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Data: 07/2013
Apostila de Isostática
%iga &ia#oiada
%iga 'er&er
P(rti"o &ia#oiado
)reli*a
+odelo es#a"ial de ,!a estr,t,ra de ra!#a
Pers#e"tiva
____________________________________________________________________________________ Prof.: Rogério de Carvalho Paes de Andrade e!ail: rogerio"#a$g!ail."o! rogerio"#a$g!ail."o!
C,rso de an-lise estr,t,ral str,t,ras isost-ti"as
Prof.: Rogério de C. P. de Andrade e!ail: rogerio"#a$g!ail."o!
Sumário
____________________________________________________________________ ________________________________ 2 Introdução ____________________________________ Condições de equilíbrio ________________________________________________________ 3
'ra,s de li&erdade________________________________________________ li&erdade____________________________________________________________ ____________ 3 A#oios _____________________________________________________________________ sta&ilidade e estati"idade _____________________________________________________ ista de eer""ios n. 1 ______________________________________ ________________________________________________________ __________________ 4 _______________________________________________________________________ ___________________________ 5 Cargas ____________________________________________ Cargas "on"entradas __________________________________ __________________________________________________________ ________________________ 5 Cargas distri&,das ___________________________________________________________ 5 Carga !o!ento __________________________________________________ ______________________________________________________________ ____________ 5 ista de eer""ios n. 2 ______________________________________ ________________________________________________________ __________________ 6 _____________________________________________________________ _______________________________ 11 Esforços internos ______________________________ Defini*ão __________________________________________________________________ 11 ista de eer""ios n. 3 ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 17 ______________________________________________________________ _______________________________ 20 Pórticos simples _______________________________ Defini*ão __________________________________________________________________ 21 ista de eer""ios n. ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 22 _________________________________________________________________ _______________________________ 2 igas !erber __________________________________ Defini*ão __________________________________________________________________ 2 ista de eer""ios n. ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 27 "reliças simples ______________________________________________________________ 30
Defini*ão __________________________________________________________________ 30 ista de eer""ios n. 4 ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 36 #ibliografia __________________________________________________________________ 0
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C,rso de an-lise estr,t,ral str,t,ras isost-ti"as
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Sumário
____________________________________________________________________ ________________________________ 2 Introdução ____________________________________ Condições de equilíbrio ________________________________________________________ 3
'ra,s de li&erdade________________________________________________ li&erdade____________________________________________________________ ____________ 3 A#oios _____________________________________________________________________ sta&ilidade e estati"idade _____________________________________________________ ista de eer""ios n. 1 ______________________________________ ________________________________________________________ __________________ 4 _______________________________________________________________________ ___________________________ 5 Cargas ____________________________________________ Cargas "on"entradas __________________________________ __________________________________________________________ ________________________ 5 Cargas distri&,das ___________________________________________________________ 5 Carga !o!ento __________________________________________________ ______________________________________________________________ ____________ 5 ista de eer""ios n. 2 ______________________________________ ________________________________________________________ __________________ 6 _____________________________________________________________ _______________________________ 11 Esforços internos ______________________________ Defini*ão __________________________________________________________________ 11 ista de eer""ios n. 3 ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 17 ______________________________________________________________ _______________________________ 20 Pórticos simples _______________________________ Defini*ão __________________________________________________________________ 21 ista de eer""ios n. ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 22 _________________________________________________________________ _______________________________ 2 igas !erber __________________________________ Defini*ão __________________________________________________________________ 2 ista de eer""ios n. ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 27 "reliças simples ______________________________________________________________ 30
Defini*ão __________________________________________________________________ 30 ista de eer""ios n. 4 ______________________________________ _______________________________________________________ _________________ 36 #ibliografia __________________________________________________________________ 0
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Introdução
A estr,t,ra é ,! "on8,nto for!ado #elas #artes resistentes 9,e garante! a esta&ilidade de ,! o&8eto de #ro8eto #or ee!#lo ,!a edifi"a*ão. ;,ando se #ro8eta ,!a estr,t,ra a an-lise do "o!#orta!ento estr,t,ral eige 9,e se8a! feitas alg,!as si!#lifi"a*
s #rin"i#ais são: Pro8eto ar9,itet?ni"o: As#e"tos f,n"ionais @di!ensão do es#a*o interno il,!ina*ão li!ita*s siste!as estr,t,rais são !odelos de "o!#orta!ento ideali=ados #ara re#resenta*ão e an-lise de ,!a estr,t,ra tridi!ensional. stes !odelos o&ede"e! a ,!a "onven*ão. sta "onven*ão #ode ser feita e! f,n*ão da geo!etria das #e*as estr,t,rais 9,e "o!#
#arra de elementos delgados: as trFs di!ens
grande=a. G o "aso dos #erfis !et-li"os onde a es#ess,ra é !,ito !enor 9,e as di!ens
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$ol%as ou l&minas: d,as di!ens
di!ensão. H,÷!se e!:
Placas: "arrega!ento #er#endi",lar ao #lano !édio. C%apas: "arrega!ento "ontido no #lano !édio. Cascas: s,#erf"ie !édia ",rva.
