I a l s í i r s a e i i l r u n á t e n c g A u n l r I i : t v a s e i r d C d E d e t a t á l u C
4 1 0 2
c a F
ANALISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL
Catedrático: Ing. Ronald Santana Tapia
Estudiante: CONDOR TORO, Rodolfo Jaime
INDICE
1
PROBLEMA 01: ............................................................................................................... .................................................................................................................................... ..................... 2
2
PROBLEMA 02: ............................................................................................................... .................................................................................................................................... ..................... 9
3
PROBLEMA 04: ...................................................................................................................................14 ...................................................................................................................................14
4
PROBLEMA 05: ...................................................................................................................................19 ...................................................................................................................................19
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Página 1
ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL 1
PROBLEMA 01:
En la siguiente figura de planta de una estructura de un piso, compuesta por pórticos ortogonales unidos por una losa que se supone infinitamente rígida para acciones en su plano. Se han obtenido las rigideces laterales: EJE ⁄ EJE ⁄ A
6000
1
2000
B
20000
2
50000
C
4500
3
1500
D
3000
4
1000
Suponga que el origen de coordenadas está en la intersección de los ejes 1y A. En el punto de coordenadas (4.7; 4.25) actúa una fuerza de 15 ton, en la dirección Y. a) Determine las coordenadas del centro de rigidez. ∑ ∑
∑ ∑
b) Determine las fuerzas estáticamente equivalentes a la antes mencionadas, pero aplicadas en el centro de rigidez. c) Escriba un sistema de ecuaciones que relacione las tres componentes de desplazamiento en el centro de rigidez con las correspondientes componentes de fuerza. d) Calcule el giro en la planta y las componentes de traslación del centro de rigidez. e) Obtenga el desplazamiento horizontal en la parte superior de cada pórtico (más precisamente, las componente según el alineamiento del pórtico) ¿Cuál es la razón entre el desplazamiento lateral en el alineamiento del eje 4 y aquel en el alineamiento del eje 1? f) Determine la fuerza lateral que toma cada pórtico. g) Verifique el equilibrio para los 3 GDL considerados en el módulo seudotridimensional. h) Suponiendo que se pudiera modificar en pórtico del eje 4, ¿Cuál debería ser su rigidez lateral para que al aplicar la referida fuerza de 15 ton, el punto (4.7; 4.25) no tenga rotación en planta?
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
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Coordenadas del centro de rigidez 1. CALCULO DE LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE RIGIDEZ
Rigidez en:
KL x
KL y
PORTICO Eje A Eje B Eje C Eje B Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
KL(ton/cm) 600 20000 4500 3000 2000 50000 1500 1000
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Coord.X (m) 0 4 8 12
Coord.Y (m) 0 3 6 9 -
Página 3
∑ ∑
XCM=
4.110091743
YCM=
4.056939502
∑ ∑
2. CALCULO DE LAS EXCENTRICIDADES: DIRECTA Y ACCIDENTAL
