UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS E.A.P E.A. P. INVESTIGACION INVESTI GACION OPERATIVA OPERATIVA
METODOS NUMERICOS I
APLI CACI ÓN DE LOSMETODOSNUMERI COSEN LA I NGENI ERI A QUI MI CA
PROFESOR:
JUAN TOLEDO
GRUPO:
N°4
ALUMNOS: ALUMNOS: ROJAS ZAPA ZAPATA CRISTIAN CALLUPE ARTICA 11140078
11140323 MIREYA
BALVIN AURIS KARINA
1114027 C!"#$# U%!&'()!*$(!$+ ,"-! #'- 2013
APLICACI/N DE LOS METODOS NUMERICOS EN LA INGENIERIA UIMICA I.
OBJETIVO
- Comparar los resultados de la aplicación de los métodos numéricos NewtonRaphson y Bisección a un problema de ingeniería química sobre termodinámica utili utiliza zando ndo como como unc uncio ione nes s la !cua !cuaci ción ón "ener "eneral al de los "ase "ases s #dea #deales les y la ecuación de $an der %aals&
I I.
CONCEPTOS PREVIOS 1. ESTADO ESTADO GASEOS GASEOSO O GASES GASES
!s el estado de agregación molecular de la materia' donde las moléculas se encuentran en mo(imiento caótico )desorden molecular o entropía* debido a su alta energía cinética' es decir sus moléculas están separadas debido a que la uerza de repulsión pre(alece sobre la uerza de atracción& +a orm orma a y (olu (olume men n de una una sust sustan anci cia a en esta estado do gase gaseos oso o depe depend nde e del del recipiente que lo contiene& +a palabra ,"./ ue inicialmente usada por el ísico belga $an 0elmont' a las sustancias que se desprendían al quemar madera&
2. PROPIEDADES DEL ESTADO ESTADO GASEOSO Considerando a un con1unto de moléculas )propiedades macroscópicas*&
A. COMPRESION 2omando 2omando como reerencia el tama3o de las partículas de un gas' e4iste una gran distancia de espacio (acío entre ellas' lo que hace posible su comprensión o compresibilidad' es decir' la reducción o disminución de los espacios (acíos entre sus moléculas' esto se logra aumentando la presión y5o disminuyendo la temperatura&
B. EXP EXPANSI ANSION ON
BALVIN AURIS KARINA
1114027 C!"#$# U%!&'()!*$(!$+ ,"-! #'- 2013
APLICACI/N DE LOS METODOS NUMERICOS EN LA INGENIERIA UIMICA I.
OBJETIVO
- Comparar los resultados de la aplicación de los métodos numéricos NewtonRaphson y Bisección a un problema de ingeniería química sobre termodinámica utili utiliza zando ndo como como unc uncio ione nes s la !cua !cuaci ción ón "ener "eneral al de los "ase "ases s #dea #deales les y la ecuación de $an der %aals&
I I.
