INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS
INGENIERÍA MECATRÓNICA
Control . Unidad II Análisis de sistemas realimentados Tarea unidad II
Profesor: Mc. Orlando Serrano Verdugo
Alumnos: Castro Urquidy Roberto Rafael Herrera Velázquez Gerardo José Romero Morales Pedro Alonso LOS MOCHIS SINALOA MARZO /2017
ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3 SISTEMA NUMERO 1. .................................................................................................................... 4 Sistema 1.- Respuesta c(t) .............................................................................................................. 5 Grafica del sistema 1 de la salida c(t), r(t) y el error e(t) ................................................................. 6 SISTEMA NÚMERO 2. .................................................................................................................... 7 Calculo de LGR ............................................................................................................................... 8 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑜𝑠: ..................................................................................................................... 8
Punto de ruptura: ......................................................................................................................... 9 Grafica de la salida c(t) y la referencia r(t) .................................................................................... 10 Para una ganancia de K=50 .......................................................................................................... 10 Para una ganancia de K= 70 ......................................................................................................... 11 Para una ganancia de K= 90 ......................................................................................................... 12 SISTEMA NÚMERO 3.- ................................................................................................................. 13 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 .............................................................................................. 13 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 ...................................................................................................................... 14 Cruce de los polos en el eje imaginario ...................................................................................... 14 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 .................................................................................................. 14 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐾 = 10........................................................................................... 15 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐾 = 50........................................................................................... 15 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐾 = 100 ........................................................................................ 16 CONCLUSIÓN ............................................................................................................................... 17
INTRODUCCIÓN En el siguiente trabajo veremos ejemplos de sistemas realimentados en donde se podrá apreciar la salida que presentan estos, el margen de error que poseen, a su vez diremos en qué punto un sistema se encuentra estable y en qué momento deja de estarlo, dependiendo de los ceros localizados y sus respectivos polos para ubicar el lugar geométrico de la raíz. Al hablar de sistemas realimentados estamos haciendo referencia a un tipo de control que tenemos entre la entrada y salida del sistema, somos capaces de manipular la variable a controlar para obtener el valor deseado en la salida. A su vez analizaremos un ejemplo de sistema en lazo abierto que a diferencia del sistema mencionado anteriormente en este no se tiene un control de la variable no podemos hacer una comparación.
SISTEMA NUMERO 1. 1. Sea el siguiente sistema
a) Determine la respuesta c(t) a una entrada escalón de unitario (realice los cálculos). b) Grafique la salida c(t), r(t) en una misma gráfica utilizando Matlab. c) Grafique el error e(t) y explique su comportamiento
7 7 7 𝑠 2 + 3𝑠 = = 2 2 7 (𝑠 + 3𝑠) 𝑠 + 3𝑠 + 7 1+ 2 2 𝑠 + 3𝑠 𝑠 + 3𝑠 + 7 𝑠 2 + 3𝑠 7 1 𝑎 𝑏𝑠 + 𝑐 𝑎𝑠 2 + 3𝑎𝑠 + 7𝑎 + 𝑏𝑠 2 + 𝑐𝑠 ( )= + 2 = (𝑠)(𝑠 2 + 3𝑠 + 7 ) 𝑠 2 + 3𝑠 + 7 𝑠 𝑠 𝑠 + 3𝑠 + 7 𝑠2 = 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑠 = 3𝑎 + 𝑐 = 0 𝑐𝑡𝑒 = 7𝑎 = 7 7 𝑎= =1 7 𝑎+𝑏=0 1+𝑏 = 0
𝑏 = −1
1 (−1𝑠 − 3) 1 𝑠+3 + 2 = − 2 𝑠 𝑠 + 3𝑠 + 7 𝑠 𝑠 + 3𝑠 + 7
𝑐 = −3
𝑠+3 𝑠2
9 9 + 3𝑠 + 7 + (4) − (4) 3 𝑠 + ( 2)
1 − + 𝑠
=
2
3 19 (𝑠 + ( )) + ( ) 2 4 3 ( 2)
+
2
3 19 (𝑠 + (2)) + ( 4 )
3 3 𝑠 + 3 + ( 2) − ( 2)
3 (𝑠 + (2))
3 𝑠 + ( 2) 2
3 19 (𝑠 + (2)) + ( 4 ) [
2
2 3 √19 ( 2 )( ) ( 2) √19
+
2
3 19 (𝑠 + (2)) + ( 4 ) ( )]
Sistema 1.- Respuesta c(t) 1 − + 𝑠
3 𝑠 + ( 2) 2
3 19 (𝑠 + (2)) + ( 4 ) [
+(
3 √19
)
√19 ( 2 ) 2
3 19 (𝑠 + (2)) + ( 4 ) ( )]
𝐴𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝑀𝑂𝑆 𝐴𝑁𝑇𝐼𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐿𝐴𝑃𝐿𝐴𝐶𝐸 3 3 3 √19 √19 1 − (𝑒 −(2)𝑥 ) (cos 𝑥) − ( ) (𝑒 −(2)𝑥 ) (sin 𝑥) 2 2 √19
Grafica del sistema 1 de la salida c(t), r(t) y el error e(t)
La salida se representa con el color morado, el punto de referencia es la línea recta que sale desde el valor =1 El error está graficado con el color amarillo, en donde el error es la inversa de la salida.
