Coordenadoria Nacional de Educação a Distância
ENGENHARIA ECONÔMICA
www.redentor.edu.br (22)3811-0111
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CRÉDITOS Diretor Geral da Faculdade Redentor: Heitor Redentor: Heitor Antonio da Silva Vice-diretora da Faculdade Redentor: Cláudia Redentor: Cláudia Regina Boechat Silva Diretor de Operações e Finanças: Luís Finanças: Luís Adriano Pereira da Silva Diretor de Pós-graduação e EaD: Vitor EaD: Vitor Hugo Vidal Rangel Júnior Diretor de Graduação Itaperuna e Campos: André Campos: André Raeli Gomes Coordenadora Geral da CNEaD: Maria CNEaD: Maria Esther de Araujo Design e Editoração: Leandro de Jesus Moreno Vieira Frederico Venancio Reis Jamil Bussade Neto
Av. Cardoso Moreira, 647 - Loja 2 Centro - Itaperuna/RJ CEP: 28300-000 Tel: (22) 3822.2346
[email protected]
Revisão de Língua e Estilo: Renato Estilo: Renato Resgala Júnior
Catalogação na publicação: Rúbia Christina Lopes Ribeiro – CRB7 4479/RJ Borges, Luiz Gustavo Xavier Engenharia econômica / Luiz Gustavo Xavier Borges; coordenação Vitor Hugo Vidal Rangel Junior, Maria Esther de Araújo; revisão ortográfica Renato Marcelo Resgala Júnior; ilustração Jamil Bussade Neto e Frederico Venâncio Reis. – Itaperuna : Instituto Begni Ltda. , 2012. 77 p. : il. ISBN 978-85-65556-30-9
1. Engenharia econômica I. Título. CDD 658.152 © Todos os direitos reservados. Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 1998.
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CRÉDITOS Diretor Geral da Faculdade Redentor: Heitor Redentor: Heitor Antonio da Silva Vice-diretora da Faculdade Redentor: Cláudia Redentor: Cláudia Regina Boechat Silva Diretor de Operações e Finanças: Luís Finanças: Luís Adriano Pereira da Silva Diretor de Pós-graduação e EaD: Vitor EaD: Vitor Hugo Vidal Rangel Júnior Diretor de Graduação Itaperuna e Campos: André Campos: André Raeli Gomes Coordenadora Geral da CNEaD: Maria CNEaD: Maria Esther de Araujo Design e Editoração: Leandro de Jesus Moreno Vieira Frederico Venancio Reis Jamil Bussade Neto
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Revisão de Língua e Estilo: Renato Estilo: Renato Resgala Júnior
Catalogação na publicação: Rúbia Christina Lopes Ribeiro – CRB7 4479/RJ Borges, Luiz Gustavo Xavier Engenharia econômica / Luiz Gustavo Xavier Borges; coordenação Vitor Hugo Vidal Rangel Junior, Maria Esther de Araújo; revisão ortográfica Renato Marcelo Resgala Júnior; ilustração Jamil Bussade Neto e Frederico Venâncio Reis. – Itaperuna : Instituto Begni Ltda. , 2012. 77 p. : il. ISBN 978-85-65556-30-9
1. Engenharia econômica I. Título. CDD 658.152 © Todos os direitos reservados. Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 1998.
3 LUIZ GUSTAVO XAVIER BORGES
SOBRE O AUTOR
Olá, sou Luiz Gustavo Borges, autor do material didático da disciplina Engenharia Econômica. Sou graduado em Engenharia
de
Produção
(2004)
pela
UFV,
tenho
especialização MBA em Engenharia Econômica e Financeira (2006) pela LATEC / Universidade Federal Fluminense. Atuei no Programa Desenvolvendo Talentos (2005) pelo Unibanco e atuei como Analista de Projetos (2005 – 2006) também pelo Unibanco. Atuo como Empresário desde 2006 na GARNIER. Na Faculdade Redentor, atuo como professor e coordenador do curso presencial de Engenharia de Produção.
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A disciplina Engenharia Econômica se baseia em quatro pilares: matemática financeira, em que os princípios básicos serão abordados a fim de oferecer suporte ao restante do curso; fluxos de caixa, nos quais os valores são dispostos na linha do tempo e sofrem com a influência da taxa de juros do mercado; métodos de análise de projetos, verificando o êxito (ou possível êxito) ou não de um ou mais projetos, de acordo com a necessidade do investidor; e os métodos de amortização, detalhando a forma de pagamentos de operações com relação à sua amortização e valores de suas prestações. Cada um dos módulos será abordado separadamente, mas com ligações entre si. Os conceitos são acumulativos e podem ser usados com multidisciplinaridade. Esta disciplina engloba conhecimentos de matemática, economia, engenharia, informática e lógica, sendo de suma importância sua utilização no âmbito empresarial e também pessoal. Acompanhando cada módulo, teremos exemplos de utilização dos conceitos, questões objetivas, discursivas e resumos com o conteúdo do módulo.
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Este caderno de estudos tem como objetivos:
Fornecer ao aluno informações de conceitos básicos de finanças;
Oferecer ferramentas para o aluno distinguir valor nominal do valor real do dinheiro através do tempo, sua importância e seu poder de compra;
Capacitar o aluno para utilização de métodos de avaliação de projetos, podendo analisar qual a necessidade principal do investidor;
Capacitar o aluno para utilização dos métodos de amortização em operações financeiras, na escolha da solução mais vantajosa e no entendimento dos princípios de mercado.
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MÓDULO 1 ..................................................................................................................... 8 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 9 2. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................... 9 3. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA................................ 11 3.1. Capitalização Simples ......................................................................................... 11 3.2. Capitalização Composta ..................................................................................... 14 3.3. Desconto Composto............................................................................................ 19
MÓDULO 2 ................................................................................................................... 26 1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 27 2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ..................................................................... 27 3.EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ...................................................................................... 35
MÓDULO 3 ................................................................................................................... 42 1.INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 43 2.PAY BACK ................................................................................................................. 44 3.PAY BACK DESCONTADO ....................................................................................... 48 4.VALOR PRESENTE LÍQUIDO ................................................................................... 51 5.TAXA INTERNA DE RETORNO ................................................................................ 54
MÓDULO 4 ................................................................................................................... 64 1.INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 65 2.SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ........................................................... 65 3.SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE ...................................................................... 70
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Fala Professor: Palavra do professor sobre o assunto abordado.
Atividades: Atividades a serem feitas pelo aluno após a leitura do conteúdo.
Leia mais: Conteúdos complementares.
Atenção: Destaque de parte importante do conteúdo apresentado.
Reflexão: Hora de refletir o assunto apresentado.
Anotações: Espaço utilizado para anotações do aluno.
Vídeos: Links de vídeos indicados pelo professor.
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INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA
MÓDULO
1
APRESENTAÇÃO DO MÓDULO Este módulo apresenta os conceitos básicos da Matemática Financeira, fazendo associações com o mercado atual. Traz também os princípios da capitalização simples, em que apenas o capital gera juros, e da capitalização composta, na qual os juros são acrescidos em cima do montante financeiro, modelo que rege grande parte das operações realizadas no mercado.
OBJETIVOS DO MÓDULO Esperamos que, após o estudo do conteúdo deste módulo, você seja capaz de: - Entender a importância dos atores de finanças e suas ligações; - Entender o funcionamento dos sistemas de capitalização simples, composta e a influência da taxa de juros; - Calcular valores equivalentes para títulos em diferentes vencimentos.
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1. INTRODUÇÃO
A matemática financeira é o ramo da matemática que se ocupa do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. É a união de conceitos matemáticos, como fórmulas, gráficos e tabelas com operações financeiras, como empréstimos, financiamentos, aplicações e investimentos. O principal objetivo da matemática financeira é oferecer ferramentas que possibilitem a análise e comparação de operações para a tomada de decisão mais coerente.
2. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros
Juros é o que se paga pelo custo de capital, ou seja, é a oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. Estamos muito acostumados com juros no nosso cotidiano: - Cheque especial - Compras a prazo - Financiamento de automóveis - Prestação da casa - Empréstimos
A matemática financeira tem sua base fundamentada em capital. Capital é qualquer quantia, expressa em dinheiro, em determinada data. O capital pode ser expresso em dinheiro a vista, cheques, duplicatas, títulos, pr omissórias etc.
10 O capital (ou principal P) é o ponto de partida para qualquer operação financeira. Empréstimos, investimentos, aquisições, financiamentos. Em finanças, dinheiro é produto. Sendo assim, devemos pagar um valor por ele quando o captamos ou devemos receber por ele um valor quando o emprestamos. Este é o conceito dos juros. Juros (J) é a remuneração do capital investido. Se pego dinheiro emprestado, devo pagar juros para o dono do capital. Se o empresto, devo receber juros de quem tomou meu capital.
Mas quanto devo receber? Qual valor será o retorno desse capital?
Neste momento entra em cena a taxa de juros (i). A taxa será negociada entre as partes envolvidas para remunerar o capital investido na operação. Não existe teto para a taxa, nem período específico para ela. Cabem as partes, a que empresta e a que toma emprestado, chegarem a uma taxa em comum para a operação ser realizada. A taxa de juros é a relação entre juros e capital. Ela pode ser expressa pela seguinte fórmula:
i=J/P
i é a taxa de juros, J é o valor dos juros e P é o valor do capital.
