Álgebra Para 5 Año Www.pre-universitarios.blogspot.pe

Índice I Bimestre

Capítulo 1

Teoría de exponentes

5

Capítulo 2

Polinomios

8

Capítulo 3

Productos notables I

11

Capítulo 4

Productos notables II

14

Capítulo 5

Repaso

17

Capítulo 6

División algebraica I

20

Capítulo 7

División algebraica II

23

Capítulo 8

Factorización

25

Capítulo 9

MCD - MCM - Fracciones algebraicas

29

II Bimestre

Capítulo 10

Ecuaciones de primer grado

32

Capítulo 11

Planteo de ecuaciones de primer grado

35

Capítulo 12

Ecuaciones de segundo grado

38

Capítulo 13

Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada

41

Capítulo 14

Sistemas de ecuaciones I

43

Capítulo 15

Sistemas de ecuaciones II

46

Capítulo 16

Repaso

49

Capítulo 17

Desigualdades - inecuaciones de primer grado

52

Capítulo 18

Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto

55

Índice I Bimestre

Capítulo 1


5

Capítulo 2

Polinomios

8

Capítulo 3


11

Capítulo 4


14

Capítulo 5

Repaso

17

Capítulo 6


20

Capítulo 7


23

Capítulo 8

Factorización

25

Capítulo 9


29

II Bimestre

Capítulo 10


32

Capítulo 11

Planteo de ecuaciones de primer grado

35

Capítulo 12


38

Capítulo 13

Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada

41

Capítulo 14


43

Capítulo 15

Sistemas de ecuaciones II

46

Capítulo 16

Repaso

49

Capítulo 17

Desigualdades - inecuaciones de primer grado

52

Capítulo 18

Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto

55

III Bimestre

Capítulo 19

Funciones I

59

Capítulo 20

Funciones II

62

Capítulo 21

Logaritmos I

66

Capítulo 22

Logaritmos II

69

Capítulo 23

Repaso

73

Capítulo 24

Progresiones

77

Capítulo 25

Factorial, número combinatorio y binomio de Newton

82

Capítulo 26

Radicación

85

Capítulo 27

Cantidades imaginarias

88

Capítulo 28

Repaso

91

IV Bimestre

Capítulo 29


94

Capítulo 30

Polinomios - productos notables

96

Capítulo 31

Repaso

100

Capítulo 32

Ecuaciones de 2do. grado

103

Capítulo 33

Sistema de ecuaciones

106

Capítulo 34

Inecuaciones - Valor absoluto

109

Capítulo 35

Funciones

112

Capítulo 36

Logaritmos - progresiones

116

Álgebra

1


Ejercicios resueltos y

1. Si: x =2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: (Ex. Admisión UNMSM 2010–I)

y −y y (4 x ) x . (x x ) y + ( x2) − y

2x2y − 6x − y

Resolución

Preparamos convenientemente a la expresión: expresión: 4

x y . x− y

y xy

. (x )

+

y

(x )

−

Reemplazamos el dato: 16 + 1 4 . (2) 2 + 2− 2 4 = 2 1 − 8−3 2 (2) − 6 (2)

2

2 (x y) 2 − 6 (x y) − 1

=

65 4 5

=

13 4

2. Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" es un número entero, entonces entonces el valor de 2(n+3), es: (Ex. Admisión UNMSM 2009–I) Resolución

Factorizamos: 5n+1. (base común elevado al menor exponente) se obtiene de dividir: 5n 1 . (1 + 5 + 52 + 53) = 780 +

5n + 1 ; 5n + 2 ; 5n + 3 ; 5n + 4 5n + 1 5n + 1 5n + 1 5n + 1

1 4 4 4 42 44 4 4 3

Factor común Operando: 5n + 1 . (156) = 780

&

5

n+1

=

1

5

&

n+ 1=1

&

n=0 ` 2 (n+3) (n+3) = 6

3. Resuelva la ecuación: 22x+2–5(6x)=32x+3, luego calcule 5 x (Ex. Admisión UNMSM 2011 - I) Resolución

Preparamos las potencias de la ecuación 2

2x

.2

2

x 2

4 . (2 )

−

−

x

x

x

x

5 . (3 ) ( 2 )

5 . (2 ) ( 3 )

=

=

3

2x

.3

2

x 2

9 (3 )

Entonces: 4a

2

2

4a

Factorizando: (4a – 9b)(a+b) = 0 4a=9b

4a

2

2 .2

x

=

2

3 .3

−

x

9b

2

0

−

5ab

Puesto que: a ≠ –b 4 . (2x)=9 . (3x) Para facilitar su resolución cambios: 2x = a / 3x=b

"

2

=

x+2

−

5 ab

−

9b

2 =

hacemos

0

–9 b

–9 ab

b

4 ab

a

–5 ab

=

3

x

+

2

;

x+2=0 ;

` x

= −

2

5

x =

5

−

2 =

1 25

(+)

Capítulo 01 Práctica 1. Calcule el valor de: 3

'` 12 j

−

−

+

8 52 B

2 +

a) 1 d) 4

9.

