PRIMER CURSO DE ESPECIALIZACIÓN
“ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL ELÁSTICO DE ESTRUCTURAS” ESTRUCTURAS” Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
[email protected] 10 DE JUNIO 2018 Tacna – Tacna – Perú Perú
SESIÓN N° N° 01
“ANÁLISIS MA MATRICIAL TRICIAL DE ESTRUCTURAS” Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
[email protected] 10 DE JUNIO 2018 Tacna – Tacna – Perú Perú
SESIÓN N° N° 01
“ANÁLISIS MA MATRICIAL TRICIAL DE ESTRUCTURAS” Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
[email protected] 10 DE JUNIO 2018 Tacna – Tacna – Perú Perú
ÍNDICE CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 OBJETIVOS
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
INTRODUCCIÓN PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL MÉTODO DE LA MATRIZ MATRIZ FLEXIBILIDAD FLEXIBI LIDAD MÉTODO DE LA MATRIZ MATRIZ RIGIDEZ EJERCICIOS EJERCICI OS RESUELTOS
ÍNDICE CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.1 3.2 3.3 3.4
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES 4.2 VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO 4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
ÍNDICE CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1 5.2 5.3 5.4
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.1 6.2 6.3 6.4
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOC. MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
ÍNDICE CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.1 7.2 7.3 7.4
INTRODUCCIÓN MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO VIII CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA 8.1 CONCLUSIONES 8.2 RECOMENDACIONES 8.3 BIBLIOGRAFÍA
CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1 INTRODUCCIÓN Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto. Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicable sólo a determinados tipos de estructuras.
CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1 INTRODUCCIÓN La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver manualmente. Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las estructuras más al siglo XIX que al XX.
CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1 INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.2 OBJETIVOS 1.2.1 OBJETIVO GENERAL La presente sesión tiene como objetivo realizar el análisis matricial de estructuras por el método de la matriz Rigidez, para determinar las deformaciones en los nudos y las fuerzas internas en los elementos.
CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.2 OBJETIVOS 1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS -
Comprender el método de la flexibilidad y rigidez. Realizar el análisis matricial de armaduras. Realizar el análisis matricial de vigas. Realizar el análisis matricial de pórticos. Realizar el análisis matricial de muros. Realizar el análisis matricial de 2° Orden (Efecto P – Δ)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.1 INTRODUCCIÓN Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de manera un poco arbitraria por el analista. A continuación se calculan las propiedades elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede entonces a resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el de la estructura continua original.
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.1 INTRODUCCIÓN El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien definidas, a saber: -
Acción sobre la estructura Acción sobre los elementos Respuesta de los elementos Respuesta de la estructura
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.1 INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 2.2.1 COMPATIBILIDAD Las deformaciones de la estructura deben ser compatibles con las deformaciones de los elementos.
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.2.2 EQUILIBRIO Toda la estructura o cualquier parte de ella, debe estar en equilibrio bajo la acción de cargas externas y fuerzas internas.
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.2.3 LEYES CONSTITUTIVAS Son las curvas esfuerzo – deformación materiales elásticos es la ley de Hooke.
=
del material. La ley constitutiva para
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.3
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática determinada y estable. Luego se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.4
MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
En este método se obtiene primero una estructura modificada bloqueando los desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego se superponen otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado de grados de libertad. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de equilibrio.