#loco: as trFs di!ens
Condições de equilíbrio
Para ,! "or#o s,&!etido a ,! siste!a de for*as estar e! e9,il&rio é ne"ess-rio 9,e elas não #rovo9,e! nenh,!a tendFn"ia de transla*ão ne! rota*ão a este "or#o. 9,a*
I+ K 0
IJL K 0
I+ K 0
IJ= K 0
I+ K 0 A "ondi*ão ne"ess-ria e s,fi"iente #ara 9,e ,! "or#o este8a e! e9,il&rio s,&!etido a
,! siste!a de for*as é 9,e satisfa*a as e9,a*
Mo es#a*o ,!a transla*ão #ode ser e#ressa #or s,as "o!#onentes seg,ndo 3 eios triortogonais e ,!a rota*ão "o!o a res,ltante de 3 rota*
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Apoios
A f,n*ão dos a#oios é a de restringir os gra,s de li&erdade das estr,t,ras des#ertando "o! isto rea*
b' a#oio do 2 gFnero arti",la*ão o, r(t,la
c' a#oio do 3 gFnero o, engaste
Estabilidade e estaticidade
>s a#oios são e! nN!ero estrita!ente ne"ess-rio #ara i!#edir todos os !ovi!entos #ossveis da estr,t,ra. Meste "aso o nN!ero de rea*s a#oios são e! nN!ero inferior ao ne"ess-rio #ara i!#edir todos os !ovi!entos #ossveis da estr,t,ra. Meste "aso evidente!ente tere!os !ais e9,a*
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>s a#oios são e! nN!ero s,#erior ao ne"ess-rio #ara i!#edir todos os !ovi!entos #ossveis da estr,t,ra. Meste "aso tere!os !enor nN!ero de e9,a*
M. MCO'M)AH M. ;QASH K T UP>H)V)CA
•
M. MCO'M)AH K M. ;QASH K T H>H)V)CA
•
M. MCO'M)AH W M. ;QASH K T UPRH)V)CA
.: "lassifi"ar as estr,t,ras a&aio 9,anto a s,a esta&ilidade e estati"idade. a'
b'
c'
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-ista de e.ercícios n/0 1 Classifique as estruturas abai.o quanto a sua estabilidade e estaticidade/ a'
Res#.: sost-ti"a
b'
Res#.: sost-ti"a
c'
Res#.: Ui#ost-ti"a
d'
Res#.: Ui#ost-ti"a
e'
Res#.: Ui#erest-ti"a
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f'
Res#.: Ui#erest-ti"a
g'
Res#.: sost-ti"a
g'
Res#.: Ui#erest-ti"a
i'
Res#.: Ui#erest-ti"a
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Cargas
Classifi"a*ão das "argas e! rela*ão E s,a lei de distri&,i*ão. Mão est,dare!os #or ora a "lassifi"a*ão das "argas 9,anto E s,a o"orrFn"ia e! rela*ão ao te!#o. Cargas concentradas
As "argas "on"entradas são ,!a for!a a#roi!ada de tratar "argas distri&,das seg,ndo -reas de "ontato tão #e9,enas.
