Análisis y Diseño de Escaleras

CARLOS ANTONIO FERNANDEZ CHEA LIMA- PERÚ

NOMENCLATURA Wu = carga última total L= longitud del tramo W’u= carga ultima perpendicular al piso W’’u= carga ultima perpendicular al tramo de escalera L’= longitud inclinada M= momento de flexión V= fuerza de corte N= fuerza normal R o P= reacción D= peralte t= garganta de la escalera ᵟ= desplazamiento vertical f’c= modulo del concreto fy = modulo del acero CM o WD= carga muerta CV o WL = carga viva T l = garganta perpendicular s/C= sobrecarga d’= peso de longitud oblicua 𝐶𝑃 𝑡 h = 2 + cos 𝑥 CP= contrapeso P.P = peso propio S= separación de fierro Vd = corte a la distancia d ṼC = esfuerzo de corte que resiste el concreto ld = longitud de desarrollo E= módulo de Young I= momento de inercia Θ= giro angular h= altura H= carga horizontal CX = distancia al eje neutro A= área ẍ= momento de masa IXY =momento de giro MS = momento isostático ᴓ= diámetro del fierro ɚ= ángulo de inclinación a= distancia al eje neutro kl= factor de Whitney β=ángulo de viga rectangular tm=distancia del paso a la base de escalera Mm= momento de flexión ḟr= esfuerzo de flexión que resiste el concreto c= distancia del eje neutro a la fibra mas alejada A= área de estribo Mc = momento que resiste el concreto Ks=kl= rigidez del muro (superior o inferior) MP= momento de empotramiento e= excentricidad σ= esfuerzo de tracción o compresión R= fuerza R sobre el muro por peso de ladrillo

F.S= Factor de seguridad mf= momento flector unitario mt = momento torsor unitario n= número de peldaños Pb = cuantía balanceada τV = esfuerzo de torsión τMAX = esfuerzo de torsión máximo τC = esfuerzo de torsión que toma el concreto ᴫ= factor de torsión Ao= área de estribos de torsión Al= área longitudinal por torsión r= recubrimiento H’= altura real de la escalera dM= diferencial de momento r= radio interno de la columna z’= distancia de escalón Ps= cuantía del zuncho Dc= diámetro del zuncho g=distancia sin recubrimientos RD =reacción sobre el descanso F= fuerza de tirante f=esfuerzos T y C = fuerzas en las rampas m=distancia entre rampa Z= distancia del descanso R’B=carga exterior sobre el descanso Mu=fierro de tención fc= esfuerzo que toma el concreto Asv= área de acero vertical Ash=área de acero horizontal Ө=ángulo de la escalera R= radio de la escalera U= factor de Bergman G= módulo de torsión T= torsión en cualquier punto ɚ*= ángulo para torsión en radianes x= menor distancia en torsión y=mayor distancia en torsión Ψ= ángulo entre el piso y el centro Φ=ángulo a la carga o momento Q= fuerza de corte en los diferentes ejes X= fuerzas unitarias en los tres ejes coordenados Ⱥ=ecuación compatible J= constante de St. Venamt X = redundantes S = separación de fierro vd = corte a la distancia d ѵ𝑐 = esfuerzo de corte que resiste el concreto ld = longitud de desarrollo E = módulo de young I = momento de inercia Ɵ = giro angular h = altura M = carga horizontal Cx = distancia al eje neutro

A x̅ Ixy Ms Ø ⋉ ᵅ kl 𝛽 tm Mm 𝑓𝑒 c A Mc ks= kl Mp e 𝜎 R F.S mf mt n Pb 𝜏𝑣 𝜏max 𝜏c Ω Ao Al r H1 dM r z* Ps 𝐷c g RD F f TyC m

= área = momento de masa = momento de giro = momento isostático = diámetro del fierro = ángulo de inclinación = distancia al eje neutro = factor de whitney = ángulo de viga triangular = distancia del paso a la base de escalera = momento de flexión = esfuerzo de flexión que resiste el concreto = distancia del eje neutro a la fibra más alejada = área de estribos = momento que resiste el concreto =rigidez de muro (superior o inferior) = momento de empotramiento = excentricidad = esfuerzo de tracción o compresión = fuerza R sobre el muro por peso de ladrillo = factor de seguridad = momento flector unitario = momento torsor unitario = número de peldaños = cuantía balanceada = esfuerzo de torsión = esfuerzo de torsión máximo = esfuerzo de torsión que toma el concreto = factor de torsión = área de estribos por torsión = área longitudinal por torsión = recubrimiento = altura real de la escalera = diferencial de momento = radio interior de la columna = distancia de escalón = cuantía del zuncho = diámetro del zuncho = distancia sin recubrimiento = reacción sobre el descanso = fuerza de tirante = esfuerzos = fuerzas en las rampas = distancia entre rampa

CAPITULO I INTRODUCCION Este análisis sobre el análisis y diseño de escaleras abarca una gama de tipos de escaleras que hemos creído conveniente estudiarlas detenidamente. Se ha optado por realizar este trabajo porque en nuestro medio no existe actualmente una buena bibliografía sobre este punto y las que personas tratan de profundizar más sobre este tema lo encuentran difícil. Asimismo, como se trata de una estructura muy importante en el todo de una edificación su análisis debe hacerse a conciencia, lo que permite dotar de seguridad a la estructura. Por ello todo trabajo de análisis y diseño de escaleras no debe detenerse en una simple exposición teórica sino que debe ir acompañada de ejemplos prácticos que ilustren los métodos de cálculo para su mejor comprensión. Consecuentemente con lo expuesto, toda persona que se aboque a la construcción de edificaciones debe tener muy en cuenta que la escalera es una de las estructuras más importantes de la obra. Como ella es visible su construcción debe acercarse a la perfección pues su función no solo es de circulación sino también de ornato. Se presenta este estudio como un aporte a los que quieran profundizar en el tema.

CAPITULO II DIMENSIONAMIENTO Y CARGAS DE ESCALERAS SEGÚN EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCION

A) DIMENSIONAMIENTO

P = paso o huella C= contrapaso o espejo Es recomendable 2C+P = 60 a 64 cm, La huella mínima es de 25 cm El espejo puede ser: a) Para escaleras monumentales de 13 a 15 cm b) Edificios o casas 15 a 17 cm c) Secundarias 20 cm El ancho mínimo: a) Vivienda 1.00 m b) Secundarias 0.80 m c) Caracol 0.60 m d) Edificios 1.20 m B) CARGAS  PESO PROPIO: PESO DE LA ESTRUCTURA 𝑘𝑔  ACABADOS: generalmente es 100 𝑚2 pero cuando hay barandas de ladrillo o en general algo muy cargado hay que encontrar el verdadero peso. 𝑘𝑔  SOBRE CARGAS: por reglamento es de 500 2 𝑚

CAPITULO III ESCALERAS APOYADAS LONGITUDINALMENTE A. ESCALERAS DE UN TRAMO Las escaleras armadas longitudinalmente son aquellas que se encuentran apoyadas en los extremos y que llevan el acero principal a lo largo del eje de la escalera y perpendicularmente a las escaleras. Por su tipo de apoyo podría considerarse que son: a) Simplemente apoyadas

b) Empotrada

Pero por sus condiciones de que no existe empotramiento perfecto se considera, que siempre las escaleras son simplemente apoyadas. Para el diseño se puede considerar dos casos: 1) se diseña para soportar cargas verticales y con la luz proyectada horizontalmente

2) Wu Wu’’= Wu cosⱷ Wu’= W’’u cosⱷ = Wu cos2ⱷ

Con la carga W’u a toda la longitud y con la longitud inclinada El diseño es igual sea cual fuera la manera como se toman las cargas Luego por proyecciones tenemos: W’u= Wu cos2 ⱷ (carga inclinada por metro lineal inclinado)

Obteniendo el momento de flexión y considerando β un factor que está de acuerdo al tipo de apoyo de la estructura, tenemos que: M= β*W’u*l2 = β*Wu cos2ⱷ*l2 pero como l= l’ * cosⱷ Luego M= β*W*l2 O sea esto demuestra que se obtiene el mismo resultado transformando en forma recta o inclinada De esta manera se obtiene el As principal que es longitudinal a la escalera en cambio el acero de repartición, que es el As mínimo es colocado a lo largo del paso

En el caso que se trate de una rampa maciza y se considere al descanso superior como aligerado en voladizo apoyado en la viga superior, no se podría anular el acero de la escalera penetrando en el aligerado, o sea se considera todo como macizo o todo como aligerado. La viga que sirve de apoyo tiene componentes que actúan sobre ella, que resultan de la descomposición de la fuerza.

