MATIMA TICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS A. K. Boiarthulc
Variable compleja Funciones de variable compleja Traducido del ruso bajo Ia dirccci6n del doctor en Ciencias Ffsico-matem<1ticas
Viktoria 0. Malishenko y del ingenicro industrial
Guillermo Pena Feria Revisi6n cicntifica del doctor en Ciencias Ffsico-matem<1ticas
]airo Correa Rodriguez_
Moscu. 2002
~
URSS
66K 22. 1H73, 22. 16 1.6
5oRp•tyK AAeKceu KlluMeHm beBu•t C npaso•u1oe noco6ue no Bblcrnelt MaTeMaTifKe. ToM 4. qaCTb
1.
Boiarchuk Aleksei Klimientievich Matematica superior. Problemas resueltos. Torno. 5. Variable comple ja: funciones de variable compleja.
Pr6logo a "Variable compleja"
Tmducido de Ia edici6n m sa (Editorial URSS, Mose~i, 2001) La colecci6n " Anti0emid6vich" que proponemos a( lector abarca casi todas las ramas de las matematicas. En "Variable compleja" se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas d e difi~l~a_d media o alta. Es te tomo incluye un repaso de las estructuras fundamentales del analts1s matematico, numeros complejos, funciones de variable compleja y un estudio detallado d e las funciones elementales en cl plano complejo.
Rcservados todos los dercchos en todos los idiomas y en todos los paiscs del mundo. Quedan rigurosamente prohibidas, sin Ia autorizad6n escrita de los titularcs del "Copyright",. bajo l~s sanciones establecidas en las !eyes, Ia reproducd6n total o parcial de esta obra por cualqutcr medto o procedimiento, comprcndidos Ia rcprografia y el tratamiento informatico, y Ia distribuci6n de ejemplarcs de ella mediante alquiler o prestamo publico.
ISBN 5-836()-()452-8 (Obra complcta) ISBN 5-836()-()453-0 (Torno 5)
14JAarenbCTDO •3J111TOpHan YPCC•. 113208, r. MOl..l.8.953.n .270.3.99 OT 30.03.99 r. n OAniiCaHO K OO'Iarn 24.07.2002 r. opo.car 70 x 100/16. T"'pax 2100 310. n e,. n. 20. 3aK. Ni 36 Om~araHo
a 000 •Apr·J111an•. 129110, r. MocKDa, yn. 6 . nepeRcnaaeteaR, 46. .
Entre los textos recomendados para el estudio de Ia teorfa de funciones de variable compleja hay muchos manuales y materiales did;kticos muy completos que tienen por autores a cientificos de fama mas que reconocida: A. I. Markushevich, M. A. Lavrientiev, B. V. Shabat, I. I. Privalov, A. V. Bitsadze, M.A. Evgrafov, A. Hurwitz, R. Courant, etcetera. Lamentablemente, en lo que respecta a! volumen, elecci6n y distribuci6n del material, Ia mayorfa de estos libros no estan adaptados a los programas de los cursos de teoria de funciones de variable compleja que habitualmente se imparten en las facultades de matematicas y fisica de las universidades de Rusia y otros paises de Ia CE£. Separar de un libro voluminoso el material principal de modo que se forme un curso integro, l6gicamente acabado y aj ustado a! programa de estudios no es facil ni para un profesor con poca experiencia, ni para un estudiante o un posgraduado. Las razones anteriores motivaron al autor a escribir un libro que corresponda al nivel actual de los progra mas universitarios del curso de teoria de funciones de va riable compleja que no este saturado de detalles y que contenga un gran numero de problemas resueltos. En este tomo se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas de d ificultad media o alta. Muchos libros de teorfa de funciones de variable compleja se caracterizan por contener desacuerdos e imprecisiones en Ia terminologfa basica. Por ejemplo, en d istintos lugares de un rnismo libro el concepto de funci6 n analitica puede tener un sentido diferente. El autor ha ten.ido en cuenta este hecho; todos los conceptos considerados en el presente libro tienen un sentido claramente determinado. En el comienzo de Ia obra se da una definicion rigurosa de funci6n (y no su descripci6n, como se suele hacer en Ia mayor parte de los manuales), se considera n las operaciones con conjuntos y los aspectos principales de Ia teorfa de espacios metricos. Sin incluir este material en el libro, seria imposible exponer las cuestiones principales al nivel matemcitico que se requiere en Ia
actualidad. Por ello, incluso una lectura rapida de ese pequefio capitulo es muy aconsejable para entender el resto de Ia obra, en donde se exponen los temas tradicionales de Ia teoria de las funciones analiticas, creada en el siglo XIX, primordialmente gracias a las obras de A. Cauchy, B. Riemann y K. Weierstrass. En el libra se presta mucha atenci6n a las cuestiones practicas relacionadas con las transformaciones conformes.
El nutor
Estructuras fundamentales del analisis matematico En este capitulo se incluyen los conocimientos basicos referentes a Ia teoria de conjuntos y aplicaciones que se usaran mas adelante en Ia exposici6n del material basico del libra. Se examina de forma bastante completa Ia teoria de los espacios metricos, se dan los conceptos basicos, y se utiliza Ia notaci6n establecida en los curses de analisis matematico moderno.
§ 1. Elementos de la teoria de conjuntos y aplicaciones 1.1. Simbolos 16gicos En las ma tematicas, en Iugar de expresiones verbales a menudo se utilizan simbolos adoptados de la l6gica. Asi, en vez. de las expresiones "para todo", "para cada", "para cualquier" se utiliza el simbolo V, yen Iugar de Ia palabra "existe", el simbolo 3. Estos simbolos se denominan, respectivamente, cunntificndor universal y cunr!tificador existencial. Las frases "para todo .. . " y "existe .. . " suelen ir acompanadas de ciertas restricciones, anotadas entre parentesis. En Iugar de Ia frase "tal que" se utilizan dos puntas o una barra vertical. El enunciado de cada teorema contiene una propiedad A (premisa) y una propiedad B (conclusi6n) deducible de A. Brevemente la expresi6n "A implica B" se denota en Ia forma
Estructuras fundamentales del analisis matematico
" A => B " (=> es el simbolo de implicnci6n). El teorema redproco, si este es va lido, se escribe en Ia forma B => A. Si el teorema y su redproco son validos, las p ropiedades A y B son equivalentes. En este caso se escribe A +--+ B ( +--+ es el simbolo de equivnlencin) y se dice: "Para A es necesario y suficiente B ", o bien "A si, y solo si, B". Si un objeto posee una propiedad A o una propiedad B , entonces se escribe A v B , o tambien " A o B " {V es el simbolo de disyunci611). La no tacion A v B significa que cs valida al menos una de las propiedades A o B . Si ambas propiedades A y B son validas simultaneamente, este hecho se escribe en Ia forma A 1\ B , o "A y B" (1\ es el simbolo de co11junci6n). La notacion -,A significa "no A", "no es valid a A " (..., es el simbolo de negnci611). En Iugar de Ia expresion "existe un t'mico" se utiliza el slmbolo ! , y Ia expresion "es igual por defin icion" se dcnota ' bo Io de! med .tante eI sun =. Toda proposicion puede escribirse utilizando solo simbolos logicos. En este caso 'Ia negacion de una propiedad P escrita con ayuda de cierto nu mero de cuantificadores V y 3 se obtiene cambiando cada cuantificad or V por 3 , 3 por V y Ia propiedad P por su negacion. Por ejemplo, sea f (x) una fu nci6n numerica de variable real. Entonces Ia propiedad de f(x) de ser continua en todo punto de Ia recta numerica se escribe en Ia fo rma siguiente: (V a E IR) (V c >- 0) (3 0
> 0) (V x
E IR, if(x) - f(a)i < c;
lx - al < 6):
mientra~que Ia propiedad de f (x ) de no ser siempre continua, es decir, de ser discontinua al menos en un punto, se escribe como sig ue:
(3 a E IR) (3
c > 0) (V 0 > 0) (3
x E IR,
lx - al < 6):
lf(x) - f(a)l > c. Para demostrar algunos teoremas utilizaremos el metodo de reducci6u nl absurdo, hacienda uso, ademas, de Ia ley del tercio e.:rcluso (ley de contrndicci6n). Segun esta ley Ia proposici6n A v -,A (A o no A ) se considera valida independ ientemente del contenido de Ia proposici6n A . Sefialemos que -,(-,A) +--+ A, es decir, Ia doble negaci6n es equivalente al enunciado inicial.
1.2. Notaciones utilizadas en la teoda de conjuntos El concepto de conjunto se considera primario, por eso nos limi taremos a Ia exposici6n de los terminos y notaciones que seran necesarios mas adelante. · Los conjuntos se denotan med iante letras mayusculas, por ejemplo, M . La expresion a E M se lee asf: " a es un elemento del conjunto M " o " a pertenece al conjunto M ". La notacion M 3 x se lee asi: "el conjunto M contiene el elemento x ". Si el elemento x no pertenece al conjunto M, entonces se escribe x ¢ M , o bien M 75 x. La expresi6n M = {a, b, c, ... } se lee as!: " M es el conjunto comp ueslo de los elementos a, b, c, etc." N6tese que un conjunto puede contener un solo elemento, por ejemplo, M = {a}. Si ciertos elementos del conjunto M gozan de una propiedad P , entonces Ia notaci6n M 1 ={a EM: a tiene Ia propiedad P } se lee: "M 1 es el conjunto de tod os los elementos a del conjunto M que tienen Ia propiedad P ". Por ejemplo, Ia notacion M 1 = {x E IR: x ~ 0} representa el conjunto de todos los numeros reales no negativos. Los simbolos E y 3 se Fig. 1
denominansimbolos de perlenencia. AI definir un conjunto mediante cierta propiedad, frecuentemente no se sabe de antemano si existen o no elementos que posean d icha propiedad. Por tanto, es conveniente introducir el conjunto que no contiene ningt.n elemento. Dicho conjunto se denomina vacio y se denota mediante el simbolo 0. Sean Mt y M2 dos conjuntos. Si cada uno de los elementos del conjunto M 1 pertenece al conjunto M2, entonces el conjunto M 1 se denomina subconjunto del conjunto M 2 (fig. 1). En este caso se escribe Mt C M2, o bien M 2 :J M 1 y se lee: "el conjunto M2 incluye al conjunto M 1". Los simbolos C y :J se denominan simbolos de inclusion. Los conjuntos compuestos de los mismos elementos se consideran iguales. Es evidente que M 1 = M2 +--+ (Mt C Mz) 1\ (M2 C Mt).
Estructuras fundamentales d_el.an~lisis matematico itulo 1 Si en e l conj unto M 1 hay elementos que no pertenecen .al conj un to M 2 , en tonces M 1 no esta contenido en M 2 y se escribe M 1 rf_ M2, o bien M 2 1> M,. Senalemos que todo conjunto M contiene e l conjunto vado como su subconjunto. En efecto, en caso contrario, el conjunto vado contendria al menos un elemento que no pertenece al conjunto M . Pero el conjun to vado no tiene ningun ele mento. En adelante usaremos las notaciones siguientes: 0 cs el conjunto vado; exp M es el conjun to de todos los subconjuntos de M ; N es el conjunto de los numeros naturales; Z 0 es el conjunto d e los nu meros enteros no nega tives; Z es el conjunto de los n umeros enteros; Q es el conjunto de los numeros racionales; R es el conjunto de los numeros reales; C es e l conjunto de los numeros complejos.
1.3. Nfuneros naturales. Metodo de inducci6n matematica Uno de los conjuntos mas importantes en las matematicas es el conjunto N d e los numeros na turales. En este conjunto esta definida Ia operacion de adicion y se verifican las siguientes propiedades: 1) si n E N, entonces (n + 1) E N; 2) si un conjunto M contiene el 1 y, ademas, d e n E M siempre se d educe que (n + 1) E M , entonccs M ::> N.
Entonces, tod as las p roposiciones A 1, A2, ... son valid as. Como vemos, el metoda de induccion matema tica se reduce a Ia hi potesis de induccion. En efe~to, supongam os que M {n E N: An es vcllida}. Entonces, por el lema 1 tenemos que 1 E M , y partiendo del lema 2 se deduce que n E M => (n + 1) E M. De acuerdo con Ia hipotesis d e ind uccion ('II n E N): n E M , es decir, todas las proposiciones A 1, A 21 . •. son validas. - ---._ Demostremos, por ejemplo, que V n E N se verifica Ia igualdad
=
~ k2
w
_
-
n(n + 1)(2n + 1)
6
( ) 1
.
k=l
Comprobando d irectamente, vemos que se verifica el lema 1. Supon iendo que Ia ig ualdad (1) se cumple para n E N, tenemos n+ l
L
2 k=
n(n + 1)(2n + 1)
6
k=l
(n
( )2 +n+ l =
+ 1)(2n2 + 7n + 6) 6
=
(n + 1)(n
+ 2)(2n + 3) 6
es decir, e l lema 2 ta mbien es valido. Asi pues, Ia formula (1) qued a demostrad a.
1.4. Operaciones elementales con conjuntos
La p ropied ad 2) se denomina lripofesis de inducci6n. Bias Pascal (1623-1662) fue el primero que propuso un metoda d e demostracion basado en Ia induccion, conocido como metoda de inducci611 matematica (completa), el cual consiste en lo siguiente. Supongamos que p ara las proposiciones A 1, A2 , A3 , .•• se verifican los dos lemas de Pascal:
Definicion 1. Se denomina iutersecci6n d e l<_>s conjuntos M, y M2 al conjunto
Lema 1. La proposici6n A 1 es valida. Lema 2. Para todo n E N, de la validez de An se deduce [a validez de la proposici611 An+l·
Sean M 1 E exp M , M2 E exp M. La intersecdon d e los conjuntos M 1 y M 2 esta compuesta solo d e los elemen tos que pertenecen simultaneamente a ambos conjuntos M,, M2 (fig. 2).
Fig.2
La diferencia de los conjuntos M 1 • y M 2 esta compuesta solo de los elementos del conjunto M 1 que no pertenecen al conjunto M2 (fig. 5). Si M 1 :J M2·, entonces Ia diferencia M 1 \ M 2 se denomina tambien complemento de M2 e11 M 1, y se denota mediante el simbolo eM, M2 (o bien CM2 , si esto no provoca confusion). Sean M 1 E exp M, M2 E exp M. Entonces son validas las igualdades
Fig.3
_Si ta le~ _elementos no existen, los conjuntos M 1 y M 2 se denomrnan diSJllnfos y se escribe M 1 n M 2 = 0 (fig. 3).
= CM1 n CM2, C(M1 n M2) = CM1 U CM2. C(M 1 U M2)
(1)
Las dos igualdades (1) expresan las /eyes de Morgn11. Demostremos Ia primera. Sea x E C(M1 U M2). Tenemos:
Definicion 2. Se denomina uni611 de los conjuntos M 1 y M 2 al conjunto M1 U M2
Fig.S
= {a: a E M 1 V a E M 2}.
X
E C(Ml u M2) :::}
La union de los conjuntos M 1 y M 2 se compone de los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos M1 y M2 (fig. 4).
:::? :::?
Ml u M2 :::} X f/. Ml 1\ X f/. M2 :::} x E CM1 1\ x E CM2 :::? x E CM1 n CM2 :::? C(M1 U M2) C CM1 n CM2.
X
f/.
Si y E CM1 n CM2, obtenemos
y E CM1 n CM2 :::? y E CM1 1\ y E CM2 :::? => y f/. M1 1\ y f/. M2 :::? y f/. M1 U M2 :::? y E C(M1 U M2) :::? :::? CM1 n CM2 C C(M1 U M2).
:::?
Fig.4
Definicion 3. Se denomina diferellcin de los con1·untos M 1 y M 2 al conjunto
De Ia formula (2) vemos que, al intercambiar el simbolo de complemento c con los simbolos u y n, estos ultimos se intercambian entre si.
l
1.5. Par ordenado y producto cartesiano de conjuntos Con ayuda del concepto de par ordenado se introduce una operaci6n mas sobre conjuntos: el producto cartesiano. En las matematicas es de gran importancia el concepto de par ordennY do (x, y) compuesto de elementos de un mismo conjunto o de conjuntos M(x,y) distintos X e Y . La proy ---- --- ------ ---<~ I piedad principal de los I I pares ordenados es Ia siI I g uiente: dos pares ordeI I nados (x,, y 1) y (x2, y 2) X se consideran igunles si, X y s6lo si, x, = x2 e Y1 = Y2· E1 elemento x Fig.6 se llama primera componente (coordennda) del par (x, y), rnientras que el elemento y es Ia segunda componente (coordenada). AI igual que el concepto de conjunto, el concepto de par ordenado se considera primario.
1.6. Relaciones binarias. Proyecciones y secciones de una relacion binaria. Relacion binaria inversa Definicion. Un conjunto r se denomina relacion binnria entre los elementos de los conjuntos X e y si r c X X Y. Con las relaciones binarias se pueden realizar no s6lo las operaciones elementales definidas para los conjuntos (intersecci6n y union), sino tambien las operaciones especiales de proyecci6n e inversion. Se denomina primem proyeccion de Ia relaci6n binaria r C X x Y al conjunto ft
= pr1f = {x E X: 3 y E Y:
(x, y) E f} .
y
De~nici6n. Se denornina producto cnrtesinno de los conjuntos X e y al COnJU11tO
X x Y = {(x,y): x E X , y E Y}.
