CONCRETO ARMADO I LAS ESTRUCTURAS DE CONCRETO ARMADO: Una estructura de concreto armado se concibe como un sistema, es decir como un conjunto de partes ó componentes que se combinan en forma ordenada para cumplir una determinada función. Esta función puede ser: Salvar un vano, como en el caso de los puentes; confinar un espacio, como en el caso de los edificios; ó contener un empuje, como sucede en los muros de contención ó sostenimiento, sostenimiento, tanques ó silos. 3
2
1
ICRUJIA
ICRUJIA
EDIFICIO DE 3 PLANTAS
PUENTE EN ARCO I
E
A
J
K
L
F
G
H
B
C
D
SECCION TRANSVERSAL DE UN SILO MURO DE CONTENCION
La estructura debe cumplir la función a la cual está destinada con un grado razonable de seguridad, de manera tal que tenga un comportamiento adecuado en las condiciones normales de servicio. Además debe satisfacer otros requisitos, tales como mantener el costo dentro de límites económicos y cumplir determinadas exigencias estéticas. Las estructuras de concreto reforzado tienen ciertas características derivadas de los procedimientos procedimien tos constructivos construct ivos usados en la fabricación, fabricació n, que las distinguen de las estructuras de otros materiales.
a) El concreto se prepara es estado plástico, lo que obliga a usar moldes que le dan forma y los sostienen, mientras adquiere la resistencia suficiente para que la estructura sea autosoportante. autosoportante. Estos moldes se determinan encofrados. encofrados.
b) La continuidad de la estructura puede lograrse fácilmente obteniéndose un monolitismo que es consecuencia natural de las características de su construcción. c) Existen dos procedimientos principales para construir estructuras de concreto. Cuando los elementos estructurales se forman en su posición definitiva, se dice que han sido construidas “insitu”. Si se fabrican en un lugar distinto al de su posición definitiva, el procedimiento procedimiento recibe el nombre de “Prefabricación”.
CARACTERISTICAS ACCION RESPUESTA DE ELEMENTOS DE COANCRETO.- Las acciones de una estructura son las solicitaciones a las que puede estar sometida. Entre estas se encuentran, el propio peso, las cargas vivas o sobrecargas, las cargas de viento, las aceleraciones por sismo, etc. La respuesta de una estructura ó de un elemento, es su comportamiento bajo una acción determinada. Puede expresarse como deformación, asentamiento, durabilidad, vibración, etc.
DIEMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO.- Se entiende por dimensionamiento, a la determinación de las propiedades geométricas de los elementos estructurales y de la cantidad y posición del acero de refuerzo. Existen dos procedimientos de dimensionamiento: el tradicional, denominado de ESFUERZOS DE TRABAJO, consistente en determinar los esfuerzos correspondientes a acciones interiores obtenidas de un análisis elásticos de las estructura, bajo respuestas solicitaciones de servicio; y el procedimiento denominado METODO PLASTICO Ó DE RESITENCIA ULTIMA, según el cual los elementos ó secciones se dimensionan para que tengan una resistencia determinada introduciendo un factor de carga.
CARACTERISTICAS GENERALES DEL CONCRETO Y DEL ACERO I.- CARACTERISTICAS DEL CONCRETO a) CARACTERISTICAS ESPUERZO – DEFORMACION. P AREA A
f C Acotamiento Acotamiento a
Kg / cm 2
400
300
L 200
cm C cm
100
P
f C P / A C
a
0
.001
.002
.003
.004
.005
.006
.007
CURVA ESFUERZADEFORMACION EN COMPRESION AXIAL DE UN ESPECIMEN SUJETO A CARGA DE CORTA DURACION.
b) La continuidad de la estructura puede lograrse fácilmente obteniéndose un monolitismo que es consecuencia natural de las características de su construcción. c) Existen dos procedimientos principales para construir estructuras de concreto. Cuando los elementos estructurales se forman en su posición definitiva, se dice que han sido construidas “insitu”. Si se fabrican en un lugar distinto al de su posición definitiva, el procedimiento procedimiento recibe el nombre de “Prefabricación”.
CARACTERISTICAS ACCION RESPUESTA DE ELEMENTOS DE COANCRETO.- Las acciones de una estructura son las solicitaciones a las que puede estar sometida. Entre estas se encuentran, el propio peso, las cargas vivas o sobrecargas, las cargas de viento, las aceleraciones por sismo, etc. La respuesta de una estructura ó de un elemento, es su comportamiento bajo una acción determinada. Puede expresarse como deformación, asentamiento, durabilidad, vibración, etc.
DIEMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO.- Se entiende por dimensionamiento, a la determinación de las propiedades geométricas de los elementos estructurales y de la cantidad y posición del acero de refuerzo. Existen dos procedimientos de dimensionamiento: el tradicional, denominado de ESFUERZOS DE TRABAJO, consistente en determinar los esfuerzos correspondientes a acciones interiores obtenidas de un análisis elásticos de las estructura, bajo respuestas solicitaciones de servicio; y el procedimiento denominado METODO PLASTICO Ó DE RESITENCIA ULTIMA, según el cual los elementos ó secciones se dimensionan para que tengan una resistencia determinada introduciendo un factor de carga.
CARACTERISTICAS GENERALES DEL CONCRETO Y DEL ACERO I.- CARACTERISTICAS DEL CONCRETO a) CARACTERISTICAS ESPUERZO – DEFORMACION. P AREA A
f C Acotamiento Acotamiento a
Kg / cm 2
400
300
L 200
cm C cm
100
P
f C P / A C
a
0
.001
.002
.003
.004
.005
.006
.007
CURVA ESFUERZADEFORMACION EN COMPRESION AXIAL DE UN ESPECIMEN SUJETO A CARGA DE CORTA DURACION.
La carga máxima se alcanza a una deformación unitaria del orden de 0.002 el colapso se presenta a deformaciones que aun entre 0.003 y 0.007. f C
Kg / cm 2
00 50 84 DIAS
00 42 DIAS
50
22 DIAS
00 15 DIAS
50
cm C cm
3 DIAS
00 50 0
.002
.001
.003
.004
.005
.006
EFECTO DE LA EDAD AL ENSAYO EN LA RESISTENCIA.
f C
Kg / cm 2
600
0.33
500 0.40 400 0.50 300 0.67 200 1.00 100
C
0
.001
.0 .002
.003
.004
EFECTO DE LA RELACION AGUA – CEMENTO (lts/Kg de cemento).
f C %
180
P
170 160
K
d
150
/ d
140
K
ESBELTEZ
130 120 110
P
100 90
k / d
80 0
1
3
2
5
4
6
8
7
EFECTO DE LA RELACION DE ESBELTEZ.
ESBELTES: Relación entre la longitud medida en la dirección de la carga y el lado menor del prisma o el diámetro del cilindro. b) CONTRACCION: Las deformaciones por contracción se deben esencialmente a cambio en el contenido de agua del concreto a lo largo del tiempo. El agua de la mezcla se va evaporando e hidrata el cemento. Esto produce cambios volumétricos en la estructura interna del concreto, que a su vez producen deformaciones. c) MODULOS ELASTICOS: En general, son relaciones existentes entre el esfuerzo aplicado a un elemento y la deformación elástica resultante: E
f
El Reglamento ACI-83 presenta la siguiente ecuación: Ec
'
W
* 4270
f ' c 2
Siendo: Ec= W= f c
1.5
modulo de elasticidad del cemento en Kg/cm peso unitario del cemento en Tn/m Resistencia cilíndrica del cemento en compresión en Kg/cm 3
2
Para concreto con agregados de peso normal (W=2.3 T/m ) se puede determinar de la manera siguiente: Ec 15000 f ' c 3
d) RESISTENCIA DEL CONCRETO A TRACCION: Tanto las resistencias como las deformaciones correspondientes, son aproximadamente del orden de 1/10 de los valores respectivos en compresión.
II.- CARACTERISTICAS DEL ACERO. a) CARACTERISTICAS ESFUERZO-DEFORMACION. f C
Kg / cm 2
ACERO DE ALTA RESISTENCIA
8000
TORCIDO EN FRIO
6000
ACERO DE ALTA RESISTENCIA LAMINADO EN CALIENTE
4000
ACERO DE GRADO ESTRUCTURAL
2000
s
0
.01
.02
.03
.04
.05
b) MODULO DE ELASTICIDAD: Con excepción de los aceros pesados en pretensazo, el modulo elástico E s es prácticamente el mismo para todos los aceros de refuerzo y se toma como: Es 2'000,000 Kg / cm 2
ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL Generalmente bajo ninguna circunstancia los elementos de concreto reforzado se encuentran sujetos únicamente a carga axial. Debido a que casi siempre son estructuras continuas, la carga axial se encuentra actuando simultáneamente con momento flexionantes. Las excentricidades accidentales en la colocación de las cargas o los pequeños defectos constructivos introducen momentos flexionantes. Sin embargo el estudio del comportamiento bajo carga axial pura, es útil para comprender el funcionamiento de los diversos tipos de elementos de concreto reforzado y por que el valor de la resistencia a carga axial se utiliza para calcular la resistencia de elementos sujetos a carga axial combinada con otras acciones. Se analizaran elementos con relación de esbeltez mayor que 2 pero menor que 12, siendo la esbeltez aquella relación de longitud a diámetro o menor dimensión de la sección transversal de un elemento cualquiera.
CALCULO DE LA RESISTENCIA DE ELEMENTOS SUJETOS A COMPRESION AXIAL f C
SEGUNDO MAXIMO PRIMER MAXIMO
C2 C1 C3
B
As*fy
CON RECUBRIMIENTO HELICOIDAL SIN RECUBRIMIENTO:C'
f C
A
.001
.002
.003
AC
0.85 f'c Ac
CONCRETO SIMPLE
0
P
.004
.005
.006
.007
.008
.009
.010
CURVAS CARGA – DEFORMACIÓN UNITARIA DE COLUMNAS CORTAS BAJO COMPRESIÓN AXIAL A) COLUMNAS DE CONCRETO SIMPLE: Las características de una columna de concreto simple pueden compararse como las de un prisma de concreto simple, en el que su resistencia disminuye al aumentar su relación de esbeltez, hasta llegar a un valor máximo aproximadamente igual al 85% de la resistencia de otro prisma con relación de esbeltez igual a 2. Por consiguiente su resistencia será:
P 0
0.85 f ' c * A g
P 0 Carga máxima actuante f ' c Resistencia cilíndrica del concreto a los 28 días.
A g Área de la sección transversal de la columna. B) COLUMNAS DE CONCRETO CON REFUERZO LONGITUDINAL Y RECUBRIMIENTO: La resistencia esta dada por la parte correspondiente a una columna de concreto simple, mas la contribución del acero longitudinal en compresión. P 0
Siendo: A g
AC
0.85 f ' c * AC AS * fy
AC AS Área neta del concreto= A g AS
AS Área del acero longitudinal
El reglamento ACI indica que el acero longitudinal esta conformado, por lo menos, por 4 varillas de acero en el sentido longitudinal.
C) COLUMNAS DE RECUBRIMIENTO.
CONCRETO
CON
REFUERZO
HELICOIDAL
SIN
B
p0
CARGA RESISTIDA POR EL CONCRETO + CARGA
RESISTIDA POR LA HELICE SEA: p s
Porcentaje
volumétrico del refuerzo helicoidal.
5 5
p s
volumen de acero en
un
de la helice
volumen del núcleo del concreto en un paso de la helice .
c' d
f Ae * f Y
Ae s
d Diámetro del núcleo centro a centro de la hélice.
helicoidal.
Área de acero Paso de la hélice.
f y
Esfuerzo de fluencia
f 2
Presión confinante ó
f 2 d
del acero de la hélice. lateral.
f Ae * f Y
p s
(2 r ) * Ae ( d ) Ae 4 * Ae d 2 d 2 s * d ( ) * s ( ) s 4 4
1
Del equilibrio de fuerzas:
2 Ae * f y f y (2 Ae ) f 2 (d * s) 4 Ae
s * d
2
f 2 f y
2
De (1) y (2):
pS 2
f 2 f y
1
f 2 pS f y 2
3
Pero según ensayos obtenidos, el esfuerzo axial f 1 necesario para producir la falla cilíndrica de una probeta de concreto es igual a:
f 1 f 'c 4.1 f 2 Donde:
f 'c Resistencia en compresión axial de un cilindro. f 2
Presión lateral ó confinante en el cilindro.
Por consiguiente, la contribución de la hélice en la resistencia de la carga, será aproximadamente igual a 4.1 f 2 * Ac . Según la ecuación (4):
P 0
0.85 f 'c * Ac
4 f 2 * Ac
4
Reemp. (3) y (4):
1 P 0 0.85 f 'c * Ac 4 * p s * f y * Ac 2 Finalmente:
P 0
0.85 f 'c * Ac
2 p s * f y * Ac .
D) COLUMNAS DE CONCRETO CON REFUERZO LONGITUDINAL Y HELICOIDAL CON RECUBRIMIENTO. PRIMER MAXIMO: Su comportamiento inicialmente es similar al de una columna con refuerzo longitudinal y recubrimiento y su deformación unitaria es del orden de 0.002.
P 0
0.85 f 'c * A g A s *
f y
A
SEGUNDO MAXIMO: la contribución del esfuerzo estará dado por el acero longitudinal, el acero de la hélice y el concreto del núcleo.
P 0
0.85 f 'c * Ac
A s * f y
2 p s * f y * Ac
B
La resistencia en este caso, será el valor máximo de (A) y (B).
DISPOSICIONES DEL ACI: Teniendo en cuenta que la compresión simple ó axial implica que la resultante a) actúa en el BARICENTRO de la sección, lo cual es imposible en la practica, la mayor parte de las normas modernas, recomiendan que todos los elementos sometidos a compresión se calculan con una excentricidad mínima occidental, ó bien que se use un COEFICIENTE DE SEGURIDAD. El reglamento ACI establece una excentricidad mínima, en la dirección mas desfavorable, igual al mayor de los dos valores siguientes: h/10 2.5 cm El Reglamento ACI también especifica los siguientes coeficientes de reducción b) de capacidad de carga, en el diseño de columnas.
Para columnas rectangulares ó estribadas: 0.70 Para columnas circulares ó zunchadas: 0.75 Si Pu =Carga última, entonces:
-
Pu
P o
Para el caso de columnas rectangulares, el Reg. ACI establece que debe c) usarse como mínimo 4 varillas de acero en el sentido longitudinal, siendo su cuantía mínima la siguiente: As p s min . 0.01 Donde: p s. b * t b y t: dimensiones de la sección transversal.
Para columnas circulares o zunchadas, se deberán usar como mínimo 6 d) varillas de acero en el sentido longitudinal, siendo su cuantía mínima, la siguiente:
A g f c ' p s. 0.45 1 Ac f y Si D y d son los diámetros exteriores e interior de la sección de la columna, entonce
A g
D 2
4
Ac
y
d 2 4
Cuando las columnas son circulares, el paso “S” del acero helicoidal tiene los e) siguientes límites:
2.5cm S 7.5cm
El acero mínimo que deberá usarse como acero helicoidal, en columnas f) circulares será una varillas de 3 / 8".
PROBLEMA: Para la columnas zunchada que se muestra en la figura, se deberá diseñar el acero helicoidal, si se conoce que f y 4200 Kg / cm2 y f 'c 210 Kg / cm2 Además, se deberá calcular su resistencia.
52cm
1.- DISEÑO DEL ACERO HELICOIDAL.
55cm
Según la expresión: A g f ' c 1 * P s 0.45 A c f y D 2 f ' c 55 2 210 Kg / cm 2 0.45 2 1 * P s 0.45 2 1 * 2 f d y 52 4200 Kg / cm P s
0.0026
Además: S= d/6 = 52/6cm= 8.66cm Pero: 2.5cm S 7.5cm Luego: S 7.5cm
De la expresión:
4 Ae
P s Ae
Ae
S * d
0.25cm
1 4
* P s * S * d
1 4
* 0.0026 * 7.5cm * 52cm
2
Puesto que Ae min. = A1 3 / 8"
0.713cm
2
Entonces: usar 1 3 / 8"
2.- CÁLCULO DE LA RESISTENCIA Pu:
Pu P o 0.85 f 'c * Ac
2 P s * f y * Ac
Kg 3.14 * 52 2 kg 3.14 * 522 2 2 * 2 * 0 . 0026 * 4200 * Pu 0.750.85 * 210 cm cm 4 4 cm2 cm2
Pu 318,937kg Pu 319.00Tn
PROBLEMA: calcular la resistencia a carga axial de una columna circular de 50 cm de diámetro, con acero helicoidal de 3/8”, con 5 cm de paso y 8 5/8” como refuerzo longitudinal. El concreto es de f 'c 210 Kg / cm2 y el acero de f y 2800 Kg / cm2 . El recubrimiento libre de la hélice es de 3 cm.
D
8Ø5/8"
d
3cm
f y
3cm
44
50cm 44cm
2800 Kg / cm
3 / 8" 0.71cm2
1
Ae A s
2
r
3cm
f 'c 210 Kg / cm2
50cm
Pu
S
a)
8 5 / 8"
5cm
CALCULO DEL PRIMER MAXIMO:
P 0 0.85 f ' c * A g A s * f y P 0 0.85 * 210 P 0
Kg cm
394,300 Kg
2
*
3.14 * 50 2 4
cm 2 15.83cm 2 * 2800 Kg / cm 2
??
15.83cm
2
Pu
P 0
0.75 * 394Tn.
