Procesamiento Digital de Señal Tema 4: Análisis Análisis de Fourier Fourier en tiempo tiempo discreto discreto •Transformada Transformada de Fourier Fourier en tiempo discreto discreto (DTFT) • Serie de Fourier Fourier en tiempo discreto discreto (DTFS) (DTFS) • Transformada Transformada de Fourier Fourier Discreta Discreta (DFT) • Transf Transformada ormada Rápida Rápida de Fourier Fourier (FFT) Enventanado anado y resolución resolución espectral espectral • Envent
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Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
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Transformada de Fourier de una señal discreta •
La DTFT describe el espectro de señales discretas. Se puede deducir a partir de la convolución discreta que que se define como:
y [n ] = x [n ]∗ h [n ] =
∞
∑ x
[n − k ]h [k ]
k = − ∞
•
Si un sistema LTI tiene una señal de entrada x[n] armónica x[n] = exp(j2 fnT s ) = exp(jwnT ),, la respuesta respuesta y[n] y[n] es es s )
y[n] =
∞
∑exp
j (n−k )ω T s
∞
∑exp
⋅ h[k ] = exp
jnω T s
k =−∞
− jk ω T s
⋅ h[k ] = x[n] ⋅ H (ω )
k =−∞
Siendo H(w) un autovalor del sistema que representa representa la respuesta en frecuencia frecuencia – Se ha definido como H(w) la expresión
H (ω ) =
∞
∑
h[k ]exp
− jk ω T s
=
k = −∞
∞
∑ h[k ]exp
− jk ω )
k = −∞
y representa la DTFT de la señal discreta h[n] . La función H(w) función H(w) es periódica, debido a que h[k] h[k] son son valores discretos y su expresión es una serie de Fourier
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Representación mediante la DTFT •
La DTFT permite representar el contenido en frecuencia, X(w), de una señal discreta x[n] ∞
X(ω ) = X(e ) = jω
∑ x[n]e
− jω n
n = −∞
Y su transformada inversa es
x [n ] =
1
π
∫
X( e j )e jω n d ω ω
2π −π
Representación del par de DTFT: DTFT x [n ]← → X( e jω )
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Ejemplos DTFT
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Propiedades de la DTFT •
La DTFT es periódica de periodo 2
Xe
jω
) = X(e
jω + 2π
)
– Por tanto solo es necesario evaluar el intervalo [0, 2 ] o equivalentemente [- , ] •
Si x[n] es real su transformada DTFT verifica
X(e − jω ) = X* (e jω )
Re X(e − j ) = Re X(e j ) ω
[
ω
]
[
Im X(e − j ) = − Im X(e j ) ω
ω
]
X(e − j ) = X(e j ) ω
[
ω
]
[
arg X(e − j ) = − arg X(e j ) ω
ω
]
Es simétrica y basta calcularla en el intervalo [0, ]
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Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT) Propiedades de la DTFT:
Tabla 5.1: pág 391 Oppenheim
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Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT) Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT – Una señal periódica continua x p(t) se transforma en una función aperiódica y discreta que corresponde a los coeficientes espectrales X S [k] en el dominio de frecuencias de su serie de Fourier
X s [k ] =
1 T
∫ x (t )exp(− j 2π kf t )dt T
p
0
x p (t ) =
∞
∑ X [k ]exp( j2π kf t ) s
0
k =−∞
– De una manera dual, se puede intercambiar tiempo y frecuencia
x [k ] =
1
F
∫
X P ( f ) exp( j 2π kft s )df
X P ( f ) =
∞
∑ x [n]exp(− j2π kft ) s
k =−∞
donde F=1/T s es el “periodo de Xp(f)en el dominio de frecuencia”.
–
En este caso una señal aperiódica discreta x[k] se corresponde con una transformada periódica continua X (f) y se obtiene mediante la DTFT.
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Transformada Discreta de Fourier •
•
El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se resume en lo siguiente : –
Con las series de Fourier se pasa de una señal x(t), temporal, continua y periódica (periodo T ) y se representa por los coeficientes X [k] , que como una función de la frecuencia, son valores aperiódicos y discretos con una distancia entre dos valores consecutivos de f 0=1/T .
