1
I – MATRIZES 1. Defini Defi nição ção:: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
1.
1 − 2 " #= ! 2
é uma matriz 2 x "$
2.
%
= −1
é uma matriz 2 x2$
!
1
" −2 ' 1 ! 2 ".
= ! " 1 2
é uma matriz x ".
−1 −&
omo podemos notar nos exemplos 1 2 e " respectivamente uma matriz pode ser representada por colchetes colchetes par*nteses ou duas duas barras verticais. verticais.
2. Representação de uma matriz: #s matrizes matrizes costumam costumam ser representada representadass por letras maiúscula maiúsculass e seus elementos elementos por letras minúsculas acompanhadas de dois +ndices ,ue indicam respectivamente a linha e a coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: -ma matriz A do tipo m x n é representada por:
2
I – MATRIZES 1. Defini Defi nição ção:: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
1.
1 − 2 " #= ! 2
é uma matriz 2 x "$
2.
%
= −1
é uma matriz 2 x2$
!
1
" −2 ' 1 ! 2 ".
= ! " 1 2
é uma matriz x ".
−1 −&
omo podemos notar nos exemplos 1 2 e " respectivamente uma matriz pode ser representada por colchetes colchetes par*nteses ou duas duas barras verticais. verticais.
2. Representação de uma matriz: #s matrizes matrizes costumam costumam ser representada representadass por letras maiúscula maiúsculass e seus elementos elementos por letras minúsculas acompanhadas de dois +ndices ,ue indicam respectivamente a linha e a coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: -ma matriz A do tipo m x n é representada por:
2
a11 a 21 # = a "1 a m1
a 12 a 1" a 1n
a "2 a "" a "n a m2 a m" a mn a 22 a 2" a 2n
ou abreviadamente #
a i/
mxn
onde i e / representam respectivamente a linha e a coluna ,ue o
1≤ i ≤ m elemento ocupa . 1 ≤ / ≤ n 0or exemp exemplo lo na matriz matriz anter anterior ior
a 2" é
o elemento da seunda linha com o da terceira
coluna. Exemplo 1: e/a a matriz #
a i/
a
2x2
a
onde
a i/
= 2i + / :
11 12 3enericamente temos: # = . -tilizando a rera de forma45o dos elementos a a 21 22 2 x 2 dessa matriz temos:
a i/
= 2i + /
= 2(1) + 1 = " a 21 = 2( 2) + 1 = ' a 12 = 2(1) + 2 = a 22 = 2(2) + 2 = & a 11
" #ssim # '
.
&
. Matrizes espe!iais: .1 Matriz "in#a: 6 toda matriz do tipo 1 x n isto é com uma única linha. Ex: # = ( 7 − " 1) 1x .
.2 Matriz !o"una: 6 toda matriz do tipo n x 1 isto é com uma única coluna.
"
Ex: % = −1 . ! "x1
. Matriz $uadrada: 6 toda matriz do tipo n x n isto é com o mesmo número de linhas e colunas. 8este caso dizemos ,ue a matriz é de ordem n.
Ex:
7 = 2 −1 2 x 2
Matriz de ordem 2
−1 9= ! π 2 7
" " !
"x"
Matriz de ordem "
e/a # uma matriz ,uadrada de ordem n. 9iaonal principal de uma matriz ,uadrada é o con/unto de elementos dessa matriz tais ,ue i /. 9iaonal secundria de uma matriz ,uadrada é o con/unto de elementos dessa matriz tais ,ue i ; / n ; 1.. Exemplo: #"
−1 = " '
2 ! 7
'
− " − &
9escri45o da matriz: -
< subscrito " indica a ordem da matriz$ # diaonal principal é a diaonal formada pelos elementos =1 ! e =&$ # diaonal secundria é a diaonal formada pelos elementos ' ! e '$ a 11 >1 é elemento da diaonal principal pois i / 1$ a "1 ' é elemento da diaonal secundria pois i ; / n ; 1 " ; 1.
.% Matriz nu"a: 6 toda matriz em ,ue todos os elementos s5o nulos. 8ota45o:
Exemplo:
! ! ! <2 x " = ! ! !
.& Matriz Matriz dia'ona": dia'ona": 6 toda matriz ,uadrada onde s? os elementos da diaonal principal s5o diferentes de zero. Exemplo:
2 = !
#2
!
%"
1
= ! !
!
!
"
! .
!
7
.( Matriz identidade: 6 toda matriz ,uadrada ,uadrada onde todos os elementos elementos ,ue n5o est5o na diaonal principal s5o nulos e os da diaonal principal s5o iuais a 1. 8ota45o: Exemplo:
@n
onde n indica a ordem da matriz identidade. i dentidade.
@2
1 = !
!
1
@"
1 = ! !
!
!
1
!
!
1
1 se i = / ou : @ = [ a ] a = n i/ i/ ! se i ≠ / .) Matriz Matriz transpos transposta: ta: hamamos de matriz transposta de uma matriz # a matriz ,ue é obtida a partir de # trocando>se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. 8ota45o: # t .
Exemplo: e
2 " ! #= − 1 − 2 1
ent5o # t
2 " !
− 1 − 2 1
9esse modo se a matriz # é do tipo m x n # t é do tipo n x m. 8ote ,ue a primeira linha de # corresponde corresponde A primeira primeira coluna de # t e a seunda linha de # corresponde A seunda coluna de #t .
'
.* Matriz sim+tri!a: -ma matriz ,uadrada de ordem n é simétrica ,uando # # t . <%: e # > # t dizemos ,ue a matriz # é anti>simétrica. 2 Exemplo: e # = " 1
" 2
1
' "x "
#
t
2 = " 1
"
1
2
' "x "
., Matriz oposta: hamamos de matriz oposta de uma matriz # a matriz ,ue é obtida a partir de # trocando>se o sinal de todas os seus elementos. 8ota45o: > # Exemplo: e
#
" =
− " ent5o # − > 1 − !
!
1
.1- I'ua"dade de matrizes: 9uas matrizes # e % do mesmo tipo m x n s5o iuais se todos os elementos ,ue ocupam a mesma posi45o s5o id*nticos. 8ota45o: # %. Exemplo: e
#
2 = −1
imbolicamente:
#
!
b
%
2 = −1
c
e # % ent5o c ! e b "
"
= % ⇔ a i/ = b i/ para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ i ≤ n .
Reso"er a primeira "ista de e/er!0!ios
&
1 ISTA DE 3E4METRIA A5A6TI7A II 1>) Escreva a matriz # a i/ 2i;"/ 2>) Escreva a matriz % b i/ ">)
Escreva c i/ = i 2 + / .
a
matriz
Escreva
a i/
Escreva
onde b i/
c i/
a
d i/
matriz
1x "
Escreva
matrizes
1 a
#
2
e
"
"
determinar a b e x para ,ue #
"
i /
. 11>) 9eterminar os valores de a e b tais ,ue:
2a + 1 b + 2 = a + " b " + onde x1
onde
# a i/
d i/
x"
lo " x i = 2 = D C ' '
onde
1">) e/a # a i/ 2 x " onde 9etermine m n e p em %
m + n " n −1 m − 2 p
#%. a
matriz
# a i/
i + / se i = / a i/ = ! se i ≠ / 7>)
x % = b
as
%t .
2 se i ≥ / a i/ = − 1 se i < / &>)
9adas
12>) 9etermine x e D na iualdade:
>) Escreva a matriz 9 /. '>)
"x "
2 x " onde
1!>)
"x "
a i/ i ; /.
a fim de ,ue tenhamos '
onde 1>) 9etermine a b x e D tais ,ue: a + b x + D " 2 a − b 2x − D = 1 1. 1'>) 9etermine x e D tais ,ue:
a
matriz
2i + / se i ≥ / a i/ = i − / se i < /
# a i/
lo 2 x " a>) D = ' . onde 2x " x 2 & 2 x + " D ! ' = b>) 7 1 1
. 'x + 2 D !
B>) hama>se tra4o de uma matriz ,uadrada a soma dos elementos da diaonal principal. 9etermine o tra4o de cada uma das matrizes #
2 ! 1 1 2 . %e = 2 " − ' " − 1 ! − 1 2 1 −1 − determinar:
C>) 9ada a matriz # a>) a transposta de #
7
b>) a oposta de #
RES84STAS
1>) #
' B 11 7 1! 1"
1 12 1" 2>) % 2 1 2" " "2 1 2 ' ">) 1! 17 >) 9 [! −1 − 2] 2 −1 −1 2 2 −1 '>) # 2 2 2 2 2 2
2 &>) # ! !
!
!
!
!
"
&
− 1 − 2
7>) # = ' & − 1 B>) tr# e tr%
1 − 1
−1 − 2
t C>) a>) # = b>) =# 1 2 − 1!>) a " b 2 e x 1 11>) a 1 e b 1 12>) x B1 e D ± " 1">) m >2 n e p >" 1>) a 2 b 1 x 1 e D 1 1'>) a>) x B e D ± ' 11 b>) x 7' e D 1'
B
%. Adição de Matrizes: 9adas as matrizes # a i/ m x n e % b i/ m x n chamamos de soma das matrizes A e 9 a matriz c i/ m x n tal ,ue c i/ = a i/ + b i/ para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ i ≤ n . 8ota45o: A 9 ; 7 <%: # ; % existe se e somente se A e 9 s5o do mesmo tipo (m x n).
8ropriedades : A< 9 e 7 s5o matrizes do mesmo tipo (m x n) valem as seuintes propriedades: 1= Asso!iatia: >A 9= 7 ; A >9 7= 2= 7omutatia A9;9A = E"emento 5eutro A4;4A;A onde 4 é a matriz nula m x n.
%= E"emento 4posto A >?A= ; >?A= A ; 4 Exemplos:
1 1) !
2 −1 1 + 2 + = 7 ! 2 ! + !
