Sudaryatno Sudirham
Analisis Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s
2-2
Sudaryatno Sudirham, Analisis Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik Listrik (3)
BAB 2 Analisis Rangkaian Menggunakan Transformasi Transformasi Laplace Setelah mempelajari mempelajari bab ini kita akan
• • •
memahami konsep impedansi di kawasan s. kawasan s. mampu melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s kawasan s.. mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan s kawasan s..
Di bab sebelumnya kita menggunakan transformasi Laplace untuk memecahkan persamaan rangkaian. Kita harus mencari terlebih dahulu persamaan rangkaian di kawasan t sebelum perhitungan-perhitungan di kawasan s kita lakukan. Berikut ini kita akan mempelajari konsep impedansi dan dengan konsep ini kita akan dapat melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s kawasan s.. Dengan transformasi rangkaian ini, kita langsung bekerja di kawasan s, s, artinya persamaan rangkaian langsung dicari di kawasan s tanpa mencari persamaan rangkaian di kawasan t lebih t lebih dulu. Sebagaimana kita ketahui, elemen dalam analisis rangkaian listrik adalah model dari piranti yang dinyatakan dengan karakteristik i-v-nya. i-v-nya. Jika analisis dilakukan di kawasan s dimana v(t ) dan i(t ) ditransformasikan menjadi V ( s) s) dan I ( s), s), maka pernyataan elemenpun harus dinyatakan di kawasan s kawasan s.. 2.1. Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s 2.1.1. Resistor
Hubungan arus dan tegangan resistor di kawasan t adalah t adalah v R (t ) = Ri R(t) Transformasi Laplace dari v R adalah V R ( s )
=
∫
∞
0
v R (t )e − st dt =
∫
∞ Ri R (t )e − st dt = RI R(s)
0
Jadi hubungan arus-tegangan resistor di kawasan s kawasan s adalah V R ( s )
= R I R ( s )
(2.1)
2-1
2.1.2. Induktor
Hubungan antara arus dan tegangan induktor di kawasan t adalah di (t) v L (t ) = L L dt Transformasi Laplace dari v L adalah (ingat sifat diferensiasi dari transformasi Laplace) : V L ( s )
=
∞ ∞ di L (t ) − st − st v L (t )e dt = L dt e dt = sLI L ( s) − Li L (0) 0 0
∫
∫
Jadi hubungan tegangan-arus induktor adalah V L ( s )
= sLI L ( s) − Li L (0)
(2.2)
dengan i L (0) adalah arus induktor pada saat awal integrasi dilakukan atau dengan kata lain adalah arus pada t = 0. Kita ingat pada analisis transien + di kawasan waktu, arus ini adalah kondisi awal dari induktor, yaitu i(0 ) − = i(0 ). 2.1.3. Kapasitor
Hubungan antara tegangan dan arus kapasitor di kawasan t adalah vC (t ) =
1 t iC (t ) dt + vc (0) 0 C
∫
Transformasi Laplace dari tegangan kapasitor adalah V C ( s )
=
I C ( s )
sC
+
vC (0) s
(2.3)
dengan vC (0) adalah tegangan kapasitor pada t =0. Inilah hubungan tegangan dan arus kapasitor di kawasan s. 2.2. Konsep Impedansi di Kawasan s
Impedansi merupakan suatu konsep di kawasan s yang didefinisikan sebagai berikut. Impedansi di kawasan s adalah rasio tegangan terhadap arus di kawasan s dengan kondisi awal nol.