Pu 295.72Tn.
b)
CALCULO DEL SEGUNDO MAXIMO:
P 0
0.85 f 'c * Ac 2 d
Ac
p s
P 0
4 Ae
S * d
Pu
A s * f y
3.14 * 44 2
4
P 0
4 4 * 0.71
5 * 44
(1)
2 P s * f y * Ac
1520cm 2
0.013cm
2
0.85 * 210 *1520 15.83 * 2800 2 * 0.013 * 2800 *1520cm
2
426,300 Kg
P 0
0.75 * 426.3Tn
Pu 319.73Tn
PROBLEMA: Para la columna C3 que se muestra en la figura, se deberá determinar el acero longitudinal y helicoidal en la columna C3 de la primera planta, si se supone que solo trabaja a compresión axial, siendo su diámetro de 40cm y el recubrimiento de 2.5cm. El acero a utilizar será de f y 4200 Kg / cm2 y el concreto de
f ' c 210 Kg / cm 2 . El edificio es de 5 niveles típicos y se conoce además, que:
PESO DE ALIGERADO: 400 Kg/m2 PESO DE TABIQUERIA: 150 Kg/m2 PESO PISO TERMINADO: 100 Kg/m2 PESO DE SOBRECARGAS: 500 Kg/m2
PLANTA
C1
C2
C2
C2
C2
C1
6.00
C1
C3
C3
C3
C3
C1
6.00
C1
C2
C2
6.00
6.00
C2
C2
6.00
6.00
6.00
5°
3.00
4°
3.00
3°
3.00
2°
3.00
1°
6.00
C1
4.00
6.00
ELEVACIÓN 1.- METRADO DE CARGAS. Área de influencia de la columna C3: 6.00*6.00=36.00m 2 PESO DE ALIGERADO: 400 Kg/m2 * 36.00m2 * 5 niveles=72,000 Kg PESO DE TABIQUERIA: 150 Kg/m2 * 36.00 m2 * 5 niveles= 27,000 Kg PESO PISO TERMINADO: 100 Kg/m2 * 36.00m2 * 5 niveles= 18,000 Kg PESO PROPIO: 2
3.14 * 0.40
3
4 3.14 * 0.40 4
3
* 3.00m * 2400 Kg / m * 4niveles
3,617 Kg
2 3
3
* 4.00m * 2400 Kg / m *1niveles
TOTAL DE CARGAS PERMANENTES:
W D
1,205 Kg
121,822 Kg
PESO DE SOBRECARGAS: 500 Kg/m2 * 36.00m2 * 5 niveles= 90,000 Kg
TOTAL SOBRECARGAS:
WL= 90,000 Kg
CARGA ÚLTIMA DE DISEÑO Pu:
Pu= 1.5 W D +1.8 W L= 1.5*121,822 Kg + 1.8 * 90,000 Kg. Pu= 182,733 Kg + 162,000 Kg Pu= 344,733 Kg Pu= 344.733 Tn CARGA DE DISEÑO TEORICA
P o
344.733Tn
Pu
P o
0.75
459.644Tn
460Tn
460Tn
2.- CALCULO DEL ACERO HELICOIDAL: De la expresión:
A g f 'c 402 210 Kg / cm2 P S 0.45 1 * 0.45 2 1 * 2 A f Kg cm 35 4200 / c y P S 0.0068 Además: P S
4 Ae
S
S * d
4 Ae
P S * d
Si usamos acero helicoidal de 3 / 8"., entonces: S
4 * 0713cm
0.713cm
2
2
0.0068 * 35cm
S 11.93cm S máx Luego: USAR: 1 3 / 8".con
Ae
S
11.93cm
7.5cm
S
7.5cm
7.5cm
3.- CALCULO DEL ACERO LONGITUDINAL:
P o
0.85 f ' c * Ac
A s * f y
A s
P o 1
f y
A s * f y
0.85 f ' c * Ac
P o
2 P s * f y * Ac
2 P s * f y * Ac
0.85 f ' c * Ac
2 P s * f y * Ac
Kg 3.14 * 35 2 Kg 3.14 * 35 2 2 2 A s Kg cm cm 460 , 000 0 . 85 * 210 * 0 . 0068 * 4200 * 2 4 4 4200 Kg / cm cm 2 cm 2 1
A s
1 4200 Kg / cm
2
260,886 Kg 62.11cm2
A s
62.11cm
2
Usar : 12
1"
SECCION CALCULADA:
1Ø3/8"@7.5cm
12Ø1" 35 40cm PROBLEMA.- Calcular la resistencia a carga axial de una columna estribada de 40*70 cm2 de sección. Considérese que la resistencia del concreto es de 310 Kg/cm 2, que el modulo de fluencia del acero es de 4200 Kg/cm 2 y que el refuerzo longitudinal esta constituido por 10 1". El recubrimiento es de 4cm. 1Ø1"
f ' c
r 40cm r 70cm
310 Kg / cm
2
f y
4200 Kg / cm
A s
A s *10 1"
f y
4200 Kg / cm
2
50.67cm
2
2
PRIMER CASO: Sin descontar el área de acero longitudinal.
P o P o
Pu
0.85 f ' c * A g
A s * f y
0.85 * 310 * 40 * 70 50.67 * 4200 950,600 Kg
P o
Pu
0.70 * 950,600 Kg 665,420 Kg
665,420Tn
SEGUNDO CASO: Descontando el área de acero longitudinal.
P o Ac
0.85 f ' c * Ac
A g A s
P o
A s * f y
40 * 70 50.67cm
(1) 2
2,749.33cm
2
0.85 * 310 * 2,749.33 50.67 * 4200 937,262Kg
Pu P o 0.70 * 937,262 Kg 656,000 Kg Pu 656,000Tn
PREDIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXION RECOMENDACIONES
1.- Para estructuras ordinarias o comunes, simplemente apoyada: a) b) c)
Si las cargas son ligeras: d=L/15 Si las cargas son livianas: d=L/12 Si las cargas son Pesadas: d=L/10 1
2.- Se puede suponer el peralte total h=L/12 y b h, aumentando ó disminuyendo u 2
algo estos valores según el tipo de cargas. 1
3.- Se puede suponer h=L/16 y b h, modificando estos valores, según la magnitud 2
y el tipo de cargas.
4.- Para vigas continuas, en función de las sobrecargas. En Departamento y oficinas: W L 250 Kg / m 2
h
L / 11
b
h
2
En garajes y tiendas de comercio: W L=500 Kg/m2 h L / 10
b
1
En Depósito: W L
1000 Kg / m
1
h
2
2
h L / 8
b
1
h
2
HIPOTESIS DE CARGAS SEGÚN LAS NORMAS ACI a) Si no existiera cargas de viento ó sismo. W=1.4W D+ 1.7WL b) Cuando se consideran cargas de viento Wv: W=0.75 (1.4W D+1.7W L+1.7W v) LA W=0.90W D+1.7W v MAYOR c.) Cuando se consideran cargas sísmicas WE: W=0.75 (1.4W D+1.7W L+1.87W E) LA W=0.90W D+1.43W E MAYOR
HIPOTESIS DE CARGA SEGUN LAS NORMAS PERUANAS a.) Si no existen cargas de viento ó sismo. W=1.5W D+ 1.8WL b.) Si existen cargas de viento Wv: W=1.25 (W D + WL + Wv) W=0.90 W D+1.25 W v
LA MAYOR
c.) Si existen cargas de sismo WE: W=1.25 (W D + WL + WE) W=0.90 W D+1.25 WE
LA MAYOR
CALCULO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE HIPOTESIS GENERALES: La Resistencia de elementos sujetos a flexión simple puede determinarse a partir de una serie de hipótesis simplificadas ligadas al comportamiento básico y al mecanismo acción - respuesta. Las hipótesis que se hacen son:
1. Los esfuerzos unitarios (cargas axiales, esfuerzos cortantes, momentos flectores) en cualquier sección de un elemento, están en equilibrio con los efectos de las cargas externas en una sección. 2. La deformación unitaria en una varilla de acero embebida en el concreto es la misma que la del concreto circundante. 3. Las secciones planas, antes de cargarse la estructura, permanecen planas en la estructura cargada. 4. El concreto no resiste tracciones, excepto en cientos casos de calculo de la resistencia al corte. 5. Se conocen las relaciones esfuerzo-deformaciones para el concreto y el acero. ESTADOS DE CARGAS: A lo largo del proceso de carga, un elemento sometido a flexión, pasa por 3 estados diferentes, en todos los cuales una sección cualquiera permanece plana. W
L
ESTADO ELASTICO O ANALISIS ELASTICO Ó METODO DE TENSIONES ADMISIBLES (ESTADO I): En este estado los esfuerzos en el concreto y el acero se comportan elásticamente; la deformación en el acero y en el concreto circundante es igual, es decir, no hay desplazamiento relativo entre el concreto y el acero. Además los esfuerzos ó tensiones f ' c en la zona comprimida, son proporcionales a las deformaciones y el diagrama de compresiones y tracción es triangular.
f c
Ec
d
h
f CI
As
As
f S
b
f CT
Es
DIAGRAMA DE DEFORMACIONES
SECCIÓN
DIAGRAMA DE ESFUERZOS
Analizando la zona traccionada del diagrama de esfuerzos:
E S
f S / S
E C f C 1 / C Pero: S C (Diagrama de deformaciones) S
n
Si:
f S E S
E S
f C 1 E C
f S
E S E C
y se conoce que:
E C
*
f C 1
(1) 6
E S
2 *10 Kg / cm
E C
15,000 f 'C
2
Remplazando Valores en (1):
f S
nf C 1
(2)
La fuerza de tracción en el acero será:
T AS * f S AS * nf C 1
(3)
La expresión (3) deja entender que para calcular los esfuerzos en la zona traccionada, se puede sustituir el área de acero por un área adicional equivalente de concreto A A n . Esta nueva sección se denomina SECCION TRANSFORMADA. C
S
*
h n As 2
As b
SECCIÓN REAL
n As 2
I SECCIÓN TRANSFORMADA
n As-As 2
n As-As 2
II SECCIÓN TRANSFORMADA
Luego de hacer la transformación, se procede como si fuera enteramente de concreto y el esfuerzo en el acero se calcula según la ecuación (2)
Cuando las tensiones ó esfuerzos en las fibras exteriores de una sección son inferiores al límite de proporcionalidad, es decir, se cumple la Ley de HOOKE, la viga se comporta elásticamente y se tiene lo siguiente: a) El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal. b) La intensidad del esfuerzo debido a la flexión, aumenta directamente proporcional a la distancia, al eje neutro y es máxima en las fibras extremas.
f máx EJE NEUTRO
M
h
b
y
c
f CT
En cualquier punto de la sección transversal, el esfuerzo viene dando por la expresión siguiente: M * Y f I
Donde: f Esfuerzo de flexión a una distancia “y” del eje neutro. Momento flector externo en la sección. M Momento de inercia de la sección transformada respecto al eje neutro. I
El máximo esfuerzo de flexión se produce en las fibras exteriores y tiene por valor: M * C f máx I C la distancia del eje neutro a la fibra exterior. Siendo:
PROBLEMA: Una viga rectangular según las dimensiones mostradas en la figura, está 2 reforzada con 3 1" . La resistencia cilíndrica del concreto es de f 'C 210 Kg / cm y
la resistencia a la tracción por flexión del concreto (ó modulo de rotura f C 1 ) es de 31 Kg/cm2. 2
El punto de fluencia del acero es de f y 4200 Kg / cm . Determinar los esfuerzos internos producidos en la viga por acción del momento flector máximo actuante sobre ella.
59
65
3Ø1" 25 WL=0.69 T/ml
WD=0.345 T/ml
5.00m
W 1.5W D 1.8 *W L (1.5 * 0.345 1.8 * 0.69)T / ml W 0.5175T / ml 1.242T / ml 1.7595T / ml 1 1 M *W * L2 *1.76T / ml * 25m 2 W 1.76T / ml 8 8 M 5.5T ml 6 2 E S 2 *10 Kg / cm
E C 15,000 f 'C
n
AS
E S
2 *10 Kg / cm
217,000 Kg / cm
2
2
217,000 Kg / cm
3 1" 15.2cm
(n 1) AS
15,000 210
6
E C
2
9
2
(9 1) *15.2 122cm 2
El área transformada equivalente se muestra en la figura. Su centro de gravedad se puede calcular tomando momentos con respecto al centro de gravedad del rectángulo mayor.
32.5 26.5
y 59
YG 6 25 122 2
122 2
65
*
y
3
/ 12)
25 * 65
1625
0
0
0
0
(n 1) AS
122
(26.5)
(3230)
(26.5)
( 26.5)
Ay
Y G
Y G
A
3230 1747
1.85cm.
Ay
Ay 2 85,600
cm 1.85cm.
Y 32.5 Y G 32.5 (1.85) Y 34.5cm C
2
I 572,000 85,600
I
I 0 572,000
A 3230
Pero: I I 0
Ay
0 (bh
A
A 1747
=
Ay2
Sección
656,600cm4
656,600cm4
M 5.5T m 5.5 *105 Kg cm M
5
5.5 *10
Kg cm
a)
El esfuerzo de compresión en la fibra superior es: M * C 5.5 *105 * 34.35 2 29 Kg / cm fcc 5 I 6.566 *10 fcc 29 Kg / cm2 f 'C 210 Kg / cm2
b)
El esfuerzo de tracción en la fibra inferior es: M * Y fct M 5.5 *105 Kg cm I
Y I
fct fct
5.5 *105 * 30.65 6.566 *10 25.8 Kg / cm
5
2
25.8 Kg / cm2
30.65cm
6.566 *10 cm
2
fct 31 Kg / cm
34.35 5
El módulo de rotura es fct 31 Kg / cm Como: fct 31 Kg / cm2 fcc 29 Kg / cm 2 Y:
65
2
fct 25.8 Kg / cm
2
4
Luego, el cálculo es correcto. c)
El esfuerzo en el acero es: M * Y f S n I
Y
30.65
6
M
24.65cm 5
5.5 *10
n
9
I
6.566 *10 cm
5
Kg * cm
4
5.5 *105 * 24.65 188 Kg / cm2 f S 9 5 I 6.566 *10 f S
Kg / cm2
188
f y
4200 Kg / cm
2
ANALISIS POR CARGAS DE SERVICIO O ESTADO ELASTICO AGRIETADO Ó METODO DE LOS ESFUERZOS DE TRABAJO (ESTADO II): Al incrementarse las cargas en esta etapa, el esfuerzo de tracción del concreto excede su modulo de rotura, es decir, excede la resistencia a tracción del concreto en flexión. En este caso el esfuerzo en compresión del concreto es menor que 0.5 f 'C 0.45 f 'C y el esfuerzo en el acero no ha alcanzado su punto de fluencia f y , por lo que ambos materiales continúan comportándose elásticamente. Como consecuencia de ello, los esfuerzos de tracción figuran el concreto y las figuras empiezan a ascender hacia la fibra superior. La fibra mas comprimida es auxiliada en su trabajo por las fibras vecinas, que toman mayor carga de la que les correspondería. Se supone que el eje neutro coincide con la parte superior de la grieta y por lo tanto, el concreto resulta incapaz de desarrollar esfuerzos de tracción.
f c
Ec
1/3 Kd
EJE NEUTRO
Kd d
As
jd
h (d-Kd)
As b
f
E S
Esfuerzo
Def .unitaria f S f S
S
S
f s
Es
DIAGRAMA DE SECCIÓN TRANSVERSAL DEFORMACIONES
Por definición: E
E S
C
DIAGRAMA DE ESFUERZOS
T
E C
f C C
C
f C E C
Del diagrama de deformaciones: C
Kd
S
d Kd
C
S
Reemplazando valores: f C / E C E S * f C K
f S / E S
Kd
Ó
1 K
E C * f S
K
d Kd
1 K
K 1 K
n E S / E C :
Si:
n * f C
f S
K
f C
1 K
f S K n 1 K
(1)
1 K K
Ó f S nf C
K
De (2):
n * f C (1 K ) f S
K
(2)
n
n f S / f C
(3)
Del diagrama de esfuerzos:
C
1 2
* f C * K * d * b
M C C * jd
1
1 2
* f C * K * b * d
* f C * K * b * d * j * d
1
2
* f C * j * K * b * d
2 2 M C = MOMENTO RESISTENTE CON RESPECTO A LOS ESFUERZOS DE COMPRESIÓN DEL CONCRETO:
M C
1
2
2
* f C * j * K * b * d
(4)
Además: T AS * f S Como: AS p * b * d M S
T * j * d AS * f S * j * d p * b * d * f S * j * d
M S
= MOMENTO RESISTENTE CON RESPECTO A LOS ESFUERZOS DE TENSION EN EL ACERO.
M S p * f S * j * b * d 2 Los momentos resistentes son iguales, luego:
(5)
1 2
2
* f C * j * K * b * d
f C * K 2 p * f S
K
2 p
p * f S * j * b * d 2 f C
f S
2 p
(6)
K
f C
(7)
f S
f C
0.45 f 'C
f S
0.50 f 'Y
Si f Y
0.40 f 'Y Si f Y
4200 2
4200 Kg / cm
Del diagrama de esfuerzos: 1
k
3
3
jd d K * d j 1
(8)
Si M es el momento flexionante, es decir el momento generado por las fuerzas externas, este valor debe ser equilibrado por el momento resistente, por lo que son iguales: M M C
Si:
d M 1 / 2 * f C * j * K * b * d 2
K
1
2
Además: M M
* f C * K * j
(A)
d
M 1 / 2 * f C * j * K * b M
(9)
K * b
M S
AS * f S * j * d
(B)
AS
M f S * J * d
(10)
PROBLEMA: En la estructura mostrada, se deberá calcular las dimensiones de la sección transversal y el acero longitudinal en la zona traccionada de una de las vigas interiores, si se conoce lo siguiente:
Peso de Tabiquería: Peso de Aligerado: Peso de Piso Terminado: Peso de Sobrecargas: f S 0.40 f Y = Acero:
Concreto: f C
.40
5.60
120Kg/m2 400Kg/m2 50Kg/m2 500Kg/m2 1680Kg/m2
0.45 f 'C = 108Kg/m2
.40
5.60
.40
5.60
.
5.60
.40 1.50 .50
VS-001
8.50
1 0 1 P V
2 0 1 P V
2 0 1 P V
2 0 1 P V
3 0 1 P V
1 0 0 - 8.00 S V
B=6.00m VS-002
.50
2.75
2.50 VS-001
6.00
1. h
6.00
h
1
1 10 1
2
(CARGAS PESADAS). * 8.50m
h
1
VER SOBRECARGA
0.85m h 0.85m
* 0.85m 0.42m b 0.40m
2
(ANCHO DE COLUMNA)
2. METODO DE CARGAS: 3 Peso Propio: 0.40m * 0.85m * 2400 Kg / m = 816Kg/m Peso de Tabiquería: 120 Kg / m * 6.00m = 720Kg/m
Peso de Aligerado: 400 Kg / m * 6.00m = 2400Kg/m Peso Piso Terminado: 50 Kg / m * 6.00m = 300Kg/m
W D
6.00
PREDIMENSIONAMIENTO: 10
b
6.00
4236 Kg / m.
Peso de Sobrecargas: 500Kg/m2 * 6.00= 3000 Kg/m W L 3000 Kg / m.
1.70
CARGA TOTAL W: W 1.5W D 1.8W L
1.5 * 4236
Kg / m 1.8 * 3000 Kg / m W 6354 Kg / m 5400 Kg / m 11,448 Kg / m W 11,754 Kg / m
3.
CALCULO DE MOMENTOS FLEXIONANTES
W=11,754Kg/m
A
B
8.50 M B M AB
1
1
8
2
WL2
WL1
1
1
2
8
2
2.75 2
*11,754 Kg / m * 2.75 m 2
*11,754 Kg / m * 8.5 m
2
2
C mts
44,444 Kg * m
106,153 Kg * m
44,444Kg*m
22,222Kg-m
103,390Kg*m 83,931Kg*m
Por de ∆S: 44,444 8.50 ~
Y Y
4.25 8.50
4.25
* 44,444
Y 22,222 Kg * m En las zonas traccionadas:
( ) M max
44,444 Kg * m
M max
83,931 Kg * m
4.
CHEQUEO DEL PERALTE DE LA VIGA
( )
M
d
1 2
(1) * f C * K * j * b
M M max
fc
n f S
n
j
j
83,931 Kg * m
0.45 f 'C
K
K
108 Kg / cm
2
9
9
f C
9
1680
9 17.68
0.34
95
0.34
1
K / 3 1
0.34
3
1
0.113
0.887
0.887
En la ecuación (1): 2
d
83,931*10 Kg * cm
0.5 *108
Kg cm 2
114cm
* 0.34 * 0.887 * 40cm
Si: r 2.5cm
h d r 1.5 114 2.5 1.5 119m 120m
Tenemos: h=120m d= 120cm-2.5cm - 1.15cm d= 115cm 5.
