ESTATÍSTICA 1. CO CONC NCEI EIT TOS BÁS BÁSIC ICOS OS
Populaç População ão - é o conjunto de elementos (pessoas, coisas, objetos) que têm em comum uma característica em estudo. A população pode ser: i. Finita: quando apresenta um número limitado de indivíduos. Ex.1 a população constituída por todos os parausos produ!idos em uma "brica em um dia. Ex. 2 nascimento de crianças em um dia em #ovo $ambur%o. ii. Infinita: quando o número de observaç&es or ininito. Ex. a população constituída de todos os resultados (cara e coroa) em sucessivos lances de uma moeda.
Ao!t"a - é o conjunto de elementos retirados da população, suicientemente representativos dessa população. Através da an"lise dessa amostra estaremos aptos para analisar os resultados da mesma orma que se estud"ssemos toda a população.
O#!. A amostra é sempre inita. 'uanto maior or a amostra mais si%niicativa é o estudo.
caracterís rístic ticaa numéri numérica ca estabe estabelec lecida ida para para toda toda uma Pa"$%t"o - é uma caracte população.
E!tia&o" - é uma característica numérica estabelecida para uma amostra.
'a&o E!tat(!ti)o - é sempre um número real. a P"iit P"iiti*o i*o ou B"uto: B"uto: é aquele que não soreu nenuma transormação matem"tica. #úmero direto. b Ela# aquele le qu quee sor soreu eu tran trans sor orma maçã çãoo Ela#o"a o"a&o &o ou !%)un !%)un&+ &+"i "io: o: é aque matem"tica. *+. porcenta%em, média, etc.
2. A,,E A,,E'O 'ON' N'A AEN ENTO TO 'E 'E 'A'O 'A'OS S
'uando o primeiro al%arismo al%arismo aps aquele que vai ser arredondado or -, , /, 0 e 1 despre!ase este al%arismo e conservase o anterior.
*+emplo: 2,300425 6 2,307
35,51843- 6 35,5.
/
'uando o primeiro al%arismo aps aquele que vai ser arredondado or 2, 8, 3, 5 e 4 aumentamos uma unidade no al%arismo anterior.
*+emplo: 2,302425 6 2,317
35,55843- 6 35,4.
. 'I/IS0O 'I/IS0O 'A ESTA ESTATÍSTICA TÍSTICA 9odemos dividir a *statística em duas "reas:
*sta *statí tíst stic icaa e escr scrit itiv ivaa ; é < part partee da *sta *statí tíst stic icaa qu quee tem tem po porr objet objetiv ivoo descrever os dados observados e na sua unção dos dados, tem as se%uintes atribuiç&es.
i. A o#t%nção ou )ol%ta &% &a&o! é normalmente eita através de um question"rio ou de observação direta de uma população ou amostra. ii. A o"ani3ação &o! &a&o! consiste na ordenação e crítica quanto < correç correção ão dos dos valore valoress observ observad ados, os, al alas as umana umanas, s, omis omiss&e s&es, s, abandono de dados duvidosos. iii. A "%p"%!%ntação &o! &a&o! os os dados estatísticos podem ser mais acilmente compreendidos quando apresentados através de tabelas e %r"ico %r"icos, s, que permit permitee uma visuali visuali!açã !açãoo instant instant=ne =neaa de todos os dados. *statística >ndutiva ; é < parte da *statística que tem por objetivo obter e %enerali!ar conclus&es para a população a partir de uma amostra, através do c"lculo de probabilidade. A tais conclus&es estão sempre associados a um %rau de incerte!a e conseq?entemente, a uma probabilidade de erro.
4. /A,IÁ/ IÁ/EIS @ma vari"vel é qualquer característica de um elemento observado (pessoa, objeto ou animal). Al%umas vari"veis, como se+o e desi%nação de empre%o, simplesmente enquadram os indivíduos em cate%orias. cate%orias. utras, como altura e renda anual, tomam valores numéricos com os quais podemos a!er c"lculos. s e+emplos acima nos di!em que uma vari"vel pode ser:
a 5ualitati*a: quando seus valores são e+pressos por atributos: se+o (masculino ; eminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermela)7 # 5uantitati*a: quando seus valores são e+pressos em números (sal"rios dos oper" ope r"ri rios, os, idad idadee dos dos aluno alunoss de uma uma escol escola, a, nú núme mero ro de il ilos os,, etc. etc.). ). @ma @ma vari vari"v "vel el quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o
0 nome de *a"i+*%l *a"i+*%l )ont(nua )ont(nua (altura, peso, etc.)7 uma vari"vel que s pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumer"vel recebe o nome de *a"i+*%l &i!)"%ta (número de ilos, número de vitrias).
Ex%")()io! . Blassi Blassiiq ique ue as vari"vei vari"veiss abai abai+o: +o: (a) Cempo para para a!er a!er um teste. teste. (b) #úmero #úmero de alunos alunos aprovados aprovados por turma. turma. (c) #ível #ível scioecon scioeconDmi Dmico co (d) '> ('uociente ('uociente de de inteli%ênc inteli%ência). ia). (e) Ee+o () Fastos Fastos com com alime alimenta ntação ção.. (%) pinião pinião com relação relação < pena pena de morte morte () Geli Geli%i %ião ão (i) Halor alor de um imvel imvel (j) Bon Boncei ceitos tos em certa certa disci discipli plina na (I) Blassiicação Blassiicação em um concurso. concurso. /. >denti >dentiiq ique ue e classi classiiq ique ue as vari vari"ve "veis: is: a) Cabela abela de cd cdi%o i%oss de declaraç declaração ão de ben benss e direit direitos os de imvei imveis: s: ; Apartame Apartamento nto77 / Basas7 0 ; Cerrenos7 1 ; Cerra nua7 2 ; Ealas ou lojas7 8 ; Bonstrução7 3 ; Jeneitorias7 4 ; utras7 (eclaração de Ajuste Anual, >nstruç&es de 9reencimento, >mposto de Genda, 9essoa Kísica, 444) b) L euro começa a circular com 0 bil&es de notas em sete valores(2, -, /-, 2-, --, /-- e 2--)...A cuna%em de 32 bil&es de moedas de e / euros e de , /, 2, -, -, /- e 2- centa centavos vos de euro euro impl implic icar ar"" uma uma troca troca comp comple leta ta de m"qui m"quina nass e equipamentos de venda de jornais,caé e reri%erantes.M (Gevista Npoca, Ano , nO 00 , 1PP444) c) L*m sete sete deliciosos deliciosos sabores: sabores: tan%erina, tan%erina, Qaranja, Qaranja, maracuj", maracuj", limalim limalimão, ão, carambola, carambola, abaca+i e maçã verde.M ( Anúncio de um preparado slido artiicial para reresco) d) L A partir partir de 444, 444, as decla declaraç& raç&es es de >mpost >mpostoo de Genda Genda dos contri contribui buinte ntess com patrimDnio de até GR /- mil poderão ser eitas por teleone.M (Gevista época, ano , nO 00, 1PP444) e) 'ua 'uanti ntidade dade de sabores de reresco reresco con consumi sumida da em determ determina inado do estabelec estabelecime imento nto no im de semana7 ) *m /5 de de!emb de!embro ro de 445, 445, a Kola Kola de E. 9aul 9auloo public publicou ou a class classi iic icaçã açãoo do doss preeitos de nove capitais brasileiras. As notas, em uma escala de - a -, oram as se%uintes: Buritiba 8,37 Gecie, 8,27 9orto Ale%re, 8,17 Klorianpolis, 8,17 Ealvador, 8,07 Kortale!a, 2,27 Jelo $ori!onte, 2,17 Gio de Saneiro, 2,1 e Eão 9aulo,0,1.
1
AP,ESENTA60O 'E 'A'OS ESTATÍSTICOS AP,ESENTA60O TAB78A, A apresenta apresentação ção de dad dados os estatí estatísti sticos cos na orma orma tabula tabularr consist consistee na reunião reunião ou %rupamento dos dados em tabelas ou quadros com a inalidade de apresentalos de modo ordenado, simples e de "cil percepção e com economia de espaço.
Copon%nt%! B+!i)o! *m termos %enéricos, %enéricos, uma tabela tabela se comp&e dos se%uintes se%uintes elementos elementos b"sicos: T(tulo Babeçalo
>ndicadora de Boluna
Basa
B o l u n a
Qina
,o&ap9
Ex%plo: B"a!il - E!tiati*a &% População 43- ; 38 Ano População 1;;;
P"in)ipai! El%%nto! &% ua Ta#%la
T(tulo T(tulo:: Bonjunto de inormaç&es, as mais completas possíveis, locali!ado no topo da tabela, respondendo u?@ On&%@ 5uan&o@ Ca#%çal
2
Coluna In&i)a&o"a: 9arte da tabela que especiica o conteúdo das linas. 8in
Eéries Cemporais ou Bronol%icas: são aquelas nas quais os dados são reunidos se%undo o tempo que varia, permanecendo i+os o local e a espécie. 9rodução de petrleo bruto ; Jrasil Ex%plo: 488 ; 43-. Anos nos 'uant uantiidade dade (cmT (cmT)) 488 8.315.554 483 5.2-5.515 485 4.2-4.804 484 -.84.20 434.852.81 Konte Jrasil em dados.