1 0, 5

; 47 E 1 −

b) 2 e) 5

a) 2 d) 4

c) 3

(x7 . x7 . ... . x7) ( x7 + x7 + ... + x7) 1 4 44 2 4 44 3

10 veces

10 veces

a) 72 d) 77

b) 70 e) 78

c) 76

2 3

x

−42

24

(− 3) 2

.x

; x!0

12 12

.x

n

Se obtiene x , entonces. ¿Cuál es el valor de n+3? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16 4. Si:

4

15 . 10 . 6

x=

2

96 . 15

5

4

; entonces es verdad que:

a) x < 2 b) x ∈ N d) 2 < x < 2,5

c) 3x ∈ N e) 2x ∈ Z

M=

=e

48 + 45 −

a) 9 d) 12

27 80

1/2

−

o G

b) 8 e) 14

4. 2

4

4

4

.

c) 3

b) m1/2 × n–4

c) m2 × n–1/4

d) m–2 × n4

5

11. Si al simplificar: x8 . x3 . x3m . 3 x2m el exponente de "x" es 10. Hallar el valor de "m" a) 15 b) 11 c) 13 d) 9 e) 12 12. Al resolver la ecuación: 9 x - 1 + 9x + 9x + 1 + 92 = 30 . Indica una característica del valor obtenido para "x". a) Es un número impar. impar. b) Es un número no negativo. negativo. c) Es un número fraccionario. fraccionario. d) Es un número primo. e) Hay dos correctas.

14. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II) Si x es positivo, positivo, simplificar la expresión:

c) 10

1 2

2 3

3 4

x

4 5

x

x

x ...

n n+1

x

2

2

x

3

a) 0,1 d) 0,75

4

a) m2 × n–4

6. Reduzca la expresión: expresión: 4

= 81

13. Calcular "x" en: 3x–7+3x–5=3x–6+7x–6 a) 24+1 b) 42 – 1 c) 32 – 1 d) 23 – 1 e) 43 – 1

5. Calcule el valor de 6M, si: 12 − 20 +

x+1

b) 5 e) 1

7

23

. x−

B

e) m2 × n4

3. Al reducir la expresión: expresión: (x ) . x

x+1 4

8

10. Si: 5x = m y 5 z = n, halle: (0,04) –x+2z

2. Indique el exponente exponente final de "x" en: 1 4 4 42 4 4 43

Calcular el valor de "x": 83

b) 0,25 e) 0,83

a) x1/2 d) x

c) 0,5

n + 3n

b) xn e) 1

c) x2

15. (Ex Admisión UNMSM 2007 – I) 7. Simplifique la expresión: expresión: x

x

x

x

Si:

; x>0

x

a)

6

d)

5

x x

5

b)

8

3

e)

6

x

7

x

31

c)

9

x

8

8. En la ecuación: 3x + 3x–1+3x–2+3x–3+3x–4=363 Calcular el valor de 2x. a) 5 b) 8 c) 16 d) 2/5

e) 10

=

15

7 7

-7

n-4

a) 3 d) 2

n

-7

3

1 8

G

=7

. Hallar la suma de cifras de "n".

b) 8 e) 9

c) 1

16. (Ex Admisión UNMSM 2009 – I) ¿Qué valor debe tomar "m" para que se verifique la igualdad: ^0, 1h- m . ^0, 01h- 2m . a)

11 8

b) – 11

d)

12 11

e) – 11

15

12

0, 001 = 10?

c)

11 12

Álgebra Tarea domiciliaria 1. Hallar el valor de "x" en la ecuación: 34 a)

11 2

d) – 11 4

2. Resolver: a)

3

2

x+1

.