–
La DTFT se aplica a una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo t s=1/f s y aperiódica y se obtiene una función X(f), que es continua como función de la frecuencia y periódica con periodo F=1/Ts.
Para realizar operaciones con un procesador digital se presentan los siguientes problemas: – – – –
•
Se necesita tratar señales continuas Se manejan series de datos de longitud infinita. Un DSP sólo trabajar con un número finito de datos discretos La solución pasa por conseguir discretizar las variables continuas y limitar el número de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial).
Se hace necesario definir la series discreta de Fourier (DTFS) y la Transformada Discreta de Fourier (DFT).
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Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
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Señales periódicas en tiempo discreto: Series de Fourier •
Si x(t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es:
x (t ) =
∞
∑ X[k]e
j k ω 0t
k = −∞
•
Al igual que en tiempo continuo, una señal x[n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de exponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
•
Si la señal es periódica (x[n] = x[n+N]), con periodo N, su representación mediante la serie de Fourier es: ∞
x[n] =
∑ X[k] e
)
j k ω 0 n
k = −∞
– Donde ŵ0 = 2π/ N es la frecuencia fundamental de la señal periódica. frecuencia de la componente k -ésima en la superposición es k ŵ0.
La
– La frecuencia normalizada, ŵ = w Ts, incorpora la dependencia temporal y permite utilizar n en lugar de t como variable independiente
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Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) •
La cuestión que se plantea es: ¿cuántos términos deben considerarse en la suma para el caso de una secuencia discreta periódica de periodo N?
– Recordando las propiedades de las exponenciales complejas discretas j ( N + k )ω 0 n )
e
=e
)
)
jN ω 0 n jk ω 0 n
e
=e
)
j 2π n jk ω 0 n
e
=e
)
jk ω 0 n
•
En el caso discreto, exponenciales complejas con frecuencias distintas no siempre son diferentes y sólo hay N exponenciales complejas distintas de esta forma.
•
En consecuencia, se puede escribir la ecuación de la serie de Fourier de una señal discreta periódica:
x[n] =
∑
)
jk ω 0 n
X[k] e
k =< N >
– –
donde la notación k = < N > indica dejar que k varíe sobre cualesquiera N valores consecutivos (comúnmente se usan los valores de k = 0 hasta N -1). En este caso, sólo hay N valores de X[k] y cada uno de ellos tiene en cuenta la contribución de la componente exp (kwn) y sus repeticiones exp((k+lN)wn)
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Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) •
De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier – Para las Series de Fourier se cumple ( f 0=1/T ) x P (t ) =
∞
∑ X [k ]exp( j2π kf t ) S
X S [k ] =
0
k =−∞
1
∫
xP (t )⋅ exp(− j2π kf 0t ) ⋅ dt T T
– Para discretizar x p(t), tomamos N muestras de x p(t) durante un periodo a intervalos t s, de forma que N·t s=T . – Para calcular los coeficientes X[k] X [k ] =
=
N −1
1
Nt s 1
∑ x [n]⋅ exp(− j 2π kf nt )⋅ t P
s
0
s
n =0
N −1
∑
x P [n ]⋅ exp (− j 2π kn / N ) N n = 0
k = 0,1,2
L
, N − 1
– La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódica muestreada x P [n] .
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Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) • La representación mediante la DTFS está dada por
x[n] =
∑ X[k] e
ˆ 0n jk ω
k =< N >
X[k] =
1
∑ x[n] e
ˆ0n − jk ω
N n =< N >
• x[n] y X[k ] se relacionan y se establece la correspondencia: DTFS x [n ]← → X [k ]
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Ejemplos: Ejemplos: Serie de Fourier
En el limite N muy grande, la señal es no periódica y su contenido en frecuencias pasa a ser continuo y se corresponde con la transformada de Fourier de una señal discreta!