CALCULO DE AREAS DE ACERO.
a)
ACERO EN EL TRAMO AB: 83,931*10 2 * Kg * cm M ( )
AS
AS
f S * j * d
b)
AS
48.97cm
2
2
1680 Kg / cm * 0.887 *115cm
48.97cm 2
1"
USAR : 10
ACERO EN EL APOYO B:
M ( ) f S * j * d
44,444 *10 2 * Kg * cm 2
1680 Kg / cm * 0.887 *115cm
25.93cm2
AS 25.93cm 2 USAR : 5 1"
1/3 L=2.65m
3Ø1"
5Ø1"
A
1.60
A 10Ø1"
5Ø1"
B B
1.60
5Ø1"
1/7L
1/5L
8.00
2.50 .50
.50
3Ø1"
5Ø1" 1.15
10Ø1"
1.15
5Ø1"
40
40
Sección A-A
Sección B-B
PROBLEMA: Determinar la sección transversal y el refuerzo longitudinal de tensión de una viga mas cargadas, según las características que se adjuntan. 2 f y 2100 Kg / cm f S 0.50 PESO SOBRECARGAS: 250Kg/m 2
f C n
0.45
f 'C 95 Kg / cm2
PESO TABIQUERIA: 100Kg/m2 PESO ALIGERADO: 400Kg/m2 PESO PISO TERMINADO: 50Kg/m2
9
5.00 2.50 Columnas 30*50cm
6.50
2.50 5.00
5.00
5.00
5.00
1. PREDIMENSIONAMIENTO: 1 d L (CARGAS LIGERAS)
d d
Para el problema: d
1
12
15 1
* L
1
* 6.50m
12
L
(CARGAS LIVIANAS)
Si:
L
(CARGAS PESADAS)
h d r 1.5cm
r
0.54m
4.5cm
12 1 10
h
0.60m
b
0.30m
2. METRADO DE CARGAS: PESO PROPIO DE LA VIGA:
0.30m * 0.60m * 2400 Kg / m 432kg / ml
PESO TABIQUERIA:
100 Kg / m * 5.00m
PESO ALIGERADO:
400 Kg / m * 5.00m
PESO PISO TERMINADO:
50 Kg / m * 5.00m
2
2
2
W D PESO DE SOBRECARGAS:
2
250 Kg / m * 5.00m
2000kg / ml
250kg / ml
3182kg / ml
1250kg / ml
W D W 1.5W D
500kg / ml
1250kg / ml
1.8W 1.5 * 3.182Tn / ml 1.8 *1.25Tn / ml L
W 7.023Tn / ml W 4.773Tn / ml 2.25Tn / ml
CALCULO DE MOMENTOS.
3.
W=6.969T/ml
L1= 2.50
( )
M B
( )
M B
M C
M C
(+)
( )
(+)
(+)
1
M M M
( )
1
8
2
21.94Tn
1
2
* L *W
2
1
21.946T
m
1
2
WL1
2
* 7.023T / ml * 2.50 2 m 2
2
* 7.023T / ml * 6.5 m
8
37.09Tn * m 21.94Tn m 15.15T m 15.15T m
L1= 2.50
L=6.50
*W * L12
D
C
B
A
2
21.946T
m
m
CHEQUEO DEL PERALTE DE LA VIGA:
4. d
M máx
1 2
K
j
* f C * K * j * b 9
n n f S / f C
1
K
(1)
3
1
9
2100
0.2883
95
0.2883 / 3
0.904
En (4): 21.946 *10
d
5
kg * cm
2
0.5 * 95 Kg / cm * 0.2883 * 0.904 * 30cm
76.8cm
h d r 1.5 76.8 2.0 1.5 80cm h
80cm d
76.5cm
5.
CÁLCULO DE AREAS DE ACERO: Si mantenemos la sección original:
a)
ACERO EN APOYOS.
AS
M ( ) f S * j * d
21.946 2
2100 Kg / cm * 0.904 * 54cm
USAR: b) AS
21.40cm 2 8 3 / 4"
ACERO EN TRAMO CENTRAL. M ( ) f S * j * d
15.15 *105 Kg * cm 2
2100 Kg / cm * 0.904 * 54cm
USAR:
14.78cm 2 5 3 / 4"
6. DIAGRAMAS DE LAS SECCIONES CALCULADAS. 2.5cm(min)
2.5cm(min)
Ó 5 1"
PROBLEMA: Determinar la sección transversal y el refuerzo longitudinal de tensión de la viga más cargada, según las siguientes características: f Y
4200 Kg / cm
2
n
9
PESO DE TABIQUERÍA= 100Kg/m2 PESO DE ALIGERADO= 350Kg/m2 PESO PISO TERMINADO=50Kg/m2 PESO SOBRECARGA= 200Kg/m2
f 'C 210 Kg / cm2
4.50
.50
5.50
.50 .35
0.35
3.80
.35
4.50
3.80
.35
1. PREDIMENSIONAMIENTO. h
1
15
h
h b
h
1
12 1
10
L (CARGAS
LIGERAS)
L (CARGAS
LIVIANAS)
L (CARGAS
L
5.50 0.25 0.25
L
6.00m
PESADAS)
Para el problema: h
1 / 12 L
1 / 12 * 6.00m
0.50m
h
1 / 10 L
1 / 10 * 6.00m
0.60m
Tenemos:
h
0.50m
2. METRADO DE CARGAS SOBRE LA VIGA MÁS CARGADA: PESO PROPIO DE LA VIGA: PESO DE LA TABIQUERÍA: PESO DEL ALIGERADO: PESO PISO TERMINADO:
0.25m * 0.50m * 2,400 Kg / m 300 Kg / ml 2
100 Kg / m * 4.40m 2
350 Kg / m * 4.40m
440 Kg / ml 1,540 Kg / ml
50 Kg / m 2 * 4.40m 220 Kg / ml W D
Peso de sobrecargas:
2,500 Kg / ml
2
200 Kg / m * 4.40m 880 Kg / ml
W L
880 Kg / ml
W 1.5W D 1.8W L 1.5 * 2500 Kg / ml 1.8 * 880 Kg / ml W 5334 Kg / ml W=5334Kg/ml.
L=6.00m
3. CALCULO DE COEFICIENTES: n
K
j
n f S / f C
1
1
K K
9
2
9
0.5 * 4200
3
* f C * j * K
0.2883
0.45 * 210
0.2883
K / 3 1
1 2
0.904
* 94.5 * 0.904 * 0.2883 12.31
12.31
4. CALCULO DEL MOMENTO EXTERIOR 1
M
8
2
*W * L
1
8
* 5334
Kg ml
2
*6 m
2
24,003 Kg m
5. CHEQUEO DEL PERALTE M
d
K * b
24,003 *10 2
12.31* 35
74.64
h d r 1.5 75 3.5 1.5 80cm d h
80cm
d d
h
80
v
1.5
5
75cm
75
2
6. CALCULO DE AS 24,003 *10
M
AS
AS
f S * j * d 16.85cm
2
2
2100 * 0.904 * 75
16.85cm
2
USAR : 6 3 / 4"
ANALISIS POR RESISTENCIA A LA ROTURA Ó ESTADO DE PRE-ROTURA (ESTADO III): En estas condiciones las figuras ó grietas han ascendido demasiado, ampliando su espesor y obligando a la zona comprimida a concentrarse en la posición más alta posible. En esta posición, el elemento se rompe. El diagrama de compresiones aparece muy plastificado, con un tramo prácticamente vertical en las fibras más cargadas. Al fallar el elemento, ésta puede producirse de 3 maneras: a) FALLAS POR FLUENCIA DEL ACERO Ó FALLA POR TRACCION.- El esfuerzo de fluencia del acero
f Y se alcanza antes de que el concreto haya agotado el esfuerzo de compresión. En
el elemento se producen grandes deformaciones, las grietas progresan, disminuyendo la Zona comprimida, hasta que finalmente se produce el APLASTAMIENTO DEL CONCRETO (falla secundaria) y finalmente el colapso de la estructura. Es una falla secundaria) y finalmente el colapso de la estructura. Es una falla de tipo DUCTIL. f S
S Y
f C f 'C
f Y
b) FALLA POR APLASTAMIENTO DEL CONCRETO Ó FALLA POR COMPRESIÓN.- se presenta un elemento sobre-reforzados ó con aceros de alto limite de fluencia. Al incrementarse las cargas se alcanza la capacidad máxima en compresión del cemento, antes de que el acero empiece a fluir. Se produce el aplastamiento del concreto y el colapso del elemento. Esta falla es de tipo frágil o explosivo. f S
S Y
f Y
f C
f 'C
C
0.003
c) FALLA BALANCEADA: Es un estado ideal, según el cual la falla se produce simultáneamente por aplastamiento del concreto y por fluencia del acero. f S
S Y
f Y
f C
f 'C
C 0.003
Sea la distribución de esfuerzos y deformaciones en una sección sometida a flexión, cuando la viga esta a punto de fallar, por aplastamiento del concreto ó por fluencia del acero: Ec
K3 f'c
f prom K2c
c d
As
C
z=d-K2c
h
f s
As b
T
Es
Si: Indica la relación entre el esfuerzo promedio y el esfuerzo máximo en la zona de compresión. K 2 Indica la posición de la resultante en compresión. K Relación de esfuerzo máximo en flexión con la resistencia cilíndrica del concreto. K 1
3
Esfuerzo de compresión promedio en el área b*c Se desea calcular el momento de rotura M M al cual la viga falla, ya sea por fluencia del acero o por aplastamiento del concreto. Para el primer tipo de falla, el criterio es que el esfuerzo en el acero sea igual al de fluencia, es decir: f S f Y Para el Segundo tipo de falla, se asume el criterio de que las deformaciones unitarias del concreto varían entre 0.003 y 0.004 inmediatamente antes de la falla; Aceptamos consideramente que: f PROM
'
C
0.003
Del diagrama de esfuerzos:
u
C b * c * f PROM
(A)
Según las definiciones de K yK f PROM K * K * f 'C 1
1
3
:
(B)
3
Reemplazando (B) en (A): C b * c * K 1* K 3 * f 'C C K 1 * K 3 * f 'C *b * c
(1)
Bastará conocer los valores de K 1, K 2 yK 3 para definir C y se posición. Del diagrama de esfuerzos: C
T
Ó: M
K 1 * K 3 * f 'C *b * c
T * 2
AS * f S
(2)
AS * f S * (d K 2 * c)
(3)
M C * 2 K 1 * K 3 * f 'C *b * c(d K 2 * c)
(4)
a) ANALISIS DE LA FALLA EN TRACCION: Para este tipo de falla En (2): K * K * f 'C *b * c AS * f Y 1
c
3
AS * f Y K 1 * K 3 * f 'C *b
Pero: p
AS
(5) AS
b * d
p * b * d
(6)
Reemp. (6) en (5) c
p * b * d * f Y K 1 * K 3 * f 'C *b
(7)
Reemp. (7) en (3)
K 2
K 1 * K 3
M AS * f Y (d K 2 * c) AS * f Y d
M AS * f Y * d 1
K 2 K 1 * K 3
*
p * f y
f 'C
Para secciones rectangulares: K 2
Para concretos con f 'C 280
Kg cm
2
K 2 K 1 * K 3
0.425
0.85 * 0.85
p * f y f 'C
* d
(8) 0.425
; K
K 3
*
1
0.85
0.85
0.59
Reemp. Este valor en (8): M AS * f Y * d (1 0.59 *
p * f Y f 'C
(9)
b) ANALISIS DE LA FALLA EN COMPRESION.
C
S
0.003
f S / E S
Del diagrama deformaciones: d c c d c Reemplazando los valores numéricos de C
S
C
S
C
C 0.003
0 . 003 d c f S 0.003 E S
(10)
En la ecuación (3), si:
K 2 * c
a/2
M T * 2 AS * f S * (d k 2 * c) M AS * f S * (d a / 2)
(11)
c) ANALISIS DE LA FALLA BALANCEADA Puesto que la falla por compresión es repentina, es necesario mantener la cuantía p AS / b * d , por debajo de un cierto valor limite, de modo que si el elemento fuera sobrecarga, de aviso adecuado antes de fallar de manera gradual por fluencia del acero. Este valor límite se denomina cuantía balanceada p b y con este valor la falla de la viga se produce simultáneamente por aplastamiento del concreto y por fluencia del acero. En estas condiciones:
f S
S
Y:
3
0 . 003 d En (10): c f Y 0 . 003 E S
Igualando ambas expresiones: pb * f Y 0 . 003 d d f Y K * K * f ' C 0.003 E S 1
3
f Y / E S
C 0.003
pb * f Y d donde: p En (7): c K * K * f ' C 1
f Y
pb
0 . 003 * f ' C pb K 1 * K 3 f Y f Y 0.003 E S
(12)
En un elemento bien diseñado, la cuantía real p deberá mantenerse por debajo de la cuantía balanceada p b . Según el Reglamento ACI, se tendrá lo siguiente: pb
pmax
0.75 pb
Para seguros sísmicos: p
0.50 pb
Los valores mínimos tolerables de la cuantía real para elementos bien diseñados están dados por las siguientes expresiones: pmín
p mín
14 / f Y 3 4
* p
Donde: p
AS b * d
La menor de ambas expresiones. El verdadero momento ultimo ( M ) es algo menor que el obtenido por las condiciones U
del elemento ( M M ú ) . Esto se origina en función de las variaciones de la calidad de los materiales, ubicación del acero, dimensiones de los encofrados, calidad de la mano de obra, etc. Por ello, se emplea un coeficiente de seguridad , de la manera siguiente:
M u
M M u
'
Para elementos sometidos a flexión: Luego, en la falla por fluencia: p * f y M u * AS * f y * d 1 0.59 f ' C
0.90
En la falla por aplastamiento: a M u * AS * f y d 2
ANALISIS POR RESISTENCIA A LA ROTURA.- DISTRIBUCION RECTANGULAR EQUIVALENTE DE ESFUERZOS Ó METODO DE WHITNEY: En el estado de PRE-ROTURA, la forma geométrica real del diagrama de esfuerzos en compresión varia considerablemente y no es necesario conocer su forma exactamente, siempre que se conozcan 2 cantidades. 1. La magnitud C de la resultante de los esfuerzos de compresión en el concreto.
2. La ubicación de esta resultante. Estas dos cantidades se expresan en función de los parámetros K 1 , K 2 yK 3 . Sin embargo, esta distribución real es posible reemplazarse por otra más simple propuesta por Whitney, que da resultados iguales ó muy cercanos a los correspondientes a la distribución real. Para concreto hasta de 280 Kg/cm 2 la distribución real y la ficticia equivalente se muestran a continuación:
K3 f'c
0.85 f'c
K2c=0.425c
C=K1K3f'c*b*c
C
c
a/2
a
C (d-a/2)
f s
As
f s
As
T=As*f s
T=As*f s
DIAGRAMA EQUIVALENTE DE WHITNEY
DIAGRAMA REAL COMPROBACIÓN: a) Para el rectángulo equivalente de esfuerzos: C (0.85 f 'C ) * a * b Pero:
a c a / 0.85
0.85c
(1)
b= Ancho de viga
(2)
Reemp. (2) en (1)
C (0.85 f 'C ) * 0.85c * b C 0.72 f 'C *b * c b) Del diagrama real de esfuerzos: C K 1 * K 3 * f 'C *b * c 0.85 * 0.85 * f 'C *b * c
C 0.72 f 'C *b * c c) K 2 * c
Para el rectángulo equivalente: 0.85c
a
2
2
0.425c
K 2 * c 0.425c Valores que son exactamente iguales a los correspondientes a la distribución real de esfuerzos.
PROBLEMA: En el sistema estructural mostrado en la figura, pórticos se encuentran a cada 6.00m de la luz entre ejes, la viga puente ha sido diseñada para una sobrecarga máxima de 40Tn, siendo su peso propio de 150Kg/m. la viga carril tiene un peso de 2 120 kg/m. se conoce que el concreto, es de f 'C 210 Kg / cm y el acero de
f 'Y 4200 Kg / cm2 . Se deberá diseñar el acero en tracción de la viga en cantiléver de concreto armado, en la sección de momento máximo.
VIGA PUENTE
VIGA CARRIL .50
.60 1.00
.30
1.20
30.00m
MOMENTO POR CARGAS PERMANENTES: M D
1.00
POR PESO PROPIO. 3
0.50m *1.20m * 0.30m * 2.4T / m * 0.60m 1
0.26T * m
3
* 0.50m *1.20m * 0.30m * 2.4T / m * 0.40m
2
0.09T * m
30 : 150 * REACCIÓN Kg m POR PESO DE VIGA PUENTE. 2 0.15
Tn m
*
30 2
m * 0.60m
=1.35 T*m
POR PESO DE VIGA CARRIL:
0.12
Tn m
* 6m * 0.60m
=0.43T*m
M D 2.63T * m 2.00
MOMENTO POR SOBRECARGAS: M L
Por Peso de Sobrecarga:
R A * 0.60m
40T
P * b
R A
L
a=.60
28.80
RB
R A
40T * 28.20m
R A
b=28.20 28.80
39.17Tn
39.17Tn * 0.60m
23.50Tn * m
M L
3.00
26.13T * m
MOMENTO TOTAL: M
M 1.5 M D 1.8 M L
1.5 * 2.63T * m 1.8 * 26.13T * m
M 3.945T * m 47.034T * m
M 50.979T * m
4.00
CALCULOS DE ACERO DE REFUERZO.
Si usamos la expresión:
Mu * AS * f Y * d 1 0.59
En donde: p
AS
b * d procede por tanteos.
p * f Y
f 'C
, es posible despejar el valor de AS , por lo que es más practico
PRIMER TANTEO: AS
M
f y d
a/2
Suponiendo:
a
0.2d
d a / 2 d 0.1d 0.9d h
1.00m
r
3.5cm
d
d h r 1.5 100cm 3.5cm 1.5cm
95cm 5
50.979 *10
AS
AS
Kg * cm 2
0.90 * 4200 Kg / cm * 0.9 * 95cm 15.77cm
15.77cm
2
2
Con este valor calculamos “ a ”
AS * f Y 15.77 cm 2 * 4200 Kg / cm 2 a 12.36cm 2 0.85 f 'C *b 0.85 * 210 Kg / cm * 30cm a
12.36cm
SEGUNDO TANTEO: AS
M
f y d
a / 2
Con a d
a/2
0.2d
95
12.36
2
88.82cm
5
AS AS
50.979 * 10
2
2
0.90 * 4200 Kg / cm * 88.82cm
15.18cm
AS * f Y 0.85 f 'C *b
15.18cm
2
Calculamos el Nuevo valor de
a
Kg * cm
" a"
2
15.18cm * 4200 Kg / cm
2
2
0.85 * 210 Kg / cm * 30cm
11.90cm
Como los valores de a son aproximadamente iguales, en el primer y Segundo tanteos, así como los valores de AS , asumimos el ultimo de los valores obtenidos. "
2
AS
15.18cm
5.00 AS .mín.
AREAS MINIMAS DE ACERO P mín. * b * d
Pero: P mín. AS .mín. AS .mín.
