Aplicación de Las Derivadas2222

Aplicación de las Derivadas

1.

Un depósito de agua, en forma de cono inverdo, es vaciado a razón de 6 m3/min. La altura del cono es 24m y el radio de su ase es !2m. calcula la rapidez con la "ue el nivel del agua desciende cuando el agua ene !#m de profundidad. $ato $atos% s% r&!2 r&!2m m   '&24m 3 dv −6 m = dt  min La razón entre el r y ' r 1 = h 2 (uando%

'&!#m )nal dh  = ? dt 

*olución% +olumen cono &

1 3 1

π.

 h 4

2

. h   derivemos-

dv  dh = π .3 .h 2 . dt  12 dt  or lo tanto, reemplazamos% reemplazamos % 6m

min

∴

2.

1

= π .100 m 2 . 4

 dy dx

dh m  = 0.076 dt  min

(ierta candad de aceite uye 'acia el interior del depósito e forma de cono inverdo a razón de 3m3/min. *i el deposito ene un radio de 2.0m, en su parte superior y una profundidad de !#m 1u tan rpido camia dic'a profundad cuando ene 5m $atos% r&2.0m '&24m inicio 3 dy m =−6 dx min

La razón entre el r y ' r 1 = h 2 (uando% '& 5m )nal dy =? dx *olución% 1

+olumen cono &

3

2

π . r . h   derivando2

1

 h

3

16

¿ π.

.h

dv 1 dh 3 = π . . h2 . dt  3 16 dt  or datos, remplazamos 2

3 π . m / min=

1

2

16

. π .64 m .

 dh dt 

∴

3.

dh  = 0.75 m / min dt 

Un automóvil "ue se desplazaa a razón de 3# pies/seg, se apro7ima a un crucero, cuando el auto est a !2# pies de la intersección, un camión "ue via8a a razón de 4# pies/seg, cruza la intersección. 9l auto y el camión se encuentran en carreteras "ue forman un :ngulo recto entre si 1con "ue rapidez se separan 2 seg despus de "ue el camión pasa dic'o crucero $atos%

dx =−30 pies / seg dt  dy  = 40 pies / seg dt 

La distancia luego de 2 seg ; & 6# pies  < & 5# pies

= (amión <

dk   = ? dt 

 = & !## pies :uto ; 2

La razón entre el r y ' r 1 = h 2 (uando% '& 5m )nal dy =? dx *olución% 1

+olumen cono &

3

2

π . r . h   derivando2

1

 h

3

16

¿ π.

.h

dv 1 dh 3 = π . . h2 . dt  3 16 dt  or datos, remplazamos 2

3 π . m / min=

1

2

16

. π .64 m .

 dh dt 

∴

3.

dh  = 0.75 m / min dt 

Un automóvil "ue se desplazaa a razón de 3# pies/seg, se apro7ima a un crucero, cuando el auto est a !2# pies de la intersección, un camión "ue via8a a razón de 4# pies/seg, cruza la intersección. 9l auto y el camión se encuentran en carreteras "ue forman un :ngulo recto entre si 1con "ue rapidez se separan 2 seg despus de "ue el camión pasa dic'o crucero $atos%

dx =−30 pies / seg dt  dy  = 40 pies / seg dt 

La distancia luego de 2 seg ; & 6# pies  < & 5# pies

= (amión <

dk   = ? dt 

 = & !## pies :uto ; 2

*olución%

2 2 2 k  = x + y   $erivandodk   dx dy 2 k .  = 2 x .  + 2  y . dt  dt  dt 

or lo tanto, reemplazamos%

dk  dh m =60. (−30 ) +80.40  = 0.076 ∴ d t  dt  min 4. Una v>a de ferrocarril cruza una carretera a8o un :ngulo de 6#?. Una locomotora dista !6#m el cruce y se ale8a de el a la velocidad de !## @m/', un automóvil dista !6#m y se acerca a l a la velocidad de 0# @m/' 1: "u razón se altera la distancia entre los dos 100.

$atos%

dx =100 km / h dt 

r! &!6# m < &!6# m

dy  =−50 km / h dt 

6#?

 x =160 m

; &!6# m

Y =160 m

:uto

!6# m

r 2=160 √ 3 m

r 1=160 m r 2=160 m

Aren

*olución% 

(on r!%

2

2

2

derivandor 1 = x + y −2 xy cos60 °  dr 1  dx dy  dx dy 2 r 1. =2 x .  + 2 y .  − . y + x . dt  dt  dt  dt  dt 

(

)

or dato, reemplazamos dr 1 2.160 . 2.160 .100 + 2.160 . (−50 )− ( 100.160 + 160. (−50 ) ) =2.160 dt  dr 1 =200− 100−50 2. dt 

∴



(on r2%

dr 1 =25 km / h dt 

2 2 2 r 2 = x +  y −2 xy cos1200 ° derivando dr 2 dx dx dy dy . y + x . = 2 x .  − +2 y . 2 r 2. dt  dt  dt  dt  dt 

(

)

2

or dato, reemplazamos  dr 2 = 2.160.100 + 2.160 . (−50 )−( 100.160 + 160. (−50 )) 2.160 √ 3 . dt   dr 2 2. √ 3 =200−100 −50 dt 

∴

5.

dr 2 =25 / √ 3 km / h dt 

El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3cm/hora y la altura disminuye a razón de 4cm/hora. Calcule como varia el área total del cono cuando el radio mide 7cm y la altura 24cm.

$atos%

dr 3 cm  = dt  h dh − 4 cm  = dt  h r =7 cm h= 24 cm dArea =? dt  *olución% 2 2 2 $erivandog =r + h  dg dr dh 2 g .  = 2 r .  + 2 h . dt  dt  dt  dg 25.  = 7.3 + 24 (−4 ) dt  dg  =−3 cm / h dt 

Brea de cono%

2

π . r . g +π . r dA  = π (r . g + r 2 ) dt 

 $erivando-

[

dA dr dg dr . g + r .  + 2 r .  = π . dt  dt  dt  dt 

]

Cemplazando-

dA  = π . [3.25 + 7. (−3 )+ 2.7.3 ] dt 

2

∴

.

dy =96 π cm2 / h dx

!n aero"lano #ue vuela en dirección norte a 4$ millas/h "asa sobre cierta ciudad a la medianoche% un se&undo aero"lano #ue va a dirección oeste a $$ millas/h esta verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos más tarde% si los aero"lanos están volando a la misma altura 'con#ue ra"idez se estarán se"arando a la 1.15 am( : )atos*

dA  = 640 millas / h dt  dB  millas  = 600 dt  h  A = 800 millas B =600 millas dS  = ? dt 

!' 64# m *&!###

D' !6# m !'

