Sergio Velásquez-Ronny Velásquez
Fundamentos de Análisis Numérico para Ingeniería
Fundamentos de Análisis Numérico para estudiantes de Ingeniería
Depósito Legal lfi-085-2015-620-937
ISBN: 978-980-12-7937-2
Indíce CAPÍTULO 0 .............................................................................................. 1 GENERALIDADES...................................................................................... 1 Algunos conceptos fundamentales .............................................................. 1 Análisis numérico. ..................................................................................... 3 Métodos numéricos. ................................................................................... 4 CAPITULO I ............................................................................................... 6 TEORÍA DE ERRORES ............................................................................... 6 Introducción .............................................................................................. 6 Aproximación numérica ............................................................................. 7 Modelos matemáticos: ................................................................................ 7 Errores ...................................................................................................... 8 Error absoluto: ............................................................................................... 8 Error relativo: ............................................................................................... 10
Errores inherentes ................................................................................... 12 Errores de truncamiento .............................................................................. 13
Error numérico total ................................................................................ 13 Errores de redondeo................................................................................. 14 Redondeo de un número .......................................................................... 15 Redondeo truncado ...................................................................................... 16 Redondeo simétrico ...................................................................................... 16
Error porcentual ...................................................................................... 17 Cifras significativas .................................................................................. 19 Exactitud y Precisión. .............................................................................. 21 Precisión ....................................................................................................... 21 Exactitud ...................................................................................................... 22
Números en la computadora..................................................................... 22 Propagación de errores ............................................................................. 23 La estabilidad ............................................................................................... 25 La convergencia ............................................................................................ 25
Criterio de convergencia. .......................................................................... 25 Orden de convergencia ............................................................................. 27 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN .......................................................... 28 CAPITULO II ............................................................................................ 31 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS ................................................. 31 Introduccion ............................................................................................ 31 Interpolación polinomial ........................................................................... 31 Polinomios de interpolación ...................................................................... 33 Interpolación de Lagrange ........................................................................ 34 Error en la interpolación .............................................................................. 39 Observaciones .............................................................................................. 43
Diferencias Divididas ............................................................................... 44 Fórmula de Newton .................................................................................. 47 Estimación Del Error Usando Polinomios De Newton. ................................ 49 Polinomios interpolantes de newton con nodos igualmente espaciados. ...... 50 Formula de Newton-Gregory ..................................................................... 51 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN .......................................................... 52 CAPITULO III ........................................................................................... 55 SISTEMAS NO LINEALES ......................................................................... 55 Introduccion ............................................................................................ 55 Resolucion de ecuaciones no lineales ........................................................ 58 Orden de convergencia ............................................................................. 59
Gráfica de funciones, un método para hallar intervalos. ............................ 59 Métodos cerrados ..................................................................................... 61 Metodo de Bisección ..................................................................................... 62 Orden de convergencia ................................................................................. 63
Método de Regula Falsi, Regla Falsa o Falsa Posición ................................ 65 Regla falsa Modificada.............................................................................. 67 Metodos abiertos...................................................................................... 70 Metodo de punto fijo ................................................................................ 70 Método de Newton - Rapson ..................................................................... 75 Interpretación geométrica del método de Newton. ........................................ 81
Método de Newton modificado .................................................................. 82 Método de la secante ................................................................................ 85 Método de Muller ..................................................................................... 88 Calculo de error ............................................................................................ 92
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ................................................................ 93 CAPITULO IV ........................................................................................... 97 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES ............................................. 97 Introducción ............................................................................................ 97 Método gráfico ......................................................................................... 98 Métodos directos .................................................................................... 100 Métodos iterativos .................................................................................. 100 Punto fijo .................................................................................................... 101 Método de Newton: ..................................................................................... 106 Observaciones para el método de Newton:.................................................. 107
Método practico para resolver un sistema no lineal por el método de Newton ....................................................................................................................... 108 Orden de convergencia ........................................................................... 108 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 111 CAPITULO V .......................................................................................... 115 ECUACIONES LINEALES ....................................................................... 115 Introducción .......................................................................................... 115 Notacion de matrices:............................................................................. 117 Orden de una matriz .............................................................................. 118 Tipo de matrices .................................................................................... 118 Matriz cuadrada: ........................................................................................ 118 Matriz diagonal:.......................................................................................... 119 Matriz nula: ................................................................................................ 119 Matriz identidad: ........................................................................................ 119 Matriz fila o vector fila: ............................................................................... 119 Matriz columna o vector columna: ............................................................. 120 Matriz transpuesta: .................................................................................... 120 Matriz triangular ........................................................................................ 120 Matriz simétrica:......................................................................................... 120 Matriz antisimétrica: .................................................................................. 121 Matriz opuesta:........................................................................................... 121 Matriz ortogonal ......................................................................................... 121 Matriz singular ........................................................................................... 121
Operaciones con matrices ...................................................................... 122 Adición de matrices .................................................................................... 122 Sustracción de matrices ............................................................................. 122
Transposición de matrices ...................................................................... 123 Producto de una matriz por un escalar ................................................... 124 Producto de matrices ............................................................................. 124 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 126 Determinantes ....................................................................................... 127 Propiedades de los determinantes: .......................................................... 127
Resolución de un determinante de 2° orden: ........................................... 130 Determinante de 3er orden..................................................................... 130 Regla de Sarrus: .................................................................................... 131 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 131 Sistemas lineales ................................................................................... 132 Clasificación de un sistema lineal ........................................................... 133 Métodos exactos .................................................................................... 135 Métodos iterativos .................................................................................. 135 Sistemas equivalentes ............................................................................ 135 Operaciones elementales ............................................................................ 135 Transformaciones elementales ................................................................... 136 Mal condicionamiento ................................................................................ 136 Sistema bien condicionado ......................................................................... 137
Método de determinantes ....................................................................... 137 Regla de Cramer: ........................................................................................ 137
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 139 Métodos Iterativos.................................................................................. 140 Método de Jacobi........................................................................................ 140 Método de Gauss - Seidel ........................................................................... 142 Otra variante para la explicación del Método de Gauss – Seidel ................. 145
Sistemas Triangulares............................................................................ 148 Eliminación de Gauss................................................................................. 148 Algoritmo de eliminación ............................................................................ 148 Descomposición LU .................................................................................... 151
Cálculo de la matriz inversa ................................................................... 155 Técnica eficiente para la solución de sistemas tridiagonales ...................... 156
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 158 CAPITULO VI ......................................................................................... 160 INTEGRACIÓN NUMÉRICA..................................................................... 160 Introducción .......................................................................................... 160 Conceptos básicos ................................................................................. 161 Método de Serie de Potencias.................................................................. 162 Método Gráfico ...................................................................................... 163 Métodos Numéricos................................................................................ 163 Regla del rectangulo ................................................................................... 166 Regla del punto medio ................................................................................ 171
Fórmulas de Newton - Cotes ................................................................... 175 Metodo del Trapecio. .............................................................................. 178 Regla el trapecio Generalizada.................................................................... 179
Regla de (1/3) de Simpson...................................................................... 182 Regla de Simpson 3/8 ............................................................................ 187 Método de Boole .................................................................................... 191 En resumen ........................................................................................... 191 Regla 1/3 de Simpson ............................................................................ 192 Regla 3/8 de Simpson ............................................................................ 193 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 193 CAPITULO VII ........................................................................................ 195 DERIVACIÓN NUMÉRICA....................................................................... 195 Introducción .......................................................................................... 195 Método de Diferencias Finitas................................................................. 198 Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante ........................................ 199 Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás ............................................. 202 Inestabilidad numérica de las fórmulas de diferencias finitas................... 205 Fórmulas de diferencias centrales........................................................... 206 CAPITULO VIII ....................................................................................... 219
ECUACIONES DIFERENCIALES ............................................................. 219 Introducción .......................................................................................... 219 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 225 Método de Euler..................................................................................... 227 Convergencia de un método numérico. ................................................. 230 Convergencia del método de Euler. ......................................................... 230 Consistencia del método de Euler. .......................................................... 233 Estabilidad del método de Euler. ............................................................ 233 Convergencia de un método numérico, por desigualdades. ...................... 235 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 237 Algunos métodos monopaso lineales. ...................................................... 238 El método de Euler implícito. Diseño y análisis. ...................................... 239 Consistencia del método de Euler Implícito: ............................................... 240 Estabilidad del método de Euler Implícito: ................................................. 241
Los métodos de Taylor.......................................................................... 242 Aproximaciones integrales. ..................................................................... 243 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 244 Los métodos de Runge-Kutta. ................................................................. 245 Métodos Monopaso No Lineales. ............................................................. 245 Consistencia de un método de Runge-Kutta. ........................................... 245 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 248 Introducción a los métodos multipaso. Los métodos BDF. ....................... 249 Aproximaciones de la derivada. .............................................................. 251 Los métodos BDF. .................................................................................. 251 Un método inestable. ........................................................................... 253 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 255 Los métodos de ADAMS.......................................................................... 255 Construcción de los métodos de Adams. ................................................. 256 Método de Adams-Bashforth de un paso. ................................................ 257 Método de Adams-Bashforth de dos pasos. ............................................. 257 Método de Adams-Bashforth de tres pasos. ............................................. 258 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 259 Estudio general de los métodos multipaso lineales. ................................. 260 EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN ........................................................ 261
La elaboración de este libro de Análisis Numérico, surgió de la necesidad de contar con un material que incluya todos los contenidos exigidos por la cátedra del mismo nombre, considerando que los tratados sobre Análisis numérico, no son de uso corriente, es más, su estudio y escritos se limitan a pocos autores. Este libro de Análisis Numérico está dividido en capítulos bien diferenciados, para facilitar su estudio en forma organizada y didáctica, presentando algunas características que facilitan el estudio y aprendizaje de cada contenido. Entre estas características se tienen que: Cada
contenido
cuenta
con
los
teoremas
que
sustentan
matemáticamente y definen los contenidos desarrollados. Si bien la mayoría de los teoremas se presentan sin demostración, en cada caso se citan las fuentes, para acceder a tales demostraciones. Al final de cada capítulo se presentan abundantes ejercicios de consolidación, con las soluciones incluidas, que serán de utilidad a la hora de realizar la verificación de los ejercicios de consolidación después de resolverlos. Espero que este libro de Análisis Numérico, sea de verdadera utilidad para cada estudiante, en la tarea de estudiar, comprender y aprender el Análisis Numérico.
GENERALIDADES
CAPÍTULO 0
Algunos conceptos fundamentales El análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos. Los
ordenadores son
útiles
para
cálculos
matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. El Análisis Numérico también consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las calculadoras y computadoras, programas informáticos, etc.) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo. El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.
El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver problemas con ayuda de una computadora. La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica. La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica. Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el comportamiento de la solución. El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado. Las aplicaciones del Análisis numérico son muy amplias, y entre las operaciones que se pueden realizar con ella se citan algunas: Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales. Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales. Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos. Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones. Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la función se conoce solo como una tabla de valores. Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de valores. Obtención de integrales múltiples. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales de las variables pudiendo ser de cualquier orden y complejidad. Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores característicos y vectores característicos. Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones diferenciales parciales.
Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de métodos numéricos variados. Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas, que solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado es práctico resolver problemas de esta forma. Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un programa. La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones, cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos procedimientos de análisis numérico son iterativos. Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos generales: Plantear claramente el problema. Obtener un planteamiento matemático del problema. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte más difícil en la resolución de problemas. Análisis numérico. Es el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función. El estudio del análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación. El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, teniendo en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo, como
las calculadoras o las computadoras, que facilitan enormemente la ejecución de las instrucciones del algoritmo. El estudio del análisis numérico facilita la comprensión de los conceptos matemáticos puros, sobre todo teniendo en cuenta que observando cómo algunos de ellos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales. Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. Métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales se posibilitan formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: Son iterativas, o sea, invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos. Un buen conocimiento de los métodos numéricos permite diseñar programas propios aplicables a utilidades específicas. Con los métodos numéricos se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Las situaciones que se verán con bastante frecuencia en el estudio del cálculo numérico son las aproximaciones y los errores, sean estos pequeños o importantes, por lo tanto, el análisis de una situación problemática y los márgenes necesarios de precisión deben delimitar los criterios a ser utilizados
en cada situación, sean estos referidos a los errores tolerables o las precisiones necesarias para la obtención de resultados confiables.
TEORÍA DE ERRORES
CAPITULO I
Introducción En la actividad matemática, la ingeniería, la informática y muchas otras ciencias, existen fenómenos muy variados que necesariamente deben ser representados por modelos matemáticos. Estos modelos, por su complejidad o por características particulares no presentan soluciones exactas y las más de las veces no son fáciles de hallarlas, y es aquí, donde los métodos numéricos proporcionan soluciones aproximadas a los problemas que surgen de situaciones muchas veces no solucionables por métodos matemáticos tradicionales. El cálculo numéricos es aquel que aplicando métodos obtiene resultados numéricos que se aproximan a los resultados exactos que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema; estos resultados pueden ser hallados con la precisión que se desee y precisando con anterioridad los márgenes de errores de acuerdo a la rigurosidad y precisión de los resultados esperados. Los métodos numéricos se utilizan para resolver problemas que presentan dificultad para hallar soluciones por medio de los métodos analíticos tradicionales, o situaciones problemáticas que no sean sencillos de resolverlos. Estos métodos proporcionan una sucesión de valores que se aproxima a la solución del problema. Al resolver un problema por métodos numéricos se tendrán siempre presente los errores, siendo éstos de distintos tipos. Al aplicar un método numérico a cualquier situación problemática, se debe emplear un criterio de convergencia, citando con antelación la precisión que se necesite de acuerdo al tipo de problema a solucionar.
Al final, el objetivo de los Métodos Numéricos es simplemente resolver problemas numéricos complejos utilizando operaciones matemáticas simples, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos proporcionados, denominándose algoritmos a estos métodos de cálculo. Aproximación numérica En la práctica, los cálculos realizados y los resultados esperados no siempre son exactos, sobre todo en la ciencia y la ingeniería, y muchas veces se debe estar conforme con los resultados obtenidos que son aproximaciones bastantes precisas y validas, brindadas por los métodos numéricos. Por la dificultad que presenta muchas veces elaborar un modelo matemático que se acerca o sea válida para lo que se desea, los resultados obtenidos de tales modelos son casi siempre aproximados; debido a simplificaciones en la elaboración de los modelos y muchas veces por no tomar todos los factores que afectan a un determinado fenómeno. Un ejemplo simple de física seria lo referido a problemas de caída libre, donde se desprecia el rozamiento del aire con el cuerpo en caída libre, sin embargo, en ciertas condiciones, esta situación puede ser muy importante y muy relevante en la solución real del problema. Modelos matemáticos: Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea formulaciones matemáticas para expresar relaciones, proposiciones, variables, parámetros, entidades y las relaciones entre variables, operaciones o entidades, para analizar y estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difícilmente observables en la realidad. En matemáticas el significado de modelo matemático, es un poco diferente, pues se trabaja con modelos formales. Un modelo formal para una determinada teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto
de axiomas de la teoría. La teoría de modelos es la encargada de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos matemáticos. Los modelos matemáticos requieren de parámetros, que en la mayoría de los casos provienen de mediciones experimentales y, por lo tanto, tienen una precisión limitada, que depende de factores externos como los instrumentos de medición, el clima o los métodos aplicados. Los
modelos
matemáticos
resultantes
de
una
modelización
normalmente son imposibles de resolver por métodos analíticos conocidos y la solución deseada solamente es posible aproximar por métodos numéricos. Por ejemplo una ecuación de quinto grado. Errores Los métodos numéricos presentan errores inevitables, por lo tanto se debe considerar tal situación como algo inherente al cálculo numérico. Error absoluto:
Definición 1.
Si
absoluto como:
, es una aproximación a x, se define el error =|
|
En forma práctica puede representarse el valor verdadero con VV y el valor aproximado con VA, esto es por el excesivo uso de la x en este material, por lo tanto, el error absoluto también puede definirse como la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado y se representarse por: =|
Teorema 1.
|
El error absoluto de una suma es igual a la suma algebraica de los errores absolutos de los términos que participan en dicha operación. En varios números aproximados en el mismo sentido, el error absoluto de la diferencia es menor que el mayor de los errores absolutos de sus
términos. El sentido del error es del mismo sentido si el error del minuendo es mayor que el del sustraendo, y de distinto sentido en caso contrario. Ejemplo 1. Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. Verifica si se cumple el Teorema 1. Solución Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. El error absoluto es: 0,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. El error absoluto es: 0,1 Luego:
5 - 2 = 3; diferencia entre las cantidades exactas.
5,3 - 2,1 = 3,2; diferencia entre las cantidades aproximadas. 0,3 - 0,1 = 0,2; diferencia entre los errores absolutos. El error absoluto de la diferencia es 0,2, y 0,3 es el mayor error absoluto de uno de sus términos; por lo tanto: 0,2 < 0,3, cumple la condición. El error es del mismo sentido ya que el error del minuendo es mayor que el error del sustraendo. Ejemplo 2. Sean: 8, 2 y 10 los números exactos y su suma: 8 +2 + 10 = 20. Sean: 8,2; 2,1 y 10,2 los números aproximados y su suma: 8,2 + 2,1 + 10,2 = 20,5. Hallar el error absoluto. Solución =|
| = 0,5
La suma algebraica de los errores absolutos es: 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,5
Ejemplo 3. Sea el resultado de una operación en donde se comprueba que el valor exacto es 8 y El valor aproximado hallado es 8,2. Calcular el error absoluto. Solución |= |
=|
8.2| = 0.2
Existen varias maneras de representar el error absoluto, una de las formas también utilizada con frecuencia es. =|
|
o
Error relativo:
Definición 2.
=|
|
Si
, es una aproximación a x, se define el error
absoluto como:
=
|
| |
|
0
En forma práctica, el error relativo se define como el cociente entre en error absoluto y el valor verdadero, se representa por: =
|
| |
|
=
| |
0
Teorema 2.
El error relativo de una suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el mayor de los errores relativos de los sumandos, mientras tales números presenten errores relativos del mismo sentido. Ejemplo 4. Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados respectivamente. Demostrar el cumplimiento del Teorema 2
Solución Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y su suma: 2 +10 + 5 = 17 Sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados y su suma: 2,1 + 10,2 + 5,3 = 17,6 El error absoluto de la suma es: 17,6 - 17 = 0,6 El error relativo de la suma es:
= 0,035294117
El error relativo de cada sumando es: 0,05; 0,02 y 0,06 Luego: 0,02 < 0,0352< 0,06 Por lo tanto cumple la condición.
Dos
Teorema 3.
números tienen el mismo valor que la suma de los errores
relativos de los factores más el producto de esos mismos errores. Ejemplo 5. Sean: 5 y 10 los números exactos y sean 5,3 y 10,2 los números aproximados, respectivamente. Realiza las operaciones para demostrar el Teorema 3 Solución Sean: 5 y 10 los números exactos y su producto: 5 x 10 = 50 Sean 5,3 y 10,2 los números aproximados y su producto: 5,3 x 10,2 = 54,06 El error absoluto del producto es: 54,06 - 50 = 4,06 El error relativo es:
= 0,0812
El error relativo entre 5 y 5,3 es 0,06 El error relativo entre 10 y 10,2 es 0,02 Luego:
0,06 + 0,02 + (0,06 x 0,02) = 0,06 + 0,02 + 0,0012 = 0,0812. Por
lo tanto cumple la condición al tener la igualdad: 0.0812 = 0,0812
Teorema 4.
El error relativo del cociente de dos números dados es igual a la suma o la diferencia de los errores relativos de los datos, dividida por el menor más uno. Ejemplo 6. Sean: 8 y 2 los números exactos, y cuyos números aproximados respectivamente sean: 8,2 y 2, Verificar el Teorema 4 Solución Sean: 8 y 2 los números exactos y su cociente:
= 4
Sean: 8,2 y 2,1 los números aproximados y su cociente: 8,2/2,1 = 3,904... El error absoluto es: 3,904 - 4 = - 0,096... =
El error relativo es: 0,025.
0,024
El error relativo entre 8 y 8,2 es
El error relativo entre 2 y 2,1 es 0,05
Luego:
0,025 0,05 0,025 1
Errores inherentes
=
0,025 1,025
0,024
Estos errores se deben principalmente a aquellos datos obtenidos experimentalmente y que corresponden a los datos de entrada de un problema, debido principalmente al instrumento de medición empleado, como a las condiciones de realización del experimento.
Errores de truncamiento Estos errores son originados por aproximación de soluciones analíticas de un determinado problema por medio de métodos numéricos
=1+
1!
+
2!
+
3!
,
=0
!
Por medio de la serie de Taylor se evalúa la función exponencial, que dicho sea de paso, es una serie infinita. Siendo imposible tomar todos los términos de la serie, se requiere cortar o truncar dicha serie después de cierto número de términos. Esta situación introduce a un error, que es el error de truncamiento, que depende del método numérico empleado e independiente de la manera de realizar los cálculos. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). Error numérico total El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces, ¿qué criterio utilizar? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. En la práctica se debe considerar que actualmente las computadoras tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que
antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar de considerar su aporte al error total. Errores de redondeo Estos errores se presentan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y se deben a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como productos y cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo, normalmente, una calculadora. En este tipo de error existen dos situaciones que pueden perjudicar la precisión de la operación y son: a- Cuando se suman una sucesión de números, especialmente si estos decrecen en valor absoluto. b- Cuando se halla la diferencia entre dos números casi idénticos, ya que se cancelan los dígitos principales. Cuando
las
cantidades
estudiadas
pertenecen
a
los
números
irracionales las calculadoras y los computadores cortan los números decimales introduciendo así un error de redondeo. Para ilustrar, un ejemplo; el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito. Si se corta el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) se está obteniendo u error de 0.000000008. ..
= 2.718281828
2.71828182 =
Sin embargo, considerando que el número que seguía al corte era mayor
que 5, entonces conviene dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de
= 2.118281828
2.11828183 =
términos absolutos es mucho menor que el anterior.
0.000000002.. , que en
En general, el error de corte producido por las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas. Dependiendo de la magnitud de los
números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener incidencia importante en el cálculo final. Redondeo de un número Con el redondeo de un número lo que se pretende es escribir un numero con menor cantidad de dígitos significativos, representando dicha cantidad con el menor error posible. Para redondear un número se fija a que cifra significativa se va a redondear dicho número. Si el número a la derecha de la cifra fijada es mayor o igual a 5, se suma uno en el lugar donde se quiere redondear, si es menor a 5, se deja el número donde se quiere redondear sin agregarle nada. Ejemplo 7. Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos: a) 27,0670
b) 37,23
c) 7,415
Solución a) 27,0670 = 27,1 b) 37,23 = 37,2
c) 7,415 = 7,42
Ejemplo 8. Redondea las siguientes cantidades a números enteros: a) 23,617
b) 237,21
c) 7,5
Solución a) 23,617 = 24
b) 237,21 = 237
c) 7,5 = 8
Ejemplo 9. Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales: a) 57,2367 b) 0,789 Solución
c) 92,3341
a) 57,2367 = 57,24 b) 0,789 = 0,79 c) 92,3341 = 92,33 Redondeo truncado El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí se redondea -
a cuatro cifras se significativas se tiene 0.4285
Redondeo simétrico El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Por ejemplo sí se redondea
a4
cifras significativas tenemos 0.4286. Para verificar estos dos tipos de errores, se realiza la siguiente operación: 3 4 + =1 7 7
Empleando únicamente 4 cifras significativas y usando los dos tipos de redondeo. Se obtiene: 0.4285 + 0.5714 = 0.9999 (Redondeo truncado) 0.4286 + 0.5714 = 1.0000 (Redondeo simétrico) Se concluye que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos.
Error porcentual Este tipo de error consiste simplemente en el error relativo expresado en por ciento (%). Se expresa matemáticamente por: %= %=
|
Ejemplo 10.
| |
Calcular la función
| |
|
| |
100%;
100% =
, para
| |
0
100%;
0
= 2 por métodos numéricos y halla su
error absoluto, el error relativo y el error porcentual. Considera el cálculo de sen x con S3. Solución (2) mediante su serie de Taylor. La
Calcular el valor de la función serie de Taylor de la función seno es:
( )
3!
+
5!
,
7!
=0
1)
+1
Como es imposible realizar la suma total de la serie, se debe truncarla en algún punto, así se obtiene la sucesión:
Si se denota como
=
3!
3!
Se obtiene la sucesión: El límite será:
3!
+
5!
3!
3!
+
5!
,...,
+
5!
7!
3!
+
5!
7!
=
Calculo de sen x con S3 partiendo de la serie de Taylor para la función seno:
( )
3!
+
5!
,
7!
(2) = 2
sen(2) = 2
=0
2 2 + 3! 5!
1.33333 + 0.26666
1)
2 7!
+1
0.02540 = 0.90793
El valor verdadero es sen(2) = 0.909297426
Calculo de error =| =
|
| = |0.909297426 | |
|
=
| |
=
9.90793| = 0.001367426
0.001367426 = 0.001503826978 |0.909297426|
% = 0.001503826978 100% = 0.15%
Ejemplo 11.
Calcular la función
, para
= 2 por métodos numéricos y halla el
error absoluto, el error relativo y el error porcentual. Considera el cálculo de sen x con S4. Solución
Calculo de sen x, con S4 partiendo de la serie de Taylor para la función seno
( )
3!
+
5!
7!
,
=0
1)
+1
(2) = 2
(2) = 2
2 2 + 3! 5!
1.333333 + 0.266667
2 2 + 7! 9!
0.025397 + 0.001411 = 0.909348
El valor verdadero es sen(2) = 0.909297426
Calculo de error =| =
| = |0.909297426
|
| |
|
=
| |
=
0.09348| = 0.000050574
0.000050574 = 0.0000556188 |0.909297426|
% = 0.0000556188 100% = 0.00556%
Conclusión: al comparar los resultados hallados en los ejemplos 3 y 4, se verifica que la precisión del valor hallado es consistente con el valor real o verdadero, sin embargo se nota que con una sola iteración mas, la precisión aumentó enormemente, pasando de un error porcentual de 0.15% de S3 a 0.00556% de S4, que puede considerarse valor totalmente apropiado para la función buscada. Cada caso presenta situaciones particulares, puede suceder que, como en este caso, con muy pocas iteraciones se pueda conseguir un resultado óptimo; sin embargo hay otros casos similares en que no sucede tal cosa. Existen situaciones en que debido a la gran cantidad de cálculos realizados, los redondeos propios de toda operación numérica crece tanto en valor absoluto, que los resultados obtenidos a veces ni siquiera tienen sentido, el error crece en forma exponencial y el método no presenta estabilidad. Mientras más operaciones se realizan la posibilidad de error aumenta. Cifras significativas Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.
Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Las cifras significativas se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Muchos de los cálculos contenidos en los problemas de la vida real tratan con valores aproximados, entendiéndose que en toda medición existen errores, que la precisión en las mediciones y en los cálculos es casi imposible. Los dígitos significativos se encuentran contando los números de izquierda a derecha, partiendo del primer dígito no cero y terminando en el último dígito presente. Es conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal. Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas. Ejemplo 12. Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas) Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas) 40072 ( cinco cifras significativas) 3.001 ( cuatro cifras significativas)
0,000203 ( tres cifras significativas) Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Así, si se desea que el cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, se deben obtener números que correspondan o sean menor a: (0,5 10
2) = 0,5%
Esto servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado. Ejemplo 13. Subraya los dígitos significativos de cada cantidad. Solución Los dígitos significativos en los siguientes números están subrayados. ) 621,39
Precisión
) 7,400
) 0,000230
) 0,003
En el cálculo numérico, la precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad.
Exactitud La exactitud se refiere al grado de aproximación que se tiene de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa, o sea, que tan cerca está del valor buscado. Por ejemplo, sí se lee la velocidad del velocímetro de un auto, esta tiene una precisión de 3 cifras significativas y una exactitud de +5kph. Números en la computadora La computadora es un dispositivo de cálculo, ésta trabaja con un conjunto de números, que no es precisamente el de los números reales. El conjunto de los números reales, presenta algunas características como: Es infinito en ambos extremos. Es continuo. Cada número puede tener una cantidad ilimitada de cifras. Los números pueden ser tan pequeños como se desee. El conjunto de los números que se manejan en una computadora presenta las siguientes características: Es finito en ambos extremos. No es continuo. Cada número tiene una cierta cantidad máxima de cifras. Los números no pueden ser tan pequeños como se desee. Una computadora almacena los números en sistema binario, usando un número determinado de bytes, dependiendo del tipo de dato y de la computadora que se emplee, presentando las siguientes características:
Existe un límite al intervalo de valores que se puede manejar. Se limita la cantidad de cifras que se emplean para representar un número. El conjunto de números no es continuo sino discreto. O sea, existen huecos entre un número y otro. Producen errores de redondeo Al convertir los números al sistema binario. Cuando el resultado es muy pequeño y la capacidad de representarlo es superada, se redondea comúnmente a 0. Cuando el resultado es muy grande y puede ocasionar un error al aproximarse al mayor valor que se pueda representar. La computadora funciona o trabaja con lo que se conoce como aritmética de dígitos finitos, causando que ciertos hechos que se toman como ciertos, no lo sean en un momento dado, generando cálculos aritméticos que ocasionan más error La aritmética de dígitos finitos lleva a resultados aceptables. Cualquier operación numérica tiene sus casos problemáticos y los más comunes son: División entre números cercanos a 0. Multiplicación por números grandes. Suma de cantidades de distinto orden de magnitud. Resta de números casi iguales. Propagación de errores Los métodos numéricos generalmente consisten en la realización de muchos cálculos, y esta situación no permite predecir qué efecto producirá al
resultado el error de redondeo que se acumula en cada operación. Para estimar el efecto del error de redondeo que se acumula y de las posibilidades de corrección, se aplican las siguientes situaciones: Uso de la aritmética de precisión doble, que consiste en resolver el problema dos veces, una con aritmética de precisión simple y otra con aritmética de precisión doble. La solución se toma considerando solo las cifras que no hayan cambiado. El inconveniente es que los cálculos de precisión doble toman más tiempo que los de precisión simple, además de resolver dos veces el mismo problema. Uso de la aritmética de intervalo, que consiste en retener en cada paso el valor más pequeño y más grande que puede tomar el valor buscado, para que al final se obtenga un intervalo que contenga el valor real. El inconveniente que presenta este procedimiento es que no se sabe con exactitud en qué parte del intervalo estará la solución, aunque comúnmente se supone que a la mitad; esta situación consume el doble de tiempo y memoria al almacenar los límites superior e inferior en los que puede estar la solución. Uso de aritmética de dígitos significativos, que consiste en retener en cada etapa solo las cifras que se piensa son significativas. La desventaja es que se pierde información y no se tiene certeza de que tan significativa es una cifra. Enfoque estadístico, consiste en suponer un comportamiento aleatorio con una distribución de probabilidad conocida. De todas las aplicaciones posibles para mejorar y precisar los resultados numéricos es el que ha dado mayor éxito. Los tipos de errores mencionados anteriormente se propagan de distinta manera. Para estudiar la forma de propagación de los errores en conjunto, hay que definir dos conceptos nuevos, la estabilidad y la convergencia
La estabilidad Todo problema requiere datos de entrada, que origina por lo menos una salida. Sí cambios pequeños en los datos de entrada producen cambios pequeños en la salida, se dice que el algoritmo es estable o problema bien condicionado, en caso contrario se dice que el algoritmo es inestable o problema mal condicionado. Si el error después de n operaciones se puede representar por (n) = kn , se dice que el error es lineal. En cambio si el error se representa
por
(n) = k
para k > 1, el crecimiento del error se dice que es exponencial.
k es una constante independiente de n. El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando k y n son pequeños, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el término kn será grande, aun para valores relativamente pequeños de n. Por lo tanto sí el crecimiento del error es lineal el método es estable y si es exponencial es inestable. La convergencia Los métodos numéricos obtienen n términos de una sucesión de valores. Comenzando con un valor inicial que sea una aproximación de la solución de un problema x0. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación x1. El procedimiento se repite para obtener x2 y así sucesivamente, es decir, se generar la sucesión x0, x1, x2,..., xn; donde todos los términos son aproximaciones a la solución del problema. Sí la sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente, en caso contrario el método es divergente. Criterio de convergencia.
Definición 3.
Por definición de convergencia se tiene que si un método numérico
es convergente, entonces debe ocurrir que:
=
En la práctica esto es imposible de conseguir, razón por la cual se debe optar por algún criterio que permita decidir si existe o no la convergencia. Este
criterio se denomina criterio de convergencia. El criterio de convergencia puede implementarse usando los parámetros de cuantificación del error., que son: el error absoluto, error relativo y error porcentual: La convergencia existe cuando: Error absoluto: lim
Error relativo: lim Error porcentual:
Estos
criterios
= lim
lim
son
= lim
= 0
= lim
simplemente
= 0
100
teóricos,
= 0
porque
no
presenta
practicidad a la hora de ponerlos en práctica, porque no es posible tomar límites con métodos numéricos, no se conoce el valor real de x y no es posible lograr el 0. Buscando practicidad se deben modificar criterios. Al no conocer el valor real de x se emplea el que esté más cerca, o por lo menos el que se cree es el valor más cercano, o sea, el valor de la última iteración. Como tampoco es posible lograr el 0, se elige un criterio de convergencia en base a una tolerancia predeterminada, empleando valores absolutos para tomar en cuenta el signo del error. Finalmente se obtiene: Error absoluto:
= |
Error relativo: lim Error porcentual:
|
= lim
= 100|
Tolerancia
|=
Tolerancia
Tolerancia
Como es imposible tomar el límite, el método numérico se aplica hasta que se cumpla alguno de los criterios anteriores, por lo tanto no se conoce de antemano el número de iteraciones a realizar. Para fijar la tolerancia se debe tener en cuenta que: Debe de ser un número pequeño, no negativo, distinto a 0.