2-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Sesuai dengan definisi ini, maka impedansi elemen dapat kita peroleh dari (2.1), (2.2), dan (2.3) dengan i L (0) = 0 maupun vC (0) = 0, Z R
=
V R ( s ) I R ( s )
= R
; Z L
=
V L ( s )
L( s ) I
= sL
V ( s ) ; Z C = C I C ( s )
=
1 sC
(2.4)
Dengan konsep impedansi ini maka hubungan tegangan-arus untuk resistor, induktor, dan kapasitor menjadi sederhana, mirip dengan relasi hukum Ohm. V R ( s )
= R I R (s)
;
V L ( s)
= sL I L (s)
;
V C
=
1 sC
I C ( s )
(2.5)
Sejalan dengan pengertian impedansi, dikembangkan pengertian admitansi, yaitu Y = 1/ Z sehingga untuk resistor, induktor, dan kapasitor kita mempunyai
=
Y R
1
;
R
Y L
=
1 sL
Y C = sC
;
(2.6)
2.3. Representasi Elemen di Kawasan s
Dengan pengertian impedansi seperti dikemukakan di atas, dan hubungan tegangan-arus elemen di kawasan s, maka elemen-elemen dapat direpresentasikan di kawasan s dengan impedansinya, sedangkan kondisi awal (untuk induktor dan kapasitor) dinyatakan dengan sumber tegangan yang terhubung seri dengan impedansi tersebut, seperti terlihat pada Gb. 2.1. +
+
I R ( s)
I C ( s)
+
I L ( s)
1
sL V L ( s)
V R( s)
− +
i L(0)
V C ( s)
−
− Resistor
Induktor
sC
+
vC (0)
−
s
− Kapasitor
Gb.2.1. Representasi elemen di kawasan s. V R ( s )
= R I R ( s) ;
V L ( s )
= sLI L ( s) − Li L (0) ;
V C ( s )
=
I C ( s )
sC
+
vC (0) s
2-3
Representasi elemen di kawasan s dapat pula dilakukan dengan menggunakan sumber arus untuk menyatakan kondisi awal induktor dan kapasitor seperti terlihat pada Gb.2.2. +
V R( s)
sL
I C ( s)
I L ( s)
I R ( s)
+ V L ( s)
i L (0) s
−
1 sC
+ V C ( s)
−
CvC (0)
− Gb.2.2. Representasi elemen di kawasan s. V R ( s )
= R I R ( s) ; V C ( s )
=
V L ( s )
1 sC
i (0) = sL I L ( s ) − L ; s
(I C ( s) + CvC (0) )
2.4. Transformasi Rangkaian
Representasi elemen ini dapat kita gunakan untuk mentransformasi rangkaian ke kawasan s. Dalam melakukan transformasi rangkaian perlu kita perhatikan juga apakah rangkaian yang kita transformasikan mengandung simpanan energi awal atau tidak. Jika tidak ada, maka sumber tegangan ataupun sumber arus pada representasi elemen tidak perlu kita gambarkan. COTOH 2.1: Saklar S pada rangkaian berikut telah lama ada di posisi 1. Pada t = 0 saklar 1 dipindahkan ke S posisi 2 sehingga 2 + 3Ω 1H + rangkaian RLC 8V− + −3t 1/2 F vC seri terhubung ke − 2e V − sumber tegangan − 3t 2e V. Transformasikan rangkaian ke kawasan s untuk t > 0. Penyelesaian :
Pada t < 0, keadaan telah mantap. Arus induktor nol dan tegangan kapasitor sama dengan tegangan sumber 8 V.
2-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Untuk t > 0, sumber tegangan adalah v s = 2e ke kawasan s adalah V s ( s )
=
−3t
yang transformasinya
2 s + 3
Representasi kapasitor adalah impedansinya 1/ sC = 2/ s seri dengan sumber tegangan 8/ s karena tegangan kapasitor pada t = 0 adalah 8 V. Representasi induktor impedansinya sL = s tanpa diserikan dengan sumber tegangan karena arus induktor pada t = 0 adalah nol. Transformasi rangkaian ke kawasan s untuk t > 0 adalah s
3 2 s + 3
2 s
+
−
8
s
+
−
+ V C ( s)
−
bahwa tegangan kapasitor V C ( s) mencakup sumber tegangan (8/s) dan bukan hanya tegangan pada impedansi (2/s) saja.
