Analisis transformadores (problemas)

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD CUAUHTÉMOC

Tarea 5 Circuito Equivalente del Transformador Alán Israel Mora Domínguez

4.4.- Un transformador reductor de 2.4 kVA, 2400/240 V y 50 Hz tiene los parámetros siguientes: R1 = 1.5 Ω X1 = 2.5 Ω R2 = 0.02 Ω X2 = 0.03 Ω Rc = 6 kΩ Xm = 8 kΩ Opera a 80% de su carga con un factor de potencia igual a la unidad. Use el circuito equivalente exacto que incorpora al transformador ideal para determinar la eficiencia del transformador. También trace su diagrama fasorial.

𝑆80% = 1920 𝑉𝐴 𝐹𝑃 = 1 𝛼=

𝑉𝑝 𝑉𝑠

𝐼𝑝 = 𝐼𝑠 =

𝑆 𝑉𝑝 𝑆 𝑉𝑠

= 10 = =

1920 2400 1920 240

= 0.8 𝐴 =8𝐴

𝒁𝒑 = 𝑅𝑝 + 𝑗𝑋𝑝 = 1.5 + 𝑗2.5 = 2.9154∠59.03˚ 𝛺 𝒁𝒔 = 𝑅𝑠 + 𝑗𝑋𝑠 = 0.02 + 𝑗0.03 = 0.03608∠56.30˚ 𝛺 𝑽𝒛𝒑 = 𝑰𝒑𝒁𝒑 = 0.8 2.9154∠59.03˚ = 2.332∠59.03˚ 𝑣 𝑽𝒛𝒔 = 𝑰𝒔𝒁𝒔 = 8 0.03608∠56.30˚ = 0.2884∠56.3˚ 𝑣 𝑬𝒑 = 𝑽𝒑 − 𝑽𝒛𝒑 = 2400 − 1.2 + 𝑗2 = 2397.3∠ − 0.04˚ 𝑣 𝑬𝒔 = 𝑽𝒔 + 𝑽𝒛𝒔 = 240 + 0.2884∠56.3˚ = 240.1601∠0.05˚ 𝑣

𝑰𝒉+𝒆 = 𝑰𝒎 =

𝑬𝒑 𝑹𝒄

𝑬𝒑 𝒋𝑿𝒎

2397.3∠−0.04˚

= =

= 0.3995∠ − 0.04˚ 𝐴

6000 2397.3∠−0.04˚ 8000∠90˚

= 0.2996∠ − 90.04˚ 𝐴

𝑰𝒆𝒙 = 𝑰𝒉+𝒆 + 𝑰𝒎 = 0.3995∠ − 0.04˚ + 0.2996∠ − 90.04˚ = 0.4991∠ − 36.9˚ 𝐴 𝑰𝟏 = 𝑰𝒆𝒙 + 𝑰𝒑 = 0.4991∠ − 36.9˚ + 0.8 = 1.2359∠ − 14.0283˚ 𝐴

𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝐼𝑝2 𝑅𝑝 + 𝐼𝑠 2 𝑅𝑠 = (0.8)2 1.5 + (8)2 0.02 = 2.24 𝑊 𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑉𝑝 2 𝑅𝑐

=

2400 6000

2

= 960 𝑊

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 1920 − 960 + 2.24 = 957.76 𝑊 𝜂=

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑥100 =

957.76 1920

100 = 49.88 %

4.5.- Si el transformador del ejercicio 4.4 alimenta la carga especificada con un factor de potencia de 0.8 en atraso, calcule su eficiencia mediante el circuito equivalente aproximado como se observa desde el lado secundario. También trace su diagrama fasorial.

