
K S D 1 c max D 1
c
(2.89)
Reemplazando valores:
2 (mg/L) 0,5 h -1 1 0, 7 0,7 1, 5 S 3,71 mg/L 0, 5 h -1 0,5 h -1 1 0, 7 0, 7 1,5
(2.90)
Para calcular el valor de X , debemos calcular el valor de µ:
max
S KS S
0,5 h -1
3,71 mg/L 0,325 h-1 2 mg/L + 3,71 mg/L
(2.91)
Luego, a partir del balance de masa de sustrato, obte nemos la expresión que nos permite calcular X (ecuación (2.11)). Así:
54
X
D S0 S Y X / S
0,5 h -1 50 3, 71 mg S/L 0,5 mg X/mg S 0,325 h -1
(2.92)
X 35,65 mg/L
Para calcular el valor de X1, usamos el balance de masas celular en el separador (ecuación (2.14)): X1
cX
Q Q1
c 1 1 X
(2.93)
Dado que Q = Q 1 (no hay purga, es decir, Q2 = 0), entonces la ecuación (2.93) se simplifica. Reemplazando valores: X 1 1,5 35,65 mg/L 1, 5 1 0, 7 1 35, 65 (mg/L) 23,17 mg/L
(2.94)
b) En este caso, debemos primero obtener el valor de Q1: Q1 Q Q2
200 L/h
(2.95)
Los valores de S y X no varían de lo calculado en la letra (a) (realice ud. los cálculos). La variación principal se da en la concentración de salida del reactor, X 1. Aplicando la ecuación (2.93), se obtiene: 250 L/h 1,5 35,65 mg/L 1,5 1 0, 7 1 35, 65 (mg/L) 200 L/h X 1 15,6 mg/L X 1
(2.96)
c) En este caso, nos piden calcular el valor de Q1 y Q2 para que X1 = 0. Nuevamente, usamos la ecuación en el separador (ecuación (2.14)): X1
cX
Q Q1
c 1 1 X
(2.97)
Si X1 = 0 y despejando Q1 se obtiene: Q1
Q c 1 1 c
(2.98)
Reemplazando valores, se obtiene: Q1
250 (L/h) 1,5-1 0,7 1 141,67 1,5
(2.99)
Luego Q2
Q Q1 108,33 L/h
(2.100) 55
d) Para calcular el Dcrit , debemos suponer que: X = 0 (el reactor se lava) y S = S 0 (no hay consumo de sustrato en el reactor). Así, igualando la ecuación (2.6) y la ecuac ión de Monod, se obtiene la siguiente expresión (ecuación (2.7)): Dcrit 1 c max
S 0 K S S 0
(2.101)
Despejando Dcrit y reemplazando valores, se obtiene: 0,5 h -1 50 g/L Dcrit 0,739 h -1 1 0, 7 0,7 1, 5 2 g/L+50 g/L
(2.102)
2) Una empresa recientemente compró un nuevo microorganismo para producir un producto P. Los datos cinéticos de e ste nuevo microorganismo son: µmax = 0.3 h-1 ; K S = 0,1 g/L; YX/S = 0,4 g b.s./g sustrato; YP/X = 0,5 g P/g b.s h. Se sabe que la formación de producto está directamente asociada a crecimiento. De ac uerdo a la e mpresa que distribuye el microorganismo, la mejor forma de operación es del tipo Fed-Batch. Así, se le pide a ud. determinar los siguientes puntos: a) El tiempo después del cual Ud. puede comenzar a alimentar el bioreactor para operar un cultivo Fed-batch en estado pseudo-estacionario. Suponga las siguientes condiciones iniciales: S0 = 10 g/L; X0 = 0.5 g/L; P0 = 0.02 g/L. b) Si las condiciones de operación recomendadas para un Fed-Batch en estado pseudoestacionario son: F = 85 L/h; V0 = 1000 L; S1 = 12 g/L, con F y S1 constantes, calcular el tiempo de operación, la masa total de células y la masa total de producto si el volumen máximo del reactor es de 3000 L. c) ¿Qué pasaría si el reactor comenzara a a limentarse a un tiempo t = 2,5 h después de iniciar el sistema en discontinuo?¿Cual será el tiempo de transición?¿Los valores de XV y PV ?
Resolución
a.- Para solucionar este punto, debemos calcular el tiempo que demora el sistema batch en llegar a una concentración de sustrato cercana a 0. Así, haciendo S = 0, se calcula el tiempo de operación batch:
56
S
S0
X 0 Y X / S
e max t 1
(2.103)
Luego: S0
X 0 Y X / S
e max t 1
(2.104)
Despejando t se tiene: t
S Y ln 0 X / S 1 max X 0 1
(2.105)
Reemplazando valores, se obtiene que: t
10 0, 4 1 1 7, 32 h -1 ln 0, 3 h 0,5
(2.106)
b) En general, para este tipo de ejercicios debemos realizar varios pasos: Paso 1: Cálculo de las concentraciones iniciales de X y P , es decir X 0 y P 0 . Teniendo el
valor de t , se puede obtener el valor final de X y P en la fase batch: X
X 0 e max t 0,5 e 0,37,32 4,5 g/L
(2.107)
El valor anterior es el valor inicial de la concentración de biomasa de la etapa fed-batch Para P : dP dt
q P X q P X 0 e max t
(2.108)
Integrando la ecuación (2.108) y reemplazando valores, se tiene: P
P0 q P
X 0 max
e max t 1
g X 0,5 gP L 0,3 7,32 P 0,02 g/L+0,15 1 2, 02 g P/L 0,3 h -1 e g X h
(2.109)
(2.110)
El valor anterior es el valor de la concentración de P al inicio de la etapa fed-batch. Paso 2: El segundo paso es calcular el tiempo de operación Fed-batch, es decir, el tiempo
que demora en pasar de 1000 L a 3000 L. Dado que Q y S1 son constantes y el volumen máximo del reactor es de 3000 L, se puede determinar t operación: V
V0 Q t
(2.111) 57
Así: t
V
V 0
Q
3000 1000 23,53 h -1 85
(2.112)
Por lo tanto, el tiempo de operación es de 23 horas. Paso 3: Ahora procedemos a calc ular la masa de biomasa (XV ) y de producto (PV ), usando
las ecuaciones determinadas anteriormente para el caso de pseudo-estado estacionario. Para la masa de biomasa (ecuación (2.27): XV
Y X / S S1 Q t X 0 V 0
(2.113)
Reemplazando valores:
g X g S L g X 12 85 23, 53 h + 4,49 1000 L g S L h L XV 14090,24 g XV 0.4
(2.114)
Para el producto ligado directamente a crecimiento (ecuación (2.37)): PV
PV 0 0 Q S1 Y X / S t Y P / X
(2.115)
Reeemplazando los valores:
g P 1000 L + 85 L PV 2020 g P + 4800,12 g P PV 6820,12 g P PV 2,02
L 12 g S 0,4 g X 0, 5 g P 23,53 h h L gS g X (2.116)
c) Para desarrollar este punto, se realizan los siguientes pasos: Paso 1: Calcular los valores de S , X y P a tiempo t = 2,5 h, operando en discontinuo.
Así, se tiene para el sustrato: S
S0
X 0 Y X / S
e max t 1
(2.117)
Reemplazando valores S
10
0,5 0,3 2,5 e 1 8, 6 g/L 0, 4
(2.118)
Para la biomasa: X
X 0 e max t 0,5 e 0,32,5 1,06 g/L
(2.119) 58
Para el producto: P P0 X 0 Y P/ X e
max t
1
(2.120) gP g X 0,3 2,5 1 0, 3 g/L P 0,02 g P/L 0, 5 0, 5 L e g X Los valores calculados anteriormente pasan a ser los valores iniciales de la etapa FedBatch. Paso 2: Dado que en este caso la alimentación comenzó antes de lograr el pseudo-estado
estacionario, nos encontramos en la situación b, es decir, alimentación en cualquier tiempo. Así, debemos calcular el tiempo operación de la etapa de crecimiento exponencial y el tiempo de operación de la etapa de crecimiento limitado. Para realizar lo anterior, es necesario calcular el tiempo de transición, que no es otra cosa que el tiempo de operación bajo la condición de crecimiento exponencial. Usando la ecuación (2.65) y definiendo: a X 0 V0 e max t T
b F S1 tT YX / S
(2.121)
S0 V0 YX / S X0 V0
(2.122)
Luego, definiendo una función que debe ser cero: c a b
(2.123)
Así, se realiza una iteración. La Tabla 1 muestra los resultados. Tabla 1: Resultados las funciones a, b y c en función del tiempo t T. t T
a
b
c (a-b)
6,3
7016,5308
7070,4
-53,8691981
6,31
7037,612
7074,48 -36,8679997
6,32
7058,75654 7078,56 -19,8034628
6,33
7079,9646
6,34
7101,23639 7086,72 14,5163886
6,35
7122,57209
7082,64 -2,67539695 7090,8
31,7720853
En la Tabla 1 se aprecia claramente como se produce un cambio de signo entre 6,33 < t T < 6,34. Así, dado que se logra el cero entre 6,33 < t T < 6,34, se puede indicar que el tiempo de transición debe ser aproximadamente 6,33 h. Así: 59
t T
6,33 h -1
(2.124)
Por lo tanto, necesariamente a las 23 horas de operación el sistema opera bajo la modalidad de crecimiento limitado. Paso 3: Cálculo de XV y PV utilizando las expresiones de crecimiento limitado.