Por lo cual el diagrama de fuerzas es el siguiente: Dónde:

V= Wsenⱷ* cosⱷ N= W*senⱷ Esta fuerza en algunos casos es absorbida por la zapata de la escalera, el peralte (d) para el cálculo de la viga de apoyo se toma de acuerdo a la siguiente figura:

Para el dimensionamiento previo generalmente “t” está entre 3 y 4 cm. Por cada metro de longitud entre apoyos.

CASOS PARTICULARES Cuando la viga tiene poca luz (todo el ancho de la escalera) se puede considerar como si toda la losa fuese viga chata.

La luz que interviene en el calculo para la rampa será solo l’2 pues se admite que el punto A no desciende y el punto B si, pir lo tanto la carga es triangular.

Cuando se encuentra separada por una junta de construcción En este caso existe en el extremo inferior un fierro que sirve para amarrar la escalera.

A veces se encuentra separada por una junta compresible y sobre un apoyo móvil y empotrado en el extremo inferior

Este tipo de escaleras son muy utilizadas en los edificios, pues se consideran que funcionan como viga inclinadas por lo que toman grandes efectos sísmicos y permiten que la estructura sea más resistente en este tipo de movimientos.

B. ESCALERAS DE DOS Y MAS TRAMOS Existen diferentes tipos de escaleras, las cuales se analizan como se detalla:

a) En este tipo de escalera el extremo inferior sirve como apoyo a la escalera y por lo tanto el punto B no desciende y se considera como si existiera un apoyo ficticio que impide el desplazamiento vertical. En este caso l1>l2 pues l2 es el descanso.

b) Similar al caso A en el que el punto B no sufre desplazamiento vertical ya que es como si tuviera un apoyo ficticio que impide dicho movimiento

c) Este caso es similar al caso A porque tampoco se produce desplazamiento vertical en el punto B ya que se considera que está perfectamente empotrada, tampoco se produce desplazamiento horizontal.

d) En este caso la escalera se encuentra entre dos descansos, A y B que es el inferior y C y D que es el superior pero al estar apoyada verticalmente se producen pequeños desplazamientos verticales en los puntos BC lo que no se produce si es que coloca dos apoyos móviles en dichos puntos.

e) Cuando se tiene una escalera cuyo extremo superior se considera que está en un apoyo móvil se tiene que se produce un desplazamiento horizontal al punto C, cosa que no ocurre si la escalera estuviera sobre un apoyo fijo, pero no existe desplazamiento vertical en ninguno de los casos. En este tipo se considera como si toda la luz fuera monolítica o sea sin apoyo ficticio.

Calculando los momentos por el método de Cross y por damero

Superponiendo

C) ESCALERAS ORTOPOLIGONALES Es un tipo de escalera que se caracteriza por no poseer recubrimiento sino tan solo paso o huella y contrapaso o espejo. Al ser un tipo especial de escalera su análisis sigue métodos que no se aplican a otros. El método más exacto es el de la analogía de columna, que considera a la escalera como una estructura aporticada de un vano y se obtiene de los momentos por este método. Para la solución de una escalera ortopoligonal se considera a la estructura que no está perfectamente empotrada, pues para que ocurra esto es necesario que haya una viga rígida en el principio de los descansos o una losa en los extremos. Por lo tanto se considera que no existe momento de empotramiento y según el método de las deflexiones angulares: 2𝐸𝐼 3ʆ MAB= 𝐿 (2ӨA+ӨB- 𝐿 ) 2𝐸𝐼

3ʆ

MBA= = 𝐿 (2ӨB-ӨA- 𝐿 ) donde: ӨA y ӨB son los giros en los extremos, ʆ es la deflexión de un extremo con respecto al otro. Conociendo esto podemos analizar el método de la analogía de una columna. Principalmente este método se basa en la analogía entre los esfuerzos que se producen en una columna corta y los momentos que se producen en un pórtico. METODO DE LA ANALOGIA DE LA COLUMNA El perímetro exterior del marco mostrado es considerado como una sección de columna, llamada un área elástica.

La longitud de cada miembro en el área elástica es considerada igual a la actual longitud correspondiente 𝑙 al marco dado. El ancho de cada miembro en el área elástica es igual a 𝐸𝐼 del correspondiente miembro del pórtico. Esto es mostrado de la fig. (1) que para un extremo articulado el momento de inercia de la 𝑙 𝑙 articulación es cero por lo que el ancho del área elástica será: 𝐸𝐼 = 0 = ∞ Para un empotramiento del momento de inercia en el soporte rígido es ∞. Por lo tanto el ancho del área 𝑙 𝑙 elástica será: 𝐸𝐼 = ∞ = 0 CARGA APLICADA EN EL AREA ELASTICA El pórtico estáticamente indeterminado debe, para quitar los redundantes, tener un corte en alguna porción, generalmente en los apoyos. Bajo esta idea se realizara el diagrama de momentos flectores.

𝑀𝑠

Este diagrama será construido como una carga ( 𝐸𝐼 ) aplicada en el área elástica de la columna corta. Simplemente se trata de una columna cargada excéntricamente teniendo una carga axial y momentos (Mx= Py y My=Px).

El diagrama de momentos será considerado dividido entra EI y la carga girara alrededor de dos ejes (xx) y (y-y) expresados por el centro elástico. Se llama centro elástico al centro de gravedad de la sección transversal en la columna análoga. 𝒍 𝒅𝒔 dA= 𝑬𝑰 𝒙 𝒅𝒔 = 𝑬𝑰 𝒅𝒔

A= ∫ 𝑬𝑰 ẍ=

∫ 𝒙𝒅𝑨 ∫ 𝒅𝑨

donde: 𝒔𝒅𝒔 xdA= ∫ 𝑬𝑰 = 𝟎 ……….(1) ŷ=

∫ 𝒚𝒅𝑨 ∫ 𝒅𝑨

donde: 𝒚𝒅𝒔 .∫ 𝒚𝒅𝑨 = ∫ 𝑬𝑰 = 𝟎 ………… (2) (1) Y (2) solo cuando los ejes coordenados pasan por el centro elástico. También: IX= ∫

𝒚𝟐 𝒅𝑨

=∫

𝒚𝟐 𝒅𝒔

……….. (3)

𝑬𝑰 𝒙𝟐 𝒅𝒔

IY= ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝑨= ∫

………. (4)

𝑬𝑰 𝒙𝒚𝒅𝒔

IXY= ∫ 𝒙𝒚 𝒅𝑨 = ∫

𝑬𝑰

…….. (5)

donde: (3) Y (4) son los momentos de inercia (5) es el producto de inercia La carga de la columna análoga es el diagrama de momentos flectores reducido de la estructura propuesta. Este diagrama de momentos es el que corresponde a la estructura isostática. Al ser la estructura hiperestática lo que se hace es isostizar la estructura y resolver los momentos redundantes por medio de la analogía de la columna. El momento total será: MT=MS+MA MS= momento en cualquier punto correspondiente a la estructura isostática 𝑷

MA= (𝑨 +

𝑰𝒙𝒚 𝑰𝒚 𝑰𝟐𝒙𝒚

𝑴𝒚−𝑴𝒙 𝑰𝒚−

𝑰𝒙

𝒙+

𝑰𝒙𝒚 𝑰𝒚 𝑰𝟐𝒙𝒚

𝑴𝒙−𝑴𝒚 𝑰𝒙−

𝒚)

𝑰𝒚

Donde se utiliza como carga repartida el diagrama de momentos isostáticos. Para la estructura propuesta o real los momentos flectores son positivos cuando producen compresión en las fibras exteriores. Para la analogía de la columna cuando los momentos flectores son positivos la carga P se considera positiva, es decir en compresión y los esfuerzos de compresión son positivos. Además se tiene, para dar mayor facilidad a este método, que como los pasos y contrapasos de la escalera son iguales dimensionalmente en toda la extensión las inercias son constantes; y esto facilita la obtención de los momentos reducidos que se emplean como cargas en la analogía de la columna.

DISEÑO DE ESCALERA ORTOPOLIGONAL POR ANALOGIA DE LA COLUMNA PROBLEMA 1

Numero de pasos 12 Numero de contrapasos 11 s/C 500 kg/m2 ancho 1 m f’c 175 kg/cm2 fy 4200 kg/cm2 Se analiza una porción

Calculo del peso propio: 0.4*1*0.125*2.4 = 0.120 ton 0.05*1*0.125*2.4 = 0.015 ton WD=0.135 ton s/C = 0.275*1*0.5 = 0.138 ton = WL entonces P = 1.4*0.135 + 1.7*0.138 P= 0.42 ton

Isostatizando

RA=RB= 2265.5P

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES EN LOS PASOS

Utilizando como carga repartida el diagrama de momentos flectores en los pasos.