𝑅𝑝′ =

𝑅𝑝 𝛼2

𝑗𝑋 𝑝 ′

𝑗𝑋𝑝′ = 𝑉𝑝′ = 𝑅𝑐′ =

=

𝛼2

𝑉𝑝 𝛼 𝑅𝑐 𝛼2

𝑗𝑋𝑚′ =

= =

𝑗𝑋𝑚 𝛼2

1.5

=

= 0.015 𝛺

2

10

𝑗 2,5 100

2400

= 240 𝑣

10 6000 10

=

= 𝑗0.025 𝛺

= 60 𝛺

2

𝑗 8000 100

= 𝑗80 𝛺

𝐹𝑃 = cos 𝜃 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 𝜃 = cos −1 𝐹𝑃 = 36.86˚ 𝐼𝑠 =

𝑆80% 𝑉𝑠

=

1920 240

=8𝐴

𝑰𝒔 = 8∠36.86˚ 𝐴 𝑰𝒑′ = 𝑰𝒔 𝒁𝒑′ = 0.015 + 𝑗0.025 = 0.0291∠59.03˚ 𝛺 𝒁𝒔 = 0.02 + 𝑗0.03 = 0.036∠56.3˚ 𝛺

𝑽𝒛𝒑′ = 𝑰𝒑′ 𝒁𝒑′ = 8∠36.86˚ 0.0291∠59.03˚ = 0.2328∠95.89˚ 𝑣 𝑽𝒛𝒔 = 𝑰𝒔𝒁𝒔 = 8∠36.86˚ 0.036∠56.3˚ = 0.288∠93.16˚ 𝑣

𝑬𝒑′ = 𝑽𝒑′ − 𝑽𝒛𝒑′ = 240 − 0.2328∠95.89˚ = 239.9763∠ − 0.05˚ 𝑣 𝑰′𝒉+𝒆 = 𝑰′𝒎 =

𝑬𝒑′ 𝑹𝒄′

𝑬𝒑′ 𝒋𝑿𝒎′

= =

239.9763∠−0.05˚ 60 239.9763∠−0.05˚ 80∠90˚

= 3.9996∠ − 0.05˚ 𝐴 = 2.9997∠ − 90.05˚ 𝐴

𝑰′𝒆𝒙 = 𝑰′𝒉+𝒆 + 𝑰′𝒎 = 3.9996∠ − 0.05˚ + 2.9997∠ − 90.05˚ = 4.9992∠ − 36.91˚ 𝐴 𝑰′𝟏 = 𝑰′𝒆𝒙 + 𝑰′𝒑 = 4.9992∠ − 36.91˚ + 8∠36.86˚ = 10.552∠9.8˚ 𝐴 𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝑰𝒑′𝟐 𝑹𝒑′ + 𝑰𝒔𝟐 𝑹𝒔 = (8∠36.86˚)2 0.015 + (8∠36.86˚)2 0.02 = 0.6279 𝑊 𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑉𝑃2 2402 = = 960 𝑅𝐶 60

𝑝𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑝𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 1920 − 960 + 0.6279 = 959.3721 𝑊 𝜂=

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 959.3721 𝑥100 = 100 = 49.96 % 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 1920

4.6.- Si el transformador del ejercicio 4.4 opera a 50% de su carga especificada con un factor de potencia de 0.5 en atraso, calcule su eficiencia mediante los circuitos equivalentes exacto y aproximado referidos al lado primario. Elabore una tabla comparativa de los errores porcentuales en las corrientes, voltajes, potencias y eficiencia debido a la aproximación.

𝐹𝑃 = cos 𝜃 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 𝜃 = cos −1 𝐹𝑃 = 60˚ 𝑆50% = 1200 𝑉𝐴 𝐹𝑃 = .5 𝑉𝑝