CONCEPTOS PREVIOS 1. ESTADO ESTADO GASEOS GASEOSO O GASES GASES
!s el estado de agregación molecular de la materia' donde las moléculas se encuentran en mo(imiento caótico )desorden molecular o entropía* debido a su alta energía cinética' es decir sus moléculas están separadas debido a que la uerza de repulsión pre(alece sobre la uerza de atracción& +a orm orma a y (olu (olume men n de una una sust sustan anci cia a en esta estado do gase gaseos oso o depe depend nde e del del recipiente que lo contiene& +a palabra ,"./ ue inicialmente usada por el ísico belga $an 0elmont' a las sustancias que se desprendían al quemar madera&
2. PROPIEDADES DEL ESTADO ESTADO GASEOSO Considerando a un con1unto de moléculas )propiedades macroscópicas*&
A. COMPRESION 2omando 2omando como reerencia el tama3o de las partículas de un gas' e4iste una gran distancia de espacio (acío entre ellas' lo que hace posible su comprensión o compresibilidad' es decir' la reducción o disminución de los espacios (acíos entre sus moléculas' esto se logra aumentando la presión y5o disminuyendo la temperatura&
B. EXP EXPANSI ANSION ON
Cuando se calienta una muestra de gas' aumenta la (elocidad promedio de sus partículas' las cuales se mue(en en un espacio mayor' dando como resultado el aumento de su (olumen&
C. DIFU DIFUSI SION ON Cuand uando o dos dos gas gases entran ran en conta ntacto' se mezclan has hasta que quedar dar uniormemente repartidas las partículas de uno en otro' esto es posible por el el gran espacio e4istente e4istente entre sus partículas y por su continuo mo(imiento )alta energía cinética y alta entropía*&
D. EFUS EFUSIO ION N !s el proceso por el cual las moléculas de un gas escapan por un 6no ori6cio debido a una (ariación de presión a una temperatura constante&
3. VARIABLES ARIABLES TERMIDIN TERMIDINAMIC AMICAS AS A. PRESION 7n gas e1erce presión debido al choque incesante de las moléculas contra las paredes interiores del recipiente que lo contiene& +a presión de un gas se mani6esta en dierentes direcciones con igual intensidad en cualquier parte interior del recipiente que lo contiene& +as unidades de medida de la presión se representan por el cociente de las unidades de uerza entre las de super6cie8 g5cm9' :g5cm9' lb5in9' etc& !qui(alencias de la presión8 ;resión atmosérica8 < atm= >?@ mm0g = >?@ 2orricelli = <@< :;a
B. VOLUM OLUMEN EN !l gas debido a su alta energía cinética ocupa todo el (olumen del recipiente' por lo cual su (olumen es igual al (olumen del recipiente que lo contiene&
+as unidades de medida del (olumen son8 centímetros cAbicos )cm* decímetros cAbicos )dm*' metros cAbicos )m*' litros )+* mililitros )m+*' :ilolitros ):+*' etc& !qui(alencias <+ < dm =
= <@@@ m+ <@@ cm < cm <@@@ + <@@@ +
C. TEMPERATURA !s la medida de agitación de las moléculas de gas' en las leyes del estado gaseoso se utilizan solo escalas absolutas' en el .# la temperatura se mide en el(in )*& = DC E F>G ;ara el modelo de gases ideales' la temperatura se de6ne como la medida de la energía cinética promedio que tienen las partículas de un sistema&
4. UNIDADES UIMICAS A. MOL (n) 7nidad de medida ).#* de la cantidad de sustancia )n*& 7n mol se de6ne como la unidad de cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en @&@
23
6,022∗10
átomos' a este nAmero se le conoce como NAmero de (ogadro en honor al Juímico #taliano madeo (ogadro& < mol =
23
6,022∗10
átomos = < Numero de (ogadro&
B. VOLUMEN MOLAR (V) !s el (olumen ocupado por un mol de gas a cierta condición de presión y temperatura& $m= $5n = +5mol ;ara comparar los (olAmenes de las sustancias gaseosas que inter(ienen en los procesos ísicos y químicos es necesario que se encuentren en las mismas condiciones de presión y temperatura& rbitrariamente se han establecido unas condiciones denominadas condiciones normales que son8 ; =