Por exemplo, eu pego um capital emprestado no valor de R$ 100,00 e vou pagar R$ 4,00 por mês como juros deste empréstimo. Ou seja, eu pago R$ 4,00 pelo direito de ficar com este capital por um mês.
11 Sendo assim, a taxa pode ser calculada da seguinte forma: i = 4 / 100 = 0,04 = 4% ao mês. Por que ao mês? Porque remunero este capital em R$ 4,00 a cada mês. Se eu remunerasse esse capital em R$ 4,00 a cada dois meses, a taxa seria 4% ao bimestre, e assim sucessivamente.
3. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 3.1. Capitalização Simples
O processo de capitalização simples ocorre da seguinte maneira: os juros só incidem sobre o valor do capital. Por exemplo: eu pego um capital emprestado no valor de R$ 100,00 e vou pagar R$ 4,00 por mês como juros deste empréstimo durante três meses.
No primeiro mês, eu pago R$ 4,00, o mesmo ocorrendo nos próximos dois meses. Sendo assim, ao fim de 03 meses eu paguei R$ 12,00 de juros, mais os R$ 100, que devolvi ao fim do terceiro mês. Para descobrir o valor pago de juros em uma operação de capitalização simples, podemos usar a seguinte fórmula:
Informação Importante!!!
A taxa e o período devem estar sempre na mesma referência! Por exemplo: se a taxa é ao mês, utilize o mês como número de períodos.
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J = P .i . n
J são os juros pagos, P é o capital, i é a taxa expressa decimal, n é o número de períodos
Para o nosso exemplo, os juros pagos seriam: J = 100 .0,04 . 3 = R$ 12,00
Atividade: Qual será o valor dos juros pagos ao final de 4 meses para
uma operação no valor de R$ 500,00 com juros simples de 2% ao mês? Resposta: R$ 40,00.
Também podemos utilizar a fórmula para descobrirmos outras variáveis, como por exemplo: paguei R$ 96,00 de juros ao final de seis meses, com taxa de 4% ao mês, qual foi o valor do empréstimo? 96 = P .0,04 .6 P = 96 / 0,24 P = R$ 400,00
Atividade: Em um empréstimo de R$ 800,00, paguei, ao final de 08
meses, R$ 160,00 de juros simples. Qual foi a taxa ao mês do empréstimo? Resposta: 2,5% ao mês
Atividade: Em uma operação de capitalização simples com taxa de 6%
ao mês, foram pagos juros no valor de R$ 18.000,00 sobre um capital inicial de R$ 60.000,00. Qual foi o período utilizado na operação? Resposta: 05 meses
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Fonte: GettyImages
O somatório realizado entre o capital (ou principal) e os juros é chamado Montante (S). Ele pode ser definido, em capitalização simples, pela seguinte equação:
S=P+J S é o montante, P é o capital inicial e J são os juros pagos no período
Como vimos na equação anterior, J = P .i. n, podemos concluir que:
S = P + (P .i . n)
Colocando P em evidência:
S = P (1 + i . n)
Por exemplo, qual o valor do montante ao final de 03 meses, em uma operação com capital inicial de R$ 100,00 e taxa de 4% ao mês? S = 100 (1 + 0,04 . 3) = 100 (1,12) S = R$ 112,00 Também podemos descobrir as outras variáveis por esta fórmula, como por exemplo: executei uma operação e o montante resultante foi de R$ 540,00 ao fim de 04 meses. A uma taxa de 2% ao mês capitalização simples, qual foi o capital investido? 540 = P (1 + 0,02 . 4)
14 540 = P (1,08) P = 540 / (1,08) P = R$ 500,00
Atividade: Em um empréstimo de R$ 2.000,00, obtive um montante de
R$ 2.300,00 em cinco meses. Qual foi a taxa ao mês, capitalização simples, praticada? Resposta: 3% ao mês
Atividade: Em um empréstimo de R$ 2.000,00, obtive um montante de
R$ 2.300,00 em cinco meses. Quanto ganhei de juros ao longo do período? Resposta: R$ R$ 300,00
3.2. Capitalização Composta
O processo de capitalização composta ocorre da seguinte maneira: os juros incidem sobre o valor do capital inicial e sobre os juros gerados por ele. Por exemplo: Eu pego um capital emprestado no valor de R$ 100,00 e vou pagar 4% de juros deste empréstimo ao final de três meses. No primeiro mês eu pago R$ 4,00, pois o capital que está comigo é de R$ 100,00 (inicial). No segundo mês, eu pago juros em cima do montante capital mais juros gerados, no total de R$ 104,00. Sendo assim, os juros do segundo mês são de R$ 4,16. No terceiro mês, os juros são gerados em cima do novo montante acumulado, R$ 108,16. O valor dos juros no terceiro mês é de R$ 4,32. Ao fim do terceiro mês, o montante acumulado foi de R$ 112,48. Utilizando equações vistas para demonstrar essa operação: S1 = P + J = 100 + 4 S1 = R$ 104,00
15 S2 = S1 + J = 104 + 4,16 S2 = R$ 108,16 S3 = S2 + J = 108,16 + 4,32 S3 = R$ 112,48
Deduzindo a fórmula para capitalização composta: S1 = P + J = P + P.i.n = P (1 + i.n) S1 = R$ 104,00 S2 = S1 + J = P (1 + i.n) + P.i.n = P (1+ i.n) (1+ i.n) = P (1 + i.n) ² S2 = R$ 108,16P (1 + i.n)P (1 + i.n) S3 = S2 + J = P (1 + i.n) ² + P.i.n = P (1 + i.n) ² .(1 + i.n) = P (1 + i.n) ³ S3 = R$ 112,48
Repare que analisando mês a mês, n sempre será 1. Assim, chegamos à conclusão que:
Sn = P (1 + i) n
Por exemplo: Se eu emprestar R$ 1.000,00 por seis meses, a uma taxa de 3% ao mês capitalização composta, quanto receberei ao fim do empréstimo? S = 1.000 (1+0,03) 6 S = R$ 1.194,05 Também podemos utilizar a fórmula para achar outros componentes:
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Exemplo 1: em uma operação à taxa de 4% ao mês, cap. composta, eu obtive um montante no valor de R$ 3.649,96 ao final de 5 meses. Qual foi o valor do capital investido? S = P (1 + i)n 3.649,96 = P (1,04) 5 P = 3.649,96 / 1,2166 P = R$ 3.000,00
Exemplo 2: em uma operação à taxa de 2% ao mês, cap. composta, eu obtive um ganho com juros líquidos no valor de R$ 343,32 ao final de 8 meses. Qual foi o valor do capital investido? S=P+J S = P + 343,32 S = P (1 + i)n P + 343,32 = P (1,02) 8 P + 343,32 = P . 1,1717 P + 343,32 = 1,1717 P 343,32 = 1,1717 P – P 0,1717 P = 343,32 P = 343,32 / 0,1717 P = R$ 2.000,00
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Fonte: GettyImages
Exemplo 3: em uma operação à taxa de 5% ao mês, cap. composta, eu obtive um montante no valor de R$ 6.077,53 proveniente de um investimento inicial de R$ 5.000,00. Qual foi o prazo que o capital ficou investido? S = P (1 + i)n 6.077,53 = 5.000,00 (1,05) n (1,05) n= 6.077,53 / 5.000,00 (1,05)n= 1,2155 Para resolver esta equação, jogar o log nos dois lados e o “n” exponencial desce multiplicando. n .log(1,05) = log(1,2155) n = log(1,2155) / log(1,05) n = 0,0848 / 0,0212 n = 4 meses
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Exemplo 4: em uma operação de capitalização composta, obtive um montante no valor de R$ 2.731,82, investindo inicialmente R$ 2.500,00. Tendo em vista que o capital ficou investido durante 03 meses, qual foi a taxa utilizada na operação? S = P (1 + i)n 2.731,82 = 2.500 (1 + i) ³ (1 + i) ³ = 2.731,82 / 2.500 (1 + i) ³ = 1,0927 Para resolver esta equação, jogar a raiz cúbica dos dois lados, assim cortando com o cubo elevado da equação com a incógnita. ³ (1 + i)
=
³ 1,0927
1 + i = 1,03 i = 0,03 = 3%
Anotações Anote aqui as informações que você acha importantes para o bom entendimento deste tópico! ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
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3.3. Desconto Composto O desconto composto é produzido sempre pelo montante. Ele é uma derivação da capitalização composta, onde possuímos um vencimento, um título, um cheque, uma duplicata, um investimento, etc, em uma data futura, e desejamos saber quanto ele vale hoje, na data zero. A fórmula utilizada também é derivada da fórmula da capitalização composta, representada pela S = P (1 + i) n, com a nomenclatura S se mantendo no montante ou valor futura e o P sendo substituído pelo A, que representa o Valor Atual na data n.