𝛼=

𝑉𝑠

𝑠50%

𝐼𝑝 = 𝐼𝑠 =

= 10 =

𝑉𝑝 𝑠50% 𝑉𝑠

=

1200 2400 1200 240

= 0.5∠60𝐴 = 5∠60𝐴

𝒁𝒑 = 𝑅𝑝 + 𝑗𝑋𝑝 = 1.5 + 𝑗2.5 = 2.9154∠59.03˚ 𝛺 𝒁𝒔 = 𝑅𝑠 + 𝑗𝑋𝑠 = 0.02 + 𝑗0.03 = 0.03608∠56.30˚ 𝛺 𝑽𝒛𝒑 = 𝑰𝒑𝒁𝒑 = 0.5∠60 2.9154∠59.03˚ = 1.4577∠119.03 𝑣 𝑽𝒛𝒔 = 𝑰𝒔𝒁𝒔 = 5∠60 0.03608∠56.30˚ = 0.1804∠116.3˚ 𝑣 𝑬𝒑 = 𝑽𝒑 − 𝑽𝒛𝒑 = 2400 − 1.4577∠119.03𝑣 = 2400.7076∠ − 0.03041 𝑣 𝑬𝒔 = 𝑽𝒔 + 𝑽𝒛𝒔 = 240 + 0.1804∠116.3˚ = 239.92∠0.0384˚ 𝑣 𝑰𝒉+𝒆 = 𝑰𝒎 =

𝑬𝒑 𝑹𝒄

𝑬𝒑 𝒋𝑿𝒎

2400.7076∠−0.03041 ˚

= =

6000 2400 .7076 ∠−0.03041˚ 8000∠90˚

= 0.4001∠ − 0.03041˚ 𝐴 = .3∠ − 90.03˚ 𝐴

𝑰𝒆𝒙 = 𝑰𝒉+𝒆 + 𝑰𝒎 = 0.4001∠ − 0.03041˚ + . 3∠ − 90.03˚ = 0.49939∠ − 36.8074˚ 𝐴 𝑰𝟏 = 𝑰𝒆𝒙 + 𝑰𝒑 = 0.49939∠ − 36.8074˚ + 0.5∠60 = 0.66198∠11.6697˚ 𝐴 𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝐼𝑝2 𝑅𝑝 + 𝐼𝑠 2 𝑅𝑠 = (0.5∠60)2 1.5 + (5∠60)2 0.02 = −.4375 𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑉𝑝 2 𝑅𝑐

=

2400 6000

2

= 960 𝑊

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 1200 − 960 − .4375 𝜂=

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟 𝑎𝑑𝑎

𝑥100 =

𝑊

240.4375 1920

100 = 12.52%

= 240.4375 𝑊

4.9.- Un transformador elevador de 240 kVA y 480/4800 V tiene las constantes siguientes: RH = 2.5 Ω XH = 5.75 Ω RL = 25 mΩ XL = 57.5 mΩ El transformador opera a 50% de su carga especificada. Si la carga es puramente resistiva, determine: a) El voltaje aplicado en el lado primario b) La corriente en el secundario c) La corriente primaria d) La eficiencia del transformador 480

∝= 4800 = 0.1 𝐼𝑠 =

240000 4800

= 50𝐴 ∗ 0.5 = 25𝐴

𝑍ℎ = 2.5 + 𝑗5.75 𝐸𝑧 = 𝑉𝑠 + 𝑍ℎ (𝐼𝑠) 𝐸𝑧 = 4800 + 2.5 + 𝑗5.75(25) 𝐸𝑧 = 4800 + 6.2699681∠66.5014343(25) 𝐸𝑧 = 4800 + 156.74∠66.5014343 𝐸𝑧 = 4800 + 62.49631 + 𝑗143.47 𝐸𝑧 = 62408∠1.69322 25

𝐼𝑠 = 0.1 = 250𝐴 𝑃𝑒𝑛𝑡 = 120000𝐴 𝑃𝑐 = (250𝐴)2 25𝑚Ω + (25𝐴)2 2.5Ω = 3125 𝑃𝑛 = (120000 − 3125) = 116875 116875

𝜂 = 120000 = 97.39%

4.11.- Un transformador reductor de 100 kVA, 2500/125 V y 50 Hz tiene los parámetros siguientes: RH = 1.5 Ω XH = 2.8 Ω RL = 15 mΩ XL = 20 mΩ Rc = 3 kΩ Xm = 5 kΩ El transformador alimenta 85% de la carga especificada a un voltaje terminal de 110 V y un factor de potencia de 0.866 en atraso. Determine: a) La pérdida en el núcleo b) La pérdida en el cobre c) La eficiencia del transformador