+ ( −1)
" = 7 + 2 !
"
C
C
2 " ! " 1 2" 1 !1 '1 2)
! 1 1 > 2 !1 1 2 1 !1 &. Su@tração de Matrizes: 9adas as matrizes # a i/ m x n e % b i/ 9 a soma de A com a matriz oposta de 9
mxn
chamamos de diferen4a entre as matrizes A e
8ota45o: A ? 9 ; A >?9= <%: # ; % existe se e somente se A e 9 s5o do mesmo tipo (m x n). Exemplo:
" ! 1 1) − 7 − !
" ! − 1 = + > 2 − 7 ! 2
" − 1 ! − 2 2 − 2 = = 2 + ! − 7 + 2 − '
> 2
(. Mu"tip"i!ação de um nmero rea" por uma matriz: 9ados um número real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n obtida pela multiplica45o de cada elemento de A por x. 8ota45o: 9 ; x.A
1!
<%.: ada elemento b i/ de 9 é tal ,ue b i/ x a i/
8ropriedades : endo A e 9 matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e D números reais ,uais,uer valem as seuintes propriedades: 1= Asso!iatia: /.>B.A= ; >/.B=.A 2= Distri@utia de um nmero rea" em re"ação a adição de matrizes: /.>A9= ; /.A /.9 = Distri@utia de uma matriz em re"ação a soma de dois nmeros reais: >/ B=.A ; /.A B.A ) E"emento 5eutro: x.A ; A para x 1 ou se/a:
1.A ; A Exemplo: 1)
2 −1
".
7
".2 = ! ".( −1)
".7
& = ".! − "
21
!
). Mu"tip"i!ação de matrizes: < produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos elementos. # multiplica45o de matrizes não é anloa A multiplica45o de números reais. #ssim o produto das matrizes # a e % b i/ p x n é a matriz c i/ m x n onde cada elemento c i/ é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i>ésima linha de A pelos elementos da />ésima coluna de 9. i/
m x p
<%: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n s5o os elementos ,ue
ocupam a mesma posi45o nas duas matrizes. Exemplo: e/am
elementos
a 1"
1 & #= " ! 2
e
' ! 2 %= 7 "
.
= e b1" = 2 s5o elementos correspondentes.
9ecorr*ncia da defini45o:
11
# matriz produto A.9 existe apenas se o número de colunas da primeira matriz ( A) é iual ao número de linhas da seunda matriz ( 9). #ssim: # m x p e % p x n ⇒( #.%) m x n 8ote ,ue a matriz produto ter o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do seundo fator. Exemplos: 1) e # " x 2 e % 2 x ' ⇒( #.%) " x ' 2) e # x 1 e % 2 x " ⇒,ue n5o existe produto ") # x 2 e % 2 x 1 ⇒( #.%) x 1
8ropriedades : erificadas as condi4Fes de exist*ncia para a multiplica45o de matrizes s5o vlidas as seuintes propriedades: 1= Asso!iatia: >A.9=.7 ; A.>9.7= 2= Distri@utia em re"ação C adição: a= A.>97= ; A.9 A.7 @= >A9=.7 ; A.7 9.7 = E"emento 5eutro: A. @ n onde
@n
@n
.A ; A
é a matriz identidade de ordem n.
#ten45o: 5ão a"em as seuintes propriedades: 1) omutativa pois em eral A.9 ≠ 9.A 2) endo < m x n uma matriz nula A.9 ; < m x n n5o implica necessariamente ,ue A ; < m x n ou 9 ; < m x n .
Exemplos:
2 1) endo # olu45o:
2 A.9
"
1 e % " 1 "
1 . 1 "
2
vamos determinar A.9 e 9.A e comparar os resultados
2
12
a
a
a
a
a 11
= 1− linha e 1− coluna 2.1 ; "." 2 ; C 11
a 12
= 1− linha e 2 − coluna 2.2 ; ". ; 12 1&
a 21
= 2 − linha e 1− coluna .1 ; 1." ; " 7
a 22
= 2 − linha e 2 − coluna .2 ; 1. B ; 12
a
a
a
a
#ssim: 2 A.9 ;
"
1 . 12 x 2 "
2
1 9.A ; "
2
"
2 x 2
2 . 2 x 2
12 x 2
omparando os resultados observamos ,ue A.9 para multiplica45o de matrizes não vale.
≠ 9.A ou se/a a propriedade comutativa
2 " 2) e/a #
1 2 " ! 1 e% = − 2 ! − 1
determine:
2x"
"x2
a) A.9 b) 9.A olu45o:
1"
a) A.9
2 " 2.1 ".(2) 2. ".! 2." 12" ! 1 . !.1 (2) !.2 1! ." 1 2 ! 2x " 1 "x2 1. (2) 1.2 .! 1." . "x
+! & + 12 2 + (−&) − = − 2 ! !+! !+ ! + (−2) − 1 + (−B) − 2 + ! − " + 1& " x " − C − 2
1B
1" " x "
2"
b) 9.A
1 2 " 1.2 ! ".(1) 1.(") 2.(1) ".() . !1 2 ! 2x" 2.() !.() .(1) 2.(") !.(1) . 2x 1 "x 2
" + 2 + 12 2 + ! + (−") − 1 − + ! + (−) − & + ! + 1& = − B 2x 2
onclus5o: erificamos ,ue A.9
17
1! 2 x 2
≠ 9.A
*. Matriz Inersa: 9ada uma matriz A ,uadrada de ordem n se existir uma matriz # G de mesma ordem tal ,ue A. # G # G .A @ n ent5o # G é matriz inversa de A. (Em outras palavras: e A. # G # G .A @ n isto implica ,ue # G é a matriz inversa de A e é indicada por # −1 ). 1
8ota45o: # −1 1 Exemplo: endo # − 2
2
1 2 x 2
vamos determinar a matriz inversa de A se existir.
olu45o: Existindo a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, é necessário que duas etapas:
#. # G # G .#
@ n vamos trabalhar em
o −
G G 1 0asso: @mpomos a condi45o de ,ue A. # @ n e determinamos # :
A. # G ;
@n
⇒ − 2 1
a . 12 x 2 c
b
2
1
! d 2 x 2
!
1 2 x 2
⇒
# partir da iualdade de matrizes resolvemos o sistema acima pelo método da adi45o e cheamos A:
2a + c = 2 a + 2c = 1 (>2) ⇒ > 2a + c = ! − 2a + c = ! ↵ ⊕ HHHHHHHHHH HHHHHHHH 'c = 2 ⇒ c = 2 ' > 2a + c = ! 2
1
> 2a + = ! ⇒ a = ' ' 1'
2b + d = ! b + 2d = ! (>2) ⇒ > 2b + d = 1 − 2 b + d = 1 ↵ ⊕ HHHHHHHHHH HHHHHHHH 'd = 1 ⇒ d = 1 ' > 2b + d = 1 1
2
> 2b + = 1 ⇒ b = − ' ' #ssim temos: a
# G . c
b
d 2 x 2
1 − 2 ' ' 2 1 ' ' 2 x 2
o
G 2 − 0asso: erificamos se # A
@2
1 − 2 ' 1 ' G A ; . . − 2 # 2 1 ' ' 2 x 2
:
2 1 2 x 2
0ortanto temos uma matriz # G tal ,ue: A. # G # G .A Ioo # G é inversa de A e pode ser representada por:
@2
1 − 2 ' ' −1 . # 2 1 ' ' 2 x 2 Reso"er a se'unda "ista de e/er!0!ios 2 ISTA DE 3E4METRIA A5A6TI7A II B>) 9etermine a rela45o existente entre as −" − 2 " ! 1 − ! matrizes # e % 2 " −1 −" . 1&
1
1>) endo #
calcule: a>) # ; %
2
!
e % "
1
b>) # = %
" ! 1 2 −1
c>) % = #
2>) alcule x D e z 2x z 1 7 " 2z − = . x − D 1 7 1 !
tais
">) endo # a i/ " x 2 onde a i/ 2i>/ e % b i/ com b i/ i 2 + / calcule: a>) # = % b>) % = # c>) ( # + %) t
C>) endo a matriz #
" 2
c
D
"
simétrica determine c e D. 1!>) endo # a i/ 2 x 2 onde a i/ 2i>/ e % b i/ 2 x 2 com b i/ / −i determine J tal ,ue "# ; 2J "%.
,ue 11>) % "x 2
2 " !
endo
#
2 −1 2 "
e
! −1 = calcule as matrizes J e K −1 1
2J + "K = % no sistema . "J + 2K = #
>) erifi,ue experimentalmente ,ue se # e % s5o −1 2 " t t t matrizes do mesmo tipo ent5o ( # + % ) = # + % . 12>) endo # ! 1 ! e %>2# uest5o: onsidere # e % as matrizes 2 1 1 encontradas no exerc+cio ". determine a matriz J tal ,ue 1
2J − "# = % " ! 2 e % = determinar 2 ! " as matrizes J e K tais ,ue: J ; K # ; % e 2J = 1">) 9adas as matrizes # a i/ & x tal ,ue K # = %. a i/ i > / % b i/ x ' tal ,ue com b i/ 2 " ! / −i e #% determine o elemento c 2 . = % &>) 9adas as matrizes # ! 1 e " 2 2 2 1' 1 1>) endo # calcule calcule: 1 2 ! 1B # 2 + # − '@ 2 . a>) ".(# = %) ; ".(% = ) ; ".( = #) b>) 2.(# > %) = ".(% = ) = ". c>) a matriz J tal ,ue 1'>) 9etermine a matriz J tal ,ue ".(J = #) ; 2.% .(J = # ; 2.) 2 1 t e J + 2 # = ( #.% − # ) sendo # ! 1 2 −1 1 2 7>) endo # " e % ! determine as % 1 ! . ! 2 matrizes J e K tais ,ue "J = K 2# = % e J ; K #=% 12 ! 1C>) erifi,ue se % 2 é inversa 1
2 '>) endo # !