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Dominio de tiempo
Periódica
No periódica
Continua
FS : Serie de Fourier
FT: Transformada de Fourier
∞
∑
x (t ) =
X[k ] e
jk ω 0 t
x(t) =
k = −∞
X[k ] =
1
x (t )e T ∫
dt
∑ X[k] e
1
∑ x[n] e N n =< N >
Discreta
X(ω ) =
∫ x(t)e
− jω t
dt
DTFT: Transformada de Fourier en tiempo discreto
)
jk ω 0 n
k =< N >
X[k] =
∫
X(ω )e jω t d ω 2π − ∞
−∞
DTFS: Serie de Fourier en tiempo discreto
x[n] =
∞
1
∞
− jk ω 0t
Discreta
No periódica
− jk ω 0 n )
x [n ] =
(
1 2π
Periódica
π
∫ X( e
j ω
)
) e j ω n d ω
− π
∞
) ∑ x [n ] e − = −∞
X e j ω =
)
j ω n
n
Continua
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Dominio de la frecuencia
Transformada Discreta de Fourier (DFT) •
Transformada Discreta de Fourier
•
FFT (Fast Fourier Transform)
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Transformada Discreta de Fourier •
Muestreo en frecuencia de la DTFT para obtener la DFT – Para una señal x[n] limitada a N muestras con un periodo de muestreo T s.
– La DTFT se reduce a
X P ( f ) =
N −1
∑ x[n]⋅ exp(− j 2π nfT ) s
n =0 – X P (f) es periódica con periodo 1/T s. Si se muestrea esta señal N veces (en el periodo en frecuencias que es 1/T s, ) se obtendrán los valores discretos de la DTFT con un intervalo entre frecuencias f = (1/Ts)/N = 1/NTs Y por tanto X T [k] corresponde a sustituir f en los valores dados por f k = k/(NT s ) : N −1 X T [k ] = x[n]⋅ exp[− j 2π nkT s /( NT s )]
∑ n=0
N −1
= ∑ x[n]⋅ exp[− j2π nk / N ]
k = 0,1,2, , N −1 L
n=0
– Esta última expresión resultante es la Transformada Discreta de Fourier de una señal x[n] . • Nota: Excepto por el término 1/N es idéntica a la Serie Discreta de Fourier. [email protected]
Transformada Discreta de Fourier •
Transformada Discreta de Fourier (DFT), –
Se calcula sobre un conjunto finito, N valores, de la señal x[n].
–
Es calculable numéricamente y es una aproximación al espectro de la X(w)= DTFT{x[n]} señal.
–
Se obtiene tomando N muestras en el dominio de la frecuencia sobre la DTFT
–
Si se elige N adecuado, existen algoritmos rápidos para calcularla. FFT.
X [k ] =
N −1
∑ x[n]exp (
− j 2π nk / N )
k = 0,1,2,
L
, N − 1
n =0 •
Transformada Discreta inversa (IDFT),
x[n] =
1
N −1
X [k ]exp( ∑ N
j 2π nk / N )
n = 0,1,2,
L
, N − 1
k = 0
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Transformada Discreta de Fourier •
Convolución Circular o Cíclica
– La convolución de dos señales periódicas es infinito. Para este tipo de señales se define la convolución circular de dos secuencias x p [n] y h p [n] con periodo N :
y p [n] = x p [n]• h p [n] =
1
N −1
∑
x p [k ]h p [n − k ] N k =0
– La convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismo tamaño. Si no es así se rellena con ceros la secuencia más corta. – Se corresponde con el producto H[k]X[k] de las dos DFT •
Convolución lineal mediante la DFT –
Para realizar la convolución lineal de una secuencia h[n] de M puntos con otra secuencia x[n] de N puntos mediante la DFT, se expanden ambas secuencias con ceros hasta formar dos secuencias de K puntos ha[n] y x a[n] con K ≥ M+N-1 y se calcula las IDFT del producto de las dos DFTs.
