TRABAJO COLABORATIVO DOS
TUTOR: JOSE ADEL BARRERA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE LAS CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA METODOS NUMERICOS 2015
2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss Seidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis. 0.1 X1 + 7.0 X2 – 0.3 X3 = -19.30 3.0 X1 – 0.1 X2 – 0.2 X3 = 7.85 0.3 X1 – 0.2 X2 – 10.0 X3 = 71.40 Utilizar un ξ = 0.001
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
E4:
1 +70 −3 −193
1:2:03..10 −0.+ 71 −0. 3 −19. 3 0 −0. 2 7. 8 5 3:0.3 −0.2 −10 71.40
Multiplicar la -3f1+f2
E5:
−3 −210 +9 579 3 −0.1 −0.2 7.85
−210.1 +8.8 586.85
Multiplicamos -0.3f1+f3
E6:
−0.3 −21 +0.9 57.9 0.3 −0.2 −10 71.40 −21.2 −9.1 129.3 −210.1 +8.8 586.85 : 2 −0.0423 −2.793 21.22 −0.893 −59.21 −21.2 −9.1 129.3 −9.99 70.09 .1 +7 −0.3 −19.30 −210.1 +8.8 586.85 −9.99 70.09 3 −7.016 −210.1 +8.8−7.016586.85 −210.1 −61.74586.85
Convertir
E7
Multiplicar 21.2E7+E6
E8:
−210.1 648.59 2 −3.09 .1 +7−3.09 −0.3−7.016 −19.30 .1 −21.63+2.10−19.30 .1 −19.30+19.53 .1 0.23 1 2.3 . −. {−. .12.3 +7−3.09 −0.3−7.016 −19.30 −19.2952−19.30 Solución:
MÉTODO GAUSS-JORDAN
Dividimos la f1/0.1
-3f1+f2 -0.3f1+f3
Dividir f2/-210.1
1:2:03..10 3:0.3 0.3.10 0.3
+−0.71 −0. 3 −19. 3 0 −0. 2 7. 8 5 −0.2 −10 71.40 7−0.1 −0.−0.23 ⋮⋮−19.7.8350 −0.2 −10⋮ 71.40
13.0 −0.701 −0.−3⋮−193 2 ⋮ 7. 8 5 0.3 −0.2 −10⋮ 71.40 10 −210.70 1 −3⋮−193 8. 8 ⋮ 586. 8 5 0 −21.2 −9.1 ⋮ 129.3 10 701 −0.−3⋮−193 0 42 ⋮ −2. 7 93 0 −21.2 −9.1 ⋮ 129.3
-70f2+f1 21.2f2+f3
10 0 10 0
f3/-9.99
Multiplicar 0.042f3+f2 0.06f3+f1
Solución. :
. −. {−.
01 0 01 0
−0. 0 6 ⋮2. 5 1 −0.−9.0942⋮9⋮ −2.70.70939 −0. 0 6 ⋮2. 5 1 −0.1⋮042⋮− 7.−2.016793
10 10 0⋮0⋮2.−3.0099 0 0 1⋮ − 7.016 .12.09 +7−3.09 −0.3−7.016 −19.30 −19.3162−19.30
METODO DE GAUSS-SEIDEL Se despejan las variables sobre la original
. +. +. . −. +. . −. +. . .
Tomamos como valores iniciales a X2=0 y X3=0, Calculamos X1
Este valor más el de X3 lo tomamos para calcular X2
−.−.. . La primera iteración la completamos sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:
.−.. +.−. . Hacemos lo mismo con la segunda iteración
.+.−. +.. . .−.. +.. . .−.. +.. . − .−. − −.−−.. − .−.. − ≤& ,,
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
No se cumple la condición
Entonces se toman los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente iteración.
.+.−. +.. . .−.. +.. −. .−.. +.−. . Comparando de nuevo los valores obtenidos
− .−. − −.−−.. − .−.. − ≤& ,,
No se cumple la condición
.+.−. +.. . .−.. +.. −. .−.. +.−. . − .−.. − −.−−.. − .−.. Comparando los valores obtenidos
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
. −. .