!
" − " 2x 2
! 2 − "
de # 1&>)
9adas
as
matrizes
#
2!>) 9eterminar se existir # −1 em cada caso: 17
2 −" −1 1 −" 2 −2 −1 " 1 − 2 a>) #.% b>) %.# c>) #. d>) .#
' −' −1 " 1 ! a>) # % = 1 − " − ' ! 1 ' e −1 " ' − "x " 1 ! 1 1 − . alcule: 1 −" 21>) endo #
"
17>) (-L0#) # matriz #
a i/
"x "
é definida de tal
" 2 . −1
b>) # 2
2
calcule (# − ) − . 1
1
22>) #s matrizes # % e s5o invert+veis e de mesma ordem 2. endo %. # −1 = @ 2 e .% # determine e −1 .
2">) (M#) # é uma matriz mxn e % é uma matriz mxp. # afirma45o falsa é: ( 1) se i / a>) # ; % existe se e somente se n p modo ,ue a . Ent5o # é iual a: i/ b>) # # t implica m n ( # t transposta de ! se i / #) c>) #.% existe se e somente se n p ! ! 1 ! −1 1 c>) d>) #. % t existe se e somente se n p ! −1 b>) −1 −1 ! a>) −1 e>) # t .% sempre existe − 1 1 ! 1 ! 1 ! ! 1 −1 −1 ! 1 ! 1 ! e>) d>) ! 1 1 1 ! ! ! 1 − −
− =
! 1 1
i+ /
≠ =
−1 −1 ! −1 1 !
1B>) (0->0) 9adas as matrizes # a i/ e % b i/ ,uadradas de ordem 2 com a i/ = "i + / e b i/ = −i − " / se # ; % ent5o 2 é iual a:
1 !
a>)
! −1
−1 ! 1 ! −1 −1 1 1 e>) 1 1 ! !
b>)
! 1
c>)
1
!
d>)
1B
Nespostas 1) a)
2 !
B
! "
"
1
2) x2 D>C e z>7 −1 − " ") a) − 2 − b) − ' − 7 ) >>>>>>>>>>>>> ')
&) a)
1
c)
−1 −
!
" J !
! −2 ! −1
b)
2
1 2 '
11" e K ! "
!
! !
!
!
−11B −1!1 & −1"C
1 2 7) J C e K " −1 1 B) # − % t C) c! e D2
− "2 "2 1!) J & " − −
b)
"
" c) " 7
B
1'
B
1'
−1 12) J ! 2 1") 2 C 1) B
2 1 1
" ! 1
1& C
− " −1 " − " ! ! ! ! 1&) a) ! ! ! b) ! ! ! ! ! 1') J
!
11 "
−1 −1' −B
&' − 1' − ' − 1' 11) J 11 e K C 1 − − ' ' ' '
c)
!
!
!
! c)
!
!
# # d)
# 17) alternativa a) 1B) alternativa b) 1C) im % é inversa de #
1 2!) a) !
!
1
b)
1B B" 1 ' B − B
21) # inversa da inversa de uma matriz # é a pr?pria matriz #. 22) −1 = @ 2 2") #lternativa c)
1C
II – DETERMI5A5TES Definição: 9eterminante é um número associado a uma matriz ,uadrada. #plica4Fes dos determinantes na matemtica: -
lculo da matriz inversa$ Nesolu45o de aluns tipos de sistemas de e,ua4Fes lineares$ lculo da rea de um triOnulo ,uando s5o conhecidas as coordenadas dos vértices.
1. Determinante de primeira ordem 9ada uma matriz ,uadrada de 1a− ordem M [ a 11 ] chamamos de determinante associado A matriz M o número real a 11 . 8ota45o: det M ou
a 11 a 11
Exemplos : 1. 2.
= ['] ⇒det M 1 = ' ou ' = ' M 2 = [ − "] ⇒det M 1 = −" ou > " = −" M1
2. Determinante de se'unda ordem
a 11 21
a 12
9ada a matriz M a
a 22
de ordem 2 por defini45o temos ,ue o determinante
associado a essa matriz ou se/a o determinante de 2 a− ordem é dado por:
a 11 det M = a 21
a 12
= a 11a 22 − ( a 12 a 21 )
a 22
#ssim: det M = a 11a 22
2 Exemplo: endo M; 2
det M;
" '
"
'
− ( a 12 a 21 )
ent5o:
= 2 ⋅ ' − " ⋅ =1! −12 = −2
Ioo: det M >2 onclus5o: < determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferen4a entre o produto dos elementos da diaonal principal e o produto dos elementos da diaonal secundria.
. Menor 7omp"ementar 2!
hamamos de menor complementar relativo ao elemento a i/ de uma matriz M ,uadrada e de ordem n P 1 o determinante Mi/ de ordem n = 1 associado A matriz obtida de M ,uando suprimos a linha e a coluna ,ue passam por a i/ .
a 11 21
Exemplo 1: 9ada a matriz M; a complementar relativo ao elemento
a 12
a 22
de ordem 2 para determinarmos o menor
a 11 ( M 11 ) retiramos a linha 1 e a coluna 1$
M menor complementar
a 11 a 21
a 12
a 22
loo
M 11
= a 22 = a 22
9a mesma forma temos ,ue o M relativo ao elemento
a 11 a 21
a 12
loo
a 22
M 12
a 11 Exemplo 2: 9ada a matriz M; a 21 a "1
a 12
é dado por:
= a 21 = a 21 e assim por diante. a 12 a 22 a "2
a 1"
de ordem " vamos determinar: a ""
a 2"
a) M 11 b) M 12 c) M1" d) M 21 olu45o: <%.: amos denotar Qmenor complementarR por M
a 11 a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima a 21 a "1 a 22 a 2" M 11 = a 22 a "" − ( a 2" a "2 ) a a "2 ""
a 12 a 22 a "2
a 1"
temos ,ue: a ""
a 2"
b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima temos ,ue:
a 21 M 12 a "1
a 2"
a 21a "" − ( a 2" a "1 )
a ""
c) retirando a linha 1 e a coluna " da matriz dada acima temos ,ue: M1"
a 21 a "1
a 22
a 21 a "2 − ( a 22 a "1 )
a "2
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima temos ,ue: 21
a 12 M 21 a "2
a 1"
a 12 a "" − ( a 1" a "2 )
a ""
%. 7ofator hamamos de cofator (ou complemento alébrico) relativo ao elemento ,uadrada de ordem n o número # i/ tal ,ue # i/ = (−1) i + / ⋅ M i/ .
a 11 a 21
Exemplo 1: 9ada M;
a 12
a 22
a i/ de
uma matriz
os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M
s5o: #11
= (−1)1+1 ⋅ a 22 = (−1) 2 ⋅ a 22 = + a 22
$
M11
# 12
= (−1)1+ 2 ⋅ a 21 = (−1) " ⋅ a 21 = − a 21
$
M12
# 21
= (−1) 2+1 ⋅ a 12 = (−1) " ⋅ a 12 = − a 12
M21
# 22
= (−1) 2+ 2 ⋅ a11 = (−1) ⋅ a 11 = + a 11
$
.
M22
#ssim podemos também determinar a matriz dos cofatores (,ue ser denotada por como sendo:
# 11 # 21
#=
a 22 − a 21 = # 22 − a 12 a 11 # 12
a 11 Exemplo 2: endo M; a 21 a "1 a = (−1) 2+ 2 11 a "1 a 11 # 2" = (−1) 2 + " a "1 a 12 # "1 = (−1) "+1 a 22 # 22
#)
a 12 a 22 a "2
a 1"
vamos calcular os cofatores a ""
a 2"
# 22 # 2" e # "1 :
a 1"
= (−1) ⋅ [ a 11a "" − ( a 1" a "1 ) ] = (+1) ⋅ [ a 11a "" − ( a 1" a "1 ) ] $ a "" a 12 = (−1) ' ⋅ [ a 11a "2 − ( a 12 a "1 ) ] = (−1) ⋅ [a 11a "2 − ( a 12 a "1 ) ] $ a "2 a 1" = (−1) ⋅ [ a 12 a 2" − ( a 1" a 22 ) ] = (+1) ⋅ [ a 12 a 2" − ( a 1" a 22 ) ] . a 2"
22
&. Matriz Adunta # matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada ad/unta de A.
( )
#ssim:
ad/# = #
t
(. Teorema de ap"a!e 9efini45o: < determinante de uma matriz ,uadrada M = a i/ m x m ( m ≥ 2 ) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila ,ual,uer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. #ssim fixando / ∈ 8 tal ,ue1 ≤ / ≤ m temos: det M =
m
∑a # i/
i/
i =1
m
onde
∑
é o somat?rio de todos os termos de +ndice i variando de 1 até m m ∈ 8 e
# i/
éo
i =1
cofator i/. Exemplo : alcular com o aux+lio do Seorema de Iaplace os seuintes determinantes: a)
91
2
"
−
= −2
1
2
!
'
&
2
"
−
= −2
1
2
!
'
&
b) 9 2
2
"
−1
!
!
2
!
"
−1
1
1
−1
!
2
"
=
olu45o: a)
91
#plicando Iaplace na coluna 1 temos: 91
= 2 (>1)1+1
a 11
1
2
' &
#11 ( cofator 11)
⇒9 1 = 2
1
2
'
&
+2
+ (−2)(>1) 2 +1
"
−
' & a 21
ofator# 21
"
−
'
&
+ ! (>1) "+1
"
−
1 2
⇒
a "1
ofator# "1
+! ⇒
⇒ 91 = 2(& > 1!) + 2(1B + 2!) = 2(>) + 2("B) ⇒ ⇒ 91 = −B + 7& = &B b)
omo tr*s dos ,uatro elementos da 2 a− linha s5o nulos convém aplicar Iaplace nessa linha.