El product_o ca~t~siano de dos rectas diferentes que se cortan se puede tdenhflcar con el plano que las contiene. La identificaci6n se efectua seglln Ia regia M = (x, y) (fig. 6). En esta propiedad se basa el metoda de coordenadas de resoluci6n de problemas geometricos propuesto por el famoso matematico Rene Descartes (1596-1650), en cuyo honor el producto se denomina "cartesiano". Hacienda uso del metoda de inducci6n matematica podemos definir el conjunto ordenado de n + 1 elementos . (x ,, X2, . . . , Xn+l) = ((x,, X2, ... , X 11 ), X 11 + 1), n ~ 2, y el producto cartesiano de n + 1 conjuntos x, X x2 X ... X
X n+l = (X,
X x2 X ... X
X n)
X
X,.+l ·
t>
X
X
Fig. 7
La primera proyecci6n de Ia relaci6n binaria r esta compuesta de las primeras coordenadas de los pares ordenados pertenecientes al conjunto r (fig. 7). El conjunto f 1 (x) = {y E Y: (x, y) E f} se denomina seccion primem de r mediante x (fig. 7) y esta compuesta de las segundas coordenadas de todos los elementos de r cuya primera
y
i11versa
r-1 segUI\ Ia reg~a r - 1 = {(y, x):
(x, y) E f}
(fig. 9). A menudo, Ia operacion de inversion de Ia relacion binaria r sc denornina operaci611 de transposici611 de Ia relacion binaria r.
y
1.7. Relaciones binarias funcionales. Funciones. Conceptos elementales X Fig.8
coordenada es ig ual a x. La secci6n primera de r mediante x es e[ conjunto vacfo 'if X rf_ f1. Se denomina segunda proyeccion de Ia relaci6n binaria r el conjunto
f2
= pr2f = {y E Y : 3 x E X:
(x, y) E r}.
La segunda proyecci6n de Ia relaci6n binaria r es el conjunto de todas las segundas coordenadas de los pares ordenados pertenecientes al conjunto r (fig. 8). El conjunto f2(y) = {x E X: (x,y) E r} se denomina seccio/1 segzmda de r mediante y (fig. 8). El conjunto f2(y) esta compuesto de las primeras coordenadas de todos los elementos de r cuya segunda coordenada es igual a y . La secci6n segunda de r mediante y es el conjunto vaVy rf_ r 2 • cio X A cada re)acion binaFig.9 ria r se le puede hacer corresponder su relaci611 binaria
Una relacion binaria r se denomina relaci611 bi11aria funciollal si no contiene pares ordenados cuyas primeras coordenadas sean iguales. Enunciemos ahora Ia definicion principal de aplicacion entre dos conjuntos X e Y .
Definicion 1. La terna ordenada de conjuntos (X , Y , r) se denomina r es una relacion binaria funcio nal entre los elementos de los conjuntos X e Y. El conjunto r se llama gni.fico de Ia aplicaci6n.
aplicaci611 del COIIjUIIfO X (dominio) ell el conjrmfo y (codominio) si
Las aplicaciones se denotan usualmente mediante una tetra latina minuscula, por ejemplo, f . Ademas, en Iugar de f (X,Y,f) se escribe f: X -+ Y . SiX e Y se conocen, entonces, segUI\ Ia definicion, conocer Ia aplicaci6n f es equivalente a conocer su grafico r . La prirnera proyeccion del grafico de Ia aplicacion f se denomina dominio de Ia aplicaci6n f y se denota mediante n 1 o D(f). La segunda proyecci6n del grafico de Ia aplicaci?n f se denomina imagen de Ia aplicaci6n f y se denota medrante E 1 o E(f). Si x E D 1 y el par (x, y) pertenec~ al grafico de Ia aplicaci6n f , entonces el elemento y se denorruna valor de Ia aplicacion f en el elemento x y se de nota mediante f(x).. . , Si se conocen Ia region D 1 y los valores de Ia aplicac10n f (x ) V x E D 1 , el grafico f(f) de Ia aplicacion f se construye segun Ia regia
=
f(f) = {(x, j (x)):
X
E D1 }.
1.8. Funci6n inversa. Composici6n de aplicaciones Una aplicaci6n f =(X , Y , f) se deno mina invertible si Ia relaci6n
Si D 1 = X, entonces Ia aplicaci6n f : X --+ Y se denomina aplicnci6n del conjunlo X en el conjunlo Y y se denota mediante
x !... v.
los binaria r- 1 cs una relaci6n fu ncional entre los elementos de 1 conjuntos Y y X . En este caso Ia aplicaci6n (Y,x ,r - ) sc 1 denomina nplicnci61! inversa de f y se denota mediante f - • Una aplicaci6n suprayectiva invertible f del conjunto X sob:e el conjunto Y se denomina aplicnci6n biyectivn (correspondenczn biwrivocn) y se denota mediante
Si D1 = X , E1 = Y , entonces Ia aplicaci6n J: X --+ Y se denomina nplicnci6n suprnyectivn (sobreyecci611) del conjrmlo X sobre el conjrmlo Y y se denota mediante X __!____. Y . sobrc
I
X +---+ Y.
La funci6n !I = (X, Y , fJ) se denomina restricci6n de Ia funci6n f = (X , Y , f ) si r, C r. En este caso Ia funci6n j se denomina• prolongaci6n de In frm ci6t1 I t del conjrmlo Dlt = pr I rl en eI conJunto D 1 = pr1 f. Si A es un conjunto tal que A c pr 1r, entonces existe una restricci6n / 1 de Ia funci6n f que tiene Ia propiedad A = D1, · La funci6n ft se denomina resfricd 6tr de In fzm ci6n f en el conjzmto A y se denota mediante !lA . La existencia de la restricci6n de Ia funci6n f en el conjunto A se deduce de que f(j,)
En este caso, 't:/ y E Y 3 ! x E X : f (x)
r '(y) = x . . El concepto de composici6n de aplicaciones Ilene una importancia especial en las matematicas. Sean f : X --+ Y , !p: T --+ X dos aplicaciones. La com posicion de las aplicaciones !(J y f se denota mediante f o cp. Su dominic esta compuesto de los valores t E D cp para los c~ales !(J(t) E D . Los valores de Ia composicion se obtienen a parttr de 1 Ia formula (f o !(J)(t) = j (!(J(t)), t E D l ocp·
= {(x, y): x E A A (x, y) E r}.
1.9. Aplicaciones parametrica e implicita
Definicion 2. Sea f : X --+ Y una aplicaci6n. Para todo subconjunto A C D1 , el subconjunto del conjunto E1 definido porIa propiedad "existe un elemento x E A tal que y = f (x )" se denomina imagen del conjzmto A mediante In aplicaci611 f y se denota f(A) .
Si estan dadas dos aplicaciones T~X,
¢
T --+ Y ,
queda definida Ia aplicaci6n X 1 ="' o "'_, Y . Se dice que f esta definidn parametricamente mediante las aplicaciones !(J y 1/J. La variable t se denomina panimetro. Analicemos Ia aplicaci6n X x Y & G y Ia ecuaci6n F(x, y) = c, donde c cs tm elemento arbitrario de cierto conjunto G. Si exis ten dos conjtmtos P C X , Q C Y tales que Ia ecuaci6n F(x, y) c tiene una Unica soluci6n y E Q para todo x E P fijo, entonces en el conjunto P esta definida Ia funci6n f para Ia cual E1 = Q. En este caso, se dice que f es una fun ci6n implicitn definida mediante Ia ecuaci6n F(x, y) = c.
Para cualquier conjunto A' C E1 el subconjunto del conjunto D1 definido mediante Ia propiedad f( x ) E A', se denomina preimagen de A' mediante Ia aplicaci6n f y se denota con
ri(A'>· Para representar una aplicaci6n frecuentemente se escribe f(x ). Sea X cierto conjunto. Toda aplicaci6n N ~ X se denomina sucesi611 de elementos del conjunto X y se deno ta mediante (x n) · Si X = IR, entonces se dice que (xn ) es una sucesi6n numericn real.
x
= y, considerandose que
=
~---+
23u . .l6
1.10. Isomorfismo Sean E y F dos conjuntos dotados, respectivamente, de las - operacio nes binarias internas T y .1. Se denom ina isomorfismo dc:l conj unto E sobre F Ia biyecci6n
E J_. F que cumple Ia propiedad \f (a E E , b E E) f (aT b)= f (a)..L f (b). Los conjuntos E y F se denominan en este caso isomorfos respecto a las relaciones T y .1. Por ejemplo, supongamos que E = N, Ia relaci6n T es Ia adici6n, F = {2"} y Ia relaci6n .1 es Ia multi plicaci6n. La
Si en el g rupo E Ia operaci6n "o" tiene sentido aditivo (multiplicativo) "+" ("·"), entonces el grupo se llamagntpo aditiuo (multiplicatiuo) y el elemento neutro, elemenfo mtlo (elemenlo rmidad), denotandose mediante 0 (1). Por ejemplo, el conjunto Z provisto de Ia operaci6n de adici6n es un grupo conmutativo. El conjunto Q \ {0} d otado de Ia operaci6n de multiplicaci6n es tambien un grupo conmutativo.
2.2. Anillo
aplicaci6n E J_. F: \f n E N, f(n) = 2" es un isomorfismo ya que \f(n EN, mEN) se tiene que (n + m) 1-> 2nlm = 2n ·2m, es decir, J (n + m) = f (n) f (m).
Se denomina anillo un conjunto R dotado de d os operaciones bi narias llamadas adici611 y multiplicaci6n, con Ia particularidad de que, respecto a Ia operaci6n de adici6n, el conj unto R es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo R ), y se cumple Ia
§ 2. Estructuras matematicas
Si Ia operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa, entonces el anillo se denomina conmutatiuo. Si R 3 1, el anillo se denomina
Una estructura matemtitica es un conjunto de objetos o varios conjuntos de objetos de naturaleza distinta que poseen un sistema de relaciones y operaciones binarias sometidos a determinados axiomas.
2.1. Grupo Se denomina gntpo a un conjunto no vado E dotado de una operaci6n "o" que a cada par de elementos a E E , b E E le hace corresponder un tercer elemento perfectamente determinado a o b E E , cumpliendose, ademas, las condiciones siguientes: 1) Ia operaci6n o es asociativa: \f(a E E , b E E , c E E ) a o (b o c) = (a o b) o c; 2) en E existe el elemento neutro, es decir, un elemento n tal que \fa E E a on = a; 3) \fa E E 3 a' E E : a o a'= n (a' es el inuerso de_a). En caso de que tambien se veri fique Ia condici6n 4) \f (a E E , b E E) a o b = b oa,
el grupo E se denomina abeliano (conmutatiuo).
propiedad distributiua: \f(aE R, bER, cE R) a(b+c)= ab +ac,
(b+ c)a = ba +ca.
unitario. Por ejemplo, el conjunto Q de los numeros racionales provisto de las operaciones de adici6n y multiplicaci6n es un anillo uni ta rio.
2.3. Cuerpo Un anillo se llama cuerpo si al excluir el elemento neutro de Ia adici6n, el resto forma un grupo respecto a Ia operaci6n de multiplicaci6n.
2.4. Campo Un cuerpo en el cualla operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa se denomina campo. Por ejemplo, las temas ordenadas (Q +, ·) y (IR, +, ·) son los campos de los numeros racionales y de los reales, respectivamente. Definicion. Sea ~ un cuerpo (campo). La aplicaci6n 1·1: ~--+ JR+, d onde JR+ = {x E IR: x ~ 0}, se denomina valor absoluto (modulo) en el cuerpo
(campo) ]!{ si V (a E OC, sigu ientes:
1} 2) 3}
f3
llxll = 0 =} x = 0; IIAxll = IAI ·llxll; 3) llx + Yll ~ llxll + IIYII (propiedad triangular). El valor de Ia aplicaci6n II · II en e l vector x E E 1} 2)
E OC) se cumplen las condiciones (axiomas)
lal = 0 =} a = 0; Ia · /31= lal· l/31; Ia + /31 ~ Ia I + 1/31 (propiednd triangular).
El conjunto ordenado (E, +, ·, II · II) se denomina espacio vectorial narmada. Con el fin de abreviar Ia notaci6n se suele
escribir E en Iugar d e (E, +, · , II · II). De los axiomas 2) y 3) se deduce que 11011 = 0 y llxll ~ 0, V x E E. La primera propiedad se obtiene del axiom a 2} para A = 0 y Ia segunda, d el axioma 3) para y = -x. Se dice que e l vector x E E es e l limite de Ia sucesi611 de vectores (x 71 ) de l espacio normado E o que Ia sucesi6n (x 71 ) converge a x, y se escribe lim X 71 x, si Ia sucesi6n .numerica
Un cuerpo (campo) en el cual esta definido el valor absolute se llama cuerpo nonnado.
2.5. Espacio vectorial sobre un campo K Espacio normado Se d enomina espacio vectorial (lineal) sabre el campo ]!{ Ia terna ordenada (E, +, ·} compuesta d e un conjunto E (sus elementos se denomi"nan vectores), Ia operaci6n de ad ici6n (d efinida en E ) y Ia multiplicaci6n de los vectores por los elementos del campo OC. Oichas operaciones d eben satisfacer las siguientes propiedades, d enominadas axiomas de[. espacio vectorial: V (x E E , y E E I z E E I ). E ]!{, J.L E ]!{)
+ y = y +x;
1) x 2) (x
3) 4) 5) 6) 7)
=
3 0 E E: x + 0 x; 3 (-x )E E : x + (-x) = O; A(x + y) =Ax+ Ay, (A+ J.L) x =
(AJ.L)X = A(J.LX); 1 · X= X .
u.-oo
o(1} se d enotan las sucesiones numericas infinitesimns (convergentes a cero), es d ecir, tales que lim a 71 0. El simbolo de Landau 0(1} se u tiliza
Para abrevia r Ia n otaci6n, el esp acio vectorial (E, +, ·} se denota usualm ente mediante E. Pa ra un espacio vectorial arbitrario E se verifican las propiedades sig uientes:
1) A· 0 = 0; 2) 0 ·X= 0; 3) (-1} x = - x. Sea E un espacio vectorial sobre un campo nor~ado OC, La aplicaci6n II · II: E --+ IR+ se denomina nonna (longitud) del espacio E si V (x E E, y E E , A E ]!{) se verifican las condiciones (axiomas)
=
n-oo
para designar a las sucesiones 11umericas acotadas. Teorema (de continuidad de Ia norma). Si una sucesi6n (x 71 ) de vectores de
espacio non11ado E converge a/ vector x, entonces ~
>.x + J.LX;
=
(llx,. - xll) = o(1}. Mediante el simbolo de Landau
1111
+ y) + z = x + (y + z);
se lla ma
norma del vector x .
llx,.ll -+ llxll-
Demostraci6n. El teorema se deduce d e las desig ualdades - llxn- xll ~ llxnll-llxll ~ llxn - xll Vn EN, que se obtienen d e Ia propiedad triangular. .,.. Si un campo ]!{ es normado, el modulo es una funci6n continua. En un espacio vectorial normado !Rm, los axiomas d e la norma se verifican p ara cad a una d e las aplicaciones 11 ·11: !Rm -+ lR siguientes: m
llxll =
w L
x~
(nonna euclidea),
(1}
(nonna octaedrica),
(2)
(nonna cubica).
(3)
i= l
i= l
llxll =
max l ~i~m
lxd
Una sucesi6n (xn) de vectores de un espacio normado E es fundam ental si se cumple que
0/c > 0)(3
nc EN) ('v' (n ~ nc, pE N)) :
3.1. Axiomas de la metrica. Limite de una sucesi6n de puntos en un espacio metrico
llxn+p- Xnll
Teorema. Toda sucesi6n convergente (x 11 ) de vectores de un espacio tzomrndo
Definici on 1. Sea X un conjunto arbitrario. La aplicaci6n X 2 ~ JR se denomina metrica (distancia) si 'v' (x E X y E X z E X ) se verifican las condiciones siguientes: 1) p(x, y ) = 0 ~ x = y ; 2) p(x, y) p(y, x ) (propiedad simetrica); 3) p(x, y) ~ p(x, z) + p(z, y) (propiedad triangular). El par ordenado (X , p) se denomina espacio metrico y los elementos del conjunto X JliiiiiOS del espacio metrico. I
I
=
I
arbitrnrio E es fundamental. Todo espacio vectorial normad o E se convierte en un espacio metrico si 'v' (x E E y E E) definimos Ia metrica del espacio mediante Ia fo rmula p(x, y) = llx - yii . (1) Es facil comprobar que se verifican los axiomas 1)-3). _ Por inducci6n, del axioma 3) se deduce que 'v' (xi E X , j = 1, n, n ~ 2) se cumple Ia desigualdad p(x!, Xn) ~ p(x1, x2) + p(xv X3) + ... + p(Xn-1 , x ,.). (2) Ademas, si p es Ia distancia en X , entonces 'v' (x E X , y E X , z E X ) se verifica Ia estimaci6n ip(x , z) - p(y, z)l ~ p(x, y). (3) En efecto, de los axiomas 2) y 3) tenemos p(x, z) ~ p(y, z) + p(x, y) y p(y, z) ~ p(y, x ) + p(x, z) = p(x, y) + p(x, z), de donde - p(x , y ) ~ p(x, z) - p(y, z) ~ p(x, y) . Partiendo de Ia desigualdad (3) se deduce que 'v' (x E X , y E X) p(x, y) ~ 0. I
~
Demostraci6n. Sea c n c E N tal que 'v' n
~
>0 y
X n -+ X.
nc se verifique
'v' (n ~ nc, p E N) tendremos
llxn+p- Xnll
~
Escojamos un numero
llxn - xll < : . Entonces, 2
llxn+p- xll + llx- Xnll
§ 3. Espacios metricos Los espacios metricos forman una clase de espacios topol6gicos. Este concepto fue introducido ~n 1906 por M. Fn!chet (1878-1973), en sus estudios sobre espacios funcionales. Una de Ia caracteristicas fundamentales de Ia disposici6n mutua de los puntos de un co njunto es Ia d istancia entre ellos. La introducci6n de Ia metrica (distancia) permite expresar en h~rminos geometricos los resultados del amllisis matematico. Los conceptos mas importantes de Ia teoria de los espados metricos son Ia completitud, Ia compacidad y Ia conexidad.