+olución* 2

2

2

,)erivandoS = A + B  dS dA dB 2 S .  = 2  A . +2B . dt  dt  dt  1000.

6## m

E ,em"lazando-

dS  = 800.640 + 600.600 dt 

dS  = 512 + 360 dt  dy =875 millas / h dx

7.

!n tendendedor de alambre tre"a a un "oste teleónico a razón de 2.5 "ies/s% mientras #ue su 0ee está sentado a la sombra de un árbol vecino observando% si el terreno es llano y el 0ee está a 3 "ies de la base del "oste 'Cuántos se&undos tiene #ue tre"ar al tendedor de alambre "ara #ue la distancia este l y el 0ee crezca a razón de un "ie/s( )atos*

dA 5  =  pies / s dt  2 dm  pie  = 1 dt  s

:

Solucion : m 2

( )+

2

m= 2 m.

2.

√

25 4

5 2

2

t 

2

36

,)erivando-

5 2

 dm 25  dt   = .2 t . + 0 dt  4 dt 

25 4

2

2

t  + 36 .1 =

2

t  + 36 =

625 16

25 2

t 

<&36 pies

2

t 

=6.2347 segundos

∴ t 

.

!n ob0eto #ue se lanza verticalmente hacia aba0o desde la azotea de un ediicio con una Vo pies / seg . ia0a a"roimadamente se&6n la ecuación velocidad inicial de 2 S =Vo.t + 16 t    en t se&undos. +i toca el suelo a los 2.5 se& con una velocidad de 11$ "ies/se& 'Cuál es la altura del ediicio( )atos*

Vo

dVo =Vo pies / seg dt  t  2.5 se&

dVf  =110 pies / seg dt  Solucion : 2 ,)erivandoS =Vo.t + 16 t  dy =Vo + 32 t  dx d´ ´ y =32 2da derivada ,aceleracióndx Vf =Vo + a .t  110=Vo +

S −  

,em"lazando-

32.5 2 2

Vo=30 2

S =Vo.t + 16 t  S=

30.5

∴S

8.

2

+

16.25

Vf 

4

=175

!na escalera de 25 "ies de lon&itud está a"oyada en una casa. +i la base de la escalera se se"ara de la "ared de la casa a razón de 2 "ies/se& '9 #u velocidad está ba0ando el etremo su"erior cuando la base de la escalera está en* a- 7 "ies de la "ared b- 15 "ies de la "ared c24 "ies de la "ared( )atos*

S =25  pies dx =2 pies / seg dt 

*&20 pies y

+olución* 2

2

2

S = x + y 2 2 2 25 = x +  y dx dy 0 =2 x .  + 2 y . dt  dt  a- 7 "ies 0 =7.2+ 24.

∴

7

b- 15 "ies

dy dt 

dy −7 = dx 12

c- 24 "ies

0 =15.2 + 20.

∴

dy dt 

dy −7 = dx 12

0 =24.2+ 7.

∴

dy dt 

dy −7 = dx 12

1$. En una "lanta de arena y &rama% la arena está cayendo de una cierta transormadora

ormando una "ila cónica a razón de 1$ "ies 3/min. El diámetro de la base del cono es a"roimadamente tres veces la altura '9 #u razón está cambiando la altura de la "ila cuando tiene 15 "ies de altura( )atos*

dy =10 pie s 3 / min dx 2 r =3 h

r 3 = h 2 dh  = ? dt 

2

Cuando h15 "ies +olución* 1

¿ . π . r 2 .h

olumen cono

3

1

 9

3

4

¿ . π . . h2 . h

 

,)erivando-

dv 1 dh  9 = . π . .3 . h2 . dt  3 dt  4 :or dato reem"lazamos* 10=

1 3

.π.

27 4

.225 .

 dh dt 

dh 8  pies / min  = dt  4005 π 

11. ;a arista de una cubo se e"ande a razón de 3 cm/se& '9 #u velocidad cambia el volumen

cuando cada arista tiene a- 1 cm b- 1$ cm( )atos*

da  = 3 cm / seg dt  dv =? dt  +olución*

Vcu!o = a

3

a ,)erivando-

dv  da = 3 a2 . dt  dt 

a eem"lazando* a- 1 cm

dy =3.10 3 .3 dx ∴

b- 1$ cm

dy =3.10 3 .3 dx

dv  = 9 c m3 / seg dt  2

12. 9l caer una &ota esrica de lluvia% alcanza una ca"a de aire más seco en los niveles más ba0os

de la atmosera y comienza a eva"orarse. +i esta eva"oración se "roduce a una velocidad "ro"orcional al área de la su"ericie , s = 4. π . r 2 - de la &ota% "robar #ue el radio se contrae a la velocidad constante. +olución*

dy =? dx dy =4 π . r 2 dx olumen o

 4

¿ π . r3 3

,derivamos-

dv 4  dr = π .3 .r 2 . dt  3 dt 

∴

dy =1 m / s dx

+e com"rueba

13. !n avión vuela a 31$ "ies de altura% "asando la trayectoria eactamente sobre una antena

de radar. El radar detecto el avión y calcula #ue la distancia al avión cambia a razón de 4 millas/min. Cuando tal distancia es 1$ millas% calcular la velocidad del avión. )atos*

h= 31680 pies= 6 millas dk   = 4 millas / min dt 

a

:vión

Cuando <1$ millas

da  = ? dt  +olución*

,h constante2 h + a =k  ,)erivando2

2

0 +2 a .

 dy  dy =2 k . dx dx

dy =10.4 dx dy 5 millas 60 min . = dx min hora

'&6 =&!#

8.

Cadar

14. !n barco 9 nave&a hacia el sur a una velocidad de 1 millas/hora y otro = situado a 32 millas

dy dx

al sur de∴ 9% lo = hace este /con una velocidad de 12 millas/hora. >allar la velocidad a la #ue millas 300al 2

dicho barcos s barcos se a"roiman o se"aran al cabo de una hora de haber iniciado el movimiento. )atos*

dA  =−16 millas / h dt  dB  = 12 millas / h dt 

{

 A =16 millas B =12 millas " =20 millas

En 1 hora

<

}

+olución* 2

2

2

 A + B =Y  2 A .

,)erivamos-

 dA  dB  dY  + 2 B .  = 2 Y . dt  dt  dt 

E

eem"lazamos* 16 (−16 )+ 12.12 =20.