Para la biomasa (ecuación (2.58)): XV
Q S1 t Y X / S S0V0 YX /S XV 0
(2.125)
Reemplazando datos:
L 12 g S 23 h 0, 4 g X 8, 6 g S 1000 L 0, 4 g X 1, 06 g X 1000 L gS gS L h L L (2.126)
XV 85
XV 9384 g X + 3440 g X + 1060 g X = 13.884 g X
(2.127)
Para el producto (ecuación (2.64)): PV
PV0 Q S1 Y X /S YP/ X t
(2.128)
Reemplazando datos:
g P 1000 L + 85 L 12 g S 0, 4 g S 0, 5 g P 23 h L h L g X g X (2.129) PV 300 g P + 4692 g P PV 4992 g P PV 0, 3
Al comparar la masa de P formado en ambos casos, se aprec ia que el sistema en pseudoestado estacionario es un 26,80 % más productivo para este proceso. 3.- Una planta de bioprocesos necesita incrementar la producción de cierto microorganismo desde el cual se extrae un valioso producto. Para lo anterior, se tiene un bioreactor que se operará en Fed-Batch. De acuerdo a varios estudios, la mejor manera de incrementar la biomasa es operar en estado pseudo-estacionario, pero mantenie ndo el valor de la velocidad específica de crecimiento (µ) constante. Así, se le pide a ud: a) Determinar la expresión matemática para calcular la masa final de microorganismo (XV) si el caudal de alimentación (Q) y la velocidad específica de crecimiento son constantes. 60
b) Determinar la expresión matemática para calcular la masa final de microorganismo (XV) si la concentración de alimentación (S1) y la velocidad específica de crecimiento son constantes. Solución
En el caso a), tenemos 6 incógnitas (V , Q, S 1, µ, XV y SV ) y sólo 4 ecuaciones: dV dt
d XV dt d SV
Q
(2.130)
XV
(2.131)
Q S 1
dt
max
XV Y X /S
S
K S S
(2.132)
(2.133)
Por lo tanto, de las 6 incógnitas, necesariamente debemos fijar 2. ¿Cuáles se fijan? Las que aparecen en el enunciado, es decir, Q y µ. Por lo tanto, las incógnitas seránV , S 1, XV y SV . Lo primero que podemos calcular es el volumen final:
Q t V0
V
(2.134)
Para el cálculo de la masa microbiana, integramos la ecuación (2.131) ya que µ es constante: XV
XV0 e t
(2.135)
Para el cálculo de S1, hacemos uso de l balance de sustrato. Al aplicar la regla de la cadena a la ecuación (2.132): dS dt
V
dV dt
S Q S1
XV Y X /S
(2.136)
Dado que µ es constante, entonces S también es constante (ver ecuación (2.133)), por lo tanto la ecuación anterior se reduce a: S
dV dt
Q S 1
XV Y X /S
(2.137)
Luego 61
S Q Q S1
XV Y X / S
(2.138)
Despejando S1: S1
S
XV Q Y X / S
(2.139)
Dado que XV es una función exponencial y S1 depende de XV, entonces la concentración de alimentación debe ir incrementándose exponencialmente para mantener un µ cte. Finalmente, calculamos SV también a partir del balance de sustrato:
XV Q S dt Q Y X /S
dSV
XV Y X /S
(2.140)
Así: d SV dt
Q S
(2.141)
Integrando: SV
Q S t SV 0
(2.142)
En el caso b), el razonamiento es similar, sólo que en este caso las variables co nocidas so n µ y S1. Por lo tanto, es el mismo sistema anterior. Del balance de masa microbiano, se tiene que: XV
XV 0 e t
(2.143)
Nuevamente del balance de sustrato calculamos el valor de Q: d SV dt
Q S 1
XV Y X /S
(2.144)
Aplicando la regla de la cadena y haciendo que dS/dt = 0: QS
Q S1
XV Y X / S
(2.145)
Luego: Q
XV Y X / S S1 S
(2.146)
Reemplazando la ecuación (2.143) en la ecuación (2.146): 62
Q
XV 0 Y X /S S1
S
e t
(2.147)
Así, para este tipo de proceso, se necesita un caudal que aumente exponencialmente. Para determinar el cambio de volumen, utilizamos la ecuación (2.130): dV dt
XV 0
e t a e t
Y X / S S1 S
(2.148)
Al realizar la integración, se tiene que: t
V
V0 a e tdt 0
a
e t 1
(2.149)
e t 1
(2.150)
Así, finalmente: V
V0
XV 0 Y X /S S1
S
En este caso, tanto el Q como el V aumentan en forma e xponencial. 2.4.- Ejercicios propuestos 1.- Un quimiostato simple de 5 litros de volumen útil presenta algunos problemas de diseño
que ocasionan una imperfecta agitación. El equipo se va a utilizar para cultivar una levadura de μmax = 0,48 h-1 y K S = 0,072 g/L. La alimentación se hará a 1,1 L/h con una concentración de nutriente limitante S0 = 65 g/L. En esa condición YX/S = 0,43 g/g. Para predecir los resultados de esa experiencia se plantea un modelo que supone que un 35% del flujo de alimentación no pasa por el fermentador, sino que se une a la corriente de salida y que el resto ingresa al quimiostato que se considera perfectamente agitado. a) Determine los valores estacionarios de μ, X, S y QX. (Resp: μ = 0,143 h-1; X = 27,94 g/L; S = 0,031 g/L; QX = 3,99 g/L h) b) Comparar los resultados anteriores con los valores generados considerando un fermentador perfectamente agitado. 2.- Considere un reactor de mezcla completa de 1 m3 de volumen (Quimiostato) donde se
produce biomasa con glucosa como sustrato. El sistema s igue una cinética tipo Monod con μmax = 0,4 h-1 y K S = 1,5 g/L, con un factor de rendimiento de 0,5 g biomasa/g sustrato. Si 63
la operación normal es con una alimentación estéril de 100 l/h que contiene 10g/l de glucosa: a.- ¿Cuál es la tasa específica de producción de biomasa (g/L h) en estado estacionario? (Resp: Qx = 0,475 g/l h) b.- Si se usara un reciclo de 10 l/h y una concentración de biomasa en e l reciclo 5 veces mayor a la concentración a la salida del reactor, ¿Cuál será la nueva tasa específica de producc ión de biomasa (g/L h)? (Resp: Qx = 0,81 g/l h) c.- Explique cualquier diferencia entre los valores encontrados en a y b. 3.- Un fermentador de tanque agitado de 1500 litros de volumen de operación es utilizado
en un proceso continuo con una levadura de μmax = 0,34 h-1 y un K S= 80 ppm. La levadura presenta auxotrofía de un metabolito intermedio que es usado como nutriente limitante con un Yx/s= 0,45 y una concentración en la alimentación de 5 g/L para un flujo de 165 L/h. El efluente del fermentador pasa por una centrífuga continua que produce una corriente concentrada de células, que es bombeada a otra sección de la planta, y otra corriente clara que es recirculada parcialmente al fermentador, purgándose el resto. El factor de concentración es 3,3 y el factor de recirculación medido después de la purga es de 1,8. Si se desea que el flujo de la purga sea un 65% del flujo de la corriente concentrada de células, determine los valores de los flujos y la concentración de células y nutrientes limitantes de todas las corrientes, cuando se opera en estado estacionario (Resp: S = 183,36 mg/L; Xreactor = 1,01 g/L). 4.- Un quimiostato de 12 m3 de volumen con recirculación de cé lulas y sin purga, posee una
alimentación fresca de 6240 L/h con una concentración de 1,2 g/L. Se pide determinar el factor de concentración en el separador, la concentración celular en el fermentador y la concentración de sustrato en el efluente para un factor de recirculación de 0,6. Datos: μmax = 0,62 h-1 μ = 0,35 h-1 K S = 0,2 g/L Yx/s = 0,5 g/g. (Resp: S = 0,259 g/L; Xreactor = 0,7 g/L; c = 1,55). 5.- Un fermentador continuo de laboratorio de 2,5 litros está acondicionado para operar con
retención de células, para lo cual tiene dos salidas: una con un filtro absoluto que retiene la 64
biomasa (y cuya fase líquida es completamente eliminada) y la otra directa desde el fermentador. A través de la salida con el filtro fluye un 30% de la alimentación al sistema, mientras el porcentaje restante fluye por la salida directa. Se p ide: a) Establecer las ecuaciones que describan totalmente la operación del fermentador en estado estacionario. b) Calcular la concentración celular y concentración de nutriente limitante en el fermentador en estado estacionario si μmax = 0,83 h-1 , KS= 0,377 g/L e Yx/s= 0,33 g/g, con un medio conteniendo 4 g/L de nutrientes y un flujo de 8,5 mL/min. (Resp: S = 0,0783 g/L; X = 1,85 g/L) c) Calcule la máxima productividad celular (Resp: Qmax = 0,38 g/l h) 6.- Penicilina es producida por P. chrysogenum en un cultivo fed-batch con adición
intermitente de glucosa al medio de cultivo. El volumen inicial del cultivo en cuasi-estado estacionario es 500 l, y la solución que se agrega a 50 l/h tiene una concentración de glucosa de 300 g/l. La concentración inicial de biomasa en cuasi-estado estacionario en el reactor es de 20 g/l. La cinética del microorganismo obedece a una tipo monod, con μmax = 0,2 h-1 y K S = 0,5 g/L, con un factor de rendimiento de 0,3 g biomasa/g sustrato. Bajo estas condiciones, determine: a.- El volumen del cultivo después de 10 h. b.- La concentración y masa total de células en cuasi-estado estacionar io cuando t = 10 h. (Resp: X = 55 g/L; XV = 55.000 g biomasa) d.- Suponga la penicilina sea un producto directamente relacionada al crecimiento. Si YP/X = 0,5 g producto/g biomasa h y P0 = 0,1 g/l, determine la concentración de producto en el reactor en t = 10 h. (Resp: P = 22,55 g P/L). e.- Estudios posteriores para este microorganismo indicaron que el coeficiente de mantención m s de este cultivo era bastante alto (10% de μmax ). Para este nuevo escenario, calcule la masa total de células en cuasi-estado estacionario cuando t = 10 h. Compare con resultado de letra a) y discuta el error de no incluir la mantención cuando ésta es elevada. 7.- Una fermentación se realiza en un cultivo fed-batch utilizando una alimentación
constante de 0,8 L/h, con una concentración de sustrato limitante de 120 g/L. El cultivo se 65
inicia por lotes con un volumen de líquido de 20 litros. La concentración celular después de inocular es de 0,1 g/L, en un medio de cultivo con 7,5 g/L de nutriente limitante. El cultivo por lotes continúa hasta que la masa celular se quintuplica, iniciándose entonces la alimentación. Determine: a. Condiciones iniciales del cultivo por lotes alimentado. (Resp: S = 6,61 g/L) b. Condiciones de transición. (Resp: tT = 5,53 h; S = 0,0047 g/L; X = 12,62 g/L) c. Condiciones finales, correspondientes al momento en que el volumen de caldo es de 30 litros. (Resp: X = 20,58 g/L; S = 0,0102 g/L). Datos: μmax = 0,62 h-1 , K S = 80 mg/L, Yx/s = 0,45 8.- Se le ha solicitado a usted diseñar una fermentación por lotes alimentado con