?@ mm0g = >?@ 2orricelli = <@< :;a 2 = @DC = F>G Ke acuerdo con la ley de (ogadro' un mol de cualquier gas ocupa el mismo (olumen que un mol de cualquier otro gas' cuando los (olAmenes se miden en las mismas condiciones de temperatura y presión& !s decir un mol de cualquier gas' en condiciones normales' ocupa siempre el mismo (olumen' este (olumen es e el (olumen molar y es de FF&L litros&
. TEORIA CINETICA MOLECULAR DE LOS GASES Cuyos postulados principales son8 M&<+os gases están constituidos por peque3as partículas que están separadas por distancias mucho mayores que sus propias dimensiones& +as partículas pueden considerarse como puntos es decir' poseen masa pero tienen un (olumen despreciable comparado con el (olumen que los contiene& M&FKebido a que las partículas de gas permanecen separadas' entre ellas no e4iste ninguna uerza de atracción o repulsión signi6cati(a y puede considerarse que se comportan como masas muy peque3as& M&G+as partículas de gas están en continuo mo(imiento en dirección aleatoria y con recuencia chocan unas con otras& +as colisiones entre las partículas son perectamente elásticas' es decir' la energía se trans6ere de una partícula a otra por eecto de las colisionesO sin embargo' la energía total de todas las partículas del sistema permanece inalterada& M&L+a energía cinética promedio de las partículas es proporcional a la temperatura del gas )en el(in*' la energía cinética promedio de una partícula está dada por8 !c = P m(F Konde8 !c = !nergía Cinética& m = Qasa de la partícula (= $elocidad de la partícula&
. GASES IDEALES Qicroscópicamente el gas ideal es un modelo abstracto' que cumple con los postulados de la 2eoría Cinética de los "ases& !l modelo más simple de un sistema de muchas partículas es el gas ideal llamado también gas perecto ó hipotético' cuyas características son las siguientes8 •
.us partículas son puntuales )(olumen despreciable*&
•
.e desplazan en línea recta y al azar&
•
Chocan entre sí y con las paredes del recipiente que los contiene&
•
+a Anica energía que tienen es la cinética&
•
+os choques son elásticos&
•
•
No tienen interacciones )uniones intermoleculares' uerzas de repulsión' etc&*& 7n gas puede considerarse ideal a altas temperaturas y ba1as presiones&
.1
LEYES DE LOS GASES IDEALES
A. LEY DE BOYLE MARIOTTE 0acia el a3o
2anto RobertBoyle como !dmeQariotte llegaron a la siguiente conclusión8 ,!l (olumen de un gas (aría de orma in(ersamente proporcional a la presión si la temperatura permanece constante&/ P1∗V 1= P 2∗V 2
B. LEY DE C5ARLES !n <>> Charles continuó con los e4perimentos' pero esta (ez mantu(o la presión constante' de esta manera (ariaban 2 )temperatura* y $
)(olumen*& !stas magnitudes resultaron ser directamente proporcionales al contrario que en el e4perimento de Boyle& medida que aumentaba 2 también lo hacía $& !n este caso matemáticamente la constante estaba dada por los cocientes entre $ y 2& $<52< = $F52F = $G52G = $n52n !ste proceso es conocido como #sobárico donde la masa y la presión son constantes&
,!l (olumen que ocupa un gas es directamente proporcional a la temperatura si la presión permanece constante&/ V 1 T 1
=
V 2 T 2
C. LEY DE GAY LUSSAC ;or otro lado "ay +ussac en <@ probó haciendo otra (ariación' esta (ez mantu(o constante al (olumen $' de manera que obser(o que ; )presión* y 2 )temperatura* se mantenían también directamente proporcionales& Cuando aumentaba una también aumentaba la otra& ;<52< = ;F52F = ;G52G = ;n52n !ste proceso es conocido como #sométrico o #socórico donde la masa y le (olumen son constantes&