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 2.5
EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide w
P A
C
B
L/2
L/2
L
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC. w
P A
C
B
L/2
L
L/2
RB
Estructura real
RC
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC. w
P
B A
C B0 C0
L/2
L/2
L
Estructura primaria (estática y estable)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC. F=1 C
B
A
B1
L
C1
L
Primera solución complementaria
x
RB
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC. F=1 C
B
A
B2
L
C2
L
Segunda solución complementaria
x
RC
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide Equilibrio: Resolver cada sistema simple Compatibilidad: = ∆B = ∆B0 + ∆B1 x RB + ∆B2 x RC 0 = ∆C = ∆C0 + ∆C1 x RB + ∆C2 x RC 0
(1.1) (1.2)
Expresado Matricialmente las Ec. (1.1) y (1.2):
00 = ∆∆ = ∆∆ + ∆∆ B
B0
B1
C
C0
C1
∆B2 R x B ∆C2 RC
Despejando las Reacciones en la Ec. (1.3): R
∆
∆
-1
∆
(1.3)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C. w
P A
C
B
B
L/2
C
B
L/2
Estructura real
L
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C. w
P MB0
A
MC0 C
B
L/2
L/2
L
Estructura primaria (se bloquean los desplazamientos)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C. MB1
A
=1
MC1
=1
C
B
x L
L
Primera solución complementaria
B
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C. MB2
A
MC2 =1
B
C x
L
L
Segunda solución complementaria
C
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide Compatibilidad: Determinación de cada sistema Equilibrio: = MB = MB0 + MB1 x 0 = MC = MC0 + MC1 x 0
θ +M xθ θ +M xθ B
B2
C
B
C2
C
(1.5) (1.6)
Expresado Matricialmente las Ec. (1.5) y (1.6):
00 = MM = MM + MM B
B0
B1
C
C0
C1
θθ
MB2 x MC2
B
C
Despejando los giros en la Ec. (1.7): -1
(1.7)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ Pregunta 2. Para la estructura mostrada formada por los 4 resortes con rigideces K1, K2, K3 y K4 se pide: a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. k4
F1 1
k1 4
2 F3 k
3
k
5
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. k4 4
k1
1
2
5
3
k2
Desplazamientos en los nudos
k3
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
p4 p1
k1
k4
p4
k2
p2
p1 p2
p3
k3
Fuerzas internas en los Elementos
p3
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. p4
p4
F4 4 p 1
F1 1
p1
F2 2 p2
p2
p3 3
p3
F5 5
F3
Equilibrio en nudos
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. Relación de compatibilidad deformación – desplazamiento ε1 = Δ2 – Δ4
(a2.1)
ε2 = Δ3 – Δ2
(a2.2)
ε3 = Δ5 – Δ3
(a2.3)
ε4 = Δ1 – Δ2
(a2.4)
Relación de Constitutivas p1 = k1ε1
(a2.5)
p2 = k2ε2
(a2.6)
p3 = k3ε3
(a2.7)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. Relación de Equilibrio F1 = p4
(a2.9)
F2 = p1 – p2 – p4
(a2.10)
F3 = p2 – p3
(a2.11)
F4 = -p1
(a2.12)
F5 = p3
(a2.13)
Introduciendo las Ec. (a2.1), (a2.2), (a2.3) y (a2.4) en las Ec. (a2.5), (a2.6), (a2.7) y (a2.8) p1 = k1(Δ2 – Δ4)
(a2.14)
p2 = k2(Δ3 – Δ2)
(a2.15)
p = k (Δ
(a2.16)
Δ )
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. Introduciendo las Ec. (2.14), (2.15), (2.16) y (2.17) en las Ec. (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) y (2.13) F1 = k4(Δ1 – Δ2)
(a2.18)
F2 = k1(Δ2 – Δ4) – k2(Δ3 – Δ2) – k4(Δ1 – Δ2)
(a2.19)
F3 = k2(Δ3 – Δ2) – k3(Δ5 – Δ3)
(a2.20)
F4 = -k1(Δ2 – Δ4)
(a2.21)
F5 = k3(Δ5 – Δ3)
(a2.22)
Ordenando Matricialmente F1 F2 F3 = F4
k4
-k4
0
-k4
k1+k2+k4
-k2
0
-k2
k2+k3
0
-k
0
0 -k1
0 0
0
-k3
∆1 ∆2 x ∆3 ∆4
(a2.23)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. Introduciendo condiciones de borde
F1 0
F3 = R4 R5
k4
-k4
0
-k4
k1+k2 +k4
-k2
0 -k1
0 0
∆1 ∆2
0
-k2
k2 +k3
0
0
-k1
0
-k3 x
0
0
-k3
k1 0
0 k3
∆3
0 0
(a2.24)
CAPÍTULO II MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema. Sistema de Ecuaciones que define la solución del Problema
k4 F1 0 = -k4 F3 0
0 R4 = R5 0
-k4
0
k1 +k2+k4
-k2
-k2
k2 +k3
-k1
0
0
-k3
∆1 x ∆2 ∆3
∆1 x ∆2 ∆3
De la Ec. (2.25) determinamos los desplazamientos Δ1, Δ2 y Δ3.