SISTEMA NÚMERO 2. 2. Utilice el modelo matemático (función de transferencia) del Motor de CD, considere los siguientes parámetros y determine:
a) Pruebe el sistema en lazo abierto a una entrada escalón de 5 (voltaje de armadura 𝐸𝑎 (𝑠)), graficando la señal de salida (desplazamiento angular 𝜃(𝑠)). Explique el resultado.
Podemos observar que el proceso va ir aumentando mientras este se encuentre en lazo abierto
Calculo de LGR b) Determine mediante cálculos el LGR para obtener todos los posibles valores de K que representan de manera significativa el comportamiento del sistema. 𝜃𝑠 𝑘𝑖 = 3 𝐸𝑎(𝑠) 𝐿𝑎 𝐽𝑚 𝑠 + (𝐿𝑎𝑏𝑚 + 𝑅𝑎 𝐽𝑚)𝑠 2 + (𝑅𝑎 𝑏𝑚 + 𝑘𝑖 𝑘𝑏)𝑠
𝜃𝑠 0.01 = 3 𝐸𝑎(𝑠) (0.5)(0.01)𝑠 + [(0.5)(0.1) + (1)(0.01)]𝑠 2 + [(1)(0.1) + (0.01)(0.01)]𝑠 𝜃𝑠 0.01 = −3 3 𝐸𝑎(𝑠) 5𝑋10 𝑠 + 0.0652 + 0.1001 𝑠
𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑜𝑠: 𝑆(0.005𝑆 2 + 0.06𝑆 + 0.1001) 𝑆2,3 =
−0.06 ± √0.062 − 4(0.005)(0.1001) 0.01
𝑆1 = 0 𝑆2 = −2.002 𝑆3 = −9.99
Punto de ruptura: 𝐾(0.01) =0 + 0.06𝑆 2 + 0.1001𝑆 0.005𝑆 3 + 0.06𝑆 2 + 0.1001𝑆 𝐾=− 0.01 0.005𝑆 3 + 0.06𝑆 2 + 0.1001𝑆 𝑑( ) 𝑑 (𝐾 ) 0.01 =− 𝑑𝑠 𝑑𝑠 3 2 − ( 𝑆 + 12𝑆 + 10.01) = 0 2 3 −12 ± √122 − 4 (2) (10.01) 𝑆1,2 = 3 1+
0.005𝑆 3
𝑆1 = −0.946 → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆2 = −7.05 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑆 = −0.946 0.005(−0.946)3 + 0.06(−0.946)2 + 0.1001 (−0.946) 𝐾=− 0.01 𝐾 = 4.52
𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠
0.005𝑆 3 + 0.06𝑆 2 + 0.1001𝑆 + 0.01𝐾 𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0
0.005 0.1001 0.06 0.01𝐾 0.05𝑥10−3 0.1001 − 𝐾 0 0.06 0.01𝐾 0
0.06(0.1001) − 0.005(0.01𝐾) 0.06 0.05𝑥10−3 𝑏1 = 0.1001 − 𝐾 0.06 𝑏2 = 0 𝑏1 =
0.05𝑥10−3 𝐾) 0.01𝐾 − 0 0.06 0.05𝑥10−3 0.1001 − 𝐾 0.06
(0.1001 − 𝑐1 = 𝑐1 = 0.01𝐾
∴ 𝑏1 > 0
0.05𝑥10−3 𝐾>0 0.06 0.05𝑥10−3 − 𝐾 > −0.1001 0.06 0.1001 −
0.1001(0.06) 0.05𝑥10−3 𝐾 < 120.12 𝐾<
Grafica de la salida c(t) y la referencia r(t) c) Grafique la salida c(t) y la referencia r(t) en una misma gráfica utilizando Simulink (retroalimente el sistema), a una entrada escalón de 5, y tomando 3 valores de K significativos. Explique el comportamiento de la salida para cada valor de K. (Nota: los valores de K los determina cada equipo de manera independiente).