∴

 dY  dt 

dY   = 5,6 millas / h dt 

15. En #u "unto de la "arábola y21% la ordenada crece dos veces más de"risa #ue la abscisa.

)ato*

dy dx  = 3 dt  dt  2  y =18 x

7,y-a

+olución* 2

,)erivamos y =18 x  dy dx 2  y .  = 18. dt  dt  2  y .

 dy 18 dy  = . dt  3 dt 

 y =3

2

 x =

1 2

∴ #

( 1 / 2,3 )

1. !n "eso ? está unido a una cuerda de 5$ m #ue "asa "or una "olea : situada a una altura de

2$ m con res"ecto al suelo. El otro etremo de la cuerda se encuentra unido a un veh@culo en el "unto 9% situado a una altura de 2 m como indica la i&ura% sabiendo #ue el veh@culo se mueve a velocidad de 8 m/s% calcule la velocidad a la #ue se eleva el cuer"o cuando a halle a una altura de  m. )atos*

dy  = 9 m / s dt  Cuando hm

d$ =? dt  F

A14m +olución*

;

BA5$ B3 2

18

+ % 2= & 2

0 + 2 x .

<

 dx d$ = 2 y . dt  dt 

√ 972.9 =36. ∴

,)erivando-

d$ dt 

dy 9 =  √ 3 m / s dx 2

17. !n tren #ue sale a las 11 horas de la maDana se diri&e hacia el este a una velocidad de 45

m/h mientras #ue otro sale a mediod@a desde la misma estación se diri&e hacia el sur a una velocidad de $ m/h. hallar la velocidad a #ue se re"aran a las tres de la tarde. )atos*

dA  = 45 km / h dt 

!'G40 @m

3'G!30 @m

2

dB  = 60 km / h dt  dS  = ? dt 

3'G!5#@m

+olución* 2

2

2

 A + B = S 2 A .

,)erivando-

 dA  dB ds + 2 B .  = 2 S . dt  dt  dt 

:or dato% reem"lazamos* 180.45 + 180.60 =180 √ 2 .

∴

ds dt 

ds 105 √ 2  = dt  2

1. !n hombre de un muelle tira de una so&a atada al nivel del a&ua a una bola a razón de 5$

"ies/min. +i las manos del hombre están a 1 "ies sobre el nivel del a&ua 'con #ue ra"idez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de so&a suelta es de 2$ "ies( )atos* h1 "ies s2$ "ies 12 "ies

dy =50 pies / min dx dy =? dx *

+olución* 2

2

'

2

s = x + h 2s.

 ds  dx dh =2 x .  + 2 h . dt  dt  dt 

:or dato% reem"lazamos*

 dy 20.50 =12. + 16.0 dx

h ,constante-

;

2

∴

dy 250  pies / min = 3 dx

18. +e bombea aire a un &lobo% de modo #ue su volumen se incrementa en 2$$ cm3/s

des"reciado la com"resión del aire '9 #u ritmo crece el radio cuando el diámetro lle&a a 3$ cm( )atos*

dv = 200 c m 3 / s dt  Cuando

r

2 r =30 cm

dr  = ? dt  +olución* 4

volumen = π . r

3

3

 

,)erivamos-

dv 4  dr = π .3 .r 2 . dt  3 dt  2

200= 4 π .r .

 dr dt 

:or dato% reem"lazamos* 2

200= 4 π . 15 .

−144 =13.

∴

 dr dt 

 ds dt 

dr 2 = π cm / seg dt  9

2$. >uyendo de un "erro una ardilla tre"a "or un árbol% corre a 12 m/s y la ardilla a  m/s 'Cuál

será el cambio de distancia relativa entre los dos cuando el "erro está a 12 metros del árbol y la ardilla ha tre"ado 5 m(

2

)atos*

dp  =−12 m / s dt 

:rdilla

da  = 6 m / s dt  ds =? dt 

*&!3m

*&0m

+olución* 2

2

a + p = s 2a.

2

 

,)erivamos-

da  dp ds  + 2 p .  = 2 s . dt  dt  dt 

&!2m

erro

:or dato% reem"lazamos* 5.6 + 12 (−12)= 13.

−144 =13.

∴

ds dt 

 ds dt 

ds =−8,77 m / s dt 

21. !n cometa #ue vuela a 1$$ m de altura es em"u0ado horizontalmente "or el viento a una velocidad a 4 m/s. +i la cuerda se va soltando desde un "unto i0o '9 #u velocidad se ale0ara el cometa en el instante en #ue se han soltado 125 m de cuerda( )atos*

 y =100 m

dx =4 m/ s dt  s =125 m

* <

ds =? dt  B es constante +olución* 2

2

s = x + y

3

,)erivamos-

;&H0 2

2s.

 ds  dx dy =2 x .  + 2 y . dt  dt  dt 

125.

∴

ds =75.4 dt 

ds =2,4 m / s dt 

22. !na "art@cula se mueve a lo lar&o de la curva 3y 32. Encuentre los "untos sobre la curva

en los cuales la ordenada está cambiando 8 veces más rá"ido #ue la abscisa. )atos* 3  y = x

3

+2

dy dx  = 10. dt  dt  +olución* 3 3  y = x + 2

dy 2 dx 3 x .  + 0 dt  dt  dx 2  dx 3.10 .  = 3 x . dt  dt   x =∓ √ 10 3.

eem"lazando* 3  y =10 √ 10 + 2 

 y = 

10 √ 10

+2

3

3  y =−10 √ 10 + 2

 y =

−10 √ 10 + 2

∴ 'l punto es

3

(

√ 10 (

10 √ 10 + 2 3

)( ⋀

−√ 10 (

−10 √ 10 + 2 3

)

23. !n cono recto circular va ser inscrito en una esera de radio conocido. Encontrar la razón de '

la altura del radio del cono de volumen máimo.

C

C

'Gr r

2

r

)=radios delaesfera r = radio del cono h= alturadel cono

)atos*

1

2

v = π  . h  F.. ,13

+olución* 2

2

2

2

2

r = ) −(h − ) ) 2

r = ) −h + 2 )h − ) 2

r =2 )h−h

2

2

 F.. ,2-

eem"lazando ,2- en ,11

v = π ( 2 )h−h ) h 2

3

dy =0 dx

Como es cono debe ser máimo se cum"le 2 )− 2 h

dy 1 = π  ( 2 )h−h 2) + ( ¿ h ) =0 dx 3

[

]

( 2 )h −h ) + 2 )h−2 h 2

4 )h −3 h

2

3

=0

$

*

h= 0

h ( 4 ) −3 h )= 0 4

h=  )  .F ,3-

∨

3

eem"lazamos ,3- en ,22

r =2 ) 2

8

(  ) ( )

r =  )

4 ) 3

−

4 )

2

2

8

2

r =  ) −

3

3

16 9

2

 )

r 2 √ 2 =  ) 3

2

9

24. En lo alto de un arol brilla una luz a 2$ "ies del suelo% una mu0er con una estatura de 5 "ies

se ale0a desde el arol. >allar la razón en #ue aumenta su sombra se ale0a a razón de* a- 4 "ies/se& b- 3 "ies/se& )atos*

h ( faro )=20 pies

h ( mu+er )= 5 pies

'faro-

+olución*

'mu8er2

y

7

 y 5

=

 x + y 20

4  y = x + y 3  y = x   3.