y[n] = x [n]* h[n] = IDFT [ H a [ k ] X a [ k ]]
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Transformada Discreta de Fourier •
Propiedades de la DFT Simetría Conjugada
X T [− k ] = X T ∗ [k ] = X T [ N − k ]
Linealidad
α x[n ] + β y[n ] ↔ α X T [k ] + β Y T [k ]
Desplazami ento
x[n − m ] ↔ X T [k ]⋅ exp (− j 2π km / N ) = X T [k ]⋅ W N km
Modulación
W N − nm ⋅ x[n ] ↔ X T [k − m ]
Producto
x[n ] y[n ] ↔
Simetría
x[− n ] ↔ X T [− k ] = X T ∗ [k ]
Conjugar
x [n ] ↔ X T [− k ]
∗
1
X T [k ]* Y T [k ] N ∗
Convolució n Circular x[n ]* y[n ] ↔ X T [k ]Y T [k ] Correlació n. Ecuación de Parseval
∗ ∗ x[n ]* y [− n ] ↔ X T [k ]Y T [k ]
∑ x[n]
2
=
1
∑ X [k ]
2
T
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Transformada Discreta de Fourier •
Interpretación de los resultados del DFT de x s [n] de N puntos, siendo N el numero de valores de la secuencia –
Los N valores X[k[ son los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señal periódica discreta que corresponde a repeticiones cada N muestras de la secuencia x [n] .
– Son muestras del espectro continuo de una señal aperiódica discreta que corresponde a la secuencia x [n] . •
La DFT es una aproximación al espectro de la señal original. –
La magnitud se ve influenciada por el intervalo de muestreo,
mientras que –
La fase depende de los instantes de muestreo.
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Transformada Discreta de Fourier •
Ejemplo: sea x(t)=sin(2 ft), con f=1KHz , T s=1/8ms y N=8 x[n]={0,0.7071,1,0.7071,0,-0.7071,-1,-0.7071}
T 4 F D d 3 u t i n 2 g a M
Sinusoide 1KHz, Ts=0.125ms, N=8 1
1
0.5 d u t i l p m A
0 0
0
2
4 Indice k
6
8
DFT
-0.5 -1 0
DFT
5
5 0.2
0.4 0.6 Tiempo (s)
0.8
-3
x 10
4
1
La DFT es X[k]={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}.
T F D d u t i n g a M
3 2 1 0 -4000
-2000 0 Frecuencia (Hz)
2000
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Transformada Discreta de Fourier – Ejemplo 2: x(t)=sin(2 ft), con f=1KHz , Ts=1/4ms y N=8, x[n]={0,0.3827,0.7071,0.9239,1,0.9239,0.7071, 0.3827}. Sinusoide 1KHz, Ts=0.250ms, N=8
DFT 8
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
7 6 T F D 5 d u t i 4 n g a3 M 2 1 0
1
2 3 Tiempo (s)
4
5 -4 x 10
0 0
1
2
3
4 5 Indice k
6
7
8 -8000 -6000 -4000 -2000
0
2000
Los coeficientes del DFT son X[k]={5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654}
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4000 6000
Transformada Discreta de Fourier •
Tal y como se observa en las figuras anteriores hay varias formas de dibujar la gráfica de la DFT de una secuencia de datos. –
Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k . •
–
Se puede comprobar que |X T [k]| es simétrico respecto a N/2.
Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuencia. •
De la definición de DFT sabemos que cada intervalo de la DFT es 1/(Nt s ). La DFT nos da la Transformada de Fourier para las frecuencias
f
-(N/2-1)/(Nt s ),...,-1/(Nt s ),0, 1/(Nt s ), 2/(Nt s )...(N/2)/(Nt s )
k •
(N/2-1)
,...,
N-1 ,0,
1
,
2
...
(N/2)
La máxima frecuencia detectable por la DFT es f s /2, de acuerdo con el Teorema del Muestreo.
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FFT (Fast Fourier Transform) •
El cálculo de la DFT de N puntos de una secuencia x[n] es :
X [k ] =
N −1
∑ x[n]W
nk N
k = 0,1,
, N − 1
L
n=0
donde
W N = e− j 2π / N
El cálculo requiere – la suma compleja de N multiplicaciones complejas para cada uno de las salidas. – En total, N 2 multiplicaciones complejas y N(N-1) sumas complejas para realizar un DFT de N puntos.
•
El algoritmo FFT consigue simplificar el cálculo del DFT y reduce el número de operaciones aprovechando las siguientes propiedades : – Simetría y Periodicidad de los términos W N .
