Análisis de Estructuras Plano

Los problemas en los capítulos anteriores estuvieron relacionados con el equilibrio de un cuerpo rígido y sus fuerzas externas. Ahora estudiaremos estudiaremos estructuras estructuras formadas formadas por varios partes conectadas conectadas entre sí (fuerzas (fuerzas internas). internas). Veamos el el ejemplo ejemplo siguiente: siguiente: La grúa soporta una carga W, esta consta de tres vigas conectadas por pernos sin fricción.

a) Fuerzas Externas

b) Fuerzas Internas

Fig. 1 Fuerzas internas

1.

INTRODUCCIÓN

1.1. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en: A.

FUERZAS EXTERNAS Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Como ejemplo consideremos las fuerzas que actúan sobre un camión descompuesto que es arrastrado hacia adelante por varios hombres mediante una cuerda unida a la defensa delantera.

1.2. ESTRUCTURAS DE INGENIERÍA

Veremos tres tres categorías categorías de estructuras estructuras de ingeniería: ingeniería: A. ARMADURAS ARMADURAS Soportan carga, son estacionarias y están restringidas. Formadas por elementos rectos conectados en los nudos.

Fig. 4 Ejemplo de Armadura B. ARMAZONES ARMAZONES

Fig. 2 Fuerzas externas B.

Se diferencian de las armaduras por tener por lo menos un elemento sujeto a varias fuerzas.

FUERZAS INTERNAS Son las que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido. Este tipo de fuerzas las estudiaremos en los capítulos de análisis de estructuras.


Ing. Mario Carranza Liza

Fig. 5 Ejemplo de Armazon

Análisis de Estructuras Estructuras - 1

C.

MAQUINAS Transmiten y modifican fuerzas, son estructuras que contienen partes en movimiento, al igual que los armazones contienen un o más elementos sujeto a varias fuerzas.

La armadura se considera bidimensional.

Fig. 10 Cargas aplicadas en los nudos (techo)

La carga es transmitida primero a los largueros, luego a las vigas de piso, y finalmente a los nudos B, C y D. Fig. 6 Ejemplo de máquina 1.3. DEFINICIÓN DE ARMADURA

Usadas generalmente en el diseño de puentes y edificios. Es una estructura compuesta de miembros esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos.

Fig. 11 Transmisión de cargas de un puente

La carga en la armadura es coplanar. Fig. 7 Armadura de puente

MIEMBRO o ELEMENTO

NUDOS

Fig. 12 Cargas aplicadas en los nudos (puente)

En armaduras de grandes luces, comúnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo. Los elementos delgados soportan cargas laterales pequeñas. LAS CARGAS SE APLICAN EN LOS NUDOS Y NO EN LOS ELEMENTOS

Fig. 8 Elementos de una armadura

La carga del techo es transmitida a la armadura en los nudos por medio de una serie de largueros, como el DD'.

Fig. 13 Apoyo de rodillos 1.4. HIPÓTESIS PARA EL DISEÑO

Fig. 9 Transmisión de cargas de un techo


1) Las cargas están aplicadas en los nudos. En el análisis de fuerzas, el peso de los miembros es ignorado ya que las fuerzas soportadas por los miembros son usualmente grandes en comparación con sus pesos. Si el peso del miembro debe ser incluido en el análisis, es generalmente satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical, la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del miembro

Análisis de Estructuras - 2

2) Los elementos están unidos entre sí mediante pasadores lisos. En los casos en que se usen conexiones con pernos o soldadura, esta hipótesis es satisfactoria siempre que las líneas de los centros de los miembros conectados sean concurrentes.

Para prevenir el colapso de la estructura se debe agregar un soporte.

Fig. 18 Estructura inestable

La forma más rígida y estable es un TRIANGULO. Fig. 14 Conexiones con soldadura y perno

Cada miembro de armadura actúa como un miembro de dos fuerzas, y por tanto, las fuerzas en los extremos del miembro deben estar dirigidas a lo largo del eje del miembro.