Ejemplo 1. La funci6n p(x, y) = ix - Yl 'rJ (x, y) E IR2 cs una metrica en el conjunto JR. El espacio metrico (IR, p) se denomina recta numerica. Ejemplo 2. Sea (Rm, +, ·, II · II) un espacio normado (v. p. 2.5). La aplicaci6n R2'" .!!.. JR, donde p(x, y) = llx - Yll 'rJ (x, y) E lR2rn, satisface los axiomas de Ia metrica.
Es
Ejemplo 3. Scan X un conjunto arbitrario y E el.conjunto de las aplicacioncs
<1111
Demostracion. Sea x = lim X 11 , x E X. Entonces n-oo
acotadas X !... R. Entonces 'r/ (/ E E, g E E) se tiene que (/ - g) E E y esta definido cl numero p(f, g) =sup IJ(x)- g(x)l. La aplicaci6n (/,g),_. p(f, g) es
Vc:
> 0 3 n,
EN: '1:/n ~ ncp(xn,X)
zEX
una metrica en cl conjunto E. Es facil comprobar que se cumplen los axiomas 1)-3).
Po r consiguiente, V (n
p(x,.+P' x) Definicion 2. Sean (X, p) un espacio me trico, x E X , x,, E X V n E N. Se dice que el punta x es el limite d e Ia sucesion (x,.), y se escribe x lim (x 11 ), si se verifica que p(x 11 , x ) o(1). Si una s ucesi6n de
= n-oo
~
n,, p E N) se veri fica Ia desig ualdad
t
< 2 y d e los axiomas 2) y 3) se obtiene Ia estimaci6n
p(xn+1,, xn) ~ p(Xn+p•x)+ p(x,x,.)=p(Xn+p,x)+ p(Xn,X)< t.
puntas de un espacio me trico tiene limite, entonces sc dice que es
Teorema 1. Toda sucesi6n convergente (x11 ) de puntos de 1111 espacio metrico
(X, p) tiene un solo limite.
Definicion 4. Un espacio me trico (X , p) se denomina completo si contiene todas sus s uccsiones funda mentales junto con s us limites. La recta numerica (v. ej. 1) es un espacio metrico completo. lx - yj. El Supongamos que V (x E Q y E Q) p(x, y) espacio metrico (Q p) no es completo, puesto que, par ejemplo, Ia
=
sucesi6n fu ndamental de numeros racionales Demostraci6n. Supongamos lo contrario, es decir, que Ia s ucesi6n (x 11 ) tiene d os limites lim Xn Xo y lim Xn =Yo, Xo 1= Yo· Sea n-oo
=
11
converge al numero irracional e ¢ Q.
0
0
3.2. Bolas. Esferas. Diametro de un conjunto En Ia teorfa de los espacios metricos se usa e l lenguaje d e la geometria clasica. Sean (X, p) un espacio me trico, x 0 E X y 6 > 0.
0
tenemos p(x,,x0 ) + p(x 11 ,1Jo) < to. En virtud de Ia propiedad triangular obtenemos p(xo, Yo) to ~ p(xn, xo) + p(xn, Yo) < to sin ~ n,0 • Asf pues, hemos Uegado a Ia contradicci6n to> t 0 . El teorema queda demostrado. .,.
=
Definicion 1. El conjunto 0 6(x0 ) = {x E X : p(x0 , x) < 6} se d enomina bola abierla de radio 6 y centro en el punfo XQ, o bie n 6-entomo del punto xo.
Definicion 3. Una sucesi6n (xn) de puntas d e un espacio metrico (X, p) es fundamental si (V t
> 0) (3 n,
1 1 x,, = 2+-+ ... +2! n!
n-.oo
to = p(xo, Yo). Entonces, por Ia definicion de limite, existen • (I) (2) (I) to dos numeros nc0 E N y nc0 E N: Vn ~ nco p(xn, xo) < 2 y (2) to { (I) (2) } V n ~ nc p(X , Yo) < 2. Por tanto, V n ~ nc = max nc , nc 0
.,.
=
convergente.
~
t
< 2·
E N) (V(n ~ n,, p E N)): p(xn+w x 11 )
Definicion 2. El conjunto 06(xo) = {xE X:p(xo,x) ~6} se d enomina bola
cerrada de radio 6 y centro en el punto xo.
(4) Definicion 3. El conjunto S(xo, 6) = {x E X: p(xo, x) = 6} se d enomina esfera de radio 6 y centro en el punto xo.
Teorema 2. Toda sucesi6n convergente (x 11 ) de puntos de 1111 espacio metrico
(X, p) es fundamental.
En Ia recta numerica, Ia bola abierta (cerrada) de ra d io 6 y centro en el pun to x 0 E R es e l intervalo (xo - 6, xo + 6)
(segmento [xo - 6, Xo + 6]), mientras que Ia esfera del mismo radio se compone d e dos puntas {x0 x 0 + 6}.
o,
Definicion 4. Sea (X, p) un espacio metrico y sean A, B dos subconjuntos no vados del conjunto X. El numero real no negativo p(A, B)
=
inf
p(x, y)
(1)
rEA,y ED
par tanto, p(x, y) :::; d(A); bien x E B, y E B, por consiguiente, p(x, y) :::; d(B); bien, por ejemplo, x E A, y E B, y en virtud de Ia propiedad triangular obtenemos Ia desigualdad p(x, y) :::; p(x, a) + p(a, b) + p(b, y), es decir, d(A U B) :::; p(a, b)+ d(A) + d(B). (4) Sea c > 0. A partir de Ia definicion de infima tenemos que 3 a' E A 1\ b' E B tales que p (A, B) :::; p (a', b')
se d enomina distnncin d el conjunto A a! conjunto B.
Dado que a y b son puntas arbitrarios, hacienda en Ia desigualdad (4) a = a' y b = b', obtenemos Ia estimacion
Si el conjunto A tiene un solo pun to x, en Iugar de p(A, B) se escribe p(x, B). La igualdad {1) puede escribirse, entonces, en Ia forma p(A, B) = inf p(x, B). (2)
d(A U B)
Puesto que e
Xn
E Q:
Xn
= n- ~;
An B = 0,
1
3.3. Conjuntos abiertos
De~nicion 5. S~an (~, p) un espacio metrico y A C X un conjunto no vaCJo. Se denorruna dwmetro del conjunto A a! numero
=
IJioo
= inf- = 0. " n
d(A)
+ d(B).
Corolario. Si A es un conjrmto acotado, entonces 'V x0 E X el conjunto A esta contenido en una bola cerrada de radio r = p(x0, A) + d(A) y centro en el punta xo.
n EN\ {1} } · Tenemos entonces p(A,B)
< p(A, B)+ d(A) + d(B) +c.
> 0 es arbitrario, obtcnemos d(A U B) :::; p(A, B)+ d(A)
rEA
Si A n B ¥= 0, entonces p(A, B) = 0; sin embargo, p(A, B) = 0 =/} A n B '# 0 . Sean, por ejemplo, A = N y
B = {
< p (A, B)+ c.
sup
p(x, y).
(3)
zEA,yEA
De Ia definicion se deduce que el diametro de un conjunto no vado puede ser un numero real no negativo o +oo. Si A c B, e~ton~es d(A).:::; d(B). ~ igualdad d(A) = 0 se veri fica si, y solo sr, el conJunto A Ilene un solo punta. Si el diametro del conjunto A es finito, el conjunto se denomina ncotado.
Definicion 1. Se denomina conjrmto abierto de un espacio metrico (X, p) todo subconjunto G C X tal que {'V x E G)(3 o> 0): 06(x) C G. De Ia d efinicion se deduce que el conjunto vacfo es un conjunto abierto y que todo el conjunto X es tambien abierto. Teorema 1. Toda bola abierta es un conjunto abierto. ~ Demostracion. Sea (X, p) un espacio metrico y 06(xo) C X
Teorema. La union de dos conjuntos acotados A y B es u11 conjrmto
acotado. ~ Demostracion. Si
a E A, b E B y x, y son dos puntas cualesquiera del conjunto A U B , entonces bien x E A 1\ y E A,
una bola abierta. Si x E 06(xo) C X, entonces p(x0 , x) < 6 y 61 = o - p(xo, x) > 0. Ademas, p(x, y) < 61 si y E 061 (x). Estimemos Ia distancia p(xo, y). En virtud de Ia propiedad triangular, tenemos p(x0 , y) :::; p(xo, x) + p(x, y) < p(xo, x) + o, = 6. .
De este modo, se verifica Ia if1clusion 051(x) C 0 6(x 0 ), es decir, el conjunto 0 6(xo) contiene el punto x junto con un entorno suyo . .,..
Teorema 2. Todn union de una familia (jinitn o no) (G1,) ,EA de C011j111rtos 1
nbiertos es un conjwrlo nbierto.
~ Demostracion. Si x E G>. para cierto 6 > 0 tal que 06(X)
c G). c
>. E A, entonces existe un
u c,,.
En caso de que A = {x}, se habla d e un entorno del punto x (y no del conjunto {x} ). Definicion 2. Un punto x E X se llama punta interior de cierto conjunto A c X si A es un entorno de d icho punto. El conjunto de tod os los puntas interiorcs de un conjunto A constituye su interior y se denota mediante el sfmbolo int A. En Ia recta numerica, el interior de cualquier intervalo (cerrado, abierto o semiabierto) con punto inicial a y punto final b (a < b) es el intervalo abierto (a, b), ya que los p untas a y b no pucden ser puntos interiores de los intervalos [a, b], [a, b), (a, b).
...
i•EA
Todo intervalo (a, +oo) de Ia recta numerica es abierto, pues es Ia union de los intervalos abiertos de Ia fo rma (a, x) tales que x >a.
Teorema 1. El interior int A de todo conjwrto A C X es elmnyor conjunto
nbierto que estci contenido Teorema 3. Todn intersecci6n de una familia fin ita de conjun/os nbiertos es wt abierto. ~ Demostracion. Es suficiente analiza r el caso de dos conjuntos abiertos G1 y G2, y despues utiliza r el metoda de induccion. Si x E G 1 n G2, entonces existen tales 61 > 0, 62 > 0 que 061 (x) C G1, 052 (x) C G2. De este modo, 0 6(x) C G1 n G2, donde 6 = min {61,62}. .,..
La. interseccion de un numero infinito de conjuntos abiertos ao es, en general, un conjunto abierto. Por ejemplo, Ia interseccion d e los intervalos
( 1·1)
-;;, ;; , n E N, en Ia recta nun1erica es un
~
e11
A.
Demostracion. Si x E int A, entonces existe un conjunto abierto Gz c A que contiene el punto x. Segt1n Ia definicion 1, el c~njun to A es un entorno de todo punto y E Gz ; por tanto, y E mt A .
U {x} C U Gz C intA.
Asf pues, Gz C intA e intA =
zEintA
zEintA
De acuerdo con el teorema 2, p. 3.3, el conjunto int A es abierto. Si B c A es un conjunto abierto, entonces de Ia definicion 2 se deduce que B C int A. .,.. En v irtud del teorema 1 se puede afirma r que los conjuntos abiertos se caracterizan por cun1plir Ia condici6n A= int A.
conjunto cerrado, pues consta de un solo punto {0}. Corolario. Si A C B, entonces int A C int B.
3.4. Interior de un conjunto Sea (X, p) un espacio metrico.
Teore ma 2. Err wz espncio metrico, pam cunlquier par de conjuntos A y B
se verificn In igunldad Definicion 1. Se llama entomo nbierto de un conjunto A c X a todo conjunto abierto que contiene el conjunto A . Todo conjunto que contiene un entorno abicrto de A se d enomina entomo d el conjunto A.
. int (A
n B)= int An int B.
La. inclusion int (A n B) C int A n int B se obtiene del corolario anterior. Segt1n el teorcma 3, p. 3.3, Ia
~ Demostracion.
tructuras nlndamentales det. amilisis mate~atico
interseccion int A n int B es un conj unto abierto y esta contenida en Ia interseccion A n B. Ademas, e n virtud de l teorema 1 se . veri fica Ia inclusion int A n int B C int (A n B). El tcorcma queda demostrado. .,.. El interior de un conjunto no vacio puede ser el conjunto vado; por ejemplo, para e l conjunto d e un solo punto {x} en Ia recta numerica tenemos int {x} 0.
=
Definicion 3. Todo punto interior del conjunto X \ A se denomina punta exterior del conjunto A, y el interior del conjunto X \ A constituye el C011junto de puntas exteriores (exterior) del conjunto A.
Teorema 1. La bola cerrada
00
C X(xo) y la esfera S(xo, 6) C X son
cmzjuntos cerrados. • Demostracion. Six (/:. 0 0(xo), entonces p(x, 0 0 (xo)) ~ p(xo, x)6 > 0; por tanto, Ia bola abierta de radio 6, = p(xo, x) - 6 y centro en el punto x esta contenida en el complemento de Ia bola 06(x 0 ). Por consiguiente, este complemento es un conjunto abierto. El complemento de Ia esfe ra S(xo, 6) es Ia uni6n de Ia bola abierta 0 6(x0 ) y del complemento de Ia bola Oo(xo). Segun el teorema 2, p. 3.3, esta union es un conjunto abierto. .,..
Teorema 2. Toda i11tersecci6n de una familia (finita o no) de conjzmtos Teorema 3. Para que x E X sea
punta exterior del conju11to A es 11ecesario y sujicie11te que se verifique Ia condici611 p(x, A) > 0. 1111
cerrados es 1111 colljunto cerrado. Toda union de una familia finita de colljlmtos cerrados es un conjunto cerrado. •
~
D emostracion. Necesidad. Si x E X es un punto exterior de A, entonces existe una bola 0 0(x) C X\ A (6 > 0). Para todo punto yEA tenemos p(x, y) > 6; por consiguiente,
Demostraci6n. Si V a E A los conjuntos Fa son cerrados, entonces los conjuntos CFa son abiertos. Por Ia segunda formula de (2), p. 1.4, tenemos
C
p(x, A) = inf p(x, y) ~ 6 > 0.
n
= U CF,..
Fa
yEA
=
Suficiencia. Sea x E X. Hagamos p(x, A) 61• De Ia condici6n 61 > 0 se deduce Ia inclusi6n 0 0, (x) C X\ A, lo cual implica que x es un punta interior d el conjunto X\ A. .,..
3.5. Conjuntos cerrados. Puntos adherentes. Adherencia de un conjunto Sea (X, p) un espacio metrico.
En virtud del teorema 2, p. 3.3, el conjunto Por consiguiente, e l conjunto C por definicion, el conjunto
n
n
U CFa
es abierto.
aEA
Fa tarnbien lo es. Entonces,
aEA
Fa es cerrado.
<>
aE A
Demostremos ahora Ia segunda parte del teorema. Sean Fi (i = 1, n) conjuntos cerrados. De acuerdo con Ia primera formula de (2), p.1.4, tenemos n
Definicion 1. Un conjunto F C X se denomina cerrado si su complemento CF es un conjunto abierto. El conjunto vacfo y el conjunto X son conjuntos cerrados. Los intervalos [a, +oo), (-oo, a] y el conjunto Z son conjuntos cerrados en Ia recta numerica. Los intervalos [a, b) y (a, b) no son conjuntos abiertos ni cerrados.
{1)
aEA
c:tEA
n
c UFi = nCFi i=l
(2)
i=l
Dado que los complementos CFi son conjuntos abiertos, entonces
n n
CFi es un conjunto abierto (v. teorema 3, p. 3.3); por -consi-
i= t
II
guiente, el conj unto C
~
UF; tambien es abierto. De esta manera,
Tl
UF; cs un conjunto cerrado por definicion.
=
=
i= l
tene mos que
Demostracio n. Supongamos lo contrario, es decir, que para cierto 60 > 0 se tiene que Oc.(xo) n A {y 1, y2, ... , y,. }. Dado que x 0 f/:. A, tenemos rk p(xo, Yk) > 0 (k 1, n). Elijamos r > 0 de tal fo rma que r < min{r,, r2, ... , rn } y Or(xo) C Oc.(xo). Evidentemente, Or (x 0 ) n A = 0, lo cual entra en contradiccion con el hecho de que el punto xo es adherente a! conjun to A. ..,..
..,..
i= l
=
En particular, todo conjunto q ue contiene un solo punto es cerrado. D e finicion 2. Un punto x 0 E X cs arlizerente a wz canjzmta A C X si todo entorno 0 6 (x 0 ) tiene una interseccion no vacfa con A. Se deno~ina adherencia (clausum, cierre) del conjunto A, y se d enota mediante A, el conjunto de todos los pw1tos adherentes del conjunto A.
