ELO311 Estructuras de Computadores Digitales Algoritmos de Multiplicación y División Tomá Tomás s Arre Arredon dondo do Vida Vidall Este material está basado en: material
de apoyo del texto de David Patterson, Patterson, John Hennessy, "Compute "Computerr Organiza Organization tion & Design", Design", (segunda (segunda y tercera tercera edición), edición), Morgan Morgan Kaufmann Kaufmann,, CA. CA. 2005
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del curso anterior ELO311 del Prof. Leopoldo Silva
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Algoritmos de Multiplicación y División
A continuación se estudiarán algoritmos para efectuar las operaciones de multiplicación y división entera.
Usualmente estas operaciones están soportadas por hardware dedicado, adicional a la unidad aritmética que efectúa las operaciones básicas de sumar y restar números con y sin signo.
Al estudiar los algoritmos podrá advertirse la naturaleza secuencial de éstos, en contraposición al carácter carácter combinaci combinacional onal de las operaciones operaciones de de suma suma y resta.
Algoritmos de Multiplicación y División
A continuación se estudiarán algoritmos para efectuar las operaciones de multiplicación y división entera.
Usualmente estas operaciones están soportadas por hardware dedicado, adicional a la unidad aritmética que efectúa las operaciones básicas de sumar y restar números con y sin signo.
Al estudiar los algoritmos podrá advertirse la naturaleza secuencial de éstos, en contraposición al carácter carácter combinaci combinacional onal de las operaciones operaciones de de suma suma y resta.
Multiplicación como Suma Repetitiva
La operación de multiplicación se puede estudiar como la suma repetitiva del multiplicando las veces que indique el multiplicador.
Producto = Multiplicando * Multiplicador
P: Producto
R: Multiplicando
Q: Multiplicador
P=R*Q
Multiplicación como Suma Repetitiva (cont)
Ejemplo: la operación 7*3, en sistema binario puede realizarse según: 0111*0011 = 0111 + 0111 + 0111 = 010101
Si los factores son de N dígitos, el producto puede expresarse con 2N dígitos.
Con N=3 en sistema decimal se tiene que con operandos sin signo, el mayor factor es 999, y se tiene que 999 * 999 = 998.001 requiere 6 cifras.
Si se considera factores positivos, pero con signo, el mayor positivo es 499 y en este caso también se requieren 6 dígitos para el producto: 499*499 = 249.001
Multiplicación como Suma Repetitiva (cont)
Empleando el lenguaje C, puede describirse la idea anterior según:
/* Algoritmo a P y R de largo 2N. Q largo N. Sumador ancho 2N. */ /* Q y R positivos P = R * Q */ for( j = Q; j > 0 ; j-- ) { P += R;
}
Nótese que P y R deben ser de largo 2N, y el sumador también debe ser de largo 2N.
En este algoritmo el número de sumas es
Multiplicación Mediante Desplazamientos
El siguiente algoritmo, corresponde a la multiplicación manual (con papel y lápiz) en la cual se va multiplicando las cifras del multiplicando por cada una de las cifras del multiplicador:
Puede reducirse el número de veces que se repite la operación, notando que, en el sistema binario, sólo debe efectuarse la suma del multiplicando si la cifra correspondiente del multiplicador es uno; ya que la multiplicación por cero no cambia el producto parcial.
Multiplicación Mediante Desplazamientos (cont)
Entonces en lugar de efectuar todas las sumas del multiplicando (desplazado una posición hacia la izquierda) por cada una de las cifras del multiplicador, podría efectuarse:
La detección si debe realizarse o no la suma del multiplicando R, puede lograrse observando solamente la cifra menos significativa de Q, siempre que después de realizada la suma, se divida (en forma entera) el valor de Q.
Esto se logra con un corrimiento hacia la derecha de Q, en una posición. Además el multiplicando debe
Multiplicación Mediante Desplazamientos (cont)
El siguiente algoritmo desarrolla las ideas anteriores, y la suma se realiza a lo más en N pasos; es decir una vez por cada cifra de Q.
Nótese que (Q&1), determina el valor del bit menos significativo del multiplicador Q.