(a2.25)
(a2.26)
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
2
4
1
3
E, A, L
1
11
1
2 3
4
2
1
=
21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
∆∆ ∆∆ 14
1
24
2
34
3
44
4
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ − 1=
1;
2=
0;
3=
0;
4=
0
E, A, L
1
D=1
1
11
1
2 3
=
21 31
=
/ 0 /
2
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ − 1=
0;
2=
0;
3=
1;
4=
0
E, A, L
1
1
2 3
/
13
1
=
23 33
=
0 / 0
D=1
2
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Matriz rigidez en coordenadas locales:
− ′ − =
/ 0 / 0
0 0 0 0
/
0 / 0
0 0 0 0
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.2
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES Y
Y ' y ' j x ' j y j
y ' i x x ' i y i
X '
x j
Ø
X
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.2
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
′′ − ′′ − ′′ − ′ =
Ø+
=
=
Ø+
Ø
Ø+
=
=
Ø
Ø
Ø+
Ø
Ø Ø
0
Ø Ø
0
0 0
0 0
Ø
1
2
Ø
3
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.2
MATRIZ MA TRIZ RIGIDEZ RIGIDE Z DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
− − ′ ∆→′ → ′∆−′ ′ − ′∆ ∆ ′ ∆→ ′′ = =
= =
Ø Ø
0 0
Ø Ø
0 0
1
=
=
= =
=
=
1
0 0
0 0
Ø Ø
Ø Ø
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 1)
Determinar la matriz rigidez ′ de los elementos en coordenadas locales.
2)
Determinar la matriz transformación transformac ión de los elementos.
3)
Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
4)
′
Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura. estructura .
5)
=
=
∆
Determinar el vector fuerzas en los nudos.
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 6)
Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
= ∆∆ 7)
1
11
12
1
2
21
22
2
Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si
∆ = − 1
8)
11
1
Determinar las Reacciones de la estructura. Si
= ∆ 2
9)
1
21
∆ = 0 luego: 2
1
Determinar las fuerzas internas en los elementos.
∆ = 0 luego: 2
CAPÍTULO III ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS 3.4
EJERCICIOS RESUELTOS 8 ft
EA Constante
8 ft
5 Kip
6 ft
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES
2 3
4
11
1
=
21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
∆∆ ∆∆ 14
1
24
2
34
3
44
4
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ 1=
D=1
1;
2=
0;
1
3=
0;
4=
4
E, I, L
1
1
1
11
12
2
21
6
3
=
=
12
0
3
2
3
3
2
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ 1=
0;
2=
1
3
0;
4=
1
− 11
1
2
3=
0
E, I, L
D=1
1
1;
=
21 31
=
6 4 6 2
2
2
3
2
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ 1=
0;
2 1
2=
0;
3=
1;
4=
2 3
2
1
=
21 31
−−
3
12
11
1
D=1
3
E, I, L
1
0
=
6
2
12
3
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ 1=
0;
2=
0;
3=
0;
4=
1
E, I, L
1
D=1
1
1
2 3
4
=
21 31 41
− 6
11
1
=
2
2
6
4
2
3
2
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Matriz rigidez en coordenadas globales:
6 12 − 6 12
3
=
2
3
2
4 6 − 2 6
2
2
− 6 − 12 6 − 12
3
2
3
2
2 6 − 4 6
2
2
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO Carga uniformemente repartida: 2
WL 12
WL
2
1
2
′′ ′ L
1
2 3
2
=
2 12 2
WL 12 WL
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO Carga puntual en el medio del tramo: P
PL 8 P 2
PL 8 1
2 L/2
′′ ′
L/2
1 2 3
=
2 8 2
P 2
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO Carga puntual dentro del tramo: P 2
2
Pab L2
Pb L
Pa b L2 1
2 a
b
′ ′ ′
L
1 2 3
2
=
2
Pa L
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
′ de los elementos en coordenadas globales.
1)
Determinar la matriz rigidez
2)
Ensamblar la matriz de rigidez
de la estructura. Determinar el vector fuerzas de empotramiento de los elementos.
3) 4)
Determinar el vector fuerzas en los nudos.
− =
5)
Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
∆∆ 1
=
11
12
1
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 6)
Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si ∆2 = 0 luego: ∆1 = 11 −1 1
7)
Determinar las Reacciones de la estructura. Si ∆2 = 0 luego: 2 = 21 ∆1
8)
Determinar las fuerzas internas en los elementos. = +
CAPÍTULO IV ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS 4.4
EJERCICIOS RESUELTOS
EI constante.