La tolerancia más pequeña posible se obtiene tomando en cuenta el número de cifras significativas, que maneje el instrumento de cálculo que se utilice. Si se usa una calculadora, no es posible lograr más de 8 cifras significativas. No debe fijarse una tolerancia que sobrepase la precisión que pueda alcanzarse en un laboratorio, ya que el valor calculado no podría verificarse con la precisión obtenida. Se fija la tolerancia dependiendo de para que se quieran los resultados. Si se requiere una estimación burda de la solución la tolerancia puede ser baja, una o dos cifras significativas. Pero si se desea precisión, la tolerancia debe de ser la mayor que se pueda alcanzar. Un valor típico de precisión es de cuatro cifras. El criterio de convergencia debe ser fijado considerando la importancia del resultado buscado, teniendo en cuenta que puede ocurrir que algunos problemas no presentan convergencias. El criterio de convergencia basado en el error, da una idea de los decimales que se han alcanzado. El número de ceros después del punto decimal, indica cuantos decimales correctos se tiene, lo que no define es cuantas cifras significativas se tienen. El criterio de convergencia basado en el error relativo permite conocer el número de cifras significativas alcanzado. Este criterio es más útil que el anterior. Dado que el teorema es válido solo con el error relativo real. El problema que presenta es que no es aplicable si la solución del problema es 0. El criterio del error porcentual es esencialmente equivalente al caso anterior. Orden de convergencia En la práctica interesa mucho que tan rápido converge un algoritmo para llegar a la solución buscada. Mientras menor sea el número de iteraciones requerido para alcanzar la precisión deseada, mayor será la
velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia se define por la siguiente ecuación: | |
|
|
+1
La A es una constante que depende del método numérico empleado y de la solución del problema, se supone que es distinta de 0. El exponente a es una constante dependiente normalmente solo del método numérico. Esta ecuación puede escribirse de otra manera: |
|
|
|
Esta ecuación dice que el error de una iteración es aproximadamente proporcional a una potencia del error de la iteración anterior. Suponiendo que exista convergencia, entonces los errores deben de tender a 0. En esta ecuación es más importante el exponente a. Dado que los errores tienden a 0, mientras mayor sea el valor de a, menor será el número de iteraciones que se requieren. A mayor orden de convergencia mayor velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia normalmente es un valor constante. Un valor típico es 1, entonces el método numérico tiene convergencia lineal. Otro valor frecuente es 2, en este caso se dice que el método tiene convergencia cuadrática. Existen métodos de convergencia cubica, cuartica, etc., pero a medida que aumente el orden de convergencia también el método es más complicado. El orden de convergencia no necesariamente es un entero, aunque, normalmente lo es. EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 1.- Completa el siguiente cuadro con el valor de los errores absolutos, relativos y porcentuales.
Valor exacto 82 221 105 53
Valor aproximado 82,87 219,22 106,37 51,93
Error absoluto
Error relativo
Error porcentual
Ejercicio 2.- Sean los valores exactos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 10 y los valores aproximados respectivos: 1,1; 2,1; 3,2; 3,9; 5,2; 6,3; 6,8; 8,1; 9,2; 10,3. Halla los errores absolutos, los errores relativos y los errores porcentuales de cada una de las cantidades presentadas respectos a sus cantidades aproximadas. Para la realización de este ejercicio es importante construir una tabla de valores. Ejercicio 3.- Demuestra en las siguientes operaciones que el error absoluto de una suma es igual a la suma algebraica de los errores absolutos de los términos que participan en dicha operación. 2 + 5 + 7 = 14 2,1 + 5,2 + 7,2 = 14,5 3 + 6 + 2 = 11 3,2 + 6,3 + 2,1 = 11,6 9 + 10 + 4 = 23 9,2 + 10,3 + 4,1 = 23,6 Ejercicio 4.- En la diferencia de dos números demuestra que el error absoluto
de la diferencia es menor que el mayor de los errores absolutos de sus términos.
9 2 = 7 9,2 2,1 = 7,1 5 1 = 4 5,2 1,1 = 4,1 10 3 = 7 10,3 3,2 = 7,1 Ejercicio 5.- En las siguientes sumas demuestra que el error relativo de la
suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el mayor de los errores relativos de los sumandos.
3 + 5 + 7 = 15 y 3,2 + 5,2 + 7,2 = 15,6 2 + 6 + 9 = 17 2,1 + 6,3 + 9,2 = 17,6 9 + 10 = 19 9,2 + 10,3 = 19,5 Ejercicio 6.- Demuestra que el error relativo del producto de dos números tiene el mismo valor que la suma de los errores relativos de los factores más el producto de esos mismos errores. 3
7 = 21 2 10 = 20 5 9 = 45
3,2 2,1 5,2
7,2 = 23,04 10,3 = 21,63 9,2 = 47,84
Ejercicio 7.- Demuestra que el error relativo del cociente de dos números dados es igual a la suma o la diferencia de los errores relativos de los datos, dividida por el menor más uno. 7 3 = 2,333 7,2 3,2 = 2,25 9 2 = 4,5 9,2 2,1 = 4,38 10 4 = 2,5 10,3 4,1 = 2,512 Ejercicio 8.- Subraya los dígitos significativos de cada expresión: ) 21,33
) 310,56
) 0,0021
) 0,30100
Ejercicio 9.- Redondea cada número presentado a continuación a tres dígitos significativos:
Ejercicio 10.-
Ejercicio 11.-
) 3,2495 = ) 0,00414 = ) 23,540 = ) 2,4315 = ) 47,0217 = ) 5,00791 = Redondea a unidades las siguientes cifras ) 2,37 = ) 37,88 = ) 7,49 = ) 0,86 = ) 21,37 = ) 82,52 = Redondea a dos cifras decimales las siguientes cantidades: ) 7,397 = ) 32,7777 =
) 53,7219 = ) 41,05321 =
) 0,5611 = ) 3,22631 =
CAPITULO II
INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS
Introduccion La aproximación de funciones es una de las ideas más antiguas del análisis numérico, siendo ahora la más usada. Es fácil entender por qué razón se presenta esa situación. Los polinomios son fácilmente computables, sus derivadas e integrales son nuevamente polinomios, sus raíces pueden ser halladas con relativa facilidad. La simplicidad de los polinomios permite que la aproximación polinomial sea obtenida de varias maneras, entre las cuales se pueden citar; interpolación, método de los mínimos cuadrados, mínimos y máximos, etc., por tanto es ventajoso sustituir una función complicada por un polinomio que la represente.
Definición 4.
El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga
una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales.
Teorema 5.
Teorema de Weirstrass
Toda función continua pude ser arbitrariamente aproximada por un polinomio. Interpolación polinomial Por el término interpolación se entiende estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una medida ponderada de sus valores conocidos en puntos cercanos al punto dado. Los métodos de aproximación polinomial son usados como una aproximación para una función situaciones.
) , principalmente, en las siguientes
), se conoce sus valores
No se conoce la expresión analítica de solamente en algunos puntos
, . . .. Esta situación ocurre con frecuencia
en la práctica cuando se trabaja con datos experimentales y es necesario manipular
) , como por ejemplo, calcular su valor en un punto
), es extremadamente
determinado, o su integral en un intervalo dado.
complicada y de difícil manejo. Entonces, a veces, es interesante sacrificar la precisión en beneficio de la simplificación de los cálculos.
La clase de los polinomios algebraicos son una de la más usada clase de funciones reales de variable real de la forma: , donde n es un entero no negativo y
...
( )=
+
+
+
son constantes reales. La
razón de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas; esto es, da una función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que está tan cerca de la función dada como se desee.
Teorema 6.
El problema de interpolación general tiene solución única si las n formas lineales son linealmente independientes.
Si
Teorema 7.
Teorema de aproximación de Weierstrass
está definida y es continua en
polinomio P, definido en |
] , dado
], con la propiedad de que )| < ,
> 0 , existe un
]
El aspecto importante que presenta los polinomios en la aproximación de funciones es la facilidad para determinar la derivada y la integral indefinida de cualquier polinomio y el resultado es otra vez un polinomio. Esta es la razón por la frecuencia de uso de los polinomios para aproximar funciones que se suponen continuas.
Polinomios de interpolación El problema general de interpolación por medio de polinomios consiste + 1 números o puntos distintos, sean éstos reales o complejos
en, dado ,...,
números =
+ 1 puntos o números reales o complejos
que
en
)
máximo n tal que:
,...,
general,
+1
son
valores
de
, determinándose un polinomio
) =
;
) =
; ...;
,...,
sean distintos.
) =
una
,..,
,
función
) de grado
Los polinomios de interpolación existen y son únicos, en la hipótesis de que los puntos
Dados valores a
tal que:
(
Teorema 8.
+ 1puntos distintos ,...,
Definición 5.
,...,
(reales o complejos) y
+ 1
existe uno y solo un polinomio de grado menor o igual
(
)
= 0,1,2,3, … ,
Se llama polinomio de interpolación de una función y = f(x) sobre
un conjunto de puntos distintos x0,x1,x2, ...,xn, al polinomio de grado máximo n que coincide con
)
,...,
. Tal polinomio será designado por
; ) y, siempre que no cause confusión simplemente por
Ejemplo 14.
Dados los pares de puntos
( ).
1, 15); (0, 8); (3, 1) , determinar el
polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Solucion De acuerdo a los datos del problema se tiene 1 =0 =3
= 15 = =8= 1=
) ) )
= 2, y se debe determinar
Se tiene tres pares de puntos, por lo tanto )
(
( )
Susyituyendo
+3
y
)
= 0,1,2
obtenemos
=8 +9
= 15
=9
= 8,
6,
=2
Resolviendo la ecuación simultánea se tiene la solución y el polinomio de interpolación de
, es:
( )=8
, o lo que es lo mismo
( )=
+ 8, Completando el ejemplo se presenta la gráfica de los puntos
citados en un plano y la gráfica de la función en el mismo plano
Figura 1.
Interpolación de Lagrange
( )=8
6 +
Para la interpolación lineal se utiliza un segmento de recta que pasa por dos puntos conocidos, sean estos puntos luego la pendiente del segmento es:
)
) dichos puntos,
( )
=
+
Aplicando propiedad distributiva: ( )
+
( )=
( )=
+
( )=
)
(
+
Es el polinomio de grado menor o igual a 1, que satisface que ( )=
;
( )=
Otra forma de encontrar este polinomio fue propuesta por
Lagrange de esta forma: ( )
=
( )
=
Luego =
+
+(
)
)
(
)
)
( )
Hallando mcm al término entre paréntesis y multiplicando por (-1)
=
Asi
Como ( )
( )
=
( ) , los cuales son lineales =
(x ) = 0,
( )
(x ) = 0,
( )=y y
tanto ( ) pasa por los puntos (
Definición 6.
Los términos
coeficientes de LaGrange
( )
=
)y(
(x ) = 0 , )
( )
(x ) = 1
( )=y
entonces por
, se definen como
De la definición anterior se tiene:
( )= =
Cuando
)
), el proceso de utilizar
] se conoce como interpolación lineal,
en
nodos. Si
<
calcular
)
reciben el nombre de
al proceso se le llama extrapolación.
Considerando la función = 0.2
) para aproximar a
=
) =
en [0.2; 1]. Usar los nodos
= 1 para construir un polinomio de interpolación lineal
(0.6).
La gráfica de la función se visualiza en la figura
Figura 2.
= 0.2 = 1.0
= =
Se aplica la fórmula para hallar
( ) =
0.2 = 0.19866933 1.0 = 0.84147098
)
) y
( )
=
0.2 1.0 + (0.19866933) 1.0 0.2 0.2 1.0
( ) = (0.84147098)
=
) = 1.051838725(
Evaluando en
(0.6) se tiene:
(0.6) = 1.051838725(0.6
0.2)
(0.6) = 1.051838725(0.4)
0.2)
0.248336662(
0.248336662(0.6
1.0)
1.0)
0.248336662( 0.4) = 0.42073549 + 0.099334664
(0.6) = 0.520070154
Calculo de error El valor verdadero de
E
–
=
0.564642473
(0.6) = 0.564642473
0.520070154
0.564642473
= 0.07893, E% = |E x100| = 7.89%
De hecho, el error generado por este método es aún muy grande, se nota la diferencia al acercar los nodos al punto que se desea evaluar. Esto indica que este método no es el mejor a ser aplicado para construir un polinomio de interpolación. + 1 puntos
En general si se tiene los ) para
= 0,1,2,3, . . . ,
,...,
el polinomio que pasa por esos
( )=
, y si
+ 1 puntos es:
)
Donde
=
(
(
)(
)(
)… ( )…(
Y la notacion mas compacta
)( )(
)(
)(
)=
)
)
(x (x
= Ejemplo 15. =
Sea = 0.2;
(6).
= 0.5;
) =
en el intervalo [0.2,1] . Usando los nodos
= 1 construir el polinomio interpolador
) y calcular
Solución = 0.2 = 0.5 = 1.0
0.2 = 0.198669 0.5 = 0.479426 1.0 = 0.841471
), teniendo en cuenta que se tienen
Se aplica la fórmula para hallar tres nodos ( )
x) x)
(
) )
) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( 0.5) 1) 0.2) 1) ( ) = 0.198669 + 0.479426 (0.2 0.5 )(05 1) (0.5 0.2)(0.5 1) ( 0.2) 0.5) + 0.841471 ( 0.2)(1 0.5) )
( ) = 0.82779 ( 0.5) + 2.10368 (
1) 0.2)
3.19617 ( 0.5)
( ) = 0.82779 ( 1.5 + 0.5) 3.19617( + 2.10368( 0.7 + 0.1)
( ) = 0.82779 1.241685 + 0.413895 3.19617 + 2.10368 1.472576 + 0.210368
0.2)
)
1)
1.2 + 0.2) + 3.835404
( ) 0.2647 + 1.21143 0.014971 (0.6) 0.2647 (0.6) + 1.21143(0.6) 0.014971 (0.6) 0.095292 + 0.6726858 0.014971 = 0.5624228
Calculo de Error
El valor verdadero de
)
(0.6) = 0.564642473
0.639234
–
E
=
0.56423
0.56464247
0.56464247
= 3.93x10 , E% = |E x100| = 0.39%
Observación: en la figura se tienen las dos funciones superpuestas en el )
intervalo estudiado, la función sen(x) y el polinomio de interpolación
Figura 3.
Error en la interpolación
( )=
) para una función
El polinomio de interpolación un conjunto de puntos distintos ) =
),
verdadero que
= 0,1,2, . . . ,
) =
0,1,2, . . . ,
se considera
calcula
) a través de
=
,...,
) sobre
cumple la propiedad
En los puntos
) . Para evaluar
=
no siempre es
) en los puntos
=
) como una aproximación para la función
) en un cierto intervalo que contangan los puntos
Sea ) =
( )
).
Teorema 9.
) continua en
Teorema de Rolle
,...,
] es diferenciable en cada punto de
), entonces existe un punto
=
<
<
, tal que
y se
). Si
) = 0.
Sea
Teorema 10. Teorema generalizado de Rolle
> 2, suponiendo que
) sea continua en
). suponiendo que ( )
exista en cada punto de
. existe entonces un punto
0
=0
) )=
Teorema 11. Teorema del término de error
) continua en
Sea )
( )
] y que
] es diferenciable y suponiendo que
exista en cada punto de ( (
)
(
( )
Donde min (
)
)=
(
), el punto
)…( ( 1)!
. Entonces
)
)
depende de x Este teorema es
más teórico que práctico. En la práctica, para estimar el error cometido al aproximar el valor de una función en un punto por su polinomio de interpolación, se utiliza el siguiente corolario:
Si en [
)
y
sus
] entonces: (
)
(
( )
derivadas
)(
|(
Teorema 12.
Cuando los puntos
)
hasta
)…( 1)!
(
(
)
orden
+1
)|
Puntos igualmente espaciados
, son igualmente espaciados de
= 0,1, . . . ,
son
continuas
) 0, esto es:
1, donde h es un número fijo. Se determina
una forma del polinomio de interpolación y de error, en términos de una variable u, definida así: = En función de la variable u, se tienen los siguientes teoremas.
Teorema 13. —
= ( —
Para r y s enteros, no negativos,
=
Para r enteros, no negativos,
Teorema 14.
teoremas anteriores se obtiene
(
( (
)=
1) … 1) …
( (
. —
1) 1)
. Usando los dos
( + 1) … ( ( + 1) … (
) )
Que es la fórmula de Lagrange de polinomio de interpolación igualmente espaciados
0 .
de
Esta
forma
de
polinomio
interpolación
es
particularmente útil en la determinación de integración numérica de funciones. Se sustituye (
)
( ) ( )
Donde min(
El
,…
polinomio
—
por (
)
(
(
) ,…
de
— (
en
)…(
(
)
max (
interpolacion
(
Ejemplo 16.
( (
1) … 1) …
Dada la siguiente tabla:
)
1) … (
se escribe en terminos de
( )=
)
)!
)
para
=
)
( + 1)!
,…
como
)
)
+ 1 puntos
sonbre
)= ( (
1) 1)
( + 1) … ( ( + 1) … (
) )
0
0.1
1
1.3499
) =
Calcular
0.2
0.3
1.8221
0.4
2.4596
3.3201
0.5
4.4817
= 0.25 usando polinomio de
en el punto
interpolación sobre tres puntos.
Hallar un límite superior para el error de truncamiento. Solución Inicialmente se escogen tres puntos apropiados en la tabla dada y a ) =
continuación se construye la tabla de 0.3,
= 0.4
0.2
0.3
0.3644
( )=
Usando
(
)…
(
(
)…
( )=
(
( (
( )=
(
(
) = (0.3644)
(
(
1) 1)(0
( )=
Y usando
)
)= (
1(1
) …(
)
) …(
)
2) = 2)
1) = 1)
2
2
+2
2
+ (0.7379)
) = 0.1083
+2
1
)=
Agrupando terminos y resolviendo (
1.3280
2) = 2)
2(2
= 0.2
0.4
0.7379 )
en el punto
1
+ (1.32800)
+ 0.2652 + 0.3644
2
=
(0.25)
Se desea clacular
=
=
Usando regla de ruffini
0.5
Se tiene
)
De (
)
(
|(
)(
= 0.5
|f (t)| = 125.4988
(
= 0.1
= 0.5
(0.25) (
( )
( ) Donde
0.1083
(
( )
1
0.2
0.2652 0.3644 0.0542 0.1597 0.3194 0.5241
(0.5) = 0.5241
Entonces
De
0.1083
0.25
1) … (
1)(
2)
1)(
2)
3!
)
( + 1)!
)
3! )|
)…( 1)!
(
)
) )
= 0.001 y apartir de
( ) = 27e (1 + t)
Por tanto
( ) = |0.5||0.5 Observaciones
1||0.5
2|
0.001 x(5.066 = 0.0078 6
10 )
Si se compara el valor obtenido para /(0.25) con el valor exacto se verificará que el resultado está con dos cifras decimales correctas.
El polinomio de interpolación obtenido en este ejemplo está en función de la variable u. Por lo tanto no es posible verificar si el valor del polinomio en los puntos tabulados coincide con el valor de la función en esos puntos. Como la función es creciente en el intervalo [0.2;
0.4], el valor para /(0.25) debe
estar entre [0.3644; 0.7379]. Cuando se conoce la expresión analítica de la función, el termino del resto genera una estimación sobre el numero de cifras decimales correctas que se puede obtener en la aproximación. La aplicación de la formula de termino del resto es útil cuando se desea el resultado con una precisión prefijada. Diferencias Divididas Hay
dos
desventajas
al
usar el
polinomio
de
Lagrange
para
interpolación. Implican más operaciones aritméticas que el método de diferencias divididas (método a ser analizada a continuación). Si se desea sumar o restar un punto del conjunto usado para obtener el polinomio, esencialmente debe iniciarse de nuevo el proceso. El método de diferencias divididas es económico en cuanto a los cálculos aritméticos realizados en el proceso. Es importante notar que, tanto por el método de Lagrange como por el método de diferencias divididas no se consiguen resultados diferentes, solamente en la economía de los procesos de cálculo.
Definición 7. y sean
Definición 8. [
,…,
Sea
,…
= 0.1, … . , ]
,
,…,
+ 1. Puntos distintos en un intervalo
,...,
+ 1 , valores de una función
se define [
]
(
)
= 0,1,2, … ,
]
) sonbre
,
,…,
=
Definición 9. función
Donde
es la diferencia dividida de orden n de la
,…,
,
)sobre los puntos
,...,
Usando esta definicion se tiene
=
,
,
]
[
=
,
[ ]
=
,
+1
,
]
[
,
Al segundo miembro de cada ecuación precedente se debe aplicar sucesivamente la definición de diferencia dividida hasta que los cálculos involucren solamente el valor de la función en los puntos, o sea: [ ]
=
,
[ ]
,
,
Existe una forma más simple y organizada para calcular las diferencias divididas de una función, es construyendo una tabla de diferencias divididas [ ] [ ] [ ] [ ]
,
=
,
=
[ ]
,
=
,
=
[ ]
,
[ ]
,
,
[ ]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
,
,
=
[ ,
,
]=
,
,
, =
,
[ ,
]
[ ,
]
[ ,
]
La primera columna está constituida por los puntos
,
[
] ,
… …
= 0,1,2, . . . , ;
La segunda columna contiene los valores de = 0,1,2, . . . , ;
) en los puntos
La siguientes columnas 3, 4, 5, . . ., están las diferencias
divididas de orden 1, 2, 3, . .. cada una de estas diferencias es una función cuyo
numerados es siempre la diferencia entre dos diferencias consecutivas y de orden inmediatamente inferior y cuyo denominador es la diferencia entre los dos extremos de los puntos considerados.
Ejemplo 17. Construir la tabla de diferencia dividida de la siguiente función presentada en la tabla.
( )
Solución
-2
-1
-2
29
0
30
1
31
2
62
Usando la tabla de diferencia divida se tiene:
2 1
[ ] 2 29
0
30
1
31
2
20 1
,
( 2) = 31 ( 2)
30 29 =1 0 ( 1)
31 30 =1 1 0 62 31 = 31 2 1
62
[ ,…, ]
, ,
1 31 = 0 ( 2) 1
15
1 =0 1 ( 1) 31 1 = 15 2 0
0 ( 1 ( 15 2 (
15) =5 2) 0 =5 1)
[ ,…,
2
5
]
5 =0 ( 2)
Ejemplo 18. Para la divididas:
siguiente tabla de datos construya la tabla de diferencias
x F(x)
-0.3 1.6081
Solución.
xi -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
-0.2 1.4016
-0.1 1.2001
Orden 1
F[xi 1.6081 1.4016 1.2001 1.0000 0.8001 0.6016 0.4081
-2.065 -2.015 -2.001 -1.999 -1.985 -1.935
0.0 1.0000
0.1 0.8001
0.2 0.6016
0.3 0.4081
Orden 2
Orden 3
Orden 4
Orden 5
Orden 6
0.25 0.07 0.01 0.07 0.25
-0.6 -0.2 0.2 0.6
1.0 1.0 1.0
0 0
0
Note que las diferencias divididas de orden 4 tienen el mismo valor, y las
diferencias de orden superior a 4 son nulas, lo cual concuerda con que la derivada de orden 4 de un polinomio de cuarto grado es constante y su quinta derivada es cero. Si al construir una tabla de diferencias divididas en alguna columna k todos los elementos tienen el mismo valor y en las siguientes columnas los elementos son ceros, entonces la tabla corresponde a un polinomio de grado k. Fórmula de Newton Para obtener la formula de Newton de polinomio de interpolaciones necesario definir algunas funciones. En principio la función continua y que tenga derivada continua en el intervalo ,...,
que los puntos
sean distintos en
de la siguiente manera. f x0, x1 =
f[x1] f x0, x1 x0
f x0, x1 , x2 =
, , definida [a,b] en para x
f[x1 ,x2] f x0, x1 x2 x0
(n + 1)f x0, x1 , … , xn
1
Definida para [a,b], x
], además de eso,
]. Las funciones se definen 0
definida [a,b] en para x = f[x0, x1 , … , x_n ] =
) debe ser
0yx
x1
f[x1 x2 , … , xn ] f x0, x1 , … , xn xn x0
1
xk , k = 0,1,2,3 … … n
En las funciones definidas precedentemente, se producen aumentos sucesivos, en la diferencia divida o el proximo punto de la tabla. En todos los
casos se aplican el corolario de diferencias divididas.Las diferencias divididas de orden k de una función f(x) satisface ,
….
=
+
] )….(
)(
(
] )….(
)(
(
)
+ )
] )….(
)(
(
)
Esto afirma que se puede usar cualquier par de puntos para construir la diferenciadividida de una funcion, y no necesariamente el primero y el último. A partir de este punto corresponde buscar una formula de recurrencia para f(x) De la formula anterior se obtiene: ) = [ ] + (x
De las formulas anteriores,se tiene: )
(
,
)=
(
,
( )
[
]+(
) [
( )
[
]+(
) [
[ ] (
]
[
[
[
]+(
] [ ]
)
+(
+(
+(
)(
)(
)(
)(
)…(
)…(
)
)
)
]
[
)(
)
)(
)
De forma parecida, de (n+1) se obtiene: ]+(
]
,
,
, , ,
,..,
,..,
De esta manera se tiene una formula de recurrencia para f(x).
)
)…(
]+. . +(
) [
]+(
)= [
,
=
Es el polinomio de interpolacion de la funcion puntos
,…,
,
Luego:
( )
[
+(
)
(
esto es
)…(
)(
= 0,1, … ,
]+(
) [
]+(
)
(
)(
)
,
)
,
,…,
)
,…,
,
= {… }
= {… }
) sobre los
+ …
Esta es la formula de Newton de polinomios de interpolacion. La expresion: )…(
)(
R =(
= {… }
,…,
Corresponde a la formula del termino del resto o error de truncamiento. Este error de truncamiento es la misma de la formula de Lagrange. Estimación Del Error Usando Polinomios De Newton. Si se conoce la ley de asignación que define a f , el error se puede ( )=
estimar usando la fórmula conoce
(
( ) )!
)…(
)(
(
). Si no se
, entonces el error se estima así: el polinomio de Newton de grado
que interpola los puntos.
viene )= [
xi
x0
f xi
f0
dado ]+(
) [
... ...
]+. . +(
)
la )
)…(
es igual al término que se le añadiría a
)…(
fn
por
supongamos que se le añade el punto polinomio de grado
xn
,
expresión ,…,
= {… }
,
) a la tabla, entonces el error
+ 1) , es decir:
y )
) si fuéramos a construir un
( )
,
,…,
(
)(
Polinomios interpolantes de newton con nodos igualmente espaciados. = 0,1,2,3,4,5 …
Sí los nodos igualmente
espaciados,
entonces
expresar de otra forma:
sea
)
,
(
]
+
( )=
); i = 0,1,2, … . n
) y se obtiene:
se sustituye en la formula de [
,…,
se
puede
y cualquier punto no tabulado x es
> 0; por lo que:
( )
,
fórmula
el tamaño de paso entonces: los nodos se
pueden expresar así igual a
la
)…(
]+. . +(
) [
]+(
)= [
se ordenan en forma creciente y están
[
]
,
(
,…,
,
1)
1) … (
(
,…,
,
(
1 lo cual
+ 1)
1) … (
+ 1)
La cual se conoce como la fórmula de diferencias divididas progresivas de Newton (también se conoce como fórmula hacia adelante) y el error viene dado por: ( )
Nota: a) El valor de
,
b) Como evaluar,
(
,…,
,
,…,
> 0 , entonces
( )=
=
,
donde
punto
a
( ) se puede expresar de otra forma usando el siguiente
proceso: recuerde que: (
)
se calcula usando la tabla de diferencia dividida.
el primer nodo.
c) La fórmula
=
1) … (
)(
)…( )!
!( ,
,…,
)!
=
!(
!
)!
=
(
)(
!(
( )
, esto se sustituye en !
,
( )
)…(
,
,…,
)!
)!
, lo cual equivale a
y se obtiene : !
Formula de Newton-Gregory Para puntos igualmente espaciado se puede usar una variante de la formula de Newton, conocida como formula de Newton – Gregory. ( ) también se puede expresar usando la notación de las
La fórmula
diferencias progresivas :
=
,
]
[
=
,
[ ] ,
,
,…,
!
,
,…,
=
=
( ) ( )
( )
= =
,
En general:
,
1
( )
=
( ) ( )=
( ), lo cual se sustituye en
!
obteniéndose lo que se conoce con el nombre de
Diferencias Progresivas de Newton : ( )=
)
,…,
Si los nodos se ordena así polinomio de Newton es igual a: ( )
[
]+(
) [
,…,
(
)(
]+(
)(
(en forma decreciente), el
)…(
)
,
)
+ …
Sí los nodos son equidistantes con el tamaño de paso h entonces : , 1) = 0,1,2, … ,
,
,
(
los cuales se sustituyen en polinomio de Newton en forma decreciente
obteniéndose:
( )
( )
[
]
,….
[
,…,
]sh +
+ 1) + …
,
h s(s + 1) … (s + n
( + 1) … . (
)
1)
( Error asociado )
que se conoce como la fórmula de diferencias divididas regresivas ( o hacia atrás ) de Newton. Notas: a) las diferencias que aparecen en la fórmula de
) previa, quedan
en la diagonal inferior de la tabla de diferencias divididas.
b) Si ya has
construido la tabla de diferencia dividida hacia delante no es necesario construir la tabla de diferencia dividida hacia atrás. Se trabaja con la primera y se toman los elementos de la diagonal inferior (trazadas de abajo hacia arriba). EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 12.-
Halla el polinomio de interpolacion de los siguientes
puntos: (1, 2); (0, 4); (2, 6). Evaluarlo en
Ejercicio 13.-
(1.5)
Halla el polinomio de interpolacion de los siguientes
puntos: (-1, 3); ( 2, 1); (0, 1); (1, 0). Evaluarlo en
Ejercicio 14.-
Dados
los
pares
de
puntos
(1.5).
(1, 3); (2, 3); (3, 6); (4, 3),
determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Ejercicio 15.-
Dados
los
pares
de
puntos
(2, 2); (3, 5); (5, 8); (7, 4)
determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Ejercicio 16.-
Sea la siguiente tabla:
( )
0 -1
1 3
3 9
5 2
Determinar el polinomio de interpolacion con la formula de Lagrange, sobre todos los puntos y calcular ; (4)
SISTEMAS NO LINEALES
CAPITULO III
Introduccion Estudiamos en este capítulo uno de los problemas más básicos de la aproximación numérica y con mayor historia: el cálculo de raíces. Es decir, la determinación de una raíz, o solución, de una ecuación de la forma donde
) = 0,
, por lo general, es una función real no lineal de variables reales.
Las raíces de esta ecuación también se llaman ceros de la función f. Un ejemplo que muestra la necesidad de tener técnicas de aproximación a alguna solución del problema anterior es el caso simple de encontrar soluciones de un polinomio. Se conocen fórmulas para polinomios de grados 2, 3 y 4, siendo de complejidad creciente, pero con la posibilidad de determinar sus ceros exactamente. A principios de siglo XIX Galois probó que no existen fórmulas explícitas para determinar los ceros de polinomios de grado mayor o igual que 5. La situación es aún más difícil cuando
no es un polinomio. Esta limitación
obliga a buscar métodos para encontrar los ceros de forma aproximada. Los métodos que se discuten en esta lección son iterativos y de dos tipos: uno en el que se puede asegurar la convergencia y el otro en el que la convergencia depende de una o dos aproximaciones iniciales. Métodos conceptualmete sencillos son los métodos de intervalo, que aprovechan el cambio de signo de la función en el entorno de una raíz. Así, partiendo de dos valores proporcionados inicialmente, dichos métodos tratan de reducir el tamaño del intervalo que encierra al cero buscado, hasta converger a éste con la suficiente precisión. Un ejemplo de este tipo de métodos es el de bisección, que además de ser un método simple e intuitivo, se puede utilizar para obtener una adecuada estimación inicial del cero de la función que después puede ser refinado por métodos más poderosos. El segundo tipo de métodos se basa en aproximar la
función, cuyos ceros se buscan, por una recta. Los métodos que describiremos parten de una aproximación (Método de Newton, que aproxima la función por una recta tangente) o dos aproximaciones (Método de la Secante, que aproxima la función por una recta secante) y determinan el cero de la función con una precisión deseada. Estos métodos no garantizan la convergencia, pero, cuando convergen, lo hacen generalmente más rápidamente que los métodos de intervalo Uno de los problemas que frecuentemente se presenta y requiere de solucion en algun tipo de trabajo cientifico, es el de calcular las raices de una determinada ecuacion de la forma
( ) = 0 Donde
polinomio en x una funcion trascendente. Es posible hallar la raiz exacta de
( ) puede ser un
( ) = 0, cuando los polinomios son
factorables, sin embargo, no siempre sucede asi, pues en la mayoria de los
casos, las raices de las ecuaciones buscadas pertenecen al conjunto de los numeros racionales o al conjunto de los números complejos, pudiendo ocurrir que en una misma ecuacion se den resultados con números reales y complejos. Por medio de metodos numericos es posible obtener una solucion aproximada al valor exacto, tan proxima como se desee, dependiente de la precision deseada prefijada. La mayoria de los procedimientos numericos generan una secuencia de aproximaciones,
algunas
con
mayor
precision
que
otras,
algunas
aproximandose con mayor rapidez a lasolucion buscada, de tal forma que la repeticion de procedimientos produce una aproximación al valor verdadero con una precision definida por una tolerancia prefijada. La busqueda de raices por medio del analisis numerico es similar al de limite del análisis matematico, pues normalmente el resultado obtenido de una operacion por medio de metodos numericos se acerca tanto como se desee al valor verdadero, sin llegar casi nunca al valor exacto.
La caracteristica principal de los metodos numericos es que casi nunca arrojan resultados exactos, por lo tanto, en la mayoria de los casos, si no en todos, se obtienen resultados aproximados, que siempre dependeran de la precision que se desee.
Teorema 15. Teorema de Fermat
Si una función ( ) = 0alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la
derivada
( ) = 0 existe en el punto c, entonces
( )=0
Suele utilizarse como método para hallar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en intervalos abiertos, ya que todos ellos son puntos estacionarios de la función (puntos donde la función derivada vale cero,
( ) = 0). El teorema de Fermat sólo da una condición necesaria para
los máximos y mínimos locales, sin embargo, no se refiere a otra clase de puntos
estacionarios como
son
en
ciertos
casos
los puntos
de
inflexión (que no son ni máximos ni mínimos). La derivada segunda de la función
( ) ; si es que existe; puede indicar si el punto estacionario en
cuestión es un máximo, un mínimo, o un punto de inflexión. El teorema de Fermat es un teorema de análisis real llamado así en honor a Pierre de Fermat.
Si
Si
]; entonces existe un
es continua en un intervalo cerrado ] para el cual
punto
punto
Teorema 16.
( )
( )
Teorema 17.
]
es continua en un intervalo cerrado ] para el cual
( )
( )
]
Teorema 18. Teorema de Rolle
]; entonces existe un
Si
) y
intervalo abierto ( tal que
] ; diferenciable en el
es continua en un intervalo cerrado
( )=0
( )
) , entonces existe un número
)
Teorema 19. Teorema de Rolle
( ) = 0,
Entre dos raices consecutivas de una ecuacion algebraica existe un numnero impar de ceros de la derivada
, contando cada uno de
ellos tantas veces como indique su orden de multiplicidad. Entre dos raices consecutivas de la derivada no pueden existir dos raices distintas de porque si existieran,
Teorema 20. Teorema del Valor Medio
es continua en un intervalo cerrado y [
Si
intervalo abierto ( ( )
)
Si
tendria una raiz intermedia.