Como:
"
AS
14
f Y
14
0.0033
4200
0.0033 * 30cm * 95cm
9.405cm
(1)
2
AS .mín AS
Usar : 6 3 / 4"
2
15.18cm
Ó3 1"
1.20 6Ø3/4"
6Ø3/4"
1.00
1.00
.30 SECCIÓN CALCULADA
PROBLEMA: Una viga rectangular según la figura, esta reforzada con 5 1" . El concreto tiene una resistencia f 'C 175 Kg / cm2 y el acero un limite de fluencia
f Y 2800 Kg / cm2 . Determinar el momento de rotura
para el cual la viga falla, analizándola por los métodos de resistencia a la rotura y Whitney. En ambos casos determínese la cuantía balanceada u el valor de las cargas permanentes y sobrecargas si se conoce que la primera es el doble que la segunda.
A
M 'u
M
W
As=25.34cm² 5Ø1"
60
55 A
L=3.00m 30 M'u= ??
WD= ??
Pb= ??
WL= ??
1.
METODO DE RESISTENCIA A LA ROTURA
a)
CUANTÍA REAL: 2 AS 25.34cm
p
b * d
2
30 * 55cm
0.015 p 0.015
SECCIÓN A-A
b)
CUANTÍA BALANCEADA:
2 f 'C 0.003 175 Kg / cm 0.003 0.85 * 0.85 * pb K 1 * K 3 * 2 2 f 'Y 0.003 f Y / E g 2800 Kg / cm 2800 Kg / cm 0.003 6 2 Kg cm 2 * 10 / pb
0.0030
c)
Como: p pb LA VIGA FALLA POR FLUENCIA. ,
CALCULO DEL MOMENTO M 'u M :
M 'u M AS * f Y * d 1 0.59
p * f Y
f 'C
2 0.015 * 2800 Kg / cm M 'u M 25.34cm * 2800 Kg / cm * 55cm1 0.59 2 175 Kg / cm 2
2
M 'u M 3'473,100 Kg cm M 'u M 34.73T m d)
CALCULO DE LAS CARGAS.
El momento exterior resistente de la viga M M 'u
M 'u
W
1 2
1
2
2
W 1.5W D1.8W L
W 1.5 * 2 *W L 7.72
W D
T m
4.84
2 *W L
deberá estar en equilibrio respecto al momento
wL2
3 m
2
WL
M 'u , luego:
2 * 34.73T m 2
1
2
W wL2
W L
M
2 M 'u
L2
7.72T / m W
y
W D
7.72T / m
2W L
1.8W L 4.8W L W L
W 4.84
1.61T / m W L 1.61T / m
W 2 *1.61T / m D
3.22T / m
2.
ANALISIS POR EL METODO DE WHITNEY.
Es
As=5Ø1"
T
As E.N.
h=60
d=55
(d-a/2) C=a/0.85
b=30
f'y
(d-c)
Ec
a
c 0.85f'c
DIAGRAMA DE DIAGRAMA DE SECCIÓN TRANSVERSAL DEFORMACIONES ESFUERZOS
Por equilibrio estático: 0.85 f ' C *a * b
T
a AS * f Y
2
a
C
25.34cm * 2800 Kg / cm 2
0.85 f ' C *b
2
0.85 * 175 Kg / cm * 30cm
c a/
AS * f Y
15.90cm a 15.90cm
0.85 15.90cm / 0.85 18.70cm c
18.70
Para determinar si la resistencia de la viga está rígida por una falla por fluencia del acero ó por aplastamiento del concreto, se calculará la deformación máxima del concreto en la Zona comprimida. Si esta es mayor ó menor que 0.003 en el momento en que el acero empieza a fluir, determinaremos el tipo de falla. En estas condiciones, se tiene en el acero: S
f Y / E S
0.0014
S
2800 Kg / 2 *106 Kg / cm2
0.0014
Del diagrama de deformaciones: C c 18.70 S C S * 0.0014 c d c d c 55 18.70
C
0.0007
Como: S C , la falla se produce por FLUENCIA DEL ACERO.
a.)
CALCULO DEL MOMENTO M 'u :
M 'u
T d a / 2 AS * f Y d a / 2
M 'u 25.34cm 2 * 2800 Kg / cm 2 55
15.90 2
cm
M 'u 33.38T m M 'u 3'338,292 Kg cm
b.)
CALCULO DE LAS CARGAS 2 M 'u
W
2
2 * 33.38T m
9m
L
W 1.5 *W D
W L
2
7.42T / m W 7.42T / m
1.8W L 1.5 * 2W L 1.8W L W L
7.42T / m 4.84
W
4.84
1.53T / m W L 1.53T / m
W D 2W L 2 *1.53T / m W D 3.06T / m c.)
CALCULO DE LA CUANTIA BALANCEADA.
Del diagrama de deformaciones: c
C
C c d S C S
d c
(1)
Puesto que la falla se produce al mismo tiempo por aplastamiento del concreto y por fluencia del acero:
C
S
0.003 f Y
E S
2800 Kg / cm2 6
2 *10 Kg / cm
2
0.0014
En (1)
0.003 c 37.50cm 37.50 0.003 0.0014
c 55
Y: a 0.85c Además:
0.85 * 37.50cm a 31.875cm
T C
AS .b * f Y
0.85 f 'C *a * b
AS .b
1
f Y
0.85 f 'C *a * b
1
2
2800 Kg / cm
2
0.85 *175 Kgcm * 31.875cm * 30cm
AS .b 50.80cm2 Luego:
pb
AS .b
b * d
50.80cm
2
30cm * 55cm
p 0.031 b
0.031
PROBLEMA: Una viga rectangular según la figura mostrada, está reforzada con 4 1". La
resistencia cilíndrica del concreto es de f 'C
fluencia del acero es de f Y
2
4200 Kg / cm .
2
210 Kg / cm . El punto de
Determinar el Momento de Rotura
M 'u para el cual la viga falla, mediante el análisis por Resistencia a la Rotura. Compárese este resultado con el obtenido por el Método de Whitney y obténgase la cuantía balanceada. 4Ø1"=20.27cm² 69
75
4Ø1" 30
a.) METODO DE RESISTENCIA A LA ROTURA:
pb
AS
b * d
20.27cm
2
30cm * 69cm
p 0.0098
0.0098
f 'C 0.003 210 0.003 0.85 * 0.85 * pb K 1 * K 3 * 4200 4200 f Y 0.003 f Y / E S 0.003 6 2 *10 pb
0.0196
Como: p pb : LA VIGA FALLA POR TRACCION (Por fluencia del acero). De la Ecuación (9):
pf Y 0.0098 * 4200 20.27 * 4200 * 69 M 'u AS * f Y * d 1 0.59 1 0.59 * ' 210 f C M ' 52T m M 'u 5'198,700 Kg cm u
b.) EMPLEANDO EL METODO DE WHITNEY. Ec
0.85f'c
C
a
c=
a 0.85
d
fy
As
(d-c)
T Es
Por equilibrio estático: C T
Si: b= Ancho de la viga
0.85 f 'C *a * b
AS * f Y
0.85* 210 * a * 30 20.27 * 4200
a 15.90cm c
a 0.85
15.90 0.85
cm 18.70cm c 18.70cm
A fin de determinar si la resistencia de la viga esta rígida por la fluencia del acero o por el aplastamiento del concreto, se deberá calcular si la deformación en la fibra externa del concreto es menor o mayor que 0.003 en el momento en que el acero empieza a fluir. En ese instante:
S
f Y E S
4200 Kg / cm2 6
2 *10 Kg / cm
2
0.0021 S 0.0021
Del diagrama de deformaciones: C c c 18.70 C S * 0.0021 0.0008 69 18 . 70 d c S d c C
0.0008
Como: S C , falla se inicia por FLUENCIA DEL ACERO. Luego:
M 'u T d a / 2 AS * f Y * d a / 2 20.27 * 4200 69
M 'u
5'197,000 Kg * cm
M 'u 52T * cm
15.90
Kg * cm
2
c.) CALCULO DE LA CUANTÍA BALANCEADA: Puesto que la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto ocurren simultáneamente: C 0.003 S S
f Y
E S
4200
0.0021
6
2 *10
0.0021
Del diagrama de deformaciones: C C c 0.003 69 c d 0 . 003 0 . 0021 S d c S C c
40.90cm
Además: a
0.85c
a
34.76cm
También: T C T C 0.85 f 'C *a * b
0.85 * 40.90cm
34.76cm
f Y AS .b
T C AS .b
44.32cm
pb
pb
AS .b
AS .b b * d
T C f Y
186 ,140 Kg 2
4200 Kg / cm
186,140 Kg
44 .32 cm
2
2
44.32cm
0.85 * 210 * 34.76 * 30
2
30cm * 69cm
0.0215
0.0215
PROBLEMA: Para la sección de la viga mostrada en la figura, se solicita determinar el área de acero, si se conoce que M u 1'840,000 Kg cm, el concreto es de
f 'C
2
210 Kg / cm y el límite de fluencia del acero de
45
41
As 25
De la expresión:
f Y
2
4200 Kg / cm .
p * f Y M u AS * f Y * d 1 0.59 f 'C Ecuación en la cual: p
AS
, es posible despejar el valor de A , resultando una
S b * d ecuación bicuadrada en AS . Sin embargo, en muchos casos es mas practico
proceder por tanteos:
PRIMER TANTEO: Suponiendo que: a
d
AS
M u
f Y d a / 2 13.2cm
Con AS
a
a/2
d
0.1d
0.9 * 4200
Kg cm2
0.9d
13.2cm
2
* 0.9 * 41cm
2
cm 2 calculamos a :
13.2
AS * f Y
a
1'840,000 Kg * cm
AS
0.2d
0.85 f 'C *b
13.2cm2 * 4200 Kg / cm2 2
0.85 * 210 Kg / cm * 25cm
12.4cm
12.4cm
SEGUNDO TANTEO: Con AS
a
12.4cm Calculamos AS
1'840,000 Kg * cm
0.9 * 4200
AS
13.98cm
Con AS
a
Kg cm
2
13.98cm
d a / 2 41 6.2cm 34.8 2
* 34.8cm
2
13.98cm2 calculamos nuevamente
AS * f Y 0.85 f 'C *b
a :
13.98cm2 * 4200 Kg / cm2 2
0.85 * 210 Kg / cm * 25cm
12.5cm
a 12.5cm Los 2 valores de a calculados son aproximadamente iguales, luego: AS 13.98cm : Usar: 8 5 / 8".
CARGAS MUERTAS EN EDIFICACIONES. ESPESOR DEL MURO EN MTS
PESO MUERTO (KG/M2)
a) MUROS DE ALBAÑILERIA DE LADRILLO CHICO COMPACTO. 0.08 170 0.14 290 0.25 520 0.36 750 b) ALBAÑILERIA DE LADRILLO KING KONG. 0.10 0.15 0.25
280 400 550
c) ALBAÑILERIA DE CONCRETO VIBRADO. (PARVA DOMUS) 0.15 240 0.20 285 0.25 350 d) LADRILLO PANDERETA (Solo para tabaquería en pisos altos. No es importante). 0.12 180 0.25 325 e) PISOS ALIGERADOS DE CONCRETO ARMADO 0.17 380 0.20 400 0.25 450 0.30 520
CARGAS VIVAS Ó SOBRECARGAS
TIPO DE EDIFICACIÓN Casa-habitación Azoteas planas Oficinas Bibliotecas Escaleras
CARGA VIVA (Kg/m2) 200 150 250 300 500
DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS Existen casos muy frecuentes en los que la sección de una viga se ve limitada en sus dimensiones, sea por razones de tipo arquitectónica ú otras, por lo que puede exceder que el concreto resulte incapaz de resistir la compresión resultante del momento aplicado. Se hace entonces, necesario reforzar la zona comprimida con acero, resultando una viga reforzada tanto en tracción como en compresión. El Reglamento ACI exige el uso de acero en compresión cuando la cuantía “p” excede el valor de 0.75 p b . Hay casos en que se usa acero en compresión aun cuando no sea requerido estructuralmente p 0.75 pb ; por ejemplo, para limitar las deformaciones que ocurren en el transcurso del tiempo, para sostener estribos, para casos en que puedan ocurrir inversiones de esfuerzos, etc. En estos casos puede ignorarse la existencia del acero en compresión, por ser su influencia pequeña, en el cálculo de la resistencia de la sección. Cuando el acero en compresión se requiere estructuralmente p 0.75 pb , el análisis puede efectuarse de la siguiente forma: 0.85f'c E's d'
a
A's
C'I
A's c
=
h
As
+
b
(d-d')
d
AsI
T'I= ASI*f y
b
d' C'2=A's*f y ó A's*f s
As2
T'2= AS2*f y
Es
Sea: M u
Momento de Rotura Teórico= M u /
M 'u M '1
Momento ultimo de diseño a la Rotura.
Momento que la viga puede tomar sin usar acero en compresión.
A' S 1 Área
de acero necesario para tomar el momento M '1 .
M ' Momento adicional a partir de M '1 . 2
AS 2
Área de acero en tracción adicional para resistir M ' 2 .
A' S Área de acero en compresión para resistir M '2 . Si las deformaciones no constituyen problema, puede asumirse que: p1 0.75 pb (1)
Si las deformaciones deben limitarse:
f 'C p1 0.18 f g Consideraciones:
(1’)
M 'u
M u /
M 'u M '1 M '2 AS AS 1 AS 2 Calculada la cuantía p, según (1) ó según (1’) se tendrá:
AS 1 p, bd
(2)
p1 * f Y
f 'C
M '1 AS 1 * f Y * d 1 0.59
(3)
La ubicación del eje neutro puede determinarse con la expresión:
a 0.85c
AS 1 * f Y 0.85 * b * f ' c
(4)
Por otro lado, el momento que debe ser tomado por el acero en compresión A S y el '
acero de tracción adicional A' S 2 es: Y:
M ' 2 M 'u M '1 T ' C ' M ' / d d ' 2
2
2
(5) (6)
Finalmente:
A' S C ' 2 / f S
(7)
T '2 / f Y
(8)
AS 2
RECOMENDACIONES ACI: Si se usa acero en compresión, debe asegurarse que estas varillas no pandeen antes de alcanzarse la capacidad de la sección calculada. Para ello es necesario que dichas barras se anclen mediante estribos, los cuales serán de un diámetro no inferior a ¼”, ni espaciados a más de 16 diámetros de la varilla
longitudinal ó 48 diámetros de los estribos. Estos deben usarse en todo lo largo que se requiera acero en compresión.
PROBLEMA: La viga que se muestra en la figura, forma parte de un conjunto de pórticos que distan entre sus ejes 6.00m. Se deberá diseñar el acero necesario, en las zonas de máximos momentos. W
A's
0.60 L=8.00m
As
LI=3.00m
0.30
PESO DE ALIGERADO:
400.00 Kg. / m2
PESO PISO TERM.
100.00 Kg./ m2
:
PESO DE TABIQUERIA: 150.00 Kg./ m2 PESO DE MURO CABEZA: 400.00 Kg./ m2 PESO DE SOBRE CARGAS: 1000.00 Kg / m2 ALTURA DE MURO : 4.00 M. CONCRETO: f ’c = 210 Kg. / cm2 ACERO
: fy = 4200 Kg. / cm2
1.0 METRADO DE CARGAS: PESO PROPIO: 0.60 x 2400 Kg./ m= 432.00 Kg
-
-
CARGAS PERMANENTES ALIGERADO: 400.00 Kg / m2 x 6.00 m. = 2400.00 Kg / m PISO TERMIN. : 100.00 Kg / m2 x 6.00 m = 600.00 Kg / m TABIQUERIA : 150.00 Kg / m2 X 6.00 m =900.00 Kg / m MURO DE CAB. : 400.00 Kg / m2 X 4.00 m=1600.00 Kg / m --------------------------W D =5500.00 Kg / m SOBRECARGAS: PESO SOBREC. 1000.00 Kg / m2 x 6.00 m = 6000.00 Kg / m --------------------------W L = 6000.00 Kg / m CARGA TOTAL W:
W 1.5W D 1.8W L 1.5 * 5500 Kg / m 1.8 * 6000 Kg / m W 8250 Kg / m 10800 Kg / m W 19,050 Kg / m
2.0
CALCULO DE MOMENTOS MAXIMOS
A
B
C
L=8.00m
LI=3.00m
(-)
Mmáx
y1
(+)
Mmáx ( )
1
M máx.
( ) M máx .
( ) máx.
M
2 1
W * L1
19050
2
Kg
* 32 m 2
2 m 85725 Kg * m
Por ~ de AS :
Y I
A
85725
8
Y I
85725 * 0.5
Y I
42862.5 Kg * m 1
1
M E W L *19050 Kg * m * 82 m 2 152,400 Kg * m. 2
8
8
1 2 1 M (máx). W L *19050 Kg * m * 82 m2 152,400 Kg * m. 8 8 ( )
M máx. ( )
M máx.
152,400 Kg * m 42,862.5 Kg * m.
M E Y I
109,537.5 Kg * m
3.0
CONDICIONES GEOMETRICAS DE LA SECCIÓN.
SI: r 3.5cm
r 1.5
d
h
d
55cm
60cm
3.5cm
1.5cm
d ' r 1.5 3.5cm 1.5cm 5cm d '
5cm
4.0 MOMENTO MÁXIMO COMPRESIÓN.
M I
QUE LA VIGA RESISTE SIN ACERO EN
p I * f Y
f 'C
M I ASI * f Y * d 1 0.59 * Siendo: p I
ASI
ASI
b * d
p I * b * d
(1) (2)
Además:
pmáx
p I
0.75 pb
f 'C 0.003 Luego: p I 0.75 * K 1 * K 3 * f f Y Y 0 . 003 E S Reemplazando valores:
210 Kg / cm 0.003 p I 0.75 * 0.85 * 0.85 * 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm 2 Kg cm 0 . 003 / 6 2 *10 2
p I
0.0159
En (2):
ASI
ASI
p I * b * d 0.0159 * 30cm * 55cm 2
26.235cm
En (1):
M I ASI * f Y * d 1 0.59 *
p I * f Y
f 'C
2 0.0159 * 4200 Kg / cm M I 0.9 * 26.235cm * 4200 Kg / cm * 55cm1 0.59 * 2 210 Kg / cm 2
2
M I
4'431,038 Kg * cm
M I
44,310 Kg * m
5.0
ANALISIS DEL TRAMO AB:
( ) M máx .
109,537.5 Kg * m. M I COMPRESIÓN ( )
M 2 M máx M I
M 2
LA VIGA REQUIERE ACERO EN
109,537.5 44,310 Kg * m
65,227.5 Kg * m
Luego:
A' S AS 2
AS
T '2
f Y
A'S AS 2
AS
M '2 f Y d d '
65227.5 * 10
AS 2
f Y d d '
2
Kg * cm
0.9 * 4200 Kg / cm
AS 1
M 2
2
55 5cm
34.51cm
2
34.51cm2 USAR : 7 1"(COMPRESION )
AS 2
26.24cm
2
34.51cm
2
USAR : 12 1"(TRACCIÓN ) AS 60.75cm2
6.0
ANALISIS DEL APOYO B:
( ) M máx .