De finicion 3. Un p un to x 0 E X se denomjna punta limite (de acumulaci6n) de un conjun to A C X si d icho punto es adherente al conjunto A\ {x0 } . Del teorema 4 se deduce que todo 6-entorno de un punto limite del conjunto A C X contiene un conjunto infinito de puntos de A . Sea x 0 E X un pun to limite del conjunto A C X. Consideremos una s ucesion arbitraria (06. (x 0)) de entornos del punto Xo, donde 671 = a(l). En virtud d el teorema 4, V n E N el conjtmto X 11 0 0• (x 0 ) n A es infinito. Elijamos un pun to arbitrario x , del conj unto X 1 y un punto x 2 # x, d el conjunto X 2 (esto es posible debido a que los conjuntos X 1 y X 2 son infinitos). Sean x 1, x 2, ... , X 11 , Xj E Xj (j [n), dis tintos puntos elegidos. En el conjunto x,.+l elijamos un punto Xn+l # Xj, (j 1, n). Por induecion obtendremos una sucesion (xn) de puntos diferentes Xn E A. De las condiciones tenemos que p(x,., x 0 ) < 671 , 671 a(l), de donde se deduce que xo lim x ,. . Asi pues, hemos establecido que,
Si x E X no es un pun to adherente del conjunto A C X, entonces x es un punta interior del comple mento CA. Por tanto, la adherencia del conjunto A es el complemento d el conjunto de sus puntos interiores: A = C int CA. Por ejemplo, la adh:!encia de Ia bola abierta 0 6 (x 0) esta contenida en Ia bola cerrada 0 0(xo), pero puede no coincidir con esta ul tima. Dado que int CA es el mayor conjunto abierto que esta contenido en CA, entonces A es el menor conj unto cerrado que contiene el conjunto A. En particular, si el conjunto A es cerrado, entonces A = A.
=
=
=
=
11 --t OO
si x 0 es un pun to limite de cierto conjunto A C X, entonces de sus puntos siempre se puede formar una s ucesion que converge a x 0 . Es valida tambien Ia proposicion redproca: si se sab e que a partir de un conjunto A C X se puede elegir una s ucesion de puntas diferentes que converge a cierto punto x 0 E X, entonces x 0 es un punto limite d el conjunto A, puesto que todo 6~entorno 0 6 (x 0 ) contiene un conjunto infinite de puntos de A . Ahora podemos dar otra defin icion de punto limite de un conjunto A C X , equivalente a Ia definicion 3.
Teorema 3. Pam que un punta Xo E X sea adherente a un canjzmta A C X , es necesaria y suficienle que p(xo, A) = 0. ~ Demostracion.
Necesidad. Sea xo E X un punto adherente del conjunto A C X. En este caso, Xo f/:. int CA y de acuerdo con el teorema 3, p. 3.4, p(xo, A) 0. Suficiencia. Si p(xo, A)= 0, entonces tod o entorno 0 0 (xo) tiene una interseccion no vacia con el conjunto A. ..,..
=
Teorema 4. Si 1111 punta x 0 E X es adizerente de cierta canjunta A C X, x 0 f/:. A, entances V fJ > 0 el conjunta 0 6 (x 0 ) n A es infinita.
=
Definicion 4. Un punto Xo E X se denomina punta limite de un conjunto A c X si del conjunto A se puede elegir una sucesion (x 11 ) de puntos dis tintos que converge al p unto xo respecto a Ia metrica del'espacio (X, p).
3 3:1<. 36
Un punto llmite de cierto conjunto pucde o no pertenecer al mismo. Ante riormente se demostr6 que si A es un conjunto cerrad o, entonces A = A, es d ecir, un conjunto cerrado A contienc tod os sus puntos adhere ntes y, por tanto, todos sus puntos limite que son, evidentementc, puntos adherentes.
dife rentes: uno en E y otro fuera de E, lo que es imposible en virtud de Ia unicidad del limite. Esta contradicci6n tiene su origen en Ia hip6tesis de que e l conjunto E no es cerrado. Suficiencin. Sea E un subconjunto cerrado del conjun-· to X . Toda sucesi6n funda mental (y,.) de puntos d el espacio me trico (E, p) converge en (X, p) d ebido a Ia completitud de este ultimo, y su limite pertenece al conjunto E, pues este es cerrado. Por tanto, e l conjunto E con tiene todos sus puntos limites, es decir, el espacio metrico (E, p) es completo. ..,..
Definicion 5. Un punto x 0 E X se denomina punta frontern de cierto conjw1to A C X si x 0 cs adherente tanto a A, como a CA. Se llama frontera d el conjunto A, y se denota mediante 8A, al conjunto de todos los puntos frontera de A . De Ia d efinicion se d educe que 8A = An CA = 8(CA) . En virtud d el teorema 2, 8A es un conjunto cerrado (que puede ser vado).
§ 4. Conjuntos compactos
Definicion 6. Un punto x 0 E A se denomina punta aislado del conjunto A c X si 3 6 > 0: 0 6 (x0 ) n A\ {x 0 } = 0, es decir, xo es adherente al conjunto A p ero no es punto limite del mismo.
Definicion 1. Un conjunto K C X se denomina compacta m el espncio metrico (X, p) si toda sucesi6n (x,.) de eleme ntos de K contiene una subsucesi6n convergente. Si para toda sucesi6n convergente de puntos de K su lfmite pertenece a K , entonces se dice que K es compacta (secuencinlmente compacta). Si los limites d e dichas sucesiones p ertenecen al conjunto X sin pertenecer, ta l vez, al conjunto K, entonces K se denomina compacta en el (respecto a!) espncio (X, p).
Definicion 7. Sea E un subconjunto no vacio de X. La restricci6n Pie2 se denomina metrica inducida e11 E porIa metrica X 2 ~lit El espacio metrico (E, p) d e terminado por Ia me trica inducida se denomina su/Jespncio del
espacio metrico (X p). I
Es evidente que un conjunto J( es compacto si, y s61o si, K es cerrado y compacto en el espacio (X, p). Teorema 5. Sen (E, p) rm su/Jespndo del espncio metrico completo (X , p). Entonces (E, p) es '"' espncio metrico completo si, y solo si, E es 1111
D
=
<1111
Demostracion. Necesidad. Sea (E, p) un espacio metrico completo. Supongamos que E no es un subconjunto cerrado de X . Entonces existe una sucesi6n (x.. ) de puntos del conjunto E que converge a cierto punto x E X\ E. Dado que Ia sucesion (x .. ) es fundamental (Ia metrica d e (E, p) es Ia me trica inducida por Ia metrica de (X, p)), entonces, en virtud de Ia completitud del x', x' E E. Asi pues, he mos obespacio (E, p), existe lim x,. n-oo
=
Ejemplo 1. Consideremos el conjunto X [0, 1) y Ia metrica p(x, y) ix- yl V(x EX, y E X). El espacio metrico (X, p) es un compacto en virtud del teorema clasico de Bolzano- Weierstrass.
subconjunto cerrado del conjrmto X.
=
Ejemplo 2. El espacio metrico (R, p), p(x, y) lx - Yi V (x E R, y E R) no es compacto puesto que el subconjunto de sus puntos N c R no contiene ninguna sucesi6n convergcnte. Sin embargo, en virtud del teorema de Balzano-Weierstrass, todo conjunto acotado X C IR es compacto.
=
Demostremos ahora el teorema analogo al teorema de bolns encajadas d e un espacio me trico completo. Consideraremos
tenido una sucesi6n de puntos d el espacio (E, p) condos lfmites 3•
conjuntos compactos de puntas de un espacio mctrico (X, p) sin suponer Ia completitud de este ultimo.
Definicion 4. Sea M un conjunto arbitrario. Se denomina recubrimiento de un conjunto E C M a una familia (B>.) de subconjuntos de M tal que
E
c
u
(B>.hEA·
)..
Teorema 1 (de Cantor). Pam toda sucesi611 riecreciente Sea K un conjunto de puntos de un espacio metrico. Las propiedades de K d e ser compacta y totalmente acotado se re lacionan mediante el siguiente teorema.
~ Demostracion. Elijamos arbitrariamente un punta _xi en cada conjunto Kj . Obtenemos Ia sucesion (xj), donde {Xj,J EN}~ K, . Puesto que K 1 es compacta, a partir de (xj) ~odemos elegtr una
Teorema 2 {de Hausdorff). Sen (X, p) 1111 espncio mt!trico. Todo conjunto compacta f( C X es totnlmente ncotado en X. ~
subsucesi6n convergente (xj.)- Sea xo = hm xi•· Para todo k-oo
no E N, todos los terminos de Ia subsucesi6n (xj.), ik > no, perteneceran a l conjunto Kn 0 , y como K,. 0 es cerrado, e ntonces x 0 E K,.0 • Por tanto, 00 Xo E nKj.
=
j=l
Definicion 2. Sean (X, p) un espacio metrico y t: > 0. Un conjunto x 1 c X se denomina sistema de vecindades (t:-red) del conjunto Xz C X si 'Vx E X 2 existe un elemento x, EX, tal que p(x,_x,) < t: . En particular, el conjunto Xz puede coincidir con el conjunto X. Definicion 3. Un conjunto E C X se denomina Iota/mente acotado en el espacio metrico (X, p) si 'V € > 0 existe una €-red finita de este conjunto en X .
La ultima condici6n es equivalente a Ia siguiente: 'V t: > 0 existe un conjunto finito F C X tal q ue 'V x E E se tiene que p(x, F)< €. · Sefialemos que el hecho de que cierto conjunto de puntas de un espacio metrico este acotado no implica que e l conjunto sea totalmente acotado.
Demostracion. Supongamos lo contrario, o sea, que K es compacta, pero existe cierto t:0 > 0 para el que no existe una t:0 -red finita . Fijemos un punto x 1 E K arbitrario. De acuerdo con la suposici6n, el conjunto {x 1} no forma una t:0 -red del conjunto K, es decir, p(x 1, K) ~ t:0 . Elijamos un punto arbitrario x 2 E K que verifique Ia condici6n p(x 1, x 2 ) ~ t:0 • Dado que el conjunto {xv x 2 } no es una t:o-red del conjunto K, existe un pun to x 3 E K tal que p(x;, x 3 ) ~ t:o (i 1, 2). Sean x 1 , x 2 , .. . , x,. puntas elegidos que satisfacen Ia condici6n p(x;, Xj) ~ t:0 (i-:/= j; i,j ~ n) . Elijamos un punta Xn+ I E /( tal que p(x;, Xn+ l) ~ t:o (i = 1, n). Utilizando el metoda de inducci6n respecto a n E N, construimos una sucesi6n (x,.) de puntas de K, cuyos terminos verifican Ia condici6n p(x;, Xj) ~ t:o (i-:/= j). Es evidente que Ia sucesi6n (xn) no contiene ninguna subsucesi6n convergente, lo cual contradice Ia hip6tesis de compacidad del conjunto K . Asi pues, el teorema queda demostrado. ..,.
Teorema 3 (de Frechet). Si un espacio metrico (X, p) es completo, entonces todo conjunto E C X totalmente acotado en este espacio es compacta. ~
Demostracion. Si E C X es totalmente acotado, entonces 'V t: > 0 existe una €-red finita del conjunto E en el conjunto X. Sea (xn) una sucesi6n arbitraria de elementos de E. Dado que existe un recubrimiento finito del conjunto E mediante bolas abiertas de radios menores que t:, al menos una de estas bolas contiene una subsucesi6n (x,..) de (x,.). De este modo, 'V € > 0, a partir d e cualquier
sucesi6n de e le me ntos del conjunto E se puede formar una s ubsucesi6n tal que Ia dis ta ncia entre sus terminos sea menor que c. Sea c,.
= -n1
. . ( x,.(I)) V n E N. El"IJamos una sub s uces10n
de Ia s ucesi6n (x,.) tal qi.1e las distancias entre sus terminos sean menores que 1. Tomemos en esta s ubsucesi6n una nueva s ubs ucesi6n (xl~l) con las dis tancias entre sus terminos menores Sean ( x~>), j 1, k , las subs ucesiones elegidas. Elija2 mos en (x~>) una s ubs ucesi6n (xl~+ ll) tal que las dista ncias 1 entre sus h~ rminos sean men ores que - - . H emos obtemdo que
~.
S11ficie11cia. Si e l conjunto K C X es cerrado en (X, p), entonces, en vi rt ud del teore ma 5, p. 3.5, el espacio (K, p) es complete y, por tanto, K es compacta. ..,.. La sig uiente afirmaci6n permite dar una nueva definiCion de conjunto secue ncialmente compac ta, cquivalente a Ia definicion 1.
=
0
k+1
una s ucesi6n de s ubs ucesioncs ( x~l:)) I: EN" Formemos una nueva sucesi6n ( xl:'>) compues ta de los terminos diagonales de todas las s ubsucesiones anteriores. Los te rminos de esta nueva sucesi6n pe rtenecen, a partir de cierto numero k E N, a Ia k-esima (n) (m) ) 1 s ubs ucesi6n; por tanto, V (n > k, m > k) p ( x ,. , Xm < k. Consiguientemente, Ia sucesi6 n ( xl~>) es fundamental. En virtud . . {X , p), tenemos 11m . x,.(n) de Ia completltud del espac10 x, n-oo
=
x E X. Por definicion, e l conjunto E es compacta en el espacio (X, p). ..,.. A partir de los teoremas 2 y 3 obtenemos Ia afirmaci6n_ siguiente. Teorema 4. Para que
11/L conjunto E C X sea-compacta en 1111 espacio (X, p) es necesario (y suficiente si (X, p) es 1111 espacio completo) que E sea totalmente acotado en X.
Teorema 6. Sea F C X 1111 conju11/o cerrado de un espacio metrico (X, p).
Pam que F sea secuencialmente compacta, es necesario y suficiente que a partir de c11alq11ier rec11brimiento de F mediante conjrmtos abiertos se p11eda extraer 1111 rec11brimiento fin ito. ~ Demostraci6n.
Necesidad. Scan F C X un compacta, (G,..)aeA una familia de conjuntos abiertos que recubren F , (c,.) una suce. . . f' . . . d . .. (I) ( I) (I) s1on m m1tes1ma e numeros posthvos, y x 1 , x 2 , . .. , xk una c 1-red fi nita de l conjun to F . Entonces tenemos k
F=UF;, 1
=
F;, Teorema 5. Un subconjunto compacta K C X de un espacio melrico (X, p) es un compacta si, y solo si, K es cerrado en (X, p). ,. Demostraci6n. Necesidad. Sea K C X un conjunto co mpacta. Seglln el teorema 5, p. 3.5, e l espacio (K, p) es complete y, por consigujente, el conjunto K es cerrado.
i =l
donde F; 0,, (x~ >) n F . Los conjuntos F; son secuencialmente compactos y, ademas, d(F;) ~ 2c 1, donde d(Fi) es el diametro del conjunto F;. Supongamos que d el recubrimiento (Ga)aeA no se pued e extraer un recubrimiento finito. Es to sigrufica que a l menos uno de los conjuntos d e F; (lo d eno taremos m ediante F;,) posec esa propiedad. Razonando a na!ogamenle, podemos encontrar en F;, un conjunto secuencialmente compacta F ;1; 2 de diametro d(F;,;2 ) ~ 2c2 que nose puede recubrir mediante nmguna familia finita de abiertos obtenida a partir de Ia familia (Ga)aeA. Continuando este procedirruento, obtendremos una s ucesi6n encajada de conjuntos cerrados ::::>
F; 1; 2
::::> ... ::::>
F; 1; 2 ... i.
::::> . .. ,
=
cuyos diame tros tienden a cero, pues d(F;,;2... ;.) ::::; 2£,., c11 o(1). Seglt.n el teorema 1, exis te un punto x 0 E F que pertenece a todos estos conjtmtos. Dado que Ia familia (Ga)aeA recubre el conjunto F, entonces exis te un s ubconjunto Gao de esta familia ta l que Xo E Gao· Puesto que Gao es un conjunto abierto, existe un c -entomo O, (xo) C Ga0 • Elijamos un n E N que satisfaga Ia condici6n d(F;,; 2... ;.)
Limite y continuidad de una a_elicacion de un es
inclusion F;,;2••• i. C O, (xo), Ia cual contradice Ia suposicion de que a partir del recubrimiento (Ga)aeA de F;,;2.. . ; . no es posible extraer un recubrimiento finito. Suficiencia. Supongamos que siempre se puede elegir un recubrimiento finito a partir de cualquier recubrimiento (Ga)aeA del conjunto F. Sea M C F un subconjunto que no tiene puntos limites. Entonces 'r/ x E F existe un entomo 0 ,, (x) que no contiene puntos del conjunto M, salvo, tal vez, el punto x. Dichos entornos recubren el conjunto F. A partir d e Ia familia
Definicion 3. Un conjunto conexo abierto se denomina regi611:
Definicion 4. El conjunto formado por una region y su frontera se denomina region cerrada. La recta numenca es un espacio conexo. Para que un conjunto A C IR sea conexo, es necesario y suficiente que A sea un intervale (acotado o no).
( O~~l) zEF elegimos un recubri~iento (O,i(xj)) i =Gi· Dado que M C
U O,;(xj)
§ 6. Limite y continuidad de una aplicaci6n de un espacio metrico en otro
j=l
y cada entorno O,i(xj) puede contener a lo sumo un punto de M, entonces el conjunto M es finito. Por consiguiente, todo subconjunto infinito M C F debe tener puntos lirnites, es decir, F es un compacto. ..,.
Definicion 5. Un conjunto
J(
6.1. Limite y continuidad de una aplicaci6n Sean (X, Px) e (Y, py) dos espacios metricos, f: X - t Y una ap licacion y x 0 E X un pun to limite del conjunto D1 . ·
C X de puntas de un espacio metrico
(X, p) es col/lpacto si a partir de cualquier recubrirniento (Ga)aeA d e J( se puede ex traer un recubrirniento finito de
J(.
Definicion 1. Un punto a E Y se denomina limite parcial de Ia aplicnci6n f e11 e1 pun to xo si existe una sucesion (x,.) de puntas del conjunto D 1 tal que
§ 5. Espacios y conjuntos conexos
(x,.
-t
xo) /\ ('r/n EN x,.
i= xo) /\ (lim f (x,.) =a).
