Análisis de Estructuras Capítulo 3 – Métodos de las Fuerzas -35

Análisis de Estructuras

Capítulo 3 – Métodos de las Fuerzas

Capítulo 3 – Método de las Fuerzas 1 Preámbulo En este capítulo se estudiará el método de resolución de vigas, marcos y estructuras reticulares planas hiperestáticas conocido como método de las fuerzas o de las flexibilidades Dado que las estructuras que se analizarán son hiperestáticas, las ecuaciones de equilibrio (ΣF=0 y ΣM=0) no serán suficientes. Así pues, para la resolver este tipo de estructuras se necesitara calcular esfuerzos y deformaciones virtuales los cuales serán luego compatibilizados con las condiciones de borde de esfuerzo y desplazamiento definidas en los apoyos. Este tipo de análisis se limitará al rango elástico de deformaciones.

2 Formulación del Método Para este método se considera, en primer lugar, una estructura que llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura estáticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original. Esta estructura primaria deberá ser estable y las reacciones redundantes serán aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las ecs de equilibrio. Luego, aplicado el principio de superposición, se irá incluyendo el efecto de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud desconocida. De esta forma se obtendrá un set de ecuaciones para cada una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos será posible resolver la estructura. El método considera entonces una estructura isostática, denominada primarias, en la que se calculan desplazamientos (lineales y/o angulares) en los apoyos que se eliminaron de la estructura hiperestática inicial, y en las direcciones en las que se eliminaron dichas restricciones. Estos desplazamientos se calculan también en estructuras de misma geometría que la estructura primaria, siendo las cargas las reacciones redundantes correspondientes. La corrección de los desplazamientos de la estructura primaria con los generados por las reacciones redundantes, aplicadas de manera que se cumplan las condiciones geométricas de la estructura original, permite establecer un sistema de ecuaciones cuyo número es igual al número de reacciones redundantes. La solución del sistema de ecuaciones permite determinar los valores de las reacciones redundantes. Una vez determinadas estas reacciones en los apoyos, los esfuerzos se pueden calcular en todos los miembros de la estructura por medio de las ecuaciones de equilibrio de la estática, pudiendo aplicarse, también, el principio de superposición.

-35Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniería - UCSC



Ejemplo 1:

P1

P2

P1

P2 ∆2=0 X2

R5 R4

R4

=

X1, X2 : Redundantes

R3

∆1, ∆2 : Ecs de Compatibilidad

X1 R2

R2 ∆1=0

R1

R1 Estructura Primaria isostática

Estructura 2 veces hiperestática Resolución:

P1

P2 X2

+

M0

M1

+

M2

X1

Estructura Primaria (0)

Primera redundante (1)

Segunda redundante (2)

Ecs de compatibilidad geométrica:

∆1 = ∆10 + ∆11 + ∆12 = 0 ∆ 2 = ∆ 20 + ∆ 21 + ∆ 22 = 0 Aplicando el teorema de Castigliano y método de la carga unitaria podemos obtener el desarrollo de las ecuaciones para el desplazamiento en la redundante 1:

∆10 =

Li

M0M1

∑ ∫ (EI )

elementos

0

ds

i



∆11 =

∑ ∫

elementos

∆12 =

Li

0

Li


2

Li X M M Li M M1M1 1 1 1 1 ds = ∑ ∫ ds = X1 ∑ ∫ ds = X1δ11 0 0 (EI ) EI (EI )i ( ) elementos elementos i i

M2 M1

∑ ∫ (EI )

elementos

0

ds =

∑ ∫

elementos

i

Li

0

Li M M X 2 M2 M1 1 2 ds = X 2 ∑ ∫ ds = X 2δ12 0 (EI )i (EI )i elementos

Haciendo lo mismo con la redundante 2:

∆ 20 =

Li

elementos

∆ 21 =

0

Li

0

∑ ∫

elementos

Li

0

ds

i

M1M2

∑ ∫ (EI )

elementos

∆ 22 =

M0 M 2

∑ ∫ (EI )

ds =

i

∑ ∫

elementos

Li

0

Li M M X1M1M2 1 2 ds = X1 ∑ ∫ ds = X1δ12 0 (EI )i ( )i EI elementos 2

Li X M M Li M M2 M2 2 2 2 2 ds = ∑ ∫ ds = X 2 ∑ ∫ ds = X 2δ 22 0 0 (EI ) EI (EI )i ( ) elementos elementos i i

Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

∆1 = ∆10 + X1δ11 + X 2δ12 = 0 ∆ 2 = ∆ 20 + X1δ12 + X 2δ 22 = 0 Expresado matricialmente:

 ∆10     + ∆ 20 

δ11 δ12   X1  0    ⋅   =     δ 21 δ 22   X 2  0 

∆0k

: Desplazamiento en (k) debido a las cargas externas actuando sobre la estructura fundamental.

δkj

: Desplazamiento en (k) debido a las cargas unitaria actuando sobre el punto y dirección (j) la estructura fundamental.