) existe un numero
) , tal que
es continua en un intervalo cerrado y [
( )=k
] y diferenciable en el
Teorema 21. Teorema del valor Intermedio
número cualquiera entre que
( ) = 0,
]
( )
( ) y ( )entonces existe un numero
( )
( )=
( ) y k un ), tal
Resolucion de ecuaciones no lineales
Para resolver ecuaciones no lineales se deben tener en cuenta varias situaciones, sin embargo la mas importante es encontrar el intervalo o un punto en para comenzar las iteraciones en busca de un cero de la funcion, procurando que este valor se encuentre lo bastante proximo de un cero, asi se evitara realizar demasiadas operaciones. Se aclara de nuevo aqui, que se usa indistintamente la como (,) o el punto (.) para indicar decimales. Ejemplos: 2,5 = 2.5 Esta situacion se debe a que en Paraguay se usa normalmente la como (,) como separador de la parte entera y su decimal, mientras que en otros
paises se usa el punto (.). Se aclara esta situacion, pues las calculadoras tambien usan el punto como separador decimal. Orden de convergencia El orden de convergencia de un metodo mide la velocidad con que las iteraciones producidas por el metodo se aproximan a la solucion exacta. Asi, cuando mayor fuere el orden de convergencia mejor sera el metodo numerico, pues sera posible obtener mas rapidamente la solucion buscada.
Definición 10.
la iteración constante
convergencia
Sean en
} el resultado de la aplicación de un método numérico en – , su error. Si existiere un número
1 y su
es una función dada, un punto
] es un
|
> 0 tal que:
Definición 11.
Si
cero (o raíz) de
:[
]
|
|
|
Donde p es el orden de
) = 0
Gráfica de funciones, un método para hallar intervalos. Las gráficas ayudan enormemente en la búsqueda de los ceros o raíces de una función, pues si no se conoce el intervalo que contiene la raíz de dicha función, es difícil iniciar cualquier proceso en búsqueda de solución. Seguidamente se presentan algunas gráficas y las explicaciones necesarias para iniciar la búsqueda de solución de ecuaciones no lineales.
Ejemplo 19. Hallar el intervalo que contiene una raíz de la función Solucion 1: Se grafica la función
( )=
( )=
Figura 4.
( )=
Según la gráfica de la función, se tiene una raíz en el intervalo [1; 1.5] y
otra raíz en [4.5; 5].
Observación: Al ser
esta ecuación tiene infinitas soluciones.
) una función periódica,
Solucion 2: Se la función
( )=
= 0 entonces =
=
= 0 , esto implica 0 =
, asi y =
se grafican por serparado
, si
, de esta manera y =
Figura 5.
y =
=
La intersección de las dos curvas es un cero de la función sobre x, lo cual indica que una raíz se encuentra en el intervalo [1; 1.5], como en el caso
anterior.
Comentarios Si se realiza la gráfica a escala y ésta está bien definida (una gráfica muy bien hecha), se puede estimar un intervalo más reducido como [1.2; 1.4], con esto se aceleraría notablemente el proceso de aproximación a una raíz de la función (ecuación), pues se usaría menos iteraciones, por lo tanto, se resolvería el ejercicio en menos pasos. Gráficamente, los ceros de una función son los puntos de intersección de la gráfica =
( ) con el eje de las x.
Métodos cerrados
Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra la raíz buscada, son llamados métodos cerrados. Entre los más conocidos se encuentran el método de bisección y el método de la falsa posición o Regula Falsi.
Metodo de Bisección
Definición 12.
Sea f una función continua en un intervalo
]
)
) <
0. Entonces, por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe
al menos un
) tal que
) = 0.
El método de la bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que ] consiste en dividir
aplicando la función / para aproximar la raíz
sucesivamente al intervalo a la mitad y seleccionando el sub-intervalo que tiene la raíz. Es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-intervalo donde exista cambio de signo, basándose en el teorema de Bolzano. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación. Supóngase que se desea resolver la ecuación función continua. Dados dos puntos a y b tal que
) = 0, donde / es una )
) tengan signos
distintos, dice el Teorema de Bolzano que / debe tener, al menos, una raíz en ].
el intervalo
El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto posibilidades
=
( )
.
En
)
)
este
momento,
existen
dos
) tienen distinto signo. El algoritmo de
bisección se aplica al sub-intervalo donde el cambio de signo ocurre.
El método de bisección no es muy eficiente, pero es mucho más seguro que otros métodos de aproximación de raíces, pues siempre converge hacia el valor buscado. ( ) ( ) < 0,
Si
entonces
es una función continua en el intervalo [
cota del error absoluto es:
este método converge a la raíz de
|
] y
. De hecho, una
|
En este método se plantea una situación práctica, esquematizando el procedimiento del método de bisección, se pueden considerar los siguientes
puntos.Encontrar dos números: a y b con a < b en los cuales el polinomio P toma valores cuyos signos son distintos. =
Considerando que: ) = 0,
Si:
es el punto medio del intervalo
es la raíz buscada, si
a) Se elige uno de los intervalos
)
] [
0 entonces:
].
] de tal manera que los
extremos del intervalo del polinomio tome valores cuyos signos sean distintos. Se repite el procedimiento en el intervalo elegido. Observaciones: La longitud del intervalo es una estimación del error cometido al aproximar la raíz. La única restricción para elegir a y b es que los valores P(a) y P(b) tengan signos distintos, en general, entre más pequeña sea la longitud del intervalo, en menor número de pasos se encontrará la aproximación deseada. Este método se aplica en la busca de raíces tanto racionales como irracionales.
Teorema 22. Teorema de Weierstrass
Una sucesion creciente y acotada superiormente tiende a un límite, y una sucesion decreciente y acotada inferiormente tiende a un limite.
[
Sea
]
Teorema 23. Teorema de convergencia ) < 0.
Sea { }
la sucesión de puntos
medios generada por el método de búsqueda binaria (método de bisección). Existe
[
coverge a { }
], tal que
) = 0 y además:
–
en particular
r
Orden de convergencia
El orden de convergencia de un metodo mide la velocidad con que las iteraciones producidas por el metodo se aproximan a la solucion exacta. Cuando mayor es el orden de convergencia mejor sera el metodo numerico pues se obtiene la solucion con mayor rapidez.
Ejemplo 20. ( )=
Aproximar con al menos una cifra exacta la raíz del polinomio 6.
+
Solución
Para encontrar el intervalo que contiene una raíz de la función, la forma más simple es graneando dicha función y x
( )=
Figura 6.
6
+
6
Según la gráfica, una raíz de la ecuación se encuentra en el intervalo 2, 1]. Se inicia la búsqueda de la raíz de este polinomio en el intervalo
2, 1].
Sea el polinomio Evaluando en
Asi
( )=
2) =
( 1) = Intervalo [-2;-1] [-1.5;-1] [-1.25;-1] [-1.125;-1] [-1.0625;-1]
+
6
6( 2) + ( 2)
6( 1) + ( 1)
Punto medio xn -1.5 -1.25 -1.125 -1.0625 -1.0313
6 = 40 > 0
6 =
P(xn) 12.75 4.46 1.418 0.134 -0.45008
1< 0
Signo + + + + -
Error 1 0.5 0.25 0.125 0.0625
[-1.0625;-1.0313]
-1.0468
-0.16436
-
0.03125
Como -1,0625 y -1,0313 tienen un 0 en la primera cifra decimal, cualquier punto intermedio lo tiene, es decir, la primera cifra decimal de la raíz buscada es cero, lo cual asegura que la aproximación obtenida tiene una cifra decimal exacta. Comentario Una desventaja es que en general la convergencia es muy lenta, la bisección necesita, para obtener una buena aproximación, muchos más pasos que cualquiera de los otros métodos que veremos después. Pero estos métodos, para converger, necesitan que la primera aproximación que se toma, el, esté cerca de la solución exacta de la ecuación. En consecuencia, el procedimiento usual es éste: se usan unos pocos pasos de la bisección para acercarse a c y a partir de allí se usa cualquiera de los otros métodos de convergencia rápida. Método de Regula Falsi, Regla Falsa o Falsa Posición Este método de aproximación de raíces es similar al método de bisección en el sentido de que se generan sub-intervalos a, pero esta vez, xn no es el punto medio de intersección de la recta que pasa por los puntos eje x.
] que encierran a la raíz (
] , sino el punto de ) ;(
)) con el
Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una posición falsa de la raíz, de ahí el nombre el método. Este método también se conoce como método de interpolación lineal inversa. En la figura se gráfica el método. Sea ( ) ,
( ) ( ) < 0 y considerando la recta que une los puntos
( ) cuya pendiente es
=
( )
intersección de la recta X, entonces también
( )
, pero si (c, 0) es el punto de
=
( )
, luego:
Método grafico de Regula Falsi
Figura 7.
( )
( )
( ) ( )
( )
=
) ( )
=
=
( ) ( )
( )
( ) ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
( ) ( )
Así como el método de bisección, este método de falsa posición, también tienen tres posibilidades: Si Si Si
) = 0,
) = 0, entonces c es un cero de
) < 0,
)<0
.
( ) ( ) < 0, entonces existe un cero de
) < 0, entonces existe un cero de
en [
en
]
].
De todo esto se desprende un proceso iterativo que se concreta generalizándolo en la siguiente expresión matemática. =
( (
) )
( ) ( )
= 0,1,2,3,4 … ..
Es frecuente encontrar esta ecuación representativa del método de regula falsi expresada de otra manera. A fin de ampliar la terminología matemática al respecto, solamente se hacen estas sustituciones: ,
=
=
,
Por lo tanto, la ecuación precedente puede representarse así:
=
( ) ( )
=
( ) ( )
Ejemplo 21. Aplicar el método de falsa posición para encontrar un cero de ln ( ) +
, en el intervalo [0.5; 1]
) =
Solución
Sea la función
( )=
( ) + ,
Inicio: Se construye una tabla por mejor organización de los datos.
c =
b
(a ) ( ) 0.5
Y asi
0.5 0.5 0.5
1
( ) 1( 0.19311472) = ( ) 0.19311472 ( ) 0.1931472
( ) 0.1931472 0.1931472 0.1931472
El valor exacto de
( ) 0.1931472
0.5
1 0.58 0.5736
para
1
( ) 1
( ) 1 0.0352728 0.017777
( )=
( ) 1
0.5(1) = 0.58094 1
0.58
( ) 0.58094
0.58 0.5736 0.5674608
( ) 0.0352728 0.017777 0.00087498
( ) + , es: 0.56714329
Regla falsa Modificada Un inconveniente que suele presentar este método es la aparición de extremos fijos que hacen más lenta la convergencia del proceso iterativo. Por ejemplo, en la figura “Método grafico de Regula Falsi” el extremo b se ha repite en las primeras iteraciones, y por lo que se puede apreciar, continuará haciéndolo.
f(x)
f(x) f(b)
f(b)/2 c2
c1
x
a
p
b
f(a)
Figura 8.
Regula Falsi Modificada
Para evitar este tipo de inconvenientes y acelerar la convergencia, siempre que un extremo se haya repetido más de 2 veces, en la iteración siguiente se efectúa la interpolación con la mitad del valor funcional correspondiente a ese extremo (en el caso de la figura se tomaría
( )
.
Modificación del método de la falsa posición propuesta por Hamming. La aproximación a la raíz se toma a partir del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos (
,
(
)
)
(
)) si la función es
convexa en el intervalo (figura a) o bien a partir de la recta que une los puntos ))
( ,
(
)
) si la función es cóncava en el intervalo (figura b). La
elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método.
Por otra
parte y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad). Sin embargo, el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse (ver figura anterior). Para obviar este problema, se ha propuesto una modificación del método, denominada método de Hamming.
f(a)
f(x)
f(x) X
X
X
x
A f(x) f(b) X
Figura 9.
x
X
B
Casos de Regula Falsi Modificada
Según este método, la aproximación a una raíz se encuentra a partir de la determinación del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos (
,
(
)
)
(
1)) si la función es convexa en el intervalo o bien a
partir de la recta que une los puntos
))
( ,
(
)
) si la función es
cóncava en el intervalo. En la figura (anterior) se representa gráficamente el método de Hamming. Como hemos comentado, el método de Hamming requiere determinar la concavidad o convexidad de la función en el intervalo de iteración. Un método relativamente sencillo para determinar la curvatura de la función consiste en evaluar la función en el punto medio del intervalo, (en donde
)
se calcula como en el método de la bisección) y comparar este
valor con la media de los valores de la función en los extremos del intervalo, =( ( )
))/2. Tenemos entonces que: (
)
Metodos abiertos A diferencia de los metodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raíz buscada, los metodos abiertos que se veran a continuacion requieren de un solo valor o dos valores iniciales o valores de arranque, que no necesariamente encierran a la raiz, esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos metodos sean divergentes o se alejen de la raiz de interes, pero tiene la ventaja que cuando convergen lo hacen mas rapidamente que las sucesiones generadas por los metodos cerrados. Metodo de punto fijo Este metodo, iteracion de punto fijo, es conocido tambien como metodo (
de
). El metodo de punto fijo es una forma muy util para obtener una raiz
( ) = 0. Este método tambien constituye la base de algunos principios
teoricos importantes. Para usar el metodo ( )
se reordena en una forma
) equivalente, lo que puede lograrse de varias formas. Observese que si
( ) = 0 donde r es una raiz de
( ) se concluye que
) Siempre que se
) se dice que r es un punto fijo de la funcion w. La forma iterativa
tiene
).
converge en el punto fijo r, una raiz de
Teorema 24.
Si entonces
es una funcion continua en [
]
( )
tiene por lo menos un punto fijo en
existe para todo
(
( )
)
tiene un unico punto fijo formula de iteracion Ejemplo 22.
(
[
)
1 para todo
[
[
] para todo [
], Si ademas ],
[
],
( )
entonces
] y la sucesion { } definida mediante la = 1,2,3,4 ….
Aplicar el metodo de punto fijo para hallar las raices de ecuacion: 6=0
Solucion
Por un metodo simple de factores, incluso un analisis intuitivo puede dar el valor de las raíces de esta ecuacion, que son
2
3 . Por razones
practicas y de mejor entendimiento se ejemplifica el metodo con una ecuacion de forma simple y de resultado conocido. Como primer paso siempre es importante graficar la funcion, para tener una idea del valor inicial a tomar para la primera iteracion, cuando mas cerca esta este valor de la intersección de la funcion con el eje de la abscisa (eje x) sera menor el numero de iteraciones y se llegara con mayor rapidez a la mejor aproximacion. y x
Figura 10. x2
x
6=0
Segun la grafica, se puede tomar como primera aproximacion de una de = 25 . De la ecuacion original:
las raíces
6 = 0 , transponiendo,
reordenando o cambiando su forma, se pueden obtener las siguientes ecuaciones equivalentes: a)
=
+ 6,
b)
=
c)
Primera ecuacion equivalente (primera raiz) =
+ 6. De esta ecuacion se tiene:
6
= x de allí
=
+ 6.
= x es
una recta de 45o que atraviesa el primero y el tercer cuadrante del plano cartesiano, esta recta hace de punto fijo. Es sabido que el punto de interseccion de dos curvas (o rectas) presenta un cero de la función sobre (, lo cual indica el valor proximo a tomar par las iteraciones, en este caso, ronda en torno a 3.
Figura 11. y1 = x e
y2 = x + 6.
Las aproximaciones sucesivas se realizaran en base a: Para
= 2.5
= 2.5 + 6 = 2,91548 = 2,91548 + 6 = 2,98588 = 2,98588 + 6 = 2,99765 = 2,99765 + 6 = 2,99961 = 2,99961 + 6 = 2,99993 = 2,99993 + 6 = 2,99999
luego se evalua, para verificar la aproximacion obtenida. 6 = 0,
3
Segunda ecuacion equivalente (Segunda raiz) =
6
1
+6
= 3, que seria una de las raices,
Se nota que los valores convergen a
f(x)
=
6=0
, igualmente, que la forma anterior, y =
6
1
,
Figura 12.
y1 = x
6 1
, y2 = x
Las aproximaciones sucesivas se realizan en base a: 1.5
y =
6
1
Para
6 2,4 1,5 1 6 = 1,76471 2,4 1 6 = = 2,17021 1,76471 1 6 = = 1,89262 2,17021 1 6 = = 2,07424 1,89262 1 6 = = 1,95170 2,07424 1 6 = = 2,03273 1,95170 1 =
En este caso se nota que la convergencia es oscilatoria y que los valores obtenidos convergen a
2 , que seria la otra raiz de la ecuacion
presentada. Para verificar la aproximacion obtenida se tiene: ( )
6 = 0,
Tercera ecuacion equivalente
( 2)
2)
6=0
De esta ecuacion se tiene:
6
6
y
Figura 13. y1 = x y y2 = x2
6
Las aproximaciones sucesivas se realizan en base a = 2.5
6 Para
= (2.5) 6 = 0.25 = 0(.25) 6 = 5.9375 = ( 5.9375) 6 = 29,254 = (29,254) 6 = 23,254 = (29,254) 6 = 534,748
En este caso, se evidencia que las iteraciones son divergentes, por lo tanto, no pueden generar ningun cero de la funcion analizada. En el caso de la segunda ecuacion y =
6
1
; al realizar las iteraciones iniciando con
= 2.5,
se verifica que las iteraciones en principio parecen divergentes, sin embargo, despues de 15 iteraciones aproximadamente, va tomando una direccion de convergencia, pero no hacia
= 3, sino hacia
=2
En todos los casos, es importante desarrollar cierta intuicion para tomar el camino preciso y ahorrar tiempo en las iteraciones realizadas
Si de orden | ( )| < 1,
Teorema 25. Orden de convergencia metodo iterativo lineal
es una funcion diferenciable en [
>1
]
es un punto fijo de
entonces la iteraccion de punto fijo de covergencia
[
] entonces el método converge linealmente
( )
> 1 y si
Teorema 26. Orden de convergencia metodo iterativo lineal
El orden de convergencia del metodo iterativo lineal es lineal, osea, =1
Comentarios El comportamiento de los tres reordenamientos es interesante y merece
la pena siempre analizarlas. Sin embargo, primeramente se consideraran las graficas de los tres casos. El punto fijo de recta
y la curva:
) trazada contra
) es la interseccion de la ( ) Con este metodo
siempre se obtienen iteraciones sucesivas, partiendo de un punto inicial
elegido. Este proceso iterativo continúa hasta que los puntos en la curva convergen en un punto fijo o bien divergen. Los diferentes comportamientos dependen de que la pendiente de la curva sea mayor, menor o de signo opuesto a la pendiente de la recta. Método de Newton - Rapson Uno de los métodos más atractivos y populares para la búsqueda de los ceros de una función no lineal es el método de Newton, debido a la rápida convergencia del método, ya que en general es q-cuadrático. Existe varias maneras de deducir el método de Newton, el método a ser presentado se base en el método de iteración lineal. Éste es, sin duda, uno de los métodos más importantes y útiles para el cálculo de raíces. Dada una aproximación inicial de la raíz partir de
, se busca, a
, una aproximación mejor xx de la raíz, de la siguiente forma: Se
sustituye la función f(x) por el valor de su desarrollo de Taylor centrado en ) =
hasta el orden 1, es decir:
)+
)(
) que corresponde a un
polinomio de grado 1, y a continuación se calcula
como el cero de este
polinomio, es decir: ( ) ( )
y por tanto, de forma general, se obtiene, a partir de
una secuencia
de valores que van aproximando la raíz, definidos por
Definición 13.
Dada una ecuación
( ) ( )
) = 0. Un número a se dice una raíz de
multiplicidad m (m un entero positivo) de la ecuación m = 1, la raíz se dice simple.
Sea que una función un intervalo de la ecuación
Teorema 27.
tiene sus dos primeras derivadas continuas en
) = 0 si y solo si
) = 0 y
)
Teorema 28.
0.
+ 1 derivadas continuas en
tiene sus primeras
] que contiene a un número a. Entonces a es una raíz de
multiplicidad m de la ecuación Sea entonces para todo
( )
) = 0 si y solo si
], una función diferenciable en (
puede escribir de la forma: ( )
) = 0. Si
] que contiene a un número a. Entonces a es una raíz simple
Sea que la función un intervalo
) = 0, si
( )(
] y sea
[
), se sabe por el Teorema de Taylor que )+
Sea /( ) = 0 una ecuación y
( )( 2!
)
+
( )( 3!
],
se
)
un primer valor aproximado a una raíz
de una ecuación. Este método consiste en obtener una aproximación a
calculando el punto en que la tangente de la curva en x. Gráficamente se ve en la figura.
0;
0)) corta al eje
Figura 14. Método de Newton Graficamente
Ahora bien otra posible explicación es que, dada
) como una función ] y sea
1 una
))una recta tangente a la función
), su
continua derivable dos veces en un intervalo cerrado
aproximación inicial a la solución exacta p de la ecuación mismo intervalo. Se traza por el punto
intersección con el eje x dará un nuevo punto
) = 0 en ese
que se toma como la nueva
aproximación a p, luego el proceso se repite para el punto sucesivamente, se obtienen una serie de aproximaciones
)) y así que
convergerán a la raíz exacta p, analíticamente: tan (
(
(
( ) = de aquí que
)
)
Este método parte de una aproximación inicial ( ) dada por la fórmula: ( )
(
)
)
=
en forma general
y obtiene una aproximación mejor,
,
La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie
de Taylor. Efectivamente, sea que
. Si 0 =
un cero de
y sea
una aproximación a
tal
existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos: ) =
) =
) +
) +
)
en donde término
):
. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable ignorar el 0=
) +
por lo que obtenemos la siguiente expresión para h: ( ) ( )
)
F(x)
x
X1
X2
X0
Ejemplo 23. Hallar la menor raíz positiva de la siguiente ecuación con error inferior a 10-2, usando el método de Newton. ( )= 4
= 0
Para obtener el valor inicia, el proceso más simple y eficaz es el método gráfico, para el efecto se reordena la ecuación inicial ecuaciones más simples;
e
) = 0 en otras dos
. Reordenando la ecuación original:
4
= 4
—
,
= 0 se tiene la siguiente igualdad: =
=
,
donde:
También se pudo haber realizado la transposición en
la ecuación de otra forma y se hubiera tenido:
Figura 15. y1 = 4cosx,
=
, igualmente valido.
y 2 = ex
Los puntos de intersección de las dos curvas en x es la solución buscada. Analizando la figura, se nota que x está en la vecindad de 1, por lo tanto se tomará
=1
)=4
—
) =
)–
Las operaciones a ser realizadas involucran funciones trigonométricas, recordar posicionar la calculadora en radianes. Como el error debe ser menor a 10
, deben efectuarse los cálculos como mínimo con tres cifras decimales.
Es recomendable para resolver ecuaciones no lineales en cualquier método utilizar en promedio 5 o 6 cifras decimales. (1) = 4
(1) =
(1)
(1) –
= 4(0,5403)
=
4(0,84147)
2,71828 = 2,71828
2,1612
3,36588
2,71828 =
2,71828 =
0,55708
6,08416
En base a estos primeros datos se aplica la formula de Newton: ( ) ( )
=1
0,55708
6,08416
= 0,908437
=
0,908437
0,908437
1
= 0,10079 > 10
2
,
Se debe hacer una nueva iteracion, pues el error relativo es mayor que el indicado (1) = 4
(0,908437)
(1)
(0,908437)–
=
= 2,4599
3,15418
2,4804 1 =
2,4804 1 =
0,0205
5,63458
Se debe hacer una nueva iteracion, pues el error relativo es mayor que el indicado. ( ) ( )
=
0,9048
= 0,908437
0,908437
0,9048
0,0205
5,63458
= 0,0039 < 10
= 0,9048 2
El valor 0,9048 puede considerarse un valor aceptable para la raíz
buscada, pues cumple la condición de tolerancia, en este caso, menor a 10 .
Luego,
Si
= 0,9048
para la función
( )= 4
—
= 0
Teorema 29. Orden de convergencia del método de Newton
) = 0 y si
" son continuas e un intervalo cuyo centro x es solución de
) = 0 entonces el orden de convergencia del método de
Newton es cuadrática, o sea, p=2.
La ventaja del método de Newton es que su convergencia es cuadrática, lo que significa que la cantidad de dígitos significativos correctos duplica a medida que los valores de la secuencia se aproximan a x. Esta situación no sucede en las primeras iteraciones realizadas. La desventaja del método de Newton es que se tiene que calcular la derivada de la función y en cada iteración calcular su valor numérico, lo que puede ser muy costoso computacionalmente. Además de eso la función puede no ser diferenciable en algún punto del dominio.
Interpretación geométrica del método de Newton. El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, como se puede apreciar del análisis de la Figura 14. De hecho, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto derivada de la función en el punto,
)) y cuya pendiente coincide con la ).
La nueva aproximación a la
raíz, x1, se obtiene de la intersección de la función linear con el eje x de ordenadas. (
Veamos cómo podemos obtener la ecuación
(
)
)
a partir de lo
dicho en el párrafo anterior. La ecuación de la recta que pasa por el punto )) y de pendiente
) es:
0) =
0)(
0)
de donde,
haciendo y=0 y despejando x obtenemos la ecuación de Newton-Raphson.
F(x)
x
X1 X0 A
F(x)
x X0
X1 B
Figura 16. Dos situaciones en las que el método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.
El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada iteración). Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la función en las proximidades del punto de iteración.
En la
Figura 16 se muestran dos situaciones en las que este método no es capaz de alcanzar la convergencia (a) o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación (b).
Método de Newton modificado El método de Newton en general, converge cuadráticamente, sin embargo cuando la raíz no es simple solo se garantiza la convergencia lineal.
Teorema 30.
Sea una función diferenciable en un intervalo supongamos que x es un cero de multiplicidad Newton converge q-linealmente.
] que contiene a x y
> 1, entonces el método de
Con el propósito de mejorar la convergencia del método, éste puede ser modificado, cuando el cero buscado sea de multiplicidad m > 1. El método de Newton modificado queda de la siguiente manera:
(
Ejemplo 24.
(
) ( ) ( ) (
)
Aplicar el método modificado de Newton para encontrar un cero de ( )
+ 4 , partiendo de
= 1,5
Figura 17. f(x) = x3
Se gráfica la función. Las raíces serian:
4x2 + 4x,
= 0;
=2
= 2 Como la
función es cubica, supone que tiene tres raíces, y como las raíces complejas se presentan en pares conjugados, ésta función no tiene raíces complejas, sino, tres raíces reales. Sea:
( )= –4 + 4 ; ( )= 3 8 + 4; "( ) = 6 8 { )= –4 + 4 (1,5) = (1,5) 4(1,5) + 4(1,5) = 3,375 9 + 6 = 0,375 ( )= 3 8 + 4 (1,5) = 3(1,5) 8(1,5) + 4 = 6,75 12 + 4 = 1,25 "{ ) = 6 8 "(1,5) = 6(1,5) 8 = 9 8 = 1
Aplicando la expresión
(
= 1.5
(
) ( ) ( ) (
) ( ( ) ( ) (0.375)( 1.25) = 1.5 ( ) ( ) (1.5625) (0.375)(1) 0.46875 = 1.5 + 0.394736842 = 1.894736842 1.1875
Realizando una segunda iteración: :
) =
–4
+ 4 ;
(1.8947) = (1,8947)
(1.8947) = 6,8018
) = 3
8
+ 4;
"( ) = 6
4(1,8947) + 4(1,8947)
8
14,36 + 7,5788 = 0,0206
(1.8947) = 3(1,8947) – 8(1,8947) + 4
(1.8947) = 10,76966
"(1.8947) = 6(1,8947)
15,15762 + 4 = 8 = 11,3682
Aplicando la expresión
(
( ) ( ) ( ) ( ) = 1.8947
0,387954
8 = 3,3682
) ( ) ( ( ) ( ) (0.0206)( 0.387954) = 1.8947 (0.1505) (0.0206)(3.3682) (
0.007992 0.081115
= 1.8947 + 0.098527
= 1.99323
Los cálculos se resumen en la siguiente tabla
n
raíz
0
{ ) =
1,5
1
1,8947
2
1,99323
3
0,375
0,0206
+ 4
0,00006
1,9965
0,000024457
( )=
Luego se considera que
4
—4
+ 4
= 1,9965 = 2
Es evidente que la raíz tiende a 2, según se demuestra analíticamente en estas tres iteraciones del método modificado de Newton. Método de la secante Una de las desventajas presentadas por el método de Newton es la necesidad de obtener la derivada de la función en cuestión, además de realizarse los cálculos para cada iteración. Existen varias formas de modificar el método de Newton a fin de eliminar algunas de las desventajas; una de las modificaciones consiste en sustituir la derivada por el cociente de las diferencias, o sea
Donde
)
(
)
(
(
)
son dos aproximaciones cualesquiera para la raíz x. El
método de la secante es una modificación del método de Newton y es similar a la de Regula Falsi. Este método (secante) emplea también una línea recta para aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que cumpla el teorema de cambio de signos, usa un intervalo que no necesariamente lo cumpla, es decir, no se requiere que exista un cambio de signo, es más, no se requiere que la raíz este en ese intervalo. El método de Newton modificado que da origen al método de la secante se genera asi:
(
)
(
) (
)
=
( ) ( )
(
) )
De esta manera se obtiene una expresion más simple para el metodo de la secante: =
( ) ( )
)
(
)
Para aplicar este método se debe contar con dos aproximaciones iniciales antes de aplicar la formula correspondiente al método. La siguiente gráfica ilustra cómo puede obtenerse una nueva aproximación
Figura 18. Método grafico de la secante
Determinar la raíz positiva de la ecuación de la secante, con un error menor a 10
—5
= 0 por el método
Solución
Para evitar tanteos, malgastar tiempo y esfuerzo, la forma más práctica de obtener los valores iniciales es el método gráfico, para ello se divide la ecuación original en dos y se gráfica.
=
,
=5
Figura 19. y1 = x , y2 = 5ex
El punto de interseccion de las dos rectas es la solucion buscada x. Analizando la grafica se ve que una raiz positiva de la ecuacion se encuentra en la vecindad del punto 1,4, asi que se toman dos puntos proximos, 0
= 1,4 (
( )=
1
= 1,5
) = —5 )= (1.4) = 1.4— 5 —5 = 1,183216 1,232985 = 0,049769 (1.5) = 1.5— 5 —5 = 1,224745 1,11565 = 0.109095
Se tienen
= 1,4;
( )=
= 1,5;
Ahora es posible aplicar la formula:
( ) ( )
=
=
1,4(0,109095) (0,109095) =
=
0,2273865 0,158964
1,430428
1.5
0,158964
0,049769
(
)
) = 0,109095 )
1,5( 0,049769) 0,049769)
= 1,430428
= 0,0486372 > 102
El error relativo demuestra que
aun no cumple la condición de
precisión requerida de la ecuación, por lo tanto se debe realizar otra iteración.
1.4 1.5
1.5 1.430428
( ) 0,049769 0,109095
( ) 0,109095 3.3 10
1,430428 1,43059911
( ) 3.3 10
0.0486372 0.000196
El valor exacto de una raíz positiva de la ecuación es: 1,430445089
Teorema 31. Orden de convergencia del método de la secante
El orden de convergencia del método de la secante es:
=
= 1,618
El orden de convergencia del método de la secante es inferior al del método de Newton, sin embargo, el método de la secante es una alternativa válida, ya que requiere solamente el cálculo de la función
, mientras que el
método de Newton, además de la función debe también calcular la derivada. Método de Muller La mayoría de los métodos para hallar una raíz, o por lo menos lograr una buena aproximación, se basan en aproximaciones de la función en la vecindad de la raíz por medio de una recta. Es sabido que una función no es lineal, pues, si fuera así, no habría necesidad de realizar ningún tipo de esfuerzo para hallarla por métodos numéricos. El método de Muller se basa en aproximar la función en la vecindad de la raíz por medio de un polinomio cuadrático, así se obtiene una mejor correspondencia con la curva real. Se construye un polinomio de segundo grado para ajusfar tres puntos cerca de una raíz, estos puntos son
)]; [
)]; [
)] . El cero propio de
esta cuadrática. Usando la formula general de ecuaciones de segundo grado, se tiene la estimación mejorada de la raíz. Se repite el procedimiento usando el mismo conjunto de tres puntos más próximos a la raíz que está evaluándose. El procedimiento de este método se desarrolla al escribir una ecuación cuadrática que se ajuste a través de tres puntos en la vecindad de una raíz, en la forma
+
+ . El desarrollo se simplifica si los ejes se transforman de modo
que pasen por el punto medio, haciendo
=
—
.
Sean
=
—
=
) en los tres puntos
= 0;
=
=
,
—
. Se evalúan los coeficientes al evaluar
(0) +
(0) +
( ) + ( )+ ) +
(
,
=
A partir de la primera ecuación, Haciendo
=
) +
=
=
=
0)
, es posible resolver las otras dos ecuaciones para a y
b por medio de las siguientes ecuaciones
=
( )
( )
( )(1 + ) + (1 + )
=
( )
( )
Después de calcular a,b y c, la raíz de
+
+
) = 0 se encuentra
aplicando la fórmula cuadrática, eligiendo la raíz más próxima al punto medio . Este valor está dada por: =
±
El signo en el denominador se toma a fin de proporcionar el mayor valor absoluto del denominador, o sea, si < 0, se elige el signo negativo, si
> 0, se eligen el signo positivo; si
= 0, se elige cualquiera de los dos. La
justificación del uso algo extraño de la formula cuadrática es hacer que la siguiente iteración esté más próxima de la raíz. Para la siguiente aproximación se toma la raíz del polinomio como uno de los puntos de un conjunto de tres puntos, tomando los tres puntos cuya separación entre sí sea la más pequeña. Si la raíz está a la derecha de toman
y la raíz. Si la raíz está a la izquierda, se toman Ejemplo 25.
, se
, y la raíz.