alimentación constante (F y Sf constantes). El microorganismo a cultivar es una bacteria que posee un μmax = 0,4 h-1 , Yx/s= 0,4 y K S= 0,010 g/L, cuando se utiliza glucosa como fuente de carbono y energía. Para estos efectos se cuenta con un fermentador piloto de 200 litros de volumen total, al cual parte en régimen discontinuo con un S0 = 2 g/L, X0 = 0,05 g/L y V0 = 140 litros. Después de 3 horas, comienza a alimentarse una solución con Sf y F desconocidos. Usando glucosa como nutriente limitante, se observó que en un tiempo de 4,6 horas se terminó la fase de crecimiento exponencial, llegando a un volumen de líquido de 142,3 L y una concentración de sustrato de 4,72 mg/L. El tiempo total del cultivo por lote alimentado no debe sobrepasar las 6 horas. a. ¿Cuál debe ser el valor de F y Sf ? (Resp: F = 0,5 L/h; Sf = 30 g/L) b. ¿Cuál es la concentración final de microorganismos alcanzada al final del cultivo por lote alimentado? (X = 1,08 g/L) 9.- En un sistema de 2 quimiostatos en serie, el volumen del primer y segundo reactor son
V1 = 500 l y V2 = 300 l, respectivamente. El primer reactor es usado para producción de biomasa y el segundo es para formación de un metabolito sec undario. El caudal de alimentación al primer reactor es de 100 l/h, con una concentración de S = 5,0 g/l. Usando las siguientes constantes: μmax = 0,3 h-1 ; K S = 0,1 g/L; YX/S = 0,4 g X/g sustrato:
66
a.- Determine la concentración de biomasa y sustrato en el efluente de la primera etapa. (Resp: S1 = 0,2 g/L; X1 = 1,92 g/L) b.- Suponga que el crecimiento es despreciable en la segunda etapa y que la velocidad específica de formación de producto es qP = 0,02 g P/g biomasa h, con YP/S = 0,6 g P/g S. Determine la concentración de sustrato y producto en el efluente del segundo reactor. (Resp: P2 = 0,1152 g/L; S2 = 8 mg/L) 10.- Se propone un sistema de fermentación continua en régimen estacionario que consta de
un fermentador con reciclo de células cuyo efluente alimenta un segundo fermentador. Sugiera una expresión que relacione la tasa específica de crecimiento en el segundo reactor con los parámetros D, S0, μ1, Ks, max y X2. Considere:
D=Q/V es la tasa (velocidad) de dilución, igual en ambos fermentadores La alimentación fresca es estéril. es la razón de reciclo y Cf es el factor de concentración. 11.- En una planta piloto se dispone de un sistema de fermentación continua consistente en
dos quimiostatos en serie de 50 litros de volumen de trabajo cada uno. Se desea c ultivar una determinada bacteria (55% C; 11% N; 1,2% S; 2,0% Mg; 1,3% P) cuya velocidad específica de crecimiento máxima es de 0,45 h-1 en las condiciones del ensayo y su constante de afinidad es de 28 mg/L para glicerol, que será utilizado como nutriente limitante. Considere un rendimiento en células constante de 0,45 g/g. La primera etapa se operará a D= 0,23 h-1 , con una concentración de glicerol en la alimentación de 18 g/L. La segunda etapa tiene una alimentación secundaria de 6 L/h con 100 g glicerol/L. a) Determinar los valores estacionarios de X, S y en cada etapa. (Resp: S1 = 0,029 g/L; X1 = 8,09 g/l; 1 = 0,23 h-1 ; S2 = 0,0384 g/L; X2 = 20,67 g/l; 2 = 0,26 h-1 ) b) Determinar las productividades volumétricas de células e n la primera y en la segunda etapa. (Resp: Qx1 = 1,86 g/l h; Qx2 = 7,24 g/l h c) ¿Cómo varían los resultados de (a) s i la alimentación secundaria incluye además 5 g/L de células? 67
(Resp: S2 = 0,032 g/L; X2 = 22,45 g/l; 2 = 0,24 h-1 )
Capítulo 3: Mezclado y Aireación 3.1.- Mezclado
Mezclado es una operación física que reduce la no-uniformidad en un fluido a través de la eliminación de gradientes de concentración, temperatura y otras propiedades. Importante tanto tecnológica como económicamente. ¿Porqué es conveniente agitar un cultivo?
Obtener buen grado de mezclado (homogeneidad) Obtener mayores valores de velocidades de transferencia de masa. Obtener mayores velocidades de transferencia de calor (enfriamiento) Agitación es imprescindible en fermentaciones aeróbicas Fermentaciones anaeróbicas requieren agitación sólo para homogeneizar. El mezclado involucra:
Mezclar los componentes solubles en el medio, tales como azúcares. Dispersar los gases, tales como aire, en el líquido en la forma de pequeñas burbujas.
Mantener en suspensión los sólidos particulados tales como las células.
68
Cuando fuera necesario, dispersar los líquidos inmiscibles para formar una emulsión o una suspensión de finas gotas.
Promover la transferencia de calor desde o hacia el líquido. El mezclado se puede lograr de diferentes formas. En este curso nos concentraremos en la forma más común de mezclar: Agitación mecánica usando un impulsor (impeller).
3.1.1.- Equipamiento para mezclado.
El equipamiento básico se muestra en la Figura 3.12 .
Figura 3.1: Equipamiento para el mezclado en un bioreactor. Notas:
Para fluidos newtonianos, DT :DI = 3:1. Para un eficiente mezclado con 1 solo impulsor, la profundidad del líquido en el reactor no de ser más de 1-1,25 veces e l diámetro del reactor. 2
Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran
69
Baffle (Placa deflectora): Usado para evitar los vortex y remolinos en el líquido. Deflectores: Son puestos en el bioreactor a través de soportes soldados; cuatro deflectores
igualmente espaciados son suficientes para evitar los vortex. ¿Ancho de los deflectores? Depende del diseño del impulsor y la viscosidad del fluido. Generalmente, para fluido newtonianos es del orden de 1/10-1/12 del diámetro del reactor. Para fluidos no newtonianos, son del orden de 1/50 del diámetro del reactor. La posición del deflector dependerá de la viscosidad del fluido (Ver Figura 3.2).
Figura 3.2: Visión perpendicular de la posición del deflector, dependiendo de la
viscosidad: (a) baja viscosidad (< 10 cp); (b) Líquidos de viscosidad moderada. (10< µ < 103 cp); (c) Líquidos muy viscosos (µ > 103 cp).
70
Impulsor: Existen variedad de diseños para diferentes tipos de fluidos. La Figura 3.3
muestra los más comunes. En cuanto a su uso, depende de la viscosidad del fluido. La Figura 3.4 muestra las diferentes posibilidades.
Figura 3.3: Diseño de diferentes tipos de impulsores3.
3
Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran.
71
Figura 3.4: Rango de viscosidad para diferentes tipos de impulsores4 .
3.1.2.- Efectividad de Mezclado.
El tiempo de mezclado (tm) es un parámetro útil para estudiar la eficiencia de mezclado y se aplica para caracterizar el mezclado en reactores. tm : tiempo requerido para lograr un grado de homogeneidad dado, comenzando desde un
estado completamente segregado. ¿Cómo se mide tm? Se inyecta una concentración dada de un compuesto (trazador) en el reactor y se muestrea su conce ntración en un punto fijo del reactor. Trazadores comunes son ácidos, bases y soluciones de sales concentradas. Detectores pueden ser pHmetros o conductímetros. La Figura 3.5 muestra un perfil típico de concentración en la medición de tm.
4
Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran.
72
Figura 3.5: Perfil de concentración después de inyección de un pulso de trazador al reactor.
tm: tiempo de mezclado; tc : tiempo promedio que toma el fluido para hacer 1 circuito en el reactor (tiempo de circulación).5 Para un líquido en un reactor con varios deflectores y un pequeño impulsor, existe una relación aproximada entre el tiempo de mezclado y el tiempo de circulación:
4 t c
tm
(3.1)
En reactores de mezcla completa industriales con volúmenes de trabajo entre 1-100 m3 tienen tiempo de mezclado entre 30 a 120 s. El tiempo de mezclado en reactores agitados depe nderá de variables tales como el tama ño del estanque y el impulsor, las propiedades del fluido y la velocidad de agitación. La relación entre estas variables y e l tiempo de mezclado ha sido experimentalmente determinado para diferentes tipos de impulsores. Para Rei (Numero del Reynolds del impulsor) > 5x103 y un impulsor tipo turbina Rushton, se puede calcular: Ni t m
1,54 V 3
Di
(3.2)
Donde
5
Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran.
73
i
: Velocidad rotacional del impulsor.
Di : Diámetro del Impeller.
La ecuación anterior fue graficada experimentalmente para una turbina Rushton. En la Figura 3.6, el cálculo de Rei se realiza como:
Re i
Ni Di2
(3.3)
donde N i es Velocidad de rotación expresada en revoluciones por unidad de tiempo (rpm).
74
Figura 3.6: Variación del tiempo de mezclado con el N° de Reynolds para un impulsor tipo
turbina Rushton. Impulsor localizado a un tercio del diámetro del estanque sobre el fondo del reactor. Reactor con 4 deflectores.6 3.1.3.- Cálculo de Potencia para la agitación en un bioreactor.
La energía eléctrica se usa para mover el impulsor en los reactores agitados. Para una velocidad de agitac ión dada, la potencia requerida depende de la resistencia ofrecida por el fluido a la rotación del impulsor. Consumo de energía reactores pequeños (< 0,1 m3) = 10 kW m-3 Consumo de energía reactores grandes (100 m3 ) = 1-2 kW m-3 . La potencia se puede calcular en base al número adimensional llamado número de potencia, Np. Dicho valor determina la potencia absorbida por el fluido. N P
Fuerza Externa Aplicada Fuerza Inercial del Fluido
(3.4)
Para fines de normalización, se definirá una nomenclatura y se establecerán rangos recomendables para las proporciones lineales de un fermentador. 3.1.3.1.- Potencia de agitación en reactores no-gaseados (aire) con fluido newtoniano.