ANALISIS COMPARATIVO DE LOS METODOS USADOS
Haciendo un breve análisis de los métodos Gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel, utilizados para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales, se puede dec ir que los métodos Gauss y GaussJordan, ofrecen una mayor complejidad en la resolución de este tipo de ecuaciones y sus resultados son imprecisos, mientras que el método Gauss-Seidel, ofrece una mayor precisión en los resultados obtenidos y su forma de desarrollar mediante iteraciones es más fácil de rea lizar.
3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, GaussJordán y Gauss-Seidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis. 17 X1 – 2 X2 – 3 X3 = 500 – 5 X1 + 21 X2 – 2 X3 = 200 – 5 X1 – 5 X2 + 22 X3 = 30 Utilizar un ξ = 5%
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Multiplicar la 5f4+f2
20.4 −2.9 347.05
1: 1 7 − 2 −3 500 2:3:−−5.50 +−521 +22 −2 20030 −0.12 −0.18 29.41 5 −0.6 −0.9 147.05 −5.0 +21 −2 200
Multiplicamos 5f4+f3
5 −0.6 −0.9 147.05 −5 −5 +22 30 = −5.6 +21.1 177.05 20.4 −2.9 347.05 : 2 −0.143 17.01 5.6 2 −0.783 95.25 −5.6 +21.1 177.05 :20.32 272.3
Convertir
E7
Multiplicar 5.6E7+E6
3 272. 20.32 13.4 3 13.4 20.4 −2.9 347.05 20.4 −2.913.4 347.05
Solución:
{. .
20.4 −38.86347.05 20.4 385.91 2 18.92 17 − 218.92 −313.4 500 17 − 37.84−40.2 500 500+37.1784+40.2 34 17 − 2 −3 500 1734 − 218.92 −313.4 500 499.96500
MÉTODO GAUSS-JORDAN
Dividimos la f1/17
5f1+f2 5f1+f3
1: 1 7 − 2 −3 500 2:3:−−5.50 +−521 +22 −2 20030 17 −2 −3 ⋮ 500 −5.−50 −521 −222 ⋮⋮ 30200 1−5.0 −0.2112 −0,−218 ⋮⋮ 200 29.41 −5 −5 22 ⋮ 30
Dividir f2/20.4
0.12f2+f1 5.6f2+f3
10 0 10 0
−0.20.142 −5.6 −0.112 −5.6 10 10 00 10 10 00
F3/20.32
−0,−2.189 ⋮⋮ 21.1 ⋮ −0,−0.1814 ⋮⋮ 21.1 ⋮ −0.−0.2014 ⋮⋮ 20.32 ⋮ −0.−0.2014 ⋮⋮ 1 ⋮
29.347.4105 177.05 29.17.4011 177.05
29.31.4415 272.31 29.31.4415 13.40
Multiplicar 0.14f3+f2 0.20f3+f1
Solución. :
{ . . .
MÉTODO GAUSS-SEIDEL
10 10 0 0
00 ⋮⋮ 32.33.0933 1 ⋮ 13.40
17 − 2 −3 500 1732.09 − 233.33 −313.40 500 439 500 1: 1 7 − 2 −3 500 2:3:−−5.50 +−521 +22 −2 20030
Iteración 1 Suponemos que
500+217 +3 200+5.210 +2 30+5.022 +5.0 0 0 y
50017 29.41 29.41 0 200+5.21029.41 347.2105 16.53 30+5.029.4221 +5.016.53 259.22 7 11.80 29.41 16.53 11.80 500+216.5173 +311.80 568.1746 33.44 33.44 200+5.033.2144 +211.80 390.2180 18.61 30+5.033.4224 +5.018.61 290.2225 13.19 33.44 18.61 13.19 500+218,6171 +313.19 576.1779 33.93 Sustituimos
y
Iteración 2 ,
y
Iteración 3 ,
y
en
Solución. :
{ . . .