11 4

d) –

b)

11 4

e)

13 2

4

2

4 11

=3

11. Muestre el exponente final de "a", luego de

32

transformar:

c) – 11

=

6

2

11 7

c)

3. Resolver: 5x+1+2.5x=35 a)

b)

2 7

d)

53 7

e)

11 7

1 4 4 4244 4 3

32 veces

c) 3

5. Calcular el valor de "x": 3

16

a) – d)

1 17

36

x-1

144

=

x-1

1 16

a) 9

b) 3

d)

3

9. Resolver: 81

x

=

2x 3

3

2

5 7

e)

3 8

= 27

4

2x

1 4

b) –1

d)

1 2

e) 1

a)

1 2

b)

x-1

x 3 5 +

=2 3 5

-2

= 25

-8

d)

-3

-1

.

1 3

e)

1 4

c)

11 6

e)

21 4

b) 2–1

d) 4

e) 6

b) 36

c)

10

x-1

3 2x - 16

2

+ 4 = 17 1 8

2

2x

+2

76

2

2x

+2

56

+3

=2

d) 23

x -2

x -3

+3

e) 33 x-4

+3

= 363

.

Calcular el valor de 2x. a) 5

b) 8

xy =

3 ...... 1

2

c) 16 . Calcular:

yx

d)

e) 10

2 5

8

4

b) 64 e) 2

2

2 3

17. Hallar "x" de: a) 2 d)

2 x +2

2

;

11 7. x+5 2

. e)

5 2

3

4

=4

b)

2 2

e)

2 2 n

c) 4

= (nx) x , entonces ¿cuál es

c) 100

e) 5 2

- 4x + 4

2 12 + x - 8x

=3

. Dar como respuesta:

E

a) 7

b)

77 6

6 5

e)

14 15

d)

d) 4

x

d) 121

c) – 1

c)

16. Si: xayb=10a...(1) ; xbya=10b...(2). Calcular: (xy)x/y. 10 c) 1010 b) 10 10 a) 1010 d) 10 e) 10–10

19. Resolver: 2x

3 2

x

2

c)

c) 34

3 +3

9 2

c)

a) 8

18. Se sabe que: x = 7 8 y x x el valor de n2? a) 49 b) 64

.

a)

10. Resolver: 3225

-x

- 1

e) 6

.

b)

d)

a) 16

1 17

d) 5

c) 16 2x 3

13 6

d)

-8

.

x y = 9 ...... 2

c)

c) 4

b) 4

8. Resolver: 2

4 3

.

.

7. Hallar el valor de "x": 25

1 3

= 81

e)

1 2

1 2

e)

b)

15. Si:

2

a) 2

a)

x

b) – 1

2 3

6. Resolver:

d)

"2x - 4" veces

1 3

- 4y

5x - 3y

7 4

14. En la ecuación:

1 4 4 44 2 4 4 44 3

b) 4

a

ax

a)

a) 20

4. Hallar el valor de "x": 2 x + 2 x + 2 x ... + 2 x = 2 # 2 # ... # 2 . a) 9

3x

2x

13. Calcular el valor de "x":

c) 1

1 7

a3x + y .

12. Hallar el valor de x x , al resolver:

15 7

13 2

e)

x

2

x+3

b) –

x-3

20. Si: x = 6 + a) x=–3 d) x=2

6+

c) 11

. Entonces se cumple que: b) x=3 c) x=–2 e) x=4 6 + ...

Capítulo 02

2

Polinomios

Ejercicios resueltos 1. Si la expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de m+n+a+b.

Resolución

El dato expresa; que los términos del "polinomio"

además: 3+m+b=10 a=7 m+b=7

se reducen a un monomio; por lo tanto: 3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1. son términos semejantes. &

`

m+n+a+b=7+7+6=14

a – 2=5 / n=6; b+1=6

m+n+a+b=14

2. Halle el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente con la suma de sus coeficientes es 12.

Resolución

Por propiedad: / coef . P(x)=P(1) / T. Independiente P(x)=P(0) luego, se establece; del dato: P(1)+P(0)=12 donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces: (2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=12 [ 1 +4+2h – [ 1 +2h=12 2 x 2h=8 ` h=2 "

3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f(x).

