APOSTILA [Completa] Elementos de Hidrologia Aplicada UFOP.pdf

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior

1. Introdução

1. INTRODUÇÃO HIDROLOGIA, ENGENHARIA DE RECURSOS HÍDRICOS E APLICAÇÕES A Hidrologia é uma ciência interdisciplinar que se desenvolveu significativamente ao longo do tempo em face do aumento do uso da água, dos crescentes problemas decorrentes da ação antrópica nas bacias hidrográficas e dos impactos produzidos sobre o meio ambiente. O U. S. Federal Council for Science and Technology , citado por Vilella & Mattos (1975), dá uma definição da Hidrologia como ciência que é amplamente aceita. Por esta definição, a Hidrologia é a ciência que trata da água na Terra, estudando a sua ocorrência, circulação e distribuição, as suas propriedades físicas e químicas e as suas reações com o meio ambiente, incluindo suas relações com a vida .

A ciência da Hidrologia, ou ciência hidrológica, é bastante abrangente e pode ser subdividida em diferentes áreas de conhecimento associadas, associadas, a saber: Hidrometeorologia, que estuda a água na atmosfera;  Limnologia, voltada para o estudo dos lagos e reservatórios;   Potamologia, que estuda os rios; Glaciologia, que é o ramo de estudo da água superficial, particularmente quando esta se  apresenta sob a forma de gelo; Hidrogeologia, que é especificamente voltada para o estudo das águas na crosta terrestre,  com ocorrência subterrânea. Considerado o alcance da definição apresentada para a ciência hidrológica, bem como a abrangência das subáreas do conhecimento acima enunciadas, pode-se prever com relativa facilidade a variedade de profissionais que potencialmente podem atuar nos diversos campos da Hidrologia. De fato, atuando nas mais diversas atividades relacionadas à Hidrologia encontramse, freqüentemente, engenheiros, agrônomos, geólogos, geógrafos, biólogos, químicos, matemáticos e estatísticos, entre outros. Um pouco mais específica é a utilização da Hidrologia na engenharia de recursos hídricos, às vezes também denominada engenharia hidrológica. Neste caso, conforme Tucci (1993), a Hidrologia pode ser entendida como a área do conhecimento que estuda o comportamento físico da ocorrência e o aproveitamento da água na bacia hidrográfica, quantificando os recursos hídricos no tempo e no espaço e avaliando o impacto da modificação da bacia hidrográfica sobre o comportamento dos processos hidrológicos . Dessa visão, surge

uma nova subdivisão da Hidrologia, representada pelas especializações nas seguintes subáreas da engenharia de recursos hídricos: Hidrometeorologia (já definida anteriormente);   Geomorfologia de bacias hidrográficas: estuda as características do relevo da bacia hidrográfica para melhor interpretar os seus efeitos sobre o escoamento;  Escoamento superficial: estuda o movimento da água sobre a superfície do terreno da bacia hidrográfica;  Interceptação: avalia a interceptação da água de chuva pela cobertura vegetal e outros obstáculos na bacia hidrográfica rural ou urbana;  Infiltração e escoamento em meio não-saturado: cuida da observação e previsão da infiltração da água no solo e do escoamento no meio não-saturado; 1


1. Introdução

1. INTRODUÇÃO HIDROLOGIA, ENGENHARIA DE RECURSOS HÍDRICOS E APLICAÇÕES A Hidrologia é uma ciência interdisciplinar que se desenvolveu significativamente ao longo do tempo em face do aumento do uso da água, dos crescentes problemas decorrentes da ação antrópica nas bacias hidrográficas e dos impactos produzidos sobre o meio ambiente. O U. S. Federal Council for Science and Technology , citado por Vilella & Mattos (1975), dá uma definição da Hidrologia como ciência que é amplamente aceita. Por esta definição, a Hidrologia é a ciência que trata da água na Terra, estudando a sua ocorrência, circulação e distribuição, as suas propriedades físicas e químicas e as suas reações com o meio ambiente, incluindo suas relações com a vida .

A ciência da Hidrologia, ou ciência hidrológica, é bastante abrangente e pode ser subdividida em diferentes áreas de conhecimento associadas, associadas, a saber: Hidrometeorologia, que estuda a água na atmosfera;  Limnologia, voltada para o estudo dos lagos e reservatórios;   Potamologia, que estuda os rios; Glaciologia, que é o ramo de estudo da água superficial, particularmente quando esta se  apresenta sob a forma de gelo; Hidrogeologia, que é especificamente voltada para o estudo das águas na crosta terrestre,  com ocorrência subterrânea. Considerado o alcance da definição apresentada para a ciência hidrológica, bem como a abrangência das subáreas do conhecimento acima enunciadas, pode-se prever com relativa facilidade a variedade de profissionais que potencialmente podem atuar nos diversos campos da Hidrologia. De fato, atuando nas mais diversas atividades relacionadas à Hidrologia encontramse, freqüentemente, engenheiros, agrônomos, geólogos, geógrafos, biólogos, químicos, matemáticos e estatísticos, entre outros. Um pouco mais específica é a utilização da Hidrologia na engenharia de recursos hídricos, às vezes também denominada engenharia hidrológica. Neste caso, conforme Tucci (1993), a Hidrologia pode ser entendida como a área do conhecimento que estuda o comportamento físico da ocorrência e o aproveitamento da água na bacia hidrográfica, quantificando os recursos hídricos no tempo e no espaço e avaliando o impacto da modificação da bacia hidrográfica sobre o comportamento dos processos hidrológicos . Dessa visão, surge

uma nova subdivisão da Hidrologia, representada pelas especializações nas seguintes subáreas da engenharia de recursos hídricos: Hidrometeorologia (já definida anteriormente);   Geomorfologia de bacias hidrográficas: estuda as características do relevo da bacia hidrográfica para melhor interpretar os seus efeitos sobre o escoamento;  Escoamento superficial: estuda o movimento da água sobre a superfície do terreno da bacia hidrográfica;  Interceptação: avalia a interceptação da água de chuva pela cobertura vegetal e outros obstáculos na bacia hidrográfica rural ou urbana;  Infiltração e escoamento em meio não-saturado: cuida da observação e previsão da infiltração da água no solo e do escoamento no meio não-saturado; 1

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior  

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1. Introdução

Escoamento em meio saturado: abrange o estudo do comportamento do fluxo em aqüíferos; Evaporação e evapotranspiração: estuda e avalia as perdas de água por evaporação de superfícies livres, como lagos e reservatórios, e pela transpiração das árvores e outros vegetais; Escoamento em rios e canais: envolve a análise do escoamento em rios e canais, normalmente tratados como escoamento unidimensionais; Fluxo dinâmico em reservatórios, lagos e estuários: estuda o escoamento turbulento em meios de características multidimensionais; Produção e transporte de sedimentos: ocupa-se da quantificação da erosão do solo e do transporte do sedimento na superfície da bacia e nos rios, decorrentes de condições naturais e do uso do solo na bacia hidrográfica; Qualidade da água e meio ambiente: nesta área, faz-se a quantificação de parâmetros físicos, químicos e biológicos da água, visando a interação dos diversos usos e a avaliação dos impactos sobre o meio ambiente aquático.

Assim, considerada a amplitude das aplicações da Hidrologia na engenharia de recursos hídricos, pode-se dizer que este ramo da ciência está voltado para a solução dos problemas que abrangem a utilização dos recursos hídricos e a ocupação da bacia hidrográfica, bem como a preservação preservação do meio ambiente. Na utilização dos recursos hídricos são relevantes os aspectos relacionados à disponibilidade hídrica, à necessidade de regularização de vazão, etc., dentro de um contexto que requer ações de planejamento, operação e gerenciamento dos recursos hídricos. Já os problemas decorrentes da ocupação da bacia pelo homem são vistos sob dois ângulos: de um lado, em decorrência da urbanização, analisa-se o impacto do meio sobre a população (enchentes, por exemplo); de outro, analisa-se o impacto sobre o meio ambiente provocado pelo uso do solo pelo homem. Neste último caso, as ações devem ser planejadas de modo a compatibilizar o desenvolvimento com a preservação do meio ambiente, isto é, assegurando-se a preservação da biodiversidade e os ecossistemas naturais, dentro do moderno conceito de sustentabilidade. A título de ilustração, enumeram-se, a seguir, um conjunto de exemplos de campos de atuação na engenharia e problemas correlacionados, conforme expostos por Vilella & Mattos (1975), onde a Hidrologia tem influência direta tanto nos projetos, quanto no planejamento do uso dos recursos hídricos. i) Abastecimento de água: - escolha das fontes para uso doméstico ou industrial. ii) Projeto e construção de obras hidráulicas: - fixação das dimensões hidráulicas de obras de arte: pontes, bueiros, etc.; - barragens: localização e escolha do tipo de barragem, da fundação e do extravasor e dimensionamento dimensionamento da barragem; - estabelecimento estabelecimento do método construtivo. iii) Drenagem: - estudo das características do lençol freático; - exame das condições de alimentação e de escoamento natural do lençol: precipitações, precipitações, bacia de contribuição contribuição e nível d’água de rios e ribeirões . iv) Irrigação: - problema da escolha do manancial; manancial; - estudo de evaporação e infiltração. infiltr ação. v) Regularização de cursos d’água e controle de inundações:

-

estudo das variações de vazão; 2


1. Introdução

- previsão de vazões máximas; máximas; - exame das oscilações de nível e das áreas de inundação. vi) Controle da poluição: - análise da capacidade de autodepuração dos corpos d’água receptores de efluentes de sistemas de esgotos: vazões mínimas dos cursos d’água; capacidade de reaeração e

velocidade do escoamento. vii) Controle de erosão: - análise da intensidade e frequência f requência das precipitações máximas; - determinação do coeficiente de escoamento superficial; - estudo da ação erosiva das águas e da proteção por meio de vegetação e outros recursos. viii) Navegação: - obtenção de dados e estudos sobre construção e manutenção de canais navegáveis. ix) Geração de energia (aproveitamento hidrelétrico): - previsão das vazões máximas, mínimas e médias dos cursos d’água para o estudo econômico e o dimensionamento das instalações i nstalações de aproveitamento; - verificação da necessidade de reservatório de acumulação; - determinação dos elementos necessários ao projeto e construção do reservatório de acumulação: bacias hidrográficas, volumes armazenáveis, perdas por evaporação e infiltração. x) Operação de sistemas hidráulicos complexos. xi) Recreação e preservação do meio ambiente. xii) Preservação e desenvolvimento da vida aquática.

1.1. O CICLO HIDROLÓGICO Na natureza, a água se encontra em permanente movimento, em um ciclo interior às três unidades principais que compõem o nosso planeta, que são a atmosfera (camada gasosa que circunda a Terra), a hidrosfera (constituída ( constituída pelas águas oceânicas e continentais) e a litosfera (ou crosta terrestre, camada sólida mais externa constituída por rochas e solos). A dinâmica das transformações e a circulação nas referidas unidades formam um grande, complexo e intrínseco ciclo chamado ciclo hidrológico. O ciclo hidrológico refere-se à troca contínua de água na hidrosfera, entre a atmosfera e a água do solo, águas superficiais, subterrâneas e das plantas. Ele representa o caminho percorrido pela água nos seus três estados estados físicos (sólido, (sólido, líquido e gasoso), gasoso), conforme ilustra a Figura 1.1. Por conveniência e para facilitar a apresentação, introduz-se a consideração de que o ciclo hidrológico tem origem na evaporação da água dos oceanos, lagos e rios e das superfícies úmidas expostas à atmosfera. Dependendo das condições climáticas e da combinação de outros fatores físicos, o vapor d’água se concentra nas camadas mais altas, formando as nuvens que se modelam e se movimentam em função do deslocamento das massas de ar (vento). Sob determinadas condições físicas, surgem gotículas de água que, por efeito da ação da força da gravidade, se precipitam das nuvens. Essa precipitação pode ocorrer segundo variadas formas, incluindo-se a chuva, a neve, o granizo, o nevoeiro, o orvalho e a geada. Pela sua importância e magnitude frente às outras ocorrências, somente a precipitação na forma de chuva será considerada aqui. Assim, as águas de chuva que caem em um dado local se distribuirão como segue: i) Uma porção, conhecida como interceptação, é retida pelas construções, pelas copas das árvores, arbustos e outras plantas e obstáculos, de onde, eventualmente, evapora. O excesso, 3


1. Introdução

isto é, o que supera a capacidade de interceptação, soma-se à parcela da chuva que atinge diretamente o solo; ii) Parte da água de chuva que atinge o solo retorna à atmosfera na forma de evaporação. Outras parcelas infiltram-se no terreno ou escoam-se superficialmente. iii) Da parcela da água de infiltração , parte vai ocupar a zona das raízes e é utilizada pelas plantas para, finalmente, retornar à atmosfera pelo processo conhecido como transpiração; iv) A água de infiltração que percola (escoa através dos espaços intergranulares) para as camadas mais profundas do solo vai constituir a água ou escoamento subterrâneo. v) Além da interceptação, evaporação e infiltração, o restante da água precipitada formará, inicialmente, poças ou pequenos armazenamentos nas depressões do terreno . Nova evaporação ocorrerá destes armazenamentos; vi) Após ser excedida a capacidade de armazenamento nas depressões do terreno, a água passa a escoar superficialmente e, sob a ação da gravidade, termina por se juntar aos cursos d’água

naturais. Relativamente ao total precipitado, esta parcela da precipitação que se escoa pela superfície do terreno é chamada precipitação efetiva ou precipitação excedente. Sob o ponto de vista do escoamento superficial, é também conhecida como escoamento superficial direto ou runoff . Alguma evaporação também ocorre desse escoamento superficial. vii) Para ocorrer o runoff , a água deve se acumular antes de seguir o seu percurso. Essa camada acumulada constitui um tipo de armazenagem, conforme acima mencionado, conhecido como detenção, retenção ou armazenamento superficial , e também está sujeita à evaporação. viii) O destino final de todos os cursos d’água naturais são os lagos, mares e oceanos que, com

mais intensidade, estão sujeitos à evaporação. ix) A evaporação de todas as fontes acima, juntamente com a transpiração, leva a umidade (vapor d’água) de volta à atmosfera e resulta na formação das nuvens. Em condições favoráveis terá origem nova precipitação, e o ciclo descrito pelos passos ( i) a (ix) se repete.

Figura 1.1 – O ciclo hidrológico

4


1. Introdução

Os fatores que impulsionam o ciclo hidrológico são a energia térmica solar (f onte de energia de todo o processo ), a ação dos ventos (que transportam o vapor d’água) e a força da gravidade (principal força atuante ). Importa, ainda, destacar que o ciclo hidrológico só pode ser visto como fechado em nível global, o que significa que o total evapotranspirado (soma das águas de evaporação e transpiração) em uma região não necessariamente corresponderá ao total precipitado num dado intervalo de tempo. É importante esclarecer que, como resultado da ocorrência das chuvas, as águas infiltradas, que constituem os armazenamentos nos reservatórios subterrâneos e que fluem contínua e lentamente sob a ação da gravidade, terminam por aflorar por pontos de descarga subterrânea, tais como fontes de encosta, ou vão abastecer os corpos d’água superficiais (rios, lagos, lagunas, reservatórios), constituindo o que se denomina descarga ou escoamento de base . É exatamente devido a esse escoamento de base, ou básico, que se garante a perenização dos

rios. Ainda, de todo exposto pode-se concluir que quanto maiores a retenção na cobertura vegetal, o armazenamento superficial e a infiltração das águas de chuva, menores serão os volumes excedentes disponíveis para o escoamento superficial. Assim, em consequência, especialmente em caso de chuvas intensas, menores serão as chances de incidência de enchentes e inundações. Portanto, tudo dependerá da quantidade de chuva, da capacidade de retenção superficial, das taxas de infiltração características do solo e da ocorrência de chuvas antecedentes (teor de umidade pré-existente no solo). Complementarmente, quanto maior a oportunidade das águas de chuva se infiltrar, maior será a recarga dos reservatórios subterrâneos, aspecto significativo que fortalecerá a capacidade de abastecimento dos corpos de água durante os períodos de estiagem. O conceito do ciclo hidrológico e a influência relativa de cada um dos seus componentes têm-se mostrado importante também no desenvolvimento de estratégias de gerenciamento da qualidade da água, pois os contaminantes podem ser introduzidos n os corpos d’água a partir das várias fases do ciclo, quando surgem, carreados pela água, diluídos ou concentrados. Todos estes conceitos serão novamente abordados ao longo do curso. Certamente, uma boa compreensão do ciclo hidrológico facilitará a assimilação dos modelos e formulações empregados na hidrologia e que são desenvolvidos nos capítulos seguintes.

1.2. AVALIAÇÃO QUANTITATIVA DAS COMPONENTES HIDROLÓGICO: A EQUAÇÃO DO BALANÇO HÍDRICO

DO

CICLO

Os projetos em recursos hídricos são, essencialmente, exercícios que envolvem a quantificação das fases ou componentes do ciclo hidrológico visando, principalmente, conhecer a relação demanda-disponibilidade de água. Nestes projetos consideram-se como fontes de suprimento, fundamentalmente, as águas superficiais e subterrâneas. As técnicas de medir e avaliar dados quantitativos em recursos hídricos constituem os elementos básicos da Hidrologia, que serão tratados ao longo deste curso. No presente capítulo, é fornecido um resumo dos processos fundamentais que contribuem para a formação dos escoamentos superficial e subterrâneo. Para o engenheiro, um bom entendimento desses processos facilitará a análise e o planejamento tanto para o uso adequado quanto para o controle e a preservação dos recursos hídricos. Em termos quantitativos, o ciclo hidrológico pode ser representado por uma equação que expressa o princípio da conservação da massa, conhecida como equação da continuidade.

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1. Introdução

A equação do balanço hídrico, dependendo dos propósitos para o qual é escrita, pode admitir a subdivisão, a consolidação, ou a eliminação de um ou outro termo. Em geral, a equação do balanço hídrico é empregada para: a) um determinado intervalo de tempo, que pode ser alguns minutos ou horas, ou um longo período, como um ano; b) uma área de drenagem natural (bacia hidrográfica) ou artificialmente limitada, ou um corpo d’água, como um lago ou reservatório, ou ainda um lençol subterrâneo;

c) a fase vapor (atmosfera) acima da superfície terrestre. São comuns três aplicações da equação do balanço hídrico: 1) equação do balanço hídrico para bacias hidrográficas de grandes áreas de drenagem; 2) equação do balanço hídrico para corpos d’água, como rios, lagos e reservatórios; 3) equação do balanço hídrico para o escoamento superficial direto ( runoff ). Nos primeiros dois casos, são consideradas as quantidades acima e abaixo da superfície da terra. Em sua forma geral, a equação pode ser escrita para um determinado volume de controle, num dado intervalo de tempo, como:

Quantidade que entra no vol. de controle  Quantidade que sai do vol. de controle   variação da quantidade acumulada no interior do vol. de controle ou

P  R in  G in   E  T  R out  G out   S ,

(1)

em que P = precipitação, R = escoamento superficial, G = escoamento subterrâneo, E = evaporação, T = transpiração e S = armazenamento; os índices “in” e “out” referem-se às quantidades que entram e saem, respectivamente, do volume de controle. A equação pode ser escrita para as componentes com a dimensão de volume [L 3], vazão [L3T-1] ou comprimento [L]. Para isso, no segundo caso, as quantidades são escritas na forma de taxas (dividindo-se pela escala de tempo), enquanto que, no terceiro caso, as quantidades (volumes) devem ser divididas pela área de referência.

1.2.1. EQUAÇÃO DO BALANÇO HÍDRICO PARA GRANDES BACIAS Em bacia de grande área de drenagem, a equação do balanço é usada na avaliação quantitativa dos recursos hídricos para a concretização de projetos que envolvem determinados usos e para os propósitos de avaliação das demandas e/ou disponibilidades hídricas. Nesse caso, o balanço hídrico é normalmente realizado para um longo intervalo de tempo (como num ciclo anual) e os valores das componentes envolvidas geralmente referem-se a um ano médio. Em termos médios e para um longo intervalo de tempo, as variações positivas e negativas do armazenamento tendem a se balancear, isto é, a variação média do armazenamento S pode ser desprezada. Ainda no caso de grandes bacias, as trocas de água subterrânea com as bacias vizinhas (“fugas”) são ignoradas, isto é, G in – Gout = 0. Além disso, o único input na bacia é a precipitação (não pode haver escoamento superficial através da linha de contorno da bacia: R in = 0). Assim, com todas essas considerações, a Eq. (1) reduz-se a: P  E  T  R out ,

[L3, L3T-1, ou L]

(2)

ou P  ET  R out

(3) 6


1. Introdução

onde, na Eq. (3), ET representa a evapotranspiração (soma dos processos de evaporação e transpiração) e R out é o volume (Vol s), vazão (Q) ou altura de lâmina d’água (hs) correspondente na seção de saída da bacia.

1.2.2 EQUAÇÃO DO BALANÇO HÍDRICO PARA CORPOS D’ÁGUA EM CURTOS INTERVALOS DE TEMPO No caso de reservatórios, lagos, rios e armazenamentos subterrâneos a equação do balanço hídrico é usada para prever as conseqüências das condições hidrológicas atuais sobre uma estrutura: a equação mostra-se importante nas análises que envolvem a operação diária da estrutura. O curto intervalo de tempo empregado na análise exige que o termo de variação do armazenamento, S, seja necessariamente considerado. Contudo, em curtos intervalos de tempo o termo de evaporação geralmente é muito pequeno e pode ser desprezado. Se não ocorrer uma chuva no período de análise, a equação pode ser representada, em termos de taxas volumétricas, como: Q in

 Q out 

S t

(4)

onde Qin e Q out são as vazões de entrada e saída, respectivamente (representam todos os termos “in” e “out”), e S/t = variação do armazenamento no intervalo t.

EXEMPLO 1.1 Num dado instante, o armazenamento num trecho de rio é de 68.200m 3. Naquele instante, a vazão de entrada no trecho é de 10,6m 3/s e a vazão de saída é de 15,9 m 3/s. Transcorridas duas horas, as vazões de entrada e saída são, respectivamente, 17,0m 3/s e 19,1 m3/s. Determine: a) A variação do armazenamento na calha do rio durante nessas 2 horas; b) O volume armazenado ao final das duas horas. Sugestão: Admitir variação linear das vazões de entrada e saída no trecho. Solução a) Em termos de volumes, a equação do balanço hídrico (Eq. 4) se escreve: Qin t  Q out t

 S .

O volume de entra é Q in  t 

17 0  10 6 ,

,

2

 2  3600 

99 360m 3 , .

que é

numericamente igual à área sob a linha de variação da vazão de entrada no trecho (área do trapézio), conforme representado na Figura 1.2.

Figura 1.2 – Comportamento das vazões de entrada e saída em um trecho de rio

7


1. Introdução

De maneira análoga, o volume de saída é dado pela área sob a linha de variação da vazão de saída do trecho: Q out  t 

19 0  15 9 ,

,

.

2

do armazenamento em 2 horas será:

 2  3600  126 000m

S 

3

. Assim, da Eq. (4), a variação

99.360  126.000  S  26.640m 3 .

b) Como S  Sfinal  Sinicial  S2h  S0 , então Sfinal

 S 2 h  S0  S 

68.200  26.640  S2h



41.560m 3 .

1.2.3 EQUAÇÃO DO BALANÇO HÍDRICO PARA O ESCOAMENTO SUPERFICIAL DIRETO DURANTE UMA CHUVA INTENSA Para determinar o runoff devido a uma chuva intensa deve-se considerar a equação do balanço hídrico acima da superfície do solo. A equação, escrita para um curto intervalo de tempo, em termos de alturas médias, é da forma: P  Int  E  R  I  SD



0

(5)

onde P = altura da lâmina d’água precipitada; Int = interceptação; E = evaporação; R = escoamento superficial direto ou runoff ; I = infiltração e SD = armazenamento nas depressões do

terreno.

Durante a chuva, em curtos intervalos de tempo pode-se desprezar a evaporação. E, se não se exige uma determinação exata, a interceptação e o armazenamento nas depressões do terreno também podem ser ignorados, o que permite reescrever a Eq. (5) na forma reduzida: (6) R  P  I .

1.2.4 FONTES DE ERRO NAS COMPONENTES DO BALANÇO HÍDRICO A quantificação das componentes do ciclo hidrológico que entram no cálculo do balanço hídrico sempre envolve erros de medida e de interpretação. As únicas componentes extensivamente observadas por meio de redes de monitoramento (estações) são a precipitação e a vazão. A evaporação raramente é mensurada e os dados de infiltração costuma ser limitados a bacias experimentais. As variações de armazenamento são normalmente obtidas a partir de observações do nível d’água e da umidade do solo. Além disso, é comum o uso de fórmulas empíricas para o cálculo da evaporação, da infiltração e do armazenamento. A duração do tempo de análise também é importante: os erros na média diminuem com o aumento do tempo considerado. A Tabela 1.1 traz algumas estimativas de erros associados às determinações mensais e anuais das diferentes componentes do ciclo hidrológico, baseadas em metodologias comumente adotadas. Em decorrência dos erros de medida e de estimativa das componentes do ciclo hidrológico, a equação do balanço hídrico não é equilibrada e poderia conter um termo de incerteza ou resíduo. Quando uma componente é estimada de uma fórmula empírica, o erro de previsão da fórmula é adicionado ao termo de resíduo da equação do balanço hídrico.

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1. Introdução

Tabela 1.1 – Erros nas componentes do ciclo hidrológico obtidas segundo metodologias usuais, conforme Ram S. Gupta (1989) Componente

Erro Percentual Estimativa Estimativa Mensal Anual

Tipo ou fonte de erro

1. Precipitação equipamento de observação altura de colocação do medidor média na área densidade de medidores

2% 5% 15% 20%

2% 5% 10% 13%

molinete hidrométrico curva-chave alteração da seção fluviométrica regionalização de vazão

5% 30% 5% ---

5% 20% 5% 70%

balanço de energia tanque classe A tanque para o coeficiente do lago média na área

--10% 50% 15%

10% 10% 15% 15%

2. Vazão

3. Evaporação

BIBLIOGRAFIA GUPTA, R.S. (1989). Hydrology and Hydraulic Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. PONTIUS, F.W. (technical editor) (199?). Source Water Quality Management , by Robert H. Reinert and John A. Hroncich. In: Water Quality and Treatment – A Handbook of Community Water Suplies , 4th edition, American Water Works Association, Chapter 4. RAMOS, F, OCCHIPINTI, A.G., VILLA NOVA, N.A., REICHARDT, K. & CLEARY, R. (1989). Engenharia Hidrológica . Coleção ABRH de Recursos Hídricos. Vol. 2. ABRH / Editora da UFRJ. Rio de Janeiro (RJ). SEMADS – SECRETÁRIA DE ESTADO DE MEIO AMBIENTE E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL – ESTADO DO RIO DE JANEIRO (2001). Enchentes no Estado do Rio de Janeiro: Uma Abordagem Geral . Projeto PLANÁGUA SEMADS / GTZ de cooperação técnica Brasil-Alemanha – Vol. 8. TUCCI, C.E.M., org. (1993). Hidrologia. Ciência e Aplicação . Ed. da Universidade - UFRGS / Ed. da Universidade de São Paulo – EDUSP / Associação Brasileira de Recursos Hídricos – ABRH. VILLELA, S.M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. Ed. McGraw-Hill.

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1. Introdução

EXERCÍCIOS 1.1) Estima-se que 60% da precipitação anual numa bacia hidrográfica de 24,67km 2 sejam evapotranspirados. Se a vazão média anual na desembocadura do rio principal é de 70,8 /s, qual a precipitação anual na bacia? 1.2) Num trecho de rio, a vazão de entrada num dado instante é de 9,91m 3/s e a vazão de saída é de 8,07m3/s. Decorridos 90min, as vazões de entrada e saída no trecho são de 7,08m 3/s e 5,66m3/s, respectivamente. Calcular a variação do armazenamento em 90min. 1.3) As perdas por evaporação de um reservatório são de 185 mil metros cúbicos de água por dia. Se o reservatório tem superfície de área constante de 2,02km 2 e se a diferença entre as vazões de saída e entrada do reservatório é de 1,41m 3/s, qual a variação do nível d’água do reservatório em um dia? 1.4) No problema anterior, se, devido a uma chuva, 76mm de água são admitidos no reservatório em um dia, qual a variação na profundidade do reservatório? 1.5) O reservatório da figura foi construído em uma região onde a precipitação anual média é de 610mm e a evaporação normal anual é de 1.524mm. A área média da superfície de água no reservatório é de 12km 2 e a área da bacia hidrográfica é de 242km 2. Como informação adicional tem-se que apenas 20% do total precipitado escoam-se superficialmente. Isto posto, pede-se: a) calcular a vazão média de saída do reservatório, em m 3/s; b) quantificar o aumento ou redução da vazão, em conseqüência da construção do reservatório. 1.6) O sistema de abastecimento de água de uma cidade deve utilizar como manancial um curso d’água natural cuja área de drenagem, relativa à seção de captação, é igual a 100km 2. A precipitação média anual na região é de 1.200mm e as perdas por evapotranspiração são estimadas em 800mm. Sabendo-se que o consumo médio previsto é de 50.000m 3/dia, verifique se esse manancial tem capacidade para abastecer a cidade. 1.7) A evaporação anual de um lago com superfície (área d o espelho d’água) de 15km 2 é de 1500mm. Determinar a variação do nível do lago durante um ano se, nesse período, a precipitação foi de 950mm e a contribuição dos tributários foi de 10m 3/s. Sabe-se, também, que naquele ano foi retirada do lago uma descarga média de 5m 3/s para a irrigação de culturas e a manutenção da vazão ecológica, além de uma captação de 165 106m3 para refrigeração de uma x

unidade industrial. (Desprezar a variação da área do espelho d’água).

1.8) O total anual precipitado em uma bacia hidrográfica de 1.010km 2 de área de drenagem é de 1.725mm, em média. Sabendo-se que a evapotranspiração média anual é de 600mm, qual a vazão média anual, em m 3/s, na foz do curso d’água principal desta bacia? E qual o deflúvio anual, em mm? 1.9) Uma barragem é construída na parte média da bacia hidrográfica da questão anterior, 2 formando um espelho d’água de aproximadamente 60km . Sabendo-se que a área de drenagem relativa à seção da barragem é de 600km 2 e que a evaporação média direta no lago é de 5mm/dia, qual a redução percentual esperada da vazão na foz do curso d’água principal?

10


1. Introdução

1.10) Numa bacia hidrográfica de área A= 360 km 2 o total anual precipitado é 1.420mm e a vazão média anual na seção exutória é de 11,35m 3/s. a) Com base nas informações disponíveis e fazendo claramente as considerações que julgar necessárias, estimar a evapotranspiração anual na bacia. b) Se for construído um reservatório no curso d’água principal da bacia e se este inundar 10% da

área total da bacia, qual será a variação percentual da vazão média na seção exutória, sabendo-se que a evaporação da superfície da água no local é de 1.240 mm/ano?

11


2. Bacia Hidrográfica

2. BACIA HIDROGRÁFICA 2.1. GENERALIDADES Embora a quantidade de água existente no planeta seja constante e o ciclo em nível global possa ser considerado fechado, os balanços hídricos quase sempre se aplicam a unidades hidrológicas que devem ser tratadas como sistemas abertos. Assim, na prática, nos estudos envolvendo a questão da disponibilidade de água, das enchentes e inundações, dos aproveitamentos hídricos para irrigação, da geração de energia, etc., adota-se a bacia hidrográfica como unidade hidrológica, principalmente pela simplicidade que oferece para a aplicação do equacionamento.

2.1.1 Definição A bacia hidrográfica é a área definida topograficamente, drenada por um curso d’água ou um sistema conectado de cursos d’água, de modo que toda a vazão e fluente seja descarregada através de uma saída simples . Constitui-se no sistema físico ou área coletora da

água da precipitação, que a faz convergir para uma única seção de saída, denominada exutória, foz ou desembocadura. Nas aplicações da equação do balanço hídrico em que o volume de controle é a bacia hidrográfica, o volume da água precipitada corresponde à quantidade de entrada, enquanto a quantidade de saída é dada pela soma do volume de água escoado pela seção exutória com os volumes correspondentes às perdas intermediárias, decorrentes da evaporação e transpiração. Ainda, dependendo da aplicação que se faz, as quantidades infiltradas profundamente podem ser tratadas como perdas (saídas) ou incorporadas no termo de armazenamento.

2.2. CONTORNO OU DIVISOR DE ÁGUA DA BACIA HIDROGRÁFICA O contorno ou divisor de uma bacia hidrográfica é definido pela linha de cumeada (pontos de cota máxima entre bacias), que faz a divisão das precipitações que caem em bacias vizinhas1. O divisor, dito topográfico, segue uma linha rígida em torno da bacia, sendo cortado pelo curso d’água somente na seção de saída.

A bacia hidrográfica, conforme a sua definição, está limitada pela seção exutória do curso d’água principal, onde este deságua em outro curso d’água ou em um res ervatório, baía, lago ou oceano. Entretanto, pode-se sempre definir, dentro de uma bacia maior ou principal, uma sub bacia de um curso d’água menor limitada pela seção de confluência deste com outro curso d’água, ou ainda uma sub -bacia limitada por uma estação fluviométrica.

A Figura 2.1 mostra uma bacia hidrográfica em planta, bem como um corte transversal da mesma que permite identificar, além do divisor de água topográfico, a presença de um divisor freático ou subterrâneo. Assim, pode-se dizer que existem dois divisores de água na bacia hidrográfica: o divisor topográfico, condicionado pela topografia, que fixa a área da qual provém o deflúvio superficial direto ( runoff ) da bacia; e o divisor freático, determinado pela estrutura 1

No interior de uma bacia hidrográfica podem existir picos isolados de cotas superiores às da linha de cumeada.

12



geológica, que estabelece os limites dos reservatórios de água subterrânea, de onde é derivado o escoamento de base da bacia 2. Quando os divisores freático e topográfico não são coincidentes, como na Figura 2.1, ocorrerão fugas de uma para outra bacia vizinha. Contudo, na prática, em aplicações da equação do balanço hídrico essas fugas são desprezadas, uma vez que sempre ocorrerão compensações. Durante os períodos de estiagem, a perenidade dos cursos d’água é garantida pelo

escoamento de base e, em consequência, tem-se o rebaixamento do lençol freático.

Figura 2.1 – Representação em planta e corte de uma bacia hidrográfica (Vilella e Mattos, 1975)

2.3. CARACTERIZAÇÃO DA BACIA HIDROGRÁFICA As características climáticas de uma bacia hidrográfica particular determinam o escoamento superficial ( runnof ) na mesma, mas duas bacias hidrográficas sujeitas às mesmas condições climáticas podem apresentar diferentes escoamentos superficiais. Estas diferenças se devem às características dos cursos d’água naturais e aos aspectos físicos das áreas drenadas por estes cursos d’água. Por exemplo, uma bacia por ser mais íngreme que a outra produzirá maiores

picos de vazão de escoamento superficial. Por isso, no estudo do comportamento hidrológico de uma bacia hidrográfica as suas características físicas revestem-se de especial importância pela estreita correspondência entre estas e o regime hidrológico da bacia. Pode-se dizer que o conhecimento das características físicas de uma bacia hidrográfica constitui uma possibilidade bastante conveniente de se conhecer a variação no espaço dos elementos do regime hidrológico na região. Na prática, a caracterização física de uma bacia hidrográfica possibilita o estabelecimento de relações e comparações entre as características físicas e os dados hidrológicos conhecidos. As relações matemáticas entre as variáveis hidrológicas e as características físicas da bacia, conhecidas como equações de regionalização, permitem a obtenção indireta de variáveis hidrológicas em seções ou locais de interesse nos quais faltem dados, ou em regiões onde, por fatores de ordem física ou econômica, não seja possível a instalação de estações hidrométricas. Sem querer de modo algum esgotar o assunto, apresentam-se neste capítulo alguns elementos que visam a caracterizar fisicamente uma bacia hidrográfica.

2

Os escoamentos através de uma seção qualquer de um curso d’água são provenientes das contribuições naturais subterrâneas, somadas às águas de chuva que se escoam superficialmente.

13



2.3.1 Área de drenagem da bacia hidrográfica A área de drenagem da bacia hidrográfica ou, simplesmente, área da bacia hidrográfica, A, é a área plana (projetada sobre o plano horizontal) limitada pelos divisores topográficos da bacia. A área de drenagem é um dado fundamental para definir a potencialidade hídrica de uma bacia hidrográfica, uma vez que a multiplicação dessa área pela altura da lâmina d’água

precipitada define o volume recebido pela bacia. A área da bacia hidrográfica constitui-se, ainda, em elemento básico para o cálculo de outras características físicas da bacia. A área da bacia hidrográfica é determinada em mapas topográficos. Para a sua determinação é preciso, em primeiro lugar, realizar o traçado do contorno da bacia, ou seja, estabelecer o traçado da linha de separação das bacias vizinhas. Delimitada a bacia, a sua área pode ser determinada com o uso de um planímetro ou eletronicamente (cálculo computacional), quando se dispõe do mapa digitalizado. Alternativamente ao uso do planímetro, embora mais laborioso, pode-se ainda utilizar o método das quadrículas: sobre o mapa topográfico se superpõe uma grade quadriculada em escala conhecida e contam-se as quadrículas interiores ao mapa topográfico; multiplicando-se o número de quadrículas pela área de cada quadrícula, obtém-se a área da bacia hidrográfica. Ás áreas de grandes bacias são normalmente medidas em quilômetros quadrados (1 km 2 = 106 m2), enquanto bacia menores costumam ser medidas em hectares (1 ha = 10 4 m2 e 1 km2 = 100 ha).

2.3.2 Características de forma da bacia hidrográfica As bacias de grandes rios têm, normalmente, a forma de uma pera ou leque, enquanto as pequenas bacias assumem formas variadas. Dentre as bacias de mesma área, aquelas arredondadas são mais susceptíveis a inundações nas suas partes baixas que as alongadas. A importância da forma da bacia, particularmente para fins de inundação, está associada ao conceito de tempo de concentração, t c, que é o tempo contado a partir do início da precipitação, necessário para que toda a bacia contribua para a vazão na seção de saída (ou para a vazão na seção em estudo), isto é, corresponde ao tempo que a partícula de água de chuva que cai no ponto mais remoto da bacia leva para, escoando superficialmente, atingir a seção em estudo. Alguns índices de forma têm sido utilizados para caracterizar as bacias hidrográficas, como o coeficiente de compacidade e o fator de forma. a) Coeficiente de compacidade O coeficiente de compacidade de uma bacia hidrográfica, k c, é um índice que informa sobre a susceptibilidade da ocorrência de inundações nas partes baixas da bacia. É definido pela relação entre o perímetro da bacia e o perímetro do círculo de igual área . Assim, sendo A a área da bacia e Per o seu perímetro, e sendo r o raio do círculo, ter-se-á A   r 2  r 

A



.

E, da definição de coeficiente de compacidade, k c 

Per 2r

 k c 

Per 2 A 

,

ou k c  0 28

Per

,

A

.

(01) 14



O coeficiente de compacidade das bacias hidrográficas é sempre um número superior à unidade, uma vez que o círculo é a figura geométrica de menor perímetro para uma dada área A. Bacias que apresentam este coeficiente próximo de 1 são mais compactas, tendem a concentrar o escoamento e são mais susceptíveis a inundações. A título de exemplo, a bacia do rio do Carmo, que banha os municípios de Ouro Preto e Mariana, tem 2.280 km 2 de área de drenagem e seu perímetro mede 319 km de extensão. O coeficiente de compacidade desta bacia é igual a 1,87, o que é um índice relativamente alto.

b) Fator de forma O fator de forma de uma bacia hidrográfica, k f, é definido pela relação entre a largura média da bacia e o seu comprimento axial . O comprimento axial da bacia hidrográfica, L, é igual ao comprimento do curso d’água

principal mais a distância da sua nascente ao divisor topográfico. A largura média da bacia, , é obtida dividindo-se a área da bacia pelo seu comprimento axial: 

A 

L

.

Assim, o fator de forma resulta k f  L  AL2. (02) Bacias alongadas apresentam pequenos valores do fator de forma e são menos susceptíveis às inundações, uma vez que se torna menos provável que uma chuva intensa cubra toda a sua extensão. A bacia do rio do Carmo do exemplo anterior tem características de uma bacia alongada, com 132,3 km de comprimento axial e 17,2 km de largura média, e fator de forma igual a 0,13. Este valor do fator de forma, combinado com aquele anteriormente apresentado do coeficiente de compacidade da bacia do rio do Carmo, sugere que a forma dessa bacia a torna pouco propensa a inundações.

2.3.3 Sistema de drenagem O sistema de drenagem de uma bacia hidrográfica é constituído pelo curso d’água principal mais os tributários (Figura 2.2). O sistema inclui todos os cursos d’água, sejam eles perenes, intermitentes ou efêmeros. Os cursos d’água perenes são aqueles que contêm água durante todo o tempo, uma vez que o lençol subterrâneo assegura uma alimentação contínua e seu nível nunca desce abaixo do leito ou calha do rio. Já os cursos d’água intermitentes mantêm o escoamento apenas durante as estações chuvosas, e secam nas estiage ns. Por fim, os efêmeros são aqueles cursos d’água que só

se formam durante ou imediatamente após os períodos de chuva, isto é, somente transportam o escoamento superficial direto que chega à sua calha. As características da rede de drenagem de uma bacia hidrográfica podem ser razoavelmente descritas pela ordem dos cursos d’água, densidade de drenagem, percurso médio do escoamento superficial e pela sinuosidade do curso d’água, que são elementos adiante

caracterizados.

2.3.3.1 Ramificações e desenvolvimento do sistema de drenagem O estudo das ramificações e do desenvolvimento do sistema de drenagem de uma bacia hidrográfica fornece um indicativo da maior ou menor velocidade com que a água deixa a bacia. 15



Figura 2.2 – Bacia hidrográfica e seu sistema de drenagem (Fonte: Agência Nacional de Água – ANA) a) Ordem do curso d’água

A ordem do curso d’água principal de uma bacia hidrográfica reflete o grau de ramificação do sistema de drenagem desta bacia. A ordem de um curso d’água é um número

inteiro estabelecido segundo diferentes critérios. Segundo o critério proposto por Horton e modificado por Strahler, a ordem do curso d’água principal de uma bacia hidrográfica é obtida como segue: i) as pequenas correntes formadoras, isto é, os pequenos canais que não têm tributários, têm ordem 1; ii) quando dois canais de mesma ordem se encontram, o canal formado é de ordem imediatamente superior; iii) da junção de dois canais de ordens diferentes resulta um outro cuja ordem será igual a maior dentre os formadores.

b) Densidade de drenagem A densidade de drenagem de uma bacia hidrográfica, d, dá uma boa indicação do grau de desenvolvimento do sistema. É obtida dividindo- se o comprimento total dos cursos d’água da bacia hidrográfica, incluindo-se os perenes, intermitentes e efêmeros, pela área de drenagem. Numa representação matemática, d 

 Li A

.

(03)

Os valores deste índice para as bacias naturais encontram-se, geralmente, compreendidos na faixa de 0,5 km -1 a 3,5 km -1, sendo que o limite inferior caracteriza as bacias com drenagem pobre e o limite superior aplica-se a bacias excepcionalmente bem drenadas. É importante destacar, ainda, que a densidade de drenagem que se obtém com o emprego da Eq. (03) depende muito da escala do mapa topográfico utilizado na sua determinação. Mapas com escalas reduzidas “escondem” detalhes e levam a uma subavaliação do comprimento total dos cursos d’água. Assim, é importante fornecer , juntamente com a densidade de drenagem, a

escala do mapa empregado na sua determinação. A bacia do rio do Carmo, já citada, é muito bem drenada e apresenta densidade de drenagem d = 2,43 km -1, determinada na escala 1:50.000. 16



Exemplo 2.1: Determinar, aplicando o critério de Horton modificado por Strahler, a ordem do curso d’água principal da bacia hidrográfica mostrada na Figura 2.3. Solução: O critério de Horton-Strahler estabelece que as correntes formadoras têm ordem 1. Assim, o primeiro passo é lançar na planta da figura o número 1 ao lado de cada corrente formadora (cabeceiras). Em seguida, acompanhando o sentido da corrente, deve-se lançar o número 2 junto aos cursos d’águ a formados por duas correntes de ordem 1. Assim, terse-ão, até esta fase, já identificados os cursos d’água de ordens 1 e 2. O próximo passo é lançar a ordem dos cursos d’água formados pelas correntes já identificadas: no caso da junção de cursos d’água d e

ordens diferentes (1 e 2, no caso), a corrente formada terá ordem 2; no caso da junção de dois cursos d’água de ordem 2, a corrente formada terá

ordem 3. Prossegue-se da mesma forma, isto é, atribuindo a maior ordem ao curso d’água formado

por aqueles de ordens diferentes, e atribuindo uma ordem acima no caso do curso d’água formado por

aqueles de mesma ordem. A Figura 2.3 traz o resultado da aplicação do método de Horton-Strahler e mostra que o curso d’água principal é de ordem 3.

Figura 2.3 – Bacia hidrográfica do exemplo 2.1

2.3.3.2 Percurso médio do escoamento superficial O percurso médio do escoamento superficial, es, é uma medida indicativa da distância média que a água de chuva teria que escoar sobre os terrenos da bacia, caso o escoamento superficial se desse em linha reta desde o seu ponto de queda até o curso d’água mais próximo. Para a obtenção de es, a bacia em estudo é transformada em uma bacia retangular de mesma área e com o lado maior tendo comprimento igual à soma dos comprimentos dos rios da bacia (Figura 2.4).

Figura 2.4 – Transformação da bacia em bacia retangular para a obtenção do percurso médio do escoamento superficial

17



De acordo com a Figura 2. 4, onde o curso d’água principal é representado centrado, A   Li  4es

 es



A 4 L i

(04)

ou, es



1 4 d

.

(05)

Para a bacia do rio do Carmo, o percurso médio do escoamento superficial é

es  103

m.

2.3.3.3 Sinuosidade do curso d’água A sinuosidade de um curso d’água é um fator

controlador da velocidade do escoamento e é definida pela relação entre o comprimento do rio principal e o comprimento do talvegue: sin 

L L tw

.

(06)

O comprimento do talvegue, L tw, é a medida do comprimento da linha de fundo do vale (ou comprimento do vetor que liga a cabeceira à foz do rio principal).

2.3.4 Características físicas da bacia hidrográfica Em uma bacia hidrográfica, a velocidade do escoamento superficial é controlada, em boa parte, pela declividade do terreno. Além disso, a temperatura, a precipitação e a evaporação, que são fatores hidrometeorológicos, são funções da altitude e influenciam o deflúvio médio da bacia. Estas e outras influências das características físicas da bacia hidrográfica sugerem que o seu relevo deve ser bem conhecido para melhor entender o seu comportamento hidrológico. 2.3.4.1 Declividade da bacia A declividade da bacia é importante fator a influenciar a velocidade do escoamento superficial, que determina o tempo de concentração da bacia e define a magnitude dos picos de enchente. Além disso, a velocidade do escoamento condiciona a maior ou menor oportunidade de infiltração da água de chuva e afeta a susceptibilidade para erosão dos solos. A obtenção da declividade de uma bacia hidrográfica pode ser feita por meio de amostragem estatística das declividades normais às curvas de nível em um grande número de pontos localizados aleatoriamente no mapa topográfico. Este método, batizado de “método das quadrículas associadas a um vetor” (VILLELA & MATTOS, 1975), consiste em lançar uma

malha quadriculada, traçada em papel transparente, sobre o mapa topográfico da bacia e, pelos pontos de interseção da malha (vértices), construir vetores normais às curvas de nível mais próximas, orientados no sentido do escoamento. Para obter a declividade associada a cada vértice, di, mede-se, em planta, a menor distância entre curvas de nível sucessivas, xi, e calculase: di 

z , x i

(07)

sendo z a diferença de elevação entre as curvas de nível. Uma forma de representar a declividade da bacia hidrográfica consiste em fazer a construção do gráfico das declividades em função da frequência acumulada das ocorrências. Para isso, após a determinação das declividades pontuais, procede-se da seguinte forma: i) classificam-se as declividades em ordem decrescente; ii) em função do número de pontos de plotagem, define-se o tamanho do intervalo de classe; iii) contam-se as observações dentro de 18



cada intervalo e converte-se esta contagem em frequência relativa; iv) faz-se a contagem das frequências acumuladas. O gráfico é construído lançando-se os pares de valores das frequências acumuladas em função do limite inferior do intervalo de classe correspondente. Pelos pontos do gráfico, traça-se uma linha suave em torno destes pontos.

Exemplo 2.2: Construir a curva de declividades da bacia do rio Capivari, afluente da margem direita do rio Araçuaí, com base no conjunto de 417 declividades pontuais obtidas pelo método das quadrículas associadas a um vetor, conforme a Tabela 2.1. Observar que, nesta Tabela, os dados já se apresentam classificados em ordem decrescente. Obter, ainda, a declividade média e a declividade mediana nesta bacia. Solução: Antes da contagem de frequência, define-se preliminarmente o tamanho do intervalo de classe através da operação: intervalo de classe = (maior declividade - menor declividade)  número de intervalos. Desejando-se obter 10 pontos de plotagem, com os dados da Tabela 2.1, faz-se: intervalo de classe = (0,727 – 0,000)  10 = 0,0727. Constrói-se, então, a Tabela 2.2 com a contagem das observações e o cálculo das frequências relativa e acumulada nos intervalos correspondentes. A curva de declividades é construída lançando-se, em gráfico, os limites inferiores das declividades da primeira coluna da Tabela 2.2 em função das frequências acumuladas correspondentes.3 Para o problema exemplo 2.2, este gráfico é representado na Figura 2.5. Do gráfico da Figura 2.5 tem-se que a declividade mediana, d med, isto é, a declividade correspondente à frequência de 50%, é d med  0,084, ou d med  8,4%. Isto significa que 50% das declividades na bacia têm valores superiores (ou inferiores) a 0,084. A declividade média, d , pode ser estimada segundo d   f i  d i  ,

(08)

onde d i representa o valor médio da declividade do i-ésimo intervalo de classe e f i é a frequência correspondente. Com os dados do problema exemplo 2.2, constrói-se a Tabela 2.3. O resultado do cálculo com a Eq. (08) é encontrado somando-se os elementos da última coluna da Tabela 2.3: d  0,113.

Obs.: a declividade média da bacia poderia, ainda, ser obtida dividindo-se a área sob a curva do gráfico da Figura 2.5 por 100%.

3

Quando as declividades incluem várias ordens de grandeza, pode ser necessário empregar-se uma escala logarítmica nas ordenadas do gráfico da Figura 2.5.

19



Tabela 2.1 – Declividades da bacia do rio Capivari obtidas pelo método das quadrículas, para o problema exemplo 2.2 0,727 0,587 0,564 0,554 0,508 0,483

0,253 0,250 0,248 0,243 0,241 0,241

0,177 0,176 0,173 0,173 0,167 0,167

0,139 0,138 0,138 0,137 0,137 0,137

0,117 0,116 0,115 0,115 0,114 0,114

0,096 0,096 0,096 0,095 0,095 0,094

0,082 0,082 0,081 0,081 0,080 0,080

0,066 0,066 0,065 0,065 0,064 0,064

0,048 0,048 0,048 0,047 0,047 0,046

0,029 0,028 0,028 0,028 0,027 0,027

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,474 0,434 0,429 0,385 0,380 0,372

0,236 0,232 0,232 0,230 0,224 0,221

0,164 0,162 0,161 0,161 0,160 0,160

0,135 0,135 0,133 0,132 0,131 0,130

0,113 0,113 0,111 0,111 0,111 0,111

0,094 0,093 0,093 0,092 0,092 0,091

0,079 0,079 0,079 0,078 0,077 0,077

0,062 0,062 0,062 0,062 0,061 0,061

0,046 0,046 0,046 0,045 0,045 0,045

0,027 0,027 0,027 0,027 0,027 0,026

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,371 0,369 0,366 0,365 0,363 0,361

0,221 0,219 0,218 0,218 0,216 0,216

0,160 0,158 0,157 0,157 0,156 0,156

0,130 0,129 0,129 0,128 0,128 0,126

0,110 0,109 0,108 0,108 0,107 0,105

0,091 0,091 0,090 0,090 0,090 0,090

0,077 0,077 0,076 0,076 0,074 0,074

0,061 0,061 0,061 0,061 0,060 0,059

0,042 0,041 0,041 0,041 0,040 0,039

0,026 0,026 0,025 0,024 0,024 0,023

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,349 0,349 0,322 0,320 0,318 0,316

0,216 0,212 0,211 0,209 0,209 0,208

0,156 0,154 0,152 0,152 0,151 0,149

0,126 0,124 0,124 0,122 0,122 0,122

0,105 0,105 0,105 0,104 0,102 0,102

0,090 0,089 0,088 0,088 0,088 0,088

0,073 0,072 0,072 0,072 0,071 0,071

0,059 0,059 0,058 0,058 0,057 0,055

0,038 0,038 0,037 0,037 0,036 0,036

0,023 0,022 0,021 0,021 0,021 0,020

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,307 0,281 0,281 0,281 0,280 0,273

0,205 0,205 0,204 0,201 0,200 0,196

0,147 0,146 0,146 0,145 0,145 0,145

0,121 0,121 0,121 0,121 0,120 0,120

0,100 0,100 0,100 0,100 0,099 0,099

0,087 0,086 0,086 0,086 0,085 0,085

0,071 0,071 0,070 0,070 0,069 0,069

0,054 0,053 0,053 0,053 0,052 0,051

0,035 0,035 0,034 0,034 0,034 0,033

0,020 0,017 0,016 0,012 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,271 0,269 0,267 0,261 0,259 0,254

0,189 0,187 0,186 0,185 0,184 0,184

0,143 0,142 0,141 0,140 0,139 0,139

0,119 0,118 0,118 0,118 0,118 0,117

0,099 0,099 0,098 0,098 0,096 0,096

0,084 0,084 0,084 0,083 0,083 0,082

0,069 0,068 0,068 0,067 0,066 0,066

0,050 0,049 0,049 0,049 0,049 0,049

0,033 0,032 0,032 0,031 0,030 0,029

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Tabela 2.2 – Análise de frequência das declividades da bacia do rio Capivari intervalo de classe frequência frequência contagem das declividades relativa, f i relativa, f i (%) [0,7270; 0,6543[ 1 0,00240 0,240 [0,6543; 0,5816[ 1 0,00240 0,240 [0,5816; 0,5089[ 2 0,00480 0,480 [0,5089; 0,4362[ 3 0,00719 0,719 [0,4362; 0,3635[ 9 0,02158 2,158 [0,3635; 0,2908[ 9 0,02158 2,158 [0,2908; 0,2181[ 25 0,05995 5,995 [0,2181; 0,1454[ 49 0,11751 11,751 [0,1454; 0,0727[ 136 0,32614 32,614 [0,0727; 0,0000[ 182 0,43645 43,645 soma = 417 1,00000 100,000

20

frequência acumulada, Fi (%) 0,24 0,48 0,96 1,68 3,84 6,00 11,99 23,74 56,35 100,00 --------



0,8 0,7 0,6 ) m 0,5 / m ( e d 0,4 a d i v i l 0,3 c e d

0,2 0,1 0,0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

frequência acumulada (%)

Figura 2.5 – Representação gráfica da distribuição de frequência das declividades da bacia do rio Capivari.

Tabela 2.3 – Elementos para o cálculo da declividade média da bacia do rio Capivari com base na Eq. ( 08) intervalo de classe das declividades

[0,7270; 0,6543[ [0,6543; 0,5816[ [0,5816; 0,5089[ [0,5089; 0,4362[ [0,4362; 0,3635[ [0,3635; 0,2908[ [0,2908; 0,2181[ [0,2181; 0,1454[ [0,1454; 0,0727[ [0,0727; 0,0000[

declividade média, d i

0,69065 0,61795 0,54525 0,47255 0,39985 0,32715 0,25445 0,18175 0,10905 0,03635 soma =

frequência relativa, f i

0,00240 0,00240 0,00480 0,00719 0,02158 0,02158 0,05995 0,11751 0,32614 0,43645 1,00000

f i

 di

0,001656 0,001482 0,002615 0,003400 0,008630 0,007061 0,015255 0,021357 0,035565 0,015865 0,113

2.3.4.2 Curva hipsométrica A curva hipsométrica é uma forma de se fazer a representação gráfica do relevo médio da bacia hidrográfica. Ela fornece a variação de elevação dos terrenos da bacia com relação ao nível do mar. A sua construção gráfica é feita em termos da porcentagem da área de drenagem da bacia hidrográfica que se encontra acima (ou abaixo) das várias elevações. Para a construção da curva hipsométrica procede-se da seguinte maneira: i) delimitada a bacia hidrográfica no mapa, obtêm-se, por planimetria, as áreas entre as curvas de nível consecutivas; ii) determina-se a área total e calculam-se os valores relativos das áreas entre as curvas de nível; iii) obtêm-se os valores das áreas relativas acumuladas; iv) constrói-se o gráfico

21



das cotas das curvas de nível versus as áreas relativas acumuladas correspondentes e, pelos pontos do gráfico, traça-se uma linha suave de concordância. Além da variação da altitude dada pela curva hipsométrica, outra informação normalmente requerida é a elevação média da bacia, pois estes elementos influenciam a precipitação e as perdas por evaporação e transpiração e, consequentemente, influenciam o deflúvio médio.

Exemplo 2.3: Na Tabela 2.4 são fornecidas as áreas compreendidas entre as curvas de nível consecutivas da bacia do rio Capivari, afluente do rio Araçuaí, no Vale do Rio Jequitinhonha, estado de Minas Gerais. Estas áreas foram determinadas por planimetria, a partir de mapa topográfico fornecido pelo IBGE, em escala 1:100.000, com as curvas de nível espaçadas de 50 em 50 metros. Com base nos dados da Tabela 2.4, pede-se: a) construir a curva hipsométrica da bacia do rio Capivari. b) Obter os valores das cotas representativas da altura mediana e da altura média nesta bacia. Tabela 2.4 – Elementos para a representação do relevo da bacia do rio Capivari Ai (km2)

Cotas (m)

1150 – 1100 1100 – 1050 1050 – 1000 1000 – 950 950 – 900 900 – 850 850 – 800 800 – 750

Cotas (m)

9,07 11,20 36,70 69,83 124,66 162,34 96,74 100,07

750 – 700 700 – 650 650 – 600 600 – 550 550 – 500 500 – 450 450 – 400 400- 350 área A = Ai =

Ai (km2)

72,35 60,32 51,22 31,50 17,80 12,05 5,27 0,44 861,56

Solução: Com base nos procedimentos sugeridos no item 2.3.4.2, constrói-se a Tabela 2.5, onde se representam as áreas relativas e áreas relativas acumuladas (3 a e 4a colunas). A curva hipsométrica é construída lançando-se, nas abscissas, os valores das áreas relativas acumuladas da 4 a coluna da Tabela 2.5, em função das cotas correspondentes (limites inferiores da 1a coluna da Tabela 2.5), nas ordenadas, e traçando-se uma linha suave pelos pontos. Esta curva, para a bacia hidrográfica do rio Capivari do problema exemplo 2.3, é mostrada na Figura 2.6. A elevação mediana, z med, é estimada do gráfico da Figura 2.6, a partir da leitura da cota correspondente à área relativa acumulada de 50%. Desta Figura resulta z med  840m, o que indica que 50% da área de drenagem da bacia encontram-se acima (e abaixo) da cota 840m. A elevação média, z , pode ser estimada segundo z

1 A

 A i  z i  ,

(09)

onde Ai é a área compreendida entre duas curvas de nível consecutivas e z i é a média aritmética das cotas destas curvas de nível. Com os dados das colunas 5 e 6 da Tabela 2.5, e com a Eq. (09), obtém-se z

1 A

 A i  z i  =

703 436 50 .

,

861 56

 816,5 m.

,

22



Tabela 2.5 – Elementos para a representação do relevo da bacia do rio Capivari Cotas (m)

Ai (km2)

1150 - 1100 1100 – 1050 1050 – 1000 1000 – 950 950 – 900 900 – 850 850 – 800 800 – 750 750 – 700 700 – 650 650 – 600 600 – 550 550 – 500 500 – 450 450 – 400 400- 350

9,07 11,20 36,70 69,83 124,66 162,34 96,74 100,07 72,35 60,32 51,22 31,50 17,80 12,05 5,27 0,44 861,56

área A =

áreas relativas, áreas relativas Cotas médias Ai/A 100 (%) acumuladas (%) (m) x

1,05 1,30 4,26 8,11 14,47 18,84 11,23 11,61 8,40 7,00 5,95 3,66 2,07 1,40 0,61 0,05  = 100,00

1,05 2,35 6,61 14,72 29,19 48,03 59,26 70,87 79,27 86,27 92,22 95,87 97,94 99,34 99,95 100,00

1125,0 1075,0 1025,0 975,0 925,0 875,0 825,0 775,0 725,0 675,0 625,0 575,0 525,0 475,0 425,0 375,0

----------

----------

Cotas médias A x

10203,75 12040,00 37617,50 68084,25 115310,50 142047,50 79810,50 77554,25 52453,75 40716,00 32012,50 18112,50 9345,00 5723,75 2239,75 165,00  = 703.436,50

1200 1100 1000 900

) m 800 ( , a t o 700 c 600 500 400 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

áreas relativas acumuladas (%)

Figura 2.6 – Curva hipsométrica da bacia do rio Capivari do problema exemplo 5.

23



2.3.4.3 Retângulo equivalente O retângulo equivalente é uma representação simplificada da bacia hidrográfica que serve para avaliar a influência do relevo da bacia sobre o escoamento. Dele se obtém as mesmas inferências da curva hipsométrica. A construção do retângulo equivalente é feita de modo que, na escala escolhida para o desenho: a área do retângulo seja igual à área de drenagem da bacia hidrográfica natural, isto é, retângulo e bacia hidrográfica têm mesma área A; o perímetro do retângulo seja igual ao perímetro da bacia natural (retângulo e bacia hidrográfica têm mesmo perímetro Per); e, além disso, bacia hidrográfica e retângulo devem apresentar o mesmo coeficiente de compacidade, k c. No interior do retângulo equivalente são, ainda, traçadas as curvas de nível na forma de segmentos de reta paralelos ao seu lado menor. Este traçado é feito de modo a respeitar a hipsometria da bacia natural, o que significa que, na escala do desenho, as áreas compreendidas entre duas curvas de nível devem ter correspondência com aquelas da escala real (Figura 2.7).

Figura 2.7 – Retângulo equivalente de uma bacia hidrográfica hipotética – no desenho, zi indica a cota da i-ésima curva de nível.

Os lados do retângulo podem ser determinados em função da área de drenagem da bacia hidrográfica e do seu coeficiente de compacidade. Para isso, escrevem-se as equações: A = L  

(10)

Per = 2 (L+ ).

(11)

e Como, da Eq. (01), k c  0 28

Per

,



A

2 (L+) =

k c A 0,28

.

(12)

Das equações (10) e (12), L2 

k c A 0 56 ,

LA 0



2

 k A   A L   c  1,12 1,12   k c A

ou

24





2



 1,12   k A   L c 1  1   1,12  k  c   

(13)



e 

2



 1,12   k c A   .  1  1    1,12  k c   

(14)



2.3.4.4 Declividade do leito ou álveo do curso d’água principal O rio principal de uma bacia hidrográfica é normalmente considerado como sendo aquele que drena a maior área dentro da bacia 4. O seu comprimento, aqui indicado por L, é medido no mapa topográfico com o uso do curvímetro. A declividade do rio principal de uma bacia é uma medida representativa do seu relevo e é muito utilizada em estudos hidrológicos. A velocidade do escoamento em um curso d’água natural depende da declividade da calha fluvial ou álveo: quanto maior a declividade, maior a velocidade do escoamento. A declividade do álveo pode ser obtida de diferentes modos. Para rios que apresentam um perfil longitudinal razoavelmente uniforme, a declividade entre extremos, S 1, é uma boa estimativa da sua declividade. A declividade entre extremos é obtida dividindo-se a diferença entre as cotas máxima (cabeceira) e mínima (foz) do perfil pelo comprimento do rio: S1 

z cabeceira  z foz L

.

(15)

As unidades de medida da declividade de um rio são, normalmente, m/m ou m/km. Existem, ainda, outras medidas mais representativas da declividade de um rio. Uma possibilidade é o método da declividade S10-85, pelo qual a declividade é obtida a partir das altitudes a 10% e 85% do comprimento do rio, comprimento este medido a partir da sua foz. Para a avaliação das altitudes, os dois pontos são marcados no mapa topográfico e suas cotas são determinadas por interpolação a partir das curvas de nível disponíveis. Avaliadas as duas altitudes, a diferença é dividida por 75% do comprimento do rio principal: S1085 

z 85%  z10% 0,75L

.

(16)

Na Figura 2.8 representa-se o perfil longitudinal do curso d’água (linha espessa) e as linhas de declividades S 1 e S10-85.

4

Às vezes, é considerado como aquele de maior comprimento.

25



Figura 2.8 – Perfil longitudinal e elementos para a determinação da declividade do rio

Um valor médio mais representativo da declividade do curso d’água consiste em traçar no

gráfico do perfil longitudinal uma linha de declividade S 2, tal que a área compreendida entre esta linha e a abscissa seja igual à área compreendida entre a curva do perfil natural e a abscissa. A área sob a curva do perfil pode ser determinada diretamente por métodos gráficos, ou analiticamente somando-se as áreas de elementos trapezoidais, conforme indicado na Figura 2.9. Designando-se a área abaixo da linha do perfil por A p, A p 

z1  z foz   x1   z 2  z1   x 2  x1     z cabeceira  z n L  x n  2

,

(17)

onde zfoz e zcabeceira são as elevações do álveo na foz e cabeceira, e z 1, z2, ... zn são as cotas de pontos intermediários que distam x 1, x2, ... xn da foz, respectivamente. A declividade S 2 pode ser obtida da igualdade: A p 

1 2

1

1

2

2

z foz  z foz  S2  L L  2z foz  S2  L  L  z foz  L 

S 2  L2

donde S2  2

A p L2

2

z foz L

.

(18)

Outro índice representativo da declividade média do curso d’água é a declividade equivalente constante, S3, que se obtém a partir da consideração de que o tempo total de percurso da

água no canal natural é igual ao tempo de percurso da água num canal hipotético de declividade constante S3.

Para obter o tempo total de percurso da água no canal natural este deve ser dividido em um grande número de trechos retilíneos: o tempo total será igual à soma dos tempos de percurso em cada um destes trechos. Admitindo-se a validade da equação de Chèzy (movimento uniforme), temse para o i-ésimo trecho: Vi  C R Hi  Si  K i  Si 

Li ti

26

(19)



Figura 2.9 – Perfil longitudinal do rio principal e elementos para a obtenção da declividade média S2

onde Vi = velocidade no trecho; S i = declividade do trecho; C = coeficiente de rugosidade de Chèzy; R Hi = raio hidráulico; K i  C R H i ; Li = comprimento do trecho; t i = tempo de percurso no trecho. O tempo total de percurso será  L i  . T   ti    K S   i i 

(20)

Para o canal de declividade equivalente constante S 3, T

L



V

L



C R H  S3

L K S3

,

(21)

onde L =  Li = comprimento do canal. Identificando as Eqs. (20) e (21), e desconsiderando os efeitos de rugosidade e de forma do canal (K i = K), tem-se L



S3



 L i   ,  S   i 

ou, S3 

L2

  



 L i     S   i 

2

.

(22)

2.3.5 Cobertura vegetal e camada superficial do solo A cobertura vegetal da bacia hidrográfica exerce importante influência sobre a parcela da água de chuva que se transforma em escoamento superficial e sobre a velocidade com que esse escoamento atinge a rede de drenagem. Quanto maior a área da bacia com cobertura vegetal, maior

27



será a parcela de água de interceptação. 5 Além disso, o sistema de raízes da vegetação retira a água do solo e a devolve à atmosfera através do processo de transpiração. A vegetação influencia, ainda, o processo de infiltração: as raízes modificam a estrutura do solo, provocando fissuras que, juntamente com a redução da velocidade do escoamento superficial, favorecem a infiltração. Por isso, quando uma bacia é parcialmente urbanizada, ou sofre desmatamento, tem-se em consequência um aumento do escoamento superficial, em decorrência das menores perdas por interceptação, transpiração e infiltração. Com o desmatamento, o escoamento superficial se dará de forma mais rápida sobre um terreno menos permeável e menos rugoso, o que intensifica o processo de erosão e de carreamento de sólidos às calhas fluviais, lagos e reservatórios, acelerando o assoreamento. O maior volume do escoamento superficial e o menor tempo de resposta da bacia resultam no aumento das vazões de pico que, juntamente com a redução da calha natural do rio, provocam frequentes inundações. O tipo de solo e o estado de compactação da camada superficial têm importante efeito sobre a parcela da água de infiltração. As características de permeabilidade e de porosidade do solo estão intimamente relacionadas com a percolação e os volumes de água de armazenamento, respectivamente. Solos arenosos propiciam maior infiltração e percolação, e reduzem o escoamento superficial. Por outro lado, os solos siltosos ou argilosos, bem como os solos compactados superficialmente, produzem maior escoamento superficial. Adiante, nos capítulos de Infiltração e Água Subterrânea, se tratará em maiores detalhes desse assunto.