( )=
Aplicando el método de Muller, encontrar el único cero de
Figura 20. f(x) = cos x
x
A partir de la gráfica se elige el intervalo que contiene la raíz. Se toma [0,6; 1]
= 0,8;
= 1,0;
) =
0,8
= 0,2
( )=
1
= 0,2
= 0,6;
( )=
0,8 = 1 = 0,6
0,10329
0,4597
= =
0,6 = 0,22534
– – =
= 1
0,8
= 0,8
0,6
=
0,2 =1 0,2
Se construye una tabla para mejor organización de los datos. ( ) =
( ) = 0,4597 = 1,0
0,10329 = 0,8
( ) = 0,22534 = 0,6
A continuación se aplican las formulas para hallar a, b, c. = =
( )
1( 0,4597)
( )(1 + ) + (1 + )
( )
( 0,10329)(1 + 1) + 0,22534 1(0.2) + (1 + 1)
=1 =0
0,02778
=
0,08
=
( 0,4597)
( )
( )
= ( 0,10329) 0.2
0,34725 )(0.2)
( )=
0,34252 0.2
Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene: = 0,8
0,34725
=
= 2.933
= 1. 7126
Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz: = 0.8
=
2( 0,10329 )
( 1. 7126) ± ( 1. 7126) =
0,20658
=
=
0,10329
4( 0,34725)( 0,10329 ) 0,20658
1,7126 ± 1,67019 1,7126 1,67019 0,20658 = 0,8 0.0610679 = 0,738932 3,38279 = 0,738932
Es la primera aproximacion a un cero de la función Para la siguiente iteracion se considera
y se evalua la funcion
en este punto: ( ) = cos
( ) = cos 0,738932
0,738932 = 0,000256277
Como el valor exacto de la función se tiene cuando
) = 0, por lo
tanto, una forma de medir el grado de aproximación de la función hallada es evaluando la
función (y) a partir del resultado estimar si se sigue o no
realizando otras iteraciones.
En este caso, como
( ) = 0,000256277
0, puede considerarse una
aproximación aceptable, pues se tiene tres ceros después de la coma decimal, indicando una precisión de por lo menos tres cifras, o sea Calculo de error
< 10 .
El calculo de error presentado a continuacion solo es posible realizarlo si se conoce el valor exacto de la raiz buscada. La mejor forma de evaluar el error en una aproximacion de raiz en una funcion o polinomio, es evaluando la funcion en ; ( ) = 0. Esta evaluacion da
una medida intuitiva del margen de error y funciona para cualquiera de los metodos descritos. El valor verdadero de la unica raiz real de la funcion; ( )
0,739085133 =
–
= 0,739085133 =
–
=
0,738932 = 0.000153133 = 1.531
1.531 10 = 0.0002072 = 2.072 . 10 0.739085133
= 10
El error relativo es muy aproximado a la evaluacion de la funcion en el punto
( ) = 0 Este ejercicio tiene una precision de dos decimales, o sea los
primeros dos decimales corresponden al valor exacto o valor verdadero, por lo tanto no hace falta realizar la siguiente iteracion para aproximar mejor el
resultado, pues el valor obtenido puede considerarse apropiado, salvo que expresamente se indique lo contrario. Ejercicio de clases
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 17.-
En los siguientes ejercicios encuentre un cero real de las
siguientes funciones, procediendo de la siguiente manera. a) Grafica la función para encontrar un intervalo proximo a una raíz. b) Usar la expresion
, para
obtener u punto de inicio para el método
de Newton. Ejercicio 18.trascendente Ejercicio 19.-
Hallar una raíz en el intervalo [0,1] de la función ) = 3
+
—
, aplicando el método de Muller.
De los ejercicios presentados, resolverlos usando los
metodos de: punto fijo, biseccion, regula falsi, Newton, secante y Muller. De los 15 ejercicios presentados a continuacion, resuelve tres funciones con cada metodo, la eleccion es personal. ( ) = 3 { ) =
( ) =
{ )=
( ) =
( ) =
( ) = 7
–
+ +
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
Ejercicio 20.-
+ 5
+ 2
5
( ) =
( ) = 3
2
{ ) =
{ ) =
3
( )= 3
5
2
+ 7
+ 7
+ 3 5
2
2
12
2 3
4
4
+ 1
5
3
+ 3 + 6
—2
+ 3
–
3
2 3
—2
Halar todas las raíces de la ecuación:
( )= 5
—
= 0
Ejercicio 21.-
) =
Verifica si el polinomio
—2
— 11 = 0, tiene
raíces reales, si es así, halla su mejor aproximación aplicando el método de bisección con una precisión mayor a 10 .
Ejercicio 22.2 = 0,
( )=
Halla la única raíz positiva del polinomio
aplicando el método de bisección con un error menor a 10 .
Ejercicio 23.-
Usando el método iterativo de punto fijo, encontrar la ) = 2 —
menor raíz positiva de la ecuación: Ejercicio 24.-
Demuestre
que
el
punto
fijo
= 0
=,
existe, y use la iteración de punto fijo para encontrarlo. Ejercicio 25.de
2
=,
Ejercicio 26.-
) = 0,4
+ 0,2
Usar la iteración de punto fijo para encontrar el punto fijo ) = 0,9
+ 0,1
Sea la función
( )=
+
= 0 . Hallar una raíz
negativa con tres cifras decimales exactas, en el intervalo [ 4, 3] usando
el método de regula falsi. Ejercicio 27.-
) =
Sea la función
—
= 0 . Hallar una raíz
positiva con tres cifras decimales exactas, en el intervalo [0.5; 1] usando el
método de regula falsi. Ejercicio 28.-
La ecuación
—2
= 0
posee una raíz en el intervalo
[1.8; 2.0], Halla el valor aproximado por el método de regula falsi con dos decimales correctos.
Ejercicio 29.-
) =
La ecuación
— 0,5 = 0 , posee una raíz en el
intervalo [0.5; 1] usando el método regula falsi. Determinar la raíz con una
precisión de 10 .
Ejercicio 30.-
Aplicar el método de Newton-Rapson para encontrar todas
las raíces reales de la ecuación polinómica: 1 = 0
Ejercicio 31.las
Ejercicio 32.-
— 2
— 3
+ 7
+
Aplicar el método de Newton-Rapson para encontrar todas
raíces ) =
) =
+ 5
reales —3
de
— 8 — 13 = 0
Determinar
la
raíz
la
de
ecuación
) = 0,5
—4
polinómica:
+ 6 — 2 ,
usando el método de Newton usando valores iniciales de a) 0,5 y b) 1,5
Ejercicio 33.-
Localice
la
primera
raíz
positiva
de
) =
+
+ 1) — 1. Usar cuatro iteraciones con el método de Newton con
valores iniciales de: a) 1 Ejercicio 34.-
y b) 1,5
Sea la función
real partiendo de
=
4 y usar:
) =
+ 2
—5
+ 3. Hallar una raíz
Ejercicio 35.-
El método normal de Newton.
Ejercicio 36.-
El método modificado de Newton
Ejercicio 37.-
Use cualquier método para encontrar la raíz de
— , usando como valor inicial
= 0,5, hasta logar una precisión
menor que 10 .
Ejercicio 38.) =—
Usar el método de Newton para hallar un cero de la función
+ 7
— 2 , partiendo de
= 0,5
método falle explicar porqué. Ejercicio 39.de
la
) =
en caso de que el
Usar el método de Newton para hallar dos ceros
función
( )=
—5
+ 3, considerando que las raíces se
encuentran en el intervalo [0,5; 1,5]
en caso de que el método falle
explicar porqué. Ejercicio 40.-
Usar el método de Newton para hallar todas las raíces
reales de la función
) = 5
—9
+ 2, considerando que las raíces se
encuentran en el intervalo [— 1,5; 1,5] en caso de que el método falle
explicar porqué.
=
;
=
=
— 5;
Ejercicio 41.-
Encuentre la intersección de
Ejercicio 42.-
Encuentre la intersección de
Ejercicio 43.-
Encuentre la intersección de
Ejercicio 44.-
Encuentre la intersección de
Ejercicio 45.-
Aplicando el método de la secante, determina una raíz
positiva de la ecuación Ejercicio 46.-
—
—5
—
=
=
— 3;
= 1 +
= 5 +
= 0
Aplicando el método de la secante, determina una raíz
distinta de cero de la ecuación Ejercicio 47.-
= 2 ;
Determinar
( )
todas
las
raíces
+ 5 = 0 , con precisión de 10
Newton para el cálculo de la primera raíz.
del
polinomio
) =
, usando el método de
Ejercicio 48.-
Usar el método de la secante para determinar la única raíz
negativa de la ecuación 10 .
) =
—2
—
+ 2 = 0, con precisión de
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
CAPITULO IV
Introducción En distintas áreas del conocimiento, muchas veces existe la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones no lineales, pero, hallar las soluciones o raíces reales de un sistema de ecuaciones no lineales presenta mayor dificultad que hallar las raíces de una ecuación no lineal con una variable. La solución de sistemas de ecuaciones no lineales esencialmente consiste en ampliar los métodos de solución de una sola ecuación no lineal a sistemas de ecuaciones no lineales, sin embargo, esto presenta mayor dificultad al momento de resolver cada sistema. No existe un criterio general para conocer cuantas soluciones tiene un sistema no lineal de ecuaciones dadas, incluso, es posible que el sistema no tenga solución. Un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma: ( ( Donde cada
(
= 1,2,3, . . . ,
En forma más compacta se indica:
…, …,
…,
)= 0 )= 0 )= 0
es una función real de n variables reales. ) = 0
Existen principalmente dos formas de resolver un sistema no lineal: Métodos directos: usados cuando hay solución analítica (arrojan resultados exactos). Métodos iterativos: se usan cuando no hay solución analítica (arrojan soluciones aproximadas). Los métodos numéricos usados para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son extensiones de métodos más simples, como los aplicados para resolver ecuaciones no lineales. Son extensibles los métodos de Newton, punto
fijo y secante. Los métodos de bisección y regula falsi no se pueden extender fácilmente, pues para su aplicación usan el teorema de cambio de signo, que en el caso de sistemas no lineales no existen teoremas que definan esta situación. El método de iteración de punto fijo se usa cuando el sistema cumple las condiciones para ser resuelto por este método. El método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales requiere calcular derivadas parciales y resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración. Además de estos dos métodos, es también útil el método gráfico cuando es posible realizarlo, pues existen ecuaciones de muy difícil graficación. Su uso se aplica a situaciones en donde se buscan aproximaciones no muy precisas, o para tomar los puntos de partidas
;
; . . . ) y aplicarlas a
métodos que presentan mayor precisión como los de punto fijo o de Newton.
Resumiendo los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales se tienen: Método Gráfico. Métodos Directos. Métodos Iterativos. Método gráfico Este método consiste en trazar la gráfica de cada ecuación del sistema y hallar los puntos de intersección entre las curvas, dichos puntos indican la solución del sistema. La desventaja de este método es la imprecisión, y sólo es aplicable cuando se tiene dos o a lo sumo tres ecuaciones como parte del sistema. Además, considerando que son ecuaciones no lineales, puede suceder que las ecuaciones no sean fáciles de granear.
Cuando se desea precisión en los resultados de un sistema de ecuaciones no lineales, éste método no es el más apropiado. Para lograr mayor precisión en los resultados obtenidos de los métodos gráficos, es importante demarcar la ubicación de los puntos en un intervalo reducido,
esto
permitirá
graficar
con
mayor
precisión
y
obtener
"intersecciones" más nitiditas. Ejemplo 26. Sea el sistema de ecuaciones no lineales presentado a continuación, halla la solución del sistema aplicando el método gráfico.
+
= 7 =1
Se inicia la solución del sistema, cambiando su forma para facilitar la construcción de una tabla que permita la construcción de la gráfica.
Figura 21. sistema de ecuaciones
X
-3 -2 -1 0 1 2 3
= ± 7– = 1
7
2 1,73205 2,44949 2,64575 2,44949 1,73205
2
1
0,95021 0,86466 0,63212 0,00000 -1,7183 -6,3891 -19,086
Los puntos de intersección de las dos ecuaciones dadas por la circunferencia de la ecuación = 1
= ± 7–
y la curva de la ecuación
, presentan como resultados aproximados del sistema los
siguientes puntos: ( 2.5; 1) Métodos directos
(1.2;
2,3).
Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Los métodos directos no son los más usuales pero cuando sea posible son los más recomendables, porque dan la solución analítica, es decir, la solución teórica del problema. Salvo casos muy raros estos métodos no son siempre aplicables, ya que dependen que el sistema permita el despeje y simplificación del mismo mediante operaciones algebraicas. Métodos iterativos Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos. Estos métodos son propiamente métodos numéricos, los cuales obtienen la solución mediante una sucesión que se aproxima a la solución del problema.
Los métodos numéricos requieren de un criterio de convergencia para determinar cuándo parar. El criterio de convergencia basado en el error relativo es el aplicado normalmente, por su confiabilidad en este tipo de operación. El criterio de convergencia será: = : :
.
:
|
|
|
|
10
+1
Punto fijo El método de punto fijo es uno de los que se citan entre los métodos directos. Es siempre conveniente resolver un sistema de ecuaciones no lineal por un proceso iterativo, sobre todo cuando no requiera evaluar las derivadas parciales en dicho proceso, como es el caso del método de Newton. Esta ventaja presenta la iteración de punto fijo. La resolución de sistemas no lineales a través del método de punto fijo es muy semejante al método iterativo lineal estudiado anteriormente para resolver ecuaciones no lineales. Así, un primer paso en la aplicación de iteración lineal es resolver el sistema de la forma: ) = 0 ( ) g(x, y) = 0 =
)
y = G(x, y)
( )
de forma que cualquier solución deA sea, también solución de B. Sean ) una solución del sistema y
obtienen las aproximaciones
sucesivas
) una aproximación para (x ,y). Se
), usando el proceso iterativo definido por:
)
para la solución deseada
y
=
= G(x
,y
)
) ( )
Este proceso se llama método de punto fijo o método iterativo Lineal para sistemas no Lineales. Para que sea posible debe cumplir las siguientes condiciones suficientes, pero no necesarias: F, G y sus derivadas parciales de primer orden sean continuas en una ).
vecindad V de la raíz
Las siguientes desigualdades sean satisfechas:
Para todo punto
| |
|+ |+
< <
<1 <1
) perteneciente a una vecindad V de ( =
), donde:
, ….
=
, ….
La aproximación inicial (x0, y0) pertenezca a la vecindad V de (x, y). Para obtener una solución con una determinada precisión
se debe,
durante el proceso iterativo, calcular el error relativo para todos los componentes del vector solución. Ejemplo 27. Considerar el siguiente sistema no lineal. {
) = 0,2
) = 0,4
+ 0,2
+ 0,1
+ 0,6 = 0
+ 0,5 = 0
Aplicar el método iterativo lineal para resolver el sistema no lineal dado con una precisión menor a 10 . Solución
a)
Reescribiendo el sistema dado, se obtiene:
= 0,2 + 0,2 = 0,4 + 0,1
+ 0,6 = + 0,5 =
(
) )
Se verifica la condición de suficiencia para garantizar que la convergencia sea satisfecha. Que cada ecuación pueda ser despejada respecto de una de sus variables. Que las derivadas parciales del sistema sean continuas en la vecindad de las posibles raíces. Que de valor
al
evaluar
las
derivadas
parciales
arrojen
resultados
pequeño, normalmente menor que uno.
La condición (a) se cumple, pues es posible despejar las variables del sistema. La condición (b) se cumple, pues
las ecuaciones del sistema son polinomios, por lo
tanto continuas. Es muy difícil conocer a priori la solución del sistema, sin embargo hay casos en que se puede intuir un posible resultado, debido a la simplicidad del problema. Siempre será importante partir de una gráfica toda vez que sea posible, al final, es la manera más fácil de acceder a los valores iniciales de una iteración.
Figura 22. Sistema de ecuaciones del Ejemplo 27.
En este caso, como es un ejemplo ilustrativo para verificar las condiciones suficientes de convergencia, como aplicación del método iterativo ) = (0.9; 1.1).
lineal, se considerará inicialmente
Para verificar la condición (c), condición suficiente, se calcula inicialmente, las derivas parciales de F y G en los puntos iniciales de la iteración.
Si se escribe que
= 0,4 + 0,2 , = 0,4 + 0,1 ,
= 0,2 = 0,2 ,
) = (0,9; 1,1, ) se ve que F, Gy sus derivadas ) . Además de eso, se verifica que las
parciales son continuas en
desigualdades que figuran como condiciones para que la convergencia sea satisfecha, se tienen: |
|
= |(0,4)(0,9)| + |(0,2)(1,1)| + |(0,2)(0,9)| = 0,76 < 1
| +
= |(0,4) + (0,1)(1,1) | + | (0,2) (0,9 1,1)| = 0,719 < 1
|+
Esto demuestra que (
) esta en la vecindad de
usando el proceso iterativo se obtiene:
) = (0,9; 1,1, ) y
Primera iteracion
y
=
= G(x
,y
)
)
=
= 0,2 + 0,2 = 0,4 + 0,1
+ 0,6 = ( + 0,5 =
= 0,2(0.9)(1.1) + 0,2(0.9)(1.1) + 0,6 = 0.96 = 0,4(0.9) + 0,1(0.9)(1.1) + 0,5 = 0.9689
Calculo del error relativo:
0.96 0.9 = 0.0625 > 10 0.96 0.9689 1.1 = = 0.1353 > 10 0.9689 =
) )
La precisión deseada aun no es alcanzada, por lo tanto se procede a otra iteración Segunda iteracion = 0,2(0.96)(0.9689) + 0,2(0.96)(0.9689) + 0,6 = 0,9703 = 0,4(0.96) + 0,1(0.96)(0.9689) + 0,5 = 0,9791
Calculo del error relativo: =
Tercera iteración
=
0,9703
0.96
0,9703
= 0.0106 > 10
0,9791 0.9689 = 0.0104 > 10 0,9791
= 0,2(0,9703 )(0,9791) + 0,2(0,9703 )(0,9791) + 0,6 = 0,9763 = 0,4(0,9703 ) + 0,1(0,9703 )(0,9791) + 0,5 = 0,9802
Calculo del error relativo: = =
0,9763 0,9703 = 0.00615 < 10 0,9763
0,9802 0,97039 = 0.0012 < 10 0,9802
Se puede considerar resultado aproximado a
,
) = (0.9763; 0.9802),
pues cumple con la condición especificada inicialmente en el problema. Se nota que la secuencia puede decir que la solución (0,9773 , 0,982) , aplicando
) converge para (1, 1). Además de eso, se
) , con error relativo inferior a 10
= 0,007 y
= 0,001.
, es
Si una de las
componentes cumpliera con la condición prefijada y la otra no, el proceso debe seguir hasta que todas cumplan con la precisión deseada.
Método de Newton:
Teorema 32.
Sea g una función real diferenciable definida en un conjunto cerrado acotado convexo D, y tal que cualquiera de las normas inducidas del jacobiano de g en todos los puntos de D sea menor que la unidad, o el radio espectral del jacobiano de g sea menor que la unidad para todos los puntos de D, entonces existe una única raíz de =
sucesión
) donde
=
)
que se obtiene como límite de la
es un punto cualquiera de D.
Para adaptar el método de Newton a los sistemas no lineales, se procede ) una aproximación para la solución de
como sigue: Sea Admitiendo que )
sean suficientemente diferenciables, expandiendo
), usando la serie de Taylor para funciones de dos variables,
y
en torno de
)
).
( (
). Así.
)+ )
)( – )( –
( (
)+ )
)= ( )= (
( (
)( – )(
)+ … )+ …
Admitiendo que (x0, y0) esté suficientemente próximo de la solución , ) al punto de evitar la operación con los términos de más alto orden, se
puede determinar una nueva aproximación para la raíz ) =
) = 0. Se obtiene el sistema: (
)
(
(
)+ )
) haciendo
0) = ( – )
Vale la aclaración respecto a la notación utilizada Las funciones del sistema: (
)
(
;
)
(
;
) =
) =
Está entendido que todas las funciones y derivadas parciales deben ser calculadas en
) Se observa que (*) es ahora una ecuación lineal. Además
de eso, si no fueran despreciados los términos de más alto orden en el
desarrollo de Taylor, entonces
) sería la solución exacta del sistema no
lineal. La resolución de (*) producirá una solución que se llamará Entonces, se debe esperar que ,
) esté mas próxima de
) Resolviendo (**) por la regla de Kramer se obtiene =
=
=
=
, ) =
Donde
—
(
)
(
)
(
)
(
)
0 en
). La función
denominada Jacobiano de las funciones
. La solución
sistema, produce ahora una nueva aproximación para
,
).
) que de
) es
) de este
). La repetición de
este proceso conduce al Método de Newton para sistemas no lineales. El método de Newton para sistemas no lineales está definida por: x
(
(
)
)
(
)
(
)
Observaciones para el método de Newton: Cuando la iteración converge, la convergencia es cuadrática. El método de Newton converge según las siguientes condiciones siguientes: y sus derivadas parciales hasta de segundo orden sean continuas y limitadas en una vecindad V conteniendo (
El Jacobiano
(
) no se anula en la vecindad V.
La aproximación inicial .,
)
).
) sea elegida suficientemente próxima de la raíz
El método de Newton puede ser aplicado a un sistema de ecuaciones de n incógnitas. La solución de un sistema de n ecuaciones, siendo n un valor elevado, seria muy difícil, aun para el uso de las computadoras. Método practico para resolver un sistema no lineal por el método de Newton Acotar una zona donde exista al menos una raíz. Si se puede asegurar que será solo una, mucho mejor, para esto, graficar el sistema. Reformular el problema como uno de punto fijo, y lanzar el esquema para ver si converge a la raíz buscada. Aplicar el método Orden de convergencia El uso de métodos de iteración funcional con sistemas de ecuaciones es completamente diferente de aquellos para ecuaciones simples. Se observa que es útil frecuentemente una información a priori sobre la localizacion de la raíz; cuando esto no es posible se puede usar un método siempre convergente para obtener una buena aproximación de esta. Por lo tanto, en todos los casos se debe optar por la eficiencia del método. Un método a ser aplicado, solo es posible cuando el sistema converge para dicho método. Frecuentemente, si la aproximación lineal no está completamente cercana a la solución, la Ejemplo 28. Determinar una raix del sistema precisión de 10 , usando el método de Newton. Solución
Sean las ecuaciones:
+
= 2
—
= 1 Con
(
)
2=0
y
Para obtener el valor inicial
(
)
ecuaciones dadas.
1=0
), se traza en un solo gráfico las dos
Figura 23. sistema de ecuaciones del Ejemplo 27.
Del gráfico se observa que el sistema admite 4 soluciones, una en cada cuadrante. En este caso solo se buscará la solución correspondiente al primer cuadrante. El punto de soluciones de las ecuaciones es la solución Analizando la gráfica se nota que (1.2; 0.7), entonces, se toma
) buscada.
) está en la vecindad del punto
) = (1.2; 0.7).
) = (1.2; 0.7) = (1.2) + (0.7) ) = (0.7) (1.2; 0.7) = (1.2)
+ 2 2 = 1.44 + 0.49 – 1 1 = 1.44 0.49
2 =
1 =
0.07
0.05
Se hallan las derivadas parciales de las ecuaciones del sistema = 2 ;
= 2 ;
= 2 ;
=
( ( ( (
) ) ) )
Se aplica la fórmula x
x
(
x = 1.2
(1.2,0.7) (1.2,0.7) (1.2,0.7) (1.2,0.7)
= 2 = 2(1.2) = 2.4 = 2 = 2(0.7) = 1.4 = 2 = 2(1.2) = 2.4 2(0.7) 1.4 (
)
(
)
)
0.07(1.4) 0.05(1.4) (2.4)( 1.4) (1.4)(2.4)
= 1.2
0.168 = 1.2 6.72
0.098 + 0.07 = 1.2 ( 3.36) (3.36) (
= (0.7)— 0.05(2.4)
)
(
)
(
)
)
(
(
)
(0.07)(2.4)(2.4)( 1.4)
= (0.7)
( 0.025) = 1.225
(1.4)(2.4)(1.2,0.7)
0.048 = 0.707143 6.72
1.225 1.2 = 0.025 > 10 1.225 0.707143 0.7 = = 0.0101 > 10 0.707143 =
Ambos calculos de error son mayores que 10
, por lo tanto, debe
realizarse otra iteración ( ( ( (
) ) ) )
(1.225,0.707143) (1.225,0.707143) (1.225,0.707143) (1.225,0.707143)
Se aplica la fórmula x
= 2 = 2(1.225) = 2.45 = 2 = 2(0.707143) = 1.41428 = 2 = 2(1.225) = 2.4 2(0.707143) 1.41428 (
)
(
)
x
(
)
(
)
= 1.225 (
= (0.707143)
(
)
) (
(
(0.001253) = 1.2237 )
)
0.00003319 = 0.70711
1.2237 1.225 = 0.00106 < 10 1.2237 0.70711 0.70714 = = 0.000042 < 10 0.70711 =
Si uno de los errores relativos cumple la condicion de precision deseada, se considera valido el resultado obtenido y termina las iteraciones. En este caso, se considera muy proximo los valores hallados (1.2237; 0.70711) EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN
Ejercicio 49.-
Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar
en el intervalo (1.5; 2) Ejercicio 50.-
—5 = 3 2 = 5 Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar
en el intervalo (1; 1.5) Ejercicio 51.en el intervalo
Ejercicio 52.-
+ 3 = 9 5 = 3 Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar 0.5;
1.5)
+ = 2 + = 1 Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar
en el intervalo (0.5; 1.5)
Ejercicio 53.en el intervalo
Ejercicio 54.-
— — = 0 + — = 0 Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar 2; 2.5)
2+ — — =0 3+ — — =0 Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar
en el intervalo (2; 3) Ejercicio 55.-
+ = 6 — = 1 Aplicando el método de punto fijo y el método de
Newton-Rapson para resolver el sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10
punto (1. ; Ejercicio 56.-
1.8).
—
, iniciando las iteraciones en el
+
= 2 + =1 Aplicando el método de punto fijo y el método de
Newton-Rapson para resolver el sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10 , iniciando las iteraciones en el
punto (1. ; — 1.8). Ejercicio 57.-
= 0 2 = 1 El estado estacionario de concentración de dos especies
químicas en un sistema químico oscilatorio está dado por el sistema no lineal, iniciar la operación en el punto (0.9, 2.1). Ejercicio 58.-
5 +
—3 = 0 — = 0 Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones
no lineales, determinar una raíz con precisión de 10
iteraciones en (1.2; 1.8).
— —
= 4 = 9
, iniciando las
Ejercicio 59.-
Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones
no lineales, determinar una raíz con precisión de 10
iteraciones en
, iniciando las
2; 1).
+ 5 = 0 + 3 + 3 = 0 Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones
Ejercicio 60.-
no lineales, determinar una raíz con precisión de 10
iteraciones en (0.7; 2).
, iniciando las
1) + = 7 + ( 1) = 9 Dado el siguiente sistema no lineal, hallar una solución con
Ejercicio 61.-
(
dos dígitos significativos correctos, iniciando la iteración en (1; 1.5)
) =
2 + 3 = 0 — = 0 Determinar una solución con dos dígitos significativo
Ejercicio 62.-
correctos, el sistema no lineal dado, iniciando con en –
) = (0.5; 0.85)
+ 3 = 0 — = 0 Demostrar que el siguiente sistema no lineal posee
Ejercicio 63.-
exactamente cuatro raíces. Determinar esas raíces usando el método de Newton, (1; 1); (1; Ejercicio 64.-
Ejercicio 65.-
con
dos
1); ( 4; 1)
dígitos ( 4;
significativos
correctos,
iniciando
en
1)
+ + 9 = 12 + 36 = 36 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales.
) = —2 + —3 + 5 = 0 ( )= + 5 — 2 — 2 — 1 =0 ( )= + — 4 + + 2 = 0 Usando el método iteración de punto fijo y el método de
Newton para resolver el sistema no lineal con precisión de 10
iniciándolas iteraciones en
2; 0.6;
0.1)
(0.8; 1; 1.6).
,
Ejercicio 66.-
) = —2 + —3 + 5 = 0 ( )= + 5 — 2 — 2 —1 =0 ( )= + — 4 + 2 + 2 = 0 Para el siguiente sistemas de ecuaciones no lineales,
determinar una raíz con precisión de 10
( 2.5; 0.5; 4.0)
Ejercicio 67.-
(3.2;
2.5; 1.2).
, iniciándolas iteraciones en
+
8 =0 — + 3 = 0 + + —3 = 0 Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales,
determinar una raíz con precisión de 10 , para el punto de iteración usar
el método gráfico.
Ejercicio 68.-
—2 = 3 + = 9 Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales,
determinar una raíz con precisión de 10 , para el punto de iteración usar
el método gráfico.
— = 1 + = 3
ECUACIONES LINEALES
CAPITULO V
Introducción La necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales es muy frecuente en las ciencias aplicadas, en particular la ingeniería. Los sistemas lineales son aplicados en la búsqueda de solución a diversas situaciones prácticas, ya sea como la solución completa de un problema ó alguna parte de ella. Entre las aplicaciones prácticas de los sistemas lineales pueden citarse como ejemplos: Determinación del potencial en redes eléctricas. Calculo de tensión en una estructura metálica de construcción civil. Calculo de razón de drenaje en un sistema hidráulico con derivaciones. Los problemas matemáticos en todos estos casos se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Cuando un sistema lineal es de gran porte, se debe escoger adecuadamente el método numérico a utilizar para preservar la precisión máxima del sistema.
Definición 14. Definición 15.
Un vector en Sean:
= ( (
vectores renglones en y solo si
Definición 16.
vectores en , „. ,
+
Definición 17.
es una n-upla de la forma: v =v2, v3,..., vn) ,...,
)
= (
y
= (
Sean:
= ( (
,...,
)
. Se define la suma de vectores como:
).
Sea:
(
. Se define la igualdad de vectores como:
, para todo i, con i = 1,2,3,..., n
=
y
=
,… ,
producto de vector por escalar como:
) vector de = (
+
, a
= (
,...,
,...,
) ,
,...,
) ,
=
+
, si
+
, se define el ).
Definición 18. en
= (
Definición 19.
.
Sean:
= (
Se
define
Sea:
=
de un vector v, =
, „. ,
+ + )+ 0 , , ,
,
= =
+ + ( + + 0 =
, ,( + ) = , ( + ) = , ( )) = ( )
Definición 20.
el
) y
producto
,...,
)=
= (
de
vector de
que se representa con
Sean: u, v, w vectores en
(
,...,
vectores
,a
,…,
), vectores
como:
, se define la norma
y se denota como:
Teorema 33.
, entonces, se tiene: Conmutativa Asociativa elemento neutro Elemento simétrico Distributiva Distributiva Asociativa
)
+ = 0 + + = ( )
En general, una matriz es una tabla de números, un conjunto
ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto
pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque normalmente las matrices están formadas por números reales.
Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos dependientes de varios parámetros. Las matrices pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas diferentes, su aplicación también se da en el campo del álgebra lineal. Normalmente las matrices se designan con letras mayúsculas.
Definición 21.
Se llama matriz de orden m x n a cualquier tabla de números que
conste de m finas y n columnas. Una matriz es un arreglo rectangular de mn números de la forma
la cual tiene m filas y n columnas.
Si los
elementos de una matriz A son números reales y ducha matriz tiene m filas y n columnas se dice que
, y qe su tamaño es m x n. La notación
comúnmente utilizada para representar a la matriz 1,2,3,…, m; j = 1,2,3,n
es:
=[
] i=
Definición 22.
Sean:
Definición 23.
Una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas y de
A = B si y solo si
=
=[
,
] dos matrices tamaño m x n, entonces,
columnas y en este caso se escribe
Definición 24. 0,
Sea
, una matriz cuadrada si
= 1, i=j,
se dice que A es la matriz identica (identidad) y se nota
Definición 25.
La matriz 0 =
Definición 26.
Sean:
+ B como la matriz
Definición 27. define
Definición 28.
=
Sea:
=
Sea:
=
como la matriz
Definición 29.
Sean:
el producto de
=
, = 1,2,3, … … ,
Definición 30.
Sean:
Definición 32.
Sean:
= 0,
, tal que
=[
dada por
es la matriz nula.
] dos matrices tamaño m x n, se define A .
=
una matriz de tamaño m x n, y dada por
=
un numero, se
una matriz de tamaño m x n, se define =[
como la matriz = 1,2,3, … , .
=[
(A+B)D=AD+BD.
Definición 31.
.
=
Sean:
=
dos matrices, se define donde
,
=
entonces
, entonces D(A+B)=DA+DB.
Notacion de matrices:
, entonces A(BC)=(AB)C.
Las matrices se denotan con letras mayusculas. Los elementos o numeros que conforman la matriz se denotan con letras minusculas colocadas dentro de: barras verticales | |; doble barras verticales
paréntesis ( ).
; corchete [ ]o
Es importante tener en cuenta que una matriz no se resuelve (esto la diferencia de los determinantes), sino que con una matriz se efectuan diversas operaciones. A cada elemento que forma parte de una matriz, se lo identifica con dos subindices: el primero senala la fila que ocupa ese elemento, y el segundo indica la columna donde se encuentra. Orden de una matriz La matriz presentada a continuación tiene tres filas y cuatro columnas y por ello se le denomina matriz de orden 3 x 4. El número que se nombra primero representa la cantidad de filas; y el segundo, número de columnas. Ejemplo 29. 1 0 7 1 3 0
2 4 1
2 3 1
Elementos de la primera fila: 1 , 0 , 2 , 2 Elementos de la segunda columna: 0 , 1 , 0 Una matriz A de 3 filas y 3 columnas, se escribe de esta forma:
= Tipo de matrices
2 2
1 1 1
1 2 2
Matriz cuadrada: Se llama matriz cuadrada a la que tiene igual cantidad de filas y columnas. Ejemplo 30. =
1 0
2 3
= 2 2,
1 9 = 2 2 4 6
2 58 7
=3 3
Matriz diagonal: Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal. Ejemplo 31.
Matriz nula:
5 = 0 0
0 0 71 0 0 21
Se llama matriz nula a la que esta formada unicamente por ceros. Ejemplo 32.
Matriz identidad:
0 0 = 0 0 0 0
0 0 0
Se llama matriz identidad a la que tiene a la unidad como único elementos en la diagonal principal, y ceros en los lugares restantes. Ejemplo 33. 1 = 0 0
0 0 1 0 0 1
De acuerdo con esta definicion, se deduce que la matriz identidad siempre debe ser cuadrada. Matriz fila o vector fila: Es toda matriz que posee una única fila. Ejemplo 34. = [1 5
8]
Matriz columna o vector columna: Es toda matriz que posee una única columna. Ejemplo 35. 3 = 2 1
Matriz transpuesta:
Es la matriz B que se obtiene de A, cambiándose ordenadamente, las filas por las columnas. Ejemplo 36.
Matriz triangular
2 1 = 4 2
2 = 1 5
5 0
4 2 0
Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Ejemplo 37. L=matriz triangular inferior (del ingles Low = bajo) U=matriz triangular superior (del ingles Up = encima de)
Matriz simétrica:
1 = 0 0
2 4 5 53 0 7
Una matriz cuadra A es simétrica si Ejemplo 38. 1 2 = 2 8 5 1
5 1 7
1 = 5 2 =
0 0 5 0 3 7 .
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su transpuesta coincide con su opuesta, o sea Ejemplo 39.