M 2
M 2
85,725 Kg * m. M I ( )
M máx M I
LA
VIGA REQUIERE ACERO EN COMPRESIÓN
85,725 Kg * m 44310 Kg * m
41415 Kg * m
Luego:
A'S
AS 2
A' S AS 2
M '2 f Y d d '
M 2 f Y d d '
44415 *102 Kg * cm 0.9 * 4200 Kg / cm 55 5cm 2
21.91cm 2
A'S AS 2 21.91cm2 USAR : 4 1"(COMPRESIÓN )
AS
AS 1
AS 2
26.24cm
2
21.91cm
2
USAR : 10 1" (TRACCIÓN ) AS 48.15cm 2
7Ø1"
10Ø1" 60cm
60cm
12Ø1"
4Ø1" 30cm
30cm
SECCIÓN EN TRAMO AB
SECCIÓN EN APOYO AB
PROBLEMA: Diseñar el acero en tracción y compresión de la viga mostrada en la figura según los datos siguientes: 2 f 'C 210 Kg / cm W(T/m)
f Y
4200 Kg / cm
SOBRECARGAS:
2
1000 Kg / cm
ALIGERADO:
450 Kg / cm
2
PESO MURO:
400 Kg / cm
2
ALTURA MURO:
3.00m 150 Kg / cm
2
PISO TERMINADO: 100 Kg / cm
2
TABIQUERIA:
2
L=3.00m A's 45cm
As 25
AREA DE INFLUENCIA: 5.00m
SECCIÓN TRANSVERSAL
1.0 METRADO DE CARGAS CARGAS PERMANETES: ALIGERADO: 450 Kg / cm * 5.00m 2,250 Kg / m. 2
2
MURO: 400 Kg / cm * 3.00m
1,200 Kg / m
2
TABIQUERIA:150 Kg / cm * 5.00m 750 Kg / m 2 PISO TERMINADO: 100 Kg / cm * 5.00m
500 Kg / m
PESO PROPIO:
0.25m * 0.45m * 2400
Kg
m W D
3
270 Kg / m
4970 Kg / m
2
SOBRECARGAS:
0500 Kg / m * 5.00m 2500 Kg / m
W L
2500 Kg / m
CARGA TOTAL: W 1.5W D 1.8W L W 1.5 * 4970 Kg / m 1.8 * 2500 Kg / m W 11,955 Kg / m
2.0 CALCULO DE MOMENTO FLEXIONANTE. M
1
*W * L2
1
*11,955 Kg / m 2 * 2.5 2 m 2
2 2 M 37.36T * m
37,360 Kg m
3.0 CONDICIONES GEOMETRICAS DE LA SECCÓN Si: d
r
h
3.5cm
r 1.5
45
3.5
1.5
40cm
d ' r 1.5 3.5 1.5 5cm
4.0 MOMENTO MAXIMO M 1 QUE LA VIGA RESISTE SIN ACERO EN LA ZONA COMPRIMIDA: p * f Y M 1 ASI * f Y * d 1 0.59 * 1 (1) f ' C Pero: p1
ASI
ASI
b * d
p I * b * d
(2)
Además:
pmáx
0.75 pb
Luego:
p1 pmáx 0.75 * K 1 * K 3 * p1
f 'C
6000 0.75 * 0.0213 f Y 6000 4200
0.016
En (2):
ASI
0.016 * 25cm * 40cm 16.00cm
En (1):
M I ASI * f Y * d 1 0.59 *
p I * f Y
f 'C
2
ASI 16.00cm
2
2 0.016 * 4200 Kg / cm M I 0.9 *16.00cm * 4200 Kg / cm * 40cm1 0.59 * 2 210 Kg / cm 2
M I
2
M I 1'962,245 Kg * cm
19.62T * m
Como: M 37.36T * m M I
19.62T * m, La viga requiere acero en compresión.
5.0 CALCULO DEL MOMENTO ADICIONAL PARA DETERMINAR A' S yAS
2
37.36T * m 19.62T * m 17.74
M 2
M M 1
M 2
17.74T * m
6.0 CALCULO DEL ACERO EN COMPRESIÓN COMPLEMENTARIO EN TRACCION A .
A' S
S 2
A' S AS 2
A' S
AS 2
T ' 2 f Y
M ' 2 / d d '
f Y
M ' 2 f Y d d '
17.74 *105 Kg * cm
A' S AS 2
2
0.9 * 4200 Kg / cm (40 5)cm
M 2
f Y d d '
13.41cm 2
cm2
13.41
7.0 AREAS TOTALES. EN COMPRESIÓN: A' S 13.41cm 2 USAR : 5 5 / 8". ó 3 1" EN TRACCIÓN:
AS AS
16.00cm
29.41cm
2
2
13.41cm
2
USAR: 6 1".
8.0 SECCION CALCULADA:
40cm 3Ø1" 25
Y
DEL
ACERO
PROBLEMA: Una viga simplemente apoyada tiene una sección transversal de 60*25cm, una luz de 5.70m y acero en tracción equivalente a 6 3 / 4". dispuestas en 2 capas que distan entre sus ejes 5cm. La viga está provista también de acero en compresión conformado por 2 5 / 8". si f 'C 210 Kg / cm2 y f Y 4200 Kg / cm2 ¿Qué carga por metro lineal podrá soportar la viga?
2Ø5/8"
40cm 5cm
6Ø3/4" 25
a) MOMENTO QUE LA VIGA RESISTE SIN ACERO EN COMPRESION: 6 3 / 4". 17.10cm
2 5 / 8".
2
3.958cm2
AS 1 AS 2
AS 2
AS
A' S
Luego: ASI
AS
ASI
13.142
AS 2
17.10cm
2
2
3.958cm
2
13.142cm
cm2
M 1
p * f ASI * f Y * d 1 0.59 * 1 Y f 'C
1
d h 2.5 r 3 / 4" 2
d
60
2.5
3.5
1.90
d 52.10cm Pero: p I
p I
ASI b * d
13.142cm
2
25cm * 52.1cm
0.01
Luego: 2 0.01* 4200 Kg / cm M I 0.9 *13.142 * 4200 Kg / cm * 52.101 0.59 * 2 210 Kg / cm 2
M I
2'282,000 Kg * cm
M I
22.82 Kg * cm
b) MOMENTO ADICIONAL M 2 :
M 2
AS 2 * f Y (d d ' ) 0.9 *13.142cm 2 * 4200 Kg / cm 2 52.10 5cm
M 2
2'339,000 Kg * cm
M 2
23.39T * m
c) MOMENTO TOTAL:
M M 1 M 2 M
22.82T * m 23.39T * m
46.21T * m
1 8 * M 8 * 46.21T * m 2 W Además: M WL 2 2 2 L 8 5.70 m
W 11.38T / ml
DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS Y ALIGERADOS POR EL METODO DE LOS COEFICIENTES CONDICIONES PARA SU APLICACIÓN: Si tomamos 2 tramos consecutivos de una estructura continua, el tramo mayor 1. no deberá exceder al menor en más del 20% de su luz. L1 1.2 Si: L1 L2 , entonces : L2 Las cargas deberán ser uniformemente distribuidas. Este método no contempla 2. el caso de cargas concentradas. La sobrecarga no debe exceder a 3 veces la carga permanente.
3.
Cumplidas las condiciones mencionadas, es posible calcular losas aligeradas y vigas continuas, con los siguientes momentos críticos. W 1.5W D
1.8W L
W(T/ml)
2
1 A Sean:
1 , 2 , 3 , Luz
3
B
C
D
entre ejes de apoyos.
'1 , ' 2 , '3 , Luz
libre entre caras de apoyos. 2
a) TRAMOS EXTREMOS: 1/ 14W '1 1/ 14W '3
MOMENTOS POSITIVOS:
b) TRAMOS INTERMEDIOS: 1/ 16W ' 2
MOMENTOS NEGATIVOS: a) APOYOS EXTREMOS: M A
b) APOYOS
o
1
1
16
INTERMEDIOS: M B
2 2
Lo
2
W 1 1
10
3
2
2
W 0
2
M D
M C
1 16 1 10
W 3 2 WL0
2
2
2
DISEÑO DE UNA LOSA ALIGERADA: Diseñar una losa aligerada por el método de los coeficientes, según las características que se muestran a continuación El ladrillo de techo será del tipo REX. 2
1
3
4
VIGAS DE APOYO
.25
VIGAS DE APOYO
5.25
.25
4.50
SOBRECARGA DE SERVICIO: 500kg / cm 100kg / cm
PESO DE TABIQUERIA:
.25
5.25
.25
f 'C 210kg / cm2
2
2
f Y
4200kg / cm
2
PESO DE PISO TERMINADO: 50kg / cm
1. h
DIMENSIONAMIENTO PREVIO:
1/ 20 Ó
Si: h
Si: h
1
20
1
25
h
1 20
1
25
1/ 25
Luz entre ejes de apoyos.
5.25 0.25 0.28m 0.30m 5.25 0.25 0.22m 0.25m
TOMANDO : h 30cm d r
27cm
3cm LADRILLO DE ARCILLA DE 0.30X0.30X0.25
Ø 1/4" @ 0.25 (ACERO DE TEMPERATURA)
0.05 0.25 0.10
VIGUETA
0.30
0.10
SECCIÓN TIPICA ALIGERADO
2.
METRADO DE CARGAS:
PESO PROPIO: 310 Kg / m 2
(LADRILLO REX)
PESO TABIQUERIA: 100 Kg / m 2 PESO PISO TERMINADO: D
0.30
460 Kg / m
50 Kg / m
2
2
CARGA POR M.L. DE VIGUETA:
d 460 Kg / m 2 * 0.40m 184 Kg / ml
2
L 500 Kg / m 2 * 0.40m 200 Kg / ml CARGA DE DISEÑO:
W 1.5 D 1.8 L 1.5 *184 Kg / ml 1.8 * 200 Kg / ml W 636 Kg / ml 3. CONDICIONES PARA APLICAR EL METODO DE LOSCOEFICIENTES: L1 5.25 1.20 OK! L2 4.50 ES APLICABLE EL METODO L D
500
460
3
OK!
4.
MOMENTOS FLEXIONATES. 1 1 M 1( 2) W 12 2 * 636 * 5.252 14 14
M 2( 3) M 1( )
1 16 1 16
W 223 W 12
1 16
1 16
1,252.20 Kg m / ml de vigueta.
* 636 * 4.502 805 Kg m / ml de vigueta.
* 636 * 5.502 1,202 Kg m / ml de vigueta. 2
5.50 4.75 W 20 * 636* 1,670 Kg m / ml de vigueta. 10 10 2 1
M 2( )
1
5. MOMENTO MAXIMO QUE PUEDEN RESISTIR LAS VIGUETAS: Se calculara para las regiones vecinas a los apoyos en donde el momento máximo de diseño es negativo.
pmáx 0.75 * K 1 * K 3 * pmáx a
f 'C
6000 210 6000 0.75 * 0.85 * 0.85 * f Y 6000 f Y 4200 6000 4200
0.016
p * f Y * d 0.85 f 'C
0.016 * 4200 * 27
0.85 * 210
10.16
M máx 0.85a * b * f 'C d a / 2 0.85 *10.16 *10 * 210 27 M máx
397,500 Kg cm
10.16 2
( )
M máx 3,975 Kg m M 2 ALIGERADO)
1670 Kg m
(MAYOR
MOMENTO
OK!
6.
CALCULO DE AREAS DE ACERO.
a)
ACERO NEGATIVO.
AS 1
M 1
( )
Asumimos: a 0.2d
f Y (d a / 2)
d a / 2 0.9d
Luego: 2
1202 *10
AS 1
a
d
0.9 * 4200 * 0.9 * 27
AS * f Y
Con: a
AS 2
27 1.54
2
1.25cm
2
M 2
( )
1670 *10 2
f Y (d a / 2)
AS * f Y
1.25cm2
USAR : 2 3 / 8"
a
3.08cm
25.46cm
0.9 * 4200 * 25.46
0.85 * 210 *10
3.08cm :
1202 *10
AS 1 AS 1
1.31* 4200
0.85 f 'C *b
a/2
1.31cm 2
0.9 * 4200 * 0.9 * 27
1.82 * 4200
0.85 f 'C *b
0.85 * 210 *10
1.82cm 2
4.28cm
d a / 2 27 1.41 25.59cm
AS 2
AS 2
1670 *10
2
0.9 * 4200 * 25.59
1.73cm
2
1.73cm 2 USAR : 1 1 / 2"1 3 / 8"
DE
b)
ACERO POSITIVO ( ) S 12
A
()
M 1
2
f Y (d a / 2)
AS * f Y
a
0.85 f 'C *b
Con:
a
d a / 2
1252.20 *102 0.9 * 4200 * 0.9 * 27
1.36 * 4200 0.85 * 210 *10
1.36cm
2
3.20cm
23.20cm
27 1.60
25.40cm
AS 12 AS 1
()
2
() S 23
A
a
1252.20 *102 0.9 * 4200 * 25.40
M 2
USAR : 2 3 / 8"
( ) 3
f Y (d a / 2)
AS * f Y
2
1.30cm
1.30cm2
805 *102 0.9 * 4200 * 0.9 * 27
0.88 * 4200
0.85 f 'C *b
0.85 * 210 *10
0.88cm 2
2.06cm
d a / 2 27 1.03 25.97cm
AS 23
()
805 *102 0.9 * 4200 * 25.97 2
0.82cm2
USAR : 1 3 / 8" 1 1/ 4"
AS 2
3
7.
COMPROBACION DE AREAS MINIMAS.
pmín
0.82cm
14
f Y
14 4200
0.0034
ASmín p * b * d 0.0034 *10 * 27 0.918cm2 1 1/ 4"1 3 / 8" ACERO
MINIMO: 1 1/ 4"1 3 / 8"
8.
ACERO DE TEMPERATURA.
Para: b 1m 100cm
h
AS .temp
0.05m
5cm
0.002bh
0.002 *100 * 5
2
1.00cm / metro.
USAR : 1 1/ 4"@.25m
9.
DOBLADO DEL ACERO
(-)
(-)
As1
As2
(+) s1-2
>0.5A
(+) s2-3
>0.5A
(+) s1-2
(+)
As2-3
A
.15 .15
1.05
1.75
2Ø3/8"
1.50
1Ø1/2"+1Ø3/8"
2Ø3/8" 1.05
1/ 3 1
.25
5.25
1/ 3 2
4.50
2
1/ 3 * 5.25
.90
1.05
2Ø3/8"
2Ø3/8" .75
1.05
.25
5.25
.25
4
3
1 / 5 * 5.25 1.05
1.75
1Ø1/2"+1Ø3/8"
0.90
1 1/ 5 1
1.50
1Ø1/4"+1Ø3/8"
.75
.25
m
1/ 7 1
1/ 7 * 5.25 0.75m
1.75m
1/ 5 2
1/ 5 * 4.50 0.90m
1/ 3 * 4.50 1.50
m
DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXOCOMPRESIÓN. a.) Las columnas, generalmente están sometidos a compresión, pero también están sometidas a esfuerzos de flexión, los cuales resultan de la continuidad de la estructura, de las cargas transversales, ó de las cargas excéntricas (ó de la inversión de espesor y de las fuerzas horizontales por sismo.) P
P
P
M=P*e P
e
=
e
=
Las columnas se deben reforzar, por lo menos, con 6 varillas longitudinales en disposición circular, ó con 4 varillas longitudinales en disposición rectangular. El área
de acero de esfuerzo para la columna no debe ser menor del 1% ni mayor del % del área transversal total de la columna: 0.01b * t AS 0.06 * t b.) En las columnas de concreto armado, las varillas longitudinales ayudan al concreto soportar las cargas. Los estribos, así como el zunchado de acero alrededor de las varillas longitudinales, evitan que se pandeen hacia afuera y produzcan figura en la envoltura externa del concreto. Dado que el zunchado es más efectivo que los estribos, las columnas zunchadas pueden soportar mayores cargas que las columnas reforzadas transversalmente con estribos. En columnas vaciadas “insitu”, los zunchos y estribos se deben proteger con un
recubrimiento mínimo de 11/2 pulgadas. Para exposiciones severas, se puede aumentar el espesor del recubrimiento. En el caso especifico de los zunchos, éstos deben tener un diámetro no menor de 3/8”. Los empalmes pueden hacerse por soldadura ó con un traslape de 48 diámetro de la varilla. El espaciamiento de la espiral (paso) no d ebe exceder de 3” ni ser menor de 1”. Los estribos deben ser por lo menos de 3/8” de diámetro. El espaciamiento entre
ellos no debe exceder de 16 diámetros de varillas longitudinales, 48 diámetros de la varilla de estribos o de la dimensión mínima de la columna.
RELACION DE ESBELTEZ.- La esbeltez es una función de la geometría y arriostramiento de la columna. Puede reducir su capacidad de carga por que introduce esfuerzos de flexión y puede conducir a una falla por pandeo. La capacidad de carga de una columna se reduce cuando se aumenta la longitud de ella. Para el caso de alturas menores a 5 niveles no será necesario considerar el efecto de esbeltez.
A
A
B
B
S
b b
D
t SECCIÓN A-A
b
SECCIÓN B-B
SECCIÓN B-B
DISEÑO DE COLUMNAS POR RESISTENCIA A LA ROTURA. Las columnas se diseñan de acuerdo con las disposiciones y requerimientos del código ACI pertenecientes a elementos sometidos a cargas de flexión y axial combinadas. Estoas hipótesis son:
1. Las cargas y los esfuerzos están en equilibrio y deformaciones son compatibles con los límites permisibles.
2. Los esfuerzos dependen solo de las deformaciones. Se acepta que el concreto agota su resistencia a la compresión cuando u 0.003. 3.
Si el esfuerzo en la armadura f S f Y se produce el agotamiento en el acero.
4.
La resistencia a la tensión del concreto es insignificante.
5.
En el análisis, puede usarse el bloque rectangular o bloque de Withney.
,
Sea la sección transversal de una columna rectangular de dimensiones b t con armadura de refuerzo en las caras de mayor solicitación: ,
e'
Pu
t Pu
Pu Ec
d'
t d
As*f y
a
Ku d
A's
0.85 f'c
Es
0.85f'c*a*b
e'
(d-a/2)
As
Y As*f y Es
b
DIAGRAMA DE DEFORMACIONES
DIAGRAMA DE ESFUERZOS
I H 0 : P u 0.85 * f 'C *a * b A' S * f S AS *
f Y (1)
f S
0.50 f Y
M Y 0 : P u*e' A'S * f Y d d ' 0.85 f 'C *a * bd a / 2
(d-d')
0.75 (Columnas Circulares)
0.70 (Columnas
(2)
Rectangulares)
Si la falla es por compresión, la armadura superior ( A' S ) alcanza la fluencia y la inferior ( A' S ) no. En este caso se puede determinar si alcanza o no la fluencia mediante el análisis de la falla secundaria. Si:
' S S
Donde:
S
Entonces el acero superior
f Y / E S A' S estará
en fluencia.
DETERMINACIÓN DE LA CARGA BALANCEADA Y EXCENTRICIDAD BALANCEADA. En el diagrama de deformaciones, para la falla balanceada: Por ~ de E's Ec=E'u
Cb d
Cb=(Ku d)b
d cb cb
AS :
Y
u
d cb
cb
cb
Y
u
u
Es=Ey d cb
u Y u cb ( K u d ) b d u * u Y
Del diagrama equivalente de Whitney: a
0.85cb
(b)
u u * d K 1 d 0.85 u Y u Y
(c)
0.85c ab
Reemp. (a) en (b): ab
Reemp. (c) en (1):
u P b 0.85 f 'C * K 1 * b * d Puesto que A' S * f S AS * f Y Y u
Siendo: P b CARGA BALANCEADA. a
ab
(
Reemp.en (2): e' b
ab 0 . 85 f ' * a * b d A ' * f d d ' C b S Y P b 2
Siendo: e b EXCENTRICIDAD BALANCEADA. '
Además: M b
P b * e'b *
Ó:
M b
P b * e'b
Siendo: M b MOMENTO BALANCEADO.