BIBLIOGRAFIA GUPTA, R.S. (1989). Hydrology and Hydraulic Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. PONTIUS, F.W. (technical editor) (199?). Source Water Quality Management , by Robert H. Reinert and John A. Hroncich. In: Water Quality and Treatment – A Handbook of Community Water Suplies, 4th edition, American Water Works Association, Chapter 4. RAMOS, F, OCCHIPINTI, A.G., VILLA NOVA, N.A., REICHARDT, K. & CLEARY, R. (1989). Engenharia Hidrológica . Coleção ABRH de Recursos Hídricos. Vol. 2. ABRH / Editora da UFRJ. Rio de Janeiro (RJ). SEMADS – SECRETÁRIA DE ESTADO DE MEIO AMBIENTE E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL – ESTADO DO RIO DE JANEIRO (2001). Enchentes no Estado do Rio de Janeiro: Uma Abordagem Geral . Projeto PLANÁGUA SEMADS / GTZ de cooperação técnica Brasil-Alemanha – Vol. 8. TUCCI, C.E.M., org. (1993). Hidrologia. Ciência e Aplicação . Ed. da Universidade - UFRGS / Ed. da Universidade de São Paulo – EDUSP / Associação Brasileira de Recursos Hídricos – ABRH. VILLELA, S.M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. Ed. McGraw-Hill. WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION (1981). Guide to Hydrological Practices. Vol I. Data Acquisition and Processing . WMO – No. 168. Secretariat of the World Meteorological Organization. Geneva – Switzerland.

5

Água de chuva que fica retida nas folhagens e troncos.

28



EXERCÍCIOS (Balanço hídrico e características físicas da bacia hidrográfi ca) 2.1) Discorrer brevemente sobre o ciclo hidrológico na natureza, enunciando suas fases básicas, a fonte de energia e a principal força atuante. 2.2) Definir bacia hidrográfica. Como se demarcam os seus limites e se determina a sua área? 2.3) O desmatamento em uma bacia hidrográfica pode ser causa de assoreamento dos rios? Pode ser causa de inundações. Justifique. 2.4) O sistema de abastecimento de água de uma cidade de 250.000 habitantes deverá utilizar como manancial um curso d’água natural cuja área de drenagem, relativa à seção de captação, é de

100km 2. A precipitação média anual na região é de 1.200mm e as perdas anuais por evapotranspiração são estimadas em 800mm. Sabendo-se que o consumo médio é de 200 /(hab.dia) e que a vazão residual (vazão ecológica) estipulada pelo órgão ambiental é de 0,5m 3/s, verifique se esse manancial tem capacidade para abastecer a cidade.

2.5) Na tabela abaixo encontram-se representadas as áreas entre curvas de nível consecutivas referidas a uma determinada bacia hidrográfica. Estas áreas foram obtidas por planimetria, tomando-se um mapa topográfica em escala 1:50.000 (curvas de nível de 20 em 20 metros). Sabendo- se que a bacia tem 76 km de perímetro e que o curso d’água princi pal tem 25 km de extensão, pede-se: a) calcular a altitude média da bacia cotas (m) área (km2) hidrográfica; 1000 - 980 3,0 b) fazer a representação gráfica do 980 – 960 3,5 relevo médio da bacia hidrográfica 960 – 940 4,2 (i.e., construir a curva hipsométrica) 940 – 920 5,0 e representar nesta as altitudes 920 – 900 10,0 média e mediana; 900 – 880 58,8 c) calcular o coeficiente de compacidade e o fator de forma; 880 – 860 53,5 d) construir o retângulo equivalente 860 – 840 30,0 desta bacia. 840 – 820 20,0 820 – 800

12,0

2.6) Para o cálculo da declividade de um curso d’água natural, é dado o seu perfil longitudinal, conforme tabela abaixo. Distância da foz (km)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

Elevação em relação ao nível do mar (m)

900

910

930

960

1000

a) Calcular a “declividade entre extremos”, S1, e a declividade S 10-85; b) calcular a “declividade média”, S 2, definida de modo que se tenha a mesma área abaixo da curva “cota do leito versus distância”; c) calcular a “declividade equivalente constante”, S3, definida a partir da suposição de que o tempo

de percurso de uma partícula de água no canal natural é igual àquele no canal de declividade S 3.

2.7) Para o estudo das características fisiográficas de duas bacias foram efetuados levantamentos topográficos que produziram os resultados dados na tabela abaixo. Com base nestes elementos, 29



calcular a densidade de drenagem, o coeficiente de compacidade e o fator de forma da bacia hidrográfica. Interpretar os resultados. Parâmetro Bacia A 2 Área de drenagem (km ) 320 Perímetro da bacia hidrográfica (km) 71 Comprimento do rio principal (km) 22 Comprimento total dos cursos d’água na bacia (km) 112

Bacia B 450 120 63 315

2.8) Na Figura 2.10 encontra-se representado, em escala, o retângulo equivalente de uma bacia hidrográfica. Com base nas propriedades deste retângulo e considerando a escala do desenho, pedese: a) construir a curva hipsométrica da bacia; b) calcular as altitudes média e mediana da bacia; c) calcular o coeficiente de compacidade da bacia.

Figura 2.10 – Retângulo equivalente para a questão 2.8

2.9) Utilizando o critério de Horton- Strahler, estabelecer a ordem do curso d’água principal da bacia representada na Figura 2.11.

Figura 2.11 – Bacia hidrográfica e sistema de drenagem para a questão 2.9

30


2.10) A partir de um mapa topográfico e utilizando o “método das quadrículas associadas a um vetor”, obteve-se, para uma dada bacia hidrográfica, a amostragem estatística de declividades normais às curvas de nível, conforme mostrado na tabela ao lado. Com base nestes dados, pede-se: a) construir uma curva de distribuição das declividades na bacia; b) determinar as declividades média e mediana da bacia.


declividade (m/m) (intervalo de classe)

número de ocorrências (frequência absoluta)

]0,0100 – 0,0090] ]0,0090 – 0,0080] ]0,0080 – 0,0070] ]0,0070 – 0,0060] ]0,0060 – 0,0050] ]0,0050 – 0,0040] ]0,0040 – 0,0030] ]0,0030 – 0,0020] ]0,0020 – 0,0010] ]0,0010 – 0,0000]

15 12 17 10 33 58 85 120 98 123

31


3. Precipitação

3. PRECIPITAÇÃO 3.1. ASPECTOS GERAIS O regime hidrológico ou a produção de água de uma região (bacia hidrográfica) é determinado por fatores de natureza climática ou hidrometeorológica (precipitação, evaporação, temperatura, umidade do ar, vento, etc.) e por suas características físicas, geológicas e topográficas. Temperatura, umidade e vento são importantes pela influência que exercem na precipitação e evaporação. A topografia é importante pela sua influência na precipitação, além do que determina a ocorrência de lagos e pântanos e influi (juntamente com o solo e a vegetação) na definição da velocidade do escoamento superficial. As características geológicas, além de influenciarem a topografia, definem o local do armazenamento (superficial ou subterrâneo) da água proveniente da precipitação. Para o hidrologista, a precipitação corresponde à água proveniente do vapor d’água da

atmosfera que se deposita na superfície da terra sob diferentes formas, como chuva, granizo, neve, neblina, orvalho ou geada. Neste capítulo trata-se da precipitação sob a forma de chuva, por ser incomum a ocorrência de neve no Brasil e pelo fato de que as demais formas pouco contribuem para o regime hidrológico de uma região. A importância do estudo da distribuição e dos modos de ocorrência da precipitação está no fato dela se constituir no principal 1 input na aplicação do balanço hídrico em uma dada região hidrológica.

3.2 FORMAÇÃO DAS PRECIPITAÇÕES. TIPOS A atmosfera, camada gasosa que envolve a Terra, é constituída por uma mistura complexa de gases que varia em função do tempo, da situação geográfica, da altitude e das estações do ano. De maneira simples, pode-se considerar atmosfera = ar seco + vapor d’água + partículas sólidas em suspensão.

A composição média do ar seco é de 99% de nitrogênio mais oxigênio, 0,93% de argônio, 0,03% de dióxido de carbono e o restante de neônio, hélio, criptônio, xenônio, ozônio, hidrogênio, radônio e outros gases. A composição do vapor d’água na atmosfera varia de região para região,

estando entre 0% nas regiões desérticas e 4% em regiões de florestas tropicais. As partículas sólidas em suspensão (aerossóis) têm origem no solo (sais de origem orgânica e inorgânica), em explosões vulcânicas, na combustão de gás, carvão e petróleo, na queima de meteoros na atmosfera, etc. A atmosfera pode ser considerada como um vasto reservatório e um sistema de transporte e distribuição do vapor d’água, onde se realizam transformações à custa do calor recebido do Sol.

Apresentam-se, a seguir, os modos de formação e os tipos de precipitação. Nesta apresentação, feita de uma maneira muito sintética, não são fornecidos pormenores acerca do mecanismo de formação, nem discutidas as razões de suas variações, pois isto exigiria um maior

1 Também

bastante importante é a evaporação, por ser responsável diretamente pela redução do escoamento superficial.

32


3. Precipitação

aprofundamento nos estudos da atmosfera, da radiação solar, dos campos de temperatura e pressão, bem como dos ventos e da evolução da situação meteorológica.

3.2.1 FORMAÇÃO A formação das precipitações está ligada à ascensão de massas de ar úmido . Essa ascensão provoca um resfriamento dinâmico, ou adiabático, que pode fazer o vapor atingir o seu ponto de saturação, também chamado nível de condensação – o ar expande nas zonas de menor pressão. A partir do nível de condensação, em condições favoráveis e com a existência de núcleos higroscópios2, o vapor d’água condensa, formando minúsculas gotas em torno desses núcleos.

Enquanto as gotas não possuírem peso suficiente para vencer a resistência do ar, elas ficarão mantidas em suspensão, na forma de nuvens e nevoeiros. Somente quando atingem tamanho suficiente para vencer a resistência do ar, elas se deslocam em direção ao solo. Dentre os processos de crescimento das gotas mais importantes estão os mecanismos de coalescência 3 e de difusão do vapor.

3.2.2 TIPOS As precipitações são classificadas de acordo com as condições que produzem o movimento vertical (ascensão) do ar. Essas condições são criadas em função de fatores tais como convecção térmica, relevo e ação frontal de massas de ar . Assim, tem-se três tipos principais de precipitação, que são: a) precipitações convectivas; b) precipitações orográficas; c) precipitações ciclônicas (ou frontais). PRECIPITAÇÕES CONVECTIVAS O aquecimento desigual da superfície terrestre provoca o aparecimento de camadas de ar com densidades diferentes, o que gera uma estratificação térmica da atmosfera em equilíbrio instável . Se esse equilíbrio é quebrado por qualquer motivo (vento, superaquecimento, etc.), ocorre uma ascensão brusca e violenta do ar menos denso, capaz de atingir grandes altitudes (Figura 3.1).

Figura 3.1 – Chuva convectiva: esquema representativo do deslocamento do ar úmido aquecido 2 Gelo,

poeira e outras partículas formam núcleos higroscópios. de crescimento de uma gotícula de líquido pela incorporação em sua massa de outras gotículas com as quais entra em contato. 3 Fenômeno

33


3. Precipitação

As precipitações convectivas, típicas de regiões tropicais, caracterizam-se por ser de grande intensidade e curta duração, concentrando-se em pequenas áreas. São, por isso, importantes em projetos desenvolvidos em pequenas bacias, e na análise de problemas de drenagem de maneira geral (cálculo de bueiros, galerias de águas pluviais, etc.), envolvendo problemas de controle da erosão.

PRECIPITAÇÕES OROGRÁFICAS As precipitações orográficas resultam da ascensão mecânica de correntes de ar úmido horizontais sobre barreiras naturais, tais como montanhas. Quando os ventos quentes e úmidos, que geralmente sopram do oceano para o continente, encontram uma barreira montanhosa, elevam-se e se resfriam adiabaticamente havendo condensação do vapor, formação de nuvens e ocorrência de chuvas. Essas chuvas são de pequena intensidade, grande duração e cobrem pequenas áreas. Se os ventos conseguem ultrapassar a barreira montanhosa, do lado oposto projeta-se uma sombra pluviométrica, dando lugar às áreas secas, ou semiáridas, causadas pelo ar seco, já que a umidade foi descarregada na encosta oposta (Figura 3.2).

Figura 3.2 – Esquema ilustrativo das chuvas orográficas

PRECIPITAÇÕES CICLÔNICAS OU FRONTAIS As precipitações ciclônicas ou frontais são aquelas que ocorrem ao longo da superfície de descontinuidade que separa duas massas de ar de temperatura e umidade diferentes. Essas massas de ar têm movimento da região de alta pressão para a região de baixa pressão, causado pelo aquecimento desigual da superfície terrestre. A precipitação frontal resulta da ascensão do ar quente sobre o ar frio na zona de contato das duas massas de ar de características diferentes. É decorrente de uma frente quente, quando o ar frio é substituído por ar mais quente, ou de uma frente fria, quando o ar quente é empurrado e substituído pelo ar frio (Figura 3.3). As precipitações ciclônicas são de longa duração e apresentam intensidades de baixa a moderada, espalhando-se por grandes áreas. São responsáveis pela produção de grandes volumes de água e interessam mais nos projetos de hidrelétricas, de controle de cheias e de navegação. 34


3. Precipitação

Figura 3.3 – Esquema Esquema ilustrativo de chuvas frontais causadas por frente fria e frente quente típica.

3.3. GRANDEZAS E MEDIDAS M EDIDAS DAS PRECIPITAÇÕES As grandezas que caracterizam as precipitações são a altura pluviométrica, a intensidade, a duração e a frequência da precipitação. A altura pluviométrica, normalmente representada pelas letras h ou P, é a medida da altura da lâmina de água de chuva acumulada sobre uma superfície plana, horizontal e impermeável. Esta altura é, normalmente, expressa em milímetros e determinada pelo uso de aparelhos denominados pluviômetros. As medidas realizadas nos pluviômetros são periódicas, feitas em geral em intervalos de 24 horas, às 7 horas da manhã mais comumente. O recipiente do pluviômetro deve apresentar um volume suficiente para conter as maiores precipitações dentro do intervalo de tempo definido para as observações. Esquematicamente, Esquematicamente, representa-se o pluviômetro na Figura 3.4.

(a)

(b)

Figura 3.4 – (a) (a) Representação esquemática do pluviômetro; (b) Recipiente coletor e proveta.

Acima do recipiente do pluviômetro é colocado um funil com um anel receptor biselado, que define a área de interceptação. O anel deve ficar bem horizontal. Em princípio, a altura pluviométrica fornecida pelo aparelho não depende da área de interceptação. Contudo, deve-se ter cuidado para não se enganar no cálculo da lâmina precipitada, que pode ser obtida de: P  10  Vol A , onde P é a precipitação acumulada em mm, Vol é o volume recolhido em cm 3 (ou m) e A é a área de interceptação do anel em cm 2.

35


3. Precipitação

Existem provetas que são calibradas diretamente em milímetros para medir o volume de água coletado. A precisão de todas as medições de precipitação é o décimo de milímetro. No Brasil há vários tipos de pluviômetros em operação, sendo os mais comuns: a) tipo Ville de Paris, mostrado na Figura 3.5, em operação (superfície receptora de 400cm 2 – empregado empregado pelas agências federais, como DNAEE e Departamento Nacional de Meteorologia); b) tipo Paulista (superfície receptora de 500cm 2 – usado usado pelas agências estaduais, como DAEE/SP); c) tipo Casella 2 (superfície receptora de 200cm – utilizado utilizado por entidades privadas). Na verdade, a área da superfície receptora não é normalizada, variando de aparelho para aparelho entre 100cm 2 e 1000cm 2.

Figura 3.5 – Pluviômetro Pluviômetro tipo V i lle de Pari s

A intensidade da precipitação , i, é medida pela relação entre a altura pluviométrica e a duração da precipitação: i  P t . Geralmente, é expressa em mm/h, mm/min ou mm/dia. Na expressão anterior, a intensidade da precipitação corresponde a um valor médio no intervalo t. Pode-se, contudo, definir também uma intensidade instantânea: instantânea: i  lim lim P t  dP dt . t 0

A variabilidade temporal dos eventos chuvosos torna necessário o uso de equipamento automático, que permite medir as intensidades das chuvas durante intervalos de tempo inferiores àqueles obtidos com as observações manuais feitas com os pluviômetros. Assim, para a intensidade da precipitação, utilizam-se aparelhos que registram as alturas no decorrer do tempo, sendo estes chamados pluviógrafos. No Brasil, o modelo mais usado é o de sifão, de fabricação Fuess (superfície receptora de 200cm 2) cujo esquema é mostrado na Figura 3.6, com fotos do aparelho em operação nas Figuras 3.7 e 3.8. Existem, ainda, os tipos basculante (esquema mostrado na Figura 3.9), de balança, etc.

36


3. Precipitação

Figura 3.6 – Pluviógrafo Pluviógrafo com reservatório equipado com bóia e sifão

Figura 3.7 – Pluviógrafo Pluviógrafo tipo sifão em operação

Figura 3.8 – Tambor Tambor registrador do pluviógrafo

37


3. Precipitação

Figura 3.9 – Pluviógrafo Pluviógrafo de cubas basculantes

Ao registro contínuo da precipitação dá-se o nome de pluviograma, ou registro pluviográfico. Na Figura 3.10 apresenta-se um pluviograma típico. Com esse pluviograma quantifica-se a altura pluviométrica, assim como a intensidade da chuva nos intervalos de tempo considerados dentro da sua duração. Em geral, com a resolução dos pluviógrafos mecânicos convencionais convencionais consegue-se extrair informações da precipitação em intervalos de tempo superiores a 5min. 12 10

) 8 m 6 m ( P 4 2 0 0

10

20

30

40

50

60

70

t (min) (min)

Figura 3.10 – Pluviograma Pluviograma típico correspondente a uma dada chuva

A título de exemplo, constrói-se a Tabela 3.1 para os valores das alturas pluviométricas e das intensidades de chuva obtidos do pluviograma da Figura 3.10, para cada intervalo de tempo considerado. considerado. Com os valores levantados pode-se, ainda, construir o hietograma da chuva, tomandose intervalos de tempo, no caso, de 10min. Para a chuva do exemplo, tem-se tem -se que a sua duração é de aproximadamente 50min, e o total precipitado é de 15,7mm. A intensidade pluviométrica média é obtida dividindo-se o total precipitado pela duração da chuva: no exemplo, i méd = 15,7x(60/50)=18,8mm/h. 15,7x(60/50)=18,8mm/h. A Figura 3.11 apresenta o hietograma citado. Em resumo, existem os pluviômetros para medidas diárias e os pluviógrafos para medidas contínuas no tempo 4. O pluviômetro é o aparelho totalizador, que marca a altura de chuva total acumulada num dado período de tempo. É mais utilizado para totalizar a precipitação diária, requerendo que o operador more nas proximidades do aparelho. O pluviógrafo é o aparelho que registra automaticamente as variações da precipitação ao longo do tempo. Pode ser gráfico (como na Figura 3.8) ou digital e é visitado periodicamente por um observador ou equipe que, normalmente, controla uma rede de aparelhos. Os locais onde são instalados os pluviógrafos e/ou pluviômetros são denominados postos pluviométricos. 4 O

radar também é utilizado para medida de precipitação, sendo capaz de fornecer a informação no tempo e no espaço.

38


3. Precipitação

Tabela 3.1 – Altura pluviométrica e intensidade da chuva de 10min, conforme pluviograma da Figura 3.10 Tempo, t (min)

Altura Pluviométrica, P (mm)

0

0,0

Intensidade de chuva, i (mm/h)

0,0 10

0,0 16,2

20

2,7 19,2

30

5,9 16,8

40

8,7 27,0

50

13,2 15,0

60

15,7 0,0

70

15,7

Figura 3.11 – Hietograma das chuvas de 10min construído com base na análise do pluviograma da Figura 3.10

A duração da precipitação , que aqui será denotada por t ou td, constitui-se também em importante grandeza a caracterizar as chuvas. Ela corresponde ao período de tempo durante o qual a chuva cai. As unidades normalmente utilizadas para a duração da precipitação são o minuto ou a hora. A precipitação é um fenômeno do tipo aleatório. Por isso, a frequência com que ocorrem determinadas precipitações deve ser conhecida para uso em projetos associados ao aproveitamento dos recursos hídricos ou de controle do impacto causado por chuvas intensas. Sobre a duração e a frequência das precipitações muito ainda se falará ao longo do presente curso.

3.4. ANÁLISE DE DADOS PLUVIOMÉTRICOS O objetivo de um posto pluviométrico é produzir uma série ininterrupta de precipitações ao longo dos anos, ou permitir o estudo da variação das intensidades ao longo das tormentas. Em qualquer caso, podem ocorrer períodos sem informações, ou com falhas nas observações, 39


3. Precipitação

decorrentes de problemas com os aparelhos de registro e/ou ausência do operador do posto. Por isso, os dados coletados devem ser submetidos a uma análise preliminar , antes de serem utilizados. Preliminarmente ao processamento de dados pluviométricos, é necessário proceder-se à detecção de erros grosseiros nas observações, originados normalmente de: i) registros em dias que não existem (30 de fevereiro ou 31 de abril, por exemplo); ii) registros de quantidades absurdas; iii) erros de transcrição (preenchimento errado da caderneta de campo); etc. Somente após a identificação e correção destes erros é que os dados estarão prontos para o tratamento estatístico.

3.4.1 PREENCHIMENTO DE FALHAS Após a análise preliminar dos dados, é possível que a série apresente falhas ou lacunas. Contudo, dada a necessidade de se trabalhar com séries contínuas, estas falhas deverão ser preenchidas. Um método simples para a estimativa do valor para a correção da falha é o chamado método de ponderação regional . O método, utilizado para o preenchimento de séries mensais ou anuais de precipitações, toma por base os registros pluviométricos de pelo menos três estações climaticamente homogêneas (com um mínimo de dez anos de dados) e localizadas o mais próximo possível da estação que apresenta falha nos dados de precipitação. Assim, por exemplo, para um posto Y que apresenta falha, esta será preenchida com base na equação: PY



 PX PX     PX PX 

PY

1

3

PX

2

1

PX

2

3

3

   

(01)

onde P é a precipitação a ser estimada (mensal ou anual) para o posto Y; PX , PX e PX são as precipitações correspondentes ao mês ou ano 5 que se deseja preencher, observadas respectivamente nas estações vizinhas X 1, X2 e X3; P é a precipitação média do posto Y; e PX , PX e PX são as precipitações médias nas três estações circunvizinhas. Y

Y

1

2

3

1

2

3

Um método mais aprimorado de preenchimento de falhas consiste em utilizar regressões lineares, simples ou múltipla. Na regressão linear simples, as precipitações do posto com falha e de um posto vizinho são correlacionadas. As estimativas dos dois parâmetros da equação de regressão podem ser obtidas gráfica ou numericamente, através do critério de mínimos quadrados. No primeiro caso, num gráfico cartesiano ortogonal são lançados os pares de valores correspondentes aos dois postos envolvidos e traçada, a sentimento, a reta com melhor aderência à nuvem de pontos e que passa pelo ponto definido pelos valores médios das duas variáveis envolvidas. Uma variação do procedimento de cálculo é conhecida como método de ponderação regional baseado nas correlações com as estações vizinhas . Neste caso, são estabelecidas regressões lineares entre o posto pluviométrico com dado a ser preenchido e cada um dos postos vizinhos. De cada uma das regressões lineares efetuadas obtém-se o coeficiente de correlação, r (r  1). Para o posto Y, a equação de preenchimento da falha é a seguinte: PY

r YX PX 

1

1



r YX

1

r YX PX 2

2

 r YX PX 3 3

 r YX  r YX 2 3

.

(1.1)

Os índices r , r e r representam, respectivamente, os coeficientes de correlação das chuvas em Y e X1, Y e X2, e Y e X3. Para o preenchimento de valores diários de precipitação não se deve utilizar esta metodologia, pois os resultados podem ser muito ruins. Normalmente, valores diários são de difícil X1

5 O

X2

X3

método aplica-se somente para períodos grandes, como mês ou ano.

40


3. Precipitação

preenchimento devido à grande variação espacial e temporal da precipitação para os eventos de frequências médias e pequenas.

3.4.2 ANÁLISE DE CONSISTÊNCIA DE SÉRIES PLUVIOMÉTRICAS – DUPLA MASSA Após o preenchimento da série pluviométrica é necessário analisar a sua consistência dentro de uma visão regional, isto é, comprovar o grau de homogeneidade dos dados disponíveis num posto com relação às observações registradas em postos vizinhos. Para este fim, é prática comum no Brasil utilizar-se do método de análise de dupla massa (desenvolvido pelo U. S. Geological Survey), método este válido para as séries mensais e anuais. O método consiste em construir em um gráfico cartesiano uma curva duplo acumulativa, relacionando os totais anuais (ou mensais) acumulados do posto a consistir (nas ordenadas) e as médias acumuladas dos totais anuais (ou mensais) de todos os postos da região (nas abscissas). A região é hipoteticamente considerada homogênea do ponto de vista hidrológico. Se os valores do posto a consistir são proporcionais aos observados na base de comparação, os pontos devem se alinhar segundo uma única reta (Figura 3.12). A declividade da reta determina o fator de proporcionalidade entre ambas as séries. 24000 1996

Análise de Dupla Massa

22000

1995 1994

20000

m

1993

m ,

18000

a d ) u

m

u

al c

h 14000

1992

16000

1991

a a

er u

o a at

c

1990 1989

B 12000 l a

1988 1987

ã 10000 n o

ç s ã ç

E( tai ip

1985 6000

c

4000

P

2000

er

1986

8000 1984 1983 1982

0 0

2000

4000

6000

8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000

Precipitação anual acumulada, mm (média de 4 estações da região)

Figura 3.12 – Dados de chuva sem problemas de consistência, verificados pela análise de dupla massa (Dados da Estação Brecha e de outras quatro estações vizinhas – região de Ouro Preto, MG)

Anormalidades na estação pluviométrica, decorrentes de mudança do local ou das condições de operação do aparelho, de erros sistemáticos, de mudanças climáticas ou de modificação no método de observação podem ser identificadas pela análise de dupla massa. Nestes casos, os pontos não se alinham segundo uma única reta. Discutem-se, a seguir, alguns casos típicos relativos à aplicação da análise de dupla massa em que são identificados, por diferentes razões, problemas de consistência dos dados. a) Mudança de declividade, determinando duas retas. Este caso constitui exemplo típico da presença de erros sistemáticos, da mudança das condições de observação do aparelho ou de alterações climáticas no local provocadas, por exemplo, 41


3. Precipitação

pela construção de reservatórios artificiais. Na Figura 3.13 é apresentado o presente caso de valores inconsistentes.

Figura 3.13 – Análise de dupla massa – dados com mudança de tendência

Para se corrigir os valores correspondentes ao posto sob análise, existem duas possibilidades: corrigir os valores mais antigos para a situação atual ou corrigir os valores mais recentes para a tendência antiga. A escolha da alternativa de correção depende das causas que provocaram a mudança da declividade. Por exemplo, se forem detectados erros no período mais recente, a correção deverá ser realizada no sentido de preservar a tendência antiga. Os valores inconsistentes podem ser corrigidos de acordo com a expressão PC



Pi



MC M0

P

0



Pi



(02)

onde Pc= precipitação acumulada ajustada à tendência desejada; P i = valor da ordenada correspondente à interseção das duas tendências; P 0 = valor acumulado a ser corrigido; M c = coeficiente angular da tendência desejada; e M 0 = coeficiente angular da tendência a corrigir. b) Alinhamento dos pontos em retas paralelas O alinhamento dos pontos segundo retas paralelas caracteriza a existência de erros de transcrição de um ou mais dados. Pode, ainda, decorrer da presença de anos extremos em uma das séries plotadas. Como exemplo, a Figura 3.14 é construída a título de visualização deste caso. A ocorrência de alinhamentos segundo duas ou mais retas aproximadamente horizontais (ou verticais) pode ser a evidência da comparação de postos com diferentes regimes pluviométricos. Figura 3.14 – Exemplo de situação característica de presença de erros de transcrição

42


3. Precipitação

c) Distribuição errática dos pontos A distribuição errática dos pontos é, geralmente, resultado da comparação de postos com diferentes regimes pluviométricos, sendo incorreta toda associação que se deseje fazer entre os dados dos postos plotados. Uma vez finalizada a análise de consistência, pode ser necessária a revisão dos valores previamente preenchidos. O preenchimento das séries é uma tarefa que deve ser efetuada antes da análise de consistência, para evitar distorções no gráfico de dupla massa. Quando neste gráfico forem observadas modificações de tendências, o preenchimento deverá ser revisado.

3.5. PRECIPITAÇÃO MÉDIA SOBRE UMA BACIA Para aplicar o balanço hídrico sobre uma bacia, ou para determinar os valores extremos das chuvas na região, o hidrologista está mais interessado em conhecer a precipitação que cobre toda uma área, e não exatamente os valores pontuais. Nos itens anteriores, o tratamento dos dados pluviométricos e pluviográficos visaram produzir estimativas pontuais da precipitação. Para calcular a precipitação média é necessário utilizar as observações dentro da área de interesse e nas suas vizinhanças. Aceita-se a precipitação média como sendo a altura uniforme da lâmina d’água que cobre toda a área considerada, associada

a um período de tempo (uma hora, um dia, um mês, um ano, etc.). Para se obter um valor médio da precipitação sobre uma bacia hidrográfica existem três métodos: método aritmético, método de Thiessen e método das isoietas. O cálculo da média por estes métodos pode ser feito para um temporal isolado, para totais mensais precipitados ou para os totais anuais. a) Método Aritmético Considere-se uma bacia hidrográfica com N estações pluviométricas, com as alturas de chuva medidas em cada estação indicadas por P i (i = 1, 2, 3, ..., N). A precipitação média na bacia, P , pode ser obtida tomando-se a média aritmética dos valores indicados: P



1 N

N

P

(03)

i

i 1

A American Society of Civil Engineers (ASCE) recomenda o uso deste método para bacias menores que 5.000 km 2, quando: 1) a distribuição dos aparelhos na bacia for densa e uniforme; e 2) a área for plana ou de relevo muito suave (para evitar erro devido a influências orográficas). Ainda, sugere que as medidas individuais de cada aparelho pouco variem da média, para maior confiabilidade. Quando estes requerimentos não forem atendidos, é recomendável o uso de outro método. b) Método de Thiessen No método de Thiessen, para cada estação define-se uma área de influência dentro da bacia. Assim, para o posto pluviométrico i tem-se a área A i, tal que Ai = A (igual à área de drenagem da bacia hidrográfica). A precipitação média é então calculada atribuindo-se um peso a cada altura em cada uma das estações, peso este representado pela área de influência. Portanto, P



1 A

N

 Pi  A i 

(04)

i 1

43


3. Precipitação

As áreas de influência são determinadas no mapa topográfico da bacia contendo as estações, unindo-se os postos adjacentes por segmentos de reta (realizando triangulações) e, em seguida, traçando-se as mediatrizes desses segmentos formando polígonos. Os lados dos polígonos (e/ou o divisor da bacia) são os limites dentro da bacia das áreas de influência das estações (Figura 3.15). O método de Thiessen pode ser utilizado mesmo para uma distribuição não uniforme dos aparelhos e dá bons resultados em terrenos levemente acidentados. Facilita o cálculo automatizado, já que uma vez conhecida a rede de pluviômetros, os valores de A i permanecem constantes, mudando apenas as precipitações P i. Figura 3.15 – Triangulações do Mét. Thiessen.

Para a medida de A i utiliza-se o planímetro, ou o método das quadrículas . Embora mais preciso do que o aritmético, o método de Thiessen também apresenta limitações, pois não considera as influências orográficas. c) Método das Isoietas No método das isoietas, em vez de pontos isolados de precipitação, utilizam-se as curvas de igual precipitação (isoietas). O traçado dessas curvas é extremamente simples, semelhante ao traçado de curvas de nível, onde a altura de chuva substitui a cota do terreno (Figura 3.16).

Figura 16 – Curvas de isoprecipitação para o método das isoietas.

Pelo método das isoietas, a precipitação média sobre uma área é calculada multiplicando-se a precipitação média entre isoietas sucessivas (normalmente fazendo-se a média dos valores de duas isoietas) pela área entre as isoietas, totalizando-se esse produto e dividindo-se pela área total, ou seja: P

1 A



1    P P A     i i 1 i , i 1  2 

(05)

sendo, Pi = valor da precipitação correspondente à isoieta de ordem i; Pi+1 = valor da precipitação para a isoieta de ordem i +1; 44


3. Precipitação

Ai,i+1 = área entre as isoietas de ordem i e ordem i +1; A = Ai,i+1 = área de drenagem da bacia hidrográfica. O método das isoietas é o mais preciso para a avaliação da precipitação média em uma área. A precisão do método, contudo, depende fortemente da habilidade do analista em traçar o mapa das isoietas.

3.6. ANÁLISE DE FREQUÊNCIA DOS DADOS DE CHUVA A precipitação é um processo aleatório. A sua previsão, na maioria dos problemas, é realizada com base na estatística de eventos passados. Os estudos estatísticos permitem verificar com que frequência as precipitações ocorreram com uma dada magnitude, estimando as probabilidades teóricas de ocorrência das mesmas. O conhecimento estatístico das características das precipitações apresenta grande interesse de ordem técnica na engenharia, por sua frequente aplicação nos projetos associados ao aproveitamento de recursos hídricos. Por exemplo, o conhecimento da magnitude das enchentes que poderiam ocorrer com uma determinada frequência é importantes para: a) projetos de vertedores de barragens; b) dimensionamento de canais; c) definição das obras de desvio de cursos d’água; d) determinação das dimensões de galerias de águas pluviais; e) cálculo de bueiros, etc. Por outro lado, nos projetos de irrigação e de abastecimento de água, é necessário conhecer também a grandeza das estiagens que adviriam e com que frequência ocorreriam. Nos projetos de obras hidráulicas, as dimensões da obra são determinadas em função de considerações de ordem econômica. Portanto, corre-se um risco de que a estrutura venha a falhar durante a sua vida útil. É necessário, então, conhecer este risco. Para isso, analisam-se estatisticamente as observações realizadas nos postos hidrométricos, verificando-se com que frequências elas assumiriam cada magnitude. Em seguida, pode-se avaliar as probabilidades teóricas. A análise de frequência dos dados de chuva pode ser feita considerando-se os tipos seguintes de séries: a) série total: os dados observados são considerados na sua totalidade; b) série parcial: constituída por alturas pluviométricas superiores a um valor-base, tomado como referência, independentemente do ano em que possa ocorrer; c) série anual: constituída pelas alturas pluviométricas máximas de cada ano, no caso de série anual de chuvas máximas diárias, ou pelos totais anuais precipitados caso a série seja de totais anuais. Uma definição simples para frequ ência pode ser dada pelo “número de ocorrências igualadas ou superadas de uma dada chuva (de intensidade i o e duração t d, por exemplo) no decorrer de um período de observação de n anos”. Assim, por exemp lo, suponha-se que as observações foram feitas durante 31 anos. Neste período, uma chuva que foi igualada ou superada 10 vezes tem a frequência de 10 em 31 anos. Isto corresponde a uma probabilidade 6 P{i  io}=32,3% de ocorrer em um ano. Uma avaliação rápida da frequência com que um evento é igualado ou superado pode ser feita através dos métodos Califórnia e de Weibull (também conhecido como método de Kimball). Para tal, os dados da série considerada (parcial ou anual) devem ser preliminarmente classificados em ordem decrescente ( ranking ) e a cada valor atribuído o seu número de ordem m. A frequência com que é igualado ou superado o evento de magnitude i o e ordem m, F (io), é dada por: 6

Lê-se: “probabilidade de se encontrar uma precipitação i de magnitude igual ou superior a i o”. Também,

“probabilidade de excedência”.

45


3. Precipitação

a) no método Califórnia, F (io)

m 

(06)

n

ou, b) no método de Weibull (ou Kimball), F (io)



m n

1

,

(07)

onde n é o número de anos da série. Nota-se que nos métodos Califórnia e de Weibull, excedência, isto é, F (io) = P{i  io}.

F

(io) representa a probabilidade de

3.6.1 PERÍODO DE RETORNO Define-se período de retorno , Tr, ou intervalo de recorrência de um evento hidrológico como sendo o intervalo de tempo médio, medido em anos, em que o evento de uma dada magnitude x0 é igualado ou superado pelo menos uma vez. Assim, se o evento de magnitude x 0 (chuva ou vazão) ocorre ao menos uma vez em Tr anos, tem-se P X  x 0  

1 Tr

,

(08)

isto é, o período de retorno, em anos, corresponde ao inverso da probabilidade de excedência. Se, no método de Weibull (ou no método Califórnia), a frequência F (xo) é uma boa estimativa da probabilidade teórica P, então Tr = 1F (x0) = 1/P{X  x0}.

(09)

Cumpre observar que, para períodos de retorno bem menores do que o número de anos de observação, o valor de F (xo) acima pode dar uma boa idéia do valor real de P{X  x0}. Já para grandes períodos de retorno deve ser ajustada uma lei de probabilidade teórica, de modo a possibilitar um cálculo mais confiável da probabilidade.

3.6.2 FREQUÊNCIA DE TOTAIS PRECIPITADOS Uma série anual de totais precipitados é obtida pela soma das precipitações diárias de cada ano. Por exemplo, para um posto com 20 anos de registros existirão 20 totais anuais. Conforme o Teorema do Limite Central, como o total anual precipitado é formado pela soma dos valores diários de chuva (que se admite serem aleatórios), espera-se que a repartição das frequências se adapte bem à distribuição normal de probabilidade (Lei de Gauss). Indicando por x a variável aleatória (x= total anual de precipitação), a função de distribuição de probabilidade acumulada da Lei de Gauss é expressa como

 1  x    2  Fx   exp      2   2     1



x

46

dx

(10)


3. Precipitação

em que  e  representam, respectivamente, a média e o desvio-padrão da população e F(x) é a probabilidade de um total anual qualquer ser igual ou inferior 7 a x. Isto é, Fx   PX  x. Logo, da definição de período de retorno, neste caso Tr 

1

 

1 F x



1





1 P X  x

(11)

pois PX  x  1  PX  x. O ajuste da série de valores anuais de precipitação segundo uma curva normal é muito facilitado pelo uso de papéis de probabilidade. Com o uso do papel aritmético de probabilidade (alturas das precipitações nas abscissas, em escala linear, e frequências, ou períodos de retorno nas ordenadas, em escala de probabilidade), a distribuição normal se apresenta como uma reta. Esta reta passa por alguns pontos característicos, como X=  e F()=50%, X= e F()=15,87%, e X= e F()=84,13%. É importante observar que a inferência de índices pluviométricos com base nos parâmetros da distribuição normal só deve ser feita para totais anuais. 8

3.7. ANÁLISE DAS CHUVAS INTENSAS Chuvas intensas, ou precipitações máximas, são definidas como aquelas chuvas cujas intensidades ultrapassam um determinado valor mínimo. As principais características das chuvas intensas são a sua intensidade, sua distribuição temporal (duração) e espacial, e sua frequência de ocorrência. O conhecimento dessas características é de fundamental importância na análise de diversos problemas na engenharia de recursos hídricos 9, no projeto de obras hidráulicas, tais como vertedores de barragens, sistemas de drenagem, galerias de águas pluviais, dimensionamento de bueiros, entre outros. A aquisição dessas informações passa, atualmente, por grandes transformações, decorrentes da modernização das tecnologias de obtenção dos dados 10. Pode-se afirmar, com base em observações, e mesmo intuitivamente, que: - a relação entre a intensidade (i) e a duração da chuva intensa (t d) é inversa: i  1 c  t  , sendo c e n constantes; - a relação entre a intensidade e a frequência (ou período de retorno) é tal que, para valores máximos (chuvas intensas), i Tr , sendo m constante; - a relação entre a intensidade e a distribuição espacial da chuva intensa é inversa, isto é, quanto maior a área de abrangência, menor a intensidade. Para o último caso, segundo o Drainage Criteria Manual de Denver, para áreas de drenagem até aproximadamente 25km 2 (10 milhas quadradas), as informações pontuais podem ser n

d



m

7 Diferentemente

dos método de Weibull e Califórnia, F agora representa uma probabilidade de não-excedência. geral, dados hidrológicos têm distribuição assimétrica e requerem a aplicação de outros modelos de probabilidade. Caso a curva teórica de probabilidade não se ajuste bem aos valores empíricos, é recomendável testar o ajuste de outra distribuição, ou o ajuste gráfico pelo traçado de uma curva de melhor aderência aos pontos. 9 Cumpre observar, antecipando o que ainda será visto neste curso, que, em muitas metodologias, as vazões de projeto são obtidas indiretamente pelo uso de modelos que realizam a transformação de uma chuva em vazão. 10 Uso de radares meteorológicos e técnicas de sensoriamento remoto. Essas técnicas, juntamente com as redes de telemedição, permitem uma abrangência significativa na caracterização dos dados de precipitação. 8 Em

47


3. Precipitação

utilizadas em cálculos cobrindo a extensão da área dentro do limite citado. Para áreas maiores, aplicam-se fatores de redução em função da área e da duração da chuva (Figura 3.17).

Figura 3.17 – Fator de redução das precipitações máximas pontuais, conforme o U.S. Weather B ureau.

Normalmente, os dados para uma análise de chuvas intensas são obtidos dos pluviogramas (registros pluviográficos). Desses gráficos pode-se estabelecer, para diversas durações, as máximas intensidades ocorridas durante uma dada chuva, sem que necessariamente as durações maiores devam incluir as menores. As durações usuais são de 5, 10, 15, 30 e 45 minutos e 1, 2, 3, 6, 12 e 24 horas. O limite inferior de duração é fixado em 5 minutos porque este é o menor intervalo que se pode ler nos registros pluviográficos com precisão adequada. Para durações maiores que 24 horas podem ser utilizadas observações feitas com pluviômetros. O número de intervalos de duração citado fornece pontos suficientes para definir curvas de intensidade-duração da precipitação, referentes a diferentes frequências de ocorrência. A determinação da relação entre a intensidade, a duração e a frequência (curva i-d-f) deve ser feita das observações das chuvas intensas durante um período de tempo suficientemente longo e representativo dos eventos extremos do local. Na análise estatística da estrutura hidrológica das séries de chuva podem ser seguidos dois enfoques alternativos: séries anuais ou séries parciais. A escolha de um outro tipo de série depende do tamanho da série disponível e do objetivo do estudo. A metodologia de séries parciais é utilizada quando o número de anos de registro é pequeno (menos de 12 anos de registro) e os períodos de retorno que serão utilizados são inferiores a 5 anos. A metodologia de séries anuais baseia-se na seleção das maiores precipitações anuais de uma duração escolhida. Com base nesta série de valores é ajustada uma distribuição de extremos que melhor se ajuste aos valores 11. Na construção da curva i-d-f é necessário ajustar uma distribuição estatística aos maiores valores anuais de precipitação para cada duração escolhida. A metodologia segue a sequência: a) para cada duração são obtidas as precipitações máximas anuais com base nos dados do pluviógrafo; b) para cada duração mencionada é ajustada uma distribuição estatística; 11 Utilizam-se,

normalmente, as distribuições Pearson tipo III, log-Pearson tipo III, Gumbel e log-Normal para eventos

extremos.

48


3. Precipitação

c) dividindo a precipitação pela sua duração obtém-se a intensidade; d) as curvas resultantes são a relação i-d-f. Como exemplo, na Figura 3.18 representa-se uma família de curvas i-d-f obtidas para um posto em Porto Alegre.

Figura 3.18 – Curvas de intensidade-duração-frequência para a cidade de Porto Alegre/RS (Tucci et al, 1993).

As curvas também podem ser expressas por equações genéricas, do tipo m

i



K  Tr

c  t 

n

,

(12)

d

onde i = intensidade, geralmente expressa em mm/h; Tr = período de retorno, em anos; t d = duração da chuva, em minutos e K, c, m e n são parâmetros do ajuste (determinados para cada local). Na literatura encontram-se disponíveis várias expressões com a forma da Eq. (12), determinadas por análise de regressão e válidas para diferentes cidades do país. Na Tabela 3.2 encontram-se listados os valores dos parâmetros da Eq. (12) para algumas cidades brasileiras. Tabela 3.2 – Parâmetros de equações de intensidade-duração frequência (TUCCI et al, 1995) Localidade São Paulo Curitiba Rio de Janeiro Belo Horizonte

K 3 462,7 1 239,0 5 949,2 1 487,9

m 0,172 0,150 0,217 0,100

49

c 22 20 26 20

n 1,025 0,740 1,150 0,840


3. Precipitação

Outro trabalho importante e pioneiro, que até hoje é utilizado para o estudo das chuvas intensas, se deve a Otto Pfafstetter e foi apresentado em 1957 sob o título “Chuvas Intensas no Brasil”, publicado pelo Departamento Nacional de Obras de Saneamento (DNOS) 12. O autor propôs, com base em observações de 98 postos pluviográficos de todo o Brasil (incluindo Ouro Preto), uma relação empírica da forma:  Tr    a  t  b log 1  c  t  (13) P  Tr d

d

sendo P = precipitação máxima, em mm; Tr = período de retorno, em anos; td = duração da chuva, em horas;  = parâmetro que depende da duração da chuva (tabelado);  = parâmetro que depende da duração da chuva e variável de posto para posto (tabelado); e , a, b e c = constantes para cada posto. Valores do coeficiente  da Eq. (13), em função da duração da precipitação, são apresentados na Tabela 3.3. Na Tabela 3.4, para alguns postos espalhados pelo Brasil, apresentamse os valores dos coeficientes , a, b e c, conforme Pfafstetter, que adotou =0,25 para todos os postos. Tabela 3.3 – Valores do coeficiente Duração 5 min 15 min 30 min 1h 2h

0,108 0,122 0,138 0,156 0,166

de Pfafstetter (TUCCI et al, 1995)

Duração 4h 8h 14 h 24 h 48 h

0,174 0,176 0,174 0,170 0,166

Duração 3 dias 4 dias 6 dias

0,160 0,156 0,152

Tabela 3.4 – Valores dos coeficiente , a, b e c de Pfafstetter para algumas cidades brasileiras (TUCCI 1995) Postos Pluviográficos

5 min

15 min

30 min

1h – 6dias

Belo Horizonte- MG Curitiba – PR Rio de Janeiro – RJ Maceió – AL Manaus – AM Natal – RN Porto Alegre – RS São Carlos – SP

0,12 0,16 -0,04 0,00 0,04 -0,08 0,00 -0,04

0,12 0,16 0,12 0,04 0,00 0,00 0,08 0,08

0,12 0,16 0,12 0,08 0,00 0,08 0,08 0,08

0,04 0,08 0,20 0,20 0,04 0,12 0,08 0,12

a

b

c

0,6 0,2 0,0 0,5 0,1 0,7 0,4 0,4

26 25 35 29 33 23 22 29

20 20 10 10 20 20 20 20

et al,

Quando as únicas informações disponíveis são de chuvas registradas pelo uso de pluviômetros, a análise das chuvas intensas é, em princípio, feita para as chuvas com duração de 1 dia. Pode-se, contudo, fazer a avaliação das chuvas de 24 horas a partir das chuvas máximas de 1 dia. Para isso, alguns autores (CETESB, 1986; TUCCI e outros, 1995) desenvolveram relações 12 O

conjunto dos dados, na forma de tabelas de altura pluviométrica-intensidade-duração-frequência, é apresentado no livro “Drenagem Urbana – Manual de Projeto”, editado pela CETESB – capítulo II, a partir da página 31.

50


3. Precipitação

entre as chuvas de 24 horas e de 1 dia de duração, de mesmo período de retorno. Foi mostrado que, em termos de altura pluviométrica, 24h

PTr

1dia

PTr



1,13 a 1,15 ,

(14)

válida para períodos de retorno de 5 a 100 anos. Ainda, com base em estudos do Departamento Nacional de Obras de Saneamento - DNOS (citado em CETESB, 1986), as alturas das chuvas máximas de diferentes durações podem ser relacionadas entre si, conforme fornecido na Tabela 3.5. Os valores apresentados são válidos para períodos de retorno entre 2 e 100 anos. Tabela 3.5 - Relações entre chuvas máximas de diferentes durações. Valores médios dos estudos do DNOS Relação entre as durações

Relação entre as alturas pluviométricas

5min / 30min 10min / 30min 15min / 30min 20min / 30min 25min / 30min 30min / 1h 1h / 24h

0,34 0,54 0,70 0,81 0,91 0,74 0,42

Convém observar que os valores de chuvas gerados com base na Eq. (14) e na Tabela 3.5 não devem ser vistos como tendo a mesma precisão dos resultados que seriam obtidos com base nos registros de pluviógrafos. Servem, contudo, como estimativas das chuvas intensas de menores durações quando se dispõem somente de dados diários de chuvas obtidos por pluviômetros.

BIBLIOGRAFIA TUCCI, C.E.M., org. (1993). Hidrologia. Ciência e Aplicação . Ed. da Universidade - UFRGS / Ed. da Universidade de São Paulo – EDUSP / Associação Brasileira de Recursos Hídricos – ABRH. TUCCI, C.E.M., PORTO, R. La L. & BARROS, M.T de, org. (1995). Drenagem Urbana. Ed. da Universidade - UFRGS / Associação Brasileira de Recursos Hídricos – ABRH. VILLELA, S.M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. Ed. McGraw-Hill. RIGHETTO, A.M. (1998). Hidrologia e Recursos Hídricos. EESC/USP – Projeto REENGE. CETESB (1986). Drenagem Urbana – Manual de Projeto . Convênio CETESB/ASCETEB. São Paulo.

51


3. Precipitação

EXERCÍCIOS 3.1) Descreva, sucintamente, o princípio de formação das precipitações convectivas, orográficas e frontais. 3.2) Cite três grandezas características das precipitações e suas respectivas dimensões e unidades usuais. 3.3) Sejam quatro estações pluviométricas A, B, C e D da bacia hidrográfica mostrada na Figura 3.19. a) Estime a precipitação média sobre a bacia pelos métodos aritmético e de Thiessen, com base ainda nos dados da Tabela 3.6. b) Quais os elementos necessários e como proceder para obter a precipitação média pelo método das isoietas?

Figura 3.19 – Bacia hidrográfica e posição de quatro postos pluviométricos. Tabela 3.6 – Precipitações nos postos pluviométricos Posto Pluviométrico A B C Altura Pluviométrica, P (mm) 25,0 40,0 36,0

D

30,0

3.5) Nas Tabelas 3.7 e 3.8 são fornecidos, respectivamente, os dados das séries anual e parcial das chuvas intensas de 1 dia, obtidos a partir de registros em um posto pluviométrico, no período de 1958 a 1973. Tabela 3.7 – Série Anual ano P (mm) ano P (mm)

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

85,5

95,2

91,7

157,8

87,2

70,4

130,8

65,3

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

51,4

118,4

58,2

89,4

74,8

128,5

79,4

98,5

Tabela 3.8 – Série Parcial Ano 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965

P (mm)

ano 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973

85,5 - 67,8 95,2 - 68,4 91,7 - 84,0 157,8 - 70,2 87,2 - 78,4 70,4 - 65,7 130,8 - 65,8 65,3

52

P (mm)

118,4 - 71,5 89,4 - 80,5 74,8 - 65,8 128,5 - 70,8 - 65,8 79,4 - 66,4 98,5 - 82,7


3. Precipitação

a) Calcular, para as séries anual e parcial, os períodos de retorno correspondentes pelo método de Weibull. b) Construir as curvas de frequência das séries anual e parcial: b1) para a série parcial, lançando as alturas pluviométricas, P(mm), em função dos períodos de retorno (ou frequências), em papel bi-log; b2) para a série anual, plotando os pares de valores de P(mm) vs. Tr(anos), ou frequências, em papel log-probabilístico. c) Determinar as chuvas correspondentes aos períodos de retorno de 2, 5, 10, 50 e 100 anos, com base nas curvas de frequência construídas no item (b), para as séries anual e parcial. 3.4) Na Tabela 3.8 são fornecidos os totais anuais referidos a um posto pluviométrico, de 1941 a 1968. a) Efetuar a análise estatística, calculando a média, o desvio-padrão e o coeficiente de variação das alturas pluviométricas. b) Calcular as frequências acumuladas e construir o gráfico de probabilidade, lançando os pares de valores da frequência acumulada versus altura pluviométrica em papel aritmético de probabilidade. Traçar, neste gráfico, a reta que representa a lei normal de probabilidade. Sugestão: agrupar os dados em intervalos de classe de 100 mm de amplitude. c) Obter os prováveis totais anuais precipitados com recorrências de 5, 10, 100 e 1000 anos. Tabela 3.8 – Totais anuais precipitados – 1941 a 1968 ano 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947

P (mm)

1 066,6 1 489,1 1 552,2 727,1 1 205,8 1 429,8 2 024,9

ano 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954

P (mm)

ano 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961

1 245,3 1 410,8 1 559,0 1 251,5 1 199,2 1 248,8 1 471,0

P (mm)

1 224,5 1 412,3 1 467,1 1 567,2 1 105,0 1 833,7 1 136,3

ano 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968

P (mm)

1 673,7 885,9 1 451,0 1 850,0 1 230,9 1 649,6 1 194,6

3.6) Uma estação pluviométrica X esteve inoperante por alguns dias de um determinado mês. Neste mesmo mês, os totais precipitados em três estações vizinhas A, B e C foram 126mm, 105mm e 144mm, respectivamente. Sabendo-se que as precipitações médias anuais nas estações X, A, B e C são, respectivamente, 1155mm, 1323mm, 1104mm e 1416mm, estimar o total precipitado na estação X para o mês que apresentou falhas.

53


3. Precipitação

Papel Aritmético de Probabilidade 99,99

99,9

99,5 99 98

95

90

80 70 F

%(

)

60 50 40 30 20

10

5

2 1 0,5

0,1

0,01

1E-3

54


3. Precipitação

Papel Logarítmico de Probabilidade

55


4. Infiltração

4. INFILTRAÇÃO 4.1. GENERALIDADES Infiltração é a passagem da água da superfície para o interior do solo. É, pois, um processo que depende fundamentalmente (a) da disponibilidade de água para infiltrar, (b) da natureza do solo, (c) do estado da camada superficial do solo e (d) das quantidades de água e ar inicialmente presentes no interior do solo. 4.2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE INFILTRAÇÃO – EVOLUÇÃO DO PERFIL DE UMIDADE No interior do solo, o espaço disponível para a água se acumular e se movimentar é determinado pelos vazios existentes entre os grãos que compõem a estrutura do solo. O parâmetro capaz de especificar a máxima retenção de água no solo é a sua porosidade1, n. O teor de umidade do solo 2, , será sempre menor ou igual à porosidade. O grau de saturação do solo3 é definido pela relação entre o volume de água e o volume de vazios da amostra. À medida que a água infiltra pela superfície, as camadas superiores do solo vão se umedecendo de cima para baixo, alterando gradativamente o perfil de umidade. Enquanto houver aporte de água, o perfil de umidade evolui e tende à saturação em toda a profundidade, sendo a superfície, naturalmente, o primeiro nível a saturar. Cumpre observar que, normalmente, a infiltração decorrente de precipitações naturais não é capaz de saturar todo o solo, restringindo-se a saturar, quando consegue, apenas as camadas próximas à superfície. Em consequência, desenvolve-se um perfil típico de umidade, em que o seu teor decresce com a profundidade, conforme ilustrado na Figura 4.1 (linha cheia da Figura 4.1).

Figura 4.1 – Evolução do perfil de umidade do solo. 1

Porosidade do solo, n = (volume de vazios)  (volume da amostra de solo) Umidade do solo,  = (volume de água na amostra de solo)  (volume da amostra de solo) 3 Grau de saturação, S = (volume de água na amostra de solo)  (volume de vazios) = /n 2

56


4. Infiltração

Quando cessa o aporte de água à superfície (isto é, deixa de haver infiltração), a umidade no interior do solo se redistribui, evoluindo para um perfil inverso com os menores teores de umidade próximos à superfície e os maiores nas camadas mais profundas (linha pontilhada da Figura 4.1). Nem toda a umidade é drenada para as camadas mais profundas do solo, já que parte é transferida para a atmosfera pela evapotranspiração. Convém observar que nas camadas inferiores do solo geralmente é encontrada uma zona de saturação (lençol freático), mas sua influência no fenômeno da infiltração só é significativa se situa a pouca profundidade.

4.3. GRANDEZA CARACTERÍSTICA DA INFILTRAÇÃO – CAPACIDADE DE INFILTRAÇÃO A capacidade de infiltração, f, é o potencial que o solo tem de absorver água pela sua superfície. A medida da capacidade de infiltração é feita em termos de uma altura de lâmina d’água, por unidade de tempo : representa, fisicamente, o volume de água que o solo pode absorver, por unidade de área, na unidade de tempo. A capacidade de infiltração f tem dimensão de comprimento por tempo e é medida, em geral, em mm/h ou mm/dia. Deve-se fazer distinção entre os conceitos de capacidade de infiltração e taxa real de infiltração, dado que esta última só acontece quando há disponibilidade de água para penetrar no solo. As curvas, em função do tempo, da taxa real de infiltração e da capacidade de infiltração de um solo somente coincidem quando o aporte superficial de água (proveniente de precipitações e mesmo de escoamentos superficiais de outras áreas) tem intensidade superior ou igual à capacidade de infiltração. Se uma precipitação atinge o solo com uma intensidade (i) menor que a capacidade de infiltração (f) toda a água penetra no solo, provocando uma progressiva diminuição da própria capacidade de infiltração. Se a precipitação continua, dependendo da sua intensidade, pode ocorrer um instante em que a capacidade de infiltração diminui ao ponto de se igualar à intensidade da precipitação. A partir deste momento, mantendo-se a precipitação, a infiltração real se processa na mesma taxa da capacidade de infiltração, que passa a decrescer exponencialmente com o tempo, tendendo a um valor mínimo. Em decorrência, a parcela não infiltrada da precipitação se escoa pela superfície em direção às áreas mais baixas: na forma de um balanço, i  f  escoamento superficial. Cessada a precipitação, e não havendo aporte de água à superfície do solo, a taxa de infiltração real anula-se rapidamente, enquanto que a capacidade de infiltração volta a crescer, pois o solo continua a perder umidade para as camadas mais profundas, além das perdas por evapotranspiração. Na Figura 4.2 representa-se a evolução da capacidade de infiltração em função do tempo, em decorrência de uma precipitação de duração t d e intensidade i constante. Nota-se que com o início da chuva a capacidade de infiltração decresce com o tempo. Enquanto f  i toda a água precipitada infiltra-se no solo. No instante t e, contado a partir do início da chuva, a capacidade de infiltração iguala-se à intensidade da chuva (ponto M na figura). A partir deste ponto, e até o instante correspondente ao ponto N da figura, a capacidade de infiltração reduz-se exponencialmente. Parte da água de chuva se infiltra e o restante escoa superficialmente. As áreas demarcadas na figura representam, conforme indicado, as alturas totais das lâminas d’água

infiltrada e escoada superficialmente.

57


4. Infiltração

Figura 4.2 – Visualização da variação da capacidade de infiltração com a ocorrência de uma chuva

4.4. EQUAÇÃO DE HORTON PARA O CÁLCULO DA INFILTRAÇÃO PONTUAL A partir de experimentos de campo, Horton (1939) estabeleceu, para o caso de um solo submetido a uma precipitação com intensidade superior à capacidade de infiltração, uma relação empírica para representar o decaimento da infiltração com o tempo (ramo MN da curva f t da Figura 4.2), que pode ser escrita na forma: x

f  f C  f 0  f C exp  k 

(01)

onde f = capacidade de infiltração (igual à taxa real de infiltração) no tempo genérico , f 0 = capacidade de infiltração no tempo  = 0, f C = capacidade de infiltração mínima, ou taxa mínima de infiltração, que é um valor assintótico (valor final de equilíbrio) avaliado em um tempo  suficientemente grande, k = constante característica do solo (constante de Horton), com dimensão de tempo -1, e  = tempo.

4.5. FATORES QUE INTERVÊM NA CAPACIDADE DE INFILTRAÇÃO São vários os fatores que exercem influência na infiltração da água em um solo. Listamse a seguir cada um deles. a) Tipo de solo: A capacidade de infiltração varia diretamente com a porosidade do solo, com o tamanho das partículas do solo (distribuição granulométrica) e o estado de fissuração das rochas. b) Grau de umidade do solo : O solo no estado seco tem maior capacidade de infiltração, pelo fato de que à ação gravitacional se somam as forças capilares. De outro modo, quanto maior for a umidade do solo, menor será a capacidade de infiltração. c) Compactação pela ação de homens e animais : A compactação da superfície do solo o torna mais impermeável, diminuindo a capacidade de infiltração. d) Ação da precipitação sobre o solo: A ação da chuva sobre o solo tende a diminuir a capacidade de infiltração, pelo efeito da compactação da superfície do terreno, do transporte 58


e)

f)

g)

h)

4. Infiltração

de material fino que diminui a porosidade junto à superfície e do aumento das partículas coloidais, que diminui os espaços intergranulares. Alteração da macroestrutura do terreno : A capacidade de infiltração pode ser aumentada pela alteração da macroestrutura do solo devido a fenômenos naturais, como escavações de animais, decomposição de raízes de plantas e ação do sol, e também devido a ação do homem no cultivo da terra (aração). Cobertura Vegetal : A presença da cobertura vegetal tende a aumentar a capacidade de infiltração do solo, pois atenua a ação da chuva e facilita a atividade de insetos e outros animais no processo de escavação. Ainda, por dificultar o escoamento superficial e por retirar a umidade do solo, possibilita a ocorrência de maiores valores da capacidade de infiltração. Temperatura do solo : A infiltração é um fenômeno de fluxo de água no solo. Assim, sua medida (através da capacidade de infiltração) depende da temperatura da água, da qual depende a sua viscosidade. Menores temperaturas provocam o aumento da viscosidade, reduzindo f. Presença de ar : O ar retido temporariamente nos espaços intergranulares retarda a infiltração da água.

4.6. MEDIÇÃO DA CAPACIDADE DE INFILTRAÇÃO A capacidade de infiltração de um solo pode ser medida pelo uso de aparelhos denominados infiltrômetros. Os infiltrômetros são, em geral, de dois tipos: a) os infiltrômetros propriamente ditos, de anel metálico, que utilizam a aplicação de água por inundação (mantém sempre um aporte de água à superfície); e b) os simuladores de chuva, que utilizam a aplicação de água por aspersão. Os infiltrômetros do primeiro tipo são tubos cilíndricos curtos feitos de chapa metálica, de diâmetro  entre 20 e 90 cm. Estes são cravados verticalmente no solo, de modo a sobrar uma pequena altura livre (Figura 4.3). Existem duas variações do infiltrômetro de anel metálico, conforme se utilizam um tubo ou dois tubos concêntricos. Quando se utilizam dois tubos, o externo tem o papel de prover a quantidade de água necessária ao espalhamento lateral devido aos efeitos de capilaridade. Assim, a infiltração propriamente dita deve ser medida levando-se em conta a área limitada pelo cilindro interno. Durante o experimento, mantém-se sobre o solo uma pequena lâmina de 5 a 10 mm de água, nos dois compartimentos. Para obter o valor de f, divide-se a taxa de aplicação da água pela Figura 4.3 – Infiltrômetro de duplo anel área da seção transversal do tubo interno. Na Figura 4.4 é representado o infiltrômetro de anel metálico simples em operação. O dispositivo da figura é constituído de um tubo de 20 cm de diâmetro, alimentado por um vaso de Mariotte – o vaso de Mariotte permite a adição controlada da água de infiltração, cuja vazão é determinada pela altura h (na verdade, a vazão é controlada pela altura entre o tubo de sucção do vaso e a saída da mangueira). O tubo de sucção permite a entrada do ar que vai formar a “atmosfera à pressão constante” à superfície da água no interior do vaso.

59


4. Infiltração

Figura 4.4 – Figura esquemática de um infiltrômetro de anel simples e m operação

Como exemplo, apresenta-se uma planilha de anotações e cálculo (Tabela 4.1) de uso nas medidas da capacidade de infiltração por meio de um infiltrômetro de anel metálico. Os resultados de cálculo de f em função do tempo são normalmente lançados em um gráfico cartesiano para mostrar a evolução da capacidade de infiltração ao longo do tempo. A coluna (4) da Tabela 4.1 é preenchida dividindo-se a coluna (3) pela área A da seção transversal do infiltrômetro. Por sua vez, a coluna (5) é preenchida dividindo-se os valores obtidos na coluna (4) pelo intervalo de tempo correspondente em horas. Tabela 4.1 – Elementos de cálculo da capacidade de infiltração com o uso do infiltrômetro de anel metálico (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Tempo (min)

Volume lido (cm )

Variação do volume (cm )

Altura da lâmina (mm)

Capacidade de infiltração (mm/h)

Os principais inconvenientes relacionados ao uso de infiltrômetros, que causam erros nas medidas, são: i) ausência do efeito de compactação da chuva; ii) fuga do ar retido para a área externa aos tubos; iii) deformação da estrutura do solo com a cravação dos tubos. Os infiltrômetros do segundo tipo, chamados de simuladores de chuva, são aparelhos nos quais a água é aplicada por aspersão, com taxa uniforme superior a f, exceto para um breve intervalo de tempo inicial. As áreas delimitadas de aplicação da água são normalmente de formato retangular ou quadrado, de 0,10m 2 até 40m2 de superfície. Estas áreas são circundadas por canaletas que recolhem a água do escoamento superficial. Medem-se, nos testes, a quantidade de água adicionada e o escoamento superficial resultante, deduzindo-se o valor de f.

4.7. AVALIAÇÃO DA CAPACIDADE DE INFILTRAÇÃO EM UMA BACIA Para conhecer da capacidade de infiltração média na área de uma bacia hidrográfica, utiliza-se a equação do balanço hídrico. Se forem conhecidos a precipitação e o escoamento superficial, poder-se-á calcular, por diferença, a capacidade de infiltração da bacia. Neste 60


4. Infiltração

procedimento admite-se que a evapotranspiração durante a chuva é muito pequena. Assim, f  i  QS A , onde QS é a vazão devida ao escoamento superficial e A é a área de drenagem da bacia hidrográfica. Na avaliação acima, acaba-se por incluir a interceptação e o armazenamento nas depressões do terreno no valor de f calculado. Para as pequenas bacias, o erro introduzido é menos significativo do que para as grandes bacias. Para fins de cálculo, pode-se organizar uma planilha de anotações como a da Tabela 4.2. Nesta tabela: coluna (4) = coluna (3)  área da bacia (corrigindo-se as unidades), coluna (5) = coluna (2)  intervalos correspondentes de tempo (corrigindo-se as unidades), coluna (6) = coluna (5)  coluna (4). Tabela 4.2 – Elementos de cálculo da capacidade de infiltração em uma bacia hidrográfica (1) (2) Tempo, Precipitação, t P (min) (mm)

(3) Escoamento Superficial, Q (m /s)

(4) Escoamento Superficial, qs (mm/h)

(5) Intensidade da chuva, i (mm/h)

(6) Capacidade de infiltração, f (mm/h)

EXEMPLO 4.1

Um experimento com simulador de chuva foi realizado para a determinação da equação de Horton para a capacidade de infiltração de um determinado solo. A chuva artificial foi produzida com uma intensidade constante de 38mm/h. O excesso, isto é, a quantidade não infiltrada (escoada superficialmente), foi recolhido nas canaletas que circundam a área de teste e conduzido para um reservatório, permitindo a determinação dos volumes não infiltrados ao longo do tempo. Um resumo dos resultados do teste é apresentado na Tabela 4.3. Tabela 4.3 – Dados do experimento com simulador de chuva t (min) i (mm/h) Vols ( )

0 38 0,00

6 38 0,00

10 38 1,93

14 38 7,96

18 38 14,99

22 38 23,92

26 38 34,55

30 38 45,68

34 38 57,71

38 38 69,84

42 38 82,17

Sabendo-se que a área de teste é de 10m 2 e que, após um longo tempo de ensaio, a vazão total na canaleta que conduz o excesso ao reservatório manteve-se constante e igual a 56m /s, ajustar a equação de Horton. Obs: o escoamento superficial teve início no instante t = 6min.