El número de potencia se define como: N p
P 3
5
i Di
(3.5)
donde P es la potencia, ρ es la densidad del fluido, N i es la velocidad de rotación (rpm) y Di es el diámetro del impulsor. Una vez que el valor de Np es conocido, la potencia requerida se calcula como: 3
5
P N p N i Di
6
(3.6)
Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran.
75
Experimentalmente se determinaron diferentes valores de Np en función de Rei. Los resultados para 5 impulsores se muestran en las Figuras 3.7 y 3.8. Allí también se muestran los diferentes valores de los parámetros geométricos.
Figura 3.7.1: Np en función del Re i para impulsores del tipo turbina Rushton (1), canalete (2) y hélice (3).7
7
Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran.
76
Figura 3.7.2: Dimensiones y especificaciones para Figura 7.1. Turbina Rushton (1), canalete (2) y hélice (3).8
Figura 3.8.1: Np en función del Re i para impulsores del tipo ancla (1) y tornillo helicoidal (2). 9
8 Del 9
texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran. Del texto “ Bioproces s Engineering P rinciples” de Pauline Doran.
77
Figura 3.8.2: Dimensiones y especificaciones para Figura 1.1. Ancla (1), tornillo helicoidal (2). 10
El valor de Np y P va a depender del régimen de flujo. Dado que tres regímenes de flujo pueden ser identificados, las siguientes simplificaciones se pueden usar:
En régimen laminar (Rei < 10) 2
3
(3.7)
3
5
(3.8)
P k1 liq Ni Di
En régimen turbulento '
P N p N i Di
Para impulsores tipo ancla y tipo tornillo helicoidal, el flujo laminar persiste hasta Rei = 100. Tanto k 1 como NP ’ son valores constantes que debe n ser especificados. Algunos valores se muestran en la Tabla 1.
10
Del texto “ Bioprocess Engineering Principles” de Pauline Doran.
78
Tabla 1: Constantes en ecuación (3.7) y (3.8). k 1
Tipo de Impulsor
N P '
(Rei = 1) (Rei = 105 ) 70 5-6 35 2 40 0,35 420 0,35 1000 0,35
Turbina Rushton Canalete Hélice Ancla Cinta Helicoidal
Con las Figuras 3.7 y 3.8, se puede calcular la potencia de agitación P , conociendo la densidad y la viscosidad del caldo, el diámetro del rotor y la velocidad de rotación. Como una guía, se puede decir que:
Velocidad de rotación en reactores de laboratorio: 200-1000 rpm Velocidad de rotación en reactores industriales: 50-300 rpm ¿Qué pasa si proporciones geo métricas difieren de Figura 2.7 o 2.8? En ese caso, se debe aplicar una corrección, la cual se basa en la siguiente ecuación: P P f
( Dt / Di ) ( H L / Di ) ( Dt / Di ) f ( H L / Di ) f
(3.9)
donde subíndice f representa los datos de las Figuras 7 y 8. ¿Qué pasa si el reactor tiene 2 o más rotores? Se debe calcular la potencia por: Pi
i P 1
(3.10)
Donde i es e l número de rotores en el sistema y P 1 es la potencia calculada para 1 rotor. 3.1.3.2.- Potencia de agitación en reactores gaseados (aire) con fluido newtoniano.
Cuando existe aireación, se observa una baja de la potencia necesaria del orden del 40-60%, en los rangos usuales de aireación. Lo anterior se aprecia claramente en la Figura 3.9,
79
donde Na representa el número de aireación, P representa la potencia sin aireación y P g representa la potencia con aireación. El número de aireación se define como: N a
F g 3 i Di
(3.11)
Figura 3.9: Relacipón entre la potencia con y sin aireación y el número de aireación Na.
(1) Turbina de 8 paletas; (2) Turbina de disco Rushton ; (3) Turbina de 4 paletas. La potencia con aireación se puede ca lcular mediante la ec uación de Michel y Miller (1962): 0,45
P 2 Ni Di3 P g K (3.12) F g 0,56 Al usar el sistema internacional de unidades, SI, se recomienda un valor de K = 1 para volúmenes de fermentación mayores que 1 m3 y K = 0,72 para tamaños menores. Otra correlación útil es (Hughmark, 1980): P g P
F 0,10 g NiVL
0, 25
Ni2 Di4 2/ 3 g Wi V
0,20
(3.13)
Donde Wi : ancho del impulsor; g: aceleración de gravedad; VL : volumen de líquido. 3.2.- Aireación.
80
3.2.1.- Demanda de O2 de un cultivo.
La demanda de oxígeno, NO2 ,se define como: “ La cantidad de oxígeno requerida por unidad de tiempo y por unidad de volumen de cultivo”. La demanda de O2 de un cultivo está dada por: N O2
X Y X / O2
(3.14)
En ecuación (3.14), el valor de YX/O2 debe ser calculado desde estequiometría. Otra definición comúnmente usada está dada por: nO2
N O2
Y X / O2
(3.15)
Esta última ec uación no es otra cosa que la demanda específica de oxígeno, cuyas unidades típicas son g O2/ g biomasa h. Los valores más usuales de NO2 están alrededor de 50 a 200 m-moles de O2/L h (1.6-3.2 g O2 / L h). Valores superiores a 120 m-moles de O2/L h son difíciles de satisfacer en equipos de diseño estándar y en condiciones de operación económicas. 3.2.1.1.- Condiciones que afectan la demanda de oxígeno
Especie celular Natura leza de fuente de carbono: Sustratos más fácilmente biodegradables, mayor es la demanda de oxígeno. Ej: Para Penicillium, las velocidades máximas de consumo de oxígeno han sido 5.5, 6.1 y 12 mmol l-1 h-1 para lactosa, sucrosa y glucosa, respectivamente.
Concentración de O2: Cuando el nivel del oxígeno disuelto cae bajo cierto valor, la demanda de O2 también depende de la concentración de O2. La dependencia de nO2 con la concentración de oxígeno molecular se muestra en la Figura 3.10. Si la concentración de oxígeno está sobre la concentración crítica de O2, nO2 es constante e independiente del O2. Por el contrario, si cO2 < cO2,crit , la demanda específica de oxígeno depende linealmente de la concentrac ión de O2. 81
Figura 3.10: Efecto de la concentración de O2 en un cultivo. 3.2.2.- Proceso de transferencia de O2.
En un proceso aeróbico, las moléculas de oxígeno deben vencer una serie de resistencias al transporte antes de ser utilizadas por la célula. De acuerdo a Doran11 , 8 pasos de transferencia de masa están involucrados en el paso del oxígeno desde el interior de la burbuja de aire al interior de la célula. Estos pasos se muestran esquemáticamente en la Figura 3.11. (i)
Transferencia desde el interior de la burbuja a la interfase gas-liquido: Etapa rápida.
(ii)
Movimiento a través de la interfase gas-líquido. La interfase posee una resistencia despreciable.
(iii)
Difusión a través de una capa de líquida estancada que rodea la burbuja. Debido a la baja solubilidad del oxígeno en soluciones acuosas, se puede suponer que esta etapa domina la transferencia de masa gas-líquido.
11
“Bioprocess Engineering Principles” de Pauline Doran
82
(iv)
Transporte en del seno del líquido. En líquidos no viscosos, los gradientes de concentración son minimizados en reactores bien mezclados. En líquidos viscosos, esto no necesariamente se cumple, y esta resistencia comienza a ser importante.
(v)
Difusión a través de una capa de líquido estancado que rodea a la célula. Cuando la biomasa esta suspendida, la capa de líquido estancado que rodea la célula es muy delgada en comparación a la capa que se forma en la burbuja, dado que la célula es mucho más pequeña que la burbuja de aire. Así, esta resistencia puede ser despreciada. En caso de agrupaciones de células muy grandes (biofilms), la resistencia en esta zona puede ser significativa.
(vi)
Movimiento a través de una interfase líquido-célula.
(vii)
Si las células están floculadas o adheridas a un soporte sólido, existe difusión a través del sólido hasta la célula individual. Esta resistencia depende del tamaño del flóculos o biopelícula. Si las células están suspendidas, esta etapa desaparece.
(viii) Transporte a través del citoplasma al sitio de reacción. Generalmente se desprecia por efectos de las distancias involucradas.
83
Figura 3.11: Etapas para la transferencia de oxígeno desde las burbujas de gas hasta la
célula.
3.2.2.1.- Transferencia de O2 en la etapa limitante gas-líquido.
Como se indicó en el punto anterior, cada proceso de transporte de oxígeno involucra una cierta velocidad, pero el proceso global se realizará a la velocidad del paso más lento, llamado paso limitante. En el caso de la transferencia de oxígeno desde el aire a la célula, el paso limitante es la transferencia desde la burbuja hacia el seno del fluido a través de la película de líquido alrededor de la burbuja de aire (fase (iii)). Para la determinación de la velocidad de transferencia de oxígeno (VTO) se hace uso de la hipótesis de las 2 películas estáticas, una a cada lado de la interfase, a través de las cuales se produce n los gradientes de presión parcial y concentración que inducen el transporte de O2. La Figura 3.12 muestra la situación de una interfase líquido-gas que contiene un componente A. Para determinar la velocidad de transferencia por unidad de volumen de fluido, se puede realizar el siguiente razonamiento: En estado estacionario, la velocidad de transferencia de masa de A a través de la capa de gas estancado puede escribirse como: W AG
kG a c AG c AG ,i
(3.16)
A su vez, para la velocidad de transferencia de masa en la capa de líquido estancado se tiene que: W AL
k L a cAL ,i cAL
(3.17)
84
Figura 3.12: Gradientes de concentración para la transferencia de masa líquido-gas.