Eéries Feo%r"icas: são aquelas nas quais os dados são reunidos se%undo o local que varia permanecendo i+os o tempo e a espécie. Gebanos bovinos ; Jrasil Ex%plo: 43-. Ge%i&es Jovinos (---) #orte /.0/ #ordeste /-.41 Eudeste 02.// Eul 5.3-/ Bentrooeste 2.82/ Konte Jrasil em dados.
8
Eéries *specíicas: são aquelas nas quais os dados são reunidos se%undo o espécie que varia permanecendo i+os o tempo e o local. 9rodução pesqueira (mar) ; Jrasil Ex%plo: 484. >tens 9rodução (ton.) 9ei+es 0 1 Brust"ceos 8/ Uoluscos 0 Uamíeros / Konte Jrasil em dados.
Eéries Bomposta ou Uista: é a combinação de dois ou mais undamentais de séries estatísticas. *+emplo: Feo%r"ica ; Cemporal. Cemporal. *volução do transporte de car%a marítima marítima nas 1 principais principais bacias brasileiras Jrasil 485; 43-. Anos Jacias 4 85 48 4 4 3/00.385V 0/1.0208.223 Ama!Dnica 8.530 /-./3/ /-./18 #ordeste 33.3-2 /-0.488 /-.181 9rata 20.1/ 15.883 23.415 Eão Krancisco Konte Jrasil em dados. V s dados estão em toneladas.
A apresentação tabular de dados estatísticos é normali!ada pela resolução nO 558 de /8/8-4 488 88 do Bo Bonse nsel loo #a #aci ciona onall de *sta *statí tíst stic icaa a im im de un uni iorm ormi! i!ar ar a apresentação de dados. *W*GBXB>E Ex%")()io 1: e acordo com o >JF* (455), em 458 ocorreram, em acidentes de tr=nsito, /30-8 casos de vítimas atais, assim distribuídos: 3/ pedestres, 38 passa%eiros e 5135 condutores. condutores . Kaça uma tabela para apresentar esses ess es dados. Uinistério dos transportes, transportes, em 445, o tamano tamano das Ex%")()io Ex%")()io 2: e acordo com o Uinistério malas de transporte no Jrasil é, assim distribuído: 0/-15- Im de Godovias (estradas municipais não estão incluídas), /43-- Im de Kerrovias (inclui as linas de trens urbanos) e 1---- Im de $idrovias (desse total, apenas 5--- Im estão sendo usados de ato). Kaça uma tabela para apresentar esses dados. acordoo com Uini Uinist stéri érioo da *duc *ducaç ação ão a qu quant antid idad adee e aluno alunoss Ex%" Ex%")( )()i )ioo : e acord matriculados no ensino de O %rau no Jrasil nos de 44- a 448 em milares de alunos, são: 4.3/- ; /-.283 ; /.130 ; /.553 ; /-.245 ; //.130 ; /0.281. Kaça uma tabela para apresentar esses dados.
3
Ex%")( Ex%")()io )io 4: *stabelecimentos de ensino da re%ião norte do Jrasil em 45/. A re%ião norte subdividese em: GondDnia, Acre, Ama!onas, Goraima, 9ar" e Amap" e possuem um total de /4, 0, 35, 1, - e 4 estabelecimentos de ensino, respectivamente, se%undo o U*B. . Kaça uma tabela para apresentar esses dados. Ex%")( Ex%")()io )io : e acordo com o >JF*(455), a distribuição dos suicídios ocorridos no Jrasil em 458, se%undo a causa atribuída, oi a se%uinte: /80 por alcoolismo, 45 por diiculdade inanceira, 3-- por doença mental, 54 por outro tipo de doença, 18 por desilusão amorosa e /3 por outras causas. Apresente essa distribuição em uma tabela.
Ex%")()io : Uuitos sistemas escolares ornecem o acesso a >nternet para seus estudantes oje em dia. esde 448, o acesso Y >nternet oi acilitado a /.300 escolas elementares, 3./58 escolas do nível médio e -.85/ escolas de nível superior (Etatistical Abstract o @nited Etates, 443). *+iste nos *stados @nidos um total de 2.312 escolas elementares, 1.-/ escolas do nível médio e 3.//4 escolas do nível superior.
Ex%")()io D: A cance de uma campana publicit"ria atin%ir sucesso a ponto de ser comentada nas ruas e até incorporada ao vocabul"rio da população é muito bai+a. e acordo com estudos essa probabilidade se altera de acordo com o meio de comunicação utili!ado. #uma amostra de 0-.--- campanas publicit"rias de G"dio (5mil), CH (-mil) e G"dioZCH (/mil), veriicouse que, das /5-- que atin%iram tal sucesso, /-- oram veiculadas no r"dio e na CH e 2-- apenas no r"dio.
Ex%")()io : Blassiique as séries dos e+ercícios até 2. >ECG>J@>[\ * KG*'@]#B>A N o tipo de série estatística na qual permanece constante o ato, o local e a época. s dados são colocados em classes préestabelecidas, re%istrando req?ência. ividese em duas partes: istribuição de Kreq?ência Kreq?ên cia >ntervalar (Har. (Har. Bontínua) (Har. iscreta) istribuição de Kreq?ência 9ontual (Har.
'i!t"i#uição &% F"%>?n)ia Int%"*ala" N um método de tabulação dos dados em classes, cate%orias ou intervalos, onde teremos uma melor visuali!ação e aproveitamento dos dados. *+emplo: Nota! &o )u"!o &% Ci?n)ia &a Coputação na &i!)iplina &% 9ro%ramação > de uma dada Kaculdade #otas #O de *studantes 2 ^ 8 5 8 ^ 3 2 3 ^ 5 / 5 ^ 4 -0 4 ^-/
5 *lementos 9rincipais: a) Blasse ; é cada um dos intervalos em que os dados são a%rupados. b) Qimites de classes são os valores e+tremos de cada classe. li 6 limite inerior de uma classe7 Qi 6 limite superior de uma classe. c) Amplitude ; é a dierença entre o maior valor e o menor valor de certo conjunto de dados. 9ode ser reerida ao total de dados ou a uma das classes em particular. Amplitude Cotal (At) ; é calculada pela se%uinte e+pressão: At 6 Ua+. (rol) ; Uin.(rol).
Amplitude das classes () ; é a relação entre a amplitude total e o número de classes, conorme mostra a e+pressão a se%uir: h
Máx(rol ) Mín.(rol ) n
, onde n é o número de intervalos de classe.
d) 9onto médio de classe (+i) é calculado pela se%uinte e+pressão: xi
Li
l i /
e) Kreq?ência absoluta ( i) req?ência absoluta de uma classe de ordem i, é o número de dados que pertencem a essa classe. ) Kreq?ência Kreq?ência relativa (r i) req?ência req?ência relativa de uma classe de ordem i, é o quociente da req?ência absoluta dessa classe ( i), pelo total, ou seja, fr i
f i Total
O#!: a soma de todas as req?ências absolutas é i%ual ao total. %) Kreq?ência acumulada acumulada (Ki) req?ência acumulada de uma classe de ordem i, é a soma das req?ências até a classe de ordem i. ) Kreq?ência relativa acumulada (Kr i) req?ência relativa acumulada de uma classe de ordem i, é a soma das req?ências relativas até a classe de ordem i. GFA#>_A[\ * @UA >ECG>J@>[\ * KG*'@]#B>A: 9ara or%ani!ar um conjunto conjunto de dados quantitativos quantitativos em distribuição distribuição de req?ências, req?ências, aconselase se%uir a se%uinte orientação:
1o O"ani3a" o "ol ; colocar os dados em ordem crescente ou ordem decrescente.
4
2o Cal)ula" Cal)ula" ou a&ota"= o nG%"o nG%"o )on*%ni%nt% )on*%ni%nt% &% )la!!%! ; o número de classe deve ser escolido pelo pesquisador, em %eral, convém estabelecer de 2 a 2 classes. *+istem al%umas rmulas para estabelecer quantas classes devem ser construídas. #os usaremos, n N onde N é a quantidade total de observaç&es. o Cal)ula" ou a&ota"= a aplitu&% &o int%"*alo &% )la!!%! )on*%ni%nt% a amplitude do intervalo de classes deve ser o mesmo para todas as classes. h
Máx(rol ) Mín.(rol ) n
onde n é o número de intervalos de classe.
4o O#t%" o! liit%! &a! )la!!%! ; @sualmente as classes são intervalos abertos " direita. s limites são obtidos a!endose. Qimite inerior da a classe é i%ual ao mínimo do rol, isto é, l 6 Uin.(rol) *ncont *ncontram ramse se os limit limites es das classes classes,, adicio adicionan nandos dosee sucessi sucessivam vament entee a ampli amplitude tude do a intervalo de classes aos limites da classe. o O#t%" a! f i contar o número de elementos do rol, que pertencem a cada classe. o Ap"%!%nta" a &i!t"i#uição ; construir uma tabela com título, subtítulo, ...
istribuição de Kreq?ência 9ontual N uma série de dados a%rupados na qual o número de observaç&es est" relacionados com um ponto real. *+.: #otas do Aluno `W` na isciplina de *statística ; 44 Nota Alunos 8.0 / 5.1 0 2.0 / 4.2 0 8.2 2 Cotal 2
Ex%")()io! 1= Abai+o são relacionados os sal"rios semanais (em Geais) de 8- oper"rios de uma "brica de sapatos. 110 110 115 115 117 117
120 120 120 120 120 123
125 125 130 130 130 135
136 140 140 140 140 142
145 145 145 147 150 150
150 155 158 158 160 163
165 165 168 168 170 170
172 172 175 175 175 178
a) Bon Bonstr struir uir uma distri distribui buição ção de req?ênci req?ências as adequada. adequada. b) >nterpretar os valores da terceira classe.