,+a presión que e1erce un gas es directamente proporcional a la temperatura si el (olumen permanece constante&/ P1 T 1
=
P2 T 2
.2
ECUACION GENERAL DE LOS GASES IDEALES
+as leyes de Boyle y de Charles pueden cambiarse para proporcionarnos una ley más general que relacione la presión' el (olumen' y la temperatura& Consideremos una masa de gas que ocupa un $olumen $ < a la temperatura 2 < y presión ;<& .upongamos que manteniendo constante la temperatura 2 <' se produce una interacción mecánica entre el sistema y el medio e4terior' de orma que la presión alcanza el (alor ; F y el (olumen que ocupa el gas se con(ierte en $4& ;ara este proceso se cumplirá segAn la ley de Boyle lo siguiente8 P2∗V X = P 1∗V 11.40
.i a continuación el gas interacciona térmicamente con el medio e4terior' su presión seguirá siendo ;F mientras que la temperatura pasará a 2F y por consiguiente el (olumen alcanzará el (alor $ F& ;ara este proceso de acuerdo con la ley de Charles se cumplirá lo siguiente8 V 2 T 2
=
V X T 1
1.41
#gualando las ecuaciones <&L@ y <&L< se obtiene8 P1 V 1 T 1
PV T
P 2 V 2
=
T 2
1.42
=Cte 1.43
!l (alor de la constante se determina a partir de las consideraciones de (ogadro& !ste hace uso de razonamientos de naturaleza microscópica para
1usti6car el comportamiento macroscópico de la materia de dierentes gases' que a la misma presión y temperatura contienen el mismo nAmero de moléculasO deduce que en un mol de cualquier sustancia e4iste el mismo nAmero de moléculas que calcula en ?&@FG4<@ FG& ;ara un mol la hipótesis de (ogadro se suele ormular diciendo que los (olAmenes ocupados por un mol de cualquier gas a igual presión y temperatura son iguales& !4perimentalmente se comprueba que a < atm de presión y a una temperatura de @DC ese (olumen es FF& L
= n∗Cte 1.44
donde n = m 5 Q siendo m la masa en :g y Q la masa molecular del gas
´ = constante= R
1 atm∗22.4 L 1 mol∗273 K
=
0.082 atm L mol K
sustituyendo en <&LL la constante uni(ersal ´ Tn PV = R
7. GASES REALES .1. FUERZAS DE VAN DER 6AALS !l problema inicia cuando las uerzas intermoleculares que deben estar presentes' causan que las moléculas del gas sean independientes o interdependientes unas de otras& +as uerzas intermoleculares y las uerzas eléctricas que e4isten entre las moléculas deben producir una inSuencia entre una y otra& 2ales uerzas causarán que un gas se des(íe de su comportamiento de gas ideal& !stas uerzas intermoleculares son llamadas uerzas de $an Ker %aals&
0ay tres tipos de uerzas8
7.2.1.F"'($) #' D!)'()!9% #' L%#%: las cuales e4isten entre las moléculas como resultado de un nAcleo positi(o de una molécula que atrae electrones de otra molécula& 2odas las sustancias moleculares e4hiben uerzas de +ondon&
7.2.2.L$) !%*'($;;!%') D!-D!-: las cuales son uerzas que e4isten entre las moléculas polares en donde la cola positi(a de una molécula atraen a la cola negati(a de otra& .olo las moléculas polares pueden e4hibirlo' para las uerzas de $an der %aals es considerado como el segundo más uerte
7.2.3.
L) '%-$;') "'%*') #'
e4isten entre las moléculas que tienen un átomo de hidrógeno enlazado aun átomo altamente electronegati(o' tales como el o4ígeno' nitrógeno' o SAor& !ste representa un dipolo uerte que tendrá un hidrógeno al 6nal )positi(o* atrayente de otra molécula con 6nal )negati(o*&
7.2. ECUACI/N DE VAN DER 6AALS +a ecuación del gas ideal pierde mucha e4actitud a altas presiones y ba1as temperaturas' y no es capaz de predecir la condensación de gas en líquido& ;or ello' el holandés $an der %aals consideró' que cada molécula ocupaba un (olumen peque3o pero no despreciable& ;or lo tanto' el (olumen real ocupado por el gas es algo mayor que el (olumen ideal8