RECOMENDACIONES PARA EXCENTRICIDAD: El reglamento ACI establece que se debe diseñar por lo menos en una excentricidad mínima, cuyos valores son los siguientes: Para columnas estribada: emín 0.10t
Para columnas zunchadas: emín 0.05t Siendo: t = dimensión de la columna en el sentido de la excentricidad.
PROBLEMA: una columna rectangular de 30*60cm debe soportar una carga total de 100 Tn ubicada a una distancia e' 1.20m del C. de G. del acero en tracción, según la dirección de la mayor dimensión. Se deberá determinar el acero de refuerzo ubicado simultáneamente en las caras de mayor solicitación, si se conoce que f 'C 210 Kg / cm2 y f Y 4200 Kg / cm2
Pu e=0.95
A's t=60cm
d ' r 1.5
e'=1.20
d '
5cm
5cm
d
t
3.5 1.5
As
r
1.5
60
3.5
1.5
b=30
d
55cm
Pu=100Tn e e'5
e
30 1.20 5 30
0.95m Pu=100Tn
As
A's
t=60 e=95cm 5cm e'=120cm
M=Pu*e=100T*0.95m=95T*m
1. ANALISIS DE LA FALLA. Si:
P b
P b
P u
P u ,
,
La falla es por compresión
La falla es por tracción
Para calcular la carga balanceada, es posible aplicar la formula (I), en la que se cumple que: AS * f Y A'S * f S
P b 0.85 f 'C *ab
Donde:
* b
u * d K 1 * Y u
ab
Luego:
u P b 0.85 f 'C * K 1 * * b * d Y u Reemplazando valores:
Kg P b 0.700.85 * 210 * K 1 * 2 cm 0.003 P b
103,083 Kg
P b
103,083Tn P u
0.003 * 30cm * 55cm 2 4200 Kg / cm 6 2 2 * 10 Kg / cm
100tn. LA FALLA ES POR TRACCIÓN.
2. CALCULO DEL ACERO LONGITUDINAL DE REFUERZO. Por inversión de esfuerzos: En (1): P u
a
A' S
AS y
A'S * f S
AS * f Y
0.85 f 'C *a * b P u
0.85 f 'C *b
a 26.68cm
100,000 Kg
0.700.85 * 210
Kg cm 2
* 30cm
En (2): P u * e' A'S * f Y d d ' 0.85 f ' c * a * bd a / 2 A'S
A' S
A' S
pu * e' 0 . 85 * ' * * / 2 f a b d a C f Y d d ' 1
100,000 Kg *120cm 0.85 * 210 Kg / cm 2 * 26.68cm * 30cm55cm 13.34cm 0.70 4200 Kg / cm 55cm 5cm
1 2
53.29cm
2
USAR: 8 1"5 3 / 4"
3. ANALISIS DE LA FALLA SECUNDARIA. En el diagrama de deformaciones:
Eu=Ec E's
'
S
K u d d '
d'
c=Ku d d
u
K u d
'
S
u
K u d
K u d
a
26.68cm
16
K 1
0.85
0.85
Reemp. En (1) 31.38cm
Pero: 'S
f Y E S
31.38cm 5cm 0.0025 '
d '
(1)
Es
0.003
u
En el diagrama de Whitney: c
' S
K d
4200 Kg / cm 2 2 * 106 Kg / cm 2
S
0.0025
S 0.0021 0.0021
Como: ' S S , el acero superior también FLUYE y falla por FLUENCIA
8Ø1"+5Ø3/4" 60cm
8Ø1"+5Ø3/4" 30cm SECCIÓN CALCULADA
31.38cm
PREDIMENSIONAMIENTO DE COLUMNAS C4
C2
E L3
C3
D
C2 L3
C L3
B L3
A L1
L2
2
1
L2
L1
4
3
5
ULTIMO
H2
PENULTIMO
H2
ANTEPENULTIMO
H2
H2
SEGUNDO
H2
PRIMERO H1
L1
L2
L2
L1
COEFICIENTES K PARA DETERMINAR EL AREA DE COLUMNAS CUADRADAS PARA DIFERENTES LUCES ENTRE EJES Ag=K*At Ag=AREA DE LA SECCION TRANSVERSAL DE LA COLUMNA At=AREA TRIBUTARIA ACUMULADA LUZ ENTRE AREA TIPO DE COLUMNA TRIBUTARIA EJES(m) C2 C3 C4 POR PISO (m2) C1
PISO
ANTEPENULTIMO
SEGUNDO
4.00 6.00
16.00 36.00
0.0013 0.0025 0.0022 0.0040 0.0011 0.0020 0.0016 0.0028
8.00 4.00 6.00
64.00
0.0011 0.0017 0.0015 0.0023
16.00 36.00
8.00
64.00
0.0011 0.0014 0.0014 0.0021 0.0012 0.0014 0.0014 0.0015 0.0012 0.0014 0.0014 0.0015
EJEMPLO NUMERICO: efectuar el dimensionamiento preliminar de los
diferentes tipos de columnas mostrados.
6 5.00
5 5.00
4 5.00
C2
C3
3 5.00
C3
C2
2 5.00
C1
C4
6.00
A
C4 8.00
B
C1
1
6.00
C
PL ANTA
D
ANTEPENULTIMO
SEGUNDO
01
3.00
02
3.00
03
3.00
04
3.00
05
3.00
06
3.00
07
3.00
08
3.00
09
3.00
10
3.00
11
3.00
12
3.00
13
3.00
14
3.00 4.50
15
AREAS DE FLUENCIA: Columna tipo C3: 5.00 * 7.00= 35.00m2 C2: 5.00 * 3.00= 15.00m2 C4: 2.5 * 7.00= 17.50m2 C1: 2.5 * 3.00= 7.50m2 COLUMNA TIPO 1: Dimensionamiento preliminar. PISO
AREA DE FLUENCIA ACUMULADA
COEFICIENTES
ANTEPENULTIMO SEGUNDO
7.5 * 3 =22.5 M² 7.5 * 13 =97.5 M²
0.0011 0.0012
ANTEPENULTIMO: SEGUNDO:
Ag=K*At=22.5*0.0011*10 =247.5cm² 4 Ag=K*At=22.5*0.0011*10 =247.5cm² Agmin(ACI)=775cm² Ag(13-14)=35*35cm Ag(3-4)=30*30cm
4
COLUMNA TIPO 2: Dimensionamiento preliminar.
PISO ANTEPENULTIMO SEGUNDO ANTEPENULTIMO: SEGUNDO:
AREA DE FLUENCIA ACUMULADA
COEFICIENTES
15.00 * 3 =45.00 M² 0.0020 0.0014 15.00* 13 =195.00 M² 4 Ag=K*At=45.00*10 *0.0020=900cm 4 Ag=K*At=195.00*10 *0.0014=2730cm Ag(13-14)=30*30cm Ag(3-4)=50*50cm ó (55*55=3025cm² ²
²
COLUMNA TIPO 3: Dimensionamiento preliminar. COLUMNA TIPO 4: Dimensionamiento preliminar. NIVEL COLUMNA TIPO 1 COLUMNA TIPO 2 COLUMNA TIPO 3 COLUMNA TIPO 4 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9 - 10 10 - 11 11 - 12 12 - 13 13 - 14 14 - 15
+4
+2
30 x 30 30 x 30 30 x 30 30 x 30 30 x 30 30 x 30 30 x 30 35 x 35 35 x 35 35 x 35 35 x 35 35 x 35 35 x 35 40 x 40
30 x 30 30 x 30 30 x 30 35 x 35 35 x 35 40 x 40 40 x 40 45 x 45 45 x 45 45 x 45 50 x 50 50 x 50 50 x 50 50 x 50
PROBLEMA: Determinar, para la condición de falla de la columna estribada que se muestra en la figura, el acero principal de refuerzo que se dispondrá simétricamente 2 en la sección, si f 'C 210 Kg / cm y f Y 2800 Kg / cm2
Pu=50T
e=0.75m
A's
t
e'=1.00m
d As
d '
5cm
d
50 cm
t
55 cm
b
25 cm
r
2 .5cm
.025m b
Pu
Pu=50T
Pu=50Tn
M=Pu*e=50T*0.75m=37.50T-m
Pu
27.5cm
27.5cm e=75cm
2.5cm
e'=100cm
a.) ANALISIS DEL TIPO DE FALLA. Si:
P b
P b
P u
P u
,
,
La falla es por compresión
La falla es por tracción
Para calcular P b , aplicar la formula (I), donde: AS * f Y
u P b 0.85 f 'C * K 1 * * b * d Y u Kg P b 0.700.85 * 210 * 0.85 * 2 cm 0.003 P b
91,700 Kg P u
A' S * f S
0.003 * 25cm * 50cm 2 2800 Kg / cm 6 2 2 * 10 Kg / cm
50,000 Kg LA FALLA ES POR TRACCIÓN.
b.) CALCULO DEL ACERO LONGITUDINAL DE REFUERZO En estas condiciones por inversión de esfuerzos: A S AS y: AS * f Y Luego, en la Ecuación (1): '
P u
A'S * f S
0.85 f 'C *a * b a
P u 0.85 f 'C *b
100,000 Kg
0.85 * 0.70 * 210
Kg cm2
* 25cm
a 16cm En la Ecuación (2): 4
5 * 10 * 100cm
Kg 16 0.700.85 * 210 * 16 * 25 50 ' * 2800 50 5 cm cm A S cm2 2
P u * e' A'S * f Y d d ' 0.85 f ' c * a * bd a / 2 A'S
A' S
pu * e' 0 . 85 * f ' * a * b d a / 2 C f Y d d ' 1
Kg 50,000 Kg *100cm 0.85 * 210 *16cm * 25cm50cm 8cm 2 0.70 cm 2800 Kg / cm 50cm 5cm 1 2
A' S 32.89cm USAR: 4 1"4 3 / 4"
c.) ANALISIS DE LA FALLA SECUNDARIA En el diagrama de deformaciones: Ec=Eu Por ~ de AS : E's
' S u K u d d ' K u * d
d' c=Ku*d
d
' S
u
K u d
K d u
d '
(1)
En el diagrama de Whitney: Es
c
K u d
a
K 1
26.68cm
16
0.85
0.85
31.38cm (2)
Reemp. (2) En (1) ' S
0.003 18.8cm
Pero: 'S
' 18.8cm 5cm 0.0022
f Y E S
2800 Kg / cm
6
S
0.0022
2
2 *10 Kg / cm
2
0.0013 S 0.0013
Como: ' S S , el acero superior estará en fluencia y falla es por TRACCIÓN Ó FLUENCIA. 4Ø1"+4Ø3/4"
55 4Ø1"+4Ø3/4"
25 SECCIÓN CALCULADA
PROBLEMA: Una columna sometida a compresión uní axial tiene las características siguientes: e A' S AS
38.40cm 2
d=45cm
f 'C 210 Kg / cm2 f Y
2800 Kg / cm
2
As
A's
b=25cm
d'=5cm t=50cm
Se pide determinar: a.) La fuerza máxima concéntrica P 0 que debe soportar la columna. b.)
La carga balanceada P b
c.)
El momento balanceado M b
Pu
d.) e.)
El momento M u para una carga
P u
120T
a.) La carga máxima concéntrica que carga la columna será: P o
P o
P o
0.85 f 'C *b * t AS * f Y A' S * f Y Carga concéntrica: P P u o
P u
Del diagrama de Withney:
u 0 . 003 * d 0.85 ab K 1 2 * 45 2800 Kg / cm Y u 0.003 6 2 2 * 10 Kg / cm ab
26cm
Kg 2 2 P o 0.85 * 210 2 * 25cm * 50cm 38.40cm * 2800 Kg / cm * 2 cm
P o
438.17T
b.) Determinación de la carga balanceada:
u * b * d u Y
P b 0.85 f 'C * K 1 *
Kg P b 0.700.85 * 210 cm 2 P b
* 0.85 * 0.003
0.003 * 25cm * 45cm 2 2800 Kg / cm 6 2 2 * 10 Kg / cm
81.48T
c.) El momento balanceado M b será según la Ec. (2):
M b P b * e'b 0.85 f 'C *ab * b d
M b 0.700.85 * 210
Kg cm2
A'S * f Y d d ' 2
ab
* 26cm * 25cm45 13cm 38.4cm * 2800 2
Kg cm2
* 40cm
M b 56.10T m
d.) Como P b Luego: e' '
e
e' e'
120tn.
LA FALLA ES POR COMPRESIÓN
26 0 . 85 * 210 * 26 * 25 45 38 . 4 * 2800 45 5 120,000 2 0.70
0.70 120,000
3'712,800 4'300,800cm
46.75cm
d d '
2
d d ' 40 5 e e' 46.75 2 2
26.75cm
M u
M u
81.48Tn P u
0.85 f 'C *a * bd a / 2 A'S * f Y d d '
P u
e' e e
pu * e 120 * 0.2675Tn m
32.10Tn m
PROBLEMA: Una columna provista de acero longitudinal y de estribos transversales soporta una carga axial aplicada directamente sobre ella de 90T y una carga excéntrica de 13.6T, cuyo punto de aplicación dista 20cm de la cara exterior de la misma. La altura libre de la columna es de 5.70m. La resistencia del concreto es de f 'C 175 Kg / cm2 y el límite de fluencia del acero es de f Y 4200 Kg / cm2 , se desea calcular el acero longitudinal de refuerzo, el mismo que debe disponerse simultáneamente por sus 4 caras.
P u 90T
90 13.6 103.6T
13.6T
M u
13.6 * 0.45
Pu=103.6Tn
6.12T
m
d'=s
Mu=6.12T-m A's
20cm
d=45cm
t=50cm
As e=45cm e'=65cm
b=50cm
a.) TIPO DE FALLA: De la formula de la carga balanceada:
u * b * d u Y
P b 0.85 f 'C * K 1 *
Kg P b 0.700.85 * 175 cm 2
* 0.85 * 0.003
0.003 * 50cm * 50cm 2 2800 Kg / cm 6 2 2 * 10 Kg / cm
P b 185,000 Kg 185T P u 103.6T . Como: P b P u La falla es por TRACCIÓN. ,
b.) CALCULO DE
A' S
LUEGO: A'S * f S
DE (1): P u
a
a
AS
AS * f Y
0.85 f 'C *a * b P u
0.85 * f 'C *b
3
Kg Kg
103.6 * 10
0.70 0.85 * 175 cm 2
* 50cm
19.80cm
19.80cm
DE LA EC. (2): P u * e' A'S * f Y d d ' 0.85 f ' c * a * bd a / 2 A'S
A' S
pu * e' 0 . 85 * ' * * / 2 f a b d a C f Y d d ' 1
Kg 103,600 Kg * 65cm 0.85 * 175 2 * 19.8cm * 50cm45cm 9.90cm 0.70 cm 4200 Kg / cm 45cm 5cm
A' S 26.50cm
1
2
AS
A'S
26.50cm
USAR: 5 1"
c.) ANALISIS DE LA FALLA SECUNDARIA. Del diagrama de Whitney: 19.8cm a c K u d 23.30 c 23.30cm 0.85 K 1
Del diagrama de deformaciones: Ec=Eu
Por ~ de
E's
'
d'
S
u
Ku d
AS :
K u d d ' K u
*
d
' S u
K u d d ' K u d
23.30 5 ' S 0.003 'S 0.0024 0.0024 23 . 30
d
Es
Además: S
f Y E S
Como: S S '
4200 Kg / cm 6
2
2 *10 Kg / cm La
2
0.0020 S 0.0020
falla es por FLUENCIA.
3Ø1" t=50cm
2Ø1" 3Ø1" b=50cm
SECCIÓN CALCULADA
DINTELES - DETALLES a.) DINTELES QUE SOPORTAN CARGAS. Ø1/4":
[email protected],
[email protected] c/e
2Ø1/2"
4Ø1/2"
.30 .25
2Ø1/2"
.30
0.70 < L <1.80m
Para L mayores, calcúlese como si fuera una viga.
.30
b.) DINTELES SOBRE MUROS DE 0.15m Ø1/4":
[email protected],
[email protected] c/e
2Ø 3/8"
2Ø3/8"
.30 2Ø1/2"
.15
2Ø1/2"
0.70 < L <1.50m
.30
Para
L
.30
mayores, calcúlese como si fuera una viga.
PILARES Ó COLUMNAS DE ARRIOSTRE. O T S E R
PISO
Ag (cm²)
0.
1° 2° 3° 4°
400 500 700 700
, 5 /E @ 1: C " 0 Ø
1
4/ 3. @
COLUMNA EXTREMA COLUMNA INTERMEDIA As (cm²) As (cm²) 5.00 5.00 4Ø1/2" 4Ø1/2" 7.90 5.00 4Ø5/8" 4Ø1/2" 7.90 7.90 4Ø5/8" 4Ø5/8" 11.40 7.90 4Ø3/4" 4Ø5/8"
1° 2° 3° 4°
VIGAS COLLLAR O T S E R , 5 0 . E @ / 1 : " C 0 4 / 3 1 . Ø @
4Ø3/8"
AZOTEA
1° 4Ø1/2"
2° 4Ø5/8"
3° 4Ø5/8"
4°
ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZA CORTANTE El efecto primordial en elemento de concreto sobre la existencia de fuerzas cortante, es el desarrollo de esfuerzos de tensión inclinadas con respecto al eje longitudinal del elemento. Son estos esfuerzos los que pueden originar su falla, incluso a cargas inferiores a aquellas que producirán una falla en flexión. Realmente, no debería indicarse que existen fallas de esfuerzo cortante, ya que las grietas inclinadas que pueden presentarse en zonas de fuerza cortante considerable son en realidad grietas de tensión en planos inclinados, las mismas que se producen al trazar las redes de trayectorias de esfuerzos principales. Con el fui de comprender el mecanismo de la deformación de grietas inclinadas en elementos de concreto, es necesario analizar las trayectorias de los esfuerzos
principales, fundamentalmente de tracción. Sea la viga simplemente apoyada AB sometida a una carga uniformemente uniformement e distribuida.
F
TRAYECTORIA DE LOS
v
ESFUERZOS DE TRACCIÓN. TRAYECTORIA DE LOS ESFUERZOS DE COMPRESIÓN.
f
45°
45°
45°
45°
E.N.
Se observa que la dirección de los esfuerzos principales a la altura del eje neutro y con respecto a este eje es a 45° y son horizontales cerca del centro de luz de la viga. En resumen, los esfuerzos de tracción diagonal son el resultado de la combinación de los esfuerzos de corte y de flexión, los cuales a su vez depende de las magnitudes del corte V y del momento M. En las secciones con corte V elevados y pequeños momentos flectores M, habrá poco ó ningún agrietamiento de flexión antes de la formación de la grieta indinada. Por lo tanto el esfuerzo promedio de corte unitario antes del agrietamiento es: v
Donde:
V
b * d
Fuerza cortante en el punto considerado. considerado. b Ancho del elemento. d Peralte útil del elemento.