3 kip/ft 2 kip/ft
36ft
24ft
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
1 3
6
1
1
11
2
21
3
4
E, A, I, L
=
31
4
41
5
51
12 22 32 42 52
1
13 23 33 43 53
14 24 34 44 54
15 25 35 45 55
2
∆∆ ∆∆ ∆ 16
1
26
2
36
3
46
4
56
5
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ − 1=
1;
2=
0;
3=
0;
4=
0;
5=
0;
E, A, I, L
1
D=1
2
1
1
11
2
21
3
=
31
4
41
5
51
=
/ 0 0 / 0
6=
0
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 1=
0;
D=1
2=
1;
3=
0;
2
4=
0;
5=
4
0
12
2 3
5
1
1
=
22
12
32
6
42
=
6=
6
E, A, I, L
1
0;
3
2
0
3
2
0
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez: 1=
0;
2=
0;
3=
1
5
5=
− 0
13
23
2
4
0;
1
1
3
4=
0;
6=
E, A, I, L
D=1
2
1;
=
33
=
2
6 4
0
43
6
2
5
2
0
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ − 1=
0;
2=
0;
3=
1
0;
4=
1;
5=
14
2
24
3
4
5
=
34 44 54
6=
D=1
1
1
0;
/
=
0 0 / 0
0
2
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la quinta columna de la matriz rigidez:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 1=
0;
2=
3 2
0;
3=
0;
4=
0;
5=
1
4
0 12
25
2 3
− − 15
1
=
35
=
3
2
6
0
45
12
3
6=
D=1
5
E, A, I, L
1
1;
2
0
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la sexta columna de la matriz rigidez:
∆
1=
0;
∆
2=
0;
∆
3=
0;
∆
4=
0;
∆
5=
0;
∆
6=
E, A, I, L
2
D=1
1
26
2
4
=
36 46
0
16
1
3
5
1
=
2
6 2
0
6
2
2
1
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.1
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Matriz rigidez en coordenadas locales:
′ − 0 0
=
0
− − − 0
0
12
6
3
6
2
4
0
2
0
12
0
6
3
6
0
2
2
0
− − − 0
0
12
6
3
6
2
2
2
0
12
0
6
3
6
2
4
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.2
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES Y
Y ' y ' j x ' j
M j Mi ' y i xi ' y x
y j
X '
x j
Ø
X
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.2
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES = Ø + Ø ′ = − Ø + Ø ′ = ′ = Ø + Ø ′ = − Ø + Ø ′ = ′ 0 0 Ø Ø 0 0 ′ 0 0 0 Ø Ø 0 − ′ 0 0 1 0 0 0 = ′ 0 Ø Ø 0 0 0 0 −Ø Ø 0 0 0 ′
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.2
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
Ø Ø −Ø Ø =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
′ = → = −1 ′ = ∆→ ′ = ′∆′ ∆′ = ∆→ = −1′∆ ′
0 0 0
0 0 0
0 0 0 Ø 0 Ø 0 1 0
Ø −Ø 0
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 1) Determinar la matriz rigidez ′ de los elementos en coordenadas locales. 2) Determinar la matriz de transformación de los elementos. 3)
Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
= ′ 4) 5) 6)
Ensamblar la matriz rigidez de la estructura
′ . Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura . ′ Determinar el vector fuerzas en los nudos Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos
=
7)
.
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 8)
Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
∆∆ 1
=
2
9)
11
12
1
21
22
2
Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si
∆ − 1
=
1
11
1
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si
∆ 2
=
21
∆ luego: 2
1
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
= 0
∆ luego: 2
= 0
CAPÍTULO V ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS 5.4
EJERCICIOS RESUELTOS 20 KN
E = 20000000 kN/m2 I = 0.00035 m4 A = 0.02 m2 m / N K 2 1 4m
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES
0 0
′ = − 0
0
0
0
6 1 + 1 + 4 + 6 1 + 1 + 12
3
2
2
0
0
− 121 + − 61+ 2 − 6 1 + 1 + 12 3
2
2
− 0 0
0 0
0
0
− 121 + 61+ − 61+ 21−+ 3
2
2
0
0
− 6 1 + 1 + − 61+ 41++ 12
3
2
2
5
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS EN COORD. LOCALES
− − 0
12
0
′
0
=
6
3
6
+2
4
0
0
+
12
6
3
+2
+2
+
3
0
6
+
6
+2
3
6
3
+2
3
2
+
6
+
+2
+
+2
0
0
12
0
6
+2
3
6
+2
3
0
3
2
0
12
0
0
12
6
0
3
3
0
− − − − − − 0
3
+2
4
12
+
+
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.3
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES Y
Y ' y ' j x ' j
M j Mi ' y i xi ' y x
y j
X '
x j
Ø
X
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.3
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES = Ø + Ø ′ = − Ø + Ø ′ = ′ = Ø + Ø ′ = − Ø + Ø ′ = ′ 0 0 Ø Ø 0 0 ′ 0 0 0 Ø Ø 0 − ′ 0 0 1 0 0 0 = ′ 0 Ø Ø 0 0 0 0 −Ø Ø 0 0 0 ′
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.3
MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
Ø Ø −Ø Ø =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
′ = → = −1 ′ = ∆→ ′ = ′∆′ ∆′ = ∆→ = −1′∆ ′
0 0 0
0 0 0
0 0 0 Ø 0 Ø 0 1 0
Ø −Ø 0
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 1)
Determinar la matriz rigidez ′ de los elementos en coordenadas locales.
