UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ASIGNATURA: “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” PROFESOR: L. M. E. EDGAR ESTRADA ESCOBAR ESTRUCTURA DEL CURSO a. b. c. d. e. f. g. h.
Aplicar teoremas para el cálculo de límites y determinación de la continuidad de una función. Resolver ejercicios aplicando la derivada de funciones por incremento y por teoremas. Aplicar criterio de la segunda derivada en el cálculo de máximos y mínimos. Aplicar los teoremas y soluciones de ejercicios de derivadas en problemas de costo, ingreso y utilidad. Aplicar los teoremas de diferenciación en los métodos de integración. Aplicar los teoremas y métodos de integración indefinida en problemas económicos y administrativos. Elaborar gráficas de integrales definidas. Aplicar teoremas y métodos de integración definida en problemas económicos administrativos.
LA MATERIA SERÁ EVALUADA COMO A CONTINUACIÓN SE ESPECIFICA: Conocimientos (50%) Dos exámenes parciales Desempeño (50%) Tareas, ejercicios, prácticas, trabajo en clase. Lectura de un libro por parcial (10%) El libro es designado por el profesor Valores (Puntualidad): De 5 a 10 minutos de tolerancia Pueden entrar al salón de clases después de la tolerancia con falta
80 % de asistencia del curso como mínimo para poder acreditar la asignatura.
Ordinario, extraordinario y título de suficiencia 100 % examen.
PROPÓSITO GENERAL Proporcionar al estudiante conocimientos básicos y aplicaciones como funciones, derivadas, integrales tanto definidas como indefinidas, para poder solucionar problemas prácticos como ingresos, costos y utilidad de un ente económico, aplicando el punto de equilibrio del mercado.
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UNIDAD DE COMPETENCIA I: Aplicar las definiciones de función, límites y continuidad en la solución de problemas en los que se deba determinar la continuidad y la existencia de límites de una función. CONOCIMIENTOS:
CONCEPTOS BÁSICOS
CONSTANTE: Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias. En las expresiones , los números y son constantes y nunca cambian al aplicar estas fórmulas, por ello, a cada una se le llama constante absoluta y se les designa por números. En la ecuación de la recta , las constantes son las letras y , a las cuales se les asignan valores que permanecen durante la solución de un problema específico; a estas se les llama constantes arbitrarias o parámetros. EJERCICIO 1. En las siguientes expresiones identifica cuáles son las constantes absolutas y cuáles son las constantes arbitrarias: EXPRESIONES
CONSTANTES ABSOLUTAS
CONSTANTES ARBITRARIAS
VARIABLE: Las variables pueden ser independientes o dependientes. En las expresiones: ; A las literales A las literales
y
Se les llaman variables. Si los valores de una variable, por ejemplo , dependen de otra variable, por ejemplo , y realizadas las operaciones que se indiquen, si a cada valor asignado a le corresponde uno o más valores a , decimos que hay una relación entre y . A la variable se le llama variable independiente y a la variable se le llama variable dependiente. EJERCICIO 2. En las siguientes expresiones identifica cuáles son las variables independientes y cuáles son las variables dependientes: EXPRESIONES
VARIABLES INDEPENDIENTES
VARIABLES DEPENDIENTES
2
RELACIÓN: Cuando a todo o para algunos de los elementos de un conjunto A, les corresponde, vinculado por alguna condición o propiedad, uno o más elementos del conjunto B, decimos que hay una relación R entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B. PRODUCTO CARTESIANO: Es el producto de todos los posibles pares ordenados, tales que la primera componente del par ordenado es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B. EJEMPLO: Dados los conjuntos A y B, y la relación R “es mayor que”, obtener el producto cartesiano y representar la solución en el plano cartesiano y mediante la gráfica sagital. {
}
{
}
y
Obtenemos el producto cartesiano de los conjuntos: 8 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)(
)}
Las únicas parejas relacionadas con la condición “es mayor que” son: {( ) ( ) ( ) ( )} 6 A
4 (4,3)
(6,3)
(4,2)
(6,2)
2
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
B
1
2
4
3
6
7
9
-2 DOMINIO: Se llama dominio de la relación R al conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen a A { } x B. Continuando con el ejemplo anterior, el
-4 CONTRADOMINIO: Se llama contradominio de la relación R al conjunto de las segundas ordenadas que { } pertenecen a A x B. Continuando con el ejemplo anterior, el
-6 { } { } y la regla de correspondencia “es menor que”, obtener el EJERCICIO 3. Dados los conjuntos conjunto solución, representarlo mediante el plano cartesiano y la gráfica sagital y señalar el dominio y -8 contradominio:
3
FUNCIÓN: La función en un caso particular de las relaciones en las que: a todo elemento de un conjunto A le corresponde un solo elemento de un conjunto B. En cambio en las relaciones a todos o algunos elementos del conjunto A se les pueden asignar uno o más elementos del conjunto B. Si tenemos dos conjuntos A y B, y una regla que asocie a todo elemento del conjunto A, con uno y sólo un elemento del conjunto B, entonces decimos que tenemos una función definida en A con valores en B Ejemplos: Sean los conjuntos
{
}
{
}
A
B
A
B
M
I
M
I
P
M
P
M
J
P
J
P
A
B
A
B
M
I
M
I
P
M
P
M
J
P
J
P
No es función porque un elemento del dominio tiene más de un asociado con el contradominio
Se dice que para .
