UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA/CESNORS PROFESSORA MARIZA DE CAMARGO
FUNÇÃO DO 1º GRAU (OU FUNÇÃO AFIM) SITUAÇÃO- PROBLEMA: Uma conta telefônica apresenta apenas duas parcelas: a referente à assinatura, que custa R$ 25,00, e a referente referente aos pulsos, que representam representam o tempo de uso da linha para fazer ligações locais ao custo de R$ 0,08 cada. Qual o valor da d a conta para 100 pulsos?
RESOLUÇÃO: v
= pulsos + assinaturas = R$ 0,08 100 + R$ 25,00 R$ 8,00 R$ 25,00 R$ 33,00 .
Se o consumo fosse de 200 pulsos, qual seria o valor da conta? v
= R$ 0,08 200 + R$ 25,00 R$ 16,00 R$ 25,00 R$ 41,00 .
Podemos notar que, para cada número
x
de pulsos, há um certo valor v( x) da conta
telefônica. O valor de v( x) é uma função de x : v( x ) 0,08 x 25 ,
Que é um exemplo de função polinomial do 1º grau ou função afim.
DEFINIÇÃO: Chama-se função polinomial do 1 º grau ou função afim, a qualquer função f de em ( f : ) dada por uma lei da forma f ( x) ax b , em que a
e
b
são números reais dados e
a
0.
Na função f ( x) ax b , o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constan co nstante. te. O domínio e o contradomínio dessa função é o conjunto dos , e o conjunto imagem coincide com o contradomínio, ou seja, Im . (no caso de situações – problemas eles podem mudar). 1
EXEMPLOS: 1. f ( x) 5 x 7, em que
a5
e
b7
2. f ( x ) 3 x 11, em que a 3 e b 11 3. f ( x)
3 4 5 x
, em que a
1 3 e b 4 5
Gráfico: O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, oblíqua aos eixos
Ox
y ax b ,
com
a
0 , é uma reta
e Oy .
EXEMPLO 1: Construir o gráfico da função y 2 x 3 .
EXEMPLO 2: Construir o gráfico da função y x 2 .
Se a 0 , a função y ax b é crescente. Se a 0 , a função y ax b é decrescente.
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EXEMPLOS: 1. f ( x) 5 x 7, em que
a5
e
b7
2. f ( x ) 3 x 11, em que a 3 e b 11 3. f ( x)
3 4 5 x
, em que a
1 3 e b 4 5
Gráfico: O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, oblíqua aos eixos
Ox
y ax b ,
com
a
0 , é uma reta
e Oy .
EXEMPLO 1: Construir o gráfico da função y 2 x 3 .
EXEMPLO 2: Construir o gráfico da função y x 2 .
Se a 0 , a função y ax b é crescente. Se a 0 , a função y ax b é decrescente.
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Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f ( x) ax b , a 0 , o número real x tal que f ( x) 0.
EXEMPLO: Encontre o zero da função f ( x) 3x 7.
CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ( OU AFIM) 1º) Função Identidade f :
definida por f ( x) x para todo x . Nesse caso,
2º) Função Linear f : definida por f ( x) ax para todo x e
a
a 1
e
b 0.
0 . Nesse caso, b 0 .
3º) Função constante f :
definida por f ( x) b para todo x . Nesse caso, a 0 .
EXERCÍCIOS 1. Construa o gráfico das seguintes funções de em e analise se elas são funções crescentes ou decrescentes. d ecrescentes. a) y 2 x 1
b) y x 1
c) f ( x )
2 x 3
d) f ( x) 2
3
2. Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$ 1,02 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número
x
de quilômetros rodados,
responda: a) Qual é a lei da função afim representada por essa situação? b) Quanto pagarei pela corrida se andar 10 km? 3. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) Escreva a lei da função que fornece fornece o custo total de x peças; b) Calcule o custo de 100 peças. 4. O salário de um estudante estudante é de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, receita, ele faz plantões nos finais de semana em um bar, onde recebe R$ 60,00 por final de semana. a) Se em um mês o estudante fizer 3 plantões, que salário receberá? b) Qual é o salário final
y
quando ele realiza x plantões?
c) Represente graficamente a função obtida no item anterior, lembrando que seu domínio é o conjunto dos números naturais. 5. Uma loja no centro de uma cidade aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário u suário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da máquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é:
4
6. Em um experimento científico, forneceu-se calor a uma substância sólida. Verificou-se que a temperatura da substância aumentava até o início da fusão, permanecia constante até a fusão completar-se e, depois, voltava a aumentar. Traçando-se o gráfico da variação da temperatura da substância em função do tempo, ela será similar à figura:
7. O gráfico abaixo registra o reflorestamento de uma área em t 0 (ano de 1996), t 1 (ano de 1997), t 2 (ano de 1998), e assim por diante. Admitindo-se constante a taxa de reflorestamento anual, o ano em que o número de d e árvores plantadas atinge 46,5 mil é: a) 2021
b) 2022
c) 2023
d)2024
e) 2025
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8. Uma torneira enche um reservatório de água com capacidade de 1500 litros.