Cargas distribuídas
>s ti#os !ais ,s,ais de "argas distri&,das 9,e o"orre! na #r-ti"a são as "argas ,nifor!e!ente distri&,das @"onstante e as "argas triang,lares @"asos de e!#,o de terra e de -g,a indi"adas a&aio.
Carga ,nifor!e!ente distri&,da
Carga linear!ente distri&,da
A res,ltante de ,! "arrega!ento distri&,do é ig,al E -rea "o!#reendida entre a linha 9,e define este "arrega!ento e o eio da &arra so&re a 9,al est- a#li"ado sendo se, #onto de a#li"a*ão o "entro de gravidade da referida -rea.
Carga momento
A estr,t,ra ta!&é! #ode alé! de estar soli"itada #or "argasfor"a @"on"entrada e o, distri&,das estar soli"itada #or "argas!o!ento. A "arga!o!ento é "ara"teri=ada #elo se, !(d,lo dire*ãosentido e #onto de a#li"a*ão.
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-ista de e.ercícios n/0 2 Calcular as reações de apoio das estruturas abai.o, +bs/, considerar todas as cotas em metro.
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%A K 30 XM @Y / UA K 0 %C K 30 XM @Y
23
%A K 10 XM @Y / UA K 0 %Z K 10 XM @Y
43
+A K 30 [M.! @ / %A K 0 / UA K 0 ↶
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%A K 12 XM @Y / UA K 544[M @T % K 37 XM @Y
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%A K 20 XM @Y / UA K 0 %C K 350 XM @Y
73
%Z K 3437 XM @Y / UZ K 33 [M @T %D K 312 XM @Y
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%Z K 300 XM @Y / UZ K 34 [M @\ %D K 30 XM @Y
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+A K 42 [M.! @ / %A K 20 XM @Y / UA K 33 [M @T ↶
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Esforços internos :efinição
Considerase a &arra a&aio "o! ,! #lano de "arga #aralelo ao #lano L e #assando #elo "entro de "isalha!ento. Desta for!a os esfor*os soli"itantes se res,!e! a: for*a nor!al @M for*a "ortante @; e !o!ento fletor @+.
As e9,a*
Devese "onsiderar ,! novo "orte toda ve= 9,e as e9,a*
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Devido ao "arrega!ento 9,e at,a na #arte E es9,erda o, E direita do "orte s,rge! esfor*os res,ltantes da for*a Jrl na dire*ão do eio longit,dinal da &arra de for*a Jrt na dire*ão L transversal ao eio da &arra e de !o!ento +r. Conhe"endose os esfor*os ativos e reativos é #ossvel deter!inar os esfor*os res,ltantes @Jrl Jrt e +r 9,e são e9,ili&rados #elos res#e"tivos esfor*os soli"itantes @M ; e + através das e9,a*
Con;enções de sinais
Ad!ite!se os esfor*os #ositivos "onfor!e os sentidos indi"ados a&aio. $orça normal <= T é #ositiva se tra"ionar o tre"ho "onsiderado.
$orça cortante <>' T é #ositiva desde 9,e o &in-rio #rovo9,e giro no sentido hor-rio.
*omento fletor <*' T é #ositivo se #rovo"a tra*ão nas fi&ras inferiores.
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Res,!o da "onven*ão de sinais #ositivos
�
Através de rela*
Cortante <>'
$letor <*'
Constante
J,n*ão do 1
Qnifor!e!ente distri&,da
J,n*ão do 1
J,n*ão do 2
inear!ente distri&,da
J,n*ão do 2
J,n*ão do 3
Con"entrada
E.emplos, E./, 1 %iga &ia#oiada s,&!etida a ,!a "arga "on"entrada.