Solução Desprezando-se as perdas por evaporação, a equação do balanço hídrico para a área em questão produz os valores das taxas reais instantâneas de infiltração: i  t  A  Q  t  Vol

ou i

Q A



1 Vol A

t

.

(02)

O termo do 2o membro da Eq. (02) representa a taxa real de infiltração, sendo Vol o volume infiltrado num intervalo de tempo t. 61

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior Fazendo q s = Q/A e h=Vol/A, tem-se i  qs 

4. Infiltração

h , t

(03)

com h representando a altura da lâmina infiltrada no intervalo t. Para obter as taxas reais de infiltração, constrói-se a Tabela 4.4. Note que a taxa real de infiltração só representa a capacidade de infiltração a partir do momento em que se tem a saturação da camada superficial do solo, identificado no problema como o instante em que passa a ocorrer o escoamento superficial (isto é, para t  6min, f = h/t). Uma visualização gráfica dos resultados encontrados é feita na Figura 4.5. Tabela 4.4 – Elementos de cálculo da capacidade de infiltração em teste com simulador de chuva t (min)

i (mm/h)

VolS ( )

0 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42

38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38

0 0 1,93 7,96 14,99 23,92 34,55 45,68 57,71 69,84 82,17

VolS ( )

0,00 1,93 6,03 7,03 8,93 10,63 11,13 12,03 12,13 12,33

Q= VolS/ t ( /h)

qs=Q/A (mm/h)

h/ t (mm/h)

= t t0 (min)

f (mm/h)

0,00 0,00 28,95 90,45 105,45 133,95 159,45 166,95 180,45 181,95 184,95

0,00 0,00 2,895 9,045 10,545 13,395 15,945 16,695 18,045 18,195 18,495

38,00 38,00 35,105 28,955 27,455 24,605 22,055 21,305 19,955 19,805 19,505

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

38,00 35,105 28,955 27,455 24,605 22,055 21,305 19,955 19,805 19,505

40

i

f

30

) h / m m20 ( f , q , i 10

q

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

tempo, t (min)

Figura 4.5 – Evolução temporal da intensidade da precipitação, do deflúvio superficial e da capacidade de infiltração.

A equação de Horton deve, então, ser ajustada aos dados das duas últimas colunas da Tabela 4.4. Assim, da Eq. (01): f  f C  f 0  f C exp  k 

. 62


4. Infiltração

Com os da Tabela 4.4, f 0 = 38mm/h e  = t – 6min. Uma informação adicional fornecida no problema é que, para t (ou ) grande, Q = 56m /s  qs = 20,16mm/h. Da Eq. (03), para q s = constante, h/t = constante = f C. Isto é, f C = 38,00 – 20,16 = 17,84mm/h. Portanto, conhecidos f 0 e f C, o problema se resume a obter o parâmetro k da equação de Horton. A Eq. (01) pode ser rearranjada e escrita na forma:  f  f C    k   , f f  C   0

(04)

ln

ou  f  f C    k    log e f f  C   0

(05)

log 

do tipo Y = k . O coeficiente k pode, então, ser obtido graficamente, ou por meio de análise de regressão pelo método dos mínimos quadrados. Do gráfico da Figura 4.6, com as ordenadas em escala logarítmica, tem-se: - para t1 = 5min  y1 = (f-f C)/(f 0-f C) = 0,72, e - para t2 = 25min y2 = (f-f C)/(f 0-f C) = 0,16. Da Eq. (04), ln 0,72 = -k 5 e ln 0,16 = -k 25 donde, ln (0,72/0,16) = k  (25-5)  k = 0,075min-1 = 4,5h-1. f  17 ,84  38 ,00  17 ,84 exp  4,5

f = 17,84  20,16 exp  4,5 com f em mm/h para  em h.

1

) C f 0 f ( / ) C f - 0,1 f ( = y

0,01 0

10

20

30

40

(min)



Figura 4.6 – Visualização da evolução da capacidade de infiltração ao longo do tempo e linha de melhor ajuste do modelo de Horton.

63


4. Infiltração

EXERCÍCIOS 4.1) Trace, qualitativamente, a evolução da capacidade de infiltração de um solo com o tempo de ocorrência de uma chuva de intensidade constante, identificando dois parâmetros da equação de Horton. 4.2) Que fatores afetam a capacidade de infiltração de um solo? 4.3) Um solo tem equação de infiltração de Horton dada por f  9 ,1  7 ,5  e 0,11t , sendo f medido em mm/h e t em h. Sabendo-se que, para a região, a equação de chuvas intensas é do tipo 0 ,78 i  1500 Tr 0 ,12 25  t d  , com i em mm/h, Tr em anos e t d em minutos, pede-se: a) a probabilidade de que este solo seja inundado em um ano qualquer por uma chuva de duração t d = 12h; b) a duração de uma chuva de 10 anos de recorrência, capaz de inundar o solo em questão. R: a) P{X x}=0,43%; b) td=7,23h

4.4) Durante um certo ano, os seguintes dados hidrológicos foram coletados numa bacia hidrográfica de 350km 2 de área de drenagem: precipitação total de 850mm, evapotranspiração total de 420mm e escoamento superficial de 225mm. Calcule o volume de infiltração, em metros cúbicos, desprezando as variações no armazenamento superficial da água. 4.5) Considere os dados das tabelas abaixo. Com base nestes, ajustar a equação de Horton. t (min) i (mm/h) t (min) h (mm)

0 0,00

0-6 38

6-10 55 6 3,80

10-14 55 10 6,14

14-18 55

14 8,07

18-22 55

18 9,90

22-26 55

22 11,54

26-30 55

26 13,01

30-34 55

30 14,43

34-38 55

34 15,76

38-42 55

38 17,08

42 18,38

R: f 17,96 (38,00 17,96) exp( 4,478 t)

h=lâmina infiltrada (acumulada)

4.6) A capacidade de infiltração de uma pequena área de solo no início de uma chuva era de 4,5mm/h, e decresceu exponencialmente, seguindo a lei de Horton, até praticamente atingir o equilíbrio no valor de 0,5mm/h depois de 10h. Sabendo-se que um total de 30mm de água infiltrou-se durante o intervalo de 10h, estimar o valor do parâmetro k de Horton. R: k 0,103 h-1 4.7) Para o estudo da infiltração em um solo foi realizado um experimento em que se utilizou de um simulador de chuva em uma área retangular de 4m x 12,5m. A duração desta chuva foi tal que gerou um escoamento superficial praticamente constante de 0,5 /s. Sabendo-se que a intensidade da chuva artificial era de 50mm/h, pede-se: a) o escoamento superficial, em mm/h, e a capacidade de infiltração mínima encontrada no experimento; b) o valor da constante de Horton, considerando que 10 horas após o início da produção do escoamento superficial a R: a) hs=36mm/h, f mín=14mm/h; b) k=0,1h-1. capacidade de infiltração era de 27,2mm/h. 4.8) Estime a taxa de infiltração em um determinado solo na cidade de Ouro Preto, ao final de uma chuva de projeto. Sobre esta chuva sabe-se que a sua duração é de 8h e a probabilidade de que sua intensidade seja superada em cada ano é de 20%. A respeito do solo em questão sabe-se que o parâmetro de Horton vale k=0,667h -1 e que, após três horas de precipitação, sua capacidade de infiltração cai à metade do seu valor inicial. A tabela abaixo representa a análise de Pfafstetter para as chuvas de 8 horas em Ouro Preto. 1 2 3 4 5 10 15 20 Tr (anos) 52 63 67 70 75 87 92 99 P (mm) Obs: Admitir a ocorrência do encharcamento imediato da camada superficial do solo com o início da chuva. R: f 8=3,98mm/h

64


5. Evaporação-Evapotranspiração

5. EVAPORAÇÃO-EVAPOTRANSPIRAÇÃO 5.1 EVAPORAÇÃO E TRANSPIRAÇÃO: GENERALIDADES A evaporação é o processo natural pelo qual há transformação em vapor da água da superfície do solo e dos cursos d’água, lagos e mares. A transpiração é a perda de água para a atmosfera em forma de vapor, decorrente de ações físicas e fisiológicas dos vegetais. É a “evaporação” devida à ação fisiológica dos vegetais : neste processo, a vegetação, através das raízes, retira a água do solo e a transmite à atmosfera por ação de transpiração de suas folhas. O fenômeno depende dos estômatos 1, da profundidade da zona efetiva das raízes e do tipo de vegetação. A evapotranspiração representa o conjunto das ações de evaporação da água do solo e transpiração dos vegetais. As informações quantitativas dos processos de evaporação / evapotranspiração são utilizadas na resolução de numerosos problemas que envolvem o manejo das águas, notadamente na agricultura, na previsão de cheias e na construção e operação de reservatórios (cálculos das perdas de água em reservatórios, cálculo da necessidade de irrigação, aplicação de balanços hídricos para a obtenção do rendimento hídrico em bacias hidrográficas, abastecimento urbano, etc.). Da precipitação que cai sobre os continentes, mais da metade retorna à atmosfera através da evapotranspiração. Em regiões áridas há possibilidade de grande perda de água armazenada em reservatório por efeito da evaporação.

5.2 GRANDEZAS CARACTERÍSTICAS A evaporação, a transpiração, e a evapotranspiração são medidas em termos da altura da coluna de líquido que se transforma em vapor. Esta altura corresponde ao líquido suposto uniformemente distribuído pela área planimétrica em estudo (lago, solo, bacia, etc.). A medida é, normalmente, feita em mm. A intensidade da evaporação, ou da transpiração, ou dos fenômenos conjuntos (evapotranspiração), é a medida da velocidade com que se processam as perdas por transformação do líquido em vapor. Expressa-se, normalmente, em mm/h, mm/dia, mm/mês ou mm/ano. 5.3 FATORES INTERVENIENTES E ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS Na evaporação da água de tanques, reservatórios ou similares, em temperaturas próximas de 20C, consomem-se aproximadamente 585cal/g. 2 Essa quantidade representa o calor latente de 1 Estômatos:

pequenas aberturas na epiderme foliar e caulinar, que se abrem internamente em um sistema de canais aeríferos que permitem as trocas gasosas necessárias à vida da planta. O estômato é formado por duas células reniformes, que se afastam ou se aproximam, abrindo ou fechando o ostíolo (abertura do órgão vegetal). 2 Para evaporar, ao nível do mar e à temperatura ambiente, cada grama de água requer aproximadamente 585 calorias (2445 joules). Com o aumento da temperatura, ou redução da pressão (altitude), diminui a energia requerida. Essa energia é chamada calor latente de vaporização da água.

65



vaporização da água, que é uma função da temperatura e da pressão, em menor escala. Na natureza, a fonte de energia responsável por esse processo é o Sol. A evaporação também pode ser controlada pelas condições da superfície a partir da qual ela se processa. Assim, além da radiação solar, outras variáveis exercem influência no processo da evaporação, destacando-se as temperaturas da água e do ar, a pressão de vapor e o vento.

Intensidade da evaporação e umidade relativa do ar. A lei de Dalton A intensidade da evaporação, segundo a lei de Dalton (1928), é uma função direta da diferença entre a pressão de saturação do vapor d’água no ar atmosférico e a pressão atual do vapor d’água. Esta lei pode ser expressa na forma : 

E





C  eS



e



(01)

em que E = intensidade da evaporação; eS = pressão parcial de vapor saturado à temperatura da superfície evaporante (pressão de saturação do vapor d’água, que é uma propriedade física da água, dada na Tabela 5.1 em função da temperatura); e = pressão parcial do vapor d’água na camada de ar adjacente, normalmente tomada a 2m acima da superfície; e C = coeficiente que leva em conta os fatores que influem na evaporação, normalmente escrito, em alguns modelos, como uma função da velocidade do vento. Tabela 5.1 – Pressão de saturação do vapor d’água, em mb ar e em mm-Hg, em função da temperatura em C T C

T

mbar

mm-Hg

C

mbar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6,11 6,57 7,05 7,58 8,13 8,72 9,35 10,02 10,72 11,48 12,28

4,58 4,93 5,29 5,69 6,10 6,54 7,01 7,52 8,04 8,61 9,21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

13,13 14,03 14,98 15,99 17,06 18,19 19,38 20,65 21,98 23,40 24,88

eS

mm-Hg

T C

mbar

mm-Hg

9,85 10,52 11,24 11,99 12,80 13,64 14,54 15,49 16,49 17,55 18,66

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

26,46 28,11 29,86 31,70 33,64 35,69 37,84 40,10 42,48 44,97 47,60

19,85 21,08 22,40 23,78 25,23 26,77 28,38 30,08 31,86 33,73 35,70

eS

eS

T C

mbar

mm-Hg

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

50,36 53,26 56,30 61,14 62,83 66,34 70,01 73,85 77,88 82,10 86,51 91,12

37,77 39,95 42,23 45,86 47,12 49,80 52,51 55,39 58,41 61,58 64,88 68,34

eS

As pressões de vapor presentes na Eq. (01) são relacionadas através do conceito de umidade relativa. Por umidade relativa do ar, UR, entende-se a relação percentual entre a quantidade de umidade em um dado espaço e a quantidade de umidade que esse espaço poderia conter se estivesse saturado. Isto é, UR 

  100% , S

(02)

sendo  a massa específica do vapor d’água e S a massa específica do vapor de saturação. Da lei dos gases ideais, e   R H2O T , donde 66

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior UR 

e eS


%.

(03)

 100

Combinando-se as equações (01) e (03), obtém-se a expressão da intensidade da evaporação em termos de eS e da umidade relativa do ar: E

UR    C  e S  1  .  100% 

(04)

A Eq. (04) mostra que quanto maior a umidade relativa do ar, menor a intensidade da evaporação. No limite, para o ar saturado, a evaporação é nula. 3 Para a medida da umidade relativa do ar são utilizados aparelhos denominados psicrômetros. Um tipo comum de psicrômetro utiliza dois termômetros: um de bulbo seco e outro de bulbo úmido (bulbo envolto em gaze saturada de água). Devido à evaporação resultante, a temperatura do bulbo úmido tende a ser menor do que a temperatura do bulbo seco. A diferença em graus entre as duas leituras dos termômetros, chamada depressão do termômetro de bulbo úmido, fornece diretamente a umidade relativa (Tabela 5.2).

Influência da ação do vento O transporte de vapor d’água para a atmosfera se dá por difusão molecular e, principalmente, pelos turbilhões do movimento turbulento do ar. Em ar parado, a diferença da pressão do vapor diminui rapidamente, praticamente anulando a evaporação 4. A ação do vento, principalmente, e também a convecção térmica geram a turbulência que afasta o vapor das camadas em contato com a superfície da água. Assim, o vento atua no fenômeno da evaporação renovando o ar em contato com a superfície da água (ou com a vegetação), afastando do local as massas de ar que já tenham grau de umidade elevado. Inexistindo o vento, o processo de evaporação cessaria tão logo o ar junto à superfície evaporante atingisse a saturação, uma vez que estaria esgotada sua capacidade de absorver vapor d’água. 

Efeito da temperatura da água e do ar e outros fatores Ao aumento da temperatura da água está associado o aumento da energia vibracional das suas moléculas e, consequentemente, o aumento da taxa de escape das moléculas da fase líquida para a fase vapor. Por isso, o aumento da temperatura da água correlaciona-se diretamente com o aumento da taxa de evaporação. A temperatura do ar está relacionada à radiação solar e correlaciona-se positivamente com a evaporação, isto é, quanto maior a temperatura do ar maior a evaporação. Assim ocorre porque com o aumento da temperatura do ar tem-se o aumento na quantidade de vapor d’água que pode estar presente num dado volume, quando for atingido o grau de saturação deste. Outros fatores, de menor importância, também exercem influência na evaporação. Dentre estes citam-se a pressão atmosférica e a salinidade da água. O aumento da altitude, ou redução da pressão barométrica, tem como consequência um pequeno aumento na evaporação. Os sais dissolvidos reduzem a pressão do vapor de uma superfície de água. Por isso, as águas salgadas evaporam mais devagar que as águas doces: a redução é de cerca 1% em cada 1% de sais dissolvidos. 

3 Isto

é, o ar deve ter “capacidade” para receber as moléculas de água na forma de vapor, ou seja, o ar não deve estar saturado. 4 Na realidade, o processo fica limitado pelo vapor difundido na atmosfera, proveniente da superfície das águas.

67



Tabela 5.2 – Umidade relativa do ar, em %, em função da temperatura e da depressão do termômetro de bulbo úmido, em C UR (%) Depressão do termômetro de bulbo úmido ( C)

Tar

C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

91 92 92 92 93 93 93 93 94 94 94 94 94 95 95 95 95 95 95 95 95 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97

81 83 84 84 85 86 86 87 87 88 88 89 89 89 90 90 90 90 91 91 91 91 92 92 92 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94

72 75 76 77 78 79 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 86 86 87 87 87 87 88 88 88 88 89 89 89 89 90 90 90 90 90 90 90 91 91 91 91 91 91 91

63 66 68 70 71 72 73 74 75 76 77 78 78 79 79 80 81 81 82 82 82 83 83 84 84 84 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 88 88 88 88 89

54 58 60 62 64 65 67 68 69 70 71 72 73 74 75 75 76 76 77 78 78 79 80 80 80 81 81 82 82 82 83 83 83 83 84 84 84 84 84 85 85 86 86 86 86

46 49 52 55 57 58 60 62 63 64 66 67 68 69 70 71 71 72 73 74 74 75 76 76 77 77 78 78 78 79 79 80 80 80 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83

37 41 44 47 50 52 54 56 57 59 60 61 63 64 65 66 67 68 69 70 70 71 72 72 73 74 74 75 75 76 76 77 77 77 78 78 78 79 79 79 80 80 80 80 81

28 33 37 40 43 45 48 50 51 53 55 56 58 59 60 61 63 64 65 65 66 67 68 69 69 70 71 71 72 72 73 73 74 74 75 75 76 76 76 77 77 77 77 78 78

21 25 29 33 36 39 41 44 46 48 50 51 53 54 56 57 58 60 61 62 62 64 64 65 66 67 67 68 69 69 70 70 71 71 72 72 73 73 74 74 74 75 75 75 76

12 17 22 26 29 33 35 38 40 42 44 46 48 50 51 53 54 55 57 58 58 60 61 62 62 63 64 65 65 66 67 67 68 68 69 69 70 70 71 71 72 72 73 73 73

4 10 14 19 22 26 29 32 35 37 39 41 43 45 47 48 50 51 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 62 63 64 64 65 66 66 67 67 68 68 69 69 69 70 70 71

7 12 16 20 24 26 29 32 34 36 39 41 42 44 46 47 49 50 51 53 54 55 56 57 58 58 59 60 61 61 62 63 63 64 64 65 66 66 67 67 67 68 68

5 9 13 17 21 24 27 29 32 34 36 38 40 42 43 45 46 48 49 50 52 53 54 54 56 56 57 58 59 60 60 61 61 62 63 63 64 64 65 65 66 66

7 11 15 19 22 24 27 29 32 34 36 38 40 41 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 57 58 59 59 60 61 61 62 62 63 63 64

5 10 14 17 20 22 25 28 30 32 34 36 38 39 40 42 44 45 46 47 49 50 51 52 52 53 54 55 56 56 57 58 58 59 59 60 60 61 61

8 12 15 18 21 23 26 28 30 32 34 36 37 39 40 42 43 44 46 47 48 49 50 51 51 52 53 54 54 55 56 57 57 58 58 59 59

7 10 13 16 19 22 24 26 28 30 32 34 36 37 39 40 41 43 44 45 46 47 48 49 50 51 51 52 53 54 54 54 55 56 57 57

6 9 12 15 18 20 23 25 27 29 30 32 34 36 37 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 51 52 53 53 54 54 55

5 8 11 14 16 19 21 23 26 27 29 31 33 34 36 37 38 40 41 42 43 44 45 46 47 48 48 49 50 51 51 52 52 53

7 10 13 15 18 20 22 24 26 28 30 31 33 34 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 48 49 50 50 51

68

6 9 12 14 17 19 21 23 25 27 29 30 32 33 34 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 46 47 48 48 50

6 8 11 14 16 18 20 22 24 26 28 29 30 31 33 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 44 45 46 46 47

5 8 10 13 15 17 19 21 23 25 26 28 29 31 32 33 35 36 37 38 39 40 41 42 42 43 44 44 45

7 10 12 14 16 18 20 22 24 26 27 28 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 43



No caso da evaporação da superfície de lagos, a profundidade também exerce influência na evaporação: ao aumento da profundidade corresponde uma maior diferença entre as temperaturas da água e do ar. Na evaporação de uma superfície de solo descoberto tem-se, ainda, a influência da composição, textura e umidade do solo. A existência de vegetação diminui as perdas por evaporação. Essa diminuição, contudo, é compensada pela ação da transpiração vegetal, que pode mesmo aumentar a perda total pelos processos combinados de evaporação e transpiração (evapotranspiração). A evapotranspiração, aqui considerada como a perda de água por evaporação do solo e pela transpiração dos vegetais, é importante para o balanço hídrico de uma bacia hidrográfica 5.

5.4 MÉTODOS DE QUANTIFICAÇÃO DA EVAPORAÇÃO Os métodos normalmente utilizados para se determinar a evaporação de um corpo d’água são a medida direta, a aplicação da equação do balanço hídrico e as estimativas por meio de equações de natureza conceitual, empírica e semiempírica. 5.4.1 BALANÇO HÍDRICO PARA A EVAPORAÇÃO A aplicação do balanço hídrico (equação da conservação da massa) para um lago ou um reservatório permitirá a obtenção da evaporação se todas as demais variáveis envolvidas forem conhecidas. Para um intervalo de tempo t, a equação do balanço escreve-se como i  A  Q ent

 Q sai  E  A 

Vol t

,

(05)

onde Qent e Q sai são as vazões de entrada e saída do reservatório, respectivamente, i é a intensidade da precipitação diretamente sobre o reservatório, E é a intensidade da evaporação, Vol é o volume de água contido no reservatório ( Vol = Volfinal – Volinicial) e A é a área do reservatório (área do espelho d’água). Da Eq. (05), E i

Q ent  Qsai  A



1

Vol

A

t

.

(06)

Para a solução da Eq. (06), é necessário conhecer ainda a relação entre área e volume. Normalmente, dispõem-se de tabelas que correlacionam A e Vol, ou determinam-se relações do tipo b Vol a A , com a e b constantes. 



O uso prático da Eq. (06) é muitas vezes limitado pela dificuldade de se medir as demais variáveis, principalmente as contribuições diretas que chegam ao reservatório, de difícil determinação. De maneira geral, constituem fontes de incerteza a distribuição espacial da precipitação, as relações entre cota, área e volume, as curvas-chave 6 dos extravasores e do rio afluente e as trocas com o lençol d’água subterrâneo (estas não consideradas na Eq. 06).

Exemplo 5.1 Em uma bacia hidrográfica, o total precipitado do mês de janeiro foi de 154mm, enquanto a vazão média de água drenada pelo rio principal, neste mesmo período, foi de 24m 3/s. Sabe-se que este rio drena 75% da bacia total que escoa para um reservatório e que, com base nas operações deste 5

A evapotranspiração tem especial importância no balanço hídrico agrícola, sendo determinante no cálculo da necessidade de irrigação, como já mencionado. 6 As curvas-chave relacionam as vazões com as cotas do nível d’água.

69



reservatório, ocorreu no mês de janeiro uma vazão média de saída da bacia de 49m 3/s. Tendo-se em conta que os volumes armazenados no início e no final do mês eram, respectivamente, de 288x106m3 e 244x106m3, estimar a evaporação no reservatório com base na equação do balanço hídrico. Dado: relação entre o volume e a área do espelho d’água do reservatório, con forme a tabela abaixo. Área (km2) Volume 106 (m3)

10 10

x

30 60

60 155

90 305

110 440

Solução: Com os dados do problema, i=154mm/mês, Q ent = 24m3/s + Qlat, sendo Q lat a contribuição lateral de entrada direta no lago, Q sai = 49m3/s, Volfinal = 244 106m3 e Volinicial = 288 106m3. Para a aplicação da Eq. (06) é necessário calcular a contribuição lateral, Q lat, e a área do espelho d’água que, por ser variável, será admitida como igual à média nos limites do intervalo. Foi afirmado que o rio principal drena 75% da bacia total; consequentemente, os 25% restantes deverão corresponder à drenagem lateral. Logo, Q lat 24 0 25 0 75 8 m3/s. Portanto, Qent = 32m3/s. Para obter a área média do espelho d’água, é necessário conhecer o seu valor no início e final do intervalo. Para isso, pode-se estabelecer um modelo matemático de regressão que relacione A e Vol ou, simplesmente, obter os valores desejados de uma construção gráfica. Adotam-se, neste exemplo, os dois procedimentos. Na Figura 5.1, juntamente com a construção gráfica de Vol versus A, apresenta-se a equação de regressão obtida com os dados da tabela acima (a linha traçada não representa a equação de regressão). x

x





,



,

500 Equação de regressão: Vol = 0,169 x A1,67 ) 3

m 400 e d s e õ

lhi 300 m( o d a

n 200 e z a mr a e

m 100 ul o v

0 0

20

40

60

80

100

120

área do espelho d'água (km2)

Figura 5.1 – Visualização gráfica da área do espelho d’água em função dos volume armazenado (Exemplo 5.1).

Da Figura 5.1, para Vol inicial = 288x106m3  Ainicial  87km2; e para Vol final = 244x106m3  Afinal  80km2. Assim, A  Ainicial  A final  2  83 5 km2. Levando-se estes valores à Eq. (06) e convertendo-se as unidades para obter E em mm/mês, tem-se ,

E  154 

32  49  109  31 24  3600 83 5  10 ,

6

 10

6



1 83 5  10 ,

70

6

 10

6



244  288  10 6  109 1



 E

=154  545  527 = 136mm/mês. Numa segunda solução, em que se emprega o modelo de regressão cuja equação é mostrada no gráfico da Figura 5.1 (A em km 2 e Vol em hm 3), a área média do espelho d’água é igual a aproximadamente 83km2. Assim, com A 83 km2, encontra-se 

E = 154  549  530 = 135mm/mês, que é sensivelmente igual ao resultado anterior. 

5.4.2 MEDIDA DIRETA DA EVAPORAÇÃO Para a medida direta da evaporação de uma superfície líquida ou do solo, vegetado ou não, existem vários tipos de instrumentos, que visam fornecer de maneira aproximada o valor da grandeza em questão. Uma descrição geral de cada instrumento tornaria este texto por demais extenso, e pouca vantagem ofereceria para o desenvolvimento do curso. Por isto, aqui são descritos sumariamente alguns poucos instrumentos destinados à medida direta da evaporação da superfície da água. (Na seção 5.5.2 complementa-se com os instrumentos para a evaporação da superfície do solo úmido, para a transpiração e, conjugadamente, para a evapotranspiração). Os aparelhos destinados à medida direta da evaporação são, genericamente, denominados evaporímetros. Os mais conhecidos são os atmômetros e os tanques de evaporação. Os atmômetros são instrumentos para a medida da evaporação que se processa em uma superfície porosa. Esses equipamentos dispõem de um recipiente com água que se comunica com a superfície porosa que, por sua vez, se expõe ao ar. Dentre os mais conhecidos destacam-se o de Piché (papel de filtro como superfície porosa) e o de Livingstone (cerâmica porosa). Embora de baixo custo, fácil instalação e operação, os atmômetros produzem resultados pouco confiáveis: o balanço energético do aparelho difere do balanço da superfície livre de água (e do solo descoberto ou vegetado), pois a energia da evaporação provém da radiação, do transporte de calor sensível e da condução de calor através do recipiente de abastecimento. Além disso, a superfície evaporante deve ser mantida limpa, pois sujeiras afetam significativamente a taxa de evaporação (por isso, são muitas vezes instalados dentro de abrigos). Os tanques de evaporação são recipientes achatados, metálicos, em forma de bandeja e de seção quadrada ou circular, contendo água em seu interior e instalados sobre o solo nas proximidades da massa de água (ou flutuando sobre esta) cuja intensidade de evaporação se quer medir. As características normais de um tanque de evaporação são:  diâmetro ou lado do quadrado: de 0,90m a 2,00m,  altura do recipiente: de 0,25m a 1,00m,  altura da borda livre do recipiente (sobre o nível de água interno): 5cm a 10cm. O tanque de evaporação mais usado em nível mundial é o tanque classe A7, mostrado na Figura 5.2, que tem a forma circular com um diâmetro de 1,22m, altura de 25,4cm, mantendo a borda livre variando entre 5,0 e 7,5cm. A quantidade de água evaporada é medida diariamente por uma ponta limnimétrica, ajustada por parafuso micrométrico e com extremidade em gancho.

7 Tanque

classe A do U. S. National Weather Service .

71



Figura 5.2 – Tanque Classe A e Anemômetro ( U.S. National Weather Service)

A evaporação medida pelo tanque supera a que ocorre na superfície do reservatório. Este fato, evidenciado na prática e também comprovado teoricamente, se deve, sobretudo, à diferença de temperatura da água nos dois casos. O pequeno volume de água no evaporímetro e o metal exposto ao sol contribuem para substanciais variações de temperatura da água, à medida que se altera a temperatura do ar e a radiação solar. A grande massa de água em um lago e o efeito estabilizador das correntes de convecção e do solo, em volta do reservatório, têm como consequência uma amplitude menor na variação das temperaturas. O fator que relaciona a evaporação de um reservatório e do tanque classe A oscila entre 0,6 e 0,8, sendo 0,7 o valor mais utilizado. 8 Convém observar, ainda, que numa estação medidora da evaporação realiza-se, ao mesmo tempo, a medida das grandezas que têm influência neste fenômeno. Assim, são incluídos no equipamento da estação: termômetros, anemômetro, psicrômetro e um pluviômetro ou pluviógrafo.

5.4.3 MODELOS MATEMÁTICOS PARA A EVAPORAÇÃO Além da medição direta e da aplicação da equação do balanço hídrico, formulações matemáticas são utilizadas para quantificar a evaporação. As fórmulas que produzem estimativas para a intensidade da evaporação são modelos de natureza conceitual, empírica ou semiempírica que, normalmente, são obtidos da aplicação das leis de transferência de massa e do balanço de energia. 5.4.3.1 MODELOS BASEADOS NA TRANSFERÊNCIA DE MASSA PARA A EVAPORAÇÃO Os modelos denominados de transferência de massa, também chamados modelos aerodinâmicos, baseiam-se na lei de Dalton, definida pela Eq. (01), em que o coeficiente C é uma função da velocidade do vento e incorpora os efeitos aerodinâmicos do escoamento do vento sobre a superfície líquida. Na literatura encontram-se disponíveis várias expressões para a intensidade da evaporação que introduzem o efeito do vento no parâmetro C da Eq. (01). Algumas destas equações, válidas para intervalos de tempo superiores a 1 dia, são: 8 Em

regiões do semiárido, o coeficiente de correção da evaporação medida pelo tanque mais utilizado está em torno de

0,75.

72

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior 

Fórmula de Sverdrup (1946) E




0 ,623   a

2

   U8 2

p  ln800 r 

e 2  e8 

(07)

Fórmula de Thornthwaite e Holzman (1939) E

U 8  U 2  e 2  e8  2 p  ln800 200

0 ,623   a

2

 

(08)

Nas equações (07) e (08), E = evaporação, em cm/s; a = massa específica do ar, em g/cm 3;  = 0,41, constante de von Karman; U8 e U2 = velocidade do vento, em cm/s, a 8m e a 2m acima da superfície evaporante, respectivamente; p = pressão atmosférica, em mb9; e2 e e8 = pressão de vapor, em mb, a 2m e a 8m da superfície evaporante, respectivamente; r = altura da rugosidade da superfície evaporante, em cm. O uso prático das equações acima é limitado pela dificuldade de obtenção das variáveis envolvidas. Outras equações semiempíricas foram estabelecidas para algumas regiões e condições específicas, com base na equação aerodinâmica e no ajuste de regressão das variáveis envolvidas. Estas equações são escritas normalmente como E



a  b  U  e

S

e

,

(09)

isto é, com o coeficiente C da lei de Dalton posto como uma função linear da velocidade do vento (U). Esta velocidade é tomada a uma determinada altura acima da superfície líquida (em geral, a 2m da superfície) e os coeficientes a e b são obtidos empiricamente para o local de estudo. Algumas formulações do tipo da Eq. (09) são apresentadas abaixo. 

Equação de Meyer E

 11

1  0 062U  e ,

S



(10)

e

com E em mm/mês, U medido na estação meteorológica mais próxima, em km/h, e eS e e medidos em mm-Hg; 

Equação de Fitzgerald E

 12 

1  0 31U  e ,

S



(11)

e

com E em mm/mês, U medido rasante à superfície da água, em km/h, e com as pressões de vapor eS e e medidas em mm-Hg; 

Equação do U. S. Geological Survey (Equação do Lago Hefner) E

9 1mb



0 03594  U8 ,



e

S

 e8



(12)

= 0,750mm-Hg

73



com E em mm/dia, U 8 em km/h, e eS (à superfície da água) e e8 em mm-Hg. O índice 8 indica que as quantidades são medidas a 8m da superfície da água. A pressão de saturação do vapor, presente nas equações (09) a (10), é uma função da temperatura e pode ser obtida da Tabela 5.1, já apresentada, ou avaliada pela expressão de Tetens: eS



4,58  107,5T 237,3



T

(13)

com eS em mm-Hg e T (temperatura do ar) em C.

5.4.3.2 MODELOS BASEADOS NO BALANÇO DE ENERGIA PARA A EVAPORAÇÃO Para a estimativa da evaporação em um lago ou reservatório pode-se ainda utilizar o método do balanço de energia. O equacionamento básico é feito examinando-se um volume de controle como o da Figura 5.3, para o qual se consideram os diferentes processos que afetam a temperatura da água e a evaporação. Na Figura 5.3, os termos representados, com dimensão de energia por unidade de área e por unidade de tempo, têm os seguintes significados: q OC = radiação efetiva de ondas curtas; q in OL



q out OL



radiação atmosférica de ondas longas em direção à superfície líquida; radiação de ondas longas em direção à atmosfera;

fluxo de calor por condução entre a superfície e a atmosfera (calor sensível para a atmosfera), devido à difusão molecular e turbulenta; q e perda de calor por evaporação (calor latente); Hin = calor recebido pelo volume de controle, introduzido pela água afluente; Hout = calor que deixa o volume de controle, retirado pela água efluente; Hs = calor armazenado no volume de controle. qc





Figura 5.3 – Volume de controle em um lago e termos presentes no balanço de energia para o cálculo da evaporação da superfície líquida.

Para um determinado intervalo de tempo, a equação resultante da aplicação do balanço de energia é:



out H s  q OC  q in OL  q OL  q c  q e  H in  H out .

74

(14)



Desprezando-se a variação do armazenamento de calor ( Hs0) e a diferença entre os termos de transporte subsuperficiais (H in – Hout 0), tem-se q OC

q in OL





q out OL





qc



qe .

(15)

O primeiro membro da Eq. (15) corresponde à radiação líquida efetivamente absorvida pela superfície e será denotado por R líq: R líq

q OC





q in OL



q out OL

.

(16)

Assim, com as simplificações acima expostas, a Eq. (15) se reescreve como R líq

qc





qe .

(17)

Analisam, a seguir, separadamente, os dois termos do segundo membro da Eq. (17). Primeiramente, a transferência do calor latente devido à evaporação, q e, pode ser expressa como qe

 LE

,

(18)

sendo E a altura evaporada por unidade de tempo, L o calor latente de vaporização e  a massa específica do líquido. Em unidades usuais, q e mede-se em cal/(cm 2.dia) para  em g/cm3, L em cal/g e E em cm/dia. O outro termo da Eq. (17), que corresponde ao fluxo de calor sensível, q c, é de difícil quantificação. Por isso, para resolver a Eq. (17), Bowen propôs a seguinte relação: qc qe



TS

T

e S TS   e

(19)

sendo  conhecido como coeficiente psicrométrico, ou parâmetro de Bowen, T a temperatura do ar, TS a temperatura da superfície evaporante, e S a pressão de saturação do vapor à temperatura da superfície evaporante e e a pressão de vapor atual. O parâmetro de Bowen, também denominado constante psicrométrica, vale   0 66 mbar/C = 0,49mm-Hg/C. ,

O uso da Eq. (19) é dificultado pelo fato de que, na prática, se dispõe, em geral, apenas de dados da temperatura do ar, T, e da pressão parcial do vapor, e, não se conhece a temperatura da superfície evaporante. Para superar esta dificuldade, definiu-se a variável auxiliar : 

   e T  de  

e S TS

 S .  dT 

S

TS

T

(20)

Explicitando TS – T na Eq. (20) e substituindo na Eq. (19), tem-se qc qe



 eS TS   eS T   e S TS   e  eS T   e   eS T   e    1  . e S TS   e  eS TS   e    e S TS   e 

(21)

Segundo a lei de Dalton, a evaporação pode ser quantificada pela Eq. (01). Ainda segundo a lei de Dalton, para o caso hipotético da temperatura do ar igual à temperatura da superfície evaporante, define-se a evaporação em condições isotérmicas, ou poder evaporante à sombra, E i, como Ei



  

C eS T



e

.

(22)

Relacionando-se as equações (1) e (22), encontra-se Ei E



  e . T   e

eS T eS

(23)

S

75



Explicitando-se [eS(TS)  e] na Eq. (23), e substituindo na Eq. (21): qc qe



  E i  1   .   E 

(24)

Finalmente, levando-se as equações (24) e (18) na Eq. (17) e explicitando-se para E, encontra-se:

 R líq   Ei  L E      1   

(25)

em que, E = intensidade da evaporação, em cm/dia;  = massa específica da água, em g/cm 3 (  1g/cm3); L = calor latente de vaporização da água, função da temperatura, em cal/g (L entre 580 e 590cal/g); R líq = radiação efetiva de ondas curtas e longas, ou radiação líquida disponível, em cal/(cm 2.dia); Ei = poder evaporante à sombra (ou evaporação em condições isotérmicas), em cm/dia;  = variável auxiliar, que representa a medida da variação da pressão de saturação do vapor com a variação da temperatura, num ponto em que a temperatura é igual à temperatura do ar, em mmHg/C;  = constante psicrométrica ou constante de Bowen, aproximadamente igual a 0,49mm-Hg/ C. A Eq. (25) é, ainda, conhecida como expressão de Penman (1956) para a evaporação 10. Apresentam-se, a seguir, os procedimentos para a avaliação de cada um dos termos da Eq. (25). 

Quantidade : A avaliação da quantidade / (adimensional) pode ser feita a partir da equações (13) e (20):

 deS dTTTa 38640  107 5T 237 3T    ,   237 3  T 2 ,

,

(26)

,

para T = Ta = temperatura do ar, em C. Termo da radiação líquida efetivamente absorvida pela superfície, R líq: Uma fórmula de uso corrente para estimar a radiação de ondas curtas e longas efetivamente absorvidas pela superfície evaporante é: 

R líq

n   R t        1  a   T 4 0 56  0 09 N   ,

,

e

   b  c Nn  



(27)

onde R líq = radiação efetivamente absorvida pela superfície, em cal/(cm 2dia); R t = radiação de ondas curtas no topo da atmosfera terrestre, valor tabelado em função da latitude e da época do ano (dados na Tabela 5.3 em cal.cm -2.dia-1);  e  = parâmetros corretivos, introduzidos para considerar o conteúdo de vapor d’água na atmosfera, a altitude e a espessura das nuvens, variáveis de local para local. A título de 10 Por

combinar os métodos do balanço de energia e aerodinâmico, o método que resulta na equação de Penman é também conhecido como método combinado .

76



ilustração, alguns valores destes parâmetros são fornecidos na Tabela 5.4. Na prática, na ausência de dados, sugere-se utilizar as informações de postos climatológicos de locais com características de cobertura de nuvens e latitude semelhantes; n = insolação efetiva, isto é, número efetivo de horas de brilho solar diário (obtido com aparelhos denominados heliógrafos); N = duração máxima da insolação diária, medida em horas. É função da latitude e do período do ano (dados na Tabela 5.5); a = albedo, isto é, razão entre as parcelas da radiação de onda curta refletida e incidente: a



R  R 

refl OC

R 

refl OC



.

(28)

       N   Para a água, o albedo varia de 0,03 a 0,10, aproximadamente.  = constante de Stefan-Boltzman:  = 5,72 10-8W/(m2K 4) = 1,19 10-7cal/(cm2diaK 4); T = temperatura absoluta (Kelvin); e = pressão de vapor (normalmente medida a 2 metros acima da superfície evaporante), em mm-Hg; b e c = coeficientes introduzidos para considerar o efeito das nuvens para a radiação de onda longa. Segundo Penman, b  0,1 e c  0,9. Ei = poder evaporante à sombra que, segundo Penman, pode ser estimado de inc

OC

R t

n

x

Ei

x

U    0 035   0 5  2   e S  e 160   ,

(29)

,

com Ei em cm/dia para U 2, a velocidade do vento a 2 metros acima da superfície evaporante, em km/dia, e as pressões de vapor e S e e em mm-Hg. De todo o exposto e de uma forma resumida, para a aplicação do método combinado (equação de Penman) são necessários: 1. a temperatura média do ar, T; 2. a umidade relativa do ar; 3. a radiação solar (cal cm-2dia-1). No caso de não existir esta informação, pode-se utilizar a equação ajustada, com coeficientes mais representativos; 4. o número de horas de incidência solar, real, obtido com heliógrafos; 5. o número máximo de horas de insolação, função da latitude e da época do ano (Tabela 5.5); 6. a velocidade do vento a 2m de altura. O método de Penman, conforme apontado por Linsley, Kohler e Paulhus (1975), ao considerar a temperatura da superfície evaporante igual à temperatura do ar para o termo de radiação, superestima a evaporação para condições calmas e úmidas e a subestima para condições secas e de ventos.

Exemplo 5.2 Usando a equação de Penman, estimar a evaporação média de um reservatório localizado na latitude 23S, no mês de fevereiro. Dados disponíveis: - temperatura média, T = 23 C; - umidade relativa do ar, UR = 66%; - incidência solar, medida com heliógrafo, n = 6,82h; 77



- velocidade do vento a 2m de altura, U 2 = 4m/s; - albedo, a = 0,05; - parâmetros para o local,  = 0,24 e  = 0,58.

Solução A intensidade da evaporação, em cm/dia, segundo Penman, pode ser estimada da Eq. (25):

  R líq       E i    1   L     Para a solução do problema, calculam-se os termos da equação de Penman com base nos dados fornecidos. E  



Cálculo da radiação líquida efetivamente absorvida pela superfície evaporante, R líq, conforme a Eq. (27) R líq

n   R t        1  a   T 4 0 56  0 09 N   ,

e

,

   b  c Nn  



- Da Tabela 5.3, para a latitude 23 S, mês de fevereiro, R t = 932cal/(cm2dia); -  = 0,24 e  = 0,58 (dados); - n = 6,82h (dado, medido com heliógrafo); - da Tabela 5.5, para a latitude 23 S, mês de fevereiro, N = 12,85h (interpolado); - albedo, a = 0,05 (dado); - constante de Stefan-Boltzman,  = 1,19x10-7cal/(cm2diaK 4); - temperatura absoluta, T = 23 + 273 = 296K; - pressão de saturação do vapor à temperatura de 23 C (Tabela 5.1): eS =21,08mm-Hg; - umidade relativa do ar (dado), UR = 66%. Da Eq. (03), e = (e SUR /100%)=13,91mm-Hg. Portanto,  

R líq  932 0 24  0 58 ,

,

  1  0 05  119  10 12 85  ,

,

7

,

,

R líq 

6 82 



366 ,67cal / cm2 dia

6 82    2964 0 56  0 09 13 91   0 1  0 9  12 85  



,

,

,



Cálculo do termo  pela Eq. (26): ,



,

,

 

 2 62 ,



Cálculo do poder evaporante à sombra, E i, pela equação (29):

-

U    0 035   0 5  2   e S  e 160   Velocidade do vento, U = 4m/s = 345,6km/dia; Ei

Ei

,

,

345 ,6   0 ,035    0 ,5    21 ,08  13,91 160  

78

,

,

.

38640  7 523 237 3 23 10  2  237 3  23

,

,



Ei



0 ,667cm / dia



Portanto, E

366 67     2 62   0 667  2 62  1 =0,634cm/dia  E = 6,34mm/dia 1  590   ,

,

,

,

O total evaporado no mês de fevereiro (28 dias) seria, então, igual a aproximadamente 177,5mm/mês.

Tabela 5.3 – Valores da radiação solar recebida no topo da atmosfera terrestre, R t latitude 2N

jan

fev

mar

abr

R t, cal/(cm2 dia) mai jun jul

832

867

885

861

826

802

814

844

873

867

838

814

Equador

850

879

885

856

808

785

797

832

867

873

856

832

2S 4S 6S 8S 10 S

861 879 897 909 920

885 897 903 909 920

885 885 885 879 873

850 838 826 814 802

791 779 755 738 720

767 749 732 708 684

779 755 743 720 702

820 808 797 779 767

867 861 861 856 850

879 885 897 897 897

873 885 897 909 915

850 873 890 903 920

12 14 16 18 20

S S S S S

938 950 956 968 979

920 926 932 932 932

867 861 856 850 838

791 773 755 743 720

696 679 661 637 614

661 637 614 590 566

684 661 637 620 596

755 738 720 702 684

838 838 826 814 802

897 903 903 903 897

826 838 944 956 962

832 944 956 974 985

22 24 26 28 30

S S S S S

991 991 997 1003 1003

932 932 926 920 920

826 814 802 791 779

702 684 661 643 620

590 566 543 519 496

543 519 496 460 437

572 549 519 496 472

661 643 625 602 578

791 779 761 743 732

897 897 891 885 873

968 968 974 979 979

991 1003 1015 1021 1027

32 34 36 38 40

S S S S S

1009 1009 1009 1009 1003

909 903 897 885 879

767 743 732 714 690

596 578 555 531 507

472 448 419 389 360

407 378 354 330 295

448 313 389 366 336

555 531 507 484 460

714 696 673 649 631

867 861 850 838 826

979 979 979 974 968

1033 1038 1038 1044 1044

Tabela 5.4 – Valores característicos dos parâmetros

ago

set

out

nov

dez

e da equação de Penman para algumas regiões

Local

Washington Inglaterra São Paulo Rio Grande do Sul Clima temperado Clima tropical

0,220 0,180 0,240 0,230 0,200 0,280

79

0,780 0,436 0,580 0,480 0,530 0,480



Tabela 5.5 – Valores da duração máxima da insolação diária, N, em função da latitude e época do ano latitude 2N

jan

fev

mar

abr

N (horas) mai jun

12,0

12,0

12,1

12,2

12,2

Equador

12,1

12,1

12,1

12,1

2S 4S 6S 8S 10 S

12,2 12,3 12,4 12,5 12,6

12,2 12,2 12,3 12,4 12,4

12,1 12,1 12,1 12,1 12,1

12 14 16 18 20

S S S S S

12,7 12,8 13,0 13,1 13,1

12,5 12,6 12,7 12,7 12,8

22 24 26 28 30

S S S S S

13,4 13,5 13,6 13,7 13,9

32 34 36 38 40

S S S S S

14,0 14,2 14,3 14,5 14,7

jul

ago

set

out

nov

dez

12,2

12,2

12,2

12,1

12,1

12,0

12,0

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1 12,0 12,0 11,9 11,9

12,0 11,9 11,9 11,7 11,7

12,0 11,8 11,7 11,6 11,5

12,0 11,9 11,8 11,7 11,6

12,0 12,0 11,9 11,9 11,8

12,1 12,1 12,1 12,1 12,0

12,1 12,2 12,2 12,3 12,3

12,2 12,3 12,4 12,5 12,6

12,2 12,4 12,5 12,6 12,7

12,2 12,2 12,2 12,2 12,2

11,8 11,8 11,7 11,7 11,6

11,6 11,5 11,4 11,3 11,2

11,4 11,3 11,2 11,1 10,9

11,5 11,4 11,2 11,1 11,0

11,7 11,6 11,6 11,5 11,4

12,0 12,0 12,0 12,0 12,0

12,4 12,4 12,4 12,5 12,5

12,7 12,8 12,9 13,0 13,2

12,8 12,9 13,1 13,2 13,3

12,8 12,9 12,9 13,0 13,1

12,2 12,3 12,3 12,3 12,3

11,6 11,5 11,5 11,4 11,4

11,1 10,9 10,8 10,7 10,6

10,8 10,7 10,5 10,4 10,2

10,9 10,8 10,7 10,6 10,4

11,3 11,2 11,2 11,1 11,0

12,0 11,9 11,9 11,9 11,9

12,6 12,6 12,7 12,8 12,8

13,2 13,3 13,4 13,5 13,6

13,5 13,6 13,8 13,9 14,1

13,2 13,3 13,4 13,5 13,6

12,3 12,3 12,4 12,4 12,4

11,3 11,3 11,2 11,1 11,1

10,5 10,3 10,2 10,1 9,9

10,0 9,8 9,7 9,5 9,3

10,3 10,1 10,0 9,8 9,6

10,9 10,9 10,7 10,6 10,5

11,9 11,9 11,9 11,8 11,8

12,9 12,9 13,0 13,1 13,1

13,7 13,9 14,0 14,2 14,3

14,2 14,4 14,6 14,8 15,0

Exemplo 5.3 Considere os dados do exemplo 5.2. Qual o aumento percentual esperado na evaporação mensal em condições de velocidade do vento igual ao dobro daquela fornecida no exemplo 5.2? Solução Para U = 2 x345,6 = 691,2km/dia, Logo,

E' 

Ei

691 2    0 035   0 5    21 08  13 91  160   ,

,

,

,

,

Ei



1 ,21cm / dia

366 ,67    1 ,21 2,62  1 =0,784cm/dia  E’ = 7,84mm/dia = 219,52mm/mês  2 ,62 1  590  

E’/E = 219,52 177,5 = 1,2367  Aumento de 23,67% na evaporação mensal.

5.5 MÉTODOS DE QUANTIFICAÇÃO DA EVAPOTRANSPIRAÇÃO É conveniente distinguir-se, preliminarmente, o conceito de evapotranspiração potencial da evapotranspiração real. A evapotranspiração potencial, ET p, representa a quantidade de água transferida para a atmosfera, na unidade de tempo, por evaporação e transpiração de uma superfície extensa completamente coberta de vegetação de porte baixo e bem suprida de água. Difere da evapotranspiração real, ET, que representa a quantidade de água transferida pelos dois processos 80



nas condições reais, isto é, para os fatores atmosféricos e a umidade do solo realmente existentes. Assim, tem-se sempre que ET  ET p.

5.5.1 BALANÇO HÍDRICO PARA A EVAPOTRANSPIRAÇÃO Para o cálculo da intensidade da evapotranspiração em uma bacia hidrográfica, num intervalo de tempo t, a equação do balanço hídrico se escreve como i  A  Q  ET  A 

Vol t

,

(30)

sendo i a intensidade média da precipitação no intervalo, Q a vazão média na seção exutória da bacia para este intervalo, A a área de drenagem da bacia e Vol a diferença entre os armazenamentos totais de umidade na bacia no final e início do intervalo de tempo, isto é, . Vol  Vol  Vol final

inicial

Devido à falta de medição de uma ou mais das variáveis envolvidas, o balanço hídrico para o cálculo da evapotranspiração é normalmente aplicado para intervalos de tempo superiores a uma semana. Em menores intervalos de tempo, geralmente só se dispõe da precipitação e da vazão. Para um intervalo de tempo suficientemente grande, o erro cometido no termo de armazenamento é, em geral, pequeno se comparado com a precipitação, a vazão e a evapotranspiração.

Exemplo 4.4 Os dados da tabela abaixo se referem à bacia do rio Passo Fundo, um afluente do rio Uruguai. Esses dados foram tomados na Estação Ponte do Rio Passo Fundo. Nesta tabela são fornecidos, para cada ano, os valores do total anual precipitado e da vazão média anual na seção de medição. Com base nos dados da tabela, estimar a evapotranspiração média anual da bacia do rio Passo Fundo sabendose, ainda, que a área de drenagem da bacia é A=3.650km 2. Tabela – Precipitação total anual e vazão média anual na bacia do Rio Passo Fundo ano 1971 1972 1973 1974 1975

P (mm) 1988 2671 2582 1695 1749

Q (m3/s) 72,57 168,29 149,07 80,21 74,88

ano 1976 1977 1978 1979 1980

P (mm) 1802 1747 1266 2048 1862

Q (m3/s) 76,39 90,05 41,55 96,30 80,56

Solução: O problema pode ser resolvido pela aplicação da Eq. (30), para o intervalo de tempo t=1 ano. Neste caso, é razoável admitir-se Vol  0. Assim, ET  i – Q/A. A tabela dada pode, então, ser reconstruída para os valores da intensidade média da precipitação, em mm/ano, e do deflúvio superficial, este último medido em termos de uma altura anual de lâmina d’água escoada. ano 1971 1972 1973 1974 1975

i (mm/ano) 1988 2671 2582 1695 1749

Q/A (mm/ano) 627 1454 1288 693 647

ano 1976 1977 1978 1979 1980 média

81

i (mm/ano) 1802 1747 1266 2048 1862 1941

Q/A (mm/ano) 660 778 359 832 696 803



Portanto, em termos médios, ET = 1941 – 803  ET = 1.138mm/ano

Exemplo 5.5 Considere a bacia do exemplo 5.4. Num dos afluentes do Rio Passo Fundo, com área de drenagem de 50km2, planeja-se construir um reservatório. A área de inundação do reservatório prevista é de 10km2 e a evaporação da superfície da água é estimada em 1.400mm/ano.Estimar a redução da vazão média disponível na bacia. Solução Antes da construção do reservatório, a evapotranspiração para os 50km 2 da sub-bacia é conforme calculada no exemplo 5.4: ET=1.138mm/ano. Após a construção do reservatório, a evapotranspiração é obtida pela média ponderada na sub-bacia: ET' 

1400  10  1138  40 50

 1190

mm/ano.

Este aumento na evapotranspiração provocará uma redução da vazão média do escoamento superficial de: Q 

ET ET  1190  1138  52 mm/ano. '

Em termos percentuais, Q

Q

 100% 

52 803

 100%  6 ,5%

.

5.5.2 MEDIDA DIRETA DA EVAPOTRANSPIRAÇÃO A medida direta da evapotranspiração é feita por meio de aparelhos denominados lisímetros. O lisímetro é constituído por uma caixa estanque (volume mínimo de 1m 3, contendo o terreno que se quer estudar), que se enterra no solo e se mantém aberta na parte superior. A amostra do solo recebe as precipitações, que são medidas na vizinhança. A caixa dispõe de um dreno no fundo que conduz a água para um sistema de medição. A evapotranspiração, durante certo período, poderá ser determinada se forem conhecidas a precipitação, P, a quantidade de água drenada, D, e a variação de água acumulada no lisímetro, no mesmo período. Quando se despreza a variação da água acumulada (períodos grandes), tem-se: (31) ET P D. A maior restrição ao uso do lisímetro reside na pequena área ou volume que representa. 



5.5.3 MODELOS MATEMÁTICOS PARA A EVAPOTRANSPIRAÇÃO 5.5.3.1 MODELOS BASEADOS NA TEMPERATURA PARA ET p O uso de modelo matemático baseado exclusivamente na temperatura para estimar a evapotranspiração potencial é um procedimento justificável apenas quando a única informação meteorológica disponível é a temperatura do ar. Dentre os métodos mais conhecidos baseados exclusivamente na temperatura do ar destacam-se os de Thornthwaite e de Blaney-Criddle, dos quais se faz uma breve exposição. 82



5.5.3.1.1 MÉTODO DE THORNTHWAITE PARA A EVAPOTRANSPIRAÇÃO POTENCIAL A equação de Warren Thornthwaite (1948) é uma das mais antigas expressões de estimativa da evapotranspiração potencial. Constitui-se em um modelo simples baseado em dados de temperatura média do ar e do foto-período (comprimento do dia) de áreas secas dos Estados Unidos. Para a evapotranspiração potencial de cada mês o modelo escreve-se com a seguinte notação matemática ET p



Fc  ET p

NA

(32)

em que ET p = evapotranspiração potencial acumulada, em mm/mês; (ET p) NA = evapotranspiração potencial não ajustada, em mm/mês, estimada para um mês-padrão de 30 dias e com duração do período diurno de 12 horas; e Fc = fator de correção, que leva em consideração o comprimento médio do dia e o número de dias do mês em questão. Para temperatura média do ar inferior a 26,5 C, Thornthwaite propôs estimar a evapotranspiração potencial não ajustada, em mm/mês, segundo

ET p  NA

a

 10  T   16     I 

(33)

onde T = temperatura média mensal do ar, em C; I = índice térmico anual (ou índice de calor), correspondente à soma de 12 índices mensais e dado por: 1 51 4

 Ti  I    i 1  5  12

,

(34)

sendo Ti a temperatura média ( C) de cada mês. Na Eq. (33), o expoente a é uma função do índice térmico anual, sendo determinado por: a



6 75  10 ,

7

I

3



7 71 10 ,

5

I

2

2

 1 ,792  10

I  0 492 39. ,

(35)

Para temperatura média do ar igual ou superior a 26,5 C, a Eq. (33) superestima a evapotranspiração potencial não ajustada. Neste caso, Thornthwaite propôs o uso da Tabela 5.6. Finalmente, para obter a evapotranspiração do mês em questão, deve-se multiplicar o resultado do cálculo da Eq. (33), ou o valor da Tabela 5.6, pelo fator de correção F c. Para uso prático, valores de Fc são fornecidos na Tabela 5.7, em função da latitude e da época do ano. Numa alternativa ao uso da Eq. (33), no método de Thornthwaite pode-se, ainda, utilizar o nomograma de Palmer-Havens, que foi adaptado por Camargo, conforme Vilella & Mattos (1975). Sendo a temperatura do ar um elemento geralmente medido em postos meteorológicos com bastante precisão, Camargo substituiu o índice de calor (índice térmico) pela temperatura média anual, permitindo a construção do nomograma mostrado na Figura 5.4, com as temperaturas média anual e média mensal medidas em C.

83



Tabela 5.6 – Valores da evapotranspiração potencial não ajustada para temperatura do ar igual ou superior a 26,5 C, segundo Thornthwaite (Amorin & outros, 1999) ET p

T ( C) 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

NA

, em mm/mês

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

--138 147 156 162 168 174 177 180 183 183 186

--141 150 156 162 168 174 177 180 183 183 186

--141 150 156 162 168 174 177 180 183 186 186

--141 150 156 165 171 174 177 183 183 186 186

--144 150 159 165 171 174 180 183 183 186 186

135 144 153 159 165 171 174 180 183 183 186 186

135 144 153 159 165 171 177 180 183 183 186 186

138 144 153 159 165 171 177 180 183 183 186 186

138 147 153 162 168 171 177 180 183 183 186 186

138 147 156 162 168 174 177 180 183 183 186 186

Tabela 5.7 – Fator de correção F c para o método de Thornthwaite latitude 5N

jan

fev

mar

abr

mai

jun

jul

ago

set

out

nov

dez

1,00

0,93

1,03

1,02

1,06

1,03

1,06

1,05

1,01

1,03

0,99

1,02

Equador

1,02

0,94

1,04

1,01

1,01

1,01

1,04

1,04

1,01

1,04

1,01

1,04

5S 10 S 15 S 20 S 25 S 30 S 35 S 40 S

1,04 1,08 1,12 1,14 1,17 1,20 1,23 1,27

0,95 097 0,98 1,10 1,01 1,03 1,04 1,06

1,04 1,05 1,05 1,05 1,05 1,06 1,06 1,07

1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93

1,02 1,01 0,98 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86

0,99 0,96 0,94 0,91 0,88 0,85 0,82 0,78

1,02 1,00 0,97 0,95 0,93 0,90 0,87 0,84

1,03 1,01 1,00 0,99 0,98 0,96 0,94 0,92

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

1,05 1,06 1,07 1,08 1,10 1,12 1,13 1,15

1,03 1,05 1,07 1,09 1,11 1,14 1,17 1,20

1,06 1,10 1,12 1,15 1,18 1,21 1,25 1,29

Para a obtenção da evapotranspiração potencial mensal com o uso do nomograma da Figura 5.4 deve-se proceder da seguinte forma: a) tomar o valor da temperatura média anual e uni-lo, por um segmento de reta, ao ponto de convergência, indicado por C naquela figura; b) tomar o valor da temperatura média mensal para obter, apoiando-se no segmento de reta traçado, a evapotranspiração potencial não ajustada para o mês considerado; c) ajustar o valor encontrado para o comprimento do dia e número de dias do mês, multiplicando pelo fator de correção, Fc, fornecido em função da latitude e do mês na Tabela 5.7. Obs.: A equação proposta por Thornthwaite é baseada em estudos conduzidos em inúmeras bacias hidrográficas das regiões central e leste dos Estados Unidos, onde predomina o clima temperado com invernos úmidos e verões secos. Por isso, conforme citado em Tucci (1993), deve apresentar problemas quando estendida para regiões de verões úmidos e invernos secos (o método não contempla explicitamente a umidade do ar).

84



Figura 5.4 – Nomograma para a obtenção da evapotranspiração potencial mensal, não ajustada, em mm, pelo método de Thornthwaite

85



5.5.3.1.2 MÉTODO DE BLANEY-CRIDDLE PARA A EVAPOTRANSPIRAÇÃO POTENCIAL Este método foi originalmente desenvolvido para a realização de estimativas de uso consuntivo em regiões semiáridas, baseando-se na suposição de que a disponibilidade de água para a planta em crescimento não é um fator limitante. A equação de Blaney-Criddle é escrita como ET p



0,457T  8,13  p

(36)

ET p = evapotranspiração potencial, em mm/dia; T = temperatura média mensal do ar, em C; p = proporção média diária de horas de luz (dada na Tabela 5.8, para diferentes latitudes). Para considerar um tipo particular de cultura, em diferentes estágios de desenvolvimento, introduz-se na Eq. (36) um fator de correção, k c, denominado coeficiente de cultura, de forma que: ET



k c  0 457T  8 13  p ,

(37)

,

Valores para o coeficiente de cultura podem ser encontrados na literatura específica de irrigação. A equação de Blaney-Criddle, por ser empírica, tal qual a equação de Thornthwaite, só é recomendável quando a única informação disponível é a temperatura do ar. O seu uso é, contudo, desaconselhável em regiões equatoriais, onde a temperatura se mantém estável, bem como em locais de grande altitude. Tabela 5.8 – Proporção média de horas de luz da Eq. de Blaney-Criddle, p, para diferentes latitudes latitude Equador 5S 10 S 15 S 20 S 25 S 30 S 35 S 40 S

jan

fev

mar

abr

mai

jun

jul

ago

set

out

nov

dez

0,27 0,28 0,29 0,29 0,30 0,31 0,31 0,32 0,33

0,27 0,28 0,28 0,28 0,29 0,29 0,30 0,30 0,31

0,27 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

0,27 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25

0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,25 0,24 0,23 0,22

0,27 0,27 0,26 0,25 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21

0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,24 0,24 0,23 0,22

0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25 0,24

0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27

0,27 0,28 0,28 0,28 0,28 0,29 0,29 0,29 0,30

0,27 0,28 0,28 0,29 0,29 0,30 0,31 0,31 0,32

0,27 0,28 0,29 0,29 0,30 0,31 0,32 0,32 0,34

5.5.3.2 MODELOS BASEADOS NO BALANÇO EVAPOTRANSPIRAÇÃO POTENCIAL, ETp

DE

ENERGIA

PARA

A

5.5.3.2.1 EQUAÇÃO DE PENMAN A equação de Penman, apresentada na seção 5.4.3.2 para a evaporação de superfícies livres de água e resumida pela Eq. (25), também pode ser utilizada para a estimativa da evapotranspiração potencial. A equação mantém a sua forma geral e, quando a energia efetiva não é medida mas estabelecida através de fórmulas empíricas, como a Eq. (27), o valor do albedo deve ser referido à própria cultura. Como elemento auxiliar na definição do valor do albedo, a Tabela 5.9 fornece alguns valores típicos. Por se tratar de superfícies vegetadas, o termo aerodinâmico, E i, ou poder evaporante à sombra, também se altera. A Eq. (29) deve, então, ser reescrita como:

86

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior Ei


 U   0 0351  2   e S  e  160 

(38)

,

Na Eq. (38), todos os termos têm os mesmos significados da Eq. (29). Tabela 5.9 – Valores de albedo, a, para diferentes superfícies

Superfícies

intervalo de a

Superfície de água Florestas coníferas Florestas temporárias Cereais Batatas Algodão Cana-de-açúcar Campo Solos escuros Argila seca Solos arenosos (secos) Solo nu umedecido Solo nu seco

0,03 – 0,10 0,10 – 0,15 0,15 – 0,20 0,10 – 0,25 0,15 – 0,25 0,20 – 0,25 0,05 – 0,18 0,15 – 0,20 0,05 – 0,20 0,20 – 0,35 0,15 – 0,45  0,11  0,18

Exemplo 5.6 Considere o enunciado do exemplo 5.2, apresentado na seção 5.4.3.2. Calcule a evapotranspiração potencial da bacia hidrográfica onde se encontra o reservatório. Adote o albedo a = 0,25. Solução O valor maior do albedo reduz a radiação líquida efetivamente absorvida pela superfície. Recalculando,  

R líq  932 0 24  0 58 ,

,

6 82 

  1  0 25  119  10 12 85  ,

,

,

,

R líq



7

6 82    2964 0 56  0 09 13 91   0 1  0 9  12 85  



,

,

,



,

,

,

,

264 ,55cal / cm2 dia



O poder evaporante à sombra também se modifica, Ei

345 ,6   0 ,035   1 ,0    21 ,08  13,91 160  



Ei



0 ,792cm / dia

Portanto,  

ET p   2 62  ,

  0 792  2 62  1 = 0,543cm/dia  1 590  264 55 ,

,

,

87

ET p = 5,43mm/dia



A evapotranspiração potencial total no mês de fevereiro (28 dias) seria, então, igual a aproximadamente 152,04mm/mês.

5.5.3.2.2 EQUAÇÃO DE JENSEN & HAISE Dentre os métodos conhecidos para a evapotranspiração, aquele desenvolvido com base na variável meteorológica radiação, como a equação de Penman, está entre os mais confiáveis. Uma simplificação da formulação de Penman é a equação de Jensen & Haise, proposta sob a forma: 0 ,025  T  0 ,08

n    590 N   sendo ET p evapotranspiração potencial em cm/dia, e T = temperatura do ar, em C; R t (+n/N) = radiação incidente de onda curta; R t = radiação que atinge o topo da atmosfera, em cal/(cm 2dia), dada na Tabela 5.3; n = número de horas diárias de insolação; N = número máximo de horas de insolação, dado na Tabela 5.5;  e  = coeficientes empíricos, ajustados para o local de interesse. ET p



R t    

(39)

Exemplo 4.7 Repetir o exemplo 5.6, utilizando a equação de Jensen & Haise. Solução Da Eq. (39) e com os dados do problema, ET p 

0 025  23  0 08 ,

,

590

 

932 0 24  0 58 ,

,

6 82  ,

 = 0,567cm/dia = 5,67mm/dia.

12 85  ,

Então, para o mês de fevereiro, ET p = 158,7mm/mês.

5.5.3.2.3 MÉTODO DE PENMAN-BAVEL Uma modificação do método de Penman foi proposta por van Bavel, conforme Vilella & Mattos (1975). Van Bavel construiu um nomograma simples para a estimativa da evapotranspiração potencial diária. Para o uso desse nomograma, requer-se os mesmos elementos contidos na equação de Jensen & Haise. A sequencia de passos para a obtenção da evapotranspiração diária pelo nomograma de van Bavel, apresentado na Figura 5.5,é a seguinte: a) Tomar da Tabela 5.3, para a latitude do local em estudo e para o mês em questão, o valor da radiação solar que chega no topo da atmosfera (R t em calcm-2dia-1); b) Converter o valor de R t para mm/dia. Para isso, divide-se o valor de R t tabelado pelo calor latente de vaporização da água (L) 11 e pela massa específica da água ( )12, e multiplica-se o resultado por 10 para obter mm/dia. De forma simplificada,

11 L 12

 590cal/g, para temperaturas próximas de 20 C.

 = 1g/cm3, para temperaturas próximas de 20 C.

88




R t mm / dia










R t Tab.5.3 / 59 .