,)erivamos-

dy  dx  = 1. dt  dt 

a- 4 "ies/se& 3.

b- 3 "ies/se&

dy  = 1.4 dt 

∴

3.

dy 4  =  pies / seg dt  3

dy  = 1.3 dt 

∴

dy  = 1 pies / seg dt 

25. !n avión vuela "aralelo al suelo a una altura de 2 m/h y a una velocidad de 4%5 m/min. +i

el a"arato vuela directamente sobre la estatua de la libertada 'con #ue intensidad cambia la distancia se&6n una l@nea visual entre el a"arato y la estatua a 2$ se&undos "osteriores( )atos*

:&!,0 @m

h= 2 km

:vión

da  = 4,5 km / min dt  1

t =20 seg = min 3

2 @m

ds =?   dt 

hconstante 2

2

h + a =s

+olución* 2a.

2

da ds  = 2 s . dt  dt 

1,5.4,5=2,5.

∴

*&2,0 @m

9statua

 ds dt 

ds =2,7 km / min dt 

2. Cuando un "ndulo con lon&itud de 1$ cm ha oscilado de modo #ue

,  es el án&ulo en

radianes ormado "or el "ndulo y la vertical% entonces se h, , - cm% es la altura del

2

etremo del "ndulo sobre la "osición más ba0a% de variación de h, , - con res"ecto a

, h ( , )= 20sin ( ) . )etermine la ra"idez 2

,  cuando* a- ,=

π  3

b-

,=

π  2

)atos*

h ( , )= 20sin , 2

+olución*

h ( , )= 20sin , 2

,)erivamos-

()

dh ( , ) , ,  d , / 2 . =20.2sin ( ) . cos d, d, 2 2 dh ( , )  d , / 2 =20.sin , . d, d, a- G$H

dh ( , ) =20.sin60 ° d,

∴

dh ( , ) =5 √ 3 d,

b- I45H

dh ( , ) =20. sin 45 ° d,

∴

dh ( , ) =5 √ 3 d,

27. !na "iedra es arro0ada a un estan#ue tran#uilo% una serie de anillos circulares concntricos%

se etienden "or el estan#ue y el radio de la re&ión "erturbada aumenta a razón de 1 cm/s 'con #ue ra"idez aumenta dicha área cuando el radio es de 4 cm( )atos*

dA  = 16 cm / s dt  r = 4 cm

Cuando

dA  = ? dt  +olución*

 A = π . r

2

dA  dr  = π .2 . r . dt  dt 

2

dy =π .2.4.16 dx

∴

dy =128 π c m2 / s dx

2. Un avión vuela con una velocidad constante a una altura de !### pies en una trayectoria recta

"ua lo llevara directamente a un oservador en erra. 9n el instante dado el oservador advierte π  1 rad y aumenta a razón "ue el ngulo de elevación del aeroplano es   rad/seg. 3

60

$etermine la velocidad del avión. $atos%

h= 10000 pies ,= 60 ° dy =? dx (uando

:vión

dy 1 = rad / seg dx 60

a

*olución% tan , =

a h

(

 dy a = dx h

2

sec , .

'

$erivamos-

)

2

6#?

Iservador

a

( sec , ) .  dy = a2 . dy dx h dx 2

s

2

Ceemplazando

( ) 2 √ 3 3

∴

2

.

1 60

=

 10000  dy 10000

2

 .

dx

dy 200 = rad / seg dx 9

28. 9l lado de un tringulo e"uiltero mide a cenJmetros, u aumenta a razón de @ cm /'. 1: razón de

cuantos cenJmetros cuadrados por 'ora aumenta el rea $atos% 2

dy =k cm / h dx

dy =? dx

*olución%

a . √ 3 2

 A =

a

$erivamos-

4

dy 2. a . √ 3 dy . = dx dx 4 ∴

6#?

dy ak . √ 3 2 c m /h = dx 4

3$. Una escalera de 2# m descasa sore una pared, la parte interior de la escalera es empu8ada

'orizontalmente a la velocidad de 2m/s. 1(ul es la velocidad del e7tremo superior *i el ngulo es 6#?. $atos% 5=20 m

dx  = ? df 

*

<

*olución% 2

2

s = x + y 2

20

2

 

 dx df 

=2 x .  + 2 y

 dx dx 0 = x  + df  df 

$erivamos-

 dx df 

6#? ;

Ceemplazando%

 y

 dx  =−10.2 df 

10 √ 3

 dx  =−10.2 df 

dx 2  = m / s df  √ 3

31. : un recipiente como el "ue se muestra en la )gura entra agua a la velocidad constante de 3

1m

/min 1(on una velocidad sue el nivel del agua cuando la profundidad es de !m

2

$atos%

dv  = 1 m3 / min df 

<

dy  = ? df 

;

*olución%

(

V =  y 2 .

√ 3 4

5

V = √ 3  y

2

2

!#

)

10

 

$erivamos-

dv 5  dy  = .2 . √ 3 y . df  2 df 

Ceemplazando% 1=5 √ 3 .1 .

 dy df 

dy 1  = m /min df  10

32. : un recipiente semiesfrico de radio !#m, entra agua a la velocidad constante de

3

4m

/min

1con "ue velocidad sue el agua cuando su profundidad es 0m $atos%

dv  = 4 m3 / min df  h= 5 m

r =10 m r =2 h

!#m

*olución% 2

2

V = π . r . h   $erivamos3

dv 2  = π .4 . h3 df  3 2

dv 8 π .3 2 dh  = .h . 3 df  df  Ceemplazando% 4=

3.8 2

2

π .s .

 dh df 

dh 1  m / min  = df  75 π 

33. Un co'ete se lanza formando un ngulo. Un avión vuela 'orizontalmente a la velocidad !##m/s a

una altura de !### m, volando a una dirección a un oservador "ue est en erra 1(on "ue velocidad se acerca al avión el oservador cuando la distancia entre los dos es de 2###m $atos%

k =2000

x =1000 dk  =? df 

 y =1000 √ 3

:vión

*olución% 2

2

k  = x + y 2k .