A fórmula de Valor Atual é a seguinte:
An = ___S___ (1 + i)n
An é o valor atual, S é o montante, i é a taxa, n é o número de períodos. Por exemplo: tenho um título no valor de R$ 1.000,00 a vencer daqui a 90 dias e desejo quitá-lo hoje, a uma taxa de 2% a.m. capitalização composta. Quanto devo pagar para quitá-lo? An = S / (1 + i)n A0 = 1.000 / (1,02)³ (note que o “n” do Ané substituído na equação por “0”, pois a data que queremos obter o valor equivalente é a data zero, hoje) A0 = R$ 943,32
Atividade: Desejo resgatar um título a receber que vence daqui a 05
meses no valor de R$ 5.000,00. A uma taxa de 1% capitalização composta, qual o valor que receberei hoje? Resposta: R$ 4.757.33
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Exemplo: desejo substituir um cheque a pagar no valor de R$ 3.500,00 com vencimento em 120 dias por um outro cheque a pagar com vencimento em um mês. A taxa do mercado é de 2% ao mês. Qual o valor do novo cheque? An = S / (1 + i)n A1 = 3.500 / (1,02) ³ (note que o valor atual é para data 01 e por isso trazemos o valor do cheque, com vencimento em 04 meses, descontando apenas 03 meses) A1 = R$ 3.298,13
Calculadora
Não deixe de utilizar sempre a calculadora, o Excel ou algum outro recurso para auxiliar em suas contas. Contas precisas são fundamentais para a análise de valores na hora da tomada de decisão!
Anotações Anote aqui as informações que você acha importantes para o bom entendimento deste tópico!!! ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
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Leia mais – Para esclarecer ainda mais este conteúdo, recomendo uma olhada
neste livro: ASSAF NETO, A. M atemáti ca F inanceir a e suas aplicações . São Paulo: Atlas, 2008
Fala Professor – Para aprender matemática financeira é muito importante
SOBRE OS AUTORES
praticar! Sendo assim, faça agora os exercícios propostos deste módulo!
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Neste módulo, abordamos:
Os conceitos básicos da matemática financeira, como capital, juros, taxas e montante;
Princípios da capitalização simples;
Capitalização composta e desconto composto.
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ASSAF NETO, A. Mate m átic a Fin an cei ra e s u as ap lic ações . São Paulo: Atlas, 2008. VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matem átic a Finan ceir a , 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000. SAMANEZ, C. P. Matem átic a Finan ceir a . São Paulo: Prentice Hall, 2007.
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MÓDULO 1 1 – Vou investir R$ 9.000,00 em uma operação de capitalização simples, a uma taxa de 4% ao mês, durante 06 meses. Qual será o valor dos juros pagos nesta operação? A) R$ 2.020,00 B) R$ 2.160,00 C) R$ 2.387,87 D) R$ 360,00 E) R$ 2540,00
2 – Em uma operação de capitalização simples, obtive um retorno no valor de R$ 3.600,00 em um período de 12 meses. A uma taxa de 2% ao mês, qual o valor que foi aplicado? A) R$ 3.600,00 B) R$ 36.000,00 C) R$ 15.000,00 D) R$ 12.000,00 E) R$ 9.000,00
3 – Desejo aplicar um capital de R$ 50.000,00 em uma operação com taxa de 1% ao mês, capitalização composta. O resgate será efetuado ao final de dois anos. Qual o valor total que será resgatado? A) R$ 56.341,25 B) R$ 50.000,00 C) R$ 6.341,25 D) R$ 56.000,00 E) R$ 54.498,89 4 – Em uma aplicação em capitalização composta, obtive um retorno de R$ 2.667,70 ao investir R$ 10.000,00, a uma taxa de 3% ao mês. Qual foi o prazo que meu capital ficou investido?
25 A) 6 meses B) 12 meses C) 6,5 meses D) 10 meses E) 8 meses
5 – Em uma aplicação em capitalização composta, obtive um montante no valor de R$ 15.149,72 ao investir R$ 12.000,00, durante 04 meses. Qual foi a taxa ao mês aplicada ao meu capital? A) 6 % a.m. B) 4% a.m. C) 5% a.m. D) 4,5% a.m. E) 8% a.m.
6 – Desejo resgatar um título de capitalização composta, com vencimento em 150 dias, no valor de R$ 60.000,00. A taxa de resgate é de 2% ao mês. Qual será o valor que receberei hoje? A) R$ 52.579,50 B) R$ 51.000,00 C) R$ 56.000,00 D) R$ 54.343,85 E) R$ 58.659,36
7 – Desejo aplicar R$ 100.000,00 em um título com resgate em 120 dias, com capitalização composta. A taxa de remuneração do título é de 2% ao mês. Qual será o valor dos juros recebidos ao fim deste período?
8 – Desejo quitar hoje um cheque a pagar com vencimento em 4 meses no valor de R$ 2.000,00. Qual valor terei que desembolsar, a uma taxa de 3% ao mês?
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FLUXOS DE CAIXA
MÓDULO
2
APRESENTAÇÃO DO MÓDULO Este módulo apresenta os conceitos do Fluxo de Caixa, avaliando o impacto das taxas no valor do dinheiro ao longo do tempo e o impacto em relação ao seu valor real, perante o nominal. Também será abordado o conceito de taxas equivalentes, para melhor avaliação do fluxo de caixa em períodos distintos e sua funcionalidade nas operações financeiras.
OBJETIVOS DO MÓDULO Esperamos que, após o estudo do conteúdo deste módulo, você seja capaz de: - Entender a diferença entre o valor nominal e o valor real do capital ao longo do tempo; - Criar e analisar fluxos de caixa de operações; - Transformar as taxas em equivalentes para serem utilizadas em determinado período.
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1. INTRODUÇÃO Fluxos de caixa são extremamente importantes em muitas situações empresariais e do próprio cotidiano. Todos nós podemos ter nosso fluxo de caixa financeiro, tendo as entradas positivas de tudo que recebemos ao longo de um período e as entradas negativas de tudo que gastamos neste mesmo período. Nas empresas, não é diferente. Podemos ter um fluxo de caixa da empresa global, um fluxo por setor ou, até mesmo, um fluxo por projeto. Esta é uma das maneiras mais fáceis de organizar a linha financeira de uma operação para, depois, avaliar o seu resultado.
2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Para estudarmos o valor do dinheiro no tempo, devemos, primeiramente, entender os conceitos e as diferenças valor nominal e valor real do capital. Por exemplo, qual era o valor, em reais, de um determinado produto há cinco anos e qual o valor deste mesmo produto, hoje? Muito provavelmente o valor dele aumentou, caso não haja nenhuma diferenciação brusca baseada na economia, como protecionismo, crise, moeda etc. Em outras palavras, com o mesmo valor nominal em reais que você adquiria este produto antes, você não conseguiria comprá-lo hoje. O valor real dele aumentou. Vamos usar um exemplo pra ficar mais claro: uma lata de refrigerante, que há cinco anos custava R$ 1,00 e hoje custa R$ 2,50. O valor nominal desta lata no início é de R$ 1,00, mas você consegue comprar esta mesma lata hoje pelo mesmo R$ 1,00? Neste exemplo, R$ 1,00, há cinco anos, valeria o mesmo que R$ 2,50 hoje. Este é o valor real do dinheiro para esta operação de compra. E o que fez esse valor aumentar? A taxa. Esta taxa é derivada de uma série de fatores, tendo como agente principal a correção monetária, ou inflação. É este mesmo conceito que usaremos para iniciar nossos estudos de fluxo de caixa: o valor do dinheiro no tempo. Quanto vale hoje aquilo que devemos receber daqui a um mês. Quanto terei hoje aplicando em uma operação financeira durante um ano. Assim, todas as operações baseadas na ação da taxa durante um período.
28 Para o cálculo destas operações, usaremos as fórmulas vistas no módulo anterior, em capitalização composta, que englobam Valor Atual, Montante, Taxa e Período. Exemplo: tenho dois cheques a receber no valor de R$ 1.000,00 cada um, com datas para 30 e 60 dias. Para descontá-los no banco, hoje, é me cobrada uma taxa de 3% ao mês. Monte o fluxo de caixa desta operação e determine qual o valor do capital total hoje.
Para descobrir o Valor Atual dos dois cheques, devemos trazer o primeiro para a data zero e depois o segundo para a data zero para, então, efetuarmos a soma. Para isso, vamos utilizar a fórmula vista no módulo anterior, capitalização composta: Valor Atual = S / (1 + i )n
Informação Importante!!
Valor atual do cheque 1: A1 = 1.000 / (1,03)¹ A1 = R$ 970,87 Valor Atual do cheque 2:
Nos princípios da matemática financeira não se pode somar valores nominais de capital em datas diferentes. Devemos trazer os capitais para a mesma data e, somente depois disto, efetuar a soma.
A2 = 1.000 / (1,03)² A2 = R$ 942,60 Valor Atual da operação = A1 + A2 = 970,87+942,60 = R$ 1.913,47
29 Assim, os dois cheques de R$ 1.000,00 valem hoje R$ 1.913,47, a uma taxa de 3% ao mês. O novo fluxo de caixa ficaria assim: R$ 1.913,47
meses
0
1 R$ 1.000,00
2
3
R$ 1.000,00
Podemos dizer também que ter hoje R$ 1.913,47 é equivalente a termos hoje dois cheques de R$ 1.000,00 com vencimentos em 30 e 60 dias, a uma taxa de mercado de 3% ao mês.
Fonte: GettyImages
Exemplo: tenho dois títulos a pagar conforme o seguinte fluxo de caixa abaixo:
30
0
1
2
meses
3 R$ 2.000,00
R$ 3.000,00
A uma taxa de 2% ao mês, desejo substituir estes dois pagamentos por um único pagamento em 60 dias.