2"
2
"
−1
!
!
2
!
"
−1
1
1
−1
!
2
"
=
92
92
! +! +2(− 1) =
2+ "
rescrever
"
1 −
"
1 −
1
1 −
! "
<%.: Ent5o podemos
9 M2"
9 2 como:
= −29
92
2
(@)
#ora precisamos calcular o valor de 9 para substituirmos em (@) 0ara isso aplicamos Iaplace na " a− linha (mais conveniente pois um dos elementos é nulo) e obtemos: 9
= −1( −1) "+1
"
>1
>1 1
+ "(−1) "+"
M "1
2
"
"
>1
⇒
M ""
9 = −1(" −1) + "(−2 − C) = −1(2) + "( −11) = −2 − "" ⇒
9 = −"'
Linalmente substituindo esse valor em (@) obtemos: 92
= −29 ⇒ 9 2 = >2(>"') ⇒
92
= 7!
). Re'ra de Sarrus 9ispositivo prtico para calcular o determinante de " a− ordem. Exemplo 1: alcular o seuinte determinante através da Nera de arrus. a 11
a 12
a 1"
D; a 21
a 22
a 2"
a "1
a "2
a ""
olu45o: a
a
1 − Passo: Nepetir a duas primeiras colunas ao lado da " − :
2
a 11
a 12
a 1"
a 11
a 12
a 21
a 22
a 2" a 21
a 22
a "1
a "2
a "" a "1
a "2
a
2 − Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diaonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diaonal. <%.: # soma deve ser precedida do sinal positivo ou se/a:
= +( a 11a 22 a "" + a 12 a 2" a "1 + a 1" a 21 a "2 ) a
" − Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diaonal secundria com os dois
produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diaonal. <%.: # soma deve ser precedida do sinal neativo ou se/a:
− ( a 1" a 22 a "1 + a 11 a 2" a "2 + a 12 a 21 a "" ) #ssim: 9 = −( a 1" a 22 a "1
+ a 11 a 2" a "2 + a 12 a 21 a "" ) + ( a 11a 22 a "" + a 12 a 2" a "1 + a 1" a 21a "2 )
<%.: e desenvolv*ssemos esse mesmo determinante de " a− ordem com o aux+lio do teorema de Iaplace ver+amos ,ue as expressFes s5o id*nticas pois representam o mesmo número real. Exemplo 2: alcular o valor dos seuintes determinantes:
a)
91
=
2
"
−1
1
2
−"
2
1
b) 9 2
=
2
>1
!
1
!
!
1
2
1
!
>1
!
!
1
1
!
olu45o: a) 91
2
"
−1
2
"
1
2
1=
−"
2
1 >" 2
=
= −( " + B +12) + ( 2 −1B − B) = −2" − 2 = −7
b)
92
=
2
>1
!
1
!
!
1
2
1
!
>1
!
!
1
1
!
#plicando Iaplace na 2 a− linha temos:
2'
92
2
−1
1
= ! + ! +1(−1) 2 +" 1
!
!
1
!
!
9 G2
+ 2(−1) 2 +
2
−1
!
1
!
>1
1
1
!
9 G2G
⇒
= (−1)9 G2 + 29 G2G
92
lculo de 9 G2 : omo na 2 a− linha dois elementos s5o nulos é conveniente aplicar Iaplace$ assim:
-
9 G2
=1(−1)
2 +1
−1
1
1
!
= −1(! −1) =1
lculo de 9 G2G : -tilizando a Nera de arrus temos:
-
9
GG 2
=
2
>1
1
!
!
1
!
2
>1
>1 1
!
1
!
1
= −(! − 2 − 1) + (! + ! + !) = "
0ortanto 92
= (−1)9 G2 + 29 G2G ⇒
92
= −1(1) + 2(") = −1 + & ⇒
92
='
2&
*. Matriz de andermonde hamamos de matriz de andermonde toda matriz ,uadrada de ordem n ≥ 2 com a seuinte forma:
1 a 1 a 12 " E = a1 n− 1 a1
1 1
2 2 a2 an a "2 a "n n− 1 n− 1 a2 an a2 an
1. < determinante da matriz de andermonde é dado por:
(
det E = a 2
− a 1 )( a " − a 2 )( a " − a 1 )( a − a " )( a − a 2 )( a − a 1 ) ⋅ ⋅ ( a n − a n−1 ) ⋅ ⋅ ( a n − a 1 )
1 Exemplo: alcular o determinante da matriz M = 2
1
1
"
1&
C
olu45o: omo podemos escrever a matriz M na forma: 1 M = 21 2 2
1 "1 "2
1 2 1
Ent5o dizemos ,ue a matriz M é uma Matriz de andermonde com
a1
= 2 a 2 = " e a " = .
#ssim det M = ( a 2
− a 1 )( a " − a 2 )( a " − a 1 ) = ( " − 2)( − ")( − 2) = 1⋅1⋅ 2 = 2
27
8R48RIEDADES D4S DETERMI5A5TES: >de matriz $uadrada de ordem n= #s propriedades a seuir s5o relativas a determinantes associados a matrizes ,uadradas de ordem n. Estas propriedades muitas vezes nos permite simplificar os clculos.
81?= Tuando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) s5o nulos o determinante dessa matriz é nulo. Exemplos:
1>)
C
−B
!
!
!
!
"
2
−1
"
1B
12
C
"
7
=!
2>)
"
!
1'
2
!
−" =!
−1
!
7
82?= e duas filas paralelas de uma matriz s5o iuais ent5o seu determinante é nulo. Exemplo:
1>)
2
'
"
'
2
C
B
2
1
"
'
C
7
"
=!
pois I1 I"
8?= e duas filas paralelas de uma matriz s5o proporcionais ent5o o seu determinante é nulo. Exemplo: 1>)
1
2
2
1
"
2
&
=!
pois " 21
8%?= e os elementos de uma fila de uma matriz s5o combina4Fes lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas ent5o o seu determinante é nulo. Exemplos: 1>)
1
"
2
&
"
2
'
=!
pois 1 ; 2 "
2>)
"
1
1
2
"
7
1!
'
=!
pois 2I1 ; I2 I"
49S.: Definição de !om@inação "inear : -m vetor v é uma combina45o linear dos vetores v 1 v2 ... vU se existem escalares a 1 a2 ... aU tal ,ue: v a1. v1;...; aU. vU
2B
8&?= Teorema de Fa!o@i : < determinante de uma matriz n5o se altera ,uando somamos aos elementos de uma fila uma combina45o linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo: 1>)
1
2
"
2
1
2 =C
2
"
ubstituindo a 1V coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2V temos: (1 +2(2
1 +2 ⋅ 2
2
"
'
2
"
2 +1 ⋅ 2
1
2 =
1
2 =C
2 + ⋅ 2
"
"
1!
8(?= < determinante de uma matriz e o de sua transposta s5o iuais. Exemplo: 9et #
1
2
"
2
1
2 =C
2
"
9et #t
1
2
2
2
1
=C
"
2
"
8)?= Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos: 1>)
2>)
1
2
2
1
"
2
'
−1!
!
"
7
2
!
−1
1
−2
!
"
7
2
!
−1
"
−1 =−
Multiplicando 1 por 2 temos:
1
2
2
1
&
2
"
−1 = 2 ⋅ ( − ) = −B 1
=−1' Multiplicando I1 por 1 temos: '
= 1 ⋅ (−1') = −2C '
8*?= Tuando trocamos as posi4Fes de duas filas paralelas o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo: 1
2
2
1
"
2
"
−1 =− 1
Srocando as posi4Fes de I 1 e I2 por exemplo temos:
2C
2
1
−1
1
2
"
"
2
1
=+
8,?= Tuando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diaonal principal s5o todos nulos o determinante é iual ao produto dos elementos dessa diaonal. Exemplos: 1>)
a
!
!
d
b
!
e
f
c
=a ⋅ b ⋅ c
2>)
x
h
!
D
i
!
!
z
=x ⋅ D ⋅ z
81-?= Tuando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diaonal secundria s5o todos nulos o determinante é iual ao produto dos elementos dessa diaonal multiplicado por
( − 1)
n ⋅( n −1) 2
.
Exemplos: !
a
1>) b
= −a ⋅ b
x
2>)
!
!
a
!
b
x
c
D
z
= −a ⋅ b ⋅ c
811?= 0ara # e % matrizes ,uadradas de mesma ordem n temos: det (#%) det # ⋅ det %
4@seração: omo # ⋅ #>1 @ na propriedade acima temos: det (#>1)
1 det #
Exemplo: e #
2
1
"
)
%
1
!
2
2
e #⋅%
2
11
B
ent5o:
( )
det #% = det # ⋅ det % 1!