W N n+ N = W N n
W N Nk = 1
W N n+ N / 2 = −W N n
W N 2 = W N / 2
El valor de N se elige de forma que N=r m. • Al factor r se le denomina radix y su valor más habitual es 2, de forma que N=2m y algoritmo se denomina FFT radix-2. [email protected]
FFT (Fast Fourier Transform) •
Radix-2 FFT-Algoritmo de diezmado en el tiempo. – Se divide la secuencia de datos de entrada x[n] en dos grupos, uno de índices par y el otro de índices impar. – Con estas sub-secuencias se realiza el DFT de N/2 puntos y sus resultados se combinan para formar el DFT de N puntos.
X [k ] =
N / 2 −1
∑ x[2n]W
2 nk N
n =0
+
N / 2 −1
∑ x[2n + 1]W
( 2 n+1) k N
n =0
Se sustituye x1 [n] = x[2n] X [k ] =
N / 2 −1
∑ n =0
∑ x[2n]W
2 nk N
n=0
N / 2 −1 k N n=0
∑ x[2n +1]W
+ W
x2 [n] = x[2n + 1]
N / 2 −1
x1 [n]W N nk / 2 + W N k
=
N / 2−1
∑ x [n]W
nk N / 2
2
= Y [k ] + W N k Z [k ]
2 nk N
W N 2 nk = W N nk / 2 k = 0,1,2,
, N − 1
L
n=0
Esta última ecuación muestra que el DFT de N puntos es la suma de dos DFTs de N/2 puntos (Y[k], Z[k] ) realizadas con las secuencias par e impar de la secuencia original x[n] . Cada término Z[k] es multiplicado por un factor W N k , llamado “twiddle factor”. Ya que W N k+N/2=-W N k y debido a la periodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo N/2) se puede expresar X[k] como:
X [k ] = Y [k ] + W N k [k ] ⋅ Z [k ] k X [k + N / 2] = Y [k ] − W N [k ] ⋅ Z [k ] para k = 0,1,
, N / 2 −1
L
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FFT ( Fast Fast Fourier Transform ) Y[0]
x[0]
Y[1]
x[2]
+
X[0]
+
X[1]
+
X[N/2-1]
+
X[N/2]
+
X[N/2+1]
+
X[N-1]
DFT N/2 Puntos Y[N/2-1]
x[N-2]
x[1] x[3]
Z[0]
W 0
Z[1]
W 1
x
x
-1 -1
DFT N/2 Puntos Z[N/2-1]
x[N-1]
N/2-1 W x
-1
Los dos DFT de N/2 puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFTs de N/4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones Y [k ] = U [k ] + W N 2 k V [k ]
2k Z [k ] = R[k ] + W N S [k ]
Y [k + N / 4] = U [k ] − W N 2 k V [k ]
2k Z [k + N / 4] = R[k ] −W N S [k ]
Para
k = 0,1,
, N / 4 − 1
L
Para k = 0,1,
, N / 4 −1
L
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FFT ( Fast Fast Fourier Transform ) – El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el DFT de dos valores x[n] , en concreto x[k] y x[k+N/2] , para k=0,1,...,N/2-1. – Para una FFT de N=8 puntos con diezmado en tiempo, el esquema es: Butterfly
x[0]
+
W 0
x[4]
-1
x
+
W 0
x[2]
+
+
X[0]
+
+
X[1]
+
+
X[2]
+
+
X[3]
+
X[4]
+
X[5]
+
X[6]
+
X[7]
2
W
x[6]
-1
x
0
+
-1
x
W +
-1
x
W 0
x[1]
+
W 0
x[5]
-1
x
+
W 1 +
+
W 0
x[3]
+
x[7]
x
+
-1
3
W +
W
-1
x
Etapa 1
-1
x
2
x
-1
W 2
-1
x
0
W
-1
x
+
-1
x
Etapa 2
Etapa 3
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FFT (Fast Fourier Transform) – Las características de una FFT de N puntos mediante diezmado en el tiempo se sumarizan en la siguiente tabla :
Etapa 1 Número de Grupos Butterflies por Grupo Exponentes Twiddle Factors
Etapa 2
N/2
Etapa 3
N/4
1
2
(N/2)k, k=0
(N/4)k, k=0,1
Etapa log 2 N
N/8 4
1 N/2
(N/8)k, k, k=0,1,2,3 k=0,1,...,N/2-1
– Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas. Hay N/2 butterflies por etapa y log 2 N etapas. •
El número total de multiplicaciones es ½N·log 2 N .