0
1
2
3
4
5
meses
X
Qual o valor deste único pagamento? SOBRE OS AUTORE
Para resolver este problema, não podemos somar os valores nas datas onde se encontram. Para facilitar o entendimento, vamos trazer os valores para a data zero, somá-los e depois achar o montante referente na data solicitada (mês 2). Passo 1: achar o valor atual dos dois títulos a pagar A1 = 2.000 / (1,02) ³ = R$ 1.884,65 A2 = 3.000 / (1,02) 5 = R$ 2.717,19 A total = A1 + A2 = 1.881,65 + 2.717,19 = R$ 4.601,84
Utilizando o Valor Atual na data zero, temos:
31 R$ 4.601,84 Valor Atual
meses
0
1
2
3
4
5 R$ 3.000,00
R$ 2.000,00
R$ 4.601,84
meses
0
1
2
3
4
5
X
Passo 2: para achar o valor equivalente a X, devemos procurar o montante A total = S / (1 + i) n S = A total . (1 + i) n = 4601,84 . (1,02) ² = R$ 4.787,76 Sendo assim, o valor R$ 4.787,76 com vencimento em 60 dias é equivalente aos dois títulos de R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 com vencimentos respectivos em 3 e 5 meses, com taxa de juros de 2% ao mês. Também podemos dizer que estes valores são equivalentes a termos, hoje, na data zero, R$ 4.601,84, com a mesma taxa.
32 Atividade1: Monte um fluxo caixa com os seguintes valores: um capital
disponível na data zero no valor de R$ 5.000,00; uma duplicata a receber no valor de R$ 2.000,00 ao final de 60 dias; um investimento a receber no valor de R$ 8.000,00 ao fim do 5º mês; três cheques a pagar, com 30/60/90 dias respectivamente, todos no valor de R$ 500,00; e um título a pagar com vencimento no fim do 2º mês no valor de R$ 3.500,00.
Resposta:
5.000
2.000
8.000
meses 0
1
2
500
500
4
500
3.500
Atividade2: Qual será o valor do capital total na data zero do fluxo de
caixa da atividade anterior, a uma taxa de 3% ao mês? Resposta: R$ 9.072,66
Exemplo: Desejo substituir um pagamento no valor de R$ 4.000,00 com vencimento em 90 dias por dois pagamentos iguais com vencimentos em 30 e 60 dias. A uma taxa de mercado de 2% ao mês, qual será o valor de cada pagamento? Fluxos:
33 Valor
1
0
2
3
meses
4.00
Figura 1
Valor
0
1
2
X
X
3
meses
Figura 2
Pela Figura 1: Valor Atual = 4.000 / (1,02) ³ = R$ 3.769,29 Pela Figura 2: Valor Atual = Va 1 + Va 2 = X / (1,02) ¹ + X / (1,02) ² Logo, R$ 3.769,29 = X / (1,02) ² + X / (1,02) ²
Colocando X em evidência: VP = X .
] [(+) (+)
3.769,29 = X . X=
] [(+0,0) (+0,0)
3.769,29⁄ 1,941561
X = R$ 1.941,37
O valor de cada um dos pagamentos será de R$ 1.941,37. Eles são equivalentes, a uma taxa de 2% ao mês, a um pagamento de R$ 4.000,00 ao fim do 3º mês.
34
Atividade: Desejo substituir um pagamento no valor de 1.000,00 com
vencimento em 30 dias por dois cheques de mesmo valor, com vencimento em 60 e 120 dias, respectivamente. Qual será o valor de cada cheque, com uma taxa do mercado de 4% ao mês? Resposta: R$ 540,39
Atividade: Desejo refinanciar dois pagamentos com vencimento em 30 e
60 dias no valor de R$ 500,00 cada para três parcelas iguais com vencimentos em 90/120/150 dias. A uma taxa de 3% ao mês, qual será o valor de cada parcela? Resposta: R$ 358,84
Fonte: GettyImages
35
3. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS
Da mesma maneira que abordamos no tópico anterior em que não podemos somar valores em dinheiro em períodos diferentes, também existe uma regra para a utilização de taxas em operações financeiras. Não podemos, em capitalização composta, utilizar taxas e períodos em unidade diferentes. Também não podemos simplesmente dividir uma taxa, como na capitalização simples, para utilizar em outro período determinado. Por exemplo, uma prestação de financiamento de casa própria é paga mensalmente, mas normalmente sua taxa de juros é dada ao ano. Como devo proceder neste caso, para efetuar cálculos financeiros nesta operação? As taxas e períodos devem ser sempre na mesma unidade. Se as prestações são mensais, a taxa deverá ser ao mês; se semestrais, a taxa deverá ser ao semestre, se anuais, a taxa deverá ser ao ano e, assim, para qualquer intervalo de pagamento. Para isso, utilizamos uma forma, de fácil dedução, em capitalização composta para que possamos chegar aos resultados corretos, em ambas as formas:
Onde S é o montante, P é o capital, t é o período e i é a taxa:
36 Por exemplo: tenho um investimento a receber com vencimento ao final de 2 meses, no valor de R$ 3.000,00, e gostaria de antecipá-lo. A taxa do mercado é de 20% ao ano. Qual seria o valor disponível proveniente deste investimento hoje? Passo 1: transformar a taxa anual para mensal
Passo 2: trazer o valor para a data zero com a taxa ao mês An = S / (1 + i)n An = 3.000 / (1,015308) ² An = R$ 2.910,21 Note que, primeiro, tivemos que colocar a taxa e o período na mesma unidade (neste caso, mês) para somente depois efetuarmos os cálculos. Fala Professor – Um macete para o uso desta fórmula é o seguinte: sempre que você for passar a taxa de um período maior para o menor, o expoente deverá ser composto por um numerador menor que o denominador (no exemplo, 1/12, ou passar de um ano para 12 meses). Caso o interesse fosse inverso como, por exemplo, passar de mês para semestre, o numerador deve ser maior que o denominador (neste caso seria 6/1, ou seja, taxa ao semestre, composta por seis meses e a taxa ao mês).
Outros exemplos: passar da taxa ao ano para ao semestre (1/2 – um ano tem dois semestres). Taxa ao ano para ao trimestre (1/4 – um ano tem quatro semestres). Taxa ao bimestre para taxa ao ano (6/1 – um ano tem seis bimestres). Taxa ao mês para ao trimestre (3/1 – um trimestre tem 3 meses). E, assim, para todos os outros períodos.
37 Atividade: Para uma taxa de 8% ao trimestre, quais as taxas
equivalentes? a)
Ao mês?
b)
Ao semestre?
c)
Ao ano? Respostas:
a) 2,60% a.m b) 16,64% a.s. c) 36,05% a.a.
Atividade: A taxa de financiamento de casa própria oferecida por um
banco é de 9% ao ano. Qual é o valor da taxa mensal a ser aplicada no cálculo das prestações? Resposta: 0,7207% ao mês
Atividade: Um banco utiliza em suas operações a taxa de 1% ao mês.
Para um empréstimo, ele oferece a oportunidade de pagamento em prestações semestrais. Qual será a taxa de juros ao semestre, utilizada nesta operação? Resposta: 6,152% ao semestre Anotações
Anote aqui as informações que você acha importantes para o bom entendimento deste tópico!
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Fala Professor – Para aprender a trabalhar com fluxos de caixa é muito importante
praticar! Sendo assim, faça agora os exercícios propostos deste módulo!
38
Neste módulo, abordamos:
Os conceitos da criação de fluxos de caixa onde será
baseado o próximo módulo da disciplina.
A equivalência de taxas utilizadas em capitalização
composta para períodos em unidades diferentes.
39
ASSAF NETO, A. Mate m átic a Fin an cei ra e s u as ap lic ações . São Paulo: Atlas, 2008. VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matem átic a Finan ceir a . 7 ed. Atlas: São Paulo, 2000. SAMANEZ, C. P. Matem átic a Finan ceir a . São Paulo: Prentice Hall, 2007.
40
MÓDULO 2
QUESTÕES OBJETIVAS 1 – Desejo antecipar dois vencimentos no valor de R$ 20.000,00 cada, datados de 90 e 120 dias respectivamente. A uma taxa de mercado de 3% ao mês, qual valor terei que pagar hoje? F) G) H) I) J)
R$ 38.600,00 R$ 36.072,57 R$ 38.159,49 R$ 35.800,00 R$ 39.422,89
2 – Em um fluxo de caixa proposto tenho dois recebimentos programados para 30 e 120 dias, nos valores R$ 2.500 e R$ 4.000 respectivamente, e um débito para o fim do segundo mês no valor de R$1.200. Desejo antecipar minhas receitas e despesas a uma taxa de 2% ao mês. Qual valor terei hoje? F) G) H) I) J)
R$ 3.612,05 R$ 5.300,00 R$ 4.629,32 R$ 4.992,96 R$ 5.102,35
3 – Qual é a taxa semestral equivalente a 5% ao bimestre? F) G) H) I) J)
13,26% a.s. 15,00% a.s. 16,59% a.s. 15,99% a.s. 15,76% a.s.