(1)
11 - 00
La condicio~ (1) tambien se puede _escribir en Ia forma Definicion 1. Un espacio metrico (X, p) se.denomina conexo sino existen d os subconjuntos abiertos no vacios A C X, B C X tales que Au B = X, AnB =0. Esta d efinicion puede formularse de un modo equivalente: un espacio metrico (X, p) es conexo si entre todos los subconjuntos del conjunto X solamente el conjunto vacio y el propio conjunto X son abiertos y cerrados a la vez. Definicion 2. Un conjunto E C X de un espacio metrico (X, p) es conexo si es conexo el subespacio (E, p).
(Px(xo,x,.) = o(l)) 1\
('rln EN Px(xo,x,.) > 0)1\
A(py(a, f(x,.))
= o(l)) .
El conjunto de todos los limites parciales de Ia aplicacion en el punto x 0 se denotara mediante el sfrnbolo E 1(x 0 ) . Definicion 2. Si el conjunto E1(xo) esta compuesto de un solo punto a, entonces ese punto recibe el nombre d e limite de Ia nplicaci611 f en el punto x0 y se denota mediante el sfrnbolo lim f(x). x-x0
f
definicion de compacto, existen un pu n to Xo E D 1 y una subsucesion (x,~) tales que X 11 ~ -+ xo si k -+. oo. Segun la definicion de aplicacion continua, Yn~ = f (x,.~) -+ f(xo) =Yo E E1, lo que significa que cl conjunto E 1 cs sccuencialmentc compacto. ..,.
. _El sentido de Ia d efinicio n 2 es el sig uiente: para toda suces10n (xn) de pu n los d el conjunto D 1, Ia cual con verge a xo y cuyos terminos sdn distintos de este, Ia s ucesion (f(x,.)) converge a a. _ . La d e fu1ici?n de lfmite de una aplicacion en un punto en te rnunos de sucestones se suele denomina r definicion de limite en
el sentido de Heilre (1821-1881). Definicion 3 (de Heine ). Una aplicacion f se denomina continua en cl punta xo E D1 si para toda s ucesion (x,.) -+ x 0 tal que x,. E D1, V n E N, se tiene q ue lim f (x) = f( x 0 ).
6.2. Continuidad de la composici6n de aplicaciones Sean (X, Px ), (Y, py ), (Z, pz) tres espacios metricos y g: Y -+ Z dos aplicaciones ta les que E1 C D 9 .
f: X
-+ y
I
x-x0
Una aplicacion f que es continua en todos los puntos de s u dominio D1 se d enomina co11finua. ._ Sea xo .E D 1 un p unto limite de l conjunto D 1. La a plicaCion f es contmua en el p unto x 0 si, y solo si, lim f (x) f (x 0 ) . :r:-xo
f es wrn nplicnci611 continua en un punto x0 E D1 y g es una nplicaci6n conti11un e11 el pu11to f (x 0 ) E D 9 , e11t011Ces In composici6n g o f es continua en el flunto x 0 .
Teore ma 1 (de continuidad de Ia composici6n de aplicaciones). Si
=
Toda aplicacion es continua en cualquier punto aislado de s u d ominio. Una aplicacion q ue no es continua en cie rto punto x 0 E D 1 se d enomina discontinua en ese punto. Sea Xo E D 1 un p un to limite del conj unto D 1 . El pun to x 0 se lla ma pu11to de disco11tinuidad evitable d e Ia aplicacion f si existe lim f (x) E Y . En este caso Ia aplicacio n f' definida por
~ Demostraci6 n. Sea x ,. -+ x 0 una suces10n tal q ue V n E N X E Dgol· Es evidente que (Yn = f (xn) -+ j (xo)) I\ Yn E Dg · 11 En v irtud de esto g(yn) -+ g(f (xo )) si n -+ oo. Por tanto, (go f)(x,.) = g(y11 )-+ g(f(xo)) =(go f)(xo). ..,.
x-zo
Ia formula
f( x ), j*(x ) = { lim f(x), x-x0
si x E D 1 \ { x 0 } , si x = x 0 ,
Teore ma 2. Sen x 0
1111
punto limite del conjrmto Dgof . Si :r-zo lim f (x)
y In nplicnci6n g: Y
-+
Z es contirwa e11 el pu'!_lo Yo, entonces
"
lim g(f(x)) z - x0
= Yo
= g(yo).
es continua en el punto x 0 . ~ D emost raci6n. Definamos Ia aplicaci6n
Teorema (de continuidad de Ia imagen de un compacta). Si
f:
X -+ y compacta, e11tonces el co11junto E1
es una apl!caci6n continua y D1 es .'m es secuencralmente compacta, es decrr, In imagen continua de tnmbie11 es 1111 compacta. ~ Demos~raci6n.
1111
Fijemos una sucesion arbitra ria de p untos (y11 } d el conJunlo E1 = f (DI). Entonces existe una s ucesion (x,.) ta l que V n E N X n E D 1 1\ Yn = f(x 11 ) . De acuerdo con Ia
f
compncto
•
(x) =
{f (x), Yo,
si x E DJ \ {xo},
.
st x = x 0
que es continua en el punto xo. En virtud del teorema 1, Ia com posicion go f es continua en ese punto. Por consiguiente, lim (go f) (x) = lim (go /' ) (x) = (go j*) (xo) = g(yo). x-x 0
%-+:to
..,.
6.3. Continuidad de Ia aplicaci6n inversa
.,.. Demostra cio n . Sea. lim f(x) z - zo
Teore m a (de conti nuidad de Ia aplicaci6n inversa). Sem1 (X, p x) y (Y, py)
dos espncios melricos. Co11sideremos una nplicnci6n j: X ---+ Y tal que D I es w1 compacta. Si In nplicnci6n f es continua e invertible, entonccs j - 1 es continua.
lim
n-+oo
r
1
(y,.)
1
X11 ---+ x0 y V n E N x,. =/= x 0 . Entonces, para el valor 6 > 0 ind icado en (1} existe un nc5 E N: V n ;::: nc5 0 < Px(xo, x,.) < 6. De acuerdo con Ia definicion 1, V n ;;:: nc5 py(a, f(x,.)) < c, es decir, f (x 11 )---+ a. Asi pues, hemos obtenido q ue el punta a es el limite de Ia aplicaci6n f en el punta Xo en el sentido de Heine. Suponiendo q ue a lim j (x) en el sentido de H eine,
=
demostremos que a es el Hrnite de Ia aplicaci6n f en el punto x o en el sentido de Cauchy. Supongamos lo contra rio, es decir, que para cie rto co > 0 nose p uede encontrar u n valor 6 > 0 que satisfaga la condici6n (1}. En otras palabras, V 6 > 0 3 x E D1 tal que 0 < Px(xo, x) < 6, pero py(a, f(x)) ;;:: c0 . Sea (6,.) una sucesi6n infinitesima de numeros positives. Segun Ia hlp6tesis
r
= r 1(yo), lo que significa que Ia aplicaci6n r
en el sentido de Cauch y,
X-+Xo
.,.. D e mostracion. Sea (y,.) una suces10n de pun tas del conjunto E1 que converge a Yo E E1, y sea a un limite parcial de Ia sucesi6n (f - 1(y,.)). Dado que D 1 cs un compacta, entonces a E D1. De Ia continuidad de Ia aplicaci6n f se deduce que j(a) es un limite parcial de Ia sucesi6n (y,.), en virtud de lo 1 cual j (a) = Yo, a = (Yo). De este modo, todos los lfmites 1 (yo), cs decir, parciales de Ia sucesi6n {f- 1(y,.)) son iguales a
r
=a
es
(rln EN) (3 x,. E D1)('1n EN x,. f. Xo /\0 < Px(xo, Xn)
continua en el pw1to Yo· Como Yo es un p unto arbitra rio del conjunto E1, entonces j - 1 es una aplicaci6n continua. .,.
py(a, f (x,.)) ;;:: co.
= o(1), entonces n-oo lim Xn = Xo, de lo cual se deduce Ia expresi6n limite lim py(a, J (x,.)) = 0. Esto ultimo contradice n-oo
Dado que On
6.4. Limite y continuidad de una aplicaci6n en el sentido de Cauchy. Propiedades de las aplicaciones continuas
que V n E N py (a, f (x 11 )) ;;:: co . Asi p ues, Ia s uposici6n de que a no es ellimite d e la aplicaci6n f en el p un to xo en el sentido d e Cauchy es err6nea. IIJo-
Sean (X,px), (Y,py) dos espacios metricos y j: X---+ Y una aplicaci6n.
D efinicion 2. Una aplicaci6n f : x D e finicion 1. Supongamos q ue xo es un p un to limite del conjunto D 1 . Un p unto a E Y se denomina limite de In nplicnci6n j en el pun/a x 0 en el sentido de Cauchy, si
(ric> 0)(3
o > 0) (Vx E D 1, 0 < Px(x0,x) < o): py(a, f( x)) < c.
('1 c > 0) (3
o> 0)('1 x E D1, px(xo, x) < 6): py{J(xo), f (x))
< c.
Ull
(2)
(1)
Teorema 1. Las definiciones de limite de una nplicnci6n en un punta en el
sentido de Heiney en el de Cauchy son equivalentes.
---+ Y se denomina continua en pun to x0 E D1 en el senti do de Cauchy, si
Es evidente que las d efiniciones de H eine y de Cauchy de continuidad de una aplicaci6n en un p un ta son equivalentes. El concepto de continuidad de una aplicaci6n en un punta tiene carckter local, lo cual se demuestra en las afirmaciones siguientes.
Teorema 2 (de continuidad de Ia restricci6n de una aplicaci6n). Sea f: X _. Y una nplicaci6n coiltinun en 1111 punta x 0 E D1, A C D1, xo E A . Entonces Ia restricci6n JIA es lllltt nplicaci6n continua en el . punta Xo. ..,.. Demostracion. Supongamos que x,. _. x 0 y Vn E N x,. E A. Entonces !IA(x,.) f( xu) _. f (xo ) !IA(xo). ~
=
=
Recordemos que un conjunto V C X se llama entorno del punta Xo E X (v. p. 3.4) si existe un conjunto abierto G C X tal que xo E G C V. Si x0 E A C X , Ia interseccion A n V se denomina entorno del punta x 0 en A. Teorema 3. Supongnmos que existe Ull entorno W de UJI punta x 0 en D 1 tnl que Ia nplicaci61l f es continua ell el punta x 0 . En ese caso In nplicnci6n f: X _. Y es continua en el punta x 0 .
lw
..,.. Demostracion. Asuma mos que X 71 _ . Xo y que V n E N x,, E D 1. Entonces existe un numero n 0 E N tal que Vn ~ n 0 x,. E W. Dado que f( Xn 0 +n) = fiw( Xu0 +u) --+ flw
el concepto de continu idad de una aplicaci6n f en un punta xo se puede enunciar en ellenguaje de c-y 6-~ ntornos: una aplicacion f: x --+ Y se denomina continua ell llll punta x 0 E D 1 si para cada entorno Oc(f (xo)) C E1 existe un entorno 0 6 (x0 ) C D 1 tal que f (0 6(xo)) C Oc(f(xo)) .
Teorema 4. Pnrn que unn aplicaci6n f : X --+ Y sea continua en 11 /Z punta x0 E D 1, es necesnrio y suficiente que In preimngell f - 1(V' ) de cada entorno del punta f(x 0 ) en E1 sea 1m entomo del punta x 0 en D1. ..,.. Demostracion. Necesidnd. Si Ia aplicacion f es continua en el pun to xo E D 1, entonces de Ia definicion 3 se deduce que 1 Xo E v c W') y, por consiguiente, Ia preimagen 1(V 1 ) es un entomo del pun to xo en D 1. Suficiencin. Si W = f - 1(V') es un entorno del punto x 0 en D 1 , entonces existe un conjunto abierto G tal q ue x 0 E G C W , luego V' ::) f(G). ~
r
r
Los dos teoremas siguientes tienen un carcicter auxiliar.
Teorema 5. Sea f: X --+ Y y sea Xo E D1 un punta adherente del conjunto A C D1. Si Ia nplicnci6n f es continua en el punta xo, entonces f(xo) es 1111 punta ndlzerente del conjunto f (A). ..,.. Demostracion. Si V' es un entorno del ptmto j(x0 ) en E 1 , entonces, segun el teorema 4, j - 1(V') es un entorno del punto x 0 enD1 . Dado que xo es un punta aclherente del conjunto A, entonces 1 1 An (V') :j: 0 . Por tanto, existe un punta x E An (V 1), en virtud de lo cual f(x) E f (A) n V', es decir, el conjunto j (A) n V' es no vacfo. Dado que V' es un entomo del punta f(x 0 ), el ultimo es un punta adherente del conjunto f(A). ..,..
r
Definicion 3. Sean (X , Px) y (Y, py) dos espacios metricos. Una aplicaci6n f: X _. Y se denomina continua en Ull punta x 0 E D 1 si para cada entorno V' del punta f(x 0 ) en el conjunto E1 existe un entorno V del punto xo en el conjunto D 1 tal que f(V) C V ' . La aplicaci6n f se denomina continua si es continua V x E D 1. Dado que los conjuntos Oc(f(xo)) C E1 y 06(xo) C D1 son entornos de los puntas f( x 0 ) y x 0 , respectivamente, entonces
r
Teorema 6. Supongamos que f: X Entonces 1(A' \ B' ) = 1(A') \
r
r
r
Y, A' C E 1, B' C E 1, A' ::) B'. (B').
--+ 1
Limite y continuidad de ..!:'O.~ .JP-licaci6rl de un es a
~ Demostracion. Sea
X
j(x) E A'\ B'
E
=>
r
r
1 .f(A) C F = F . Por consiguiente, A C (F) = A y como A C A, entonces A cs cerrado. De estc modo, 4) => 3). Consideremos que se c~mple Ia condici6n 3). A partir del teorcma 6, tenemos
1
(A' \ B'). Entonces
f(x) E A' 1\ f(x) (/ B'
=>
=> x E r " x fl. r => => X E r 1(A') \ r 1(B') => => 1(A' \ B') C r 1(A') \ r 1(B'). 1
1
r
r
r
1
y E
r
Si y E
(A') \ 1
r
1
r
fl.
1
(B') => f(y) E A' 1\ f(y)
=> f(y) E A'\ B' => y E =>
r
1
1 (A ) \
r
1
(B') C
r
r
1
fl.
B' =>
(A' \ B') =>
1
(A' \ B'),
de donde se deduce Ia igualdad a demostrar.
~
1) 2)
-+
Y. Las propiedades siguientes son equiualentes:
f es una nplicnci6n continua; In preimngen f - 1(G) de cadn conjrmto nbierto en E 1 es
J(A)
1
(F \oF) =
r
1
(F) \
r
1
(8F) = int
r
1
(F).
6.5. Aplicaciones unifonnemente continuas
abierta en D 1; 3) Ia preimagen j - 1(F) de cndn conjrmfo F cerrndo en E 1 es cerrada en D 1; 4) para cada conjunfo A C D 1 es utilida Ia inclusion
r
Seiialemos que Ia imagen de un conjunto abicrto (cerrado) mediante una aplicaci6n continua no cs, en general, un conjunto abi~rto (cerrado). Por ejemplo, Ia aplicaci6n x ~-+ x~, x E IR, es continua en IR, sin embargo Ia imagen [0, 1) d e l conjunto abierto (-1, 1) noes abierta.
La afirmacion siguiente tiene caracter global.
Teorema 7. Sea f : X
(int F) =
Por consigu iente, 3) => 2). Queda por establcccr que 2) => 1). Suponga mos que se verifica Ia condici6n 2). Si V' es un entorno del pun to f(x) en E1, entonces existe un entomo abierto W' C V' de esc mismo ptmto. La preimagen f - 1 (W') cs un conjunto abierto en D1 que contiene el punto x y esta contenido en j - 1(V'). Segun cl tcorema 4, Ia aplicaci6n f es contin ua en e l pun to x E D 1 . Dndo qu e x es un punto arbitrario, Ia aplicaci6n f es continua y, por tanto, 2) => 1). ~
(B'), tenemos
(A') 1\ y
1
C
f(A).
Sean_(X,px), (Y,py) dos espacios metricos y sea f : X -+ Y .
t>
Definicion. Se dice que Ia aplicaci6n canjrmto D 1 si {Vr:
> 0)(3 6 > O)(V(xi
f
es zmifomremente continua en el
E D1, x2 E D1), Px(xl,x2)
py(f(xi), j(x2))
~ Demostracion. Demostremos que se verifica Ia cadena de impli-
caciones 1) => 4) => 3) => 2) => 1). Sea f una aplicacion continua y A C D 1 un conjunto arbitrario. Su adherencia A esta compuesta, por d efinicion, de todos los puntos adherentes del conjunto A . Si x E D 1 es un punto adherente del conjunto A, entonces, por el teorema 5, tenemos que f(x) es un punto adherente del conjunto f(A) . Por tanto, f(A) C f(A) , luego 1) => 4). Supongamos ahora que se verifica Ia condicion 4). Sea 1 F C Et un conjunto cerrado de E 1 y A (F), entonces
< r:.
< 6):
(1}
Es evidente que una aplicaci6n uniformemente continua cs continua. La afirmaci6n redproca, en general, no es v;Hida. Por ejemplo, Ia funci6n continua x ~-+ x 2 , x E l!ll, no es uniformemente continua, pues para un h > 0 dado Ia dife rencia 2 (x + h?- x h(2x + h) puede tomar valores tan grandes como se quiera.