180 180 180 180 180 185
185 190 190 195 195 198
-
2= Abai+o são relacionados
b) Salários 2-- ^ 3-... 4-- ^ .-.-- ^ .0-.0-- ^ .2-... .3-- ^ .4-Cotal
x i
f i
F i
8-5-... ... .1-... .5--
5 /... 2 ... ... 11
5 ... 02 1... 10 ...
FGK>BE *ECACXEC>BE %r"ico estatístico é uma orma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produ!ir, no investi%ador ou no público em %eral, uma impressão mais r"pida e viva do enDmeno em estudo, j" que os %r"icos alam mais r"pido < compreensão que as séries.
A repre represe sent ntaç ação ão %r"i %r"ica ca de um enDm enDmen enoo deve deve obe obede dece cerr a cert certos os requi requisi sito toss undamentais para ser realmente útil: a) Sipli)i&a&% ; o %r"i %r"ico co deve deve ser dest destit ituí uído do de deta detal les es de impor import= t=nci nciaa secund"ria, assim como de traços desnecess"rios que possam levar o observador a uma an"lise com erros. b) Cla"%3a ; o %r"ico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do enDmeno em estudo. c) /%"a)i&a&% ; o %r"ico deve e+pressar a verdade sobre o enDmeno em estudo.
Tipo! &% "+fi)o! Hi!to"aa Pol(ono &% F"%>?n)ia % Oi*a: Eão utili!ados para representar a distribuição de req?ência. Hi!to"aa % Pol(ono &% F"%>?n)ia: *+emplo: #otas obtidas na disciplina de P"o"aação I #otas i 2 ^ 8 5 8 ^ 3 2 3 ^ 5 / 5 ^ 4 -0 4 ^-/ K#C*: ados ipotéticos. Oi*a ou pol(ono &% f"%>?n)ia a)uula&a: *+emplo:
J"+fi)o % lin
D N Í
20 10 0 1992
1994
1996
ANOS
1998
2000
/
J"+fi)o % !%to"%!: N um %r"ico construído no círculo, que é dividido em setores correspondentes aos termos da série e proporcionais aos valores numéricos dos termos da série. série. N mais mais utili! utili!ado ado para séries séries especí especíica icass ou %eo %eo%r" %r"ica icass com pequeno pequeno número número de termos e quando se quer salientar a proporção de cada termo em relação ao todo. *+emplo: ESPECIA SPECIALIDADES LIDADES MÉDICAS QUE MAIS SOFRE SOFREM PROCESSOS POR ERROS CIRÚRGICOS ANUALMENTE
Ginecologia e Obstetrícia
Cirurgia Plástica Oftalologia Cirurgia Geral Orto!e"ia Pe"iatria Outros
representação de uma série por meio de J"+fi)o! % Ba""a! ou % )oluna!=. N a representação ret=n%ulos, dispostos ori!ontalmente (em barras) ou verticalmente (em colunas). 'uan 'u ando do em barras, barras, os ret=n%ulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. dado s. GRUPOS GAÚCHOS MAIS MA IS LEMBRADOS LEM BRADOS
Tchê Guri Engenheiros do Hawai Tchê Barbaridade Barbaridade Os Serranos Tchê Garotos Garotos
0
5
10
15
ÍNDICE
'uando em colunas em colunas,, os ret=n%ulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. OS DEZ ESTA DOS EM QUE A COLET A DE LIXO LIXO URB URB ANO É MAIS PR ECÁ RIA - EM % DA P OPULAÇÃO ATENDIDA ATENDIDA 8! 7!
62
6!
8
5! ! "!
51,5
66,5
68
$'
'E
71
75
76
((
B$
55
26,5
2! 1! ! #$
%&
%$
TO
%$ ESTADOS
$#
0
Ca"to"aa. N representação sobre uma carta %eo%r"ica. *ste *ste %r"i %r"ico co é empre empre%a %ado do quan quando do o objet objetiv ivoo é o de i%u i%urar rar os dad dados os estatísticos diretamente relacionados com as "reas %eo%r"icas ou políticas.
Pi)to"aa. Bonstitui um dos processos %r"icos que melor ala ao público, pela sua orma ao mesmo tempo atraente e su%estiva. A representação %r"ica consta de i%uras. #$%& Po!ula'(o )rbana "o *rasil e 1980 +$ 10,
-onte& .nuário #statístico +1984,
1
8ISTA 'E EKE,CÍCIOS ) Bonstruir o $isto%rama, 9olí%ono de Kreq?ência e a %iva das distribuiç&es dos e+ercícios , / e 0 anteriores (p"%. e /). /) *scola o melor tipo de %r"ico para representar os v"rios tipos de séries. a. s de! *stados que i!eram i!eram maior número número de Cransplantes Cransplantes de rim em 45 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ESTA'OS NM 'E T,ANSP8ANTES T,ANSP8AN TES LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL K 01 JA 05 *E 28 9* 28 B* 53 9G 5 GS 5 GE 5 UF /0 E9 328 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L FONTE: Associação Jrasileira de Cransplante de r%ãos.
JGAE>Q 455P440 57ANTI'A'E 1;;; t= ANOS EKPO,TA60O IPO,TA60O 8 4 88 8 2 5 -5 2 1 3 3 -0 0 2 3 /4 0 1 8 5 -4 2 2 3 5 1 1; 8 2 43 1 8 0 /3 5 11 8 3 /4 2 8 5 -2 4 12 5 / 28 3 3 5 0 1 FONTE: Uinistério da >ndústria, Bomércio e Curismo. e.
b. estado das lorestas lorestas do planeta e o que oi devastado pela ocupação umana em mil&es de Im B#C>#*#C* G*A G*A AC@AQ * *EUACAA KQG*ECAE B*A#>A ;. ;. E>A 1;. 4. KG>BA 4. 2. *@G9A . . AUNG>BA 2. . E@Q AUNG>BA .2 .4 #GC* * B*#CGAQ FONTE: orld Gesources >nstitute
c.
d.
G*A C*GG*ECG* JGAE>Q LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ,EJIES PE,CENT7A8 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL #GC* 12,/2 #G*EC* 5,/5 E@*EC* -,52 E@Q 8,38 B*#CG*EC* 5,58 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL FONTE: >JF*
BUNGB> *WC*G>G
>U@#>_A[*E E*E A9Q>BAAE 9G U@#>BX9> 443 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLL 7NICÍPIO 'OSES AP8ICA'AS LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL *G*B$>U 2/2 #H $AUJ@GF -511 9GC 9GC AQ*FG* 8203 G> FGA#* 51443 EA#CA UAG>A -33- LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLL FONTE: Uinstério da Eaúde.
E'I'AS ESTATÍSTICAS *studaremos dois tipos undamentais de medidas estatísticas: medidas de tendência central e medidas de dispersão. As medidas de tendência central mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a a%ruparse, a%ruparse, com maior ou menor req?ência. req?ência. Eão utili!ada utili!adass para sinteti!ar sinteti!ar em um único número o conjunto de dados observados. As medidas de dispersão mostram o %rau de aastamento dos valores observados em relação
E'I'AS 'E TEN'NCIA CENT,A8 A média aritmética simples A média aritmética simples de um conjunto de valores é o valor obtido somandose todos todos eles e dividi dividindo ndose se o total total pelo pelo número número de valores valores.. N den denota otada da por x (leiase L+ barraM) x , onde + são os valores observados. x n
x
xi . f i , se os dados estiverem or%ani!ados em distribuição de req?ência. f i
nde xi e f i são os valores do ponto médio e da req?ência absoluta da classe iésima nde x respectivamente. *+emplos: O) Balcule a média aritmética dos valores abai+o: a. W 6 f-, f-, 8, 8, 5, 5, 3, 3, 1, 1, 8g 8g b. h 6 f/2, 8, /4, 4, 3g c. _ 6 f-2 f-2,, /0 /0,, 45, 45, 1-g 1-g /O) *ncontre a média para o sal"rio destes uncion"rios. Sal+"io! !%anai! pa"a 1;; op%"+"io! não %!p%)iali3a&o!
Eal"rios semanais 1- ^ 88- ^ 55- ^ /-/-- ^ ////- ^ /1/1- ^ /8 *+ercícios:
i 3 /00 /2 1 --
+i
+i. i
) *ncontre a média dos se%uintes conjuntos de observaç&es. a) W 6 f/, f/, 0, 0, 3, 3, 5, 5, 4g. 4g. G: 5/8 b) h 6 f-, 2, //, 5, /2, 8g. G: 16/67 c) _ 6 f, 0, 8, 5g. 5g. G: 4/5 G: 27/5 d) C 6 f, f, 0, 0, 8, 8, ---g. g. /) *ncontre a média das notas na disciplina de 9ro%ramação >. #otas obtidas na disciplina de P"o"aação I #otas i 2 ^ 8 5 8 ^ 3 2 3 ^ 5 / 5 ^ 4 -0 4 ^-/
K#C*: ados ipotéticos. ,%!p 2.