DIAGRAMA DE LOS MOMENTOS FLECTORES EN LOS CONTRAPASOS

𝟏

IPASO= 𝟏𝟐(100)(12.5)3= 16276.08 𝟏

ICONTRAPASO= 𝟏𝟐(100)(12.5)3 =16276.08 IP=ICP=1 No existe Mx ni My pues se anula al ser simétrica la escalera 𝑷 En la escalera análoga solo queda ∑ 𝑨𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬𝑳 𝑻𝑹𝑨𝑷𝑬𝑪𝑰𝑶

𝑨 ∑ 𝑨𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬𝑳 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨𝑵𝑮𝑼𝑳𝑶

Donde: PT= + 𝑬𝑰 𝑬𝑰 A= AREA DE LA COLUMNA ANALOGA 𝟏∗𝟓.𝟓 𝟓.𝟓+𝟏𝟎 𝟏𝟎+𝟏𝟑.𝟓 𝟏𝟑.𝟓+𝟏𝟔 𝟏𝟔+𝟏𝟕.𝟓 𝟏𝟕.𝟓+𝟏𝟖 EIP1= 𝟐 + 𝟐 + + 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐𝑷𝑳𝟐 𝟐 EIP2= (5.5+10+13.5+16+17.5+18) 2PL2a Donde P1 = 4410 y P2= 2759.25 entonces PT = 7169.25 A= 12(0.275) + 11(0.175) = 5.23 𝟕𝟏𝟔𝟗.𝟐𝟓 MA= 𝟓.𝟐𝟑 𝟏𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒈 − 𝒎 MC = MS - MA MS= 18*0.42*0.275= 2080kg.m MC=720 kg-m

Tomando el mayor momento: calculamos con 1,370 kg. – mt el As h= 17.5 cm I

I

d = 14 cm

+---------+ b = 100 cm Con Mto = 1,370 kg – mt

AS = 2.66 cm2

AS min = 0.0018 x 14 x 100 = 2.52 cm2 < 2.66 cm2 AS = 2.66 cm2 = (4 ø 3/8)

Calculando la misma escalera como viga con cargas puntuales

Tomando el mayor momento:

Posteriormente realizamos la misma operación, o sea empleando los tres casos para una escalera ortopoligonal de siete pasos y seis contrapasos con las mismas cargas y especificaciones de la anterior. Del desarrollo hemos obtenido los siguientes resultados:

COMPARACION DE MOMENTOS NO de Momentos Escalones MA= MB 12 MC MA= MB 7 MC

Analogía de la Carga Puntual columna (1) (2) 1370 kg – mt 1420 kg – mt 710 660 434 590 250 270

2/1 1.04 0.93 1.36 1.08

Carga Repartida (3) 1386 kg – mt 695 470 235

3/1 1.01 0.98 1.08 0.94

p. min = 0.0018 AS min = 0.0018 x 100 x 144 = 2.52 cm2 COMPARACION DE ESFUERZOS NO de Lugar Escalones 12 7

A–B C A–B C

Analogía de la columna Ø AS (cm2) 2.66 2.52 2.52 2.52

4 Ø 3/8 4 Ø 3/8 4 Ø 3/8 4 Ø 3/8

Carga Puntual AS Ø (cm2) 2.76 4 Ø 3/8 2.52 4 Ø 3/8 2.52 4 Ø 3/8 2.52 4 Ø 3/8

Carga Repartida AS (cm2)

Ø

2.70 2.52 2.52 2.52

4 Ø 3/8 4 Ø 3/8 4 Ø 3/8 4 Ø 3/8

CAPITULO IV ESCALERAS APOYADAS TRANSVERSALMENTE ESCALERAS CONTINUAS Se trata de escaleras en los que los escalones están apoyados en sus extremos. Dando lugar a una armadura transversal, o sea que los escalones son autoportantes. Esta escalera se puede considerar como si se entrara apoyada o empotrada, siendo el análisis para cada caso de diferente forma. a) Articuladas 1/24 Wl2 1/24 Wl2 (para seguridad)

1/8 Wl2 1/24 Wl2 1/24 Wl2 viga 1/9 Wl2

b) Empotrados 1/12 Wl2

c)

1/12 Wl2 (cuando l < 3.00) 1/12 Wl2 (cuando l > 3.00)

Empotrada y Articulada

De este viga. Los momentos son:

caso se considera que la pared sirve de empotramiento y que se apoya en una

Cargas.- cuando se trata de escaleras con la base oblicua al piso la carga es normal a esta base, es decir: Donde W es la carga actuante normalmente, pero al ser el eje inclinado la flexión se realiza en ese plano inclinado y por lo tanto se debe diseñar con (𝑊2 ) la carga normal a la escalera. La componente tangencial (𝑊3 ) se transmite a la losa de la escalera.

Las cargas verticales repartidas en una distancia L se transforma en cargas verticales en una distancia L`, las cuales se convierten en cargas perpendiculares al eje de la escalera repartida en una distancia L`.

En este caso la carga produce flexión en un plano que contiene la fibra neutra es horizontal, por consiguiente el diseño se hace con carga vertical.

Las formas de secciones transversales más usadás son:

El caso más frecuente es el (A)

A) DISEÑO PARA MOMENTO POSITIVO.a) Diseño como viga rectangular.- Tenemos que para 𝑀(+) el eje neutro hace que la zona en compresión sea triangular así:

Igualando compresión con tracción tenemos: 0.85 ∗ 𝑓´𝑐 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑡𝑔𝛽 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝐴 ∗𝑓𝑦

𝑠 𝑎 = √0.85∗𝑓´

𝑐 ∗𝑡𝑔𝛽

Generalmente 𝛽 = 45° → 𝑡𝑔∅

Tomando momento con respecto al centroide de compresión tenemos: 𝑀𝑢 𝐴𝑠 = 2𝑎 ∅ ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − ) 3

b) Método aproximado (como viga rectangular).- Este método es aproximado con relación al diseño como viga rectangular.

B. Diseño para momento negativo: Para el M(-) la posición del eje neutro, es otra que hace que la zona de compresión sea rectangular.

Para realizar este diseño se utiliza la fórmula conocida: 𝑀𝑢

AS = ∅ 𝑓𝑦 (𝑑− 𝑎 ) 2

𝐴𝑠 𝑓𝑦

a = 0.85𝑓′𝑐 𝑏  Chequeo por corte En los dos casos de diseños anteriores se realiza un chequeo por corte a la distancia d. Ʋc ˃ Ʋu Si no cumple, esto requiere de estribos. Ejemplos de escaleras transversales. Problema # 1

Calculando α: 17

tanα = 30 = 0.5667 α = 29.54 6

6

t1 = cos∝ = 0.87 = 6.90 cm. tm = 17 +

6.90 2

= 20.45 cm

 Cargas 𝑡

P.P. = 0.2048 x 2.4= 0.491 𝑚2 0.10

Acabados: 0.59

𝑡 𝑚²

𝑡

WuD = 1.5 x 0.59 = 0.89 𝑚² 𝑡

WuL = 1.8 x 0.50 = 0.90 𝑚²

𝑡

Wu= 1.79 𝑚²

Proyecto Wu: W′u= Wu cos²𝛼 W′u = 1.79 x cos² 29.54 𝑡

W′u = 1.35 𝑚²

Como cada paso es igual 34.5 cm W′u(por paso) = 1.35

(34.5) 100

𝑡

= 0.46 𝑚

A) Diseño para M(+) a. Diseñando como viga triangular h = 23.96 h′ = 23.96 cos α

h′ = 23.96 x 0.87 h′ = 20.85 cm Si d” = 3 cm d = h′ - d” = 17.85 𝛽 = 45° tan 𝛽 = 1 Se trabaja de W′u con M(+) = 0.53 t-m 𝑀𝑢

5300

As = ∅ 𝑓𝑦(𝑑− 2𝑎 ) = 0.9 𝑥 4200[17.85− 2𝑥3] = 0.88 cm2 3

3

𝐴𝑠 𝑓𝑦

0.88 𝑥 4200

a = √0.85 𝑓′ 𝑐 𝑡𝑎𝑛𝛽 = √ 0.85 𝑥 175 = 4.80 cm2 5300

As = 0.9 𝑥 4200 𝑥 14.65 = 0.96 cm2 0.96 𝑥 4200

a = √ 0.85 𝑥 175 = 5.21 cm2 As = 0.96 cm2 Calculando por el método aproximado

𝑡

Wu = 1.79𝑚² 30

𝑡

Wu (por paso) = 1.79 (100) = 0.54 𝑚 𝑡

Wu = 0.54 𝑚 1

1

M(+) = 8 WL2 = 8 (0.54) (3)2 = 0.61 t-m. d = tm – (recub - 112∅) = tm – 3 cm d = 17 cm. M(+)= 0.61 → As = 1.06 cm2

La diferencia entre ambos métodos es en el orden del 10 % As min = 0.0018 bh = 0.0018 x 34.5 x 20.85 Por ser As(+) (tracción) As min = 1.29 cm2 Este refuerzo es por cada paso y por metro lineal sería = 100

1.29 x 34.5 = 3.74 cm2 Se toma As = 1.29 → 2∅

3 8

por paso.