'
2
812?= e U ∈ ℜ ent5o det (U ⋅#) U n ⋅ det#. Exemplo:
"!
endo U" #
( )
2
1
'
e U ⋅#
&
"
12
1'
temos:
det U ⋅ # = U n ⋅ det# 2
"
'
&
81?= det (#;%) ≠ det# ; det% ,. Re'ra de 7#iG # rera de hi? é mais uma técnica ,ue facilita muito o clculo do determinante de uma matriz ,uadrada de ordem n ( n ≥ 2 ). Essa rera nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n>1 de iual determinante. Exemplos: 2 1) amos calcular o determinante associado A matriz # = ' 2
"
1
&
" com
o aux+lio da
rera de hi?: 0asso 1: 0ara podermos aplicar essa rera a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos iual a 1. #ssim fixando um desses elementos retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra. 2
"
'
1
"
2
&
←
↑
0asso 2: Em seuida subtra+mos do elemento restante o produto dos dois correspondentes ,ue foram eliminados (um da linha e outro da coluna). 2 − (' ⋅ ")
− (" ⋅ ")
2 − (' ⋅ )
& − ( ⋅ ")
=
2 − (1')
− (C )
2 − ( 2! )
& − (12 )
=
− 1" − 1B
−' −&
0asso ": Multiplicamos o determinante assim obtido por ( −1) i + / onde i representa a linha e / a coluna retiradas (neste caso 2 a− linha e 2 a− coluna). det #
= (−1) 2+2
det #
= −12
−1" −1B
−' = (−1) ⋅ ( 7B − C! ) ⇒ −&
1-. Inersão de matrizes !om o au/0"io da teoria dos determinantes
"1
# inversa de uma matriz ,uadrada de ordem n pode ser calculada pela aplica45o do seuinte teorema: # matriz inversa # −1 de uma matriz A (,uadrada de ordem n) existe se e somente se det # ≠ ! e é dada por: # −1
=
1 det #
⋅ ad/#
49S.: ad/ # é a matriz transposta da matriz dos cofatores: ad/ # (# ) t Exemplos: 1) erificar se a matriz
#
& = 1
!
− " admite inversa
olu45o: # matriz # admite inversa se e somente se det # ≠ ! . #ssim como: det #
=
&
!
1
>"
= −1B ≠ ! existe a matriz inversa de V
" 2) alcular x para ,ue exista a inversa da matriz # = x − 2
−" −1
2
1
x
!
olu45o: erificar se existe a matriz inversa de # ( ∃ # >1 ⇔ det # ≠ ! ) 2
" −"
x
−" −1
!
x −1
−2
1
x
"
Ent5o:
−2
1
= ( > "x + ! + 2x ) − ( + ! − "x 2 ) ⇒ ⇒ "x 2 − x − ≠ ! #ssim ∃ # >1 ⇔ x ≠
ex "
≠ >1
") alcular se existir a inversa da matriz # −1
=
1 det #
#
− 2 = −1
"
com o aux+lio da f?rmula
⋅ ad/#
olu45o: 0asso 1: alcular o determinante de # para ver se existe inversa.
"2
= ( − 2) − "(−1) = −B + " = −'
det #
omo − ' ≠ ! ⇒ ∃# −1 0asso 2: alcular os cofatores dos elementos de #. = (−1)1+1 ⋅ = A12 = ( −1)1+2 ⋅ −1 =1 + A21 = ( −1) 2 1 ⋅ " = −" 2+2 ⋅ − 2 = −2 A22 = ( −1) A11
#ssim a matriz dos cofatores é dada por:
A
= − "
1
> 2
0asso ": lculo da matriz ad/unta de #.:
( )t ⇒ adjA =
adjA = A
− " > 2
1
0asso : lculo da matriz inversa de # ( # −1 ): A −1
=
1 ⋅ adjA ⇒ A −1 det A
: A
− ' = −1 '
−1
=
1 − ' 1
− " ⇒ > 2
2 ' "
'
Reso"er a ter!eira "ista de e/er!0!ios de 3A I
ISTA DE 3A I
B) (Luvest = 0) < determinante da matriz
a b
1) alcular o valor dos determinantes das seuintes matrizes:
"
#
a) a i/
2x2
1 2
onde a i/
! " B
b)
2a
# a) 1
= i + /.
b a
onde
= e x + e −x e b) =1
2b = e
c) e x
x
− e − x é iual a: d) e −x
e) !
C) -tilizando a rera de arrus calcule:
2) alcular o valor de x ∈ N na iualdade "x
" x
+" !
""
") < con/unto solu45o de
1
x
1
1
1
1
x
1
=
1
1
x
1
•
− !)" !)' 1 ! 2 2 −1 1 1 12 " − B !
é:
a) { x ∈ N W x ≠ 1} b)X!$1Y c)X1Y d)X>1Y e) X!Y ) 9eterminar a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz #
" −2 − 1 2 −1
1
. 2
!
2 1!) endo # ! 2 1 " a) det # 2 . " b) det # t
− 1" − 2" − 2 1 − " " 2" − 2" 1"
') 9ada a matriz #
"
!
1
2
calcule: 2
"
alcule # conhecida como matriz dos 11) alcular x na iualdade cofatores e a matriz ad/unta de #. &) alcule os seuintes determinantes 12) alcular aplicando o Seorema de Iaplace: a)
1
2
"
'
&
7
B
C
b)
7) < determinante
!
1
1
"
1
1
2
!
!
2
x
2
!
!
!
1
!
1
!
!
x
!
x
!
−1
−1
2
x
!
!
1
2
x
!
!
−"
!
representa o polinZmio: a) b) c) d) e)
x
"x −1 "( x 2 +1) "( x +1)( x 2
−"
2
c) −
&
1
!
d)
x
1
"
1
x
"
na
=!
iualdade
x
2
−"
=!
−&x +C
1 − 2 1") endo # −B
1
1
"
C
1&
27
&
−1 calcular 1 −1 1
1) -tilizando as propriedades dos determinantes calcule os determinantes /ustificando os valores obtidos:
− x 2 −1
2
−1
1 x
!
det #.
+1
2
2
x
1
−
&
−1 −12
" B
2
"
−1
2
−
'
!
"
2
C
!
!
−
!
!
!
−" −'
2
− 2 1 " ' 1 ! 1 −'
"
!
C
!
B
2
2
!
"
1
" a) −1 2
−1)
b)
e) ''
2
1B
"
!
2
C
B
2B
"
72
+ −2
2
!
+
"
1
27
B
−'
7
C
!
B
21
17
1 = D x
b
a 1') (M#>0) e "
2
Nespostas 1) a) " b) 1 2) x > ou x1 ") alternativa c)
c) =1
#
"
a x
a) B
b
B − 7 2 7 − ) # = & −1 − − '
e % # t ent5o det(#.%) vale: D b)
c) 2
d) =2
e) =
− 1" − 2" − 2" = 2" 1" − 2" e 2 − 2 1 " " " 2 2 − 1" " " 2 1 2 − " ad/# ( # ) = > " " > 2 − 2 1 " " "
2 1 1&) (L##0>0) 9ada a matriz # ! − " ') A
calcule o determinante da matriz inversa de #.
17) 9etermine se existir a inversa de cada uma das matrizes: 1 ! " − 2
a) #
& b) % ' − " 7 !
!
t
1
2
&) a) ! b) =2 7) alternativa d) B) alternativa a) C)
−'
12
1!) a) =2 b) =2 11) x1 ou x> 12) x2 ou x' 1") &!! 1) a) ! b) ! c) ! d) =&! e) 2 1') alternativa b) 1&) −
1 "
17) a) #
b) %
−1
−1
2" = 1
= −
! 1 "
1
2
7
7
1
1 7
− −1
1 1 2
− 1
21
2
21
"'
III – SISTEMAS I5EARES 1 E$uação "inear 6 Soda e,ua45o da forma: a1 x1
onde
+ a 2 x 2 + + a n xn = b
s5o números reais ,ue recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1 x 2 x n e b é um número real chamado termo independente. a1 a 2 a n
49S: Tuando b ! a e,ua45o recebe o nome de linear homogênea. Exemplos: Equações Lineares
Equações !o"Lineares
1) "x = 2D ; z 7 2) x ; D ="z > 7 t ! (homo*nea) ") =2x ; z "t = D ;
1) xD "z ; t B 2) x 2 > D "t > ") x > D ; z 7
2 Sistema inear 9efini45o: -m con/unto de e,ua4Fes lineares da forma:
a11 x1 + a12 x2 + a1" x" + + a1n xn = b1 a x + a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2" " 2n n 2 am1 x1 + am 2 x2 + am" x" + + amn xn = bm é um sistema linear de m e,ua4Fes e n inc?nitas.
2.1 So"ução do Sistema inear hamamos de solu45o do sistema a n>upla de números reais ordenados ( r 1 r 2 r n ) ,ue é simplesmente solu45o de todas e,ua4Fes do sistema.
2.2 Matrizes asso!iadas a um Sistema inear 2.2.1 Matriz in!omp"eta 6 a matriz A formada pelos coeficientes da inc?nitas do sistema.
"&
Exemplos: e/a o sistema:
Matriz incompleta:
2 x + " $ − # = ! x + $ + # = 7 − 2 x + $ + # =
2 A − 2
" 1 1
−1 1 1
2.2.2 Matriz 7omp"eta 6 a matriz 9< ,ue obtemos ao acrescentarmos A matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das e,ua4Fes do sistema. #ssim a matriz completa referente ao sistema anterior é:
9
2 " > 1 ! 1 1 7 > 2 1 1
2. Sistemas Homo'neos -m sistema é homo*neo ,uando os termos independentes de todas as e,ua4Fes s5o nulos.
Exemplo:
" x − 2 $ + # = ! − x + $ − " # = ! 2 x + " $ = 2..1 So"uçJes de um Sistema Homo'neo # n>upla (! ! ! ... !) é sempre solu45o de um sistema linear homo*neo com n inc?nitas e recebe o nome de soluç!o tri%ial . Tuando existem as demais solu4Fes s5o chamadas n!o"tri%iais.
2.% 7"assifi!ação de um sistema "inear $uanto ao nmero de so"uçJes
•
•
determinado (solu45o única) poss+vel indeterminado (infinitas solu4Fes) imposs+vel (n5o tem solu45o)
Exemplos:
"7
1.
x + $ = B 2 x − $ = 1
Sem solu45o única: o par ordenado (" '). 0ortanto o sistema é poss+vel e determinado.
2.
x + $ = B 2 x + 2 $ = 1&
Sem infinitas solu4Fes: alumas s5o dadas pelos pares ordenados: (! B) (1 7) (2 &) (" ') ( ) (' ") . 0ortanto o sistema é poss+vel e indeterminado.
".
x + $ = 1! − x − $ = 1!