=
=
2 5
Matriz opuesta:
2
5 1 0
1
Dada la matriz A, se denomina opuesta de A a la matriz -A. Ejemplo 40. 1 3
=
Matriz ortogonal
2 , 4
2 4
=
Es la matriz cuadrada cuyo producto por su transpuesta da la matriz unidad. Ejemplo 41. =
.
Matriz singular Es la matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa. Ejemplo 42. = =
5 2
7 2
10 4
14 4
= 20
20 = 0
= 28
28 = 0
Definición 33.
Una matriz
llama elementos diagonales
Definición 34.
Sea
dominante si y solo si |
Operaciones con matrices
|>
los elementos de
los elementos se les
la matriz A se dice estrictamente diagonal |
|
= 1,2,3, … ,
Adición de matrices Para sumar matrices, es condición necesaria que sean de igual orden, pues se suman los elementos que tienen la misma ubicación. Propiedades de la adición de matrices: a) Propiedad conmutativa: A+B=B+A b) Propiedad asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C c) Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es la matriz nula, de igual orden que las que se suman. d) Inverso aditivo: Dada una matriz A, existe otra matriz B inverso aditivo de
:
=0
, tal que se verifica que:
Ejemplo 43.
Dadas las matrices A y B, halla la suma: A+B
=
1 0
2 5
=
7 0 + 4 2
1 0
2 5
7 4
=
1+0 5 4 = 1 3 0+2
0 2
5 4 1 3
2+5 5+1
7+4 1 = 4+3 2
7 6
11 7
Sustracción de matrices La sustracción de matrices se define como la adición, restando los elementos de igual ubicación.
Las propiedades de la sustracción de matrices son semejantes a las de la adición, con la diferencia de que no cumple la propiedad conmutativa.
Ejemplo 44. Dadas las matrices A y B, halla la suma: A+B 1 = 2 9
Solución:
2 4 5 8 3 1
4 = 1 2
7 5 0
1 4 5
La operación A-B, denota la diferencia entre las matrices A y B, así +(
) porque la resta entre matrices se transforma en la suma de la
matriz minuendo (A) con la matriz opuesto aditivo del sustraendo (B).
1 = 2 9
2 5 3
4 8 + 1
1 = 2 9 2
0
Transposición de matrices
2 5 3
4 4 8 + ( 1) 1 1 2
1 4 = 5
4 1 2
2 5 3
7 1 5 4 0 5
7 4 5 8 0 1
1 4 = 1 5 7
5 0
3 4 4
Dada una matriz A de orden mxn, se llama matriz transpuesta de A, a la matriz
de orden nxm, que resulta de convertir las filas A en columnas, y
sus columnas en filas.
Ejemplo 45. Dada la matriz A, halla la transpuesta de A, o sea
=
1 3
2 1
4 5
1 = 2
Producto de una matriz por un escalar
3 1 5
En general se llama escalar a cualquier número real, y se emplea esta denominación cuando se definen operaciones entre números y otros elementos algebraicos, como lo son las matrices y los vectores. Cuando se multiplica una matriz por un numero real
, se obtiene otra
matriz del mismo orden que la dada, y cuyos elementos resultan ser " " veces los de la matriz original. Ejemplo 46. Sea la matriz A, halla el producto 3A =
1 0
5 1
4 1 =3 =3× 0 0
5 1
4 3×1 = 0 3×0
3×5 3×1
3×4 3 15 = 3×0 0 3
12 0
Producto de matrices El producto entre dos matrices es otra matriz, donde cada elemento resulta de multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz, sumando los productos parciales. Propiedades del producto de matrices: El número de columnas de la primera matriz debe ser idéntico al número de filas de la segunda matriz. El producto de matrices no es conmutativo. El elemento neutro del producto entre matrices es la matriz identidad.
Las matrices representan verdaderos cuadros de valores, que no dan ningún resultado ya que esto carece de sentido; ya se ha dicho que las matrices no se resuelven, sino que con ellas se efectúan operaciones.
Ejemplo 47. Sean las matrices A y B.
= Efectua A x B
= Solución:
1 0
1 0
5 4 1 0
5 1
1 4
1 = 2
4 1 0 4
1 = 2
3 1 5
3 1 5
El producto A x B no se puede resolver, porque hay que multiplicar cada fila de B por cada columna de A, sobran elementos de A, ya que esta matriz tiene 4 elementos por fila, mientras que B tiene 3 en cada columna; al quedar elementos sin multiplicar, el producto es irrealizable. Efectua B x A Solución: 1 = 2 ( 1) + (3 0) ( 5) + ( ( 5) + ( = ( 1) + (1 0) ( 1) + ( 0) ( 5) + (
3 1 5
1 0
5 4 1 0
1 = 4
( 4) + ( 1) ( 4) + ( 1) 1) ( 4) + (
4 8 = 3 11 4 15
4 8 16
13 6 16
( 1) + ( 0) ( 1) + ( 0) 0) ( 1) + (
4) 4) 4)
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Realizar las siguientes operaciones con matrices Ejercicio 69.-
Sean las matrices A y B, hallar su suma: =
Ejercicio 70.-
4 4
2 6 1 6
1
=
5 4 8 11
Sean las matrices M y N, hallar su suma:
= Ejercicio 71.-
3 1 11
2 0 22
=
3 1 11
2 0 22
=
7 0 4 5 11 1
Sean las matrices A y M, hallar su suma:
= Ejercicio 72.-
Sean las matrices
matriz
4 4
2 1
6 6
halla la matriz
y la
. 2 4 4
=
4,25 2,22 4,26 14,1 11,1 6,01
=
= Ejercicio 73.-
1 5 11
1
12
Sean las matrices
1 4 11
0
11
5 20 55
halla la matriz
matriz =
Dadas las siguientes matrices
=
11 5
4 12
=
0
15
1,11 4,52 2,24 4,25 4,28 4,11
2 7
0,25 0,75 = 4,25 5,25 7,25 1,75
y la
Ejercicio 74.-
Resolver AxB
Ejercicio 75.-
Resolver BxA
Ejercicio 76.-
Resolver -3B
Ejercicio 77.-
Resolver 1,5A
Ejercicio 78.-
Resolver BxC
Ejercicio 79.-
Resolver CxA
Ejercicio 80.-
Resolver AxC
Ejercicio 81.-
Resolver CxB
Ejercicio 82.-
Resolver -4B
Ejercicio 83.-
Resolver (C+A) Determinantes
Un determinante es siempre cuadrado (igual cantidad de filas y columnas), y está formado por números, como una matriz; la diferencia fundamental es que, una matriz representa un conjunto de valores que no se resuelve, un determinante sí se resuelve, porque representa unnúmero. Un determinante se representa con la letra griega
(delta mayúscula) o
usando barras. 1 8 6
5 1 5
4 4 2
Linea solida principal, Linea punteada secundaria Determinante de segundo orden es el que tiene 2 filas y 2 columnas. Determinante de tercer orden es el que tiene 3 filas y 3 columnas. Propiedades de los determinantes: a) El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su transpuesta, ( ) = ( Ejemplo 48.
)
= b) Si se intercambian entre sí dos filas paralelas, el determinante cambia de signo. Ejemplo 49. 5 1
1 5
4 = 11 3
3 4
11
c) Un determinante es nulo si una de sus filas o columnas está formada íntegramente por ceros. Ejemplo 50. 1 8 7
0 0 0
6 9 =0 4
d) Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas iguales. Ejemplo 51. 1 3 1
4 1 4
2 5 = (2 + 20 + 24) 2
(2 + 24 + 20) = 0
2 3 1
8 1 4
4 5 = (4 + 40 + 48) 2
(4 + 40 + 48) = 0
e) Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas proporcionales. Ejemplo 52.
f) Si los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Ejemplo 53.
10 1
5 2 5
×
15 2 4 =5× 1 0
1 2 5
3 4 0
g) Si una fila de un determinante la forma términos que son suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes obtenidos sustituyendo
dicha
fina
por
los
primeros
y
segundos
sumandos
respectivamente. Ejemplo 54. =
+
h) Si una fila es combinación lineal (suma o resta de múltiplos) de otras paralelas, el determinante es cero (0). Ejemplo 55.
Solución:
+
=0
Por ser i) Si a una fila se le suma una combinación lineal de otras filas paralelas a ella, el determinante no cambia. Ejemplo 56.
+
=
Solución:
+ +0= j) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices. De otra manera: | Ejemplo 57.
=
Solución: =
1 0
=
1 0
2 4
2 4
4 5
4 5
1 0
2 4
=
4 5
| = | | | |.
0 3
0 = det A . detB = (4 12) = 48 3 0 = |4| |12| = | 3
12| = 48
Resolución de un determinante de 2° orden:
Resolver un determinante de segundo orden es hallar el número que representa, para lo cual se multiplican los elementos de la diagonal principal, y a ellos se les resta el producto de la diagonal secundaria, es decir que se resuelve por la resta de los productos cruzados: Ejemplo 58. =
1 5
Determinante de 3er orden
2 =( 4
1)
(
5) = 6
El procedimiento de resolución de un determinante de tercer orden es un poco más largo que el de segundo orden, utilizándose para su resolución
varios métodos; las más conocidas son la de Sarrus y Laplace. Aquí se presenta el método de Sarrus. Regla de Sarrus: Consiste en escribir debajo de la última fila, las dos primeras (conservando el orden); entonces se suman los tres primeros productos de las diagonales principales, y se restan los otros tres productos de las diagonales secundarias. Ejemplo 59. Resolver el determinante
Solución 1 5 = 3 1 3
2 3 1 2 1
4 2 0 = [( 4 0
1 5 = 3 1 3
2 3 1 2 1
4) + (
1 = 5 3
2 3 1
4) + (3
4 2 4 = [12 + 20 + 6] 4 0
4 2 0
0)]
[(
4) + (
[24 + 2 + 24] = 38 = 12
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Resolver los determinantes 2x2 Ejercicio 84.Ejercicio 85.Ejercicio 86.Ejercicio 87.-
=
5 4
2 2 51 102 = 4 8 5 8 = 13 =
1
2 3
2) + (3
50 = 12
4)]
Resolver los determinantes 3x3
Ejercicio 88.-
Ejercicio 89.-
Ejercicio 90.-
Ejercicio 91.-
4 = 5 6 7 11 14 5 8 2 4 = 5 4 7 1 8 5 18 1 1 7 = 5 10 8 5 8 2 4 = 2 4 1 4 8 2
Sistemas lineales
Definición 35.
Una ecuación es lineal si cada término contiene no más de una
variable y cada variable es de primer grado (elevada a la primera potencia). Ejemplo 60. +2
a) b) variables.
+4
4 = 2, es lineal.
5 = 0, no es lineal, pues el segundo termino contiene dos
1 = 2, no es lineal, pues la variable del primer termino esta
c)
elevada auna potencia distinta de uno.
La solucion de un sistema lineal de orden n, consiste en hallar los valores de cada una de las variables, que al ser sustituidas en el sistema, todas ellas son satisfechas. Ejemplo 61. De un sistema de tres ecuaciones lineales:
+5
=4 2 =2
= 2,
Este sistema tiene la solucion:
= 1, = 3
Para verificar la validez de las soluciones se reemplazan las variables en el sistema, y todas deben ser satisfechas.
Este mismo ejemplo puede
escribirse en forma matricial: 3 5
1
1 3 1
=
4 2 2
De un modo general, un sistema de n ecuaciones lineales se escribe como: + +
+ +
+
+
.+ .+ +
= =
La representación en forma matricial se da como: La forma más simple de representación matricial es Ax=B. Donde A es la matriz de los coeficientes, x es el vector solución y b es el vector de términos independientes. + + +
+ +
+
.+ .+
=
+
=
Clasificación de un sistema lineal a) Sistema compatible, posible o consistente. - Determinado: si admite una única solución. - Indeterminado: si admite más de una solución. b) Sistema incompatible, imposible o inconsistente - Es todo sistema que no admite solución
Ejemplo 62. Sea el siguiente sistema: x+y = 5
2x
y=1
La solución del sistema es: x = 2, y = 3
Figura 24. Representación gráfica del Ejemplo 62
El sistema es compatible y determinado, pues ningún par de valores distintos a 2 y 3 podrán satisfacer la ecuación dada, o sea, el sistema posee una única solución. Ejemplo 63. Sea el siguiente sistema: +2 =4
Geométricamente las dos rectas son
y
= 12
coincidentes, y como el resultado del sistema está dado por la intersección de las rectas, en este caso, todos los puntos de las rectas son soluciones del sistema.
Figura 25. Representación Gráfica del ejemplo 63
El sistema es compatible e indeterminado, pues admite infinitas soluciones
Ejemplo 64. Sea el siguiente sistema: 2x + y = 5
2x + y = 1
Geométricamente las dos rectas son paralelas, no existe la posibilidad de intersección entre ellas, por lo tanto el sistema
es
incompatible,
pues
no
admite ninguna solución. Figura 26. Representación Gráfica del ejemplo 64
Métodos exactos Son aquellos métodos que aplicados a un sistema producen soluciones exactas, no generan errores de redondeo al operar con un numero finito de operaciones. Métodos iterativos Son aquellos métodos que permiten obtener soluciones de un sistema con una determinada precisión a través de un proceso infinito convergente. Este método requiere en principio de un número infinito de operaciones aritméticas para producir la solución exacta, pues el método iterativo necesariamente posee error de truncamiento. Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando admiten la misma solución. Operaciones elementales La solución de un sistema de ecuaciones lineales frecuentemente requiere usar las operaciones elementales de una matriz. Estas son: a) Intercambio de dos filas o renglones cualquiera de una matriz.
b) Multiplicación de una fila o renglón de una matriz por una constante 0.
c) Sumar un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante
0.
Transformaciones elementales
1) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si a una cualquiera de sus ecuaciones se multiplica por un escalar distinto de cero, resulta un sistema equivalente al sistema dado. 2) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si dos cualquiera de sus ecuaciones se intercambian, resulta un sistema equivalente al sistema dado. 3) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si a una cualquiera de sus ecuaciones se le suma un múltiplo de otra ecuación cualquiera, resulta un sistema equivalente al sistema dado. Mal condicionamiento Se tiene este fenómeno cuando la solución de las ecuaciones es muy sensible a pequeñas variaciones de los coeficientes, debido a que la matriz de los coeficientes en las ecuaciones lineales está próxima de ser singular. Ejemplo 65. Sean los siguientes sistemas lineales: a.
=2
10,05 + 10 = 21, la solución del sistema es
= 20
=
10,10 + 10 = 21, la solución del sistema es
= 10
=8
b.
=2
Un cambio relativo de 5% en el coeficiente de
18
produce un cambio
relativo de 50% en el valor de x y 56% en el valor de y; observándose que un
pequeño cambio en uno de los coeficientes, produce grandes cambios en la solución del sistema. La solución del sistema perturbado es muy diferente de la solución del sistema original. Sistema bien condicionado Un problema se dice bien condicionado si pequenos cambios en los datos introducen, correspondientemente, un pequeno cambio en la solucion. El buen condicionamiento o mal condicionamiento de un sistema lineal es inherente al problema y no depende del algoritmo empleado para resolverlo.
Definición 36.
El elemento
+ 1, + 2 … .
pivote.
Definición 37.
0, usado para eliminar los elementos
, para
sedefine como elmento pivote y la fila q se define como fila
Los números
luego restársela a la fila r con
=
, por el cual se multiplica la fila pivote para
+ 1, + 2, …
se llaman multiplicadores
Las operaciones elementales junto con los elementos pivotes y los multiplicadores permiten transformar la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones, cuando esto sea posible, en una matriz triangular superior o inferior y resolver el sistema equivalente, ya sea por sustitución regresiva o progresiva respectivamente. Método de determinantes Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado o sistemas de ecuaciones lineales; una forma sencilla de hacerlo es, aplicando los determinantes para resolver ecuaciones lineales. Es importante hacer notar que este sistema su usa para resolver sistemas lineales de hasta tres incógnitas. Regla de Cramer: Esta regla establece que, dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, se verifica:
x
=
=
z
=
x,y,z representan a las incógnitas del sistema. Para hallar el valor de x se divide el determinante x por el determinante , siendo
x el determinante en el que se ha reemplazado la columna de la
incógnita, por la de términos independientes, y
es el determinante original
del sistema. Ejemplo 66. Resuelve el sistema lineal: =4 +5 5 + 4 + 7 = 10
Se hallan determinantes =
=
, =
, y se aplican los cocientes:
. 1
=
3
4
=
10
= = =
69 = 3, 23
=
1
1 3 4
1 1 3 5 4 7
3
4 5 10
3
4
1
1 5 7
1
1 5 7
23 69 46
4 5 = 23 10
46 = 2, = 23
=
23 23
1
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 92.-
Ejercicio 93.-
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante + 3 = 36 + 5 = 61
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante +8
Ejercicio 94.-
Ejercicio 95.-
Ejercicio 96.-
Ejercicio 97.-
Ejercicio 98.-
Ejercicio 99.-
37 37
Resuelve el sistem lineal por el método de determinante = 13 4
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 13 31 326 25 + 37 = 146
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante +3 =8 =3 +2 =4
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 11 + 4 + 8 11 +6 18 + 7 + 8
65 87 74
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante
10 + 3
= 12 =3 =4
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante
Ejercicio 100.-
Ejercicio 101.-
= 11 =3 =4
+3
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante +3 =8 =3 +2 =4
Resuelve el sistema lineal por el método de determinante
Métodos Iterativos
11 + 4 + 8 11 +6 18 + 7 + 8
65 87 74
Los métodos iterativos son preferibles a los métodos directos cuando la matriz de coeficientes es poco densa, o sea, con muchos ceros. Entre los métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales las más conocidas son: el método de Jacobi y el método de Gauss – Seidel Método de Jacobi El método de Jacobi es un método iterativo utilizado para hallar la solución de un sistema cuadrado de ecuaciones lineales. Este método se ilustra mejor con un ejemplo. Ejemplo 67.
Solución
+3 = 15 +5 =9 + 3 + 6 = 19
Realizando transposiciones de términos adecuados se tiene:
De la primera ecuación:
=
De la segunda ecuación:
=
De la tercera ecuación: =
La iteración de Jacobi para este sistema es: =
15
7
+2
,
+2 5
=
=
19
El método iterativo se inicia a partir del punto (0, 0, 0)
6
+3
Los resultados del proceso iterativo se muestran en la siguiente tabla Iteracion 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2,142857 2,276190 1,970068 2,056689 2,002189 2,009943 2,002037 2,001956 2,000672 2,000431
0 1,800000 2,638095 2,685714 2,896780 2,929796 2,971360 2,983679 2,992539 2,996073 2,998113
Según la tabla, los resultados tienden a:
0 3,166666 3,352381 3,726984 3,852834 3,929494 3,964168 3,982366 3,991160 3,995618 3,998833
2,
3,
4
Este proceso no es el más recomendable, pues se realizan demasiadas iteraciones para hallar el resultado, la situación repetitiva tiende a producir errores en las operaciones. Para que el método de Jacobi sea aplicable es absolutamente necesario que los coeficientes de la matriz del sistema sea una matriz estrictamente diagonal dominante, esto es, en este caso: 7 > |3| + | 2|,
5 > |1| + | 2|, 6 > |2|
|
3|, condición que se cumple y el método converge
hacia un numero. En caso de que la matriz no sea estrictamente diagonal dominante, el método de Jacobi diverge. Este método tiene aplicabilidad en problemas donde el número de
incógnitas es muy grande y los coeficientes de la matriz son pocos. Es aquí
donde el método resulta eficiente desde el punto de vista en la utilización de memoria en un computador o microcontrolador, ya que otros métodos como la eliminación gaussiana podrían exceder el límite de memoria. Para la aplicación del método es necesario tener un valor inicial ya sea aproximado o sea el vector nulo, el cual es utilizado para calcular un nuevo vector solución mediante la expresión de Jacobi y así sucesivamente se repetirá el proceso hasta un error estimado. Para poder aplicar el método iterativo de Jacobi se debe tener una estimación inicial del vector solución x, si no se tiene la estimación se debe tomar como vector solución inicial el vector nulo, esto es porque siempre se necesita el valor inicial de x para poder comenzar las iteraciones, entre más cercano sea el valor inicial a valor real, mas rápido converge a la solución. Una condición suficiente para que el método de Jacobi converja. Esto quiere decir que cada elemento de la diagonal de la matriz A sea mayor o igual que la suma de los otros elementos de la matriz, excluyendo los elementos de la diagonal. Y así sucesivamente hasta una cota de error o un máximo de iteraciones.
Método de Gauss - Seidel El método de Gauss – Seidel es también un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método es una variación del método de Jacobi, presenta mayor eficiencia para generar el nuevo punto de proceso iterativo, esto se debe a que el método de Gauss – Seidel va usando los resultados a medida que se van generando. Es posible aclarar este método con el mismo ejemplo anterior. Ejemplo 68. Utilizando el método de Gauss – Seidel, resuelve el siguiente sistema lineal
+3 = 15 +5 =9 + 3 + 6 = 19
Solución
Realizando transposiciones de términos adecuados se tiene: =
De la primera ecuación:
=
De la segunda ecuación: De la tercera ecuación: =
La iteración de Jacobi para este sistema es: =
15
7
+2
,
=
+2 5
=
19
El método iterativo se inicia a partir del punto (0, 0, 0)
6
+3
Los resultados del proceso iterativo se muestran en la siguiente tabla Iteracion 0 1 2 3 4 5 6 7
0 2,142857 2,451701 2,081296 2,038973 2,010955 2,004000 2,001274
0 1,371429 2,564898 2,836494 2,948665 2,982346 2,994208 2,998053
Según la tabla, los resultados tienden a:
0 3,138096 3,631882 3,891148 3,961342 3,987521 3,995771 3,998602
2,
3,
4
Este método de Gauss – Seidel necesita menor iteración para llegar al mismo resultado, pues el resultado logrado por el método de Jacobi en 10 iteraciones, éste método de Gauss – Seidel lo hizo en solo 7 iteraciones, presentando mayor rapidez en la convergencia. Tanto el método de Jacobi como el Gauss Seidel solo convergen a la solución si la matriz de coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante.
Desde otra perspectiva a diferencia del método de Jacobi que cada valor encontrado se sustituye en la siguiente ecuación, partiendo del sistema anterior, cada iteración está dada por: =
1
El criterio de detención el que si en alguna norma, la matriz de iteración M del esquema satisface || || < 1, entonces el método converge y el error en
el paso
+ 1) puede estimarse mediante:
y, a su vez, la norma de la matriz de iteración || || puede estimarse
paso a paso mediante:
max Ejemplo 69.
=
Para
Para
= 0;
= 0;
= 45;
=
6 30
X =
= 0;
=
+ 45 24 210 + + ( ) 30 30 24 180 x ( ) 36 36
= 0 + 45 = 45 6 24 210 = ( ) 45 + ( ) 0 + ( ) = 2 30 30 30 24 180 = ( ) ( 2) ( ) = 19/3 36 36 2;
=
19/3;
=
Para
= 43;
=
= 2 + 45 = 43 6 24 19 210 ( ) 43 + ( ) ( ) + ( ) = 30 30 3 30 24 20 180 85 = ( )( ) ( ) = 36 3 36 9
=
;
=
20 3
;
115 20 + 45 = 3 3 6 115 24 85 210 ( )( ) + ( )( ) + ( ) = 30 3 30 9 30 24 74 180 283 = ( )( ) ( ) = 36 9 36 27 =
74 9
Y así sucesivamente hasta una cota de error o un máximo de iteraciones. Otra variante para la explicación del Método de Gauss – Seidel Permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. Para comenzar es preciso mencionar que es un método iterativo, es decir que debe aplicarse recursivamente hasta encontrar una solución adecuada o con un error considerablemente pequeño. En cada iteración obtenemos una solución posible del sistema con un error determinado, a medida que aplicamos nuevamente el método, la solución puede ser más precisa, entonces se dice que el sistema converge, pero si al aplicar el método reiteradas veces la solución tiene un error (ya explicaremos como se calcula este error) cada vez mayor se dice que el sistema no converge y no se puede resolver el sistema de ecuaciones por este método. Bien proseguiré con la explicación del método y luego aclararé los detalles necesarios para determinar la eficacia del mismo. Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones:
. . .
. . .
Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de la ecuación 2,…, xn de la ecuación n, quedando: = = = Desde la formula anterior resultan las fórmulas que se deberán ir aplicando en las diferentes iteraciones. Para comenzar a aplicar el método debemos asignar un valor arbitrario a las variables x2,…xn con el fin de obtener x1. Lo más conveniente en este caso es que los valores comiencen en cero, lo cual nos facilitaría el trabajo ya que se reduce el cálculo de las primeras soluciones, entonces de esto resulta que: = Ahora despejamos x2 de la ecuación 2 y reemplazamos a x1 por el valor obtenido en la ecuación anterior. De esto nos queda:
=
(
)
Una vez que tenemos x2, despejamos x3 de la ecuación 3 y así sucesivamente con las n ecuaciones, cada vez asignando el valor de las ,…
obtenido en el paso anterior.
Cuando hemos despejado las xn, tenemos lo que se conoce como
primera solución o solución de la primera iteración:
2=
Con los nuevos valores de x1, x2,…, xn aplicamos los mismos pasos anteriores pero con los nuevos valores de las xn, de esta manera conseguimos una segunda solución: 1=
2=
Al tener esta segunda solución estamos en condiciones de calcular el error que se calcula como sigue: | 1| =
100%
| 2| =
100%
|
|=
100%
Así, repetimos el método tantas veces hasta que el error sea muy pequeño o los suficientemente aceptable.
Ahora solo queda mencionar que para que un sistema sea convergente se debe cumplir que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, y para ello se debe verificar la siguiente expresión: |
|> = 1,2, … ,
Si no se cumple esa condición, se puede permutar las filas de la matriz, con el fin de poder convertirla en una diagonalmente dominante. Sistemas Triangulares Eliminación de Gauss Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada". Algoritmo de eliminación 1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él 4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón) 5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida. Ejemplo 70. Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:
+2
=
=
8 11 3
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas: Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:
1 2
+
= 8
1 2
= 1
= 5
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
1 2
= 6
1 + 2
= 1
= 1
Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z. = 4 3 = 2 = 1
1 2
Despejando, podemos ver las soluciones: = =
2 3 1
Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial: Primero:
2 Después,
Por último.
1 1
2
2 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0
1 2 2 0
0
1
0 0 1
8 11 3 4 3 2 1 2 3 1
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta: (0 0 0 1) Que representa la ecuación: tiene solución.
+ 0 + 0 = 1, es decir, 0 = 1 que no
Descomposición LU El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es:
Donde: L - Matriz triangular inferior U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
0
=
0 0
0 0
1 0
1
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:
De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:
=( Si el sistema de ecuaciones original se escribe como: =
lo cual resulta lo mismo escribir:
Definiendo a:
Podemos escribir:
= = =
Resolviendo para Y, encontramos:
)/
=(
=(
)/
)/
El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:
La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss. Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación gausiana. Ejemplo 71. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:
1 1 0
2 0
1 0
1
1 2 3 4
0 0 1 1
Las matrices de factores L y U de A son:
=
3 1
0
0 0 0 5/3 0 0 1/3 8/5 0 0 1 3/8
=
0 0 0
=
1 1 1 1
1/3 1 0 0
1/3 1/5 1 0
0 0 1 1
El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:
3 1
0
Donde
][ ] = [ ]
0 0 0 5/3 0 0 1/3 8/5 0 0 1 3/8
1 2 3 4
=
1 1 1 1
= 1/3
= 4/5 =1
= 16/3
El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X, por sustitución regresiva:
0 0 0
1/3 1 0 0
De donde se obtiene:
1/3 1/5 1 0
][ ] = [ ] 0 0 5/8 1
= 16/3 = 13/3 = 5/3 = 7/3
1 2 3 4
=
1/3 4/5 1 16/3
Cálculo de la matriz inversa Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices
n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una
matriz identidad simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada: 2
=
2
1 1
2
1 1
2
Se construiría
1 2 2
1 2 2
1 0 0 1 0 0
0 0 1
y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos 2 1 1 0 0 2
1 1 1
1 1 1
0 0 1 0 0 1
Multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera 1 2 0
0 1 2
1 1
1 1
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 2
1 1
3 1
1 2 0
0 0 1
Ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo
Ahora usamos el pivote de la segunda fila
1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 1 0
1
1 2 4
3
0 0 1
Y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente 0 0 1
4
2
5
1 1 1
El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que ésta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa. Técnica eficiente para la solución de sistemas tridiagonales Los sistemas tridiagonales aparecen en la resolución de numerosos problemas numéricos, de aquí su importancia. Un sistema tridiagonal tiene la forma: 1
2
.
3 .
. .
.
.
1 2 3 . = .
1 2 3 . .
Es fácil observar lo siguiente: 1. Que utilizando como pivotes los sucesivos elementos de la diagonal desde
i = 1 hasta i = n la matriz ampliada del sistema tridiagonal anterior
es equivalente a la matriz:
1
2
.
3 .
.
1 2 3 .
.
donde los elementos B’i ; d’i y, por tanto, la solución es fácilmente calculable utilizando el siguiente algoritmo: a) Definimos las variables B’i; d’i, i = 1,…., n por igualdades B’1 = B1 d’1 = d1; B’i= Bi – r Ci-1 d’i=di- r d’i-1
i=2,…..,n
donde r es la variable auxiliar Ai/B’i-1 b) Calculamos la ultima componente de la solución con Xn = d’n/B’n c) Calculamos las siguientes componentes en orden decreciente por la igualdad: =
+1
Para i = n = 1,…, 2,1 2. Que lo anterior no es directamente aplicable si uno de los elementos diagonales, pongamos B’i es cero, en cuyo caso la ecuación i-ésima tomaría la forma Cixi+1 = d’i pero entonces la .incógnita xi+1 se obtendría de forma automática por la igualdad xi+1 = d’i con lo que el sistema quedaría reducido a un sistema de orden n-1 en las variables {x1,…..xi+1,…,xn} que es tridiagonal y
por tanto resoluble mediante el anterior algoritmo o reducible a un sistema tridiagonal de orden estrictamente inferior y por tanto también resoluble mediante una ligera modificación del algoritmo descrito en el punto anterior.
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 102.-
Considerando el sistema de ecuaciones lineales, verifica si
la matriz de coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante, si es así, resolver por el método de Jacobi y de Gauss-Seidel.
Ejercicio 103.-
+3 +9 +3
+2
+5
20 12 = 28
Considerando el sistema de ecuaciones lineales, verifica si
es posible resolver por el método de Jacobi y Gauss-Seidel; si es así resolver por los métodos iterativos citados (Jacobi y Gauss-Seidel). +4
Ejercicio 104.-
+2
+4
20 18 + 11 = 28 +5 =8
+3
Considerando el sistema de ecuaciones lineales: +2 +2 +5 +5
2 2 =8
a) Resolver usando el método de descomposición LU b) Calcular el determinante de A, usando descomposición LU. Resolver el sistema 2 = 7 7
, donde: 1 5 1
4 9 6
=
6 = 3 1
Ejercicio 105.-
Resolver el sistema: +4
Ejercicio 106.-
Resolver el sistema +2
Ejercicio 107.-
+5
Resolver el sistema +7
Ejercicio 108.-
Ejercicio 110.-
+4 =1 +5 =2 =5 =1
+ 4 = 10 +9 =8 +4 +2 +2 =4 +5 +7 =3
+3
Resolver el sistema: 11
Ejercicio 109.-
+4 =2 +5 =8 =8 =1
13 14
+8 +7 +8
+3 +2
+3 +5
Resolver el sistema
=2 =4 8 =1
+ 12 + 4 + 12 = 81 + 5 + 2 + 15 = 12 +2 10 15 10 +4 5
Resolver el sistema
+ 13 + 2 18 + 15
= 10 =8 =4 =3
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
CAPITULO VI
Introducción La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona fórmulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar ese cálculo en un computador. Realizar una integración numérica es integrar numéricamente una función: que aproxime
) en un intervalo dado
] es integrar un polinomio
) al intervalo dado.
)
En el campo de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la solución de un problema se exprese como una integral de la forma
; esta integral
se resolvería usando el Teorema Fundamental del Cálculo, sin embargo, existen casos donde es imposible hallar una anti derivada de embargo, la integral existe y debe de evaluarse.
) . Sin
Estas situaciones son del área de estudio de la integración numérica. Si la función pares ordenados
) está indicada en una tabla por un conjunto de
( ) ;
( ) ;…;
ordenados en forma creciente y donde (
interpolación para la función
) en el intervalo [
un polinomio de aproximación para ,0
;0
del intervalo
Se puede usar elpolinomio
los sub-intervalos.
) , donde los ( )
(
).
)
están
) , el polínomio de ]
es
en cualquier intervalo
) para integrar
) en cualquiera de
Las ventajas de integrar numéricamente un polinomio son las siguientes:
) es un polinomio de difícil integración o si
1) Si
) es
prácticamenteimposible de integrar, sin embargo, un polinomio es de integración inmediata. 2) Si se conoce la solución analítica de los resultados de la integral, y su cálculo solo puede arrojar aproximaciones. 3) La función es representada a través de una tabla de conjunto de pares ordenados,
obtenidos
como
resultados
de
experimentaciones
o
cálculosprevios. Las fórmulas de integración son de manejo fácil y práctico y permite, cuando la función en la integración numérica.
)es conocida, tener una idea del error cometido
Conceptos básicos Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la ) en el intervalo
curva
]. La forma teórica de hallar este valor es
mediante el teorema fundamental del cálculo
Sea
Teorema 34. Teorema de valor medio para integrales
continua sobre el intervalo
intervalo tal que ( )
Sea
=(
], existe c perteneciente a dicho
)
)
Teorema 35. Teorema fundamental del cálculo
continua sobre el intervalo
F es una antiderivada de Entonces
( )
. ( )
)
], y sea
( )=
Teorema 36. Segundo teorema fundamental del cálculo.
, es decir,
Dada una función
], y sea
la cual es contínua sobre el intervalo
una función primitiva de la función
( )
; es decir,
], entonces
pertenece al intervalo
( )
( )
) es una función tal que
) para todo que
) ( )
( ), es decir
( ) es una
( ). Sin embargo en muchos casos prácticos es muy difícil
antiderivada de
y a veces imposible hallar una antiderivada de
( ).
En estos casos el valor de la integral debe aproximarse con el menor error posible, esto puede lograrse por medio de serie de potencias, método gráfico o métodos numéricos.
Si una función
Teorema 37.
] , entonces
, es continua en el intervalo
].
integrable en
es
Las notaciones que los autores utilizan en este aspecto varian de acuerdo al autor, es necesario tener una compresión simple, de todas maneras, se presentan a continuación las notaciones más omunes.