En las ecuaciones (3.16) y (3.17), k G es el coeficiente de transferencia de masa en fase gas (en m s-1 ) y k L es el coeficiente de transferencia de masa en fase líquida (en m s-1 ). A su vez, a es el área interfacial disponible para la transferencia de masa por unidad de volumen (en m2 m-3 ). En este punto, supongamos que existe equilibrio en la interfase líquido-gas, y que las concentraciones c AG , i y c AL,i están relaciondas. Para concentraciones diluidas (como lo es el oxígeno en el agua), c AG ,i es una función lineal de c AL,i , así: c AG ,i
m c AL,i
(3.18)
donde m es el coeficiente de partición o factor de distribución. Dado que c AG ,i y c AL,i son difíciles de medir, se deben trabajar las ecuaciones (3.16) y (3.17) para eliminarlas de las ecuaciones, usando para eso la ecuación (3.18). Así, reemplazando la ecuación (3.18) en las ecuaciones (3.16) y (3.17): W AG kG a
c AG m c AL,i
c AG ,i c AL k L a m W AL
(3.19) (3.20)
85
Ahora, multiplicando la ec uación (3.17) por m y dividiendo la ecuación (3.16) por m, se tiene: c c AG AG ,i kG a m m m W AG
W AL m k L a
m c AL ,i m c AL
(3.21) (3.22)
Despejando c AG ,i / m de ecuación (3.21) y m c AL,i de la ecuación (3.22): c AG , i m m c AL ,i
cAG m
W AG 1 kG a m
W AL m k L a
m cAL
(3.23) (3.24)
Reemplazando la ecuación (3.23) en ecuación (3.20) y la ecuación (3.24) en la ecuación (3.22), se puede eliminar las concentraciones en la frontera líquido-gas:
c W 1 AG AG c AL k L a m k G a m
(3.25)
W m c AG AL m c AL kG a kL a
(3.26)
W AL
W AG
Ahora, en estado estacionario W AL WAG W A . Así, despejando WA de las ecuaciones (3.25) y (3.26), se tiene:
1 1 c AG c AL k L a m kG a m
W A
(3.27)
Multiplicando la ecuación (3.27) por m se tiene:
m 1 c AG m cAL k L a kG a
(3.28)
1 m cAG m cAL k a k a G L
(3.29)
W A
Ahora, la ecuación (3.26): W A
Dividiendo la ecuación (3.29) por m :
1 1 c AG c AL kG a m k L a m
W A
(3.30) 86
Definiendo un coeficiente de transferencia de masa total, tanto e n la fase líquida como en la fase gas, se tiene: m 1 1 K G a kG a k L a
1 K L a
1 1 kL a k G a m
(3.31) (3.32)
Donde K G = coeficiente de transferencia de masa total en fase gas. K L = coeficiente de transferencia de masa total en fase líquida.
Así, la velocidad de transferencia de masa en sistemas gas-líquido puede ser expresada como: W A
KG a c AG m cAL
(3.33)
c K L a AG cAL m
(3.34)
Ó W A
Dado que m c AL es igual a la concentración en la fase gas que está en equilibrio con * c AL ( c AG ) y, a su vez, c AG / m es igual a la concentración de A en fase líquida en equilibrio * con c AG ( c AL ), entonces las ecuaciones (3.33) y (3.34) son:
W A
* KG a c AG c AG
(3.35)
W A
* K L a cAL cAL
(3.36)
Dado que el O2 es pobremente soluble en líquido, la resistencia a la transferencia de masa en la fase liquida es la domina, por lo tanto, k G a k L a . Así, de la ecuación (3.32), k L a K L a . Por lo tanto: WO2
k L a cO* 2 cO2
(3.37)
Dado que el parámetro a es muy difícil de evaluar experimentalmente, se evalua experimentalmente el parámetro completo k L a , llamado simplemente k L a . Éste parámetro tiene unidades de s-1 . 87
La diferencia entre la máxima posible concentración en el líquido ( cO*2 ) y la actual concentración ( cO2 ) representa la fuerza impulsora de la transferencia de masa en este sistema. 3.2.2.2.- Efecto de diferentes factores sobre la velocidad de transferencia de O2. a.- Temperatura:
La temperatura afecta principalmente la solubilidad del O2 y el valor del coeficiente de transferencia de masa. En cuanto a la solubilidad, a medida que aumenta la temperatura, la solubilidad del oxígeno decrece. Lo anterior reduce la fuerza impulsora de la transferencia de masa, la diferencia c*O2 cO2 .La solubilidad en agua pura entre 0 y 36 °C puede ser calculada como: *
cO2
14,161 0, 3943 T 0,007714 T 2 0, 0000646 T 3
(3.38)
A su vez, la difusividad del O2 en la capa de líquido estancado alrededor de la burbuja aumenta con el incremento de la temperatura. Así, el efecto neto de T sobre la VTO depende del rango de T. Entre 10 y 40 °C, el incremento de T generalmente incrementa la velocidad de transferencia de oxígeno. Sobre los 40 °C, la solubilidad del O2 cae significativamente, afectando adversamente la fuerza impulsora de transferencia de masa. b.- Tamaño de Burbuja
La eficiencia de la transferencia liq-gas depende en gran medida de las características de las burbujas en el medio líquido, afectando así el kLa. La más importante propiedad de las burbujas de aire en el reactor es su tamaño. ¿Porqué?
Mayor área interfacial se logra si el gas se dispersa en pequeñas burbujas. Burbujas más pequeñas tienen menores velocidades, permaneciendo más tiempo en el reactor y permitiendo mayor transferencia de O2 a la fase líquida.
88
Así, pequeñas burbujas crea n altas tasas de retención de gas (gas hold- up), la cual se de fine como la fracción volumen que ocupa el gas en el reactor:
V G VG V L
(3.39)
Donde V G es el volumen de gas, y V L es el volumen de líquido en el reactor. No siempre burbujas pequeñas son sinónimo de una eficiente transferencia de materia. Burbujas con diámetros menores a 1mm se deben evitar, especialmente en caldos viscosos. Lo anterior debido a que muy pequeñas burbujas quedan demasiado tiempo en el líquido por e fecto de la reducción de velocidad. Así, no se aprecian mejoras en las VTO. Por otro lado, burbujas de diámetros menores a 3 mm reducen el k L debido al efecto de la tensión superficial. Pequeñas burbujas generan burbujas de superficie inmóvil y baja circulación de gas interno. c.- Pres ión de gas usado para oxigenar y presión parcial del oxígeno.
La presión del gas usado para oxigenar y la presión parcial de o2 afectan el valor de cO*2 . La relación de equilibrio entre estos parámetros para soluciones diluidas esta dada por la ley de Henry: pO2
pT yO2
H cO*2
(3.40)
Donde pO2 es la presión parcial del O2 en el gas, pT es la presión total de gas, yO2 es la farcción molar de oxígeno en el gas, H es la constante de Henry y cO*2 es la solubilidad. De esta manera, se puede incrementar la VTO usando las siguientes mejoras:
aire enriquecido con O2 u O2 puro. Aireación con aire comprimido a mayor presión. 3.2.3.- Balance de oxígeno en un bioreactor discontinuo.
Una vez determinada la forma en que se transfiere el O2 desde la fase gas a la fase líquida, se puede plantear la ecuación general del balance de oxígeno para un bioreactor discontinuo: 89
dcO2 , L dt
k L a cO* 2 cO2 , L
X Y X / O2
(3.41)
Para que el cultivo pueda crecer sin limitación de oxígeno, el suministro de oxígeno debe al menos igualar la demanda de oxígeno por el cultivo, esto es: k L a cO*2
cO2 , L
X Y X / O2
(3.42)
Así, el parámetro k L a es usado para caracterizar la capacidad transferencia de O2 al fermentador. Si k L a es pequeño, la habilidad del sistema para entregar oxígeno es pequeña. Se puede usar la ecuación (3.42) para deducir 2 importantes relaciones:
Concentración de biomasa máximo, X m ax: Este valor se obtiene cuando la fuerza motriz de transferencia de masa es la más alta posible, es decir, cO2 , L = 0. Así: xmax
k L a cO*2 Y X / O2
(3.43)
Coeficiente de transferencia de masa volumétrico mínimo, k L amin : Este valor es el valor mínimo para obtener una concentración de O2 superior a la cO2 , crit : k L amin
Y X /O2
X
(c*O2 cO2 ,cri t )
(3.44)
3.2.4.- Determinación del coeficiente volumétrico de transferencia de masa, k La.
Para la adecuada operación de un fermentador se hace necesario conocer el valor del coeficiente volumétrico de transferencia de O2 . Generalmente, este parámetro se determina experimentalmente, aunque también existen variedad de correlac iones para distintos tipos de sistemas. A continuación, se presentan los métodos más conocidos. 3.2.4.1.- Mé todo químico del Sulfito de Sodio (Cooper et al., 1944).
90
Se basa en la rápida reacción química de oxidación del sulfito a sulfato mediante O2 . Se reemplaza el medio por solución de sulfito de sodio (sulfato cúprico como catalizador) y se burbujea aire por un cierto tiempo. La reacción puede ser expresada como: 2 SO42 O2 2 SO32 0
(3.45)
Hay un rango de concentración de sulfito de sodio (entre 0,04 y 1 N) para el cual la reacción es tán rápida que la concentración de O2 puede suponerse cero. Además, la gran velocidad de reacción permite suponer que la fase limitante es la transferencia de masa. Bajo estas condiciones, se tiene que:
Sulfito final (3.46) t La gran ventaja de este procedimiento es que no requiere ningún equipo analítico especial k L a C *
Sulfito inicial
(sólo equipo colorimétrico) y es muy útil para cuantificar cambios en el diseño de equipos. Su principal desventaja es que no usa un caldo de cultivo real, lo cual incide en determinaciones de k La mucho mayores a los obtenidos por otras técnicas, por lo que no es una determinación muy realista. 3.2.4.2.- Método dinámico sin microorganismos
Este método dinámico se basa en la medición de la concentración de oxígeno en el tiempo cuando existe absorción o desorc ión de oxígeno. Al igual que en el método químico, en este caso N O2 = 0. Así, la ecuación de variación de O2 (ecuac ión (3.41)) puede ser integrada entre un tiempo t2 y t1:
cO* 2 cO2 ,2 ln * cO cO ,1 k L a t 2 t1 2 2
(3.47)
La téc nica por absorción consiste en eliminar el O2 de la fase líquida, burbujeando nitrógeno, por ejemplo, hasta que cO2 = 0. Luego, se inyecta nuevamente aire, midiendo el incremento del oxígeno en la fase líquida con el tiempo. Así, cO2 ,1 = 0 a t1 = 0 y la ecuación (3.47) es:
c ln 1 O*2 , L k L a t cO 2
(3.48) 91
La técnica por desorción consiste en inyectar aire hasta que la concentración de saturación sea lograda. Una vez lograda, se corta la aireación y se inyecta nitrógeno, decreciendo la concentración de O2 . Esta disminución es medida en función del tiempo. Así, cO2 ,1 cO*2 a t1 = 0 y la ecuación 17 es:
cO*2 ln cO , L k L a t 2
(3.49)
En ambos casos, k L a puede ser determinada desde la pendiente de l gráfico ln f cO2 vs tiempo. La Figura 3.13 muestra un ejemplo.