B. Diseño para momento negativo Se diseña por peldaño 𝑡

W′u = 0.47 𝑚 1

M(-)= 24 (0.47) x (3)2 = 0.18 t-m d= 17.85 cm y b= 100 cm M(-)= 0.18 ton-m; As = 0.27 cm2 As min= 0.0018 bh

donde b = ancho de viga en zona de tracción.

 Chequeo por corte: 3

Vd = 0.47 ( – 0.18) = 0.62 ton. 2

𝑘

Ʋc = 0.53 ∅ √𝑓 ′ 𝑐 = 5.96 𝑐𝑚² 620

𝑘

Ʋu = 0.85 𝑥 30 𝑥 17.85 = 1.16 𝑐𝑚² Ʋu < Ʋc No lleva estribos.

Fierro de contracción y temperatura. As = 0.0018 X b x 100 As = 0.0018 X 30 X 100 = 1.08

Problema No. 2

𝑐𝑚² 𝑐𝑚

→1∅

1 4

@ 25

-

Cargas

Paso = 2.4x0.3x0.06

= 0.04 t/mt

Contrapaso = 2.4x0.06x0.11 = 0.02 t/mt Acabados = 0.100x0.3

= 0.3 t/mt WD= 0.09 t/mt

WuD = 1.5x0.09 = 0.14 t/mt WuL = 1.8 x 0.3 x 0.5 = 0.27 t/mt WuC + WuL  Wu = 0.41 t/mt A) Diseño para M(+) a) Diseñando como viga triangular

b) Diseñando por el método aproximado Mu= 1/8 x 0.41 x (3)2 = 0.46 ton – mtD= 20cm As= 0.74 La diferencia entre ambos métodos es en el orden del 12@

Asmin= 0.0018 x

22.5 2

x 34.5 = 0.70 cm2

Se toma 0.70 cm2 As = 0.70 cm2  1ø 3/8 B) Diseño para M(-) M(-)= 1/24 wl2  1/24 x 0.35 (3)2 M(-)= 0.13 t-mt  As= 0.22cm2 Asmín= 0.0018 x

22.5 2

x 34.5 = 0.70 cm2

Se usará 0.70 cm2  1 ø 3/8 -Chequeo por corte: 3

Vd= 0.41 (2- 0.14) = 0.56 ton Vc= 0.53 ø √𝑓´𝑐 = 5.96 t/cm2 Vc > Vu : No necesita estribos 560

Vu= (0.85 𝑋 38 𝑋 17) = 1.4 k/cm2 -

Fierro de construcción y temperatura

As= 0.0018 x 6 x 100 = 1.08 cm2/cm  I ø ¼ @ 25

El ø(-) debe colocarse en forma continua para poder amarrar el ø de temperatura.

d) Escalera de tribuna Este tipo de escaleras pertenece a la clase de escaleras ortopoligonales, solo que su tipo de apoyo es de forma transversal, es decir se apoyan lateralmente. Se caracterizan por tener grandes luces generalmente 5 mt. o más. Se analiza según los siguientes conceptos.

1) Por flexión Para el análisis por flexión la escalera se considera como sí fuera una viga con las características de apoyo según sea el caso de que se trata. -

Si es una viga simplemente apoyada, el Mu será igual a 1/8 wl2

-Si es una viga hiperestática.

En este caso el momento de diseño se encontrará por cualquiera de los tipos de análisis para estructuras y las cargas se repartirán como damero para ubicar las envolventes que determinarán la cantidad de As necesario en cada sección.

Para analizar la escalera se debe considerar la parte superior del eje, pues es la que soporta principalmente los esfuerzos de flexión.

Para un análisis más correcto se puede considerar la sección de un paso como si tratara de una viga T.

En este caso se debe ver si la viga funciona como viga T6, como viga rectangular, pero en este caso siempre actúa como viga rectangular así que el A s está dado por la fórmula: 𝑀𝑢 𝐴𝑠 = 𝑑 ∅ 𝑓𝑦 (𝑎 − 2 ) Como existen M+ y M-, lógicamente deben existir As (+) y As (-), que se colocan como se muestra:

Este As es longitudinal y es paralelo al eje de la escalera y su cálculo es por paso 2. por corte:

Tenemos el corte a la distancia d, es decir Vd, calculado de igual modo como obtenemos los momentos. También conocemos √𝑉𝑐 = ∅ 0.5 √𝑓´𝑐 , que es el corte que resiste el concreto. Para determinar si necesita estribos o en su defecto colocar acero mínimo, realizamos la comprobación: √𝑢 > √𝑐 Si se cumple esto, es que necesita estribos, en caso contrario se coloca As mínimo. 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑚𝑖𝑛 ∗ 𝑏𝑑 Donde Pmin= 0.0018

Se coloca de la siguiente manera el As por corte:

3. Armadura por deflexión diferencial Observando el perfil de una escalera de tribuna, vemos que en ella se produce una deflexión que ocasiona la existencia de momentos por desplazamientos en los extremos. Así la deflexión 𝛿 si la viga simplemente apoyada: 5 𝑤 𝑙4 𝛿= 384 𝐸 𝐼 5 𝑙4 𝛿 = 48 𝐸 𝐼 (𝑀𝑛 + 0.1 (𝑀𝑎 + 𝑀𝑏)) Si es hiperestática, donde: Mn= momento en el centro Ma, Mb = momentos en los extremos

La deflexión 𝛿 en el escalón central es en todo el tramo ya que este desciende rígidamente, mientras que los escalones superior o inferior descienden un extremo respecto al otro. El momento de desplazamiento que se produce es: 6 𝐸𝐼 𝛿 𝑀 = − 𝑙2 Donde l es el paso y la inercia que se considera es para un metro de escalón. 1 𝐼= ∗ 1𝑚 ∗ ℎ3 12 Luego el As por deflexión está también dado por la fórmula: 𝑀𝑢 𝐴𝑠 = 𝑑 ∅ 𝑓𝑦 (𝑎 − 2 ) Siempre y cuando Mu > Mc Donde: 𝑓𝑟 𝐼 𝑀𝑐 = 𝑐 (Momento que resiste el concreto) Si Mc > Mu, no necesita As y se colocará acero mínimo y se colocará de la siguiente manera:

4. similarmente la losa que se coloca en la escalera necesita llevar As, para su mejor armado que se obtiene mediante los momentos obtenidos por la fórmula:

Que es igual tanto para los momentos negativos como para los positivos.

PROBLEMA:

Cargas:  P.P= ( 2400 * 1.2 * 0.08) = 230.4 k/m (2400 * 0.2 * 0.1) = 120  Acabado = 100 * 1.2 = 120 470.4 k/m  s/c = 500 * 1.10  Wu= 1.5 (470.4) + 1.8 (550)  Wu= 1695.6 = 1.7 ton/m

Calculándolo los diagramas de momentos por Damero: consideramos el C.M + C.V por seguridad.

Trabajando con el mayor momento Mu= 14.88 ton*m

Vamos si funciona como viga rectangular o viga T. Asumimos a= 0.85 t = 0.85 (8) = 6.80 Con el Mu= 14.88 ton*m 1 488 000 𝐴𝑠(−) = = 8.1 cm2 0.9∗4200(52−3.4)

𝑎 = 1.8 < 0.85 𝑡 Entonces funciona como viga rectangular 7 El As (-)= 7.9 cm2 → M= 14.80 → 2 ∅ 8 3

El As (+)= 4.5 cm2 → M= 7.73 → 2 ∅ 4 14 14 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑑 = (10)(52) 𝑓𝑦 4200 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 1.7 cm2, entonces se toman las 2 áreas anteriores  Chequeo por corte Vd= 8.75 -1.7 (0.52) Vd= 7.87 7870 √𝑢 = 10∗52 = 15.1 K/cm2 √𝑐 = ∅ 0.53 √𝑓´𝑐= 8.53 K/cm2 √𝑢 > √𝑐 , Entonces necesita estribos 𝐴𝑣 (15.1 − 6.53) ∗ (10) = 𝑠 0.7 ∗ 4200 𝐴𝑣 = 0.03 𝑠 𝐴𝑣 3.52 ∗ 𝑏 3.52 ∗ (12) 𝑚𝑖𝑛 = = = 0.01 𝑠 𝑓𝑦 4200 𝐴𝑣 Entonces se usa 𝑠 = 0.03 3

Se toma ∫ 1 ∅ 8 (𝑑𝑒 1 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑙) A= 0.713 0.713 Entonces 0.03 = 23.8 𝑐𝑚 3 1 ∫ 𝑎 25 𝑐𝑚 8

Viendo la escalera de perfil

Al bajar del punto A al B, el escalón central hace que el escalón inferior descienda de C a C´ y que escalón superior descienda de D a D´. Este descenso provoca en cada escalón, superior e inferior, momento debido al desplazamiento 𝛿