2

 

$erivamos-

dk   dy  = 2 y + 0 df  df 

2000

@

7 K constante 7

dk   = 1000 √ 3.100 df  Iservador

dk   = 50 √ 3 m / s df 

y

34. Un avión vuela a!### m de altura a una velocidad de0##m/s y comienza aterrizar formando una

ngulo de 3#? con la pista y disminuyendo su velocidad a razón de 20 m / s 2 . *i el sol est directamente sore l avión con "ue velocidad se desplaza la somra 2 s despus de comenzar a aterrizar. $atos%

h= 1000

0## m/s

da  = 500 m / s df  (uando% ' 2

2

a =−20 m / s *olución%

V 0=250 √ 3 -=¿ V 0+ af  V ¿ -=¿=250 √ 3−20 √ 3 V ¿ dk   = 230 √ 3 m / s df 

35.   desplaza los puntos de un comps sore una meza, los razos del mismo son de 0#cm de

longitud. *i la parte superior del comps desciende a un cm/s. 1(ómo varia la distancia entre las puntas cuando est a 6# cm $atos%

dcom =−1 cm / s df 

a



a =! =50 cm

c

 x = y =30 cm

7

y

*olución% 2

50

=302 + c 2

c = 40 2

2

2

2

2

2

2

2

! = c + y a = c + x

2

2

a + ! =2 c + y  x 2a.

2

da  d!  dc  dy  dx  + 2 !  = 4 c  + 2 y  + 2 x df  df  df  df  df 

0 =−160.1 + 60

 dy  dx  + 60 df  df 

2

160=60 80 30

(

dy dx  + df  df 

)

dy dx df  df 

=  +

dy dx 8  +  = m / s df  df  3

3. ara gases ideales se sae de + constante, siendo  la presión y + el volumen del recipiente "ue

la conene 1(ómo varia la presión de un gas contenido en recipiente "ue disminuye su volumen 10 c m

a razón de

3

 (uando +& 0### c m3  y  #=15 kg / cm3 .

s

$atos% dv  = 10 m3 / min df   #V =cte

*olución%

 #V  constante  

$erivamos-

dp  dv . v + p  = 0 df  df  dv 8 π .3 2 dh  = .h . df  df  3 Ceemplazando%

dp   .500 + 15.10 =0 df  ∴

dp −3  = df  10

dp 3  = kg / c m2 df  10 de8a una ase elevndose vercalmente a una velocidad de !0 pies/seg, al 37. Un 'elicóptero mismo empo "ue despega un 'elicóptero, un oservador parte desde el punto situado a !##pies de la ase y se mueve en l>nea recta, ale8ndose de la ase a 5#pies/seg 1(on "ue velocidad crece el ngulo de elevación del 'elicóptero respecto al oservador cuando este lmo 1500

este a-

2

400

( )

+

225

2

- 1a 6## pies de la ase

4

2

$atos%

dy =15 dx dy =80 dx $onde

 y / 15 t 

 y =

30

.15 =

8

225 4

*olución%  y  x

tan , =

,= arctn

dy = dx

dy dx

a-

()  (

1 1+

(=

 y  x

$erivando-

dy dy  . x −  . y dx dx

. 2

 x

)

2

2

dy dy  . x −  . y dx dx  x

)

2

x =400 pies dy = dx

∴

 y  x

-  x =600 pies

( ) −( ) 225

15.400 −80 400

2

225

−

2

4

  1500 dy = dx 225 2 400

4

( ) 4

2

rad / seg

∴

dy   1500 rad / seg = 2 dx 225 2 400

−

(  ) 4

2

 APLICACIONES DE DERIVADAS Máximos y Mínimos

!.G 9ncuentre dos nmeros no negavos cuya suma sea 6# y cuyo producto sea m7imo. 0 < a. ! ∈ 12

 a M  & 6# a & N a 6# O a- & N

d0  da

& 6# O 2a & #

a & 3# P  & 3#

3.G 9ncuentre un nmero "ue e7ceda su cuadrado por la mayor candad. 2

 x − x =max

27 G! & # 1

; &

2

0.G 9ncuentre dos nmeros no negavos cuya suma sea ! de modo "ue la suma del cuadrado de uno y el dole del cuadrado del otro sea m>nima. aM&! 2

2

a + 2 ! = 0in 2

2

a + 2 ( 1 −a ) = 0in 2

2

a + 2 + 2 a − 4 a= 0in 3a

2

+ 4 a + 2= 0in

d0in = 6 a− 4 0 =0 da a&

2 3

P &

1 3 2

H.G 9ncuentre el o los puntos sore la gr)ca de

2  y =6 x  mas pró7imo*- a 0,#-, a 3,#-.

2

 y =6 x 2

! =6 a 

a, -

ara el punto 3.#-

d min &

√ ( a −3 ) + ! 2

2

$&

√ (a −3 ) + 6 a

$&

√ a + 9

2

3, #-

0, #-

2

a&# P &# 

ara el punto 0.#-

d min &

a, G-

√ (a −5 ) + ! 2

2

$&

√ (a −5 ) + 6 a

$&

√ a2 + 4 a + 25

2

d1 2 a −4  = da 2 √ a2− 4 a + 25

a & 2 P  &  2 √ 3  # ( 2 ( 2 √ 3 ) ( # ( 2, −2 √ 3 )

Q.G $etermine el punto sore la gr)ca de m>nima. 3

 y = x − 4 x

3

 y = x − 4 x

2

 en "ue la recta tangente ene pendiente

2

$erivar%

dfx  = 3 x2 −8 x =0 dx 3 x  x (¿¿ −8 )= 0

¿

7&# P 7&

!, G32, G5-

8 3

3, G!!a, 2

;o ,
8

;r &

3

Ceemplazar para 'allar R
8

8

2

( ) − 4( )

Ty- &

3

3

!5,Q6 K 25,4 < & G!# !!.G 9ncuentre las dimensiones de la región somreada de modo "ue su rea sea la m7ima. 2a

&2G

3

N&a

−

N&a 

2

2a

-

3

a, -

d0  4a  = 2− =0 da 3

a&

3 2

P

 &!

!3.G 9ncuentre los vrces 7, #- y #, y- de la región triangular somreada en la )gura tal "ue su rea m>nima.