B
M
I
P
M
J
P
No es función porque un elemento del dominio no se asocia con el contradominio
Sí es función
Sí es función
A
Sí es función
es una función de , cuando a todo valor de , se hace corresponder de alguna manera, un valor
4
NOTACIÓN: El símbolo ( ) ( )
( ), etcétera. Se utilizan para designar una función de , y se lee
FUNCIONES EXPLÍCITAS Y FUNCIONES IMPLÍCITAS Si están indicadas las operaciones que hay que realizar con la variable independiente para obtener la dependiente, se dice que la función está en forma explícita. En caso contrario es implícita, ejemplo: FUNCIÓN EXPRESADA EN FORMA EXPLÍCITA
FUNCIÓN EXPRESADA EN FORMA IMPLÍCITA
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EJERCICIO 4. Grafica las siguientes funciones de acuerdo al dominio, señala el contradominio que resulte, tabula o construye la tabla de valores: 1.
( )
√
2. 3. 4.
( ) √
5.
5
ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN Para estudiar una función ( ) es necesario conocer los valores que podemos asignar a la variable independiente y que pueden ser cualquiera del conjunto de los números reales; de un subconjunto de éstos; en grados sexagesimales, o en radianes, que se expresan en su dominio, llamado por algunos autores dominio de definición de la función. Si ( ) es una función de y es un valor que está en su dominio, la expresión ( ) significa el valor numérico que obtenemos al sustituir por en ( ); o sea, el valor que toma ( ) cuando Ejemplos: Si ( ) ( ) ( (
( ) ( ( )
)
(
)
( )
( )
)
) (
( )
) (
)
EJERCICIO 5. Evalúa las siguientes funciones: 1. Si ( )
(
2. Si ( )
) ( )
3. Si ( )
( ) ( )
4. Si ( ) 5. Si ( )
( )
(
) ( ) (
)
( )
(
( )
(
)
( )
)
( ) ( )
6
FUNCIONES CRECIENTES O DECRECIENTES A. Una función es creciente cuando se cumple ( función ( ) es creciente.
)
( )
para cualquier
positiva; entonces la
Recordemos que en la recta numérica si señalamos un número real cualquiera, otro número que esté a su derecha es mayor que él. Si tenemos que es un número real, entonces debe ser positivo. B. Una función es decreciente si se cumple ( función ( ) es decreciente. EJEMPLO: Señala si la función ( )
está a la derecha de . Además el valor de )
( )
para cualquier
siempre
positiva; entonces la
es creciente o decreciente.
Solución: ( ) Analizamos el comportamiento de ( ) en el punto (
)
(
Analizamos ( (
)
; entonces:
) )
( ) para determinar si el valor es mayor o menor que 0.
( )
Como señalamos que
(
)
siempre es positiva, es evidente que el resultado del ejemplo,
concluimos señalando que como (
)
( )
es positivo;
entonces: ( )
EJERCICIO 6. Señala si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes: 1.
( )
2.
( )
3.
( )
7
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Nos interesa seguir analizando el comportamiento de una variable cuando su valor se aproxima a una constante, ahora dentro de una función. EJEMPLO: Si tenemos la función – forma explícita .
y queremos analizarla cuando
La variable independiente es , la dependiente , tabulamos y asignamos valores a la izquierda y por la derecha (piensa en el número 3 situado en la recta numérica) Valores por la izquierda son crecientes 2 2.9 2.99 2.999
, la transformamos en su
que se aproximen a 3, por
Valores por la derecha son decrecientes
0 .9 .99 .999
4 3.1 3.01 3.001
2 1.1 1.01 1.001
Observa
Para este ejemplo se dice que el límite de la función ( )
cuando
tiende a 3 es 1, se expresa:
CONCEPTO DE LÍMITE: Cuando una variable se aproxima cada vez más y más a una constante , de tal manera que la diferencia , en valor absoluto, puede ser tan pequeña como se quiera, se dice que la constante es el límite de la variable . Se expresa
o también
EJERCICIO 7. Tabule para los valores que asigne a la variable independiente por la izquierda y por la derecha y calcule el límite de cada una de las funciones siguientes: 1.