Perhatikan
Setelah rangkaian ditransformasikan, kita mengharapkan dapat langsung mencari persamaan rangkaian di kawasan s. Apakah hukum-hukum, kaidah, teorema rangkaian serta metoda analisis yang telah kita pelajari di kawasan t dapat kita terapkan? Hal tersebut kita bahas berikut ini. 2.5. Hukum Kirchhoff
Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa untuk suatu simpul berlaku n
∑= i (t ) = 0 k
k 1
Jika kita lakukan transformasi, akan kita peroleh ∞
n − st ik (t )e dt = k =1 k =1 n
∫ ∑ 0
∑∫
∞
0
ik (t )e − st dt =
n
∑=
I k ( s )
=0
(2.7)
k 1
Jadi hukum arus Kirchhoff (HAK) berlaku di kawasan s. Hal yang sama terjadi juga pada hukum tegangan Kirchhoff. Untuk suatu loop
2-5
n
∑= v (t ) = 0 k
k 1
n − st ∞ n vk (t )e dt = ⇒ 0 k =1 k =1
∫ ∑
∑∫
∞
0
(2.8)
n
= V k ( s ) = 0 k =1
∑
vk (t )e − st dt
2.6. Kaidah-Kaidah Rangkaian
Kaidah-kaidah rangkaian, seperti rangkaian ekivalen seri dan paralel, pembagi arus, pembagi tegangan, sesungguhnya merupakan konsekuensi hukum Kirchhoff. Karena hukum ini berlaku di kawasan s maka kaidahkaidah rangkaian juga harus berlaku di kawasan s. Dengan mudah kita akan mendapatkan impedansi ekivalen maupun admitansi ekivalen Z ekiv seri
=
∑ Z ;
Y ekiv paralel =
k
∑ Y
(2.9)
k
Demikian pula dengan pembagi arus dan pembagi tegangan. I k ( s )
=
Y k
I total ( s ) ; V k ( s )
Y ekiv paralel
COTOH-2.2: Carilah berikut ini.
V C
Z k Z ekiv seri
V total ( s )
(2.10)
( s) pada rangkaian impedansi seri RLC
+
V in ( s)
=
s
3
−
2 s
+ V C ( s)
−
Penyelesaian :
Kaidah pembagi tegangan pada rangkaian ini memberikan V R ( s)
=
2 / s 3 + s +
2
V in ( s )
2
= s
2
+ 3 s + 2
V in ( s)
=
2 ( s + 1)( s + 2)
s
Pemahaman :
Jika V in( s) = 10/ s maka
2-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
V in ( s )
V C ( s )
=
→ k 1 = k 3
=
20 s ( s + 1)( s + 2) 20
( s + 1)( s + 2) s = 0 20 s ( s + 1) s = −2
k 1 s
+
= 10
k 2
+
k 3
s + 1 s + 2 ; k 2
=
20 s ( s + 2) s = −1
= −20
;
= 10
− 20 10 + s s + 1 s + 2 t 2t vC (t ) = 10 − 20e − + 10e −
⇒ V C ( s) = ⇒
=
10
+
Inilah tanggapan rangkaian rangkaian RLC seri (dengan R = 3Ω , L = 1H, C = 0,5 F) dengan masukan sinyal anak tangga yang amplitudonya 10 V. 2.7. Teorema Rangkaian 2.7.1. Prinsip Proporsionalitas
Prinsip proporsionalitas merupakan pernyataan langsung dari sifat rangkaian linier. Di kawasan t , pada rangkaian dengan elemen-elemen resistor, sifat ini dinyatakan oleh hubungan y (t ) = Kx(t ) dengan y(t ) dan x(t ) adalah keluaran dan masukan dan K adalah suatu konstanta yang ditentukan oleh nilai-nilai resistor yang terlibat. Transformasi Laplace dari kedua ruas hubungan diatas akan memberikan Y ( s )
= K X ( s)
dengan Y ( s) dan X ( s) adalah sinyal keluaran dan masukan di kawasan s. Untuk rangkaian impedansi, Y ( s )
= K s X ( s)
(2.11)
Perbedaan antara prinsip proporsionalitas pada rangkaian-rangkaian resistor dengan rangkaian impedansi terletak pada faktor K s. Dalam rangkaian impedansi nilai K s, merupakan fungsi rasional dalam s. Sebagai contoh kita lihat rangkaian seri RLC dengan masukan V in( s). Jika tegangan keluaran adalah tegangan pada resistor V R ( s), maka 2-7