Figura 3.13: Descripción esquemática de la técnica dinámica desorción-absorción de
oxígeno para condiciones inertes de medición. 3.2.4.3.- Método dinámico directo de Humphrey (Taguchi y Humphrey, 1966).
En este caso la medición se realiza en el fermentador durante el crecimiento de un cultivo activo, registrándose el oxígeno disuelto. El proceso tiene 2 etapas: Etapa 1: Durante la fermentación se corta el suministro de a ire y se registra la disminución
de O2 disuelto. Esta disminución es igual al consumo de oxígeno por la respiración de los microorganismos. Así, la pendiente de la curva es la demanda de O2 : x YO2 / X
dcO2 dt
(3.50)
92
La Figura 3.14 muestra esquemáticamente la etapa 1 y 2
Figura 3.14: Esquema del método dinámico directo. Etapa 2: El flujo de aire se repone antes que se alcance la concentración crítica de oxígeno, cO2 , crit (bajo este valor la velocidad de
metabolismo se hace dependiente de la concentración
de oxígeno, pudiéndose causar daños irreversibles en los microorganismos). Como aproximación, se puede indicar que cO2 , crit ≈ cO*2 . Bajo estas condiciones se cumple que: cO2
c*O2
1 x dcO2 k L a YO2 / X dt
(3.51)
El valor de N O2 es conocido (determinado en etapa 1) y se mantiene constante durante esta etapa. Además, conocemos el valor de cO*2 y el valor de cO2 para cada tiempo. Así, para cada tiempo sacamos el valor de dcO2 / dt y con eso construimos un gráfico de
x dcO2 v/s Y dt O2 / X
cO2
, obteniendo un perfil como el que se muestra en la Figura 3.15. El
recíproco de la pendiente de esa curva es e l valor de k La.
93
Figura 3.15: Esquema que muestra el gráfico de la ecuación (3.51). 3.2.5.- Determinación del coeficiente volumétrico de transferencia de masa k La a través de correlaciones.
Cuando no es posible medir el valor de k La en nuestro sistema, se pueden usar correlaciones. Existe gran variedad de correlaciones para diferentes tipos de reactores, agitadores, Re, etc. Se deben elegir correlaciones cuya determinación se realizó en un sistema similar al que se desea estudiar. En general, las correlaciones para k La presentan la forma general:
P g k L a K v N s V
(3.52)
donde vS : velocidad superficial del aire; P g : potencia de agitación con aireación; V : Volumen de líquido de reactor y N: frecuencia de rotación del impulsor. Los valores de K,
, y son evaluados para el caso específico de interés. Una ecuación que ha tenido aceptación es la presentada por Richards (1961)12 , ecuación semi-teórica que está dada por: 0,4
P g k L a K vs ,5 N 0,5 V
12
(3.53)
Richards, JW. “Studies in aeration and agitation”. Progress in Industri al Microbiology, 3 141, (1961).
94
Existen varias correlaciones en la literataura especializada. Una excelente revisión de éstas fue hecha por García-Ochoa y Gomez (2009)13 . Para mayor información, revise esta cita. 3.2.6.- Condiciones de operación.
En la práctica, la transferencia de oxígeno ofrece dificultades, por lo que en ocasiones las operaciones industriales se realizan bajo limitación de O2, con la consiguiente disminución en productividad y peligro de daño fisiológico. Los problemas principales en esta tarea son:
Efecto temperatura: Si aumenta la T, disminuye so lubilidad de O2. A 30 °C, la solubilidad de O2 en agua pura es de 7 mg/L.
Efecto de Solutos: Si aumenta concentración de solutos tales como sales, ácidos y azucares, disminuye la solubilidad de O2. Se han desarrollado correlaciones empíricas para corregir los valores de la solubilidad del oxígeno en agua (Quicker et al., 1981). En una fermentación típica, la solubilidad del oxígeno es entre un 5 a 25% menor que en agua debido al efecto de solutos.
Resistencia disolución O2, es decir, bajo valor de K La. En la Tabla 2 se muestran algunos valores típicos de VTO y K La en función del tamaño del reactor. Estos valores no consideran casos extremos, en los que ka magnitud de estas cifras pueden variar considerablemente. Tabla 2: Valores típicos de VTO y K La.14
VTO (mmol/L h) Matraz F. Laboratorio F. Industrial
30-60 60-120 70-100
k La (h-1) 200-400 60-500 100-400
Todo lo anterior incide en que sea dificultoso alcanzar altos valores de VTO. En la mayoría de los casos, la inyección de oxígeno se realiza a través de la aireación. Para lo anterior, es necesario conocer la velocidad de flujo de aire que permita alcanzar cierta 13
Garcia-Ochoa F, Go mez E. “Bioreactor scale-up and oxygen transfer rate in microbio l processes: An overview”. Biote chno logy an dvances, 27, pp 153-176 (20 09). 14 Acevedo F, Gentina JC, Illanes A. “Fundamentos de Ingeniería Bioquímica” (2002).
95
concentración de oxígeno en el líquido. ¿Cómo se calcula la aireación? Acevedo et al. (2002)15 proponen calcular el flujo de aire en función de la demanda de oxígeno y la eficiencia de absorción de O2 en el líquido, valor que varía normalmente entre 3 y 30%. La tasa específica de aireación, que se entrega normalmente en vvm (volumen de aire por volumen de líquido por minuto,
Laire ) se calcula como: Lliquido min
vvm
F V
R T NO 2 P
1
1
f O2 / ai re
(3.54)
donde f O2 / a ir e es la fracción molar del O2 en aire (0,21), R es la constante de los gases ideales (0,082 mol L/atm K), T es la temperatura y P la presión ambiente. En laboratorio es común usar 1-1,5 vvm, mientras que a nivel industrial estas cifras se reducen a 0,2-0,7 vvm. 3.3.- Ejemplos de aplicación
1.- Una fermentación se lleva a cabo en un reactor con un caldo de densidad promedio =1200
kg/m3 y una viscosidad de 0,2 cp, siendo agitado a una velocidad de 90 rpm. Fue
introducido aire a través de un difusor a una velocidad de 0,4 vvm. El número de aireación se relaciona con el término P g / P como se muestra en la Figura 3.16, para un sistema no aireado. El fermentador fue equipado con 2 sets de turbinas Rushton y 4 deflectores. Las dimensiones del estanque, agitadores y deflectores se muestran a continuación: Diametro de estanque, Dt = 4 m; Diámetro de l impulsor, Di = 2 m; Ancho del deflector, W b = 0,4 m; Profundidad del líquido, H L = 6,5 m. Calcule: a.-La Potencia del sistema no aireado r; b.- La potencia del sistema aireado; 15
Acevedo F, Gentina JC, Illanes A. “Fundamentos de Ingeniería Bioquímica” (2002).
96
c.- k La calculada a través de la correlación de Richards, usando un valor de K = 2. 1,2 1 0,8
P / g 0,6 P
0,4 0,2 0 0
0,05
0,1
0,15
0,2
Na
Figura 3.16: Relación entre la razón P g / P y el número de aireación, Na. Solución
a.- Los pasos para calcular la potencia aireada y no aireada es la siguiente: 1.- Calcular el valor de Re i ; 2.- Calcular, a través de alguno de los gráficos Np vs Rei, el número de potencia; 3.- Calcular la potencia aireada ( P ) a través de la ecuación (3.6); 4.- Calcular el factor de correción geométrica (ecuación (3.9)) si corresponde; 5.- Calcular el valor de Pg a través de la correlación de Michel y Miller ó a través de algún gráfico Pg/P vs Na ; 6.Calcular para el número de impulsores. Aplicando estos pasos al ejercicio: 1.- Cálculo del Rei :
kg 2 2 1,5 rps 2 m 1200 m3 Ni Di2 3, 6 105 Re i kg 0,02 s m
(3.55)
Así, el flujo es turbulento (Rei > 1x104). 2.- Usando el gráfico N p vs Rei para una turbina Rushton (Figura 7.1), se aprecia que N p = 6. 3.- Ahora, ca lculamos P :
97
1 2 5 m5 1200 kg s3 m3 kg P 7,776 105 2 3 W 777,6 kW m s 3
P N p Ni3 Di5 6 1,5
(3.56)
El valor anterior es sólo para 1 impulsor. Dado que en este sistema hay 2 impulsores, se tiene que: P 777, 6 2 1555, 2 kW
(3.57)
4.- Debemos revisar si el sistema nuestro concuerda con el sistema de donde sacamos e l valor de N p . Así: Dt Di H L Di
4 2 2
(3.58)
6, 5 3,25 2
(3.59)
Lue go, a l co mparar co n las tab las ( Dt / Di 3 ; H L / Di 3 ) podemos ver que no coinciden. Así, debemos calcular el factor de corrección: P P f
( Dt / Di ) ( H L / Di ) 2 3, 25 1555, 2 1321, 67 kW ( Dt / Di ) f ( H L / Di ) f 3 3
(3.60)
5.- Calculamos ahora el valor de P g usando la Figura 16. Para lo anterior es necesario calcular F g y Na.