(40)

c) Tomar da Tabela 5.5, para a latitude do local em estudo e para o mês em questão, o valor da duração máxima da insolação diária, N, em horas. d) Conhecido o número efetivo de horas diária de insolação, n, obter a razão de insolação, n/N. e) Sobre o nomograma, traçar uma linha reta unindo os pontos relativos aos valores de R t (mm/dia) e n/N. Extrapolar esta reta até encontrar a reta de apoio no centro do nomograma. O ponto de interseção destas retas é o valor de referência. f) Unir o valor de referência ao valor da temperatura média diária, encontrando na escala à direita o valor da evapotranspiração potencial do dia considerado.

Figura 5.5 – Nomograma para a obtenção da evapotranspiração potencial diária, em mm, segundo o método de Penman-Bavel

89



BIBLIOGRAFIA AMORIM, M.C. de, ROSSATO, L. & TOMASELLA, J. (1999). Determinação da evapotranspiração potencial do Brasil aplicando o modelo de Thornthwaite a um sistema de informação geográfica. Revista Brasileira de Recursos Hídricos – RBRH, Volume 4, n o 3,

jul/set, p. 83-90. LINSLEY, R.K & FRANZINI, J.B. (1987). Water-Resources Enginnering . McGraw-Hill International Ed. – Civil Engineering Series, 3 a. edição. RIGHETTO, A.M. (1998). Hidrologia e Recursos Hídricos. EESC – USP / São Carlos. Projeto REENGE. TUCCI, C.E.M. (organizador) (1993). Hidrologia: Ciência e Aplicação. Ed. da Universidade – UFRGS, Ed. da Universidade de São Paulo – EDUSP e Associação Brasileira de Recursos Hídricos – ABRH, 1a. edição. VILLELA, S.M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. McGraw-Hill do Brasil.

90



EXERCÍCIOS 5.1) Os dados da tabela abaixo referem-se à bacia do Rio Passo Fundo, afluente do Rio Uruguai, e foram tomados na Estação Ponte do Rio Passo Fundo. Com base nestes dados, pede-se: a) Calcular a precipitação média anual em Ponte do Rio Passo Fundo; b) Calcular a vazão média na seção referida à Estação Ponte do Rio Passo Fundo, em mm e em m 3/s; c) Estimar a evapotranspiração média na bacia. A bacia em questão possui 3650km 2 de área de drenagem. Na tabela, h S = deflúvio superficial. ano 1971 1972 1973 1974 1975

P (mm) 1988 2671 2582 1695 1749

hS (mm) 627 1454 1288 693 647

ano 1976 1977 1978 1979 1980

P (mm) 1802 1747 1266 2048 1862

hS (mm) 660 778 359 832 696

R: mm R : a) a)PP 1941 1941 mm;; b) hhQS 803,4mm e b) 803,4mm 3/s3 ; Q == 93,0m e Q 93,0m /s ; c) ET 1138mm . c ET 1138mm .  









5.2) Considere a bacia do rio Passo Fundo mencionada no exercício anterior. Deseja-se construir um reservatório num dos seus afluentes, que possui 50km 2 de área de drenagem. A área de inundação do reservatório deverá ser de 10km 2. Estime a redução percentual esperada da vazão média na bacia, admitindo que a evaporação da superfície da água é de 1400 mm/ano. R: 6,5%. 5.3) Estimar a intensidade da evaporação em um reservatório, admitindo-se válida a equação do Geological Survey (Eq. 09), quando: a) a superfície da água encontra-se à temperatura de 16 C, o ar a 8m da superfície da água está a 18C, a umidade relativa do ar é de 80% e a velocidade do vento a 8m de altura é de 20km/h; b) a umidade relativa do ar é de somente 20%, mantidos os outros fatores. 5.4) Utilizando o nomograma de Penman-Bavel, estimar a evapotranspiração potencial em uma bacia localizada na latitude 23 S, no mês de fevereiro. Dados disponíveis: a) Temperatura média diária do ar, 23C; b) Incidência solar, medida com heliógrafo, de 6,82 horas; c) Calor latente de vaporização da água  590cal/g. 5.5) Considerando a temperatura média anual de 20 C, estimar a evapotranspiração mensal da bacia hidrográfica do exercício 4 utilizando o nomograma para a fórmula de Thornthwaite. 5.6) Por um dos métodos vistos, estimar a evapotranspiração potencial em um local caracterizado pelas condições abaixo. latitude: 30S - mês: setembro; T = 22C (ar, média mensal); T = 24 C (ar, média anual); UR = 50% U2=3,0 m/s (vento, a 2 metros de altura); n = 7,8 horas (insolação medida com heliógrafo);  = 0,24;  = 0,58. 5.7) Num reservatório existem incertezas quanto à contribuição lateral direta ao lago no mês de março de 1987. Sabe-se que, neste mês, a vazão média de entrada a montante foi de 2,5m 3/s e a vazão de saída foi de 3,3m 3/s. Ainda, foi observado um rebaixamento no reservatório de 0,5m, que corresponde a um volume de 1,6 106m3. Estime a vazão média da contribuição lateral neste mês, sabendo ainda que: Precipitação no mês, P=95mm; Área do lago no início do mês, A 0=2,5km 2; Área do lago no final do mês, A f =2,1km 2; Umidade relativa do ar, UR=75%; Tempo de insolação diária medida com heliógrafo, t=6,5horas; Temperatura média, T = 20 oC; Velocidade do vento a 2 metros de altura da superfície do lago, U 2=2,5m/s; Localização do lago: 30  latitude Sul; R: Qlateral = 0,22m3/s Coeficientes para a localidade, =0,24; =0,58; Albedo, a=0,10. x

91


6. Escoamento Superficial

6. ESCOAMENTO SUPERFICIAL

6.1. GENERALIDADES O escoamento superficial é o segmento do ciclo hidrológico caracterizado pelo deslocamento da água na superfície da terra e nos cursos d’água naturais . Tem origem, fundamentalmente, nas precipitações e constitui, para o engenheiro, a mais importante das fases do ciclo hidrológico, uma vez que a maioria dos estudos está ligada ao aproveitamento da água superficial e à proteção contra os fenômenos provocados pelo seu deslocamento (erosão do solo, inundação, etc.). Para descrever a ocorrência do escoamento superficial como fase do ciclo hidrológico é necessário levar em consideração os seguintes fatos. Quando uma chuva atinge determinada área ou bacia hidrográfica, parte de suas águas é interceptada pela vegetação (e/ou outros obstáculos), de onde se evapora posteriormente, e o restante atinge a superfície do solo. Da água que atinge a superfície do solo, parte é retida nas depressões do terreno, parte se infiltra e o restante escoa pela superfície do terreno. É razoável admitir-se que, durante a chuva, as quantidades evaporadas ou evapotranspiradas são desprezíveis. O escoamento da água que atinge a superfície do terreno acontece, portanto, após a intensidade da precipitação superar a capacidade de infiltração do solo (conforme visto no estudo da infiltração) e depois de serem preenchidas as depressões armazenadoras da superfície. Convém destacar que o escoamento superficial na forma aqui tratada abrange desde o excesso de precipitação posterior a uma chuva suficientemente intensa (com a ocorrência acima descrita), até o escoamento da água em um rio. No segundo caso, a água do escoamento no leito do rio provém do excesso da precipitação, bem como da alimentação proveniente das águas subterrâneas.

6.2. FATORES QUE INFLUENCIAM O ESCOAMENTO SUPERFICIAL Os principais fatores que exercem influência no escoamento superficial são de natureza climática (relacionados à precipitação), fisiográficos (determinados pelo relevo da bacia) e decorrentes da ação antrópica (uso do solo e obras hidráulicas realizadas no rio e no seu entorno). a) Fatores climáticos Os fatores de natureza climática que influenciam o escoamento superficial resultam das características de intensidade e duração da precipitação. Complementarmente, o escoamento superficial é influenciado pelas condições de umidade conferida ao solo decorrente de uma precipitação anterior. Em relação a essas características, pode-se afirmar: - quanto maior a intensidade da precipitação, mais rápido o solo atingirá a sua capacidade de infiltração, situação em que o excesso da precipitação poderá, então, escoar superficialmente; - a duração da precipitação tem influência direta no escoamento superficial: haverá tanto mais oportunidade de ocorrer escoamento superficial quanto maior for a duração da chuva; 92


-


a precipitação que ocorre quando o solo já está úmido, devido a uma chuva anterior, terá maior chance de produzir escoamento superficial.

b) Fatores fisiográficos Os fatores fisiográficos mais importantes a influenciar o escoamento superficial são a área e a forma da bacia hidrográfica, a capacidade de infiltração e a permeabilidade do solo, e a topografia da bacia. A influência da área da bacia hidrográfica é óbvia, pois esta corresponde à superfície coletora da água de chuva: quanto maior a sua extensão, maior a quantidade de água que a bacia pode captar. Além disso, conforme visto no início deste curso, a área constitui-se em elemento básico para o estudo das demais características físicas. A respeito da influência da forma da bacia hidrográfica sobre o escoamento superficial gerado por uma dada chuva pode-se dizer que as bacias compactas tendem a concentrar o escoamento no canal principal que drena a bacia, aumentando os riscos de inundação. Para uma dada chuva, quanto maior a capacidade de infiltração do solo, menor o escoamento superficial resultante. A permeabilidade do solo influi diretamente na capacidade de infiltração, isto é, quanto mais permeável for o solo, maior será a velocidade do escoamento da água subterrânea e, em consequência, maior a quantidade de água que ele poderá absorver pela superfície por unidade de tempo. Assim, ao aumento da permeabilidade do solo corresponde uma diminuição do volume do escoamento superficial. O efeito da topografia sobre o escoamento superficial se faz sentir através da declividade da bacia, do traçado e da declividade dos cursos d’água que drenam a bacia , bem como da presença de depressões acumuladoras na superfície do solo. Bacias íngremes produzem escoamento superficial mais rápido e mais volumoso, por ser menor a chance de infiltração. Já a presença das depressões acumuladoras de água retarda o escoamento superficial, que passa a ocorrer somente após terem sido excedidas estas capacidades retentoras. O traçado e a declividade dos cursos d’água definem a maior ou menor velocidade com que a água de chuva, escoando superficialmente, atinge as calhas naturais e deixa a bacia. c) Obras hidráulicas construídas na bacia Uma barragem, por exemplo, acumulando a água em seu reservatório por ocasião de uma chuva intensa, reduz as vazões máximas do escoamento superficial e retarda a sua propagação para jusante. A presença da barragem propicia, ainda, a regularização das vazões: as águas reservadas nos períodos chuvosos podem permitir a manutenção de uma vazão aproximadamente constante a sua jusante, sobretudo nos períodos de estiagem. Já a retificação de um rio tem efeito inverso ao do retardamento produzido pela barragem: em um curso d’água retificado tem -se aumentada a velocidade do escoamento superficial. Ainda, a derivação de água da bacia ou para a bacia (transposição), o uso da água para irrigação e abastecimento e a drenagem do terreno podem se constituir em importantes fatores a considerar. Observação: É interessante destacar ainda que: - Em dada seção transversal de um curso d’água, as variações das vazões instantâneas decorrentes de chuvas intensas serão tanto maiores quanto menor for a área da bacia de contribuição a montante dessa seção; - Para uma mesma área da bacia de contribuição, as variações das vazões instantâneas no curso d’água serão tanto maiores e dependerão tanto mais das chuvas de alta intensidade quanto: 93


-


maiores forem as declividades do terreno; menores forem as depressões retentoras de água; mais retilíneo for o traçado do curso d’água; maior for a declividade do curso d’água; menores forem as quantidades de água infiltrada; e menores forem as áreas cobertas por vegetação.

6.3. GRANDEZAS CARACTERÍSTICAS E ALGUNS CONCEITOS FUNDAMENTAIS As grandezas que caracterizam o escoamento superficial em uma bacia hidrográfica são: a vazão do curso d’água principal , o coeficiente de escoamento superficial ( runoff ) da bacia, a precipitação efetiva, o tempo de concentração, a frequência de ocorrência das vazões e o nível de água que se correlaciona com a vazão. a) Vazão A vazão ou descarga superficial, Q, representa o volume de água que atravessa a seção transversal ao escoamento, na unidade de tempo. Esse volume de água escoado na unidade de tempo é a principal grandeza a caracterizar o escoamento e suas unidades são normalmente expressas em m 3/s (para rios) e /s (para pequenos cursos d’água). É comum ter-se como dados que caracterizam uma bacia hidrográfica as vazões máximas, médias e mínimas do curso d’água principal. Ainda, como elemento comparativo entre bacias é costume referir-se à vazão por unidade de área da bacia, chamada de vazão específica: q  Q A . Para esta grandeza, as unidades usuais são m3/(s.km2), m3/(sha), /(skm2) ou /(sha). Na aplicação de um balanço hídrico em uma bacia hidrográfica, para o intervalo de tempo de análise t é comum, também, expressar o escoamento ou deflúvio superficial em termos da altura da lâmina d’água escoada, hs. Essa altura é dada pela razão do volume escoado no intervalo de tempo t, pela área da projeção horizontal da superfície considerada, isto é: hsVolsA QstA. Essa quantidade corresponde também ao que se denomina precipitação efetiva ou excedente (representada, normalmente, como h s ou Pef ). A altura de lâmina d’água escoada, ou precipitação efetiva, é normalmente medida em mm. 1 b) Coeficiente de escoamento superficial O coeficiente de escoamento superficial, ou coeficiente de deflúvio superficial, ou ainda coeficiente de runoff , C, é definido pela razão do volume de água escoado superficialmente por ocasião de uma chuva, Vol s, pelo volume total da água precipitada, Vol T: C 

Vol S Vol T

.

(01)

Este coeficiente pode se referir a uma chuva isolada, ou corresponder a um intervalo de tempo no qual várias chuvas ocorreram. É um conceito sempre presente em estudos voltados para a previsão da vazão de enchente produzida por uma chuva intensa. Na prática, conhecido o coeficiente de runoff para uma determinada chuva intensa de dada duração, pode-se determinar o escoamento superficial de outra precipitação intensa de magnitude diferente da primeira, mas de mesma duração. 1

No método do hidrograma unitário, estudado ao longo desse Capítulo, ver-se-á que a unidade da precipitação efetiva é centímetro. 94



c) Precipitação efetiva ou excedente A precipitação efetiva ou excedente, P ef , é a medida da altura da parcela da chuva caída que provoca o escoamento superficial. É normalmente referida a um determinado intervalo de tempo de duração da chuva (ou à duração da chuva total, em eventos complexos). Para eventos simples, a precipitação efetiva pode ser calculada em termos da altura definida pela razão do volume de água escoado superficialmente, Vol s, pela área da projeção horizontal da superfície coletora, A2: Pef



Vol s A

.

(02)

Pode-se, ainda, referir à intensidade da chuva efetiva, i ef , obtida da divisão de P ef pela duração da chuva. Da definição do coeficiente de runoff , tem-se também que Pef  C  P e ief  C  i. d) Tempo de concentração O tempo de concentração relativo a uma seção transversal do curso d’água, tc, é o intervalo de tempo, contado a partir do início da precipitação, necessário para que toda a bacia hidrográfica correspondente passe a contribuir com a vazão na seção considerada. Refere-se, pois, à soma do tempo de encharcamento da camada superficial do solo com o tempo que a partícula da água de chuva que cai no ponto mais distante da seção considerada leva para, escoando superficialmente, atingir esta seção. e) Frequência e período de retorno Para um dado intervalo de tempo de observação das vazões em uma seção do curso d’água, a frequência da vazão Q 0 representa o número de ocorrências da mesma neste intervalo. Na análise do escoamento provocado por chuvas intensas, a frequência, mais propriamente, representa o número de vezes em que a vazão de magnitude Q 0 foi igualada ou superada no intervalo de tempo considerado. Nas aplicações práticas, a frequência F (Q0) é, em geral, expressa em termos do período de retorno, Tr, também conhecido como tempo ou intervalo de recorrência. O intervalo de recorrência corresponde ao tempo médio, em anos, em que o evento de magnitude Q 0 é igualado ou superado pelo menos uma vez. Assim, Tr = 1  F (Q0). Se F (Q0) é uma boa medida da probabilidade de ocorrência dos eventos de vazão de magnitude igual ou superior a Q 0, isto é, se F (Q0) = P{QQ0}, então Tr 

1 PQ  Q 0 

.

(03)

em que P{QQ0} é denominada “probabilidade de excedência” da vazão Q 0.

f) Nível de água, cheia e inundação O nível de água refere-se, aqui, à altura atingida pela água na seção transversal do escoamento natural. É estabelecido sempre em relação a uma determinada referência. Pode ser um valor instantâneo ou corresponder à média tomada em determinado intervalo de tempo. Em seções especiais de cursos d’água naturais, o nível d’água , normalmente medido por meio de uma régua, é correlacionado à vazão do escoamento. Ess as seções são ditas “seções de controle” e a curva que graficamente relaciona a leitura da régua (nível d’água) com a vazão é conhecida como “curva-chave”. 2

Para eventos mais complexos, isto é, quando a intensidade da chuva é variável no tempo, existem métodos de estimativa da distribuição temporal da chuva efetiva. Ver-se-á, mais adiante, na seção 6.5.2.5, um destes métodos. 95



É comum empregarem-se palavras como cheia (ou enchente) e inundação relacionadas ao nível de água atingido num período chuvoso ou por ocasião de uma chuva intensa isolada. Cheia, no caso, corresponde a uma elevação acentuada do nível d’água ( elevação do NA de cheia) que, entretanto, mantém-se dentro do próprio leito normal do curso d’água natural. Por inundação entende-se uma elevação não usual do nível d’água (elevação do NA de inundação) , de modo a provocar transbordamento e, em geral, prejuízos materiais e, mesmo, riscos de vida. A título de ilustração, na Figura 6.1 representam-se três diferentes níveis d’água de um curso d’água, correspondentes à elevação normal de estiagem (leito menor), à cheia (leito maior ou várzea) e à inundação provocada por uma chuva intensa. Esclarece-se que uma condição atual de cheia pode-se se transformar em inundação, quando o leito maior ou várzea é ocupado por construções, como costuma acontecer especialmente em áreas urbanas.

Figura 6.1 – Diferentes posições do NA de um rio e os conceitos de cheia e inundação.

6.4. HIDRÓGRAFA Denomina-se hidrógrafa, ou hidrograma, à representação gráfica da vazão observada numa seção de um curso d’água em relação ao tempo de passagem da água pela seção. A hidrógrafa pode, ainda, se referir à representação das vazões médias diárias de um determinado ano hidrológico, situação em que é também conhecida como fluviograma. Por ora, nas análises que se seguem, considerar-se-á a hidrógrafa como sendo a curva da vazão versus tempo observada durante o período de cheia, por ser esta forma do hidrograma de maior importância nos estudos de obras hidráulicas relacionadas com as enchentes e, em particular, no dimensionamento de canais, reservatórios, vertedores e bueiros.

6.4.1. ANÁLISE DO HIDROGRAMA – COMPONENTES Na Figura 6.2, juntamente com o hietograma da precipitação ocorrida na bacia, representa-se a correspondente curva da vazão na seção do curso d’água. As contribuições para a vazão na seção considerada devem-se: i) à precipitação recolhida diretamente pela superfície livre da água; ii) ao escoamento superficial dito direto (incluído o subsuperficial); e iii) ao escoamento de base ou subterrâneo (contribuição do lençol d’água subterrâneo). Normalmente, por ser difícil a distinção, as duas primeiras parcelas são computadas como escoamento superficial. Observando os diagramas da Figura 6.2, verifica-se que após o início da chuva (instante indicado por t0), decorre certo intervalo de tempo até que o nível d’água e, portanto, a vazão comece a elevar-se. Este intervalo , que representa o tempo de retardamento da resposta da bacia, é determinado pelo deslocamento da água nas superfícies do terreno, bem como pelas perdas iniciais que são decorrentes da interceptação vegetal e outros obstáculos, da retenção da água nas depressões do terreno e da infiltração que supre a deficiência de umidade do solo. 96



A partir do início da chuva, uma vez superada a capacidade de interceptação da água de chuva, preenchidas as depressões acumuladoras e excedida a capacidade de infiltração do solo, inicia-se o escoamento superficial. O reflexo, sentido um pouco mais tarde, é representado pelo ponto A do hidrograma. A partir de t = t A tem-se então uma elevação contínua da vazão: o ramo de ascensão do hidrograma apresenta um forte gradiente, até atingir o valor máximo ou de pico. O escoamento superficial dito direto é o processo predominante neste período. A vazão de pico do hidrograma estará em conformidade com a magnitude e a distribuição da precipitação. Após este valor máximo, o hidrograma apresenta uma recessão, representada pela linha que se estende desde o pico de vazão. O ramo de recessão contém, normalmente, um ponto de inflexão (representado pelo ponto I na Figura 6.2) que caracteriza o fim da contribuição do escoamento superficial direto e, consequentemente, o início da predominância da contribuição do escoamento subterrâneo. Ao trecho da curva que se estende desde o valor de pico até o ponto I denomina-se, às vezes, curva ou ramo de depleção do escoamento superficial. E ao trecho da curva que se estende a partir do ponto I denomina-se curva de depleção do escoamento de base. A identificação do ponto I não é tarefa simples, pois é praticamente impossível definir com exatidão quando cessa a contribuição do escoamento superficial e a calha do rio passa a ser alimentada exclusivamente pela contribuição do escoamento subterrâneo. Em geral, admite-se que no ramo de ascensão da curva do hidrograma toda a contribuição é devida ao escoamento superficial direto. É certo que o escoamento superficial direto termina antes do escoamento subterrâneo, uma vez que o primeiro ocorre num meio que torna a resposta mais rápida. Na Figura 6.2, a separação das contribuições dos escoamentos superficial e de base é feita pela linha pontilhada, para o intervalo t A  t  tI.

Figura 6.2 – Hietograma, hidrograma e contribuição dos escoamentos superficial e de base.

Para uma dada chuva, a contribuição do escoamento de base é influenciada pela infiltração, percolação e consequente elevação do nível do lençol, retratado na Figura 6.3 pela linha L1M1, que se movimenta para L 2M2. Como o escoamento superficial é mais rápido, o nível d’água no rio muda também mais rápido de NA 1 para NA2. Essa elevação rápida provoca ou a 97



inversão da vazão ou o represamento do fluxo no lençol nas vizinhanças do rio. O processo começa a inverter-se quando a percolação aumenta e o fluxo superficial diminui.

Figura 6.3 – Variação do nível d’água do rio e do lençol subterrâneo durante a cheia.

6.4.2 FATORES QUE INFLUENCIAM A FORMA DO HIDROGRAMA A forma do hidrograma depende de um grande número de fatores, sendo os mais importantes o relevo, a cobertura da bacia, as modificações artificiais produzidas no rio, a distribuição, duração e intensidade da precipitação, o tipo e natureza do solo e o nível de umidade nele presente.

a) Relevo A influência do relevo se faz sentir, por exemplo, através da drenagem e da declividade da bacia. Em uma bacia com boa drenagem e grande declividade o hidrograma é íngreme e apresenta pouco escoamento de base. Esta característica é típica das cabeceiras das bacias. Outra característica do relevo que influencia o comportamento do hidrograma diz respeito à forma da bacia hidrográfica, forma esta que pode ser definida por meio do coeficiente de compacidade (k c) e do fator de forma (k f) . Uma bacia radial concentra o escoamento, antecipando e aumentando o pico de vazão, comparativamente ao que ocorre em uma bacia alongada, conforme ilustrado na Figura 6.4. Numa bacia estreita e alongada, o escoamento tem lugar predominantemente no canal principal, mas o percurso até a seção principal é mais longo, resultando no amortecimento das vazões. b) Cobertura da Bacia Hidrográfica A influência da cobertura vegetal sobre a forma do hidrograma se faz sentir por diferentes razões. A cobertura vegetal tende a retardar o escoamento superficial, facilita a infiltração e aumenta as perdas por evapotranspiração. Em bacias urbanas, onde a cobertura é alterada (a simples remoção da cobertura vegetal já torna a bacia mais impermeável) e a rede de drenagem é mais eficiente, a ocorrência do escoamento superficial é antecipada: tem-se, assim, um aumento do volume do escoamento superficial e da vazão de pico 3 (Figura 6.5).

3

Em projetos de sistemas de drenagem, este acréscimo de vazão implica no aumento dos diâmetros dos condutos pluviais e, consequentemente, na elevação dos custos de implantação do sistema. 98



Figura 6.4 – Hidrogramas comparativos para as bacias radial e alongada.

Figura 6.5 – Hidrogramas comparativos para as bacias rural e urbana.

c) Modificações Artificiais no Rio Visando o uso racional da água, ou mais facilidades e maior conforto, o homem produz modificações no rio. Exemplo disso é a construção de um reservatório para a regularização da vazão, ou a canalização de um rio em uma área urbana. Enquanto o reservatório de regularização tende a reduzir a vazão de pico e distribuir o volume (Figura 6.6), a canalização do rio tende a aumentar o pico de vazão (ilustrado na Figura 6.5, para a bacia urbana). d) Distribuição, duração e intensidade da precipitação As características da precipitação são fatores fundamentais na definição do comportamento do hidrograma. Em realidade, a distribuição espacial da precipitação não é uniforme sobre toda a bacia. Por exemplo, quando ela se concentra na parte inferior da bacia e tem seu epicentro deslocando-se para montante, o hidrograma resultante pode ter até dois picos de vazão. Numa situação idealizada, para uma precipitação de intensidade constante e duração suficientemente grande (para que seja superada a capacidade de armazenamento do solo e atingido o tempo de concentração da bacia), o valor da vazão de pico é estabilizado. Cessada a precipitação, o hidrograma entra em recessão, conforme ilustrado na Figura 6.7.

99



Figura 6.6 – Hidrogramas comparativos mostrando o efeito da regularização.

Figura 6.7 – Hidrograma para uma chuva uniforme, de intensidade constante e com duração superior ao tempo de concentração da bacia.

Em bacias hidrográficas pequenas (A < 500 km 2), as precipitações convectivas (alta intensidade, pequena duração e atingindo pequena área) são capazes de provocar grandes enchentes. Por outro lado, para bacias hidrográficas maiores, as precipitações mais importantes são as frontais, que atingem grandes áreas com intensidade média.

e) Solo O tipo, a natureza e o nível de umidade do solo têm influência na forma do hidrograma. Quando for pequena a umidade da camada superior do solo e o nível do lençol freático for baixo, parcela ponderável da precipitação poderá ser retida, tornando o escoamento superficial (e, portanto, o hidrograma) reduzido.

100



6.4.3 ANÁLISE DO HIDROGRAMA – SEPARAÇÃO DAS COMPONENTES Pode-se afirmar que não existe nenhuma forma segura de diferenciar as parcelas da água de chuva escoadas superficial e subterraneamente, após elas se misturarem e formarem o fluxo em um curso d’água natural. Devido a essa incerteza, as técnicas de análise d as hidrógrafas são, de certo modo, um tanto arbitrárias. Contudo, para o estudo das características hidrológicas da bacia e uso de alguns métodos de previsão de enchentes, a separação do hidrograma em escoamento superficial direto e escoamento de base é muito importante. Para o hidrograma de uma chuva intensa, a parcela do escoamento superficial pode ser identificada diretamente pelo uso de métodos gráficos. Apresentam-se, a seguir, três destes métodos. Em cada um deles, no hidrograma são identificados preliminarmente dois pontos: o ponto A, que marca o início da ascensão do hidrograma, isto é, o início da contribuição do escoamento superficial, e o ponto I, sobre o ramo de recessão, que caracteriza o término da contribuição do escoamento superficial. O ponto I é identificado, normalmente, por uma inflexão no ramo de recessão do hidrograma. A partir de I, a curva do hidrograma coincide com a curva de depleção da água do solo. Método 1 Por este primeiro método de separação, prolonga-se inicialmente a tendência do hidrograma anterior à chuva, a partir do ponto A até o ponto B encontrado na vertical que passa pelo pico do hidrograma. Partindo de B, desenha-se uma curva suave de concordância até o ponto I (Figura 6.8).

Figura 6.8 – Método 1 de separação dos escoamentos superficial e de base. Q b e Qs representam, respectivamente, ordenadas dos escoamentos de base e superficial em um tempo característico. A área em cinza representa o volume escoado superficialmente.

Método 2 O segundo procedimento de separação das componentes do hidrograma consiste em extrapolar a linha de tendência anterior à chuva até a vertical que passa pelo pico, encontrando, deste modo, o ponto B de forma idêntica à do procedimento anterior. Ligando-se os pontos B e I através de um segmento de reta, completa-se a separação do escoamento. A Figura 6.9 ilustra este segundo método de separação dos escoamentos superficial e de base.

101



Figura 6.9 – Método 2 de separação dos escoamentos superficial e de base.

Método 3 O terceiro método de separação das componentes do hidrograma É o mais simples. Ele consiste em ligar os pontos A e I por um segmento de reta 4, conforme se visualiza na Figura 6.10.

Figura 6.10 – Método 3 de separação dos escoamentos superficial e de base.

Embora o método 1 seja, provavelmente, o que mais se aproxima da realidade, a linha de separação empregada naquele procedimento é de difícil determinação. Por isso, para todos os fins práticos, usualmente adota-se a linha AI do método 3, ou os segmentos AB e BI do método 2 para separar os escoamento de base e superficial.

6.4.3.1 OBTENÇÃO DOS PONTOS A E I DO HIDROGRAMA Nos métodos anteriormente vistos, o ponto A representa o início da contribuição do escoamento superficial devido à chuva. Passa-se, em A, de uma recessão anterior à chuva para uma ascensão súbita da linha do hidrograma decorrente do escoamento superficial direto. Assim, em geral, o ponto A é facilmente determinado, pois corresponde a uma mudança brusca na inclinação da curva de vazão. Já o ponto I situado no ramo de recessão da curva do hidrograma é de determinação mais difícil, existindo vários critérios na literatura para a sua obtenção. 4

Algumas vezes, em cálculos rápidos, adota-se a linha AI horizontal, isto é, a contribuição do escoamento básico na formação do hidrograma é suposta constante. 102



Segundo Linsley, Kohler & Paulhus (1975), o intervalo de tempo N, contado a partir do instante da ocorrência do pico do hidrograma até o momento correspondente à inflexão no ramo de recessão (ponto I), conforme é ilustrado na Figura 6.11, pode ser avaliado por uma expressão empírica5 dada por: N  A 0 ,2 ,

(04)

onde N é obtido em dias para a área A da bacia dada em milhas quadradas. Como 1 milha é igual a aproximadamente 1,609 quilômetros, a Eq. (04) pode ser rearranjada na forma N  0 ,827  A 0 ,2 ,

(05)

permitindo-se obter o intervalo de tempo N em dias para a área A em km 2. Outra forma de obtenção do ponto I baseia-se na estimativa do intervalo de tempo contado desde a última precipitação que cai na bacia até o instante da ocorrência do ponto I (Figura 6.11). Este intervalo corresponde ao tempo de concentração, t c. Para obter t c existem na literatura várias equações empíricas. Por exemplo, segundo Kirpich, tc

 L3   57   z 

0 ,385

(06)

na qual t c é obtido em minutos, para: L = comprimento do rio, em km, e z = diferença de elevação entre o ponto mais remoto da bacia e o nível d’água n a seção considerada, em metros.

Figura 6.11 – Critérios para a obtenção do ponto I

Um terceiro critério, mais simples, aqui tratado como método de inspeção visual , baseiase no modelo matemático descritivo da depleção da água do solo. A partir desse modelo, com o 5

Essa expressão é tão somente uma aproximação grosseira de estimativa da posição do ponto I. 103



lançamento em gráfico dos dados da vazão, em escala logarítmica, em função do tempo, permitese a obtenção do ponto I. O método fundamenta-se na consideração de que a depleção da água do solo segue uma lei exponencial, conforme demonstração feita adiante, do tipo Q  Q0  e

  t  t 0 

(07)

sendo Q a vazão no tempo t (para t  tI), Q0 a vazão no tempo de referência t 0 = tI, e  o coeficiente de recessão, com unidade de tempo -1. Num gráfico de Q versus t, com os valores de Q em escala logarítmica, a equação tende para uma reta num intervalo em que t  tI. Para valores de t < t I, observa-se uma modificação substancial da declividade da reta, permitindo que o ponto I seja graficamente identificado 6. O gráfico da Figura 6.14 do exemplo 1 é uma aplicação deste critério de obtenção do ponto I. Modelagem matemática descritiva do comportamento do volume armazenado - Equação de depleção da água do solo.

Adota-se um modelo linear simples de representação da contribuição (vazão) do lençol d'água subterrâneo para a calha do rio: Q b

   Vol b ,

em que Q b = parcela da vazão na seção exutória da bacia, proveniente apenas da contribuição subterrânea, Vol b = volume da água subterrânea armazenada na bacia,  = coeficiente de recessão, com a dimensão de tempo -1. Supõe-se, portanto, que no período de estiagem a vazão na seção exutória da bacia, decorrente da contribuição subterrânea, é diretamente proporcional ao volume armazenado no subsolo da bacia. Dessa hipótese, deduz-se que Q b



dVol b dt

,

com o sinal menos refletindo o fato de que ao aumento de Q b corresponde uma redução de Vol b. Combinando as duas equações, tem-se Q b



1 dQ b



dt

que integrada produz ln

Q b Q b0

 t  t 0  ,

ou Q b

 Q b0  e t t  , 0

que tem a forma da Eq. (07).

6

Frequentemente ocorre mais de uma mudança de inclinação, caracterizando também o efeito do escoamento subsuperficial e os retardos determinado em diferentes partes da bacia, ou o efeito de diferentes camadas do lençol. 104



Com efeito, para o ramo de recessão da hidrógrafa mostrada na Figura 6.11, a partir do tempo t = tI, a vazão na calha do rio é toda ela proveniente da contribuição subterrânea, isto é Q = Q b para t  tI Assim, pode-se fazer Q b0 = Q0 = QI, e Q b

 Q I  e   t  t I 

6.4.4 OBTENÇÃO DA PRECIPITAÇÃO EFETIVA E DO COEFICIENTE DE RUNOFF Após a separação do hidrograma, com o uso de um planímetro ou outro procedimento, pode-se determinar a área compreendida entre a linha do hidrograma e a linha de separação do escoamento, no intervalo de tempo entre t A e t I. Esta área, conforme é ilustrado na Figura 6.12, é numericamente igual ao volume escoado superficialmente. Numa notação matemática, Vol s





tI tA

Q - Q b 

dt 



tI tA

Q s dt .

Uma vez determinado o volume escoado superficialmente, conhecendo-se ainda o total precipitado, pode-se calcular o coeficiente de escoamento superficial ( runoff ) pela Eq. (01): C 

Vol s Vol T

.

Ainda, dividindo-se o volume escoado superficialmente pela área da bacia, pode-se determinar a precipitação efetiva total, anteriormente definida pela Eq. (02): P ef = Vols/A.

Figura 6.12 – Volume escoado superficialmente, precipitação efetiva e curva de depleção da água do solo.

105



EXEMPLO 6.1. Na seção exutória de uma bacia hidrográfica com 36,1km 2 de área de drenagem foram feitos os registros horários da vazão decorrente de uma chuva isolada de 2 horas de duração e 24 mm/h de intensidade. Os valores das vazões horárias encontram-se representados na Tabela 6.1. Com base nessas informações, pede-se: a) Promover a separação das contribuições dos escoamentos superficial e de base; b) Calcular o volume escoado superficialmente e o volume total precipitado; c) Obter a precipitação efetiva e o coeficiente de runoff . Tabela 6.1 – Vazão horária observada na seção exutória da bacia hidrográfica t (h) Q(m3/s)

1 5

2 5

3 30

4 50

5 47

6 35

7 21

8 13

9 9

10 7

11 5

Solução a) Para a separação das contribuições dos escoamentos superficial e de base é necessário identificar, no hidrograma, os pontos A e I que marcam, respectivamente, o início e o fim da contribuição do escoamento superficial direto. Para isso, constrói-se o gráfico da vazão Q versus o tempo t (Figura 6.13) utilizando os dados da Tabela 6.1. Pelo gráfico da Figura 6.13 identifica-se o ponto A, ao qual corresponde o instante em que ocorre uma mudança brusca da declividade do hidrograma (início do ramo de ascensão do hidrograma): tA=2h. Na Figura 6.13 é feita a identificação do ponto A, que corresponde ao tempo t A = 2h. Para obter o ponto I recorre-se preliminarmente à construção de um novo gráfico de Q versus t, agora em papel monolog : Q em escala logarítmica e t em escala aritmética. Nesse gráfico, representado na Figura 6.14, o ponto I é identificado pela mudança da declividade da linha reta (que representa a equação da depleção da água do solo). Conforme a Figura 6.14, o ponto I corresponde, aproximadamente, ao tempo t I = 8h.

Figura 6.13 – Hidrograma do Exemplo 6.1 106



Figura 6.14 – Gráfico de Q (escala logarítmica) versus t (escala aritmética) para a identificação do ponto I

Tomando-se a linha AI de separação dos escoamentos (linha pontilhada mostrada na Figura 6.13), é possível obter Q b(t) gráfica ou analiticamente. Adota-se, aqui, a solução analítica. Para o intervalo compreendido entre os instantes t A e tI, a parcela correspondente ao escoamento de base, Q b(t), é dada por Q b

4

 5  t  2  . 3

Permite-se, então, construir a Tabela 6.2, com os valores de Q b calculados pela equação acima (que corresponde à linha pontilhada da Figura 6.13) dispostos na 3 a coluna. Na 4ª coluna da Tabela 6.2 são calculadas as ordenadas do escoamento superficial: Q s = Q  Q b. Tabela 6.2 – Elementos de cálculo da separação dos escoamentos superficial e de base t (h)

Q(m3/s)

Qb(m3/s)

Qs(m3/s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 5 30 50 47 35 21 13 9 7 5

5,00 5,00 6,33 7,67 9,00 10,33 11,67 13,00 9,00 7,00 5,00

0,00 0,00 23,67 42,33 38,00 24,67 9,33 0,00 0,00 0,00 0,00 138,00

Qs = 107



b) O cálculo do volume escoado superficialmente, Vol s, é feito pela aproximação: Vol s





tI tA

Q - Q b 

dt 



tI tA

Q s dt 

 Q

s

 t   t

Q

s

,

pois t = constante = 1h. A soma das ordenadas da 4 a coluna da Tabela 6.2 produz Qs = 138,00m3/s. Assim, com t = 3600s, obtém-se o volume escoado superficialmente: Vols = 496.800m 3 Para obter o volume total precipitado, Vol T, multiplica-se a altura da chuva total pela área da bacia:

 P A  i  td  A .

Vol T

No caso, i = 24mm/h e t d = 2h. Logo, P = 48mm. Assim, com A = 36,1km 2 = 36,1106m2, obtém-se VolT = 1.732.800m 3 c) A precipitação efetiva, P ef , e o coeficiente de escoamento superficial, C, podem ser obtidos com os elementos já calculados. Da Eq. (02): Pef



Vol s A



496.800 36 ,1  106

Com td = 2h, i ef 

Pef td

 1,376  102 m 

13,8 2



Pef

 13 ,76mm  13,8mm

ief = 6,9mm/h



E, C

Vol s Vol T



496.800 1.732.800



C  0,29

6.5. MÉTODOS DE ESTIMATIVA DO ESCOAMENTO SUPERFICIAL A PARTIR DE DADOS DE CHUVA Na engenharia, em estudos hidrológicos, há interesse em se conhecer o hidrograma de projeto associado a um período de retorno especificado: Q(t, Tr). Isto é, deseja-se determinar o hidrograma associado a uma chuva de projeto, através de método que promove a transformação chuva-vazão, expressa por ief (td, Tr)  Qs (t, Tr). Em geral, o escoamento superficial que se deseja conhecer é aquele que resulta da chuva capaz de produzir uma enchente do curso d’água. Entretanto, pode -se mesmo desejar conhecer o escoamento superficial resultante de uma chuva qualquer. As maneiras de se realizar a mencionada transformação com base em modelação matemática são várias, sendo, adiante, selecionadas algumas delas: o método racional, o método do hidrograma unitário e o método do hidrograma unitário sintético, para o qual existem diversas variações.

108



6.5.1 MÉTODO RACIONAL O método racional, introduzido em 1889, é o mais simples dentre todos os modelos hidrológicos que promovem a transformação de uma chuva em escoamento superficial. É largamente utilizado no Brasil, Estados Unidos e muitos outros países. A aplicação do método, todavia, deve ser restrita a pequenas bacias hidrográficas, ou simplesmente, pequenas superfícies de drenagem. É recomendável limitar a aplicação do método para áreas inferiores a 2,5km 2. O método racional utiliza uma equação simples que exprime um estado permanente da transformação da chuva em vazão. Tal situação somente ocorre quando a chuva de intensidade constante e duração superior ao tempo de concentração da bacia cobre toda a área de drenagem. Assim, se ocorre uma chuva intensa uniforme i, com duração t d  tc, a vazão resultante, de acordo com o método racional, é dada por Qs

 Ci  A

(08)

sendo Qs o escoamento superficial, em m 3/s; i a intensidade da chuva, em m/s; A a área de drenagem, em m 2, e C o coeficiente de escoamento ou deflúvio superficial ( runoff ), parâmetro que leva em conta o grau de permeabilidade da área de drenagem. Na Eq. (08), C i = ief representa a parcela da chuva responsável pelo escoamento superficial. A Eq. (08) pode ser reescrita ainda para considerar diferentes possibilidades de emprego de unidades práticas, na forma Qs

 cc  C  i  A

(8.1)

onde cc é o coeficiente de correção para as unidades. Por exemplo, em termos das unidades normalmente adotadas em projetos, Q em m 3/s, i em mm/h e A em ha:



QS m 3 s

  C  imm h   Aha   0,00278 C  imm / h   Aha  , 360

(09)

o que corresponde a c c  0,00278. Ou, para Q em m3/s, i em mm/h e A em km 2: Q S m s   3

C  imm h   Akm 2  3 ,6

 0,278  C  imm h   Akm 2  ,

(10)

o que dá c c  0,278. Nas aplicações práticas, a intensidade da precipitação é obtida das curvas ou equações de intensidade-duração-frequência, válidas para a região em estudo. Estas equações, que foram vistas no estudo das precipitações (Capítulo 3), expressam-se normalmente por meio de modelos da forma i

k  Tr m

c  t d 

n

(11)

sendo Tr o período de retorno, em anos; t d a duração da chuva, em minutos; k, m, c e n os coeficientes determinados para cada local. Na equação, a duração da chuva, t d, deve corresponder à duração da chuva crítica de projeto que, no caso, deve ser feita igual a t c, o tempo de concentração, para o qual existem várias formulações empíricas. Em projetos de drenagem urbana, também é muito utilizado o método cinemático para o cálculo do tempo de concentração, que será estudado na seção 6.5.3.2. 109



6.5.1.1 COEFICIENTE DE ESCOAMENTO SUPERFICIAL NO MÉTODO RACIONAL Na prática, o coeficiente de escoamento superficial é normalmente escolhido de tabelas elaboradas com base nas características da bacia hidrográfica, ou da área de drenagem em estudo. Estas tabelas consideram o tipo de solo, a vegetação e alguns aspectos associados ao manuseio do solo e a urbanização. Três exemplos de tabelas para a obtenção do coeficiente de escoamento superficial são apresentadas a seguir: a Tabela 6.4, que contém os valores recomendados pela American Society of Civil Engineers – ASCE; a Tabela 6.5 de uso em áreas agrícolas; e a Tabela 6.6, contendo os valores adotados pela Prefeitura do município de São Paulo. Considerando o comportamento natural da bacia, é de se esperar que o coeficiente de escoamento superficial varie com a magnitude da enchente (ou com a intensidade da precipitação). Com efeito, com o aumento da intensidade da precipitação, as perdas por interceptação, infiltração e armazenamento em depressões não serão as mesmas e o coeficiente C deve aumentar. Como a intensidade da precipitação é função do período de retorno, a dependência do coeficiente de escoamento superficial da intensidade da precipitação pode ser posta em função do próprio período de retorno. Para este propósito, a Tabela 6.3 apresenta valores do multiplicador do coeficiente C para levar em conta a influência da intensidade da precipitação (ou do período de retorno) sobre este coeficiente. Tabela 6.3 – Variação do coeficiente de runoff com a intensidade da chuva, expressa em termos do período de retorno Tr (anos)

Multiplicador de C

Tr (anos)

Multiplicador de C

2 a 10 25

1,00 1,10

50 100

1,20 1,25

Quando a área de drenagem é heterogênea com ocupação diferenciada, pode-se atribuir a cada sub-região um valor diferente para o coeficiente de escoamento superficial. O coeficiente médio para toda a área de drenagem será dado, então, pela média ponderada em relação às áreas das sub-regiões. Assim, se a área de drenagem A é caracterizada por n sub-regiões, cada uma delas com área A i, i = 1, 2, ..., n, e tendo cada sub-região um valor específico correspondente para o coeficiente de runoff , Ci, então o coeficiente médio da área de drenagem poderá ser determinado por: C

1 A

C1A1  C 2 A 2    C n A n  .

(12)

EXEMPLO 6.2 (Aplicação do Método Racional em Áreas Rurais) Determinar a vazão máxima em uma pequena bacia hidrográfica rural de 2,0km 2 de área de drenagem, para o período de retorno de 50 anos, sabendo-se que: i) a área apresenta topografia composta de morros, com declividade média igual a 4,5%; solo com permeabilidade média (nem arenoso, nem argiloso); e cobertura contendo 70% de área cultivada e área restante composta de árvores naturais; ii) o desnível entre a seção do curso d’água, para o qual se calcula a vazão, e o ponto mais remoto da bacia é de 52m e a extensão deste curso d’água é de 2,9km;

110



iii)

a equação de intensidade-duração-frequência válida para a região em estudo é dada por 0 ,935 i  1519  Tr 0 ,236 16  t d  , com i em mm/h para Tr em anos e t d em minutos.

Solução: 1. Obtenção do coeficiente de escoamento superficial, C: Para áreas rurais, o coeficiente de escoamento superficial pode ser estimado a partir dos coeficientes C' dados na Tabela 6.5, com C  1  C1'  C '2  C 3' . Assim: - Para a área cultivada (70% da bacia), da Tabela 6.5: C' 1  0,10 , C' 2  0,20 e C' 3  0,10 . Portanto, C ac  1  C1'  C '2  C 3'   1  0,4  Cac=0,6. - Para a área contendo árvores naturais (30% da bacia), da Tabela 6.5: C' 1  0,10 , C' 2  0,20 e C' 3  0,20 . Portanto, C an  1  C1'  C '2  C '3   1  0,5  Can=0,5. Considerando os percentuais de cobertura diferenciada, C 

1 A

Cac A ac  Can A an   Cac

A ac A

 Can

A an A

 0 ,70  0 ,6  0 ,30  0 ,5 

C  0,57 .

2. Estimativa do tempo de concentração (duração da chuva crítica), t c: Segundo Kirpich, o tempo de concentração pode ser estimado pela Eq. (06). Assim, com L = comprimento do curso d’água da cabeceira à seção em estudo = 2,9km, e z = desnível entre o ponto mais remoto (à cabeceira da bacia) e o nível d’água na seç ão em estudo = 52m: tc

 57  L3 z 

0, 385

 57  2,93

52



0, 385



t c

 42,6min.

3. Cálculo da intensidade da precipitação, i: Da equação de intensidade-duração-frequência, válida para o local em estudo, e para Tr = 50anos, td = tc = 42,6min: i  1519  500, 236 / 16  42,6

0,935

 i  85,0mm/h.

4. Cálculo da vazão (escoamento superficial): Aplicando-se a equação do método racional para as unidades usuais (Eq. 10), a vazão máxima de 50 anos de período de retorno é finalmente encontrada: Qs

 0 ,278 C  i  A  0 ,278 0 ,57  85 ,0  2  26 ,9m3 /s.

111



TABELAS PARA A OBTENÇÃO DO COEFICIENTE DE RUNOFF , C Tabela 6.4 - Valores de C recomendados pela ASCE (1969) Coeficiente de runoff , C intervalo valor esperado

superfície  pavimento

asfalto concreto calçadas telhado  cobertura: grama solo arenoso pequena declividade (2%) declividade média (2 a 7%) forte declividade (7%)  cobertura: grama solo pesado pequena declividade (2%) declividade média (2 a 7%) forte declividade (7%)

0,70 - 0,95 0,80 - 0,95 0,75 - 0,85 0,75 - 0,95

0,83 0,88 0,80 0,85

0,05 - 0,10 0,10 - 0,15 0,15 - 0,20

0,08 0,13 0,18

0,13 - 0,17 0,18 - 0,22 0,25 - 0,35

0,15 0,20 0,30

Tabela 6.5 - Valores de C' para cálculo de C para áreas rurais (Williams, 1949) * Tipo de Área 1. Topografia  terreno plano, declividade de 0,2 a 0,6 m/km  terreno, declividade de 3,0 a 4,0 m/km  morros, declividade de 30 a 50 m/km 2. Solo  argiloso (impermeável)  permeabilidade média  arenoso 3. Cobertura  áreas cultivadas  árvores * C = 1 - (C'1+C'2+C'3)

C' 0,30 0,20 0,10 0,10 0,20 0,40 0,10 0,20

Tabela 6.6 - Valores de C adotados pela Prefeitura de São Paulo Zonas

C

Partes centrais densamente construídas de uma cidade com ruas e calçadas pavimentadas

0,70 - 0,95

Edificação muito densa: Edificação não muito densa:

Partes adjacentes ao centro, de menor densidade de habitações, mas com ruas e calçadas pavimentadas

0,60 - 0,70

Edificações com poucas superfícies livres:

Partes residenciais com construções cerradas, ruas pavimentadas

0,50 - 0,60

Edificações com muitas superfícies livres:

Partes residenciais com ruas macadamizadas ou pavimentadas Subúrbios com alguma edificação:

Partes de arrabaldes e subúrbios com pequena densidade de construção

0,25 - 0,50 0,10 - 0,25

Matas, parques e campos de esporte:

Partes rurais, áreas verdes, superfícies arborizadas, parques ajardinados, campos de esporte sem pavimentação 112

0,05 - 0,20



6.5.2 HIDRÓGRAFA UNITÁRIA Denomina-se hidrógrafa unitária, ou hidrograma unitário (HU), ao hidrograma característico da bacia correspondente à resposta da mesma à chuva efetiva uniforme de certa duração td e altura pluviométrica igual a 1cm. O hidrograma unitário de uma bacia hidrográfica é ferramenta muito útil para a transformação de dados de chuva em vazão, especialmente quando se necessita não somente da vazão máxima de projeto, mas do comportamento da vazão de cheia ao longo do tempo. No método do hidrograma unitário, admite-se que a bacia hidrográfica comporta-se como um sistema linear. Para a aplicação do método, as chuvas complexas devem ser subdivididas em chuvas simples. Assim, se for conhecido o hidrograma resultante de uma chuva simples, poderá ser facilmente determinado o hidrograma correspondente à chuva complexa. Para isso, o método apoia-se na principal propriedade dos sistemas lineares, que é a superposição dos efeitos. O método do hidrograma unitário, ou simplesmente método do HU, foi apresentado por Sherman, em 1932, e mais tarde foi aperfeiçoado por outros. Segundo Sherman, para chuvas de distribuição uniforme e intensidade constante sobre toda a bacia, admitem-se as seguintes proposições básicas: i) em uma dada bacia hidrográfica, para as chuvas de uma mesma duração, as durações dos escoamentos superficiais correspondentes são iguais; ii) duas chuvas de mesma duração, mas com alturas pluviométricas efetivas diferentes, resultam em hidrógrafas cujas ordenadas são, a cada tempo, proporcionais às correspondentes alturas pluviométricas; iii) precipitações anteriores não influenciam a distribuição no tempo do escoamento superficial resultante de uma outra chuva. O conceito de hidrógrafa, associado às três proposições básicas de Sherman acima enunciadas, fornece a possibilidade de considerar a hidrógrafa unitária como uma característica da bacia. Com efeito, dada a hidrógrafa unitária, para qualquer chuva de intensidade uniforme e duração 7 igual àquela que gerou a hidrógrafa unitária, poder-se-á calcular as ordenadas do hidrograma do escoamento superficial correspondente. Com base nas duas primeiras proposições de Sherman, estabelece-se a formulação básica do método do HU: Q s t  Q u t 



Pef 1cm

ou Q s t   Pef  Q u t 

(13)

sendo Qu(t) a vazão do escoamento superficial correspondente à chuva efetiva de altura unitária (ordenada da hidrógrafa unitária no tempo genérico t) e Q s(t) a vazão do escoamento superficial no mesmo tempo, para a chuva isolada de altura efetiva P ef , necessariamente utilizada na Eq. (13) em centímetros.

6.5.2.1 DURAÇÃO DA CHUVA NO MÉTODO DO HU Basicamente, para cada duração de chuva tem-se uma hidrógrafa unitária correspondente. Quanto menor a duração da chuva, maior será a vazão de pico do HU, visto que o volume 7

A duração normalmente adotada é a duração crítica para o cálculo da enchente. 113



escoado será sempre dado por Vol s = 1cmA. Complementarmente, o tempo de base do hidrograma unitário será tanto menor quanto menor for a duração da chuva. Segundo Linsley, Kohler & Paulhus (1975) não haverá grande diferença no estabelecimento da hidrógrafa unitária se as durações das chuvas unitárias não diferirem muito, podendo ser admitida como aceitável uma tolerância de até 25% na duração estabelecida da chuva. No Brasil, quase sempre se dispõem apenas de registros de totais diários de chuva e vazão. Este fato reduz o campo de aplicação do método do HU, pois condiciona a adoção de um período unitário mínimo de 24 horas para a duração t d. Em tais casos, de acordo com indicação feita por Johnstone & Cross, a aplicação do método do HU deve ser limitada a bacias hidrográficas de área superior a aproximadamente 2.500km 2. Esclarece-se que, em projetos de drenagem, por exemplo, chuva de projeto tem intensidade variável em intervalos de duração t d, sendo t d a duração da chuva unitária que produz o HU utilizado. A duração total da chuva normalmente adotada, que é a duração da chuva crítica para o cálculo da enchente, deverá corresponder ao mínimo valor de duração da chuva para o qual toda a bacia contribui para o escoamento superficial (isto é, tempo total de duração da chuva complexa  tempo de concentração da bacia). Numa aproximação, quando não se dispõe desta informação, poderá ser adotado um tempo da ordem de 1/3 do tempo de pico do hidrograma.

EXEMPLO 6.3 - Método do Hidrograma Unitário: estimativa das ordenadas do HU para um evento chuvoso simples Considere os dados do Exemplo 6.1. Com base naqueles elementos, obter o hidrograma unitário para a chuva de 2 horas de duração. Solução: Inicialmente, considerando-se que os dados do problema exemplo 6.1 referem-se à chuva de 2 horas de duração, adotam-se os resultados dos cálculos efetuados na solução daquele problema exemplo. Transportando-se a tabela já construída (4 primeiras colunas), pode-se então complementá-la para a redução do hidrograma do escoamento superficial (coluna 4) ao hidrograma unitário, que é um hidrograma de “volume unitário” (coluna 5). Para isso, recorre-se à Eq. (13): para o evento simples (chuva de intensidade constante de 2 horas de duração e P ef = 13,76mm = 1,376cm), Q u t  

Q s t  Pef cm



Q s t  1,376

Os valores de Q u(t) são calculados e lançados na coluna 5 da Tabela 6.7. Esses valores são, em seguida, convertidos em alturas, segundo a relação: h u t  

Q u t  A

 t 

Q u t  36,1 10

6

 3600 .

Para as vazões unitárias em m 3/s, no cálculo acima são produzidos os valores de h u em metros. Antes de serem lançados na coluna 6 da Tabela 6.7, os valores calculados são multiplicados por 100 para produzir os valores de h u(t) em centímetros. A verificação do resultado pode ser pronta e facilmente feita, pois para ser um hidrograma unitário a soma das ordenadas h u deve ser igual à unidade: o HU deve corresponder ao “volume escoado unitário ”. Com efeito,

 Q u  t  A



t A

 Q u   h u 1,00cm . 114



Tabela 6.7 – Redução do hidrograma do escoamento superficial ao hidrograma unitário (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

t (h)

Q(m3/s)

Qb(m3/s)

Qs(m3/s)

Qu(m3/s)

hu (cm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 5 30 50 47 35 21 13 9 7 5

5,00 5,00 6,33 7,67 9,00 10,33 11,67 13,00 9,00 7,00 5,00

0,00 0,00 23,67 42,33 38,00 24,67 9,33 0,00 0,00 0,00 0,00 138,00

0 17,20 30,76 27,62 17,93 6,78 0 100,29

0 0,1715 0,3067 0,2754 0,1788 0,0676 0 1,00

=

6.5.2.2 OBTENÇÃO DO ESCOAMENTO SUPERFICIAL COM BASE NO HU CONHECIDO Conhecido o hidrograma unitário da bacia para a chuva de duração t d, isto é, conhecido HU(td), pode-se obter facilmente as ordenadas do hidrograma do escoamento superficial correspondente à chuva efetiva de altura P ef e mesma duração t d. Para isto, multiplicam-se as ordenadas do HU pela altura da chuva efetiva, em centímetros. No caso de eventos complexos, isto é, chuva efetiva com intensidade variável em intervalos de tempo td, o hidrograma do escoamento superficial resultante poderá ser obtido da superposição (soma) dos hidrogramas isolados gerados pelas precipitações efetivas de intensidades diferentes, mas de mesma duração t d. Neste procedimento está implícita a consideração de que as precipitações antecedentes não influenciam a distribuição no tempo do escoamento superficial devido à chuva subsequente. EXEMPLO 6.4 - Estimativa das ordenadas do escoamento superficial produzido por um evento chuvoso complexo com base em HU conhecido O hidrograma unitário para a chuva de duração t d = 1h em uma determinada bacia hidrográfica é fornecido na tabela abaixo, em intervalos de tempo t = 1h. t (h) Qu(m3/s)

1 0

2 12,1

3 27,3

4 24,2

5 18,2

6 10,9

7 4,5

8 0

Com base nessas informações, obter o escoamento superficial resultante de uma chuva efetiva composta de precipitações cujas intensidades variam a cada 1 hora, de acordo com a tabela: Intervalo de tempo, t (h)

Precipitação efetiva, ief (mm/h)

0-1 1-2

30 20 115



Solução: Para a solução do problema, procede-se da seguinte forma: - determinam-se, para a primeira chuva de duração idêntica à que gerou o HU, as ordenadas do escoamento superficial em intervalos t: multiplicam-se as ordenadas do HU(t d) pela primeira chuva efetiva; - repete-se o procedimento anterior para a segunda chuva, levando-se em conta a defasagem (td) em relação à chuva anterior (no caso, de 1h): multiplicam-se as ordenadas do HU deslocado pela segunda chuva efetiva. - O hidrograma procurado é obtido pela superposição (soma) dos dois hidrogramas isolados. Isto é mostrado de forma gráfica na Figura 6.15. Matematicamente, se P 1 e P2 são as precipitações efetivas e sucessivas, de duração t d cada uma, então para um instante genérico, t, tem-se: Q s t   P1  Q u t   P2  Q u t  t d  .

(14)

Na planilha abaixo (Tabela 6.8) apresentam-se os resultados dos cálculos. As chuvas efetivas P 1 e P2 têm, respectivamente, 3cm e 2cm de altura. Tabela 6.8- Elementos de cálculo do hidrograma do escoamento superficial para o exemplo 6.4 Tempo (h)

P1 = 3cm Qu(t) (m3/s) P1 Qu(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 12,1 27,3 24,2 18,2 10,9 4,5 0 -

Qu =

97,2

P2 = 3cm Qu(t-td) (m3/s) P2 Qu(t-td)

0 36,3 81,9 72,6 54,6 32,7 13,5 -

0 12,1 27,3 24,2 18,2 10,9 4,5 0

0 24,2 54,6 48,4 36,4 21,8 9,0 0

0 36,3 106,1 127,2 103,0 69,1 35,3 9,0 0

Qs =

486,0

140 escoamento superficial resultante

120

100

) s 80 /

3

m ( , o ã 60 z a v

HU

40

HU deslocado

20

0 0

2

4

6

tempo, (h)

116

8

Qs (m3/s)

10



Figura 6.15 – Construção gráfica do hidrograma do escoamento superficial para o exemplo6. 4.

A verificação do resultado pode ser prontamente feita, uma vez que o volume escoado, Vols =  (Qst)

(15)

deve ser igual a P ef total  A. Como P ef total = 3 + 2 = 5cm, então deve-se ter Pef total



Vol s

2

m.

A



 Q s  t  A

 0,05 m, para Qs em m3/s, t em segundos e A em

A área A da bacia hidrográfica não foi explicitamente fornecida. Contudo, conhecem-se as ordenadas do HU, cuja soma, Qu = 97,2m3/s (soma da coluna 2 da Tabela 6.8). Como

 Q u  t  A



t A

 Q u  0,01 m,

(16)

então, A = 97,236000,01  A=34.992.000m 2  35km2. Finalmente,

 Q

s

 t 

A



486  3600 34992000

 0 ,05m  5cm .

(OK!)

A solução do problema-exemplo 6.4 pode ser generalizada para considerar o conjunto de m precipitações efetivas de intensidades variáveis em intervalos de duração t d. Conhecido o HU(td), o hidrograma do escoamento superficial resultante poderá ser calculado pela superposição dos hidrogramas isolados gerados por cada uma das m precipitações de duração t d. Considerando-se Q u(ti) a ordenada não nula do HU no tempo genérico t i, com i = 1, 2, ..., n, e sendo P j a precipitação efetiva de duração t d, com j = 1, 2, ..., m, escreve-se: 

Qs t 1   P1  Q u t 1 



Qs t 2   P1  Q u t 2   P2  Q u t 1 



Qs t 3   P1  Q u t 3   P2  Q u t 2   P3  Q u t 1  



Qs t n   P1  Q u t n   P2  Q u t n 1   P3  Q u t n 2     Pm  Q u t 1  



Qs t n m1   Pm  Q u t n  .

Ou, numa notação matricial,

Qs  p1  Pef  pn  Q u n1 ,

(17)

p  n  m  1 .

(18)

onde Estas matrizes se escrevem:

117



 P1 P  2  P3   Pef   Pm       

 Q s t 1    Q t    s 2  Q s      ;     Q t  s p 1    Q s t p    

      P1  ;  P2  P3     Pm 

P1 P2

P1

P3

P2





P3



Pm





Pm 

 Q u t 1    Q t    u 2  Q u      .     Q t  u n 1   Q u t n  

EXEMPLO 6.5 Os dados apresentados na tabela abaixo caracterizam o HU de uma bacia correspondente à chuva de duração t d = t. tempo

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Qu(m3/s)

1,0

3,0

6,0

5,4

4,6

3,2

1,8

1,2

0,8

0,3

0,0

Determinar o escoamento superficial resultante de uma chuva composta de precipitações efetivas de intensidades variando a cada intervalo t segundo a tabela abaixo: Tempo

t

t

t

Precipitação efetiva (mm)

5

10

6

Solução: Inicialmente, deve-se pesquisar o número de ordenadas não nulas do escoamento superficial. Sabe-se que são m  3 chuvas efetivas de idênticas durações; e que são n  10 ordenadas não nulas do hidrograma unitário. Então, serão p = n + m – 1 = 12 ordenadas não nulas do escoamento superficial resultante a serem determinadas. Conforme a notação matricial da Eq. (17), Q s 121  P1210  Q u 101 . Ou, introduzindo-se os valores numéricos:

 Qs Q  s  Qs   Qs  Qs   Qs  Qs   Qs Q  s Q s Q  s Q s

1 2 3 4 5 6

7 8 9

10 11

12

 0 ,5  1 ,0    0 ,6                           

0 ,5 1 ,0

0 ,5

0 ,6 1 ,0

0 ,5

0 ,6

1 ,0

0 ,5

0 ,6

1 ,0

0 ,5

0 ,6

1 ,0

0 ,5

0 ,6

1 ,0

0 ,5

0 ,6

1 ,0

0 ,5

0 ,6

1 ,0 0 ,6

118

  1 ,0      3 ,0      6 ,0  5 ,4      4 ,6  3 ,2     1 ,8   1 ,2   0 ,5 0 ,8    1 ,0  0 ,3 0 ,6



Efetuando os cálculos: -

 0,51,0 = 0,5m3/s 3 Q s 2  1,01,0 + 0,53,0 = 2,5m /s 3 Q s  0,61,0 + 1,03,0 + 0,56,0 = 6,6m /s Q s 4  0,63,0 + 1,06,0 + 0,55,4 = 10,5m3/s 3 Q s  0,66,0 + 1,05,4 + 0,54,6 = 11,3m /s 3 Q s6  0,65,4 + 1,04,6 + 0,53,2 = 9,44m /s 3 Q s7  0,64,6 + 1,03,2 + 0,51,8 = 6,86m /s 3 Q s  0,63,2 + 1,01,8 + 0,51,2 = 4,32m /s 3 Q s9  0,61,8 + 1,01,2 + 0,50,8 = 2,68m /s 3 Q s10  0,61,2 + 1,00,8 + 0,50,3 = 1,67m /s 3 Q s11  0,60,8 + 1,00,3 = 0,78m /s Q s12  0,60,3 = 0,18m 3/s. Q s1

3

5

8

Verificação: O volume escoado superficialmente, Vol s, deve ser igual ao produto da precipitação efetiva total pela área da bacia hidrográfica: Vol s  Pef total  A . No caso, P ef total = 0,5 + 1,0 + 0,6 = 2,1cm. Conhecidos os doze valores de Q s em intervalos de tempo t, tem-se que Vol s   Q s  t  . Portanto, Pef total



 Qs  t  A

.

(19)

Embora a área da bacia hidrográfica não tenha sido explicitamente fornecida, pode-se obtê-la a partir da propriedade do HU:

 Q u  t  A

 1 cm.

Ou, em unidades do Sistema Internacional, A 

1 0,01

 Q u  t  . Como, no caso, Qu=27,3m3/s

e Qs=57,33m 3/s, tem-se: Pef total



t  t 

Q Q

s

u

 0 ,01 

57 ,33 37 ,3

 0 ,01  0,021 m = 2,1cm

(OK!)

Observação: A solução do problema-exemplo 6.5 também poderia ser encontrada pela construção da planilha de cálculo abaixo. Nesta planilha calculam-se os escoamentos superficiais gerados pelas chuvas efetivas individuais e somam-se os resultados. Nota-se que a chuva efetiva P 2 ocorreu t unidades de tempo após a chuva P 1. Por isso, o HU da chuva P 2 encontra-se deslocado do tempo correspondente. O mesmo se diz da chuva P 3 em relação à chuva P 2.

119



P1 = 0,5 cm Qu P1 Qu 3 (m /s) (m3/s)

tempo

1,0 3,0 6,0 5,4 4,6 3,2 1,8 1,2 0,8 0,3

t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t 10t 11t 12t

P2 = 1,0 cm Qu P2 Qu 3 (m /s) (m3/s)

1,0 3,0 6,0 5,4 4,6 3,2 1,8 1,2 0,8 0,3

0,5 1,5 3,0 2,7 2,3 1,6 0,9 0,6 0,4 0,15

1,0 3,0 6,0 5,4 4,6 3,2 1,8 1,2 0,8 0,3

P3 = 0,6 cm Qu P3 Qu 3 (m /s) (m3/s)

1,0 3,0 6,0 5,4 4,6 3,2 1,8 1,2 0,8 0,3

0,6 1,8 3,6 3,24 2,76 1,92 1,08 0,72 0,48 0,18 Qs=

Qs (m3/s)

0,50 2,50 6,60 10,50 11,30 9,44 6,86 4,32 2,68 1,67 0,78 0,18

57,33

6.5.2.3 ESTIMATIVA DAS ORDENADAS DO HU COM BASE EM DADOS HISTÓRICOS Consideram-se, agora, conhecidas as vazões e as precipitações, e desconhecidas as ordenadas do hidrograma unitário, num evento complexo. Demonstra-se, a seguir, que este é um problema que possui mais equações do que incógnitas: apresenta, portanto, infinitas soluções. Para a solução do problema, é possível interpretar o hidrograma complexo como resultante da superposição de hidrogramas isolados correspondentes aos respectivos períodos de precipitações, observando-se, ainda, admitirem todos eles o mesmo hidrograma unitário. Sejam os registros de m precipitações efetivas sucessivas, ocorrendo em intervalos de tempo de duração t d, dadas por P 1, P 2, ..., Pm. As p vazões do escoamento superficial resultante, conhecidas em intervalos de tempo t, são Q s1 , Qs2 , ..., Q s p . As ordenadas procuradas do HU são Q u1 , Q u 2 , ..., Q u n , onde o número n de ordenadas vale n = p – m + 1. Em notação matricial, para t d = t, Q s  p1  Pef  pn  Q u n1 . Ou, operando as variáveis: -

 P1  Q u Q s  P1  Q u  P2  Q u Qs  P1  Q u  P2  Q u  P3  Q u Q s1

1

2

2

1

3

3

2

1



-

Q s p1

-

Q s p

 Pm  Q u   Pm1  Q u n 1

n

 Pm  Q u n .