(
)
( )
(
( );
)
(
)
( )
)
Método de Serie de Potencias Consiste en desarrollar en serie de Taylor la función
( ) e integrar
término a término. Intentando hallar la antiderivada de la siguiente integral definida
por ejemplo, es posible hacerlo desarrollando la serie.
=
=0
1)
i!
dx =
+
2!
3!
… dx,
+ + |
3
+
5(2!)
7(3!)
2!
3!
2!
3!
=1
1 1 + 3 10
1 42
…= …= =
( 1)
1 ( !)
Este valor puede calcularse truncando la serie hasta un número determinado de términos. Este método está restringido a pocos casos posible que no exista la serie de potencias. b) La serie puede ser difícil de hallar. c) Puede ocurrir que la serie no sea convergente en el intervalo [
d) La serie puede converger muy lentamente.
].
Método Gráfico Consiste en trazar la gráfica de
( ) en el intervalo [
] y medir el
área bajo la curva. Esto puede lograrse con unos instrumentos llamados
planímetros (El planímetro es un instrumento de medición utilizado para el cálculo de áreas irregulares. Este modelo se obtiene en base la teoría de integrales de línea o de recorrido). Este método aunque muy general tiene algunos inconvenientes, pues solamente pueden ser utilizados para obtener aproximaciones; los inconvenientes son: a) La gráfica puede ser difícil de elaborar. b) No es muy preciso ya que está sujeto a errores de medición. Métodos Numéricos Los métodos numéricos generan una sucesión de números de la forma:
lim
=
,… ,…,
( )
.
, lo cual se acerca a la integral, es decir
El método numérico se detiene cuando se cumple algún criterio de
convergencia preestablecidas con la precisión deseada. a) Como no es posible integrar directamente
( ) estos métodos
( ) por otra más simple que pueda integrarse.
aproximanla función
Las funciones más utilizadas para este fin son los polinomios. Éstos se emplean con bastante frecuencia en métodos numéricos, por sus propiedades, en este caso porque pueden integrar fácilmente. Existen varios métodos para la integración numérica basadas en polinomios, en este capítulo se estudiará algunos de estos métodos. ,…,
Sean ( ) (
) ( ), … , (
,…,
Sean
.
)
+ 1 puntos
distintos
en
a
+ 1 , valores de una función
)el polinomio de interpolación de la función
n+1 puntos, por la formula de Lagrange se tiene que:
( )=
]
y
sean
( ) sobre ) sobre
)
La formula de cuadratura es interpolatoria si y solamente si el grado de precision es por lo menos n, o sea, si y solamente si la formula es exacta para todo polinomio de grado
.
( )=
( )
Ejemplo 72. Sea [
] = [0,2] y sean
= 0;
= 1;
=
a) Determinar la formula de cuadratura que sea exacta pata todo polinomio de grado
2
b) Usando la formula obtenida, calcular: (
2)
Como la exigencia del problema es determinar la formula de cuadratura ( ) = 1, ( ) = 2, ( ) =
2, y que sea exacta para
para polinomio de grado . Se tiene:
0+
0+
1+
1+
=2
3 =2 2 9 8 = 4 4
Los valores 2, 2, , son los resultados de la integral de 0 a 2 de 1,
respectivamente. De esta manera se obtiene un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incognitas. Resolviendo el sistema se obtiene: =
4 , 9
=
2 8 4 ( )+ ( )+ 3 9 9
=
2 3
=
8 9
Se tiene la formula para integrar la funcion ( ) en el intervalo [0,2] )
Esta expresión es la fórmula de cuadratura interpolatoria. b) Se tiene que
( ) ( )
2,con 2; ( )
= 0;
= 1,
1; ( ) =
1 4
=
Usando la formula de cuadratura interpolatoria
=
2 8 4 ( )+ ( )+ ( ) 3 9 9
4 2 8 1 = ( 2) + ( 1) + 9 3 9 4
8 2 8 + + 9 3 36
Resolviendo la integral por metodo del Cálculo se tiene:
(
2)
=
x 3
2x
=
2 3
2
0=
8 3
4=
4 3
4 3
Se verifica que la formula de cuadratura arroja resultado exacto respecto de la forma tradicional de hallar la integral definida de una funcion. Se pueden obtener una formula de cuadratura usando el metodo descrito, aunque sea algo trabajoso, pues si cambian los limites de integracion y los puntos, todos los calculos deben realizarse de nuevo. Esto limita grandemente la formula de cuadratura para su aplicacion. Regla del rectangulo Las formulas que proporcionan una aproximacion del valor de una integral definida se conocen con el nombre de formulas de cuadratura. En sus versiones mas sencillas, estas formulas aproximan el area bajo la curva, por el area de un paralelogramo. Esto solo proporciona una buena aproximacion si la base del paralelogramo es pequena. Por ello, las formulas verdaderamente utiles aproximan la integral definida mediante una suma de areas de paralelogramos de bases muy reducidas numericamente. El metodo del rectangulo consistente en dividir el area que se desea encontrar en T sub-areas en forma de rectangulos. Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las siguientes variables:
n: Número de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular h:
Ancho o base de cada sub-área
a: Límite inferior definido para el cálculo del área b: Límite superior definido para el cálculo del área. La integral definida entre los puntos acotada
de una función continua y
( ) , representa el área comprendida debajo de esa función. La
integración numérica aplica cuando es necesario calcular áreas de integrales definidas, cuando se desconoce la integral explicita de la función
( ).
Existen varios métodos para calcular áreas por integración numérica. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto de n sub áreas donde cada sub área semeja un pequeño rectángulo elemental de base
=
y altura y, El método del rectángulo para la integración numérica viene dado por las siguientes expresiones. [ ( )
[
(
(
)
)
( +2 )
( +2 )
(
)
)]
)]
Ejemplo 73. Utilizar la regla rectangular para aproximar la integral, considerando = 5.
Si se asume el área subdividas en cinco intervalos, aplicando la fórmula y los datos del problema se tiene:
= 0;
= 1;
=
=
= = 0.2
0.2[ (0)
[ ( )
(0 + 0.2)
(
)
( +2 )
(0 + 2(0.2) + + (0 + 3(0.2)
El valor verdadero o analítico es: El cálculo del error es: = 1.4626517459 = =
(
0.2[1 + 1.04081 + 1.17351 + 1.433329 + 1.89648] 1.3088
%
)]
==
1.4626517459
1.3088 = 0.153851745
0.153851745 = 0.10518686 1.4626517459
× 100% = 0.10518686 × 100% = 10.51%
La gráfica, presenta la función y el área de integración
Figura 27. Grafica del ejmplo 73
(0.2)]
Ejemplo 74. Utilizar la regla del rectángulo para resolver la siguiente integral definida. Considere un valor de n tal que 1
`
(
)
)
(
)
(
)
+
( ))
)
será
Donde h es el número de sub intervalos entre el cual será dividido el =
intervalo de integración siendo h igual a:
Donde a es el límite inferior de la integral, b es el límite superior de la integral y n es el número de sub intervalos sobre el cual será seccionada la integral para lograr una solución precisa. Para lograr una mayor exactitud se escogerá el valor de n más alto, lo cual permitirá que el error sea mínimo, de aquí el que se eligirá una n=8 quedándonos un h igual a: = Evaluando siguiente tabla
)
1.4 1 = 0.05 8
en la función de la regla del rectángulo obtenemos la
n 1 2 3 4 5 6 7 8
x 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.4
( )
0.018325 0.019197 0.020070 0.020942 0.021815 0.022687 0.023560 0.024432
Remplazando estos valores de
)
triángulo obtenemos: ( )
=
en la ecuación de la regla del
1 (0.018325 + 0.019197 + 0.020070 + 0.020942 + 0.021815 8
+ 0.022687 + 0.023560 + 0.024432) ( )
Obteniendo ( )
así
= 0.024432 .
como
=
0.171028 = 0.021378 8
resultado
que
la
integral
definida
de
El resultado arrojado por los métodos de
integración aplicando cálculo arroja el siguiente resultado. ( )
= 0.008377
Figura 28. Figura del ejemplo 74
Al comparar este resultado con el arrojado por el método de integración tenemos el siguiente error. =
0.008377 0.021378 = 1.551988 0.008377 %
= 155.1988%
Para esta función el método no resulto ser muy exacto ya que presenta un error muy elevado por lo que se recomienda usar un n mayor o aplicar otro método numérico más exacto.
Regla del punto medio El método rectangular solo es estudiado a modo de referencia, pues no arroja resultados significativos en cuanto a la precisión de los resultados. El método del punto medio es una variante mejorada del método del rectángulo y presenta una mejor aproximación que el método del rectángulo, apenas con una pequeña modificación de de la fórmula del rectángulo, variando los puntos de los intervalos. La regla del punto medio aplica la siguiente fórmula:
+ Ejemplo 75.
2
+
2
2
)
Utilizando la función anterior Utilizar la regla del punto medio para aproximar la integral, con
=5
= 0;
= 1;
=
=
5
0
=
1 = 0.2 5
Aplicando la fórmula del punto medio se tiene:
0.2
0+
0.2 2
+
2 3(0.2) 0+ 2 0.2[ (0.1)
(0.3)
+
2 5(0.2) 0+ 2 (0.5)
(0.7)
0.2[0.7268449] = 1.4536898
Calculando el error en este problema:
%
= 0.613
Figura 29. Grafica del Ejemplo 75
) 2 7(0.2) 0+ 2 0.9)]
(1
0.2 ) 2
Observación Haciendo una comparación simple entre los dos métodos estudiados hasta ahora, se nota un gran aumento en la precisión de los resultados obtenidos por el método del punto medio respecto al método del rectángulo. En el mismo ejemplo
, con la misma cantidad de intervalos (5) se
obtienen los siguientes márgenes de error, que miden las precisiones arrojadas por cada método Error porcentual del método del rectángulo es 10.5%. Error porcentual del método del punto medio es 0.6%. Se concluye que el método del punto medio arroja mejores resultados que el método del rectángulo. Algunos textos consideran, indistintamente al método del punto medio como el método del rectángulo, pues se basan en el mismo principio, variando solamente en la forma de operar con los intervalos.
Ejemplo 76. Utiliza la fórmula del punto medio para resolver las siguientes integrales
Figura 30. Grafica del ejercicio 76
Antes que nada comenzamos definiendo la variable N que para este caso será el valor de 8, mientras más alto sea el valor de N, la precisión de la expresión va a ser más aproximada al valor real. = 0;
= 1.2;
=8
Con estos valores se procede a calcular el valor de la altura definida por el h que es: = ( )
+ 0.15
+
2 0+
= 2
0.15 2
9(0.15) + 2 (0.15) 1.2 2
0+
0.15 (0.075) (0.975)
1.2 0 3 = 8 20
0.15 2
0+
3(0.15) 2
0+
11(0.15) 2
(0.225)
(1.125)
(0.375)
0+
5(0.15) 2
0+
13(0.15) 2
(0.525)
0+
7(0.15) 2
(0.675) + (0.825)
0.15 0.080813 + 0.28177261 + 0.5456218 + 0.8874909 + 1.3257222 + 1.8825163 + 2.58488803 + 3.4652439
0.15 11.05407223 = 1.6581108 El valor verdadero de la integral
= 1.6640233
El cálculo de los errores es =|
| = |1.6640233 =
Observaciones
%=
=
1.6581108| = 0.0059125
0.0059125 = 0.003553 1.6640233 100% = 0.3553%
Para este tipo de funciones el cálculo de la integral nos arroja un error muy pequeño por lo cual se puede decir que el método de punto medio, es eficiente a la hora de aplicarlo en este tipo de funciones, cabe acotar que se usó un n=8 por lo cual esto también entra en el análisis del resultado ya que medida de que se toman más sub-intervalos más cercano estará del valor real. Fórmulas de Newton - Cotes Las formulas de Newton-Cotes del tipo cerrado son aquellas en que son puntos de la formula de cuadratura, o sea argumentos
, son igualmente espaciados de una cantidad fija = 0,1, … ,
1, la función peso,
el intervalo de integración es finito.
Sea :
los
Teorema 38.
) una función cuyos valores
, esto es,
), es constante e igual a 1, y
( ) ( ), … ,
)son conocidos,
ya sea por medio de tablas o por puntos de pares ordenados; de ahí se tiene que:
Suponiendo entonces =
se tiene
=
igualmente espaciados de
y cuando
=0 y
y considerados u=n
, Donde los
Luego
son los polinomios
usados en la formula de Lagrange para intervalos igualmente espaciados: =
. Obteniendose
Haciendo
Entre los métodos cerrados de Newton – Cotes se cuentan la regla del trapecio con un grado de exactitud uno, y los métodos de Simpson, tanto las de un tercio y las de tres octavos, tienen un grado de exactitud tres. Las fórmulas de cuadratura se dicen abiertas cuando no se utilizan los extremos del intervalo como abscisas de interpolación, son de la forma:
(
) ;
Con
2=
2
;
+2
;
2
=
( )
)];
Existen dos teoremas que se presentaran, son las que permiten obtener las formulas cerradas y abiertas de Newton-Cotes.
Teorema 39.
( ),se la formula cerrada de Newton-Cotes con
Supongamos que donde Cuando n es par
par
( ) [
=
]
], tal que
, entonces existe
( )+
(
)!
( )+
(
)!
( )
(
1)(
2)(
)
, si n es
Cuando n es impar
impar
( )
[
]
=
( )
(
1)(
2)(
)
, si n es
Teorema 40.
Supongamos que =
donde Cuando n es par
par
( ) [
( ),se la formula abierta de Newton-Cotes con
( )+
]
), tal que
, entonces existe
(
)!
( )
(
1)(
2)(
)
, si n es
Cuando n es impar
impar
( )
[
( )+
];
(
)!
( )
(
Teorema 41. = 0,1,2, … ,
Si los puntos
1)(
2)(
)
, si n es
], en un
dividen al intervalo
) tiene derivadas de orden ( + 1)
número par de intervalos iguales y
] , entonces la expresión de error para la forma de
continua en
Newton-cotes del tipo cerrado, con n impar es: ( )=
(
)!
( )
(
1) … (
)
Teorema 42.
, para
= 0,1,2, … ,
Si los puntos
número par de intervalos iguales y
]
algún
dividen al intervalo
], en un
) tiene derivadas de orden ( + 1)
] , entonces la expresión de error para la forma de
continua en
Newton-cotes del tipo abierto, con n impar es: ( )=
(
)!
( )
+ 1) … (
)
, para
algún
]
Metodo del Trapecio. La figura del trapecio y de la fórmula de área de la misma dio su nombre a este método. Si se considera un polinomio de grado 1, es decir, una recta, y se de obtener una fórmula para integrar
) entre dos puntos consecutivos
, usando un polinomio de primer grado, se tiene la fórmula del trapecio:
( )
( )
=
( )
2
( )
12
)
Si el intervalo de la integral es grande, se puede dividir el intervalo n sub-intervalos de amplitud intervalo
=
de tal forma que x
;
]
. Si el
] es pequeno la aproximacion sera razonable, entendiendose
que cuanto menor es el intervalo mayor sera la precision del resultado obtenido; mas si
] es grande, el error tambien puede ser grande,
dependiendo de la pendiente de la funcion analizada. En error en la formula del trapecio sobre el intervalo [
Cotes, para
= 1 es:
( )
] obtenido del teorema de error de Newton – ``( ) ,x 12
Figura 31. Representación grafica del Método del Trapecio
Regla el trapecio Generalizada Si el intervalo de la integral es grande, se puede dividir el intervalo [a, b] n sub-intervalos de amplitud cada sub-intervalo
(
),
=
de tal forma que x
;
y en
= 0,1, … , . Aplicando la regla del trapecio a
cada sub-intervalo, el error sera ahora la suma de las areas entre la curva de la funcion y las rectas de la parte superior del trapecio, como se muestra en la figura.
Figura 32. Representación grafica del Método del Trapecio Generalizado
Se observa ahora que
0, por lo tanto el resultado de la integral
tiende a ser exacto, pues el error tiende a cero. Por lo tanto, cuando mayor cantidad de sub-intervalos se introduce entre los límites de integración considerados, más preciso será el resultado. Así, mejorando la precisión y disminuyendo el error, la fórmula del trapecio en su forma generalizada queda de la siguiente forma:
( ) Ó
2
[ ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )
+2 (
)+2 (
)]
( )
2
[ ( )+2 ( )
( )
(
)
(
)]
La formula de error queda asi: ( )
( )=
(
) 12
( )
Aun aplicando la formula de error, es imposible lograr el resultado exacto de la aproximación buscada, sin embargo, la fórmula de error es útil cuando se desea una precisión prefijada para la función a ser analizada. Ejemplo 77. Hallar la siguiente integral por métodos numéricos aplicando la Regla del Trapecio.
Figura 33. Grafica del ejercicio 77
=
=
8
2
= 0.125
( )
=
2 2.125 2.25 2.375 2.5 2.625 2.75 2.875 3
2
( ) 2.77259 3.40375 4.10533 4.87913 5.72682 6.65001 7.6502 8.72894 9.88751
( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )
( )] = 0.0625 (2.77259 + 2 3.40375 + 2 4.10533 + 2
+2 ( )
4.87913 + 2 5.72682 + 2 6.65001 + 2 7.6502 + 2 8.72892
+ 9.88751) = 5.93428
= 5.928 %
Ejemplo 78.
=
5.928 5.93428 + 100% = 0.1% 5.928
Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla del Trapecio. x
sen( )
Figura 34. Grafica del ejercicio 78
Aplicando la formula tenemos:
1 1.2677 1.5354 1.8031 2.0708 2.3385 2.6062 2.8739
( )
=
2
( ) 0.84147 0.59389 0.42392 0.29932 0.20465 0.13157 0.07511 0.03203 0
[ ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )+2 ( )
+2 ( )
( )] = 0.13385
(0.84147 + 2 0.59389 + 2 0.42392 + 2 0.29932 + 2 0.20465 + 2
0.13157 + 2 0.07511 + 2 0.03203 0) = 0.58391 = 0.57773 %
= x
0.57773 0.58391 0.57773
sen( )
100% = 1.07%
1
[ (1) 16 + 2 (1,01769 + 2 (1,0353) + 2 (1,0530) + 2 (1,0707) + 2 (1,5884)
+ 2 (2,1061) + 2 (2,6238) x
sen( )
( )]
0,0279268
Regla de (1/3) de Simpson Regla 1/3 de Simpson si hay un punto medio extra entre
)
( ),
entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de grado mayor
a uno. A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman reglas de Simpson; La regla de Simpson (1/3) para integración a
lo largo de un intervalo cerrado de amplitud h igual a
=
en número par de 2n de sub intervalos
de tal forma que
.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson. Otra de las fórmulas de Newton-Cotes es la regla de Simpson de (1/3), que proporciona una aproximación más precisa que la regla del trapecio, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. La expresión usada es: ( )
=
( )
Ejemplo 79.
=
3
[ ( )+4 ( )
)]
90
( )
]
Hallar la siguiente integrale por métodos numéricos aplicando la regla 1/3 de Simpson. Al resolverlos recordar que los resultados se representan como mínimo de cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de n.
cos
Figura 35. Grafica del ejercicio 79
=
El valor de h
X
0.000001 1 1 1
( ) ( )
=
5/6 1.164084 0.999914 1.163984
0.83333 es el valor a tomar.
5/3 0.4268272 0.999657 0.426681
5/2 0.1011929 0.999229 0.101115
10/3 0.01807469 0.998630 0.018050
En la tabla antes propuesta se ve que el punto
25/6 0.0026154 0.997859 0.002601
5 0.00032
0.99691 0.000320
es 0.000001 y no 0,
esto es debido a que al evaluar la función en el punto 0 nos quedaría una integral impropia por lo tanto se aproxima lo más cerca del cero, para poder aplicar el cálculo de la integral. ( )
=
3
( )] + [
([ ( )
cos (
=
cos (
=
( ) + 2 ( )] + [
[1 + 0.000320] +
[1.163984 + 0.101115 + 0.002700]
cos( )
[0.426681 + 0.018050] +
[1.000320] + [0.444731] +
El cálculo de los errores es
=
%=
| = [1.99471
=
1.934334] = 0.060376
0.060376 = 0.03026805 1.99471
100% = 3.0268%
Observaciones
[1.267735]
= 0.278667 + 0.247073 + 1.408594 = 1.934334
El valor verdadero de la integral
=|
( ) + 4 ( ) + 4 ( )])
cos( )
1.994971
A pesar de ser un resultado bajo se puede llegar a la conclusión de que el método para las funciones que tenga una componente trigonométrica, afecta al resultado en gran medida, debido a lo cual se procede a volver a calcular el valor de la integral con una nueva consideración en mente la cual va a ser aplicar un N mayor para que se logre una mayor exactitud a la hora de aplicar el método de Simpson 1/3. Ejemplo 80. Hallar la siguiente integrale por métodos numéricos aplicando la regla 1/3 de Simpson. Al resolverlos recordar que los resultados se representan como mínimo de cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de n.
Figura 36. Grafica del ejercicio 80
El valor de h
=
=
0.33333 es el valor a tomar para la altura h,
ya con este valor se procede a calcular los x en donde se va a evaluar la función la cual va a seguir el orden de
.
( )
2 7.389056 1/2 3.694528
1
( )
7/3 10.312258 3/7 4.419539
3
( )
( )
8/3 14.391961 3/8 5.396968
3 20.085536 1/3 6.695179
( )
10/3 28.031624 3/10 8.409487
( )
11/3 39.121284 3/11 10.669441
[ ( )+4 ( )+2 ( )+4 ( )+2 ( )+4 ( )
( )
4 54.5981500 1/4 13.649538
( )]
1/3 [3.694528 + 4 4.419539 + 2 5.396968 + 4 6.695179 + 2 3
8.409487 + 4 10.669441 + 13.649538]
1 [3.694528 + 17.678156 + 10.793936 + 26.780716 + 16.818974 9
+ 42.677764 + 13.649538]
1 = [132.093612] = 14.677068 9
El valor verdadero de la integral
= 14.67664011 El cálculo de los errores es =| =
%=
| = [14.67664011
=
14.677068] = 0.000428
0.000428 = 0.00002915449 14.67664011
100% = 0.0029%
Observaciones
Como se puede apreciar en el resultado, al aplicar este método se obtuvo el resultado de la integral definida con un error muy aceptable ya que es posible despreciarse por el nivel de diferencia que existe entre el valor
calculado y el real, cabe destacar que sin necesidad de aplicar un N=8 se logró llevar a un valor correcto para este tipo de función. Regla de Simpson 3/8 La regla de Simpson de (3/8) considera el valor de n= 3, con el propósito de obtener una fórmula para integrar f(x) entre cuatro puntos consecutivos , consistiendo en aproximar la función mediante una cubica. ( )
8
)+
)+3
)+
)]
Esta fórmula se conoce como la Regla de Simpson (3/8) de la fórmula de Newton – Cotes. La fórmula de la Regla de Simpson (3/8) con la menor participación de sus intervalos igualmente espaciados de mayor amplitud =
, sin embargo, para mayor precisión, normalmente se realizan
subdivisiones mayores de los intervalos de integración, para lo cual la formula generalizada de la siguiente forma ( )
8
)+
)+3
)+
)]
La formula de error para la regla de Simpson (3/8) es la siguiente:
Ejemplo 81.
80
( )
Resuelva la siguiente integral usando la Regla de Simpson (3/8):
Solución -
1 1+
Para esta integral utilizamos como n=3 ya que solo se requiere los primeros cuatros valores de la tabla para determinar la integral
-
Se halla el valor de h,
-
Se realiza una tabla de Datos para determinar los valores x1, x2, x3 y
=
=
=
los de F(x). x F(x)=
0 1
1/3 0,99590
2/3 0,88363
1 0,5
Figura 37. Grafica del ejercicio 81
-
-
-
Se reemplaza los valores en la ecuaciones y se tiene que: 1 1+
1 1 ( )[1 + 3(0,99590) + 3(0,88363) + 0,5) 8 3
Se resuelven y se acomoda un poco la integral nos queda: 1 1+
1 (7,14966) 8
La integral por la Regla de Simpson nos queda:
1 1+
Comentarios
0,89370
= 0,88831
Analíticamente la
0,89370
Por la Regla de Simpson (3/8) nos queda que Errores: = 0,88831
0,89370 = 0,00539
%
%
Ejemplo 82. Utilizando el método de Simpson (3/8) se pudo determinar el valor de la integral y comparándolo con el valor teórico, se obtuvo que el error que poseía es de 0,606% cuyo error es muy bajo, por lo tanto, puede aplicarse este método al momento de resolver la integral si en dado caso no se exija un análisis profundo de la curva.
+1
Solución -
Para esta integral utilizamos como n=3 ya que solo se requiere los primeros cuatros valores de la tabla para determinar la integral
-
Se halla el valor de h,
-
Se realiza una tabla de Datos para determinar los valores x1, x2, x3 y los de F(x).
=
=
=
-
-
-
x F(x)=
1 0
4/3 0,12329
5/3 0,19156
2 0,231040
Se reemplaza los valores en la ecuaciones y se tiene que:
+1
3.1 (0 + 3(0,12329) + 3(0,19156) + 0,231040) 8.3
Resolviendo parte de los cálculos y acomodando:
+1
1 (1,17560) 8
La integral aplicando el método nos queda:
+1
0,14695
Figura 38. Grafica del ejercicio 82
Comentarios Analíticamente la
= 0,147221
0,14695
Usando el la Regla de Simpson (3/8) de Errores: = 0,147221
0,14695 = 0,000271
%
%
Se determinó por medio de la Regla de Simpson (3/8) un valor cercano al valor de la integral de manera analítica, se determinó que su error fue de 0,1841% cuyo valor de error es bajo si no se exige al análisis de la curva, cabe acotar que el valor del error dio bajo también porque la función dado era logarítmica trasladada (paralelo al eje x a partir de del área bajo su curva llega a ser preciso.
(1) por lo tanto el cálculo
Método de Boole La regla de Boole utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado. La formula cerrada de Newton-Cotes, en el caso particular en que siguiente fórmula:
( )
=
45
[
= 4, es llamada la Regla de Boole, y se expresa por la ( ) + 32 ( ) + 12 ( ) + 32 ( ) + 7 ( )]
En resumen
El Teorema Fundamental del Cálculo Integral una función continua en un intervalo cerrado en [
]; es decir
( )
existe”.
945
( )
establece que “sí f es
] entonces f es integrable
Este teorema garantiza la existencia de la integral definida pero no proporciona
[
( )
herramientas
para
calcularla
y
para
evaluar
usando este Teorema se requiere que la función f sea continua en
] y hay que hallar una primitiva de f, que en algunos casos es imposible.
Otro problema que surge al calcular dada mediante una tabla de valores.
( )
es cuando la función f está
Por las razones expuestas anteriormente es que surgieron los métodos numéricos
para aproximar integrales definidas, los cuales
se pueden
aplicar a funciones definidas en forma analítica o en forma tabulada. ( )
El método que se usa para aproximar
se conoce como
cuadratura numérica, el cual usa una suma de la forma: ( )
=
))
Estos métodos se pueden deducir usando polinomios interpolantes y los polinomios de Taylor. Sean
x , x , x , . . . , x , (n + 1) (nodos distintos del intervalo
] y sea
P (x) el polinomio que interpola estos puntos y R (x) el error de interpolación: ( ) de allí que: integral definida y
=
( )
Regla 1/3 de Simpson Pasos a seguir: a) Se elige n par. b)
x=
.
=
( )
( ) ( )
+
( )
representa la aproximación a la
representa el error .
c) d)
( ) se evalúa. ( )
=
e) Calcular el error.
1 + 4 2 + 2 3 + 4 4 + 5].
Regla 3/8 de Simpson Pasos a seguir: a) Se elige n par. b)
x=
c)
( ) se evalúa.
d)
( )
.
=
)
e) Calcular el error.
1 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 5].
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Resuelva u8sando el metodo que desee. Ejercicio 111.+8
Ejercicio 112.Ejercicio 113.Ejercicio 114.Ejercicio 115.Ejercicio 116.-
=4
( )
1+
=8
=6
=6
=4
Se tiene la siguiente función siguiente: (para cada inciso
calcule el porcentaje de error)
1
,
a) Calcule la integral por el método de la regla del trapecio n = 6 b) Calcule la integral por el método de Simpson 1/3 n = 4 c) Calcule la integral por el método de Simpson 3/8 con n = 3
d) Calcule la integral por el método combinado Simpson 1/3
para
4
fajas y Simpson 3/8 para 3 fajas (nota se tiene n= 7) Ejercicio 117.-
Se tiene la siguiente función siguiente: (para cada inciso
calcule el porcentaje de error)
, a) Calcule la integral por el método de la regla del trapecio n = 6 b) Calcule la integral por el método de Simpson 1/3 n = 6 c) Calcule la integral por el método de Simpson 3/8 con n = 5 d) Calcule la integral por el método combinado Simpson 1/3
para
4
fajas y Simpson 3/8 para 3 fajas (nota se tiene n= 7) Ejercicio 118.-
Se tiene la siguiente función siguiente: (para cada inciso
calcule el porcentaje de error) (
1)
,
a) Calcule la integral por el método de la regla del trapecio n = 6 b) Calcule la integral por el método de Simpson 1/3 n = 4 c) Calcule la integral por el método de Simpson 3/8 con n = 3 d) Calcule la integral por el método combinado Simpson 1/3 fajas y Simpson 3/8 para 3 fajas (nota se tiene n= 7)
para
4
CAPITULO VII
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Introducción La derivada es de uso comun en la matematica y la ingenieria, sin embargo, en la práctica, existen situaciones en que no se conocen las expresiones analiticas de muchas funciones con las que se trabaja, y solamente se dispone de valores en un conjunto de puntos. En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresion de la funcion. De esta manera surge la necesidad de disenar metodos numericos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una funcion en algun punto a partir del conocimiento de los valores de la funcion en un soporte dado. Los metodos de derivacion numerica desarrollados con el fin de aproximar algun valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresion analitica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante formulas numericas suficientemente precisas. La diferenciacion numerica es muy util en casos en los cuales se tiene una funcion cuya derivada es dificil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una función explicita sino una serie de datos experimentales. El problema de la derivacion numerica consiste en la evaluacion de la derivada de la función en un punto, cuando unicamente se conocen los valores de la funcion en una coleccion de puntos
,…,
Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integracion numerica; de hecho la derivacion es mas complicada ya que, en la integracion los errores tienden a cancelarse, y, como se vio, no es necesario que la aproximacion describa con fidelidad la funcion localmente. Sin
embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cual se debe aproximar la funcion lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular. Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, se puede obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí se experimentará con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange. Una formula de diferenciacion numerica es un procedimiento que permite aproximar la derivada de la funcion valor de
) en otros puntos vecinos
derivada de una función Taylor centrado en
) en un punto
Utilizando el
. Uno de los métodos de aproximar la
)en un punto
consiste en usar el desarrollo de
. La derivación numérica es una técnica del análisis
numérico que permite calcular una aproximación a la derivada de una determinada función en un punto, utilizando los valores y propiedades de la misma.
Figura 39. Diferenciación numerica
Por definición la derivada de una función f(x) es: (
( ) = lim
)
)
Las posibles aproximaciones numéricas de la derivada en un punto que }, Tal que
podrían calcularse tomando una sucesión { siguientes expresiones: (
( )
Diferencia hacia delante
(
( )
Diferencia hacia atrás
)
(
0 se tiene las
)
)
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de las dos diferencias ofrece la mejor aproximación al problema dado.
Definición 38. Sean
] y sean
sobre
),
,…
, puntos distintos pertencientes al intervalo ),
= 0,1,2,3, … , .
), …
),
) valores de una función
)
Se define
[ [ función
]=
,…
Donde
[
]
,…
), sobre los puntos
(
(
)
,…
= 0,1,2,3, … , ; )
(
,…
)
], es la diferencia dividida de orden n de la
Usando esta definición se tiene:
,…
.
[
]=
[
)
(
]=
[
( )
( )
,] =
)
(
)
(
)
(
De la definición se observa que del lado derecho de cada una de las igualdades se debe aplicar sucesivamente la definición de diferencia dividida hasta que los cálculos contengan el valor de la función en los puntos, o sea:
[
]=
(
)
(
)
=
(
)
)
(
Método de Diferencias Finitas
(
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma ( ) Si una diferencia finita se divide por
)
)se obtiene una expresión
similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales. El método de diferencias finitas consiste en aproximar la función por polinomios. Las fórmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras: En base al orden de la derivada, obteniéndose
( )
(
)
(
)
( )
En base al orden de la diferencia, pueden ser primera, segunda, tercera, etc. En base a los puntos de apoyo de la formula en la tabla, es decir, si se emplean puntos antes, después o ambos lados de algún punto de interés. Existen tres tipos y son:
Diferencias hacia adelante, cuando se usan puntos anteriores del punto de interés. Diferencias hacia atrás, cuando se emplean puntos posteriores al punto de interés. Diferencias centrales. Cuando se usan puntos tanto antes como después del punto de interés. Referencias para las fórmulas de diferencias finitas: Indica el punto de interés, de estudio o de análisis. ( ) Espaciamiento constante de la tabla. (
(
)
)
(
(
) )
) )
( (
Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante
( (
)
)
Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos
( + 1)
para estimar la derivada. Al término completo (o sea, la diferencial entre h) se le conoce como primera diferencia dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Primera diferencia ( )=
(
+ )
( )
Ejemplo 83.
Segunda diferencia ( )=
Derive la siguiente función
Sabiendo que siguiente manera
= 0,5 y
+2 )+4 ( 2
+ )
3 ( )
usando el método de derivación de
primera diferencia hacia adelante con un Solución
(
= 0,5
= 0,1.
= 0,1 realizamos una tabla de datos de la
Xn
X 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
F(Xn) 1,34984 1,49179 1,64866 1,82202 2,0136
Sustituimos los valores obtenidos en la siguiente ecuación: ( )
(
)
(
)
Sustituyendo nos queda: (0,5)
1,82202 1,64866 0,1
Entonces la Primera Diferencia de la Derivada hacia delante de (0,5)
1,23542
Figura 40. Grafica ejemplo 83, roja función, verde primera derivada
Comentarios Analíticamente la 1,62841
evaluado en X=0,5 nos da que
(0,5) =
Utilizando el método de la primera diferencia hacia adelante nos queda (0,5)
1,23542
Errores:
= 1,62843
1,23542 = 0,39301
%
%
Se pudo comprobar que los errores obtenidos usando el método de la primera diferencia hacia adelante dio un error de 24,134% cuyo error es elevado, por lo tanto no es recomendable usar este método si se da realizar un estudio particular de la gráfica, en dado caso es recomendable aplicar la segunda diferenciación para obtener un valor más cercano al valor teórico. Ejemplo 84.
punto
Sea la función ln , calcular las derivadas por métodos numéricos en el = 5, en base a la siguiente tabla, con
la primera diferencia finita hacia adelante.
