APLICACIÓN 1: Modelo de la Ruta más Corta En la ciudad 1 queda un aeropuerto internacional con afluencia de muchos turistas que desean conocer los centros turísticos indicados en la red de la figura mostrada en la parte inferior. La red muestra la distancia (en kilómetros) de un centro a otro, así mismo muestra las alternativas de traslado. Una agencia de CityTour internacional desea determinar lo siguiente: Para los turistas que desean conocer únicamente el centro turístico número 10 hallar la trayectoria de menor distancia. 680 2
610 5
8
790 790
1050
1030
550 580 1
540
760
3
6
10
900 940
660 770
510 700 4
1390
790 7
9 270
830
SOLUCIÓN: Estructura:
K1 X1
K2 X2
X3
Etapa 4 x4 8 9
r 4(k 4) k 4=10 1030 1390
3
K4 X4
4 Donde: Xi: Estado actual en el que se encuentra el turista en la etapa i r2 r3 r4 X1={1}r 1 X2={2, 3, 4} X3={5, 6, 7} X4={8, 9} Ki: Estado al que dirige en la etapa i K1={2, 3, 4} K2={5, 6, 7} K3={8, 9} K4={10} fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (menor distancia) para el estado Xi desde la etapa i hasta el destino final (nodo 10) ri : Distancia recorrida en la etapa i Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra en la etapa i A continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema aplicando el METODO DE RETROCESO :
1
2
K3
Solución Optima f 4(x4) k 4* 1030 10 1390 10
En la tabla anterior se muestra las distancias más cortas que hay desde el nodo donde se encuentra actualmente (8 ó 9) al nodo final (10).
Etapa 3 r 3(k 3)+f 4(k 3) Solución Optima x3 k 3=8 k 3=9 f 3(x3) k 3* 5 1640 8 610+1030=1640 790+1390=2180 6 1570 8 540+1030=1570 940+1390=2330 7 1660 9 790+1030=1820 270+1390=1660 En la tabla precedente se muestra también las distancias más cortas que hay desde el nodo donde se encuentra actualmente (5, 6 ó 7) hasta el nodo final (10), pasando por 8 ó 9. Estas distancias se determinan aplicando la ecuación recursiva r 3(k 3)+f 4(k 3). Por ejemplo para determinar la distancia que hay entre X3=5 y el nodo final (10), tomando la decisión K3=8, será igual a la distancia que entre la ciudad 5 a la ciudad 8 mas la distancia que hay entre la ciudad 8 hasta la ciudad 10, osea 610+1030=1640. Etapa 2 r 2(k 2)+f 3(k 2) Solución Optima x2 k 2=5 k 2=6 k 2=7 f 2(x2) k 2* 2 2320 5 680+1640=2320 790+1570=2360 1050+1660=2710 3 2220 5 580+1640=2220 760+1570=2330 660+1660=2320
4
510+1640=2150
700+1570=2270
2150
830+1660=2490
5
Etapa 1 r 1(k 1)+f 2(k 1) Solución Optima x1 k 1=2 k 1=3 k 1=4 f 1(x1) k 1* 1 2870 2 550+2320=2870 900+2220=3120 770+2150=2920 La tabla precedente nos muestra las distancias que desde el nodo 1 hasta el nodo 10, pasando por 2, 3 ó 4 y son 2870, 3120 y 2920 kilómetros, respectivamente . Por lo tanto la solución óptima en detalle será: Etapa nodo actual nodo destino Interpretación 1 1 2 Encontrándose en la ciudad 1, se tendrá que ir a la ciudad 2. 2 2 5 De la ciudad 2 ir a la ciudad 5. 3 5 8 De la ciudad 5 ir a la ciudad 8 4 8 10 Finalmente de la ciudad 8 ir a la ciudad 10 La distancia recorrida desde la ciudad 1 hasta la ciudad 10 es 2870 kilómetros.