Este sistema possui p equações e n incógnitas, e como n  p, o sistema tem infinitas soluções. Entre as soluções possíveis, apresentam-se a seguir algumas delas 8. i) Por substituição, no sentido dos tempos crescentes: - Q u1  Qs1 P1 8

Qualquer que seja o tipo de solução buscada, existirá sempre mais equações do que incógnitas. E nem todas as equações serão usadas para a estimativa de Q u. 120


-

 Qs  P2  Q u P1 Q u  Qs  P3  Q u  P2  Q u Qu2

2

1

3

3

1


2

P1



ii) Por substituição, no sentido dos tempos decrescentes: - Q u n  Qs p Pm

-

Q u n 1

-



 Qs   Pm1  Q u p 1

n

Pm

iii) Por inversão de matriz:

[Qs]=[P][Qu]. Multiplicando-se, membro a membro, pela matriz transposta de P, [P T]: [PT][Qs] = [PT][P][Qu]. Fazendo, [PT][P] = [X], tem-se [Qu] = [X-1][PT][Qs].

EXEMPLO 6.6 São dadas as precipitações efetivas do evento chuvoso que cobre completamente uma bacia urbana, com intensidades variáveis em intervalos de tempo de duração t d = 1h: i1ef = 40mm/h e i2ef = 20mm/h. Se as vazões resultantes (escoamento superficial), conhecidas em intervalos de tempo de 2 horas, são Q s = 37m3/s, 73m3/s, 55m3/s e 18m3/s, calcular as ordenadas do hidrograma unitário da chuva de duração t d = 1h. Dado: Área da bacia urbana, A = 22km 2. Solução: Para visualização, representam-se na Figura 6.16 o hietograma da chuva efetiva e o hidrograma do escoamento superficial conhecidos.

Figura 6.16 – Hietograma e hidrograma do escoamento superficial do exemplo 6.6 121



A solução do problema é encontrada a partir da solução do sistema de equações, que pode ser escrito na forma matricial como: Qs  p1  Pef  pn  Q u n1 . Todavia, a solução desse sistema exige que sejam conhecidas as vazões em intervalos de duração igual a t d, uma vez que, conforme o método, está implícito que o HU é deslocado deste intervalo de tempo. Como os dados de vazão (escoamento superficial) são fornecidos em intervalos de 2 horas, pesquisam-se, graficamente, valores intermediários dessas vazões (interpolações gráficas), correspondentes aos tempos t = 1h, 3h, 5h, 7h e 9h. Numa aproximação, por interpolação, as vazões correspondentes a esses tempos são, respectivamente: Q s = 17m3/s; 58m3/s; 70m3/s; 35m3/s e 6m3/s. Dessa forma, as vazões em intervalos de tempo de 1 hora, que entram na solução do sistema de equações acima enunciado na forma matricial, são: Q s1 = 17m3/s; Qs2 = 37m3/s; Qs3 = 58m3/s; Qs4 = 73m3/s; Qs5 = 70m3/s; Qs6 = 55m3/s; Qs7 = 35m3/s; Qs8 = 18m3/s e Qs9 = 6m3/s. O número de ordenadas não nulas do escoamento superficial, conhecidas em intervalos de 1 hora, é p = 9. A matriz [Qs] tem, então, dimensão 9 1. Havendo duas precipitações efetivas, temse m = 2. Logo, o número de ordenadas não nulas procuradas do HU(t d=1h) neste problema exemplo é n = p – m + 1 = 8. Como, no caso, as alturas das precipitações efetivas P 1 e P2 são P1 = i1ef  td = 401 = 40mm = 4cm e P2 = i2ef  td = 201 = 20mm = 2cm escreve-se, pois:

17  4 37 2    58     73  70      55  35     18  6    

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

   Q u1   Q u 2      Q u 3   Q u   4   Q u 5   Q    u6   Q u7   4  Q  u  2  8 

Multiplicando-se as matrizes, encontram-se, então, as 9 equações para as 8 incógnitas Q ui: 17 = 4  Qu1 (i) 37 = 2  Qu1 + 4  Qu2 ( ii ) 58 = 2  Qu2 + 4  Qu3 ( iii ) 73 = 2  Qu3 + 4  Qu4 ( iv ) 70 = 2  Qu4 + 4  Qu5 (v) 55 = 2  Qu5 + 4  Qu6 ( vi ) 35 = 2  Qu6 + 4  Qu7 ( vii ) 18 = 2  Qu7 + 4  Qu8 ( viii ) 6 = 2  Qu8 ( ix ) Resolve-se, em seguida, por tentativa. Resolvendo por substituição, no sentido crescente dos tempos (empregando as equações i, ii, iii, ... e viii), tem-se: De (i), Qu1 = 4,250m3/s. De (ii), conhecido Q u1, Qu2 = 7,125m3/s. De (iii), conhecido Qu2, Qu3 = 10,938m3/s. 122



De (iv), conhecido Q u3, Qu4 = 12,781m3/s. De (v), conhecido Q u4, Qu5 = 11,109m3/s. De (vi), conhecido Q u5, Qu6 = 8,195m3/s. De (vii), conhecido Q u6, Qu7 = 4,652m3/s. De (viii), conhecido Q u7, Qu8 = 2,174m3/s. Para constituir um HU, os resultados encontrados devem satisfazer a relação:  Q u  t / A  1 cm . Isto significa que a soma das ordenadas do HU, convertidas em alturas, deve ser igual a 1 cm. Faz, então, a verificação. No caso, Qui = 61,225m 3/s. Como t = 1h = 3600s e A = 22km 2 = 22106m2, tem-se:  Qu  t / A  3600  61,225  22 106  0,01002 m  1,002 cm  1,00 cm . Portanto, o erro encontrado é igual a 0,002 cm, que equivale a 0,2%. Como semelhante erro é desprezível frente às demais incertezas presentes no problema, as ordenadas Q u1, Qu2,.. Qu8 procuradas podem ser aquelas acima encontradas. 9

Neste ponto, duas observações são feitas com relação à obtenção do HU a partir de dados históricos. I. Normalmente, dispondo-se de dados históricos, defronta- se com o “problema” de existir mais de um conjunto de pares de dados de precipitação e vazão observados, ou seja, mais de um evento observado. Neste caso, a seleção do melhor evento para o cálculo do HU deve ser criteriosa, cuidando-se de evitar a possibilidade de tendenciosidade na estimativa do HU da bacia. Por exemplo, os eventos de pequena magnitude tendem a subestimar a previsão de cheias maiores. Assim, para escolher eventos adequados deve-se procurar atender aos objetivos do estudo. No caso de estudo voltado para cheias de grandes intervalos de recorrência, deve-se procurar trabalhar com os hidrogramas das maiores cheias disponíveis. II. Selecionados alguns eventos que atendam aos objetivos do estudo, é de se esperar que cada evento produza um HU diferente em magnitude e distribuição temporal, o que é consequência da não uniformidade da precipitação no espaço e no tempo, bem como das características não lineares do escoamento. É necessário, contudo, sintetizar um único HU para a bacia. Dispondose de vários HU’s para a chuva de certa duração, para sintetizá-los num único têm-se dois métodos principais: 1) Posicionam-se os HU’s em uma origem comum e tomam -se as médias das ordenadas em cada tempo. Este procedimento tende a reduzir o pico das vazões de cheia. 2) Posicionam-se os HU’s com base nos p icos, obtendo-se a média das ordenadas em cada tempo. Em qualquer dos casos acima, nas situações (1) ou (2), deverá ser garantido o “volume unitário”, isto é:  Q u  t  A  1 cm .

6.5.2.4 CONVERSÃO DO HU PARA DIFERENTES DURAÇÕES Considera-se a situação inicial em que é conhecido o hidrograma unitário de uma bacia hidrográfica para chuvas de duração t d, isto é, HU(td) conhecido. Seja, então, t d’ um novo 9

Poder-se-ia, ainda, pesquisar outras soluções, resolvendo o mesmo problema por substituição, por exemplo, no sentido decrescente dos tempos. 123



intervalo de tempo (duração de outra chuva) para o qual se deseja conhecer o correspondente hidrograma unitário: HU(td’). Analisam-se duas possíveis situações: a) t d’  td e b) td’  td. Caso a): td’ td Este é o caso da chuva unitária com duração maior do que aquela que gerou o HU conhecido. O procedimento a ser adotado para obter o novo HU consiste, simplesmente, em deslocar o HU conhecido [(t d’/td) – 1)] vezes, somando-se, em seguida, as ordenadas dos HU’s em cada tempo. Ao final, as novas ordenadas desse hidrograma auxiliar assim obtidas devem ser divididas por (td’/td) para que o “volume unitário” seja mantido. Faz-se, a seguir, um exemplo de aplicação deste caso (a).

EXEMPLO 6.7 Dado o hidrograma unitário de determinada bacia hidrográfica para a chuva efetiva de 20 minutos (tabela abaixo), obter o hidrograma unitário da chuva efetiva de 1 hora de duração. t (min) hu (cm)

20 0,12

40 0,30

60 0,28

80 0,17

100 0,09

120 0,04

Observação: Neste exemplo, as ordenadas do HU são fornecidas em termos da altura h u da lâmina d’água escoada, em intervalos de 20min: h u=QutA. Nota-se que a soma das ordenadas do HU satisfaz a condição de “volume escoado unitário”, isto é, a soma das ordenadas h u é igual a 1,00 cm, como requerido pelo método.

Solução: No exemplo, é conhecido o HU(t d=20min), com ordenadas dadas em intervalos t=20min. Para encontrar o HU(td’=1h) deve-se, inicialmente, deslocar [(t d’/td) – 1)] vezes o HU(t d=20min) do intervalo igual à duração t d. Isto é, o HU(t d=20min) deve ser deslocado (60min/20min – 1) = 2 vezes de um intervalo de 20 minutos. A soma das orden adas dos três HU’s deverá produzir um hidrograma auxiliar cujo volume escoado correspondente equivalerá a 3,0cm. Deve-se, portanto, ao final, dividir as ordenadas deste hidrograma auxiliar por t d’/td (dividir por 3, neste caso) para encontrar as ordenadas procuradas do HU(t d=1h). A solução deste problema-exemplo é apresentada na Tabela 6.9 e, também, na forma de uma construção gráfica na Figura 6.17. Tabela 6.9 – Construção do HU(td’=1h) a partir do HU(t d=20min) conhecido tempo (min)

20 40 60 80 100 120 140 160

HU(td=20min) HU deslocado (cm) (cm)

0,12 0,30 0,28 0,17 0,09 0,04

HU deslocado (cm)

H Auxiliar (cm)

HU(td’=1h) (cm)

0,12 0,30 0,28 0,17 0,09 0,04

0,12 0,42 0,70 0,75 0,54 0,30 0,13 0,04

0,040 0,140 0,233 0,250 0,180 0,100 0,043 0,013 1,00cm

0,12 0,30 0,28 0,17 0,09 0,04

hu =

124



._._._._._ Hidrograma Auxiliar

0,8

......... ....... HU (t d = 20min) _______ HU (td' = 1h) 0,6

) m c 0,4 ( u

h

0,2

0,0 0

50

100

150

200

tempo, t (min)

Figura 6.17 – Construção do HU(td’=1h) a partir do HU(t d=20min) do exemplo 6.7.

Caso b): td’ td Na estimativa do HU para a chuva efetiva de duração t d’, com base no HU conhecido para a chuva de duração t d maior que td’, utiliza-se da construção da “curva em S” (hidrograma em S) definida pela resposta da bacia a uma precipitação de intensidade constante e duração superior ao seu tempo de concentração. Para obter a “curva em S ” aplica-se sucessivamente o HU(t d), isto é, desloca-se o HU(t d) várias vezes, e somam-se as ordenadas de mesmo tempo, até que seja atingido o patamar. O patamar do hidrograma em S ocorre quando o tempo de base do HU(t d) é atingido. A seguir, defasa-se o hidrograma em S da duração t d’: isto é, deve-se construir o hidrograma S(t td’). Como ilustração, na Figura 6.18 representa-se a construção dos dois hidrogramas em S deslocados de t d’, concebidos a partir do HU(t d), com ordenadas dadas em intervalos t = td’.

Figura 6.18 – Construção dos hidrogramas S defasados de t d’ a partir do HU(t d), com td’ td 125



Subtraindo-se, a cada tempo, as ordenadas de S(t-t d’) das ordenadas de S(t) obtém-se um hidrograma auxiliar (não representado na Figura). Finalmente, deve-se dividir as ordenadas deste hidrograma auxiliar por (t d’/td) para, finalmente, obter as ordenadas do HU(t d’). A soma das ordenadas do novo HU deve, naturalmente, satisfazer a condição de “volume escoado unitário”. Faz-se, a seguir, um exemplo de aplicação deste caso (b).

EXEMPLO 6.8 Conhecido o HU de uma bacia para a chuva efetiva unitária de duração t d=1h, com ordenadas definidas conforme a tabela abaixo em intervalos de 20 em 20 minutos, determinar o HU para a chuva de duração t d’=20min. 20 40 60 80 100 120 140 160 HU(td=1h), cm 0,050 0,135 0,230 0,230 0,175 0,105 0,060 0,015 t (min)

Solução: No caso, td’ td  td’/td = 1/3. Inicialmente, deve-se construir a curva em S(t): admite-se a ocorrência de uma sucessão de precipitações unitárias de duração t d, o que equivale a deslocar várias vezes o HU(t d=1h) de intervalos de 1h. Na prática, é suficiente deslocar o HU(t d) um número de vezes tal que o tempo de base seja atingido. Na Tabela 6.10, as colunas (3), (4) e (5) representam os HU’s deslocados e a coluna (6) c ontém as ordenadas do hidrograma S(t) obtidas pela soma, em cada tempo, dos valores das colunas (2), (3), (4) e (5). O hidrograma S(t-t d’) é apresentado na coluna (7): ele é obtido deslocando-se S(t) de um intervalo t d’. A coluna (8) apresenta o hidrograma auxiliar, que resulta da operação coluna (6) – coluna (7), isto é, S(t)  S(t-td’). Nota-se que a partir do tempo t = 120min a diferença dos hidrogramas S passa a oscilar em torno do valor zero. Na coluna (9) tem-se as ordenadas do HU(t d’=20min), obtidas pela divisão da coluna (8) por (td’/td) e, na coluna (10), representam-se os valores acumulados da coluna (9): nota-se uma imprecisão com relação ao último valor não nulo no tempo t=120min (a soma da coluna 10 ultrapassa 1,00cm no tempo t=120min). Para encontrar o último valor não nulo do HU(t d’) é necessário somar todos os outros valores e atribuir ao último a quantidade suficiente para tornar a soma total igual à unidade. Tabela 6.10 – Construção do HU(td’=20min) a partir do HU(t d=1h) conhecido (1)

(2)

(3)

t (min)

HU(1h) (cm)

20 40 60 80 100 120

0,050 0,135 0,230 0,230 0,175 0,105

0,050 0,135 0,230

140

0,060

0,230

(4)

(5)

HU desl. HU desl. HU desl. (cm) (cm) (cm)

0,050 126

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

HU(td’) (cm)

S(t) (cm)

S(t-td’) Hid.Aux. (cm) (cm)

HU(td’) (cm)

0,050 0,135 0,230 0,280 0,310 0,335

0,050 0,135 0,230 0,280 0,310

0,050 0,085 0,095 0,050 0,030 0,025

0,150 0,150 0,405 0,255 0,690 0,285 0,840 0,150 0,930 0,090 0,075(?) 1,005(?) 0,070

0,340

0,335

0,005


160 180 200 220 240 260

0,015 0

0,175 0,105 0,060 0,015 0


0,135 0,230 0,230 0,175 0,105 0,060

0,325 0,335 0,340 0,325 0,335

0,340 0,325 0,335 0,340 0,325

-0,015 0,010 0,005 -0,015 0,010

0,050 0,135 0,230 0,230







280

0,015

0,175







300

0

0,105







320

0,060







340

0,015







Os resultados apresentados na Tabela 6.10 são também utilizados para a construção gráfica mostrada na Figura 6.19. 0,40 HU ( td' = 20min )

0,35

S(t) 0,30

HU ( td = 1h ) S ( t - t d' )

0,25

) m 0,20 c ( u

h 0,15 0,10 0,05 0,00 0

60

120

180

240

300

360

420

480

tempo (min) Figura 6.19 – Construção gráfica para a obtenção do HU(t d’=20min) a parti do HU(t d=1h) conhecido

6.5.2.5 DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS PRECIPITAÇÕES EFETIVAS A precipitação efetiva é a parcela da chuva caída que gera o escoamento superficial. Em eventos complexos, tanto quanto a precipitação total, a precipitação efetiva tem sua intensidade variável ao longo do tempo. Para obter a precipitação efetiva total deve-se retirar do total precipitado a parcela interceptada pela vegetação e outros obstáculos, a parcela retida nas depressões superficiais do terreno e a parcela infiltrada no solo. Escreve-se, então, 127


Pef Total


 PTotal  F  PI

(20)

onde, F = infiltração total, medida em termos de altura da lâmina d’água infiltrada, e

PI = perdas iniciais = interceptação + retenções superficiais. Se for conhecido o modelo descritivo da infiltração na bacia hidrográfica (por exemplo, a equação de Horton para a capacidade de infiltração f), poder-se-á então calcular a lâmina d’água infiltrada ao longo do tempo. Para superar as dificuldades associadas à estimativa dos parâmetros de infiltração e à determinação das perdas iniciais, outros procedimentos foram desenvolvidos visando a obtenção do hietograma da precipitação efetiva, que utilizam índices ou relações funcionais para esse propósito. Na sequência, apresenta-se um desses procedimentos, conhecido como o Método do Índice 

6.5.2.5.1 USO DO ÍNDICE PARA OBTER Pef O índice  é calculado dividindo-se a altura da parcela não escoada da chuva pelo número de intervalos de tempo de duração da chuva:



PI  F m



Intercepta ção  Retenções Superficia is  Infiltraçã o número de chuvas



PTotal  Vols A número de chuvas

(21)

Este valor é subtraído de cada precipitação ao longo do tempo obtendo-se, para cada intervalo, a chuva efetiva correspondente. A Figura 6.20 ilustra o procedimento de obtenção de P ef com o uso do método do índice .

Figura 6.20 – Ilustração para o cálculo das precipitações efetivas pelo método do índice 

Observação: Pode existir intervalo em que o índice  calculado é maior do que a chuva,   Pi. Neste caso, faz-se Pi = 0 e redistribui-se o valor correspondente à diferença   P i nos outros intervalos. Isto é, para que o volume da precipitação efetiva seja igual ao do escoamento superficial, é necessário subtrair o valor equivalente à diferença   Pi de cada precipitação nos demais intervalos de tempo.

10

O S.C.S. (U. S. Soil Conservance Service ), apresenta um método que utiliza uma relação funcional para a obtenção da precipitação efetiva (evento chuvoso complexo). Além desse, há métodos de construção do hietograma da chuva efetiva na forma de blocos a partir das curvas ou equações de intensidade-duração-frequência. (Ver seção 3.5.3.2.1) 128



EXEMPLO 6.9 Na tabela abaixo são fornecidos os dados de precipitação e vazão na seção exutória de uma bacia hidrográfica com 310km 2 de área de drenagem. Construir o hidrograma unitário da bacia para a chuva efetiva de 6h. t (h) Q(m3/s) P (mm)

6 28,0 24

12 28,0 66

18 28,0 14

24 93,0

30 162,7

36 162,6

42 120,0

48 56,8

54 37,0

60 31,0

66 28,0

Solução: Para a construção do HU(t d=6h) é preciso conhecer as ordenadas do hidrograma do escoamento superficial e a chuva efetiva. As ordenadas do hidrograma do escoamento superficial são obtidas a partir da separação dos escoamentos superficial e de base, enquanto a chuva efetiva é obtida pelo Método do Índice .  Separação dos Escoamentos Superficial e de Base

Para separar os escoamentos superficial e de base, preliminarmente devem ser identificados no hidrograma os pontos A e I, que marcam o início e fim da contribuição do escoamento superficial, respectivamente. O ponto A é de mais fácil identificação, pois corresponde a uma mudança abrupta no comportamento do hidrograma no início do ramo de ascensão. No caso, com a ajuda da Figura 6.22, ou da própria tabela de dados, encontra-se facilmente t A = 18h. Para obter o ponto I, utiliza-se a suposição de que a depleção da água do solo segue uma lei exponencial ao longo do tempo. Para tanto, recorre-se à construção gráfica da Figura 6.21, em papel monolog. De acordo com o modelo para a depleção da água do solo, para t  tI, o gráfico da vazão Q (em escala logarítmica) versus o tempo t (em escala aritmética) deve produzir uma linha reta, pois para t  tI, Q = Q b (Qs = 0). Seguindo esse procedimento, em que o ponto I marca o limite de validade do modelo de depleção (comportamento linear) e indica o fim da contribuição do escoamento superficial, encontra-se, conforme ilustrado na Figura 6.21, t I  60h.

100

) s /

Ponto I

3

m ( Q , o ã z a v

10 30

40

50

60

70

tempo, t (h)

Figura 6.21 – Construção gráfica para a identificação do ponto I que marca o instante final da contribuição do escoamento superficial

129



Obtidos, assim, os pontos A e I, faz-se em seguida a separação gráfica. Por simplicidade, conforme é ilustrado na Figura 6.22, adotou-se o segmento de reta AI para a separação do escoamento de base. A reta que passa por A  (18h, 28m3/s) e I  (60h, 31m3/s) tem por equação: Q b = 26,714 + 0,0714 t, com Q b em m3/s para t em h. Com base nesta equação, são calculados os valores de Q b para o trecho AI, sendo os valores lançados na 3 a coluna da Tabela 6.11. Esses valores permitem a obtenção das ordenadas instantâneas do escoamento superficial, uma vez que Q(t) = Q b(t) + Qs(t).  Obtenção do Índice  e da Precipitação Efetiva

O volume escoado superficialmente pode ser obtido de Vol s   Q s  t  . No caso, t = 6h = 21600s (constante). Assim, Vol s  21600   Q s . Somando-se os valores de Q s, como mostrado na Tabela 6.11 ( Qs = 455,108m 3/s), e multiplicando-se por t, obtém-se Vols = 9,830106 m3. Com base nos dados do problema, precipitação total vale: P Total = 24 + 66 + 14 = 104mm = 0,104m. Para a área da bacia hidrográfica, A = 310km 2 = 310 x 106m2, o índice  pode ser calculado. Pela Eq. (21), altura de chuva não escoada PTotal  Vol s A   número de precipitações

m

Portanto, com os valores calculados, 0,104  9,830 106 310 106 0,104  0,0317 0,0723     0,0241m  24,1mm . 3

3

3

Em seguida, a quantidade  = 24,1 mm deve ser subtraída de cada parcela P i dada, para produzir as alturas das chuvas efetivas P i ef em intervalos t d =6h. Nota-se que, no caso, P 1 e P3 são menores do que , razão pela qual faz-se, então, P 1 = 0 e P 3 = 0. As diferenças P1 e P3 devem ser somadas e redistribuídas no outro intervalo (subtraída do valor de P 2). Ou seja, - Intervalo de 0 a 6h: P 1=24mm  P1 –  = – 0,1mm  Faz-se P1 ef = 0 (resta 0,1mm para redistribuir). - Intervalo de 6 a 12h: P 2=66mm  P2 –  = 41,9mm. - Intervalo de 12 a 18h: P 3=14mm  P3 –  = – 10,1mm  Faz-se P3 ef = 0 (resta 10,1mm para redistribuir). O total a ser redistribuído é igual a: 0,1+10,1=10,2mm. Esta quantidade é subtraída de 41,9mm (única parcela não nula), produzindo P ef = P2 ef = 41,9 – 10,2 = 31,7mm=3,17cm. Verificação: Pef = 0+31,7+0 = 31,7mm. Vol s

  Pef  A  31 ,7 103  310  106  9 ,830 106 m3 (OK!).

 Cálculo das ordenadas do HU(t d=6h)

A fórmula geral de obtenção das ordenadas do HU é Qs  p1  Pef  pn  Q u n1 , onde p=n+m-1. No caso tem-se apenas uma chuva efetiva (m=1). Logo, p = n. Escreve-se, então, simplesmente, Q u t   Qs t  Pef , com P ef em cm para obter Q u(t) com as mesmas unidades de Q s(t). Os resultados dos cálculos encontram-se lançados na última coluna da Tabela 6.11. O HU é representado na Figura 6.23, juntamente com os hidrogramas do escoamento total e superficial.

130



Figura 6.22 – Hidrograma da chuva do exemplo 6.9 e separação dos escoamentos de base e superficial Tabela 6.11 – Separação dos hidrogramas para a construção do HU do exemplo 6.9 t (h)

Q (m3/s)

Qb (m3/s)

Qs (m3/s)

Qu (m3/s)

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

28,0 28,0 28,0 93,0 162,7 162,6 120,0 56,8 37,0 31,0 28,0

28,000 28,000 28,000 28,428 28,856 29,284 29,713 30,141 30,570 31,000 28,000

0 0 0 64,572 133,844 133,316 90,287 26,659 6,430 0 0 455,108

0 20,37 42,22 42,06 28,48 8,41 2,03 0 143,57

=

131



150

) s /

(Qxt)

3

m ( u

100

Q e

( Qs x t )

s

Q , Q , o 50 ã z a v

( Qu x t )

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

tempo (h)

Figura 6.23 – Hidrogramas do problema-exemplo 6.9

Nota: de acordo com a propriedade de qualquer HU,  Q u  t  A  1cm. Faz-se, então, a verificação dos resultados do exemplo 6.9:

 Q u  t  A



t   Q u  A

6  3600s   143,57m s  3



310  10 m 6

2



 0,0100m = 1cm (OK!)

6.5.3 MÉTODO DO HIDROGRAMA UNITÁRIO SINTÉTICO Quando não se dispõe dos dados necessários ao estabelecimento do HU, conforme visto na seção anterior, estes ainda podem ser sintetizados. Para tal fim, utilizam-se as informações de outras bacias, de características as mais semelhantes possíveis, para construir o hidrograma unitário da bacia de interesse. Os métodos conhecidos para a construção do HU sintético 11 baseiam-se, em geral, na determinação de valores de alguns tempos característicos do hidrograma, como o tempo de pico e o tempo de base, e na determinação da vazão de pico do hidrograma. A partir da regionalização destas variáveis com base em características físicas, tem-se permitido estabelecer o HU para um local sem dados observados 12. Apresentam-se, a seguir, três dos mais conhecidos métodos de sintetização do hidrograma unitário para uma bacia: 1) o método de Snyder, 2) uma variação do método de Snyder para

11

Métodos do HU sintético: Bernard; McCarthy; Snyder; Clark; Taylor e Schwarz; Commons; U.S. Soil Conservance Service ; Mitchell; Getty e McHughs; Dooge; Warnock; etc. 12 A inexistência de dados históricos se deve, frequentemente, a rios desprovidos de estações hidrométricas. 132



aplicação em bacias urbanas, aqui referida como o método do Colorado, e 3) o método do Soil Conservance Service13.

6.5.3.1 MÉTODO DO HIDROGRAMA UNITÁRIO SINTÉTICO DE SNYDER O Método do HU sintético de Snyder (1938) foi proposto com base em dados dos Apalaches (EUA), para bacias hidrográficas de 10 a 10.000 milhas quadradas (aproximadamente, 26km2 a 26.000km 2). Para a construção do HU sintético, o Método de Snyder utiliza as estimativas de alguns parâmetros característicos, que são abaixo definidos. a) Tempo de pico do hidrograma , t p O tempo de ocorrência do pico da vazão, t p, é medido na escala das abscissas, desde o centro geométrico do hietograma da chuva efetiva até o pico do hidrograma do escoamento superficial (no caso, um HU), conforme ilustrado na Figura 6.24. Este tempo, expresso em horas, é estimado de t p

 0,752  C t  L  L CG 0,3

(22)

onde, Ct = coeficiente empírico que depende das características da bacia, com valor médio entre 1,8 e 2,2 segundo Snyder; L = comprimento da bacia, em km, medido ao longo do rio principal, desde o divisor de águas até a saída da bacia; LCG = distância medida ao longo do rio principal, desde o ponto do rio principal mais próximo do centro geométrico da bacia até a saída da mesma, em km. b) Duração da precipitação, td No método Snyder, a duração da precipitação que gera o hidrograma é estimada de td



tp 5 ,5

,

(23)

com td e t p dados em horas. c) Vazão de pico da hidrógrafa unitária , Qup Para a chuva efetiva de 1cm de altura e duração t d, a vazão de pico do hidrograma é calculada de q up



Q up A

 2,755

C p t p

(24)

para Qup em m3/s, qup em (m3/s)/km2, t p em h, e C p = coeficiente empírico, com valor variando entre 0,56 e 0,69, segundo Snyder; e A = área de drenagem, em km 2. d) Tempo de base do hidrograma unitário , t b O tempo de base do HU no método de Snyder, t b, em dias, é estimado de t b

 3

tp 8

(25)

13

O Hidrograma Unitário Sintético deve ser utilizado como último recurso. Antes de se construir um HU sintético é preciso avaliar a possibilidade de realização de experimentos de campo por ocasião de cheias. 133



para t p em horas. Para bacias hidrográficas pequenas, é fácil perceber que este tempo é superestimado, uma vez que conforme a Eq. (25) t b parte de um valor mínimo de 3 dias. Com os valores estimados de Q up, t b, t p o HU da chuva de duração t d pode ser esboçado, procurando atender a condição do “volume escoado unitário”14. Como elementos auxiliares ao traçado do HU sintético de Snyder, utilizam-se expressões empíricas para o cálculo da largura do hidrograma a 75% e 50% do valor da vazão de pico. Estes valores são representados por w 75 e w 50 no gráfico da Figura 6.24, e foram gerados com base em dados de várias bacias hidrográficas dos Estados Unidos 15:

Figura 6.24 – Parâmetros característicos do método de Snyder

w 75



3 ,35

Q up A1 08 ,

e w 50



5 ,87

Q up A 1 08 ,

,

(26)

com w75 e w50 em h, para Qup em m3/s e A em km 2. As regras apresentadas para o traçado do hidrograma constituem apenas uma orientação geral, uma vez que a forma do hidrograma depende de inúmeros fatores 16 que não podem ser explicados por um número tão pequeno de parâmetros. É importante que o HU seja traçado à mão, obedecendo a orientação proposta e fazendo com que a área situada sob o hidrograma da Figura 6.24 corresponda ao “volume escoado unitário”. Observações: 1) Cada hidrógrafa construída terá estrita correspondência com a duração t d da chuva. Para outra chuva de duração t D, Linsley propõe corrigir o tempo de pico, segundo

14

Área sob a hidrógrafa unitária igual a 1cm x área da bacia. Por retratar condições médias de bacias norte-americanas, não atende rigorosamente a uma bacia específica. Por isso, as equações devem ser usadas com cautela. 16 Ver item 6.4.2 15

134

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior t pC

 t p 

tD

 td 4


.

(27)

O tempo de pico corrigido, t pc, deverá ser usado em lugar de t p na Eq. (24), que implica na correção das equações (25) e (26). 2) Para a Califórnia, nos Estados Unidos, Linsley encontrou valores dos coeficientes C t e C p do método de Snyder que diferem daqueles aqui apresentados. Conforme observado por Linsley, 0,93  Ct  1,3 e 0,35  C p  0,50.

6.5.3.1.1 ADAPTAÇÃO DO HIDROGRAMA DE SNYDER PARA ÁREAS URBANAS Para áreas urbanas, o Distrito de Drenagem Urbana de Denver, no Colorado (EUA), fez uma adaptação do método do HU sintético de Snyder. O conjunto de procedimentos para a sintetização da hidrógrafa unitária é conhecido como Colorado Urban Hydrograph Procedure , CUHP, porque os coeficientes são baseados em dados gerados de estudos que foram financiados pela cidade de Denver 17. De 1967 a 1973, desenvolveram-se estudos em 19 bacias urbanas da região de DenverBoulder, tomando-se por base 96 hidrogramas unitários. As equações resultantes destes estudos, voltadas para o cálculo dos elementos característicos do hidrograma unitário, são modificações feitas nas expressões de Snyder para considerar a nova situação (bacia urbana). a) Tempo de pico do hidrograma , t p, pelo CUHP A determinação do tempo de ocorrência do pico de vazão, t p, já definido, é feita através da Eq. (22), porém introduzindo novos procedimentos para avaliação dos parâmetros envolvidos. Com base na experiência de Denver, faz-se uma avaliação primária do coeficiente C t da Eq. (22), com base na expressão empírica: Ct0



7,81 Ia

0, 78

, para Ia  30%

(28)

onde Ia = percentagem de impermeabilização da bacia. Para a estimativa de I a sugere-se recorrer à Tabela 6.12. Tabela 6.12 – Porcentagem de impermeabilização em função do uso do solo (Para uso somente com o método CUHP) Uso do solo

Percentual de impermeabilização

áreas centrais de comércio, terminais aeroportuários, shopping centers, etc. residencial (denso) residencial (normal) residencial (grandes lotes) parques, cinturões verdes, etc.

95 - 100 45 – 60 35 – 45 20 – 40 0 - 10

Algumas correções aplicáveis ao valor de C t0 são recomendadas para a obtenção do valor final de Ct, visando incluir os efeitos da presença de galerias de águas pluviais e da declividade do talvegue ou curso d’água principal. Assim, recomenda-se: 17

Denver Regional Council of Governments-Urban Drainage and Flood Control District .

135



a) adicionar 10% em caso de áreas esparsamente dotadas de galerias; b) subtrair 10% para áreas inteiramente servidas por galerias; c) corrigir o coeficiente calculado pela Eq. (28) para a declividade, segundo: para S<0,010m/m:

Ct

 0,40  C t 0  S0,2

(29)

para S>0,025m/m: para 0,010m/mS0,025m/m:

Ct

 0,48  C t 0  S0,2  Ct0

(30) (31)

Ct

onde Ct0 representa o coeficiente calculado pela Eq. (28) e corrigido pelas recomendações (a) ou (b) acima, e S é a declividade do curso d’água principal, normalmente referida ao trecho correspondente a 80% do comprimento do canal a montante da seção estudada. Ainda, S pode representar a declividade média ponderada do talvegue. Para o cálculo desta declividade média ponderada, o talvegue deve ser segmentado em trechos de comprimentos L i, de declividade uniforme Si, e o cálculo da declividade média ponderada do talvegue se faz segundo:

 L1S10 ,24  L 2S2 0 ,24    L n S n 0 ,24   S   L L L     1 2 n  

4 ,17

.

(32)

b) Duração da precipitação, td, para o CUHP No método da hidrógrafa unitária do Colorado, a duração da chuva efetiva unitária é admitida como sendo da ordem de um terço de t p, isto é, td



tp 3

.

(33)

c) Vazão de pico da hidrógrafa unitária , Qup, para o CUHP O pico do hidrograma unitário no CUHP se calcula também com a Eq. (24) do método de Snyder. O coeficiente C p daquela equação, que depende das características da bacia, se determina agora a partir de: C p

 0,89  C t 0,46

(34)

onde Ct é utilizado com as correções devidas à declividade do terreno e à presença ou não de galerias. d) Construção do hidrograma Para a construção do hidrograma unitário, o CUHP propõe que se estimem os parâmetros w75 e w50 a partir de: w 75



1,12 q up



1,12

Q

up

A

e w 50



2,15 q up



2,15

Q

up

A

,

(35)

com os significados já definidos e mostrados na Figura 6.24. Na Eq. (35), w 75 e w50 se obtêm em horas, para Q up em m3/s e A em km 2. Para melhor definir a forma do hidrograma, o CUHP propõe, ainda, distribuir as larguras w 75 e w50 em torno do instante de ocorrência do pico. Assim, sugere que 45% de w 75 fiquem à esquerda desse instante e 55% à direita. Similarmente, para a largura w50, os percentuais à esquerda e à direita do pico são, respectivamente, 35% e 65%. O intervalo de tempo compreendido entre o início da chuva e o pico do hidrograma unitário, também chamado tempo de ascensão do hidrograma, é determinado de 136

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior t p 0


 0,5  t d  t p .

(36)

Uma vez localizado Q up, o HU pode ser esboçado com o auxílio das larguras w 75 e w50. Após ser esboçado o HU, a determinação do volume do escoamento superficial pode ser feita por planimetragem da área sob o hidrograma. Paralelamente, calcula- se o “volume unitário”, isto é, o volume de água pro duzido pela chuva efetiva de 1cm sobre toda a área da bacia: Volu(m3) = 0,01(m) x A(m2). Quando o volume sob o HU esboçado se aproxima de Vol u com tolerância de 5%, então o hidrograma construído é aceitável. Caso contrário, deve-se ajustar o HU esboçado até igualar seu volume, dentro da referida tolerância, ao correspondente à chuva efetiva de 1cm caindo sobre toda a extensão da bacia hidrográfica. Observação: Algumas vezes admite-se, numa aproximação, uma forma triangular para o HU. Neste caso, o tempo de base pode ser estimado de t b



t p C p

.

(37)

EXEMPLO 6.10 Construir o HU de uma bacia urbana que apresenta as seguintes características: área de drenagem, A=0,98km 2; comprimento do talvegue, L=2,06km; distância medida ao longo do talvegue, desde o ponto mais próximo do centro geométrico da bacia até a seção de saída, LCG=0,84km; porcentagem impermeabilizada da área da bacia, I a=44%; declividade média, S=0,102m/m. Solução: i) Determinação de C t e t p Da Eq. (28), com I a=44%, obtém-se C t00,408. Para a declividade média S=0,102m/m, corrigese este valor conforme a Eq. (30): Ct=0,48x0,408x0,1020,2 = 0,309. Da Eq. (22) obtém-se t p: t p = 0,752x0,309x(2,06x0,84)0,3 = 0,274h = 16,4min. ii) Duração da chuva unitária Conforme proposto pela equação (33), td  0,274/3=0,0912h = 5,5min  5min. iii) Determinação de C p Da Eq. (34), C p = 0,89x0,309 0,46 = 0,519. iv) Determinação vazão de pico, Q up Da Eq. (24), 137

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior Q up



2,755  C p  A t p



6. Escoamento Superficial 2,755  0,519  0,98 0,274

= 5,11m3/s.

v) Determinação do tempo contado a partir do início do hidrograma até a ocorrência do pico t p0 = t p + td/2 = 0,274+0,0912/2  0,32h  19min. vi) Determinação de w75 e w50 Da Eq. (35), w 75 

1,12 5,11 0,98

= 0,215h  13min,

e w 50 

2,15 5,11 0,98

= 0,412h  25min.

Seguindo-se as recomendações do CUHP, as parcelas dos tempos w 75 e w 50 à esquerda do pico serão iguais a aproximadamente 6min e 9min, respectivamente. vii) Traçado do HU Com os valores calculados, constrói-se um esboço do HU com segmentos de reta. Para este esboço, ajusta-se a duração total do escoamento (tempo de base), t b, de maneira que a área do hidrograma corresponda ao volume unitário. No caso, o volume unitário é Vol u=1cmxA = 9800m3. Para esse Vol u, com base nos tempos dados acima, determina-se a duração total do escoamento superficial, 9800 

60 2

[2,555 10  3,833  2,555  3  5,11  3,833  6  5,11  3,833 7 

 3,833  2,555 9  2,555  (t b  35)] , encontrando-se t b  77min.

Figura 6.27 – Hidrograma unitário para o exemplo 6.10

138



6.5.3.2 MÉTODO DO HU SINTÉTICO DO SOI L CONSE RVANCE SE RVI CE No método do hidrograma unitário sintético do U. S. Soil Conservance Service (SCS, 1957) o hidrograma tem a forma de um triângulo (Figura 6.28). A área do triângulo deve, pois, corresponder ao volume efetivo precipitado (“volume escoado unitário”): Vol u

 1cm  A 

1 2

Q up  t b

.

(38)

Da Figura 6.28, t b = t p0 + te, (39) sendo t p0 o tempo de ascensão e t e o tempo de recessão do hidrograma. De (38) e (39), permite-se escrever: Q up



2  Vol u t p 0

 te

.

(40)

O tempo de recessão é superior ao tempo de ascensão, tendo sido escrito pelo SCS na forma te

 H  t p0 .

(41)

Com base na experiência adquirida da observação de várias bacias, os autores consideraram H=1,67. Com essa consideração, a Eq. (40) pode ser reescrita como Q up



2  Vol u 2 ,67  t p 0

.

(42)

Figura 6.28 – Hidrograma unitário sintético do SCS

139



Ou, ainda, para as unidades usuais (A em km 2 e t p0 em h): Q up m s   3





2  1cm  10 2 m cm Akm 2  10 6 m 2 km 2  2 ,67  t p 0 h   3600s h 

ou,



Q up

2,08  A t p 0

(43)

onde, conforme demostrado acima, Q up é obtido em m 3/s para A em km 2 e t p0 em h. O tempo de ascensão do hidrograma, t p0, pode ser escrito em termos da duração da chuva e do tempo de retardamento ou tempo de pico, na forma da Eq. (36), t p 0

 0,5  t d  t p .

a) Estimativa de t p0 no método do SCS O SCS propõe que o tempo de pico pode ser relacionado com o tempo de concentração da bacia, t c, segundo t p

 0,6  t c .

(44)

Assim, uma estimativa de t p0 pode ser feita de t p0

 0 ,5  t d  0,6  t c .

(45)

b) Duração da chuva unitária A chuva unitária terá duração estimada de td



t p 0 5

.

(46)

Ou, combinando-se as equações (45) e (46), td

 0,133 tc.

(47)

isto é, no hidrograma do SCS a chuva que produz o HU tem duração igual a 13,3% de t c. c) Estimativa do tempo de concentração no método do SCS Além do uso de fórmulas práticas, como a de Kirpich (Eq. 06), pode-se estimar o tempo de concentração segundo os procedimentos abaixo, sugeridos pelo SCS. Procedimento 1: Método Cinemático Traça-se, inicialmente, o caminho da água superficial entre o ponto mais extremo da bacia, do ponto de vista hidráulico, e a seção em estudo. Para cada trecho “i” desse caminho com características físicas diferentes (rugosidade e declividade), calcula-se a velocidade v i, em m/s, segundo vi

 C v i  Si 0,5

(48)

sendo Si a declividade do trecho “i”, em %, e C vi um coeficiente dado pela Tabela 6.13. 140



Tabela 6.13 – Valores do coeficiente C vi da Eq. (48) do método cinemático, para escoamento em superfícies e calhas rasas (Tucci e outros, 1995) tipo de cobertura

Florestas densas Campos naturais ou pouco cultivados Pastos ralos ou gramas Solos quase nus Canais gramados Superfícies pavimentadas

Cvi

0,075 0,135 0,210 0,300 0,450 0,600

O tempo de escoamento em cada trecho “i” será ti = Li /vi, onde Li representa o comprimento do trecho. No caso de rede de drenagem, recomenda-se o uso da fórmula de Manning. O tempo de concentração se obtém, então, de N

tc



 L

i

vi 

(49)

i 1

sendo N o número de trechos de características diferentes. Procedimento 2: Alternativamente, o SCS propõe o uso da Eq. (44) para avaliar t c a partir do tempo de pico que, por sua vez, pode ser obtido da expressão 0 ,344  L

0 ,8

t p



1000     9   CN  S0 ,5

0 ,7

(50)

com t p em h, para L = comprimento hidráulico, em km; S = declividade média da bacia, em %; CN = parâmetro18 do método do SCS, denominado “número da curva” ( curve number ). Valores do parâmetro CN para bacias rurais, urbanas e suburbanas são apresentados nas Tabelas 6.16 e 6.17. Correções sobre este parâmetro para considerar as condições de umidade do solo são incluídas na Tabela 6.18. A Eq. (50) do SCS, para o escoamento em superfícies, foi desenvolvida em bacias rurais com áreas de drenagem de até 8km 2. O tempo de concentração calculado com base nesta equação se modifica com a alteração da cobertura da bacia, principalmente devido à urbanização. Para levar em conta as modificações da cobertura da bacia, o SCS propõe que o tempo de pico calculado (e, consequentemente, o tempo de concentração) seja multiplicado sucessivamente pelos fatores de correção f 1 e f 2, menores que a unidade, que representam, respectivamente, o efeito da modificação do comprimento do talvegue e da porcentagem da bacia tornada impermeável. Estes fatores se obtêm graficamente da Figura 6.31. Nesta figura, f 1 se apresenta em termos da porcentagem de modificação do comprimento hidráulico e f 2 em termos da 18

CN traduz o resultado da interação entre o uso do solo e suas características físicas. 141



porcentagem de impermeabilização da área. Alternativamente, os fatores f 1 e f 2, também chamados fator de ajuste, se obtêm da expressão: f i

 1  PM   6789  335  CN  0 ,4298  CN 2  0,02185  CN3  106

(51)

onde PM é a porcentagem de modificação e f i é o fator de ajuste ou correção. Para PM = porcentagem do comprimento do talvegue modificado, f i = f 1. E, para PM = porcentagem da área impermeabilizada, f i = f 2. Ainda, segundo o SCS, na Eq. (51) o valor de CN deve corresponder às condições futuras, e não ao valor da bacia atual. Tem sido observado que a fórmula do SCS fornece, usualmente, valores muito grandes de t p, o que resulta em vazões máximas muito pequenas para áreas urbanas, mesmo quando corrigida para introduzir o efeito da urbanização. Assim, para áreas urbanas, recomenda-se o uso do método cinemático. Para facilitar o cálculo, o HU sintético do SCS é adimensionalizado e apresentado na forma tabular (Tabela 6.14), em função da vazão de pico, Q up, e do tempo de ascensão do hidrograma, t p0. Conhecidos os valores de t p0 e Qup, determinam-se as coordenadas t e Q u que permitem a construção do HU. Na Figura 6.29 é feita a representação gráfica do HU sintético adimensional do SCS. Tabela 6.14 – Coordenadas do hidrograma unitário sintético adimensional do SCS t/tp0 Qu/Qup t/tp0 Qu/Qup t/tp0 Qu/Qup

0,00 0,00

0,10 0,010

0,20 0,20

0,30 0,30

0,40 0,40

0,50 0,50

0,60 0,60

0,70 0,70

0,80 0,80

0,90 0,90

1,00 1,00

1,10 0,94

1,20 0,88

1,30 0,82

1,40 0,76

1,50 0,70

1,60 0,64

1,80 0,52

2,00 0,40

2,20 0,28

2,40 0,16

2,60 0,04

2,67 0,00

Figura 6.29 – Hidrograma Unitário sintético adimensional do SCS construído com base na Tabela 6.14

Diferentes autores propuseram, ainda, uma forma curvilínea de representação do HU do SCS. Essa transformação do hidrograma unitário adimensional do SCS é apresentada na Tabela 6.15, tomada de Wilken (1978). Na Figura 6.30 são representados os hidrogramas adimensionais do SCS triangular e curvilíneo. 142



Tabela 6.15 – Coordenadas do hidrograma unitário curvilíneo adimensional do SCS t/tp0 Qu/Qup t/tp0 Qu/Qup t/tp0 Qu/Qup t/tp0 Qu/Qup

0,00 0,000 0,90 0,990

0,10 0,030 1,00 1,000

0,20 0,100 1,10 0,990

0,30 0,190 1,20 0,930

0,40 0,310 1,30 0,860

0,50 0,470 1,40 0,780

0,60 0,660 1,50 0,680

0,70 0,820 1,60 0,560

0,80 0,930 1,70 0,460

1,80 0,390 3,40 0,029

1,90 0,330 3,60 0,021

2,00 0,280 3,80 0,015

2,20 0,207 4,00 0,011

2,40 0,147 4,50 0,005

2,60 0,107 5,00 0,000

2,80 0,077

3,00 0,055

3,20 0,040

Figura 6.30 – Hidrogramas Unitários adimensionais do SCS, construídos com base nas Tabelas 6.14 e 6.15

143



Tabela 6.16 Valores do parâmetro CN do SCS para bacias rurais Uso do Solo

Característica da superfície

A

Tipo de solo B C

D

Solo lavrado

Com sulcos retilíneos Em fileiras retas

77 70

86 80

91 87

94 90

Plantações regulares

Em curvas de nível Terraceado em nível Em fileiras retas

67 64 64

77 76 76

83 84 84

87 88 88

Plantações de cerais

Em curvas de nível Terraceado em nível Em fileiras retas

62 60 62

74 71 75

82 79 83

85 82 87

Plantações de legumes ou cultivados

Em curvas de nível Terraceado em nível Pobres Normais Boas

60 57 68 49 39

72 70 79 69 61

81 78 86 79 74

84 89 89 94 80

Pastagens

Pobres, em curvas de nível Normais, em curvas de nível Boas, em curvas de nível

47 25 6

67 59 35

81 75 70

88 83 79

Campos permanentes

Muito esparsas, baixa transpiração Esparsas Normais Densas, de alta transpiração

45 36 30 25

66 60 58 55

77 73 71 70

83 79 78 77

Chácaras Estradas de terra

Normais Más De superfície dura

56 72 74

75 82 84

86 87 90

91 89 92

Florestas

Muito esparsas, baixa transpiração Esparsas Normais Densas, alta transpiração

56 46 36 26

75 68 60 52

86 78 60 62

91 84 76 69

Tipos de solo: A: produzem baixo escoamento superficial e alta infiltração (solos arenosos profundos com pouco silte e argila). B: menos permeáveis que o anterior; solos arenosos menos profundos que o tipo A e com permeabilidade superior à média. C: geram escoamento superficial acima da média e com capacidade de infiltração abaixo da média (contém porcentagem considerável de argila). Pouco profundos. D: pouco profundos, contendo argilas expansivas, com muito baixa capacidade de infiltração. Geram a maior proporção de escoamento superficial.

144



Tabela 6.17 Valores do parâmetro CN do US SCS para bacias urbanas e suburbanas (Condição de umidade AMC II, a ser corrigido pela Tabela 6.18) Utilização ou cobertura do solo

A

Tipo de solo B C

D

Zonas cultivadas: sem conservação do solo com conservação do solo

72 62

81 71

88 78

91 81

Pastagens ou terrenos em más condições

68

79

86

89

Terrenos baldios em boas condições

39

61

74

80

Prado em boas condições

30

58

71

78

Bosques ou zonas florestais: cobertura ruim cobertura boa

45 25

66 55

77 70

83 77

Espaços abertos, relvados, parques, campos de golfe, cemitérios (boas condições): com relva em mais de 75% da área com relva de 50 a 75% da área

39 49

61 69

74 79

80 84

Zonas comerciais e de escritórios

89

92

94

95

Zonas industriais

81

88

91

93

77 61 57 54 51

85 75 72 70 68

90 83 81 80 79

92 87 86 85 84

Parques de estacionamento, telhados, viadutos, etc.

98

98

98

98

Arruamentos e estradas: asfaltadas e com drenagem de águas pluviais paralelepípedos terra

98 76 72

98 85 82

98 89 87

98 91 89

Zonas residenciais: lotes de (m2) <500 1000 1300 2000 4000

% média impermeável 65 38 30 25 20

145



Tabela 6.18 Correção do parâmetro CN para outras condições de umidade antecedente Valores Médios

CN corrigido AMC I*

CN corrigido AMC III**

Valores Médios

(Tabelas 6.15 e 6.16)

(Tabelas 6.15 e 6.16)

CN corrigido AMC I*

CN corrigido AMC III**

100 95 90 85 80 75 70 65 60 55

100 87 78 70 63 57 51 45 40 35

100 98 96 94 91 88 85 82 78 74

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

31 26 22 18 15 12 9 6 4 2

70 65 60 55 50 43 37 30 22 13

* AMC I : Situação em que os solos estão secos. Na estação de crescimento da vegetação a precipitação acumulada dos cinco dias anteriores é menor que 36 mm e em outro período (período latente), menor que 13 mm; ** AMC III : Situação em que ocorreram precipitações consideráveis nos cinco dias anteriores e o solo encontra-se saturado. No período de crescimento da vegetação, a precipitação acumulada nos cinco dias anteriores é maior que 53 mm e em outro período (período latente), maior que 28 mm.

(a)

(b) Figura 6.31 – Fatores de correção f 1 e f 2 para diferentes valores de CN: a) Fator f 1 em função do percentual de modificação do comprimento hidráulico; b) Fator f 2 em função do percentual de área impermeável 146



EXEMPLO 6.11 Uma bacia rural com 7km 2 de área de drenagem apresenta cobertura na forma de pastos (CN=61) e tem 2,5km de comprimento e declividade média igual a 8%. Pelo efeito da urbanização, esta bacia deverá apresentar 30% de áreas impermeáveis e terá alterado 75% do seu rio. Estimar as características do HU para as condições atuais e futuras. Adotar CN=83 para as condições futuras. Solução: i) Condições Atuais (CN=61)  Cálculo de t p Da Eq. (50), 0,344  L

0,8

t p



1000     9   CN 

0, 7

0,344  2,5

0 ,8



S0,5

1000     9   61 

0, 7

 1,027h

8 0 ,5

 Cálculo de t c

Da Eq. (44), tc



tp 0,6



1,027 0,6

 1,712h

 Cálculo de t p0

A duração da chuva no método do SCS pode ser estimada de td

 0,133 t c  0,133 1,712  0,228h .

Assim, da Eq. (36), obtém-se:

 0,5  t d  t p  0,5  0,228  1,027  1,14h

t p0

 Cálculo da vazão de pico, Q up

Da Eq. (43), Q up



2,08  A t p 0

2,08  7



1,14

 Q up  12,77 m3/s.

 Cálculo do tempo de base, t b

No método do SCS, t b=2,67t p0. Logo, t b

 2,67 1,14  3,04h .

ii) Condições Futuras (CN=83)  Cálculo de t p 0,344  L

0,8

t p



1000     9  CN   S 0, 5

0, 7

0,344  2,5



0,8

1000     9  83  

8 0 ,5

0, 7

 0,552h .

Esse tempo deve ser corrigido pelos fatores f 1 e f 2 para considerar as alterações no comprimento hidráulico e na área impermeabilizada da bacia. Para isso, utilizam-se os gráficos da Figura 6.31: 147



- para CN=83, alteração de 75% do comprimento hidráulico: f 10,59; - para CN=83, 30% de área impermeável: f 20,83. O valor de t p corrigido resulta em t p

 0,552  f 1  f 2  0,552  0,59  0,83 0,270h.

 Cálculo de t p0

 0,5  t d  t p  0,5  0,228  0,270  0,384h .  Cálculo da vazão de pico, Q up 2,08  A 2,08  7 Q up    Q up  37,92 m3/s. t p0

t p 0

0,384

 Cálculo do tempo de base, t b t b

 2,67  t p0  2,67  0,384  1,03h .

Os resultados do problema-exemplo 6.11 encontram-se resumidos na construção gráfica da Figura 6.32.

Figura 6.32 – Hidrogramas unitários do exemplo 6.11

6.5.3.2.1 OBTENÇÃO DA CHUVA EFETIVA DE PROJETO NO MÉTODO DO HU SINTÉTICO DO SOI L CONSE RVANCE SE RVI CE O método do hidrograma unitário do US SCS 19 propõe que a chuva efetiva total seja calculada pela expressão: 19

Procedimento para estimativa da precipitação efetiva apresentado pelo Departamento de Agricultura dos Estados Unidos, em 1986 ( Urban Hudrology for Small Watersheds ) incorporado nos estudos do US Soil Conservance Service (SCS) de 1975. 148



PT  I a 2 Pef T  PT  I a   S

(52)

em que: Pef T = precipitação efetiva total, em mm; PT = precipitação total acumulada, em mm; Ia = perda total (“abstração inicial”) ocorrida antes do início do escoamento superficial, em mm; S = potencial máximo de retenção (capacidade da camada superior do solo) após o início do escoamento superficial, em mm. Na Eq. (52), a abstração inicial inclui a interceptação, a água retida nas depressões do terreno e a água infiltrada antes de ter início runoff (desprezadas as perdas por evapotranspiração durante a ocorrência da chuva). Empiricamente, foi constatado que Ia

 0,2 S

(53)

isto é, a abstração inicial corresponde a aproximadamente 20% do potencial máximo de retenção. Levando o resultado da Eq. (53) em (52), encontra-se Pef T

PT  0 ,2S2  , válida para P  0,2S. PT  0 ,8S

(54)

No método do SCS, o potencial S, em mm, é estimado de

 1000  10  ,   CN 

S  25,4  

(55)

em que o parâmetro CN ( curve number , 0 < CN < 100) é relacionado à cobertura, ao uso e ao tipo de solo e às condições médias de umidade antecedente (Tabelas 6.16, 6.17 e 6.18). Deve-se atentar para o fato de que a Eq. (54) somente é válida para P T  0,2S. Quando P T  0,2S, Pef T = 0. Hietograma da chuva efetiva no método do SCS Para construir o hietograma da chuva efetiva, a chuva efetiva total deve ser calculada pela Eq. (54) e, em seguida, “desacumulada” para produzir as intensidades em intervalos (blocos) de

pequenas durações (10 minutos ou menos, por exemplo). Para isso, requer-se a estimativa do número de curva CN da região em estudo e da chuva total de certa duração crítica para fins de projeto. Pode-se utilizar um modelo i-d-f para a obtenção da chuva de duração crítica e recorrência Tr (chuva de projeto), conforme sugerido por Tucci (1995) et al ., ou recorrer a equações e tabelas como as de Otto Pfafstetter, apresentadas no Capítulo 3. A altura pluviométrica correspondente, chamada P T na Eq. (54), deverá permitir a construção do hietograma base (hietograma da chuva intensa) a partir do qual se construirá o hietograma da chuva efetiva. Esse hietograma da chuva efetiva deverá ser construído com blocos de duração t igual à duração da chuva unitária. Para a construção do hietograma base pode-se utilizar o método dos blocos alternados , que procura estabelecer a distribuição temporal das alturas pluviométricas que mais se aproxima dos fenômenos físicos, de modo a caracterizar uma condição crítica. No método dos blocos alternados procede-se, segundo Tucci et al ., da seguinte forma: i) Para o período de retorno Tr de projeto, seleciona-se a duração da chuva crítica, t d (duração total da tormenta); 149



ii) Fixa-se o “tamanho do bloco”, t, que é o intervalo de discretização da chuva crítica (que, para permitir a transformação da chuva em vazão, deverá corresponder à duração da chuva unitária, isto é, a duração da chuva que gerou o HU). Uma boa prática consiste em adotar a chuva crítica c omo igual ao tempo de concentração da bacia e “discretizar” a duração t d em 6 intervalos de duração t; iii) Por meio da equação ou curvas de intensidade-duração-frequência válidas para o local (ou equação de Pfafstetter), obtêm-se as intensidades das chuvas correspondentes a cada duração, até o limite da duração da chuva crítica; iv) Transformam-se as intensidades calculadas em alturas pluviométricas (que são as alturas acumuladas até o tempo correspondente à intensidade calculada); v) Calculam-se os incrementos das chuvas acumuladas (chuvas acumuladas dentro de cada intervalo de duração t); vi) Rearranjam-se as alturas calculadas no item anterior numa sequência tal que, no centro da duração td situe-se o bloco de maior altura pluviométrica; os demais blocos devem ser dispostos em ordem decrescente, um à direita, outro à esquerda do bloco maior, alternada e sucessivamente. Obtido, assim, o hietograma base, aplica-se em seguida a Eq. (54) para a obtenção do hietograma da chuva efetiva.

EXEMPLO 6.12 Construir o hietograma da chuva crítica de 2 horas de duração e 25 anos de recorrência, com blocos de 10 minutos de duração. Obter, em seguida, o hietograma da chuva efetiva. Dados: - equação i-d-f local, i = 9860 Tr 0,187(70+td)1,072, com i em mm/h para Tr em anos e t d em minutos; - parâmetro CN ( curve number ) do SCS para a bacia igual a 60. Solução: Para a obtenção do hietograma da chuva crítica constrói-se a Tabela 6.19 na qual, na primeira coluna, representam-se as durações variando em intervalos de tempo de 10 minutos, até a duração da chuva crítica de 2 horas. Na coluna 2 são representadas as intensidades das chuvas obtidas pela equação i-d-f, correspondentes à recorrência de 25 anos e às durações estabelecidas na coluna 1. Na coluna 3 as intensidades são convertidas em alturas pluviométricas (alturas acumuladas até o instante correspondente indicado na coluna 1). A quarta coluna traz as alturas pluviométricas “desacumuladas”, isto é, as alturas das chuvas caídas dentr o de cada intervalo de 10 min. Por fim, as colunas 5 e 6 representam, respectivamente, os intervalos (blocos) e as alturas pluviométricas redistribuídas conforme o método dos blocos alternados . Para a obtenção do hietograma da chuva efetiva pelo método do SCS empregam-se as Eqs. (54) (55). Para o presente problema, a quantidade S é inicialmente calculada:

 1000  10   25 ,4   1000  10   169,3mm .     CN   60  Logo, 0,2S = 33,9mm. O hietograma da chuva efetiva é apresentado na Tabela 6.20, construída a partir da Tabela 6.19. Os valores de P ef acumulados da coluna 3 da Tabela 6.20 são obtidos pela Eq. (54), para valores de P acum > 33,9mm (=0,2S). Os valores de P ef (valores “desacumulados”) são representados na coluna 4 e redistribuídos pelo método dos blocos alternados (coluna 6). Na Figura 6.33 é feita a representação do hietograma da chuva efetiva em forma de barras, obtido pelo método dos blocos alternados . S  25 ,4  

150



Tabela 6.19 Hietograma da chuva crítica pelo método dos blocos alter nados t (min)

i (mm/h)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

P acum (mm)

164,1 144,7 129,2 116,7 106,3 97,5 90,1 83,7 78,1 73,2 68,8 64,9

P (mm)

27,4 48,2 64,6 77,8 88,6 97,5 105,1 111,5 117,1 121,9 126,1 129,9

Intervalo (min)

27,4 20,9 16,4 13,2 10,8 9,0 7,6 6,5 5,6 4,8 4,2 3,7

P (mm)

0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 100 - 110 110 - 120

4,2 5,6 7,6 10,8 16,4 27,4 20,9 13,2 9,0 6,5 4,8 3,7

Tabela 6.20 Hietograma da chuva efetiva pelo método dos blocos alternados t (min)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

P acum (mm)

Pef acum (mm)

27,4 48,2 64,6 77,8 88,6 97,5 105,1 111,5 117,1 121,9 126,1 129,9

0,0 2,7 10,3 18,4 25,9 32,5 38,4 43,5 48,0 52,0 55,6 58,7

Pef (mm)

0,0 2,7 7,6 8,1 7,5 6,7 5,9 5,1 4,5 4,0 3,5 3,1

Pef (mm)

Intervalo (min)

ief (mm/h)

2,7 3,5 4,5 5,9 7,5 8,1 7,6 6,7 5,1 4,0 3,1

0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 100 - 110 110 - 120

16,2 21,0 27,0 35,4 45,0 48,6 45,6 40,2 30,6 24,0 18,6

Figura 6.33 – Hietograma da chuva efetiva construído pelo método dos blocos alternados (problema-exemplo 6.12) 151



BIBLIOGRAFIA CETESB – Cia. de Tecnologia de Saneamento Ambiental (1986). Drenagem Urbana: Manual de Projeto. 3a ed., CETESB/ASCETESB. São Paulo (SP). LINSLEY, R. K. & FRANZINI, J. B. (1978). Engenharia de Recursos Hídricos. Tradução e adaptação de Luiz Américo Pastorino. EDUSP, Ed. McGraw-Hill do Brasil. S. Paulo (SP). TUCCI, C. E. M. (organizador, 1993). Hidrologia: ciência e aplicação. Coleção ABRH de Recursos Hídricos. Ed. da UFRGS, ABRH, EDUSP. TUCCI, C. E. M.; PORTO, R. L. L; BARROS, M. T. de (organizadores, 1995). Drenagem Urbana. Associação Brasileira de Recursos Hídricos - ABRH. Ed. da Universidade/UFRGS. Porto Alegre (RS). UNITED STATES DEPARTMENT OF AGRICULTURE (USDA) – Urban Hydrology for Small Watersheds. TR 55. Junho 1986. VILELLA, S. M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. McGraw-Hill do Brasil. WILKEN, Paulo Sampaio (1978). Engenharia de Drenagem Superficial. Cia. de Tecnologia de Saneamento Ambiental – CETESB. S. Paulo (SP).

152



EXERCÍCIOS 6.1) Na tabela abaixo são apresentados os dados de chuva e vazão em uma seção de um curso d'água na

bacia do rio Meninos. A área da bacia é de 106,7 km2 e apresenta alto grau de urbanização. tempo

(min) 30 60 90 120 150 180 210

Precipitação (mm) 0,9 0,9 1,6 1,9 2,2 2,2 3,8

tempo

Vazão (m3/s) 10 10 10 10 22 40 68

(min) 240 270 300 330 360 390 420

Precipitação (mm) 6,0 5,7 2,5 1,9 1,3 1,6 -

Vazão (m3/s) 108 136 138 124 100 78 58

tempo

Precipitação (mm) -

(min) 450 480 510 540 570 600 630

Vazão (m3/s) 44 34 26 22 18 16 15

a) Construir o hidrograma, fazendo a separação dos escoamentos de base e superficial direto. b) Calcular o volume correspondente ao escoamento superficial, decorrente desta chuva. c) Determinar o coeficiente de escoamento superficial e a precipitação efetiva total. R: Vols=1,321x106m3; C=0,38; P ef =12,4mm. 6.2) Determinar a máxima vazão em uma seção de um curso d'água, para um período de retorno de 50

anos, considerando um coeficiente de escoamento superficial C=0,52 na bacia. Sabe-se, ainda, que o solo tem permeabilidade média e o rio tem 3km de comprimento, com um desnível de 24m entre a seção considerada e o ponto mais remoto da bacia. Dados: relação intensidade-duração-frequência das chuvas na região, i  1265,7 Tr 0,052 12  t d 0,77 , com i em mm/h, Tr em anos e td em minutos; A=2km2. R: Q=16,7m3/s.

6.3) Construir o hidrograma unitário correspondente a uma precipitação isolada de 1 hora de duração em uma bacia hidrográfica cuja área de drenagem é de 35km2. Dados: 1 5,0

Tempo (h) Vazão (m3/s)

2 5,0

3 25,0

4 50,0

5 45,0

6 35,0

7 23,0

8 12,5

9 5,0

Obs: Considerar, numa simplificação, a vazão do escoamento básico constante. 1 0

Tempo (h) Qu (m3/s)

R:

2 0

3 12.1

4 27.3

5 24.2

6 18.2

7 10.9

8 4.5

9 0

6.4) Determinar, para a bacia do problema 6.3, o escoamento superficial resultante da chuva composta de

precipitações efetivas de intensidades variando a cada 1 hora, de acordo com a tabela abaixo. 1 30

Tempo (h) Precipitação efetiva (mm) R:

1 0

Tempo (h) Qs (m3/s)

2 0

3 36,3

4 106,1

5 127,2

2 20 6 103,0

7 69,1

8 35,3

9 9,0

10 0,0

6.5) Os dados apresentados a seguir caracterizam o hidrograma unitário de uma bacia para chuvas de duração igual a t minutos. a) Determinar o escoamento superficial resultante de uma chuva sobre a bacia, composta de precipitações efetivas de intensidades variando a cada intervalo t de acordo com tabela fornecida abaixo. b) Se t=1 h, qual deve ser a área da bacia? Tempo Qu (m3/s)

1t 1,0

2t 3,0

3t 6,0

4 t 5,4

5t 4,6

Tempo Precipitação efetiva (mm)

6 t 3,2 1 t 5

153

7t 1,8 2 t 10

8t 1,2

9 t 0,8 3 t 6

10t 0,3

11t 0,0

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior R: a)

Tempo Qs (m /s) /s)

1t 0,5


2t 2,5

3t 6,6

4t 10,5

5t 11,3

6t 9,4

7t 6,9

8t 4,3

9t 2,7

10t 1,7

11t 0,8

12t 0,2

b) A=982,8 ha.