𝑆85% = 85000 𝑉𝐴 𝐹𝑃 = .866 En atraso 𝛼=

𝑉𝑝 𝑉𝑠

= 20

A) 𝑆

85000 110

𝐼𝑠 = 𝑉𝑠 = 𝐼𝑝 =

𝐼𝑠 𝛼

=

= 772.7272 𝐴 = 772.7272∠30

772.7272 20

= 38.6363∠30 𝐴

𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝐼𝑝2 𝑅𝑝 + 𝐼𝑠 2 𝑅𝑠 = (38.6363∠30 𝐴)2 1.5 + (772.7272∠30)2 1.5𝑚Ω = 3134.801∠60 𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 1567.8743 𝑊

B) 𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑉𝑝 2 𝑅𝑐

=

2200 2 3000

= 613.33 𝑊

C) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 100000 ∗ .85 ∗ .866 = 73610𝑊 𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 73610𝑊 − 1567.8743 + 613.33 = 70428.7957 𝑊 𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝜂=𝑃

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑥100 =

70428 .7957 73610

100 = 95.67 %

4.12.- Los parámetros de un transformador elevador de dos devanados y 12 kVA, 120/480 V y 60 Hz son: RH = 0.6 Ω XH = 1.2 Ω RL = 0.1 Ω XL = 0.3 Ω Rc = 3.2 kΩ Xm = 1.2 kΩ El transformador opera a 80% de su carga con un voltaje terminal especificado y un factor de potencia de 0.866 en atraso. Determine las perdidas en el cobre y en el núcleo y la eficiencia del transformador.

𝑆80% = 9600 𝑉𝐴 𝐹𝑃 = .866 En atraso 𝑉𝑝 𝑉𝑠

𝛼=

= 0.25

A) 𝐼𝑠 =

𝑆 𝑉𝑠

=

9600 480

𝐼𝑝 =

𝐼𝑠 𝛼

=

20∠30 𝐴 0.25

= 20 𝐴 = 20∠30 𝐴 = 80∠30 𝐴

𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝐼𝑝2 𝑅𝑝 + 𝐼𝑠 2 𝑅𝑠 = (80∠30 𝐴)2 0.1 + (20∠30 𝐴)2 0.6 = 440 𝑊

B) 𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑉𝑝 2 𝑅𝑐

=

120 2 3200

= 4.5 𝑊

C) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 12000 ∗ .80 ∗ .866 = 8313.6 𝑊 𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 8313.6 𝑊 − 440 𝑊 + 4.5𝑊 = 7869.1 𝑊 𝜂=

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑥100 =

7869.1 8313 .6

100 = 94.65 %

4.13.- Repita el problema 4.12 si el factor de potencia de la carga es de 0.866 en Adelanto. 𝑆80% = 9600 𝑉𝐴 𝐹𝑃 = .866 En adelanto 𝛼=

𝑉𝑝 𝑉𝑠

= 0.25

A) 𝐼𝑠 =

𝑆 𝑉𝑠

=

9600 480

𝐼𝑝 =

𝐼𝑠 𝛼

=

20∠30 𝐴 0.25

= 20 𝐴 = 20∠ − 30 𝐴 = 80∠ − 30 𝐴

𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝐼𝑝2 𝑅𝑝 + 𝐼𝑠 2 𝑅𝑠 = (80∠ − 30 𝐴)2 0.1 + (20∠ − 30 𝐴)2 0.6 = 440 𝑊

B) 𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑉𝑝 2 𝑅𝑐

=

120 2 3200

= 4.5 𝑊

C) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 12000 ∗ .80 ∗ .866 = 8313.6 𝑊 𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 8313.6 𝑊 − 440 𝑊 + 4.5𝑊 = 7869.1 𝑊 𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝜂=𝑃

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

7869.1

𝑥100 = 8313 .6 100 = 94.65 %