APLICACIÓN 2 : Análisis de Reemplazo de Equipos La principal máquina de un proceso químico de producción es inspeccionada anualmente, siendo conservada o reemplazada. El costo de mantenimiento y el valor de rescate de esta maquina se presenta en la tabla siguiente: Edad (años): 1 2 3 4 Costo de mantenimiento (miles de $) 700 300 900 1200 Valor de rescate (miles de $) 950 500 200 0 El costo de una máquina nueva es de $ 2 000 000. La vida útil de las instalaciones que realizan este proceso de producción es de 5 años al final de lo cual toda la instalación será rescatada. La máquina actual completará 3 años en la próxima inspección. Determine el plan de mantenimiento y reemplazo de esta máquina. SOLUCIÓN: Estructura: K1 X1=8
K2 X2
2
K3 X3
3
K5
K4 X4
4
X5
5
K6 X6
6
Donde: 1 r2 de la etapa ir3 r4 Xi: Edad delr activo al inicio Ki: Decisión de Conservar o Reemplazar en la etapa i Para la etapa 6 la única decisión es Vender. fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (menor costo) para el estado del activo Xi desde la etapa i hasta el final del horizonte de vida. ri : Costo de reemplazar o conservar el activo. En la etapa 6 el valor de r6 es el producto del valor de rescate del activo. Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra el activo en la etapa i A continuación presentamos la red del problema en términos de costos de reemplazar o conservar el activo.
A continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema:
Año 5
Año 4
Año 3
Los resultados en K3* de RóC indican que posiblemente este problema tiene más de una solución óptima.
Año 2
Año 1
Por lo tanto las políticas óptimas en base a las tablas de recursividad serán: (dos soluciones óptimas) AÑO Alternativa 1 Alternativa 2 1 R R 2 C C 3 C R 4 R C 5 C C V V Analizando la solución óptima de la alternativa 1, se tiene: En el año 1 la decisión óptima será de Reemplazar (R), esto implica comprar una máquina nueva, la cual al final del año tendrá 1 año de edad. En el año 2, dado que se tiene una máquina de 1 año de edad, la decisión óptima será Conservar (C), por lo tanto al final del año 2 la máquina tendrá 2 años de edad, y así sucesivamente se rescata las mejores decisiones en las demás etapas del problema. Entonces si la empresa quiere a la larga optimizar sus costos de operación y mantenimiento, deber aplicar cualquiera de las dos alternativas de políticas de reemplazo para sus activos.
APLICACIÓN 3: Presupuesto de Capital
Una corporación recibe cuatro propuestas de sus tres plantas respecto a la posible expansión de las instalaciones. La corporación tiene un presupuesto de $8 millones para asignarlo. A cada planta se le solicita someta sus propuestas, indicando el costo total (c) y el ingreso total (R) para cada propuesta. En la tabla siguiente se resumen los costos e ingresos (en millones de dólares). La meta de la corporación es la de maximizar el ingreso total resultante de la asignación de los $8 millones a las tres plantas. Determine la asignación óptima de las propuestas a cada planta, suponiendo que se acepta sólo una propuesta por planta. Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Propuesta c1 R1 c2 R2 c3 R3 c4 R4 A 0 0 0 0 0 0 0 0 B 3 5 1 2 2 3 1 3 C 4 6 4 5 3 5 3 6 D 5 8 6 9 SOLUCIÓN: Estructura: K1 X1=8
K2 X2
2
K3 X3
3
K4 X4
4
Donde: Xi: Capital disponible en r la2 etapa i. r1 r3 r4 X1: Capital disponible para las 4 plantas X2: Capital disponible para las plantas 2, 3 y 4 X3: Capital disponible para las plantas 3 y 4 X4: Capital disponible para la planta 4 Ki: Propuesta elegida para la planta i fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (mayor rendimiento) desde la etapa i hasta el final ri : Rendimiento en la etapa i Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra el monto del capital disponible en la etapa i A continuación presentamos las iteraciones recursivas del problema: Etapa 4
Etapa 3
Etapa 2
Etapa 1
En consecuencia analizando las iteraciones recursivas, se tiene la siguiente Política Optima: CAPITAL CAPITAL PLANTA DISPONIBLE PROPUESTA REQUERIDO RENDIMIENTO 1 8 B 3 5 2 5 B 1 2 3 4 C 3 5 4 1 B 1 3 TOTAL 15 A la planta 1 se debera asignar la propuesta B, a la planta 2 también la B, a la planta 3 se debe asignar la propuesta C y a la planta 4 la propuesta B, obteniendo un rendimiento total máximo de 15 millones de dólares.