/*Algoritmo b P y R de largo 2N. Q largo N. Sumador ancho 2N. Q y R positivos P = R * Q */ for( j = N ; j >= 0 ; j-- ) { if(Q&1) P+=R; Q=Q/2; R=R*2;
Multiplicación Mediante Desplazamientos (cont)
Si reemplazamos la división y multiplicación entera por 2, por funciones que realicen corrimientos, se tiene el siguiente algoritmo:
/*Algoritmo 1 P y R de largo 2N. Q largo N Sumador ancho 2N. */ /* Q y R positivos P = R * Q */ for( j = N; j >= 0; j-- ) { if (Q&1) P += R; lls(R); lrs(Q); }
Se emplean las funciones lls y lrs, por logical left shift y logical right shift respectivamente.
Como los bits de signo de Q y R siempre serán ceros, pueden efectuarse corrimientos lógicos o aritméticos.
Fundamentos de Algoritmos de Multiplicación
Para analizar los algoritmos, si Q positivo( qn es cero), entonces:
El Algoritmo a, descrito usando ecuaciones de diferencias : S0 = 0 + R q0 20 S1 = S0 + R q1 21 S2 = S1 + R q2 22 S3 = S2 + R q3 23 ....... Sn-1 = Sn-2 + R qn-1 2n-1 Sn = Sn-1 + R qn 2n
Fundamentos de Alg. de Multiplicación (cont)
El término R 2i es el multiplicador desplazado i posiciones hacia la izquierda.
Esto justifica el algoritmo ya visto, que corresponde a la multiplicación tradicional, efectuada con papel y lápiz.
Si Q está en notación complemento dos y Q es positivo, entonces: qn = 0.
El producto final queda en Sn.
Fundamentos de Alg. de Multiplicación (cont)
El Algoritmo 1, expresado por ecuaciones de diferencias:
Agregando el multiplicador anterior multiplicado por dos (r i)
S0 = 0 + R q0 20 = 0 + r0 q0
, r0 = R
S1 = S0 + R q1 21 = S0 + r1 q1
, r1 = 2 r0
S2 = S1 + R q2 22 = S1 + r2 q2
, r2 = 2 r1
S3 = S2 + R q3 23 = S2 + r3 q3
, r3 = 2 r2
.......
Sn-1 = Sn-2 + R qn-1 2n-1
= Sn-2 + rn-1 qn-1 , rn-1 = 2 rn-2
Sn = Sn-1 + R qn 2n
= Sn-1 + rn qn
El producto queda en Sn.
, rn = 2 rn-1
Fundamentos de Alg. de Multiplicación (cont)
También pueden escribirse: q0 = Q0 & 1 , Q0 = (Q/20) q1 = Q1 & 1 , Q1 = (Q/21) = Q0 /2 q2 = Q2 & 1 , Q2 = (Q/22) = Q1 /2
.... qn = Qn & 1 , Qn = (Q/2n) = Qn-1 /2
Resumiendo se tienen las siguientes ecuaciones: qi = Qi & 1 Si = Si-1 + riqi
con S-1= 0
ri = ri-1 * 2
con r0 = R
Qi = Qi-1/ 2
con Q
0=
Q
Algoritmos más eficientes
Se desea desarrollar ahora un algoritmo más eficiente, que emplee menos recursos electrónicos que el anterior:
Estudiemos la multiplicación binaria de (+26)*(+13) = +338
Se observa que en cada paso sólo se suman 6 cifras (bits), la cifra menos significativa de la suma acumulada no afecta las sumas posteriores y puede decirse que es una cifra del producto final.
Tampoco es necesario correr el multiplicando a la izquierda, si en lugar de esto se desplaza la suma (el producto parcial) hacia la derecha.
De esta forma una de las entradas del sumador quedará fija con el
Algoritmos más eficientes (cont)
A partir de las relaciones de recurrencia del Algoritmo 1, se procederá a obtener las ecuaciones del Algoritmo 2.