EXCENTRICIDAD DIRECTA XCM= 4.7 m YCM= 4.25 m XCR= 4.110091743 m YCR= 4.056939502 m ex= 0.589908257 m ey= 0.193060498 m EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL Dx= 12 Dy= 9 e acc. X= ± 0.45 e acc. Y= ± 0.6
m m m m
EXCENTRICIDAD REAL ex1 1º CONDICION ey1 ex2 2ºCONDICION ey2
1.334862385 0.889590747 0.139908257 -0.406939502
3. CALCULO DE MOMENTOS TORSORES (PARA EL SISMO EN X-X)
FX =
15
Ton
Mt1=
20.02293578
Mt2
2.098623853
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Página 4
4. VECTORES DE FUERZA 1º CONDICION: 15 F'=
15
0
=
0
0
0
15
15
2º CONDICION:
F''=
0
=
0
Mt1
20.02293578
15
15
3º CONDICION:
F'''=
0
=
0
Mt2
2.098623853
5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO:
XCM
4.7
YCM PORTICO Eje A Eje B Eje C Eje D Eje 1
xi
Eje 2 Eje 3 Eje 4
4.25
0 0 0 0 0
yi 0 3 6 9 0
0 0 0 0 90
1.00 1.00 1.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
4.25 1.25 -1.75 -4.75 -4.7
KL 600 20000 4500 3000 2000
4 8 12
0 0 0
90 90 90
0.00 0.00 0.00
1.00 1.00 1.00
-0.7 3.3 7.3
50000 1500 1000
α
cosα
ri
senα
KA=
600.00 0.00 2550.00
0.00 0.00 0.00
2550.00 0.00 10837.50
K1=
0.00 0.00 0.00
0.00 2000.00 -9400.00
0.00 -9400.00 44180.00
KB=
20000.00 0.00 25000.00
0.00 0.00 0.00
25000.00 0.00 31250.00
K2=
0.00 0.00 0.00
0.00 50000.00 -35000.00
0.00 -35000.00 24500.00
KC=
4500.00 0.00 -7875.00
0.00 0.00 0.00
-7875.00 0.00 13781.25
K3=
0.00 0.00 0.00
0.00 1500.00 4950.00
0.00 4950.00 16335.00
KD=
3000.00 0.00 -14250.00
0.00 0.00 0.00
-14250.00 0.00 67687.50
K4=
0.00 0.00 0.00
0.00 1000.00 7300.00
0.00 7300.00 53290.00
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Página 5
6. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA:
28100.00 0.00 5425.00
K=
0.00 54500.00 -32150.00
5425.00 -32150.00 261861.25
3.57413E-05 -4.70907E-07 -7.9827E-07 -4.70907E-07 1.97875E-05 2.4392E-06 -7.98271E-07 2.43917E-06 4.1348E-06
K-1=
7. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO: Para las tres condiciones dadas
1º CONDICION: 15 0 0
F'=
u'=
0.00053612 -7.0636E-06 -1.19741E-05
cm cm rad
u''=
0.000520136 4.17757E-05 7.08172E-05
cm cm rad
u'''=
0.000534444 -1.94471E-06 -3.29663E-06
cm cm rad
2º CONDICION: 15 0 20.02293578
F''=
3º CONDICION: 15 0 2.098623853
F'''=
8. VECTOR DESPLAZAMIENTO DEL SISTEMA: Eligiendo los valores mayores
u=
0.00053612 4.17757E-05 7.08172E-05
cm cm rad
9. CALCULO DEL DESPLAZAMIENTO DE CADA ELEMENTO:
PORTICO
α
cosα
senα
Eje A Eje B Eje C Eje D Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
0 0 0 0 90 90 90 90
1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00
ri 4.25 1.25 -1.75 -4.75 -4.70 -0.70 3.30 7.30
δ(Desplazamiento)
1º CASO 0.00048523 0.000521152 0.000557074 0.000592996 4.92145E-05 1.31825E-06 -4.6578E-05 -9.44743E-05
2º CASO 0.000821109 0.000608657 0.000396206 0.000183754 -0.000291065 -7.79639E-06 0.000275473 0.000558741
3º CASO 0.000520434 0.000530323 0.000540213 0.000550103 1.35494E-05 3.62931E-07 -1.28236E-05 -2.60101E-05
Razón entre el despl azamiento lateral en el alineamiento del eje 4 y aquel en el alineamiento del e je 1
PORTICO Eje 4 Eje 1
RAZON 0.000558741 1.919642857 -0.000291065 δ
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
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10. FUERZA CORTANTE EN CADA ELEMENTO
PORTICO
KL
Eje A Eje B Eje C Eje D Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
600 20000 4500 3000 2000 50000 1500 1000
Vi(Fuerza cortante)
δ(Desplazamiento)
1º CASO 0.00048523 0.000521152 0.000557074 0.000592996 4.92145E-05 1.31825E-06 -4.6578E-05 -9.44743E-05
2º CASO 0.000821109 0.000608657 0.000396206 0.000183754 -0.000291065 -7.79639E-06 0.000275473 0.000558741