APLICACIÓN 4: Plan de Producción Un constructor produce barcos a pedido, y tiene los siguientes pedidos para ser entregados al final de los próximos 6 meses: Mes: Jul Ago Sep Oct Nov Dic Nro de barcos: 1 2 5 3 2 1 Él puede construir hasta 4 barcos en cualquier mes, y puede guardar hasta 3 barcos en stock. El costo de construcción de los barcos considera un costo fijo de 10 000 dólares y un costo variable de 4 000 dólares por barco construido. Para mantener un barco en stock durante el periodo de un mes, el constructor gasta $ 1 000. ¿Cuál debe ser el plan optimo de construcción, de modo que se minimice el costo total del constructor?. Formule un modelo de programación dinámica para obtener la solución. SOLUCIÓN: Estructura: K1 X1=8
K2 X2
2
K3 X3
3
K5
K4 X4
4
X5
5
K6 X6
6
Demanda d3=5 d4=3 d5=2 d6=1 Donde: rd11 =1 r2d2=2 r3 r4 Xi: Inventario al inicio del mes i Ki: Número de unidades a producir en el mes i fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (menor costo) desde la etapa i hasta el final ri : Costo de producción + costo de inventario en la la etapa i Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra el inventario inicial disponible en la etapa i Las relaciones siguientes expresan los costos en miles de dólares: 10 4 Ki, siKi 0 Cp(Ki) = 0, siKi 0 Ci(Xi) = 1*Xi A continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema: Etapa 6: Diciembre
Etapa 5: Noviembre
X5+K5≤ 3; 2 porque al menos hay que satisfacer la demanda del mes y 3 por que a lo más se puede almacenar 1 barco para el siguiente mes: X5+K5-d5≤1 X5+K5≤1+d5, como d5=2, se tiene que X5+K5≤3. Etapa 4: Octubre Para esta etapa debe observarse que 2≤
Para esta etapa debe observarse que 3≤ X4+K4≤6;
3 por que la demanda del mes es 3 y 6 por que se puede almacenar
hasta 3 barcos para los posteriores meses: X4+K4-d4≤3 X4+K4≤3+d4, como d4=3, se tiene que X5+K5≤6. Etapa 3: Septiembre
Para esta etapa debe observarse que 5 ≤
X3+K3 ≤ 7
Etapa 2: Agosto
Para esta etapa debe observarse que 3 ≤
X2+K2 ≤ 5
Etapa 1: Julio
Para esta etapa debe observarse que 1 ≤
X1+K1 ≤ 4
Por lo tanto la Solución Óptima será: SOLUCION OPTIMAMes X inicial K Jul 0 4 Ago 3 0 Sep 1 4 Oct 0 3 Nov 0 3 Dic 1 0
d 1 2 5 3 2 1
X final 3 1 0 0 1 0
Cp Ci CT 10+4(4)= 26 3 29 0 1 1 10+4(4)= 26 0 26 10+4(3)= 22 0 22 10+4(3)= 22 1 23 0 0 0 96 5 101 En consecuencia se deberá producir 4, 0, 4, 3, 3 y 0 unidades en los meses de Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre respectivamente, obteniendo un costo total mínimo de 101 mil dólares.
APLICACION 5: Contratación de Personal
Un contratista necesita decidir el tamaño de su fuerza de trabajo en las 5 semanas siguientes. El tamaño mínimo de la fuerza de trabajo necesario para las 5 semanas es de 6, 5, 3, 6 y 8 respectivamente. El exceso de trabajadores que se mantienen en la fuerza laboral costará 300 dólares por trabajador, por semana y las nuevas contrataciones en cualquier semana incurrirán en un costo fijo de 400 mas 200 dólares por trabajador, por semana. Si la fuerza de trabajo inicial es de 4 trabajadores, y el costo de despido en cualquiera de las semanas es de 200 dólares, determine los tamaños óptimos de la fuerza de trabajo para el horizonte de planeación de 5 semanas.