4 – Qual é a taxa ao trimestre equivalente a 30% ao ano? F) G) H) I) J)
6,78% a.t 7,78% a.t 6,29% a.t 7,50% a.t 8,69% a.t
41 5 – Desejo substituir 3 pagamentos de R$ 3.000, com vencimentos em 30/60/90 por apenas um com vencimento ao final de cinco meses. A uma taxa de 2% ao mês, qual será o valor do pagamento? F) G) H) I) J)
R$ 9.552,12 R$ 9.352,12 R$ 10.532,12 R$ 8.592,12 R$ 9.852,12
6 – Desejo substituir 2 pagamentos, com vencimento em 90 e 120 dias, com vencimentos R$ 1.500 e R$ 1.800 respectivamente por dois pagamentos de igual valor com vencimentos em 30 e 60 dias. A uma taxa de 4% ao mês, qual é o valor de cada pagamento? F) G) H) I) J)
R$ 1.682,63 R$ 1.593,58 R$ 1.522,80 R$ 1.650,00 R$ 1.436,07
QUESTÕES DISCURSIVAS 1 – Desejo quitar 3 pagamentos com vencimento em 60,90 e 120 dias, com valores de R$ 2.000, R$ 4.000 e R$ 3.000 respectivamente. A uma taxa de 3% ao mês, qual valor pagarei hoje?
2 – Um produto custa R$ 20.000 e desejo pagá-lo com dois cheques de igual valor, nas datas 60 e 90 dias. Sabendo que a taxa do mercado é de 25% ao ano, qual será o valor de cada cheque?
42
MÉTODOS DE ANÁLISE DE PROJETOS
MÓDULO
3
APRESENTAÇÃO DO MÓDULO Este módulo apresenta alguns dos mais importantes métodos de análise de projetos, levando em consideração a necessidade do investidor, seja o tempo de recuperação do capital investido inicialmente, a estimativa de retorno financeiro ou a comparação com as taxas de outros investimentos no mercado.
OBJETIVOS DO MÓDULO Esperamos que, após o estudo do conteúdo deste módulo, você seja capaz de: - Executar estudos de viabilidades de projetos para cada uma das necessidades propostas pelo investidor; - Analisar o resultado dos projetos e confrontá-los com outras oportunidades do mercado; - Reduzir o risco de investimento que não oferecem o resultado desejado.
43
1. INTRODUÇÃO
Quando um investidor deseja colocar uma ideia ou necessidade em prática, tem início o que chamamos de projeto. Projeto é um termo muito abrangente, que pode ser utilizado desde as pequenas coisas simples até os mais complexos investimentos. investimentos. Uma graduação em engenharia é um projeto, a aquisição de uma casa é um projeto, assim como a realização de uma festa, um evento, a abertura de uma empresa, a construção de um estádio. O que esses projetos têm em comum? Todos eles têm um começo e um fim. Isso designa um projeto. Ele deve ser avaliado até uma determinada data. Um dia, uma semana, um ano. Não importa quando ela será, pois isso dependerá do tamanho do projeto, mas deverá ter uma data final. Outra coisa comum em projetos é o seguinte: na maioria dos casos os projetos têm investimentos e fluxos de pagamentos e recebimentos. Isso configura o quê? Um fluxo de caixa, que estudamos no módulo anterior. A partir desta premissa, possuindo o fluxo de caixa proposto no projeto, podemos, então, começar a estudar a viabilidade para qualquer que seja o interesse do investidor. É importante frisar que os métodos de análise de projetos ajudam no processo de tomada de decisão, na expectativa de minimizar erros e prever cenários mais precisos. Porém, não são 100% infalíveis, tendo que o mercado é volátil e impreciso, afinal não podemos prever crises, avanços, problemas estruturais, oportunidades, concorrentes etc. Tendo colocado em questão essas dificuldades de previsões mercadológicas, vamos estudar neste módulo os métodos do Pay Back, Pay Back Descontado, Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno.
44
2. PAY BACK
O método de Pay Back é o único método que será estudado neste módulo que é considerado um método financeiro de avaliação e não econômico. Por quê? Porque ele é o único que não sofre com a intervenção do mercado, através da aplicação de taxas de juros. Ele é calculado, baseado apenas no valor nominal das prestações a pagar e a receber. O Payback é um método simples, em que são somados todos os valores que compõem o fluxo, para descobrir em quanto tempo o capital investido no projeto retornará para o investidor. Por exemplo: para executar um projeto de 3 anos é necessário um investimento de R$ 10.000,00. Ao fim do primeiro ano, o projeto obteve um retorno de R$ 4.000,00 líquidos e, nos anos seguintes, R$ 6.000,00. Qual foi o PB (Pay Back) deste projeto?
0
anos 3
10.000
Podemos transformar nosso fluxo de caixa em uma tabela que irá auxiliar esse estudo: Data
Fluxo de Caixa
0
- 10.000
1
4.000
2
6.000
3
6.000
Após isso, começaremos a calcular o valor acumulado do projeto ao longo dos períodos, da seguinte maneira: ao saldo que tínhamos no período anterior adicionamos os ganhos e as perdas no período sequente, até chegarmos ao final do prazo do projeto, com um fluxo de caixa acumulado.
45 Data
Fluxo de Caixa
F. C. Acumulado
0
-10.000
-10.000
1
4.000
-6.000
2
6.000
0
3
6.000
+ 6.000
A avaliação de PB consiste em quando o capital investido é completamente pago pelo projeto. Neste caso, o projeto é completamente quitado em 2 anos e o Fluxo de Caixa Acumulado deixa de ser negativo. Neste projeto, foi fácil verificar o Pay Back, pois o investimento obteve seu retorno em dois anos redondos. Como seria se o fluxo deste projeto fosse?
5.000 6.000
4.000 4.000
5.000 6.000
05
anos 11
22
3 R$ 1.000,00
10.000R$ 1.000,00
Qual seria seu PB? Novamente transformamos em tabela: Data
Fluxo de Caixa
F. C. Acumulado
0
-10.000
-10.000
1
4.000
-6.000
2
5.000
-1.000
3
5.000
+ 4.000
Sabemos que o retorno do capital foi realizado entre 2 e 3 anos. Mas como ter uma definição média sobre a data? Devemos realizar uma regra de 3 a fim de estimar o retorno total do capital.
46 Se em um ano (terceiro), a empresa lucrou 5.000, em quanto tempo a empresa lucrou 1.000, que era o necessário para zerar o investimento? 5.000 ------- 1 ano 1.000 ------- x ano Assim, 5.000 x = 1.000 X = 1.000 / 5.000 = 0,20 ano Então, o PB deste projeto foi em 2,20 anos.
Atividade: Uma empresa possui duas opções para ampliar seu negócio. Ambos os projetos
necessitam de um investimento de 30.000 reais. O projeto A tem um fluxo de caixa estimado para os próximos 4 anos, com os seguintes valores: + 15.000; +12.000; + 5.000; + 2.000; enquanto o projeto B tem um fluxo de caixa estimado em lucro de 8.000 todo ano, durante o mesmo período. Determine o PB dos projetos e, tendo capital para a execução de apenas um deles, qual deveria ser o escolhido, já que a empresa adotará o modelo que pagará o valor investido mais rapidamente?
Informação Importante!!
Para obter a resposta em meses, o aluno deve fazer outra regra de 3: 1 ano ----- 12 meses 0,20 ano – - x meses X = 12*0,20 X = 2,4 meses Resposta: PB aproximadamente em 2 anos e 2 meses
mesma, como por 1 mês = 30 dias
Para outros períodos a regra é a
exemplo
47 Data
Fluxo de Caixa A Fluxo de Caixa B
0
-30.000
-30.000
1
+ 15.000
+ 8.000
2
+ 12.000
+ 8.000
3
+ 5.000
+ 8.000
4
+ 2.000
+ 8.000
Acharemos o Fluxo de Caixa Acumulado de cada projeto para calcularmos o PB Data
Fluxo de Caixa A F. C. Acum. A
0
-30.000
-30.000
1
15.000
-15.000
2
12.000
-3.000
3
5.000
+ 2.000
4
2.000
+ 4.000
Data
Fluxo de Caixa B F. C. Acum. B
0
-30.000
-30.000
1
8.000
-22.000
2
8.000
-14.000
3
8.000
-6.000
4
8.000
+ 2.000
PB A = entre 2 e 3 anos 1 ano ------ 5.000 X ano ------ 3.000 5.000 x = 3.000 X = 3.000 / 5.000 = 0,6
PB A = 2,6 anos PB B = entre 3 e 4 anos 1 ano ------ 8.000 X ano ------ 6.000 8.000 x = 6.000 X = 6.000 / 8.000 = 0,75
48
PB B = 3,75 anos
Pelo método do Pay Back, o projeto executado seria o Projeto A, que tem tempo de retorno do investimento (2,6 anos) menor que o projeto B (3,75 anos).
O método de Payback tem como vantagem ser utilizado de forma rápida, de fácil elaboração e fácil entendimento. Ele é mais utilizado em projetos com períodos menores, pois assim a taxa de juros do mercado não tem um impacto muito grande no cálculo dos fluxos.
3. PAY BACK DESCONTADO
O método de Pay Back Descontado consiste na mesma estrutura de estudo do Pay Back anterior, porém com influência da taxa de juros do mercado. Este método utiliza a premissa que não é coerente somar valores financeiros em datas diferentes. Sendo assim, ele propõe que tragamos para a data zero todos os fluxos pertinentes no projeto. Vamos pegar o mesmo exemplo que vimos em PB e analisarmos em PBdesc.
Data
Fluxo de Caixa
0
- 10.000
1
4.000
2
6.000
3
6.000
49 Antes de criarmos o fluxo de caixa acumulado, devemos trazer os fluxos para a data zero. Vamos assumir uma taxa de mercado de 20% ao ano.