(
)
2.
(
)
3.
(
4.
(
5.
(
) ) )
(
)
8
PROPOSICIONES PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES (TEOREMAS) Sería muy laborioso si todo problema sobre límites se tuviera que resolver tabulando la función para sucesiones de valores de la variable independiente. Por ello, se dan las proposiciones siguientes que permiten resolver los problemas de límites por sustitución directa. A. El límite de una constante cuando
tiende al valor , es la constante.
Ejemplo: B. El límite de
cuando
tiende al valor
es
Ejemplo: C. El límite de la suma de un número finito de funciones cuando límites.
tiende al valor , es igual a la suma de sus
Ejemplo: D. El límite del producto de un número finito de funciones cuando sus límites.
tiende al valor , es igual al producto de
( )
Ejemplo:
E. El límite del cociente de dos funciones cuando tiende al valor , es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador no sea igual a cero. Ejemplo:
(
)
(
)
( )( ) ( )( )
F. Para calcular el límite de un polinomio entero en directa el valor de la expresión para . ( )
Ejemplo:
( )
cuando
tiende al valor , obtenemos por sustitución
( )
Nota: Recuerda que en los números reales no existe la división entre cero. Si al realizar las sustituciones el denominador es cero, la función puede o no tender hacia un límite. EJERCICIO 8. Aplica la sustitución directa y calcula los siguientes límites: 1.
4.
2.
5.
3.
7. 8.
10.
(
)
11.
6. 9. 9
LIMITES DE OTRO TIPO A. Cuando
B. Cuando
1.
1.
2.
2. 3. 4.
EJERCICIO 9. Calcula los siguientes límites: 1. 2.
(
(
)
)
3. 4. 5.
(
6.
(
) )
7. 8. 9.
√
10.
10
FORMAS INDETERMINADAS En algunos casos (los más frecuentes en examen) al reemplazar por un número determinado , la función ( ) adopta algunas veces las formas o de ; expresiones que como no representan ningún valor determinado se le llama a cada una indeterminada. A. Forma indeterminada En el tema límites de otro tipo señalamos: 1. 2. En algunos casos con la sustitución directa se obtiene como resultado , que es una indeterminación; para evitarla y según proceda, podemos: factorizar, racionalizar el numerador y el denominador, o sustituir la relación trigonométrica por otra equivalente. Ejemplos. Calcula los siguientes límites:
1)
√
3)
Tratamos de evitar la indeterminación así: (
)(
(
)
Trataremos de evitar la indeterminación y racionalizamos el numerador; con este fin utilizaremos el binomio conjugado. (√ (
√
)(√ )(√
) )
√ (
√ )(√
)
(
)(√
)
√
)
√
2)
√
4)
Tratamos de evitar la indeterminación Tratamos de evitar la indeterminación con la relación trigonométrica así: . (
) (
)
( ( )
)
11
B. Forma indeterminada En el tema límites de otro tipo señalamos: 1. 2. En algunos casos hecha la sustitución directa cuando , se obtiene como resultado ; para evitar esta indeterminación, dividimos ambos términos por la más grande potencia de que entra en la función. Si los grados del numerador y denominador son iguales, entonces una vez que se realiza la operación anterior el límite será distinto de cero. Ejemplos. Calcula el límite:
Tratamos de evitar la indeterminación; dividimos el numerador y el denominador entre potencia de y obtenemos:
, que es la máxima
EJERCICIO 10. Resuelve los siguientes ejercicios tratando de evitar la indeterminación: 1.
8.
2.
9.
3.
10.
4. 5. 6. 7.
12
CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD En un problema sobre continuidad podemos: Primero: Determinar si la función ( ) es continua o discontinua en un punto dado. Segundo: Determinar en qué puntos es discontinua la función ( ) A. Una función ( ) es continua en un punto 1) Existe ( ) 2) Existe ( ) 3)
si:
( ) ( )
B. Una función ( ) es discontinua para Ejemplo 1. Determina si la función ( )
si no satisface las condiciones de continuidad. es continua en
.