3º CASO 1º CASO 0.000520434 0.291137867 0.000530323 10.42303937 0.000540213 2.506833716 0.000550103 1.778989049 1.35494E-05 0.098429 3.62931E-07 0.065912277 -1.28236E-05 -0.069867013 -2.60101E-05 -0.094474263
2º CASO 3º CASO 0.492665411 0.312260169 12.17314699 10.60646989 1.782925561 2.430960181 0.551262033 1.650309757 -0.582130568 0.027098873 -0.389819577 0.018146567 0.413208751 -0.019235361 0.558741394 -0.026010079
VERIFICACION ( ΣX=15Ton;ΣY=0 ) 1º CASO 2º CASO 3º CASO
Vi MAXIMA 0.492665411 12.17314699 2.506833716 1.778989049 -0.582130568 -0.389819577 0.413208751 0.558741394
15
15
15
0
0
0
11. VERIFICACION DE LOS TRES GRADOS DE LIBERTAD:
Vi( Fuerza cortante)
PORTICO
1º CASO 0.291137867 10.42303937 2.506833716 1.778989049 0.098429 0.065912277 -0.069867013 -0.094474263
Eje A Eje B Eje C Eje D Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
2º CASO 0.492665411 12.17314699 1.782925561 0.551262033 -0.582130568 -0.389819577 0.413208751 0.558741394
3º CASO 0.312260169 10.60646989 2.430960181 1.650309757 0.027098873 0.018146567 -0.019235361 -0.026010079
VERIFICACION ( ΣX=15Ton;ΣY=0) 1º CASO 2º CASO 3º CASO
15
15
15
0
0
0
Suponiendo que se pudiera modificar el pórtico del eje 4. ¿Cuál debería ser su rigidez lateral para que al aplicar la referida fuerza de 15 Ton, el punto (4.7; 4.25) no tenga rotación en planta? XCM
4.7
YCM PORTICO
xi
4.25 yi
α
cosα
ri
senα
Eje A
0
0
0
1.00
0.00
Eje B
0
3
0
1.00
Eje C
0
6
0
1.00
Eje D
0
9
0
Eje 1
0
0
Eje 2
4
0
KL 4.25
600
0.00
1.25
20000
0.00
-1.75
4500
1.00
0.00
-4.75
3000
90
0.00
1.00
-4.7
2000
90
0.00
1.00
-0.7
50000
Eje 3
8
0
90
0.00
1.00
3.3
1500
Eje 4
12
0
90
0.00
1.00
7.3
X
KA=
600.00
0.00
2550.00
0.00
0.00
0.00
2550.00
0.00
10837.50
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
K1=
0.00
0.00
0.00
0.00
2000.00
-9400.00
0.00
-9400.00
44180.00
Página 7
KB=
20000.00 0.00 25000.00
0.00 0.00 0.00
25000.00 0.00 31250.00
K2=
0.00 0.00 0.00
0.00 50000.00 -35000.00
0.00 -35000.00 24500.00
KC=
4500.00 0.00 -7875.00
0.00 0.00 0.00
-7875.00 0.00 13781.25
K3=
0.00 0.00 0.00
0.00 1500.00 4950.00
0.00 4950.00 16335.00
KD=
3000.00 0.00 -14250.00
0.00 0.00 0.00
-14250.00 0.00 67687.50
K4=
0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 7.30
0.00 7.30 53.29
X*
6. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA:
28100.00
0.00
5425.00
0.00 5425.00
53501.00 -39442.70
-39442.70 208624.54
K=
28100.00 0.00 5425. 00
0.00 53500.00 - 39450. 00
5425.00 -39450.00 208571. 25
K=
28100 3.27733E-12 5425
3.27733E- 12 53500 -39450+7.3X
5425 -39450+7.3X 208571.25+53.29X
K=
3.5796E-05 -7.97376E-07 -1.0816E-06 K-1=
-7.97376E-07 -1.08158E-06
2.17361E-05 4.13019E-06
4.1302E-06 5.6023E-06
1º CONDICION: 15 F'=
0
15 =
0
0.00053612 cm u'=
-7.0636E-06 cm
0
0
-1.19741E-05 rad
15
15
0.000520136 cm
2º CONDICION:
F''=
0
=
Mt1
0
u''=
20.02293578
4.17757E-05 cm 7.08172E-05 rad
3º CONDICION: 15 F'''=
0
15 =
Mt2
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
0 2.098623853
0.000534444 cm u'''=
-1.94471E-06 cm -3.29663E-06 rad
Página 8
2
PROBLEMA 02:
En la siguiente figura se muestra la planta de una estructura de un piso, compuesta por pórticos ortogonales unidos por una losa que se supone infinitamente rígida para acciones en su plano. Se han obtenido las rigideces laterales: EJE ⁄ EJE ⁄ A
600
1
400
B
2500
2
600
C
500
3
1500
4
500
Suponga que el origen de coordenadas está en la intersección de los ejes 1y A. Las coordenadas del centro de masa son: . Suponga que sobre la estructura actúa una fuerza horizontal de 30 ton, en dirección X (paralela a los ejes laterales), aplicada en el centro de masa. Determine las coordenadas del centro de rigidez.