Básicamente consisten en expresar las sumas parciales en función solamente de R. Se comienza dividiendo por 2 i: S0 /20 = 0/20 + Rq0 = 0 + Rq0 = s0 S1 /21 = S0 /21 + Rq1 = s0 /2 + Rq1 = s1 S2 /22 = S1 /22 + Rq2 = s1 /2 + Rq2 = s2 S3 /23 = S2 /23 + Rq3 = s2 /2 + Rq3 = s3 ....... Sn-1 /2n-1 = Sn-2 /2n-1 + R qn-1 = sn-2 /2 + Rqn-1 = sn-1
Algoritmos más eficientes (cont)
Ordenando las relaciones anteriores y definiendo x, que representa la suma si dividida por dos: s0 = 0 + Rq0 , x0 = s0 /2 , con x-1 = 0 s1 = x0 + Rq1 , x1 = s1 /2 s2 = x1 + Rq2 , x2 = s2 /2 s3 = x2 + Rq3 , x3 = s3 /2 ....... sn-1 = xn-2 + R qn-1 , xn-1 = sn-1 /2 sn = xn-1 + R qn , xn = sn /2
Algoritmos más eficientes (cont)
Si qi es uno se suma R con la suma anterior desplazada en uno hacia la derecha (xi-1). Con qn = 0 para número positivo.
Para la etapa i-ésima: qi = Qi &1 si = xi-1 + R qi con x-1 = 0 xi = si / 2 con s0 = 0 Qi = Qi-1 / 2 con Q 0 = Q
Si qi es uno se suma R con la suma anterior desplazada en uno hacia la derecha (xi-1).
Si qi es cero sólo se desplazan hacia la derecha las variables s y Q.
Algoritmos más eficientes (cont) /*Algoritmo 2 s, Q y R de largo n+1. Sumador ancho n+1 */ /* Q y R positivos. Al salir sQ= R * Q */ for(i=0, s = 0; i
No hay problemas de rebalse con números sin signo, ya que R es positivo, y rn siempre es cero.
Q =Q/2; s = s /2 puede escribirse como un desplazamiento lógico a derecha (lrs).
Operandos con Signo: Algoritmos de Booth
A partir de las relaciones de recurrencia del Algoritmo 2, se procederá a obtener un algoritmo para operandos con signo.
Q en complemento 2 se puede escribir como: Q = - qn2n + qn-12n-1+ qn-2 2n-2+ ....+q121+ q020
Y también como: Q = - (qn2n + qn-12n-1+ qn-2 2n-2+ .... + q1211+ q020) + 2(qn-12n-1+ qn-2 2n-2 + ....+q121+ q020 )
Introduciendo el factor 2 en las potencias de los términos positivos: Q = - (qn2n + qn-12n-1+ qn-2 2n-2+ .... + q1211+ q020) + (qn-12n+ qn-2 2n-1+ ....+ q122 + q021 )
Finalmente, agrupando los factores de las potencias iguales, se logra: Q = (qn-1 - q ) 2n + (qn-2- qn-1) 2n-1 + (qn-3- qn-2) 2n-2 + .... +(q1- q2) 22 + (q0- q1)
Algoritmos de Booth (cont)
Entonces las relaciones de recurrencia para el algoritmo dos: s0 = 0 + R q0
Algoritmo 2.
s1 = s0 /2 + R q1 s2 = s1 /2 + R q2 .... sn-1 = sn-2 /2 + R qn-1 sn = sn-1 /2 + R qn
Pueden transformarse en: s0 = 0 + R (0 - q0 ) s1 = s0/2 + R (q0 - q1 ) s2 = s1 /2 + R (q1 - q2 ) .... sn-1 = sn-2 /2 + R (qn-2 - qn-1_ )
Algoritmo de Booth
Algoritmos de Booth (cont)
Entonces, resulta el algoritmo de Booth, para la etapa i: si = si-1 /2 + R (qi-1 - qi ) con q-1 = 0 y s-1 = 0 Qi = Qi-1 /2 con Q0 = Q qi = Qi &1
Si qi-1 = qi no se suma R al producto parcial, que es la suma acumulada anteriormente (si=1), desplazada un bit hacia la derecha.
Si qi = 0 y qi-1 = 1 se suma R al producto parcial.
Si qi = 1 y qi-1 = 0 se resta R del producto parcial.
Es muy eficiente solo requiere n sumas o restas mas los corrimientos correspondientes.