A %&iana é um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes i%uais. Ex%plo: Cal)ul% a %&iana &o! )onQunto! a#aixo: a W6f0 W6f0,, 3, 1, 1, /, /, 2, 2, -, -, 5, 5, 1g 1g b h6f/4, 00, 1/, 05, 0, 01, 12, 2, 42g c _6f/4, _6f/4, 00, 00, 1/, 1/, 05, 0, 01, 01, 12, 12, /-, /-, 42g 42g
o&a Eeja W um conjunto de dados estatísticos. einese Moda einese Moda de de W, denotada por Mo por Mo como sendo o elemento mais req?ente no conjunto. @m conjunto de dados pode ter: #enuma moda (amodal)7 @ma moda (unimodal)7 uas ou mais modas (multimodal). *+ercícios: Balcule a moda para os conjuntos abai+o: a) W6 f/, f/, 0, 1, 0, 3, 3, 5, 5, 4, 1g. 1g. b) h6 f/, 1, 8, /, 5, 1, -g. c) _6 f0/, f0/, 28, 38, 1, 5, 43g 43g..
JE*GHA[*E:
#ão " re%ra para se di!er qual a melor medida de tendência central. *m cada situação especíica o problema deve ser analisado pelo estatístico, que concluir" pela medida mais adequada a situação. Assim é que: a) A A é a medida mais adequada quando não " valores err"ticos ou aberrantes. b) A %&iana deve deve ser ser usad usadaa sem sempre pre qu quee po poss ssív ível el com como medi medida da representativa de distribuiç&es com valores dispersos, como distribuição de rendas, olas de pa%amentos, etc. *+ercícios: ) ados os conjuntos abai+o, calcule a média aritmética, mediana e moda. A 6 f0, 2, /, , 1, 3, 4g. x 4/4 4/4 9/3 9/3 10/3 10/3 6/8 6/8 J 6 f8, /, 2, 3, 8, -g. " 4 8/5 10 6/5 B 6 f-, 2, , 5, 2, 1, 8, 2, /-, 8, 0g. o 6 5 6 f1, 1, -, 2, 5, 2, -, 5g. /) Balcule a média aritmética das distribuiç&es de req?ências dos e+ercícios e / das p"%inas . ,%!p. 1= ,R 11D 2= 1D ) % 1 .
E'I'AS 'E 'ISPE,S0O Eervem para veriicarmos a representatividade das medidas de posição, pois é muito comum encontrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de maneira distinta. Assim, para as séries: a) /2, /2, /5, /5, 0, 0, 01, 01, 03 b) 3, /0, 0-, 04, 18 temos x a xb 0 . #otase que q ue os valores da série LaM estão mais concentrados em torno da média 0, do que a série LbM. 9recisamos medir a dispersão dos dados em torno da média, para isto utili!aremos as medidas de dispersão:
'%!*io Pa&"ão Co%fi)i%nt% &% /a"iação esvio 9adrão: N a rai! quadrada positiva da média aritmética dos quadrados das dierenças entre cada valor e a média aritmética do conjunto e é denotada por i . Assim,
(+ i n
+)
/
(+ i +) i
/
i
, se os dados estiverem or%ani!ados em distribuição de req?ência.
*+emplo : *ncontre o desvio padrão para os dados das séries a), e b) acima.
*+emplo /: Sal+"io! !%anai! pa"a 1;; op%"+"io! não %!p%)iali3a&o!
Eal"rios i +i (+i x )/ (+i x )/ i semanais 1- ^ 83 8- ^ 5/5- ^ /-00 /-- ^ ///2 //- ^ /1 /1- ^ /81 - *ncontre o desvio padrão para o sal"rio destes uncion"rios.
Ex%")()io: Balcule o desvio padrão das distribuiç&es de req?ências dos e+ercícios e / das p"%inas e /. Boeiciente de variação: Cratase de uma medida de dispersão, útil para a compreensão em termos relativos do %rau de concentração em torno da média de séries distintas. N dado por: C v
x
.--
*+emplo 1: 9ara duas emiss&es de aç&es ordin"rias da indústria eletrDnica, o preço médio di"rio, no ecamento dos ne%cios, durante um período de um mês, para as aç&es A, oi de GR 2-,-- com um desvio padrão de GR 2,--. 9ara as aç&es B, o preço médio oi de GR 2-,-com um desvio padrão de GR 0,--. *m relação ao nível do preço, qual dos tipos de aç&es é mais vari"vel
Ex%")()io!. 1= @ma amostra de /- oper"rios de uma compania apresentou os se%uintes sal"rios recebidos durante uma certa semana, arredondados para o valor mais pr+imo e apresentados em ordem crescente: 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 22, 22, 82, 82, 5-, 5-, 4-, /--, /-2, //2, /0-, /1-. Balcular (a) a média, (b) a
mediana, (c) a moda, (d) o desvio padrão, (e) o coeiciente de variação, para este %rupo de sal"rios. ,: a) 3-,27 d) 00,/.
2= número de carros vendidos por cada um dos vendedores de um ne%cio de automveis durante um mês particular, em ordem crescente: /, 1, 3, -, -, -, /, /, 1, 2. eterminar (a) a média, (b) a mediana, (c) a moda, (d) o desvio padrão ,: a) 4,87 d) 0,42. = *m conjunto com uma auditoria anual, uma irma de contabilidade pública anota o tempo necess"rio para reali!ar a auditoria de 2- balanços cont"beis. Balcular (a) a média, média, (b) o desvio padrão, para o tempo de auditoria auditoria necess"rio para esta amostra de re%istro. ,: a) 10,/7 b)/,/5. Cempo necess"rio para a auditoria de balanços cont"beis. Cempo de auditoria. #O de balanços. (min.) ( i) - ^ /0 /- ^ 02 0- ^ 11- ^ 2/ 2- ^ 8/Cotal 24= s sal"rios semanais de 2- uncion"rios de um ospital, em reais, oram os se%uintes: 100 104 116 120
122 126 128 128
130 134 138 140
140 146 150 150
152 156 156 156
160 160 162 162
164 170 170 176
176 176 178 180
180 184 186 186
188 190 190 192
192 194 196 196
200 216 200 218 200 210
a) Bonstrua uma distribuição de req?ências, com 6 /- e limite inerior para a primeira classe i%ual a --. b) 'uantos uncion"rios uncion"rios tem um sal"rio semanal situado situado entre GR /-,-- (inclusive) (inclusive) e GR 8-,-(e+clusive) 1D fun)ion+"io! c) 'ue porcenta%em de uncion"rios tem um sal"rio semanal situado entre GR 5-,-- (inclusive) e GR /--,-- (e+clusive) 2U d) 'ual o sal"rio médio semanal destes uncion"rios utili!ando utili!ando o item a) 14 e) etermine o desvio padrão e o coeiciente de variação da distribuição. 2D 1D2U distribuição das alturas de um %rupo de pessoas apresentou uma altura média de 5/ = A distribuição cm e um desvio padrão de 2 cm, enquanto que a distribuição dos pesos, apresentou um peso médio de 35 I%, com um desvio padrão de 5 I%. 'ual das duas distribuiç&es apresentou maior dispersão 9or quê
CO,,E8A60O E ,EJ,ESS0O
Int"o&ução: S" trabalamos com a descrição de valores de uma única vari"vel. 'uando, porém, consideramos observaç&es de duas ou mais vari"veis sur%e um novo problema: as "%laçV%! que podem e+istir entre as vari"veis estudadas. Assim, quando consideramos vari"veis como peso e estatura de um %rupo de pessoas, uso do ci%arro e incidência do c=ncer, procuramos veriicar se e+iste al%uma relação entre as vari"veis de cada um dos pares e qual dessa relação. @ma ve! caracteri!ada a relação, procuramos descrevêla através de uma unção matem" matem"tic tica. a. A "%"%!!ão é o instrumento adequado para determinação dos par=metros dessa unção. Ee todos os valores das vari"veis satisa!em e+atamente uma equação, di!se perfeita entre elas. que elas estão perfeitamente estão perfeitamente correlacionadas ou que " correla!o perfeita entre 'uando estão em jo%o somente duas vari"veis, alase em correlação e re%ressão simples. 'uando se trata de mais de duas vari"veis, alase em correlação e re%ressão múltipla.
'ia"aa &% 'i!p%"!ão 9ara desenar um dia%rama de dispersão, primeiro traçase o sistema de ei+os cartesianos. epois se representa uma das vari"veis no ei+o L+M e a outra no ei+o LkM Bolocamse, então os valores das vari"veis sobre os respectivos ei+os e marcase um ponto para cada par de valores. Bonsideremos uma amostra aleatria, ormada por de! dos 45 alunos de uma classe da @niversidade A e pelas notas obtidas por eles em Uatem"tica e *statística: o
N
- -/ -0 -1 -2 -8 -3 -5 -4 -
Nota! at%+ti)a E!tat(!ti)a K= W= 2,8,5,4,3,5,-,-,8,2,3,3,4,5,0,1,5,8,/,/,-
ordenados (+,k), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos &ia"aa &% *sse dia% dia%ram ramaa no noss ornec ornecee &i!p &i!p%" %"!ã !ão. o. *sse uma uma idéi déia %ros %rosse seiira, ra, po poré rém m útil útil da correlação e+istente: 12 10 a ! t " # t a t " E
8 6 4 2 0 3
2
7 Matemát!a
12
Gepresentando, em um sistema cartesiano coordenado cartesiano orto%onal, os pares "#F$N$%&' (: (: Co""%lação i!emos que duas ou mais vari"veis e+pressam a relação de causa e eeito ou se elas variam concomitantemente, são vari"veis consideradas correlacionadas.