( )
4.7 1.54756
Solución: Para ( )= =
( ) (
=
4.8 1.56862
4.9 1.58922
5.0 1.60944
. El valor verdadero de ( )
) 0.2
=
5.1 1.62924
(5)
5.2 1.64866
5.3 1.6677
(5.1) (5) 1.62924 1.60944 = 0.1 0.1
0.198 = 0.01, 0.2
Segunda derivada
= 0.1, aplicando la formula de
%
=|
(5)
× 100%| = (0.01) × 100% = 1%
1.64866
( )= =
)
(
( )=
=
= 5%
0.04
( )
)
(
(5.2)
=
(5.1) (0.1)
(5)
2(1.62924) + 1.60944 3.8 × 10 = 0.01 0.01
0.038) = 0.05, 0.04
%
=|
× 100%| = (0.05) × 100%
Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás Las expresiones matemáticas que definen este método de diferencias finitas hacia atrás se presentan a continuación Primera diferencia ( )=
( )
(
Segunda diferencia
+ )
( )=
Ejemplo 85. ( )
.
Sea la función
3 ( )
4 (
2
)+ (
2 )
calcular la derivada de los métodos
numéricos en el punto x =1 , con h=0.1, aplicando la fórmula de la primera diferencia finita hacia atrás. Tenemos que
=
( ) y será evaluada en x=1 con un valor de
h=0.1 este ultimo permite definir cuál será la tolerancia considerada como aceptable ya que mientras mas pequeño sea este número más cercano estará el valor calculado del valor real Para la primera derivada la formula de la primera diferencia finita hacia atrás nos indica que: `(
)=
(
)
)
Donde
`(
)=
y (1)
0.1
=
(0.9)
(0.9) =
20.287355 1.926673 = 3.606820 0.1
Para la segunda derivada `` (
)
)=
3.0513
)
= (0.8)
Donde `` (
+
( )
)=
(
)
(
)
=
=
Para la tercera derivada ``` (
)=
Dónde: ``` (
)=
``` (
)=
(1) 2.287355
=
(0.7)
(0.9) + 3 0.1
3
(0.8)
5.780020 + 4.789516 0.001
1.297295
(0.7) =
0.444
Para la cuarta derivada ```` (
4
)=
=
Dónde: ```` (
)
```` (
)=
```` (
)=
=
(1)
+4
2.287955
+
(0.6) (0.9) + 4
4
4
(0.8) (0.1)
7.706693 + 6.386021 0.0001
3.193651 = 0.0001
3193651
4
(0.7) +
5.189180 + 1.028846
(0.6)
``
=
Figura 41. Grafica del ejemplo 85, Grafica roja función, azul primera derivada, verde segunda
Ejemplo 86.
punto
Sea la función ln , calcular las derivadas por métodos numéricos en el = 5, en base a la siguiente tabla, con
la primera diferencia finita hacia atrás.
( )
4.7 1.54756
Solución: Para
( )
4.8 1.56862
4.9 1.58922
5.0 1.60944
. El valor verdadero de
= 0.1, aplicando la formula de
5.1 1.62924
(5)
5.2 1.64866
5.3 1.6677
(5)
Figura 42. Grafica del ejemplo 86, Grafica roja función, azul primera derivada, verde segunda
Diferencias finitas hacia atrás (primera diferencia) Primera derivada ( )= =
( ) =
)
( 0.2
%
=
(5)
0.1
(4.9)
0.2022 = 0.011, 0.2
%
=
1.60944 1.58922 0.1
=|
× 100%| = (0.011) × 100%
Segunda derivada ( )= ( )= =
=
%
( )
(
1.60944 0.04
)
(
)
=
(5)
2(1.58922) + 1.56862 = 0.01
0.038) = 0.05, 0.04
%
=|
(4.9) (0.1)
(4.8)
3.8 × 10 0.01
× 100%| = (0.05) × 100%
Inestabilidad numérica de las fórmulas de diferencias finitas Las formulas presentadas anteriormente, las de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás, son inestables por naturaleza del método, debido a la operación de dividir entre números cercanos a 0, referido al valor de 9 que es normalmente de valor muy pequeño y cercano a cero. Estas fórmulas no son recomendadas en los procesos en que se desean resultados con mucha precisión, pues como se dijo, presentan inestabilidad inherente en la formula, por lo tanto, su uso no es recomendado, sin embargo, para fines didácticos son totalmente aceptables la presentación de estos métodos. La deducción de las fórmulas puede hacerse empleando las fórmulas de interpolación, o directamente la serie de Taylor.
Fórmulas de diferencias centrales Este método de aproximación numérica presenta la característica de que los valores de (
) y (
derecha como a la izquierda de x.
)se sitúan a ambos lados de (, tanto a la
Teorema 43. Derivación numérica por diferencia centrada de orden [
Suponiendo que
], ( (
( ) ( )
Además, existe Tal que: ( )
(
(
), (
[
)
)
(
[
], entonces:
(
)
)
], )
)
( 6
( )
)
)
Teorema 44. Derivación numérica por diferencia centrada de orden [
Suponiendo que
entonces: (
( ) Además existe (
( ) con
(
)=
+2 )+8 ( 30
)
], (
+2 )+8 ( ( )
) 12
)
)
(
), (
) 12
], tal que )
), (
(
), (
+2
)
)
)
(
),
)
],
Fórmulas de diferencias finitas centrales Primera diferencia ( )= ( )= ( )= ( )=
)
(
)
(
(
)
( )
(
)
(
)+2 (
(
)
(
)+6 ( )
)
(
)
)
(
)
(
(
)
)
(
Segunda diferencia ( )= ( )= ( )= =
( )
punto
(
(
)+8 (
(
) + 16 (
(
)+8 (
) + 12 (
)
) 12
)
) 39 (
)
(
(
30 ( ) + 16 ( 12
12 (
) + 12 (
) + 56 ( )
)
) 39 (
(
)
)
( )
) + 12 (
(
)
Ejemplo 87. Sea la función ln , calcular las derivadas por métodos numéricos en el = 5, en base a la siguiente tabla, con
la primera diferencia finita central.
( )
4.7 1.54756
Solución: para 0.04
)
4.8 1.56862
( )
4.9 1.58922
5.0 1.60944
= 0.1, aplicando la formula de
5.1 1.62924
5.2 1.64866
. El valor verdadero de
5.3 1.6677
(5) = 0.2
(5) =
Primera derivada )
(
( )=
(
= 0.2001
=
0.2
=
)
(5.1) (4.9) 1.62924 1.58922 0.04002 = = 0.2 0.2 2(0.1)
=
0.2001 = 5 × 10 , 0.2
%
=|
× 100%|
%
Segunda derivada ( )= (
)
=
( )
)
(
=
)
=
(5.1)
(5) (0.1)
2(1.60944) + 1.58922 1.62924 = 0.01
1.62924
=
(
0.04
%
0.042) = 0.05, 0.04
%
=|
(4.9) 3.21888 + 1.58922 0.01
0.042
× 100%| = (0.05) × 100%
Ejemplo 88.
punto
Sea la función ln , calcular las derivadas por métodos numéricos en el = 5, en base a la siguiente tabla, con
= 0.1, aplicando la formula de
la segunda diferencia finita central. Primera derivada ( )= ( )= ( )= =
)+8 (
(
) 12
(
(5.2) + 8 (5.1) (4.9) 12(0.1)
)
(
)
(4.8)
1.64866 + 13.03392 12.71376 + 1.56862 0.24012 = 1.2 1.2 =
0.2
0.2001 = 5 × 10 , 0.2
%
= |5 × 10
× 100%|
%
Segunda derivada ( )=
)
( )= ( )= ( )=
)
) + 16 (
(
30 ( ) + 16 ( 12
(5.2) + 16 (5.1) 30 (5) + 16 (4.9) 12 × (0.1)
1.64866 + 16(1.62924) 1.64866 + 26.06784 = 0.0073
=
0.04
=
)
)
(
(4.8)
30(1.60944) + 16(1.58922) 0.12
48.2772 + 25.42752 0.12
0.0073 = 1.1825, 0.04
%
=|
1.56862
(1.56862) =
8.8 × 10 0.12
× 100%|
%
b) Se buscará de nuevo la derivada segunda, pero con un valor de h menor que el anterior, reduciendo dicha amplitud o peso de h a la mitad, o sea: de
= 0.1 a ( )
( )= ( )= ( )= ( )= ( )= =
(
4.85 1.578979
= 0.05
4.90 1.589235
)
) + 16 (
(5.1) + 16 (5.05)
4.95 1.599388
1.275 × 10 0.03 =
0.04
5.05 1.619388
)
30 ( ) + 16 ( 12
30 (5.00) + 16 (4.95) 12(0.05)
1.62924 + 16(1.619388) 1.62924 + 25.9102
5.00 1.60944
(
5.10 1.62924
)
(4.90)
30(1.60944) + 16(1.599388) 0.03
48.2832 + 25.5902 0.03
5.15 1.638997
1.589235
(1.589235)
=
0.0425
0.0425) = 0.0625, 0.04
%
=|
× 100%| = 6.
%
Comentarios: La primera diferencia de estas diferencias finitas centrales presenta resultados parecidos a los anteriores, sin embargo, la segunda derivada de la segunda diferencia de diferencias centrales presenta un error mucho mayor que el 100% (118,25%), razón por la cual ni siquiera necesita ser estudiado, no es que la fórmula empleada sea errónea, sino que la inestabilidad que produce este grupo de formulas no presenta garantías de buen resultados en el cálculo de diferencias, agregándose a esto la amplitud de h, que en este caso particular parece ser muy elevado, que en vez de converger hacia el resultado exacto, diverge; sin embargo, al reducir el valor de h a la mitad, el resultado obrtenido se hacerca bastante al valor verdadero, pues el error porcentual producido es solamente del 6,25%, pero aun así, sigue siendo un error muy grande.
Por lo tanto, a modo de conclusión
general respecto a estas formulas de diferencias finitas, cuando se desea precisión, estas formulas de diferencias finitas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didáctico. Fórmulas de los tres puntos Las formulas de los tres puntos corresponden a los métodos de tres puntos que obtienen las derivadas diferenciando un polinomio interpolante de ). La siguientes corresponden a las fórmulas
Lagrange para una función de los tres puntos. Primera formula: 1
( )
[ (
) ( )=
(
(
)
)]
(
( ) , 3! )
Segunda formula: ( )=
1
[
( )+4 (
)
(
+ 2 )]
[
6
]
( )
( ) 3
,
[
+2 ]
( )=
1
[
( )+4 (
)
(
( ) 3
+ 2 )]
Las ecuaciones anteriores (primera y segunda fórmula de los tres puntos, respectivamente) son las llamadas fórmulas de los tres puntos de derivación numérica, aun cuando la primera formula solamente utiliza dos puntos y no aparece en ella el punto central
. El error presentado en la
ecuación de la primera formula aproximadamente la mitad que en la ecuación de la segunda formula, esta situación se debe a que en la ecuación de la primera formula se usan datos que están a ambos lados de
, mientras que
en la ecuación de la segunda formula se considera solo un lado y se desconoce el valor del otro lado que está fuera del intervalo. La ventaja que presenta la ecuación de la primera formula es su simplicidad, ya que; solamente se evalúa en dos puntos, mientras que la ecuación de la segunda necesita tres puntos. Ejemplo 89. Aproximar el valor de la función fórmula de los tres puntos, con Solución: Se parte de la fórmula: (3) = (3) = (3) =
(3 + 0.1) (3 2(0.1)
( )= 0.1)
=
= 0.1
(
)
(3) si ( )
, utilizando la
)
(3.1) (2.9) ln 3.1 × = 0.2
3.1 ln 2.9 × 0.2
2.9
1.131402× 0.041581 1.064712× 0.239249 0.047044 0.254731 = 0.2 0.2 0.207687 0.2
1.038437
Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ( )
es
(3)
1.040578
| = | 1.040578 – ( 1.038437)| = 2.141 × 10
=| =
0.002141 = 2.0575 × 10 1.040578
=
= 0.002141
= 0.0020575
× 100% = 0.0020575 × 100% = 0.2%
%
Comentarios: La aproximación lograda es bastante buena, pues el error porcentual es solamente del 0.2%, y este valor es aceptable para cualquier cálculo promedio. Además, debe tenerse siempre en cuenta el tipo de cálculo que se realiza y la precisión que se requiera para estimar el error. Ejemplo 90. Aproximar el valor de la función segunda fórmula de los tres puntos, con
(3) si ( )
, utilizando la
= 0.1
Solución: La solución inicia con la segunda formula de los tres puntos
(3) =
1 [ 0.2
( )=
1
[
(3) + 4 (3 + 0.1)
(3) =
1 [ 3( 3 × 0.2
)+4 (
)
(
(3 + 2 × 0.1)] = 3) + 4( 3.1 ×
1 [ 0.2
3.1)
+ 2 )] (3) + 4 (3.1) ( 3.2 ×
(3.2)]
3.2)]
1 [ 3(1.09861 × 0.14112) + 4(1.13140 × 0.04158) 0.2 (1.16315 × ( 0.05837)]
(3) =
(3) =
(3) =
1 [ 3(0.155036) + 4(0.0470436) 0.2
( 0.067893)]
1 1 [ 0.465108 + 0.1881744 + 0.067893] = [ 0.2090406] 0.2 0.2
1.045203
Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ( )
es
(3)
1.040578
| = | 1.040578 – ( 1.045203)| = 4.625 × 10
=| = %
0.004625 = 4.4446 × 10 1.040578
=
= 0.004625
= 0.0044446
× 100% = 0.0044446 × 100% = 0.44%
Comentarios: En este caso, con la aplicación de la formula (9.2) de los tres puntos la aproximación lograda es de menor precisión que la de (9.1), aun así, sigue siendo bastante buena la aproximación lograda, pues el error porcentual es de 0.44%. Comparando los dos ejercicios resueltos se nota claramente que la primera ecuación presenta menor error, aproximadamente la mitad de error producido por la segunda ecuación, lo que se había ya indicado al definir las dos fórmulas de los tres puntos. Fórmula de los cinco puntos Las formulas de los cinco puntos se pueden obtener de manera similar a la de las formulas de los tres puntos. También es posible emplear la extrapolación para lograr derivadas de menor dificultad para estas formulas. Las siguientes corresponden a las fórmulas de los cinco puntos ( )=
1 [ 25 ( ) + 48 ( 12
( )=
+
1 [ 12
( )= ( )=
( ) 5 (
1 [ ( 12
1 [ 12
( ) 5
(
)
36 (
+ 2 ) + 16 (
) + 10 ( ) + 18 (
)
(
)+6 (
+ 34 ( )] +
( ) 30
)
)+8 ( +2 )
) (
+3 )
(
+2 )
(
+ 2 )] +
) + 34 ( ) + 3
(
+ 4 )]
+ 3 )]
( ) 30
+3 )
( )=
1 [ ( 12 +
( ) 5
)
(
)+4 (
)
36 (
) + 25 ( )]
Errores de truncamiento y de redondeo. Debido a la naturaleza discreta del computador los resultados numéricos no son exactos y que el error de redondeo está siempre presente en los cálculos. Por ello, cuando se calculan derivadas numéricamente el error en la solución es la suma del error de truncamiento, que proviene de la formula de aproximación, y el de redondeo, que es debido al computador. Ambos errores pueden ser importantes e interesa minimizarlos. El error de truncamiento puede reducirse disminuyendo el valor de h en las formulas, sin embargo, al disminuir h se va restando valores de
( ) cada vez más próximos
y esto se traduce en una mayor influencia del error de redondeo. Por ello, la mejor precisión no se consigue con el valor de h más pequeño posible, sino con un valor que sin producir un gran error de redondeo disminuya lo suficiente el error de truncamiento.
Ejemplo 91. Sea la función
tan calcular la derivada por métodos numéricos
x=1.2 con h= 0.1, aplicando la fórmula de la primera diferencia finita hacia adelante, hacia atrás y centrales. La calculadora debe estar configurada en radianes ya que los números en el intervalo son menores a 2
Figura 43. Grafica ejemplo 85 grafica roja función, azul primera derivada, verde segunda derivada
Se tiene que
( )
0.9 -0.132770
( ) = ln
tan
( )=
1.0 0
(
1.1 0.187261
( )= )
tan( )
( )
El cálculo de los errores es =| =
%=
| = [3.5320
=
=
1.2 0.468959
+ log(
1.3 0.945063
sec ( )
1.4 1.950827
1.5 5.717634
(1.2) = 3.5320
0.945063 0.468959 = 4.76104 0.1
4.76104] = 1.22904
1.22904 = 0.347973 3.5320
100% = 34.797%
Observaciones
Gracias al cálculo de errores se pudo notar que en el
caso pedido por el método de diferencia finita hacia adelante, el error es muy grande y está alejado del valor real con un error porcentual del 34.79% lo cual es un valor muy alto y no se puede estimar su factibilidad para este ejercicio, por lo tanto se va a aplicar otro método para comparar el nivel de error.
Por método de primera diferencia finita hacia atrás. ( )=
( )
(
)
(1.2) (1.1) 0.468959 0.187261 = = 2.8169 0.1 0.1
=
El cálculo de los errores es =| =
%=
| = [3.5320
=
2.8169] = 0.7151
0.7151 = 0.202463 3.5320
100% = 20.246%
El error persiste y solo disminuyo un
14% por lo tanto se vuelve a
hacer otro intento pero por el método de las diferencias centrales. Método de las diferencias centrales (1.2) =
(
)
(
)
=
(
)
(
)
El cálculo de los errores es =| =
%=
| = [3.5320
=
=
= 3.78901
3.78901] = 0.25701
0.25701 = 0.072766 3.5320
100% = 7.277%
Observaciones Al aplicar el método de las diferencias centrales se
puede notar que existe una gran mejoría con respecto al error por el cual se inició, al parecer al ingresar la función evaluada en el punto 1.2 afecta en gran medida al cálculo del valor de la derivada en el punto específico por lo cual al ingresar por los laterales se pudo disminuir en gran medida el valor de esta. Calculo de la segunda derivada.
( )
( )= ( )=
( )
log( ) tan( ) + 1)
( )
)
=
tan( )
0.187261
El cálculo de los errores es =| =
%=
| = [18.050218
=
1.44998 = 0.08033 18.050218
(1.2) = 18.050218
0.468659 + 0.945063 = 19.50 0.1
19.5006] = 1.44998
100% = 8.0330%
Observación
Al notar estos detalles con respecto al error se pueden llegar a varias conclusiones, una de ellas es que a medida de que se siguen sacando las derivadas se puede observar que el error que presenta el resultado de la derivada evaluada en el punto va creciendo en 1% por lo cual uno puede llegar a decir que, a la hora de aplicar el método para ciertas funciones, no es muy viable este cálculo de derivadas, porque a pesar de ser valores pequeños menores a un 10% no es un error que se puede despreciar a la hora de ser acercado a un valor teórico o verdadero.
ECUACIONES DIFERENCIALES
CAPITULO VIII
Introducción Una ecuación diferencial es una relación entre una función y sus derivadas, que en general tiene la forma f t , x , x ', x '',...
0.
El objetivo al plantear una ecuación diferencial es obtener la variable
dependiente x
x en
términos de la variable independiente t, es decir obtener
x t .
Una ecuación diferencial se dice de primer orden si la derivada más alta que aparece es de orden uno. Vamos a trabajar fundamentalmente con ecuaciones diferenciales de primer orden con la derivada despejada, es decir con ecuaciones de la forma x'
f t, x .
También trabajaremos ocasionalmente con ecuaciones diferenciales de segundo orden o superior. ¿Dónde aparecen las ecuaciones diferenciales? El rango de aplicación de las ecuaciones diferenciales es muy amplio, están en los fundamentos de la física y se usan en biología, economía y geometría entre otros campos. En la mayoría de los casos la variable independiente tiempo, la derivada primera de la
t representa al
variable independiente
x'
suele
interpretarse como una velocidad o una tasa de variación y x' ' representa a veces a la aceleración. Para que la solución de una ecuación diferencial venga dada de forma unívoca es necesario que se complete con una serie de condiciones adicionales. Estas condiciones pueden ser de varios tipos y usualmente se denominan condiciones iniciales o condiciones de contorno.
El primer objetivo del análisis numérico va a ser problemas de valor inicial (PVI) de la forma x'
f t, x
x a
x0
t
a, b
Como se pone de manifiesto en el estudio teórico de las ecuaciones diferenciales existen muchas técnicas de resolución de los PVI. Una de ellas, muy básica y que se supone conocida, es la separación de variables. Vamos a comenzar nuestro estudio resolviendo problemas de valor inicial que serán representativos de las dificultades que nos vamos a encontrar más delante:
33 x 2 x 0 0
a)
x'
b)
x' x
c)
x ' x2
t
0, 2
x 0
1
t
0, 2
x 0
1
t
0,1
Estos tres PVI son de aspecto muy parecido, sin embargo observamos que sus soluciones tienen características completamente diferentes. En el primer caso la solución no es única. En el caso b) la solución es única y está bien definida en cualquier intervalo de la variable independiente
t.
Por último en el caso c) la solución es única pero presenta un comportamiento asintótico en t
1, que nos impide extender la solución más
allá de este valor. Usualmente se dice que la solución de c) explota en t
1.
La falta de unicidad de la solución de a) es previsible y podemos pensar que se debe a la falta de regularidad de la función
3
x
en el punto x 0. Lo
que resulta más sorprendente es que la solución de c) presente un comportamiento asintótico (o explosivo) ya que en ningún caso dicho comportamiento puede achacarse a una falta de regularidad en la función x 2 . Este comportamiento explosivo de la soluciones de ciertos PVI es un fenómeno poco conocido entre muchos usuarios de las ecuaciones diferenciales y a lo largo de la historia ha dado lugar a comportamientos anómalos de los sistemas que han venido descritos por algunas ecuaciones diferenciales, es decir, a dado lugar a explosiones, derrumbamientos, …
Teorema 45. Teorema de Peano: El PVI
El teorema de Peano introduce la necesidad de la continuidad de la función
como función de dos variables. Es por ello que en el estudio de
ecuaciones diferenciales se mezclan conceptos de análisis unidimensional con conceptos de análisis de mayor dimensión
x ' f t ,x con f t , x
x a
x0
t
a ,b
continua en un abierto que contenga al punto a , x 0
al menos una solución
) definida al menos en un entorno de
tiene
t a.
Este teorema nos permite disponer de una herramienta sencilla que garantiza la existencia de solución local de los PVI pero que sin embargo no garantiza la unicidad de dicha solución y por tanto se convierte en una herramienta insuficiente para los propósitos del análisis numérico.
El ejemplo a) considerado anteriormente nos muestra que la unicidad de soluciones para un PVI no está garantizada con la mera continuidad de f . Para garantizar la unicidad de soluciones de un PVI tenemos que imponer que la función f t , x
cumpla al menos una condición de Lipschitz
con respecto a su segunda variable
x.
Tenemos el siguiente teorema de existencia local.
Sea f t , x
Teorema 46. Teorema de Picard (Local)
continua en un abierto que contenga al punto a , x 0
y tal
que verifica una condición de Lipschitz para su segunda variable en dicho intervalo. Entonces el PVI
x ' f t ,x x a
t
tiene una solución única x t
x0
t
a ,b ,
definida al menos en un entorno de
a . Este teorema garantiza la existencia de una solución local, es decir en
un intervalo que eventualmente puede ser muy pequeño en torno al punto de partida.
El análisis numérico nos obliga a mejorar estas estimaciones ya que hemos de garantizar la existencia y unicidad de soluciones en un intervalo fijado desde el principio a , b .
El
ejemplo
x ' x2 x 0
1
t
0,1
muestra que incluso para funciones existencia global no está garantizada.
considerado f t, x
anteriormente
nos
regulares la solución de
Una posible forma de resolver este problema es utilizar el siguiente teorema de existencia global:
Sea
Teorema 47. Teorema de Picard (Global)
) una función continua en
=[
y tal que verifica
una condición de Lipschitz para su segunda variable en E . Entonces el PVI x' x a
f t, x
t
x0
tiene una solución única x t
a, b
definida en t
a ,b . Aunque este
teorema responde a las necesidades de existencia global que necesitamos en análisis numérico tiene el inconveniente de ser demasiado restrictivo y funciones como
f t, x
x2
o
f t, x
cos x 2
no verifican este teorema. En el
primer caso esta restricción está justificada dado el comportamiento asintótico de las soluciones, pero en el segundo caso no, es decir el PVI x' cos x 2 , x a x0
tiene solución única para cualquier intervalo acotado de la variable independiente. En la práctica la forma de proceder será la siguiente: Utilizaremos el teorema de Picard (global) si se verifican las condiciones para ello. En caso contrario utilizaremos un teorema de existencia local (Picard local) para garantizar existencia y unicidad de solución local y además utilizaremos cotas a priori sobre la solución de los PVI con objeto de detectar posibles comportamientos asintóticos. Para obtener las cotas a priori de la solución de los PVI’s citadas utilizaremos el siguiente resultado, únicamente cierto si previamente puede probarse existencia y unicidad local para todos los PVI considerados:
Teorema de las sub y supersoluciones: Consideremos los PVI’s, definidos para todo t x'
a, b ,
x1 '
f t, x
x a
f 1 t , x1
x1 a
x0
x2 '
x0
donde las funciones
f , f1
Entonces se verifica que x 1 t
x t
x2 a f2
y
f 2 t, x2
x2 t
x0
continuas y tales que para todo t
f1
f
f2.
a, b .
Veamos a continuación un ejemplo de utilización de este resultado. Ejemplo 92. Probar que la solución del siguiente PVI está bien definida: x ' t sin x x 0 3
2
t
0 ,1
Establecer además cotas para la solución, su primera y su segunda derivadas. Solución: Utilizando el teorema de existencia local tenemos que la solución está bien definida localmente para todo valor de 0
nos
permite
obtener
t
una
sin x
sub
y
2
t, x
2
.
Por otro lado la cota
4
una
supersolución x 1
respectivamente. A saber, x1 ' 0 x1 0 x2 ' x2 0
t
3
4 3
t
0,1
0,1
x1 t
x2 t
3
4t
3
y
x2
De donde 3
x1 t
x t
x2 t
4t
3
7,
y así,
xt
7.
Las cotas sobre la derivada y segunda derivada se obtienen como sigue: x' t
x' ' t 2t
t sin x
2
22
4.
f f dx f f f x t x dt t 2 t sin x cos x t sin x
d x' t dt sin x
2
.
Es decir,
x' '
4 16 20.
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 119.-
Estudiar si la solución de los siguientes PVI está bien
definida en los intervalos considerados y, si es posible, calcular dicha solución en el caso en que sea única. Caso de que no podamos garantizar unicidad intentar encontrar al menos dos soluciones del PVI considerado. x' x x0 1
t
0,2
x' x 2 x0 1
t
0,1
x ' cos ln 1 x0 1
Ejercicio 120.-
x2
t
0,
Estudiar si es posible garantizar que el PVI
x'
1 2
t2
x2
4x
t
t
2,10
1
tiene solución única en el intervalo considerado.
Ejercicio 121.x2 t
A continuación probar que las funciones x1 t
t2 4
y
t son ambas solución de este PVI.
1
Ejercicio 122.-
Consideremos
el
problema
de
valor
inicial
1
3 3 x' x 2 x(0) 0
t
Ejercicio 123.-
0,1 .
Comprobar que x t
t
3 2
es solución de este PVI. ¿Es
única? ¿Contradice este ejemplo algún teorema de existencia y unicidad? Razonar las respuestas. Ejercicio 124.-
¿Admiten solución única los siguientes problemas de valor
inicial? Razonar la respuesta.
a)
x' x 2 x (0) 1
b)
x' x 2 x ( 0) 0
c)
x' x 2 x ( 0) 1
d)
x' t 2 x 2 x (0 ) 1
Ejercicio 125.-
t
0, 2
t
0,1
t
0,2 .
Demostrar que el PVI
x ' cos x x0 1
t
0,
tiene solución
única. Dar una cota a priori (sin resolver la ecuación) de la solución de este PVI y de sus primera y segunda derivadas.
Ejercicio 126.x ' cos x 2 x0 1
t
Ejercicio 127.-
x'
Igual
que
el
ejercicio
anterior
pero
con
el
PVI
0,
Estudiar para qué condiciones iniciales el PVI
1 t
2
x2
x0
t
0,1
x0
tiene solución única. Dar una cota a priori de dicha solución. Ejercicio 128.-
x'
2
Consideremos el problema de valor inicial
arctan( x )
0
t
1.
x (0) 1
Encontrar cotas a priori para x , x ' y x' ' sin calcular xexplícitamente. Método de Euler. Consideremos el PVI x' x a
f t, x x0
t
a, b ,
que no sabemos resolver explícitamente, pero del que tenemos la seguridad de que tiene solución única en el intervalo t
a,b
considerado.
El objetivo del análisis numérico será obtener una aproximación de la solución x t . La forma de aproximar la solución de un PVI no es única y de hecho muchas técnicas de aproximación de soluciones se han desarrollado a lo largo de la historia del análisis funcional. Podemos destacar la aproximación de soluciones de PVI’s utilizando series de potencias, métodos perturbativos, El análisis numérico nos provee de una forma muy particular de aproximar la
solución de un PVI. Es en esta forma de aproximar soluciones en la que vamos a estar interesados. En primer lugar haremos una partición del intervalo
en N
a,b
trozos, en principio equiespaciados. Vamos a pasar de considerar que la variable independiente toma valores en un intervalo t toma valores únicamente en el conjunto Al conjunto a los valores que N
ti
ti
1
b
a h
h,
t 0 , t 1 , t 2 ,..., t N
t
a,b
t 0 , t 1 , t 2 ,..., t N ,
a considerar que
con
t0
y por tanto
ti
tN
lo llamaremos partición del intervalo a , b
les llamaremos nodos de la partición. Cada nodo
ti
y
a,
t0
ih ,
ti
b.
y
verifica
donde h es el paso de la partición y
.
El objetivo del análisis numérico es desarrollar un método recursivo, es decir, que vamos a utilizar herramientas algebraicas y no diferenciales, para la obtención de x ti
xi ,
que serán valores aproximados de la solución exacta del PVI
en los nodos de la partición considerada (En análisis numérico es muy
importante fijar adecuadamente la notación utilizada. Vamos a denotar como x ti
a la solución exacta del PVI y como
nodo t i . ).
xi
a la solución aproximada en el
Se plantea el PVI en los nodos de la partición de la siguiente forma (Este paso ya es en sí muy importante porque supone despreciar toda la información sobre la solución x t nodos
del problema que no se refiera a estos
t i . ):
x ' ti x t0
x ti h x ti 0 h
lim h
x0
f ti ,x ti
t
t 0 ,t 1 ,...,t N .
El primer método de aproximación numérica de PVI, ya desarrollado en los albores del cálculo diferencial, aproximados
xi
para la obtención de los valores
la proporciona el llamado método de Euler.
Este método constituirá un modelo sencillo de obtención de soluciones aproximadas de PVI’s, pero además vamos a utilizarlo como modelo y como punto de partida para desarrollar métodos más complejos. Es
por
tanto
fundamental
aprender
detenidamente
las
ideas
involucradas en el análisis de este método y reflexionar sobre los conceptos que van a aparecer. En particular adquiere especial relevancia el concepto de error de truncatura. El método de Euler surge de la idea de eliminar el límite del PVI considerado, es decir este método propone pasar de la igualdad
lim
x ti
h x ti h
h 0
f ti , x ti
a la igualdad
para la solución exacta x t xi
xi
1
h x0
f t i , xi
,
0
o equivalentemente xi
1
x0
para la solución aproximada
xi
hf t i , x i
,
0
xi .
Hay que hacer notar que el valor
0
de arranque del método
aproximado y el valor inicial del PVI x 0 no van necesariamente a coincidir,
aunque hay que suponer que si no son valores iguales al menos sí van a ser valores muy próximos(Vamos a notar como PVI.
a la condición inicial exacta del
es el valor aproximado de la solución del PVI en el primer nodo
es el valor de . Por tanto la igualdad igualdad
y
es siempre cierta mientras que la
no lo es de forma general.).
Convergencia de un método numérico. ¿Qué hemos de pedirle a un método numérico de aproximación de soluciones de PVI’s para que sea satisfactorio? Que aproxime adecuadamente a las soluciones del PVI. En este sentido damos las siguientes definiciones: Llamamos error local de discretización
x ti
i
i
a la diferencia
xi
mientras que denominamos error (global) de discretización
a la
expresión
max
i
max x t i
xi .
Obviamente vamos a estar interesados en que el error de discretización sea lo más bajo posible y que de hecho tienda a cero a medida que h tienda a cero, o equivalentemente a medida que en número de nodos de la partición aumente. Diremos que un método es CONVERGENTE si
lim h
0
0.
Convergencia del método de Euler. Vamos a calcular detalladamente
en el caso del método de Euler con
el objetivo adicional de tratar de entender cuales son las fuentes que contribuyen a hacer que el error aumente. Este estudio nos llevará a nuevos conceptos y nuevas definiciones.
Con objeto de ser lo más claros posible y de simplificar y sistematizar a un tiempo nuestras técnicas de cálculo y de estimación de errores, vamos a introducir la definición de error de truncatura. Este concepto en este momento puede parecer un tanto artificioso. Más adelante veremos que es un concepto que va a jugar un papel fundamental en el estudio de los métodos de aproximación numérica de la solución de los PVI’s. Veamos a continuación como se introduce el error de truncatura en el método de Euler. Podemos ver el método de Euler como el paso de la expresión exacta
lim
x ti
h x ti h
h 0
f ti , x ti
x t i h x ti h
a la expresión aproximada
f ti , x ti ,
que esperamos sea tanto más exacta cuanto más pequeño sea el paso h considerado.( Nótese que las dos ecuaciones anteriores están referidas a la solución exacta
x ti .)
El error local de truncatura
i
podemos interpretarlo como el error que
cometemos al hacer la anterior aproximación, es decir, que de manera exacta tenemos que
x ti
h x ti h
f ti , x ti
i
.
Análogamente a lo que establecimos con el error de discretización se define el error (global) de truncatura
max i .
Diremos que un método es CONSISTENTE si
lim 0
h
0.
El orden de consistencia de un método consistente se define como el mayor natural p tal que
Antes de pasar a calcular errores hay
Ch p .
que llamar la atención sobre la similitud de las siguientes expresiones, aparentemente muy parecidas: x ti
hf t i , x t i
x ti
1
h
i
y xi
xi
1
hf t i , x i .