10 Passo ? Cálculo das reações de apoio
IJK0 @T] UA K 0 IJLK0 @Y] %A ]%C P K 0 %A K P %C I+AK0 @] P.a %C.l K 0 %C.l K P.a
@1
%C K P.a / l "o!o & K l a %A K P.& / l
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20 Passo ? Cálculo dos esforços internos
Ponto Z @es9,erda IJK0 MK0 IJLK0 ; ] P.& / l K 0 ; K P.& / l I+AK0 + @P.& / l. K 0 + K @P.& / l.
40 Passo ? :iagrama dos esforços solicitantes
+bs.: ao se criar uma seção sob uma carga concentrada haverá a necessidade de se analisar a seção sem e com a carga concentrada para os esforços que serão afetados com o surgimento da força.
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E./, 2 %iga &ia#oiada s,&!etida a ,! "arrega!ento ,nifor!e!ente distri&,do.
10 Passo ? Cálculo das reações de apoio
IJK0 @T] UA K 0 IJLK0 @Y] %A ]%Z 9.l K 0 %A K 9.l %Z I+AK0 @] @9.l.@l/2 %Z.l K 0 %Z.l K 9.l^/2 @1 %Z K 9.l/2 logo: %A K 9.l / 2
20 Passo ? Cálculo dos esforços internos
He*ão H @ao !eio do vão IJK0 MK0 IJLK0 ; ] 9.l/2 9.l/2 K 0 ;K0 I+K0 + ] @9.l/2.@l/ @9.l/2.@l/2 K 0 + ] @9.l^/5 @9.l^/ K 0 + ] @9.l^ 29.l^/5 K 0 + K 9.l^/5
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40 Passo ? :iagrama dos esforços solicitantes
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-ista de e.ercícios n/0 4 Calcular o que se pede para as estruturas abai.o, +bs/, considerar todas as cotas em metro. a' as rea*
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DC @[M
%A K 30 XM @Y / UA K 0 %C K 30 XM @Y D+J @[M.!
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DC @[M %A K 10 XM @Y / UA K 0 %Z K 10 XM @Y D+J @[M.! 43
D+J @[M.! +A K 30 [M.! @ / %A K 0 / UA K 0 ↶
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DM @[M %A K 12 XM @Y / UA K 544[M @T % K 37 XM @Y
DC @[M
D+J @[M.!
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DC @[M %A K 20 XM @Y / UA K 0 %C K 350 XM @Y
D+J @[M.!
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DM @[M
%Z K 3437 XM @Y / UZ K 33 [M @T %D K 312 XM @Y DC @[M
D+J @[M.!
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D+J @[M.!
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DM @[M
+A K 42 [M.! @ / %A K 20 XM @Y / UA K 33 [M @T ↶
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Pórticos simples
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:efinição
>s #(rti"os #lanos são estr,t,ras for!adas #or ele!entos @o, &arras ",8os eios "o! orienta* "arrega!ento at,ante ta!&é! #erten"e ao #lano da estr,t,ra. >s n(s 9,e inter"one"ta! os ele!entos dos #(rti"os #ode! ser rgidos o, arti",lados. iste! 9,atro ti#os f,nda!entais de #(rti"os isost-ti"os #lanos aos 9,ais "ha!a!os #(rti"os si!#les 9,ando o"orre! isolada!ente e 9,e asso"iados entre si da !es!a for!a "o! 9,e asso"ia!os vigas si!#les #ara "onstit,ir as vigas 'er&er for!a! os assi! "ha!ados #(rti"os "o!#ostos. Para se tra*ar o diagra!a dos !o!entos fletores at,antes n,! 9,adro &asta !ar"ar os !o!entos fletores at,antes e! se,s n(s lig-los #or ,!a linha reta tra"e8ada a #artir da 9,al #end,ra!os os diagra!as de viga &ia#oiada devidos aos "arrega!entos at,antes so&re "ada ,!a das &arras 9,e "onstit,e! o 9,adro. >s diagra!as são !ar"ados "o!o no "aso das vigas #er#endi",lar!ente ao eio de "ada &arra. Para a o&ten*ão dos diagra!as de esfor*os "ortantes e esfor*os nor!ais é i!ediata a #artir do "onhe"i!ento das rea*
a' Pórtico biapoiado
b' Pórtico engastado e li;re
Z
C
A
D
c' Pórtico triarticulado
Z
C
A
d' Pórtico biapoiado@ com articulação e tirante
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Z
C
A
D
Z
C
A
D
A &arra AC no #(rti"o da letra @d estar- s,&!etida a#enas a ,! esfor*o nor!al @M "onstante no "aso de ser de tra*ão a &arra ser- deno!inada tirante e no "aso de ser de "o!#ressão serdeno!inada de es"ora. >&s.: esta &arra AC é des"arregada e rot,lada nas etre!idades #oss,indo e! todas as se*
Z
C
A
D
-ista de e.ercícios n/0 5
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Para os #(rti"os a&aio "al",le: a' as rea*
1)
2) 3[M/!
