UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS 1.1 INTRODUCCIÓN: En la concepción de sistemas estructurales se trata, siempre que sea posible, de diseñar conjuntos que tengan alguna propiedad de simetría, pues así se facilita su cálculo y construcción. Frecuentemente, la simetría estructural se da respecto a un plano, con lo l o que parece interesante disponer de un método que permita simplificar el análisis de la estructura. Sin embargo, muchas de las cargas exteriores no son simétricas por su propia naturaleza (viento…) por lo que aunque actúen sobre una estructura simétrica en cuanto a geometría, la respuesta obtenida (deformaciones, esfuerzos…) no lo será. La solución a este problema consiste en descomponer descomponer el sistema de cargas en dos sistemas distintos, que cumplen relaciones de simetría diferentes, denominados sistemas simétricos y antisimétricos, de tal forma que sea más fácil calcular la respuesta de la mitad de la estructura para cada caso, y finalmente sumarlas. El sistema de cargas que actúa sobre una estructura simétrica se dice que es simétrico si en puntos de la estructura simétricos actúan cargas simétricas, es decir con el mismo módulo, dirección y sentido. El sistema de cargas que actúa sobre una estructura simétrica se dice que es antisimétrico si en puntos de la estructura simétrica actúan cargas antisimétricas, es decir con el mismo módulo y dirección pero con distinto sentido.
Figura 1.1. Simetría y antisimetría de estructuras .
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Figura 1.2. (a)-(d) Estructuras simétricas, (e)-(f) estructuras no simétricas 1.2 DESCOMPOSICIÓN DEL SISTEMA DE CARGAS En una estructura simétrica es siempre posible descomponer un caso de carga general en suma de dos estados de carga, uno simétrico y otro antisimétrico, tal como se muestra en la figura 1.3. Aplicando el principio de superposición, la solución del problema original puede obtenerse resolviendo, primero, los problemas parciales y, después superponiendo los esfuerzos y los desplazamientos correspondientes a dichos problemas parciales. Este procedimiento permite aprovechar aprovechar la información adicional que proporcionan las condiciones de simetría y antisimetría que se analizarán a continuación. En general cualquier magnitud vectorial puede descomponerse en suma de dos componentes, componentes, una simétrica y otra antisimétrica.
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Figura 1.3. Descomposición del sistema de cargas. Ejemplo 1:
1.3 ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS Una estructura plana simétrica sometida a un sistema de cargas simétrico, se deforma de manera simétrica, y las solicitaciones internas tienen asimismo una distribución simétrica. La figura 1.4 muestra las relaciones que cumplen las deformaciones y los esfuerzos internos
Deformaciones
esfuerzos internos
Figura 1.4. Comportamiento de estructuras con cargas simétricas 1.3.1 NUDOS CONTENIDOS EN EL EJE DE SIMETRÍA En el nudo situado en el eje de simetría las deformaciones deben satisfacer a la vez las condiciones de deformación simétrica y de compatibilidad geométrica. Aplicando estas condiciones al elemento diferencial situado justo en el eje de simetría se obtiene el valor que deben tener sus deformaciones para respetar a la vez ambos criterios (figura 1.5).
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Deformación en X: no es posible Deformación en Y: si es posible Giro Z: no es posible
Figura 1.5. Deformaciones del elemento diferencial bajo cargas simétricas. Así un punto situado en el eje de simetría sólo puede tener desplazamiento según Y, siendo nulos el desplazamiento X y el giro Z. La condición de contorno a aplicar en este punto es por lo tanto la de empotramiento ( ) deslizante según Y ( , ), como se muestra en la figura 1.6.
Figura 1.6. Condición de apoyo estructura simétrica. Al mismo resultado se llega si se efectúa el razonamiento con las fuerzas, aplicando las condiciones de equilibrio del nudo, como se muestra en la figura 1.7. Fuerza X: si es posible Fuerza Y: no es posible Momento Z: si es posible
indeterminado, donde, ) (para que exista equilibrio en el nudo) indeterminado, donde, ) (
(
Figura 1.7. Fuerzas en elemento diferencial bajo cargas simétricas. Por lo tanto, el nudo debe ser un empotramiento deslizante según Y para poder absorber este sistema de fuerzas.
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Ejemplo:
1.3.2 BARRAS Y/O CARGAS CONTENIDAS EN EL EJE DE SIMETRÍA Cuando una barra está contenida en el eje de simetría se debe separar en dos semi barras situadas cada una de ellas en una de las dos mitades de la estructura. Esta separación debe hacerse con la condición de que la energía acumulada en cada semi barra sea la mitad de la energía acumulada en la barra completa .