Fig. 19 Estructura inestable

Una ARMADURA SIMPLE es construida comenzando con un elemento básico TRIANGULAR, y conectando dos miembros (AD y BD) para formar un elemento adicional.

Fig. 20 Armadura simple Fig. 15 Cargas aplicadas en los elementos de la armadura

Si la fuerza tiende a alargar el miembro, es una fuerza de TENSIÓN (T)

Fig. 16 Elemento en tensión

Si tiende a acortarlo, es una fuerza de COMPRESIÓN (C)

Fig. 17 Elemento en compresión

Los miembros a compresión deben ser más robustos que los miembros a tensión debido al efecto de pandeo o efecto de columna que ocurre cuando un miembro está sujeto a compresión



2.

MÉTODO DE LOS NUDOS Para analizar o diseñar una armadura, debemos obtener la fuerza en cada uno de sus miembros.

Fig. 23 Estructura con elementos de fuerza cero

Si fuésemos a considerar un DCL de toda la armadura, entonces las fuerzas en los miembros serían fuerzas internas.

Si sólo dos miembros forman un nudo de armadura y ninguna carga externa o reacción de soporte es aplicada al nudo, los miembros deben ser miembros de fuerza cero.

Fig. 21

NO podrían obtener estas fuerzas internas con las ecuaciones de equilibrio. En vez de esto consideramos el equilibrio de un nudo de la armadura

Fig. 24 Estructura equivalente

Orientando el eje y a lo largo de los miembros DC y DE Y el eje x a lo largo del miembro DA, se ve que DA es un miembro de fuerza cero.

Fig. 22 Método de los nudos 2.1. PROCEDIMIENTO MÉTODO DE LOS NUDOS

1) Trace el DCL de un nudo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. 2) Asumir el sentido de una fuerza desconocida. 3) Oriente los ejes x y y de manera que las fuerzas en el DCL puedan ser resueltas fácilmente en sus componentes x y y, luego aplique las ecuaciones de equilibrio. 4) Continúe con el análisis de cada uno de los otros nudos. 5) Una vez que se encuentra la fuerza en un miembro a partir del análisis de un nudo en uno de sus extremos, el resultado puede usarse para analizar las fuerzas que actúan sobre el nudo en su otro extremo. Recuerde que

Fig. 25 Estructura con elementos de fuerza cero

Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte esté aplicada al nudo.

un miembro en compresión "empuja“ sobre el nudo y

un miembro en tensión "jala" al nudo. 2.2. ELEMENTOS DE FUERZA CERO El análisis de armaduras usando el método de los nudos se simplifica considerablemente cuando es posible determinar primero qué miembros no soportan carga.

Fig. 26 Estructura equivalente



1. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura

mostrada en la figura e indique si los miembros están en compresión o en tensión. Considere P=500 N .

5. Para la siguiente armadura

a) Calcular las reacciones en los apoyos b) Indicar que barras no trabajan c) Determinar las fuerzas axiales en las barras restantes.

H_12 – Eje 6.1

2. Determine las fuerzas axiales en los elementos BC y CD de

la armadura mostrada.

V_1 – 4.2

6. Utilizar el método de los nudos para hallar la fuerza en cada

miembro de la armadura.

BF_5 – 6.4

3. Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada.

¿Influye la carga 6

kN

en los resultados?

R_1 pro eje 7.1

7. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura

mostrada en la figura. Indique si los miembros están en tensión o en compresión.

M_3 – 4.5

4. Con el uso del método de los nodos, determine la fuerza en

cada uno de los elementos de la armadura.

H_12 – eje 6.3

B_9 – eje 6.1



8. Para la armadura mostrada en la figura usando el método

de los nodos, determinar las fuerzas en las barras CD y DF.

12. Identificar los miembros de fuerza nula de la armadura en

tijera para el estado de carga que se muestra.

V_1 – 4.4

9. Para la siguiente armadura, determine las cargas sobre los

miembros individuales y las reacciones.

R_1 pro eje 7.5

13. La armadura mostrada soporta cargas en F y H. Determine

las fuerzas axiales en los elementos AB, AC, BC, BD, CD y CE.