•
El número total de sumas es N·log 2 N . [email protected]
as •
our er rans orm
Radix-2 FFT-Diezmado en Frecuencia
– Se expresa la FFT como suma de las FFT de dos secuencias, la primera con los N/2 primeros datos y la segunda con los N/2 últimos.
X [k ] =
N −1
∑ x[n]W
=
nk N
N / 2−1
∑ x[n]W
n=0
=
N / 2−1
n =0
∑ x[n]W
nk N
+
∑ x[n]W
nk N
n= N / 2
∑ x[n + N / 2]W
( n+ N / 2) k N
n =0
N / 2−1
N / 2−1 k
∑
x[n]W N nk + (−1)
n=0
=
+
N −1
N / 2−1
n=0
=
nk N
∑ x[n + N / 2]W
nk N
n =0
N / 2−1
∑ x[ [n] + (−1) x[n + N / 2]]W k
k = 0,1,2,
nk N
, N − 1
L
n=0
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FFT ( Fast Fast Fourier Transform ) – El diezmado en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de salida ( X[k] ) en dos ecuaciones, una para los índices pares X [2k ] =
N / 2−1
∑[ x[n] + x[n + N / 2]]W
2nk N
n=0
=
N / 2−1
∑[ x[n] + x[n + N / 2]]W
nk N / 2
k = 0,1, , N / 2 −1 L
n=0
– y otro para los impares. N / 2−1
X [2k +1] =
∑[ x[n]− x[n + N / 2]]W
n(2k +1) N
n=0
N / 2−1
=
∑[[ x[n]− x[n + N / 2]]W ]W n N
nk N / 2
k = 0,1, , N / 2 −1 L
n=0
X[2k] y X[2k+1] son los resultados del DFT de N/2 puntos realizado con las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de la secuencia de entrada. [email protected]
FFT (Fast Fourier Transform) •Radix-2
FFT-Diezmado en Frecuencia x[0]
+
X[0]
x[1]
+
X[2]
DFT N/2 Puntos
x[N/2-1]
X[N-2]
+
W 0
-1
x[N/2]
+
-1
x[N/2+1]
X[1]
x
W 1 +
X[3]
x
DFT N/2 Puntos N/2-1 W
-1
x[N-1]
+
X[N-1]
x
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FFT (Fast Fourier Transform) •Radix-2
FFT-Diezmado en Frecuencia Butterfly
x[0]
+
x[1]
+
x[2]
x[5] x[6] x[7]
-1 -1
+
-1 -1 -1 -1
X[0]
+
-1
+
+
x[3]
x[4]
+
W 0 +
x
X[4]
W 0 +
x
W 2 +
x
X[2]
+
-1
W 0 +
x
X[6]
W 0 +
x
+
+
x
W 2 +
x
W 3 +
Etapa 1
x
-1
+
-1 -1
X[1]
+
W 1
W 0 +
x
X[5]
W 0 +
x
W 2 +
Etapa 2
x
X[3]
+
-1
W 0 +
x
X[7]
Etapa 3 [email protected]
FFT (Fast Fourier Transform) •
Se observa que en el caso de diezmado en el tiempo, la secuencia de entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el orden correcto.
•
Para el diezmado en frecuencia, la secuencia está en orden mientras que la salida habrá que reordenarla. –
Para conseguir la reordenación basta con invertir el índice en binario. Orden (n)
binario
Inv. binario
reordenación
0
000
000
0
1
001
100
4
2
010
010
2
3
011
110
6
4
100
001
1
5
101
101
5
6
110
011
3
7
111
111
7
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Aplicación de la DFT
• Enventanado y resolución en frecuencia • Número finito de muestras • Espectro de la señal enventanada • Ventanas Rectangular, Hamming • Resolución espectral versus enventanado
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Enventanado y Resolución •
En teoría, para el cálculo del espectro de una señal discreta x[n] se necesita considerar infinitas muestras:
X (e
∞
jw
) = ∑ x (nT )e = −∞
− jwn
∞
= ∑ x[ n ]e − jwn n = −∞
n
Para poder realizar los cálculos de debe tomar un número finito de muestras L, Se tendrá x(nT)=x[n], para 0 n L-1 Este proceso se denomina enventanado
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Enventanado Duración de la ventana en segundos
T L = L ⋅ T
L muestras, T=1/f s
Señal de enventanado
1
0 ≤ n ≤ L − 1
0
resto
w [n ] = Señal enventanada
Rectangular
x[n] 0 ≤ n ≤ L − 1 x L [n] = x[n]⋅ w[n] = resto 0
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Enventanado Ventana Rectangular...