Estando aberta a torneira, o volume da água do reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico acima. O tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio é igual a: a) 2h30min b) 3h
c)3h30min
d)4h
e)4h30min
9. Biólogos descobriram que o número de sons emitidos por minuto por certa espécie de grilos está relacionado com a temperatura. A relação é quase linear. A 68 ºF, os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 80 ºF, emitem 172 sons por minuto. Encontre a equação que relaciona a temperatura em Fahrenheit F e o número de sons n. 5 10. Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius usa-se a fórmula C ( F 32) , em 9 que F é o número de graus Fahrenheit e C é número de graus Celsius. a) Transforme 35 graus Celsius em graus Fahrenheit. b) Qual a temperatura (em graus Celsius) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus Celsius? 11. Um dos mais famosos usos da extrapolação linear foi descoberto pelo cientista francês Jacques Charles em 1787. Ele observou que os gases expandem quando aquecidos e contraem quando resfriados. (Isso pode ser verificado experimentalmente ao se encher uma bexiga e coloca-la no congelador. A bexiga irá encolher.) Observando valores diversos para a temperatura e os valores correspondentes do volume, os pares ordenados obtidos pareciam estar em linha reta. a) Suponha que um determinado gás tenha um volume de 500 cm 3 aos 27 ºC e um volume de 605 cm 3 aos 90 ºC. Escreva uma equação para esses dados. b) Use a equação que você conseguiu em a e descubra em qual temperatura temos o volume de 0 cm 3 . Ao fazer isso você irá calcular a menor temperatura possível. (Essa temperatura, chamada de zero absoluto, foi primeiramente estimada por Charles.)
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12. Dois pontos materiais A e B deslocam-se segundo as seguintes funções horárias S A 60 10t
e S B 20 10t . Determine, analítica e graficamente, o instante (em
segundos) em que os pontos materiais se encontram. 13. Um automóvel desloca-se a 90 km/h, com movimento retilíneo uniforme, durante um intervalo de tempo de 0 a 3 h. Construa o gráfico da velocidade em função do tempo, para esse automóvel. 14. Dado o gráfico abaixo, podemos dizer que a função é constante no intervalo: a) [0, 2]
b) [2, 4]
c) [4, 5]
d)[2, 5]
e) nda
15. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde anunciam perdas de peso de até 2 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo P que essa pessoa poderá atingir após n semanas. b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120 kg de peso.
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FUNÇÃO QUADRÁTICA SITUAÇÃO-PROBLEMA: Um agricultor deseja cercar uma horta com tela de alambrado. Tendo disponível 200 m de tela, ele que saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. OBS: A porta para entrar na horta também vai ser de tela.
RESOLUÇÃO: Podemos ilustrar o problema com o retângulo ABCD, com dimensões x por 100 x .
Observe que a área do terreno a cercar é dada em função da medida x , ou seja: f ( x ) (100 x ) x 100 x x 2 x 2 100 x lei da função
Esse é um caso particular da função quadrática. Posteriormente terminaremos a resolução.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA: Uma função
f : chama-se
quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 0, tal que f ( x) ax 2 bx c para todo x . f : 2 x ax bx c
OBS: O domínio e o contradomínio dessa função é o conjunto dos . (no caso de situações – problemas eles podem mudar).
EXEMPLOS:
f ( x) x 2 100 x , em que a 1, b 100
f ( x) 2 x 2 3x 4 ,
f ( x ) 3 x 2 2 x 1 , em que a 3, b 2
2 f ( x ) x 3 ,
e c0
em que a 2, b 3 e c 4 e c 1
em que a 1, b 0 e c 3 .
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EXEMPLO: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t ) 40t 5t 2 , em que a altura
h
é dada em metros e o tempo
t é
dado em segundos. Determine: a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t 3 s. b) Os instantes em que o corpo está a uma altura de 60 m do solo.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta chamada parábola.
EXEMPLOS: Construir o gráfico das seguintes funções: a) f ( x) x 2 2 x 3
b) f ( x) x 2 2 x 3
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OBSERVAÇÕES: 1. Quando construímos o gráfico de uma função quadrática notamos sempre que:
2. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática que são: a concavidade, a posição em relação ao eixo x e a localização do seu vértice.
RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Consideremos a função quadrática f (4) 0.
2 f ( x) x 7 x 12 .
Observamos que f (3) 0 e
Dizemos então que 3 e 4 são as raízes ou zeros dessa função quadrática.
De modo geral: Chamam-se raízes de uma função quadrática f ( x) ax 2 bx c, a 0, os números reais x tal que f ( x) 0.
OBSERVAÇÃO: QUANTIDADE DE RAÍZES A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando b 2 4ac, chamado discriminante:
Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
Quando é zero, há só uma raiz real ( ou uma raiz dupla);
Quando é negativo, não há raiz real.
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