La primera se refiere a la solución exacta del PVI y la segunda a la solución aproximada de dicho PVI que proporciona el método de Euler (A la vista de la expresión
x ti
x ti
1
hf t i , x t i
error de truncatura de la siguiente forma:
h h
i
i
cobra sentido interpretar el
es lo que “le falta” a la solución
de exacta para verificar el método de Euler). Tenemos el siguiente resultado:
Teorema 48. Sobre la convergencia del método de Euler
Se verifica la siguiente desigualdad:
max x t i
xi
eb
aL
x0
eb 0
a L
L
1
.
La demostración, que se deja como ejercicio y puede verse en el apéndice al final del capítulo. De hecho también puede considerarse el ejercicio de introducir un término de redondeo en el cálculo de
xi .
A la vista del Teorema 41 vemos que el error de discretización y por tanto la convergencia del método de Euler depende de dos términos. De hecho en forma concisa podemos escribir que
C1 x 0
C2 .
0
Diremos que el primer término está relacionado con la estabilidad y el segundo con la consistencia. Consistencia del método de Euler. Ya hemos introducido el concepto de consistencia al introducir el error de truncatura. Nos queda probar formalmente la consistencia del método de Euler y calcular su orden de consistencia. Dicha propiedad se obtiene de la igualdad x ti
Desarrollando la función
h
x ti
x ti
h
hf t i , x t i
h
i
.
por Taylor y utilizando la fórmula del
resto en forma de Lagrange, tenemos que
x ti
h
x ti
hx ' t i
h2 x' ' 2
i
,
i
ti , ti
1
.
Al sustituir en la ecuación anterior y teniendo en cuenta que x' ti
f ti , xi
nos queda
x ti
hx' t i
h2 x' ' 2
Cancelando términos obtenemos que
de donde obtenemos la acotación
x ti
i
i
h x' ' 2
hx' t i
h
i
i
h max x' ' t . 2
Concluimos que el método de Euler es consistente y de hecho es consistente de orden 1. Estabilidad del método de Euler. Para el estudio de la estabilidad de un algoritmo (En el estudio de las ecuaciones diferenciales aparece el concepto de estabilidad de la solución de
una ecuación diferencial. En este caso hablamos de estabilidad de un algoritmo numérico.) introducimos la siguiente definición:
Definición 39. término yi
1
y0
yi .
yi
Consideremos la sucesión
i 0,1...., N
de forma que el primer
esté dado y el resto vengan dados por el algoritmo siguiente: Para dos datos iniciales
algoritmo dos sucesiones
yi
i 0,1....N
y
y0
zi
e
z0
i 0,1....N
obtendremos mediante este
.
Diremos que el algoritmo considerado es estable (El concepto de estabilidad de un algoritmo no tiene nada que ver con el PVI cuya solución pretendemos aproximar) si existe una constante positiva C , que solo depende del algoritmo, tal que
max y i
zi
C y0
z0 .
Surge de manera natural la pregunta: ¿Es el método de Euler un algoritmo estable? Sí, veámoslo: Construimos dos sucesiones de la forma:
yi
1
yi
hf t i , y i
y 0 dado
y
zi
1
zi
hf t i , zi
z 0 dado
con h ,
f
y los nodos de la partición
Restando obtenemos que
ti
fijos.
yi
1
zi
yi
1
zi
h f ti , yi
f ti , zi ,
y por tanto se verifican las siguientes acotaciones: h f t i , yi
yi
1
zi
1
yi
xi
yi
1
zi
1
1 hL y i N
yi
zi
1 hL
yi
zi
e hLN y 0
yi
zi
eL b
a
y0
f ti , zi ,
zi , z0 ,
z0 ,
y0
z0
De donde se concluye la estabilidad del método de Euler. La consistencia y la estabilidad del método de Euler garantizan su convergencia. Convergencia de un método numérico, por desigualdades. La desigualdad C1 x 0
0
C2
nos ha permitido estudiar la relación entre los conceptos de convergencia ( Euler.
0 ), consistencia (
0 ) y estabilidad para el método de
¿Qué relación tienen estos conceptos entre sí en el resto de los
métodos de aproximación? Puede +
probarse
que =
en
general
se
verifica
que
.
Es por esto que una vez que diseñemos un método de aproximación numérico el estudio de su convergencia se va a llevar a cabo en dos pasos, en primer lugar vamos a estudiar su consistencia, y de hecho vamos a determinar siempre el orden de dicha consistencia, y posteriormente vamos a estudiar su estabilidad.
Teorema 49. sobre la convergencia del método de Euler
Se verifica la siguiente desigualdad:
max x t i
xi
e
b aL
eb
x0
aL
0
1
L
Demostración: Notaremos
a la solución exacta del PVI y
x ti
aproximada en los nodos
a la solución
xi
de la partición. Por construcción,
ti
x ti
hf t i , x t i
x ti
1
h
i
x0.
x t0
Por otro lado la solución aproximada xi
xi
1
x0
xi
verifica que
hf t i , x i
.
0
Restando obtenemos el siguiente resultado: x ti xi
xi
1
x ti
x ti
1
1
hf t i , x t i
h
i
hf t i , xi xi
1
x ti
xi
h f ti , x ti
f t i , xi
Teniendo en cuenta la Lipschitzianidad de f t , x x ti
1
xi
1
x ti
x ti
1
xi
1
1
xi
h f ti , x ti
hL x t i
xi
h
i
obtenemos que
f ti , xi i
h
h
i
,
,
que escrito con la notación introducida en el capítulo 1.3 queda como
i 1 0
1 hL x0
i
h ,
0
En este momento hemos de aplicar un resultado algebraico al que a partir de ahora nos vamos a referir como Primer Lema de Acotación. Estos
lemas son muy utilizados en las demostraciones de convergencia de diferentes métodos numéricos.
yn
Sea
Teorema 50.
una sucesión de números reales no negativos, que
n 0,1....
verifican la condición no negativas, entonces
yn
1
n
A y0
yn
1
1 A yn B,
1
A A
n
1
B,
n 0,1,2,...
con A y B constantes
n 0,1,2,...
y además
yn
nA
e y0
e nA 1 B, A
n 0,1,2,...
Aplicando lo anterior referente a la acotación a la desigualdad anterior obtenemos que
e ihL
i
Donde
e
eb
b aL 0
aL
1
L
0
e inhL 1 h , hL
.
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 129.x' 1 x0 0
Considerar los PVI
t
0,3
y
x' t x0 1
t
0,3 .
Calcular la solución exacta para cada uno de ellos y la solución aproximada que proporciona el método de Euler.
Tomar para ello h 1. Obtener explícitamente el error local de discretización obtenido en cada caso y compararlo con la cota
Ejercicio 130.-
x'
2
obtenida teóricamente para dicho error.
Consideremos el problema de valor inicial
arctan( x )
0
t
1.
x (0) 1
Encontrar cotas a priori para x , x ' y x' ' sin calcular xexplícitamente. Dar una cota explícita del error de truncatura obtenido al aplicar el método de Euler explícito a este PVI. Tomar h Ejercicio 131.x' t 2 x 2 x0 1
10 3.
Consideremos el problema de valor inicial
t
0, 2 .
Estudiar si es posible aproximar de forma razonable la solución de este problema
de valor inicial por el método de Euler explícito. En caso de que
sea posible tomar un valor de h truncatura
0.01 y dar una cota explícita del error de
h .
Algunos métodos monopaso lineales. El objetivo del análisis numérico es la aproximación de la solución del PVI x' x a
f t, x x0
t
a, b .
Hemos visto que en primer lugar hemos de restringir nuestro problema a los nodos de la partición considerada, es decir, vamos a aproximar en realidad el problema x' t i
f ti , x ti
x t0
t
x0
t 0 , t 1 ,..., t N .
El método de Euler surge al aproximar la derivada por el cociente incremental, es decir,
x' t
lim
x ti
h x ti h
h 0
x ti
h x ti . h
Introduciendo esta aproximación en el PVI obtenemos xi
xi
1
h x0
f t i , xi
,
0
o equivalentemente xi
1
x0
xi
hf t i , x i
.
0
Parece claro que cualquier otra aproximación de la derivada x ' nos conducirá a un nuevo método. El método de Euler implícito. Diseño y análisis. Supongamos que consideramos ahora diferencias hacia atrás, es decir,
x' t
lim h
xt
0
Al sustituir en el PVI obtenemos
xt h
h
xt
xt h
h
.
xi
xi
1
h x0
f ti , xi
,
0
o equivalentemente xi
xi
x0
Algunas veces se renumera, xi x0
hf t i , x i
.
0
i 1, y el método se escribe como
i
1
1
xi
hf t i 1 , x i
1
.
0
Usualmente se denomina a este método Método de Euler Implícito. Es eviendente que la programación efectiva de este método entraña una dificultad adicional con respecto al método de Euler explícito obtenido en el capítulo anterior, por aparecer
xi
1
en ambos miembros de la igualdad. Sin embargo en
este momento únicamente vamos a estar interesados en el diseño y análisis teórico de los métodos que vamos a ir obteniendo. Más adelante trataremos en detalle la programación efectiva de los métodos implícitos. Consistencia del método de Euler Implícito: Para el análisis de la consistencia basta sustituir en el método la solución aproximada por la exacta y añadir el término x ti
x ti
h
hf t i , x t i
h
h
i
i
.
Desarrollando Taylor,
x ti
h
x ti
hx' t i
h2 x' ' 2
i
.
.
Obtenemos:
Utilizando estas dos expresiones deducimos que
h x' ' 2
i
i
. Donde
h max x ' ' . Concluimos que el método de Euler implícito es consistente de 2
orden 1. Estabilidad del método de Euler Implícito: Consideremos dos sucesiones:
yi
yi
1
hf t i , yi
zi y
y 0 dado
zi
1
hf t i , z i
z 0 dado
Restando obtenemos que yi
zi
yi
zi
1
h f ti , yi
1
f ti , zi .
Se verifican las siguientes acotaciones:
yi
zi
yi
1
zi
1 hL y i
yi
Para h
1 , 2L
zi
se verifica que
completar la acotación como sigue:
h f t i , yi
1
zi
yi
1 yi 1 hL
1 1 hL
f t i , zi ,
1
zi 1 ,
1
zi 1 .
1
2 hL ,
lo que nos permite
yi
zi
yi
zi
1 y i 1 z i 1 1 2hL y i 1 hL N 1 2hL y 0 z 0 ,
yi
zi
e 2 hLN y 0
yi
zi
e 2L b
a
1
zi 1 ,
z0 ,
y0
z0
De donde se concluye la estabilidad del método de Euler implícito. Los métodos de Taylor. Volviendo al método de Euler podemos constatar la similitud que hay entre el desarrollo de Taylor de la solución
x ti
h
x ti
hx ' t i
h2 x' ' 2
i
,
ti , ti
i
1
.
y la forma en la que se calcula el error de truncatura. Por ejemplo podemos considerar que para el método de Euler, x ti
h
x ti
hf t i , x t i
h
i
.
La diferencia entre estos dos desarrollos se encentra en los términos de orden h2 . Es por esto que a la vista de un desarrollo más detallado del
x ti h
x ti
hx' ti
h2 x' ' ti 2!
h3 x' ' ' ti 3!
x ti
h ,
...
podemos pensar en desarrollar métodos que nos permitan imitar este desarrollo. Esta es la base de los métodos de Taylor y aquí se encuentra también una forma de motivar los métodos de Runge-Kutta, que serán tratados posteriormente. En efecto, un ejemplo es el método de Taylor de orden 2, que se construye como sigue:
xi
1
xi
hf t i , xi
h2 2
f t i , xi t
f t i , xi f t i , xi . x
Se deja como ejercicio probar que este método tiene orden de consistencia 2. Parece claro que utilizando esta forma de razonar seremos capaces de desarrollar
métodos
numéricos
consistentes
y
estables
de
órdenes
arbitrariamente altos. El inconveniente que presentan los métodos de Taylor es que nos obligan a evaluar no solo la función f t , x
sino además a sus derivadas. En
los ejemplos académicos que suelen considerarse esta no suele ser una gran dificultad, sin embargo en las aplicaciones prácticas debemos evitar evaluar derivadas de f t , x . Aproximaciones integrales. Una forma alternativa de intentar resolver un PVI dado por x' t i x t0
f ti , x ti
t
x0
t 0 , t 1 ,..., t N .
es integrar a izquierda y derecha la variable independiente entre
ti , ti
1
.
Obtenemos la siguiente expresión
x ti
h
x ti
ti h ti
f s, x s ds.
Obviamente la resolución por medios teóricos de este problema implícito es incluso más difícil que la resolución del PVI inicial. Sin embargo en términos de la interpretación geométrica de la integral definida es fácil justificar la siguiente aproximación: ti h ti
f s, x s ds hf t i , xi .
Basta sustituir en la ecuación anterior para obtener el método de Euler explícito.
xi
1
xi
hf ti , xi .
Nuevas aproximaciones de la integral generan nuevos métodos de aproximación. Cabe destacar que la aproximación ti h ti
nos
conduce
al
f s , x s ds
método
de
hf t i 1 , x t i
Euler
1
implícito,
mientras
que
la
generalización de las anteriores aproximaciones
ti h ti
f s, x s ds
h 1
f ti , x ti
f ti 1 , x ti
,
0,1 ,
1 adquiere especial 2
método, que en el caso
nos conduce al llamado
1
relevancia por conducirnos al método del trapecio
xi
1
xi
h f ti , xi 2
f ti 1 , xi
1
,
Que es un método consistente de segundo orden. De hecho es el primer método de consistencia mayor a la del método de Euler. EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 132.-
Acotar el error de truncatura de los siguientes métodos
monopaso, y establecer el orden de consistencia de cada uno de ellos.
a. Método de Euler explícito: b. Método de Euler implícito: c. Método xi
1
xi
h 1
f ti , xi
xi xi
1 1
xi xi
hf t i , x i hf t i 1 , x i
f ti 1, xi
1
1
d. Método de Taylor de segundo orden: h2 f xi 1 xi hf t i , xi t i , xi 2 t
f t i , xi f t i , x i x
Ejercicio 133.-
Diseñar un método de Taylor de orden 3.
Ejercicio 134.-
Consideremos el siguiente método monopaso
xi
1
xi
h
Ejercicio 135.-
f ti , xi
f ti 1 , xi
,
1
Calcular que valores tienen que tener los parámetros
y
para que el método tenga un error de truncatura al menos de orden 2. Los métodos de Runge-Kutta. Métodos Monopaso No Lineales. Los métodos de Runge-Kutta son métodos no lineales monopaso que se introducen para obtener grados de consistencia altos. En estos métodos la no linealidad del método viene dada por la evaluación de la función
en puntos diferentes a los nodos de la
f t, x
partición. En general estos métodos pueden escribirse como xi
xi
1
h
h ,
m
donde la función
va a tener la forma
h
h
Ak f
k
,
k
, donde
k 1
en general los valores
k
y
k
van a ser diferentes de
ti
y
xi
respectivamente.
Consistencia de un método de Runge-Kutta. El cálculo del error de truncatura de un método de Runge-Kutta se hace en la forma usual, sustituyendo la solución aproximada por la exacta y agregando el término de error
h
i
.
Así,
x ti
h
x ti
h
h
h
i
.
La dificultad que tenemos en este caso es no saber a priori el orden en
h de la función
h . Para determinar la consistencia del método procedemos
a desarrollar
h
x ti
x ti
hx ' t i
y
h2 x' ' t i 2!
en potencias de h .
h
h3 x' ' t i 3!
...
x ti
h
0
h ' 0
h2 2!
'' 0
'' 0 2!
...
...
h i.
Simplicando y agrupando términos queda
h
i
h x' t i
0
h2
x' ' t i 2
h3
'0
x' ' ' t i 3!
A la vista de esta ecuación la condición imprescindible para que un método de Runge-Kutta sea consistente es que h
0
x' ti
f ti , xi
En la medida en que el método cumpla las condiciones
' 0 '' 0 2!
x' ' t i , 2 x' ' ' t i , 3!
...
su orden de consistencia será mayor.
Vamos a considerar algunos ejemplos de métodos de Runge-Kutta. El estudio de estos ejemplos servirá como ejemplo al estudio general de los métodos monopaso no lineales. Ejemplo 93.
xi
En este caso
h
f ti
1
xi
h , xi . 2
hf ti
h , xi . Tenemos que 2 0
f t i , xi
'0
1 f t i , xi 2 t
x' ' t i . 2
Concluimos que este método es consistente de orden 1. Ejemplo 94. xi
1
xi
h f t i , xi 2
En este caso
h
f ti
h, xi
1 f ti , xi 2
hf t i , x i
f ti
.
h, x i
hf t i , x i
. Así
f t i , xi
0
1 f ti , xi 2 t x' ' ' t i .
' 0 '' 0
f t i , xi f t i , xi , x
Concluimos que este método es consistente de orden 2. Ejemplo 95. El método de Runge-Kutta más famoso y utilizado es el conocido como método de Runge-Kutta de orden 4:
xi
donde
1
xi
1 F1 6
2 F2
2 F3
F4
F1
hf t i , x i
F2
hf t i
F3
hf t i
F4
hf t i
h , xi 2
F1 2
F2 h , xi 2 2 h, xi F3 .
Se deja como ejercicio probar que efectivamente este método tiene un error de truncatura de orden 4. EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 136.-
Consideremos el siguiente método monopaso
xi 1 xi Ejercicio 137.y
hf ti
h, xi
hf ti , xi ,
i 0,1,...,N 1,
Calcular que valores tienen que tener los parámetros
,
para que el método tenga un error de truncatura al menos de orden 2.
Ejercicio 138.-
Estudiar la consistencia del método del punto medio
implícito dado por
xi Ejercicio 139.-
xi
1
hf t i
1
1 1 h, xi 2 2
xi
1
.
Calcular, utilizando la definición, el error de truncatura del
método.
xi
Ejercicio 140.-
1
xi
h f t i , xi 2
f t i 1 , xi
hf t i , x i
.
Aproximar la solución del problema de valor inicial
x' 100 x y y' y x(0) x0 , y(0)
t y0
0,
con
0 y
xi
Tomar h
h f t i , xi 2
xi
1
f ti
h, x i
hf t i , x i
0.001 y estudiar para qué valores del parámetro
el límite cuando i Ejercicio 141.-
, utilizando el método de Euler mejorado
x0 , y0
es nulo
de la solución aproximada obtenida. Probar que el método de Runge-Kutta de orden 4, que viene
dado por
xi
1
1 F1 6
xi
2 F2
2 F3
h , xi 2
F1 2
F4
con F1
hf t i , x i
F2
hf t i
F3
hf t i
F4
hf t i
F2 h , xi 2 2 h, xi F3
es consistente.
Introducción a los métodos multipaso. Los métodos BDF. Hemos visto en los capítulos anteriores los llamados métodos monopaso. Como su nombre indica en estos métodos se pretende calcular la aproximación de la solución en el punto contenida en el nodo anterior métodos multipaso (de ti
r
los
, xi r
r
r
ti , xi .
ti
1
, xi
1
a partir de la información
En este capítulo vamos a introducir los
pasos) en los que la aproximación en el punto
va a llevarse a cabo teniendo en cuenta la información contenida en
nodos anteriores
ti
r 1
, xi
r 1
, ...
t i , xi .
Un primer problema que surge es que un método multipaso no es autosuficiente para dar la aproximación de un PVI ya que este solo proporciona el valor de
x0 .
Los valores de x1 ,..., x r
1
que nos permitan x r han
de ser calculados con algún método monopaso. A este proceso se le llama LANZAMIENTO y debe hacerse sin pérdida de precisión. Una vez lanzado el método multipaso ya no es necesario el auxilio de ningún método adicional. Los conceptos desarrollados en el análisis de los métodos monopaso se generalizan sin dificultad, en concreto, el concepto de consistencia para métodos multipaso es el mismo que en caso de los métodos monopaso. El concepto de estabilidad se extiende de manera natural al caso de los métodos multipaso como sigue: Consideremos un algoritmo que nos permita construir una sucesión yi
i
de forma que los primeros
0 ,1 ...., N
r
términos
y 0 , y 1 ,..., y r
1
estén dados y el
resto vengan dados por el algoritmo yi
r
y i ,..., y i
r 1
Tomemos dos sucesiones generadas por este algoritmo zi
i
0 , 1 .... N
.
yi
i 0 ,1 .... N
y
Diremos que el algoritmo considerado es estable si existe una
constante C tal que
max yi
zi
C max y0
z 0 , y1
z1 ,..., y r
1
zr
1
.
Una ventaja de los métodos multipaso es que se pueden construir, con mayor facilidad que en el caso de los monopaso, métodos de un orden de consistencia alto. Esto es debido al hecho de que en cada iteración del método estamos teniendo en cuenta mayor información.
Entre las desventajas de los métodos multipaso hemos de señalar que hay vigilar con cuidado la estabilidad de estos métodos y también que a la hora de llevar a cabo su programación práctica hemos de proceder a su lanzamiento. Aproximaciones de la derivada. Una forma muy sencilla de obtener métodos multipaso es proceder de la misma forma que se hace en la construcción del método de Euler. Al utilizar diferentes
aproximaciones de la derivada podemos construir diferentes
métodos de aproximación numérica de PVI’s. Por ejemplo, si tomamos
x ' lim h
xt
h
xt
h
xt
h
2h
0
xt 2h
h
,
tenemos que xt
h
xt 2h
h
f t, x t .
Obtenemos así el método xi
1
xi
1
2 hf t i , x i .
Para algunos cálculos es muy conveniente renumerar los subíndices, con lo que el método obtenido se puede escribir de forma equivalente a la anterior como xi
2
xi
2 hf t i 1 , x i
1
.
Diferentes aproximaciones de x ' darán lugar a diferentes métodos numéricos. Los métodos BDF. Una generalización del proceso expuesto en el apartado anterior, es decir una forma generalizada de obtener aproximaciones de
x'
y
consecuentemente de construir métodos de aproximación multipaso, lo
constituyen los llamados métodos BDF. Como ejemplo vamos a deducir el método del apartado anterior, xi
xi
2
2 hf t i 1 , x i
1
utilizando esta nueva filosofía.
,
Ejemplo 96. Deducir un método multipaso de aproximación de PVI, del máximo orden de consistencia posible, utilizando la información contenida en los nodos
ti 1 , xi
1
,
t i 1 , xi
y
1
f ti , xi .
Solución: Desarrollamos
x ti
1
y
x ti
1
x ti
h
x ti
hx' t i
h2 x' ' t i 2
x ti
h
x ti
hx' t i
h2 x' ' t i 2
por serie de Taylor:
h3 x' ' ' t i 3!
h 4 iv x ti 4!
...
h3 x' ' ' t i 3!
h 4 iv x ti 4!
...
Restando tenemos que
Sustituyendo
x ti
h
x ti
h
2hx' t i
x ti
h,
x ti
h,
x' t i
h3 x' ' ' t i 3 por
...
xi 1 ,
xi 1 ,
f t i , xi
respectivamente y despreciando términos de orden superior a uno obtenemos xi
1
xi
1
2 hf t i , x i .
Hay que señalar que en la deducción de este método se ha utilizado la simetría de los nodos utilizados. Esto nos ha permitido eliminar fácilmente los términos de orden h2 .
En general será necesaria la introducción de parámetros para garantizar esta eliminación. En el siguiente apartado aparece la construcción de un método multipaso utilizando parámetros adicionales. Un método inestable. Como hemos anticipado los métodos multipaso tienen el grave inconveniente de que pierden la estabilidad con facilidad. Vamos a dar a continuación un ejemplo para ilustrar este hecho. (Los métodos de Adams vienen a remediar esta pérdida de estabilidad para métodos multipaso. Tienen el inconveniente de
introducir muchas evaluaciones de
y además son
métodos que involucran coeficientes que podemos calificar al menos de un tanto extraños.) Ejemplo 97. Deducir un método de aproximación de PVI multipaso, del máximo orden de consistencia posible, utilizando la información contenida en los nodos t i 2 , x i
2
,
ti 1 , xi
, ti , xi .
1
Solución: Desarrollamos por Taylor y multiplicamos a izquierda y derecha por los parámetros A y B.
Ax t i
2h
Bx t i
A x ti
h
2 hx ' t i
B x ti
hx ' t i
4h 2 x' ' t i 2
h2 x' ' t i 2
8h 3 x' ' ' t i 3!
h3 x' ' ' t i 3!
16 h 4 iv x ti 4!
h 4 iv x ti 4!
...
...
Sumando obtenemos: Ax t i A
2h
Bx t i
B x ti
2A
h B hx ' t i
4A
B
h2 x' ' t i 2!
8A
B
h3 x' ' ' t i 3!
...
De esta expresión hemos de hacer cero los coeficientes de la segunda derivada y de todas las derivadas superiores a dos que sea posible. En este caso solo va a ser posible anular el coeficiente de ello tomamos B
4A. Así, para A 1 y B
x ti
2h
4x t i
h
x'' ti .
Para
4,
3x t i
2hx' t i
4
h3 x' ' ' t i 3!
...
El método que obtenemos es xi
2
4xi
3xi
1
2 hf t i , x i
del que fácilmente se puede probar que tiene un orden de consistencia igual a 2.
Sin embargo este método no es estable como se deduce del
siguiente razonamiento: Tomamos dos sucesiones generadas por este método y con datos iniciales y 0
0,
0 y por otro lado
y1
z0
0,
z1
0, donde
es un
número pequeño pero fijo. Obviamente
yi
0,
nos lleva a que lim z i
para todo i
1 . Por otro lado un cálculo detallado
. En efecto,
i
z0
0,
z1
,
z2
4 ,
z3
13 ,
z4
40 ,
... zi Tenemos que lim z i i
método.
3i
1 2
.
, y por tanto concluimos la inestabilidad del
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 142.-
Estudiar
la
consistencia
de
los
siguientes
métodos
multipaso:
e. f.
xi
2
xi
xi
1
xi
g. x i
1
xi
Ejercicio 143.-
2 hf t i 1 , x i
5 f t i 1 , xi
f t i 2 , xi
1
2
Diseñar un método multipaso del máximo orden de
consistencia que contenga
Ejercicio 144.-
1
h h f t i 1 , xi 1 f t i , xi 2 2 h 9 f t i 1 , x i 1 19 f t i , x i 24 xi
2
y
, xi
f ti , xi .
Construir un método multipaso de la forma ai xi
a i 1 xi
ai
1
2
xi
2
h bi
1
fi
bi
1
2
fi
2
de orden de consistencia máximo. Ejercicio 145.-
Estudiar si el método
xi
xi
2
2
h
1 fi 3
4 fi 3
1
1 fi 3
2
es consistente y en caso afirmativo estudiar el orden de consistencia.
Los métodos de ADAMS. Los métodos de Adams pretenden aprovechar aproximaciones integrales para el diseño de métodos estables de orden de consistencia altos. Todos los métodos de Adams explícitos son de la forma xi
1
xi
h af t i , x i
bf t i 1 , x i
1
... ,
mientras que en los implícitos también se evalúa
f ti 1 , xi
1
.
El diseño
de estos métodos se basa en determinar los coeficientes a, b,... mediante aproximaciones integrales. Construcción de los métodos de Adams. Como veíamos en el capítulo anteriormente, al considerar el PVI dado por x' t i x t0
f t i , x ti
t 0 , t1 ,..., t N .
t
x0
podemos integrar a izquierda y derecha la variable independiente entre ti , ti
1
.
obteniendo:
x ti
h
x ti
ti h ti
f s, x s ds.
Solo tenemos que aproximar la integral obtenida en el segundo miembro. El problema es que la función x t
es desconocida y por tanto
también lo es f t , x t . La idea que da origen a los métodos de Adams consiste en establecer que una vez resuelto el PVI en realidad f t , x t aproximar la integral
ti h ti
f t
y en
f s ds mediante evaluaciones de la función en los
nodos de la partición, es decir ti h ti
f s ds h af t i
bf t i
1
... ,
si se pretende diseñar un método explícito, mientras que si se pretende diseñar un método implícito, ti h ti
f s ds
h af t i
1
bf t i
... .
Escogeremos los coeficientes a , b ,... de forma que esta aproximación sea exacta para polinomios del orden más alto posible. Estos coeficientes se trasladarán a posteriori al método. Es importante resaltar que las aproximaciones integrales que vamos a hacer a continuación tienen que ver con la naturaleza de la función f t
pero no con el hecho de que el paso h sea
pequeño o con el valor concreto de
ti.
Es por esto que en el diseño de los
métodos y por razones de simplicidad tomaremos
ti
0
y h 1. A modo de
ejemplo vamos a diseñar varios métodos de Adams explícitos. Los métodos de Adams explícitos se denominan métodos de Adams-Bashforth mientras que los métodos de Adams implícitos se denominan métodos de Adams-Moulton. Método de Adams-Bashforth de un paso. En este caso vamos a imponer que la aproximación 1 0
f s ds af 0
sea exacta al menos para polinomios de orden 0, es decir para funciones constantes. Para ello tomamos una base del espacio de polinomios de orden 0, a saber 1 y evaluamos esta condición sobre los elementos de esta base para determinar el valor de
a. 1 0
1ds 1 a.
Obtenemos el método de Euler explícito. Método de Adams-Bashforth de dos pasos. Imponemos ahora que la condición 1 0
f s ds af 0
bf
1
sea exacta al menos para polinomios de orden 1. Tomamos ahora una base del espacio de polinomios de orden 1, a saber 1, t y evaluamos esta condición sobre los elementos de esta base: para f t
t tenemos que
para f t
Los parámetros
ay
1 tenemos que
1
1ds 1 a b.
0
1 2
1 0
sds
a0
1.
b
b cumplen las siguientes ecuaciones:
a b 1 b
Por tanto a
1 . 2
1 y el método que deducimos es el siguiente: 2
3 , b 2
xi
1
xi
h
3 f t i , xi 2
1 f t i 1 , xi 2
1
.
Método de Adams-Bashforth de tres pasos. Imponemos ahora que la condición 1 0
f s ds
af 0
bf
1
cf
2
sea cierta al menos para polinomios de orden 2. Tomamos ahora una base del espacio de polinomios de orden 2. En principio podemos utilizar la base
1, t , t 2
y obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite
determinar los parámetros
a, b y c. Sin embargo es mucho más
interesante considerar la base 1, t , t t 1
ya que obtendremos un sistema
triangular. Si evaluamos la condición sobre los elementos de esta base:
para f t
para f t
para f t
1 tenemos que
1
t tenemos que
t t
0
tenemos que
1
sds
1
1ds 1 a b c,
0
1 2
a 0
5 6
1 0
s s 1 ds
1
b
a0
2.
c
b0
c 2.
Obtenemos el sistema triangular a
c 1 1 b 2c 2 5 2c . 6
cuya solución es
c
5 , b 12
b
16 , y a 23 . 12 12
El método obtenido es:
xi
xi
1
h 23 f t i , x i 12
16 f t i 1 , x i
1
5 f ti 2 , xi
2
.
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN
Ejercicio 146.-
Deducir los métodos de Adams-Bashforth de cuatro y cinco
pasos:
xi
xi
1
xi
1
xi
h 55 f t i , x i 24
h 1901 f t i , x i 720
Ejercicio 147.cuatro pasos.
59 f t i 1 , x i
2774 f t i 1 , x i
1
1
37 f t i 2 , x i
2616 f t i 2 , x i
2
2
9 f ti 3 , xi
3
1274 f t i 3 , x i
.
3
251 f t i 4 , x i
Deducir los métodos de Adams-Moulton de dos, tres y
4
.
Ejercicio 148.-
Estudiar el orden de consistencia de los métodos de
Adams-Bashforth y Adams-Moulton de dos y tres pasos.
Estudio general de los métodos multipaso lineales. Un método multipaso lineal puede escribirse como r
r k
xi
h
k
k 0
Si caso
r
r
k
f t i k , xi
con
k
r
k 0
0.
0 el método se trata de un método implícito, mientras que en el
0 el método es explícito.
Nota: Todos los numéricos de aproximación de PVI que hemos visto son lineales excepto los métodos de Runge-Kutta. Para el estudio de la consistencia y la estabilidad de los métodos multipaso lineales se definen los siguientes polinomios en el plano complejo: r
z
k
zi
k
k
zi
r
zr
r
zr
r 1
zr
1
....
0
k 0
y r
z
k
r 1
zr
1
....
0
.
k 0
A los polinomios
z
y
z
se les llama respectivamente primer y
segundo polinomio característico asociado a un método multipaso lineal. Nota: En lo que sigue denominaremos a los métodos multipaso lineales como métodos
.
Tenemos los siguientes resultados:
Teorema 51.
(Sobre la consistencia de los métodos
es consistente si y solo si
Un método
Teorema 52.
1.
):
es estable si todas las raices del polinomio
encuentran en el disco z
Un método
'1
(Sobre la estabilidad de los métodos
Un método
Teorema 53.
0 y
1
):
z
se
1 y si todas las raices de módulo 1 son simples.
(Sobre la convergencia de los métodos
es consistente y estable es convergente.
):
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Ejercicio 149.-
Probar
que
un
consistente si se verifican las Ejercicio 150.-
método
multipaso
condiciones
0 y
1
lineal '1
es 1.
Estudiar la convergencia de los siguientes métodos
multipaso:
xi
xi
2
xi
Ejercicio 151.-
xi
2
xi
2
h fi 4
2 xi
1
xi
h fi 3
8 fi
2
4 fi
1
3 fi
1
fi
2
Se considera el método multipaso
h
2 f ti 2 , xi 3
2
f ti 1 , xi
1
2 f ti , xi , 3
i
0,1,..., N 2,
para un mallado equiespaciado de N 1 nodos con paso h y
0, siendo
números reales. Determinar los valores de
convergente.
y
para que el método sea
Calcular el error local de truncamiento
h
a partir de su
definición y deducir el orden de consistencia del método. Aplicar el método anterior, con los valores de
y
obtenidos
en el apartado a) al problema de valor inicial
x ' 2 cos x x0 2
t
0,1
se
obtiene
Obtener una cota explícita del error local
la
secuencia
xi
i 1,..., N
.
de truncamiento que se
obtiene en este caso. a) Igual que en el apartado c) pero considerando ahora el problema de valor inicial
x ' 2 cos x 2 x0 2
Ejercicio 152.-
t
0,1
1
1 fi 3
Estudiar si el método
xi
xi
2
2
h
1 fi 3
4 fi 3
2
es consistente y en caso afirmativo estudiar el orden de consistencia. ¿Es estable? Ejercicio 153.-
Probar que todos los métodos de Adams son estables.
Ejercicio 154.-
Consideremos el método multipaso
xn
Ejercicio 155.estable.
xn
1
Determinar
1
xn
2
1 h 2
fn
4
3
fn
1
.
de manera que el método sea consistente y
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