Señal Enventanada...
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MATLAB boxcar(10)...
Enventanado • El espectro resultante XL(e jw) será una aproximación a X(e jw) L −1
( ) ∑ x [n ]e − =
X L e jw =
n 0
∞
jwn
=
∑
x L [n ]e − jwn
n = −∞
DTFT
L → ∞ ⇒ x L [n] → x[n] ⇒ X L (e jw ) → X (e jw ) Efectos del enventanado...
x L [n] = x[n] ⋅ w[n] ⇒ X L e jw ) = X e jw ) ∗ W e jw )
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Enventanado
Enventanado rectangular
L sen w ( L −1) 2 − jw 2 jw W (e ) = e w sen 2
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Enventanado • •
El lóbulo principal domina el espectro
∆ f W =
El ancho del lóbulo se definirá según:
Frecuencia (Hz)
∆ f a W = ∆ f W ⋅ f s =
1 L
1
L
⋅ f s =
Frecuencia normalizada 1 L ⋅ T
=
1 T L
• Si la longitud de la ventana L es mayor, aumentará la altura del lóbulo principal, a la vez que su ancho disminuye • La relación de 13 dB entre el lóbulo principal y el primer lóbulo lateral se mantiene constante:
R = 20 log
W ( w) W (0)
≈ 13dB w=
3 2 L
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Enventanado (Ejemplo) Secuencia formada por dos exponenciales discretas
x[n] = A1e
jw1n
+ A2e jw n − ∞ < n < ∞ 2
X (e jw ) = A1δ ( f − f 1 ) + A2δ ( f − f 2 ) − 0.5 < f ≤ 0.5 Efecto del enventanado
x L [n ] = A1e jw1n + A2 e jw2 n
0 ≤ n ≤ L −1
)
X L e jw = A1W ( f − f 1 ) + A2W ( f − f 2 ) [email protected]
Enventanado (Ejemplo)
Espectro de una exponencial
Espectro de dos exponenciales...
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Enventanado Se ha supuesto f’=|f 2-f 1| grande para que no exista solapamiento entre los dos lóbulos principales de ambas exponenciales
– Si f’ disminuye empezarán a solaparse, dejando de distinguirse los dos lóbulos, lo cual sucederá cuando:
∆ f ' ≈ ∆ f W
Para tener resolución:
∆ f a ' ≥ ∆ f a W =
∆ f ' ≥ ∆ f W = 1 T L
=
f s L
1
L
Frecuencia digital normalizada
Frecuencia analógica
El mínimo número de muestras necesario para conseguir una resolución espectral f a’ dada una frecuencia de muestreo f s:
L ≥
f s
∆ f a '
∆ f a ' ↓⇒ L ↑ [email protected]
Enventanado • Los lóbulos secundarios deberán reducirse lo máximo posible para evitar confundirlos con los lóbulos principales de sinusoides más débiles – Para ello se recomienda el uso de otro tipo de ventana(s), que no concluya de forma tan abrupta como lo hace la rectangular
Ventanas Rectangular , Hamming , Kaiser...
