“Si un sistema cuántico puede estar en uno de dos estados, entonces puede estar también en cualquier Superposición linear de esos dos estados”.
’s Pueden ser números complejos, siempre y cuando se normalizen de forma que:
Por ejemplo:
es un estado cuántico perfectamente válido
La superposición
es la unidad básica de información codificada en las computadoras cuánticas y es llamado
qubit.
La amplitud
es una medida de su inclinación hacia el estado fundamental.
Es tentador pensar que
es la probabilidad de que el electrón esté en estado fundamental o tierra.
¿Pero cómo interpretaríamos el estado si fuese negativo o un número imaginario?
Esta superposición lineal es el mundo privado del electrón Para que nosotros podamos obtener una aproximación del estado del electrón debemos hacer una medición
Y cuando lo hagamos, obtendremos un único bit de información (ya sea 0 o 1).
Si el estado del electrón es
entonces la probabilidad de que la salida de la medición sea 0 es
Cuando realizamos la medición forzamos al sistema a cambiar su estado, es decir, si la salida de la medición es 0, entonces el nuevo estado del sistema es
El principio de superposición no se limita sólo a sistemas de 2 niveles como el que acabamos de describir, sino que se aplica en general a sistemas de k-niveles.
Así podríamos considerar un sistema de k niveles denotado por:
Y por el principio de superposición, el estado cuántico general de este sistema sería:
Y por el principio de superposición, el estado cuántico general de este sistema sería: donde:
Si midiéramos el estado del sistema obtendríamos un número entre 0 y k-1, y la salida j ocurría con probabilidad:
Para codificar n bits de información podríamos escoger usar k= niveles de un átomo de hidrogeno, pero para comprenderlo bien, comencemos usando simplemente n qubits.
Para empezar, consideremos el caso de 2 qubits, esto es, el estado de los electrones de 2 átomos de hidrógeno.
Debido a que cada electrón puede estar en estado fundamental o excitado, en física clásica, este sistema tendría un total de cuatro estados – 00,01,10,11y debido a ello, es posible almacenar 2 bits de información en este sistema.
En física cuántica, el principio de superposición nos dice que el estado cuántico de 2 electrones va más allá, y es una combinación lineal de los cuatro estados clásicos.
Normalizado a:
Si medimos el estado del sistema, obtendremos 2 bits de información. Como antes, si la salida de la medición es “jk” , entonces el nuevo estado del sistema es: Si “jk”=10, por ejemplo, entonces el primer electrón está en estado excitado y el segundo electrón en estado fundamental.
Ahora consideremos el caso general de n átomos de hidrógeno. Pensemos en n como un número relativamente pequeño de átomos, como n =500. De forma clásica los estados de 500 electrones servirían para almacenar 500 bits de información en la forma obvia.
¡Pero el estado cuántico de un sistema de 500 qubits es la superposición lineal de todos los estados clásicos posibles!
Es como si la naturaleza tuviera pedazos de papel, cada uno con un número complejo escrito en él, sólo para llevar el registro del estado de un sistema de 500 átomos de hidrógeno.
Ahora que si hablamos de un sistema que evoluciona en el tiempo, la naturaleza debería tachar los números y remplazarlos con su nuevo valor.
El número es mucho mayor que los estimados del número de partículas elementales que existen en el universo. ¿Dónde almacena entonces la naturaleza esta información?
En este fenómeno se encuentra la motivación básica de la computación cuántica. Después de todo, si la computación es tan extravagante al nivel cuántico, ¿porqué conformarnos con la física clásica?
En este fenómeno se encuentra la motivación básica de la computación cuántica. Después de todo, si la computación es tan extravagante al nivel cuántico, ¿porqué conformarnos con la física clásica?
Aquí surge un problema fundamental: Esta exponencialmente larga superposición lineal es el mundo privado de los electrones. Medir el sistema sólo nos revela n bits de información.
Un algoritmo cuántico es una estructura que refleja la tensión entre el “ambiente de trabajo” exponencial de un sistema de n-qubits y los meros n bits que se obtienen con la medición.
La entrada de un algoritmo cuántico consiste de n bits clásicos, y la salida también consiste de n-bits clásicos. Es mientras el sistema cuántico no es observado donde los efectos cuánticos hacen lo suyo.
Si la entrada es un string binario x de n-bits, entonces la computadora cuántica tomará como entrada n-qubits en estado
Luego una serie de operaciones serán ejecutadas para transformar el estado de n qubits a la superposición
Finalmente se realiza una medición, y la salida será un string binario de n bits “ ” con probabilidad
Observe, querido espectador, que esta salida es aleatoria. Siempre y cuando “ ” corresponda a la respuesta correcta con una probabilidad suficientemente alta, podemos repetir el proceso algunas veces para hacer el porcentaje de error minúsculo.
Ahora veamos con mayor énfasis la parte cuántica del algoritmo. Algunas de las operaciones cuánticas clave pueden pensarse como la búsqueda de ciertos patrones en una superposición de los estados.
Debido a esto, es conveniente pensar en el algoritmo como si tuviéramos dos etapas.
En la primera etapa, los n bits clásicos son “desempaquetados” hacia una superposición linear exponencialmente larga, la cual sabemos que tiene un patrón escondido o una especie de regularidad que, cuando se detecte, solucionará el problema.
La segunda etapa consiste en un conjunto de operaciones cuánticas, seguidas por una medición, que revelan el patrón escondido.
La operación más importante que se puede ejecutar de forma eficiente por una computadora cuántica es la versión cuántica del algoritmo rápido de la transformada de Fourier.
La transformada rápida de Fourier (FFT) tiene una entrada de un vector α de tamaño M y valores complejos. La dimensión del vector α debe ser potencia de 2, es decir M= La salida es un vector β de valores complejos y de tamaño M.
El algoritmo clásico FFT es capaz de realizar su cálculo en sólo O( ) pasos. Las computadoras cuánticas pueden implementar un FFT exponencialmente más rápido, en tiempo O( ).
El algoritmo clásico FFT es capaz de realizar su cálculo en sólo O( ) pasos. Las computadoras cuánticas pueden implementar un FFT exponencialmente más rápido, en tiempo O( ).
¿Pero cómo es posible que cualquier algoritmo tome menos tiempo que M, el tamaño de la entrada?
El truco está en que podemos codificar la entrada en una superposición de sólo m = log M qubits: después de todo, esta superposición consiste de valores de amplitud.
Escribiríamos esta superposición como:
donde sería la amplitud del string binario de m bits que corresponde al número en la forma natural.
Aquí podemos ver que la notación es sólo otra forma de escribir un vector, donde el índice de cada entrada del vector se escribe de forma explícita entre estos símbolos .
Hasta ahora sólo hemos considerado lo bueno del QFT: su velocidad. Pero veamos ahora la otra cara de la moneda.
El algoritmo clásico de FFT tiene como output los M números complejos:
En contraste, QFT prepara una superposición:
Y como vimos con anterioridad, estas amplitudes son parte del “mundo privado” de este sistema cuántico. Por ello, la única manera de poner nuestras manos en el resultado es midiéndolo, y midiendo el estado del sistema sólo nos da m = log M bits clásicos
.
De forma específica, la salida es un número aleatorio “j” de m-bits (esto es, 0≤j≤ M-1), de la distribución de probabilidad Pr[j]=