Data
Fluxo de Caixa
0 1 2 3
- 10.000 4.000
/
(1,20) 6.000 (1,20)^2 6.000 (1,20)^3
/ /
Observação: o ^ representa exponencial. Quando colocamos ^2, representa que o número é elevado ao quadrado
Assim, temos o novo quadro de Fluxo de Caixa: Data
Fluxo de Caixa
F. C. Valor Presente
0
-10.000
-10.000
1
4.000
3.333
2
6.000
4.167
3
6.000
3.472
Agora podemos fazer o Fluxo de Caixa Acumulado, acompanhando o F.C. de Valor Presente: Data
Fluxo de Caixa
F. C. Valor Presente F. C. Acumulado
0
-10.000
-10.000
-10.000
1
4.000
3.333
-6.667
2
6.000
4.167
-2.500
3
6.000
3.472
972
O Pay Back Descontado deste projeto está entre 2 e 3 anos. Vamos utilizar a mesma regra de 3 para encontrar o valor correto:
1 ano ------ 3.472 X ano ------ 2.500 3.472 x = 2.500
50 X = 2.500 / 3.472 = 0,72
O PBdesc deste projeto é 2,72 anos
Fonte: GettyImages
51
4. VALOR PRESENTE LÍQUIDO
O método de Valor Presente Líquido, ou VPL, consiste em trazer todas as receitas e despesas estimadas em um fluxo de caixa proposto para um projeto para uma data zero, sob a influência de uma taxa de juros, para que possam ser somadas todas na mesma data e não com valores nominais ao longo de vários períodos.
Neste método, é analisada a viabilidade do projeto em cima de um retorno positivo ou esperado na data em que acontecerá o investimento inicial do projeto. Ele é muito utilizado para avaliar o retorno financeiro do projeto, em detrimento com os métodos de Pay Back, que é utilizado para descobrir em quanto tempo o capital investido retorna para o investidor do projeto. A fórmula geral para o cálculo do VPL seria: VP =
Valor 1 + Valor 2 +
(1+i1)1
(1+i2)2
(1+i3)3
Valor 3 (1+i4)4
+ Valor 4 + ... + Valor n (1+in)n
VPL = Investimento Inicial + VP
Exemplo: um projeto tem como investimento inicial R$ 15.000,00 e a projeção de fluxos de caixa líquidos para os próximos três anos no valor de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 10.000,00, respectivamente. A uma taxa de mercado de 10% ao ano, qual é o VPL deste projeto?
O primeiro passo é trazer os fluxos para a data zero: Data
Fluxo de Caixa
F. C. Valor Presente
0
-15.000
-10.000
1
8.000
+ 7.273
2
10.000
+ 8.264
3
10.000
+ 7.513
52 A partir disso, devemos fazer a soma dos fluxos de caixa em valor presente, para chegarmos ao VPL do projeto: Data
Fluxo de Caixa
F. C. Valor Presente F. C. Acumulado
0
-15.000
-10.000
-10.000
1
8.000
7.273
-2.727
2
10.000
8.264
+ 5.537
3
10.000
7.513
+ 13.050
Assim, podemos concluir que o VPL do projeto é a soma dos fluxos na data zero. Neste projeto, o VPL é positivo, no valor R$ 15.050,00. Se a viabilidade do projeto for condicionada a um VPL positivo, podemos concluir que por este método este projeto é viável.
Atividade: Uma empresa possui duas opções para ampliar seu negócio. Ambos os
projetos necessitam de um investimento de 20.000 reais. O projeto A tem um fluxo de caixa estimado para os próximos 4 anos, com os seguintes valores: + 15.000; +12.000; + 5.000; + 2.000; enquanto o projeto B tem um fluxo de caixa estimado em lucro de 8.000 todo ano, durante o mesmo período. Determine o VPL dos projetos e, tendo capital para a execução de apenas um deles, qual deveria ser o escolhido, já que a empresa adotará o modelo que trará o maior retorno financeiro antecipado à data zero? A taxa do mercado é de 10% ao ano.
Data
Fluxo de Caixa A F. C. Valor Presente F. C. Acumulado
0
-20.000
-20.000
-20.000
1
15.000
13.636
-6.364
2
12.000
9.917
+ 3.554
3
5.000
3.757
+ 7.310
4
2.000
1.366
+ 8.676
Data
Fluxo de Caixa B F. C. Valor Presente F. C. Acumulado
0
-20.000
-20.000
-20.000
1
8.000
7.273
-12.727
2
8.000
6.612
-6.116
3
8.000
6.011
-105
4
8.000
5.464
+ 5.359
53 Podemos concluir que o VPL do Projeto A é R$ 8.676,00 positivo e o VPL do Projeto B é de R$ 5.359,00 positivo.
Pelo método do VPL, os dois projetos seriam aprovados, mas como a empresa só pode executar um projeto, o projeto a ser executado será o Projeto A.
Fala Professor – O método VPL também pode avaliar dois ou mais
projetos com investimentos iniciais diferentes. O importante neste método é qual será o Valor Líquido resultante das antecipações do fluxo de caixa.
Atividade: Uma empresa possui três projetos propostos e capacidade para executar
apenas um. O primeiro, com investimento inicial de R$100 mil, e VPL + R$ 2.500,00; o segundo com investimento inicial de R$ 80.000,00 e VPL + R$ 2.220,00; o terceiro, com investimento inicial de R$ 45.000,00 e VPL + R$ 3.500,00. Pelo método de VPL, qual o projeto deverá ser executado? Resposta: o Projeto 3, pois apresenta o maior VPL entre os 3 projetos.
Anote aqui as informações que você acha importantes para o bom entendimento deste tópico!!!
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54 Exemplo de VPL: uma empresa tem o seguinte fluxo de caixa mensal projetado:
Para uma taxa de 2% ao mês, qual é o VPL deste projeto? Fluxo n
de
Caixa
VP
F. Acumulado
0
-1000
-1000
-1000
1
300
294,11
-705,89
2
300
288,35
-417,54
3
-350
-329,81
-747,35
4
450
415,73
-331,62
5
-100
-90,57
-422,19
6
-100
-88,79
-510,98
7
250
217,64
-293,34
C.
O somatório dos Valores Presentes (a 2%) e do Investimento inicial, na data zero, é igual à -293,34. Analisando o projeto pelo método de VPL, o projeto não deve ser aprovado. Se o VPL fosse positivo, o projeto deveria ser aprovado.
5. TAXA INTERNA DE RETORNO É a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. Em outras palavras, a taxa que com o valor atual das entradas seja igual ao valor atual das saídas. Para fins de decisão, a taxa obtida deverá ser confrontada; a taxa que representa o custo de capital da empresa e o projeto só deverá ser aceita quando a sua taxa
55 interna de retorno superar o custo de capital, significando que as aplicações da empresa estarão rendendo mais que o custo dos recursos usados na entidade como um todo. A TIR é um indicador da rentabilidade do projeto e deve ser comparada com a taxa mínima de atratividade do investidor. Esta taxa mínima de atratividade é a taxa correspondente à melhor remuneração que poderia ser obtida com o emprego do capital em um investimento alternativo. Sendo a TIR superior à taxa de atratividade, a análise deve recomendar o investimento no projeto.
VPL
TIR do Investimento
Igual a 0
Igual à Taxa de mercado
Positivo
Maior que a Taxa de mercado
Negativo
Menor que a Taxa de mercado
Exemplo: A empresa necessita investir R$ 30.000 para obter fluxos futuros de R$ 11.000, R$ 12.100 e R$ 13.310, ao longo de três anos. Vejamos agora como seria calculada a TIR. 11.000
12.100
13.310
Anos
30.000
56 Se substituirmos i por 0,1. Teremos que VPL = -30.000 + 10.000 + 10.000+ 10.000. O VPL, portanto, será igual a zero. Fizemos o cálculo da TIR e encontrarmos 10%. Mas o que isso quer dizer? Quer dizer que à taxa de 10% esse projeto é economicamente indiferente, pois não trará lucro nem prejuízo. O uso da TIR deve servir para comparações com a taxa de juros do mercado. Se a taxa do mercado cair para 8%, o projeto passará a ser viável, pois sua TIR será maior que a taxa do mercado e, trazendo os valores para a data zero, ele será positivo. Se a taxa do mercado for para 12%, por exemplo, será mais vantajoso investir no mercado do que no projeto, que terá VPL negativo. Considerações da avaliação da TIR: Se a taxa de retorno for maior que a taxa de juros do mercado, será rentável fazer o investimento. Se a taxa de retorno for menor que a taxa de juros do mercado, não será rentável fazer o investimento. Quando a taxa de retorno se equivale a taxa de juros do mercado, o investimento será indiferente, pois a rentabilidade seria nula. Como vantagem do método da TIR, podemos considerar que o resultado é uma taxa de juros, fácil de ser comunicada e comparada. Como desvantagem é que o valor é difícil de ser calculado, sendo necessário o uso de calculadoras financeiras ou aplicativos computacionais. Para este curso, trabalharemos já com os valores calculados, a fim de análise de viabilidade.
Exemplo: Uma empresa possui três projetos para serem avaliados para a execução, mas a mesma só tem capacidade de executar um. O método utilizado para esta análise é o da Taxa Interna de Retorno do projeto, em comparação com a taxa do mercado e com a taxa de retorno dos outros projetos. O projeto A tem uma TIR de 24% ao ano; o B tem uma TIR de 18% ao ano; e o projeto C te a TI de 25% ao ano.