S. pro res 7_1

10. Usando el método de los nudos, determine todos los miem-

bros de fuerza cero de la armadura de techo Fink mostrada en la figura. Suponga que todos los nudos están conectados mediante pasadores.

BF_5 – 6_120

14. La armadura da apoyo a un extremo de una pantalla de cine

H_12 – eje 6.4

11. Determine la fuerza en cada elemento de la armadura para

al aire libre de 12 m de ancho por 7.2 m de alto que pesa 35000 N . Otra armadura igual da apoyo al otro extremo de la pantalla. Un viento de 32 km/h que incide normalmente a la pantalla le ejerce una presión de 47.88 Pa . Calcular las fuerzas máximas de tracción y de compresión en los miembros de la armadura e indicar en qué miembros tienen lugar.

techo que se muestra en la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

B_9 – 6.14 R_1 pro eje 7.3



3.

MÉTODO DE LOS NUDOS Cuando necesitamos encontrar la fuerza en sólo unos cuantos elementos de una armadura, ésta puede analizarse mediante el método de secciones. Este método se basa en el principio de que si la armadura está en equilibrio, entonces cualquier segmento de la armadura está también en equilibrio. Por ejemplo, considere los dos elementos de armadura mostrados a la izquierda en la Fig. 27. Si se deben determinar las fuerzas dentro de los elementos, entonces puede utilizarse una sección imaginaria, indicada por la línea azul, para cortar cada elemento en dos partes y en consecuencia “exponer” cada fuerza interna como “externa” como se ind ica en los diagramas de cuerpo libre de la derecha. Se puede observar con claridad que para que haya equilibrio el ele-

que GF está en compresión porque se encuentra sometido a un “empujón”.

mento que está en tensión (T) está sujeto a un “jalón”,

mientras que el elemento en compresión (C) está sometido a un “empujón”.

Fig. 28 Armadura seccionada

Las tres fuerzas de elemento desconocidas FBC, FGC y FGF pueden obtenerse al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de la Fig. 29 a. Sin embargo, si se considera el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 29 b, se tendrán que conocer las tres reacciones de soporte Dx, Dy y Ex, porque sólo hay tres ecuaciones de equilibrio disponibles. (Por supuesto, esto se hace de la manera usual si se considera un diagrama de cuerpo libre de toda la armadura).


El método de secciones puede us arse también para “cortar” o seccionar los elementos de toda una armadura. Si la sección pasa por la armadura y se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes, entonces podemos aplicar las ecuaciones de equilibrio a esa parte para deter-

(a)

minar las fuerzas del elemento en la “sección cortada”.

Como sólo se pueden aplicar tres ecuaciones independientes de equilibrio (  F  0 ,  F  0 y  M  0 ) al diagrama de cuerpo libre de cualquier segmento, debemos tratar de seleccionar una sección que, en general, pase por no más de tres elementos en que las fuerzas sean desconocidas. Por ejemplo, considere la armadura que se muestra en la Fig. 28. Si se deben determinar las fuerzas en los elementos BC, GC y GF, la sección aa podría ser apropiada. Los diagramas de cuerpo libre de las dos partes se muestran en las Fig. 28 a y b. Observe que la línea de acción de cada fuerza del elemento se especifica a partir de la geometría de la armadura, ya que la fuerza en un elemento pasa a lo largo de su eje. Además, las fuerzas del elemento que actúan sobre una parte de la armadura son iguales pero opuestas a las que actúan sobre la otra parte —tercera ley de Newton —. Se supone que los elementos BC y GC están en tensión X

Y

O

puesto que se encuentran sometidos a un “jalón”, mientras

(b) Fig. 29 Secciones obtenidas por el corta

aa

Al igual que en el método de nudos, hay dos maneras en que se puede determinar el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida: En muchos casos, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida, puede determinarse “por inspe cción”. Por ejemplo, F es una fuerza de tensión tal co