Es decir, que la semi-barra tiene que tener la mitad de rigidez que la barra original. Para ello basta con dar a la semi-barra los valores de y/o , según corresponda. Con este método se garantiza que se obtienen las deformaciones reales en el plano de simetría. Por otra parte, las solicitaciones obtenidas en el eje de la semi-barra (esfuerzo axial), son la mitad de las solicitaciones en la barra completa . De la misma forma si existe una carga puntual aplicada en el eje de simetría, esta se divide en cada semi-barra.
Ejemplos: (a)
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b)
PROBLEMA : Resolver la siguiente estructura, utilizando conceptos de simetría.
Resolviendo el problema mediante el software SAP2000. Y considerando AE=10·EI con EI=1, se tiene: Modelo de apoyo empotrado deslizante en SAP 2000
DIAGRAMA DE MOMENTO PROFESOR: JULIO BACHMANN A.
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DIAGRAMA DE CORTE
DIAGRAMA DE ESFUERZO AXIAL
DEFORMACIÓN DE LA ESTRUCTURA Se aprecia en los resultados como se obtienen las deformaciones reales en el eje de simetría, mientras que las fuerzas axiales ubicadas en la barra contenida en este resultan ser la mitad de las reales. PROFESOR: JULIO BACHMANN A.
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1.4 ESTRUCTURAS ANTISIMÉTRICAS Una estructura plana simétrica geométricamente, sometida a cargas asimétricas; se deforma de manera asimétrica. Las solicitaciones internas tienen asimismo una distribución asimétrica, como se indica en la figura 1.8.
Deformaciones
esfuerzos internos
Figura 1.8. Comportamiento de estructuras con cargas asimétricas 1.4.1 NUDOS CONTENIDOS EN EL EJE DE ANTISIMETRÍA En el nudo situado en el eje de asimetría las deformaciones deben satisfacer a la vez las condiciones de deformación asimétrica y de compatibilidad geométrica. Aplicando estas condiciones al elemento diferencial situado justo en el eje de asimetría (figura 1.9) se obtienen los valores que deben tener sus deformaciones para respetar a la vez ambos criterios. Deformación en X: si es posible Deformación en Y: no es posible Giro Z: si es posible
Figura 1.9. Deformaciones del elemento diferencial bajo cargas asimétricas. Así pues un punto situado en el eje de asimetría puede tener desplazamientos según X y giro según Z, pero el desplazamiento vertical Y debe ser nulo. Nótese que estas deformaciones son las complementarias a las permitidas en el caso simétrico (figura 1.5). La condición de contorno a aplicar en este punto es por lo tanto la articulación deslizante según X , como se muestra en la figura 1.10
Figura 1.10. Condición de apoyo estructura asimétrica. PROFESOR: JULIO BACHMANN A.
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También se puede efectuar el razonamiento con las fuerzas internas, aplicando las condiciones de equilibrio en cada dirección, bajo la acción de una pareja de fuerzas antisimétricas (figura 1.11). Fuerza X: no es posible Fuerza Y: si es posible Momento Z: no es posible
(para que exista equilibrio en el nudo) indeterminado, donde, ) (para que exista equilibrio en el nudo) (
Para poder absorber este sistema de fuerzas el nudo debe ser un apoyo articulado deslizante según X.
Figura 1.10. Fuerzas en elemento diferencial bajo cargas simétricas. Ejemplos: (a)
(b)
(c)
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1.4.2 BARRAS Y/O CARGAS CONTENIDAS EN EL EJE DE ANTISIMETRÍA Al igual que en el caso simétrico, se debe separa en dos semi-barras situadas cada una de ellas en una de las dos mitades de la estructura. Esta separación debe hacerse con la condición de que la energía acumulada en cada semi-barra sea la mitad de la energía acumulada en la barra completa .
Es decir, que la semi-barra tiene que tener la mitad de rigidez que la barra original. Para ello basta con dar a la semi-barra los valores de y/o , según corresponda, garantizando así que las deformaciones obtenidas sean las reales, mientras que para este caso las solicitaciones de corte y momento flector en el eje de la semibarra resultan ser la mitad.
Ejemplo:
1.5 ESTRUCTURAS CON ESTADO DE CARGA GENERAL Como ya se ha dicho toda estructura geométricamente simétrica, su estado de carga se puede descomponer en una suma de estados de carga simétricos y antisimétricos.
Ejemplo: Para la siguiente estructura, determinar los diagramas de momento, corte y axial, utilizando conceptos de simetría y antisimetría.