2)
Determinar la matriz de transformación de los elementos.
3)
Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
=
′
4)
Ensamblar la matriz rigidez de la estructura .
5)
Determinar el vector fuerzas en los nudos .
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 6)
Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
= ∆∆ 7)
1
11
12
1
2
21
22
2
Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si
∆ = − 1
8)
11
1
Determinar las Reacciones de la estructura. Si
= ∆ 2
9)
1
21
∆ = 0 luego: 2
1
Determinar las fuerzas internas en los elementos.
∆ = 0 luego: 2
CAPÍTULO VI ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS 6.5
EJERCICIOS RESUELTOS
t = 0.30 m (Viga) t = 0.20 m (Placa) E = 2000000 Tn/m2 G = 0.4E
20 Tn
0.6m
2.7m
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.1 INTRODUCCIÓN Es bien sabido que en el análisis de sistemas estructurales sujetos a carga lateral, el movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada genera momentos adicionales en los elementos estructurales, normalmente conocidos como momentos de segundo orden. En ingeniería estructural, a este comportamiento se le conoce comúnmente como efecto P – Δ ya que los momentos adicionales en la estructura pueden calcularse como la suma del producto de los pesos de cada piso (P) por sus respectivos desplazamientos laterales (Δ).
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.1 INTRODUCCIÓN Con el avance de la tecnología de los sistemas de cómputo, ha sido posible incorporar planteamientos rigurosos que se basan en técnicas matriciales que permiten incorporar directamente las deformaciones no lineales en formulaciones de rigidez y de flexibilidad de cada elemento, lo que permite considerar los efectos P – Δ tanto en análisis estáticos como en análisis dinámicos de manera rigurosa, que en muchos casos pudiera considerarse como exacta. Los procedimientos directos para análisis de segundo orden se basan en satisfacer las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando en la mayor parte de los casos el efecto P – Δ.
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.2
MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Como se comentó anteriormente, el efecto P – Δ está asociado a los momentos adicionales en los elementos estructurales asociados al movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada asociada a la carga lateral. De hecho, estos momentos están asociados a lo que en el análisis avanzado de estructuras se define como no linealidad geométrica, la que se presenta cuando la deformaciones son de una magnitud tal que provocan cambios notables en la geometría de la estructura, por lo que en este caso las ecuaciones de equilibrio se deben formular en la configuración deformada de la estructura. Esto significa que la relación lineal que existe entre las cargas externamente aplicadas, {F}, y los desplazamientos asociados a ellas, {u}, en rigor, no pueden seguirse utilizando.
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.2
MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Para tomar en cuenta los efectos del cambio en la geometría en la estructura a medida que las cargas aplicadas se incrementan, se pueden obtener soluciones para calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal por medio de una secuencia de segmentos lineales, donde cada segmento representa un incremento de carga. Sin embargo, al ser el problema no lineal, las ecuaciones de continuidad (desplazamientos – deformaciones) contienen términos no lineales que deben incluirse en la conformación de la matriz rigidez [K]. La derivación de estas relaciones es objeto de desarrollos extensos que pueden consultarse en otros trabajos relacionados con la teoría no lineal de la elasticidad.
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.2
MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Los términos no lineales de las ecuaciones de continuidad modifican la matriz de rigidez del elemento [k’], de manera que: ´ = +
donde [k_E ] es la matriz de rigidez elástica del elemento en coordenadas locales asociada a su configuración original y [k_G ] es la denominada matriz de rigidez geométrica, que no depende exclusivamente de la geometría, sino también de las fuerzas internas iniciales. Las matrices de rigidez elástica y geométrica se calculan para cada elemento y se ensamblan, de manera que la matriz de rigidez global de la estructura se calcula como:
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.2
MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Dependiendo del tipo de problema, este procedimiento puede ser o no iterativo. Por ejemplo, si se desea obtener la solución para una carga estáticamente aplicada considerando que la estructura está compuesta por un materiales elástico, la solución puede calcularse en un solo paso toda vez que se determinen las cargas internas actuantes, lo que en estructuras razonablemente complejas es un proceso en dos pasos; en el primero se realiza un análisis convencional para determinar las cargas actuantes, y en el segundo se hace el análisis completo del sistema calculando la matriz de rigidez geométrica a partir de las cargas definidas en el primer paso. Sin embargo, si se involucran cargas dinámicas y/o el comportamiento no lineal del material, se requiere de un proceso iterativo para llegar a obtener una solución satisfactoria.