V
Para el diseño, se considerara como fuerza cortante máxima V, la que se tenga en una sección situada a una distancia d , de la cara del apoyo, para el caso de vigas y a una distancia
d / 2 para el caso de losas y
zapatas.
EJEMPLO: una viga que tiene un ancho de 30cm, un peralte efectivo de 60cm y una luz de 7.00 m, tiene una carga uniformemente distribuida de 26,250Kg. Calcular el esfuerzo cortante unitario crítico.
W
60 7.00m
h
As 30
W TOTAL R A
W
R B
26,250 Kg
26,250 Kg
2
26,250 Kg
7.00
13,125 Kg
3750 Kg / ml
La sección critica por cortante, se toma a una distancia " d " de la cara del apoyo. Para este caso
d
60cm
V
13,125 125 Kg (0.60 * 3750)
v
v
10,875 Kg
V b * d
30cm * 60cm
10,875 875 Kg
6.04 Kg / cm
2
vcm't
2
6.04 Kg / cm
2
6.04 Kg / cm
Nótese lo siguiente: Si V se toma en la cara del apoyo:
V
13,125 Kg Y: v
13,125 Kg
30 * 60cm
2
7.29 Kg / cm
2
Si V se toma a 1.80m del apoyo: V
Y: v
13,125 125 Kg (1.80 m * 3750 Kg / m)
6,375 Kg
30 * 60cm
2
3.54 Kg / cm
6375 Kg
2
CONCLUSIONES: En vigas uniformemente cargadas, el esfuerzo cortante unitario disminuye según nos acerquemos al centro de luz, en donde se hace CERO. Por lo tanto el valor de dependerá de la sección de la viga en que se tome V, cuerpo máximo valor se tiene en la cara del apoyo. El concreto por si solo resiste una cantidad limitada de cortante. Para vigas de concreto sin refuerzo vertical, el esfuerzo cortante unitario que asume el concreto es:
vC
0.29
f 'C
Cuando el esfuerzo cortante unitario generado por las cargas exteriores,
excede el valor de c especificado en los reglamentos de construcción que gobiernan el diseño, es necesario diseñan estribos. Este refuerzo adicional se conoce como ACERO VERTICAL Ó ESTRIBADO. ESTRIBADO. En el caso del ejemplo anterior, si se utiliza concreto de f 'C se tendrá:
vC
0.29 210 210 Kg / cm 2
210 21 0 Kg / cm
2
4.20 Kg / cm2
Es decir se requiere diseñar ESTRIBOS para un esfuerzo cortante de: vu v vC 6.04 Kg / cm2 4.20 Kg / cm2 1.84 Kg / cm2
vu
1.84 Kg / cm
2
DISEÑO DE ESTRIBOS. a.) Sea una viga simplemente apoyada, con carga uniformemente distribuida y sean: v
vC vu
Esfuerzo cortante unitaria máxima generado por la carga W, en Kg/cm2. Esfuerzo cortante unitario permisible en el concreto en Kg/cm2.
v
vC
Exceso del esfuerzo cortante que debe ser resistida por los estribos en
Kg/cm2. L Luz de la viga en m. d Peralte efectivo o peralte útil de la viga, en cm. a Longitud de la viga en metros, a partir de los apoyos (después de la distancia en la cual teóricamente t eóricamente se requieren estribos. estribos.
W
b
d
CORTANTE RESISTIDO POR LOS ESTRIBOS
Vu
v
Vu
CORTANTE RESISTIDO POR EL CONCRETO
Vc
V Vc
d
a L/2
d
a L/2
d )
Por ~ de
AS :
L / 2 d ' L / 2 d a
L v a d u vC 2 v v
b.) Cuando se trata de una viga semicontínua: vu a 0.6 L d v
W
APOYO EMPOTRADO
APOYO LIBRE
L
c.) Para una viga en voladizo: a
v L d u v W
L
Según el Reglamento ACI, deberá colocarse estribos hasta una distancia d , mas allá del punto teórico requerido. Así como en la zona comprendida entre la cara del apoyo y la sección de cortante critico, con el mismo espaciamiento que para la longitud teórica a . Entonces la longitud de viga, a partir de la cara del apoyo, que requiere estribos es: d a d
DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTE Cuando la viga requiere ACERO VERTICAL Ó ESTRIBADO deberá calcularse el área de acero, de manera que se cumple la expresión siguiente:
vu
Av * f Y * d
ó S
S
Siendo: V u
V
Av * f Y * d V u
(A)
V C
Ó también:
vu
Av * f Y
ó: S
S * b
Av * f Y vu * b
(B)
En ambas expresiones: Espaciamiento de estribos en cm. Av Área de acero del estribo ó suma de las áreas de cada varilla que constituye el número de ramales del estribo (cm2). f Y Limite de fluencia del acero (Kg/cm2) s
vu
v
vC =
Diferencia entre el esfuerzo cortante unitario generado por las cargas y el cortante resistente del concreto (Kg/cm2). d Peralte útil de la sección de la viga (cm.) La resistencia al corte V u ó v , deberá limitarse a la siguiente:
u
V u
2.1
Ó vu
f 'C * b * d
2.1
f 'C
ESPACIAMIENTO LÍMITE DE ESTRIBOS: El espaciamiento del esfuerzo por corte colocado perpendicularmente al eje del elemento estructural deberá ser:
S 0.5d S 60cm
El menor de ambos
REFUERZO MINIMO POR CORTE: El área mínima de refuerzo por corte será: 3.5b * s Av min f Y El mismo que se colocará como aun si los elementos no lo necesitan desde el punto de vista estructural. Resulta de gran valor por que aumenta la ductilidad, proporciona un aviso de falla y es necesario cuando se presentan fuerzas imprevistas en la estructura, evitando fallas catastróficas. Se exceptúan de esta recomendación, las losas zapatas y vigas anchas.
PROBLEMA.- Se tiene una viga simplemente apoyada de 8.00m de longitud entre apoyos y una carga uniformemente distribuida de 5000 Kg/ml. El ancho de la viga es de 30cm y su peralte efectivo ó peralte útil, de 56cm. El concreto es de f 'C 210 Kg / cm2 y el acero de f Y 4200 Kg / cm2 determine la cantidad de estribos y su espaciamiento.
d
SECCIÓN CRITICA
A
VA=RA
W=5000Kg/ml
B
L=8.00m
V Vc d
a L/2
RB=VB
1. Carga total sobre la viga: 5000 Kg / ml * 8.00m 40,000 Kg
2. Valor de las reacciones R A R B 40,000 Kg R A R B 20,000 Kg 2
3. Cortante crítico: a la distancia
d de
la cara del apoyo: Kg * 0.56m 17,200 Kg V R A W * d 20,000 Kg 5000 ml
4. Esfuerzo cortante unitario por acción de las cargas exteriores: V 17,200 2 v 10.24 Kg / cm b * d 30cm * 56cm
v
5. Esfuerzo cortante unitario resistente del concreto.
vC 0.53 f 'C
0.53 *
210
2
7.68 Kg / cm
v
6. Esfuerzo cortante que debe ser resistido por el acero de estribos: vu v vC 10.24 Kg / cm2 7.68 Kg / cm2
vu
2.56 Kg / cm
2
7. Longitud teórica que requiere estribos: 2 6.04 Kg / cm L vu 800 a d 56 cm * 202.90cm 2 10.24 Kg / cm 2 v 2
a
202.90cm
8. Longitud real que requiere estribos:
d a d 56 202.9 56 314.90cm 9. Diagrama de esfuerzos cortantes: se puede seleccionar un mínimo cualquiera de secciones. En este caso, la longitud teórica que requiere estribos la dividiremos en 2 espacios de 101.44cm cada uno: Por ~ de AS : 6.04
vu
² m c / g K 4 0 . 6 = 1 u
² m c / g K 3 5 . 4 = ² u
v
v
50.72
202.9
2
152.18
6.04
² m c / g K 2 0 . 3 = 3 u
202.9
101 .46
vu
6.04
² m c 4 / g u K 1 5 . 1 =
vu
v
v
50.72
2.56
vu
50.72
101.44
4
2
202.9 50.72
101.44
202.90cm
S Donde: Av
f v S
S será:
Av * f v vu * b
área de la sección transversal del estribo: Esfuerzo de fluencia del acero de estribos f Y
2 * 0.71* 4200
vu * 330
198.80 / vu
S
198.80
vu
a.) Espaciamiento en la sección con vu 2.56 Kg / cm 2
3
4.53 Kg / cm
3.02 Kg / cm
2
2
vu 1.51 Kg / cm2
202.9
101.44
Si elegimos estribos cerrados de 3 / 8" , el espaciamiento
v
2
u
50.72
v
u
4
v
u
2
1.28
Kg / cm
2
S
198.80
cm 77.66cm S 77.66cm
2.56
b.) Espaciamiento en la sección con vu S
198.80 1.28
2.56 Kg / cm
2
S 153.2cm cm 153.2cm
Espaciamiento máximo permisible: de acuerdo al Reglamento ACI el espaciamiento máximo requerido, esta limitido por los siguientes requisitos: 0.5d
0.50* 56
28cm
60cm
60cm
S
27.5cm
; 3 / 8"
[email protected], RESTO @ 27.5cm.C / E
USAR
Ø3/8":
[email protected],
[email protected] m C/E
L/2=4.00m
3.5 * b * s
AV min
AV min
AV
3.5 * 30cm * 27.5cm
f Y 0.687cm
2 * 0.71cm
2
4200 Kg / cm
2
0.687cm
2
2
1.41cm
2
AV
min
ok
PROBLEMAS: Calcular el refuerzo vertical de la viga mostrada en la figura, así como el espaciamiento, si se conocen los siguientes datos. f 'C 210 Kg / cm2 f Y 4200 Kg / cm2
CM=1.2T/ml (NO INCLUYE PESO PROPIO CV=2.0T/ML
A's 50
As
L=3.00m
25
1. Carga total sobre la viga:
W 1.5CM 1.8CV 3
El peso propio de la viga es: 0.25m * 0.50m * 2.4T / m
0.30T / ml
Luego: CM 1.2T / ml 0.30T / ml 1.50T / ml W 1.5 *1.50T / ml 1.8 * 2.0T / ml 5.85T / ml W
5.85T / ml
2. Valor de las reacciones: R
W * L
R
17.55T
5.85T / ml * 3.00ml 17.55T
3. Cortante crítico: a la distancia Si:
d de
la cara del apoyo:
h 50cm y considerando: r 3.5cm d h r 1.5 50 3.5 1.5 45cm
d 45cm
V R
w * d 17,550 Kg 5850 Kg / ml * 0.45ml
V 14,917.50 Kg
4. Esfuerzo cortante unitario por acción de las cargas exteriores:
v
V b * d
14,917.50 Kg 25cm * 45cm
13.26 Kg / cm2
5. Esfuerzo cortante unitario resistente del concreto.
vC 0.53 f 'C
0.53 *
210
7.68 Kg / cm
2
v
6. Esfuerzo cortante que debe ser resistido por el acero de estribos:
v vC
2
13.26 Kg / cm
vu
vu
5.58 Kg / cm
7.68 Kg / cm
2
2
7. Longitud teórica que requiere estribos: 2 9.06 Kg / cm vu a L d 300 45cm * 174.20cm 175cm 2 v Kg cm 13 . 26 /
a
175cm
8. Longitud real que requiere estribos: d a d
d a d 45 175 45 265cm 9. Diagrama de esfuerzos cortantes: dividiremos la longitud técnica en 4 espacios de 43.75cm cada uno: Por ~ de
AS :
² m c / 4 g u K 7 2 . 2 =
v
43.75
43.75 175cms
9.06 175
9.06 175
vu2 131.25
vu
vu 2 6.80 Kg / cm 2
3
87.50
vu 4.53 Kg / cm2 3
² m c / g K 3 5 . 4 = 3 u
v
43.75
² m c / g K 0 8 . 6 = ² u
v
43.75
² m c / g K 6 0 . 9 = 1 u
v
9.06
vu
175
4
43.75
v
u
4
2.27 Kg / cm
2
Si se usa 3 / 8" , el espaciamiento de estribos S será:
S S
Av * f v vu * b
2 * 0.71 * 4200
vu * 25
cm 238.56 / vu
238.56
vu
a.) Espaciamiento en la sección con vu S
238.56
5.58 Kg / cm
2
cm 42.75cm S 42.7cm S 42.5cm
5.58
b.) Espaciamiento en la sección con vu S
238.56
2.79 Kg / cm
2
cm 85.50cm S 85.50cm S 85cm
2.79
Espaciamiento máximo permisible: 0.50 * 45 22.5cm
0.5d
60cm
60cm
S
22.5cm
Ø3/8":
[email protected],
[email protected] m
3.00m USAR
; 3 / 8":
[email protected], RESTO @ 0.225m.
AV min AV min
3.5 * b * s
f Y
3.5 * 25cm * 22.5cm 4200 Kg / cm
2 * 0.71cm 1.42cm
2
ok
2
0.468cm2
PROBLEMAS: Para la viga mostrada en la figura, se pide diseñar el estribado correspondiente, si se conoce que el acero es de f Y 4200 Kg / cm2 y el concreto
de f 'C
210 Kg / cm
2
W1=6.6T/ml
W2=5.4T/ml
.40*.88
.40*.66
.40*1.10 1.50
1.80
L1=6.00
Empleando 1. correspondientes:
el
L2=9.00
método
R1=11.6T
de
las
fuerzas,
R1=57.8T 29.8T
calculamos
las
reacciones
R1=18.8T
11.6T
2
1
3
-18.8T -28.0T
2.
Cortantes críticos en los tramos 1-2 y 2-3:
a.)
Fuerza cortante critica en el apoyo (1) del tramo 1-2: V
R1
V
11.6Tn
V
7.57tn
W 1
d
6.6T / m * 0.61m
Esfuerzo cortante critico por cargas externas:
v
V
b * d
7570 Kg
40cm * 61cm
3.10 Kg / cm
2
v b.)
3.10 Kg / cm
2
Fuerza cortante critica en el apoyo (2) del tramo 1-2: d=1.10-3.5-1.5 d=1.05m V
R1
W 1 L1
d
V 11.6Tn 6.6T / m * 6.00 1.05m
1.05
1.10
V 21.07tn
Esfuerzo cortante critico por cargas externas:
c.)
21070 Kg
V
v
v
b * d
40cm *105cm
40
5.02 Kg / cm
2
2
5.02 Kg / cm
Fuerza cortante critica en el apoyo (2) del tramo 2-3: V
V
R3
W 2 L2
18.80Tn
d
5.4T / m * 9.00
1.05m
24.12T
V 24.12tn Esfuerzo cortante critico por cargas externas:
d.)
24120 Kg
V
v
v
b * d
40cm *105cm
5.74 Kg / cm
2
2
5.74 Kg / cm
Fuerza cortante critica en el apoyo (3) del tramo 2-3: d=(88-3.5-1.5)cm d=83cm V
R3
W 2 * d
V 18.80Tn 5.4T / m * 0.83m 14.32T V
83
88cm
14.32tn 40
Esfuerzo cortante critico por cargas externas: 14320 Kg
V
v
v
b * d
40cm * 83cm
4.30 Kg / cm
2
2
4.31 Kg / cm
Esfuerzo cortante permisible ó resistente del concreto según esfuerzos de 3. trabajo:
vC
vC
0.29
f 'C
4.20 Kg / cm
0.29 210
2
4.20 Kg / cm
2
Este valor es mayor que los esfuerzos críticos en la zona de apoyo, por lo que no es necesario estribos desde el punto de vista estructural, por lo que se considera un estribado mínimo. Pero este valor es menor en la zona de apoyos (2) y (3).
4.
Calculo de área mínima de acero de estribos. En la zona de apoyo (1): Av
0.0015b * s
Siendo:
S
Av
Av
0.0015 * b
b
Área de acero de estribos
Ancho de la viga. S Separación de estribos
2
Si usamos varillas de 3 / 8" , el área de acero es Av 2 * 0.71cm Luego:
S
2 * 0.71cm
Sea:
2
0.0015 * 40cm
23.66cm
S 22.5cm ; 3 / 8":
[email protected], RESTO @ 0.225m.c / e
USAR
5.
Calculo de acero de estribos en zonas de Apoyos (2) y (3).
Apoyo (2)
a.)
Esfuerzo cortante por acción de las cargas: v
5 Kg / cm
Esfuerzo cortante permisible del concreto: v 4 2 Kg / cm2 Esfuerzo que debe resistir al estribado: vu v vC 5 Kg / cm2 4.20 Kg / cm2
2
vu
0.80 Kg / cm
2
Longitud teórico que requiere estribos.
b.)
a
a
v 0.6 L d u v
0.6 * 600cm
105 *
0.80 Kg / cm 5.0 Kg / cm
2
2
40.8cm
Longitud real que requiere estribos:
c.)
d a d 105 40.8 105cm 250.8cm Calculo del acero de estribos y su espaciamiento. AS * f v S Si usamos 3 / 8" , entonces: vu * b
d.)
2
S
2 * 0.71cm * 0.50 * 4200 Kg / cm
Pero:
2
0.80 Kg / cm * 40cm S máx
d / 2
1.05 / 2
2
93cm
50cm
; 3 / 8":
[email protected], RESTO @ 0.50m.
USAR
Apoyo (3)
ADHERENCIA Es la resistencia al deslizamiento que opone el acero de refuerzo, respecto a su posición dentro del concreto. Tiene su origen en los fenómenos siguientes:
a.) Adhesión de naturaleza química entre el acero y el concreto. b.) Fricción entre la varilla y el concreto que se desarrolla al tender a deslizarse la primera. c.) Apoyo directo de las corrugaciones de las varillas contra el concreto que las rodea. W
C
y
V jd
V
Ax
T
T+AT
Ax
Fuerza que tienda a secar del concreto al pequeño tramo del acero de refuerzo. AT
C+Ac
Tomando momentos recto al punto “y”: M y 0
(V * Ax) ( AT * jd )
At AT * jd V * Ax
V * Ax jd
0
(1)
Sea: u Esfuerzo por unidad de superficie (de contacto) de adherencia entre la varilla y el concreto en Kg/cm2. 0 Suma de perímetros de todas las varillas horizontales de refuerzo por tensión en la sección considerada, en cm. j Coeficiente cuyo valor es 0.875
u T
T+AT
Ax Fuerza Resistente= (1) = (2) u * 0 * Ax
V * Ax jd
AT u * 0 * Ax
u
(2)
V j * d * 0
Se denominan varillas SUPERIORES aquellas que por su posición en la viga, tienen debajo de estas una masa de concreto de 30cm o más de espesor. Se llaman varillas INFERIORES, aquellas que tienen su espesor de concreto debajo de ellas, menor que 30cm. Para el método a la rotura, el Reglamento ACI, específica que:
a.) Para barras ó Varillas superiores, el máximo permisibles: máx
4.5
D
f ' C
39.4Kg/cm2
b.) Para barras ó varillas inferiores: máx
6.4 D
f 'C
56Kg/cm2
En ambos casos para VARILLAS SOMETIDAS A TRACCIÓN. En el caso de VARILLAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN, tanto SUPERIORES como INFERIORES, se tiene: máx
3.4 D
f 'C
56Kg/cm2
En el caso que el esfuerzo real exceda el permisible, será necesario usar un mayor número de varillas de menor diámetro, pero cuya área total sea la misma requerida. Con ello se obtendrá un mayor 0 .