La estructura como no es ni simétrica ni antisimétrica, se descompone en una suma de ambos casos, de esta forma:
General PROFESOR: JULIO BACHMANN A.
Antisimétrica
Simétrica 10
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Estructura Antisimétrica
Estructura Simétrica
Diagramas de estructura
COROLARIO: El análisis de marcos que no son considerados simétricos ni antisimétricos, solicitados horizontalmente por cargas puntuales a nivel de las vigas, se puede simplificar resolviendo solo la descomposición antisimétrica de la estructura, siempre y cuando la componente axial de las vigas no sea necesaria para efectos de cálculo. PROFESOR: JULIO BACHMANN A.
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PROBLEMA 1: Para el marco que se muestra, determine el desplazamiento a nivel de las vigas, utilice las conclusiones expuestas en el corolario. Considere AE=10·EI
Toda estructura que no es ni simétrica ni antisimétrica, se puede descomponer como la suma de ambos casos, de esta forma se tiene:
Sabiendo que al ser las vigas elementos del tipo EI en donde su diagrama axial no influye en el cálculo de las deformaciones, y utilizando el corolario, el problema se simplifica a:
Notar que los grados hiperestáticos de la estructura son 6, quedando en 2 tras la simplificación.
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MODELO SAP2000
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR
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DIAGRAMA DE CORTE
DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL
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DEFORMACIONES ESTRUCTURA COMPLETA
DEFORMACIONES ESTRUCTURA SIMPLIFICADA PROFESOR: JULIO BACHMANN A.
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PROBLEMA 2: Para el marco que se muestra, determine el desplazamiento de todos los nudos. Considere AE=10·EI
De igual manera que el problema anterior, solo se considerará la descomposición antisimetrica de la estructura para el cálculo de los desplazamientos. De esta forma se tiene:
MODELO SAP2000
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR
DIAGRAMA DE CORTE
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DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL
DEFORMACIONES ESTRUCTURA COMPLETA
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DEFORMACIONES ESTRUCTURA SIMPLIFICADA Donde: U1: Deformación horizontal U3: Deformación vertical R2: Giro en torno al eje Z En ambos ejemplos resueltos mediante SAP2000 se puede apreciar que la simplificación realizada correspondiente a analizar solo descomposición antisimetrica de una estructura con un estado general de cargas puntuales laterales a nivel de las vigas axialmente indeformables, entrega los diagramas de momento y de corte correctos, con excepción de la barra contenida en el eje de antisimetría (PROBLEMA 2), los cuales como se vio anteriormente resultan ser la mitad de los reales. Para el caso del diagrama de fuerzas axiales se aprecia que los resultados de las vigas no son correctos, siendo en este punto donde cobra importancia la descomposición simétrica de la estructura, la cual entregará el complemento de la fuerza axial que da como resultado las fuerzas reales de la estructura. Sin embargo, a pesar de que estos esfuerzos axiales resultan no ser los reales, se puede apreciar que las deformaciones si lo son, esto se explica por el simple hecho que en barras axialmente indeformables (EI) la fuerza axial no aporta energía de deformación.
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A continuación se muestra el diagrama de fuerzas axiales de la estructura original, más sus descomposiciones antisimetrica y simétrica, para apreciar como el complemento de las fuerzas axiales de cada descomposición da como resultado las fuerzas reales.
(a) (b) (c) Figura 1.11. Diagrama de fuerzas axiales: (a) estructura con estado de carga general. (b) Descomposición antisimetrica de la estructura. (c) Descomposición simétrica de la estructura
1.6 RESUMEN En la sección perteneciente al eje de simetría tendremos.
Cargas Simétricas Cargas Antisimétricas
M
N
Q
u
v
≠0
≠0
0
0
0
≠0
0
0
≠0
≠0
≠0
0
Donde: u: Deformación perpendicular al eje de simetría v: Deformación paralela al eje de simetría Referente a los ejemplos de estos apuntes u, corresponde a la deformación en el eje X, mientras que v, corresponder a la deformación en el eje Y. En cuanto a las fuerzas en la barras contenidas en el eje de simetría.
Barras en el eje de simétria Barras en el eje de antisimétria
N
Q
M
La mitad del real
Correcto
Correcto
Correcto
La mitad del real
La mitad del real
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1.7 BIBLIOGRAFÍA Celigüeta, Juan Tomás. Curso de Análisis Estructural. Ediciones Universidad de Navarra. San Sebastián, España. 1998 Cervera R, Miguel. Blanco D., Elena. Mecánica de Estructuras: Libro 2, Métodos de Análisis. Ediciones UPC. Barcelona, España: Universidad Politécnica de Cataluña, 2001.
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