33.93 200+5.033.2193 +213.19 396.2103 18.86 30+5.033.9223 +5.018.86 293.2295 13.36 17 − 2 −3 500 1733.93 − 218.86 −313.36 500 499.51 500
5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.
X Y=f(x)
1 -2
3 1
5 2
7 -3
−− + − − − + −− − + − − − − − − − − − − − − − − − −
−2 −3−5−7 1−31−51−7 +1 −1−5−7 3−13−53−7 +2 −1−3−7 5−15−35−7 −3 −1−3−5 7−17−37−5 −1−5−7 −1−3−7 −1−3−5 −2 −3−5−7 −48 +1 16 +2 −16 −3 48 −1−5−7 −1−3−7 − −1−3−5 −3−5−7 24 + 16 − 8 16 161 −1−5−7−−3+[18 −3−7]−5 3 −−1 161 −6+5−7−+3+[18 −10+21]−5 3 −−1 161 −6+5−4+[18 −10+21]−5−3−3 3 161 −6+5−4+[18 −10+21][−5−3+3 3 ] 161 −6+5−4+[18 −10+21][−2−2 3 ] −14 −6+5+[18 −10+21][+13]−2 −14 −6+5−[14 −10+21][+13] −4 − 32 + 54−4 − 52 + 214[+13] −4 − 32 + 54−12+ − 5 6+5 + 21+21 12 − 4 + 32 − 54 − 12 − 12 + 56 + 56 − 2112 − 2112 − 12 + 2 + 712 −3
6. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x =3
X y
7 1430
6 908
4 278
2 40
-4 -242
+−+−−+−−− 1430 −522 , −, 908−1430 6−7 −1 522 −630 , −, 278−908 4−6 −2 315 −238 , −, 40−278 2−4 −2 119 , −242−40 −282 47 , − −4−2 −6
Primeras diferencias divididas
Segundas diferencias divididas
, 315−522 −207 69 ,, , − − 4−7 −3 , 119−315 −196 49 ,,, , − − 2−6 −4 , 47−119 −72 9 ,,, , − − −4−4 −8
Tercera diferencia
,, 49−69 −20 4 ,,, ,, − − 2−7 −5 ,, 9−49 −40 4 ,,, ,, − − −4−6 −10 1430+522−7 +69−7−6 +4−7−6−4 1430+522−3654+69 −13+42+4 −13+42−4 1430+522−3654+69 −897+2898+4 −13 +42−4 +52−168
1430+522−3654+69 −897+2898+4 −52 +168−16 +208−672 4 + ++2 2 42 +2 +2+2 2 40 3 43 +3 +3+2 3 122 7. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x = -14/15
X 0 -1 -1/3 -2/3 y -2 -4 -8/3 -32/9 Se organizan los datos detal forma que los valores de x esten de menor a mayor X Y
-1 -4
-2/3 32/9
-1/3 -8/3
0 -2
+−+−−+−−− −4 32 4 − − −4 , 9 , − − 2 − −1 91 43 3 3 83 −− 329 89 8 − , , − − 1 −− 2 1 3 3 3 3 8 2 −2+ , 3 , − 1 31 2 3 3
Primeras diferencias divididas
Segundas diferencias divididas
Tercera diferencia
8 4 4 − , − , ,, − −31 +13 32 2 3 3 8 2 2− − , − , 3 ,,, − 0+ 2 23 −1 3 3
,, −1−2 −3 −3 ,,, ,, − − 0+1 1 −4+ 43 +1 +2+1 (+ 23)−3+1 (+ 23)(+ 13) −4+ 43 + 43 +2( + 53 + 23)−3( ++ 29 ) +1 −4+ 43 + 43 +2 + 103 + 43 −3( + + 29 + ++ 29 ) −4+ 43 + 43 +2 + 103 + 43 −3( +2 + 119 + 29 ) −4+ 43 + 43 +2 + 103 + 43 −3 −6 − 113 − 23 −3 −4 +−2 14 14 14 14 14 − 15 (− 15)−3(− 15) −4(− 15) +− 15−2 − 1415 (− 1415)− 1492 375