57 Sabendo que o mercado tem hoje uma taxa de retorno de 21% ao ano, avalie se cada projeto individualmente deveria ser executado e caso haja, qual seria o projeto a ser escolhido pela empresa? O projeto A tem um retorno de 24% ao ano, maior que a taxa que o mercado paga pelo investimento a ser realizado. Pelo método da TIR o projeto A deve ser executado. O projeto B tem um retorno de 18% ao ano, menor que a taxa que o mercado remunera os investimentos. Sendo assim, é melhor investir no mercado do que no projeto. Pelo método da TIR o projeto B não deve ser executado. O projeto C tem um retorno de 25% ao ano, maior que a taxa que o mercado paga pelo investimento a ser realizado. Pelo método da TIR o projeto C deve ser executado. Porém, a empresa só tem capacidade de investir em um projeto. Sendo assim, o projeto escolhido é o C, pois tem uma taxa de retorno maior do que os outros proj etos.
Leia mais – Para esclarecer ainda mais este conteúdo, recomendo uma olhada neste livro: BRUNI, A.L. Aval iação de Investimentos . São Paulo, Atlas, 2008
Como calcular a TIR em uma calculadora financeira HP As calculadoras financeiras são utilizadas para fornecer os valores da TIR de forma que levaríamos muito tempo para calcular. Sendo assim, utilizamos para agilizar nosso processo de tomada de decisão.
Exemplo: Uma empresa investiu R$ 50.000 e obteve retorno em cinco meses seguidos, da seguinte forma: retorno no primeiro mês: R$ 20.000 retorno no segundo mês: R$ 26.000 retorno no terceiro mês: R$ 29.000 retorno no quarto mês: R$ 31.000 retorno no quinto mês: R$ 35.000 Qual foi a taxa interna de retorno (TIR)?
58 Observações: o primeiro retorno aconteceu 30 dias após o investimento inicial, o segundo retorno após 60 dias, e assim por diante (intervalos iguais, de 30 dias). Digite assim: 50.000 chs gCf0 20.000 gCFj 26 mil gCFj 29 mil gCFj 31 mil gCFj 35 mil gCFj fFV = ? Resultado = 42,87% Atenção para o
e para o , que são função da HP. Cada um representa uma "cor" no teclado da calculadora. Da mesma forma o CHS significa colocar os 50 mil negativo, pois trata-se de investimento.
Anotações Anote aqui as informações que você acha importantes para o bom entendimento deste tópico! ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
59
Neste módulo, abordamos:
Os métodos de avaliação de projetos mais utilizados
O método financeiro de avaliação Pay Back
Os métodos econômicos de avaliação Pay Back descontado,
Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno
Os interesses do investidor na hora de escolher o método a
ser utilizado
60
BRUNI, A. L. A val iação d e Inv es tim en to s . São Paulo: Atlas, 2008.
BRITO, P. An álise e Viabilidad e de Projeto s de Inv estim ento s . São Paulo: Atlas, 2009.
61
MÓDULO 3
QUESTÕES OBJETIVAS 1 – Para um projeto com investimento inicial de 80.000 reais e fluxos propostos positivos ao final dos próximos quatro anos nos seguintes valores: R$ 35.000, R$ 45.000, R$ 30.000 e R$ 25.000 respectivamente, qual é o VPL deste projeto à taxa do mercado de 10% ao ano? K) L) M) N) O)
R$ 55.000,00 R$ 48.650,00 R$ 14.874,00 R$ 36.894,00 R$ 28.623,00
2 – Para o mesmo projeto acima, quando seria seu Payback descontado? K) L) M) N) O)
2,89 ANOS 2,49 ANOS 2,32 ANOS 2,19 ANOS 2,00 ANOS
3 – Analisando pelo método de VPL, qual ou quais dos projetos abaixo seriam executados a uma taxa de 10% ao ano? Data
Projeto A
0
K) L) M) N) O)
20.000
Projeto B
-20.000
Projeto C
20.000
1
8.000
10.000
6.000
2
8.000
8.000
8.000
3
8.000
6.000
10.000
APENAS O PROJETO A APENAS O PROJETO B APENAS O PROJETO C OS PROJETOS A E B NENHUM DOS PROJETOS ACIMA
4 – Qual seria a conclusão a partir da informação que um projeto tem seu Payback em 2,5 anos:
62 K) Se o investidor quiser ter seu capital integralmente em anos ele executa o projeto. L) Se o investidor quiser ter seu capital integralmente em anos e cinco meses ele executa o projeto. M) Em três anos, o valor investido no projeto ainda não totalmente N) Se o investidor quiser ter seu capital integralmente em anos ele executa o projeto. O) Nenhuma das respostas anteriores
até dois até dois retornou até três
5 – Tendo três projetos para execução com as seguintes taxas de retorno: projeto A – 24% ao ano; projeto B – 22% ao ano; e projeto C – 26% ao ano, determine qual ou quais projetos devem ser realizados, se a taxa de remuneração do mercado for de 23% ao ano. K) L) M) N) O)
Apenas o projeto B Apenas o projeto C Os projetos A e C Os projetos A e B Os projetos A, B e C
6 – Determine o VPL do projeto abaixo e responda: Data
Projeto A
0 1 2 3
60.000 35.00 0 15.00 0 20.00 0
Taxa do mercado: 10% ao ano K) L) M) N) O)
VPL = + 758, deve ser executado VPL = + 10.000, deve ser executado VPL = - 758, deve ser executado VPL = - 758, não deve ser executado VPL = +758, não deve ser executado
QUESTÕES DISCURSIVAS
63 1 – Avalie os dois projetos abaixo pelo método de VPL e responda qual ou quais devem ser executados e justifique. Data
Projeto A
0 1 2 3 4
80.000 25.00 0 15.00 0 50.00 0 20.00 0
Projeto B
-90.000 40.000 25.000 15.000 30.000
Taxa do mercado: 10% ao ano
2 – Utilizando os mesmos projetos do exercício anterior, determine pelo método de Pay Back qual ou quais projetos seriam viáveis? Justifique.
64
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
MÓDULO
4
APRESENTAÇÃO DO MÓDULO Este módulo apresenta os dois métodos de amortização mais utilizados no sistema financeiro e na avaliação de projetos. Eles fornecem a possibilidade de um tomador de recursos analisar qual o melhor formato de pagamento de suas prestações, sejam elas fixas ou variáveis, pré ou pós fixadas.
OBJETIVOS DO MÓDULO Esperamos que, após o estudo do conteúdo deste módulo, você seja capaz de: - Entender as diferenças entre os sistemas de amortização de capital; - Auxiliar a tomada de decisão do melhor modelo de amortização em função do investimento e das previsões do mercado; - Executar os sistemas de amortização em qualquer período.
65
1. INTRODUÇÃO
Para executar projetos, muitas das vezes, não possuímos capital próprio disponível para isso. Sendo assim, devemos captar recursos no mercado que deverão ser quitados ao longo de um período pré-determinado. Nestes financiamentos, muitas variáveis são colocadas em questão, como, por exemplo, taxa de juros. A taxa deverá ser pré ou pós-fixada, pois o mercado tende a abaixar ou a aumentar a taxa, além de outros fatores. Sendo assim, é de suma importância que o gestor de um investimento tenha habilidade para reduzir os riscos latentes à operação e que escolha o método que lhe for mais conveniente, levando em consideração, também, prazos e valores. Os dois métodos mais utilizados para financiamentos são: - Sistema de Amortização Constante; - Sistema Price; Vamos mostrar a diferença e detalhá-los agora!
2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
O Sistema de Amortização Constante, ou SAC, como o próprio nome já diz, tem em sua essência uma amortização constante do capital inicial (montante) em função do período de pagamento. Além desta amortização constante, os juros seriam cobrados em cima do valor que ainda estaria em posse do tomador, fazendo com que as prestações fossem de valores diferentes, diminuindo ao logo do tempo. As prestações diminuem, pois o valor de amortização é o mesmo, mas como se quita todo mês uma parte dele, por exemplo, os juros serão calculados para o período seguinte, sempre em cima de um montante menor, fazendo com que o valor das prestações decline.
66
A amortização da dívida é constante e igual em cada período
Exemplo: Um investidor capta um montante de R$ 300.000,00, para pagar em 5 meses, com uma taxa de 4% ao mês. Como ficaria o quadro de Pagamentos, Juros, Amortização e Saldo Devedor desta dívida até sua liquidação completa pelo SAC?