6.6) São dadas as precipitações efetivas em intervalos de 1 hora de duração: i1ef = 10 mm/h e i2ef = 20

mm/h. Se as vazões resultantes (escoamento superficial) nos instantes t=1h, t=2h, t=3h e t=4h são, respectivamente Qs1=18 m3/s, Qs2=55 m3/s, Qs3=73 m3/s e Qs4=37 m3/s, quais as ordenadas do hidrograma unitário nestes mesmos instantes? Dado: área da bacia hidrográfica, A = 22 km2. R: (uma possível solução)

1 14,3

t (h) Qu (m3/s)

2 27,7

3 18,9

4 0,0

6.7) A partir dos valores das ordenadas do hidrograma unitário obtidas no problema 6.6, e juntamente com

as precipitações efetivas de 10 mm/h e 20 mm/h, construir o hidrograma com as vazões simuladas e comparar graficamente com os valores observados (fornecidos no problema 6.6). 6.8) Determine o hidrograma unitário (td=6 horas) para a bacia do rio do Peixe (A=310km2). Utilize o método do índice  para obter Pef . Dados: t (h) P (mm) Q (m3/s)

6 24 8,0

12 66 6,0

18 14 6,0

24 93

30 162,7

36 180,0

42 91,0

48 50,0

54 29,0

60 16,0

66 8,0

6.9) Considere os dados do hidrograma da bacia do rio Meninos (A=106,7km2) da tabela abaixo.

Estabeleça a separação dos escoamentos pelos métodos gráficos. Tempo (min) Q (m3/s) Tempo (min) Q (m3/s)

30 7,0 240 68,0

Tempo (min) Precipitação (mm)

60 7,0 270 47,5 30 8,5

90 16,0 300 31,5

60 11,1

90 5,5

120 33,0 330 23,0 120 2,8

150 80 360 17,5

180 105,0 390 15,0

210 96,0 420 13,0

180 1,3

210 0,3

150 1,9

6.10) Determine o hidrograma unitário (td =0,5h) para o evento do rio Meninos do problema anterior. Obter a precipitação efetiva pelo uso do índice . 6.11) Determinar o hidrograma do escoamento superficial resultante para a bacia do rio Meninos

decorrente da chuva efetiva abaixo. 30 0,5

Tempo (min) Precipitação efetiva (mm)

60 2,5

90 8,0

120 25,0

150 20,0

180 6,0

6.12) Com base no hidrograma unitário da bacia do rio Meninos (obtido no problema 10, para t d=30 min),

construir o HU para t d'= 1h.

6.13) Dado o hidrograma unitário (em termos das vazões específicas unitárias) de uma bacia para uma

chuva de projeto de 20 minutos, obter o hidrograma unitário da chuva de 1 hora. 20 0,15

t (min) hu=Qu t/A (cm) R:

t (min)

hu( t=1 h) (cm)

20 0,050

40 0,133

40 0,25 60 0,217

60 0,25

80 0,15 80 0,217

100 0,10 100 0,167

120 0,10 120 0,117

140 0,067

160 0,033

6.14) Com base no hidrograma observado, estimar a precipitação efetiva correspondente, sabendo-se que a

bacia tem 12km2 de área de drenagem.

154


t(h) Q(m3/s)

0 0,9

1 0,8

2 5,4

6. Escoamento Superficial 3 9,8

4 7,6

5 6,5

6 4,6

7 3,3

8 2,4

9 1,7

6.15) Uma determinada chuva de duração td ocorreu em uma bacia urbana de área A=0,5km2 e gerou o

hidrograma abaixo. Construa o hidrograma unitário da bacia para a chuva de duração td. t(min) Q(m3/s)

0 0,5

25 2,5

50 7,4

75 4,1

100 2,2

125 1,2

150 1,13

175 1,10

200 1,07

225 1,04

6.16) Numa bacia hidrográfica de 82,8km2 de área de drenagem foi determinado o HU (td=1h) apresentado

na tabela abaixo. Determine: a) o valor de Q p; b) o HU de 2 horas; c) o tempo de concentração da bacia, justificando sua resposta; d) o hidrograma resultante de uma chuva composta sobre a bacia, apresentando as seguintes características: total precipitado de 27 mm nas primeiras duas horas, seguido de uma chuva com intensidade i=19mm/h durante as duas horas seguintes e, finalmente, uma outra chuva de duas horas e i=8,5 mm/h. Dado: Estimou-se a capacidade de infiltração na bacia, f, no início da chuva em 5,5mm/h e, ao final, em 2,5mm/h (Despreze as perdas por interceptação e armazenamentos superficiais, e assuma caimento linear de f). t(h) Qu(m3/s)

0 0

1 22

2 46

3 Q p

155

4 0,8Q p

5 34

6 20

7 0


7. Previsão de Enchentes

7. PREVISÃO DE ENCHENTES 7.1. GENERALIDADES O termo previsão de enchentes, neste curso, aplica-se ao cálculo de uma enchente de projeto por extrapolação dos dados históricos para as condições mais críticas. Como exemplo, considera-se certa seção fluviométrica de um rio para a qual se dispõe de 30 anos de dados de vazão. Assim, a maior vazão observada tem a probabilidade aproximada de ocorrer, ou ser superada, uma vez a cada 30 anos. Se o problema for o cálculo da vazão máxima provável de acontecer uma vez a cada 100 anos, estar-se-á tratando, basicamente, da extrapolação de dados históricos para a previsão da enchente de 100 anos. É interessante fazer a distinção dos conceitos de cheia (ou enchente) e inundação. A enchente caracteriza-se pela ocorrência da vazão relativamente grande do escoamento superficial, enquanto a inundação distingue-se pelo extravasamento do canal. Uma enchente pode ou não causar inundação. Obras de controle podem ser realizadas no rio para evitar a ocorrência da inundação. Por outro lado, a existência de alguma obstrução no escoamento natural do rio pode levar à inundação, mesmo não havendo grande aumento do escoamento superficial. Em suma, a enchente refere-se a uma ocorrência natural, cíclica, que normalmente não afeta diretamente os habitantes da região; já as inundações são decorrentes de alterações no uso do solo e podem provocar danos de grandes proporções.

7.2. CÁLCULO DA VAZÃO DE ENCHENTE O cálculo da enchente, utilizado no projeto de obras hidráulicas (bueiros, canais, vertedores etc.), é um procedimento necessário no dimensionamento de obras de controle e proteção contra contra inundações. A finalidade finalidade do cálculo cálculo da vazão de de enchente pode ser: a) para definir a vazão máxima de projeto; b) para estabelecer, se possível, o hidrograma da cheia, isto é, para determinar a distribuição das vazões ao longo do tempo, desde o instante em que se tem o aumento da vazão determinado pelo escoamento superficial produzido por determinada chuva, até o fim da contribuição do escoamento escoamento superficial. No cálculo da vazão de enchente podem ser utilizados métodos baseados em dados de chuva, que fazem a transformação da chuva em vazão, como o método do hidrograma unitário 1 e o método racional, vistos no capítulo anterior. Pode-se, ainda, quando se dispõe da série histórica de vazão, recorrer a modelos ou leis de probabilidade já consagrados, que permitem prever a enchente com base na descrição das frequências de ocorrência dos eventos extremos de vazão. A seleção da técnica mais apropriada para a determinação da enchente de projeto depende do tipo, quantidade e qualidade dos dados hidrológicos disponíveis.

1

O método do hidrograma unitário (método do HU) empregado no cálculo da vazão de enchente requer poucos dados e é facilmente adaptável às chuvas de diferentes durações e intensidades. Contudo, ele não permite a associação do período de retorno aos resultados obtidos. Mesmo quando o período de retorno da chuva é conhecido, a transformação efetuada pelo modelo geralmente afeta a distribuição de frequência do evento.

150



Os métodos de transformação de chuva em vazão já foram estudados no capítulo anterior, que trata do escoamento superficial. Por isso, no presente capítulo tratar-se-á apenas do uso de leis de probabilidade na previsão da vazão de enchente.

7.3. PERÍODO DE RETORNO PARA O CÁLCULO DA ENCHENTE Conforme já visto, o período de retorno ou intervalo de recorrência de uma enchente é o tempo médio, em anos, em que a enchente é igualada ou superada pelo menos uma vez. Como forma de determinação do período de retorno para o cálculo da vazão de enchente pode ser utilizado um critério baseado na fixação do risco, ou um critério econômico ou, ainda, um critério baseado na experiência do projetista, este último sendo o mais comumente adotado no Brasil. i ) C r i tér i o de F i xaçã xação do R i sco

Para a escolha do período de retorno da enchente de projeto pode-se recorrer ao procedimento de fixação do risco assumido para o caso de a obra vir a falhar dentro do seu tempo de vida útil. Isto porque a estrutura projetada para determinada vazão de pico correrá certo risco de falha dentro do seu período de vida útil: isso significa que a vazão de projeto poderá ser excedida dentro do período de vida útil da obra. A seleção do risco que se deseja correr depende da gravidade da falha para o funcionamento da estrutura ou obra, bem como dos recursos disponíveis para a sua construção, entre outros fatores. Para obter uma expressão para o período de retorno em função do risco, considere o evento de magnitude Q p2, com intervalo de recorrência Tr. Então a probabilidade de que este evento seja igualado ou superado em um ano qualquer pode ser expressa por PQ  Q p  

1 Tr

.

(1)

Assim, em outras palavras, se determinada obra (vertedor de barragem, galeria de águas pluviais, bueiro, canal de sistema de drenagem, etc.) for construída para a vazão de cheia de projeto Q p, correspondente correspondente a um intervalo de recorrência de Tr anos, então, para cada ano de funcionamento f uncionamento do sistema, a probabilidade de ocorrer falha (vazão de projeto ser superada) é igual a 1/Tr. Considerando-se somente as possibilidades de que a falha ocorra ou não, a probabilidade de não ocorrência da falha num ano qualquer será, então, 1  1 Tr  . Para n anos de vida útil da obra, ou para um tempo de construção de n anos, a probabilidade do do sistema não falhar falhar nenhuma vez vez neste período é a chamada segurança, S: S  1  1 Tr   1  1 Tr   1  1 Tr   S  1  1 Tr             n vezes

n

.

(2)

Consequentemente, numa série de n anos, o risco de falha será representado pela probabilidade R de que ao menos um evento iguale ou exceda o evento de intervalo de recorrência Tr. Ou seja, R  1  S



R  1  1  1 Tr  . n

(3)

Dessa maneira, pode-se escolher o período de retorno da cheia a ser utilizado no projeto da obra hidráulica, conhecendo-se o tempo de vida provável da estrutura, ou o tempo de duração da sua construção, e fixando-se o risco que se deseja correr de que a obra venha a falhar. A título t ítulo de ilustração, na Tabela 7.1 apresentam-se os períodos de retorno para diferentes valores do risco 2

Q p é a vazão de pico ou de projeto.

151



e da vida útil provável da estrutura, calculados com base na Eq. (3). Sugere-se ao estudante completar a tabela para os valores de Tr correspondentes ao risco assumido de 90%. Tabela 7.1 – Período de retorno estabelecido de acordo com o critério de fixação do risco

Período de retorno, Tr (anos) Vida provável da estrutura, n (anos) 10 20 50 100

Risco a ser assumido

1

1%

100

995

1990

4975

9950

99500

5%

20

195

390

975

1950

19496

10%

10

95

190

475

950

9492

50%

2

15

29

73

145

1443

1,0

2,7

4,9

11

22

217

1000

90% 99%

EXEMPLO 7.1 Para uma usina hidrelétrica como a de Itaipu, para a vazão de projeto dos vertedores assumiu-se um risco de falha de 1%. Se a vida útil do sistema é estimada em 100 anos, qual o período de retorno da vazão de projeto? SOLUÇÃO A partir da Eq. (3) rearranjada, é possível expressar o período de retorno como uma função da vida útil n e do risco R. Este período de retorno, chamado período de retorno de projeto, é calculo como Tr 

1

.

1  1  R 

1n

(4)

Assim, com os dados do problema, Tr 

1 1  1  0,01

1 10 0

 Tr  9950 anos.

O resultado desse problema confere com aquele apresentado na Tabela 7.1.

EXEMPLO 7.2 Para a canalização de um córrego urbano adotou-se a vazão de projeto correspondente ao período de retorno Tr = 20 anos. Se a vida útil da obra é de 50 anos, qual o risco que se corre de a obra falhar? SOLUÇÃO 50

Pela Eq. (3):

 1   0,92  92% . R  1  1    20  152



Observação: Admitindo-se que o período de retorno de uma vazão de cheia de vazão Q p = 1.000m3/s seja de 100 anos, a probabilidade de que essa vazão seja excedida num ano qualquer será: P{QQ p} = 1/Tr = 1/100 = 0,01. Ou seja, a “probabilidade de excedência” da vazão de 1 .000m3/s será igual a 1%. Importante compreender que ao se fixar uma cheia de 100 anos não significa que a vazão correspondente será excedida exatamente a cada 100 anos, e sim que, para um número extremamente grande de ocorrências, ter-se-á, em média, uma excedência da vazão de cheia a cada 100 anos. Este período de 100 anos é, portanto, um período de retorno médio. Vazões de enchente seguem um modelo de Bernoulli, para o qual a probabilidade de ocorrência de um evento é independente do tempo e do histórico das ocorrências e não ocorrências. Para tal modelo, num tempo qualquer, um evento de dada magnitude poderá ocorrer com a probabilidade P=1/Tr, ou não ocorrer com a probabilidade (1 P) = (11/Tr). Assim, por exemplo, a probabilidade de ocorrer um único evento em 3 anos será: P·(1P)·(1P) + (1P)·P·(1P) + (1P)·(1P)·P que é igual a 3·P·(1 P)2. Pode-se, então, generalizar para a probabilidade de ocorrência de exatamente k eventos em n anos, a qual será igual ao número de modos de se arranjar k valores de P, entre os n itens. Em termos da probabilidade de excedência, isso corresponde a uma distribuição binomial de probabilidade: n k f x exatamente k eventos em n anos  C nk  P k  1  P  em que: P = probabilidade de excedência de um evento num ano qualquer; f x = probabilidade de ocorrência de k eventos (excedência) em n anos; C nk 

n! k !n  k !

.

Em estudos hidrológicos, usualmente não é importante conhecer a probabilidade com que a cheia é excedida exatamente k vezes, e sim a probabilidade de ocorrência de um ou mais eventos de excedência em n anos. Ou seja, interessa conhecer f x 1 ou mais eventos em n anos  1  f zero evento em n anos . Ou, n 0 f x 1 ou mais eventos em n anos  1  C 0n  P 0  1  P , que resulta em n f x  pelo menos uma cheia em n anos  1  1  P  . A última expressão fornece, então, a probabilidade, f x, da obra ou estrutura falhar ao menos uma vez, em anos. Representa, portanto, o risco de ocorrência R de uma cheia com vazão superior à de projeto (ou vazão superior à de recorrência Tr), em n anos de vida útil da obra. Alternativamente, para o tempo de vida útil do projeto, n, e para um nível de risco de falha aceitável, R = f x100 (%), a probabilidade de excedência P e o período de retorno Tr (Tr=1/P) da cheia de projeto podem ser calculados a partir daquela expressão, que é idêntica à Eq. (3).

EXEMPLO 7.3 Um bueiro é projetado para um intervalo de recorrência de 50 anos. Qual a probabilidade de ocorrer exatamente uma cheia da magnitude igual à de projeto em 100 anos de vida útil da estrutura? 153



SOLUÇÃO n k

f x exatamente k eventos em n anos  C nk  P k  1  P

No caso: Tr = 50 anos; n = 100 anos; k = 1. Assim, P = probabilidade de excedência = 1/Tr = 1/50 = 0,02. Portanto, 10 01

0  P1  1  P  f x exatamente 1 evento em 100 anos  C10 1

f x



100! 1!100  1!

 0,021  1  0,0299  0,27

 0,27  27% .

EXEMPLO 7.4 Qual a probabilidade do bueiro do problema exemplo 7.3 experimentar pelo menos uma cheia de projeto em seu tempo de vida útil? SOLUÇÃO O que se procura, agora, é exatamente o risco: R = f x  pelo menos uma cheia em n  100 anos  1  1  P10 0 Portanto, R = f x  pelo menos uma cheia em n  100 anos  1  1  0,0210 0  0,87 R = f x  0,87  87% . ii) Critério E conômico de F ixação do Risco

Pelo critério econômico, o período de retorno da vazão de projeto deveria ser aquele que conduzisse ao menor custo global. Por exemplo, em caso de existência de seguro contra enchentes, poder-se-ia construir uma curva que fizesse a representação dos custos anuais do seguro em função do período de retorno Tr e, no mesmo gráfico, se lançariam os gastos anuais de amortização do capital aplicado na obra. A soma dessas duas parcelas geraria uma nova curva que, passando por um ponto de mínimo, produziria neste ponto o período de retorno mais econômico. A Figura 7.1 procura ilustrar a aplicação do critério econômico. iii) Critérios usualmente adotados no Brasil

Em geral, a ausência de seguros contra enchentes ou a dificuldade de obtenção de informações a esse respeito conduz à utilização de outros critérios para a fixação do período de retorno da vazão de cheia de projeto. A depender do tipo de obra, as principais variáveis consideradas para a fixação do período de retorno são: a) a vida útil da obra, b) o tipo de estrutura, c) a facilidade de reparação e ampliação, e d) o perigo de perda de vida. Baseado nestes parâmetros, adotam-se os seguintes valores médios do período de retorno:  Para o dimensionamento do extravasor de barragem de terra: Tr  1000 anos  Para o dimensionamento do extravasor de barragem de concreto: Tr  500 anos  Para galerias de águas pluviais: Tr  5 a 20 anos  Para pequena barragem de concreto para fim de abastecimento: Tr  50 a 100 anos

154



Figura 7.1 – Obtenção do período de retorno pelo critério econômico.

7.4. USO DE LEI DE PROBABILIDADE NA PREVISÃO DE ENCHENTES Todos os projetos de engenharia são planejados para o futuro, não havendo certeza absoluta das exatas condições de trabalho da obra ou estrutura. Na área estrutural, por exemplo, o projetista estabelece as cargas atuantes, mas não tem certeza de que estas cargas não serão excedidas. Para levar em conta as incertezas, lança mão de hipóteses, baseadas na razão, e considera fatores de segurança nos dimensionamentos. Da mesma forma, o engenheiro de recursos hídricos não estará absolutamente certo da vazão que afetará o projeto. Contudo, deve estar consciente de que um erro acentuado de previsão das quantidades hidrológicas poderá causar efeitos destruidores indesejáveis, que podem inviabilizar economicamente todo o projeto. Uma vez que o comportamento exato das vazões em anos futuros não pode ser absolutamente previsto, procura-se introduzir leis de probabilidade de modo a estabelecer as prováveis variações para permitir que o plano seja completado com base em um risco calculado. Recorre-se, pois, à análise estatística com o propósito de utilizar os eventos de descargas observadas (série histórica de vazões) num dado período, como meio de se efetuar a projeção para um período de tempo maior. Na previsão de enchentes, ou seja, na determinação da magnitude das vazões de pico das cheias (que são as vazões críticas ou de projeto), recorre-se ao uso de modelos de probabilidade, a partir de um enfoque estatístico que consiste em definir a relação entre as descargas máximas e as correspondentes frequências de ocorrência, apoiando-se no estudo de uma série 3 de dados observados. A suposição básica é que as cheias verificadas durante um determinado período possam ocorrer em um período futuro de características hidrológicas similares, isto é, com uma expectativa de repetição. As funções matemáticas de distribuição de probabilidade mais utilizadas na análise de frequência das vazões de enchente são: 1) distribuição gama, também conhecida como distribuição Pearson tipo III; 2) transformação logarítmica da distribuição gama, também conhecida como distribuição log Pearson tipo III; 3) transformação de potência da distribuição gama, ou distribuição de Kritskiy-Menkel; 3

Na análise de frequência das cheias, a série anual é mais popular do que a série parcial.

155



4) distribuições exponenciais, também conhecidas como distribuições de valores extremos ou distribuições de Fisher-Tippett, que são de três tipos: tipo I, duplo exponencial, conhecida como distribuição Gumbel; tipo II, conhecida como distribuição de Fréchet; e tipo III, conhecida como distribuição de Goodrich ou Weibull; 5) distribuição gaussiana (distribuição normal de probabilidade); 6) transformação logarítmica da distribuição normal, também conhecida como distribuição log normal ou distribuição de Galton. Em princípio, não existe nenhuma razão para considerar um dos modelos acima como superior aos demais. Por isso, na seleção da distribuição mais apropriada a ser ajustada a uma determinada base empírica de dados recorre-se, normalmente, a técnicas matemáticas de ajuste de curvas. Um procedimento simples e rápido, embora não necessariamente o mais preciso, consiste em lançar os pares de valores de frequência e vazão em papel de probabilidade 4. Assim, se num dado papel de probabilidade os dados ajustarem-se segundo uma linha reta, então a distribuição de probabilidade correspondente será considerada adequada para a realização das previsões. Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuições de probabilidade usadas em hidrologia pode ser posta na forma x Tr

 x  K  s

(05)

onde: xTr = magnitude da variável (vazão ou chuva) atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr anos, x = valor médio da variável considerada, s = desvio-padrão, e K = fator de frequência. O fator de frequência da equação de Chow depende do tipo de distribuição, da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de assimetria. Apresentam-se, a seguir, algumas distribuições de probabilidade normalmente empregadas na análise de frequência das cheias e outros eventos extremos.

7.4.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Um fenômeno completamente aleatório segue a distribuição de probabilidade de Gauss, ou distribuição normal. Se uma variável aleatória x tem distribuição normal, a função densidade de probabilidade da variável aleatória x, f(x), é dada por

 1  x    2  f x   exp      2  2     1

(06)

onde  e  são, respectivamente, a média e o desvio-padrão da população. Para uma amostra da população, as estimativas da média e do desvio-padrão podem ser obtidas, respectivamente, de N

x

4



x i 1

N

i

,

(07)

Cada distribuição terá um papel probabilidade específico.

156

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior N

s

 x


 x 2

i

i 1

.

N  1

(08)

Ao medir x, a probabilidade de se encontrar um valor menor ou igual a um valor extremo x p é dada pela função densidade de probabilidade acumulada: Fx p   Px  x p  



xp



f x  dx .

(09)

Para a distribuição normal, os gráficos representativos das expressões de f(x) e F(x), em função da variável x, são mostrados nas Figuras 7.2 e 7.3. Em vez de plotar F(x) em escala aritmética, pode-se utilizar o chamado papel aritmético de probabilidade, onde a escala de F(x) é tal que transforma a “curva em S” , característica da distribuição normal, em uma reta, tendo a abscissa escala aritmética, conforme ilustrado na Figura 7.4. Para o traçado desta reta, lança-se mão de algumas propriedades da distribuição normal, sendo suficiente, no caso, considerar: F( x ) = P{x < x }= 0,5; F( x  s ) = P{X < x  s } = 0,1587; F( x  s ) = P{X < x  s } = 0,8413. Nos manuais de estatística e probabilidade, os valores das frequências acumuladas da distribuição normal são fornecidos em tabelas construídas em termos de uma nova variável, chamada de variável reduzida z, que se obtém da transformação: z



xx s

.

(10)

Esta nova variável z, também chamada variável normalizada, tem média zero e desvio-padrão igual a unidade. Consequentemente, a função densidade de probabilidade escrita para a variável normalizada z, também chamada função densidade de probabilidade normalizada , exprime-se na forma:

 1 z 2  .  2 2   E a função densidade de probabilidade acumulada correspondente escreve-se como f z  

Fz p  

1



exp  

(11)

f z  dz  P{z
(12)

zp



As representações gráficas de f(z) e F(z) são conforme a Figura 7.5 A comparação da Eq. (10) com a Eq. (5) mostra que, para a distribuição normal, o fator de frequência de Chow corresponde à própria variável reduzida z, isto é: K 

x Tr  x s

 z.

(13)

Para esta distribuição simétrica, os valores de K podem, então, ser obtidos de tabelas de z construídas em função da frequência acumulada F(z), como a Tabela 7.2. Na Tabela 7.2, F(z) = P{Z


z



1 2

 

exp 

1 2

 

z 2  dz

157

(14)



Figura 7.2 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade

Figura 7.3 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade acumulada

Figura 7.4 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade acumulada em papel de probabilidade

158



Figura 7.5 – Representações gráficas das frequências relativas e acumuladas para a variável reduzida z da distribuição normal de probabilidade.

7.4.2 A DISTRIBUIÇÃO LOG -NORMAL Os registros das vazões médias diárias durante um ano hidrológico mostram que estas não constituem um evento completamente aleatório. Em verdade, as vazões dependem de um conjunto de fatores 5, tais como precipitação, solo, vegetação, topografia, precipitação antecedente, temperatura, estação do ano, obras no curso d’água, etc. Os pesos desses fatores na formação do escoamento superficial, que juntamente com a contribuição subterrânea dá a vazão do rio, não são iguais: as influências da precipitação e dos fatores geomorfológicos são mais determinantes. Conforme exposto, as vazões máximas anuais, isto é a série anual dos eventos extremos constituídos pelas máximas vazões médias diárias de cada ano, por não serem tais vazões completamente aleatórias não seguem uma distribuição de Gauss. Entretanto, se ao invés das vazões forem considerados os logaritmos dos seus valores, esses últimos aproximam-se relativamente bem da distribuição normal. Assim, denotando por x à variável hidrológica (no caso, x representando a vazão Q), e fazendo-se y  log x

(15)

ter-se-á f y  

sy

2     1 1 y y   exp     2  s y   2  

onde y  média dos logaritmos de x; e sy

5

 desvio-padrão dos logaritmos de x.

Tais fatores foram vistos e analisados nos capítulos anteriores.

159

(16)



Tabela 7.2 – Função de distribuição acumulada de probabilidade – Lei normal ou de Gauss ( = 0; = 1) K=z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,5700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5753 0,6141 06517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997

0,9888 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997

0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998

Observações: 1) Para valores negativos de z, utilizar o complemento aritmético para 1 dos valores de F(z) correspondentes ao valor positivo. Isto é, F( – z) = 1 – F(z)  o mesmo que P{Z < – z}= 1 – P{Z
160



Isto é, N

N

 y  log x  i

y

i 1

i

i 1



N

N

(17)

e N

sy



 y

i

 y 2

i 1

N  1

(18)

Para a variável y (transformada logarítmica de x), a função distribuição acumulada de probabilidade, F(y), se escreve como Fy   PY  y 



y



f y dy

(19)

Os valores desta integral são fornecidos na Tabela 7.2, agora em termos da também variável reduzida z



yy sy

.

(20)

Pela distribuição log -normal, a previsão da enchente de período de retorno Tr, com base no modelo de Chow, exige que a Eq. (5) seja reescrita na forma y Tr  y  K  s y ,

(21)

sendo K o fator de frequência de Chow determinado com o auxílio da Tabela 7.2. Uma vez que y = log x, a variável procurada, xTr (ou a vazão Q Tr ), se obtém da transformação x Tr  10

y

Tr

.

(22)

7.4.2.1 USO DO PAPEL LOGARÍTMICO DE PROBABILIDADE – POSIÇÃO DE PLOTAGEM Para facilitar o uso prático da distribuição log -normal, utiliza-se o chamado papel logarítmico de probabilidade , no qual: i) a escala das abscissas é logarítmica, dispensando o cálculo dos logaritmos da variável x (entra-se diretamente com os valores de vazão); ii) a escala das ordenadas (escala normal de probabilidade) é tal que transforma a “curva em S” em um reta. Quando a série de valores máximos anuais das descargas 6 é suficientemente grande (N > 30 anos de registros), a sequência de procedimentos abaixo pode ser utilizada para as estimativas das frequências: 1o - classificar os dados da série de vazão em ordem crescente; 2o - definir a dimensão do intervalo de classe e agrupar os dados dentro dos intervalos; 3o - contar o número de observações (frequências absolutas) dentro de cada intervalo; 4o - calcular as frequências relativas (dividir o número de observações de cada intervalo pelo total de observações); 6

Série anual dos valores médio s diários na seção de um curso d’água natural (estação fluviométrica).

161



5o - calcular as frequências acumuladas, F(y), que são medidas das probabilidades de ocorrência de vazões menores (ou iguais) ao valor superior da classe; 6o - plotar as frequências (probabilidades) em ordenadas e as vazões em abscissas, em papel logarítmico de probabilidade; 7o - traçar a reta representativa da distribuição log -normal de probabilidade. Convém destacar que a reta mencionada passa, necessariamente, pelos pontos:  F( y ) = P{ y  y }=50% x 50%  10 y ; F( y  s y ) = P{ y  y  s y }=15,87%; 

x 15 ,87%

 10 ys ; e

F( y  s y ) = P{ y  y  s y }=84,13% 

x 84 ,13%

 10 ys .

Se os valores plotados apresentarem boa aderência em relação à reta traçada poder-se-á dizer, com boa segurança, que as frequências dos logaritmos das vazões seguem uma distribuição normal (ou que as frequências das vazões seguem uma distribuição log -normal). Daí surge a possibilidade de previsão de enchentes pela extrapolação dos dados históricos baseandose no modelo log -normal de probabilidade. Alternativamente, a análise de frequência poderia ser feita utilizando-se o método de Weibull7: os eventos, em termos de sua magnitude, são classificados em ordem decrescente, atribuindo-se um número de ordem a cada evento. O evento de maior magnitude teria, então, ordem m=1 e o de menor magnitude ordem m=N, sendo N o número de anos da série (na série anual, N também é o número de dados ou observações). A frequência do evento de ordem m, ou a probabilidade de que um evento da mesma magnitude, ou de magnitude maior, venha a ocorrer num ano qualquer (no caso, probabilidade de excedência) pode ser calculada por F (x)

= PX  x 

m N  1

.

(23)

Da definição de período de retorno, Tr 

1 PX  x



N  1 m

.

(24)

No presente capítulo, foi definida a frequência F(x) como uma probabilidade de não excedência, isto é, Fx   PX  x. Assim, como, então Fx   PX  x  1  PX  x  1 

1 Tr

.

(25)

Para a distribuição log -normal, empregando-se as Eqs. (22) e (25), as posições de plotagem podem ser prontamente obtidas no papel logarítmico de probabilidade.

EXEMPLO 7.5 Considere a série anual das vazões máximas diárias referidas à seção de um curso d’água natural,

conforme é fornecido nas duas primeiras colunas da Tabela 7.3. Com base nesses dados, pede-se: a) testar visualmente, por meio de construções gráficas, a validade dos modelos normal e log normal de probabilidade; b) estimar as magnitudes das cheias de 100 anos e de 200 anos de recorrência. 7

V. capítulo de “Precipitação”.

162



SOLUÇÃO a) Teste do modelo gaussiano de probabilidade e da distribuição log -normal Nas colunas 5 e 8 da Tabela 7.3, os dados de vazão e do logaritmo decimal da vazão, respectivamente, são classificados em ordem decrescente. A ordem da classificação ( ranking ), m, é posta na coluna 3 da Tabela. Pela Eq. (23), as frequências F (x), que são probabilidade de excedência (a classificação é feita em ordem decrescente) são calculadas e subtraídas da unidade, antes de serem lançadas na coluna 4 da Tabela 7.2, que contém os valores de F(x). 8 As estatísticas média e desvio-padrão são calculadas pelas Eqs. (7), (8), (17) e (18) e os resultados são introduzidos no final da Tabela 7.3. Nos gráficos das Figuras 7.6 e 7.7 encontram-se lançados os valores das vazões máximas anuais, no eixo das abscissas, em função das frequências acumuladas, nas ordenadas. Nestes gráficos, as frequências, como calculadas na Tabela 7.3, representam as probabilidades de não excedência, isto é, F(Q p) = P{Q < Q p}. Para testar o modelo gaussiano, na Figura 7.6 os valores de F encontram-se em escala de probabilidade e os valores de Q em escala aritmética (papel aritmético de probabilidade). A linha traçada representa, neste gráfico, a distribuição normal definida pela Eq. (9). Conforme também ilustrado na Figura 7.4, a reta passa pelos pontos característicos: 3

Q  Q  194,34 m

/s e F=50% 3

Q  Q  s  194 ,34  84 ,17  110,17 m

/s e F=15,87%

3

Q  Q  s  194 ,34  84 ,17  278,51m

/s e F=84,13%.

A Figura 7.6 mostra que, na faixa de valores extremos de vazão, a aderência da linha aos pontos não é boa. Nota-se, ainda, que para o caso de previsões por extrapolação dos dados históricos com base no modelo gaussiano seriam obtidos valores subestimados das vazões. De forma semelhante, para testar o modelo log -normal, na Figura 7.7 os valores de F encontramse em escala de probabilidade, enquanto os valores de Q são lançados em escala logarítmica (utiliza-se o papel logarítmico de probabilidade). A linha traçada, que representa o modelo normal de probabilidade para a função transformada logarítmica das vazões, Eq. (19), passa agora pelos pontos: 3 y  y  2 ,24758  Q 50%  10 2 ,24758  176,84 m /s e F=50% y  y  sy

 2 ,05394  Q15 ,87%  102 ,05394  113,22 m3/s e F=15,87%

y  y  sy

 2 ,44122  Q84 ,13%  10 2 ,44122  276,20 m3/s e F=84,13%.

Vê-se que, neste caso, o modelo log -normal, representado pela linha reta que passa pelos pontos acima na Figura 7.7, apresenta uma boa aderência aos dados da série. Portanto, numa inspeção visual comparativa das duas figuras conclui-se que, pela maior aderência dos pontos à reta, o modelo log -normal de probabilidade é superior ao modelo gaussiano. Conclui-se, ainda, que o modelo log -normal pode ser considerado como capaz de fornecer boas estimativas para as vazões de enchentes por extrapolação dos dados históricos. b) Estimativas das cheias de 100 e 200 anos de recorrência

8

F(x) = 1  F (x)

163



Da conclusão tirada no item (a) do presente problema, as extrapolações seriam confiáveis se realizadas empregando-se o modelo log -normal. Contudo, apenas a título de ilustração do uso do modelo gaussiano, far-se-ão as determinações das vazões com recorrência de 100 e 200 anos por ambos os modelos e segundo a equação de Chow (Eq. 5). b1. Para Tr = 100 anos, F=1 1/Tr = 11/100 = 0,99.  Distribuição Normal: Da Tabela 7.2, para F=0,99  z = K  2,33. Da Eq. (5), QTr 100

 194 ,34  2 ,33 84 ,17  QTr 100  390,46 m3/s.

Distribuição log -Normal: Como antes, K = 2,33. Da Eq. (21), 

y Tr 10 0

 2 ,2476  2 ,33  0 ,19364  2 ,69878  Q Tr 10 0  10 2 ,69878  499,78 m3/s.

b2. Para Tr = 200 anos, F=1 1/Tr = 11/200 = 0,995.  Distribuição Normal: Da Tabela 7.2, para F=0,995  z = K  2,575. Da Eq. (5), Q Tr 200 

 194,34  2,575  84,17  QTr 200  411,08 m3/s.

Distribuição log -Normal: Como antes, K = 2,575. Da Eq. (21), y Tr 20 0

 2,2476  2,575  0,19364  2,74622  Q Tr 20 0  10 2,74622  557,47 m3/s.

7.4.3 DISTRIBUIÇÃO DE PEARSON TIPO III A função distribuição de probabilidade de Pearson tipo III constitui um caso especial da função gama. A forma matemática da função densidade de probabilidade desta distribuição é

 x    f x           1

 1

  x        

exp  

(26)

sendo x a variável aleatória, ,  e  parâmetros da distribuição e

 





e  x  x 1dx .

0

O uso da distribuição Person tipo III para a previsão de cheias pode ser feito segundo o método de Foster, conforme Vilela & Mattos (1975), ou ainda empregando-se a relação de Chow, definida pela Eq. (5). Para considerar a natureza assimétrica da distribuição de Pearson tipo III, o fator de frequência da Eq. (5) é função da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de assimetria, este último definido como N

g

N

 N  1   N  2



 x

i

 x 3

i 1

s3

.

(27)

com x representando a variável hidrológica, N o número de dados da série e os demais elementos como anteriormente definidos.

164



Tabela 7.3 – Série anual das descargas máximas diárias

(Fonte de dados: U.S. G eologi cal Survey Open F ile Report I 19.2: W75, 1971 )

(1) ano 1896 1897 1898 1899 1900

(2) Q(m3/s) 96,79 124,24 81,08 153,67 77,83

(3) m 1 2 3 4 5

(4) (5) F(Q) % Q (m3/s) 98,65 438,65 97,30 430,16 95,95 376,39 94,59 331,11 93,24 325,45

(6)

(7)

(8) y=log(Q) 2,64212 2,63363 2,57564 2,51997 2,51248

(9) y  y 2 0,15566 0,14903 0,10762 0,07420 0,07017

(10) y  y 3 6,1414x10-2 5,7535x103,5306x10-2 2,0211x10-2 1,8589x10-2

Q  Q 2

Q  Q 3

1901 1902 1903 1904 1905

176,31 86,32 144,33 146,03 183,10

6 7 8 9 10

91,89 90,54 89,19 87,84 86,49

319,79 314,13 305,64 297,15 294,32

15737,98 14349,91 12387,93 10570,12 9996,22

1974346,71 1718991,22 1378790,78 1086725,90 999433,11

2,50486 2,49711 2,48521 2,47298 2,46882

0,06620 0,06226 0,05647 0,05080 0,04895

1,7031x101,5537x10-2 1,3419x10-2 1,1451x10-2 1,0829x10-2

1906 1907 1908 1909 1910

205,18 144,33 123,11 96,79 99,05

11 12 13 14 15

85,14 83,78 82,43 81,08 79,73

291,49 288,66 285,83 282,72 270,83

9438,34 8896,47 8370,62 7811,22 5850,89

916944,75 839124,83 765837,36 690364,11 447540,89

2,46462 2,46039 2,45611 2,45136 2,43270

0,04711 0,04529 0,04348 0,04152 0,03427

1,0224x10-2 9,6373x10-3 9,0676x10-3 8,4618x10-3 6,3436x10-3

1911 1912 1913 1914 1915

88,30 259,79 231,21 240,27 120,56

16 17 18 19 20

78,38 77,03 75,68 74,32 72,97

259,79 253,57 240,27 240,27 231,21

4283,85 3508,32 2109,67 2109,67 1359,48

280382,47 207801,84 96899,28 96899,28 50125,45

2,41462 2,40410 2,38070 2,38070 2,36401

0,02790 0,02450 0,01772 0,01772 0,01356

4,6610x10-3 3,8344x10-3 2,3590x10-3 2,3590x10-3 1,5782x10-3

1916 1917 1918 1919 1920

253,57 228,10 205,74 179,71 305,64

21 22 23 24 25

71,62 70,27 68,92 67,57 66,22

228,10 224,70 221,87 221,02 217,91

1139,81 921,80 757,96 711,88 555,60

38481,30 27986,75 20867,51 18993,77 13096,03

2,35813 2,35160 2,34610 2,34443 2,33828

0,01222 0,01082 0,00971 0,00938 0,00823

1,3509x101,1256x10-3 9,5621x10-4 9,0849x10-4 7,4607x10-4

1921 1922 1923 1924 1925

185,65 438,65 285,83 206,02 120,84

26 27 28 29 30

64,86 63,51 62,16 60,81 59,46

215,08 211,40 210,84 210,27 206,02

430,19 291,08 272,29 253,80 136,45

8922,68 4966,16 4493,02 4043,31 1593,86

2,33260 2,32510 2,32395 2,32278 2,31391

0,00723 0,00601 0,00583 0,00565 0,00440

6,1456x10-4 4,6593x104,4547x10-4 4,2521x10-4 2,9182x10-4

1926 1927 1928 1929 1930

126,50 179,42 221,02 319,79 82,07

31 32 33 34 35

58,11 56,76 55,41 54,05 52,70

205,74 205,18 202,06 198,10 185,65

129,99 117,53 59,62 14,15 75,50

1481,97 1274,15 460,30 53,20 -655,99

2,31332 2,31214 2,30548 2,29688 2,26869

0,00432 0,00417 0,00335 0,00243 0,00045

2,8410x102,6902x10-4 1,9411x10-4 1,1986x10-4 9,4139x10-6

1931 1932 1933 1934 1935

61,13 120,56 150,56 169,80 270,83

36 37 38 39 40

51,35 50,00 48,65 47,30 45,95

183,10 179,99 179,71 179,42 176,31

126,31 205,89 214,00 222,57 325,04

-1419,62 -2954,31 -3130,65 -3320,55 -5860,14

2,26269 0,00023 2,25525 0,00006 2,25457 0,00005 2,25387 0,00004 2,24628 1,69810 -6

3,4487x10-6 4,5093x10-7 3,4186x10-7 2,4896x10-7 -2,2125x10-9

1936 1937 1938 1939 1940

210,84 179,99 325,45 314,13 138,10

41 42 43 44 45

44,59 43,24 41,89 40,54 39,19

174,61 172,06 169,80 168,95 164,99

389,23 496,35 602,16 644,60 861,36

-7679,07 -11058,12 -14776,29 -16365,59 -25279,91

2,24207 2,23568 2,22994 2,22776 2,21746

-1,6737x10-7 -1,6852x10-6 -5,4912x10-6 -7,7881x10-6 -2,7332x10-5

59687,91 14582419,82 55611,59 13114386,61 33142,60 6033647,34 18706,33 2558485,85 17190,12 2253815,61

0,00003 0,00014 0,00031 0,00039 0,00091

(continua...)

165



Tabela 7.3 – Série anual das descargas máximas diárias (continuação)

(1) ano 1941 1942 1943 1944 1945

(2) Q(m3/s) 202,06 224,70 331,11 172,06 215,08

(3) m 46 47 48 49 50

(4) (5) F(Q) % Q (m3/s) 37,84 154,52 36,49 153,67 35,14 150,56 33,78 146,88 32,43 146,03

1946 1947 1948 1949 1950

291,49 168,95 154,52 113,77 198,10

51 52 53 54 55

31,08 29,73 28,38 27,03 25,68

1951 1952 1953 1954 1955

297,15 430,16 294,32 112,63 164,99

56 57 58 59 60

1956 1957 1958 1959 1960

211,40 93,96 94,84 221,87 376,39

1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968

1585,54 1653,96 1916,59 2252,35 2333,75

-63134,65 -67264,71 -83906,29 -106893,92 -112740,89

(8) y=log(Q) 2,18898 2,18659 2,17771 2,16696 2,16444

144,33 144,33 138,10 126,50 124,24

2500,89 2500,89 3162,81 4602,12 4913,86

-125066,76 -125066,76 -177873,17 -312202,51 -344455,89

2,15936 2,15936 2,14019 2,10209 2,09426

0,00778 0,00778 0,01153 0,02117 0,02351

-6,8667x10-4 -6,8667x10-1,2384x10-3 -3,0796x10-3 -3,6040x10-3

24,32 22,97 21,62 20,27 18,92

123,11 120,84 120,56 120,56 113,77

5073,56 5402,09 5443,33 5443,33 6491,35

-361383,83 -397047,55 -401602,61 -401602,61 -523000,74

2,09029 2,08221 2,08120 2,08120 2,05603

0,02474 0,02735 0,02768 0,02768 0,03669

-3,8911x10-3 -4,5224x10-3 -4,6055x10-3 -4,6055x10-3 -7,0285x10-3

61 62 63 64 65

17,57 16,22 14,86 13,51 12,16

112,63 99,05 97,64 96,79 96,79

6676,34 9079,97 9350,68 9515,79 9515,79

-545516,75 -865220,78 -904200,21 -928254,64 -928254,64

2,05165 1,99585 1,98963 1,98583 1,98583

0,03839 0,06337 0,06654 0,06851 0,06851

-7,5210x10-3 -1,5951x10-2 -1,7164x10-2 -1,7933x10-2 -1,7933x10-2

210,27 240,27 217,91 97,64 282,72

66 67 68 69 70

10,81 9,46 8,11 6,76 5,41

94,84 93,96 88,30 86,32 82,07

9900,03 10075,92 11244,25 11668,08 12604,31

-985042,20 -1011410,12 -1192327,72 -1260373,46 -1415071,56

1,97699 1,97294 1,94596 1,93611 1,91418

0,07322 0,07543 0,09097 0,09701 0,11115

-1,9812x10-2 -2,0715x10-2,7440x10-2 -3,0216x10-2 -3,7058x10-2

146,88 288,66 174,61

71 72 73

4,05 2,70 1,35

81,08 77,83 61,13

12827,58 -1452837,42 13574,32 -1581529,53 17744,61 -2363740,12

1,90891 1,89115 1,78625

0,11469 -3,8843x10-2 0,12704 -4,5283x10-2 0,21282 -9,8180x10-

  Q

Estatísticas

s g

(6)

(7)

Q  Q 

2

Q  Q 

3

14186,74 510128,46 31110154,95 164,07326

  

194,339 84,173 0,745

 sy  gy  y

(9) y  y 2 0,00343 0,00372 0,00488 0,00650 0,00691

(10) y  y 3 -2,0118x10-4 -2,2688x10-4 -3,4110x10-5,2394x10-4 -5,7464x10-4

2,69982

-0,10185

2,24758 0,19364 -0,200

Observação: Os resultados encontrados no problema Exemplo 7.3 também poderiam ser obtidos graficamente, pelas Figuras 7.6 e 7.7. Para isso, apoiando-se nas linhas retas representativas dos modelos de probabilidade, bastaria obter os valores de vazão correspondentes às frequências de 99% e 99,5%.

166



99,999

% ) 99,5 Q ( F 95 , a d a l 70 u m u 40 c a a i 10 c n ê ü 1 q e r F 0,01 0

100

200

300

400

500

vazão, Q (m3/s) Figura 7.6 – Gráfico das frequência das cheias anuais (máximos valores de cada ano), para os dados da Tabela 7.3, em papel aritmético de probabilidade.

99,999

% ) Q ( 99,5 F , 95 a d a l u 70 m u c 40 a a i c 10 n ê ü q 1 e r F 0,01 100

1000

vazão, Q (m3/s) Figura 7.7 – Gráfico das frequências das cheias anuais (máximos valores de cada ano), para os dados da Tabela 7.3, em papel logarítmico de probabilidade.

167



Valores do fator de frequência da distribuição Pearson tipo III de probabilidade, para uso com a Eq. (5) de Chow, são apresentados na Tabela 7.4. A distribuição Pearson tipo III é assimétrica e não admite valores negativos da variável hidrológica. A assimetria pode ser positiva ou negativa, conforme se procura representar na Figura 7.8.

Figura 7.8 – Distribuições assimétricas de probabilidade: assimetria positiva para a média maior que a mediana; assimetria negativa para a média menor que a mediana.

EXEMPLO 7.6 Usando os dados da Tabela 7.3, determinar a magnitude das cheias de 100 e de 200 anos de recorrência, empregando a distribuição de probabilidade Pearson tipo III. SOLUÇÃO Das estatísticas produzidas na Tabela 7.3: Q  194,339 m3/s, s  84,173 m3/s e g  0,745 . - para Tr = 100 anos e g = 0,745, obtém-se K da Tabela 7.4 por interpolação: g = 0,7  K = 2,824; g = 0,8  K = 2,891 e g = 0,745  K=? K  2 ,824 2 ,891  2 ,824



0 ,745  0 ,7 0 ,8  0 ,7



K = 2,854

Da Eq. (5), Q Tr 100

 194 ,339  2 ,854  84,173 

Q Tr 10 0

 434,57 m3/s.

- para Tr = 200 anos e g = 0,745, da Tabela 7.4: g = 0,7  K = 3,223; g = 0,8  K = 3,312 e g = 0,745  K=? K  3 ,223 3 ,312  3 ,223



0 ,745  0 ,7 0 ,8  0 ,7



K = 3,263.

Da Eq. (5), Q Tr  200

 194 ,339  3 ,263 84,173 

168

Q Tr 20 0

 469,00 m3/s.



Tabela 7.4 – Valores do fator de frequência K para a distribuição de Pearson tipo III Coef. de assimetria, g 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9 -2,0 -2,1 -2,2 -2,3 -2,4 -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,9 -3,0

1,0101

1,0526

Tr, Período 1,1111 1,2500 2 F = probabilidade de 10 20 50

de Retorno (anos) 5 10 25 não excedência (%) 80 90 96

50

100

200

1

5

98

99

99,5

-0,667 -0,690 -0,714 -0,740 -0,769 -0,799 -0,832 -0,867 -0,905 -0,946 -0,990 -1,037 -1,087 -1,140 -1,197

-0,665 -0,688 -0,711 -0,736 -0,762 -0,790 -0,819 -0,850 -0,882 -0,914 -0,949 -0,984 -1,020 -1,056 -1,093

-0,660 -0,681 -0,702 -0,724 -0,747 -0,771 -0,795 -0,819 -0,844 -0,869 -0,895 -0,920 -0,945 -0,970 -0,994

-0,636 -0,651 -0,666 -0,681 -0,696 -0,711 -0,725 -0,739 -0,752 -0,765 -0,777 -0,788 -0,799 -0,808 -0,817

-0,396 -0,390 -0,384 -0,376 -0,368 -0,360 -0,351 -0,341 -0,330 -0,319 -0,307 -0,294 -0,282 -0,268 -0,254

0,420 0,440 0,460 0,479 0,499 0,518 0,537 0,555 0,574 0,592 0,609 0,627 0,643 0,660 0,675

1,180 1,195 1,210 1,224 1,238 1,250 1,262 1,274 1,284 1,294 1,302 1,310 1,318 1,324 1,329

2,278 2,277 2,275 2,272 2,267 2,262 2,256 2,248 2,240 2,230 2,219 2,207 2,193 2,179 2,163

3,152 3,134 3,114 3,093 3,071 3,048 3,023 2,997 2,970 2,942 2,912 2,881 2,848 2,815 2,780

4,051 4,013 3,973 3,932 3,889 3,845 3,800 3,753 3,705 3,636 3,605 3,553 3,499 3,444 3,388

4,970 4,909 4,847 4,783 4,718 4,652 4,584 4,515 4,444 4,372 4,398 4,223 4,147 4,069 3,990

-1,256 -1,318 -1,383 -1,449 -1,518 -1,588 -1,660 -1,733 -1,806 -1,880 -1,955 -2,029 -2,104 -2,178 -2,252 -2,326 -2,400 -2,472 -2,544 -2,615 -2,686 -2,755 -2,824 -2,891 -2,957 -3,022 -3,087 -3,149 -3,211 -3,271 -3,330 -3,388 -3,444 -3,499 -3,553 -3,605 -3,656 -3,705 -3,753 -3,800 -3,845 -3,889 -3,932 -3,973 -4,013 -4,051

-1,131 -1,168 -1,206 -1,243 -1,280 -1,317 -1,353 -1,388 -1,423 -1,458 -1,491 -1,524 -1,533 -1,586 -1,616 -1,645 -1,673 -1,700 -1,726 -1,750 -1,774 -1,797 -1,819 -1,839 -1,858 -1,877 -1,894 -1,910 -1,925 -1,938 -1,951 -1,962 -1,972 -1,981 -1,989 -1,996 -2,001 -2,006 -2,009 -2,011 -2,012 -2,013 -2,012 -2,010 -2,007 -2,003

-1,018 -1,041 -1,064 -1,086 -1,107 -1,128 -1,147 -1,166 -1,183 -1,200 -1,216 -1,231 -1,245 -1,258 -1,270 -1,282 -1,292 -1,301 -1,309 -1,317 -1,323 -1,328 -1,333 -1,336 -1,339 -1,340 -1,341 -1,340 -1,339 -1,337 -1,333 -1,329 -1,324 -1,318 -1,310 -1,302 -1,294 -1,284 -1,274 -1,262 -1,250 -1,238 -1,224 -1,210 -1,195 -1,180

-0,825 -0,832 -0,838 -0,844 -0,848 -0,852 -0,854 -0,856 -0,857 -0,857 -0,876 -0,855 -0,853 -0,850 -0,846 -0,842 -0,836 -0,830 -0,824 -0,816 -0,808 -0,800 -0,790 -0,780 -0,769 -0,758 -0,745 -0,732 -0,719 -0,705 -0,690 -0,675 -0,660 -0,643 -0,627 -0,609 -0,592 -0,574 -0,555 -0,537 -0,518 -0,499 -0,479 -0,460 -0,440 -0,420

-0,240 -0,225 -0,210 -0,195 -0,180 -0,164 -0,148 -0,132 -0,116 -0,099 -0,083 -0,066 -0,050 -0,033 -0,017 0 0,017 0,033 0,050 0,066 0,083 0,099 0,116 0,132 0,148 0,164 0,180 0,195 0,210 0,225 0,240 0,254 0,268 0,282 0,294 0,307 0,319 0,330 0,341 0,351 0,360 0,368 0,376 0,384 0,390 0,396

0,690 0,705 0,719 0,732 0,745 0,758 0,769 0,780 0,790 0,800 0,808 0,816 0,824 0,830 0,836 0,842 0,846 0,850 0,853 0,855 0,856 0,857 0,857 0,856 0,854 0,852 0,848 0,844 0,838 0,832 0,825 0,817 0,808 0,799 0,788 0,777 0,765 0,752 0,739 0,725 0,711 0,696 0,681 0,666 0,651 0,636

1,333 1,337 1,339 1,340 1,341 1,340 1,339 1,336 1,333 1,328 1,323 1,317 1,309 1,301 1,292 1,282 1,270 1,258 1,245 1,231 1,216 1,200 1,183 1,166 1,147 1,128 1,107 1,086 1,064 1,041 1,018 0,994 0,970 0,945 0,920 0,895 0,869 0,844 0,819 0,795 0,771 0,747 0,724 0,702 0,681 0,660

2,146 2,128 2,108 2,087 2,066 2,043 2,018 1,993 1,967 1,939 1,910 1,880 1,849 1,818 1,785 1,751 1,716 1,680 1,643 1,606 1,567 1,528 1,488 1,448 1,407 1,366 1,324 1,282 1,240 1,198 1,157 1,116 1,075 1,035 0,996 0,959 0,923 0,888 0,855 0,823 0,793 0,764 0,738 0,712 0,683 0,666

2,743 2,706 2,666 2,626 2,585 2,542 2,498 2,453 2,407 2,359 2,311 2,261 2,211 2,159 2,107 2,054 2,000 1,945 1,890 1,834 1,777 1,720 1,663 1,606 1,549 1,492 1,435 1,379 1,324 1,270 1,217 1,166 1,116 1,069 1,023 0,980 0,939 0,900 0,864 0,830 0,798 0,768 0,740 0,714 0,689 0,666

3,330 3,271 3,211 3,149 3,087 3,022 2,957 2,891 2,824 2,755 2,686 2,615 2,544 2,472 2,400 2,326 2,252 2,178 2,104 2,029 1,955 1,880 1,806 1,733 1,660 1,588 1,518 1,449 1,383 1,318 1,256 1,197 1,140 1,087 1,037 0,990 0,946 0,905 0,867 0,832 0,799 0,769 0,740 0,714 0,690 0,667

3,910 3,828 3,745 3,661 3,575 3,489 3,401 3,312 3,223 3,132 3,041 2,949 2,856 2,763 2,670 2,576 2,482 2,388 2,294 2,201 2,108 2,016 1,926 1,837 1,749 1,664 1,581 1,501 1,424 1,351 1,282 1,216 1,155 1,097 1,044 0,995 0,949 0,907 0,869 0,833 0,800 0,769 0,741 0,714 0,690 0,667

169



7.4.4 DISTRIBUIÇÃO LOG -PEARSON TIPO III A função de distribuição de probabilidade log -Pearson tipo III é assim denominada porque a função de distribuição da Eq. (26) é aplicada à transformada logarítmica da variável x, isto é,

 y    f y         

1

  y    (28)      onde y = log (x) e as demais grandeza são como já definidas na seção 7.4.3. Para obter a variável de magnitude x do evento de recorrência Tr com o emprego da equação de Chow para a distribuição log -Pearson tipo III9 deve-se, preliminarmente, calcular as três estatísticas: média y (Eq. 17), desvio-padrão s y (Eq. 18) e coeficiente de assimetria, g y, agora definido como 1

exp  

N

gy



N

 N  1   N  2



 log x

i

 y3

i 1

sy

.

3

(29)

Com as Eqs. (21) e (22), determina-se a variável x Tr . De forma resumida, deve-se proceder de acordo com a seguinte marcha de procedimentos de cálculo: i) construir a série para a variável transformada, calculando a transformada logarítmica, y i  log x i ; ii) calcular a média y , o desvio-padrão s y e o coeficiente de assimetria g y para a série transformada; iii) obter, por meio da Tabela 7.4, o fator de frequência em função do coeficiente de assimetria g y e do período de retorno Tr; iv) calcular y Tr por meio da Eq. (21) de Chow e obter x Tr pela Eq. (22): y Tr  y  K  s y  x Tr  10 yTr .

EXEMPLO 7.7 Empregando os dados da Tabela 7.3, determinar as magnitudes das cheias de 100 e 200 anos de recorrência com base na distribuição log -Pearson tipo III. SOLUÇÃO Das estatísticas produzidas conforme a Tabela 7.3: y  2,24758 , s y  0,19364 e g y  0,200 .  para Tr = 100 anos e gy = 0,200, obtém-se K diretamente da Tabela 7.4  K = 2,178. Da Eq. (21), y Tr 100  2 ,24758  2 ,178  0 ,19364  2,66933  Q Tr 10 0  10 2 ,66933  467,01m3/s.  para Tr = 200 anos e gy = 0,200, da Tabela 4  K = 2,388.

Da Eq. (21), 9

Com o fim de estabelecer uma padronização de procedimentos, o U.S. Water Resources Council adotou, em 1967, a distribuição log -Pearson tipo III como o padrão para uso pelas agências federais americanas.

170


y Tr 200


 2 ,24758  2 ,388 0 ,19364  2,70999

 Q Tr 20 0  10 2 ,70999  512,85 m3/s.

4.5 DISTRIBUIÇÃO TIPO I DE FISHER-TIPPETT OU GUMBEL Em 1928, Fisher e Tippett, tomando de vários conjuntos de muitas amostras o maior valor de cada conjunto, mostraram que a distribuição dos valores extremos é independente da distribuição original e se comporta como função limite. Gumbel, em 1945, sugeriu que essa distribuição de valores extremos seria apropriada para a análise de frequência das cheias, desde que a série fosse anual, isto é, cada vazão da série de valores extremos fosse a maior vazão de uma amostra de 365 possibilidades (maior vazão do ano). Apoiando-se no argumento de que não há limite físico para o valor da máxima vazão de enchente, Gumbel sugeriu que a probabilidade de ocorrência da cheia de magnitude igual ou superior a um dado valor x (probabilidade de excedência) pode ser expressa por PX  x  1  e e

y

(30)

sendo e a base dos logaritmos neperianos e y uma variável reduzida, definida pela expressão y

1 0 ,7797  s

x  x  0,45  s  .

(31)

Ou, definindo-se a frequência F(x) pela probabilidade de não excedência, y

Fx   PX  x  e e .

(32)

EXEMPLO 7.8 Obter a expressão do fator de frequência de Chow em função do período de retorno para a distribuição de Gumbel. SOLUÇÃO Comparando-se a equação de Chow (Eq. 5) com a Eq. (31), obtém-se y

1 0 ,7797

K  0,45 .

(33) y

Da Eq. (30), lembrando que PX  x  1 Tr , tem-se 1 Tr  1  e e . Exprime-se, então, y em função de Tr:

  1   .   Tr  Finalmente, pelas equações (33) e (34), y   ln  ln1 



K  0 ,45  0 ,7797 ln



(34)

  1    ln 1  Tr   .    

171

(35)



EXEMPLO 7.9 Com base nos dados da Tabela 7.3, calcular os períodos de retorno das seguintes vazões de enchente: a) Q = Q = 194,34m3/s; b) Q = 500m 3/s. SOLUÇÃO a) Neste caso, busca-se determinar o período de retorno da média da série. Da Eq. (31) tem-se y que, se Q = Q  y = 0,5771. E, como 1 Tr  1  e e , tem-se Tr 

1 1 e

e  y



1 1 e

e  0 ,5771

 2 ,33 anos.

Portanto, para a distribuição Gumbel o período de retorno da vazão média é igual a 2,33 anos. Isto é, existe uma probabilidade teórica de aproximadamente 43% de ocorrer uma vazão igual ou superior à média em um ano qualquer 10. b) Para obter o Tr correspondente a Q = 500m 3/s, calcula-se inicialmente o valor de y da Eq. (31). Com Q = 194,34m3/s e s = 84,17m 3/s, y

1 0 ,7797  84 ,17

500  194 ,34  0 ,45  84 ,17  5,235 .

Finalmente, calcula-se Tr Tr 

1 1 e

 e 5 ,235

 188 anos.

Deve ser apontado que a expressão analítica do coeficiente K em função de Tr, na forma da Eq. (35), aplica-se apenas ao caso da distribuição Gumbel, referida a uma amostra muito grande (dita Gumbel teórica, com N = ). Para os casos reais de séries de tamanho finito (quando a distribuição é também conhecida como Gumbel-Chow), o fator de frequência deve considerar ainda o tamanho N da série, isto é, K = K(Tr, N). Para esse último caso, apresentamse na Tabela 7.5 os valores de K para diferentes períodos de retorno e tamanhos de amostra. Na última linha desta tabela incluem-se os valores de K para a amostra de tamanho infinito.

EXEMPLO 7.10 Usando os dados da Tabela 7.3, estimar as magnitudes das cheias de 50 e 100 anos de recorrência, com base na distribuição Gumbel-Chow. SOLUÇÃO Da Tabela 7.3, Q  194,339m 3/s e s  84,173m3/s.  para Tr = 100 anos e N=73, obtém-se K diretamente da Tabela 7.5  K = 3,4044. Pela Eq. (5), 10

Note que, para a distribuição normal, esta probabilidade seria de 50%. Isto é, para a distribuição normal, o período de retorno da média é de 2 anos.

172



3 Q  194 ,339  3 ,4044  84 ,173  Q  480,90 m /s.

 para Tr = 50 anos e N=73, da Tabela 7.5  K = 2,8167.

Pela Eq. (05), Q  194 ,339  2 ,8167  84 ,173  Q  431,43 m3/s.

7.4.5.1 USO DO PAPEL DE PROBABILIDADE DE GUMBEL As respostas ao problema-exemplo 7.10 também poderiam ser obtidas por meio da construção do gráfico de frequência, com o emprego do papel de probabilidade de Gumbel. O papel de Gumbel apresenta uma escala linear (abscissa) para a variável sendo estudada (evento extremo, chuva ou vazão) e uma escalar linear para a variável reduzida de Gumbel, y (ordenada). Por conveniência e para facilitar o lançamento dos dados em gráfico, escalas deformadas de Tr e F também são construídas (ordenadas). Na Figura 7.9 é apresentado o papel de probabilidade de Gumbel. Sugere-se ao aluno repetir o problema-exemplo 7.10 utilizando a construção do gráfico de probabilidade. 7.5 FÓRMULAS PRÁTICAS PARA A VAZÃO DE ENCHENTE DE PROJETO No passado, para o cálculo da enchente de projeto, os engenheiros sempre recorriam ao uso de equações empíricas da vazão. Estas equações, ainda hoje utilizadas, são normalmente escritas em termos das características físicas e climáticas locais. Uma das formas mais simples dessas equações empíricas exprime a vazão em função da área de drenagem da bacia hidrográfica, na forma Q  c  An ,

(36)

onde c e n são coeficientes empíricos. O expoente n da Eq. (36) é frequentemente tomado como n= – 0,5, indicando que os picos de vazão variam inversamente com a raiz quadrada da área de drenagem. Por essa formulação simples, as influências dos outros fatores recaem sobre o coeficiente c. Algumas outras fórmulas empíricas incluem, ainda, fatores que levam em conta, por exemplo, a forma da bacia hidrográfica e a precipitação anual média, numa tentativa de reduzir a influência das variações no valor do coeficiente c. O emprego de fórmulas do tipo da Eq. (36) ocorreu com mais intensidade no passado, basicamente pela ausência de dados hidrométricos que permitissem o emprego de métodos mais precisos e elaborados, como aqueles discutidos no presente capítulo. As fórmulas práticas são ainda hoje utilizadas na forma conhecida como modelos de regionalização e requerem uma boa e confiável base de dados para produzir um ajuste estatístico satisfatório. Deve ficar claro que uma expressão tão simples como a Eq. (36) não é, em geral, capaz de representar a complexidade dos fenômenos envolvidos na ocorrência de uma cheia. Ademais, fórmulas desse tipo não permitem a introdução da análise de probabilidade para a vazão calculada. Atualmente, em face da existência de uma quantidade relativamente abundante de dados e com a melhor compreensão dos fenômenos hidrológicos, não mais se justifica o emprego das fórmulas empíricas.