42 F g 0, 4 V L 0, 4 6,5 32, 67 4
m3 m3 min 0,5445 s
(3.61)
Ahora
m3 0,5445 F g s 0,045 N a 3 1 N i Di 1,5 23 m3 s
(3.62)
Así, usando la Figura 16, se puede obtener un valor aproximado de: P g P
0,74
(3.63)
Así, calculamos el valor de P g : 98
P g 0,74 1321,66 978 kW
(3.64)
c.- Para calcular el valor de K La, necesitamos el valor de vS :
m3 0,5445 s 0,0433 m vS 12,57 m2 s
(3.65)
Así, usando la correlación: 0,4
0,4
P g 978 103 0,5 0,5 0, 5 0,5 K L a K v s N 2 0, 0433 1, 5 21,81 s-1 (3.66) V 81,68 2.- Se dispone de un fermentador cilíndrico de 42.000 L de volumen de trabajo, agitado con dos rotores de turbina de disco, HL/Dt =1,3, Di/Dt =0,3 y motor de 100 kW para el agitador. El motor y sistema de transmisión y eje tienen una eficiencia energética global de 72%. El fermentador se quiere usar para un cultivo cuyo caldo tendrá una densidad de 1115 kg/m3 y una viscosidad de 38 cp y que requerirá de una aireación de 0,72 vvm. Determinar una velocidad adec uada de rotación del agitador si se trabaja en un régimen turbulento. Solución
Para este caso, la solución es iterativa. Suponiendo la que relación entre P y P g puede ser calculada por la correlación de Michel y Miller, entonces, se puede hacer el siguiente cálculo iterativo para que se cumplan las siguientes condiciones: 1.- Rei mayor que 1x104; 2.- Np entre 5 y 6; 3.- Pg/P entre 0,8 y 0,5. El primer paso es determinar el valor de P para 1 impulsor. Dado que la eficiencia energética es de 72%, la potencia total para el sistema es de 72 kW. Como tenemos 2 rotores, entonces el valor de P para 1 impulsor es de 36 kW. Además:
Dt 2 Dt 3 V L H L 1,33 4 4
(3.67)
Despejando Dt en ecuación (3.67): Dt 3, 452 m
(3.68)
Así: 99
Di
1,036 m
(3.69)
4,5 m
(3.70)
H L
Luego, se tiene que: 2
Re i
N p
Ni Di
P 3
5
Ni Di
N i 1, 0362
kg
m2 1115 m3
kg 0,038 s m
(3.71)
(3.72)
kg 36000 2 3 m s
Ni3 1, 0365
m5 1115 mkg3
Corrigiendo el valor de P (36 kW) en función del factor de forma f
( Dt / Di ) ( H L / Di ) 3,33 4,33 1,27 ( Dt / Di ) f ( H L / Di ) f 3 3
(3.73)
36 28346, 46 W f 1,27
(3.74)
Luego: P f
P
Ahora calculamos para un régimen laminar y turbulento: a.- Turbulento: en este caso, Np = 6. Despejando Ni desde ecuación (3.72):
kg 28346,46 2 3 P m s N i 3 3 1,62 rps 5 kg N p Di 5 5 6 1, 036 m 1115 3 m
(3.75)
Reemplazando Ni calculado en (3.71):
1 1,53 1, 036 2 m2 1115 N D s Re i i i kg 0,038 s m 2
kg m3 4,82x10
(3.76)
Este valor es superior a 1x104, por lo tanto, es flujo turbulento y cumple con los requerimientos. 100
3.- En un bioreactor discontinuo con biomasa aeróbica trabajando a 18° C, se obtuvieron los siguientes valores de oxígeno disuelto en e l líquido: Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,4 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16
cO2
, mg/L 5 4,67 4,33 3,97 3,66 3,34 3,03 2,72 2,42 2,14 1,86 1,7 2,37 3 3,26 3,5 3,54 4,22 4,45 4,65 4,83 4,94 5,07
Determine el valor de k La a través del método dinámico y obtenga el valor de qO2 si la masa de células secas es 2 g/L. Solución
Para encontrar el valor de k La a través del método dinámico, la metodología es como se mostró en el documento, es decir, se calcula N O2 en la primera parte del experimento (en este caso, entre t = 0 y t = 10 min), para posteriormente calcular el k La. Paso 1:
Graficamos cO2 vs t, ajustamos una línea recta y calculamos el N O2 . 101
Calculo consumo de oxígeno 6 5 L / g 4 m3 , D2 O 1 0
y = -0,3153x + 4,9527 2
R = 0,9988
0
2
4
6
8
10
12
tiempo, min Datos e xperim ent ales
Ajuste
Figura 3.17: Cálculo de N O2 a través del método dinámico.
Así, de la línea recta, podemos encontrar que Paso 2: En este caso, primero calculamos
O2
= 0,315 mg O2/L min.
la derivada dc / dt a través de la siguiente
fórmula: dc dt
ci 1 ti ti 1
ci
(3.77)
Por ejemplo, para el intervalo entre 11 y 11,5 min, se tiene que: 3 2,37 1,26 dt 11, 5 11
dc
(3.78)
Para establecer claramente a que concentración es la derivada calculada por la ecuación (3.77), entonces se aproxima una concentración promedio, cO2 . Además, debemos calcular el valor de cO*2 a 18 °C. Aplicando la ecuación (3.38): *
cO2 18 9,024 mg/L
(3.79)
Finalmente, calculamos el valor de NO2 dc / dt . Los resultados se muestran en la Tabla 3. Tabla 3: Resultados para el cálculo de k La entre t = 11 min hasta t = 16 min. cO2
2,685 3,13 3,38 3,52
cO2
c*O2
-6,3391888 -5,8941888 -5,6441888 -5,5041888
dc / dt
N O2 + dc / dt
1,26 0,52 0,48 0,08
1,5753 0,8353 0,7953 0,3953 102
3,88 4,335 4,55 4,74 4,885 5,005
-5,1441888 -4,6891888 -4,4741888 -4,2841888 -4,1391888 -4,0191888
1,36 0,46 0,4 0,36 0,22 0,26
1,6753 0,7753 0,7153 0,6753 0,5353 0,5753
Una vez calculados estos valores, se grafica cO2 c*O2 vs N O2 + dc / dt , como se muestra en la Figura 3.18. Allí, se aprecia que debemos descartar una serie de puntos para poder obtener una tendencia lineal. ¿Cómo se eliminan puntos? Se descartan aquellos que no tienen una tendencia de acuerdo a lo esperado. Por ejemplo, en la Tabla 3 se puede eliminar cO2
= 3,52 y cO2 = 3,88, dado que los valores de dc/dt son muy diferentes o no cumplen con
la tendencia con respecto al resto de los puntos.
OUR + dc/dt
0 -1 0
0,5
1
1,5
2
-2 * -3 c c -4
-5 -6 -7
datos experimentales
Figura 3.18: Grá fico cO2 c*O2 vs N O2 + dc / dt sin eliminación de puntos.
Una vez eliminados los puntos mencionados anteriormente, se puede calcular la pendiente de la curva (Figura 19). En este caso, aún cuando R2 sea menor a 0,7, el valor de la pendiente es representativo. Por ejemplo si se eliminan más puntos (cO2 = 3,13 y cO2 = 3,38), el valor de R2 mejoraría a 0,98 (Ver Figura 20), sin embargo, el valor de la pendiente varía sólo en un 1%.
103
OUR + dc/dt
0 -1 0
0,5
1
1,5
2
-2 * -3 c c -4
y = -2,2295x - 3,1289 2
R = 0,666
-5 -6 -7
datos experimentales
linealización
Figura 3.19: Grá fico fico cO2 c*O2 vs N O2 + dc / dt con eliminación eliminación de d e puntos p untos..
OUR + dc/dt
0 -1 0
0,5
1
1,5
2
-2 * -3 c c -4
y = -2,2104x - 2,8701 2
R = 0,989
-5 -6 -7
datos experimentales
linealización
Figura 3.20: Tendencia lineal mejorada.
Usando el valor reportado en la Figura 3.19, se tiene que: k L a 0,45 min -1
(3.80)
b) Para calcular el e l valor valor de nO2 , se tiene que: nO2
Y X /O2
O2
X
(3.81)
Dado que conocemos el e l va va lor de N O2 , calculamos: nO2
0,315 0,1575 75 mg O2 /mg X min min 0,15 2
(3.82) 104
4.- En un quimiostato simple se realiza una fermentación aerobia, con D = 0,3 h-1 e YX/O2 =1,45. El fermentador tiene un volumen total de 2000 L, estando lleno en un 75%. Las relaciones geométricas son HL/Dt=2, Di/Dt=0,3. El agitador es de dos turbinas de disco de seis paletas operando a 200 rpm. Experimentalmente, se determinó que:
P k L a 6 g V
0,9
vs0,7
(3.83)
donde k La está en h-1 . La relación entre la potencia con aireación y la potencia sin aireación puede ser descrit descr itaa por la correl corre lación ació n de Michel Miche l y Miller. En todo mome mome nto, la concentración de oxígeno disuelto debe mantenerse en un 10% de la de saturación. La temperatura de fermentación es de 25 ºC. ¿Cuál debe ser la aireación (vvm) para que la concentración celular sea de 5 (g/L)? Solución
El objetivo de este ejercicio es calcular el valor de los vvm para lograr una concentración de bi b io masa en e n el b ioreactor de 5 g/L. Dado que: vvm
F g V L
(3.84)
El vo vo lumen de líq líq uido es fácil fác il d e determi deter minar, nar, por lo que q ue el p rincipal esfu esf uerzo está e n calcular el valor de F g . A su vez, el valor de F g depende de la velocidade superfi s uperficc ial de ascensión del gas y del área transversal del bioreactor : F g
vs A
(3.85)
El valor de v S se calcula desde la correl corre lación ació n, por lo que q ue la la tarea ahora es cal ca lcular cu lar el valor de k La y P g para reemp reemp lazar az ar en la correlación correlació n y dete dete rminar v S . Paso 1: Cál Cá lculo de k La. Para esto, realizamos el balance de oxígeno en el quimiostato.