Método: 1. A partir de la estructura hiperestática, definir la estructura primaria, eliminando las restricciones redundantes y reemplazándolas por fuerzas o momentos Xk. 2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexión, corte y torsión) de la estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas originales.




3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtener los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexión, corte y torsión) de la estructura. 4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de carga original.

∆k 0 =

Li

N0 Nk

∑ ∫ (EA) 0

elementos

i

ds + ∫

Li

0

Li T T Li ΧQ Q M0 M k 0 k 0 k ds + ∫ ds + ∫ ds 0 (GJ ) 0 (EI )i (GA)i i

5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga unitaria sobre el mismo punto y las demás redundantes.

δ kj =

Li

Nk N j

∑ ∫ (EA ) 0

elementos

i

ds + ∫

Li

0

Mk M j

(EI )i

ds + ∫

Li

0

ΧQkQ j

(GA)i

ds + ∫

Li

0

TkT j

(GJ )i

ds

6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geométrica para obtener el sistema de ecuaciones.

∆ k = ∆ k 0 + ∑ X j δ kj j

7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las redundantes Xk. 8. Obtener el valor de las demás restricciones (no redundantes) mediante las ecuaciones de equilibrio estático. 9. Aplicar superposición.




Ejemplo 2: Determinar las reacciones y los diagramas de momento de la estructura de la figura. Obtener además el desplazamiento vertical del punto B utilizando un sistema virtual apropiado.

500 kg/m Rótula

Hormigón

200 kg/m

0.2 m

C B

0.4 m Hormigón

4m

Madera

Madera

0.2 m

A

0.2 m 3m

5m

E Kg/cm2 G Kg/cm2 Χ

Hormigón 250000 100000 1.2

Madera 80000 32000 1.2




3 Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad 3.1 Asentamientos Este caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos anelásticos (independientes de la magnitud de la carga). Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de libertad k. Para esta situación, en la ecuación de compatibilidad geométrica correspondiente al grado de libertad en cuestión, se conservara a expresión:

∆ k = ∆ k 0 + ∑ X j δ kj j

con la diferencia de que el valor de ∆k será distinto de cero y conocido.

3.2 Defectos de fabricación, montaje o construcción. Un desplazamiento de un grado de libertas, provocará, además del efecto sobre la ecuación de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las demás ecuaciones. Pues generará deformaciones y desplazamientos en toda la estructura, por lo tanto un trabajo. Este es el típico caso de tensiones generadas por defectos de fabricación, montaje o construcción. Este efecto se deberá incluir en las demás ecuaciones mediante le término ∆ka. Vale decir las demás ecuaciones adoptaran la forma:

∆ k = ∆ k 0 + ∑ X j δ kj +∆ ka j

El valor de este término de corrección se determinara mediante el principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).




Ejemplo 1

X2

=

∆1a

u

X3

X1

u

v

v

φ ∆ka

φ

: Desplazamiento en punto y dirección k debido a un desplazamiento de otro apoyo.

h

=

∆1a

1t-m1 1/(2h)

1/(2h) 1/L

L

1/L

Wext = 0 1 1 ⋅ (− u ) + ⋅ (− v ) = 0 2h L u v ∆1a = + 2h L

1 ⋅ ∆1a +




Ejemplo 2 Problema típico de error de fabricación.

∆φ ∆v ∆u

Æ

h 1t-m1 1/(2h)

1/(2h) 1/L

1/(2h) 1/L

1/L

L

1/(2h) 1/L

1t-m1 1/(2h)

1/(2h) 1/L ∆ka

1/L

: Desplazamiento en punto y dirección k debido a un desplazamiento de otro apoyo.

Wext = 0 1 1 ⋅ ∆u + ⋅ ∆v = 0 2h L ∆u ∆v ∆1a = − − 2h L

1 ⋅ ∆1a +




3.3 Efecto Térmico Para incluir los efectos asociados a la variación de temperatura (dilatación-contracción) se deben agregar términos relativos a los esfuerzos axiales y de flexión. Si el elemento estructural esta sometido a una variación de temperatura uniforme, esta generará una dilatación-contracción uniforme expresada de la sgte forma: Lk

∑ ∫N

∆ kt =

k

⋅ α k ⋅ t k ds

elementos 0

dónde: αk tk

: Coeficiente de dilatación térmica. : Aumento uniforme de temperatura en el elemento k.

Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variación de temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperatura entre las caras de la barra. Se generará una dilatación-contracción de diferente magnitud:

-∆T=α ∆t ds dφ = (α ∆t ds)/(h/2)

ds

+∆T=α ∆t ds

La expresión asociada a este fenómeno es la sgte:

∆ kt =

∑

elementos

Lk

M ⋅ α ⋅ ∆t ∑ ∫0 k hk k k ds = elementos 2

Lk

∫ 0

M k ⋅ α k ⋅ 2 ∆t k ds hk

dónde: αk 2∆tk hk

: Coeficiente de dilatación térmica. : Aumento diferencial de temperatura en el elemento k. : Altura de la barra k




3.4 Apoyo Elástico En este caso se modelaran los efectos propios de apoyos elásticos. Este tipo de apoyo corresponde a los que realmente se generan en el suelo, en que la reacción generada en el vínculo es proporcional a la deformación.