Z
C
H2
0 : 2
10[M
[M 10[M/! 0 : 1
Z
H3
D
H1
C
H2
0 : 2
0 : 1
H1
0 : 2
0 : 2
A
A 2
2
1
1
0 a' (eações de apoio
a' (eações de apoio
%A K 3 [M @Y / U A K 10 [M @\ %D K 11 [M @Y
%A K [M @Y / UA K 0 [M @\ +A K 6 [M.! @
b' Esforços internos S1 = <=' > <=' * <=/m'
3 0 / 10 20
S2
S4
0 16
11 0 0
c'
b' Esforços internos S1
S2
20 3
0 7
= <=' > <=' * <=/m' c'
DM @[M
DM @[M
DC @[M
DC @[M
D+J @[M.!
D+J @[M.!
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3)
4) 3[M/!
Z
Z
C
H2
C
D
H2
7 : 1
0 : 2
H1
[M
H1
H3
7 : 1 0 : 2
A 30
A
30 10
J 2
2
10
70 a' (eações de apoio
a' (eações de apoio
%A K 6 [M @Y / U A K 0 [M %C K 6 [M @Y
%A K 6 [M @Y / U A K [M @ %J K [M @Y
b' Esforços internos S1 = <=' > <=' * <=/m'
6 0 0
→
b' Esforços internos S2
0 0 13
c'
= <=' > <=' * <=/m'
S1
S2
S4
6 / 0 10
0 2 03
0 0
c'
DM @[M DM @[M
DC @[M DC @[M
D+J @[M.! D+J @[M.!
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igas !erber :efinição
As vigas 'er&er re"e&e! este no!e e! ho!enage! ao engenheiro ale!ão Ueinri"h 'er&er @15321612. As vigas 'er&er tivera! se, a#are"i!ento ditado #or !otivos de orde! estr,t,ral e "onstr,tiva. Estrutural T #er!itir defor!a*
re"al9,es diferen"iais nos a#oios. Construti;os T #er!itir o lan*a!ento de vigas #ré!oldads e! vãos so&re leitos de rio o, de
dif"il a"esso.
sta sol,*ão nos #er!ite a ee",*ão e! se#arado dos tre"hos AZ J e JCD "o! o 9,e #odera!os es"orar ini"ial!ente o tre"ho AZ e "on"ret-lo a seg,ir transferira!os o es"ora!ento #ara o tre"ho JCD 9,e seria #osterior!ente "on"retado e en"errando a ee",*ão da estr,t,ra #odera!os #réfa&ri"ar a viga J lan*andoa atravé= de ,!a gr,a. As vigas 'er&er te! l,gar de grande i!#ortBn"ia na ngenharia estr,t,ral e a tendFn"ia desta i!#ortBn"ia é a,!entar tendo e! vista o desenvolvi!ento das té"ni"as de #réfa&ri"a*ão e !ontage! de estr,t,ras. >s dentes 'er&er nada !ais são do 9,e r(t,las @+ K 0 "onveniente!ente introd,=idas na estr,t,ra de for!a a !antendo a s,a esta&ilidade torn-la isost-ti"a. As vigas 'er&er #ode! #ortanto ser "onsideradas "o!o ,!a asso"ia*ão de vigas si!#les @&ia#oiadas &ia#oiadas "o! &alan*os o, engastadas e livres ,!as "o! esta&ilidade #r(#ria @ CEP e o,tras se! esta&ilidade #r(#ria @SEP. !#ortante ressaltar 9,e as #artes identifi"adas "o!o SEP são ta!&é! est-veis entretanto a esta&ilidade delas de#ende da esta&ilidade das vigas so&re as 9,ais se a#oia!. As vigas 'er&er #or sere! asso"ia*
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.: He#are as estr,t,ras a&aio e! tre"hos SEP e CEP.