Balance Balance de O2 : V L
dS O2 dt
Q SO2 Q S O2 ,0 k La SO*2 SO2 VL
X V L Y X /O2
(3.86) 105
En estado estacionario y dividiendo por VL: 0 D SO2 k L a S O*2 S O2
X Y X /O2
(3.87)
Despejando el valor de k La D S O2 k L a
S O*2
X Y X /O2
S O2
(3.88)
Como Como se aprecia apr ecia en la ecuaci ec uación ón (3.88), se necesita neces ita calcular calcular e l va va lor de µ, µ, S O2 y S O*2 para determinar el valo valo r de k La. Para calcular el valor de µ, realizamos el balance de masa microbiano en el reactor: Balance de biomasa: V L
dX dt
Q X 0 Q X g X VL
(3.89)
Divid Divid iendo por V L y en estado estacionario, se tiene que: D 0,3 h 1
(3.90)
El valor de S O*2 se obtiene de la correlación con la tem te mperatura, mientras mientra s que de acuerdo a l enunciado, S O2 = 0,1· S O*2 . Así, para una temperatura de 25 °C: *
SO2
14, 161 0, 3943 T 0, 00007714 T 2 0, 0000646 T 3
(3.91)
Reemplazando datos: *
S O2
8,115 mg/L
(3.92)
S O2
= 0,8115 mg/L mg/L
(3.93)
Reemp Reemp lazando estos datos en la relaci re lación ón de k La: k L a 141,67 h 1
(3.94)
Paso 2: Cál Cá lculo de P g , el e l q ue se realiza a través de la correl corre la ción de Michel y Miller
(ecuación (3.12)). Dado que el reactor tienen un volumen superior a 1 m3, entonces el e l valor valor de K = 1. El primer paso es determinar el e l valor valor de P sin sin aireaci aireac ió n a través de las figuras. figuras. Se sabe que:
106
Dt Di H L Di
3,333
(3.95)
6,667
(3.96)
Para calcular el Rei, debemos determinar el valor de Di. Si H L 2 Dt , entonces: Dt
3
2 V L
3
2 1,5 m3
0,977 m
(3.97)
Por lo tanto: H L
1,954 m
(3.98)
Di
0,293 m
(3.99)
Así, se tiene que: 2 kg 3, 333 s-1 0, 293 m2 1000 3 m 2,86 105 Re i kg 0,001 m s
(3.100)
Claramente, el sistema está en régimen turbulento. De allí, dado que es una turbina Rushton, el valor de NP = 6. Despejando el valor de P desde la relación del número de potencia N P : N P
P
3 i
Di5
(3.101)
P N P N i3 Di5
(3.102)
3 kg 3 1 5 5 P 6 1000 3 3,333 0, 293 m m s
(3.103)
Reemplazando datos:
P 479,73 W
(3.104)
El valor anterior es válido para 1 impeller. Dado que en el sistema hay 2 impeller, se tiene que: P 2 479, 73 959, 46 W
(3.105)
Los valores anteriores son válidos para s istemas con la msimas relaciones geométricas que las que se tienen en las gráficas y tablas. Sin embargo, el sistema que se tiene en este 107
ejercicio difiere de esas relaciones, por lo que tenemos que calcular el factor de corrección geométrico. Así:
Dt H L D D i i 1,57 f Dt H L D D i f i f
(3.106)
Por lo tanto, la potencia final sin aireación está dada por : P P ' f 1506, 35 W
(3.107)
Paso 3: Cálculo de F g . Para esto, se reemplazará la ecuación (3.85) en la correlación de
kLa, para posteriormente despejar P g . Así: v s
F g A
(3.108)
Reemplazando la ecuación anterior en la ecuación (3.83): 0, 9
0,7
Pg F g k L a 6 V A
(3.109)
Ahora reemplazamos la relación de Miche l y Miller en la ecuación anterior: 0,9
P 2 N D3 0,45 i i 0,7 0,56 F g F g k L a 6 V L A
(3.110)
Despejando el valor de Fg : 1
k a V 0,9 A0,7 0,448 L F g L 6 P 2 Ni Di3 0,45
(3.111)
Reemplazando datos, se tiene que: F g 0,008334
m3 s
(3.112)
Por lo tanto, los vvm serán:
108
m3 0,008334 F g s 60 s 0, 333 min1 vvm V L 1, 5 m3 1 min
(3.113)
De esta manera, los vv m necesarios para mantener una concentración de biomasa de 5 g/L es de 0,33. 3.4.- Ejercicios propuestos 1.- Se dispone de un fermentador cilíndrico de 42 m3 de volumen de trabajo, agitado con
dos rotores de turbina de disco, HL/Dt =1,3, Di/Dt =0,3 y motor de 100 kW para el agitador. El motor y sistema de transmisión y eje tienen una eficiencia energética global de 72%. El fermentador se quiere usar para un cultivo cuyo caldo tendrá una densidad de 1115 kg/m3 y una viscosidad de 38 cp y que requerirá de una aireación de 0,72 vvm si se trabaja en un régimen turbulento. Se sabe que para estas condiciones, la relación entre Pg y P esta dada por la corelación de Michel y Millar. Determinar una velocidad adecuada de rotación del agitador. (Resp: Ni = 1,5-1,6 rps) 2.- Una cierta fermentación discontinua que tiene una demanda máxima de oxígeno de 1,6
(g/L h), se lleva a cabo en un fermentador de 62.000 (L) de volumen útil, provisto de un agitador de dos turbinas de disco con un motor de 250 kW. La razón HL/Dt es 1,0, mientras que la eficiencia de absorción de oxígeno ε = 19%, la viscosidad es de 2 cp y la densidad de 1.200 (kg/m3). Si el motor tiene una eficiencia total de 66% y opera mediante un reductor a 130 rpm, ¿Cuál es el máximo diámetro que pueden tener los agitadores si se trabaja en un régimen turbulento? (Resp: Di = 1,01 m) 3.- En un fermentador de 1.121 L de medio líquido se realiza una fermentación discontinua
de una levadura hasta llegar a una concentración en biomasa igual a 14 g L-1 . La levadura posee un max igual a 0,23 h-1 , siendo el YX/O2 igual a 1.4 g g-1 . Estime los vvm necesarios para satisfacer las condiciones de cultivo en el fermentador y el flujo de aire requerido si la eficiencia de aireación es de 17%. Considere que el aire es alimentado a 30 °C y 2 atm. ¿Podría estimar un valor del coeficiente volumétrico de transferencia de oxigeno (k La) 109
sabiendo que al final de la fase exponencial la concentración de oxígeno disuelto debe ser al menos de 2,0 mg.L-1 ? La concentración de oxígeno en saturación es de 7,5 mg.L-1 . (Resp: vvm = 0,418; k La = 418,18 h-1 ) 4.- En el desarrollo de un proceso de fermentación se utiliza un fermentador piloto de 800 L
de volumen total en operación discontinua. La relación HL/Dt es 1,0 y Di /Dt es 0,33. El fermentador está equipado con cuatro vanos deflectores y un agitador con tres rotores tipo Rushton y se opera con un llenado de 72%. En cultivo discontinuo se desea obtener 28 g célula/L de una bacteria que crece a 0,44 h-1 con un rendimiento de oxígeno de 1,2 g X/g O2 . A la temperatura de fermentación (30 ºC) el caldo tiene una densidad de 1,05 g/cm3 y una viscosidad de 8 cp. Para obtener la capacidad de transferencia de oxígeno requerida, se utilizará aire enriquecido con un contenido de 38% de oxígeno a una presión de 0,3 atm manométricas; además, se desea que la concentración de oxígeno disuelto no sea menor de un 15% de saturación. a) Determinar el k La requerido. (Resp: 1624,52 h-1 ) b) Determinar el flujo de aireación, si la eficiencia de transferencia de oxígeno es 29%. (Resp: vvm = 0,092) c) Calcular la potencia de agitación si se operará a una velocidad de agitación cinco veces la mínima para obtener régimen turbulento. (Resp: Pg = 2,75 kW) 6.- Se dispone de un equipo de 2 rotores que funciona a una velocidad de rotación constante
igual a 300 rpm, y cuyas características geométricas son las siguientes, HL = 1 m, Dt = 0,5 m, Di=0,2 m. Experimentos efectuados durante la fermentación en discontinuo derivan la siguiente expresión, que relaciona el k La con la velocidad superficial del aire en el equipo: k La = K * VS0.63 donde la constante K tiene un valor de 232, la VS se mide en m min-1 y el k La en h-1 . Si la velocidad de transferencia de oxigeno en un bioreactor discontinuo (VTO) es igual a 1500 mg O 2 L-1 h-1 , y se desea que la concentración en oxigeno sea al menos un 10% de la de saturación (C* igual a 7,5 mg.L-1 ), calcule el flujo de aire necesario para esta fermentación 110
y verifique que los vvm se encuentren dentro de los rangos recomendados para fermentaciones. 7.- El flujo de aire en 2 fermentadores fue cortado por un corto periodo de tiempo y luego
restaurado. El valor de C* fue determinado en las condiciones de operación y fue de 7,3 mg.L-1 . Use los valores de oxigeno disuelto tabulados para el reactor A y reactor B y estime el valor de k La de ambos sistemas. ¿Cuál de los 2 sistemas se aproxima más a un reactor industrial? Justifique. (Resp: Reactor A: 0,18 < k La < 0,34 min-1 ; Reactor B: 5,6 < k La < 8,7 min-1 ). Reactor A: Tiem 1 1 1 1 1 1 1 1 po, -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 min O2 3, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, (mg/ 3 3 4 3 3 1 0 0 3 0 6 0 4 7 9 0 1 2 2 L) Reactor B Tie mpo 0,0 0,0 0 , 1 33 67 min O2 3 3 (mg/ , , 2,5 1,2 L) 3 3
0 0, 0 0, 0 0,1 0,2 , 1 , 2 , 33 33 1 7 2 7 3
0, 3 3
0, 3 7
0 , 4
0, 4 3
0, 0 4 , 7 5
0 0 1 0, 1, , 0,1 , 0,3 , 0 1 3 0 5
2, 1
2, 4
2 , 7
2, 9
3, 0
3 , 1
0, 0 5 , 7 6 3, 2
3 , 2
8.- Un quimiostato con recirculación de células, sin purga, opera con 12000 L y una
alimentación fresca de 6240 L/h, con una concentración de 1,2 g N/L. La población microbiana contiene 11% N, el sustrato contiene un 1,21 % y presenta un μmax de 0,62 h-1 y un K s de 0,2 mg N/L. El factor de recirculación es 1,0. El fermentador tiene un agitador con dos rotores de turbina de disco, HL/T=1,8 y D/T=0,26 y se airea con 0,8 vvm. La densidad del caldo es 1,05 g/ml y su viscosidad 4 cp. a) Determinar el factor de concentración del separador sólido/líquido y la concentración celular en el fermentador y en el efluente clarificado, si la velocidad específica de crecimiento debe ser 0,35 h-1 . (Resp: c = 1,327; X = 0,196 g/L; X1 = 0,132 g/L) b) Calcular la velocidad de rotación del agitador para que la potencia aireada (Pg) sea de 6 kW si se requiere un flujo turbulento. (Resp: 2,55 rps) 111