$real = $ideal E $moléculas T el (olumen ocupado por las moléculas sería el producto del (olumen de cada molécula por el nAmero de moléculas& ;or otro lado' si las moléculas no son completamente independientes' sino que e1ercen uerzas de atracción unas sobre otras' la presión real del gas sería menor que la presión ideal8
;real = ;ideal U ;moléculas !sta presión intermolecular depende de la densidad del gas' es decir' de lo ale1adas que están las moléculas entre sí' ya que de haber muy pocas moléculas en un (olumen muy grande' la interacción entre ellas es muy peque3a&
Con estas dos (ariaciones sobre el modelo de gases ideales pero manteniendo el resto de las bases teóricas' $an der %aals dedu1o una ecuación con dos ,actores de corrección/ que contrarrestan los dos eectos del tama3o molecular y las interacciones entre moléculas& ;or lo que $an der %aals utiliza la ecuación de los gases ideales en términos del (olumen y la presión ,ideales/' pero despe1ando ambos de sus relaciones respecti(as con los (alores reales ;real y $real& !l holandés se dedicó a estimar tanto $moléculas como ;moléculas en términos de constantes propias de cada gas& .ustituyendo ambos actores' $an der %aals obtu(o la siguiente ecuación8
p + a V − b = RT ) V 2÷ ( ;ara obtener los (alores de las constantes a y b' e4isten dos métodos que lle(an a un similar resultado8 aplicando las condiciones de inSe4ión en el punto crítico y el otro es desarrollar la ecuación como una ecuación cAbica en (olumen& ;ero es recomendable que a y b se obtengan sólo a partir de ;c y 2c' por lo que se obtiene8 2
a=
2
27R Tc
b=
64p c
RT c 8p c
Konde8
$: #nteracciones intermoleculares >: $olumen molecular +a (irtud de la ecuación de $an der %aals es que se puede utilizar para predecir el comportamiento tanto de la región líquida como de la gaseosa' así como también predecir transiciones de ase de líquido a (aporO además predice la e4istencia de un estado crítico&
7.3. VALORES DE LAS CONSTANTES $ Y > GASES
! L2>$(?@-2
" L?@-
;!# $;*!; A%<#(!# $;*!; A;'*%$ A;'*%!*(!- A;'*!-'% A@%$; A(=9% B'%;'% B(@>'%;'% B"*$% D!9!# #' ;$(>% S"-"( #' ;$(>% M%9!# #' ;$(>% C-("( #' ;$(>% IV C-( C-(>'%'% C-('*$% C-(@'*$% C!$%9='% C!;-<'$% *'( #!'*-!; S"-"( #' #!'*!- *'( #' #!@'*!- S"-"( #' #!@'*!- E*$% E*$%*!E*$%A;'*$* #' '*!- E*!-$@!%$ F-"(>'%;'% F-"(@'*$% F('9% T'*($;-("( #' ='(@$%! 5'-! 5'$% 5!#(9='% B(@"( #' '%;'% K(!*9% M'(;"(! M'*$% M'*$%N'9%
<>&F F@&&< L&LL L&FFM <&G?G <&FL F&VL > <&M@M LG ?&M>V FM&>> <<&@M >&M>@ >&>?V FG&<< <>&?< F <@&>L F@& FF&V@ @&@GLM> FL&>< @&FL>? L&M<@ G&>
@&<@? @&@> @&@GF @&@>?M @&@GVM @&FL? @&@VF @& @&<>GM @&@F??< @&@LLG< @&@L@< @&@L?G> @&@LF> @& @&@ @&@?>@F @&@<>@V
/!# %*(!; N!*(9='% D!9!# #' %!*(9='% /!# %!*() O='% P'%*$% F)%$ P($% S!-$% T'*($H"("( #' )!-!;! D!9!# #' $"(' C-("( #' ')*$ T-"'% A="$ '%9%
III.
<&GM <&L@ M&GML G&GF <&G> >V L&G>> L&FM< ?&@G F>&F> FL&G M&MG? L&FM@
@&@F>V @&@GV? @&@MM>< @&@M?G? @&
PROBLEMA DE APLICACI/N DE LOS METODOS NUMERICOS
P(>-'@$ #' -) G$)') % I#'$-'): 7n proyecto de dise3o de #ngeniería Juímica requiere que se calcule e4actamente el (olumen molar )(* del Bió4ido de Carbono y el W4igeno para dierentes combinaciones de temperatura y presión' de tal orma que los recipientes que contengan dichos gases se puedan seleccionar apropiadamente& 2ambién es importante e4aminar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales' comparando el (olumen molar calculado con la ecuación de los "ases #deales y la !cuación de $an der %aals& .e proporcionan los siguientes datos8
R8 Constante uni(ersal de @&@F@ML + atm5 )mol * los gases
$:
#nteracciones B#WX#KW CRBWNW intermoleculares WX#"!NW B#WX#KW >: $olumen molecular CRBWNW WX#"!NW
K!
K!