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 1)
Determinar las fuerzas axiales en los elementos (P) de un análisis lineal elástico.
2)
Determinar la matriz rigidez elástica de los elementos en coordenadas locales.
0
0
6
4
0
0
12 0 0
=
− 0
3
2
6
2
12 6 − − 6 2 3
−
2
0 0
0 12 − 6 − 3
2
2 6
2
0
0
6
6 − 4
12 0
0
3
2
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 3)
Determinar la matriz rigidez geométrica de los elementos en coordenadas locales. 0
0
0
5
10 2
10
15
6 0 0
=
0 0
4)
0
0 6 − 5 10
0
− 10 − 30
0 0 0
0
0 6 − 5 − 10 0
5
6 0 0
− 10
0
10
− 30 0
− 10 2 15
Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas locales.
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 5)
Determinar la matriz de transformación.
− Ø Ø
=
6)
0 0 0 0
Ø Ø
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0
0 0 0
− Ø Ø
0
Ø Ø
0
0 0 0 0 0 1
Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
′ =
7)
Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ) 7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 8)
Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
= ∆∆ 9)
1
11
12
1
2
21
22
2
Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si
∆ = − 1
11
1
1
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si
= ∆ 2
21
∆ = 0 luego: 2
1
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
∆ = 0 luego: 2
CAPÍTULO VII ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° 2 ° ORDEN (EFECTO P – P – Δ) 7.4
50 Tn
EJERCICIOS EJERCICI OS RESUELTOS
50 Tn
10 Tn
Vigas: A = 0.01 m2 I = 0.000125 m 4 E = 2x107 Tn/m2 Columnas: A = 0.015 m2, I = 0.00025 m4, E = 2x107 Tn/m2
4.5m
50 Tn
4.5m
50 Tn
CAPÍTULO VIII CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA 8.1 CONCLUSIONES - El método método de de la matriz matriz rigidez rigidez propor proporciona ciona un sistema sistema apropiado apropiado de análisi análisiss de estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computación. - El método método de la matriz matriz rigidez rigidez nos nos permite permite obtener obtener las deform deformacion aciones es de una estructura para poder comparar con las deformaciones permisibles que se indican en las normas. - El método método de la la matriz matriz rigide rigidezz nos permite permite obtener obtener las fuerzas fuerzas internas internas de de los los elementos de una estructura para un posterior diseño sísmorresistente.
CAPÍTULO VIII CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA 8.1 CONCLUSIONES - El método método de la la matriz matriz geométrica geométrica nos permite permite obtene obtenerr los los desplaza desplazamiento mientoss adicionales en la estructura debido a los momentos de segundo orden generados por la carga vertical. - Se debe debe ser conscien consciente te que que sin sin un un modelo modelo adecuado adecuado o sin una interpreta interpretación ción final, el refinamiento en el análisis carece de sentido.
8.2 RECOMENDACIONES - Se recomien recomienda da crear crear un programa programa en cualqui cualquier er lenguaj lenguaje e de progr programaci amación ón para para la solución lineal elástica de una estructura utilizando el método de la matriz rigidez. - Se recomi recomienda enda estudiar estudiar el método método de la matriz matriz rigidez rigidez para para el anális análisis is de
CAPÍTULO VIII CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA 8.3 -
BIBLIOGRAFÍA
Arturo Tena Colunga. Análisis de estructuras con métodos matriciales. Erly Marvin Enriquez Quispe. Análisis Estructural de 2° Orden (Efectos P – Δ) Hugo Scaletti Farina. Análisis Estructural. Jairo Uribe Escamilla. Análisis de estructuras. Luis G. Quiroz Torres. Introducción al Análisis Matricial. Mohamed Mehdi Hadi Mohamed. Análisis Matricial de Estructuras. R. C. Hibbeler. Análisis Estructural. Roberto Aguiar Falconí. Análisis matricial de estructuras. Victor Rojas. Análisis Matricial de Estructuras.