Solución: Analizamos si cumple las condiciones de continuidad. ( ) 1) ( ) 2) 3) Como se cumple que Ejemplo 2. Determina si la función ( )
( ) la función es continua en es continua en
.
.
Solución: Analizamos si cumple las condiciones de continuidad. ( ) 1)
( )
2) 3) Como se cumple que Ejemplo 3. Determina si la función ( )
( ) la función es continua en es continua en
.
.
Solución: Analizamos si cumple las condiciones de continuidad. ( ) 1)
( )
2) 3) Como no se cumple que el
( ) la función no es continua en
. 13
Ejemplo 4. Determina si la función ( )
√
es continua en
.
Solución: Analizamos si cumple las condiciones de continuidad. ( ) 1) 2)
√ ( )
( ) ( )
√ √
√ √
Ya no es necesario continuar el análisis, puesto que el resultado de ( ) y el del límite, es un número imaginario. La función no es continua en
.
DISCONTINUIDAD EVITABLE En algunos casos la discontinuidad es evitable asignando a la función otro valor para ( ). Ejemplo. Determina si la función ( )
es continua en
.
Solución: Analizamos si cumple las condiciones de continuidad. ( )
1)
( )
2) Conforme a lo señalado en el tema de límites, podemos factorizar, racionalizar el numerador y el denominador, o sustituir la relación trigonométrica por otra equivalente. ( )
(
)(
)
Ahora analizamos nuevamente la función para determinar si cumple las condiciones de continuidad. ( ) 1) ( ) 2) 3) Como se cumple que
( ) la función es continua en
.
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En el ejemplo ( )
, que se analizó en el tema de continuidad y discontinuidad, la discontinuidad que se
presentó no pudo evitarse puesto que la expresión continua.
no es posible sustituirla por otra equivalente que sea
Una función ( ) es continua en un intervalo si es continua para todos los valores de comprendidos en él; y es discontinua si se produce alguna discontinuidad para algún valor de en el intervalo.
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS DE DISCONTINUIDAD En algunos casos es necesario, dada una función ( ), determinar los puntos de discontinuidad. Para el efecto tomamos en consideración las proposiciones (teoremas) siguientes: A. Un polinomio entero en es una función continua para todos los valores de la variable . B. La suma, producto y diferencia de funciones continuas, es una función continua. C. Las funciones racionales son continuas para todos los valores de que anulen al denominador. Ejemplo 1. Determina los puntos de discontinuidad de la función si la función ( )
.
Con base en la proposición A es continua para todo valor que asignemos a la variable .
Ejemplo 2. Determina si la función ( )
es o no continúa en todo su dominio –
Enunciado de otra forma la proposición C, indica que las funciones son discontinuas para los valores de anulan el denominador.
que
De ahí que ahora resulta necesario recordar que un polinomio se anula al sustituir la variable por el valor de sus raíces (lo usamos al comprobar ecuaciones). Solución: Primero deben calcularse las raíces.
√
Por lo tanto la función ( )
no es continua.
Analizamos para determinar si la función cumple con las condiciones de continuidad en ( ) 1)
.
, para ( )
2) 15
Al llegar a este resultado ya no continuamos con el análisis La función ( ) no es continua para 4 y el análisis es igual al realizarlo para ).
, ni para
(ya que al elevar al cuadrado
se obtiene
Ejemplo 3. Determina los valores de , para los cuales la función que se da a continuación no es continua. ( ) Con base en la proposición C, las funciones racionales son continuas para todos los valores de el denominador. Los valores que anulan el polinomio son sus raíces.
que no anulen
Solución: Primero deben calcularse las raíces. (
)(
)
Puedes analizar para determinar si la función cumple con las condiciones de continuidad en como en el ejemplo 2. Ejemplo 4. Determina los valores de , para los cuales la función
( )
es continua.
( ) Con base en la proposición C, las funciones racionales son continuas para todos los valores de que no anulen el denominador. El valor que anula al binomio es es su raíz. Solución: Primero deben calcularse las raíces.
Puedes analizar para determinar si la función cumple con las condiciones de continuidad en ejemplo 2.
como en el
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EJERCICIO 11. Determina si las funciones ( ) que se dan a Determina para cada una de las funciones que se continuación son continuas para los puntos indicados indican a continuación si son continuas en todo su en cada caso. Realiza la comprobación dominio. correspondiente. ( ) 9. ( ) 1.
10. ( )
2.
Determina los puntos de discontinuidad en las funciones siguientes: 3. 4. 5. 6. 7. 8.
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