Sergio David Lobo Bolaño 201218661 20121866 1
Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Mecánica
Análisis Cinemático de una Rueda de Ginebra La rueda de Ginebra es un mecanismo que permite convertir movimiento continuo en movimiento intermitente. Para hacer esto, es necesario que cumpla con ciertas restricciones geométricas. A continuación se muestra un diagrama de la rueda:
Figura1.
Rueda de Ginebra en dos momentos distintos [1]
Análisis Análisis de Posición:
Debido a que el objetivo principal es determinar el comportamiento de la salida, y esta es una barra apinada con movimiento completamente rotacional, haré el análisis usando un método directo y no relativo.
Figura2.
Esquema del mecanismo
= = /4
En la posición inicial el triángulo mostrado es isósceles con . Para la posición de entrada de P a la ranura, a y b son iguales y b(t) es máximo. Notando que el ángulo entre a y bes de 90º, se tiene que:
= = si sin /4/4
Sergio David Lobo Bolaño 201218661
Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Mecánica
En mi caso, l =161mm por lo cual:
= = 113.844 = + 2cos = sin 4 = = + 12cos si n = si n sin sin = sin = √ +sin = 12cos √ + 12cos = sin− [√ +sin 1 2cos]+2 2 ∈ ℤ = = 12sin− [√ +sin ] 12cos 0 − = sin = sin [√ + 12cos]
Ahora, b(t) puede calcularse de acuerdo al teorema del coseno como sigue:
Nótese además que para cualquier instante t (mientras ambas ruedas estén en contacto), se cumple que:
Así que de esta manera,
Ahora, el punto P pertenece a ambas barras, a la ranura y a la manivela a, por lo cual los vectores correspondientes a cada barra comparten siempre la componente en y. Esto se refleja en:
Por lo cual:
Donde el (con ) es debido a que sin -1(x) es una función multivaluada. Ya que el ángulo que se pide es y no , de la figura 2 es posible ver que por lo que
Para la condición de frontera que tenemos (
es necesario que n sea 0, por lo cual
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de la función
Figura3.
Angulo de Salida (
Sergio David Lobo Bolaño 201218661
,
Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Mecánica
Se evalúa el intervalo ya que en este intervalo se cumple la condición de que sea una revolución entera y además se estudia la interacción entre la manivela (a) con el mismo riel durante toda la revolución. Si se usa el intervalo se evaluará mitad de la interacción de la manivela con una ranura y mitad de la interacción de la manivela con la ranura siguiente.
0,2
Análisis de Velocidad
Para encontrar la velocidad angular de la rueda se deriva la ecuación de tiempo:
con respecto al
= = = (sin− [√ +sin ]) 12cos sin ([ = √ + 12cos]) derivada desin-1 x 1 [√ +sin ] 12cos sin → cos√ + 12cos + 12cos √ + 12cos sin = cos + +12cos 12cos = cos + cos 2 cos 1cos + 12cos 1cos 1cos 1coscos = ∎ + 12cos + 12cos + 12cos 1 cos → + 12cos + cos = 1cos = 1 + 2cos + 12cos + 12cos = 1+cos ∎ 12cos = 1coscos ∙ 1cos + 12cos + 12cos
Primero se realiza la derivada del numerador:
Ahora, simplificamos el denominador:
Juntando ambas partes se tiene que:
Sergio David Lobo Bolaño 201218661
Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Mecánica
= cos + 1 2cos = = = cos + 12cos
Por ende, la velocidad angular es:
Nótese que la relación es lineal entre la salida y la entrada para un alfa fijo. La gráfica de velocidad se muestra a continuación:
Figura4.
A la izquierda se muestra la gráfica de velocidad vs ángulo de entrada. A la derecha está la misma
gráfica pero en el intervalo de interacción (
,
)
Se observa que el máximo de la gráfica es exactamente 2.41 veces la velocidad de entrada, este valor se puede obtener al evaluar la función en cero. Además, el máximo ocurre en cero, esto se debe a que es el momento en que más torque se transmite puesto que la fuerza de contacto es perpendicular a la ranura. Análisis de Aceleración
De manera similar, procedemos a derivar la velocidad para calcular la aceleración:
Α = ∗ = ∗ 1 + 1 2cos
La aceleración se observa en las gráficas de Matlab. Los valores son muy altos puesto que la rueda cambia bruscamente de velocidad. Además, la aceleración es discontinua pues al momento de salir P de la ranura, esta no es cero. De hecho, es necesario ponerle un seguro al mecanismo de verdad para que este guarde su posición una vez la interacción acaba. A continuación se muestra la tabla con los valores cada 20°. Se comienza en 18 y se va bajando puesto que de esta manera es más natural ver el recorrido del sistema. Entrada [°] Posición [rads] Posición [°] Velocidad[rad/s] Aceleración [rad/s^2] 180
2.3562
135.00
0
0
160
2.3562
135.00
0
0
140
2.3562
135.00
0
0
120
2.3562
135.00
0
0
100
2.3562
135.00
0
0
Sergio David Lobo Bolaño 201218661
Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Mecánica
80
2.3562
135.00
0
0
60
2.3562
135.00
0
0
40
2.3604
135.24
27.8728
-1.02E+05
20
2.5171
144.22
267.8909
-3.20E+05
0
3.1416
180.00
672.7431
0
-20
3.7661
215.78
267.8909
3.20E+05
-40
3.9228
224.76
27.8728
1.02E+05
-60
3.927
225.00
0
0
-80
3.927
225.00
0
0
-100
3.927
225.00
0
0
-120
3.927
225.00
0
0
-140
3.927
225.00
0
0
-160
3.927
225.00
0
0
-180
3.927
225.00
0
0
Referencias [1] V. Oleg, Fundamentals of Kinematics and Dynamics of Machines and Mechanisms, CRC Press LLC, 2000.