Para la primera zona: 1 1 𝐼 = 2 ( (60)(8)3 + (8)(60)(25)2 ) + (42)3 (10) 12 12 𝐼 = 666.860 Entonces I 1= 1 333.720 cm4 Calculando la deformación 𝛿 5 𝑙2 𝛿= ∗ 𝑀𝑛 + 0.1 (𝑀𝑎 + 𝑀𝑏) 48 𝐸𝐼 5 ∗ (1030)2 𝛿= (23 800 + 0.1 (−490 000 − 490 000) 48 𝐸 (1337.720) 10 602.7 𝛿= 𝐸

𝑀=

6𝐸𝛿𝐼 = (6 𝐸 𝑙2

(

10 602.7 1 ) (12 (100)(8)3 )) 𝐸 1102

𝑀 = 0.224 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 Mu= 1.8 (0.224) Mu= 0.40 ton*m 𝑓𝑟 𝐼 𝑀𝑐 = 𝑐 𝑓𝑟 = 1.33 ∗ 0.65√210 = 12.53 kg/cm2 1 12.53 (12 ∗ 100 ∗ 83 ) 𝑀𝑐 = 4 Mc= 0.134 ton*m Mu > Mc Entonces, no lo toma el concreto Considerando el refuerzo al centro d= 4 cm 3 Con un momento= 0.40 ton*m As= 2.94 cm2 / m → 1 ∅ 8 a 25 As para la losa (500+350): 850 k/m 850(1.2)2 𝑀= = 0.102 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 12 M= 10 200 kg*cm d= 4 cm As= 0.56 cm2 As min= 0.0018 * 100 * 8 = 1.44 Realizando una comparación entre las áreas de acero obtenidas por el corte, deflexión diferencial y As para la losa vemos cual es la más crítica. Dicha As la empleamos para los tres casos citados.

Escaleras transversales en voladizo: Para ciertos casos, las escaleras transversales pueden construirse como si fuesen vigas en voladizo, en donde cada escalón o paso actúa por separado y no forma parte del todo

El caso más utilizado es el A

w1 . 2

²

Diagrama de Momento Flector

Donde el M del diseño se produce en el empotramiento y es 𝑀 = seguridad se coloca el As a una distancia que la necesaria.

𝑊 𝐿2 2

, para mayor

La armadura secundaria puedo o no existir, no se diseña, se colocará para controlar mejor la posibilidad de grandes deflexiones o absorber mejor las vibraciones  Chequeo por corte: se chequea el corte en el extremo para mayor seguridad

√𝑐 > √𝑢 Si no cumple con ello, requeriría estribos. Ejemplo de caso de general

Cálculo del peso del muro:

Vol= 0.15 * 0.30 * 1 = 0.045 m3 =0.5 t/ m3 P= 0.5 * 0.045 P= 0.02 ton P s/c = 0.5 * 0.3 * 1.25 = 0.19 ton P1= 2.4 (0.10*1.4*0.3) = 0.1 ton P2=2.4 (0.10*1.4* 0.05/2) = 0.03 ton P acab= 0.1 * 0.3 * 1.4 =0.04 ton Pu= 1.5 (0.1 + 0.3 + 0.04 + 0.02) + 1.8 (0.19) Pu= 0.63 ton

Tomando momento M= 0.7 (1.5 * 0.1) + 0.7 (1.5 * 0.04) + 1.235 (1.5 * 0.02) + 1.4/3 (1.5 * 0.03) + 1.8 (0.19 * 0.625) M= 0.41 ton*m Si r= 3 cm D= 15 – 3 = 12 cm M= 0.42 → As= 0.99 cm2 → 2 ∅ 3/8  Chequeo por corte V= 0.63 ton 630 2 √𝑢 = 0.85∗30∗12 = 2.1 k/cm √𝑐 = 5.96 √𝑐 > √𝑢 , entonces no necesita estribos

Puede o no colocarse fuera de diseño para controlar deformaciones

Existen diversos tipos de escaleras en voladizo siendo las más importantes A) Apoyadas en muro de concreto En este caso el momento que se produce debido a la carga en el volado se transmite a la pared, en dos momentos: uno superior y otro inferior de acuerdo a la rigideces de la pared.

𝐾𝑠 𝐾𝑖 𝑀𝑠 = 𝑀𝑝 𝐾𝑠 + 𝐾𝑖 𝐾𝑖 + 𝐾𝑠 Donde Mp es igual al momento del peldaño 𝑀𝑖 = 𝑀𝑝

𝐼 𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑙𝑠 𝐼 𝑚𝑢𝑟𝑜 𝐾𝑖 = 𝑙𝑖 Como los escalones son en todo lo alto del muro hay que analizar para los tres casos más críticos 1. Cuando el escalón está en la parte más baja del muro: li ≠ 0 ls= max Por lo que: Ks → 0 Ki → ∞ 𝑀𝑠 ≈ 0 Mi= Mp 𝐾𝑠 =

2. Cuando el escalón está en la mitad del muro: ls= li por lo que Ks=Ki 𝐾𝑖 𝐾𝑖 Entonces 𝑀𝑖 = 𝑀𝑝 = 𝑀𝑝 = 0.5 𝑀𝑝 𝐾𝑠+𝐾𝑖 2 𝐾𝑖 𝐾𝑠 𝐾𝑠 𝑀𝑠 = 𝑀𝑝 = 𝑀𝑝 = 0.5 𝑀𝑝 𝐾𝑠 + 𝐾𝑖 2 𝐾𝑠

3. Si el escalón está en la parte superior del muro: li= max 𝑙𝑠 ≈ 0 Ki → 0 Ks → ∞ Por lo que: 𝑀𝑠 ≈ 𝑀𝑝 𝑦 𝑀𝑖 ≈ 0

El muro de concreto tiene refuerzo propio que muchas veces absorbe el momento, ya sea Ms o Mi  Conclusiones Se diseñara el muro para el momento total del peldaño que ocurre en los extremos

𝐴𝑠 =

𝑀𝑝

𝑎 ∅ 𝑓𝑦 (𝑑 − 2)

𝐴𝑠 𝑓𝑦 0.85 𝑓´𝑐 𝑏 b= ancho del peldaño 𝑠 = 0.5 𝑡𝑜𝑛/𝑚2 𝑐 𝑑=

Problema 2:

P.P = 2.4 (0.1 * 0.3) = 0.07 0.03 Acabados =Wd= 0.1 * 0.3 = 0.1 Wl= 0.5 * 0.3 = 0.15 Wa= 1.5 (0.1) + 1.8 (0.15)= 0.42 ton/m2 Mp= 0.5 (0.42) (1.4)2 = 0.41 ton*m d= 8 cm Si l= ls , Mi=0.5 Mp Entonces Mi= 0.5 (0.41)= 0.205 ton*m M= 0.205 → As=0.26 cm2

B) Apoyada en muro de ladrillo El muro de ladrillo no forma un conjunto monolítico en el apoyo por lo tanto hay que chequear la estabilidad del muro. Se chequea en cargas de trabajo.

Los esfuerzos que se producen son:

Como se trata de una sección rectangular tenemos que: 𝑒 𝑀𝑝 2 𝐼

=

𝑒 𝑀𝑝 2 𝑒3

𝑏 12

=

6 𝑀𝑝 𝑙2

Los esfuerzos totales son:

El 𝜎2 debe ser < 10 kg/cm2 que es el esfuerzo que resiste el ladrillo. Cuando existe una fuerza R sobre los ladrillo esto ayuda a la estabilidad del muro. Esta resultante es el paso de los ladrillos en una longitud o para que el peldaño no se desprenda.

Problema 3. Mp= 0.35 ton*m Pp= 1m* 0.3 * 500 Pp= 150 kg

A) Máximo esfuerzo en el ladrillo 6 (35000) 150 𝜎2 = 30(25)2 + 25∗30 = 9.8 𝑘/𝑐𝑚2

𝜎2 < 10 k/cm2 Entonces está bien el esfuerzo del ladrillo.

B) Estabilidad Primero se chequea sin considerar la losa del techo. R= peso de los ladrillos en una long b R=0 Mo que es el momento del peldaño hace que el muro se voltee.

𝑅 𝑎𝑏 < 𝜎2 (𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑎) 𝐹. 𝑆 𝐹. 𝑆 ≈ 2 Segundo considerando la losa de techo R= 3 * 3 * 500 = 4500 𝑅 𝑒𝑏

𝐹.𝑆

< 𝜎2 𝐹. 𝑆 = 2 4500 25 ∗ 30 = 12 > 9.8 2

Por lo tanto considerando la losa de techo, contrapone al momento del peldaño. C) Apoyada en una viga

Al ser ∝ la inclinación, el momento flector será: mf1= es el momento de flexión que se produce en la viga debido a cada peldaño. mt= momento de torsión que se produce en la viga debido a cada peldaño. mt= mp cos∝ El diagrama de mt es: Donde n= número peldaños.