%rau de relacionamento para dados amostrais é dado pela se%uinte e+pressão: n n n n W i hi W i hi i . i . i . r n / n / n / n / n W i W i n hi hi i . i . i . i . nde: n é o número de observaç&es7 " é o coeiciente de correlação linear para uma amostra. #)#M*L' (: (: *ncontre o coeiciente de correlação para os dados da tabela anterior. (W) 2 5 3 8 3 4 0 5 /
(h) 8 4 5 2 3 5 1 8 /
65
65
r
30 30 72 72 56 56 10 100 30 30 49 49 72 72 12 48 48 4 473
2 25 64 49 100 36 49 81 9 64 4 481
2 36 81 64 100 25 49 64 16 36 4 475
-.130 82.82 /
-.15 82
/
-.132 82
2-2 252 2/2
-,4 4
P,OP,IE'A'E 'O COEFICIENTE 'E CO,,E8A6AO 8INEA, ". . valo valorr de r est" est" semp sempre re entr entree ; e . /. valo valorr de r não não vari variaa se todos todos os valo valore ress de qualq qualque uerr uma uma das das vari vari"v "vei eiss são são convertidos para uma escala dierente. 0. valor valor de de r não é aet aetado ado pela pela escol escola a de + ou k. k. 1. r mede a intensi intensidade, dade, ou %rau, %rau, de um relacionam relacionamento ento linear linear.. #ão serve para para medir medir a intensidade de um relacionamento nãolinear.
CO,,E8A60O POSITI/A E CO,,E8A60O NEJATI/A
Ee as vari"veis vari"veis + e k crescem no mesmo sentido, isto é, quando + cresce, k também cresce, di!se que as duas vari"veis têm correlação positiva. *ntão, *ntão, notas notas de matem"t matem"tica ica e notas de estatísti estatística ca dos alunos alunos tem correlaç correlação ão positiva, porque quando uma das vari"veis var i"veis cresce, a outra , em média, também cresce. Ee as vari"veis + e k variam em sentido contr"rio, isto é, quando + cresce, em média k decresce, di!se que as duas vari"veis têm correlação ne%ativa. bserve os dados da Cabela abai+o:
Con!uo in&i*i&ual &% p"ot%(na! &% o"i% anial % "aa! % )o%fi)i%nt% &% natali&a&% % 14 pa(!%! 11. 9aís Bonsumo Boe. de de natalidade proteínas Kormosa 1,3 12,8 Ual"sia 3,2 04,3 Xndia 5,3 00,)$ Sapão 4,3 /3,>u%osl"via ,/ /2,4 ($ Frécia 2,/ /0 , 2 '$ >t"lia 2,/ /0,1 Jul%"ria 8,5 //,/ &$ Alemana 03,0 /-,%$ >rlanda 18,3 4 , inamarca 28, 5,0 $ $ &$ ($ *$ Austr"lia 24,4 5,*stados @nidos 8,1 3,4 *i+o + 6 consumo de proteínas Euécia 8/,8 2,*i+o k6 coeiciente de natalidade Konte: Bastro(48)
ANÁ8ISE 'E ,EJ,ESS0O Uuitas ve!es é de interesse estudarse um elemento em relação a dois ou mais atributos ou vari"veis simultaneamente. #esses casos presumese que pelo menos duas observaç&es são eitas sobre cada elemento elemento da amostra. amostra. A amostra consistir", consistir", então, de pares de valores, valores, um valor para cada uma das vari"veis, desi%nadas, W e h. @m indivíduo LiM qualquer apresenta o par de valores (Wi7 hi). objetivo visado quando se re%istra pares de valores (observaç&es) em uma amostra, é o estudo das relaç&es entre as vari"veis W e h. 9ara a an"lise de re%ressão interessam principalmente os casos em que a variação de um atributo é sensivelmente dependente do outro atributo. problema consiste em estabelecer a unção matem"tica que melor e+prime a relação e+istente entre as duas vari"veis. Eimbolicamente a relação é e+pressa por uma equação de re%ressão e %raicamente por uma curva de re%ressão.
,EJ,ESS0O 8INEA, SIP8ES Uodelo: hi 6 Z +i Z i 9ressuposiç&es: a) A relação entre W e h é linear (os acréscimos em W produ!em acréscimos proporcionais em h e a ra!ão de crescimento é constante). b) s valores de W são i+ados arbitrariamente ( W não é uma vari"vel aleatria ). c) h é uma vari"vel aleatria que depende entre outras coisas dos valores de W. d) i é o erro aleatrio, portanto uma vari"vel aleatria com distribuição normal, com média !ero e vari=ncia /. i # (-, /). i representa representa a variação de h que não é e+plicada e+plicada pela vari"vel independente W. e) s erros são considerados independentes.
E!tiati*a! &o! Pa"$%t"o! % As estimativas dos par=metros e dadas por LaM e LbM, serão obtidas a partir de uma amostra de n pares de valores (+i, ki) que correspondem a n pontos no dia%rama de dispersão. *+emplo: K= 2 5 3 8 3 4 0 5 /
W= 8 4 5 2 3 5 1 8 /
12 10 8 /
6
!reisto
4 2 0 0
5
10
Va+á,e- .
btemos então: k i a+ i b 9ara cada par de valores (+i, ki) podemos estabelecer o desvio: ei
9to&o &o! (nio! 5ua&"a&o!
k i k i 6 ki(
a+i Z b)
méto método do dos dos míni mínimo moss quad quadrad rados os con consi sist stee em adot adotar ar como como estim estimat ativ ivaa do doss par=metros os valores que minimi!em a soma dos quadrados dos desvios. n
E
ei
/
i
n
6 lki a+i bm
/
i
E 6 (a, b) *ssa soma, unção de LaM e de LbM, ter" mínimo quando suas derivadas derivadas parciais em relação a LaM e LbM orem nulas. n
9ara acilitar a escrita, considerase i .
o! o b / ki a+i b . o! / k a+ b + i i i oa
ki a+i b ki a+i b +i ki a +i nb / + k a + i i i b +i ki a + i b n + k b + a + / i i i i Gesolvendose esse sistema, obtemos as estimativa para o c"lculo de:
a
n + i ki n + i/
+ i ki / +i
e a partir da O equação b #o e+emplo: K= W= K.W 2 8 30 5 4 72 3 5 56 100 8 2 30 3 3 49 4 5 72 0 1 12 12 5 8 48 / / 4 65
65
473
k a+
K2
W2
25 64 49 100 36 49 81 9 64 4 481
36 81 64 100 25 49 64 16 36 4 475
12 10 8 /
6 4 2 0 0
5
Va+á,e- .
10
-.130 82.82
a
-.15 82/
b
82 -
-,580/.
82 -
2-2 252
-,580/
-,554/
i -,580/+ i -,554/ k
EKE,CÍCIOS
#os *+ercícios -, a) eterm etermine ine o coei coeicie ciente nte de de correl correlaçã ação. o. b) etermine a equação da reta de re%ressão. re%r essão. . A tabela apresenta dados de amostra reerentes ao número de oras de estudo ora de classe para determinados alunos de um curso de estatística, bem como os %raus obtidos em um e+ame aplicado no im do curso. E!tu&ant% 1 2 4 D Ho"a! &% %!tu&o /- 8 01 /0 /3 0/ 5 // J"au no %xa% 81 8 51 3- 55 4/ 3/ 33 c) *stimar *stimar o %rau no e+ame e+ame obtido obtido por um estudante estudante que dedicou dedicou 00- oras ora de classe. /. A tabela mostrada relaciona os números + de a!ulejos e os custos k (em dlares) de sua ajusta%em e colocação. 0 1 2 3 5 6 11 17 20 1 5 8 11 c) 9ara 9ara + 6 1, ace ace +n , o valor predito de k.
. O! &a&o! %pa"%lu% !% !%u% )on!i!t% no p%"(%t"o to"+)i)o % pol%a&a!= % &o! p%!o! % li#"a!= &% ua ao!t"a &% u"!o! a)
c) Ace o tamano predito de uma residência que descarta /-,- lb. de li+o. 8. s dados se%uintes oram obtidos da altura (pole%adas) e do peso (libras) de muleres nadadoras. 85 81 8/ 82 88 Altu"a 0/ -5 -/ 2 /5 P%!o c) *stimar o peso de uma muler, que possui 83 pole%adas. 3. s dados se%uintes mostram o %asto com mídia (mil&es de dlares) e as vendas de cai+as (mil&es) para sete %randes marcas de reri%erantes. a")a a")a Ja!to! )o (&ia 7SR= /%n&a! &% )aixa! BocaBola 0,0 4/4,/ 9epsiBola 4/,1 051,8 BocaBola Qi%t 8-,1 5,1 Eprite 22,3 21,2 r. 9epper 1-,/ 208,4 Uountain e /4,202,8 3 @p ,8 /4,2 Konte: Euperbrands 45, /- de outubro de 443
c) *stimar as vendas, sabendo que oi %asto @ER 5-,- com mídia. 5. s dados dados a se%ui se%uirr são a médi médiaa das notas notas + e sal"ri sal"rios os mensai mensaiss k de estuda estudant ntes es que obtiveram bacarelado em administração com ênase em sistemas de inormação. "ia "as otas 2/6 3/4 3/6 3/2 3/5 2/9 alári alário o ensal ensal +), +), 2800 2800 3100 3100 3500 3500 3000 3000 3400 3400 3100 3100
c) Eupondo que a nota de um estudante de bacarelado em administração com ênase em sistemas de inormação seja 5,-. *stime ser" seu sal"rio mensal. 4.@m %erente de vendas reuniu os se%uintes dados considerando os anos de e+periência e as vendas anuais. /%n&%&o" An Ano! o! &% %xp% %xp%"i "i?n ?n)i )iaa /%n %n&a &a!! anuai anuai!! 7SR 7SR 1.;;; 1.;;;==
/ 0 1 2 8 3 5 4 -
0 1 1 8 5 0
543 4/ -/ -0 4 / 0 3 08
c) *stimar as vendas anuais, supondo que um vendedor tena 4 anos de e+periência. - ados sobre os %astos %astos com publicidade publicidade (@ER (@ER .---) e aturamento aturamento (@ER (@ER .---) para o Kour Eeasons Gestaurant são apresentados a se%uir.