G&MVF <&G?@ @&@LF? > @&@G< G
+as presiones de dise3o de interés son de <' <@ y <@@ atmoseras para combinaciones de temperatura de G@@' M@@ y >@@ &
1. PROCEDIMIENTO
.e dise3a el algoritmo de Newton Raphson' colocando como constantes ) R' a y b *& +a (ariable n )cantidad de moles* se considera con el (alor de <& Como se desea calcular el (olumen de dichos gases para poder seleccionar un recipiente adecuado que lo contenga' entonces se calcula el (alor inicial del (olumen utilizando la ecuación general de los gases8 (=rYt5p +uego utilizamos como unción la ecuación de $an der %aals que es la siguiente8 )(* = )p E a 5 )(ZF**Y)(-b* - rYt y su deri(ada8 [)(* = p U a 5 )(ZF* E )FYaYb* 5 )(ZG* +os datos de entrada serán8 2emperatura ;resión 2olerancia Numero de iteraciones − − − −
!l resultado será el (olumen molar apro4imado&
ALGORITMO DE NE6TON RAP5SON disp)\---------------------------------------------------\* disp)\ +!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. disp)\---------------------------------------------------\* print)\]n\*O disp)\<& Bio4ido de carbono\* disp)\F& W4igeno\* print)\]n\*O opcion=input)\ #ngrese la opcion8 \*O r=@&@F@MLO switch opcion
;$)' 1 a<=G&MVFO b<=@&@LF?>O print)\]n\*O t<=input)\ -#ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 \*O p<=input)\ -#ngrese en ;R!.#WN )atm* 8 \*O tol=input)\ -#ngrese la tolerancia8 \*O
\*
n= input)\ -#ngrese el numero de iteraciones8 \*O i=
<=)p
^M&M]n\'i'(<':*O
i):`tol* disp)\!l (olumen molar del Bio4ido de carbono es8 \* disp)y* brea:O else (<=yO end
i=iE
;$)' 2 aF=<&G?@O bF=@&@G<GO print)\]n\*O tF=input)\ -#ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 \*O pF=input)\ -#ngrese en ;R!.#WN )atm* 8 \*O tol=input)\ -#ngrese la tolerancia8 \*O n= input)\ -#ngrese el numero de iteraciones8 \*O i=
disp)\-------------------------------\* disp)\ 2B+ K! R!.7+2KW. disp)\-------------------------------\* disp)\i $m)+5mol* _!_ \* disp)\-------------------------------\*
\*
while i`=n <=)pFEaF5)(FZF**Y)(F-bF*-rYtFO F=pF-aF5)(FZF*E)FYaFYbF*5)(FZG*O y=(F-<5FO :=abs)(F-y*O print)\^d ^M&M
^M&M]n\'i'(F':*O
i):`tol* disp)\!l (olumen molar del W4igeno es8 \* disp)y* brea:O else (F=yO end
i=iE
2. RESULTADOS P!#! $% &!': BIOXIDO DE CARBONO
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 < − − − −
#ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 G@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 < #ngrese la tolerancia8 @&@@< #ngrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 FL&?
!l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 FL&M
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 < − − − −
#ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 G@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< #ngrese el nAmero de iteraciones8 F@
$alor inicial8 F&L?
i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< F&L?V @&@@@FV !l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 F&GMLM --------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 < #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 G@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< #ngrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 @&FL?FG F @&<<VG @&@L@M G @&@GL @&@<<@> L @&@LMV? @&@V? @&@<<MM > @&@>??M @&@@F?F @&@>VF> @&@@@FL !l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 @&@>VM
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 <
#ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm* 8 < #ngrese la tolerancia8 @&@@< #ngrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 L<&@F>@@ ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< L<&@F>@@ @&@LLV F L@&VF<< @&@@@@@ !l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 L@&VF< --------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 < #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 L&<@F>@ ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< L&<@F>@ @&@LLV< F L&@M>>V @&@@@@< !l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 L&@M> --------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 < #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@@
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$alor inicial8 M&>LG> ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< M&>LG> @&@FL<> @&@@@@@ !l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 M&>FLF --------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 < #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 >@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 @&M>LG ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< @&M>LG @&@ F @&MM>?@ @&@@@@M !l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8 @&MM>?
P!#! $% &!': OXIGENO
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 G@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 < #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@
$alor inicial8 FL&?
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 G@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@
$alor inicial8 @&FL?