173



Tabela 7.5 – Valores do fator de frequência K para a distribuição Gumbel-Chow tamanho da Amostra N

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

2

5

10

50 -0,1355 -0,1376 -0,1393 -0,1408 -0,1422 -0,1434 -0,1444 -0,1454 -0,1463 -0,1470 -0,1478 -0,1484 -0,1490 -0,1496 -0,1501 -0,1506 -0,1510 -0,1515 -0,1518 -0,1522 -0,1526 -0,1529 -0,1532 -0,1535 -0,1538 -0,1540 -,01543 -0,1545 -0,1548 -0,1550 -0,1552 -0,1554 -0,1556 -0,1557 -0,1559 -0,1561 -0,1562 -0,1564 -0,1566 -0,1567 -0,1568 -0,1570 -0,1571 -0,1572 -0,1573

80 1,0580 1,0338 1,0134 0,9958 0,9806 0,9672 0,9553 0,9447 0,9352 0,9265 0,9187 0,9115 0,9049 0,8988 0,8931 0,8879 0,8830 0,8784 0,8742 0,8701 0,8664 0,8628 0,8594 0,8562 0,8532 0,8504 0,8476 0,8450 0,8425 0,8402 0,8379 0,8357 0,8337 0,8317 0,8298 0,8279 0,8262 0,8245 0,8228 0,8212 0,8197 0,8182 0,8168 0,8154 0,8141

90 1,8483 1,8094 1,7766 1,7484 1,7240 1,7025 1,6835 1,6665 1,6512 1,6373 1,6247 1,6132 1,6026 1,5929 1,5838 1,5754 1,5676 1,5603 1,5535 1,5470 1,5410 1,5353 1,5299 1,5248 1,5199 1,5153 1,5110 1,5068 1,5028 1,4990 1,4954 1,4920 1,4886 1,4854 1,4824 1,4794 1,4766 1,4739 1,4712 1,4687 1,4663 1,4639 1,4616 1,4594 1,4573

Período de retorno, Tr, em anos 15 20 25 50 Probabilidade de não excedência, F (%) 93,33 95 96 98 2,8467 3,5874 2,7894 3,5163 2,7409 3,4563 2,6993 3,4048 2,6632 3,3600 2,117 2,410 2,6316 3,3208 2,6035 3,2860 2,5784 3,2549 2,5559 3,2270 2,5354 3,2017 2,023 2,302 2,5169 3,1787 2,4999 3,1576 2,4843 3,1383 2,4699 3,1205 2,4565 3,1040 1,963 2,235 2,4442 3,0886 2,4326 3,0743 2,4219 3,0610 2,4118 3,0485 2,4023 3,0368 1,922 2,188 2,3934 3,0257 2,3850 3,0153 2,3770 3,0054 2,3695 2,9961 2,3623 2,9873 1,891 2,152 2,3556 2,9789 2,3491 2,9709 2,3430 2,9633 2,3371 2,9561 2,3315 2,9491 1,866 2,126 2,3262 2,9425 2,3211 2,9362 2,3162 2,9301 2,3115 2,9243 2,3069 2,9187 1,847 2,104 2,3026 2,9133 2,2984 2,9081 2,2944 2,9031 2,2905 2,8983 2,2868 2,8937 1,831 2,086 2,2832 2,8892 2,2797 2,8849 2,2763 2,8807 2,2731 2,8767 2,2699 2,8728

75

100

1000

98,67

99 4,3227 4,2379 4,1664 4,1050 4,0517 4,0049 3,9635 3,9265 3,8932 3,8631 3,8356 3,8106 3,7875 3,7663 3,7466 3,7283 3,7113 3,6954 3,6805 3,6665 3,6534 3,6410 3,6292 3,6181 3,6076 3,5976 3,5881 3,5790 3,5704 3,5622 3,5543 3,5467 3,5395 3,5325 3,5259 3,5194 3,5133 3,5073 3,5016 3,4961 3,4908 3,4856 3,4807 3,4759 3,4712

99,9

3,721

3,563

3,463

3,393

3,341

3,301

3,268

3,241

6,265

6,006

5,842

5,727

5,576

5,478

(continua)

174



Tabela 7.5 – Valores do fator de frequência K para a distribuição Gumbel-Chow (continuação) tamanho da amostra N

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2

5

10

50 -0,1575 -0,1576 -0,1577 -0,1578 -0,1579 -0,1580 -0,1581 -0,1582 -0,1583 -0,1583 -0,1584 -0,1585 -0,1586 -0,1587 -0,1587 -0,1588 -0,1589 -0,1590 -0,1590 -0,1591 -0,1592 -0,1592 -0,1593 -0,1593 -0,1594 -0,1595 -0,1595 -0,1596 -0,1596 -0,1597 -0,1597 -0,1598 -0,1598 -0,1599 -0,1599 -0,1600 -0,1600 -0,1601 -0,1601 -0,1602 -0,1602 -0,1602 -0,1603 -0,1603 -0,1604 -0,1604 -0,1642

80 0,8128 0,8116 0,8103 0,8092 0,8080 0,8069 0,8058 0,8048 0,8038 0,8028 0,8018 0,8009 0,8000 0,7991 0,7982 0,7974 0,7965 0,7957 0,7950 0,7942 0,7934 0,7927 0,7920 0,7913 0,7906 0,7899 0,7893 0,7886 0,7880 0,7874 0,7868 0,7862 0,7856 0,7851 0,7845 0,7840 0,7834 0,7829 0,7824 0,7819 0,7814 0,7809 0,7804 0,7800 0,7795 0,7791 0,7197

90 1,4552 1,4532 1,4512 1,4494 1,4475 1,4458 1,4440 1,4424 1,4407 1,4391 1,4376 1,4361 1,4346 1,4332 1,4318 1,4305 1,4291 1,4278 1,4266 1,4254 1,4242 1,4230 1,4218 1,4207 1,4196 1,4185 1,4175 1,4165 1,4154 1,4145 1,4135 1,4125 1,4116 1,4107 1,4098 1,4089 1,4081 1,4072 1,4064 1,4056 1,4048 1,4040 1,4033 1,4025 1,4018 1,4010 1,3048

Período de retorno, Tr, em anos 15 20 25 50 Probabilidade de não excedência, F (%) 93,33 95 96 98 1,818 2,071 2,2669 2,8690 2,2639 2,8653 2,2610 2,8618 2,2583 2,8583 2,2556 2,8550 1,806 2,059 2,2529 2,8518 2,2504 2,8486 2,2479 2,8455 2,2455 2,8426 2,2432 2,8397 1,796 2,048 2,2409 2,8368 2,2387 2,8341 2,2365 2,8314 2,2344 2,8288 2,2324 2,8263 1,788 2,038 2,2304 2,8238 2,2284 2,8214 2,2265 2,8190 2,2246 2,8167 2,2228 2,8144 1,780 2,029 2,2211 2,8122 2,2193 2,8101 2,2176 2,8080 2,2160 2,8059 2,2143 2,8039 1,773 2,020 2,2128 2,8020 2,2112 2,8000 2,2097 2,7982 2,2082 2,7963 2,2067 2,7945 1,767 2,013 2,2053 2,7927 2,2039 2,7910 2,2026 2,7893 2,2012 2,7877 2,1999 2,7860 1,762 2,007 2,1986 2,7844 2,1973 2,7828 2,1961 2,7813 2,1949 2,7798 2,1937 2,7783 1,757 2,002 2,1925 2,7769 2,1913 2,7754 2,1902 2,7740 2,1891 2,7726 2,1880 2,7713 1,752 1,998 2,1869 2,7700 1,6350 1,8662 2,0442 2,5927

175

75

100

1000

98,67 3,219

99 3,4667 3,4623 3,4581 3,4540 3,4500 3,4461 3,4424 3,4387 3,4352 3,4317 3,4284 3,4251 3,4219 3,4188 3,4158 3,4128 3,4099 3,4071 3,4044 3,4017 3,3991 3,3965 3,3940 3,3916 3,3892 3,3868 3,3845 3,3823 3,3801 3,3779 3,3758 3,3738 3,3717 3,3698 3,3678 3,3659 3,3640 3,3622 3,3604 3,3586 3,3569 3,3552 3,3535 3,3519 3,3503 3,3487 3,1372

99,9

3,200

3,183

3,169

3,155

3,145

3,135

3,125

3,116

3,109 2,9115

5,359

5,261 4,9363



Figura 7.9 – Papel de probabilidade de Gumbel para a distribuição de frequência de eventos extremos

176



BIBLIOGRAFIA CETESB. Drenagem Urbana: Manual de Projeto . 121 – Água. Convênio CETESB – ASCETESB. HAAN, C.T., (1977). Statistical Methods in Hydrology . The Iowa State University Press. HWANG, N.H.C. (1984). Fundamentos de Sistemas de Engenharia Hidráulica . Prentice-Hall do Brasil. LINSLEY, R.K. & FRANZINI, J.B. (1987). Water-Resources Engineering . McGraw-Hill Int. Ed. – Civil Engineering Series. RIGHETTO, A.M., (1998). Hidrologia e Recursos Hídricos. S. Carlos: EESC/USP TUCCI, C.E.M., PORTO, R. L. & BARROS, M.T. – organizadores (1995). Drenagem Urbana . Coleção ABRH de Recursos Hídricos. Ed. da UFRGS. TUCCI, C.E.M. (organizador), (1993). Hidrologia: Ciência e Aplicação. Porto Alegre, Ed. UFRGS/ABRH/EDUSP. Coleção ABRH de Recursos Hídricos – v. 4. VILLELA, S.M. & MATTOS, A. (1975). Hidrologia Aplicada. Ed. McGraw-Hill do Brasil. WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION, (1981). Guide to hydrological practices – Vol. I: Data acquisition and processing . WMO - No168 – 4a ed. Secretariat of the World Meteorological Organization – Geneva – Switzerland. WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION, (1983). Guide to hydrological practices – Vol. II: Analysis, forecasting and other applications. WMO - No168 – 4a ed. Secretariat of the World Meteorological Organization – Geneva – Switzerland.

177



EXERCÍCIOS: PREVISÃO DE ENCHENTES 7.1) Uma usina hidrelétrica tem vida útil de 50 anos. Qual o risco que se corre se o seu vertedor é projetado para uma cheia de tempo de recorrência igual a: a) vida útil da obra? ; b) 1000 anos?; c) 10000 anos? R: a) 63%; b) 4,8%; c) 0,5%. 7.2) Qual o período de retorno a considerar no projeto da hidrelétrica com vida útil de 50 anos, R: Tr = 475 anos. se se admite um risco de 10%? 7.3) Que período de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma galeria de drenagem de uma rodovia, se ele está disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos R: Tr = 48 anos. próximos 5 anos? 7.4) Uma ensecadeira deverá ser construída para proteger as atividades de construção de uma barragem durante os 5 anos de obra. Se a ensecadeira é projetada para resistir uma cheia de 20 anos, qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassada a) no primeiro ano?; b) em um ano qualquer dos 5 anos de construção da barragem? ; c) em nenhum ano dos 5 anos de construção? R: a) 5,0%; b) 22,6%; c) 77,4%.

7.5) O conjunto de dados abaixo foi obtido em um posto de medição de vazão, no período de 1940 a 1959 (inclusive). 3  média das cheias anuais (série anual): 198,24 m /s; 3  desvio-padrão das cheias anuais: 28,32 m /s;  coeficiente de assimetria das cheias: 1,0;  média dos logaritmos (base 10) das cheias anuais: 1,27;  desvio-padrão dos logaritmos das cheias anuais: 0,50;  coeficiente de assimetria dos logaritmos das cheias anuais: 0,2. Com base nestes dados, determinar a magnitude da cheia de 100 anos, assumindo que os picos de vazão sigam as distribuições: a) Normal; b) Log -normal; c) Pearson tipo III; d) Log -Pearson tipo III; e) Gumbel (teórica); f) Gumbel-Chow. R: a) 264m3/s; b) 271m3/s; c) R: 284m3/s; d) 320m3/s; e) 287m3/s; f) 307m3/s

7.6) Os dados de vazões máximas anuais da bacia do rio Jacupiranga, correspondentes a 28 anos de observação são fornecidos na tabela abaixo. a) Estimar as cheias de 100 anos e de 1000 anos com base nas distribuições Log -normal, Log -Pearson III e Gumbel-Chow. b) Discutir os resultados, lançando os dados em papel de probabilidade. (Utilizar relação de Weibull para a posição de plotagem: dados da série anual em ordem decrescente): Ordem m

Q(m3/s)

Ordem m

Q(m3/s)

Ordem m

Q(m3/s)

Ordem m

Q(m3/s)

1 2 3 4 5 6 7

261 239 210 196 190 189 189

8 9 10 11 12 13 14

182 180 179 176 172 170 169

15 16 17 18 19 20 21

167 163 158 153 151 151 150

22 23 24 25 26 27 28

150 140 137 126 120 111 104

7.7) As cheias anuais de um rio seguem uma distribuição Log -normal de probabilidade. A cheia de período de recorrência de 2 anos foi estimada em 113m 3/s e a de 10 anos em 150m 3/s. R: QTr=25 =166m3/s. Determine a magnitude da cheia de 25 anos.

178



7.8) Repetir o Exemplo 7.10 utilizando a construção gráfica em papel de probabilidade de Gumbel. 7.9) O registro das máximas vazões anuais em um rio, levantado durante 40 anos, indica que tais eventos se distribuem segundo Gumbel e têm média e desvio-padrão respectivamente iguais a 60m3/s e 23m3/s. a) Qual a probabilidade de ocorrer um evento de magnitude menor que 85 m 3/s? b) Qual o valor de uma cheia com período de retorno de 200 anos? c) Qual a probabilidade de que ao menos uma cheia com período de retorno de 100 anos venha R: a) P{Q<85}=87%; b) Q 200=144,6m3/s; c) R=22,2%. ocorrer durante os próximos 25 anos? 7.10) Demonstre que o período de retorno da média, na distribuição de Gumbel, é 2,33 anos. 7.11) Determine, pelo método de Gumbel-Chow, o valor médio de uma série histórica de eventos máximos com 35 anos de observações, sabendo-se que: i ) o evento de magnitude 180 m 3/s tem R: Q  90,6 m3/s. período de retorno de 50 anos; e ii ) o desvio-padrão da amostra é de 30 m 3/s. 7.12) Considere os dados das vazões máximas observadas no rio Jaguari, em Posto Jaguariúna (área de drenagem da bacia igual a 2.220 km 2), conforme tabela abaixo. Obter as enchentes com tempos de recorrência de 50, 100, 200 e 1000 anos, considerando as distribuição das vazões Normal, log -Normal, log -Pearson e Gumbel. data 01/02/1931 09/12/1932 17/12/1933 05/01/1934 21/12/1935 07/03/1936 19/12/1937 22/12/1938 24/01/1939 14/01/1940 29/09/1941

Q(m3/s) 314,0 165,0 113,0 109,0 289,0 121,0 225,0 153,0 139,0 250,0 75,7

data 11/03/1942 15/03/1943 07/03/1944 05/02/1945 28/01/1946 04/03/1947 16/03/1948 09/02/1949 24/02/1950 19/01/1951 26/02/1952

179

Q(m3/s) 96,4 244,0 116,0 240,0 167,0 302,0 182,0 93,1 212,0 171,0 163,0

data 29/03/1953 13/02/1954 17/01/1955 05/01/1956 21/01/1957 29/01/1958 23/03/1959 25/02/1960 23/12/1961 17/03/1962 31/12/1963 21/02/1964

Q(m3/s) 51,9 169,0 102,0 135,0 206,0 425,0 95,0 123,0 490,0 212,0 237,0 205,0


8. Permanência de Vazão

8. permanência de vazão 8.1. CURVA DE PERMANÊNCIA DE VAZÃO: GENERALIDADES Uma curva de permanência de vazão, também conhecida como curva de duração, é um traçado gráfico que informa com que frequência a vazão de dada magnitude é igualada ou excedida durante o período de registro das vazões. O traçado da curva é feito, normalmente, com a vazão lançada em ordenada, contra a porcentagem do tempo em que essa vazão é igualada ou excedida em abscissa, como ilustrado na Figura 8.1.

Figura 8.1 – Curva de permanência de vazão típica

Num sentido estatístico, a curva de permanência representa uma curva de distribuição de frequências acumuladas de ocorrência das vazões em um rio.

8.2. CONSTRUÇÃO DA CURVA DE PERMANÊNCIA A curva de permanência ou duração é construída com base nos registros das vazões em uma estação fluviométrica. A curva pode ser construída para as vazões diárias (vazões médias diárias), situação em que se utiliza a série total 1, ou para as vazões médias mensais, ou ainda vazões médias anuais. É muito provável que a curva de permanência das vazões médias anuais difira significativamente daquela construída com vazões médias mensais, ou diárias. Como, em geral, as vazões médias de um rio variam de mês a mês, mas mantêm um valor médio anual aproximadamente constante, a curva de permanência para vazões médias mensais terá uma 1

Diferentemente das séries parcial e anual, utilizadas na análise de frequência de chuvas e de cheias. 180



forma aproximada à da Figura 8.1, enquanto a curva de permanência das vazões médias anuais será uma linha quase horizontal. Para preparar uma curva de permanência de vazões médias diárias, mensais ou anuais, o procedimento utilizado é como segue abaixo. i) A faixa total das vazões utilizadas na análise é dividida em classes, dispostas em ordem decrescente. O tamanho do intervalo de classe, Q, é calculado segundo Intervalo de classe = Q  Q máx  Q mín  / número de pontos de plotagem. Em geral, dez ou mais pontos de plotagem (ou classes) são suficientes para o traçado adequado da curva de permanência, embora esse total dependa muito do tamanho da série de registros. ii) O registro completo de dados é, em seguida, “esquadrinhado”, contando-se o número de observações dentro de cada de classe. Se for construído um gráfico de barras das vazões (intervalos), em ordenada, contra o número de observações correspondentes, em abscissa, ter-seá uma curva como a da Figura 8.2, que nada mais é do que a representação gráfica da distribuição das frequências absolutas das ocorrências.

Figura 8.2 – Visualização gráfica da curva de distribuição das vazões.

iii) O número de observações em cada classe é acumulado, a partir do intervalo que contém a vazão máxima (a classificação é decrescente). O gráfico para esta contagem acumulada teria a forma aproximada à da Figura 8.3.

Figura 8.3 – Visualização gráfica das frequências acumuladas ocorrências das vazões

181



iv) A contagem das observações acumuladas é, então, transformada em porcentagem. Para isso, dividem-se os valores acumulados pelo número total de registros de vazão e multiplica-se o resultado por 100. v) Lançam-se em um gráfico os valores das vazões (limite inferior de cada classe), em ordenada, versus as contagens percentuais acumuladas correspondentes, em abscissa, e traça-se uma linha suave através dos pontos plotados. Obtém-se, assim, uma curva com a forma similar à da Figura 8.1, onde no eixo das abscissas tem-se a contagem do tempo percentual em que ocorreram vazões iguais ou superiores a uma dada vazão de referência (V. Figura 8.4). Observação: É comum, ainda, lançarem-se os valores das vazões adimensionais nas ordenadas, dividindo-se as vazões pelo valor médio da série.

Figura 8.4 – Curva de permanência de vazão e tempo percentual em que a vazão Q t foi igualada ou excedida.

A curva de permanência, por permitir que se conheçam os intervalos de tempo em que as vazões foram igualadas ou excedidas, acaba por se constituir em importante ferramenta empregada em estudos visando a conservação e/ou o aproveitamento dos recursos hídricos. A forma da curva, ou mais propriamente a sua declividade, se constitui em indicativo das características do próprio curso d’água. Assim, uma curva plana, mais achatada, sugere que grandes armazenamentos naturais estão presentes no curso d’água a montante da seção

fluviométrica. Já uma curva com forte declividade, ao contrário, indica a ausência de armazenamentos significativos na calha do rio.

8.3. VAZÕES MEDIANA E MÉDIA A vazão correspondente a 50% de excedência é a chamada vazão mediana, que pode ser facilmente encontrada na curva de permanência. Com efeito, para o valor de 50% da abscissa do gráfico da Figura 8.5 encontra-se Q 50 = vazão mediana. A vazão média, que se calcula da média aritmética de todos os valores da série de registros, também pode ser avaliada a partir da curva de permanência. Um procedimento simples consiste em determinar a área sob a curva da Figura 8.5, e dividir este valor por 100. Para 182



ilustração, no gráfico desta Figura 8.5 é traçada uma linha horizontal que divide a curva em duas partes iguais e que define o valor da vazão média 2. O procedimento de cálculo da vazão média, baseado na área sob a curva de permanência, pode ser representado pela fórmula aproximada:





Q  0 025 Q0  Q100  0 05Q 5  Q 95   0 075Q10  Q 90   0 10Q 20  Q 30  Q 40  Q 50  Q 60  Q 70  Q 80  ,

,

,

,

(1) onde, Q = vazão média, Q5, Q10, Q20, Q30, Q40, Q50, Q60, Q70, Q80, Q90 e Q95 são as vazões de 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 e 90% de permanência, Q0 = vazão próxima de 0% de permanência (toma-se qualquer valor inferior a 5%), e Q100 = vazão próxima de

100% de permanência (tomada em qualquer nível superior a 95%).

Figura 8.5 – Curva de permanência, vazões média e mediana.

Observações: 1. A potência firme de uma usina hidrelétrica a fio d’água (sem armazenamento) é estimada com base na vazão de 90% de permanência, tomando-se por base a curva de permanência ou duração “não regularizada”;

2. A vazão mínima de um curso d’água pode ser aumentada com a construção de um reservatório (regularização 3); o efeito da presença do reservatório modifica a curva de permanência, tornando-a mais achatada, e aumenta a potência firme da usina hidrelétrica. 3. Em estudos voltados para a geração de energia hidrelétrica, a ordenada e a abscissa da curva de permanência podem ser substituídas pela potência (em kW) e o tempo (horas), respectivamente, de modo que a área sob a curva fornecerá, diretamente, a energia anual produzida pela usina, em kWh.

2 3

Usualmente, as vazões média e mediana têm valores diferentes. O reservatório de regularização é estudado no Capítulo 9. 183



EXEMPLO 8.1 Construir a curva de permanência das vazões médias mensais a partir dos dados fornecidos na Tabela 8.14. Determinar, com base nesta curva, a porcentagem do tempo em que a vazão de 20,00m3/s é igualada ou excedida. Determinar, também, a mediana e a média das vazões médias mensais. Tabela 8.1 – Vazões médias mensais, em m3/s, para os anos hidrológicos de 1979 a 1985 ano 1978-1979 1979-1980 1980-1981 1981-1982 1982-1983 1983-1984 1984-1985

out nov 13,25 20,10 31,54 32,28 13,20 18,21 11,72 27,18 23,16 41,00 15,74 15,40 9,66 6,43

dez 41,40 22,65 18,38 21,78 43,49 14,19 6,88

jan 23,81 20,93 12,23 18,55 20,59 9,34 29,53

fev mar 25,46 20,81 16,45 14,13 16,45 21,58 19,65 26,16 37,18 17,67 18,18 12,12 27,69 11,78

abr mai 27,50 43,55 19,54 45,08 31,74 64,56 25,26 44,46 33,10 42,59 27,47 39,84 18,83 32,54

jun 35,31 75,10 49,89 75,32 42,02 35,37 36,87

jul ago set 23,76 16,31 13,62 30,81 19,57 13,22 31,94 18,86 13,39 53,07 24,41 15,63 31,97 18,07 11,95 28,43 17,70 12,26 39,76 20,25 14,16

Solução: As vazões médias mensais, conforme a Tabela 8.1, variam de um valor mínimo de 6,43m 3/s a um máximo de 75,32m3/s. Para obter 15 pontos de plotagem, as vazões poderiam ser divididas em 15 classes de 4,59m 3/s. Arredondando-se o tamanho do intervalo para 4,60m 3/s, tem-se os intervalos de classe da coluna 1 da Tabela 8.2, com as correspondentes contagens de observações na coluna 2. Na terceira coluna desta Tabela, a contagem é acumulada (nota-se, na última linha, que o total acumulado das observações é igual a 84, o que confere com o total de dados da Tabela 8.1). Na última coluna da Tabela 8.2, a contagem acumulada é transformada em porcentagem (dividem-se os valores da coluna 3 por 84, e multiplicam-se os resultados por 100). A curva de permanência é construída com os limites inferiores das vazões da 1 a coluna, lançados em ordenada, e os valores da coluna 4 da Tabela 8.2. O gráfico é apresentado na Figura 8.6, sendo a linha contínua esboçada de modo a representar a melhor aderência aos pontos. Do gráfico da Figura 8.6, tem-se que o percentual do tempo em que a vazão de 20m 3/s é igualada ou excedida equivale a, aproximadamente, 60%. Do gráfico, ainda, encontra-se o valor da vazão mediana: Qmediana = Q50 = 22m3/s. A vazão média é a média aritmética dos dados da Tabela 8.1: N 84

Q

 Q

i

N =

25,99m3/s.

i 1

A vazão média poderia, também, ser calculada com base na Eq. (1):





Q  0 025 Q0  Q100  0 05Q 5  Q 95   0 075Q10  Q 90   0 10Q 20  Q 30  Q 40  Q 50  Q 60  Q 70  Q 80   ,

,

,

,

= 0,025(75+5)+0,05(52+11)+0,075(43+13)+0,10(36+31+26+22+19+17+15) = 25,95m 3/s, cujo resultado é bem próximo da média aritmética já encontrada.

4

O curso d’água natural a que se referem os dados da Tabela

justifica os períodos de cheia e estiagem. 184

8.1 está localizado na América do Norte, o que



Tabela 8.2 – Elementos para a construção da curva de permanência do exemplo 8.1 Classe (m3/s)

No Obs.

Obs. Acum.

Acum. (%)

76,00 - 71,40 71,40 - 66,80 66,80 - 62,20 62,20 - 57,60 57,60 - 53,00 53,00 - 48,40 48,40 - 43,80 43,80 - 39,20 39,20 - 34,60 34,60 - 30,00 30,00 - 25,40 25,40 - 20,80 20,80 - 16,20 16,20 - 11,60 11,60 - 7,00 7,00 - 2,40

2 0 1 0 1 1 2 8 4 8 8 10 18 17 2 2

2 2 3 3 4 5 7 15 19 27 35 45 63 80 82 84

2,4 2,4 3,6 3,6 4,8 6,0 8,3 17,9 22,6 32,1 41,7 53,6 75,0 95,2 97,6 100,0

Figura 8.6 – Curva de permanência para o exemplo 8.1

185



EXERCÍCIO 8.1) Os dados de vazão média mensal (m 3/s) do rio Menominee, a jusante de Koss, no Estado do Mississipi (EUA), são dados na Tabela 8.3, para o período de 1947 a 1976. Com base nestes dados, pede-se: a) Construir a curva de duração (curva de permanência) das vazões; b) Determinar a percentagem do tempo em que a vazão de 100 m 3/s é igualada ou superada; c) Determinar a mediana e a média da vazão média mensal do rio Menominee. Tabela 8.3 - Vazões médias mensais, para o período de 1947 a 1976, em m 3/s ano 1947 1948 1949 1950 1951

out

56,6 51,0 34,8 57,0 43,4

nov

dez

jan

fev

mar

abr

mai

jun

jul

ago

set

76,7 59,3 56,1 57,8 48,9

56,8 47,1 49,2 58,6 48,4

54,0 49,2 45,9 59,1 50,5

53,0 35,4 47,9 57,6 44,5

60,1 72,5 57,4 61,1 68,0

157,0 103,0 87,7 199,0 267,0

164,0 82,3 84,7 243,0 171,0

103,0 48,5 62,0 101,0 143,0

72,1 42,2 102,0 69,2 159,0

55,5 45,8 51,7 65,8 93,3

52,7 39,6 57,2 49,0 122,0

1952 147,0 117,0 1953 45,6 50,2 1954 56,1 53,4 1955 123,0 84,6 1956 59,7 63,0

87,0 51,9 63,6 68,5 57,4

76,9 59,4 57,0 66,2 59,0

75,6 62,5 66,7 61,0 54,8

66,5 103,0 68,5 70,5 49,7

219,0 167,0 182,0 254,0 270,0

94,0 133,0 184,0 108,0 108,0

86,7 166,0 138,0 106,0 88,4

153,0 174,0 73,2 48,7 116,0

97,0 87,5 61,0 56,1 83,4

58,6 67,0 91,1 38,0 61,5

1957 48,8 53,1 1958 52,7 73,3 1959 47,7 68,9 1960 155,0 122,0 1961 80,5 102,0

53,6 59,8 48,4 78,2 68,2

49,4 54,0 46,7 82,3 52,6

46,1 51,3 43,1 71,0 49,2

69,7 61,8 55,0 62,4 77,0

130,0 123,0 110,0 242,0 158,0

93,0 65,9 105,0 373,0 186,0

65,0 62,0 56,7 135,0 82,5

41,4 132,0 48,3 83,4 60,8

36,3 47,0 78,0 72,1 53,8

52,3 58,5 142,0 80,8 48,9

1962 1963 1964 1965 1966

57,9 65,3 34,2 55,6 67,5

67,6 54,7 35,6 69,8 76,6

63,1 51,4 35,7 54,2 87,2

53,9 46,8 37,2 49,3 78,5

52,4 43,8 33,8 44,1 66,6

69,2 56,1 41,8 50,9 131,0

168,0 87,7 70,2 173,0 157,0

168,0 120,0 131,0 361,0 117,0

107,0 99,1 63,2 83,6 113,0

59,3 43,6 42,1 51,7 44,6

52,1 40,6 56,9 45,6 63,0

73,8 38,0 65,1 56,2 43,5

1967 1968 1969 1970 1971

62,6 86,0 93,8 65,3 64,1

63,7 108,0 90,2 68,9 122,0

59,2 63,3 82,7 58,2 97,5

59,8 50,5 89,9 62,7 72,4

64,0 58,0 90,0 51,0 64,7

65,2 72,6 84,4 58,8 89,4

295,0 134,0 229,0 114,0 284,0

133,0 108,0 157,0 109,0 155,0

135,0 168,0 118,0 157,0 93,3

100,0 141,0 87,1 56,9 67,5

66,3 78,1 51,1 46,6 51,0

51,6 155,0 42,6 49,1 47,0

1972 92,4 88,2 1973 134,0 138,0 1974 66,9 82,5 1975 58,8 106,0 1976 43,4 69,2

80,2 77,2 66,3 75,5 86,3

65,9 85,3 62,8 66,3 67,5

56,7 73,8 65,4 66,0 69,2

68,5 226,0 73,4 68,4 96,9

194,0 240,0 142,0 193,0 298,0

254,0 290,0 107,0 209,0 147,0

88,6 111,0 111,0 116,0 79,1

68,2 72,6 61,6 54,8 41,2

108,0 80,3 86,4 41,5 36,9

91,0 69,0 77,8 63,2 30,3

8.2) O curso d’água do problema anterior é capaz de conduzir a vazão de 50 m 3/s em 90% do tempo?

186

Elementos de Hidrologia Aplicada

9. Regularização de Vazão

Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior

9. regularização de vazão 9.1. GENERALIDADES A variabilidade temporal das chuvas resulta na variabilidade da vazão nos rios. Em consequência, surgem situações de déficit hídrico natural, quando a vazão do curso d’água é inferior à necessária para o atendimento de determinados usos, ou situações onde o excesso de vazão produz enchentes e inundações. Para reduzir a variabilidade temporal da vazão recorre-se à sua regularização por meio da construção do reservatório de acumulação de água. Para compensar as deficiências hídricas dos períodos de estiagem, o reservatório acumula parte das águas nos períodos chuvosos exercendo, assim, um efeito regularizador das vazões naturais. A técnica de regularização 1 das vazões naturais é, neste caso, um procedimento que visa a melhor utilização dos recursos hídricos superficiais. De outro modo, nos períodos chuvosos, o reservatório poderá produzir o amortecimento das ondas de cheia, proporcionando uma proteção para as áreas situadas a jusante do barramento. Com a regularização das vazões por meio da construção da barragem e a formação do reservatório acaba-se por atender, ainda, vários outros objetivos (outros tipos de usos), destacando-se: o atendimento às necessidades do abastecimento urbano ou rural (irrigação); o aproveitamento hidroelétrico (geração de energia); a atenuação de cheias (combate às inundações); o controle de estiagens; o controle de sedimentos; a recreação; a produção de peixes; e, em certos casos, a navegação fluvial. Toda vez que o aproveitamento dos recursos hídricos prevê a retirada de uma vazão de dada magnitude de um rio, deve-se confrontar este valor com as vazões naturais deste curso d’água. Se as vazões naturais forem significativamente maiores que a retirada, mesmo durante os períodos de estiagem (quando ocorrem as vazões naturais mínimas), não haverá a necessidade da regularização de vazão. Neste caso, somente se justificaria a implantação de um reservatório de acumulação para, por exemplo, atenuar os efeitos de enchentes a jusante (controle de vazões máximas) e promover o controle dos níveis d’água e do transporte de sedimentos. De outro modo, se a vazão a ser retirada for superior à mínima do curso d’água, então será necessário fazer a reservação dos excessos sobre a vazão derivada, para atender àqueles períodos em que as vazões naturais são menores que as retiradas. A operação de um reservatório de acumulação que recebe vazões muito variáveis no tempo, quando se deseja retirar uma vazão constante ou não muito variável, é, de fato, um procedimento de regularização de vazão. Os métodos que serão aqui tr atados, entretanto, aplicarse-ão, também, ao caso do reservatório de água de abastecimento que recebe uma vazão constante da adutora e entrega uma vazão variável para a rede de abastecimento. Esse caso, a rigor, corresponderia a um procedimento de “desregularização”, que será tratado como regulação. A título de ilustração, a Figura 9.1 representa esquematicamente as duas situações aqui mencionadas.

1

O termo regularização, aqui empregado, deve ser entendido como sinônimo de regulação. 187




Figura 9.1 – Reservação para r egularização de vazão em um curso d’água natural e reservação de água para o atendimento ao consumo variável em uma rede de distribuição de sistema urbano de abastecimento. Os conceitos que se desenvolvem neste capítulo são básicos para o tratamento de três tipos de problemas. O primeiro considera conhecidas as vazões naturais do curso d’água (vazões de entrada no reservatório) e visa calcular o volume do reservatório capaz de atender a uma determinada lei das vazões regularizadas (vazões de saída do reservatório). No segundo tipo de problema é dado o reservatório e objetiva-se determinar a lei das vazões regularizadas que mais se aproxima da regularização total , que corresponde à derivação da vazão média (constante). No último problema, são dados o reservatório e a lei de regularização para calcular os volumes de água existente no reservatório em função do tempo. As soluções dos três problemas mencionados são básicas para o projeto e a operação de reservatórios de regularização de vazões. Aqui, pela limitação de tempo, tratar-se-á apenas do problema do primeiro tipo.

9.2. CURVAS COTA VERSUS ÁREA E COTA VERSUS VOLUME DO RESERVATÓRIO Os reservatórios são formados por meio de barramentos implantados em seções adequadamente escolhidas nos cursos d’água naturais. A capacidade de armazenamento do reservatório dependerá dessa escolha e, fundamentalmente, das características topográficas do local e da altura do muro da barragem. Na construção do barramento numa seção do curso d’água natural para a formação do reservatório de acumulação, a altura do muro é determinada a partir do pré-estabelecimento do volume a ser armazenado, ou da cota do nível d'água que deverá ser atingida. Nesses casos, nos estudos preliminares são construídos gráficos de cota versus área e cota versus volume. Para o traçado da curva cota versus área do espelho d'água requer-se o emprego de mapa topográfico em escala adequada. Para cada cota referida a uma dada curva de nível, planimetra se a área limitada pela curva de nível. Os pares de valores de cota (em metro) e área (em m 2, km2 ou ha) são lançados em um gráfico e uma curva suave é esboçada através dos pontos (V. Figura 9.2, com as cotas nas ordenadas e as áreas nas abscissas). A curva cota versus volume é o resultado da integração da curva cota versus área do espelho d'água. Esta integração é realizada numericamente, determinando-se os volumes Vol entre duas curvas de nível consecutivas. Este volume é obtido, numa aproximação, multiplicando a média das áreas correspondentes às curvas de nível consecutivas pela diferença de cota destas curvas de nível. A título de exemplo, considera-se o cálculo do volume armazenado até a cota 910m referida à Figura 9.2, conforme ilustrado na Figura 9.3.

188




Figura 9.2 – Curvas de nível na área de enchimento do reservatório e curva cota versus área do espelho d’água para o reservatório de acumulação

Figura 9.3 – Curva cota versus volume em um reservatório de acumulação d’água .

9.3. ZONAS DE ARMAZENAMENTO DE UM RESERVATÓRIO - TERMINOLOGIA Consideram-se as barragens representadas na Figura 9.4: a primeira com extravasor não controlado; e a segunda com uma comporta de setor (extravasor controlado). Tem-se, nestes casos, diferentes zonas de armazenamento e, conforme a Figura 9.4, as seguintes definições: - Nível d’água máximo normal de operação (NA máx n.o.): cota máxima até a qual as águas se elevam, nas condições normais de projeto. Corresponde à cota da crista vertente, no caso de extravasor não controlado ou de crista livre, ou à cota da borda superior das comportas, no caso de extravasor controlado. - Nível d’água mínimo normal de operação (NA mín): cota mínima até a qual as águas abaixam, em condições normais de operação. Corresponde à cota do conduto de saída mais

189




baixo da barragem, ou à cota mínima capaz de permitir as melhores condições operacionais de equipamentos, como as turbinas. -

Volume útil (Vu): volume armazenado entre o NA máx n.o. e o NA mín.

-

Volume morto (Vm): volume armazenado abaixo do NA mín, destinado a acomodar a carga de sedimentos afluentes ao reservatório, durante a sua vida útil.

-

Sobrearmazenamento devido à cheia de projeto do extravasor: volume situado acima do NA máx n.o., devido à sobre-elevação causada pelo amortecimento da cheia de projeto pelo reservatório. Corresponde ao NA máximo maximorum (NA máx). O sobrearmazenamento não é aproveitado, pois persiste somente durante a cheia.

-

Borda livre: diferença de cotas entre o coroamento da barragem e o NA máximo maximorum, suficientemente grande para conter a arrebentação de ondas devidas ao vento.

Figura 9.4 – Zonas de armazenamento em reservatório com e sem controle do extravasor

9.4. CÁLCULO DO VOLUME DO RESERVATÓRIO DE ACUMULAÇÃO A regularização de vazões através de reservatório é efetuada acumulando-se, total ou parcialmente, os deflúvios da enchente visando atender às demandas durante o período de estiagem. Tais reservatórios são ditos de acumulação de água, e diferem dos reservatórios de distribuição e de atenuação de cheias. Para se determinar o volume do armazenamento é aplicada a equação do balanço hídrico, considerando-se a demanda num período de estiagem prolongada, normalmente denominado período crítico. A equação do balanço hídrico no reservatório, para um dado intervalo de tempo, se escreve como P  A  Qin  t  E  A  Qd  t  Qout  t  I  A  Vol

(1)

onde as contribuições são: P = precipitação; Q in = vazões afluentes; E = perdas por evaporação; Qd = demandas consuntivas (vazões derivadas); Qout = vazão de restituição (vazão a jusante do barramento); I = perdas por infiltração; Vol = volume do armazenamento; A = área do espelho

190




d'água; t = intervalo considerado. Para o período de estiagem, considera-se P = 0. Além disso, para maior simplicidade, as perdas por evaporação podem ser descontadas na vazão afluente. Define-se a lei de regularização através da função y, adimensional, dada por y

Qr Q

(2)

em que Qr é a vazão regularizada e Q é a vazão média no período considerado. Dada a sequência no tempo das vazões naturais, Q in = Q(t), e conhecida a lei de regularização y, é possível determinar a capacidade mínima do reservatório para atender a essa lei. A vazão regularizada Qr da Eq. (2) corresponderá à soma de todas as vazões que saem do reservatório: Qr = Qout + Qd. Na análise, em geral, a evaporação é calculada em função da área líquida exposta e de dados climatológicos. As perdas por evaporação podem ser consideradas subtraindo-se das vazões naturais os valores calc ulados, convertidos para m3/s. A capacidade mínima do reservatório para atender a uma dada lei de regularização (Cr) é obtida pela diferença entre o volume acumulado necessário para atender àquela lei no período mais crítico de estiagem (Volnec) e o volume acumulado que aflui ao reservatório no mesmo período (Volaf ), isto é: Cr  Vol nec  Vol af  período crítico .

(3)

Considerados vários períodos de estiagem, o mais crítico será aquele que resulta na maior capacidade do reservatório. Assim, deve-se calcular a capacidade do reservatório para vários períodos de estiagem e adotar o maior valor encontrado. Seja, por exemplo, um ano com hidrógrafa (vazão natural) dada conforme a Figura 9.5. Suponha-se que se queira atender à lei de regularização total: y = 1. Isso significa, conforme a Eq. (2), que se deseja obter uma vazão regularizada constante e igual à vazão média Q . Nota-se que, para essa lei de regularização, o período crítico é definido pelos meses de maio a outubro, inclusive2. O volume necessário para manter a vazão Q durante os meses de maio a outubro (período crítico) é: Vol nec  mai Qr  dt Q  t mai  t jun  t jul  t ago  t set  t out  , out

onde tmai é o número de segundos do mês de maio, t jun é o número de segundos do mês de junho e assim por diante. A vazão Q , nesse caso, deve ser dada em m 3/s para encontrar Volnec em m3. O volume afluente acumulado Vol af , isto é, o volume que chega ao reservatório no mesmo período é: Vol af  

out

mai

Q  dt Qmai  t mai  Q jun  t jun  Q jul  t jul  Qago  t ago  Qset  t set  Qout  t out .

Com os valores de Vol nec e Volaf , a capacidade mínima do reservatório, Cr, é calculada Eq. (3). Esta capacidade crítica corresponderá, naturalmente, à área representada em cinza na Figura 9.5.

2

Não é necessário que o período crítico esteja todo dentro de um ano civil, como na Figura 9.1. Contudo, a hidrógrafa mostrada é típica de rios perenes. 191




Figura 9.5 – Hidrógrafa de entrada em um reservatório, vazão de regularização e volume do reservatório.

EXEMPLO 9.1 Calcular a capacidade mínima de um reservatório a ser construído no Rio X, pelo barramento na Estação Y, para atender à lei de regularização y = 1 (demanda regularizada, Qr  Q = 4,703m3/s), com base nas vazões médias mensais para o período de dois anos, conforme a Tabela 9.1.

Tabela 9.1 – Vazões afluentes e de regularização na Estação Y, Rio X, no período de janeiro de 1966 a dezembro de 1967, para o cálculo da capacidade mínima do reservatório de acumulação de água período Jan - 66 Fev - 66 Mar - 66 Abr - 66 Mai - 66 Jun - 66 Jul - 66 Ago - 66 Set - 66 Out - 66 Nov - 66 Dez - 66

Q Qr Q Qr (afluente) (demanda) período (afluente) (demanda) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) 9,13 4,703 Jan - 67 5,12 4,703 5,76 4,703 Fev - 67 7,97 4,703 5,43 4,703 Mar - 67 8,42 4,703 3,74 4,703 Abr - 67 5,25 4,703 3,45 4,703 Mai - 67 4,12 4,703 2,94 4,703 Jun - 67 3,83 4,703 2,61 4,703 Jul - 67 3,55 4,703 3,65 4,703 Ago - 67 3,68 4,703 2,21 4,703 Set - 67 3,16 4,703 2,79 4,703 Out - 67 4,02 4,703 4,45 4,703 Nov - 67 5,23 4,703 5,96 4,703 Dez - 67 6,41 4,703

Solução: Observa-se, na Tabela 9.1, a existência de dois períodos críticos. -

Primeiro período crítico: abril 1966 a novembro 1966 (inclusive)

-

Volume necessário para atender à demanda neste período crítico: 192




Vol nec  4 703  30  31  30  31  31  30  31  30  86400 99 147  106 m 3 ,

-

,

Volume afluente no primeiro período crítico:

Vol af  3 74  30  3 45  31  2 94  30  2 61  31  3 65  31  2 21  30  2 79  31  4 45  30  86400 ,

,

,

,

,

,

,

,

Vol af  68 057  106 m 3 ,

-

Capacidade mínima do reservatório no primeiro período crítico: Cr 1 = Volnec – Volaf

Cr = 31,09x106m3.



-

Segundo período crítico: maio 1967 a outubro 1967 (inclusive)

-

Volume necessário para atender à demanda no segundo período crítico: Vol nec  4 703  31  30  31  31  30  31  86400 74 766  106 m 3 ,

-

,

Volume afluente neste período crítico:

Vol af  4 12  31  3 83  30  3 55  31  3 68  31  3 16  30  4 02  31  86400 59 285  106 m 3 ,

-

,

,

,

,

,

,

Capacidade mínima do reservatório no segundo período crítico: Cr 2 = Volnec – Volaf

Cr 2 = 15,481 x106m3.



Os cálculos indicam que o período de abril a novembro de 1966 é o mais crítico. Logo, a capacidade mínima do reservatório deverá ser de 31,09 milhões de metros cúbicos.

9.4.1 DIAGRAMA DE MASSA OU DE RIPPL O diagrama de massa, ou diagrama de Rippl, é definido pela integral da hidrógrafa. Isto é, corresponde a um diagrama de volumes acumulados. Uma hidrógrafa de vazões naturais, como a mostrada na Figura 9.5, dá origem a um diagrama de massa como o da Figura 9.6. Este diagrama informa que:

2,0x108 VolB

B

)

3

m Vol ( A l o V1,0x108

A inclinação da tangente = vazão instantânea

Vol A=volume acumulado até o instante A t VolB=volume acumulado até o instante tB VolB-Vol A=volume acumulado entre os instanes A t e tB 0,0 D

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Período

Figura 9.6 – Diagrama de massa correspondente ao hidrograma da Figura 9.5

193




i) num tempo t qualquer, a inclinação da tangente à curva dos volumes acumulados fornece a vazão naquele tempo; ii) o volume acumulado num dado intervalo de tempo é obtido pela diferença entre as leituras das ordenadas correspondentes aos tempos considerados. Supondo, novamente, que se deseje atender à lei de regularização do tipo y(t) = 1, tem-se um diagrama como o mostrado na Figura 9.7. Neste, incluem-se o volume acumulado afluente e o volume acumulado regularizado. Pode-se observar que a média Q (no caso, a vazão regularizada) é dada pela inclinação da reta OP (a integral de um valor constante é uma linha reta, cuja inclinação é igual à constante).

Figura 9.7 – Diagrama de massas para vazão de regularização igual à vazão média

Para regularizar a vazão média Q , o período crítico é definido pelo intervalo de tempo (tI, t F). Nota-se que, neste período, a tangente à curva dos volumes afluentes acumulados, que dá a vazão instantânea, tem inclinação sempre menor que a do segmento de reta OP. Para manter-se a vazão média Q durante o intervalo (t I, tF), necessita-se do volume Volnec: Vol nec  Q  t F  t I  . Como o diagrama da Figura 9.7 é um diagrama integral, o volume Vol nec fica representado pelo segmento vertical AB = A'B' (a linha IB' é paralela a OP). O volume que aflui ao reservatório, V af , no período crítico, isto é, no intervalo (t I, tF), é: t

Vol af  t F Q af dt . I

O volume Vol af é representado pelo segmento A'F na Figura 9.7. Assim, a capacidade do reservatório, isto é, Cr = Vol nec – Volaf , é representada pela soma dos segmentos 1 e 2 da Figura 9.7. Isto é, 194




Cr  1   2 que, por sua vez, corresponde ao segmento FB', conforme ilustrado na mesma figura. Neste ponto, convém recordar que, se houver vários períodos críticos, a capacidade mínima do reservatório para atender a uma dada lei de regularização será a maior dentre as calculadas para os vários períodos.

EXEMPLO 9.2 Repetir o cálculo da capacidade mínima do reservatório do Exemplo 9.1, utilizando a construção do diagrama de Rippl.

Solução: Para a demanda regularizada de 4,703m 3/s, os volumes acumulados correspondentes à vazão regularizada são representados pela linha em vermelho (linha cheia) da Figura 9.8. Nesta mesma figura, os volumes afluentes acumulados são representados na forma da linha sinuosa. A capacidade mínima do reservatório pode ser prontamente obtida traçando-se, pelos pontos que identificam o início e o fim do período crítico, duas tangentes à linha sinuosa, paralelas à reta das demandas acumuladas. A distância vertical entre estas paralelas, que corresponde à soma 1+2, dá a capacidade mínima do reservatório. No caso, Cr  1   2  30  106 m 3 .

300

Diagrama de Rippl Lei de Regularização: y = 1,0

)

3

m s e õ200 h l i m ( o d a l u m u c 100 A e m u l o V

Cr = 1+2

2

Cr = 30x106m3 1

0

O J

F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D

Período Figura 9.8 – Diagrama de Rippl para a obtenção da capacidade mínima do reservatório (exemplo 9.2)

195




Observação: Pela Figura 9.8, nota-se a ocorrência de um segundo período crítico aproximadamente entre maio e outubro de 1967. Contudo, é fácil perceber que a distância vertical entre as duas tangentes deverá ser inferior à calculada acima.

196




EXERCÍCIOS 9.1) Calcular a capacidade mínima de um reservatório no Rio Jaguari, em Igaratá, para atender à seguinte lei de regularização: y  Qr Q  0 75 . Tomar por base as vazões médias mensais referidas aos anos de 1966 e 1967, fornecidas na tabela abaixo. ,

Período Ano

1966

1967

Mês Janeiro

Vazão, Q m3/s 9,13

Fevereiro

5,76

Março

5,43

Abril

3,74

Maio

3,45

Junho

2,94

Julho

2,61

Agosto

3,65

Setembro

2,21

Outubro

2,79

Novembro

4,45

Dezembro

5,96

Janeiro

5,12

Fevereiro

7,97

Março

8,42

Abril

5,25

Maio

7,12

Junho

8,83

Julho

4,55

Agosto

5,68

Setembro

4,16

Outubro

5,02

Novembro

4,23

Dezembro

5,41

9.2) Repetir o exercício anterior, para a lei de regularização total, isto é, para y 

197

Qr Q

 1.


10. Vazões Mínimas

10. VAZÕES MÍNIMAS 10.1. GENERALIDADES A água, além de ser um recurso natural essencial à vida, é também fator condicionante do desenvolvimento econômico e do bem estar social. Em quase todas as atividades humanas, é bem de consumo final ou intermediário. Suporta importantes funções, desde a manutenção da saúde pública, o desenvolvimento econômico, a recreação e a preservação do equilíbrio ecológico. Devido ao crescimento demográfico e ao impulso econômico tem ocorrido um contínuo aumento do consumo da água, juntamente com a diversificação do seu uso, sobretudo nos países em desenvolvimento. Além do consumo humano e a dessedentação animal, entre os usos mais importantes incluem-se a geração de energia elétrica, a irrigação, o abastecimento doméstico e industrial e o controle de cheias. O uso irracional dos recursos hídricos é capaz de gerar inevitáveis conflitos entre os usuários dos diferentes setores, como consequência do fato da disponibilidade hídrica não ser ilimitada. Além disso, muitos aproveitamentos hídricos produzem alterações significativas nas características espaciais e temporais tanto na quantidade como na qualidade do escoamento natural, modificando o regime hidrológico dos cursos d’ág ua a jusante do aproveitamento. As modificações do regime hidrológico, por exemplo, são caracterizadas pela redução da vazão média anual, pela diminuição da variação sazonal de vazão e alteração da época de ocorrência de vazões extremas (máximas e mínimas) e pela redução da magnitude das cheias. A modificação do regime hidrológico d o curso d’água tem, como consequ ência, a alteração da velocidade do escoamento e da profundidade da lâmina d’água, além da alteração da capacidade de transporte de sedimentos e da morfologia do leito, fatores que exercem influência significativa sobre a temperatura e a qualidade da água. Em função disso, são afetadas a composição e estabilidade do habitat das espécies aquáticas, com impactos importantes nas comunidades bióticas. O uso irracional da água reflete-se, assim, quase sempre, na sobre-exploração dos ecossistemas fluviais, produzindo um desequilíbrio entre a utilização e a manutenção das condições que permitiriam o uso contínuo do recurso hídrico, sobretudo para as gerações futuras. Uma das exigências requeridas para a garantia das funções oferecidas pela água é a manutenção de vazões em níveis mínimos capazes de oferecer estabilidade e suportar o ecossistema aquático. Em outras palavras, a suficiência de um curso d’água natural para prover as exigências para disposição de resíduos líquidos e gasosos, para o abastecimento municipal ou industrial, para irrigação, etc., e também para a manutenção das condições satisfatórias aos organismos aquáticos (peixes, principalmente) tem sido avaliada, comumente, em muitos países, em termos de características de vazões mínimas. É destas vazões mínimas, também chamadas de vazões residuais, remanescentes, ecológicas ou ambientais, que trata o presente capítulo.

198



10.2. FREQUÊNCIA DAS VAZÕES MÍNIMAS As vazões mínimas podem ser definidas com base em valores numéricos representativos da quantidade de água que permanece no leito do rio, após ocorrerem retiradas para atender a usos consuntivos (usos externos que promovem a derivação da água para o abastecimento público, uso industrial e irrigação, por exemplo) e, em alguns casos, para a geração de energia elétrica e, mesmo, para atividades de recreação. As vazões mínimas são, normalmente, obtidas a partir da análise e processamento dos registros das descargas diárias observadas na estação fluviométrica. Da análise e processamentos dos registros podem ser construídas as curvas de frequência das vazões mínimas anuais. Outras vezes, a vazão mínima é obtida das curvas de permanência dessas mesmas vazões diárias. As vazões mínimas também podem ser avaliadas com base nas curvas de recessão dos escoamentos de base que conformam os hidrogramas. Em locais com ausência de estações fluviométricas, muitas vezes recorre-se a estimativa das vazões mínimas com base em modelos empíricos. Esses modelos, chamados equações de regionalização, são construídos a partir da análise de regressão da vazão mínima (variável independente) em função das características físicas e climáticas da bacia hidrográfica (variáveis dependentes). Tais modelos são geralmente bastante incertos, uma vez que as vazões mínimas são fortemente dependentes da litologia e da estrutura de formação das rochas e da quantidade de água perdida por evapotranspiração, sendo que nenhuma dessas características pode ser descrita adequadamente através de índices, como requerem os modelos, exceto em algumas poucas bacias. Em estudos envolvendo a poluição hídrica, é importante conhecer as probabilidades de ocorrência das estiagens mais severas . Exemplo disso está no uso do curso d’água para a diluição de despejos urbanos ou industriais, situação que exige a quantificação da capacidade autodepuradora do corpo d’água natural . Também em processos de outorga do direito de uso da água, interessa conhecer o valor da vazão mínima que, por exemplo, suporta o ecossistema aquático. Nesses casos, geralmente, a vazão mínima de interesse é a conhecida Q 7,10, isto é, a vazão mínima de sete dias sucessivos de estiagem e 10 anos de recorrência. 1 A análise de frequência é o procedimento mais comum para a quantificação da vazão mínima de dada recorrência. Essa análise é feita mediante a construção da série anual de vazões mínimas, tomando-se por base os registros das vazões diárias em uma estação fluviométrica. As vazões mínimas da série anual podem ser as menores vazões diárias de cada ano de registro, ou as menores vazões médias de 2, 3, 7, 10 ou mais dias consecutivos. Na análise de frequência das séries de vazões mínimas, os procedimentos adotados são semelhantes àqueles descritos para a análise de frequência de cheias. 2 Uma construção gráfica pode ser feita: a definição da posição de plotagem é semelhante àquela adotada no método de Weibull para as vazões de cheias. A diferença fundamental entre as análises de frequência de vazões máximas e mínimas está na definição do período de retorno: no primeiro caso, o período de retorno era definido pelo inverso da probabilidade de excedência e, agora, no caso das vazões mínimas, ele é definido como o inverso da probabilidade de não excedência. Assim, na análise de frequência da série de mínimas, os procedimentos adotados são como segue: 1. Arranjam-se as vazões mínimas da série anual classificando-as em ordem crescente, isto é, começando pela menor vazão; 1

No Brasil, em alguns estados, em processos de outorga do direito de uso da água, também se utiliza como vazão de referência a vazão de certa duração ou permanência. 2

Assunto estudado no capítulo “Previsão de Enchentes”.

199



2. Atribui-se um número de ordem m a cada uma das vazões nesta classificação: a menor vazão terá ordem m=1 e a maior (a última na classificação) terá ordem m=N, sendo N o número de anos de registros; 3. Estimam-se as frequências (probabilidades de não excedência) segundo Fx 0   P x  x 0  

m N  1

.

(1)

Ou os períodos de retorno pela relação inversa: Tr 

1 Fx 0 



N  1 m

.

(2)

4. Constrói-se o gráfico das frequências (ou dos períodos de retorno) em função das vazões correspondentes, em papel de probabilidade (papel aritmético de probabilidade, papel logarítmico de probabilidade ou papel de Gumbel, mais comumente). Em geral, uma curva suave é desenhada em torno dos pontos, permitindo a realização de rápidas interpolações.

EXEMPLO 10.1 As vazões mínimas de sete dias de duração (série anual) obtidas dos registros das vazões diárias em uma seção fluviométrica de um curso d’água natural são fornecidas na Tabela 10.1. Com base nos dados da Tabela, pede-se: a) Construir a curva de frequência das vazões mínimas de sete dias; b) Determinar: b1) a probabilidade da vazão mínima de sete dias ser inferior a 70m 3/s; b2) o período de retorno da vazão de 100m 3/s; b3) a vazão mínima de sete dias e dez anos de recorrência. Tabela 10.1 – Série anual de vazões mínimas de sete dias

ano 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973

Qmín (m3/s) 86,7 57,8 73,7 93,8 55,8 61,0 84,2 123,3

ano 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

Qmín (m3/s) 92,7 78,4 89,4 49,4 54,2 49,6 75,5 83,3

ano 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Qmín (m3/s) 99 66,2 88,6 111,6 46,3 85,5 80,1 55,3

ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Qmín (m3/s) 57,2 63,0 105,3 91,8 76,3 56,5

Solução: a) As vazões da Tabela 10.1 são, preliminarmente, classificadas em ordem crescente. É atribuído um número de ordem a cada vazão nesta classificação, conforme mostram as colunas 1 e 2 da Tabela 10.2. Na coluna seguinte da Tabela 10.2, as frequências (que representam as probabilidades de não excedência) são calculadas, em porcentagem, a partir da Eq. (1); na Tabela 10.2 e Eq. (1), m o número de ordem e N=30 (número de anos da série). Os valores das vazões e das frequências calculadas são lançados em um gráfico da frequência F, em porcentagem, versus a vazão Qmín, em m3/s, em papel de probabilidade (papel aritmético de probabilidade, no caso), conforme a Figura 10.1.

200



Tabela 10.2 – Classificação das vazões mínimas e cálculo da posição de plotagem

Qmín = Q7 (m3/s)

m

F (%)

Qmín = Q7 (m3/s)

m

F (%)

46,3 49,4 49,6 54,2 55,3 55,8 56,5 57,2 57,8 61,0 63,0 66,2 73,7 75,5 76,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3,23 6,45 9,68 12,90 16,13 19,35 22,58 25,81 29,03 32,25 35,48 38,71 41,93 45,16 48,39

78,4 80,1 83,3 84,2 85,5 86,7 88,6 89,4 91,8 92,7 93,8 99,0 105,3 111,6 123,3

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 N=30

51,61 54,84 58,06 61,29 64,52 67,74 70,97 74,19 77,42 80,65 83,87 87,10 90,32 93,55 96,77

Figura 10.1 – Gráfico de frequência, em %, em função das vazões mínimas de sete dias, em m 3/s, construído em papel aritmético de probabilidade (Exemplo 10.1)

b) Da Figura 10.1, pode-se obter: - b1) Para Q = 70m 3/s, F  42%. Logo, P{Q  70m3/s} = 42%. - b2) Para Q = 100m3/s, F = 89% (obtido da planilha eletrônica). Logo, P{Q100m3/s} = 89%, e Tr = 1/ P{Q100m3/s}=1/0,89 = 1,12 anos. - b3) Para Tr = 10 anos, P{QQTr } = 1/10 =0,1  10%. Portanto, do gráfico, Q 7,10  51m3/s. 201



O mesmo procedimento analítico já apresentado no contexto das vazões de cheias é aplicável às vazões mínimas. A relação linear conhecida como equação de Chow, reproduzida abaixo, é também utilizada no cálculo analítico: Q mínTr  Qmín  K  s

(3)

sendo Qmín a média aritmética da série, s o desvio-padrão e K o fator de frequência de Chow (os valores de K são tabelados para algumas distribuições de probabilidade teóricas). Nas previsões das vazões mínimas, as distribuições de probabilidade que têm se mostrado adequadas são a log -normal, a log -Pearson tipo III e as distribuições de valor extremo tipo III (ou distribuição log -Gumbel). Para esses casos que envolvem a transformada logarítmica das vazões mínimas, a relação de Chow deve ser escrita na forma: y Tr  y  K  s y

(4)

sendo y Tr  log Q mínTr , y  média aritmética dos logaritmos das vazões mínimas, e s y  desvio padrão dos logaritmos das vazões mínimas. Para a distribuição log -normal, K é função apenas da frequência, podendo ser usadas tabelas construídas para a variável reduzida z (z = K) da distribuição normal em função da frequência. No caso da distribuição log -Pearson tipo III, K=K(Tr, gy) pode ser obtido de tabelas para a distribuição Pearson tipo III. Já para a distribuição log -Gumbel, quando se considera a amostra finita, K é função do período de retorno e do tamanho da amostra: K=K(Tr, N). Valores de K utilizáveis com a distribuição log -Gumbel são obtidos de tabelas para a distribuição de Gumbel.

EXEMPLO 10.2: a) Utilizando os dados do problema-exemplo 10.1, estabeleça o traçado das curvas de probabilidade considerando: a 1) distribuição log -Gumbel (distribuição tipo I do logaritmo do valor extremo); a2) distribuição log -Pearson tipo III. Compare os resultados a partir da visualização gráfica. b) Resolva o item (b) do problema-exemplo 10.1 pelo método analítico considerando a distribuição log -Gumbel. c) Resolva o item (b) do problema-exemplo 10.1, apoiando-se na construção gráfica do item (a) deste exemplo e considerando a distribuição log -Pearson tipo III. Solução: a) A variável hidrológica do Exemplo 10.1 é, inicialmente, convertida na variável transformada (transformação logarítmica): y = log Qmín. A Tabela 10.3 apresenta os resultados das transformações e a série já classificada em ordem crescente. As frequências associadas são calculadas e dispostas na terceira coluna da Tabela 10.3. Para obter as estatísticas desvio-padrão, sy, e coeficiente de assimetria, g y, são adicionadas duas outras colunas de cálculo dos quadrados e cubos dos desvios, respectivamente. As estatísticas são resumidamente apresentadas ao final da Tabela 10.3. Para permitir o traçado gráfico das curvas de frequência, vários níveis de probabilidade são fixados e as vazões nesses níveis são calculadas segundo a equação de Chow: y Tr  y  K  s y . - Para o caso da distribuição log -Gumbel,     1  y  y    F  exp  exp   0 ,45  ,   0 ,7797  s y     

202

(5)



sendo y = log Qmín e sy o desvio-padrão da variável transformada. Combinando a equação de Chow com a Eq. (5), tem-se 

 1  K  0,45  ,  0 ,7797 

F  exp  exp 

(6)

K  0 ,45  0 ,7797 ln lnF ,

(7)



donde ou, com Tr = 1/F, 







 1     .  Tr  

K  0 ,45  0 ,7797 ln  ln

(8)

Tabela 10.3 – Classificação, cálculo da posição de plotagem das vazões mínimas e elementos de cálculo do desvio-padrão e coeficiente de assimetria.

soma:

)2

)3

y = logQmín

m

F (%)

(y

1,666 1,694 1,695 1,734 1,743 1,747 1,752 1,757 1,762 1,785 1,799 1,821 1,867 1,878 1,883 1,894 1,904 1,921 1,925 1,932 1,938 1,947 1,951 1,963 1,967 1,972 1,996 2,022 2,048 2,091

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3,23 6,45 9,68 12,90 16,13 19,35 22,58 25,81 29,03 32,25 35,48 38,71 41,93 45,16 48,39 51,61 54,84 58,06 61,29 64,52 67,74 70,97 74,19 77,42 80,65 83,87 87,10 90,32 93,55

N=30 ---

96,77 ---

0,0411689 0,0305394 0,0299292 0,0180857 0,0158148 0,0148469 0,0135568 0,0123401 0,0113538 0,0069143 0,0047806 0,0022681 0,0000010 0,0000896 0,0001972 0,0006674 0,0012355 0,0027210 0,0032296 0,0040302 0,0048354 0,0062333 0,0068650 0,0089039 0,0097215 0,0107580 0,0161679 0,0236994 0,0321062 0,0494977

-0,00835322 -0,00533692 -0,00517776 -0,00243221 -0,00198883 -0,00180907 -0,00157847 -0,00137082 -0,00120980 -0,00057494 -0,00033054 -0,00010801 0,00000000 0,00000085 0,00000277 0,00001724 0,00004343 0,00014193 0,00018354 0,00025585 0,00033624 0,00049213 0,00056880 0,00084018 0,00095851 0,00111582 0,00205579 0,00364844 0,00575285 0,01101230

0,382558

-0,002844

56,054

y

(y

y

média, y  1,868 desv. padrão, sy = 0,115 coef. de assimetria, gy = 0,07

203



- Para o caso da distribuição log -Pearson tipo III, os valores do fator de frequência da equação de Chow são tabelados em função do coeficiente de assimetria, g y e da frequência. 3 Os resultados dos cálculos das vazões com a equação de Chow para as distribuições log -Gumbel e log -Pearson tipo III são apresentados na Tabela 10.4 para várias frequências compreendidas entre 0,01 (1%) e 0,995 (99,5%), que foram consideradas suficientes para se estabelecer o traçado das curvas de frequências. As vazões obtidas com as distribuições log -Gumbel e log -Pearson tipo III da Tabela 10.4 são lançadas num gráfico de frequência, juntamente com os valores da série de mínimas, conforme mostrado na Figura 10.2. Por esta figura, constata-se uma ligeira superioridade do modelo log Pearson tipo III em prever as vazões de recorrências entre 1 e 30 anos. Tabela 10.4 - Cálculo das vazões mínimas pela equação de Chow F

Tr (anos)

0,01 0,05 0,10 0,20 0,50 0,80 0,90 0,96 0,98 0,99 0,995

100 20 10 5 2 1,25 1,11 1,04 1,02 1,01 1,005

Log -Gumbel

K y (eq.Chow) -1,641 1,6793 -1,305 1,7179 -1,100 1,7415 -0,821 1,7736 -0,164 1,8491 0,720 1,9507 1,305 2,0180 2,044 2,1030 2,592 2,1661 3,137 2,2287 3,679 2,2911

Log -Pearson tipo III y

Qmín=10 47,8 52,2 55,1 59,4 70,7 89,3 104,2 126,8 146,6 169,3 195,5

K

y (eq.Chow)

-2,378 -1,665 -1,289 -0,838 0,012 0,845 1,274 1,727 2,016 2,274 2,510

1,5946 1,6766 1,7198 1,7717 1,8694 1,9652 2,0145 2,0665 2,0999 2,1295 2,1567

Qmín=10y

39,3 47,5 52,5 59,1 74,0 92,3 103,4 116,6 125,9 134,8 143,4

Figura 10.2 – Curvas de frequência das vazões mínimas de sete dias em papel aritmético de probabilidade – valores da série de vazões mínimas de sete dias e vazões segundo as distribuições log -Pearson tipo III e log Gumbel 3

Valores do fator de frequência da distribuição Pearson tipo III são ap resentados no capítulo “Previsão de

Enchentes”.

204



b) Uso do modelo log -Gumbel (teórico) - Cálculo da probabilidade da vazão mínima de sete dias ser inferior a 70m 3/s: Da equação de Chow, para y Tr =log70 = 1,845 y Tr  y  Ks y  1,845 = 1,868 + K 0,115  K = -0,20 Da Eq. (6), F = 0,484. Portanto, P{Q  70m3/s}  48%. - Cálculo do período de retorno da vazão de 100m 3/s: Da equação de Chow, para y Tr =log100 = 2,000 y Tr  y  Ks y  2,000 = 1,868 + K 0,115  K = 1,148. Da Eq. (6), F = 0,879. Logo, P{Q100m3/s} = 87,9%, e Tr = 1 P{Q100m3/s}=1/0,879 = 1,14 anos. - Cálculo da vazão mínima de sete dias e dez anos de recorrência: Para Tr = 10 anos, F = P{QQTr } = 1/10 = 0,1  10%. Da Eq. (7), para F = 0,1, K  1,100. Com a equação de Chow, y Tr  y  Ks y = 1,868  1,1000,115  y Tr 10  1,7415. Portanto, do gráfico, Q 7,10  101,7415 = 55,1m3/s (Como já havia sido obtido na Tabela 10.4) c) Uso do modelo log -Pearson tipo III - Cálculo da probabilidade da vazão mínima de sete dias ser inferior a 70m 3/s: Do gráfico da Figura 10.2, para Q mín = 70m3/s, F  41%. Portanto, P{Q  70m3/s}  41%. - Determinação do período de retorno da vazão de 100m 3/s: Do gráfico da Figura 10.2, para Q mín = 100m3/s, F = 88%. Logo, Tr = 1/F = 1/0,88 = 1,14 anos. - Determinação da vazão mínima de sete dias e dez anos de recorrência: Para Tr = 10 anos, F = P{QQTr } = 1/10 = 0,1  10%. Do gráfico da Figura 10.2 para a distribuição log -Pearson tipo III, para F = 10%, Q mín = Q 7,10  52,5m3/s (resultado que já havia sido obtido na Tabela 10.4)

205



Tabela 10.5 – Fator de frequência, K, para a distribuição de Pearson tipo III (Tr aplicável às mínimas) Coef. de assimetria, g 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9 -2,0 -2,1 -2,2 -2,3 -2,4 -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,9 -3,0

Tr , Período de Retorno (anos) 2 1,25 1,11 1,04 F = probabilidade de não excedência (%) 20 50 80 90 96

100

20

10

5

1

5

10

-0,667

-0,665

-0,660

-0,636

-0,396

0,420

1,180

2,278

3,152

4,051

4,970

-0,690

-0,688

-0,681

-0,651

-0,390

0,440

1,195

2,277

3,134

4,013

4,909

-0,714

-0,711

-0,702

-0,666

-0,384

0,460

1,210

2,275

3,114

3,973

4,847

-0,740

-0,736

-0,724

-0,681

-0,376

0,479

1,224

2,272

3,093

3,932

4,783

-0,769

-0,762

-0,747

-0,696

-0,368

0,499

1,238

2,267

3,071

3,889

4,718

-0,799

-0,790

-0,771

-0,711

-0,360

0,518

1,250

2,262

3,048

3,845

4,652

-0,832

-0,819

-0,795

-0,725

-0,351

0,537

1,262

2,256

3,023

3,800

4,584

-0,867

-0,850

-0,819

-0,739

-0,341

0,555

1,274

2,248

2,997

3,753

4,515

-0,905

-0,882

-0,844

-0,752

-0,330

0,574

1,284

2,240

2,970

3,705

4,444

-0,946

-0,914

-0,869

-0,765

-0,319

0,592

1,294

2,230

2,942

3,636

4,372

-0,990

-0,949

-0,895

-0,777

-0,307

0,609

1,302

2,219

2,912

3,605

4,398

-1,037

-0,984

-0,920

-0,788

-0,294

0,627

1,310

2,207

2,881

3,553

4,223

-1,087

-1,020

-0,945

-0,799

-0,282

0,643

1,318

2,193

2,848

3,499

4,147

-1,140

-1,056

-0,970

-0,808

-0,268

0,660

1,324

2,179

2,815

3,444

4,069

-1,197

-1,093

-0,994

-0,817

-0,254

0,675

1,329

2,163

2,780

3,388

3,990

-1,256

-1,131

-1,018

-0,825

-0,240

0,690

1,333

2,146

2,743

3,330

3,910

-1,318

-1,168

-1,041

-0,832

-0,225

0,705

1,337

2,128

2,706

3,271

3,828

-1,383

-1,206

-1,064

-0,838

-0,210

0,719

1,339

2,108

2,666

3,211

3,745

-1,449

-1,243

-1,086

-0,844

-0,195

0,732

1,340

2,087

2,626

3,149

3,661

-1,518

-1,280

-1,107

-0,848

-0,180

0,745

1,341

2,066

2,585

3,087

3,575

-1,588

-1,317

-1,128

-0,852

-0,164

0,758

1,340

2,043

2,542

3,022

3,489

-1,660

-1,353

-1,147

-0,854

-0,148

0,769

1,339

2,018

2,498

2,957

3,401

-1,733

-1,388

-1,166

-0,856

-0,132

0,780

1,336

1,993

2,453

2,891

3,312

-1,806

-1,423

-1,183

-0,857

-0,116

0,790

1,333

1,967

2,407

2,824

3,223

-1,880

-1,458

-1,200

-0,857

-0,099

0,800

1,328

1,939

2,359

2,755

3,132

-1,955

-1,491

-1,216

-0,876

-0,083

0,808

1,323

1,910

2,311

2,686

3,041

-2,029

-1,524

-1,231

-0,855

-0,066

0,816

1,317

1,880

2,261

2,615

2,949

-2,104

-1,533

-1,245

-0,853

-0,050

0,824

1,309

1,849

2,211

2,544

2,856

-2,178

-1,586

-1,258

-0,850

-0,033

0,830

1,301

1,818

2,159

2,472

2,763

-2,252

-1,616

-1,270

-0,846

-0,017

0,836

1,292

1,785

2,107

2,400

2,670

-2,326

-1,645

-1,282

-0,842

0

0,842

1,282

1,751

2,054

2,326

2,576

-2,400

-1,673

-1,292

-0,836

0,017

0,846

1,270

1,716

2,000

2,252

2,482

-2,472

-1,700

-1,301

-0,830

0,033

0,850

1,258

1,680

1,945

2,178

2,388

-2,544

-1,726

-1,309

-0,824

0,050

0,853

1,245

1,643

1,890

2,104

2,294

-2,615

-1,750

-1,317

-0,816

0,066

0,855

1,231

1,606

1,834

2,029

2,201

-2,686

-1,774

-1,323

-0,808

0,083

0,856

1,216

1,567

1,777

1,955

2,108

-2,755

-1,797

-1,328

-0,800

0,099

0,857

1,200

1,528

1,720

1,880

2,016

-2,824

-1,819

-1,333

-0,790

0,116

0,857

1,183

1,488

1,663

1,806

1,926

-2,891

-1,839

-1,336

-0,780

0,132

0,856

1,166

1,448

1,606

1,733

1,837

-2,957

-1,858

-1,339

-0,769

0,148

0,854

1,147

1,407

1,549

1,660

1,749

-3,022

-1,877

-1,340

-0,758

0,164

0,852

1,128

1,366

1,492

1,588

1,664

-3,087

-1,894

-1,341

-0,745

0,180

0,848

1,107

1,324

1,435

1,518

1,581

-3,149

-1,910

-1,340

-0,732

0,195

0,844

1,086

1,282

1,379

1,449

1,501

-3,211

-1,925

-1,339

-0,719

0,210

0,838

1,064

1,240

1,324

1,383

1,424

-3,271

-1,938

-1,337

-0,705

0,225

0,832

1,041

1,198

1,270

1,318

1,351

-3,330

-1,951

-1,333

-0,690

0,240

0,825

1,018

1,157

1,217

1,256

1,282

-3,388

-1,962

-1,329

-0,675

0,254

0,817

0,994

1,116

1,166

1,197

1,216

-3,444

-1,972

-1,324

-0,660

0,268

0,808

0,970

1,075

1,116

1,140

1,155

-3,499

-1,981

-1,318

-0,643

0,282

0,799

0,945

1,035

1,069

1,087

1,097

-3,553

-1,989

-1,310

-0,627

0,294

0,788

0,920

0,996

1,023

1,037

1,044

-3,605

-1,996

-1,302

-0,609

0,307

0,777

0,895

0,959

0,980

0,990

0,995

-3,656

-2,001

-1,294

-0,592

0,319

0,765

0,869

0,923

0,939

0,946

0,949

-3,705

-2,006

-1,284

-0,574

0,330

0,752

0,844

0,888

0,900

0,905

0,907

-3,753

-2,009

-1,274

-0,555

0,341

0,739

0,819

0,855

0,864

0,867

0,869

-3,800

-2,011

-1,262

-0,537

0,351

0,725

0,795

0,823

0,830

0,832

0,833

-3,845

-2,012

-1,250

-0,518

0,360

0,711

0,771

0,793

0,798

0,799

0,800

-3,889

-2,013

-1,238

-0,499

0,368

0,696

0,747

0,764

0,768

0,769

0,769

-3,932

-2,012

-1,224

-0,479

0,376

0,681

0,724

0,738

0,740

0,740

0,741

-3,973

-2,010

-1,210

-0,460

0,384

0,666

0,702

0,712

0,714

0,714

0,714

-4,013

-2,007

-1,195

-0,440

0,390

0,651

0,681

0,683

0,689

0,690

0,690

-4,051

-2,003

-1,180

-0,420

0,396

0,636

0,660

0,666

0,666

0,667

0,667

206

1,02

1,01

1,005

98

99

99,5



EXERCÍCIOS 10.1) Considere os dados do problema-exemplo 1 e estabeleça o traçado da curva log -normal de probabilidade empregando: a) o papel aritmético de probabilidade; b) o papel logarítmico de probabilidade. Discuta a qualidade do ajuste frente aos dados da série plotados no mesmo gráfico. 10.2) Com os dados do problema-exemplo 1 e admitindo que as frequências das mínimas seguem uma distribuição log -normal de probabilidade, determine: a) a probabilidade da vazão mínima de sete dias ser inferior a 70m 3/s; b) o período de retorno de uma vazão de 100m 3/s; c) a vazão mínima de sete dias e dez anos de recorrência.