=
=r
4 J. • . 36
Teorema 1. Senn (X,px), (Y,pr), (Z,pz) tres espncios metricos. Consirleremos dos nplicnciones f: X -+ Y, g: Y -+ Z. Si Ins aplicnciones f y ~ ~~~~
Entonces obtendremos py(f(x,k), f (y,k)):::;; py(f(x,k ); f(xo)) + py(f(xo), f(y,k))
zmifonnemente continuos en los conj zmtos D1 y D9 , entonces In composzczo11 h =go j: X -+ Z es zmifomzenzente continua en el conjzm fo Dg•J· ~
lo que contradice Ia d efinicion de las sucesiones (x 11 ) e (y,.).
Demostraci6n. Segun Ia definicion de a plicacion uniformemente continua, tenemos (V e > 0) (3 11 > O)(V (YI E D9, Y2 E D 9), py(yJ, Y2) < TJ): ( ) 2 pz(g(yJ), g(y2)) 0 existe un 6 > 0 ta l que V(x 1 E D 1, X2 E DJ)(Px(XJ,X2) < 6) => (3) => py(j(xi), j(x2)) < 11· A partir de (2) y (3) obtenemos que V e > 0 3 6 > 0: V(x! E D 9 of 1 x2 E D 9.1)(px(XJ,x2) < 6) => => pz(h(xi ), h(x2)) < e, es decir, Ia aplicacion h =go f es uni formemente contin ua. .,..
Teorema 2 (de Ca ntor). Toda nplicaci6tz continua
f: X
-+
6.6. Homeomorfismos. Distancias equivalentes Sean (X,px), (Y,py) dos espacios metricos.
Definicion 1. Una aplicaci6n biyectiva
Jismo si f y j - 1 son continuas.
Teorema 1. Sean (X, Px ), (Y, py ), (Z, pz) tres espacios metricos y X ~Y,
Y rlefinida en
g
Y .---. Z rlos Jzomeomorfismos. Entonces Ia composici6n h homeomorfismo de X sabre Z.
Demostraci6n. Sea f una aplicacion continua definida en un compacto D 1 . Supongamos q~e f no es unif?rmemente continua. Entonces existe un eo > 0 y dos suces10nes (x,) e (y,)
-
de puntos del conjunto D 1 ta les que p x (x,, Yn)
1
< :;;: ,
=go f
es wz
~ Demostraci6n. Segun el teorema 1, p. 6.2, Ia aplicaci6n biyectiva
X ~ Z es continua. Sea x 0 E X. conforme al teorema 4, p. 6.4, Ia preimagen h- 1(V") de cada entomo V" del punto h(xo) = (g o f) (xo) en el conjunto Z es un entorno del punto x 0
pero
py(f(xn), j(yn)) ~ e0 . Como D 1 cs un compacto, existe una subsucesi6n (xnk) convergente a un pun to Xo E D 1. Dado que Px(xnk' Ynk)
X~ Y se denomina lzomeomor-
Tales aplicaciones se denominan mutuamente continuas. En este caso Ia aplicaci6n inversa j - 1 es un homeomorfismo de Y sobre X.
utz compacta es uniformemenfe continua. ~
.,..
en X. Por consiguiente, Ia biyecci6n Z ~ X tambien es continua en h(xo) . Dado que x 0 es un punto arbitrario, h- 1 es una aplicaci6n continua. ..,..
1
<-
nk
y
Un horneomorfismo p uede no ser uniformemente continuo, por ejemplo, IR
entonces y,k -+ xo cuando k-+ oo. De Ia continuidad de Ia aplicaci6n j en el punto xo E D 1 se deduce que para dicho eo existe eo 4n 6 > 0: px(xo,x) < 6 => Pr(f(x0), f(x)) < 2 · Tomemos un numero k E N para el cual Px(xo, xnJ < 6 y Px(xo, y,k) < 6.
~ IR,
donde j (x)
= x 3.
Definicion 2. Se dice que dos espacios metricos (X,px), (Y,py) son
lzomeomorfos si existe un homeomorfismo X ~ Y. 4•
Teorema 2. Dos espncios melricos lromeomorfos n
1111
lercero
SO/I
l!omeo-
11/0rfos e11lre si. ~ Demos tracion. Si los espacios (X, Px ),
(Y, py) son homeomorfos a un espacio (Z, p z ), existen ciertas aplicaciones homeo morfas
X ~ Z, Y ~ Z. La aplicaci6n Z ~ Y es homeomorfa. Segun el teorema 1, Ia composici6n g- 1 o f es un homeomorfismo d e X sabre Y. .,. Sean (X, pi), (X , p2 ) dos espacios metricos. Si Ia a plicacion identica x ~--+ x es un homeomorfismo, entonccs p 1 y P2 se denominan distn11cias equivale11fes (lopol6gicnmenle equivalenles) e11 X. En cste caso, como vemos a partir del teorema 7, p. 6.4, las familias de conjuntos abiertos definidas en ( X, PI) y (X, P2) coinciden. Llamaremos topologia de un espacio me/rico (X , Px) a Ia familia de conjuntos abiertos de este espacio. Las distancias equiva lentcs inducen una misma topologia. Senalemos que los conceptos d e entorno, conjunto cerrado, punto adheren te, adherencia, interio r y exterior de un conjunto, conjunto d enso, frontera y funci6n continua son conceptos topol6gicos. Las propiedades topol6gicas d e un espacio metrico se mantienen invariantes respecto a los homcomorfismos. N6tese que los conceptos d e bola, esfera, d iametro, conjunto acotado y funci6n uniformemente continua no son topol6gicos.
Ntimeros complejos y funciones de variable compleja § 1. Numeros complejos y plano complejo En el curso d e algebra elemental Ia apanc1on del concepto d e numero complejo generalmente sc relaciona con Ia ecuaci6n x 2 + 1 = 0. Primero se establece q ue no existen numeros reales que satisfagan d icha ecuaci6n. Entonces se in trod uce un nuevo numero "imaginario" i = J=I, gracias al cual Ia ecuaci6n dada ya posee las raices ±i. El paso siguiente es considerar los "nllmeros complejos" x + iy como las sumas d e numeros reales x e "imaginaries" iy. Las reglas de las operaciones con esos numeros nuevos se definen de forma tal que perrnitan manejarlos como si fueran numeros reales, sustituyendo en los resultados finales i 2 por -1. AI introducir los nuevas numeros resulta que todas las ecuaciones de segundo grado d el tipo x 2 + px + q = 0 y, en general, todas las ecuaciones del tipo x" + p1xn -J + ... + Pn-JX + Pn = 0 con coeficientes arbitra rios, tienen soluci6n. Esta manera de definir los numeros complejos no nos satisface, pues nos obliga a tratarlos como objetos no existentes en Ia realidad, es decir, como "imaginaries" en el sentido estricto de Ia palabra.
Nume~;.os
Por esta raz6n, nosotros seguiremos otro camino, definicndo los nfuneros complejos desde un punto de vista geometrico.
1.1. Definicion de numero complejo·
Tomemos al vector 1 como Ia unidad de Ia operaci6n de multiplicaci6n buscada. Teniendo ·en cuenta Ia igualdad (2), vemos que es suficiente definir correctarnente el producto i · i = i 2 . Dildo que 1 · i = i, es decir, el punto (0, 1) se obtiene del 7f
Consideremos todo punto z = (x, y) d el plano IR2 , donde x E JR, y E ~, como un vector. conforme a este enfoque, definamos cl modulo de z, asi como Ia operaci6u de adici6n de dos puntos z 1 (x 1, y 1 ) y z2 (x2, Y2), segun las reglas conocidas para los vectores (fig. 10)
=
com
=
pun to (1, 0) mediante un giro de - del plano ~ en el sen2 tido contrario at de las agujas del reloj, podemos suponer que
Utilizando las igualdades (2) y (3), para z = (x, y) obteneIll OS
Asimismo, V a E ~ s upongamos que az = (ax, ay). Como es sabido, todo vector z en el plar\o se puede descomponer respecto a los vectores (1, 0) = 1 y (0, 1) = i (fig. 11): (2) Z = X ·1 +y · i.
·Y
y
y·l l
x·l
X
Fig.lO
X
Fig. ll
Entonces nos preguntamos lo siguiente: conservando las igualdades (1) y (2) que defin en las operaciones con vectores, ;.es posible definir Ia operaci6n de multiplicaci6n de los puntos del plano !lf, trimsformandolos en numeros que en lo sucesivo d enominaremos complejos? El requisite de conservar las igualdades (1) y (2) es muy importante. Sin estas podrfamos tomar una aplicaci6n invertible de R sobre IR2 y considerarla como un isomorfismo de campos ordenados, transformando inutilmente ~ en una representaci6n del campo ordenado de numeros reales.
z ·i
= (x · 1 + y · i)i = -y · 1 + x · i = (-y, x).
(4)
De este modo, el punto y (-y, x) se obtiene del (-y,x) pun to (x, y) mediante un g iro del plano ~2 en un angulo recto en el sentido contrario al de las agujas del reloj (fig. 12). Es evidente que un giro en otro anguX X lo se podni determinar Fig.12 med iante Ia rnultiplicaci6n no por i, sino por el numero complejo apropiado. Asi, vemos que los nurneros comp lejos son de gran importancia para las matematicas, pues con su ayuda se pueden estudiar las transformaciones mas importantes del plano: los desplazarnientos, los giros y las homotecias. Escribarnos ahora Ia regia de multiplicaci6n de los puntos del plano IR2 :
D efinici6n. El plano numerico ~ para cuyos puntos esta n definidos los m6du los y las operaciones de adici6n y multiplic<~ci6n conforme <1 l<~s formulas {1), (5) se denomina plano complejo C. Los puntos del pl<~no complejo se denominan mlmeros complejos. Recordemos que el conjunto de los nlimeros reales se define unfvocamente a excepci6n de un isomorfismo. Por ello, los nlimeros complejos x · 1, donde x E JR, proporcio n<~n otra representacion d e Ia recta numerica JR y pueden considerarse perfectamente como nlimeros reales. En otras palabras, los nlimeros complejos conlienen a los nlimeros reales, es decir, C ::) JR. Senalemos que, al igual que los nlimeros reales, los nlimeros complejos tambien estan definidos unfvocamente a excepcion de un isomorfismo. Para simplificar Ia notaci6n, escribiremos x en vez de x · 1 e iy en Iugar de y · i. Entonces el nlimero complejo z = (x, y) to ma Ia forma z = x + iy, x E JR, y E JR. Respetando Ia tradicion, los nlimeros x e y se deno rninan, respectivamente, parte real y parte imaginaria d el nlimero complejo z y se d eno tan med iante los simbolos x = Re z, y = Im z. El nlimero complejo z (x, y) es un par orden<~do de los nlimeros reales x e y (lo que explica Ia procedencia de esle termino). El termino "numero complejo" fue propuesto por C. G<1uss (1777-1855) y el simbolo i fue utilizado por pri mer<~ vez por L. Euler (1707-1783). El nlimero z = x - iy se denomina conjugado del mlmero z = x + iy y se denota mediante z . Obviamente,
=
1.2. Argumento de un numero complejo. Formas trigonometrica- y exponencial de un numero complejo. Multiplicaci6n y division de numeros complejos. Extracci6n de rakes de un numero complejo Definici6n. Sea z E C, z f:. 0. El angulo rp formado por el vector de posicion del p unto z y el versor del eje real se denornina argumento del numero z (fig. 13). El argumento del nlimero z E C, z f:. 0, no se delermina de fo rma unfvoca, sino a excepcion de un mliltiplo de 211'. Denotemos med iante Arg z el conjunto de todos los valores del arg umento de z . Entonces, si rp E Arg z, Argz = {rp+2n1f: n E Z }. En el conjunto Argz, z f:. 0, existe uno y solo un argumento que cumple rp E ( -11', 11']; este recibe el nombre de valor principal 1 y del argwnento y se denota mediante arg z. i Sea (x, y) un punto del plano JR2 . Tomando en consideracion Ia relacion entre sus coordenadas cartesianas y polares, _ 0 x obtenemos x = r cosrp, Fig. l3 (1)
z·z= lzl 2 • Verifiquemos que los nlimeros complejos forman un campo. Evidentemente, Ia operacion d e adicion satisface los axiomas requeridos, puesto que corresponde a Ia operaci6n de adicion d e vectores. El lector pued e comprobar los axiomas de adicion partiendo de Ia d efinicion (1) d e Ia suma, sin necesidad d e recurrir a los vectores. La comprobacion directa de los axiomas de multiplicacion y los axiomas que relacionan Ia ad icion y Ia multip licacion exige calculos voluminosos. Sin embargo, podemos evitarlos introduciendo otras caracterfsticas d e los nlimeros complejos.
que resulta muy comoda al multiplicar y dividir numeros complejos. Considerando Ia funcicn exponencial
iP
rp ~---+ = cos rp + i sen rp, rp E IR, (3) introducida por Euler, obtenemos Ia forma exponencial del nlimero complejo z :
(t;' cos ntp 1, r;• sen ntp1) = (1· cos tp, r sen tp}.
k E Z . Entonces se verijicn11 Ins igunlrlndes:
r;• = r,
= tp + 2k7r, k E Z. tp + 2k7r r 1 = \YT, tp 1 = . Para k = 0, n n
Demostracion. Estas igualdades se deducen directamente de Ia formula (3} y de las propiedades de las funciones trigonometricas. Demostremos la ig ualdad 2). Por definicion,
= (coscp+isentp)(cos'I/J +isen 1/J) = = (cos tp cos 1/J -sen tp cos 1/J) + i(sen tp cos 1/J +cos tp sen 1/J) = = cos(tp+'I/J) +isen(tp +1/J) = ei(
..,..
La rep resentacion exponencial de los numeros complejos permite simplificar las operaciones de multiplicacion y division. Si (5) Zj Tjei'l'i, Tj lzjl, tpj E Arg Zj (j = 1, 2), entonces
=
n tp 1
Asi pues, mos n valores distintos
5) l ei'~' l = 1.
ei "' ei.P
(8)
fgualando los modulos y argumentos, tenemos
e''~''
~
=
z (r cos tp, ~sen tp). Se pide hallar un numero complejo z 1 (t 1 cos tpJ, rt sen l.fJ t) tal que z\' = z. A partir de Ia formula (7), obtenemos
La afirmaci6n siguiente establece las propiedades principales de Ia funci6n exponencial definida med iante Ia formula (3).
=
•
Como vemos, para calcular el producto de dos numeros complejos es necesario multiplicar sus modulos y sumar sus argumentos; para dividir dos ntuneros complejos hay que dividir sus m6dulos y sustraer sus argumentos. De gran utilidad es la f6mzuln de Moivre (1667-1754}, Ia cual se puede obtener de la formula (3} o deducir utilizando el metodo de induccion matematica: si z = (z cos tp, r sen tp}, entonces V n E N se cumple
t>
(9)
1 obtene-
( nr= tp + 2k7r nc v"'z. = v r cos , v r sen tp + 2k7r ) , (10) n n los cuales dividen Ia circunferencia de radio CIT en n arcos de iguallongitud. Se dice que un campo P es orrienndo si \f (a E P , b E P) a2 + b2 = 0 {::} a = 0 A b = 0. En el campo C esta condici6n no se verifica; por ejemplo, i 2 + 12 = 0, pero i ::j: 0, 1 ::j: 0. Por consiguiente, el ca~po C no es ordenado. Verifiquemos que el m6dulo del numero complejo lzl = J x 2 + y2 cumple los axiomas de Ia norma (v. p. 2.5, cap. 1). La verificacion de los axiomas 1) y 2) es evidente. Para comprobar Ia propiedad triang ular, consideremos un triangulo con vertices en los puntos 0, z2 y z1 + z2 (fig. 10}. Las longitudes de sus !ados son iguales a lz2l (de 0 a Zz), lzd (de z2 a z1 + z2) y lz1 + z2! (de z 1 + z2 a 0). Dado q ue Ia longitud de un !ado de un tritingulo no es mayor que Ia suma de las longitudes de los otros dos !ados y no es menor que el valor absoluto de su diferencia, obtenemos
llzd - lz2ll ~ lz1
+ z2l ~ lzd + lz21·
Consiguientemente, el modulo tambien verifica Ia propiedad triangular. Asf, la cuaterna ordenada E = (C, +,· ,I I) es un espacio vectorial normado sobre el campo Ill Dicho espacio se convierte en un espacio metrico si \f (z1 E C, z 2 E C) se define Ia metrica por medio de Ia igualdad p(zt, z2) = lz1 - z2l
(11)
(v. p. 3.1, cap. 1}. A pesar de las diferencias sustanciales existentes entre los conjuntos de los numeros naturales, enteros, racionales, reales y complejos, hay muchas propiedades que son comunes a todos
estos conjuntos: por ejemplo, Ia conmuta tividad y Ia asociatividad d e las operaciones de ad ici6n y multiplicaci6n, Ia distributividad de Ia multiplicaci6n respecto a Ia adici6n, Ia existencia de l · elemento unidad respecto a Ia operaci6 n de multiplicaci6n. Surge entonces Ia pregunta: ;_se puede ampliar mas el concepto de numero de modo que se conserven dichas caracterfsticas comunes? La respuesta a Ia pregunta plantead a se da en e l teorema de F. Frobenius (1849-1917), d el cua l se deduce que el campo C d e los numeros complejos es e l mayor campo numerico y que es imposible ampliar e l concepto de nlimero.
1.3. Proyecci6n estereografica y sus propiedades Pa ra satisfacer las necesidades d e Ia teorfa de funciones analiticas, al p la no complejo C se le anade el punta del illjillilo y se conviene denot~ mediante oo el numero complejo correspondie nte. El conjunto C C U { oo} se denomina pla11o co111plejo ampliado. Para representar graficamente el plano complejo ampliado hagamos una construcci6n geometrica especial.