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Enventanado (continuación...) 2π n 0 .54 − 0.46 cos 0 ≤ n ≤ L − 1 w[n ] = L − 1 resto 0 L − 1 ⇔ w[n ] = 1 n=
Ventana Hamming :
Centro Extremos
2
n = 0, L − 1
⇔
w[n ] = 0 .08
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Las ventanas anti - -leakage leakage 0 -10
1/NT 2/NT 3/NT 4/NT 5/NT 6/NT 7/NT 8/NT 9/NT
-20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90
• • •
Rectangular: los lóbulos laterales siempre peores a -30dB Triangular ( Barlett ): los lóbulos laterales llegan debajo de -40dB Cosenoidal:
– Hanning : y(n)=0.5+0.5cos(2 π n/M) el 1er. lobulo ya está bajo los -30dB, el segundo debajo de los -40dB. – Hamming : y(n)=0.54+0.46cos(2 π n/M) similar a Hanning, no descarta las muestras en los extremos de la zona de muestreo •
Otras: Parzen, con una ecuación polinómica [email protected]
Enventanado Ventanas espectrales: • Para señales truncadas, el espectro de la señal muestra unos picos que no decaen lo suficientemente rápido con la frecuencia. – Para ello podemos utilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar esas discontinuidades. – Los picos serán menores aunque el ancho de banda de cada lóbulo aumentará.
•
•
El enventanado introduce componentes de alta frecuencia que se atenúan si no se emplea una ventana “ abrupta”, pero reduciéndose la resolución espectral En ese caso, será necesario aumentarla incrementando el valor de la longitud de la ventana, o sea, L
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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Al asumir que el conjunto de muestras se repite periódicamente puede aparecer una
bloque repetido de muestras
discontinuidad entre la última muestra de un bloque y la primera del siguiente (efecto de leakage)
ventana anti-leakage
• Estas discontinuidades equivalen a componentes de frecuencias que corrompen el espectro analizado
• Para minimizar el leakage al conjunto de N
bloque sin discontinuidades
muestras de cada bloque se lo multiplica por una función (weighting window) que atenúa las primeras y últimas muestras de modo de evitar discontinuidades
N muestras
N muestras
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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Una ventana anti-leakage MULTIPLICA en el tiempo la señal original x1(t) por una señal periódica x 2(t), de período T (la ventana)
• Esta multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en el espectro de frecuencias del espectro de la señal x 1 con el espectro de la señal x2.
X [ x1 ( t ). x 2 ( t )] =
t
∫
−∞
X 1 [ f − f ' ]. X 2 [ f ' ]. df '
• Esta convolucion produce que cada barra (bin) del espectro de x1 posea “bandas laterales” agregadas por la convolución con x2.
• Dicho de otro modo, cada bin del espectro es “contaminada” por bandas laterales de los bin vecinos
• El espectro de la señal x2 influencia por lo tanto la transformación
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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT
El aparente no-uso de una ventana anti-leakage es en realidad equivalente al uso de una ventana rectangular, cuyo espectro es de la forma sin(f)/f
T
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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Dada una señal x(t), no nula en el intervalo [0,T] y limitada en espectro a W hertz (*), y del cual se toman N muestras
x (t ) ≈
N −1
∑ x ( n∆ t ).δ (t − n∆ t ) n =0
en dicho intervalo en instantes separados
∞
∫
X ( f ) = x (t ).e − j .2.π . f .t .dt
∆t<(1/2W)
• La transformada continua de Fourier se
−∞
convierte en una sumatoria finita de N
N −1
términos
X ( f ) =
n=0
• Si se define una variable k tal que f=k/t=k/(Nt) , con k
→
0,1,..,N-1 resulta
• Que es llamada TRANSFORMADA
∑
x ( n ∆ t ).e − j 2 .π . f . n . ∆t
X ( k ) =
N −1
∑
x ( n ).e − j
2π . k . n / N
n=0
DISCRETA DE FOURIER (o DFT) [email protected]
Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Las suposiciones que la señal es nula fuera del intervalo [0,T] y que es de banda limitada se contradicen entre sí. Por eso, aunque la DFT opera sólo sobre un conjunto de N muestras de la señal, en realidad asume que ese conjunto de muestras se repite periódicamente en el tiempo (lo que evita el
±
∞
de la integral), con período NxT
• Por ello con esas N muestras sólo es posible resolver el valor de N componentes de frecuencia: la componente continua, la de período N.T, la de período N.T/2,..., y excepto el término DC, las demás componentes poseen una amplitud y fase relativa al comienzo de las N muestras
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