,ast ,a stos os com com publ public icid idade ade Fatu Faturam ramen ento to 4 / 0/ 1 11 8 12/ 1 20 /21 c) Eabendo que os %astos com publicidade oi de @ER 3.---,--. 'uanto espera %anar o Kour Eeasons Gestaurant
P,OBABI8I'A'E 1.1. INTRODUÇÃO *ncontramos na nature!a dois tipos de enDmenos: determinísticos e determinísticos e aleat-rios. aleat-rios. s enDm enDmen enos os determiníst determinísticos icos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências. #os enDmenos aleatrios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que aja um %rande número de repetiç&es do mesmo enDmeno. #os e+perimentos aleatrios, mesmo que as condiç&es iniciais sejam as mesmas, os resultados inais de cada tentativa do e+perimento, serão dierentes e não previsíveis, por isso, é conv conven enie ient ntee disp dispor ormo moss de uma uma medi medida da para para o estu estudo do de tais tais situ situaç aç&e &es. s. *sta *sta medi medida da é a probabilidade. 1.2. 1.2. EXPE EXPERI RIME MENT NTO O ALE ALEA ATÓRI TÓRIO. O. ESP ESPAÇO AÇO AMO AMOST STRA RAL L. EVE EVENT NTO O Antes de passarmos < deinição de probabilidade, é necess"rio i+armos os conceitos de e+perimento, espaço amostral e evento. @m experimento aleat-rio é aleat-rio é o processo de coleta de dados relativos a um enDmeno que acusa variabilidade em seus resultados. #)#M*L'S a= lançamento de uma moeda onesta7 #= lançamento de um dado7 )= determinação da vida útil de um componente eletrDnico7 #spao amostral é é o conjunto de todos os resultados possíveis de um e+perimento. Hamos denot"lo por . #)#M*L'S 1= #o caso do lançamento de um dado, 6 2= @ma l=mpada é li%ada e observada até queimar anotandose os tempos decorridos, 6
'uando o espaço amostral consiste em um número inito ou ininito numer"vel de eventos, é camado espaço amostral amostral discreto7 e quando or todos os números reais de determinado intervalo, intervalo, é um espaço amostral contínuo. evento é um subconjunto de um espaço amostral @m evento é #)#M*L' #os #)#M*L' #os e+emplos anteriores anteriores e /. 'ual seria um possível evento para cada um dos e+emplos
1.3. DEFINIÇÕES DE DE PR PROBABILIDADE Eeja LAM um event eventoo de um e+per e+perim imen ento to aleat aleatri rio, o, dei deini nimo moss a probabilidade de LAM, denotada por PA=, *3A/
N2mero N2mero de casos favoráveis N2mero N2mero de casos possíveis
que é a deinição cl"ssica de probabilidade. #)#M*L' #a #)#M*L' #a jo%ada de um dado, qual a probabilidade de aparecer ace 0 ou ace 2 Solu!o #)#M*L' #)#M*L' Bonsideremos o e+perimento que consiste em lançar uma moeda 2 ve!es. Euponamos que o número de caras obtido tena sido -. etermine a probabilidade do evento cara: Solu!o
1.4. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS Bonsideremos um espaço amostral inito . Eeja Eejam m A e B dois eventos de . As se%uintes operaç&es são deinidas. a/ 0N$&' evento união de A e B equivale < ocorrência de A, ou de de B, ou de ambos. Bontém os elementos do espaço amostral em que estão em pelo menos um dos dois conjuntos. enotase por A B. A "rea acurada da i%ura abai+o ilustra a situação.
#)#M*L' Ee #)#M*L' Ee A é o conjunto dos alunos de um *stabelecimento que req?entam o curso de Bont Bo ntab abil ilid idade ade e B é o conjunto de alunos do mesmo estabelecimento que a!em Biência da Bomputação, então: AJ 6 b/ $NT# $NT#1S 1S#C #C%& %&' ' evento intersecção de dois eventos A e B equivale < ocorrência de ambos. Bontém todos os pontos do espaço amostral comuns a A e a B. enotase por A B. A intersecção é ilustrada pela "rea acurada do dia%rama abai+o.
#)#M*L' Eeja #)#M*L' Eeja A o conjunto conjunto de alunos de uma >nstituição >nstituição que req?entam o /O %rau, e B o conjunto conjunto dos que req?entam um curso acultativo acultativo de interpretaç interpretação ão musical. musical. A interseção interseção A B é dada por: AJ 6 c/ #)CL0S&' ois eventos A e B di!emse di!emse mutuamente mutuamente e+clusivos e+clusivos ou mutuamente e+cludentes e+cludentes quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. s dois eventos não têm nenum elemen elemento to em comum. comum. *+prim *+primese ese isto escreven escrevendo do A B X . dia%rama a se%uir ilustra esta situação. #)#M*L' #a #)#M*L' #a jo%ada de um dado, seja A o evento Laparece número parM e B o evento Laparece número ímparM. *ntão AJ 6 d/ N#,A%&' A ne%ação do evento A, denotada por A é c)amada evento complementar de A. N ilustrada na parte )ac)urada na i%ura abai+o.
#)#M*L' Ee, na jo%ada de um dado, o evento A consiste no aparecimento de ace par, seu complementar é dado por: A REGRAS BÁSICAS
Ee A e J são dois eventos do espaço amostral , então valem as se%uintes re%ras b"sicas: - 9(A) 9(A) 6 - o evento é impossível e 9(A) 6 o evento é certo. 9() 6 Ee A e J são eventos mutuamente e+cludentes, A B X , então: 9(AJ) 6 9(A) Z 9(J). Ee A B , então: 9(AJ) 6 9(A) Z 9(J) ; 9(AJ). 9(A) 6 9(A). Ee é o va!io, então 9() 6-. #)#1C4C$': #)#1C4C$': Bonsideremos os alunos matriculados na disciplina de *statística. Cemos omens com mais mais de /2 anos, omens com menos menos de /2 anos, muleres muleres com mais de /2 anos, muleres com menos de /2 anos. @ma pessoa é escolida ao acaso dentre os . s se%uintes eventos são deinidos: A: a pessoa tem mais de /2 anos7 C: a pessoa é um omem7 B: a pessoa tem menos de /2 anos7 ': a pessoa é uma muler. Balcular: 9(J) e 9(AB).
EKE,CÍCIOS . 'uais dos valores abai+o não podem ser probabilidades
-7
/
7 -,--7 -,/7 0P/7 /P0.
/. @m estudo de 2-- vDos da American Airlines selecionados aleatoriamente mostrou
que 10- ce%aram no or"rio (com base em dados do Uinistério dos transportes). 'ual é a probabilidade de um vDo da American Airlines ce%ar no or"rio 0. *m uma pesquis pesquisaa entre estudan estudantes tes de uma aculda aculdade, de, 8/ 8/ airmaram airmaram que que LcolaramM LcolaramM nos e+ames, enquanto /185 airmaram não LcolarM. Eelecionado aleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade de ele ou ela ter LcoladoM em um e+ame. 1. A Uast Uaster erBa Bard rd >nte >ntern rnat atio iona nall eet eetuo uouu um estu estudo do de rau raude dess em cart cart&e &ess de créd crédit itos os77 os resultados estão a%rupados na tabela a se%uir. se%uir.
Tipo &% f"au&% Bartão roubado Bartão alsiicado 9edidos por correioPteleone utros
NM &% )a"tV%! /10 52 2/ 18
Eelecionado aleatoriamente uma caso de raude nos casos resumidos na tabela, qual a probabilidade de a raude raude resultar de um cartão alsiicado alsiicado . G: ;2. 2. Ee >9 >9 (A)6 (A)6 /P2 /P2,, dete determ rmin inee
>9(A)
.