a'
A
Z
C
b'
A
Z
C
D
J
'
U
c'
A
Z
C
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-ista de e.ercícios n/0 6
Para as estr,t,ras a&aio fa*a: a' indi9,e os tre"hos "o! esta&ilidade #r(#ria @ CEP e os tre"hos se! esta&ilidade #r(#ria
@SEP b' "al",le as rea*
1)
40[M
20[M/! A
Z
3!
C
2!
D
3!
2!
J
1!
11! a'
b'
CP T )re"ho CJ
%Z K 12 [M @↑
HP T )re"ho AC
%D K 40 [M @ ↑ %J K 3 [M @↑
C'
:EC <='
:*$ <=/m'
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2) 30[M
20[M/! 10[M/!
10[M/! A
Z
2!
C
!
D
2!
!
2!
J
'
2!
U
2!
16! a'
b'
CP T )re"ho CJ
%Z K [M @↑
HP T )re"hos: AC e JU
%D K 101 [M @↑ % K 106 [M @↑
C'
:EC <='
:*$ <=/m'
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3) 10[M
A
Z
1!
20[M
C
1!
D
1!
[M.!
2!
J
2!
'
1!
U
2!
1!
12! a'
b'
CP T )re"ho C'
%A K [M @↑
HP T )re"hos: AC e '
%D K 143 [M @↑ %J K 7 [M @↑ % K 17 [M @ ↑
C'
:EC <='
:*$ <=/m'
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"reliças simples :efinição
)reli*a ideal é ,! siste!a reti",lado indefor!-vel ",8as &arras #oss,e! todas as s,as etre!idades rot,ladas e ",8as "argas estão a#li"adas nestas r(t,las @n(s. A deno!ina*ão treli*a #lana devese ao fato de todos os ele!entos do "on8,nto #erten"ere! a ,! Nni"o #lano. A s,a ,tili=a*ão na #r-ti"a #ode ser o&servada e! #ontes viad,tos "o&ert,ras g,indastes torres et". e!#lo:
+bser;ações, •
;,al9,er #olgono 9,e "onstit,a ,! siste!a reti",lado 9,ando arti",lado e! se,s vérti"es é defor!-vel @hi#ost-ti"o "o! e"e*ão dos "asos a&aio:
•
As treli*as s,rgira! "o!o ,! siste!a !ais e"on?!i"o 9,e as vigas #ara
ven"ere! vãos !aiores o, s,#ortar "argas !aiores. •
!&ora o "aso !ais geral se8a o de treli*as es#a"iais o !ais fre9,ente é o de
treli*as #lanas 9,e ser- o est,dado e! nosso ",rso. •
!agina!se as &arras rot,ladas e! s,as etre!idades @isto é sendo livre s,a
rota*ão relativa nos n(s "onfor!e fig,ra @a. Mão é fre9,ente no entanto a ,nião destas &arras nesta for!a sendo !ais "o!,! ligar as &arras nos n(s através de "ha#as a,iliares nas 9,ais re&ita!os solda!os o, #araf,sa!os as &arras "on"orrentes "onfor!e fig,ra @&.
Jig,ra @a
Jig,ra @&
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stas liga*
•
st,dos reali=ados de!onstra! 9,e desde 9,e todas as &arras tenha! se,s eios no !es!o #lano e 9,e estes eios se en"ontre! e! ,! Nni"o #onto e! "ada n( @P): #onto de tra&alho os res,ltados reais difere! !,ito #o,"o dos res,ltados o&tidos #ela teoria 9,e va!os desenvolver sendo ela v-lida do #onto de vista #r-ti"o.