V R ( s)
=
R R + sL + (1 / sC )
RCs = V in ( s) 2 LCs + RCs + 1
V in ( s )
Besaran yang berada dalam tanda kurung adalah faktor proporsionalitas. Faktor ini, yang merupakan fungsi rasional dalam s, memberikan hubungan antara masukan dan keluaran dan disebut fungsi jaringan. 2.7.2. Prinsip Superposisi
Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier besar sinyal keluaran dapat dituliskan sebagai yo (t ) = K 1 x1 (t ) + K 2 x2 (t ) + K 3 x3 (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ dengan x1, x2 , x3 … adalah sinyal masukan dan K 1 , K 2 , K 3 … adalah konstanta proporsionalitas yang besarnya tergantung dari nilai-nilai elemen dalam rangkaian. Sifat linier dari transformasi Laplace menjamin bahwa prinsip superposisi berlaku pula untuk rangkaian linier di kawasan s dengan perbedaan bahwa konstanta proporsionalitas berubah menjadi fungsi rasional dalam s dan sinyal-sinyal dinyatakan dalam kawasan s. Y o ( s )
= K s1 X 1 ( s ) + K s 2 X 2 ( s ) + K s3 X 3 ( s ) + ⋅ ⋅ ⋅
(2.12)
2.7.3. Teorema Thévenin dan orton
Konsep mengenai teorema Thévenin dan Norton pada rangkaianrangkaian impedansi, sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian dengan elemen-elemen resistor. Cara mencari rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton sama seperti dalam rangkaian resistor, hanya di sini kita mempunyai impedansi ekivalen Thévenin, Z T , dan admitansi ekivalen Norton, Y , dengan hubungan sbb: V T ( s )
Z T =
= V ht ( s) = I ( s) Z T ; 1
Y
=
I ( s)
= I hs ( s) =
V T ( s )
Z T
V T ( s ) I ( s)
2-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
(2.13)
COTOH-2.3: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian impedansi berikut ini.
1
+
s
−
s 2 + ω2
B E B A N
sC
Penyelesaian :
1 / sC
V T ( s )
= V ht ( s) =
I ( s )
= I hs ( s) =
s
R + (1 / sC ) s 2
1 R s 2
+ ω2
=
s / RC ( s + 1 / RC )( s
2
+ ω2 )
s
+ ω2
Z T = R || (1 / RC ) =
V T
+
−
R / sC R + 1 / sC
Z T
=
1 C ( s + 1 / RC ) B E B A N
2.8. Metoda-Metoda Analisis
Metoda-metoda analisi, baik metoda dasar (metoda reduksi rangkaian, unit output , superposisi, rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton) maupun metoda umum (metoda tegangan simpul, arus mesh) dapat kita gunakan untuk analisis di kawasan s. Hal ini mudah dipahami mengingat hukum-hukum, kaidah-kaidah maupun teorema rangkaian yang berlaku di kawasan t berlaku pula di kawasan s. Berikut ini kita akan melihat contoh-contoh penggunaan metoda analisis tersebut di kawasan s. 2.8.1. Metoda Unit Output COTOH-2.4: Dengan menggunakan metoda unit output, carilah V 2( s) pada rangkaian impedansi di bawah ini.
2-9
I L ( s)
I C ( s)
I R ( s)
I 1( s)
sL +
1/ sC
V 2( s)
−
Penyelesaian :
Misalkan : V 2 ( s ) = 1
→ V C ( s) = V 2 ( s) = 1 →
I C ( s )
→ I L ( s) = I C ( s) = sC →
=