Para una ganancia de K=50
Para una ganancia de K= 70
Para una ganancia de K= 90
Podemos observar que mientras le demos un valor más alto a la ganancia obtendremos una oscilación cada vez mayor conforme aumenta la ganancia hasta 120.12 en el sistema de lazo cerrado
SISTEMA NÚMERO 3.3.- Sea el siguiente sistema
a) Determine mediante cálculos el LGR para obtener todos los posibles valores de K que representan de manera significativa el comportamiento del sistema. b) Grafique la salida c(t) y la referencia r(t) en una misma gráfica utilizando Simulink (retroalimente el sistema), a una entrada escalón de 5, y tomando 3 valores de K significativos. Explique el comportamiento de la salida para cada valor de K. (Nota: los valores de K los determina cada equipo de manera independiente).
𝑘 (𝑠 + 7)(𝑠 + 10 ) 𝑠(𝑠 + 1)
𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒍𝒐𝒔 𝒚 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠: 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠:
𝑠 = −7, 𝑠 = −10 𝑠 = 0 , 𝑠 = −1
Los ceros se representan con un circulo, y los polos con una x
𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 1+
𝑘 (𝑠 + 7)(𝑠 + 10) = 𝑠(𝑠 + 1)
1+
𝑘(𝑠 2 + 17𝑠 + 70) 𝑠2 + 𝑠 = 𝑘 𝑠2 + 𝑠 𝑠 2 + 17𝑠 + 70
𝑑𝑥 2𝑠 + 1 2𝑠 + 1 (𝑠 2 + 17𝑠 − 70) − (2𝑠 + 17)(𝑠 2 + 𝑠) ]=0 = 2 = −[ (𝑠 2 + 17𝑠 + 70) 𝑑𝑠 𝑠 + 17𝑠 + 70 2𝑠 2 + 34𝑠 2 + 140𝑠 + 𝑠 2 + 17𝑠 + 70 − 2𝑠 3 − 2𝑠 2 − 17𝑠 2 + 17𝑠
16𝑠 2 + 140𝑠 + 70 −140 ± √19600 − 4980 32 −140 ± 122.9634 32
𝑠1 = −0.5324 𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴
𝑠2 = −8.2176 𝑆𝐴𝐿𝐼𝐷𝐴
𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 (−0.5324)2 − 0.5342 0.2489 = = 4.1028 𝑋10−3 2 𝑠 + 17𝑠 + 70 60.6657 (−0.5324)2 − 8.2176 59.3113 𝑘= = = −27.3299 (−8.2176)2 + 17(−8.2176) + 70 −2.1702 𝑘=
𝐂𝐫𝐮𝐜𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐥𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐢𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨 s2 + s + s2 + 17sk + 70k = 0 s2 (1 + 𝑘) + s (k + 17) + 70k = 0 s2 1 + k 70k s1
k + 17
s0
70k
𝑏1 =
𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 1+𝑘 >0
𝑘 > −1
1 + 17𝑘 > 0
𝑘> −
70𝑘 > 0
𝑘>0
1 17
1 + 17𝑘 (70𝑘) = 70𝑘 1 + 17𝑘
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑲 = 𝟏𝟎
Vemos que la salida se acerca al punto de referencia la salida esta representada con el color amarillo y la referencia es el color morado mientras que el error es el color azul
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑲 = 𝟓𝟎
La salida se acerca mas al punto de referncia
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑲 = 𝟏𝟎𝟎
La salida se acerca aun mas al punto de referncia En conclusión podemos decir que entre mas aumente la ganancia la salida se acercará mucho mas al punto de referencia, debido a que K tiende a infinito.
CONCLUSIÓN Al realizar este trabajo pudimos verificar la importancia que tienen los sistemas de control en la vida diaria, puede sonar un poco extraño decir esto, pero sin duda los sistemas realimentados han mejorado el nivel y calidad de vida de las personas de una manera muy peculiar. Al tener un sistema en lazo cerrado prácticamente manipulamos a este hasta obtener el valor deseado de la variable. Al hacer esta tarea nos dimos cuenta que podemos tener un CONTROL del sistema, mantenemos esa relación entre la entrada de referencia y la salida. Al conocer la manera en la cual trabaja un sistema en control, al saber la ubicación de polos y ceros y el lugar geométrico de la raíz, nosotros como manipuladores del sistema podemos introducir en este los valores más idóneos para que este funcione de la manera más adecuada y se encuentre de manera estable.