Resolución

Piden:

P(1)=12 – 3= –2

T. Independiente f(x)+ / coef . f(x)

P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1

Por propiedad: f(0)+f(1)

y como:

Del dato: P(P(0))+P(P(1)) P(0)=02 – 3=–3 P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6

f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1)) `

f(0)+f(1)=6+1=7

Álgebra Práctica 1. Resolver los siguientes ejercicios: * Sabiendo que: F(x)=x2+5x+4, halle F(6). * Si: F(3x – 4)=x2 – 3x+2, halle F(11). * Si: F(x)=x2+3x; G(2x+3)=x2–x, halle: F(5)+G(17). 2. (Ex. Admisión UNMSM 2013–I) Si: f(x–3) = x2+1 y h(x+1) = 4x + 1 halle el valor de h (f(3) + h(–1)) a) 117 b) 145 c) 115 d) 107 e) 120 3. Con respecto al polinomio: P(x) = 3x+2, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. P(z) = 3x + 2 II. P(x+2) = 3x + 6 III. P(P(x)) = 3P(x) + 2 Dé como respuesta la secuencia correcta a) FFF b) VFF c) FFV d) VFV e) VVV 4. Se define: H(x+3) = 5x – 1 H(P(x)) = 5x + 4 Calcular: P(2) a) 6 b) 7 d) 9 e) 12

c) 8

5. Si la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (x2+3x+1) 2–7x(x+1) es "a"; y el término independiente de Q(x) es " b". Halle: a + b2; si: Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2 a) 243 b) 543 c) 267 d) 257 e) 357 6. Halle el coeficiente del monomio: F(x;y;z)=(9a+ b) xa+3 y5 zb – 2, si sus grados relativos son iguales. a) 65 b) 16 c) 47 d) 88 e) 82 7. Indique el valor de n/m si se sabe que en el siguiente polinomio se cumple que: GA(P)=8 y GR(y)=5 P(x; y) = 3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 8. Dado el polinomio homogéneo: A(x; y; z)=xm+2+(m+n)yn – (m – n)zm+n – 4 Calcule: 3 A^ - 2; 2; 2h . a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 7 9. Sea: P(x;y)=x12y5+axby8+bx11ya; un polinomio homogéneo. Hallar la suma de coeficientes de P(x;y). a) 14 b) 16 c) 15 d) 17 e) 18

10. Si: F(x)=xa – 2 +2xb – 3 +3xc – 4 +...+nxm+nm es un polinomio completo y ordenado de 15 términos. Hallar: a + b . c

a) 2

b) 16

c) 15

d) 1

e) 8

11. Sea: P(x)=(2x+3)2 – 4x(x – 1) – 74 F(x)=a(x – 5) +b(x – 2) Hallar: a b, si: P(x) ≡ F(x). a) 55 b) 30 c) 84 d) 18

e) 72

12. Sea: A(x)=3x2 +bx2 – 5 – ax – 7x+c; un polinomio idénticamente nulo. Hallar: E = a + b . c

a) –2

b) 4

13. Calcular: E =

b−c a+2

c) 8

d) 1

e) 6

si se cumple que:

a(x – 3)2+b(x – 2)2+c(x – 1)2 ≡ 5x2 – 2x+3 a) –4 b) 4 c) 7 d) 9 e) 5 14. Sea el polinomio: f(x) = x(x+1), si para a≠b, se cumple que: f(a)=1–b y f(b)=1–a, calcule el valor de a+b a) 1 b) 0 c) 2 d) –1 e) 1/2 15. Si g(x) es un polinomio que cumple g(x–1)=x 2–x+1, entonces el equivalente de: g(x+1)–g(x–1), es: a) 4x+4 b) 4x+2 2 c) 2x –4 d) 2x–2 2 e) 2x +2x+4 16. (Ex Admisión UNMSM 2006 – II) Si: f(x – 1)=2 f(x – 2) – 1; f(–3)=2. Hallar f(0). a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 12 17. (Ex Admisión UNMSM 2009 – II) Si el polinomio: P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+... es ordenado y completo. Calcular: P(1) – P(–1) a) –15 b) –12 c) 12 d) 5 e) 15 18. (Ex Admisión UNMSM 2010 – I Hab. Matemática) P(x)+Q(x)=ax+b, P(x) – Q(x)=a+bx y P(5)=4 Calcular: P(Q(1)). a)

4 3

b)

1 3

d)

5 3

e) – 4

c)