V L ( s )
1 1 / sC
= sL × sC = LCs 2
2
→ V R ( s ) = V L ( s) + V C ( s) = LCs + 1 → ⇒ I 1* ( s) ⇒ K s =
= I R ( s) + I L ( s) = 1
I 1* ( s )
=
LCs 2 R
+1
= sC
+ sC =
=
I R ( s )
LCs 2
+1
R
LCs 2 + RCs + 1 R
R LCs 2 + RCs + 1
⇒ V 2 ( s) = K s I 1( s) =
R LCs
2
I 1 ( s )
+ RCs + 1
2.8.2. Metoda Superposisi COTOH-2.5: Dengan menggunakan metoda superposisi, carilah tegangan induktor vo (t ) + pada rangkaian + Bsinβt u(t ) vo berikut ini. −
−
Penyelesaian :
Rangkaian kita transformasikan ke kawasan s menjadi
A s
+
−
s L
+ Vo
−
Bβ s 2
+ β2
Jika sumber arus dimatikan, maka rangkaian menjadi : 2-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
+
−
→ Z L // R = ⇒ V o1 ( s) =
+
A
V o1
s L
s
−
RLs R + sL RLs R + sL A RLs s R + R + sL
=
L R + 2 sL
A =
A / 2 s + R / 2 L
Jika sumber tegangan dimatikan, rangkaian menjadi : +
V o2 ( s )
=
Bβ
V o2
s L
s 2
−
= sL × I L ( s ) = sL ×
sRL
×
Bβ
2 sL + R s 2 + β 2
=
1 / sL 1 1 1
+
+ β2
×
Bβ
s 2
+
+ β2
R R sL RBβ s ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )
2
⇒ Vo ( s) = Vo1 ( s ) + Vo2 ( s ) = → k 1 = → k 2 =
A / 2 s + R / 2 L
+
RBβ
k 1 k k + 2 + 3 2 s + R / 2 L s + jβ s − jβ
s ( s 2 + β 2 ) s = − R / 2 L
=−
( R / 2 L) ( R / 2 L) 2
s ( s + R / 2 L)( s − jβ) s = − jβ
=
+ β2 1
R / L − j 2β
=
1 ( R / L) 2 + 4β 2
e jθ ,
+ 2β θ = tan −1 R / L → k 3 =
1 ( R / L) 2 + 4β 2
e − jθ
2-11
R − t R L ( / 2 ) − e 2 L R 2 2 A − 2 L t RBβ ( R / 2 L ) + β ⇒ vo (t ) = e + 2 2 1 − j (βt − θ) + e j (βt − θ) e + 2 2 ( R / L) + 4β
(
R 2 − t A R Bβ ⇒ vo (t ) = − 2 e 2 L + 2 R + 4 Lβ 2
)
RBβ ( R / L)
2
+ 4β
2
cos(β t − θ)
2.8.3. Metoda Reduksi Rangkaian COTOH-2.6: Dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian selesaikanlah persoalan pada contoh 2.5 . Penyelesaian :
Rangkaian yang ditransformasikan ke kawasan s kita gambar lagi seperti di samping ini.
+
−
A s
+
Bβ
V o
s L
s 2
−
+ β2
Jika sumber tegangan + Bβ ditransformasikan A V o L s menjadi sumber sR s 2 + β2 − arus, kita mendapatkan rangkaian dengan dua sumber arus dan dua resistor diparalel. Rangkaian tersebut dapat disederhanakan menjadi rangkaian dengan satu sumber arus, dan kemudian menjadi rangkaian dengan sumber tegangan.
+ s L
V o
−
/2
/2
+ s L
Bβ
V o
s 2 + β2
−
+ R Bβ −
2 s 2 + β2
+
A
sR
2-12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
+
A sR
Dari rangkaian terakhir ini kita diperoleh :
V o ( s )
=
V o ( s )
=
sL
×
sL + R / 2 A / 2 s + R / 2 L
R Bβ
A
+ 2 2 2 s + β sR ( RBβ / 2) s + 2 2 ( s + R / 2 L)( s + β )
Hasil ini sama dengan apa yang telah kita peroleh dengan metoda superposisi pada contoh 2.5. Selanjutnya transformasi balik ke kawasan t dilakukan sebagaimana telah dilakukan pada contoh 2.5. 2.8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin COTOH-2.7: Dengan menggunakan rangkaian ekivalen Thévenin selesaikanlah persoalan pada contoh 2.5. + Bβ + A V Penyelesaian : o s L 2 − s
Kita akan menggunakan gabungan metoda superposisi dengan rangkaian ekivalen Thévenin.