. 85o tem um par ordenado ,ue satisfaz simultaneamente as e,ua4Fes. 0ortanto o sistema é imposs+vel.
2.& Sistema 5orma" -m sistema é normal ,uando tem o mesmo número de e,ua4Fes ( m) e de inc?nitas ( n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero ou se/a se m & n e det A ≠ ! o sistema é normal. <%.: Sodo sistema normal é poss+vel e determinado e portanto tem solu45o única.
(x + $ = " Exemplo: 9eterminar ( ∈ ' de modo ,ue o sistema se/a normal. x + ($ = ' olu45o: 0ara o sistema ser normal temos ,ue observar duas condi4Fes: m&n e det A ≠ ! )* condiç!o: m 2 e n 2
⇒ m = n
8o sistema o número de e,ua4Fes ( m & 2) é iual ao número de inc?nitas ( n 2) +* condiç!o: det A ≠ (
det A 1
1 (
!
= ( 2 −1 ≠ ! ⇒ ( ≠ ±1
Ioo o sistema é normal para ,ual,uer ( real diferente de 1 e de =1.
"B
2.( Re'ra de 7ramer Sodo sistema normal tem uma única solu45o dada por
xi
=
,i ,
onde i ∈{1 2 " n} ,
detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e ,i é o determinante obtido através da substitui45o na matriz incompleta da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Exemplo: Nesolver com o aux+lio da Nera de ramer os seuintes sistemas:
a)
2 x + $ = 7 2 x − " $ = "
olu45o: Semos: m & n & 2 (1V condi45o) e
,
=
2
1
2
−"
= −& − 2 = −B ≠ !
(2V condi45o)
0ortanto como o sistema é normal podemos utilizar a Nera de ramer para resolv*>lo. )- Passo: alcular
, x
e
, $
1 2 > ubstituindo na matriz incompleta 2 − " a coluna independentes encontramos: , x
=
7
1
"
−"
c1
pela coluna formada pelos termos
= −21 −" = −2
> > ubstituindo aora c 2 pela coluna dos termos independentes encontramos: , $
=
2
7
2
"
= & −1 = −B
+- Passo: Encontrar x e D:
#ssim:
"C
x
=
$
=
, x , , $ ,
= − =" −B = −B =1 −B 2
Ioo (x D) (" 1) é a solu45o do sistema dado.
2 x + 2 $ + 2 # = 7 2 x + 2 $ + 2 # = 7 x+ 1 $ # x 1 $ # 2 + 2 − 2 = C ou 2 .2 + 2 − 2 = C 2 x − 2 $ + 1 + 2 # + 1 = 2 2 x − 2 $.21 + 2 #.21 = 2
b)
olu45o: 9a maneira como é apresentado o sistema n5o é linear. #ssim para torn>lo linear fazemos as substitui4Fes: = a
2 x
2$
=b
= c obtendo:
e 2z
a + b+ c = 7 2a + b − c = C a − 2b + 2c = 2 #ora temos um sistema linear com " e,ua4Fes e " inc?nitas ( m & n ) e determinante da matriz incompleta diferente de zero ve/a: ,
1
1
1
1
1
=2
1
−1
2
1
1
−2
2
1
−2
= −1 −2 − +2 −1 − = −7 −" = −1! ≠ !
)- Passo:
alcular ,a termos independentes: , a
,b
,c
,b e 9 c substituindo
7
1
1
7
1
=C
1
−1
C
1
2
−2
2
2
−2
1
7
1
1
7
=2
C
−1
2
C
1
2
2
1
2
1
1
7
1
1
=2
1
C
2
1
1
−2
2
1
−2
as colunas 1 2 e " respectivamente pelos
= −2 −1 −1B +1 −2 −1B = −" −& = −!
= −C + 2 − 2B +1B −7 + = −"' +1' = −2!
= −7 +1B + + 2 +C − 2B = 7 −17 = −1!
!
0ortanto por ramer vem: a=
,a ,
=
− ! = − 1!
b=
,b ,
=
− 2! =2 − 1!
c=
,c ,
=
− 1! =1 − 1!
oltando a transforma45o feita anteriormente (afinal ,ueremos os valores de x D e z) temos: 2
x
= a ⇒ 2 = ⇒ 2 = 22 ⇒ x = 2
2 $
= b ⇒ 2 $ = 2 ⇒ 2 $ = 21 ⇒ $ = 1
#
2
x
x
= c ⇒ 2 = 1 ⇒ 2 = 2 ! ⇒ # = ! #
#
Ioo (x D z) (2 1 !) é a solu45o do sistema dado.
c)
" x + $ + # = ! 2 x − $ − # = ! − x + " $ − # = !
olu45o: Semos m & n & " e , =
"
1
2
>1
−1
−1
"
>1
"
2 >1
−1
= −1 +C +B +" + + & = 2C ≠ !
"
0ortanto como o sistema é normal apresentando uma única solu45o e além do mais o sistema é homo*neo esta solu45o única ser a solu45o trivial (! ! !). Ioo (x D z) (! ! !).
1
2.) Dis!ussão de um Sistema inear 0ara discutir um sistema linear de n e,ua4Fes e n inc?nitas calculamos o determinante 9 da matriz incompleta. #ssim se , ≠ ! ⇒ istema é poss.%el e determinado (09) ou se/a tem solu45o única. , = ! ⇒ istema pode ser poss.%el e indeterminado (0@) (ter infinitas
solu4Fes) ou
imposs.%el (@) (n5o ter solu45o).
e todos os ,i forem iuais a ! teremos um 0@ e pelo menos um , diferente de zero teremos um @. i
Exemplos:
1)
x − $ + # = " 2 x + $ − " # = " x − $ + 2 # = &
Semos: mn" ,
=
1
−1
2
1
"
−1
1
−1 = " ≠ ! 2
Ioo o sistema é poss+vel e determinado apresentando solu45o única.
2)
x + 2 $ + # = 1 2 x + $ − " # = " x + " $ − 2 # = !
Semos: mn" ,
=
1
2
1
2
1
−" = !
"
"
>2
2
, x
=
1
2
1
1
−" = "' ≠ !
!
"
>2
endo , ! e , x ≠ ! o sistema é imposs+vel n5o apresentando solu45o.
x + " $ + 2 # = 1 − 2 x + $ + # = − 2 − x + $ + " # = − 1
")
Semos: mn" ,
1
"
2
= −2 −1
1
1
"
, x
1
"
2
= −2 −1
1
1
"
1
, $
, #
=!
=!
1
2
= −2 > 2 −1 −1
1
1
"
= −2 −1
1
=!
"
1
−2 = ! >1
Ioo temos , ! , x = ! , $ = ! , # = ! . 0ortanto o sistema é poss+vel e indeterminado apresentando infinitas solu4Fes.
2.* Sistemas e$uia"entes
"
9ois sistemas s5o e,uivalentes ,uando possuem o mesmo con/unto solu45o. Exemplo: endo
x + $ = " e x + $ = " / 1 = / 2 = 2 x + " $ = B x + 2 $ = ' o par ordenado (x D) (1 2) satisfaz ambos e é único. Ioo / 1
e / 2 s5o e,uivalentes: / 1 ] / 2 .
2.*.1 8ropriedades dos sistemas e$uia"entes 1) Srocando de posi45o as e,ua4Fes de um sistema obtemos um outro sistema e,uivalente. Exemplo: endo:
x + $ + 2 # = 1 0)( x " # = " ( 0 ) / 1 = x " # = " ( 0 ) e / 2 = $ + # = 2 ( 0 0 ) $ + # = 2 ( 0 0 ) x + $ + 2 # = 1 0)( temos
/ 1 ] / 2 .
2) Multiplicando uma ou mais e,ua4Fes de um sistema por um número K K ∈ ' ^ < obtemos um sistema e,uivalente ao anterior. Exemplo:
x + 2 $ = " ( 0 ) 9ado / = multiplicando a e,ua45o (@@) por " obtemos: 1 x − $ = ! ( 00 )
x $+ 2 = " x $+ 2 = " / 2 = ⇒ / 2 = x ( $− ! ⋅= ") x " $− " = ! #ssim temos
/ 1 ] / 2 .
") #dicionando a uma das e,ua4Fes de um sistema o produto de outra e,ua45o desse mesmo sistema por um número K K ∈ ' ^ < obtemos um sistema e,uivalente ao anterior. Exemplo:
x + 2 $ = ( 0 ) 9ado / = substituindo neste sistema a e,ua45o (@@) pela soma da e,ua45o (@) 1 x − $ = 1 ( 00 ) multiplicada por (>1) com a e,ua45o (@@) obtemos:
x− − $2 −= x (G + $2 = ) (−⋅ 1) G x − $ = 1 / 1 = ⇒ / 1 = x − $ = 1 >"D = >" Ioo:
x + 2 $ = / 2 = − " $ = − " #ssim pois (x D) (2 1) é solu45o de ambos os sistemas.