8. Bom base base em dados do Bentro Bentro #acion #acional al de *statíst *statística ica de Eaúde Eaúde dos *@A, *@A, a probabilidad probabilidadee de uma criança ser menino é -,20. etermine a probabilidade de uma criança ser menina. 3. etermine >9(A) , dado que >9 (A)6 -,//5. 5. Bom Bom base base em dado dadoss do Bent Bentro ro #aci #acion onal al de *+am *+amin inad ador ores es Kore Korens nses es,, se esco escol ler ermo moss aleatoriamente uma pessoa que se submete ao e+ame para e+ercício da advocacia, a probabilidade de obter al%uém que seja aprovado é -,23. Ace a probabilidade de al%uém que seja reprovado. 4. s pesquis pesquisado adores res estão estão preocu preocupad pados os com declín declínio io do nível nível de coo cooper peraçã açãoo por parte parte dos entrevistados em pesquisas. A tabela mostra o resultado de uma pesquisa eita com 024 pessoas. Kai+a et"ria Gespondem #ão respondem Cotal 5/ 30 51 ///4 /22 //32 Cotal 0/5 0 024 a) 'ual probabili probabilidade dade de de obter obter al%uém al%uém que não não queira queira respon responder der G: ;;. b) 'ual probabilidade probabilidade de obter al%uém na ai+a et"ria et"ria ///4 G: ;D.
c) etermine etermine a probabi probabilidad lidadee de obter al%uém al%uém na ai+a ai+a et"ria et"ria 5/ 5/ ou al%uém al%uém que recuse recuse responder. G: ;2. d) ete eterm rmin inee a prob probab abil ilid idad adee de ob obte terr al%u al%uém ém na ai+ ai+aa et"r et"ria ia 5/ 5/ que que não não recu recuse se responder. G: ;2;.
T%!t%! &% HipYt%!%! #esta seção, vamos admitir um valor ipotético para o par=metro desconecido as ipteses estatísticas e, depois utili!ar a inormação da amostra para aceitar ou rejeitar esse valor ipotético. 9or e+emplo, com base na produtividade produtividade de uma ortaliça ortaliça cultivada cultivada em uma "rea, onde or usado um novo ertili!ante ertili!ante,, e em outra "rea onde se utili!a o ertili!ante ertili!ante padrão, temos de decidir se o novo ertili!ante é, ou não, melor. A diiculdade aqui e daí a necessidade de dados estatísticos é que a produtividade varia de planta para planta. s testes de ipteses permitemnos tomar decis&es em presença da variabilidade, ou seja, veriicar se estamos diante de uma dierença real (si%niicativa) ou de uma dierença devida simplesmente < lutuação aleatria inerente ao processo. #a reali!ação de um teste, são eitas duas ipteses: a h!"#$%$ &'() *+ , -, que ser" testada, testada, e a h!"#$%$ )(#$&)#/) *+ 1 -, que ser" aceita caso nosso teste indique a rejeição da iptese nula. Ex%plo! : >ndique as ipteses nula e alternativa para cada uma das situaç&es: a) Cubos Cubos %alvani!ado %alvani!adoss devem ter ter média média de / pole%adas pole%adas para para serem aceit"ve aceit"veis. is. b) @m abricante de conservas deseja evitar e+cesso e+ cesso no encimento de potes de / o!. e %eléia. / 9ara cada um dos casos se%uintes, decida se é adequado um teste '&()#$)( ou ou um teste 0()#$)( , trace a curva normal para ilustrar o teste. a) $-: 6- , $: -, 6-,-/ b) $-: 6-,-03 , $: -,-03, 6-,-2 c) $-: 60,/ , $: 0,/, 6-,-
Tipo! &% E""o! esquema a se%uir mostra os erros que podemos cometer: C&('% #$%#$ +, /$ / $)$) N!o re5eitar 6 7
Correto
+, 5)(%) #rro tipo $$
1e5eitar 6 7
#rro tipo $
Correto
P"o)%&i%nto pa"a !% %f%tua" u t%!t% &%
N(*%l !inifi)$n)ia
U 1U
&%
Tipo &% t%!t%
unil unilat at%" %"al al #il #ilat%" at%"al al Z1 ou 1 -1 Z2 ou 2 -2
T%!t% %!t % pa"a pa "a a 9&i 9&iaa 2 )on<%)i&o= O) *nunciar as ipteses: H;: 6 -
- ( a) H1: " - (b) # (c) /O) Ki+ar o nível de si%niic=ncia . Admitindose que conecemos a vari=ncia populacional a vari"vel do teste ser" a distribuição #ormal (_) 0O) Ge%ião crítica
1O) Balcular: 8
)
n
onde:
) 6 média amostral
- 6 valor da iptese nula 6 desvio padrão da população
n 6 tamano da amostra
2O) Con)lu!V%!: a) Ee $ _ $ ! rejeitase $- (para um teste 0)')( ) b) Ee _ ! rejeitase $- (para um teste '&)')( a a direita). c) Ee _ ! rejeitase $- (para um teste '&)')( a a esquerda).
Ex%pl Ex%ploo 2: @ma m"quina autom"tica de encer pacotes de erva mate, enceos se%undo uma distribuiç distribuição ão normal com média e desvio padrão de /-%. A m"quina oi re%ul re%ulad adaa para para 62--%. esejamos veriicar se a produção esta sob controle, para isto analisamos uma amostra de 0- pacotes. Ee uma amostra apresentar média W 614/%, você pararia ou não a produção para veriicar se a m"quina deve ser s er re%ulada @se 6. o 1 Pa!!o:
2o Pa!!o:
o Pa!!o:
4o Pa!!o:
o Pa!!o:
T%!t% %!t % pa"a pa "a a 9&i 9&iaa
2
&%!)on<%)i&o n [ ;=
#este caso usaremos a distribuição LtMde Etudent. Qo%o no 1o e 2o passo teremos: 1O) Balcular: ) onde: ) 6 média amostral T S - 6 valor da iptese nula E 6 desvio padrão da amostra n n 6 tamano da amostra 2O) Con)lu!V%!: b) Ee $ C $ t rejeitase $- (para um teste 0)')( ) b) Ee C t rejeitase $- (para um teste '&)')( a a direita). c) Ee C t rejeitase $- (para um teste '&)')( a a esquerda).
Ex%plo : @m abricante airma que a média de vida útil das l=mpadas por ele abricadas é de 1./-- oras. A média da vida útil para uma amostra de #6- l=mpadas é de 1.--- oras com um desvio padrão de amostral de E6/-- oras. A vida útil das l=mpadas se%ue uma distribuição normal. Ceste a airmação do abricante a um nível de si%niic=ncia de 2.
1o Pa!!o:
2o Pa!!o: o Pa!!o:
4o Pa!!o:
o Pa!!o:
EKE,CÍCIOS 1= @ma amostra aleatria de 1- elementos retirados de uma população normal com desvio padrão 6 0 apresentou um valor médio i%ual a 8-. Ceste, ao nível de si%niic=ncia de 2, a iptese de que a média populacional seja i%ual a 24, supondo a iptese alternativa 24. 2= @ma amostra aleatria de -- mortes naturais, no Gio Frande do Eul, deu uma média de W 63,5 anos, com um desvio padrão de 5,4 anos. >sto indica que o tempo médio de vida no GE, atualmente, é maior do que 3- anos (6 2) = @ma amostra aleatria de tamano n 6 5 de uma população normal tem média x 6
0,2 e desvio padrão s 6 1,/. Ao nível de si%niic=ncia de 2, estes dados su%erem que a média populacional seja superior a 0-
4= A resistência dos cabos abricados por determinada compania acusa média de 5--
libras e desvio padrão de -- libras. Adotandose uma nova técnica de abricação, esperase aumentar esta resistência. 9ara testar tal iptese, tomase uma amostra de 2cabos abricados pelo novo processo, obtendose uma resistência média de 52- libras. 9odese aceitar a iptese ao nível de si%niic=ncia de -,- = o!e latas de lubriicante de certa marca acusam os conteúdos médios se%uintes
(decilitros):-./ 4.3 -. -.0 -. 4.5 4.4 -.1 -.0 4.5 -.1 -./. Ao nível de , testar a iptese de que o conteúdo médio das latas daquele lubriicante é 6 - dl. Admitir a normalidade da distribuição.
T%!t% &% &if%"%nça %nt"% 9&ia!: Ao!t"a! '%p%n&%nt%!. #este caso usaremos a distribuição LtMde Etudent. Qo%o no 1o e 2o passo teremos: 1O) Balcular: onde: & 6 valor médio das dierenças d para para os d vd dados C Ed amostrais emparelados( dependentes) \ & 6 média das dierenças d para para a n população de dados emparelados. para os S& 6 desvio padrão das dierenças d para dados amostrais emparelados n 6 número de pares de dados. J"au! &% li#%"&a&% 6 n. 2O) Con)lu!V%!: c) Ee $ C $ t rejeitase $- (para um teste 0)')( ) b) Ee C t rejeitase $- (para um teste '&)')( a a direita). c) Ee C t rejeitase $- (para um teste '&)')( a a esquerda). *+emplo: @tili!ando um cronometrador de reação oi obtido a tabela abai+o, no nível de -,-2 de si%niic=ncia, si%niic=ncia, teste a airmação airmação de que " uma dierença dierença entre a média dos tempos de reação da mão direita e da mão esquerda. 9essoa ireita *squerda d
1o Pa!!o:
2o Pa!!o: o Pa!!o:
4o Pa!!o: o Pa!!o:
A 4 // 1 00
J 43 3 31
B 8 4 32
82 /-3 1/
* 8 4 8 5-
K /4 82 08
F 3 3 3 8
$ 2 2 8 2 -
> / 1 /5
S -/ 55 58
5 5 2 2 00
Q 25 / 4 8
U / 33 28
# 00 3 1 1
Ao!t"a! J"an&%! % In&%p%n&%nt%!. #este caso usaremos a distribuição #ormal. Qo%o no 1o e 2o passo teremos: 1O) Balcular: ( + + / ) (v. v / ) _ . / / . / n. n /
JE: Ee não conecemos os valores de e /, podemos substituílos por s e s/, desde que ambas as amostras sejam %randes. 2O) Con)lu!V%!: d) Ee $ _ $ ! rejeitase $- (para um teste 0)')( ) b) Ee _ ! rejeitase $- (para um teste '&)')( a a direita). c) Ee _ ! rejeitase $- (para um teste '&)')( a a esquerda). *+emplo: ) s alun alunos os de uma uma acu aculd ldad adee sele seleci ciona onaram ram alea aleato tori riam amen ente te / /33 carro carross de estudantes e constataram que a média de suas idades era de 3,54 anos, com desvio padrão de 0,83 anos. Eelecionaram também, aleatoriamente, 2/ carros do corpo docente e do pessoal da administração, constatando uma média de 2,44 anos e um desvio desv io padrão de 0,82 anos. #o nível de si%niic=ncia de -,-2, teste a airmação de que os carros dos estudantes são mais velos do que os dos proessores e demais uncion"rios.