ANCLAJE Ó LONGITUD DE DESARROLLO En la longitud física que deben tener las varillas de acero de refuerzo dentro de una estructura cualquiera con la finalidad de obtener una posición fija durante su vida útil. Ld
AS * f Y 0 *
máx
6.4
f 'C
D
0 Suma
56Kg/cm2
de los perímetros de todaslas varillas a usar.
Ld
Ld
1.516
1.502
-
+
-
CIMENTACIONES Se denomina INFRAESTRUCTURA ó CIMENTACION a la parte de una estructura situada generalmente por debajo de la superficie del terreno y que transmite las cargas provenientes de la parte superior ó superestructura, al suelo resistente ó roca subyacente. Todos los terrenos se comprimen apreciablemente cuando son cargados, dando lugar a que las estructuras que sustentan, se asienten. Las dos condiciones esénciales que hay que tratar de satisfacer, cuando se proyecta una cimentación, se reducen a que el asentamiento total de la estructura no excede de una pequeña magnitud permisible, y además que los asentamientos relativos entre los distintos elementos parciales de aquella (asentamientos diferenciales) sean lo mas próximo a cero como sea posible.
CLASES DE CIMENTACION: a.) SUPERFICIAL Ó DIRECTA: Cuando el suelo es apreciablemente resistente ó las cargas son moderadas, que permiten la transmisión directa de las cargas de la cimentación al terreno. Está constituida por las ZAPATAS, las mismas que pueden ser: ZAPATAS AISLADAS. ZAPATAS CORRIDAS NORMAL ZAPATAS COMBINADAS TRAPEZOIDAL ZAPATAS CONECTADAS EXCENTRICA ZAPATAS CONTINUAS PLATEAS DE CIMENTACIÓN b.) INDIRECTA Ó PROFUNDA: Cuando el suelo de sustentación es poco resistente ó las cargas son considerables, que hace necesario resistente ó las cargas son considerables, que hacen necesario buscar el terreno firme a profundidades mayores. Esta constituido por las zapatas sobre pilotes. En este caso los pilotes transmiten las cargas al terreno de sustentación.
ESTUDIO DE LA CIMENTACIÓN DIRECTA Se analizaran dos tipos de cimentación superficial ó directa, que son las siguientes:
1. ZAPATAS CORRIDAS: Para el caso de muro o placas que soportan cargas 2. ZAPATAS AISLADAS: Para el caso de columnas estructurales aisladas. W
e
1.00m h
ZAPATA CORRIDA
* EL DISEÑO SE EJECUTA PARA 1.00M DE ZAPATA
P ZAPATA CORRIDA
h t
m
m Wn
n COLUMNA b*t
b
* SI LA COLUMNA ES CUADRADA Ó CIRCULAR, LA ZAPATA SERA CUADRADA. SI LA COLUMNA ES RECTANGULAR, LA ZAPATA TAMBIEN LO SERA.
B
n A
DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS Si: d=peralte útil de la zapata: d 15cm h=peralte total de la zapata: h d 1.5 7.5cm
1. DIMENSIONAMIENTO EN PLANTA: Calculo del área
A Z
P
A Z
P P P r t
A Z Área de la zapata P h t
m
m
Carga de servicio.
P P Peso propio de la zapata
r t
n
Presión admisible del terreno.
Pesos propios para un primer tanteo:
COLUMNA b*t
b B n
A
Aproximadamente: A
A Z
B A Z
1 2
1 2
t b t b
r t(Kg/cm²)
Pp en % de P
1.00
8% de P
2.00 3.00
5% de P 4% de P
4.00
3% de P
2. DIMENSIONAMIENTO EN ELEVACIÓN: Calculo de d . El peralte de la zapata se deberá calcular según dos criterios: "
ESFUERZO CORTANTE POR PUNZONAMIENTO punzonamiento se ubica a la distancia
d/2
t
"d / 2" de
LA SECCIÓN CRITICA POR PUNZONAMIENTO.
d/2
Wn
LA SECCIÓN CRITICA: b0
d/2
: La sección crítica por
0
la cara de la columna. b0 2(b 2d t ) v
V 0
0
(1)
b0 * d
Siendo: V 0 Fuerza cortante en la sección critica.
V 0 PERIMETRO DE
v
"
A
* B *Wn (b d )(t d ) *Wn
v0C Si: Esfuerzo permisible del concreto.
v
f 'C
Donde:
0C 1.06
b
d/2
cortante
0.85
Se debe cumplir que: v0 v0C
ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN Ó CORTE POR TRACCIÓN DIAGONAL: La sección crítica se ubica a la distancia "d " de la cara de la columna. Si: v flexión
u
P LA SECCIÓN CRITICA POR FLEXIÓN. GRIETA POR FLEXIÓN.
vu
vu
esfuerzo de corte por
V u B * d
(1)
Wn * B * (m d )
(2) en (1):
d
Wn t
d
W n
vu
vu
(m-d)
* B * (m B * d
W n (m d
d )
d )
(2)
Si: vuC esf. Cortante permisible del concreto: vuC 0.53 f 'C
(n-d) d n b
0.85
Se debe cumplir que: vuC vu
B
d (m-d)
t
A
3. PERALTE d REQUERIDO POR FLEXIÓN: "
d
"
Siendo: K
M / K * b
1 2
* f C * j * K
4. CALCULO DE AREAS DE ACERO POR FLEXIÓN. MOMENTOS FLEXIONANTES
P
M 1
1
M 1 1
h
d
7.5cm
m
t 1
m
Wn
M 2
1 2
1
M 2 n 2
2
B
b 2
2
n
11
2
W n * B * m *
A
11
* W n * B *
2
2 2
2
W n * A * n * 1
m
m
2
*W n * A *
n 2 n
2
2
ACERO DE REFUERZO: Se colocará en ambos sentidos: según A y según B. la armadura para resistir M 22 se colocara perpendicular a este eje. La armadura para
M 1 1 se colocará perpendicular a este eje. Se tendrá:
ASB
M 2
2
ASB
f Y d a / 2
M 1 1
f Y d a / 2
0.9
ASA 1 ASB
B 2
2 1
A 5. VERIFICACIÓN POR TRANSFERENCIA DE ESFUERZOS. Sean:
f ' CC
f ' CZ
Esfuerzo permisible en compresión del concreto de la columna.
Pu f'cC
Esfuerzo permisible en compresión del concreto de la zapata
Ac f'c2
AC Área de contacto entre la Wn
f au
columna y la zapata= Área de la sección de la columna.
Esfuerzo de contacto entre la columna y la zapata por acción de la carga
exterior P u
f a Esfuerzo permisible de contacto entre la columna y la zapata. f au
P u AC
(1)
Además:
f a
Ó f a
0.85 f 'CC
El menor
f 'CZ 0.85
A Z AC
valor
Se debe cumplir que:
f a f au A Z / AC
Siendo: Si: f au
2 y
0.70
f a entonces: ,
a.) Se diseñaran pedestales. b.) Se colocaran barras de conexión ó “dowells”. PEDESTALES: Es necesario verificar el esfuerzo de contacto entre la columna y el pedestal y luego entre el pedestal y la zapata, debiendo cumplirse en ambos casos que: f a
f au
Pu A1
COLUMNA
A2
PEDESTAL
Ac A'c1
ZAPATA
(b 2 x)(t 2 x)
(1)
b1 * t 1
(2)
Además:
A1 Wn
P u f a
P u f au
De (1) y (3), se obtiene x: Se debe cumplir que:
Pu
x 2
f'c1
hp
h P x
Luego:
f'c2
f au
A2 A1
* 0.85 * * f ' C 2
Donde 0.7
(3)
f a
B
x
A1 Debiéndose cumplir que:
b
f a
b1
f a t
f au
Es decir:
x
x
P u
A2 A1
* 0.85 * *
f 'C 2
x
t1 A
BARRAS DE CONEXIÓN: LONGITUD DE DESARROLLO:
Pu
Ld
Longitud de desarrollo. Se pueden aprovechar las barras de las
columnas para formar las “dowells” Le=1.7Ld
Ld Ld
0.0755 f Y * db
(1)
0.00427 f Y * d b
(2)
f 'C 20cm
Pu Donde: d b
(3)
diámetro de una varilla.
d b Área de una varilla.
f'cd f'c2
A2
f 'C 2
A * B
A1
Concreto zapata
f 'C 1 Concreto columna
b
f a
t A
Puesto que: A1
B
A2
P u A1
b * t
Se tiene: A2 f au A1
* 0.85 * *
Se debe cumplir que:
f 'C 2 A2 A1
2
Sea:
F A1 ( f a
ASd
f au )
F f Y
Donde: 0.7 (Barras a compresión)
0.9 (Barras a tracción) Pero: ASd
0.005* A1
DISEÑO DE LAS ZAPATAS CORRIDAS. Solo existe una sección crítica para momento flexionante, que se ubica a lo largo de la zapata.
W
Si: W n
1 M 11 *W n * m *1.00 * m 2
e SECCIÓN CRITICA POR CORTE
M 1
1 1
W h
Reacción del terreno:
2
2
1
e
2
Luego:
d r
d
*W n * m
AS
m
M
f S * j * d
Además de la armadura principal calculada según (1), es necesario calcular acero de repartición, colocado a lo largo de la sección critica por flexión:
1
As
ASr 1.00m
Donde:
0.002 * b * d
b
En el dimensionamiento en planta es recomendable usar valores de peso propio de la zapata, comprendidos entre el 2% y el 5 % de la 2
1
1
carga total sobre la misma, considerando la mayor ó menor resistencia del terreno. W= carga sobre el muro o placa
1. Dimensionamiento en planta:
h
Asr
W W PP r t
W
r t(Kg/cm²)
Pp en % de w
1.00
5% de w
2.00 3.00
4% de w 3% de w
4.00
2% de w
2. Dimensionamiento en altura: Por flexión: calcular M 11
a.)
d
M 1 1
K b
K
M 1 1
1 2
* f C * K * j * b
n f S / f C
f S
0.50 f Y
f C
0.45 f ' C
n b.)
n
E S E C
Por corte en la sección critica:
V
W U (m
d )
n
1
K / 3
Peralte requerido por corte: d
V v C * b
Siendo: vC
0.29
f 'C
h d r 1.5
3. Calculo de áreas de acero: a.)
Acero principal: AS
b.)
Acero de repartición:
M 1 1
f S * j * d ASr
0.002 * b * d
PROBLEMA: Una columna cuadrada de 30*30cm de lado, está reforzada con 6 2 varillas de 1" . El concreto es de f 'C 210 Kg / cm y el acero de
f Y 4200 Kg / cm2 para dicha columna, debiendo soportar una carga muerta de 60 T y una carga viva de 40 T. El esfuerzo permisible del terreno en condiciones de servicio es de 2.00 Kg/cm2. Se deberá diseñar la zapata, la misma que deberá 2 2 diseñarse con acero de f Y 4200 Kg / cm y concreto de f 'C 175 Kg / cm
COLUMNA
ZAPATA
SECCIÓN: 30*30cm AS 6 1"
SECCIÓN: A*B=A*A
f 'C f Y
CM CV
210 Kg / cm
2
4200 Kg / cm
r t
2
f Y
60T
2 .00 Kg / cm
f 'C
2
4200 Kg / cm
175 Kg / cm
2
2
40T
1. ASUMIENDO QUE EL PESO PROPIO DE LA ZAPATA ES EL 5% DE LA CARGA QUE SOPORTA LA COLUMNA: P P
0.05(60 40) 5T
Luego: P TOTAL
P u
60 40 5
105T
2. DIMENSIONAMIENTO EN PLANTAS: Área de la Zapata: A2
P T
3 Kg
105 * 10
2 Kg / cm
r t
2
52,000cm
2
Siendo la columna cuadrada, la zapata también lo será, luego: A
B
A2
52,000con 228cm
230cm.
A B 2.30m 3. LA CARGA NETA Ó CARGA MÁXIMA DE ROTURA SERÁ: P ROTURA
CM 1.8CV 1.5 * 60 1.8 * 40 162T
1.5
La reacción neta del terreno será: r NETA
P ROTURA A Z
3
162 * 10 Kg
52,500cm
2
3.08 Kg / cm
2
4. DIMENSIONAMIENTO EN ELEVACIÓN: a.) PERALTE REQUERIDO POR PUNZONAMIENTO: Se procede por tanteos, considerando que el peralte minímo es de 15cm. Sea:d=50cm
d=50cm SECCIÓN CRITICA POR PUNZONAMIENTO
d/2
SECCIÓN CRITICA POR
d/2
FLEXIÓN
Wn=r n .75
.25
t=.30
.25 .25
.50
1 23 m
.50 .25 .25
SECCIÓN PARA VERIFICAR PERALTE POR FLEXIÓN.
n SECCIÓN PARA VERIFICAR PERALTE POR PUNZONAMIENTO
2.30
b=30cm .25 .75 2.30 1
23
El esfuerzo permisible de corte por punzamiento es: vuc 1.06 f 'C 1.06 * 0.85 * 175 11.92 Kg / cm2
Perímetro de la sección critica: b0
2(b d t d ) 2(b t 2d ) 2(30 30 2 * 50)
b0
320cm
La fuerza de corte V u en esta sección crítica es: V u P u r NETA * A0 Donde: V u
V u
162 * 103 Kg 3.08
A0
Kg cm
2
Área dentro del perímetro critico.
* (25 30 25) 2 cm2
142,290 Kg
Luego, el esfuerzo de corte
vu será:
vu
V u
142,290 Kg
bo * d
320cm * 50cm
8.90 Kg / cm
2
Como: vu 8.90 Kg / cm2 vuc 11.92 Kg / cm2
El PERALTE ES ADECUADO
b.) PERALTE REQUERIDO POR FLEXIÓN: Se comprueba a la distancia cara de la columna: V u
3.08
Luego: vu
vu
Kg cm2
V u
* 50cm * 230cm 35,420 Kg
A * d
230cm * 50cm
3.08 Kg / cm
35,420Kg .
3.08 Kg / cm
2
2
El esfuerzo permisible de corte por flexión del concreto es: vC 0.53 f 'C 0.53 * 0.85 * 175 5.62 Kg / cm2
Como: vC
5.62 Kg / cm
2
vu
3.08 Kg / cm
2
El PERALTE ES ADECUADO
5. DISEÑO DEL ACERO POR FLEXIÓN: Momento en la sección crítica (1)-(2):
M 1 1
M 1 1
W n * B *
m
2
2
3.08
Kg cm
2
* 230cm *
100 2
2
cm
3'542,000 Kg cm
Luego:
AS
AS
M u
f Y d * a / 2
Si: a
0.1d
0.1 * 50
3'542,000 Kg * cm 0.85 * 4200
Kg 5 cm cm 50 2 cm 2
5cm
20.88cm 2
2
"
d " de
la
a
2
AS * f Y 0.85 * f 'C * B
20.88cm * 4200 Kg / cm
Kg
0.85 *175
cm
2
2
2.56cm
* 230cm
Luego: d a / 2 50 1.28 48.72cm
AS
AS
3'542,000 Kg * cm Kg 0.85 * 4200 48.72cm 2 cm 20.36cm
2
usar
20.36cm
2
8 3 / 4"
6. COMPROBACIÓN POR ADHERENCIA: tratándose de varillas inferiores: u
u
6.4
f 'C
D
Permisible
Como:
u u
6.4
175
1.905
56 Kg / cm
44.44 Kg / cm
2
2
permisible OK
7. TRANSFERENCIA DE ESFUERZOS. f a
P u
3
105 * 10 Kg
2
116.67 Kg / cm
2
30 * 30cm AC El esfuerzo permisible será el menor de los dos valores siguientes: f a 0.85 f 'CC 0.85 * 0.70 * 210 Kg / cm2 124.95 Kg / cm2
f a 0.85 f 'CZ *
f a
A2 AC
0.85 * 0.70 * 175
124.95 Kg / cm
Como: f a
f au
OK
2
230 * 230 30 * 30
1140 Kg / cm2
8. DIAGRAMA DE LA ZAPATA CALCULADA
1Ø3/4"@.325 m
1Ø3/4"@.325 m
h
d 1.5 7.5
h
50 1.5 7.5
h
60cm
60cm
60cm 230cm
COLUMNA 30X30
230cm 1Ø3/4"@.325 m
1Ø3/4"@.325 m
PROBLEMA: Un muro de 40cm de espesor soporta una carga total de 40,000Kg/ml. La presión admisible en el suelo es de 2.00Kg/cm2. Diseñar la zapata para este muro 2 usando concreto de f 'C 175 Kg / cm y acero de f Y 2800 Kg / cm 2 .
40cm
d
h
7.5cm
1 1 m
t
m
1.00m
1 1
DIMENSIONAMIENTO EN PLANTA: 1. DIMENSIONAMIENTO Considerando que el peso propio de la zapata es el 3% de W T se tendrá: W T ,
,
El ancho requerido será:
wT
r t
(40,000 1,200) Kg / ml 2
2 *10 Kg / cm
2
206cm 210cm.
2. REACCIÓN NETA DEL TERRENO W n : La reacción neta del suelo (para un metro lineal de zapata) será:
W n
41'200 Kg / ml
210cm
210
Longitud del volado:
m
196 Kg / cm / ml de zapata.
40
2
85cm
DIMENSIONAMIENTO EN ALTURA: 3. DIMENSIONAMIENTO
a.) POR FLEXIÓN Momento flexionante en la sección critica 1-1:
1
M
2
1
* W n * m 2
2
* 196 * 85 708,000 Kg * cm / ml 2
de
zapata.
b.) POR ESTA SECCIÓN:
p
0.18
Para: f 'C
f 'C f Y
0.18 *
2
175 Kg / cm
n
2 pn
175 Kg / cm 2 2800 Kg / cm 2
y f Y
n 2
n f S
0.0113 K
2800 Kg / cm
f C
f S
0.50 f Y
f C
0.45 f 'C
10
K K
2
pn 0.38
pn
2
0.0113
2 * 0.0113 *10
0.0113 *10
j
1
j
0.875
K / 3
1
De: M
d
d
1
0.38 / 3
0.87 875 5
f C * K * j * b * d 2 d 2 * 708,000
2
0.45 *175 * 0.38 * 0.875 *100
2 M
f C * K * j * b
23cm 25cm
25cm
c.) POR CORTE EN LA SECCIÓN CRITICA: Fuerza cortante en la sección critica (por flexión): 196 196 Kg / cm85
V
25cm
11,760 760Kg
11,760Kg
Esfuerzo cortante admisible del concreto
vC
0.29
f 'C
0.29 175 175
vC :
3.9 Kg / cm
2
Peralte requerido por corte:
d
V vC * b
11,760 Kg 3.9 Kg / cm 2100cm
30.1cm
Luego, el peralte ó altura total de la zapata será:
h 30.1cm r 1.5cm 30.1cm 7.5cm 1.5cm h
40cm d
h
d
9cm
40
9
31cm
31cm
Calculo de areas de acero Calculo del acero por flexión: AS
AS
M f S * j * d
2
708,000 Kg * cm 3
0.5 * 2800 Kg / cm * 0.875 * 31cm
18.6cm / ml de zapata
18.6cm ml de zapata 2