+
−
s
−
+
A
Bβ
V ht
s
s 2
− Tegangan hubungan terbuka pada waktu induktor dilepas, adalah jumlah tegangan yang diberikan oleh sumber tegangan dan sumber arus secara terpisah, yaitu VT ( s ) = Vht ( s ) =
=
A / 2
+
R R + R
Z T =
R
A s
+ β2
Bβ
1
+ R × ×
2 s 2
+ β2
RBβ / 2
s 2 + β2 Dilihat dari terminal induktor, impedansi Z T hanyalah berupa dua resistor paralel, yaitu s
×
+ β2
+
−
Z T V T
+ s L
V o
−
2 2-13
Dengan demikian maka tegangan induktor menjadi V o ( s )
= =
sL sL + Z T
A / 2 RBβ / 2 + 2 2 sL + R / 2 s s + β ( RBβ / 2) s + ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )
V T ( s )
A / 2 s + R / 2 L
=
sL
Persamaan ini telah kita peroleh sebelumnya, baik dengan metoda superposisi maupun metoda reduksi rangkaian. 2.8.5. Metoda Tegangan Simpul COTOH 2.8: Selesaikan persoalan pada contoh 2.5. dengan menggunakan metoda A tegangan simpul. + Bβ + A Penyelesaian : V o s L − s s 2 + β2 − Dengan referensi B tegangan seperti terlihat pada gambar di atas, persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah:
Bβ 1 1 1 1 A − 2 2 =0 + + − R R sL R s s + β
V o ( s )
Dari persamaan tersebut di atas kita peroleh Bβ 2 Ls + R A + 2 2 = RLs Rs s + β RLs A Bβ + 2 2 Vo ( s ) = 2 Ls + R Rs s + β Vo ( s )
=
A / 2 s + R / 2 L
+
atau
( RBβ / 2) s ( s + R / 2 L)( s 2
+ β2 )
Hasil yang kita peroleh sama seperti sebelumnya. Pemahaman :
Dalam analisis di kawasan s, metoda tegangan simpul untuk rangkaian dengan beberapa sumber yang mempunyai frekuensi 2-14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
berbeda, dapat langsung digunakan. Hal ini sangat berbeda dari analisis di kawasan fasor, dimana kita tidak dapat melakukan superposisi fasor dari sumber-sumber yang mempunyai frekuensi berbeda, karena pengertian fasor diturunkan dengan ketentuan bahwa frekuensi sama untuk seluruh system. 2.8.6. Metoda Arus Mesh COTOH-2.9: Pada rangkaian berikut ini tidak terdapat simpanan energi awal. Gunakan metoda arus mesh untuk menghitung i(t ).
10mH 10 u(t )
i(t )
10k Ω 10k Ω
+
−
1µF
Penyelesaian :
Transformasi rangkaian ke kawasan s adalah seperti gambar berikut ini. Kita 4 I ( s) 0.01 s tetapkan 10 4 6 10 10 + referensi 10 V 1( s ) = I I A B − s arus mesh s I A dan I B. Persamaan arus mesh dari kedua mesh adalah
−
10 s
(
)
+ I A ( s ) 0.01 s + 104 − I B ( s) × 104 = 0
6 4 10 4 − I A ( s) × 104 = 0 I B ( s )10 + 10 + s
Dari persamaan kedua kita peroleh:
→
I A ( s)
=
2 s + 102 s
I B ( s )
Sehingga:
2-15
⇒−
10 s
+ (0.01 s + 10
⇒ I ( s) = I B ( s) = =
) (2 s + 10
0,02 s 2
β=
− 10 4 −
s
0,02 s 2
+ 10 4 s + 106 α=
− 104 +
=
=0
10 ( s
108
− α)( s − β)
− 8 × 10 4
0,04 108
− 8 × 10 4
10 ( s + 100)( s + 500000)
10 s + 500000 s = −100
[
I B ( s ) − I B ( s) × 10 4
+ 2 × 104 s + s + 106 − 104 s
≈ −100
;
≈ −500000
0,04
⇒ I ( s ) =
2
10
10
dengan
k 1 =
4
=
k 1
s + 100 s + 50000
= 2 × 10−5 ; k 2 =
]
k 2
+
10 s + 100 s = −500000
⇒ i(t ) = 0,02 e −100t − e−500000t mA
2-16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
= −2 × 10−5
Soal-Soal 1. Sebuah resistor 2 k Ω dihubungkan seri dengan sebuah induktor 2 H; kemudian pada rangkaian ini diterapkan sinyal tegangan v(t )=10u(t ) V. Bagaimanakah bentuk tegangan pada induktor dan pada resistor ? Bagaimanakah tegangannya setelah keadaan mantap tercapai? 2. Ulangi soal 1 jika tegangan yang diterapkan v(t ) = [20sin300t ] u(t ) V. 3. Ulangi soal 1 jika tegangan yang diterapkan v(t ) = [20cos300t ] u(t ) V. 4. Rangkaian seri resistor dan induktor soal 1 diparalelkan kapasitor 0.5 µF. Jika kemudian pada rangkaian ini diterapkan tegangan v( s)=10u(t ) V bagaimanakah bentuk arus induktor ? Bagaimanakah arus tersebut setelah keadaan mantap tercapai? 5. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v(t )=[20sin300t ]u(t ) V. 6. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v(t )=[20cos300t ]u(t ) V. 7. Sebuah kapasitor 2 pF diserikan dengan induktor 0,5 H dan pada hubungan seri ini diparalelkan resistor 5 k Ω. Jika kemudian pada hubungan seri-paralel ini diterapkan sinyal tegangan v(t )=10u(t ) V, bagaimanakah bentuk tegangan kapasitor ? 8. Ulangi soal 7 dengan tegangan masukan v(t ) = [20sin300t ] u(t ) V. 9. Sebuah resistor 100 Ω diparalelkan dengan induktor 10 mH dan pada hubungan paralel ini diserikan kapasitor 0,25 µF. Jika kemudian pada hubungan seri-paralel ini diterapkan tegangan v(t ) = 10u(t ) V, carilah bentuk tegangan kapasitor. 10. Ulangi soal 9 dengan tegangan masukan v(t ) = [20sin300t ] u(t ) V. 11. Carilah tanggapan status nol (tidak ada simpanan energi awal pada rangkaian) dari i L pada rangkaian berikut jika v s=10u(t ) V.