BC



mo se representa en la Fig 29 a, ya que el equilibrio por momentos con respecto a G requiere que F genere un momento opuesto al de la fuerza de 1000 N. Además, F es una fuerza de tensión puesto que su componente vertical debe equilibrar la fuerza de 1000 N que actúa hacia abajo. En casos más complicados, el sentido de una fuerza de elemento desconocida puede suponerse. Si la solución resulta un escalar negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es opuesto al del diagrama de cuerpo libre. Siempre suponga que las fuerzas desconocidas en elementos de la sección cortada están en tensión, es decir, “jalando” al elemento. Al hacer esto, la solución numér ica de las ecuaciones de equilibrio dará escalares positivos para elementos en tensión y escalares negativos para elementos en compresión. BC

GC



3.1. PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DE LAS SECCIONES

Las fuerzas en los elementos de una armadura pueden determinarse mediante el método de secciones por el siguiente procedimiento. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 1) Tome una decisión acerca de cómo “cortar” o seccionar la armadura a través de los elementos cuyas fuerzas deben determinarse. 2) Antes de aislar la sección apropiada, puede requerirse determinar primero las reacciones externas de la armadura. Una vez hecho esto, entonces estarán disponibles las tres ecuaciones de equilibrio para encontrar las fuerzas de los elementos en la sección. 3) Trace el diagrama de cuerpo libre del segmento de la armadura seccionada sobre la que actúe el menor número de fuerzas. 4) Use uno de los dos métodos descritos antes para establecer el sentido de las fuerzas de elemento desconocidas. ECUACIONES DE EQUILIBRIO 1) Los momentos deben sumarse con respecto a un punto que se encuentre en la intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas, de manera que la tercera fuerza desconocida se determine directamente a partir de la ecuación de momento. 2) Si dos de las fuerzas desconocidas son paralelas, las otras fuerzas pueden sumarse en forma perpendicular a la dirección de esas incógnitas para determinar directamente la tercera fuerza desconocida.



1. La armadura mostrada soporta cargas en N, P y R.

5. Los miembros CJ y CF de la armadura cargada se cruzan,

a) Determine las fuerzas axiales en los elementos IL y KM. b) Dibuje DCL de las secciones para explicar por qué las fuerzas axiales en las barras DE, FG y HI son iguales a cero.

pero sin conectarse con los miembros BI y DH. Calcular las fuerzas en los miembros BC, CJ, CI y HI.

M_3 – 4.46

6. Dada la siguiente armadura:

BF_5 – 6.54 y 55

2. Hallar las fuerzas en los miembros BC, BE y BF. Los triángu-

los son equiláteros.

a) Usando el método de los cortes, determine las fuerzas axiales en las barras DE, JE y JI, indicando si están en tracción o compresión. b) Usando el método de los nudos, determine las fuerzas axiales en las barras AB, AK, FG y GH.

M_3 – 6.32

3. Determine la fuerza en los elementos EF y GI de la armadu-

ra. Considere P=28

kips y Q=16 kips .

V_1 – 4.8

7. Determine la fuerza presente en el elemento CF de la

armadura mostrada en la figura. Indique si el elemento está en tensión o en compresión. Suponga que cada elemento está conectado mediante pasadores.

B_9 – eje 6.2

4. Use el método de las secciones para determinar las fuerzas

axiales en los elementos CD, CJ y IJ. Considere P=100

BF_5 – Eje_act 6.3


N .

H_12 – eje 6.6


8. La armadura que sujeta un cartel está calculada para

soportar una presión del viento horizontal de 4 kN . Si la resultante de esa carga pasa por el punto C, calcular las fuerzas en los miembros BG y BF.

M_3 – 4.43

9. Determine la fuerza en los elementos BD y DE de la arma-

dura mostrada en la figura.

10. Un bloque de

de peso, se encuentra suspendido en los nudos D y E de la armadura, mediante dos cables inextensibles. Calcular las fuerzas en las barras AC, BC y BD utilizando el método de las secciones e indique si las fuerzas son de tracción o compresión. 20 kN

V_1 – 4.9

11. Utilizar el método de las secciones para hallar las fuerzas en

los miembros CD y FG de la armadura de la figura.

B_9 – 6.45

R_1 pro eje 7.7



Análisis de Estructuras Plano

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