207


11. Água Subterrânea - Hidráulica de Poços

11. ÁGUA SUBTERRÂNEA / HIDRÁULICA DE POÇOS 11.1. Introdução. Características dos meios porosos Neste capítulo, são estudados os escoamentos da água através de meios porosos, dando-se particular ênfase à hidráulica de poços. Adverte-se que não se aprofundam os estudos sobre a interação entre as duas fases, líquida e sólida, por ser esse assunto mais ligado à Mecânica dos Sólidos. Os meios porosos podem ser naturais ou artificiais. Os meios porosos naturais são fundamentalmente os aluviões 1, constituídos por material granular, ou as rochas compactas fissuradas. Os meios porosos artificiais são os aterros, dos quais têm especial importância as barragens de terra.

Conceitos de homogeneidade e isotropia Os conceitos de homogeneidade e isotropia são fundamentais para o estudo teórico do e a compreensão do escoamento da água em meio poroso. Diz-se que um meio poroso é homogêneo quando, em qualquer ponto do seu interior, a resistência ao escoamento, em relação a uma dada direção, é a mesma. Dadas às irregularidades existentes nos meios porosos naturais, é necessário definir uma escala de homogeneidade. Como exemplo, pode-se dizer que um aluvião com grãos de cerca de 1 mm de diâmetro será considerado homogêneo à escala do dm 2; já um maciço rochoso só poderá ser considerado homogêneo para dimensões da ordem de 100 vezes a maior dimensão dos blocos. Um meio poroso é isótropo quando a resistência ao escoamento (ou outra propriedade física) for a mesma em todas as direções que se considere. Em verdade, a maioria dos meios porosos naturais são anisótropos. Com efeito, no caso de rochas fissuradas, as fissuras de origem tectônica, isto é, as fendas resultantes de deformações da crosta terrestre devidas às forças internas, são, em geral, orientadas segundo direções paralelas, perpendiculares às compressões que lhes deram origem; assim, a rocha tem o aspecto de paralelepípedos cortados por fissuras paralelas, que constituem uma direção mais favorável o escoamento – o regime do escoamento dependerá da geometria das fissuras e do material de enchimento das mesmas. Também nas formações sedimentares, a intercalação de camadas de diferentes características e o próprio peso das camadas permite, no seu conjunto, maior facilidade ao escoamento no sentido horizontal, sendo por isso, da mesma forma, anisótropos. No entanto, esses meios poderão ser considerados homogêneos, desde que se estabeleça, como visto acima, uma escala de homogeneidade suficientemente grande. Um meio constituído por material granular é caracterizado, do ponto de vista geométrico, por vários parâmetros, conforme indicados na seção 11.4. 1

Depósitos de cascalho, areia e argila que se formam junto às margens ou na foz dos rios, como resultado do trabalho de erosão.

208



11.2. Água subterrânea 11.2.1 - Origem No início do presente curso, no estudo do ciclo hidrológico, foi explicada a origem da água subterrânea (Figura 11.1). Pela atual visão do ciclo hidrológico, a formação dos lençóis subterrâneos tem origem na infiltração e na percolação das águas pluviais e superficiais, que se faz através das camadas permeáveis, das falhas existentes nas estratificações, das fendas, de discordâncias de camadas geológicas, etc. Embora este seja o conceito universalmente aceito, nem sempre foi assim. Como curiosidade, apresentam-se algumas teorias que já foram aceitas em tempos remotos, mesmo antes de Cristo, para explicar a ocorrência da água subterrânea.

Figura 11.1 – Ciclo hidrológico e a ocorrência da água subterrânea

Segundo Platão 2 (século V a.C.), haveria um grande abismo no fundo do mar, estendendo-se sob a terra. Para explicar o ciclo hidrológico e o fato do nível do mar manter-se constante, por mais água que para ele afluísse, o filósofo justificava que do abismo a água penetraria terra adentro e seria sorvida pelo solo. Para Descartes 3 (1630 d.C.), existiriam cavernas subterrâneas que, recebendo a água do mar, permitiriam a sua evaporação. A água evaporada, ao se condensar, impregnaria as camadas do subsolo para formar a água subterrânea. Foi no século I a.C., com Vitrúvio 4, que pela primeira vez se considerou que as águas subterrâneas poderiam ter sua origem nas águas de chuva. Contudo, a aceitação da teoria ocorreu somente muito mais tarde, já no século XVII, a partir de experiências e medições conduzidas por Mariotte5, na França. 2

Filósofo grego (427 a.C. – 347 a.C.) René Descartes, filósofo e matemático francês (1596 – 1650). 4 Marcus Vitruvius Pollio, arquiteto e engenheiro romano do séc. I a.C. 5 Edme Mariotte, padre e cientista francês que se dedicou ao campo da física (1620 – 1684). 3

209



11.2.2 - Distribuição Num balanço estático, pode-se dizer que a água subterrânea corresponde a aproximadamente 0,6% de toda a água presente no globo terrestre. Contudo, considerada a sua importância para o uso humano, na forma de água doce, a água subterrânea responde por 97% do volume global da água doce. Essa água subterrânea constitui, em muitas regiões, a principal forma de aproveitamento pelo homem, senão a única. 6 É por meio da prospecção geofísica que a ocorrência da água subterrânea é conhecida. Faz-se, a seguir, um breve estudo da distribuição da água nas formações geológicas situadas abaixo da crosta terrestre. A parte superior da crosta, denominada zona de fratura da rocha, é normalmente porosa até certa profundidade. Seus poros ou aberturas podem estar total ou parcialmente cheios de água. A camada superior do solo, onde os espaços intergranulares estão parcialmente ocupados pela água, é denominada zona de aeração. À camada situada imediatamente abaixo se denomina zona de saturação (Figura 11.2). Por efeito da capilaridade, a água eleva-se acima do nível da zona de saturação, formando a água capilar (ou franja capilar ). A altura da elevação capilar depende da dimensão dos interstícios e pode atingir valores desde 0,6m a 3,0m nas argilas, ou apenas alguns milímetros de altura em areias grossas.

Figura 11.2 – Representação esquemática da distribuição da água subterrânea

Acima da água capilar pode-se encontrar água higroscópica ou água pelicular , fixada por adsorção à superfície das partículas do solo. Mais acima, junto à superfície, encontra-se a água de infiltração (água do solo, utilizada pelas plantas), com ocorrência posterior às chuvas e que desce para o lençol pela ação da gravidade. Para fins de aproveitamento hídrico, a zona de saturação é a mais importante. Ela pode ser considerada como um vasto reservatório, ou um conjunto de reservatórios naturais, cuja capacidade de armazenamento é definida pelo volume total dos poros existentes nas rochas que, nesta zona, se encontram completamente cheios de água. 6

A obtenção da água subterrânea para fins de aproveitamento doméstico, industrial, ou mesmo para irrigação, é assunto tratado como mais profundidade no estudo da captação ou aproveitamento da água subterrânea, nas disciplinas de Saneamento para engenheiros civis e ambientais.

210



A espessura da zona de saturação é variada, sendo função de uma série de fatores. Para determinar essa espessura requer-se o conhecimento da geologia local, da disponibilidade de poros nas formações geológicas e da capacidade de recarregamento e movimento da água, que se processa na zona desde as áreas de recarregamento até as áreas ou pontos de descarga.

11.3. Aquíferos Os aquíferos são formações ou camadas geológicas que contêm a água no seu interior (zona saturada) em quantidade suficiente para permitir o seu aproveitamento econômico. Assim, uma unidade geológica será considerada um aquífero quando, possuindo poros cheios de água, permitir que a água se escoe pelos espaços intergranulares até poços ou fontes, com uma vazão de saída capaz de, por exemplo, suprir o abastecimento de água de uma comunidade. Neste conceito, diferem de um outro tipo de armazenamento encontrado nos espaços livres das rochas (às vezes também denominado aquífero), como nas rochas calcárias, onde a água pode se mover livremente através das fendas, cavernas, etc., que são características destas rochas 7. Em geral, os aquíferos podem ser classificados como freáticos e artesianos. Os aquíferos freáticos8 originam-se das águas de chuva que se infiltram através das camadas permeáveis do terreno até encontrar uma camada impermeável. Saturando as camadas porosas logo acima, a água pode permanecer em repouso ou deslocar-se, de acordo com a configuração geométrica do terreno. Nos aquíferos freáticos, também chamados aquíferos livres, a água que enche os poros da formação geológica na região que se situa no topo da parte saturada está submetida à pressão atmosférica (Figura 11.3). Assim, tudo se passa como se a água estivesse ocupando um reservatório aberto. Pode ocorrer ainda, a formação de um aquífero ou lençol suspenso, quando uma formação impermeável aparece entre a zona saturada e a superfície do terreno, dando origem à retenção de águas de infiltração acima desta formação.

Figura 11.3 – Representação esquemática da ocorrência do aquífero freático e sua inter-relação com os cursos d’água: num caso, recebendo a alimentação d o curso d’água (típico de região árida cortada por rio perene) e, em outro, alimentando as nascentes do curso d’água (comum em regiões montanhosas).

Para qualquer camada que se considere dentro do aquífero freático, a carga hidráulica na mesma será igual à profundidade medida a partir do nível estático (nível freático). Assim, quando um poço é perfurado num aquífero freático, o nível d’água dentro dele atingirá o nível estático do aquífero. O poço que retira a água do lençol freático é dito poço freático (Figura 11.4). 7

Nestes casos de rochas calcárias, as águas superficiais podem passar subitamente por estas formações, formando verdadeiros rios subterrâneos que, por sua vez, podem aflorar bruscamente, passando às correntes superficiais. 8 O termo freático vem da palavra grega phreatos, que significa poço, pelo fato de que é desse lençol que se abastecem os poços comuns.

211



Figura 11.4 – Representação do poço freático e da carga hidráulica em um ponto do lençol.

Os poços freáticos são normalmente escavados. São, também, chamados de poços ordinários, isto é, poços comuns ou domésticos. Em geral, são rasos e de grandes diâmetros: as profundidades compreendidas entre 3 e 20 metros e os diâmetros entre 1 e 2 metros. 9 A vazão que eles são capazes de fornecer é relativamente pequena, o que sugere a sua utilidade apenas para o consumo humano ou uso doméstico e, raramente, para uso industrial e irrigação. Embora a água possa ser de boa qualidade, há inúmeros registros de ocorrência de água salobra e, mesmo, contaminada. O aquífero é dito confinado, ou artesiano10, quando se situa entre camadas impermeáveis. Em consequência, os aquíferos confinados têm a água submetida a pressão superior à atmosférica. Nestes, a água provém, geralmente, de infiltrações distantes, ocorridas em regiões de cotas mais elevadas (brejos, lagos, rios, chuva ou neve nas serras, etc.). Na Figura 11.5, apresenta-se um esquema que permite classificar e visualizar a ocorrência dos diferentes tipos de aquíferos. Vê-se, por exemplo, que o aquífero designado como AQUÍFERO A é freático, pois o nível da água neste coincide com o nível atingido no poço de observação: no aquífero freático ou livre, à superfície livre corresponde, sempre, pressão igual à atmosférica. A Figura 11.5 mostra, também, que o AQUÍFERO B, inicialmente freático na zona (a), atinge, a jusante, uma região compreendida entre duas camadas impermeáveis, zonas (b) e (d), comportando-se, portanto, como artesiano ou confinado. Quando uma das camadas que limita o aquífero é semipermeável, este pode perder ou receber água através dela. Este fenômeno é denominado drenança11 e o aquífero correspondente é dito semiconfinado. O AQUÍFERO B da Figura 11.5 também se comporta desta forma em duas regiões, indicadas como zonas (c) e (e). Os poços que retiram água de um aquífero artesiano são chamados de poços artesianos. Nestes, a água ascende até atingir o nível da linha piezométrica. Se a piezométrica estiver acima do terreno, a água jorrará (poço jorrante). Caso contrário, estando a piezométrica abaixo do nível do terreno, a água não jorrará. Para alguns, o poço é considerado artesiano apenas quando ele jorra e, sendo não jorrante, ele seria caracterizado como "semiartesiano". Na Figura 11.5, são visualizadas as ocorrências dos poços artesianos jorrante e não jorrante.

9

Atualmente, podem ser encontrados poços freáticos tubulares (pequenos diâmetros) perfurados mecanicamente até profundidades bem maiores. 10 O termo artesiano deriva do nome Artois, que é uma região da França onde são frequentes as ocorrências desse tipo de aquífero. 11 Tradução técnica do termo leakage, em inglês.

212



Figura 11.5 – Esquema para a visualização da ocorrência e classificação dos aquíferos

O lençol artesiano é alcançado por meio de poços tubulares, que têm pequeno diâmetro (geralmente entre 6 e 10 polegadas), podendo estar a pequenas profundidades (algumas dezenas de metros) ou a grandes profundidades (até centenas de metros). Ao se fazer uma perfuração, podem ser encontrados vários lençóis sobrepostos, com distintas capacidades de armazenamento e diferentes qualidades da água. Quando se atinge um rico lençol artesiano, a água normalmente é suficiente para o abastecimento de bairros residenciais e/ou indústrias e, até mesmo, para uso na irrigação. Em geral essa água é de boa qualidade, embora, nos casos de poços profundos, possa apresentar-se como salobra.

11.4. Propriedades dos aquíferos e parâmetros que caracterizam a relação solo - água Os aquíferos desempenham duas diferentes funções: a de reservação e a de condução da água. Assim, os poros, em seu conjunto, se comportam ora como um reservatório, ora como um conduto que transporta a água entre dois pontos submetidos a um gradiente hidráulico. A água contida num aquífero se desloca, consequentemente, em condições de escoamento hidráulico semelhantes às de um “reservatório em marcha”. A eficiência de um aquífero como fonte de suprimento de água depende de propriedades intimamente ligadas às duas funções que ele desempenha. As propriedades relacionadas com a capacidade de reservação são a porosidade e a produção específica (ou suprimento específico), enquanto as propriedades associadas à função de condução da água são a condutividade hidráulica (ou permeabilidade) e a transmissividade. Definem-se, a seguir, estes e alguns outros parâmetros importantes. a) Porosidade A porosidade, n, é a percentagem de vazios (poros) existentes no material, isto é, n

volume dos vazios volume total

100% 

V p Vt

213

100% .

(01)



O volume total, Vt, é dado pela soma do volume dos poros (vazios), V p, com o volume dos grãos, Vg, isto é, Vt = V p + Vg. Quando um material se encontra saturado, todos os seus vazios ficam preenchidos com água. Desse modo, o volume de água de saturação é obtido multiplicando-se a porosidade pelo volume do material, isto é, (volume de saturação) = n  (volume do material).

(02)

A porosidade depende do tamanho, da forma, do grau de uniformidade e da arrumação dos grãos que compõem o material. Quando a granulometria do material é uniforme, a porosidade é maior que em se tratando de partículas de tamanhos diferentes, pois neste caso as menores ocupam os vazios deixados pelas maiores. Vê-se, pois, que existe alguma ligação da porosidade com aquilo que é conceituado como coeficiente de uniformidade. De um modo geral, considera-se:

 45% areia  35%

argila  porosidade grande, n

 20%

pedregulho 25% pedregulho e areia

 porosidade média, 5%  n  20%  porosidade pequena, n  5%

 20%

arenito  15% calcáreo denso  5%

quartzito,granito  1%

Obs.: Os valores médios de porosidade de uma série de materiais são apresentados na coluna (2) da Tabela 11.1. O coeficiente de porosidade médio é determinado em ensaios de laboratório realizados com amostra do solo do aquífero, adequadamente coletada de acordo com procedimento rotineiro.

b) Produção específica ou suprimento específico (ou porosidade efetiva) Embora a porosidade informe sobre a quantidade de água que o aquífero é capaz de armazenar, esta não representa a quantidade de água que ele poderá fornecer, pois a ação da gravidade é incapaz de retirar de um material toda a sua água da saturação: uma parcela desta água ficará retida nos interstícios devido à atração molecular da película que envolve os grãos. A produção específica (ou porosidade efetiva), Pe, de um material granular é justamente a percentagem de sua água de saturação que se liberta pela ação da gravidade: Pe 

Vd Vt

 100% 

Vol. de água drenado livremente da amostra saturada Volume da amostra

 100% . (03)

O volume drenado, V d, corresponde à parcela do volume de vazios ocupada pela água circulável (removível) sob a ação da gravidade. Assim, Pe mede a porcentagem do volume de um solo disponível para o armazenamento temporário da água. Para calcular a produção específica, coloca-se o material seco num cilindro de fundo afunilado e provido de torneira (inicialmente fechada) que, em seguida, é saturado. Abrindo-se totalmente a torneira, a água começa a escoar-se com vazão decrescente, até formar um escoamento em gotas. Quando as últimas se distanciarem muito umas das outras no tempo, mede 214



o volume de água liberada sob a ação da gravidade. Dividindo-se o volume de água liberada sob a ação da gravidade pelo volume total tem-se: Pe = (volume libertado)  (volume total) x 100% Pelos valores lançados nas colunas (2) e (3) da Tabela 11.1, observa-se, que a argila, que tem a maior porosidade média (em torno de 45%), possui produção específica de somente 3%. A principal razão para justificar este fato está associada ao diminuto tamanho dos grãos e, consequentemente, dos poros da argila que retêm grande parcela de água de saturação.

c) Retenção específica A retenção específica, Re, também expressa em porcentagem, é a parcela da água de saturação que não consegue se libertar da unidade de volume do material saturado, sob a ação da gravidade. É, portanto, a diferença entre a porosidade e a produção específica do material. Ou n

 Pe  R e .

(04)

A retenção específica é tanto maior quanto menor for o tamanho das partículas pois, assim sendo, maior será a superfície total das mesmas e, consequentemente, maior também será a ação molecular de retenção da água.

d) Coeficiente de permeabilidade experiência de Darcy A propriedade interligada com a função de condução da água do aquífero é a permeabilidade, K , que pode ser definida como “a capacidade d o meio poroso transmitir a água”. A grandeza que informa sobre a capacidade do meio poroso transmitir a água é o coeficiente de permeabilidade que, por definição, representa “a quantidade de água que, na unidade de tempo, passa pela seção do material de área unitária, quando perda de carga por unidade de comprimento (perda de carga unitária) correspon de à unidade”. Esta definição deriva da própria equação de Darcy. Na Tabela 11.1 apresentam-se valores médios do coeficiente de permeabilidade K de diferentes materiais, juntamente com a porosidade e a produção específica. Tabela 11.1 – Valores médios de algumas propriedades ligadas às funções de reservação e de condução dos aquíferos (1)

(2)

Materiais

Porosidade, n (%)

Argila Areia Pedregulho Pedregulho e areia Arenito Calcário denso Quartzito, granito

45 35 25 20 15 5 1

(3) Produção específica, Pe (%)

(4) Coeficiente de permeabilidade, K (m/dia)

3 25 22 16 8 2 0,5

0,04 35 200 80 30 0,04 0,004

215



Da hidráulica, sabe-se que o movimento da água de um ponto a outro do aquífero ocorrerá quando existir uma diferença de carga entre estes pontos. A experiência de Darcy 12 (1856) mostrou que no escoamento laminar da água em um meio poroso a velocidade aparente é proporcional à perda de carga unitária: V  i. Ou, V  K  i ,

(05)

sendo V = velocidade média aparente da água através do material; K = coeficiente de permeabilidade (com dimensão LT -1); e i = perda de carga unitária (adimensional). Portanto, K tem dimensão de velocidade 13. A vazão através de uma seção de área A transversal ao escoamento escoamento é Q = V A. Ou Q  K  i  A

(06)

sendo a perda de carga unitária (gradiente hidráulico) i dada por

h . (07) x O coeficiente de permeabilidade K é medido em laboratório com o uso de um permeâmetro, cujo princípio princípio está representado representado na Figura 11.6. Esse permeâmetro, permeâmetro, que reproduz reproduz a experiência de Darcy, permite a obtenção da perda de carga unitária, i. Essa perda de carga é obtida da leitura dos piezômetros, h 1 e h 2, cujas tomadas de pressão encontram-se separadas pela distância L: i = (h1 – h h2) / L. i

Figura 11.6 – Esquema Esquema ilustrativo da experiência de Darcy (permeâmetro de carga constante)

12

Henry Philibert Gaspard Darcy (1803 – 1858), 1858), engenheiro francês. -1 Escreve-se [K] = [V] = LT

13

216



Obs.: O coeficiente de permeabilidade é função das propriedades do fluido e do meio poroso. Esta dependência pode ser mostrada rapidamente recorrendo-se à equação de Navier-Stokes, da Mecânica dos Fluidos para o escoamento laminar entre duas placas paralelas, que é uma equação correspondente correspondente à de Hagen-Poiseuille e que pode escrita na forma: dh

i

dx



12Q

Ab 2

,

(08)

sendo  = viscosidade dinâmica do fluido;  = peso específico do fluido; b = distância entre as placas; e A = área da seção transversal ao escoamento, cuja vazão é Q. Como, segundo Darcy, i  Q K  A  , resulta

 b 2 gb 2 K   . 12 12

(09)

De maneira alternativa, esta demonstração poderia ser feita com o uso da fórmula universal para a perda de carga no escoamento laminar (também conhecida como equação de Darcy-Weisbach). Darcy-Weisbach). Por esta equação, i  f

1V

2

d 2g

,

(10)

sendo f o fator de atrito e d um diâmetro característico dos poros. Para o regime laminar, f  c Re , sendo c = constante e Re = número de Reynolds  V  d  . Daí, a expressão para a perda unitária se reescreve como: como: i

cV 2gd

2

V

, ou

2gd 2 c

i.

(11)

Donde, K 

2g d 2



c

 K 0

2g



,

(12)

sendo K 0

 d 2 c  cd 2 .

(13)

O termo K 0 é denominado permeabilidade denominado permeabilidade intrínseca. intrínseca. A medição do coeficiente K em laboratório pode ser feita, ainda, com o emprego do permeâmetro de carga variável, particularmente para solos argilosos. Esquematicamente, Esquematicamente, representa-se o permeâmetro de carga variável na Figura 11.7. Conforme o esquema, aplicandose a lei de Darcy para um tempo genérico t: Qt   K  A  ht  L .

(14)

Qt   a   dh dt  ,

(15)

Mas, o que permite escrever:

a

dh dt

h

 K  A  , L

ou

dh h

 K

A

aL

217

dt .



Figura 11.7 – Esquema Esquema ilustrativo do funcionamento do permeâmetro de carga variável

Integrando, deste o tempo t 1, onde h = h 1, até um instante t 2 = t1 + t, em que h = h 2, ou seja,



h2

h1

dh h

 K

A

aL



t2

dt

t1

obtém-se ln

h2 h1

 K

A

aL

t ,

que permite obter o coeficiente de permeabilidade 14: K 

aL A  t

ln

h1 h2

ou

K 

2 ,303a  L A  t

log

h1 h2

.

(16)

e) Armazenamento específico e coeficiente de armazenamento armazenamento - Coeficiente de armazenamento, S O volume de água liberado por um aquífero, que se caracteriza pela sua produção específica, é avaliado através do seu c oeficiente de armazenamento, armazenamento, S, que é “a parcela de água libertada por um prisma vertical de base unitária e com a mesma altura do aquífero, quando a altura piezométrica é reduzida de um comprimento unitário”. O coeficiente de armazenamento S

é adimensional.

14

Valores médios de K para alguns tipos de materiais são dados na Tabela 11.1.

218



(a) aquífero freático

(b) aquífero artesiano

Figura 11.8 – Visualização Visualização dos prismas de base unitária para a definição dos coeficientes de armazenamento em aquíferos freático (figura a) e artesiano (figura b)

O coeficiente de armazenamento S expressa a capacidade de armazenamento útil de um aquífero, por unidade de área horizontal. Nos lençóis freáticos, S aproxima-se do valor da produção específica específica (ou porosidade efetiva), efetiva), conforme ilustram os dados dados da Tabela 11.1. Valores médios típicos deste parâmetro em aquíferos freáticos estão compreendidos na faixa 0,01
- Armazenamento específico O armazenamento específico, específico, Se, representa o volume de água que pode ser liberada da unidade de volume do aquífero, correspondente ao rebaixamento unitário da altura piezométrica. Tem como dimensão [Se] = L -1, e pode ser relacionado ao coeficiente de armazenamento S segundo as expressões:  para aquíferos freáticos: S  m  Se  Pe  Pe ; (17)  para aquíferos artesianos: S  m  Se (18) sendo m a espessura do aquífero. f) Coeficiente de transmissividade O coeficiente de transmissividade do aquífero, T, é dado pelo produto do coeficiente de permeabilidade, permeabilidade, K, pela espessura espessura m de uma camada camada do material, material, isto é, T  K  m , (19) e tem como dimensão, [T] = L 2T-1. O coeficiente T é geralmente expresso em m 3(hm), ou m3/(diam). Para um aquífero de espessura m, pode-se escrever para a vazão que atravessa uma seção de altura m e largura w (equação de Darcy): Q  K  A  i  K  m  w  i  T  w  i .

219

(20)



Desta equação, define- se T como “a vazão que escoa através de uma s eção vertical do aquífero com largura de 1 metro, quando a perda de carga unitária é igual à unidade ”. A título de ilustração, a Figura 11.9 mostra a relação entre os coeficientes de transmissividade e permeabilidade. permeabilidade.

Figura 11.9 - Relação entre os coeficientes de transmissividade, T, e de permeabilidade, K.

Exemplo 11.1 (Equação de de Darcy) Darcy) Um lençol freático tem espessura média de 3,6m e é constituído de areia com coeficiente de permeabilidade igual a 40m/dia. Dois poços perfurados neste lençol, afastados entre si de 20m e situados ao longo de uma mesma linha de corrente permitiram que se constatasse um desnível desnível de 1,20m na superfície do lençol, conforme indica a Figura 11.10. Com base nessas informações, calcular: a) a vazão de escoamento do lençol, por metro linear de largura; b) o comprimento mínimo que deverá ter uma galeria de infiltração, instalada transversalmente às linhas de corrente, de modo a se poder captar a vazão de 6 /s, supondo-se que se aproveite totalmente a água em escoamento. Solução: a) Da equação de Darcy, Q  K  A  i . Como A = m w, então Q  K  m  w  i . Ou, q 

Q w

 K  m  i . Conhecidos, Conhecidos,

K = 40 m/dia = 40/(24 3600) m/s, m = 3,6m e i = 1,2/20 m/m, vem q

40 24  3600

 3 ,6 

ou q = 0,1 /(ms).

1 ,2 20

 1  10

4

m3 sm

, Figura 11.10 - Esquema para o problema exemplo 11.1

220


b) para Q = 6 /s




L = Q/q = 6/0,1  L=60m.

Exemplo 11.2 Estabelecer a expressão da vazão, por unidade de largura, para o escoamento horizontal num aquífero artesiano em direção a uma vala, sendo m a espessura média do aquífero e K o coeficiente de permeabilidade. (V. Figura 11.11) Solução: Da equação de Darcy, Q  K  A  i . Como A = m w, i  H x , q

Q w

 K  m 

H , ou x

q  T

H . x Figura 11.11 - Esquema para o problema exemplo 11.2

11.5. Hidráulica de poços Neste subcapítulo, o tratamento dado ao problema da hidráulica subterrânea é fundamentalmente voltado para o seu aproveitamento. A captação da água subterrânea pode ser feita longitudinalmente, através de galerias como no caso do problema exemplo 11.1, ou radialmente, por meio de poços. Esta última forma de captação se caracteriza por provocar o escoamento que se processa radialmente no interior do maciço poroso que contém o aqu ífero (ou lençol d’água subterrâneo). A captação feita por meio de poços pode ser realizada: a) com o aproveitamento do aquífero freático, que é o primeiro a ser encontrado quando se faz uma escavação e que, conforme já visto, contém a água no interior do maciço poroso sujeita à pressão atmosférica; ou b) com o aproveitamento do aquífero artesiano, onde a pressão da água é superior à atmosférica por se encontrar confinada entre camadas impermeáveis. De acordo com o aquífero que se utiliza como fonte de suprimento, o poço é então denominado freático ou artesiano. A título de ilustração, na Figura 11.12 apresenta-se um poço freático sofrendo a ação de um bombeamento com a vazão constante Q. Nesta figura, nota-se que na vizinhança do poço o nível d’água do lençol freático apresenta-se rebaixado. A primeira quantidade de água retirada por meio do bombeamento é proveniente do armazenamento existente no aquífero em volta do poço. À medida que o bombeamento prossegue, uma quantidade maior de água procedente de regiões cada vez mais afastadas é removida, produzindo- se depressões no nível d’água do aquífero que constituem o que se denomina cone de depressão. A profundidade de um poço de captação varia de acordo com a situação do aquífero em relação à superfície do solo.

221



Figura 11.12 – Rebaixamento e curva de depressão devido ao bombeamento em poço freático

11.5.1 Terminologia Na hidráulica de poços é utilizada a terminologia abaixo, com suas definições: a) Nível estático do poço: é o nível de equilíbrio da água no poço quando este não está sob a ação de bombeamento, nem sob a influência de bombeamento anterior, e nem sob a influência da ação de bombeamento que se processa (ou se processou) nas suas imediações. Observações: i) nos poços freáticos, o nível estático corresponde ao nível do lençol. ii) nos poços artesianos, o nível estático situa-se sempre acima do nível do lençol e, mesmo, acima do nível do terreno quando o poço é jorrante. b) Nível dinâmico do poço: é o nível da água no poço quando este está sendo bombeado, ou sofrendo a ação de um bombeamento anterior ou de um bombeamento nas suas imediações. Observações: i) Em qualquer poço (freático ou artesiano), o nível dinâmico fica abaixo do nível estático, tanto mais quanto maior for a vazão de bombeamento. ii) O nível dinâmico de maior importância é o que corresponde à vazão de projeto (vazão a ser fornecida pelo poço). Sua determinação constitui um dos aspectos importantes a considerar na hidráulica de poços. c) Regime de equilíbrio: é aquele em que o nível dinâmico fica estacionário depois de determinado tempo de bombeamento, por tornar-se a vazão do poço igual à da bomba. d) Regime não-equilibrado: é o que se inicia com o bombeamento, prosseguindo com o abaixamento do nível dinâmico até ser atingido o regime de equilíbrio. Cessado o bombeamento, reinicia um novo regime não-equilibrado, que dura até a recuperação total do poço, quando é novamente atingido o nível estático. e) Tempo de recuperação: é o tempo decorrido, desde que é cessado o bombeamento, até o instante em que o nível dinâmico, que vai sempre subindo, atinge a posição do nível estático. f) Profundidade do nível estático: é a distância medida a partir da superfície do terreno até o nível estático do poço.

222



Observação: Pela definição acima, no caso de poço jorrante, a profundidade do nível estático será negativa. g) Profundidade do nível dinâmico: é a distância que se mede do nível do terreno até o nível dinâmico do poço. h) Depressão, abaixamento ou rebaixamento de nível: é a diferença de cota entre o nível estático e o nível dinâmico do poço. i) Superfície de depressão: nos poços freáticos, é a superfície que resulta da depressão de nível do lençol em decorrência de bombeamento. Sua forma aproximada é a da superfície lateral de um tronco de cone invertido, cuja base menor é a seção do poço na posição do nível dinâmico. Observações: i) Nos poços artesianos, a superfície de depressão é imaginária e constitui o lugar geométrico dos pontos piezométricos que sofrem depressão em decorrência de bombeamento. ii) A superfície de depressão é função da vazão de bombeamento. j) Curva de depressão: é a curva que se obtém da interseção da superfície de depressão com um plano vertical que passa pelo eixo do poço. Os dois ramos da curva de depressão são geralmente assimétricos, assimetria que é mais acentuada no plano vertical paralelo ao deslocamento da água subterrânea, sobretudo em lençóis freáticos. Observação: É possível traçar a curva de depressão de um poço, desde que sejam abertos outros poços com ele alinhados e que em todos seja determinado o nível dinâmico de equilíbrio, por ocasião do bombeamento no poço em estudo. k) Zona de influência: é a zona abrangida pela superfície de depressão de um poço. É tanto maior quanto maior for a vazão de bombeamento. Observação: Qualquer outro poço que seja aberto nesta zona de influência ficará com seu nível deprimido, em decorrência do bombeamento do primeiro, depressão essa tanto maior quanto mais próximo ficar um poço do outro.

11.5.2 Bombeamento em poços freáticos e artesianos Conforme visto, de acordo com o aquífero do qual se promove o bombeamento da água, o poço pode ser denominado freático ou artesiano. O bombeamento produz as depressões do nível d’água do aquífero (ou da superfície piezométrica, em caso de artesiano), constituindo o chamado “cone de depressão”. O raio desse cone, denominado raio de influência, é uma função da vazão de bombeamento, e também varia com o tempo de bombeamento. O raio de influência, bem como a depressão de nível, cresce com o tempo de bombeamento, em taxas decrescentes, até que a capacidade de recarregamento do aquífero se equilibre com a vazão de bombeamento. 11.5.2.1 Regime de equilíbrio De acordo com o que já foi mencionado, o cone de depressão pára de crescer quando se estabelece uma situação de equilíbrio: a vazão de bombeamento iguala-se à capacidade de recarregamento. Thiem, estudando as variações do cone de depressão dentro do regime de equilíbrio, estabeleceu as expressões que correlacionam estas variações com a vazão de bombeamento dos poços freáticos e artesianos. As fórmulas de Thiem, adiante demonstradas, pressupõem que a 223



granulometria do aquífero é invariável, bem como a sua espessura, e que o poço atinge o limite inferior do aquífero (caso em que é denominado poço completo). As fórmulas de Thiem admitem, ainda, que a água no aquífero se desloca em regime laminar segundo linhas radiais que têm por centro o eixo do poço.

11.5.2.1.1 Regime de equilíbrio – Poço freático A Figura 11.13 representa um poço freático completo durante bombeamento sob vazão constante. A figura contém os elementos necessários para a obtenção da equação de Thiem.

Figura 11.13 – Poço freático sob a ação de bombeamento com vazão constante

224



Na ilustração, o regime é o de equilíbrio: o rebaixamento s é invariável no tempo. Em volta do poço, o aquífero mostra-se rebaixado em forma de funil (cone de depressão). A obtenção da curva que traduz o rebaixamento do lençol dentro da zona de influência do bombeamento pode ser feita com base na equação de Darcy. Para isto, considera-se uma superfície cilíndrica imaginária situada à distância genérica r do eixo do poço, através da qual escoa a água bombeada do aquífero. Para essa superfície, pode-se escrever: Q  V  A  K  i  A Q  2K  r  h

dh

  



dr

i  dh dr A  2 r  h Q

dr

 2K 

r

hdh

(21)

A Eq. (21) é a equação diferencial da superfície de depressão (ou do cone de depressão). Ela pode ser integrada entre dois limites quaisquer, tais como (R 0, h0) e (r, h): Q

r

dr

R 0

r





 2K 



h

hdh

r



Q ln r R

0

h0

Q

K  h2 r ln R 0



 2K   K 

 h02  

2 ,303log

h

h2

 Q ln

2

h r

h0 2

r R 0

 h 2 h 0 2    2K    2 2  

 h 0 2 .

(22)

R 0

A Eq. (22) pode, ainda, ser escrita em termos das depressões de nível, s. Para tal, faz-se: h  m  s e h 0  m  s 0 , donde Q



K  r ln R 0

m  s

2

K 

 m  s 0 2  

2 ,303log

m  s r

2

 m  s 0  2  .

(23)

R 0

Expressão para o raio de influência, R i – (aquífero freático)

Para obter uma expressão para o raio de influência R i, a Eq. (21) é integrada desde (R 0, h0) até (R i, m): Q

K  m2 R ln i R 0



 h 02  

K  m2 R ln i R 0



 m  s 0 2 

donde, ln



R i R 0

ln R i



K 

m Q

 ln R 0 

2

 m  s 0 2  

K  Q

K  Q

2m  s 0   s 0 , e

2m  s 0   s 0 ,

(24)

expressão que permite obter R i, a partir de valores conhecidos de R 0, Q, K, m, s 0. Expressão para o coeficiente de permeabilidade, K – (aquífero freático) Considere-se o bombeamento do poço freático com a vazão Q, e os rebaixamentos s 1 e s 2 no regime de equilíbrio, medidos nos poços de observação PO 1 e PO2 (Figura 11.14). A integração da Eq. (21) entre os limites (R 1, h1) e (R 2, h2) permite escrever: 

225

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior Q

K 

K  2 h2 R ln 2 R 1



Q  lnR 2 R 1 



h

2 2

 h1

2






 h 1 2 , ou Q  lnR 2 R 1 

 m  s 2   m  s1  2

2





2,303 Q  logR 2 R 1 

 m  s 2   m  s1  2

2



,

(25)

que é a expressão de cálculo do coeficiente K em aquífero freático, com base nos rebaixamentos em dois poços de observação (que funcionam como piezômetros). Caso o poço PO 1 se confunda com o poço sendo bombeado, a distância R 1 passa a ser o raio do poço R 0 e a depressão s 1 transforma-se na depressão do nível dinâmico de equilíbrio s 0 para a vazão Q. Nesse caso, calcula-se K segundo a expressão K 

2 ,303 Q  log R R 0 

m  s2  m  s 0 2 

,

(26)

na qual R e s são referidos ao poço único de observação.

Figura 11.14 – Bombeamento de poço freático – obtenção do coeficiente de permeabilidade com base nas leituras em dois poços de observação

Observações: i) Os valores do coeficiente de permeabilidade K são geralmente mais precisos quando definidos pelas determinações relativas a dois poços de observação, já que ocorre uma perda de carga na entrada do poço bombeado. Todavia, a utilização de um só poço de observação, ao invés de dois, é mais cômoda e econômica. Esta observação aplica-se também para o caso de poços em aquíferos artesianos. ii) A boa prática sugere a obtenção de um coeficiente de permeabilidade médio, K . Para isso, são necessários vários piezômetros (poços de observação) dispostos como na Figura 11.15. No caso de utilização de 4 piezômetros, recomenda-se que eles sejam dispostos com os seguintes 226



afastamentos: o primeiro a 1m do eixo do poço bombeado; o segundo a 2m do primeiro piezômetro; o terceiro a 5m de afastamento do segundo; e o quarto a 10m do terceiro piezômetro.

Figura 11.15 – Esquema ilustrativo do uso de 4 poços de observação para a obtenção de um coeficiente de permeabilidade médio do aquífero.

Aplicando-se sucessivamente a Eq. (25) para os pares de piezômetros i e j (1 e 2, 1 e 3, 1 e 4, 2 e 3, 2 e 4, 3 e 4), pode-se determinar vários valores de K i,j que permitem a obtenção do coeficiente de permeabilidade médio. Para os quatro piezômetros do esquema da Figura 11.15, K 

1 6

K 1 ,2  K 1 ,3  K 1 ,4  K 2 ,3  K 2 ,4  K 3 ,4  ,

(27)

Generalizando, para N de poços de observação, K 

1 N!

 K i, j .

(28)

2! N  2!

11.5.2.1.2 Regime de equilíbrio – Poço artesiano A Figura 11.16 representa, agora, um poço artesiano durante o bombeamento com uma vazão constante Q, em regime de equilíbrio: o rebaixamento da superfície piezométrica, em cada posição r, mantém-se invariável no tempo. O cone de depressão representado na figura constitui, na verdade, uma superfície imaginária (embora esta superfície possa ser materializada por meio da instalação de piezômetros cravados no aquífero: os piezômetros permitem a obtenção dos níveis virtuais acima do aquífero, de modo semelhante ao do poço freático).

227



Figura 11.16 – Poço artesiano sob bombeamento com vazão constante

De acordo com a lei de Darcy aplicada a uma superfície cilíndrica situada a uma distância r do eixo do poço (Figura 11.16), através da qual a água escoa com a vazão igual à de bombeamento (regime de equilíbrio), pode-se escrever:

 

Q  V  A  K  i  A , onde i 

dh

; A  2 r  m , dr

ou dh Q  2k mr dr



Q

dr r

 2k m  dh .

228

(29)



Se a Eq. (29) é integrada entre os limites do poço, (R 0, h0), e uma região que sofre a influência do bombeamento, (r, h), tem-se Q



r

dr

R 0

r

 2k   m



h h0



dh

Q ln

r R 0

 2K   mh  h 0  .

Em termos das depressões da superfície piezométrica: h0

 H  s0 ; h  H  s

h  h0



 s0  s .

Daí, Q

2K  m s 0 r ln R 0

 s 

2K  m 2,303 log

s 0  s  .

r

(30)

R 0

A Eq. (30) é a conhecida equação de Thiem para aquíferos artesianos. 

Expressão para o raio de influência, R i  (aquífero artesiano) Para a Eq. (29) integrada entre os limites (R 0, h0) e (R i, H): Q

2K  m H  h 0  . R i ln R 0

Mas, H – h0 = s0, que corresponde ao rebaixamento do nível dinâmico de equilíbrio. Logo, Q

2K m s , R i 0 ln R 0

(31)

expressão que mostra que a vazão que se pode extrair de um poço artesiano é proporcional ao desnível s0 = (H – h0 ). Esta equação, todavia, só é aplicável para desníveis (depressões) relativamente fracos e inferiores a 1/4 (H – m), isto é, para s0 < (H – m)/4. A expressão para o raio de influência, com base na Eq. (31), dá: ln 

R i R 0



2K m Q

s0



R i

 2K m  s 0   R 0  exp   Q 

(32)

Expressão para o coeficiente de permeabilidade, K – (aquífero artesiano)

Na Figura 11.17 representam-se o poço artesiano sob bombeamento e dois poços de observação (piezômetros), PO 1 e PO2, que distam R 1 e R 2 do eixo do poço bombeado. Os rebaixamentos da superfície piezométrica correspondentes aos poços PO 1 e PO2 são, respectivamente, s 1=H – h1 e s2=H – h2, sendo H a altura do plano de carga estático referida à camada impermeável inferior do aquífero artesiano. Para a Eq. (29) integrada entre os limites (R 1, h1) e (R 2, h2) obtém-se: Q

2K  mh 2

 h1 

lnR 2 R 1 



2K  ms1

 s2 

lnR 2 R 1 



2K  ms1  s 2  2,303 logR 2 R 1 

pois (h2 – h1) = (H – s2) – (H – s1) = (s1 – s2).

229

(33)



Figura 11.17 – Bombeamento de poço artesiano – obtenção do coeficiente de permeabilidade com base nas leituras em dois poços de observação

Explicitando em termos de K: K 

Q  lnR 2 R 1  2 ms1

 s2 



2,303 Q  logR 2 R 1  2 ms1  s 2 

(34)

que é a expressão para o cálculo do coeficiente de permeabilidade K do aquífero artesiano com base nos rebaixamentos em 2 poços de observação. Novamente, aqui são válidas as mesmas observações feitas no estudo da permeabilidade do aquífero freático. São válidas, também, as Eqs. (27) e (28) para a obtenção de um coeficiente de permeabilidade médio quando se utilizam vários poços de observação.

11.5.2.1.3 – Interferência de poços A interferência de dois poços ocorre quando, estando ambos submetidos ao bombeamento, suas zonas de influência coincidem parcialmente. Na prática, para que não haja interferência entre dois poços que funcionarão simultaneamente com a mesma vazão Q, procurase determinar a distância mínima que deve existir entre eles. Para tanto, utilizam-se as equações de Thiem para obter o raio de influência R i, na forma das Eq. (24) ou (32), conforme o aquífero seja freático ou artesiano. Para que um poço não esteja localizado na região de influência do outro, a distância mínima entre eles será então 2 xR i. Se os poços se distanciarem um do outro de um valor inferior a 2 xR i, forçosamente haverá interferência.

11.5.2.2 Regime não equilibrado O regime não equilibrado (regime não permanente), que se inicia com o bombeamento, caracteriza-se pelo rebaixamento do nível dinâmico e termina quando o regime de equilíbrio é atingido: o nível d’água do poço, inicialmente n o nível estático, estabiliza-se no nível dinâmico de equilíbrio sob a vazão de bombeamento constante.

230



Para escoamentos permanentes, admitindo-se a água incompressível e a estrutura do aquífero indeformável, pode ser mostrado que o laplaciano da carga hidráulica é nulo: 2h = 0 (aquífero de espessura e permeabilidade constantes). Ou, em coordenadas cartesianas,

 2h  2h   0. x 2 y 2 Em coordenadas polares,

 2 h 1 h   0. r 2 r r Na realidade, ao se iniciar a explotação da água de um aquífero artesiano, uma parcela importante da alimentação do poço provém da descompressão da água na zona de redução de pressão e de compactação do estado saturado. Essa ação atinge gradualmente as regiões mais afastadas do local de bombeamento na medida em que se prolonga no tempo o processo de extração da água. Em um aquífero de extensão infinita, as condições de equilíbrio não poderão ser atingidas em um tempo finito. Para as condições de escoamento não permanente (regime não equilibrado) em um aquífero compressível, a aplicação da equação da continuidade a um volume de controle concêntrico com um poço, produz a equação diferencial T

 2 h  S h t

(35)

Em coordenadas cilíndricas:

 2 h 1 h S h   (36) 2 r r T t   r em que S = coeficiente de armazenamento, adimensional; T = coeficiente de transmissividade, T= L2 T-1; e h é a carga hidráulica (h = z + p/ ), h= L. A Eq. (36) pode, ainda, ser escrita em termos do rebaixamento s (s = H – h, para o aquífero artesiano). Assim:  2 s 1 s S s   r 2 r r T t

(37)

Fórmula de Theis O resultado da integração, que exprime o rebaixamento da superfície piezométrica em um poço de observação situado à distância r do ponto de bombeamento (Figura 11.18), em função do tempo, conhecido como fórmula de Theis 15, é obtido da analogia entre o escoamento da água subterrânea e a condução de calor, considerando as condições iniciais e de contorno: 

i 

sr ,0  0

(ii)

s, t   0 Q s lim r   r 0 r 2T

iii 

(38)

A clássica solução apresentada por Theis é do tipo:

15

Fórmula obtida por Charles Vernon Theis em trabalho desenvolvido para o US Geological Survey, em 1935, apoiando-se na literatura existente para a transferência de calor, com o auxílio matemático de C. I. Lubin.

231

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior s  Hh



Q 4T




 u

e u u

du

(39)

ou s

Q 4T

Wu 

(40)

onde Wu   função do poço





 u

e

u

u

du

(41)

sendo 2

u



r S 4Tt

.

(42)

Os valores de W(u) podem ser encontrados pelo desenvolvimento da série convergente: W( u ) 



 u

e u u

du  0,5772  ln u  u  u

2



u3 3  3!



u4 4  4!



(43)

Com base nesta série, podem ser construídas tabelas de valores da função do poço W(u) em função da variável u, definida pela Eq. (42). Uma tabela muito utilizada é a Tabela 11.2 de Wenzel.

Figura 11.18 – Poço artesiano submetido a bombeamento sob vazão constante e rebaixamento s observado em poço de observação localizado à distância r do eixo do poço bombeado.

232



Tabela 11.2 - Tabela de Wenzel (1942) para os valores da função do poço, W(u), em termos de u.

u

1,0

2,0

3,0

4,0

1 -1 x 10

0,219 1,82 4,04 6,33 8,63 10,95

0,049 1,22 3,35 5,64 7,94 10,24

0,013 0,91 2,96 5,23 7,53 9,84

0,0038 0,70 2,68 4,95 7,25 9,55

13,24 15,54 17,84 20,15 22,45

12,55 14,85 17,15 19,45 21,76

12,14 14,44 16,74 19,05 21,06

11,85 14,15 16,46 18,76 20,84

11,63 13,93 16,23 18,54 20,66

11,45 13,75 16,05 18,35 20,66

11,29 13,60 15,90 18,20 20,50

11,16 13,46 15,76 18,07 20,37

11,04 13,34 15,65 17,95 20,25

24,75 27,05 29,36 31,66 33,96

24,06 26,36 28,66 30,97 33,27

23,65 25,95 28,26 30,56 32,86

23,36 25,66 27,97 30,27 32,58

23,14 25,44 27,75 30,05 32,35

22,96 25,26 27,56 29,87 32,17

22,81 25,11 27,41 29,71 32,02

22,67 24,97 27,28 29,58 31,88

22,55 24,86 27,16 29,46 31,76

x

10-2

x

10-3 -4 x 10 x

10-5

x

10-6

x

10

x

-7

10-8

x

10-9 -10 x 10 x

10-11 -12 x 10 x

10-13 -14 x 10 x

10-15

x

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0,00114 0,00036 0,00012 0,000038 0,000012 0,56 0,45 0,37 0,31 0,26 2,48 2,30 2,15 2,03 1,92 4,73 4,54 4,39 4,26 4,14 7,02 6,84 6,69 6,55 6,44 9,33 9,14 8,99 8,86 8,74

u  r 2S 4Tt 

Fórmula de Theis modificada por Jacob Estudos realizados por C. E. Jacob (1940) em torno da equação de Theis (Eq. 40) para o regime não equilibrado levaram-no a concluir que, para valores suficientemente pequenos de u, pode-se considerar, com boa aproximação, a Eq. (43) limitada aos seus dois primeiros termos: 

Wu  



 u

e u u

du  0 ,5772  ln u .

(44)

Assim, para um tempo suficientemente longo (o que equivale a u pequeno), Jacob reescreveu a equação de Theis na forma aproximada: s

Q 4T

Wu  

Q 4T

 0 ,5772  ln u  .

(45)

Fazendo-se 0,5772 = ln x, tem-se x = 0,56147. Logo,

 0 ,5772  ln u  ln 0 ,56147  ln u  ln0,56147 u  . Então, s

Q 4T

ln

0 ,56147 u



Q log 0 ,56147 u  4T

log e

Lembrando que u  r 2S 4Tt  , vem

233



2 ,303 Q 4 T

log

0,56147 u

.

Elementos de Hidrologia Aplicada Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior s

0 ,183Q

s

0 ,183Q

T


 4  0 ,56147  T  t   r 2  S  

log 

ou log

T

2 ,25 T t r 2S

.

(46)

A Eq. (46) é a fórmula de Theis simplificada por Jacob para o rebaixamento em um poço de observação à distância r do poço sob bombeamento. A fórmula é válida para t suficientemente grande (ou u pequeno). Na prática, para u < 0,01, os valores da Eq. (46) são praticamente idênticos aos da Eq. (39).

11.5.2.2.1 Determinação dos coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S) com base na fórmula de Theis simplificada por Jacob Processo tempo-abaixamento As características de um aquífero podem ser determinadas a partir do levantamento de um conjunto de pares de valores do rebaixamento e tempo correspondente, (s i, ti), sendo o tempo contado a partir do início do bombeamento. Este método de determinação das características do aquífero é conhecido como processo tempo-abaixamento. 

Para uma representação gráfica conveniente, os rebaixamentos observados em função do tempo são plotados em papel monolog : os valores dos rebaixamentos s são lançados em ordenada, na escala aritmética, e os valores dos tempos de observação t em abscissa, na escala logarítmica. Para grandes períodos de duração (que implica em pequenos valores de u), os dados dispõem-se segundo uma reta. Com efeito, reescrevendo-se a Eq. (46), s

0 ,183Q T

log t 

0 ,183Q T

log

2 ,25 T r 2S

(47)

que é do tipo y = ax + b. Pela Eq. (47), a declividade da reta em gráfico de s versus log t é igual a 0,183Q/T. O coeficiente de transmissividade pode ser calculado a partir de dois pares de valores de s e t, situados sobre a reta s = f (log t): - para o instante t 1,

s1



0 ,183Q

- para o instante t 2,

s2



0 ,183Q

T

T

log t 1  log t 2

0 ,183Q



T

log

0 ,183Q T

2 ,25 T

log

r 2S 2 ,25 T r 2S

.

Fazendo s2 – s1, resulta s2

 s1 

0 ,183Q T

log

t2 t1

e T

0 ,183Q s2

 s1

log

t2 t1

.

(48)

Se, por conveniência, é escolhido t 2 = 10t1, T

0,183Q s2

 s1

.

(48.1)

234



Na Figura 11.19 são representados os rebaixamentos s 1 e s2 no poço de observação, correspondentes aos instantes t 1 e t2 como acima indicado.

Figura 11.19 – Rebaixamentos observados em um poço de observação em dois instantes sucessivos.

O coeficiente de armazenamento também pode ser estimado com base em construção gráfica de s versus log t (ou de s versus t, em papel monolog ). Por exemplo, no gráfico em papel monolog (Figura 11.20), extrapola-se a tendência linear para obter o tempo t 0 correspondente ao rebaixamento s = 0. Assim, com base na Eq. (46), para s = 0 (rebaixamento nulo), tem-se 2 ,25Tt 0 r 2S

 1,

uma vez que Q0. Conhecido o coeficiente T, pode-se escrever S

2,25Tt 0 r 2

.

(49)

Figura 11.20 – Construção da curva rebaixamento versus tempo em papel monolog para a obtenção dos coeficientes de transmissividade, T, e armazenamento, S.

235



Pela sua simplicidade, as Equações (48) e (49) devidas a Jacob constituem uma ferramenta útil para a determinação das características do aquífero. Numa alternativa à construção gráfica, pode-se também empregar a análise de regressão para obter os coeficientes T e S, contanto que se utilizem valores suficientemente grandes de t que garantam u < 0,01.

11.5.2.2.2 Determinação dos coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S) com base na expressão geral de Theis Quando o tempo de duração do bombeamento não é suficientemente longo para permitir a definição da assíntota logarítmica (V. Figura 11.20), deve-se fazer uso da expressão geral de Theis, dada pela Eq. (39) ou Eq. (40). Para essa condição, Theis desenvolveu um método gráfico baseado na proporcionalidade entre W(u) e s e entre u e r2/t: s

Q 4T

Wu 



Wu   C1  s

2

u



(50)

2

r S



t 4T

u

 C2 

r t

O método consiste em comparar a curva descritiva do comportamento de W(u) em função de u (chamada “curva-tipo”), traçada em papel log -log (ou papel bi-log ), com a curva experimental de s em função de r 2/t, desenhada na mesma escala. Assim, ao término do teste de bombeamento, com os pares de valores dos rebaixamentos em função do tempo obtidos no poço de observação, procede- se da seguinte forma: a) em papel log – log transparente, plotam-se os pares de valores de s e r2/t, onde r é a distância entre os eixos dos poços de observação e de bombeamento e t é o tempo em que é medido o rebaixamento s; b) em papel log – log opaco, lançam-se os pares de valores de W(u) e u, isto é, constrói-se a “curva tipo”. (Observar que o tamanho de cada “ciclo” do papel log-log deve ser igual ao correspondente do gráfico anterior); c) em seguida, sobrepõem-se os dois gráficos (naturalmente, com o papel transparente sobre o papel opaco), mantendo-se os eixos W(u) e s(t) paralelos. Ajusta-se o papel transparente até que a maioria dos rebaixamentos observados caia sobre a “curva tipo”. (Observar que os

eixos correspondentes devem manter-se paralelos durante o deslocamento em busca do melhor ajuste); d) seleciona-se um ponto arbitrário (não necessariamente sobre a “curva tipo”) e anotam-se, para este ponto, os valores de u e W(u) do papel opaco, e os correspondentes r 2/t e s do papel transparente. Esses pontos são designados u 0 e W0(u), e (r 2/t)0 e s0; e) finalmente, calculam-se os coeficientes de transmissividade, T, e armazenamento, com o uso das Equações (40) e (42) e as coordenadas acima determinadas: T

Q

W0 u 

4s 0

(51)

e S

4T u 0

r t  2

.

(52)

0

236



Cumpre observar que os métodos de Theis e Jacob aplicam-se, a rigor, a aquíferos artesianos. A sua utilização em aquíferos livres (poços freáticos) poderá fornecer valores aceitáveis se os rebaixamentos de nível forem pequenos relativamente à espessura do lençol.

Exemplo 11.3 Ao lado de um poço artesiano (A), com o diâmetro de 8 pol (200mm), foi instalado um poço de observação (B), situado à distância entre eixos de 110m. Posta uma bomba a funcionar no poço (A) com vazão constante de 120m 3/h, o nível dinâmico no poço de observação sofreu os rebaixamentos indicados na Tabela 11.3. Pelo processo de tempo-abaixamento, determinar: a) os coeficientes de transmissividade e armazenamento; e b) a depressão de nível do poço (A) para uma vazão de projeto de 180m 3/h. Tabela 11.3 – Valores de depressão do nível de água no poço de observação (B) tempo (min)

depressão (cm)

tempo (min)

depressão (cm)

tempo (min)

depressão (cm)

1,0 2,0 3,0 4,0

4,3 10,2 14,3 18,0

9,0 10,0 12,0 15,0

29,3 31,2 32,8 36,2

50,0 60,0 80,0 100,0

54,0 57,2 60,5 64,4

5,0 6,0

22,7 23,5

20,0 25,0

40,3 43,7

120,0 240,0

67,3 78,0

7,0 8,0

25,2 26,8

30,0 40,0

45,9 50,8

Solução: Dados:

R 0 = 100 mm = 0,1 m r = 110 m Q b = 120 m3/h Rebaixamento s, em função do tempo, conforme a Tabela 11.3. Pede-se: coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S); s p = ? para Q = 180 m 3/h (de projeto) Calcula-se, inicialmente, o coeficiente de transmissividade, T: - para t = t1  s  s1 

0 ,183Q b

- para t = t2  s  s 2 

0 ,183Q b

-

 s1 

0 ,183Q b

T T t2



log

2 ,25Tt 1

log

r 2S 2 ,25Tt 2

T

r 2S 0 ,183Q b

t2

. t1  s1 Escolhendo se, da reta traçada no papel mono-log (Figura 11.21), t1 e t2 tais que t 2 = 10 t1 (log t2/t1 = 1) t 1  10 min  s1  30 ,0 cm  s 2  s1  34 ,5cm  0 ,345m  t 2  100 min  s 2  64 ,5 cm Logo, s2

T

log

t1

s2

log

237



Figura 11.21 – Curva rebaixamento versus tempo, em papel monolog, construída com os dados da Tabela 11.3, para a obtenção dos coeficientes de transmissividade, T, e de armazenamento, S.

0 ,183Q b

T

s2

 s1

0 ,183  120



0 ,345



T  63 ,65

m3 h m

.

Pode-se, agora, determinar o coeficiente de armazenamento, S: -

Com base no modelo matemático aproximado, para s = 0  t = t0 s0

0 ,183Q b T

log

2 ,25Tt 0 2

r S



2 ,25Tt 0 2

r S

1 

S

2,25Tt 0 r 2

,

que é a Eq. (49) anteriormente obtida. Do gráfico da Figura 11.21 construído em papel mono-log , encontra-se t0  1,4min = 0,02333h. Então, S

2 ,25Tt 0 r 2



2 ,25  63 ,65  0 ,02333 110 2



S  0 ,000276 .

Obtidos os valores de T e S, emprega-se a equação de Theis simplificada por Jacob para estimar o rebaixamento no poço para a vazão de projeto de 180m 3/h: 0 ,183Q projeto

2 ,25Tt

s p



s p

 3 ,9925  0 ,5175log t .

T

log

2

r p S



0 ,183  180 63 ,65

log

2 ,25  63 ,65  t 0 ,12  0 ,000276

Atribuindo-se valores crescentes a t, a partir de t=2h, constrói-se a Tabela 11.4. Por estes resultados, pode-se tomar, por segurança, s p

 5,0m .

238



Tabela 11.4 – Evolução da depressão de nível em função do bombeamento tempo (h)

depressão, sp (m)

tempo (h)

depressão, sp (m)

tempo (h)

depressão, sp (m)

tempo (h)

depressão, sp (m)

2 4 6 8 10

4,15 4,30 4,40 4,46 4,51

12 14 16 18 20

4,55 4,59 4,62 4,64 4,67

22 24 26 28 30

4,69 4,71 4,73 4,74 4,76

32 34 36 38 40

4,77 4,79 4,80 4,81 4,82

BIBLIOGRAFIA LEME, Francílio Paes (1984). Engenharia do Saneamento Ambiental . Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora. DAKER, Alberto (1983). Captação, Elevação e Melhoramento da Água. A Água na Agricultura – 2o volume, 6a edição. Livraria Freitas Bastos. LENCASTRE, Armando (1983). Hidráulica Geral . Edição Luso-Brasileira. Hidroprojecto. Coimbra, Portugal. TUCCI, Carlos E. M. – organizador (1993). Hidrologia: Ciência e Aplicação. Coleção ABRH de Recursos Hídricos. Porto Alegre: Ed. da UFRGS; ABRH; EDUSP. VILLELA, Swami Marcondes & MATTOS, Arthur (1975). Hidrologia Aplicada. S. Paulo: McGraw-Hill do Brasil. HAMMER, Mark J., (1986). Water and Wastewater Technology. John Wiley & Sons.

239



EXERCÍCIOS 11.1) Um poço está sendo utilizado para rebaixar o nível do lençol freático. Sabe-se que o aquífero tem 20 metros de espessura média, permeabilidade K=15m/dia e armazenamento S=0,005. Estimar o valor do rebaixamento a 7m de distância do poço bombeado ao final de um dia de bombeamento ininterrupto. Dado: vazão de bombeamento, Q=2.725m 3/dia. 11.2) Um poço é bombeado por um período muito longo com uma taxa de 74 /s de um aquífero confinado. Uma diferença de elevação da superfície piezométrica de 1,42m é observada em dois piezômetros localizados às distâncias de 6m e 46m do poço bombeado. Calcule a transmissividade do aquífero. 11.3) Para o abastecimento de água de uma cidade estão previstos três poços artesianos, cada um devendo fornecer a vazão de 36m 3/h. Determinar a menor distância que deve existir entre eles para que não haja interferência mútua. Considere os seguintes dados: coeficiente de permeabilidade, K=0,13m/h; espessura média do lençol, m=19,20m; depressão do nível dinâmico de equilíbrio para a vazão dada, s 0 = 15,70m; diâmetro do poço, d 0 = 150mm. R: 140m. 11.4) Para a determinação dos coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento (S) de um aquífero confinado, foi realizado um teste de bombeamento sob vazão de 2,0m 3/min. Em um poço de observação, cujo eixo dista do eixo do posto bombeado de 110m, foram medidos os rebaixamentos ao longo do tempo, conforme a tabela abaixo. Calcular T e S pelo método do R: T=1,06m2/min; S=2,76x10-4. tempo-rebaixamento. Tabela – Valores da depressão do nível d’água no poço de observação tempo (min)

depressão (cm)

tempo (min)

depressão (cm)

tempo (min)

depressão (cm)

1 2 3 4 5 6 7

4,3 10,2 14,3 18,0 22,7 23,5 25,2

8 9 10 12 15 20 25

26,8 29,3 31,2 32,8 36,2 40,3 43,7

30 40 50 60 80 100 120 240

45,9 50,8 54,0 57,2 60,5 64,4 67,3 78,0

11.5) Durante um teste em um aquífero livre, foram obtidos os valores abaixo do rebaixamento em função do tempo em um poço de observação localizado a 20m do poço bombeado. Estimar os coeficientes de transmissividade e armazenamento do aquífero, sabendo-se que a vazão de R: T=0,814m2/min; S=5,3x10-2 bombeamento é de 31,2/s. Tabela – Valores da depressão do nível d’água no poço de observação tempo (min)

Rebaixamento (m)

tempo (min)

Rebaixamento (m)

tempo (min)

Rebaixamento (m)

4,5 7,5 8,5 16,0 24,0

0,025 0,050 0,055 0,110 0,170

26,5 36,0 64,0 97,0 162,0

0,180 0,220 0,300 0,370 0,450

258,0 408,0 488,0 513,0

0,530 0,620 0,640 0,650

11.6) Um aquífero foi ensaiado com a vazão de bombeamento do poço, Q=0,050m 3/s. Em um poço de observação, cujo eixo dista 100 metros do eixo do poço bombeado, registraram-se os seguintes rebaixamentos ao longo do tempo de ensaio: 240

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