N&7,y N& x

4 x

=

4 x

2

 x −2  x −2

2 x ( x −2 ) − x ( 1 ) 2

¿ 4¿

2, 4-

d0  =¿ dx 2

d0  4 x −16 x ( 1) = =0 dx ( x −2 )2

7, #-

77G4-&#

7&4

P

y &5 2

(0, y )=(0,8 )

∧

( x ( 0 )=(4,0 )

!0.G Un gran8ero ene 3### de pies de cerca a la mano. $etermine las dimensiones de un corral rectangular "ue contenga el rea m7ima. y

7My& !0## N&7.y N&7!0##G7-

7

7

d0  =1500 −2 x =0 dx y

7 & H0# pies P y &H0# pies

!H.G *i la candad total de cerca usada es 5### m, encuentre las dimensiones de terreno encerrado en la )gura "ue tenga el rea m7ima. 7My& 5### N&7.y N&75###G7d0  = 8000 −2 x =0 dx 7 &4### m

P

y

y &4### m

!Q.G resuelva el prolema !5 si la candad de cerca a usar mide 5# pies. 4#M7M2y&5# 7M4#

;M2y&4# N&y4#M7N& N&

(

40 − x 2

y

)(

y

40 + x )

  1600 − x

7M4#

2

d0  −2 x = =0 dx 2 7 &# P y &2#

2

2!.G se desea construir una ca8a rectangular cerrada con ase cuadrada y volumen de 32 ### 9ncuentre las dimensiones de la ca8a "ue re"uiera la menor candad de material.

cm

3

.

2

a! =32000 4 a! + 2 ! 4.

32000 2

!

2

N& 2 ! +

2

= 0in 2

. ! + 2 ! = 0in

a 

12800



!

d0  12800  = 4 ! − &# d! ! 3

! 32000 =0 2 ! 3 4 √ 23 . √ 22.=20 √  3

& !#

a&

3

20 √ 4 3

23.G *e producir una ca8a, aierta por la parte superior, de una pieza cuadrada de cartón cortado un cuadrado de cada es"uina y dolando los lados. 9n la )gura los cuadrados lancos se 'an cortado y el cartón se 'a dolado a lo largo de las l>neas disconnuas. $ado "ue la pieza de cartón mide 4# cm por lado, encuentre las dimensiones de la ca8a con "ue se oene el volumen m7imo. 1(ul es el volumen m7imo 20− x

¿ ¿ 4¿

7 7 2

+ 4 x3 =v

dv = 12 x 2−320 x + 1600 dx 2

;&2#

7 7

1600 x −160 x

3 x

7

7

$om%

−320 x + 400= v

7

7

4#G27

7 #72#

4#G27

20 7&y 3

(

V max = 40−2.

 20 3

)

2

.

20 3

2

V max =292 20.G *e producir un canalón con sección transversal rectangular al dolar candades guales de los e7tremos de una planc'a de aluminio de 3# cm de anc'o. 1(ules son las dimensiones de la sección transversal de modo "ue el volumen sea m7imo

.G27My&3# .G v&y.a.7  

<&a3#G27-7

 

+&a3#G47-

 

47&3#

 

;&!0/2

 

27My&3#

 

2!0/2-My-3#

 

<&!0

7

y

7

3#cm

7

7 y

2H.G $os astaanderas estn aseguradas con cales su8etos a un solo punto entre las astas. 1$ónde dee uicarse el punto a )n de minimizar la candad de cale usado

d!&

√ 400 +( 30− x )

d2&

√  x2 + 100

N&

√ 400 +( 30− x )

2

d! 2

 M

√  x + 100 2

d0  2 x − 60 2 x = + =0 2 dx 2 √ 400 +( 30− x ) 2 √  x 2+ 100

d2

2#

!#G7

!#

7

 x −30

− x = 2 2 √ 400 +(30 − x ) √  x +100

2

− x ¿ ¿ ¿2 400 +¿  x − 30 ¿ 30

2

 x 2−60 x + 900 ¿ ( x 2+ 100 )= 400 x 2+ x 2 ( x 2−50 x + 900 )  x 2−60 x + 900 ¿ ( 100 )=400 x 2 3 x 2+ 60 x − 900=0 2

 x + 20 x −300 =0 ;&!# 2Q.G Una ventana normada es un rectngulo con un semic>rculo arria de este. 9ncuentre las dimensione de la ventana con mayor rea si su per>metro mide !#m. 2yM2MV-7&!# <& N&

10 +( 2 + π ) x

7

2

πx

2

2

+ 2 xy y

(

−(2 + π ) x

N&

π  2  x + 2 x

N&

π  2 2  x + 10 x −( 2+ π ) x

2

10

2

7

7

y

)

2

27

d0  = πx + 10− 2 ( 2 + π ) x =0 dx 10= x ( 4 + 2 π +−π )

 x =

 y =

10 4 + π 

10 4 + π 

33.G 9ncuentre las dimensiones del cilindro circular recto con volumen m7imo. 2

2

v =π r h '&

8 +3 r 2 2

v =π r (

8 +3 r 2

)

8r

(¿ ¿ 2−3 r 3 ) π  2

 ¿

dv π  = ( 16 r −9 r 2 ) =0 dr 2

C&!6/Q

P v&2#/3

30.G *e producir una lata para 8ugo en forma de cilindro circular reto en volumen de 32  pulg3 . 9ncuentre las dimensiones de la lata de modo "ue para 'acerla "ue use la menor candad de material.

2

 0 =2 π r + 2 π rh 2

 0 =2 π r + 2 π r ( 2

 0 =2 π r +

r

32

πr

) 2

64

r

r r

'

'

64 d0  &4 πr − 2 = 0 dr r 3

π r =16

r&

r& 2

√ 3

16

π 

√ 3

 2

π 

2 πr h &

'&

32

πr

2

2

32

√

'&

π 4 3

4 2

π 

h=

√ 2 3

π.

=

2

π 

8 √ 2 3

8

2

3

. √ 2

4 √ 2 3

'&

3H.G :lgunas aves vuelan ms lentamente sore el agua "ue sore la erra. Un ave vuela a razones constantes. 9ncuentre la trayectoria a la cual el ave dee seguir para minimizar el empo total de vuelo entre la costa de una isla y su nido uicado en la costa de otra isla.

V h o=6 2m /h 2

V t =10  2m /h 2 9 + x √  $& M

6

d1 & dx 2#7&6

1 6

.

