MATERIA TECNICA COMPLEMENTARIA
ING. ELECTRONICA- 2010
ANALISIS CINEMATICO DE UN ROBOT ANTROPOMORFICO Walter Carrión, Juan P. Córdova, Luis Crespo, Alex Culcay, Culcay, Bayron Mora, Iván Mendoza, Marco Yascaribay. Yascaribay. Universidad Politécnica Salesiana Resumen. Se presenta en este documento el análisis cinemático directo e inverso de nuestro robot antropomórfico. Previamente se obtienen las matrices de transformación homogénea mediante el algoritmo de Denavit ± Hartenberg para luego obtener los valores deseados de acuerdo a sus variables de entrada. Palabras clave:
Denavit ± Hartenberg, Matriz de Transformación Homogénea, Cinemática Directa, Directa, Cinemática Directa , dextrógiro
I. INTRODUCCION Uno de los objetivos importantes del robot es ubicar su extremo en el punto deseado del espacio y orientado de tal manera que se optimice el trabajo de este. Mediante el análisis cinemático se puede determinar la posición y los ángulos de los elementos mecánicos del robot en un instante dado. Este análisis resulta ser muy importante porque de este surge el análisis de las trayectorias. Existen dos tipos de análisis cinemático: el directo, en el cual en base a parámetros conocidos de las variables articulares se puede obtener la posición que tendrá su extremo final, y el inverso, del cual conociendo la posición del extremo del brazo robot se puede calcular el valor de los ángulos de cada articulación existente. A continuación se presenta este estudio cinemático y se comprobará sus resultados. 2. CINEMATICA DIRECTA Mediante el análisis cinemático directo se puede obtener la
ubicación espacial (x, y, z) de los elementos del brazo, en base a sus características geométricas, como es el ángulo existente en cada articulación . (1a) (1b) (1c)
La expresión dada para el cálculo de cinemática directa es:
Donde
(2)
describe la posición y orientación entre los sistemas de dos eslabones seguidos del robot:
i 1 i
SenEi SenUi
ai osU i »
SenE i osU i
ai SenUi
osE i
d i
0
1
¼ ¼ ¼ ¼ ½
2.1. Matriz de transformación homogénea Esta matriz tiene como dimensiones 4 filas x 4 columnas y representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas entre dos sistemas de coordenadas existentes. Agrupa cuatro submatrices: de rotación R, de traslación T, de perspectiva (f) y de escalado (e) del braz o robot, siendo esta su configuración:
relativos a la forma constructiva del eslabón que es el ángulo de torsión del eslabón que representa la longitud articular la longitud del eslabón, y ángulo articular b. Asignación de los sistemas de referencia: donde se asigna los diferentes sistemas de coordenadas respecto de cada eslabón c.
T ransformación ransformación homogénea: donde se forman las matrices de transformación homogénea de los elementos
previo a su resolución.
3. CINEMATICA INVERSA En este análisis, la variable desconocida es la articulatoria y la conocida es la ubicación espacial del extremo final del brazo. En resumen, se deben encontrar los valores de las variables articulares para que el extremo final del robot se posicione y se oriente de acuerdo a determinada localización espacial.
es la matriz de transformación homogénea que
« osU i osEi SenUi ¬ SenU osE i osUi i !¬ ¬ 0 SenEi ¬ 0 - 0
2.2. Algoritmo de Denavit ± Hartenberg Este algoritmo define un sistema de coordenadas específico para cada eslabón mediante una relación entre la rotación traslación entre elementos contiguos. El algoritmo de Denavit ± Hartenberg, basado en 14 reglas [2], consta de tres etapas: a. Definición de parámetros: que definen parámetros
(3a) (3b) (3c)
Para este análisis, partimos de la matriz de transformación homogénea genérica T (2). Donde T es:
Se toma un elemento, se obtiene su inversa y multiplicado por la matriz T se tiene (4)
Se igualan las últimas columnas resultantes de cada lado de esta expresión, y de estas se obtienen las ecuaciones generales para encontrar las variables articulares.
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LL 4. DE Par ti r ubi ar nuestro robot en la posi i n donde reali aremos el análisis, esta se muestra en la f i ura 1.