=
c
1
complejo z. Construyamos Ia esfera S de radio - y centro en el 2 pun to ( 0, 0,
~) ; el p lano complejo es tangente a Ia esfera en el
origen de coordenadas (fig. 14). Los puntos (( , Tf, () E S satisfacen Ia ecuaci6n (1) + ((1- (). Denotemos el punto (0, 0, 1) mediante N. Unamos el punto N con todos los puntos de la esfera z' ((, Tf, () mediante semi rrectas con o rigen en N y marquemos en cada semi rrecta el punto z = x+iy de su intersecci6n con el plano C. De este modo, todos los puntos de Ia esfera salvo el pun to N, se proyectaran sobre el p la no C. Asi pues, queda establecida una correspondencia biunivoca z ...... z' entre los conjuntos C y S\ {N}. Si convenimos que z = oo <--> N, entonces obtendremos una correspondencia biun fvoca entre los conjuntos C y S, d enominada proyecci611 eslereogrdfica. La esfera S se conoce como esfem de Rie111an11 . Establezcamos Ia relaci6n entre las coordenadas de los puntos z y z' . La condici6n de que los puntos z, z' y N se e ncuentran en una recta tiene Ia forma (-0 7]-0 (-1
e
x-0
rl =
= y-0 = 0-1'
donde las coordenadas del punto z' verifican Ia ecuaci6n d e Ia esfera (1). Po r consig uiente,
N
x=(-
1-(
1J
(2)
y=1-(
Tomando en conside raci6n (1) y (2), obtenemos
lzl2 --
x2
+ 2-
e+ 7]2 -
y - {1 - ()2
-
(
1- (
de donde
1
1- ( Fig.l4
Introduzcamos en el espacio R' un sistema de coordenadas O(Tf(_ de forma tal q~e ~I plano C coincida con el plano IR2 y los eJeS 0( y OTf comctd.an con los ejes Ox y Oy del plano
= 1 + Iz 12.
Con ayuda de estas igualdades, a partir d e (2) encon tramos las expresiones de ( , fJ, ( en funci6n de x e y:
x
( = 1 + lzl
2'
lzl2 fJ = 1 + lzl2' ( = 1 + lzl2· Y
{3)
..,. Soluci6n. Uti\i.zando las reglas de las operaciones con numeros Las expresiones (1), (2) y (3) son las f6mw lns principnles de In
complejos y Ia igualdad
proyecci611 estereogrnficn. La proyeccion estereografica tiene dos pro piedades importantes:
z =
1) medin11te ln. proyecci611 estereogrnficn, Ins circwrjere11cins siempre se frn 11sjormnll ell circwiferellcins (u11n recta ell el pla11o C se co11sidern como 1111n circw rferellcin de radio
illfillito); 2) si dos wrvns ell In esfern S se corlnll e11 un prmfo M y el n11grlio ellfre sus tmrgellfes en el prwto M es a, e11f011Ces el nllgulo elltre Ins tmrgellles n SIIS imngelleS ell el pwrto M' de su i11tersecci611 tnmbie11 es igunl n a; es decir, In proyecci611 estereogrnficn co11servn los vnlores de los ti11gulos. Para ilustrar m ejo r lo expuesto, utilicemos tt~rrninos geog rcificos. Denominemos plmro ecrwlorinl el p la no que pasa por el centro 0' d e Ia esfera S para lelamente a l plano ( = 0. Diremos que un punto A E S se cncuentra en el para lelo de latitud I{) si cl vecto r de posicion 0' A forma un ang ulo I{) con el p lano ecuatorial. Convengamos, a de mas, en que
s uperior, y de - - a 0 e n Ia semiesfera inferior. Los puntos de 2 Ia esfera que poseen una m isma lntitud I{) fo rman el pnrnlelo de latitud 1{). Sc d eno mina lo11gitud de un punto A(€, 1], () E S al va lor arg (€ +if}). El conjunto de puntos d e una longitud dada >. forma el semimeridimro de longitud >.. El punto N se denornina polo IIOrle, y e l origen de coordenadas 0 , polo sur.
IJ Problemas resueltos.
=-2 ei 3 =-2 2
4 "
= 2 + i2.J3.
2 (
cos
(71"3 + 1r) + i sen (71"3 + 7r) )
=
....
,..
2>:
Hallar ~tos m6dulos r . y sigu~~nt~ numeros complejos: · 1·.;:
:i1· ~
-:2;
z6 =2 .- Si;·
· 1.
·Represeptar en !a forma~ a ;rjb (a E IR, b -E IR) siguientes nume~gs complejos: 1 - [ ···
Zl
= l + i;
2
= 1 _ 3i;
.Z2
. r,;6
_Z3
= (1 + &.V 3) ;
- (1 i).s· z,·_-- ·t~l+.. - tv'z3 )4 z4+ _
.
1-
.
Z.,
'·
•
:. 1 -
..
.
Zto
= a + bi.
..,. Soluci6n. Recordemos que I{) es el valor principal ( -1r < argz 7r
7r
~ 7r)
y que arctg I{) es Ia rama principal de - -2 a -2 . Es mas facil calcula r I{) si representamos el punto z en el plano complejo.
Tenemos: 7f
ra = lzal = 3,
r2= Jz2 J=2,
r4= iz4 J=h'
- - 371"
r 3 = Jz3 J=
h,
rs = lzsl =
../29,
r7 = lz7 J=
../29,
r8
=lzsl = ../29,
r 9=
lz9l = lbJ,
z2
VJ a=2, 4
5
= cos -97r8 + l. sen -97r8 = - cos -8
7f
5
Dado que I cos xl tonces
2
5
arctg 2;
2
lbl
= V1 + cos2x , 2
, 0 cs8=
5
7f
, sen -=
b = 2sgnb; a> 0,
arctg -, a
r10= lz10 l =
J a 2 + b2,
b
1r + arctg-, a
arctg- - 71", a < 0, b < 0. a
371" sen - = 8
...
zo,2
Z J.)
-. Soluci6n. Sea z 7f
= i , entonces . 7f
- + 2k7r
2
cos 2
Jz l = 1, arg z =
7f
= -, 2
-
~ I - cos ":4 2
37r
b ~O,
I sen xl =
2
cos-=8
b
7f
2x y~s ~ , en-
~ I Ho> ":4 _....:...._ v'2+ ,12 __
8
b
. 2
sen 8' 1371" . 137r 371" . z3 = cos + 2 sen = cos -8 - 2 sen -371"8 . 8 8
4'
-
2
,j2 _ ,12 = - -2
'
vl272 2
)2+72 2
V+ h+ V h), = ±~ ( V 2- h+ iV2; h). = ±~ (
'
i
2
2-
...
VZ =
+ 2k7f
+ i sen , k = 0, 1, 2, 3. Obtenemos, pues, 4 4 cuatro valores distintos de Ia raiz: 7f
•
._ . Iz - 121
7f
Zo = cos 8 + l sen 8,
• Solucron. Como - - -. z - 82 (x- 4)2 + y2
571" 571" 371" 371" z1 = cos - + i sen - = - cos - + i sen 8 8 8 8'
(x- 8)2 + y 2 5 h<. 36
2
=
12)
I
2 + )y2 = -, 25 z _ 41 = x2 + y - 8 2 9 z-8
(x -
2
(
= 1, entonces el problema se reduce a resolver el
funciones de yariable complcja
, sistema de ecuaciones 2x2 + 2y2 { 8x = 48. Sus soluciones son z 1 Z2 = 6 + 8i. ~
5. · lal .
+ 27x -
.,.. Soluci6n. Dado que a
= 0,
2
.
Demostrar Ia identidad
.
~
ld + bl2 + Ia·- bl2 = 4lgl2
si
..
~ Soluci6n. Utilicemos Ia propiedad evidente
Zj±Z2 = z, ± z2
zz = lzl . Tenemos: Ia + bl + Ia - bl 2 = (a+ b) (a + b) +(a- b) (a - b) = = (a+ b)(a + b) +(a- b)(a - b) =
el hecho d e que
2
y ~
Soluci6n. Como
2
2
Ia- bl =(a- b)(a- b) = lal 2 - ab-ba+ lbl2 , entonces
= aa + ab + ba + bb + aa - ab - ba + bb = = 2(aa + bb) = 2(lal2 + lbl 2) = 4lal2 • ~ ::
Soluci6n. De forma amlloga a! problema anterior, 11 -
(1-
lal = 1, resulta
Si
6. .Demostrar Ia identidad 11 - aol2 - Ia - bl2 = (1 + labl)2 - (lal + lblf (a E C, bE C). _ '"'~ '~· -<111
> 0, entonccs
= (6,17) y z = (6,8), es decir, z, = 6 + 17i,
.
= lbl.
SOy + 38
bl 2 = (1 - ab)(1 - ab) - (a -b) (a - b) = = (1-ab)(1-ab) -(a-b)(a-b) = o = 1 - ab - ab + aabb - aa + ab + ba - bb = 2 = 1 + lal lbl 2 - (lal2 + lbl 2 ) = 2 2 = 1 + labl - (lal + lbl) + 2jabl = = (1 + labl)2 - (lal + lblf ~
si
Ia - bl
= 11 -
iibl
a- b lbl = 1, entonces ---1- ab
I
I II =
y
ab _ ab 1
= 1.
1. De un modo ana!ogo,
~
•
~ Soluci6n. Sea q Ia raz6n de Ia progresi6n geometrica y d el incremento de Ia progresi6n aritmetica. Entonces lz2 1= lz 1 lq= v'iq,
lzJI tp; lfJJ
= lztlq2 = v'i~~_lz41 = 4 = v'il, de donde q = Vi. Sea = arg z; (i = 1, 4). Dado que tp 1 = 0, entonces tp = d, = 2d, tp4 = 3d. Puesto que z4 = 4i = (cos 3d + i sen 3d), 2
11' entonces cos3d = 0Asen3d= 1. Por consiguientcI 3d = - + 2k11' I 2 5•
= 11"_ +21.:71" -
z ). Como d= lf'z =• a rgzz, entonces
11"
-71" < - + 6 6 3 2k71" 11" 5 ~ 1r. Obtenemos, pues, tres valores pa ra d: d1 = 6, dz = 6 7r,
d
3
d3
(sk E
11" • t = - -, y tres soluciones para z2 y Z:J , respechvamen e:
Multip lique mos los dos miembros d e Ia primera ecuaci6n por a, los de Ia segunda por a y reste mos una de Ia otra. El resultado es (ac- iib) z- ( iic - ab) z + ad - iid = 0. Hagamos z(ac- iib) = Z. Entonces Ia u ltima ecuaci6n toma Ia forma
2
z2
..,. Soluci6n. AI igual que en el eje mplo ante rior, Ia ecuacion dada es equivalente al sistema
Z - Z = -(ad- ad), de donde
...
es d ecir,
Z = t - i lm (ad), es decir, z =
12.
z
..,. Soluci6n. Si z es una soluci6n de Ia ecuaci6n dada, entonces sera soluci6n de Ia ecuaci6n bz + iiz = c. Resolviendo este sistema de ecuaciones
~ { ~zbz ++~~= az = c, iic- be y suponiendo que Ia I f. lbl , obtenemos z = lal2 _ IW · Si lal 2 = lbl2, el sistema es incompatible, salvo el caso 2
2
c S1empre . . en que -ii = -b = -. que se cumpIan estas cond'ICiones, b a c _ el sistema se reduce a Ia ecuaci6n cbz + Cbz = cc, es decir, a Z + Z = lcl 2, donde Z = cbz. La ultima ecuaci6n tiene Ia 2 soluci6n Z = ~ lcl +it, -oo < t < +oo. Regresando a z, 2 1 t obtenemos z = - ~ + i--= (t E JR). .,.. 2 b cb
2i Im Z = -2i 1m (ad), t -ilm (ad) ac- ab
...
t E lit I
Determ.ina'r 01ando se cump1e 1a 'iguJildad Re_(z.iz2 )~·••
(Re z1KRe z2). ·
·
.
-~
..,. Soluci6n. Sean z 1 =r1 ei~ 1 , z2 =r2 ei~2 , lf'l E Arg z 1, !p2 EArgz2. Tenemos: Re(z1 z2) = Re (r1 r2ei(~, +~zl) = TJ7'z(cOSlf' 1cos !p2 - sen!p 1 sen!p2), (Rez1)(Rez2) = 7'J Tz COS!f't COS!f'2· Por tanto, Ia igualdad se verifica si sen lf'I sen lf'2 = 0, es decir, cuando ZJ E lR 6 z2 E JR. .,..
..,. Soluci6n. Sea lzl ~ 1. Consideremos Ia diferencia lz - al 2 - 11 - iizl 2 = (z - a)(z- a) - (1- az)(1- az) =
= lz l2 -
2 2 2 iiz-az+ lal - 1 + az+az- lal 1zl =
2 = ( lal -1) (1-1zn ~ o.
~ -z-a Por consiguiente, lzl ~ 1 =} -z-- -al - ~ 1. Sea ahora _- l l 1-az 1-az entonces (lal 2 - 1) x (1 - lzl 2) ~ 0 =} lzl ~ 1, ya que Ia! < 1.
Expfu§ar cos 5x y ~il5x med iante cos x y senx. ~ Solucion. conforme a Ia formula de Moivre cos 5x + i sen 5x = 5
(cos x + i sen x) • Aplicando entonccs Ia formula del binomio de Newton, obtenemos
15. HaUar el valor princ~pal d el. -2 + 3i y Z2 = a+ ib (a< 0, b < 0). ~
l!fgumento de zi = ~ ,, o:o; •
x + t. sen x )5 = cos 5x + 5.t cos 4 x sen x 3 2 2 - 10 cos x sen x- 10i cos x sen3 x + 5 cos x sen4 x + i sen5 x,
(cos
Solucion. El p un to z 1 se encuentra en el segund o cuadrante del p lano z, por lo qu e argz1 = arctg (
- ~)
=
+ 1r
1r
- arctg~.
El p u n to z 2 se encuentra en el tercer cuadrante y, por tanto, b arg z 2 = arctg- - 1r. .,.. a
de donde 5 3 cos 5x = cos x - 10 cos x sen2 x + 5 cos x sen4 x, 4 sen 5x = 5 cos x sen x- 10 cos2 x sen3 x + sen5 x. 27r 27r Calculemos, por ejemplo, cos - y sen - . Tenemos:
5
5
27r 2 27T 2 27T 4 27T 0 = 5 cos - - 10 cos - sen - +sen - = 5 5 5 5 4
16. .
= 5
.. ~
Sol ucion. Para z 1 tenemos 2 lz,l = 12 + ( v'3) = 2,
.J
Pa ra z2, lz2 1 =
v(l -cos a)2 + sen2
Considerando que 0 obtenemos
arg z 1 = arctg
< a < 21r
a
3
~-
a ( a) 1r
- - 2 2
,
2 27T
5
)
2
- 10 ( 1 -
2 27T 10 + 2v'S = 5 16
y =sen -
2
y observando que larg z21 <
sen sen (arg z2) = --a- =cos- =sen 2 sen2 2
1 - sen
sen
2 27T )
5
sen
2 27T
5
4
+sen
527T .
2 27r Haciendo sen 5 = y, obtenemos Ia ecuacion de segundo grado 16y2 - 20y + 5 = 0, de donde
v'3 = ~ -
a= 2 sen
(
1r -
7r
-, 2
a
arg z2 = - -. 2
Asf, cos 21r = 5
J
I
27T VlO + 2v'S sen-=-5 4
1 _ 10 + 2v'S = v'6- 2v'S = 16 4
.;s- 1_ ... 4
Representar sen 4 p; en form!)• de un polinomio de ,_primer grado respec;to a angulos trigonome tricos ,multipl12s de x: · ., \
=
..,. Soluci6n. Tomando z cos x + i sen x, z2i sen x , obtencmos
z=
z- z- )
4
sen x=
Ti
(
4
z = cos x -
20. ·Sean ZJ, Zz dos .vertices adyace nte'S de 'Wl paralelogramo y seC) Z3 -el Runto de intersecci6n d..~ s,Us diagonales. · Hallar lq]; otros dos vertices pel parale- ~ y f z4 logramo.
F
i sen x,
..,. Soluci6n. Es c6modo considerar los vertices del pa ralelogramo como vectores libres (fig. 15). El punto de aplicaci6n del vector z3 - z 2 se e nIV' ~ z2 cuen tra en z2 y su exO 1 _ tremo e n z3 . Dado que X cl vector es fibre, entonFig. 15 ccs, situando su punto de aplicaci6n en z3 obtenemos z4 = z 3 + (z3 - z2 ) = 2z3 - z 2 . Analogamente, zs Zz + (z4 - z 1) 2z3 - z 1 . ~
Sea~ lzt.l = lzzl = lz3 1= •1. Demos~raL-·que los punto~ los vertices de un tri~:ngulp-e9..tplate~o ~i, solo "i . 0 'li:' ". .j>f • Zt.+z2 +z3·= . · .... '·"" ...""'~- ·· . .. ..• .;,. -...... t•.
21.
II
k =O
=
. ..•,'
.:.