Kk

-X2 = K2 ∆2

X1 ∆k = −

X2

K2

1 X k = −fk X k Kk

∆ k = ∆ k 0 + ∑ X j δ kj +∆ ka + ∆ kt j

− f k X k = ∆ k 0 + X 1 δ k1 + X 2 δ k 2 + .. + X k δ kk + .. + X n δ kn + ∆ ka + ∆ kt

0 = ∆ k 0 + X 1 δ k1 + X 2 δ k 2 + .. + X k (δ kk + f k ) + .. + X n δ kn + ∆ ka + ∆ kt

3.5 Expresión General ... ... δ12 δ1k δ1n   X1   ∆10   ∆1a   ∆1t   ∆1  δ11 + f1                         M   X 2   ∆ 20   ∆1a   ∆1t  ∆ 2  δ 22 + f2  δ 21              M O M   M   M   M   M  M  ⋅ + + + =               δ δ δ f +   X k  ∆ k 0  ∆ ka  ∆ kt  ∆ k   k1 kk k kn                        M O M   M   M   M   M  M                ... ... δ nk ... δ nn + fn   X n  ∆ n 0  ∆ na  ∆ nt  ∆ n   δ n1




4 Modelación de estructuras reticulares. 4.1 Estructuras reticulares con redundantes externas En esta sección estudiaremos enrejados con redundantes externas, basando nuestro análisis en la determinación de deflexiones, algo muy similar a lo realizado en vigas y marcos. Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:

P

A

C

B

Para resolver este enrejado eliminaremos la redundante del apoyo B (Xb). Determinaremos la deflexión generada en este punto debido a las cargas externas. Luego se determinara la deflexión provocada en el mismo punto debido a una carga unitaria aplicada en dicho punto.

P

A

C

Xb

P

N 0i

A

N 1i A

C

C

1

Finalmente se aplican las condiciones de compatibilidad geométrica.




∆ b0 + X bδ bb = ∆ b = 0 Dado que en los enrejado se supone que las barras se ven sometidas solo a esfuerzo axial:

∆ b0 = ∑ ∫

N ⋅N N0 i ⋅ Ni dl = ∑ 0 i i ·Li Ei Ai barras Ei Ai

δ bb = ∑ ∫

Ni ⋅ Ni Ni dl = ∑ ·Li Ei Ai barras E i Ai

i

i

2

Entonces:

Xb = −

∆ b0

δ bb

=−

∑

barras

N 0i ⋅ N i · Li E i Ai

∑

barras

2

Ni · Li E i Ai

y la fuerza real sobre cada una de las barras será:

N i = N 0i + X b ·N i Ver Ejemplo 13.7.: Análisis de Estructuras. McCormac-Nelson. La metodología se hace extensiva a 2 o más redundantes.




4.2 Estructuras reticulares con redundantes internas A continuación, estudiaremos enrejados con redundantes internas, es decir, tiene más barras de las necesarias para garantizar la estabilidad. Basaremos nuestro análisis en la determinación de tensiones-deformaciones en barras, tal como se realizó en el método de Castigliano y de la carga unitaria. Considere el siguiente enrejado a modo de ejemplo:

P

P

A

B

Los enrejados con redundantes internas pueden analizarse en forma semejante a la empleada en la relación con las armaduras con redundante externa. Se supone que una barra es la redundante y se elimina teóricamente de la estructura. Las barras restantes deben constituir una estructura estáticamente determinada y estable. Se supone que los esfuerzos N0, provocados por las fuerzas externas, son de naturaleza tal que generan una separación de los nudos ubicados en los extremos de la redundante eliminada, provocando un desplazamiento ∆10. Acto seguido se realiza un análisis de tensiones y deformaciones suponiendo un par de fuerzas unitarias, actuando en la dirección de la barra eliminada simulando una tracción. Se calcularán los esfuerzos internos N , provocados por la carga unitaria. Esto originaría un desplazamiento de los nudos (alargamiento de la barra) ∆11. Finalmente se aplica el principio de superposición y geométrica.

las condiciones de compatibilidad

∆ 10 + X 1δ 11 = ∆ 1 = 0




X1 X1

A

C

P

N 0i

N 1i

A

A

C

P

1 1

C

P

Dado que en los enrejado se supone que las barras se ven sometidas solo a esfuerzo axial:

∆ 10 = ∑ ∫

N 0i ⋅ N i N ⋅N dl = ∑ 0i i ·Li E i Ai E i Ai barras

δ 11 = ∑ ∫

Ni Ni ⋅ Ni dl = ∑ ·Li E i Ai barras E i Ai

i

i

2

Entonces:

X1 = −

∆ 10

δ 11

=−

∑

barras

N 0i ⋅ N i ·Li E i Ai

∑

barras

2

Ni ·Li E i Ai

y la fuerza real sobre cada una de las barras será:

N i = N 0i + X 1 ·N i Ver Ejemplo 13.8.: Análisis de Estructuras. McCormac-Nelson. La metodología se hace extensiva a 2 o más redundantes.


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