𝑙−𝑑

de

Cuando se trabaja por metro lineal el 𝑀𝑡 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑡 ∗ 2 mf1= es muy pequeña y podría no considerarse, sin cometer errores considerables. mf= mp sen∝ Mf1= mf1 Momento de flexión de la viga

Donde:

Problema No. 4 Analizando el caso de una escalera en voladizo que está apoyada en una viga y que produce una flexión y torsión en dicha viga. El paso de la escalera tiene un área de acero que ha sido diseñada de acuerdo al problema anterior de escaleras transversales en voladizo. f´c= 4200 k/cm2 fy= 175 k/cm2 Wvu= 2.4 (0.25 * 0.6)= 0.36 ton/m Si no existe muro: Wt= 0.54 + 1.23 = 1.77 ton/m Mv(+)= 1/12 (1.77)(3)2 = 1.33 ton*m Mv(-)= 1/16 (1.77)(3)2 = 1.00 ton*m W´u= Wp * cos2 W´u= 1.23 * 0.172 = 0.93 ton/m d= 8 cm

𝑀𝑝 = Mp= 1.05 As= 3.66 cm2 l´= (3)2 + (1.2)2 = 3.24 m mf= mp sen∝ 1.2 mf= 1.05 3.24 = 0.39 M (-)= 1.33 – 0.39 = 0.94 ton*m M (+)= 1 + 0.39 = 1.39 ton*m

0.93 ∗ 32 = 1.05 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 8

M (-) = 0.94 y As= 0.51 cm2 M (+) = 1.39 y As= 0.76 cm2

Siempre es conveniente una As min absoluto = 0.00 18 bd 0.0018 * 25 * 54 = 2.43 cm2  Torsión Si el paso = 30 cm l= 3m, d=54 cm Como estábamos trabajando por metro lineal tenemos: 𝑙−𝑑 𝑀𝑡𝑢 = 𝑚𝑡 ∗ = 0.97 ∗ 1.23 = 1.19 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 2 3 𝑀𝑡 3(119000) 𝜏𝑢 = 𝜙 ∑ 𝑥 2𝑦 = 0.85∗(25)2∗6 = 11.2 K/ cm2 𝜏𝑚𝑖𝑛 = 0.398 𝑓´𝑐 = 5.27 K/ cm2 𝜏𝑢 > 𝑚𝑖𝑛 Entonces es necesario diseñar por torsión. 3.18 √𝑓´𝑐 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑢 √1 + (1.2 𝑢) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑉𝑢 𝜐𝑢 = 𝑏𝑑 Wú= 1.77 (3 3.24)2= 1.52 ton/m 𝑊´𝑙´ 𝑉𝑢 = − 𝑊´ 𝑑 2 1.52 ∗ 3.24 𝑉𝑢 = − 1.52 ∗ 0.54 2 = 1.64 𝑡𝑜𝑛

1640

𝜐𝑢 = = 1.43 K/cm2 0.85∗25∗0.54 𝜏𝑚𝑎𝑥= 39.32 K/cm2 𝜏𝑚𝑎𝑥> 𝜐𝑢 Entonces, las dimensiones son correctas Diseño por corte y torsión 𝑀𝑡𝑠 = 𝑀𝑡𝑢 = 𝑀𝑡𝑐 ∑ 𝑥 2𝑦 𝑀𝑡𝑐 = 𝜙 𝜏0 3 𝜏0 = 0.2 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏0 = 0.2 ∗ 39.32 = 7.86 t/cm2 252 ∗60

𝑀𝑡𝑐 = 0.85 ∗ 7.86 ∗ ( 3 ) = 0.84 ton*m 𝑀𝑡𝑠 = 1.19 − 0.84 =0.35 ton*m 𝐴0 𝑀𝑡𝑠 = 𝑆 𝜙Ω 𝑥1 𝑦1 𝑓𝑦 𝑦1 Ω = 0.66 + 0.33 < 1.5 𝑥1 52 Ω = 0.66 + 0.33 < 1.5 17 Ω = 1.67 < 1.5 Ω = 1.50 𝐴0 35 000 Entonces 𝑆 = 0.85∗1.5∗17∗52∗4200 = 0.010 cm2/cm Por corte: Vs= Vu – Vc 𝑉𝑐 = 𝜙 𝜐𝑐 𝑏 ∗ 𝑑 = 0.85

0.53 √175 √1 + 1 ( 0.25)

25 ∗ 40

𝑉𝑐 = 3.59 ton 𝑉𝑢 = 1.64 𝑡𝑜𝑛 Vs= 1.64 -3.59= -1.95 ton no necesita armadura por corte 2 𝐴𝑜 Entonces, 𝑆 = 0.020 cm2/cm

3.52

𝑏

𝑓𝑦

25

= 3.52 ∗ 4200 = 0.02 cm2/cm

0.020= 0.02 Se usa 0.02 cm2/cm 1 Cuando 𝜙 4 𝑎 25 𝑐𝑚 A= 0.64 cm2

0.64

𝑆 = 0.02 = 32 cm √ Max separación = ancho de viga 1 Entonces, se considera 𝜙 4 𝑎 25 𝑐𝑚 Refuerzo longitudinal y refuerzo por flexión Al por torsión 2 𝐴𝑜 (𝑥1 + 𝑦𝐼 ) = 0.02(17 + 52) 𝐴𝑙 = 𝑆 𝐴𝑙 = 1.38 cm2 28.12 𝑥 𝜏𝑢 𝐴𝑜 𝐴𝑙 = ( 𝑓𝑦 (𝜏𝑢+ 𝜐𝑢) − 2 𝑆 ) (x1+y1) 𝑏

Esto es cuando 3.52 𝑓𝑦 < 2 𝐴𝑙 = 8.86 cm Se usará 𝐴𝑙 = 8.57 cm2 El área será: 𝐴𝑙 𝐴𝑡 = 𝐴𝑠 + 3

𝐴𝑜 𝑆

)

2

La torsión es en toda la longitud, por lo tanto se debe dividir el Al que resulte entre tres para darle mayor armado.

Como el As min es En los extremos: 8.86 At(-) = 2.43 + 3 = 5.38 cm2

(2 𝜙 4)

=2.95 cm2

(4 𝜙 8)

At =

8.86 3

At(+) = 2.43 +

8.86 3

3 3

3

= 5.38 cm2

(2 𝜙 4)

En el centro: 8.86 At (-) = 0 + 3 = 2.95 cm2

(2 𝜙 8)

= 2.95 cm2

(4 𝜙 8)

At=

8.86 3

At (+)= 2.43 + 0 = 2.43 cm2

3

3

1

(2 𝜙 2) 1

El refuerzo en las cargas laterales 3 𝐴𝑙 ≈ 2.95 cm2 2.95

3

Cada cara 2 = 1.48 cm2 (2 ∅ 3) El As total:

𝑎𝑠 =

𝑝𝑠 − 𝑐 𝑞 0.019 × 30 × 5 = 4 5

𝑎𝑠 = 0.70 𝑐𝑚 2 (∅ 3⁄8) 𝑔≤

𝐷 22 = = 3.67 𝑐𝑚 6 6

Como las cargas son muy pequeñas no es necesario el zuncho por lo que podría ir con el criterio de estribado.

𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 

16 ∅ 1⁄2 48 ∅ 1⁄4 30 𝑐𝑚

Se usará:

6 ∅ 1⁄4 @ 20

Capítulo V Escalera Autoportante Para analizar este tipo de escaleras considera se considera como un pórtico con un momento en el descanso intermedio transferido entre las ramas por una torsión desarrollada a través del descanso. El método de análisis usado depende de la condición de soporte del descanso superior. Si la reacción horizontal puede ser desarrollada, la clásica distribución de momentos puede ser usada considerando la escalera sin translación.

Por otro lado si solo la reacción vertical puede ser desarrollada, el punto D puede trasladarse. Para evitar una corrección de deflexión al procedimiento de distribución de momentos, el problema puede ser resuelto por el teorema de Castigliano respecto a la energía de deformación. Pero un apoyo fijo al punto a, el momento de distribución puede nuevamente ser usado y para una escalera con el extremo completamente libre, el momento puede ser resuelto por estática. Para el caso en el cual el apoyo superior sea flexible, la estructura puede ser resuelta por el teorema de Castigliano. El énfasis se hace como si fuera una estructura articulada. Si se supone que el punto D no sufre desplazamiento, se considerará un apoyo ficticio en dicho punto, calculándose así el diagrama de momento y el área de acero respectiv amente.