2., Sistemas es!a"onados # técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada pois com essa técnica podemos encontrar solu4Fes para sistemas ,ue n5o tenham o mesmo número de e,ua4Fes e inc?nitas (o ,ue n5o é permitido na Nera de ramer). #lém disso ,uando ,ueremos resolver sistemas lineares cu/o número de e,ua4Fes (e de inc?nitas) excede tr*s n5o é conveniente utilizar a Nera de ramer por se tornar muito trabalhosa. 0or exemplo um sistema com ,uatro e,ua4Fes e ,uatro inc?nitas re,uer o clculo de cinco determinantes de V ordem. 8este caso usamos a técnica de escalonamento ,ue facilita a resolu45o e a discuss5o de um sistema. 9ado um sistema linear:
'
a11 x1 + a12 x2 + a1" x" + + a1n xn = b1 a x + a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2" " 2n n 2 / = am1 x1 + am2 x2 + am" x" + + amn xn = bm onde existe pelo menos um coeficiente n5o>nulo em cada e,ua45o dizemos ,ue est escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente n5o>nulo aumenta de e,ua45o para e,ua45o. Exemplos:
" x − $ = &
1) / 1 =
2 $ = "
2 x − $ + ' # = B ") / " = $ − z = !
x − $ + z = C 2) / 2 = 2 $ − " # = 2 z = >' 2 x + " $ − 2 # + t = 1 ) / = 2 $ + 2 # + t = "t = 7
2.,.1 8ro!edimentos para es!a"onar um sistema 1) Lixamos como 1V e,ua45o uma das ,ue possuam o coeficiente da 1V inc?nita diferente de zero. 2) -tilizando as propriedades de sistemas e,uivalentes anulamos todos os coeficientes da 1V inc?nita das demais e,ua4Fes. ") #nulamos todos os coeficientes da 2V inc?nita a partir da "V e,ua45o. ) Nepetimos o processo com as demais inc?nitas até ,ue o sistema se torne escalonado. Exemplos:
1)
2 x − $ + z = ' amos escalonar o sistema "x + 2 $ − # = ! x > 2D + z = 2
1L passo: #nulamos todos os coeficientes da 1V inc?nita a partir da 2V e,ua45o aplicando as propriedades: •
Srocamos de posi45o a 1V e a "V e,ua4Fes:
&
x > 2D + z = 2 "x 2 ! + $ − # = 2 x − $ + z = ' •
Srocamos a 2V e,ua45o pela soma do produto da 1V e,ua45o por (>") com a 2V e,ua45o:
( x " 2 $ + # = )2 ⋅ ( >") x" 2 $ + # = 2 " x + 2 $ − # = ! ⊕↵ ⇒ B $ − 7 # −= & 2 x − $ + z = ' 2 x − $ + # = ' •
Srocamos a "V e,ua45o pela soma do produto da 1V e,ua45o por (>2) com a "V e,ua45o:
( x"2 $ + # = )2 ⋅ ( > 2) x" 2 $ + # = 2 B $ − 7 # = > & ⇒ B $ − 7 # −= & 2 x − $ + z = ' ⊕↵ " $ − z = 1 2L passo: #nulamos os coeficientes da 2V inc?nita a partir da "V e,ua45o: •
" Srocamos a "V e,ua45o pela soma do produto da 2V e,ua45o por − com a "V e,ua45o: B
x"2 $ + # = 2 " (B $ − 7 # = >&) ( −⋅ B) " $ − # = 1 ⊕↵
x" 2 $ + # = 2 ⇒ B $ − 7 # −= & 1" # = 2& B B
#ora como o sistema est escalonado podemos resolv*>lo: 7
1" B
# =
2& B
⇒
# = 2
ubstituindo este valor em B $ − 7 ⋅ 2 = −& ⇒ B $
=B ⇒
ubstituindo aora
$
x − 2 ⋅ 1 + 2
=2⇒
x
B $ $
− 7 # = −& vem: =1
= 1 e # = 2 em x − 2 $ + # = 2 vem:
=2
0ortanto o sistema é poss.%el e determinado1 admitindo uma única solu45o ,ue é dada por: (x D z) (2 1 2).
2) amos escalonar o sistema
x − 2 $ + # = " 2 x + $ + # = 1 " x " $ + 2 # = 2
1L passo: #nulamos todos os coeficientes da 1V inc?nita a partir da 2V e,ua45o aplicando as propriedades: •
Srocamos a 2V e,ua45o pela soma do produto da 1V e,ua45o por (>2) com a 2V e,ua45o:
( x " 2 $ + # = )" ⋅ ( > 2) x" 2 $ + # = " 2 x + $ + # = 1 ⊕↵ ⇒ ' $ − # −= ' " x − $ + 2z = 2 " x − $ + 2z = 2 •
Srocamos a "V e,ua45o pela soma do produto da 1V e,ua45o por (>") com a "V e,ua45o:
( x" 2 $ + # = )" ⋅ ( > ") x" 2 $ + # = " ' $ − # = > ' ⇒ ' $ − # −= ' " x − $ + 2z = 2 ⊕↵ ' $ − z = > 7 B
2L passo: #nulamos os coeficientes da 2V inc?nita a partir da "V e,ua45o: •
Srocamos a "V e,ua45o pela soma do produto da 2V e,ua45o por ( −1) com a "V e,ua45o:
x" 2 $ + # = " (' $ − # = > ') ( −⋅ 1) ' $ − # = > 7 ↵ ⊕
x" 2 $ + # = " ⇒ ' $ − # −= ' ! = >2
9essa forma fica escalonado. omo n5o existe valor real de z tal ,ue ! ⋅ # = −2 o sistema 2 imposs.%el e portanto n5o tem solu45o.
") amos escalonar o sistema
x + $ + # − t = & 2 x + $ − 2 # + t = − 1 x " 2 $ + # + 2t = − "
1L passo: #nulamos todos os coeficientes da 1V inc?nita a partir da 2V e,ua45o: •
Srocamos a 2V e,ua45o pela soma do produto da 1V e,ua45o por (>2) com a 2V e,ua45o:
( x + $ + # − t = )& ⋅ ( > 2) x + $ + # − t = & 2 x + $ − 2 # + t = >1 ⊕↵ ⇒ − $ − # + "t = >1" x − 2 $ + # + 2t = >" x − 2 $ + # + 2t = > " •
Srocamos a "V e,ua45o pela soma do produto da 1V e,ua45o por (>1) com a "V e,ua45o:
C
x + $ + # − t = & ⋅ ( >1) x + $ + # − t = & − $ − # + "t = >1" ⇒ − $ − # + "t = >1" x − 2 $ + # + 2t = > " ⊕↵ − " $ + ! # + "t = > C 2L passo: #nulamos os coeficientes da 2V inc?nita a partir da "V e,ua45o: •
Srocamos a "V e,ua45o pela soma do produto da 2V e,ua45o por ( − ") com a "V e,ua45o:
x + $ + # − t = & (− $ − # + "t = >1") ⋅ ( > ") − " $ + ! # + "t = > C ↵ ⊕
x + $ + # − t = & ⇒ − $ − # + "t = >1" + 12 # − &t = "!
< sistema est escalonado. Entretanto o número de e,ua4Fes ( m) é menor ,ue o número de inc?nitas (n). #ssim o sistema é poss.%el e indeterminado admitindo infinitas solu4Fes. # diferen4a entre o número de inc?nitas ( n) e o número de e,ua4Fes ( m) de um sistema nessas condi4Fes é chamada grau de indeterminaç!o (3I): 30 = n − m
0ara resolvermos um sistema indeterminado procedemos do seuinte modo: •
onsideramos o sistema em sua forma escalonada:
x + $ + # − t = & − $ − # + "t = > 1" + 12 # − &t = "! •
alcular o rau de indetermina45o do sistema nessas condi4Fes: 3@ n = m = " 1
omo o rau de indetermina45o é 1 atribu+mos a uma das inc?nitas um valor conhecido e resolvemos o sistema em fun45o desse valor.
α
supostamente
'!
Lazendo t = α e substituindo esse valor na "V e,ua45o obtemos: 12 # − &α = "! ⇒ 12 # = "! + &α ⇒
#
=
"! + &α 12
⇒
#
=
' + α 2
onhecidos z e t< substitu+mos esses valores na 2V e,ua45o ( − $ − # + "t = −1") : ' + α − $ − ⋅ + "α = −1" ⇒ − $ − 1! − 2α + "α = −1" ⇒ − $ + α = −1" + 1! ⇒ − $ = −α − " 2 ⇒ $ = α + " onhecidos z e t e B< substitu+mos esses valores na 1V e,ua45o ( x + $ + # − t = & ) :
' + α + α + " + − α = & ⇒ 2 1 − α ⇒ x =
x
2 x + 2α + & + ' + α − 2α = 12 ⇒
2 x + α + 11 = 12 ⇒
2 x = 1 − α
2
#ssim a solu45o do sistema é dada por:
1 − α ' + α = α + " α 2 2 sendo α ∈ ' . /
0ara cada valor ,ue se/a atribu+do a
α
encontraremos uma ,udrupla ,ue é solu45o para o sistema.
49S.: e 3I P1 ent5o daremos valores e,ua4Fes).
α β a
todas as inc?nitas livres (,ue n5o iniciam
'1
% ISTA DE 3A I ') (-L0N) 1) erifi,ue se os sistemas abaixo s5o normais:
x+ D+ z = 1 a) 2 x + "D + 2z = ' x − D + 2z = − 2 x + "D + z = B c) x + D − z = ! "x + D = C
x − "D − z = & b) x + D + 7z = 17 − x + & D + &z = 1C
2) 9etermine os valores de U ∈ N para ,ue os sistemas se/am normais:
a)
x + UD + 2z = ! − x + UD + "z = ! − 2x + D + Uz = !
b)
(U − 1)x + D = 2U (U + 1)x − 2D = 1 + "U
c)
x + D + z = 1 Ux + 2 D + "z = 7 U 2 x + D + Cz = 1
") Nesolva os seuintes sistemas lineares:
"x + D = ' a) 2x − "D = −
x + 2D − "z = C b) "x − D + z = − ' 2x + D + z = !
1 − 2x 7 D − 2 = =1 c) − "D 'x − " ) 9etermine para ,uais valores de U o sistema
x + 2D = " é: 2x + UD = 2 a) poss+vel e determinado$ b) poss+vel e indeterminado$ c) imposs+vel.
<
sistema
de
e,ua4Fes
7 x + D − "z = 1! x + D + z = & é: x + D + 0z = T
a) b) c) d) e)
@mposs+vel se 0 ≠ >1 e T ≠ B. @ndeterminado se 0 ≠ >1 e T ≠ B. @ndeterminado se 0 ≠ >1 e TB. @mposs+vel se 0>1 e T ≠ B. @mposs+vel se 0 ≠ >1 e TB.