Determinar la política de contratación de personal en un horizonte de 5 semanas SOLUCIÓN: La estructura del problema es: K1
X1=4 X1 El requerimiento semanal de personal es:
1
K2 X2
2
r1
r2
6
5
K3 X3
3
r3
3
K4 X4
4
r4
6
K5 5
r5 8
Donde: Xi: Número de trabajadores disponibles al inicio de la semana i Ki: Número de trabajadores a mantener en la semana i fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (menor costo) desde la etapa i hasta el final ri : Costo de contratación + costo de despido +costo de exceso Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra el número de trabajadores disponibles en la etapa i 400 200 * NroTrabajadoresContr atados, si NroTrabajadoresContr atados 0 0, si NroTrabajadoresContr atados 0
Costo Contratación =
Costo de despido = 200*NroTrabajadoresDespedidos Costo de exceso = 300*NroTrabajadoresExcedentes Entonces las iteraciones recursivas del problema son: ETAPA 5
ETAPA 4
ETAPA 3
ETAPA 2
ETAPA 1
Política óptima: Etapa Xi Ki Requerimiento Contrato Despido Exceso Costo 1 4 6 6 2 800 2 6 6 5 1 300 3 6 6 3 3 900 4 6 6 6 5 6 8 8 2 800 Total 2800
La solución óptima es contratar 2 trabajadores en la primera semana, conservar 6 trabajadores durante las 3 semanas siguientes y contratar 2 trabajadores más en la última semana. Esta política da como costo máximo 2800 dólares. Ejercicio: Determinar la política óptima de contratación de personal, si el requerimiento semanal es: Semana 1 2 3 4 5 Requerimiento 5 3 8 5 7
APLICACIÓN 6: probabilidad de Funcionamiento Considere el diseño de un dispositivo electrónico que consta de cuatro componentes principales. Los cuatro componentes están dispuestos en serie, de manera que la falla de uno de ellos hará que falle todo el dispositivo. (ver siguiente diagrama):
1
2
3
4
La confiabilidad del dispositivo se puede mejorar a través de la instalación de unidades de reserva, lo que significa que cada componente principal puede incluir hasta tres unidades en paralelo. (ver diagrama siguiente):
El capital total disponible para el diseño del dispositivo es $15 000. Los datos de la confiabilidad R i(k i) y el costo ci(k i) del i-ésimo componente ( i = 1, 2, 3, 4) dadas k i unidades en paralelo se resumen a continuación. Suponiendo que el dispositivo debe tener como mínimo 1 unidad de cada componente, determine el número de unidades paralelas, k i, que debe tener el dispositivo de cada componente i de tal forma que se maximice su probabilidad de funcionamiento (confiabilidad) sin exceder el capital asignado. Nº unidades 1 en paralelo P Costo 1 0,8 3 2 0,82 5 3 Nota: el costo esta en miles de soles SOLUCIÓN: Estructura:
COMPONENTES EN SERIE 2 3 P Costo P Costo 0,9 3 0,6 2 0,95 4 0,8 4 0,9 5
4 P 0,7 0,75 0,85
Costo 4 5 7
Donde: Xi: Capital disponible para la etapa i X1: Capital disponible para los 4 componentes X2: Capital disponible para los componentes 2, 3 y 4 X3: Capital disponible para los componentes 3 y 4 X4: Capi tal disponible para el componente 4 Ki: Número de unidades en paralelo asignadas del componente i fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (mayor probabilidad de funcionamiento) desde la etapa i hasta el final ri : probabilidad de funcionamiento en la etapa i Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra el capital disponible en la etapa i Entonces las iteraciones recursivas del problema son: ETAPA 4
ETAPA 3
ETAPA 2
ETAPA 1
POLITICA OPTIMA Componente 1 2 3 4 Capital Disponible 15 2 9 4 Nº Unidades 1 1 3 1 Total Probabilidad 0.8 0.9 0.9 0.7 0.4536 Por lo tanto la solución es incluir 1 unidad del componente 1, 1 unidad del componente 2 y 3 unidades del componente 3, de esta manera el dispositivo alcanza una probabilidad de funcionamiento del 45.36%.
APLICACIÓN 7: Problema de la Mochila
Suponga que se tiene 3 tipos de cargamento a transportar en una barco con capacidad para 10 toneladas. En la siguiente tabla se muestra el peso y la utilidad de cada tipo de cargamento. Utilidad/ unidad de Peso carga Carga A 4 Ton s/. 1100 Carga B 3 Ton s/.700 Carga C 5 Ton s/.1200 Determinar el número de unidades de cada tipo de carga a incluir en el barco de tal manera que se maximice su utilidad. SOLUCIÓN: Estructura
Donde: Xi: Capacidad disponible en la etapa i X1: Capacidad disponible para las 3 cargas X2: Capacidad disponible para las cargas B y C X3: Capacidad disponible para la carga C Ki: Número de unidades a incluir en el barco de la carga i fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (mayor utilidad) desde la etapa i hasta el fin al ri : Utilidad en la etapa i Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra la capacidad disponible del barco en la etapa i Entonces las iteraciones recursivas del problema son: ETAPA 3
ETAPA 2
ETAPA 1
POLITICA OPTIMA Capacidad CARGA Disponible A 10 B 6 C 0
Ki* 1 2 0 Total
Utilidad 1100 1400 0 2500