+
−
1k Ω v s
1k Ω
i L 0.1H
2-17
12. Carilah tanggapan status nol dari vC dan i L pada rangkaian berikut jika v s=100u(t ) V. + i L vC 50mH
5k Ω
+
v s
−
0,05µF
−
13. Carilah tanggapan status nol dari vC dan i L pada rangkaian berikut jika v s=[10cos20000t ]u(t ) V. 500Ω
+
v s
−
0,05µF
+ i L vC 50mH
−
14. Carilah i pada rangkaian berikut, jika i s=100u(t ) mA dan tegangan awal kapasitor adalah vC (0) = 10 V. 0,05µF i
i s
5k Ω
5k Ω
15. Ulangi soal 14 untuk i s=[100cos400t ] u(t ) mA. 16. Carilah vo pada rangkaian berikut, jika i s=100u(t ) mA dan arus awal induktor adalah i L (0) = 10 mA. 5k Ω i s
0,1H
5k Ω
+ vo
−
17. Ulangi soal 16 untuk i s = [100cos400t ] u(t ) mA. 18. Carilah tanggapan status nol dari v L pada rangkaian berikut, jika v s= 10u(t ) V , i s = [10sin400t ]u(t ) mA.
+
−
0,5k Ω + v L v s
−
i s 0,1H 0,5k Ω
2-18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
19. Carilah tanggapan status nol dari v2 pada rangkaian berikut jika v s = o [10cos(900t +30 )] u(t ) V. 10mH +
v1
−
+ v2
10k Ω 1µF 10k Ω
−
20. Ulangi soal 17 jika tegangan awal kapasitor 5 V sedangkan arus awal induktor nol. 21. Pada rangkaian berikut carilah tanggapan status nol dari tegangan keluaran vo(t ) jika tegangan masukan vs(t )=10u(t ) mV. 10k Ω vs
i 10k Ω
+
−
100i
1k Ω
0,1µF
+ vo
−
100k Ω
22. Pada rangkaian berikut carilah tanggapan status nol dari tegangan keluaran vo(t ) jika tegangan masukan vs(t )=10u(t ) mV. 10k Ω vs
i
2pF
+
−
+ vo
10k Ω
−
50i
20pF 1k Ω
23. Untuk rangkaian berikut, tentukanlah vo dinyatakan dalam vin. C 2
2
1
+
+ vin
− C 1
+ vo
2-19
10k Ω 10k Ω
−
+ vin
+
1µF
C 1
+ vo
2
1
+ vin
−
C 2
+
+ vo
2
i2
i1
26. Untuk rangkaian transformator linier berikut ini tentukanlah i1 dan i2 .
+
50Ω
1
− 50u(t ) V
2
1=0,75H
80Ω
2=1H
= 0,5H
27. Pada hubungan beban dengan transformator berikut ini, nyatakanlah impedansi masukan Z in sebagai fungsi dari M.
Z in
1
1=20mH
2
50Ω
2=2mH
28. Berapakah M agar Z in pada soal 27 menjadi Z in
=
0,02 s(0,2 s + 25000) s + 25000
29. Jika tegangan masukan pada transformator soal 28 adalah vin = 10 cos 300t V , tentukan arus pada beban 50 Ω.
2-20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
2-21