20

− x

10

2 x

√ 9 + x

2

+

−1 10

=0

√ 9 + x 2

2#G

4## x 2 &32.4M36 x 2 !## x 2 &5!MQ x 2 Q! x 2 &5!  x =

9

√ 91

4!.G Un contenedor "ue transporta desec'os peligrosos se farica de plsco pesado y se forma al unir dos 'emisferios a los e7tremos de un cilindro circular recto como se muestra en la )gura. 9l volumen total del contenedor es de 3# V  pie3 . 9l costo por pie cuadrado del plsco usado en la parte cil>ndrica. 9ncuentre las dimensiones del contenedor de modo "ue su costo de producción sea m>nimo. + esfera M + cilindro & : total

'

Wemisferio

2

4

3

2

π r + π r =30 π 

3

Ceemplazando% 4

3

2

π r + π r .2 r =30 π 

3 4

3

3

r + r =30

3

10 3

3

r =30

3 r& √  9

3 '& 2 √  9

43.G Una es"uina de una 'o8a de papel de 5.0 pulg 7 !! pulg se dola sore otro orde del papel como se muestra en la )gura. 9ncuentre el anc'o 7 del dolez de modo "ue la longitud L del pliegue sea m>nima. 2

2

 3 = x + a

2

!5.0 pul

8.5 − x

¿ ¿ 2 2  x =! +¿

2-

8.5

  !!pul

¿ ¿

3-

(a −! )2+ ¿

Cemplazando en 3 3

(a −√  x2 + ( 8.5 − x )2) + 8.52 ¿= a2  x + m = 2 a √  x + ( 8.5− x ) +( m− x ) 2

2

2

2

2

 x + m = 2 a √  x + ( 8.5− x ) + x + m − 2 mx 2

2

2

2

2

2

2

 x m¿

¿ m − x ¿ 2  x −(¿ ¿ 2) ¿ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

 x m =a  x −a ( x + m −2 mx ) 2

 x m =a m + 2 a  x 2

2

2

m x −2 a  x + a m=0 2 − mx a= −2 x + m 2

2

a=

8.5 x

2

2 x + 8.5

Cemplazando en !  3=√  x + a 2

2

 

$erivamos-

( 6 x ) ( 2 x −8.5 )−2 x (2 ) ¿ 2

3

(2 x −8.5 )

2

¿ ( 6 x 2 ) ( 2 x −8.5 )=4 x 3 ¿ 6 ( 2 x −8.5 )= 4 x ¿ 12 x − ( 8.5 ) 6 = 4 x 8 x = ( 8.5 ) 6

 x =6.375

40.G encuentre las dimensiones del rectngulo de rea m7ima "ue puede circunscriirse alrededor de un rectngulo de longitud a y anc'o .

, a cos , + ! sin ¿

¿

, ! cos , + a sin ¿

¿ ¿

2 2 2 2 a sin , cos , + a! cos , + a! sin , + ! sin , cos , &7

X

X

X 2

a! ( sin , + c os , )+ sin , cos , ( a + ! )= x 2

2

2

2

a! + ( a + ! ) sin , cos , = x 2

2

(a + ! ) 2

a! +

2

2

( a +! ) 2

. sin 2 ,= x  

$erivamos

2

2

. cos2 , .2= 0

cos2 ,= 0

,= 0

a cos 45 + ! sin 45 = 3  3=

a+!

√ 2

4H.G La seccion transversal de una viga de madera cortada de un tronco circular de diametro d mide 7 de anc'o y y de profundidad. La resistencia de la viga varia directamente con el producto del anc'o y el cuadrado de la profundidad, encuentre las dimensiones de la seccion transversal de ma7ima resistencia.

r=

d 2

 )  x . y

2

= k 

 )= k . x . y 2

2

 x + y =d

2

!-

2

2-

Ceemplazando en !% 2

2

 )= k . x . ( d − x ) 2 3  )= k . x . d −k x ¿   2

$erivamos-

2

 )= k d −3 k x

 x =

d

√ 3 2

 x =

√ 3 d √ 3

Ceemplazando en 2%

 y =

√ 6 d √ 3

4Q.G La iluminancia 9 deida a una fuente de luz o intensidad  a una r de la fuente est dada por 2  '= 4 / r . La iluminancia total proveniente de dos focos de intensidades  4 1 =125  e  4 2 =216  es la suma de las iluminancias. 9ncuentre el punto  entre los dos focos a !#m de distancia de estos en "ue la iluminancia total es m>nima.

2=¿ 216

 4 ¿

 x +  y =10 m 125

 x

2

−

216

 y

−2

125 x

2

=

341

− 216 y−2 = −3

125 (−2) x 125 ( −2 ) x

−3

$erivamos-

100 341

7

y !# m

100

−216 (−2 ) y −3 =0

=216 (−2 ) y −3

3

 x = 3 216  y 125

 x 5 k  =  y 6 k   x +  y =10 11 k =10

k =

10 11

Ceemplazando%  x =

50 11

∧ x =

60 11

2

03.G La energ>a potencial entre dos tomos en una molcula diatómica dada por 9ncuentre la energ>a potencial m>nima entre los dos tomos. 2

5  ( x )=2 / x −1 / x 12

6

 1

5  ( x )= 12 − 6  x  x 5  ( x )=2 x

−12

−1 x−

5  ( x )=2 (−12) x

6

−13

$erivamos-

−1 (−6 ) x−7

−2 4  x−13 =−6 x−7 4 = x

6

 x =√ 2 3

Ceemplazando% 2 3

√ ¿

¿

2 3

√ ¿

¿ ¿12 ¿ 2 3

√ ¿

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

5 ¿ 2 3

√ ¿

¿ ¿

5 ¿

2 3

√ ¿

¿ ¿

5 ¿

2

00.G Una viga de longitud L se incrusta en muros de concreto como se muestra en la )gura. (uando una carga constante 6 0  se distriuye uniformemente a lo largo de su longitud, la curva de desviación y7para la viga est dada por% 2

60 3 2 60 3 3 60 4  y ( x ) = x− x+ x 24 '4  24 '4  24 '4  *olución%

( 3  x −2 3 x + x ) 2

2

3

 y ( x ) =

4

 7 . d 24

+1

Y

¿

2 2 3 4  3  x −2 3 x + x = 0   2

2

$erivamos-

3

 3 2 x −2 3 3 x + 4 x =0 2

2 3  x −6 3 x 2 3x = x

2

+ 4 x3 =0

2

 3=2 x

0Q.G Una persona desea cortar una pieza de !m de longitud de alamre en dos partes. Una parte dee dolarse en forma de c>rculo y la otra en forma de cuadrado. 1(ómo dee cortarse el alamre de modo "ue la suma de las reas sea m7ima 2

 A ∎= x 8 A o= π . )

2

4 x + 2 π)=1

 )=

47

1− 4 x

2VC :lamre & !m

2 π  2

 A ∎= x 8 A o= π . )

2

 

$erivamos-

2

 A ´ = ( 1−2 π) ) 4

9ntonces% 1 −2 π) 2

=2 π)

1−2 π) = 4 π) 1=6 π)

 )=

1 6 π  2

 x =

1 6

Ceemplazando% 4.1 6

( )=

+ 2 π 

4 x =

2

1

6 π 

∧ 2 π)

3

=

1 1 3

6!.G Un vazo conico se elavora a partr de una pieza circular de papel de Cadio RCS al cortar un sector circular y luego unir los ordes somreados como se muestra en la )gura.