Solicitações internas
Pode!os fa"il!ente de!onstrar 9,e as &arras de ,!a treli*a #or tere! s,as etre!idades rot,ladas não a&sorve! !o!ento desenvolve! a#enas esfor*os nor!ais "onstantes ao longo da &arra.sto #ode ser vis,ali=ado isolandose ,!a &arra de ,!a treli*a. Ha&ese 9,e ,!a r(t,la não trans!ite !o!ento a#enas esfor*os na dire*ão do eio e #er#endi",lares a ele. Por o,tro lado as "argas eternas s( estão a#li"adas nos n(s. A an-lise do e9,il&rio !ostra 9,e nas etre!idades das &arras de ,!a treli*a s( eiste! esfor*os na dire*ão do eio longit,dinal da !es!a e 9,e são de !es!o !(d,lo #oré! sentidos "ontr-rios. A eistFn"ia de esfor*os #er#endi",lares ao eio da &arra @esfor*o "ortante é des"artada #ois as &arras não são "arregadas ao longo de se, eio e te! nas s,as etre!idades !o!entos n,los.
Conclusão, A Nni"a soli"ita*ão interna desenvolvida é o sfor*o Mor!al "onstante ao longo da
&arra. Co!o o esfor*o nor!al é "onstante ao longo da &arra #ode!os "al",lar o se, valor e! ,!a se*ão 9,al9,er da &arra.
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Classificação da estaticidade de uma treliça
He8a!: b nN!ero de &arras r nN!ero de rea*
As in"(gnitas do #ro&le!a serão e! nN!ero de b B r o, se8a o nN!ero de rea* nN!ero de e9,a*
se! antes analisar!os os a#oio eternos @"ondi*
isost-ti"a.
E.emplo,
&K rK3 nK &]rT]3T5 2nT2T5 Co!o b B r D 2 n a treli*a é eterna!ente &ia#oiada e interna!ente #oss,i a lei de for!a*ão de ,!a treli*a si!#les @r ] & K 2n é então "lassifi"ada "o!o isostática/
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*Ftodos de análise das treliças
*Ftodo dos =ós
G o !étodo nat,ral de resol,*ão 9,e "onsiste e! se est,dar o e9,il&rio de "ada n( isolado. Devese I=ICIA( E P(+SSE!)I( #elos n(s 9,e #oss,a! a#enas d,as in"(gnitas E deter!inar @esfor*o nor!al de 2 &arras. A#li"a!se as e9,a*
IJLK0.
Motese 9,e se o n( tiver !ais de 2 &arras E sere! deter!inadas as 2 e9,a*
1 Passo T "-l",lo das rea*
"o!etidos. *Ftodo de (itter ou *Ftodo das Seções
> !étodo de Ritter #er!ite 9,e se "al",le! os esfor*os nor!ais a#enas e! alg,!as &arras 9,e #ossa! nos interessar. (+"EI(+,
1 Passo T "-l",lo das rea*
nos #are"ere! !ais "onvenientes #odendose fa"il!ente !es"lar os 2 !étodos se! #ro&le!a alg,!.
*Ftodo de Cremona
G ,! !étodo gr-fi"o 9,e #re"oni=a a 8,sta#osi*ão dos #olgonos de for*as 9,e trad,=e! o e9,il&rio de "ada n(. st- e! des,so e! f,n*ão da !e"ani=a*ão dos "-l",los.