∑ ∑ ∑ ∑
a) Determine las fuerzas estáticamente equivalentes a las antes mencionadas, pero aplicadas en el centro de rigidez. b) Escriba un sistema de ecuaciones que relacione las tres componentes de desplazamiento en el centro de rigidez con las componentes de fuerza. c) Calcule el giro de la planta y las componentes de traslación del centro de rigidez. d) Obtenga el desplazamiento horizontal de cada pórtico (en su plano). e) Determine la fuerza lateral que toma cada pórtico.
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Página 9
1. CALCULO DE LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE RIGIDEZ Rigidez en: PORTICO KL(ton/cm) Coord.X (m) Coord.Y (m) Eje A 600 0 KL x Eje B 2500 4.5 Eje C 500 9 Eje 1 400 0 Eje 2 600 4 KL y Eje 3 1500 8 Eje 4 500 12 -
∑
∑ ∑ ∑
XCM=
6.8
YCM=
4.375
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
Página 10
2. CALCULO DE LAS EXCENTRICIDADES: DIRECTA Y ACCIDENTAL EXCENTRICIDAD DIRECTA XCM= 7 m YCM= 3.75 m XCR= 6 m YCR= 4.375 m ex= 1 m ey= -0.625 m EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL Dx= 12 Dy= 9 e acc. X= ± 0.45 e acc. Y= ± 0.6
m m m m
EXCENTRICIDAD REAL ex1 1º CONDICION ey1 ex2 2ºCONDICION ey2
1.95 -1.5375 0.55 -0.025
3. CALCULO DE MOMENTOS TORSORES (PARA EL SISMO EN X-X) FX =
30
Ton
Mt1=
58.5
Mt2
16.5
4. VECTORES DE FUERZA 1º CONDICION: 30 F'=
0
30 =
0
0
0
30
30
2º CONDICION:
F''=
0
=
0
Mt1
58.5
30
30
3º CONDICION:
F'''=
0 Mt2
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
=
0 16.5
Página 11
5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO:
XCM YCM
PORTICO Eje A Eje B Eje C Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
xi 0 0 0 0 4 8 12
7 3.5
yi 0 4.5 9 0 0 0 0
KA=
600.00 0.00 2100.00
0.00 0.00 0.00
2100.00 0.00 7350.00
KB=
2500.00 0.00 -2500.00
0.00 0.00 0.00
-2500.00 0.00 2500.00
KC=
500.00 0.00 -2750.00
0.00 0.00 0.00
-2750.00 0.00 15125.00
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
α
cosα
senα
0 0 0 90 90 90 90
1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00
ri 3.5 -1 -5.5 -7 -3 1 5
KL 600 2500 500 400 600 1500 500
K1=
0.00 0.00 0.00
0.00 400.00 -2800.00
0.00 -2800.00 19600.00
K2=
0.00 0.00 0.00
0.00 600.00 -1800.00
0.00 -1800.00 5400.00
K3=
0.00 0.00 0.00
0.00 1500.00 1500.00
0.00 1500.00 1500.00
K4=
0.00 0.00 0.00
0.00 500.00 2500.00
0.00 2500.00 12500.00
Página 12
6. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA:
3600.00 0.00 -3150.00
K=
0.00 3000.00 -600.00
-3150.00 -600.00 63975.00
0.000290309 2.86422E-06 1.43211E-05
K-1=
2.86422E-06 0.000333988 3.27339E-06
1.4321E-05 3.2734E-06 1.6367E-05
7. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO: Para las tres condiciones dadas
1º CONDICION: F'=
30 0 0
u'=
0.008709262 8.59265E-05 0.000429632
cm cm rad
30 0 58.5
u''=
0.009547045 0.00027742 0.001387099
cm cm rad
u'''=
0.008945559 0.000139937 0.000699687
cm cm rad