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 < #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@
$alor inicial8 L<&@F>@@ ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< L<&@F>@@ @&@@< @&@@@@@ !l (olumen molar del W4igeno es L<&@FM>
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. ---------------------------------------------------
<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 L&<@F>@ ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< L&<@F>@ @&@@<@> F L&<@
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 @&L<@F> ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< @&L<@F> @&@@
---------------------------------------------------
+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 >@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 < #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 M>&LG>@ ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< M>&LG>@ @&@@<> F M>&LLMV> @&@@@@@ !l (olumen molar del W4igeno es M>&LL?@
--------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 >@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 M&>LG> ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< M&>LG> @&@@GF F M&>MF<@ @&@@@@@
!l (olumen molar del W4igeno es M&>MF< --------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!. --------------------------------------------------<& Bió4ido de carbono F& W4igeno #ngrese la opcion8 F #ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 >@@ #ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <@@ #ngrese la tolerancia8 @&@@< ingrese el nAmero de iteraciones8 F@ $alor inicial8 @&M>LG ----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< @&M>LG @&@@VF F @&MLF@ @&@@@@< !l (olumen molar del W4igeno es @&MLF
TABLA FINAL
hora utilizaremos el método de la Bisección para obtener los (olAmenes apro4imados& +os datos de entrada serán8 unción de $an der %aals ;ara el Bió4ido de Carbono )4* = 4ZG - FL&?M> Y 4ZF E G&MVF Y 4 @& ;ara el o4igeno )4* = 4ZG - FL&?L@G Y 4ZF E <&G?@ Y 4 - @&@LGF $olumen molar inicial $olumen molar 6nal 2olerancia Numero de iteraciones −
− − − −
!l resultado será el (olumen molar apro4imado&
ALGORITMO DE LA BISECCION disp)\-----------------------\* disp)\Q!2WKW K! + B#.!CC#WN\* disp)\-----------------------\* print)\]n\* un=input)\#ngrese la uncion de $an der %aals )4*=\'\s\*O =inline)un*O p=input)\#ngrese el (olumen molar inicial 8 \*O
r=input)\#ngrese el (olumen molar inicial 8 \*O tol=input)\#ngrese la tolerancia8 \*O n= input)\#ngrese el numero de iteraciones8 \*O i=
while)abs)r-p*tol* h=)pEr*5FO z=)h*O print)\^d ^M&M ^M&M ^M&M]n\'i'p'r'h*O i)qYz@* p=hO elsei)qYz`@* r=hO else disp)\la raiz apro4imada de la uncion es\* end i=iE
else disp)\+os (alores iniciales no son correctos\* end end
BIOXIDO DE CARBONO ;rimero gra6caremos la unción para obtener los (alores del inter(alo donde se encuentra el (alor del (olumen apro4imado&
3 24.8872 3.2 0.1
+uego considerar del inicial FL (alor de 6nal FM' el gra6co que la raíz esos
podemos como (alor (olumen y como (olumen ya que en se obser(a está entre (alores&