&) Escalone classifi,ue e resolva os sistemas abaixo:
x + "D = 1 a) 'x + D = 2
z 2x − D + = & b) 2 x + D + z = !
x + D+ z = 2 c) d) 2 x + "D − 2z = "x + D − z = & x − D = 7 1 + 2 x ' D − 1 1 = = f) "x + D = " e) x + " 2D 'x + "D = " 2x − "D + z = C x + 2 D − 2z = − ' "x − D + "z = B
7) (Latec>0) 9ois casais foram a um barzinho. < primeiro paou N_ '! por 2 latas de refrierante e uma por45o de batatas fritas. < seundo paou N_ C&! por " latas de refrierante e 2 por4Fes de batatas fritas. 8esse local e nesse dia a diferen4a entre o pre4o de uma por45o de batas fritas e o pre4o de uma lata de refrierante era de: a)N_2!! b)N_1B! c)N_17' d)N_1'! e)N_12! B) (-nifor>E)-m pacote tem B balas: alumas de hortel5 e as demais de laran/a. e a ter4a parte do dobro do número de balas de hortel5 excede a metade do de laran/as em unidades ent5o nesse pacote h: a) iual número de balas dos dois tipos b) duas balas de hortel5 a mais ,ue de laran/a c) 2! balas de hortel5 '2
d) 2& balas de laran/a e) duas balas de laran/a a mais ,ue de hortel5 C) (-9%>MS)
<
sistema
− x + 2 $ + # − 2 = ! x + 2 $ − 2 # = ! é: x − $ + 1! # − & = ! 2 x + 7 $ − ' # − 2 = ! a) b) c) d) e)
12) (-L>#I)
imposs+vel homo*neo determinado indeterminado com uma varivel arbitrria. @ndeterminado com duas variveis arbitrrias.
1!) (efet>0N) 0ara a festa do 8atal uma crche necessitava de 12! brin,uedos. Necebeu uma doa45o de N_"7!!!. Esperava>se comprar carrinhos a N_2!! cada bonecas a N_"!! e bolas a N_"'!. e o número de bolas deveria ser iual ao número de bonecas e carrinhos /untos a solu45o seria comprar: a) &! bonecas "!carrinhos e "! bolas b) 2! bonecas !carrinhos e &! bolas c) "! bonecas "!carrinhos e &! bolas d) 2' bonecas 'carrinhos e 7! bolas e) ! bonecas 2!carrinhos e &! bolas 11) (-nificado> N`) 0ara ,ue valores de U existe
uma única matriz
a) U ≠ >1 b) U>2
x $
tal ,ue
c) U>2 ou U1 d) U ≠ >2 e U ≠ 1 e) U ≠ 2 e U ≠ >1
(− 1 x2 ! =\ − 1 $( !
a) b) c) d) e)
<
sistema
ax + 2 $ = " bx − $ = 1
variveis reais x e D é: poss+vel e determinado a b∈ N. poss+vel e indeterminado se a 2b. poss+vel e determinado se a ≠ 2b. N. poss+vel e indeterminado se a >2b. imposs+vel se a >2b.
nas
a b ∈
1") (L. M. SriOnulo Mineiro>M3) Em tr*s mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seuinte forma: Ham@r'uer Refri'erante Mesa
8orção de fritas
2 2 1 & B " 2 2 " 1 # conta da 1V mesa foi N_1B!! e da 2V mesa N_"!!!. om esses dados: a) é poss+vel calcular a conta da "V mesa e apenas o pre4o unitrio do refrierante. b) é poss+vel calcular a conta da "V mesa mas nenhum dos pre4os unitrios dos tr*s componentes do lanche. c) é poss+vel calcular a conta da "V mesa e além disso saber exatamente os pre4os unitrios de todos os componentes do lanche. d) n5o é poss+vel calcular a conta da "V mesa pois deveriam ser fornecidos os pre4os unitrios dos componentes do lanche. e) é imposs+vel calcular a conta da "V mesa e os pre4os unitrios dos componentes do lanche pois deve ter havido um erro na conta da 1V ou da 2V mesa.
Respostas 1) a) im
b) im
2) a) XU ∈ N W U ≠
c) 85o 1 ± 11 2
Y
1
b) XU ∈ N W U ≠ − Y "
c) XU ∈ N W U ≠ 2 e U ≠ "Y ") a) X(1 2)Y b) X(2 >1 >")Y c)X(> >")Y ) a) U ≠
/ U ∈ N b) ∃
c) U '"
') alternativa d)
' " 1 1
&) a) poss+vel e determinado$ b)poss+vel
e
indeterminado$
− α − α p ∀ α ∈ N
c) poss+vel e determinado$ {(1−2 1)} d)poss+vel e indeterminado$
{( 2 − 'α α α) p ∀ α ∈ N }
" 2
e) poss+vel e determinado$ 2 f) sistema imposs+vel$ {
}
7) alternativa b) B) alternativa a) C) alternativa c) 1!) alternativa e) 11) alternativa e) 12)alternativa e) 1") alternativa a)
'
ISTA ETRA DE SISTEMAS I5EARES 1>) Nesolva os sistemas abaixo e classifi,ue>os como 0 0@ ou @.
x + 2 $ − " # = a>) 2 x + " $ + # = ' x + 7 $ − 2 # = 12
x + 2 $ − " # = b>) " $ + 2 x + # = ' 7 $ − 2 # + x = 1"
'7"2 x + 21" $ + 21" # = 7B&& d>) 21" x + '7"2 $ + 21" # = &7! 21" x + 21" $ + '7"2 # = 11&
x − 2 $ + " # = c>) 2 x − $ + & # = ' 2 x − & $ + C # = 12
x + " $ + ' # + 7 4 = 12 " x + ' $ + 7 # + 4 = ! e>) ' x + 7 $ + # + "4 = 7 x + $ + " # + '4 = 1&
x − 2 $ + # + t = 1 >) 2 x + $ − 2 # + 2t = ! x + & $ = − 2
2>) 9etermine para ,ue valores de m e n o sistema
2 x − $ + " # = 1 x + 2 $ − # = se/a: " x + $ + m# = n
a>) @ndeterminado b>) imposs+vel
Respostas 1?= a?= @ (! >1) !?= @ (! >")
@?= 0@ X(x D z) ( − 2 −17α " +1!α d?= 09 X(x D z) (1 >1 2)Y
e?= 09 X(x D z ) (1 >1 ! 2)Y f?= @ (! >112) '?= X(x D z t)
2?= a?= m 2 e n ' @?= m 2 e n
≠'
& − 2α −1! + α 1 + 'α α Y 27 27 27
)Y
α
x + # = 2 $ + # = f>) x + $ = ' x + $ + # = !
I ? A8I7ANOES DE SISTEMAS I5EARES E/emp"os 1) Sr*s irm5os 0aula `úlia e #ndré ao confrontarem suas contas de telefone celular ficaram curiosos em saber ,uanto custou um minuto de cada tipo de lia45o realizada. #s rr*s contas apresentaram lia4Fes para telefones fixos e m?veis (celulares) e lia4Fes internacionais para %uenos #ires onde moram seus primos. # tabela informa o tempo (em minutos) das lia4Fes ,ue cada um efetuou e o valor correspondente da conta / descontado o pre4o da assinatura. Pi/o MGe" Interna!iona" a"or >9uenos Aires= 8au"a 1! min & min 2 min 122! F"ia 1 min min " min 1"! Andr+ B min ' min ' min 17! amos denominar x D e z os pre4os do minuto de lia45o para telefones fixos para telefones m?veis e para %uenos #ires respectivamente.
9esta forma • # conta de 0aula é dada por: 1!x ; &D ; 2z 122! • # conta de `úlia é dada por: 1x ; D ; "z 1"! • # conta de #ndré é dada por: Bx ; 'D ; 'z 17! #s tr*s e,ua4Fes acima constituem um exemplo de aplica45o de sistema linear.
2) (E->N`)
oa
8rodutos
A
aneta Iapiseira aderno orretor
9
8reço unitQrio >R= "!! '!! !! 2!!
Despesa >R= '!!! !!
abendo ,ue ela ad,uiriu a mesma ,uantidade de canetas e cadernos além do maior número poss+vel de lapiseiras o número de corretores comprados foi iual a:
a) 11
b) 12
c) 1"
d) 1
") (0-) #lfeu %ento e intia foram a uma certa lo/a e cada ,ual comprou camisas escolhidas entre tr*s tipos astando nessa compra os totais de N_1"!! N_ 11'!! e N_ B!! respectivamente. e/am as matrizes: ! A = 1 2
" ! 1
x ' e 5 = $ tais ,ue: # !
os elementos de cada linha de # correspondem As ,uantidades dos tr*s tipos de camisas compradas por #lfeu (1V linha) %ento (2V linha) e +ntia ("V linha)$ • os elementos de cada coluna de # orrespondem As ,uantidades de um mesmo tipo de camisa$ • os elementos de J correspondem aos pre4os unitrios em reais de cada tipo de camisa. 8essas condi4Fes o total a ser pao pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: a) N_'"!! b) N_''!! c) N_'7!! d) N_&2!! e) N_&'!! •
) (unesp>0) -m orfanato recebeu uma certa ,uantidade x de brin,uedos para ser distribu+da entre as crian4as. e cada crian4a receber tr*s brin,uedos sobrar5o 7! brin,uedos para serem distribu+dos$ mas para ,ue cada crian4a possa receber cinco brin,uedos ser5o necessrios mais ! brin,uedos. < número de crian4as do orfanato e a ,uantidade x de brin,uedos ,ue o orfanato recebeu s5o respectivamente: a) '! e 2C! b) '' e 2"' c) '' e 22! d) &! e 2'! e) &' e 2&'