2º CONDICION: F''=
3º CONDICION: 30 0 16.5
F'''=
8. VECTOR DESPLAZAMIENTO DEL SISTEMA: Eligiendo los valores mayores
0.00954704 u= 0.00027742 0.0013871
cm cm rad
9. CALCULO DEL DESPLAZAMIENTO DE CADA ELEMENTO:
PORTICO
α
Eje A Eje B Eje C Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
cosα
0 0 0 90 90 90 90
1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
δ(Desplazamiento)
ri
senα
0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00
3.50 -1.00 -5.50 -7.00 -3.00 1.00 5.00
1º CASO 2º CASO 3º CASO 0.010212975 0.01440189 0.011394464 0.008279629 0.008159946 0.008245872 0.006346284 0.001918002 0.005097281 -0.0029215 -0.009432272 -0.00475787 -0.001202971 -0.003883877 -0.00195912 0.000515559 0.001664519 0.000839624 0.002234088 0.007212914 0.003638372
10. FUERZA CORTANTE EN CADA ELEMENTO
PORTICO Eje A Eje B Eje C Eje 1 Eje 2 Eje 3 Eje 4
KL
Vi(Fuerza cortante)
esplazamien
600 2500 500 400 600 1500 500
0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
0.01 0.01 0.00 -0.01 0.00 0.00 0.01
0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
1º CASO 2º CASO 3º CASO 6.127784938 8.641134229 6.836678328 20.69907322 20.39986497 20.61468115 3.17314184 0.959000798 2.54864052 -1.168600012 -3.772908611 -1.90314859 -0.721782361 -2.330325907 -1.17547413 0.773338243 2.496777757 1.259436568 1.117044129 3.606456761 1.819186154
Página 13
3
PROBLEMA 04:
La siguiente figura muestra la planta de una estructura de un piso, compuesta por seis pórticos ortogonales, de concreto armado, unido en su parte superior por una losa que puede considerarse como infinitamente rígida para acciones en su plano. Las columnas son todas e sección circular, de 0.30 m e diámetro. Las vigas son de sección transversal rectangular, de 0.30 m x 0.65 m, para todos los elementos ⁄ . Considere como inercias de las columnas ⁄ . Para las vigas, considere el 70% de la inercia correspondiente a la sección bruta ⁄ . Desprecie deformaciones axiales y de corte en todos los elementos. La rigidez lateral del pórtico típico es: ⁄
Para fuerzas que actúan sobre el conjunto: H = 12 ton, V = 0, M = 6 ton-m, se pide: a) Determine la matriz de rigidez para la estructura con los 3 GDL indicados en la planta. b) Calcule el desplazamiento horizontal (a nivel de losa) para los pórticos de cada eje. c) Determine las correspondientes fuerzas laterales y verifique el equilibrio.
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
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DATO
KL 415.35 6
E 210
SOLUCION: 1) matriz de rigidez de cada elemento: ( Xi , Yi ) m CM:
Elemento o pórtico A B C 1 2 3
8
8
( Xi , Yi ) m 0 0 0 0 8 16
0 8 16 0 0 0
α
Cosα
Senα
0 0 0 90 90 90
1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
ri (m) 8 0 -8 -8 0 8
KL (Ton/m) 415.359 415.359 415.359 415.359 415.359 415.359
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