----------------------Q!2WKW K! + B#.!CC#WN ----------------------#ngrese la uncion de $an der %aals )4*=4ZG-FL&?M>Y4ZFEG&MVFY4-@& #ngrese el (olumen molar inicial 8 FL #ngrese el (olumen molar inicial 8 FM #ngrese la tolerancia8 @&@@< #ngrese el numero de iteraciones8 F@ ------------------------------------------2B+ K! $+WR!. ------------------------------------------i $&m #nicial $&m inal $&m& < FL&@@@@@ FM&@@@@@ FL&M@@@@ F FL&M@@@@ FM&@@@@@ FL&>M@@@ G FL&M@@@@ FL&>M@@@ FL&?FM@@ L FL&M@@@@ FL&?FM@@ FL&M?FM@ M FL&M@@@@ FL&M?FM@ FL&MG FL&M@@@@ FL&M< FL&M@>< FL&MF V FL&M<<>F FL&M <@ FL&M<<>F FL&M FL&M@ !l (olumen molar apro4imado es8 FL&M@
OXIGENO #gualmente gra6caremos la unción para obtener los (alores del inter(alo donde se encuentra el (alor del (olumen apro4imado&
3 24.48032 1.30 0.0432888
+uego podemos considerar como (alor del (olumen inicial FL y como (alor de (olumen 6nal FM' ya que en el gra6co se obser(a que la raíz está entre esos (alores& ----------------------Q!2WKW K! + B#.!CC#WN ----------------------#ngrese la uncion de $an der %aals )4*=4ZG-FL&?L@GY4ZFE<&G?@Y4@&@LGF #ngrese el (olumen molar inicial 8 FL #ngrese el (olumen molar inicial 8 FM #ngrese la tolerancia8 @&@@< #ngrese el numero de iteraciones8 F@ ------------------------------------------2B+ K! $+WR!. ------------------------------------------i $&m #nicial $&m inal $&m& < FL&@@@@@ FM&@@@@@ FL&M@@@@ F FL&M@@@@ FM&@@@@@ FL&>M@@@ G FL&M@@@@ FL&>M@@@ FL&?FM@@ L FL&M@@@@ FL&?FM@@ FL&M?FM@ M FL&M?FM@ FL&?FM@@ FL&MVG>M ? FL&M?FM@ FL&MVG>M FL&M> FL&M>M FL&MMVL FL&MMVL FL&MVG>M FL&MVL V FL&MVL FL&MVG>M FL&MV<@ <@ FL&MV<@ FL&MVG>M FL&MVF>> !l (olumen molar apro4imado es8 FL&MVF>>
IV.
OBSERVACIONES
B!9!# #' ;$(>% 7tilizando el método de Newton Raphson con la unción de $an der %aals' se obtu(o el (olumen molar apro4imado del Bió4ido de carbono en F iteraciones8
----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< FL&?
FL&M
;or otro lado utilizando el método de la Bisección con la unción de $an der %aals' se obtu(o el (olumen molar apro4imado del Bió4ido de carbono en <@ iteraciones8 ------------------------------------------2B+ K! $+WR!. ------------------------------------------i $&m #nicial $&m inal $&m& < FL&@@@@@ FM&@@@@@ FL&M@@@@ F FL&M@@@@ FM&@@@@@ FL&>M@@@ G FL&M@@@@ FL&>M@@@ FL&?FM@@ L FL&M@@@@ FL&?FM@@ FL&M?FM@ M FL&M@@@@ FL&M?FM@ FL&MG FL&M@@@@ FL&M< FL&M@>< FL&MF V FL&M<<>F FL&M <@ FL&M<<>F FL&M FL&M@ !l (olumen molar apro4imado del Bió4ido de carbono es8
FL&M@
!n ambos métodos se consideró una temperatura de G@@ y una presión de < atm& Wbser(amos que utilizando ambos métodos obtu(imos casi el mismo resultado&
O!='% 7tilizando el método de Newton Raphson con la unción de $an der %aals' se obtu(o el (olumen molar apro4imado del W4igeno en F iteraciones8
----------------------------------- 2B+ K! R!.7+2KW. -----------------------------------i $&m&)+5mol* __ -----------------------------------< FL&?
;or otro lado utilizando el método de la Bisección con la unción de $an der %aals' se obtu(o el (olumen molar apro4imado del W4igeno en <@ iteraciones8
< F G L M ? > V <@
------------------------------------------ 2B+ K! $+WR!. ------------------------------------------i $&m #nicial $&m inal $&m& FL&@@@@@ FM&@@@@@ FL&M@@@@ FL&M@@@@ FM&@@@@@ FL&>M@@@ FL&M@@@@ FL&>M@@@ FL&?FM@@ FL&M@@@@ FL&?FM@@ FL&M?FM@ FL&M?FM@ FL&?FM@@ FL&MVG>M FL&M?FM@ FL&MVG>M FL&M>M FL&MMVL FL&MMVL FL&MVG>M FL&MVL FL&MVL FL&MVG>M FL&MV<@ FL&MV<@ FL&MVG>M FL&MVF>>
!l (olumen molar apro4imado del W4igeno es8 FL&MVF>>
!n ambos métodos se consideró una temperatura de G@@ y una presión de < atm& Wbser(amos que utilizando ambos métodos obtu(imos casi el mismo resultado&
V.
CONCLUSIONES