Cuando se aplica la reacción 𝑅𝐵 se produce además dos fuerzas, una de tensión (T) en la rampa superior y otra de compresión (C) en la rampa inferior, provocando esfuerzos, tal como se indica:

Las fuerzas T y C son excéntricas para cada una de las rampas, proyectando la fuerza T, mediante un momento y una fuerza, hasta el centro de la rampa. 𝑇1 = 𝑇 𝑀=𝑇 ∙

𝑏+𝑚 2

Calculando el esfuerzo 𝑓1 : 𝑓1 =

𝑇 𝑀𝑦 ± 𝐴 𝐼

∙ 𝑏2 𝑇 𝑇 ∙ 𝑏+𝑚 2 𝑓1 = − 1 3 𝑏𝑡 ∙𝑡𝑏 12

𝑓1 =

𝑓1 =

𝑇 𝑏

[1 −

𝑅𝐵 1𝑠𝑒𝑛∝

3( 𝑏 + 𝑚 )

[1 −

]

𝑏

3( 𝑏 + 𝑚 ) 𝑏

]

De igual manera 𝑓2 =

𝑅𝐵

[1 + 𝑡𝑠𝑒𝑛∝

3( 𝑏 + 𝑚 )

]

𝑏

Similarmente trasladamos la fuerza C al centro de la rampa y calculamos los esfuerzos. 𝑓3 = −

𝑓4 =

𝑅𝐵 𝑡𝑠𝑒𝑛∝

𝑅𝐵

[1 +

[1 − 𝑡𝑠𝑒𝑛∝

3( 𝑏 + 𝑚 )

]

𝑏

3( 𝑏 + 𝑚 ) 𝑏

]

Los esfuerzos de flexión horizontal y vertical que se van a presentar en el descanso y que luego se les va a calcular su armadura.

Horizontalmente en el descanso: según los diagramas de fuerzas, tenemos que el diagrama horizontal.

f

Para calcular acero para estos momentos se calcula como si fuera una viga de alto h. Se comprueba si el concreto toma. 𝑓=

𝑀𝑢 𝐼

< 2√𝑓′𝑐

Verticalmente en el descanso:

Sumando todos los componentes, pues son iguales, se tiene que: 𝐹=

3 𝑅 (𝑏+𝑚) 4 𝐵

Y el momento será: 𝑀𝑢 = 𝐹 ×

2𝑏 𝑅𝐵 𝑏 = (𝑏+𝑚) 3 2

Al sumar los dos efectos se considerará solo la torsión, pues es el más crítico. La armadura en el descanso se coloca en la mitad de él pues es la parte más crítica, en el resto se pone el área de acero mínimo.

Armaduras en Rampas:

Esta armadura solo se diseñara bajo los efectos de la flexión vertical pues es la más importante.

En los lados internos dela rampa se coloca acero, pues existe una fuerza de tiramiento que forma un momento alrededor del eje de la escalera lo que hace que en la rampa superior se produzca esfuerzos de flexo compresión. 𝑓= ±

𝑀 𝐹 + 2 𝑏 ℎ 𝑏ℎ

Si este 𝑓 < 𝑓𝑚𝑎𝑥 permisible que es 0.065√𝑓′𝑐 no requiere armadura y si es mayor se diseña por flexo compresión y flexo tracción.

Armadura de empotramiento

El efecto de deflexión aumenta la flexión de las dos rampas y no se puede despreciar aun siendo pequeña. El efecto de torsión se va a despreciar por ser pequeño, pues lo puede absorber el concreto.

De acá sabemos que: 𝛿1 = También

𝑃𝐿 𝑅𝐵 𝑙 = 𝐴𝐸 𝐸 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝛼

𝑀𝑐 𝐼 𝑡𝑏3 𝐼= 12 𝑅𝐵 𝑏 ( 𝑏+𝑚 ) 𝑏 ( 𝑏+𝑚 ) 𝑅𝐵 𝑀= = (𝑠𝑒𝑛𝛼 ) 2𝑠𝑒𝑛𝛼 2 𝐹=

𝑓= 𝑓= 𝑓= Tomando solo la mitad 𝑓=

𝑏 ( 𝑏+𝑚 )𝑅𝐵 𝑡𝑏3

C

𝑡𝑏3

C

2𝑠𝑒𝑛𝛼 ( ) 12 𝑏 ( 𝑏+𝑚 )𝑅𝐵 2𝑠𝑒𝑛𝛼 ( ) 12 6( 𝑏+𝑚 )𝑅𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 ( 𝑡𝑏2 ) 3( 𝑏+𝑚 )𝑅𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 ( 𝑡𝑏2 )

C C

( 𝑏+𝑚 )

𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 3( 𝑏 + 𝑚 )2 𝑅𝐵 𝑓= 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ( 𝑡𝑏2 )

Pero

𝛿2 =

3 𝑙( 𝑏 + 𝑚 )2 𝑅𝐵 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 (𝐸 𝑡 𝑏2 )

Sumando: 𝛿𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2 𝑅𝐵 𝑙 3 ( 𝑏 + 𝑚 )2 𝛿𝑡 = ∙ (1 + ) 𝐸 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑏2 Haciendo una analogía:

𝛿𝑡 =

𝑅′𝐵 𝑙 2𝑙′ 3𝐸

𝑡3 12

=

4𝑅′𝐵 𝑙 2𝑙′ 𝐸𝑡 3

𝑅 𝑙´

𝐵 = 𝐸 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ∙ (1 + 2𝛼

3 ( 𝑏+𝑚 )2 𝑏2

)

𝑅𝐵 𝑡 2 3(𝑏 + 𝑚 ) 𝑅′𝐵 = 2 (1 + ) 4 𝐼 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑏2 𝑀=

𝑅′𝐵 𝑙

Armadura por tensión

Armadura de Flexión en el empotramiento

Por suma de fuerzas

0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 𝐻′𝑢 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑎=

𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐻′𝑢 0.85𝑓′𝑐 𝑏

Por suma de momentos

𝐴𝑠 𝑓𝑦 ( 𝑑 −

𝑐 ) 2

−

𝐻′ 𝑢 ∅

(

𝑡 2

𝑎

𝑀′𝑢

2

∅

− )=

𝐴𝑠 =

Se considera la mayor armadura

Problema de Ejemplo

𝑡 𝑎 − ) 𝑀𝑢 2 2 ∅ 𝑓𝑦 ( 𝑑 − 𝑎2)

𝐻′𝑢 (

Como la escalera entra perpendicularmente al sentido del techado, su análisis se puede considerar articulado conservadoramente. Si fuera paralelo al sentido del techado se podría considerar empotrado. Las cargas en la rampa son: 𝑝. 𝑝 = 0.252 × 2400 = 654.8 𝑘/𝑚 2 𝑝. 𝑡 → 𝑊𝐷 =

50 654.8 𝑘/𝑚 2

𝑠 = 500 𝑘/𝑚2 𝑐 𝑊𝑢 = 1.5(654.8) + 1.8 (500) 𝑊𝑢 = 1882.2 𝑘/𝑚2 Problema Ejemplo de escaleras Autoportante

Si h= 2.80 mts N° de pasos = 18 cm

𝐶 = 280/18 = 16 𝑐𝑚 𝑠 𝑘𝑔 = 500 𝑐 𝑐𝑚2 𝑘𝑔 𝑓´𝑐 = 210 𝑐𝑚2 𝑘𝑔 𝑓𝑦 = 4200 𝑐𝑚2 𝑡1 = 17.2 𝑇𝑀 = 25.2 ∞ = 30° Como la escalera entra perpendicular al sentido del techado, su análisis se puede considerar articulado conservadoramente. Si fuera paralelo al sentido del techado se podría considerar empotrado. Las cargas en las rampas son: 𝑘 𝑝. 𝑝 = 0.252 𝑥 2400 = 604. 8 2 𝑚 50 𝑝. 𝑡 𝑊𝐷 = 654.8𝑘 𝑚2 𝑠 𝑘𝑔 = 500 𝑐 𝑐𝑚2 𝑊𝑢 = 1.5( 654.8) + 1.8 (500) = Las cargas en el descanso son: 𝑝. 𝑝 =

1882.2𝑘 𝑚2

0.20 + 10 𝑘 𝑥 2400 = 360 2 2 𝑚

50𝑘 𝑚2 410𝑘 𝑝. 𝑡 𝑚2 1515𝑘 𝑊𝑢 = 1.5( 410) + 1.8 (500) = 𝑚2 Momentos Longitudinales

𝑀𝐴 𝑀𝑎𝑥 (+) = 1500 𝑘 − 𝑚𝑡 𝑀𝐵(+) = 440 𝑘𝑔 − 𝑚𝑡 𝑅𝐴 = 2.38 𝑡𝑜𝑛 𝑅𝐵 = 2.70 𝑡𝑜𝑛 Considerando sobre carga también en el descanso

