UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
INTRODUCCION Los futuros ingenieros civiles deben tener dominio de estos conceptos mecánicos que sustentan los sistemas de la ingeniería y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y predecir el comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional. COMPETENCIAS
- Analizar todo tipos de métodos de derivadas parciales la mecánica de los fluidos - Interpretar los métodos y procedimientos utilizados en la solución de problemas prácticos de Ingeniería Civil mediante la Teoría aplicaciones de derivadas parciales en la ingeniería civil.
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APLICACIONES DE MÍNIMOS Y MÁXIMOS EN LA INGENIERÍA CIVIL 1.Aplicacionesde MáximosyMínimos
Los puntos máximos y mínimos locales de la gráfica de una función son lugares donde la curva adopta una forma transitoriamente horizontal, más o menos como una carretera que va subiendo a una montaña, cuando alcanza la cima, al menos una pequeña sección de la carretera queda totalmente horizontaly lo mismo ocurre en los valles. Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la solución de algunos problemas prácticos. expresarse enunciados
verbalmente o por escrito. en formulas,
Para
Estos problemas pueden
resolverlos hay que transformar sus
funciones o ecuaciones. Como hay muchos tipos de
problemas en las aplicaciones, es difícil enunciar reglas específicas para encontrar sus soluciones.
Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar tales problemas
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2. Aplicaciones en ingeniería civil
las
ramas
de
Dentro de las aplicaciones del cálculo vectorial a la ingeniería civil, es posible encontrar
numerosos
ejemplos
en
Latinoamérica, en especial en la parte geométrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimización del área agrícola en los andenes incas, donde se presenta claramente
un
ejemplo
de
curvas
de
contorno y de maximización del área. También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creacion de la humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la humanidad. A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en la civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utilizaron la geometría en gran cantidad por ejemplo en la construcción o creacion de los andenes incas o las pirámides mayas. En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun así como en todo no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana a él.
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2.1Transportes:Rama ingeniería
de
la
DISEÑO DE CARRETERAS En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la curva como tal. FUNCIÓN: El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de estética de toda la carretera VALORES MAXIMOS: Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan considerablemente, de hecho, el máximo factor para excederse es de 1.5. En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura y derivadas parciales de (máximos y mínimos) en la vida real.
Puente JuscelinoKubitschek, Brasilia
(Brasil). Aquí se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseño tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores
máximos
planteados
por
la
reglamentación.
Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en estos trazados.
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Construcción de una carretera. Antes de iniciar
un
proceso
constructivo
de
una
carretera, es necesario que se lleven a cabo una
gran
conllevaran
cantidad
de
posteriormente
estudios a
un
que diseño
preliminar. En este diseño la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor.
ANDENES INCAS Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio geométrico que debió tener lugar durante su diseño y construcción. La civilización inca es conocida por muchas características que la han hecho cada vez más famosa, pero quizá uno de sus principales logros fue la erradicación del hambre por medio de
innumerables
técnicas
e
investigaciones en el área de la biología. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montañas secas y rocosas de las que se componía su territorio para construir varios andenes o terrazas que sirvieran como apoyo a sus cultivos agrícolas. Para conseguir la construcción de estas estructuras fue necesario un trabajo y un desarrollo tecnológico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar varios muros de contención, los cuales posteriormente debieron ser llenados con piedras o arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de tierra lo suficientemente fértil.
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Calculo II Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener la fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil y el terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para mantener la fertilidad de sus terrenos. Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de contorno. Por ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma cónica donde la base se encuentra definida por la ecuación: El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades del origen, al ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado, teniendo en cuenta que la simetría se mantiene entre la curva de la base y el origen, entonces la ecuación que describe la superficie de la colina podría ser: Superficie original dibujada con el programa Maple.
Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como:
Donde:
z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas. K es un número real. Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie original, se puede encontrar un gráficomás aproximado de la situación real. Superficie con las curvas de contorno proyectadas.