(orte r

C '

C

*olucion% 1

V = π r √  ) −r 2

2

2

3

$erivamos0

= (2 r √  ) − r + 2

2 r √  )

2

r= r=

2

3

2 ( )

2

r ( −2 r ) 2

π 

2

− r 2=

r

2

√  ) −r 2

2

)

3

√  )2 −r 2

−r 2 ) =r 2

2 )

2

3

 ) √ 6 3

Ceemplazando en !-% 1

2 )

3

3

V = π .

V =

2 π  9

2

.h

2

 ) h

2

9ntonces el angulo del sector circular% r 9

=

, 360 °

r , =  ) 360 ° ,= 2 π .

,=

 r h

4 πr 3

63.G 9n el prolema 2H, demuestra "ue cuando se usa la candad opma de alamre, la candad minima , entonces el angulo ,  , "ue candad de almre llega asta la andera iz"uierda forma con el suelo es el mismo angulo ,2  "ue el almre 'asta la andera derec'a forma con el suelo. 2

2

2

d = 30 + 10 3

d =10

$el gra)co%

!#

 x =20 √ 2  y =10 √ 2

!#

!#

180− 9

(¿) 2 a = x + y + 2 xy cos ¿ 2

2

Ceemplazando% 3

10

=800 + 100+ 2 ( 20 √ 2 ) ( 10 √ 2 ) . cos 9

cos 9 =0

 9 =90 ° : + ,= 90 ° ,= : 

60.G 9n una carrera, a una mu8er se le solicita "ue nade desde el muelle otante R:S'asta la playa R
:

a ; 1 mill 4 − a ; 1 mill 1=a ( 4 − a)

(

2

1= 4 a −a 2

0 =a

2 milll

7

− 4 a +1

d!

y

a =2  √ 3 (uando nos acercamos al punto R(S%

!# a

4Ga

a =2 + √ 3

! milll

4 milll

a =308 mill $ee ir alrededor de%

3.5 mill

 AUTOEVALUACIÓN

!.G $eterminar los intervalos en los "ue son crecientes cada una de las funciones. a.  y =− x 2  y ´ =−2 x

−2 x =0 2

 x =0 ∀  x ∈ ) ← ∝ ( 0 >¿

 1ecrece x > 0

.  y =( x −3 )2  y ´ =2 ( x −3 )  y ´ =2 x −6 = 0  x =3

∀ x ∈ ) ← ∝ ( 3

Y

 'l f  ( x ) < 0 ∴ 1ecrece x

<3

c.  y =√ 25 −4 x 2  y ´ =  y ´ =

−8 x 2 25− 4 x 2 1

−4 x =0 2 √ 25− 4 x

25− 4 x

2

>0

( 2 x −5)( 2 x + 5 )< 0  x 1=5 / 2 ∧

 Z

 x 2=−5 / 2

M

 Z

M ∴ "rece

∴ 1ecrece 0

< x <

5

− < x < 0 2

5 2

d.  y =√  x − 4  y ´ =  y ´ =

−8 x 2 25− 4 x 2 1

( x − 4 )( 1 ) =0 √  x −4 2

 x > 4

M

∴ "rece 4

< x

2.G $eterminar "ue  y = x 5 + 20 x −6  es una función creciente para los valores de 7. 5

a.

Y = x + 20 x −6

!-

4

 y ´ =5 x + 20 5 x

4

+ 20= 0 f  ( x ) > 0

∀  x ∈ )

∴ "rece cuando x ∈ )

.

3

Y =1 − x − x

7

2

6

 y ´ =0 −3 x −7 x

f  ( x ) < 0

∀  x ∈ )

∴ 1ecrece cuando x ∈ )

3.G Wallar los m7imos y m>nimos, aplicando el criterio de la primera derivada en%

f  ( x )= x + 2 x −3 2

a.

 y ´ =2 x + 2=0  x =−1

Ceemplazamos%

(−1 )2 + 2 (−1 )−3 =−4 .

f  ( x )=− x + 2 x + 3 2

 y ´ =−2 x + 2 =0  x = 1

Ceemplazamos%

−(1 ) 2 + 2 ( 1 )−3 =4 2

c. f  ( x )= x 3 + 2 x2− 4 x −8 2

 y ´ =3 x + 4 x − 4 =0

 x 1=2 / 3

 x 2=−2

∧

Ceemplazamos%

 x 1=

−256 27

 x 2=0

d. f  ( x )= x + 6 x + 9 x −8 3

2

2

 y ´ =3 x + 6 x + 9  x 1=1

 x 2=3

∧

Ceemplazamos%  x 1=−4  x 2=−8

−1

f  ( x )= x − 48 x 3

'.

2

 y ´ =3 x − 2

 x −

16

 x

2

48

 x

4

 x

=0

=0

( )( )=  x −

2

 x +

4

 x

0

2

 x −4  x 1=2

 x 2=−2

∧

Ceemplazamos%

 x 1=32  x 2=−32

.

1 /3

2/ 3

f  ( x )=( x −1 ) ( x + 2 ) 1

−2 / 3

 y ´ = ( x −1) 3

2

( x + 2 )2/ 3+ ( x + 2 )−1 /2 ( x − 1)1 /3 3

2

√ ( x + 2 ) + 2 √ ( x −1) =0  y ´ = 3 √ ( x + 2) 3 √ ( x −1 ) 3

2

3

3

2

3

√ ( x + 2 ) =−2 √ ( x −1 ) 3

2

3

 x + 2=−2 ( x − 1 )

 x 1=0

∧

 x 2=2

Ceemplazamos%

 x 1=−√ 4 3

 x 2= 
0.G $emostrar "ue la función

f  ( x )=

carece de m7imos y m>nimos relavos.

ax + ! cx + !

 y ´ =

 y ´ = ∴ x

ax + ! cx + !

 x ( cx + ! )−( ax + ! ) x

( cx + ! )2  x ( cx −ax )

( cx + ! )2

 & #

( cx − ax ) =0

 x ( c + a )=0 2

 x =0

6.G Walla los m7imos y m>nimos relavos de la función

3 f  ( x )= x − 3 px + = .

 ( x )= x −3 px + = 3

∴ f 

2

Y ´ =3 x −3 p =0 2

 x = p  x 1=√  p ∧ x 2=−√  p

√  p  

N7imo

−√  p  

N>nimo

2