𝑀 (−) 𝐵 𝑚𝑎𝑥 = 1090 𝑘𝑔 − 𝑚𝑡 𝑅𝐵 = 2940 𝑘𝑔 Altura útil para el mayor momento: 1500 𝑑=√ = 7.04 𝑐𝑚 25.2 𝑥 1.2 Como h= 15 cm, d= 15-3= 12 cm Calculando 𝐴𝑆 (+) → 𝑀 = 1500 𝑘 − 𝑚𝑡 𝐴𝑆 = 3.67 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 → 3∅ Calculando 𝐴𝑆 (−) → 𝑀 = 1090 𝑘 − 𝑚𝑡 𝐴𝑆 = 2.67 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 → 4∅

𝐴𝑆 𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 𝑥 12 𝑥 100 = 2.16 𝑐𝑚2 Armadura transversal en el descanso 𝑅𝐵 𝑏(𝑏 + 𝑚) 2.94 𝑥 1.2(1.2 + 0.10) 𝑀 (−) = = = 2293.2 𝑘 − 𝑚𝑡 2 2 5 𝑀 (−) = 2293.2 𝑘 − 𝑚𝑡 → 𝑑 = 12 → 𝐴𝑆 (−) = 5.62 → 3∅ 8 𝑓1 𝑡 cos 𝛾 =

𝑅𝐵 3(𝑏 + 𝑚) 2940 3(1.2 + 0.1) 𝑘𝑔 (1 − )= (1 − ) = −12,757.54 1.4 𝑡𝑔𝛾 𝑏 1.2 𝑚𝑡 2.7

𝑓2 𝑡 cos 𝛾 =

2940 3(1.2 + 0.1) 𝑘𝑔 (1 + ) = 24,097.5 1.4 1.2 𝑚𝑡 2.7

𝑓3 𝑡 cos 𝛾 = −

𝑅𝐵 3(𝑏 + 𝑚 ) 2940 3(1.2 + 0.1) 𝑘𝑔 (1 + )− (1 + ) = −24,097.5 1.4 𝑡𝑔𝛾 𝑏 1.2 𝑚𝑡 2.7

𝑓4 𝑡 cos 𝛾 = −

2940 3(1.2 + 0.1) 𝑘𝑔 (1 − ) = 12,757.5 1.4 1.2 𝑚𝑡 2.7

𝜉=𝑏 𝜉 = 1.2

𝑓1 𝑓1 + 𝑓2

−12,757.5 −12,757.5 + 24,097.5 𝜉 = 1.35 𝑚𝑡

Calculando las fuerzas tenemos: 𝐹1 = 𝐹1 =

1 12,757.5 𝑓1 1 𝑐𝑜𝑠𝛾(𝜉 ) = 𝑥 1.35 = −8,611.81 𝑘𝑔 2 2

1 24,097.5 𝑓2 1 𝑐𝑜𝑠𝛾(𝜉 ) = 𝑥 1.35 = 16,265.81 𝑘𝑔 2 2

𝐹3 = −16, 262.81 𝑘𝑔 𝐹4 = 8, 611.31 𝑘𝑔

Calculando Mtos. Tenemos: 𝑀 = 𝐹2 𝑎 2 − 𝐹1 𝑎1 𝑀 = 𝐹4 𝑎4 − 𝐹3 𝑎3 Donde: 𝑎1 = 𝑏 −

𝜉 = 𝑎3 3

𝑎2 = 𝑏 −

𝜉 = 𝑎4 3

1.2 − 1.35 1.2 − 1.35 ) + 8.6 ( ) = 5.64 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚𝑡 3 3 𝑀 = 5.64 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚𝑡 𝑀 = 16.27 (

Chequeando si el concreto toma este momento: 𝑀𝑢 𝑒 f= <2 √𝑓 ′ 𝑐 𝐼 1 1 (150)(20)3 = 100,000𝑐𝑚4 I: 𝑏ℎ3 = 12 12 c = 10 𝑐𝑚. 564000𝑥10 f= = 56.4 𝑘/𝑐𝑚2 100000 El esfuerzo que toma el concreto es: fc = 2 √𝑓 ′ 𝑐 = 2 √210 = 28.98 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 56.4 > 28.98 ∴ el esfuerzo no lo toma el concreto con un Mto 5.64 y d= 1.2-0.05 = 1.15mt. As = 1.44cm2 → 2 ∅ 3/8

flexo tracción para la rampa superior: F (b + m) M= 2 𝑅𝐵 𝑏 2940 𝑥 1.2 F= = = 8064 𝑘𝑔. 1.4 𝑠𝑒𝑛 ∝ 3.2 8064 (1.2 + 0.10) M= = 5241.6 kg − mt 2 Flexo tracción para la rampa inferior RA b 2380 x 1.2 F= = = 6528 kg. 1.4 𝑠𝑒𝑛 ∝ 3.2 F (b + m) 6528 x (1.2 + 0.10) M= = = 4243.2 kg − mt 2 2 ∴ usaremos M = 5241.6 kg -mt. 1) para flexo compresión 6M F 6 x 524160 8064 f= ± + = ± + 2 2 tb tb 15 (120) 15 x 120 k 19.04 2 < 0.85 f ′ c esfuerzo permisible en compresión cm f= { k −10.08 < −12.49 esfuerzo permisible en tracción cm2 ∴ pasa en flexo compresión en tracción 2) por flexo tracción 6M F 6 x 524160 8064 f= ± − = ± − t b 2 tb 15 (120)2 15 x 120 + 10.08 < 178.5 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 compresión −19.04 < −12.49 no pasa por tracción h a Mu − Tu ( − ) 2 2 As = a fy (d − 2) h = 120 cm. recub. = 5 cm. d = 115 cm. f= {

𝑎

Si 𝑑 − 2 = 0.9𝑑 𝑎 𝑑 − = 0.9 𝑥 115 = 104 𝑐𝑚. 2

120 524160 − 8064 ( 2 − 0.1 𝑥 115) 𝐴𝑠 = 0.9 𝑥 4200 (104) 𝐴𝑠 = 0.34 𝑐𝑚2 1𝜑 3/8

Armadura por tensión

𝐴𝑠 =

𝑀𝑢 𝜑 𝑓𝑦

𝑀𝑢 = 𝑀𝑢 =

𝑅𝑏 𝑍 ℎ 2.94 𝑥 2.7 2.8

= 2.8 𝑡𝑜𝑛

2800 = 0.83 𝑐𝑚2 0.9 𝑥 4200 Calculando Momento de empotramiento : 𝑀𝑢 = 𝑅′𝐵 𝑥 𝑙 𝑅𝐵 𝑡 2 3 (𝑏 + 𝑚 )2 𝑅′𝐵 = (1+ ) 4 𝑙 2 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑏2 4.525 𝑥 0.202 3 (1.20 + 0.10)2 𝑅′𝐵 = (1+ ) 1.22 1 2 2 4 𝑥 2.7 𝑥 (2) 𝑅′𝐵 = 0.11 𝑡𝑜𝑛. 𝑀 = 0.11 𝑥 1.2 = 0.13 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 Por lo tanto 1 𝑎 𝑀𝑢 + 𝐻′ 𝑢 (2 − 2) 𝐴𝑠 = 𝑎 𝜑 𝑓𝑦 (𝑑 − 2) 𝐴𝑠 =

𝐻′ 𝑢 =

2.8

= 3.2 √3 2 Primer tanteo con a = 8 cm 15 8 1300 + 3200 ( 2 − 2) 11200 𝐴𝑠 = = = 0.37 8 30240 0.9 𝑥 4200 (12 − 2) 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐻′𝑢 0.37 𝑥 4200 − 3200 𝐴𝑠 = = = 0.1 0.85 𝑓′𝑐 𝑏 0.85 (175)(100) 1300 + 3200 (7.4) 36680 𝐴𝑠 = = = 0.68 𝑐𝑚2 0.9 𝑥 4200 (13.9) 58380 a= 0.1

Diseñando la viga (flexion horizontal) a) Sabemos 𝐹 =

𝑅𝐵 ℎ 𝑠𝑒𝑛

𝐹 = 16012 𝑘𝑔.

𝑀=

16012 𝑥 1.5 = 300.2 𝑘𝑔 − 𝑚 8 𝐴𝑠𝑣 = 2.69 𝑐𝑚 2

Flexión vertical

Suponiendo Datos

Suponiendo W= 5450 kg/m

5450 (1.5)2 12 𝑀 = 1022 𝑘𝑔 − 𝑚 𝐴𝑠𝑣 = 1.77 𝑐𝑚2 𝑀=

Verificando por Asmin 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0016 𝑥 50 𝑥 26 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 2.34 𝑐𝑚2 𝐴𝑠 ℎ 𝐴𝑠 (+) = + 𝐴𝑠𝑣 = 3.69 𝑐𝑚2 → 3 ∅ 1/2 2 𝐴𝑠 ℎ 2.69 𝐴𝑠 (−) = = = 1.35 𝑐𝑚2 → 2 ∅ 3/8 2 2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑠 (+) + 𝐴𝑠 (−) Por lo tanto no se considera Asmin