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E.emplo de aplicação para o mFtodo dos nós
Deter!inar as rea*
1 0 Passo ? (eações de apoio
`J K 0 @T ] UA ] 4 K 0 UA K 4
@1
GA D 7 =
`JL K 0 @Y ] %A ] %Z 20 K 0 %A ] %Z K 20 `+A K 0 @ ] 20 2 ] 4 1 %Z K 0 0 ] 6 %Z K 0 # D 12@26 =
ogo %A K 20 %Z %A K 20 122 A D 8@86 =
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2 0 Passo 3 Esforços internos
)g K 1 / 2 K 07 T 37 @Hen 37 K 040 e Cos 37 K 050 =ó A
`JL K 0 @Y ] 77 ] MAC Hen 37 K 0 77 ] MAC 040 K 0 =AC D ?12@H2 =
`J K 0 @T ] 40 ] MAD ] MAC Cos 37 K 0 40 ] MAD ] @ 1262 050 K 0 40 ] MAD 103 K 0 =A: D 17@44 =
=ó :
`JL K 0 @Y ] MDC 20 K 0 =:C D 2@ =
`J K 0 @T ] MDA ] MDZ K 0 MDZ K MDA =:# D 17@44 =
=ó #
`JL K 0 @Y ] 122 ] MZC Hen 37 K 0 122 ] MZC 040 K 0 =#C D ? 2@52 =
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E.emplo de aplicação para o mFtodo de (itter ou mFtodo das seções
Deter!inar as rea*
1 0 Passo ? (eações de apoio
`J K 0 @T ] GA D
`JL K 0 @Y ] %A ] %Z 15 34 K 0 %A ] %Z K
`+A K 0 @ ] 15 2 ] 34 %Z 4 K 0 150 4%Z K 0 # D 4@ =
ogo %A K %Z %A K 300 A D 25@ =
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2 0 Passo 3 Esforços internos
)g K 2 / 2 K 10 T @Hen K Cos K 071 Seção 1?1
`JL K 0 @Y ] 2 15 ] MD Cos K 0 4 ] MD 071 K 0 =E: D ? 9@56 =
`+ K 0 @ ] 2 2 ] MCD 2 K 0 =C: D ? 25@ =
`J K 0 @T ] MJ ] MD Cos ] MCD K 0 MJ ] @ 5 071 ] @ 2 K 0 MJ 4 2 K 0 =E$ D 4@ =
=ó A
`JL K 0 @Y ] 2 ] MAC Cos K 0 2 ] MAC 071 K 0 =AC D ? 44@9 =
`J K 0 @T ] MA ] MAC Cos K 0 MA ] @ 335 071 K 0 =AE D 25@ =
=ó E
`JL K 0 @Y ] 15 ] MC ] MD Cos K 0 15 ] MC ] @ 5 071 K 0 15 ] MC 4 K 0 =EC D 25@ =
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=ó #
`JL K 0 @Y ] 30 ] MZD Cos K 0 30 ] MZD 071 K 0 =#: D ? 52@26 =
`J K 0 @T ] MZJ MZD Cos K 0 MZJ @ 22 071 K 0 MZJ ] 30 K 0 =#$ D 4@ =
=ó $
`JL K 0 @Y ] MJD 34 K 0 =$: D 47 =
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-ista de e.ercícios n/0 7
Deter!inar os esfor*os nor!ais at,antes nas treli*as a&aio. 20[M
a'
Respostas
Esforços externos: VA = 40 kN (↓) VB = 60 kN (↑) Esforços internos: NAB = 0 NAC = + 200 kN (!) NA" = + 2#$ kN (!) NB" = % 600 kN (C) NC" = % 200 kN (C) NCE = 0 NC& = + 2#$ kN (!) NE& = % 200 kN (C) N"& = % 400 kN (C)
20[M
HA = 20 kN (←)
b' Respostas
20 [M 20 [M
20 [M
10 [M
10 [M
Esforços externos: VA = 40 kN (↑) HA = 0 VB = 40 kN (↑) Esforços internos: NAC = NC" = % '$64 kN (C) NA& = + '$2$ kN (!) N& = + #0 kN (!) NC& = % 200 kN (C) N&" = + 4*6 kN (!) N" = 0
c' Respostas 20 [M 20 [M
20 [M 20 [M
20 [M 20 [M
Esforços externos: HA = '00 kN () VE = 60 kN (↑) HE = *0 kN (←) Esforços internos: NAB = % *,0 kN (C) NBC = NC" = % ,00 kN (C) NE& = + *#2 kN (!) N& = + 6'4 kN (!) N" = + 444 kN (!) NAE = + 2,0 kN (!) NA& = % $,2 kN (C) NB = % 2#2 kN (C) NB& = + '26 kN (!) NC = 0
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