Algoritmos de Booth (cont)
Es preciso agregar un bit, a la derecha de Q. Para poder comparar, en la etapa i-ésima, el último de Q, q i, con el de la etapa anterior qi-1. Este bit, se inicia en cero, y se denomina qq en el algoritmo.
Sólo es preciso agregar un flip-flop, para capacitar al hardware del algoritmo 2 en un dispositivo, para realizar multiplicaciones de operandos con signo.
Como se efectúan restas, un producto parcial puede resultar negativo, por esta razón debe correrse éste a la derecha con extensión del signo (usando ars).
El bit que sale del producto parcial si, puede ocupar el bit del signo de Q, espacio que queda disponible al mover Q en una posición hacia a la derecha.
Algoritmos de Booth (cont) /*Algoritmo 3: Booth S, Q y R de largo n+1. /* Sumador ancho n+1. Q y R con signo SQ= Q * R */ for(i=0, qq=0; i
/* ars es un right shift aritmetico, qq = Q 0 */
}
Resultado va quedando en Q
Algoritmos de Booth (cont)
Ejemplo: Algoritmo Booth, resultado va quedando en P
R = 2 = 0010, Q = -7 = 1001 (Nota: Para restar R comp 2: -2 = 1110)
R: Multiplicando
P:(S,
Q,
qq)
0010
0000
1001
0
qi=1, qi-1=0, se resta R de S
0010
1110
1001
0
se corre S,Q,qq 1 bit
0010
1111
0100
1
qi=0, qi-1=1, se suma R a S
0010
0001
0100
1
se corre S,Q,qq 1 bit
0010
0000
1010
0
qi=0, qi-1=0, hacer nada
0010
0000
1010
0
se corre S,Q,qq 1 bit
0010
0000
0101
0
qi=1, qi-1=0, se resta R de S
0010
1110
0101
0
se corre S,Q,qq 1 bit
0010
1111
0010
1
Multiplicación de Enteros sin signo
El algoritmo para multiplicar enteros positivos debe modificarse ya que en caso de enteros sin signo puede producirse reserva de salida en el sumador que produce los productos parciales. Si se considera la siguiente tabla de verdad: Pn, Rn, y Sn son los bits más significativos de los registros P, R y del bus de salida S del sumador. Cn-1 es la reserva generada en la penúltima etapa de sumador. Co es la reserva de salida. La reserva de salida, para enteros positivos es cero. Pero si Pn o Rn pueden tomar valores
S
P = R*Q
Multiplicación de Enteros sin signo (cont)
Consideremos un registro de largo 3 y multipliquemos P=R*Q
Para P=7*3, con 6 bits para el producto este es positivo:
El producto parcial P, se inicia en cero, después de la primera suma P contiene 111.
Luego de efectuado el primer corrimiento de P, debe realizarse la suma S = P + R:
Que produce reserva de salida:
Entonces al efectuar el corrimiento hacia la derecha de P, la posición más significativa, que queda vacante, debe llenarse con la reserva de salida.
Entonces el algoritmo para multiplicar enteros sin signo, debe efectuar un corrimiento lógico hacia la derecha de los registros concatenados
Multiplicación de Enteros sin signo (cont)
En C: for (i = 0; i < n+1; i++) { if ( Q&1) P += R; lrs(Co, P, Q); }
La implementación electrónica de este algoritmo se realiza mediante un registro de desplazamiento, y resulta sencilla si se dispone de la generación de la reserva de salida del sumador.
Algoritmos de División
Algunas definiciones:
El dividendo es de largo 2N; el divisor, cuociente y resto de ancho N. Se requieren 2N para expresar el resultado de una división.
Algoritmo 1:
P de largo 2N, Q y R de largo N. Parámetros: el dividendo en P, divisor en R. Resultados: el cuociente en Q, resto en P. while (P >= R) { P-=R; Q++; }
Algoritmos de División (cont)
Algoritmo 2:
P, Q y R de largo N. Al inicio dividendo en P y Q, divisor en R. Sumador de largo N. for(j=N ; j>=0; j--) { if(P>=R) { P-=R; lls(P,Q); Q++; } else lls(P,Q); }