Podemos começar a analisar da seguinte forma: - O Saldo Devedor (SD) do tomador, no momento em que ele contrai o empréstimo (n=0), é igual a 300.000 e, cinco meses depois (n=5), é igual a zero. - A amortização será sempre constante. Sendo assim, podemos concluir que para descobrir o valor da amortização por período devemos apenas dividir o SD inicial pelo número de períodos (n). Neste caso, 3000.000 / 5 = 60.000 A partir disto, começamos a completar nossa planilha de SAC: - No primeiro mês, os juros incidiram em cima do valor inicial do SD (300.000). Sendo assim, 4% de 300.000 = 12.000, que devem ser pagos ao fim do primeiro mês, como prêmio pelo empréstimo do capital. - Ao fim do primeiro mês o tomador pagará 60.000 de amortização mais 12.000 de juros, gerando uma prestação (R) de 72.000. - Ao fim deste primeiro mês, como o tomador amortizou 60.000 da dívida, o SD devedor dele passa a ser 300.000 – 60.000 = 240.000 Para o segundo mês, temos a seguinte configuração:
67 - Os juros incidiram em cima do valor do SD ao fim do mês um (240.000). Sendo assim, 4% de 240.000 = 9.600, que devem ser pagos ao fim do segundo mês, como prêmio pelo empréstimo do capital. - Ao fim do segundo mês, o tomador pagará 60.000 de amortização novamente mais 9.600 de juros, gerando uma prestação de 69.600. - Ao fim deste primeiro mês, como o tomador amortizou 60.000 da dívida, o SD devedor dele passa a ser 240.000 – 60.000 = 180.000 Para os outros meses o modelo é o mesmo, até zerar o Saldo Devedor.
Atividade: Um empréstimo foi adquirido pelo Sistema de Amortização Constante,
no valor de 18.000 reais, para ser pago com 6 meses, a uma taxa de 2% ao mês.
Elabore a planilha de amortização deste empréstimo. n
J
a
R
0
SD 18.000
1
360
3.000
3.360
15.000
2
300
3.000
3.300
12.000
3
240
3.000
3.240
9.000
4
180
3.000
3.180
6.000
5
120
3.000
3.120
3.000
6
60
3.000
3.060
0
Atividade2: Desejo quitar este empréstimo ao fim do 3º mês, após pagar três
prestações. Qual o valor que devo pagar? Resposta: DS ao final do mês 3, ou SD3 = 9.000 reais
Atividade3: Quanto pagarei de juros no quinto mês do empréstimo?
Resposta: J5= 120 reais
68 Em uma operação com poucos períodos, ficaria fácil achar o valor destas variáveis, SD, J e R. No entanto, se forem em 120 períodos? 240? Para isso, temos fórmulas matemáticas que nos ajudam a encontrar rapidamente estes valores:
Para utilizar as fórmulas acima, é importante frisarmos que o
n é
sempre o
número total de períodos e o t é o número que representa o período em que queremos ter a informação. O único valor que não se altera em função do período t é a amortização, que é constante, dividindo o Saldo Devedor, na data zero, pelo número de períodos total do empréstimo. A taxa deverá sempre ser utilizada na forma decimal, como vimos nos fundamentos da Matemática Financeira.
Exemplo: Uma empresa contraiu um empréstimo de 50.000 reais, para ser pago em 60 meses, a uma taxa de 2% ao mês. Após 32 meses, ela resolveu liquidar o empréstimo. Quanto ela teve que pagar ao credor? Neste caso, devemos achar o Saldo devedor após 32 meses, que é o valor a pagar ainda ao credor. SD32= (60-32).a
69 Mas qual é o valor de a? a = 50.000 / 60 = 833,33 Sendo assim, SD32= (60-32).833,33 = 23.333,33 reais
Exemplo 2: Neste mesmo empréstimo de 50.000 reais, para ser pago em 60 meses, a uma taxa de 2% ao mês, a empresa gostaria de saber qual seria o valor da 45ª prestação. Neste caso, devemos achar a Prestação R no 45º mês R45 = 833,33 {1+(60-45+1).0,02} R45 = 833,33 {1+(16).0,02} R45 = 833,33 {1+0,32} R45 = 1.100,00 reais
Exemplo 3: Neste mesmo empréstimo de 50.000 reais, para ser pago em 60 meses, a uma taxa de 2% ao mês, a empresa gostaria de saber qual seria o valor dos juros pagos no mês 38. J38 = (60-38+1) .833,33 . 0,02 J38 = 23 .833,33 . 0,02 J38 = 383,33 reais
Anote aqui as informações que você acha importantes para o bom entendimento deste tópico!!!
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70
3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE O Sistema de Amortização Price consiste em calcular, no início da operação, um valor constante para a Prestação (R) em todos os períodos do empréstimo, sendo ela composta pelas duas variáveis: amortização e juros. Neste sistema, a prestação será sempre a mesma em todos os períodos, mas sua composição será de juros, que tende a diminuir sua representação na medida em que os períodos se passam; e amortização, que tende a aumentar sua representação à medida que os períodos vão passando.
Os valores das prestações são constantes e iguais em todos os períodos
Exemplo: Um investidor capta um montante de R$ 300.000,00, para pagar em 5 meses, com uma taxa de 4% ao mês. Como ficaria o quadro de Pagamentos, Juros, Amortização e Saldo Devedor desta dívida até sua liquidação completa pelo Sistema Price de Amortização?
Podemos começar a analisar da seguinte forma: - O Saldo Devedor (SD) do tomador, no momento em que ele contrai o empréstimo (n=0), é igual a 300.000 e, cinco meses depois (n=5), é igual a zero. - O valor dos pagamentos será sempre constante. Para encontrar este valor, veremos no quadro a seguir.
71 - Os Juros são calculados sobre o Saldo Devedor do período anterior e a parcela de amortização é a diferença entre o pagamento (R) e a parcela de Juros (J) O modelo de complementação da planilha segue o mesmo do SAC. Vamos ver agora como encontramos os valores desejados:
Para utilizar este formulário de forma correta devemos primeiramente saber o conceito do FVA, ou Função de Valor Atual. FVA é uma função que traz uma série de pagamentos de igual valor à data zero. Esses pagamentos devem ser sincronizados, com mesmo intervalo entre eles. Para descobrir a FVA, utilizamos a seguinte fórmula:
Exemplo: Uma empresa contraiu um empréstimo de 50.000 reais, para ser pago em 60 meses, a uma taxa de 2% ao mês. Qual será o valor da prestação paga pela empresa? R = SD0 / FVA (n ; i) R = 50.000/ FVA (60 ; 0,02) Vamos achar o FVA:
72 FVA (60 ; 0,02) = [1 – (1 + i)^(-n)] / i FVA (60 ; 0,02) = [1 – (1 + 0,02)^(-60)] / 0,02 FVA (60 ; 0,02) = [1 – (1,02)^(-60)] / 0,02 FVA (60 ; 0,02) = [1 – 0,3048] / 0,02 FVA (60 ; 0,02) = 0,6952 / 0,02 FVA (60 ; 0,02) = 34,76 Agora que achamos o FVA, vamos retornar ao valor da prestação: R = 50.000/ FVA (60 ; 0,02) R = 50.000/ 34,76 R = R$ 1.438,43 O valor de cada uma das 60 prestações será R$ 1.438,43.
Exemplo 2: Neste mesmo empréstimo, após 32 meses, a empresa resolveu liquidá-lo. Quanto ela teve que pagar ao credor? Neste caso, devemos achar o Saldo devedor após 32 meses, que é o valor a pagar ainda ao credor. SD32= R. FVA(n-t ; i) SD32= R. FVA(60-32 ; 0,02) SD32= R. FVA(28 ; 0,02) O R nós sabemos que é 1.438,43, devemos achar agora o FVA (28 ; 0,02): FVA (28 ; 0,02) = [1 – (1,02)^(-28)] / 0,02 FVA (28 ; 0,02) = [1 – 0,5744] / 0,02 FVA (28 ; 0,02) = 0,4256 / 0,02 FVA (28 ; 0,02) = 21,28
73 Sendo assim, SD32 = R. FVA(28 ; 0,02) SD32 = 1.438,43 . 21,28 SD32 = 30.609,80 Portanto, o Saldo Devedor do empréstimo após o pagamento de 32 parcelas, pelo Sistema Price, será R$ 30.609,80
Gráfico de Comportamento Comparativo
SAC x PRICE
–
Podemos utilizar os gráficos abaixo para comparar os modelos de sistemas de amortização:
74
Neste módulo, abordamos:
Os Sistemas de Amortização mais utilizados no mercado;
As particularidades de cada sistema com relação ao valor
das prestações, amortização, saldo devedor e juros.
75
ASSAF NETO, A. Mate m átic a Fin an cei ra e s u as ap lic ações . São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, A. L. A val iação d e Inv es tim en to s . São Paulo: Atlas, 2008. VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matem átic a Finan ceir a . 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000.
76
MÓDULO 4 QUESTÕES OBJETIVAS 1 – Desejo liquidar um empréstimo de 20.000 reais que já teve 12 prestações quitadas. Sabendo que o empréstimo foi calculado para 36 prestações no sistema Price, a uma taxa de 2% ao mês, qual será o valor necessário para quitá-lo hoje? P)
R$ 13.333,33
Q)
R$ 13.958,20
R)
R$ 14.840,82
S)
R$ 14.221,30
T)
R$ 15.699,99
2 – Em um empréstimo de R$ 40.000 realizado pelo sistema SAC, em 24 prestações, a uma taxa de 3% ao mês, qual será o valor dos juros pago na vigésima prestação? P)
R$ 250,00
Q)
R$ 270,00
R)
R$ 120,00
S)
R$ 200,00
T)
R$ 360,00
3 – Em um empréstimo de R$ 150.000 realizado pelo sistema SAC, em 60 prestações, a uma taxa de 2% ao mês, qual será o valor da prestação paga na trigésima sexta prestação? P)
R$ 4.300,00
Q)
R$ 1.690,00
R)
R$ 3.000,00
S)
R$ 3.750,00
T)
R$ 3.250,00