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2.2 Hidrología: Rama de la ingeniería Problemas de aplicaciones de máximos y mínimos En esta sección se muestra cómo usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: “problemas de aplicaciones” o “problemas de optimización”. Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general. Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen extremos absolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera más fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.
TEOREMA 1 (Criterio de la segundaderivada para extremos relativos) Sea f unafuncióndosvecesderivableenunintervaloabierto I, sea c unpuntode I, tal que f'(c)0. Entonces: i. Si f''(c) 0, entonces, f presenta un máximo relativo en c. ii. Si f''(c) 0, entonces, f presenta un mínimo relativo en c. Observación: Si f''(c) 0,entonces,lanaturalezadelpuntocrítico c noquedadeterminada, como lo ilustran los siguientes casos: Lafunción, f(x)=x4, satisface: f’(0)=0 y f’’(0)=0. Sinembargo,f(x) presenta un mínimo relativo en x = 0(fig. 4.21 (a)).
2.2.1 CANALES ABIERTOS
Aplicarlasderivadasparadeducirunafórmula degranempleoenelanálisisde canalesabiertos Laaplicaciónse daenlalínea deaguas,másespecíficamente,eneldiseñodecanales.
PLANTEAMIENTODELPROBLEMA Sharon Adriana Leiva Marin Cód.: 013200135-C
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Calculo II Sesabe quelaecuaciónde energíaespecíficade unflujoenuncanal abiertodesección rectangulareslasiguiente:
Donde Yeslaprofundidaddelflujoenelcanal g eslaaceleracióndegravedad qeselcaudal porunidaddeancho,es decir, la cantidaddeaguaque pasaenrelaciónal tiempoy al anchodelcanal Encuentre unaexpresión quemuestreel valordey paraquelaenergíaespecificasealamínima Solución Derivamosrespectoay,
Igualandoladerivadaa0y despejandoytenemos
2.2.1 ALMACENAIENTO DE AGUAS
Aplicarlasderivadasparaencontrarlasdimensionesde untanqueoptimizandoel gastodematerial Construiruntanque de almacenamientoquetenga cierta capacidadoptimizandolasdimensiones constructivas.
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Calculo II Sedeseaconstruiruntanquecilíndricoen elquelabaseylaparedtienenelmismoespesor(e)y sonhechosdelmismomaterial.Sielvolumenquedebetenereltanqueesde100 ,encuentre elradioen labaseparaelcualseconstruyeuntanqueconestacapacidadgastandoelmínimo material posible.
El volumendelcilindroestádadoporlasiguienteformula:
Ahorabienel gastodematerial,depende delasiguientefunción:
Igualamosladerivadaa 0,
Esdecir, conesteradioobtenemosel material mínimoparala construccióndeestetanque.
2.2.1.1 EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE Sharon Adriana Leiva Marin Cód.: 013200135-C
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CONCLUSIONES Es de suma importancia conocer como es la aplicación de derivadas parciales máximos y mínimos dentro de nuestra carrera dado que en futuro nos servirá para posteriores trabajos dentro del campo profesional así como nos brinda conocimientos y una formación en relación del cálculo vectorial aplicado a la ingeniería.
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Bibliografía blogspot. (marzo de 2007). Obtenido de blogspot: http://ricardovazcalculo.blogspot.com/ ingenierocivilinfo. (octubre de 2010). Obtenido de ingenierocivilinfo: http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/10/propiedades-del-acero.html apuntesingenierocivil.blogspot. (marzo de 2011). Obtenido de apuntesingenierocivil.blogspot.: http://apuntesingenierocivil.blogspot.com/2011/03/limites-de-atterberg-ensayo-limite.html viceacad. (octubre de 2012). Obtenido de viceacad: http://www.ing.unal.edu.co/viceacad_/images/stories/viceacad/programas/tutorias/Ejercici os_Ing_Civil_-_2012-1.pdf Nash, W. (2007). Resistencia de materiales. Mexico D.F: Mc Graw-Hill. Singer, F. (2006). Resistencia de materiales. California: Harpes & Raw. young, S. T. (2003). Elementos de resistencia de materiales. Buenos Aires: Montaner y Simon.
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