Articul ación
i
di
ai
i
1
0
90
2
90
0
0
3
0
0
4
0
0
T abl a
1. Parámetros definidos para e l anál isis
Ahora obtenemos las matr ices de transformación homogénea de los elementos
«Cosq1 ¬ Senq 1 ¬ ¬ 0 ¬ - 0
0
A1
Fig. 1. Posición inicial del robot
Ahora, con el al or itmo de Denavit ± Har tenberg (14 pasos) vamos a establecer número de eslabones, var iables ar ticulares, sistemas de coordenadas de la base, de cada eslabón y de la pinza del robot y obtenemos las matr ices de transformación homogénea de los elementos
. Estos son:
0 0
Cosq1
1
0
0
0
«Cos( q2 90) Sen( q2 90) ¬ Sen(q 90) Cos( q 90) 2 2 1 A2 ! ¬ ¬ 0 0 ¬ 0 0 «Cosq3 ¬ Senq 3 ¬ ¬ 0 ¬ - 0 «Cosq 4 ¬ Senq 4 ¬ ¬ 0 ¬ - 0
2
A3
. Como observación
anotaremos que no consideramos el eslabón f inal, por motivos de facilidad del estudio inverso. Podemos darnos cuen ta así, de que nuestro brazo posee tres eslabones y la base f ija, tiene 4 var iables ar ticulares y la distr i bución de los sistemas se indica en la f igura 2 junto con los parámetros def inidos en la tabla 1
0
A1
0»
Senq1
¼ ¼ L1 ¼ ¼ 1½ 0
0 L2Cos(q2 90) » 0 L2 Sen( q2 90) 1
0
0
1
¼ ¼ ¼ ¼ ½
0 L3Cosq3 »
Senq3 Cosq3
¼ ¼ ¼ 0 ¼ 1 ½ L4Cosq 4 » ¼ L4 Senq4 ¼ ¼ 0 ¼ 1 ½
0 L3 Senq3
0
1
0
0
Senq4
0
Cosq4
0
0
1
0
0
Obtenemos la matr iz T para cinemática directa mediante (2) Y tenemos una matr iz T, de la cual igualamos la columna T a sus valores respectivos, previo al cálculo de la posición del extremo f inal del robot. Las ecuaciones que se obtuvieron son:
El cálculo de x, y e z, lo hicimos en base al tamaño de los eslabones y al ángulo de las var iables ar ticulator ias. Estos datos y los resultados obtenidos se presentan en la tabla 2 El
Li 1
T abl a
Fig. 2. Distribución según Denavit- Hartenberg
Li [cm]
qi [°]
8.5
15
16
30
14
45
2. Parámetros de l robot inicial es
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Comprobación cinemática inversa q1 = 15.0000
Y así obtenemos los siguientes valores: x= -17.0575 cm y= -4.5706 cm z= 24.9446 cm
q2 = 30.0000
Para cinemática inversa seguimos el procedimiento indicado en la parte teórica, pasando el término ecuación dando:
al otro lado de la
Del cual igualamos los elementos de las últimas columnas resultantes
del cual agrupando términos y despejando las variables articulares tenemos:
q3 = 45 6.
CONCLUSIONES - Trabajamos al inicio con 4 grados de libertad y obtuvimos los valores deseados, pero al momento de realizar cinemática inversa se complicó demasiado, por esta razón trabajamos el análisis para tres grados de libertad, el cual es suficiente para que el robot pueda ubicarse en cualquier punto. En las pruebas realizadas con el robot, se pudo visualizar que este tenía el mismo valor que para 4 G.L. - Tuvimos cierta confusión al realizar las pruebas en Matlab porque teníamos valores que eran incorrectos que habían sido dado en radianes, pero lo pudimos solucionar aplicando los comandos sind y cosd, los cuales trabajan con su argumento en grados.
Ahora, probamos con diferentes valores de x, y e z y con el tamaño de los eslabones. Para mayor facilidad, hemos tomado como coordenadas del extremo final los datos correspondientes a los valores resultantes de la cinemática directa y el tamaño de los eslabones dados anteriormente. Así se logra llegar a los resultados anteriores de las variables articulares, lo cual demuestra que el modelo se ha realizado satisfactoriamente. 5.
PRUEBAS Se realizó un programa en el cual se multiplicaron las matrices de transformación homogénea, además se introdujeron las ecuaciones de las coordenadas del extremo del robot y de las variables articulares y con los datos de los eslabones y variables articulares, pudimos obtener el resultado para la cinemática directa e inversa. Estos son los resultados obtenidos en Matlab: Comprobación cinemática directa x= -17.0575 y= -4.5706 z= 24.9446
7. BIBLIOGRAFIA [1] Revista de la F acultad de Ingeniería. ³Análisis cinemático de un robot indu strial tipo SCARA.pdf´. Iván Alberto Olier Caparroso. Julio de 1999
[2] Manipuladores Industriales. CINEMATICA. Eduardo Calle Ortiz. 2005. Cuenca-Ecuador
Ing.
[3] La representación Denavit-Hartenberg.pdf. José Cortés Parejo. Marzo 2008