II
=
~
z n+ l _ Z -
1
1
l
,
! t>
cos (n + 1) x + i sen(n + 1) x - 1 Re - - ' - - - ' - -- --'-__.:;____ (cos x - 1) + i sen x
cos nx - cos (n + 1) x - cos x + 1
.... Soluci6n. Necesidad. Sean ZJ Zz y ZJ los vertices de un triangulo equilatero. Entonces estos se encuentran en Ia circunferen cia de radio unidad t) y centro en el origen de coordenadas, y son las rakes de Ia ecuaci6n z 3 - (cos lfl + i sen lfl) 0. De este modo, (z - z 1) (z - z2 ) (z - z3 ) = 3 z - (z 1 + Zz + z3) i + (z 1Zz + ZzZ3 + ZJZJ) Z - ZtZzZJ =: I
=
=
=
2n+ 1 1 ( 1 1 sen ) 2 xx D ,.(x) = - -- +St = 2 71' 2 271' 2 sen -
2 En Ia teoria de las series de Fourier Ia funci6n D,. se denomina micleo de Dirichlet . ~
3
- (cos lfl + i sen lfl). conforme al teore ma d e Yiete, z 1 + z 2 + z3 = 0 . Suficienda. Sea z 1 + z2 + z 3 = 0. Hagamos q = z 1z 2 + z2 z3 + ZJZJ. Dado que ZJZJ z 1z 1 = z 2 2 1, entonces q =
z
2- 2 cos x
=
z =
l) N. del T. En adelantc, pard las circunferencias, semicircunferencias, circulos y semicirculos de radios igualcs a Ia unidad utilizarcmos las expresioncs "circunferencia unidad", "semicircunfercncia unidad", "circulo unidad" y "scmicirculo unidad", respectivamcnte.
Zt z2z3(z3 + Zt + z2) = 0 y los numeros Zt Z2 y Z3 satisfacen Ia ecuaci6n z 3 - z 1z2z3 = 0. Sus raices se encuentran en Ia circunferencia unidad. .,.. I
22,: Res~lver la ecuaci6n a;n-l · (ecun.cj6n de division del clrculo).
+x"~ + ... -¥X + ~1 = 0 2
I
1
de los cosenos al triangulo de vertices 01 z y z + 1 1 obtenemos 1 = 5r2 - 4r2 cos 01 8 = tp - 1/J 1 mientras que a partir del teo12 remade los senos hallamos sen,P = (5- 4cosOr ' senO. Por consiguiente
1
i2h
Las rafces z~.: = v 1 = e- ,-, (k = 01 n- 1} de esta ecuaci6n se pueden escribir en Ia forma 11 W 111 w~~ ... 1 w;:- t1 donde W 11 = z 1. En particular (v. cj. 17)1 w3= -1+iJ3 w4 = i 1 2 i2rr 2?T 2?T 1( w5 =e5 =cos +isen = Vs-1+i 10+2Vs . w2 =
~.
5
Soluci6n. Es s uficiente resolver Ia ecuaci6n z" - 1 = 0 1 p uesto que zn -1 = (z -1) (zn-l + zn-2 + ... + z + 1). nr.;-
~
a Ia circunferencia de radio y centro en el pun to z = Ha3 3 ciendo z == r(cos tp + i sen tp) y z + 1 = p(cos 1/J + i sen 1/J) (fig. 16}1 5 obtenemos (2ri(cos 5tp + i sen 5cp) = p (cos 51/J + i sen 51/J)~ de 2k?T donde p = 27' tp = 1/J + - k = 0 4. Aplicando el teorema I
~
~
es decir1 las rakes z~.: = r~.:(cos tp1.: + i sen cp1.) (k = 01 4) pertenecen
7·~.:= tp1.: = 1/Jk +
1
2?Tk
v'5-4cosB~.: 1
0~.:=5~
senO~;
)
k = 0 4.
0~.: = arcscn ( v'5-4 cos 0~.: + 0~.: 1
1
.,..
- 1~
5
5
J
4
)
Seii.alemos que el problema de representar W11 en una forma que contenga solo rafces cuadradas es analogo al problema de la construcci6n mediante una regia y un compas de un n -agono regular inscrito en una circunferencia unidad. .,..
2'1. .D~inosb:jlr que
··
rr·
2_m ·- 2m ·m-1 .( 2· .,·': X . -a ~
- - --
=
k,
x - 2ax cos
· )
'fur :I- a2
1
1.:=1
=
~ Soluci6n. Valgamonos del ej. 22. Es evidente que x a es una raiz de Ia ecuaci6n x 2"' - a2"' = 0; por consiguiente1 todas las dcmas raices se pueden representar en Ia forma aw~m (k =
1 2m- 1). De esta maneral x 2m -a2m = ( x -a)( x-aw2m ) ... 1
~
Soluci6n. Todas las rafces de esta ecuaci6n cumplen la condici6n l2zl = lz + 11 . Tomando en con-
y
(
-
z+1
'IT
m
sideraci6n que x = - 2
k
Wzm
donde z = x + iy obtenemos Ia igual-
e y =
1
I
dad
( 1) 3 x -
3
2
+ y =
4 91
2m- k k + W2m = 2 Re W2m
1
m = x - aw2m
X
+ a.
'IT
Dado que w2m = cos - + i sen -
z+z
z-z 2i
2m- l) x - aw2mm) . . . ( x - aw2m
m
1
1
entonces
k 2m-k W2m . W2m
k -k-
= w2,.w2m
=1
y X
Fig. 16
(
k ) ( x-aw 2m-1.:) k?T 2 (k= x - aw2m =x2 -2a:z:cos-+a 1~m- 1). 2,.. m
mostrar qiJ.e toda. rectg qu~ pase por el pun to z0 -
I'!-
n
= 'L:: mkzk k=l
•
separ11 ~os puntosAzk, sai'vo~eo' el caso en ,que todos los p lintos p ertel)ezcary a una recta_. ~,
~
Solucion. Supongamos lo contrario: todos los puntos zk estan colocados a un !ado de Ia recta 1 que pasa por el punto Zo· Escojamos un sistema de coordenadas en el cual Ia recta 1 coincide con el eje imaginario del plano w y el punto z 0 es el origen de coordenadas. Los puntos zk se representaran e ntonces por aquellos puntOS Wk del planO W tales que 8 wk = (zk - z0 ) ei , donde 8 es el angulo entre Ia recta 1 y el eje imaginario del plano z. Conforme a Ia suposici6n, tenemos II
que Rewk
> 0 (<
0) V k
= 1,n, luego L
mkwk
> 0 (<
no puepeQ encontrarse"fuera del poligpno convexo.ininimo q~e conti~ne todos)9~ c,:ero;; z 1 , i 2, : • • ; z!, del polinomio~ Pn (fig. 17)~ Aq@, p~ es la aerivada del pqli-
~ Solucion. Dado que P,.(z) a 11
mkwk
n (z- Zk), entonces
mkzo) ei8
= 0,
L(mkzk - mkzo) k= l
= 0, z• 'I zk (k =1, n), entonces 1 a,.(z•- z 1)(z • - z2 ) X
n
n
=L k= L
n
mkzk- zo L mk k=l
n
=L
mk zk - z0
= 0.
k= l
De este modo, hemos llegado a una contradicci6n, lo que significa que nuestra suposici6n es falsa y no todos los puntos zk se encuentran a un mismo !ado de Ia recta I· El problema considerado tiene Ia siguiente interpretacion Hsica. Supongamos que tenemos un sis tema de puntos zk de masas mk y que 1 es una recta que pasa por el centro de inercia de este sistema. Entonces todos los puntos zk no se pueden encontrar a un mismo !ado de I· ~
Y~'f. Dem~strar. que los do~. valo~s de ;nLa. .,~;ecta. que ~asa pqr.
el origen de coordena~ das y que es paralela a · Ja J:>isectrg del angul~ interior del vertice z de. giCho triangulo.
v'.Z2=1 se e(\cuen~a~
!J
z
1
..,. Sol uci6n. En Ia figura 18 vemos que arg (z 1) = a 1 y arg (z - 1) = a 2, fuego
+
X
Fig. 18
2 arg (z - 1) = at + a2, ;-;;---:vz~ -l =lz 2 -11 t/2 exp { i (at + a2) + 2 . Los valores de v~ Z' - 1 henen argumentos
Dado que a2 = a1
2k7r}
Ql
+ Q2 y
(k=O,l). Ql
II:
I-
1.1<~ largzl;
~)
l.z- II ~ l!zl. ~ 1.1 +lzll~cg il.
..,. Soluci6n. 1) En Ia figura 19 se representa un arco de circunferencia unidad de angulo central igual a larg zl radianes. Es evidente que Ia longitud y de Ia cuerda que d efine el arco no supera Ia Iongitud de este. El signo de igualdad s61o es 0 X posible si arg z = 0, es decir, z E IR, z > 0. 2) Consideremos el triangulo curvilineo d e Ia figura 20. Vemos que Ia Io ngitud de un z !ado (igual a iz - 11) no supera a Ia suma d e las Fig.l9 longitudes de los otros dos, uno de los cuales es el arco de circunferencia de radio lzl y angulo central igual a iarg zl, rnientras q ue Ia longitud del otro !ado es Jgual a liz I - 11. El signo de igualdad s61o es posible para a rg z = 0. .,..
+ Q2 +1r.
2 2 +{3, los valores de Vz2=1 tienen arg umentos
a 1 + f!.. 2 y a1 + f!.. 2 + 1r. El angulo 1 entre Ia bisectriz y el eje Ox es igual a a 1 +
~. Por consiguiente, ambos valores de Vz2=1
se encuentran en Ia recta que pasa por el origen de coordenadas
..,. Soluci6n. Sea z 1 = x1 + iyt y z2 = x 2 + iy2. Entonces z 1 +z2=X1 +x2+i(y1 + y2), lzt +z2l 2=Cx1+x2)2+ (Yt+Y2 )2,
Soluci6n. Los puntos z 1, z 2 y z3 se cncuentran en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. Consideremos los vcctores ZJ - z2, z3 - z1, z 1 y z2 (fig. 21). Vemos que el ZJ- Z2
,
angulo arg - - ZJ- ZJ
centra I arg -Z2
ll zl-11
ZJ
0
ZJ
= arg (z3 -
= arg z2 -
z 2)
-
arg (z3
,
-
z 1) y el angulo
' determma . d os por un nus. arg z 1 estan
mo arco de circunferencia entre los puntos z 1 y z 2 ; Por tanto, scgun cl conocido teorema de geometrla elemental obtenemos
X
z3 -
z2 1 z2 = - arg - .
arg - - -
Fig.20
ZJ- ZJ
2
~
Z1
y Demostrar que si z1 + Z2 + Z3 + Z4 = 0 y lt1 l = lz2l = lz3l = lz41, entonces los puntos Z1, Z2, ZJ, Z4 SOn vecttfes de
31.
un rectangulb o coinciden dos a dos. ~
Soluci6n. Los cuatro puntos se encuentran en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y se verifica, ademas, z 1 + z2 = - (z3 + z4). El valor absoluto y el sentido de los vectores z 1+ z2 y -(z3 + z4) coinciden si, y s61o si, por ejemplo, z3 = z1 , z4 = z2, o bien ZJ = z2, Z3 = z4 • En el primer caso los puntos z 1 , z 2, z 3 , z 4 son vertices de un rectangulo. ~
~
Soluci6n. Se sabe que los valores de \'IZ se encuentran en Ia circunferencia de radio lzl y constituyen los vertices de un n-agono regular. Por consiguiente,
Como se puede ver, Ia suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelogramo es igual a Ia suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados. ~
Zk+ l
·(
2h)
.
. 2h
·2klr
= lzde' argz,+-;;- lzde'argz'e'-;;- =z1e'-;;-, k = 0, n - 1.
~
~
33.
Sean Zl y Z2 dos vertices adyacentes de un n-agono ·regular. Hallar el vertice ZJ adyacente a i2 (za if; z1). <111
Soluci6n. En Ia figura 22 vemos que z3 consig uiente, z3
= z2 + (z2 -
·2lf z 1)e'n.
=
zJ)e' n, Por ·2r
z3
y
y
= Cl,
ZJ-
C1
= z2 + (z2- z 1)e-•n. ..,.
z3
a) lz -
21 + lz + 21 = 5; d) Im z
0
I
Soluci6n. Veamos Ia figura 23. IJado que los vectores z 4 - Zt y ZJ - Z2 SOn co)inea)es y SUS modu)OS SOn ig ua)es, entonceS z4 - z 1 ZJ- Z2, Z4 Z1 + ZJ- zi. ....
=
izquierda de Ia hiperbola y Ia desig ualdad lz - 21 - lz + 21 > 3, su interior. c) Sea z = x + iy. Escribamos Ia desig ualdad en Ia forma X ~ c. Vemos que este es el conjunto de los puntas situados a la derecha de Ia recta x = c, incluyendo Ia propia recta. d) Como Im z = y, escribamos Ia desigualdad en la forma y < c. Este es el conjunto de todos los puntos del semiplano ubicado debajo de Ia recta y = c. ..,.
=
.
.
35. ·zBajo que eong,ici.q!ll;tres puntos Z t, z2 y z3 dife~rites se encue ntran en Ufia nUSifla recta?
=
elipse cuyo semieje mayor es igual a ~ y sus focos son los puntos 2 -2 y 2. b) El Iugar geomctrico de los puntos del plano C que satisfacen Ia cond ici6n liz - 21 - lz + 211 = 3 es una hiperbola 3 de semieje 2. La ecuaci6n lz - 21 - lz + 21 = 3 describe Ia rama
-3 ~4 ·. Sean Z l Z2 y ZJ tres vertices de un parall e ogramo. Hallar el CUCjrto vertice Z( opuesto a) V'ertice -Z.2. <111
< c:
Solucion. a) La ecuaci6n describe el Iuga r geometrico de los puntas del p lan o para los cuales Ia suma de sus d istancias hasta dos puntas dados F 1 -2 y F 2 2 es ig ual a 5. Del curso de gcometrfa analftica se sabe que esto es, por definicion, una
=
X
Fig.23
Fig.22
lo que es
Aclarar el sentido geometrico de las expresiol}~S ~i guientes:
Zt
X
= 0,
Z2 - Zt •
36. 22
0
z1
E lit Entonces Im - -
Y3-Y1 XJ-X t equiva len te a que - - = - --. Dado que Ia ecuaci6n Y2- Yt x2- Xt de Ia recta que pasa por los puntas (x 1, yt) y (x 2, y2) tiene Ia y - Yt X - XI form<~ - - - = ---, vemos que el pun to (x 3, y 3) pertenece Y2- Yt x2- Xt a ella. ..,.
-2lf
(z2-
z1
Z2 - Z t
Si los vertices estan enume-
rados en orden in verso, obtenemos
z3
z2
ZJ-
Sea - -
Soluci6n. Si estos puntas se encuentran en una recta, e.ntonces los argumentos de ZJ- z 1 y z 2 - z 1 bien coinciden, bien difieren ZJ- Z t
en 1r; por ella, Ia fracci6n - - es un numero real. La z2- Z t
condici6n obte.nida es necesaria. Demostremos su suficiencia. 6•
-<111
Soluci6n. a) La ecuaci6n arg z = a define una semirrecta de pendiente a. Las desigualdades a < arg z < f3 definen un sector infinite comprendido entre las semirrectas arg z =a y arg z = /3, sin incluir las propias semirrectas. b) Traslademos el origen de coordcnadas al punto zo haciendo z- z0 = w . Entonces las desigualdades a < arg w < f3 definen el interior del mismo sector de a), s61o que con verticc en zo. ~
vectores z-z1 y z-z2 pertenecena Ia recta que pasa por los puntos z 1 y z 2 (excluyendo el punto z2); en el segundo cas9, el angulo 7r comprendido entre estos vectores es igual a ±2 a exc~pci6n de Z- Z J
un multiplo de 21r. Por tanto, el conjunto Re - - = 0 es una z- z2 circunferencia cuyo diametro es el segmento que une los puntos z 1 y z 2 (el punto z2 ha sido excluido de Ia circunferencia). d) Sea z = x+iy. Entonces lx-1+iyl ~ 2lx+i(y-1)j, es decir, y'(x- 1)2 + y 2 ~ 2y'x 2 + (y -1)2. Elevando al cuadrado los dos miembros de Ia desigualdad obtenida, tras una serie de transformaciones elementales obtenemos
(x+31) + 2
b) Rez +.Imz <1;
8 y-34) :::;9. 2
(
El conjunto de puntos del plano C definido por Ia desigualdad
2J2
anterior es un drculo cerrado de radio - - y centro en el punto 3
1 4 z0 = - -+i-.
<0111
2
2
Soluci6n. a) Seaz=x+iy;entonceslzl = v'x +y ,Rez+ 1= x + 1, y Ia igualdad analizada toma Ia forma y'x 2 + y 2 = x + 1. Elevando al cuadrado los dos miembros de Ia Ultima igualdad obtenemos y 2 = 2x + 1. Esta es Ia ecuaci6n de Ia parabola con vertice en el punto ( 1'
-~, 0)
y eje de simetria en Ia semirrecta
= {(x, y) E~2 : x ~ -~, y = 0}.
b) Escribamos Ia desigualdad en Ia forma x + y < 1. El conjunto de los puntos del plano C que satisfacen esta desigualdad es el semiplano limitado por la recta de ecuaci6n x + y = 1. El origen de coordenadas pertenece a este semiplano. c) Dado que z-
ZJ Z - Z2
Z -
ZJ
Arg - - , tp Z - Z2
= 1P1 -
=
I
z-
ZJ Z - Z2
l(cos tp + i sen tp), tp E
tp2, IPI E Arg (z-
ZJ),
1P2 E Arg (z - z2),
entonces en el primer caso tenemos sen tp = 0, IPI - 1P2 = k1r, y en 7r el segundo, cos tp = 0, IPl - tp2 = 2 + 2k7r. En el primer caso los
3 3 e) Sea lzl = r. La curva de ecuaci6n r = tp se denomina espirnl de Arquimedes. Dado que 0 ::;; tp < 21r, entonces se considera solo una espira de dicha curva. Asi pues, Ia desigualdad r < tp describe el conjunto de puntos interiores de Ia figura formada por el segmento 0 ::;; x ::;; 27r del eje real y una espira de Ia espiral de Arquimedes. f) La desigualdad determina el mismo conjunto del ejemplo ant
Z - Zt