1o Pa!!o:
2o Pa!!o: o Pa!!o:
4o Pa!!o:
o Pa!!o: Ao!t"a! P%>u%na! % In&%p%n&%nt%!.
#este caso usaremos a distribuição #ormal. Qo%o no 1o e 2o passo teremos: 1O) Balcular: C
( + + / ) (v v / ) /
/
s p
n
/
/ p
nde s
s p n/
/
(n )s (n / )s / (n ) (n / )
e o %rau de liberdade é %l 6 nZn//.
2O) Con)lu!V%!: e) Ee $ _ $ ! rejeitase $- (para um teste 0)')( ) b) Ee _ ! rejeitase $- (para um teste '&)')( a a direita). c) Ee _ ! rejeitase $- (para um teste '&)')( a a esquerda). *+emplo: s dados amostrais a se%uir apresentam os níveis de concentração de "lcool no san%ue por ocasião da prisão de criminosos selecionados aleatoriamente, e que oram condenados condenados por diri%irem diri%irem embria%ados. s dados são cate%ori!ados cate%ori!ados por tipo de bebida consumida. Berveja 0/129 0/146 0/148
@ísque 0/154 0/155 0/164
0/187 0/19 0/203
0/185 0/19 0/22 0/224
0/225 0/226 0/227 0/241
0/247 0/253 0/257
Bom o nível de -,-2 de si%niic=ncia, teste a iptese de que os bebedores de cerveja e os de uísque e semelantes têm os mesmos níveis concentração de "lcool no san%ue. + -,81 e s -,-/1/3 + / -,//3 e s / -,-/03 e
1o Pa!!o: 2o Pa!!o: o Pa!!o:
4o Pa!!o:
o Pa!!o:
Ex%")()io!: . Bostumase Bostumase avaliar avaliar a inteli%ênc inteli%ência ia das crianças crianças dandoles dandoles blocos blocos e pedindole pedindoless que construam uma torre tão alta quanto possível. Gepetiuse um mês depois o mesmo e+perimento, com os tempos (em se%undos) dados na tabela a se%uir. #o nível de
-,- de si%niic=ncia, teste a tempos. Briança A J B * w tentativa 0- 4 4 /0 /4 /w tentativa 0- 8 1 5 1
airmação de que não " dierença entre os dois K F $ > S Q U # 3 5 1/ /- / 0 4 1 5 3 0 2/ 2/ 1 // 3 5 0- 1 3 2
/. @til @tili! i!ee o níve nívell de si%ni si%niic ic=nc =ncia ia de -,-2 -,-2 para testa testarr a ale%a ale%açã çãoo de que as duas amos amosttras ras prov provêm êm de popu popula laç& ç&es es com com a mesm esma média édia.. As amos amosttras ras são são independentes. *lem *lement entos os Crat Cratado adoss *lem *lement entos os #ãoC #ãoCratad ratados os n 6 8n/ 6 32 + / 4,88 + 5,32 E 6 /,-2 E/ 6 /,55 0. estr estress essee aet aetaa a capa capaci cida dade de de memo memori ri!a !ação ção de test testem emun una ass ocul oculare ares s *ste *ste problema oi estudado em um e+perimento que testou a memria visual de uma test testem emun una a uma uma sema semana na aps aps o inte interr rro%a o%at tri rioo no norm rmal al de um suspe suspeit itoo qu quee cooperava, e um interro%atrio e+austivo de um suspeito que não cooperava. s números de detales lembrados uma semana aps o incidente estão resumidos aqui. #o nível de -,-, teste a airmação do arti%o de que Lo cansaço concorre para diminuir a quantidade de detales lembrados.M Eem *stresse Bom *stresse n 6 1n/ 6 1+ / 12,0 + 20,0 E 6 ,8 E/ 6 0,/ 1. s dado dadoss rel relati ativos vos
11/5 11/5 12 12/5 13 13
7 7 7/5 8 8 8/5 8/5
9 9 9 10/5 11 11 12
Ceste a airmação que a renda mensal média de advo%ados e en%eneiros são i%uais. ( 6 -,-2) 2. s distúrbi distúrbios os psiqui"tr psiqui"trico icoss sérios sérios estão relacion relacionado adoss com atores atores biol%i biol%icos cos que possam ser observados isicamente *m um estudo oi utili!ada a tomo%raia computadori!ada de raios W para coletar dados sobre o tamano do cérebro de um %rupo de pacientes com distúrbios obsessivoscompulsivos, e um %rupo de controle const constit ituí uído do de pesso pessoas as sadia sadias. s. A list listaa apres apresent entaa os resul resulta tado doss amost amostrai raiss (em (em milímetros) para volumes do cordato direito. 9acientes obsessivoscompulsivos 0/21
0/305
Frupo de controle 0/344
0/334
0/429
0/483
0/287 0/288 0/304
0/308 0/334 0/34
0/407 0/455 0/463
0/349 0/402 0/413
0/445 0/46 0/476
0/501 0/519 0/594
Bom nível de -,- de si%niic=ncia, teste a airmação de que os pacientes obsessivoscompulsivos obsessivoscompulsivos e as pessoas sadias têm os mesmos volumes cerebrais.
T%!t% pa"a ua p"opo"ção evemos calcular: 8
p p
p( p)
onde:
6 proporção amostral p- 6 valor da iptese nula n 6 tamano da amostra n p
n
Ex%plo: @ma estação de televisão airma que 8- dos televisores estavam li%ados no seu pro%rama especial do último s"bado. @ma rede competidora deseja contestar essa airmação e decide, para isso, usar uma amostra de /-- amílias. estas /-- amílias -1 responderam airmativamente. Ao nível de 2 de si%niic=ncia qual a sua conclusão 1o Pa!!o: 2o Pa!!o: o Pa!!o: 4o Pa!!o: o Pa!!o: T%!t% pa"a &ua! p"opo"çV%! evemos calcular: _
( p p / ) ( p p / ) p.q n
p.q n/
n . 6 onde: p
+. n.
(proporção amostral)
p 6 proporção populacional n 6 tamano da amostra p
+. + / n. n /
e
q . p .
*+emplo: *+emplo: 9esquisadores 9esquisadores i!eram i!eram um estudo de empre%adas empre%adas da >JU que estavam estavam %r"vidas. e 0- empr empre% e%ad adas as que que lida lidava vam m com com éter éter% %li lico col, l, - (ou (ou 00 00,0 ,00 0)) tive tivera ram m abor aborto to (espont=neo), mas, de 32- que não estavam e+postas ao éter%licol, apenas /- (ou 8) abortaram. #o nível de -,- de si%niic=ncia, teste a airmação de que as muleres e+postas ao éter%licol apresentam maior ta+a de aborto. 1o Pa!!o:
2o Pa!!o:
o Pa!!o: 4o Pa!!o: o Pa!!o: 1= A preocupação com ambiente entra req?entemente em conlito com a tecnolo%ia
moderna, como no caso dos p"ssaros que representam peri%o para a aviação durante a decola%em. @m %rupo ambiental airma que tais acidentes com p"ssaros são tão raros que não se justiica mat"los. @m %rupo de pilotos ale%a que entre as decola%ens interrompidas que levam um avião a ultrapassar o inal da pista, - são devidas a colisão com p"ssaros. Ceste esta airmação ao nível de -,-2. os dados consistem em 31 decola%ens interrompidas, destas 2 oram devidos < colisão com p"ssaros. 2= @m relatrio do Uinistério da Sustiça dos *@A inclui a airmação de que Lem casos de
crimes entre casais, as esposas acusadas têm menor probabilidade de ser condenadas do que os maridos acusados.M s dados amostrais consistiram em /33 condenaç&es entre 05 maridos acusados, e 22 condenaç&es entre /// esposas acusadas. Cese a airmação eita com nível de -,- de si%niic=ncia. = @ma que questã stãoo de teste teste é con consid siderad eradaa boa se permit permitee discri discrimi minar nar entre entre estudan estudantes tes
preparados e estudantes nãopreparados. A primeira questão de um teste oi respondida respo ndida corretamente por 8/ dentre 5- alunos preparados, e por /0 dentre 2- alunos não preparados. Bom o nível de -,-2 de si%niic=ncia, teste a airmação de que esta questão oi respondida corretamente por uma proporção maior de estudantes preparados