2 3

3

19. Dadas las expresiones: P(2x+1)=x2 ∧ Q(P(x+1))=x–1 Calcule el mayor valor de Q(4) a) 1 b) 3 c) 0 d) –3 e) –5

Capítulo 02 Tarea domiciliaria n+2 3

2

1. Si el monomio: M(x)=(n –1) x es de grado tres, calcular el coeficiente. a) 46 b) 47 c) 48 d) 43 e) 49 2. Si: P(x)=x – 3 y P(f(x))=3x – 4. Calcular: f(3). a) 9 b) 6 c) 8 d) 0 e) 2 3. Si: P(3x – 1)=6x – 1. Determinar: R(x)=P(2x+4). Señalar el término independiente de R(x). a) 4 b) 13 c) 9 d) 3 e) 6 4. Si: f(x)=2x+8 y g(x)=2x+k. Además: f(g(x)) – g (f(x))=18. Calcular: k – 1. a) 4 b) 9 c) 18 d) 16 e) 25 5. Si se cumple que: h(x)=x+2 y f(x)=x+k. Calcular "k", si además: h(f(k+3))=5. a) 0 d)

b)

0v − 17 3

3 17

c)

17 3

e) – 17 3

6. Dado el polinomio mónico y a la vez cuadrático tal que: P(x)=(a – 8)xa – 10 +(a – 2b – 2)xa – 9+a+2b. Determinar: P(x). a) x2 – 2x+12 b) x2 – 3x+15 c) x2+3x+13 d) x2+3x+19 e) x2+3x+11 7. Determinar "x" en la igualdad: h(g(x))+15=g(h(x)) – 2x Si se cumple que: h(x)=2x+5; g(x)=3x – 2. a)

2 3

b)

d) – 2

3 2

c)

4 3

e) – 3

3

2

8. Si se tiene el polinomio: P(x)=(1+x2)(1+x4)(1+x6)... "2n" paréntesis. Determinar el grado de P(x). a) n2(n+1) d)

2

n 2

b) (n2+1)n e)

n

2

c) n(n+1)

^n + 1h 2

9. Sea P(x) un polinomio lineal tal que: P(a+b)=a + P(a – b) / ab≠0 Determinar el coeficiente lineal de dicho polinomio a) a+b b) a – 2b c) a 2b d) 2a+b e) a – b 10. Sabiendo que: P(x+2)=6x+1; P(f(x))=12x. Resolver: f(f(x–1))=13. b) 0,25 c) 0,75 a) 0,53 d) 2 e) 4 !

11. Si: P(x)=7xn – 8xn+1 – xn+2; es completo en "x" ¿Cuál es el valor de P(2)? a) –14 b) –13 c) –15 a) –16 b) –17 12. Siendo: E(x;y)=xmm– 2+3xnmy17 – xm-3y28 – m un 4 2^m - nh

polinomio homogéneo. Indicar: a) 16 b) 0 c) 2 d) 3

n

m +n

m

-1

e) 4

13. Si: P(x)=mxp – 1+nxm – 2+mnxn – 3+pxm; es un polinomio completo y ordenado ascendentemente, dar la suma de coeficientes a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24 14. Si los polinomios: (x–a)(x–b)+(x–c)(x-b)+(x–c)(x–a), y ax2+bx+cb+a son equivalentes. Indicar el valor de: ca–1 – b a) 19

b) 35

d) 11

e) –5

c)

25 3

15. Si: x4 + 4 / ^ x2 - ax + ah^x 2 + 2x + 2h . Calcular: "a" a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 16. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a+3b – 10)x2+(5a+6b – 23) Calcular el grado de: Q(y)=(b – a – 2)y a+b – 1+2bxa+1 a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0 17. Si se cumple: AKx 2+3xK+2BK ≡(A+1)x2+Bx+3B, el valor de: (A+B+K) es: a) 6 b) 8 c) 9 d) 14 e) 7 18. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: P (x; y) = 3pxn

a) 324 d) 542

2

- 5 12

y

2

p q n 3n + 5^ p - qh x y + ^13q + 4h x y

b) 254 e) 432

- 14

c) 756

19. De la siguiente identidad: (x+1)5 + (x–1)5 ≡ 2x5 + ax3 + 10x + b Calcule el valor de: (a–18) (b+3) a) 4 b) 6 c) –4 d) 8

e) 0

20. Dados: P(3x2+2x)=(3x2+2x+2) 2+3(3x2+2x+2) 3. Hallar: E=P(2x – 2) – 4x 2 a) 6x2 – 2x2 b) 6x3 c) 12x3 d) 24x3 e) 6x3+2x2

Álgebra

3


Ejercicios resueltos 1. Se sabe que x2+5x=4, entonces, ¿cuál es el valor de (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 79?

Resolución

Ordenando lo que se pide: ^ x + 1h^x + 4h^ x + 2h^ x + 3h - 79 1 4 4 4244 4 3 1 4 4 4244 4 3

2

2

= ^ x + 5x + 4 h ^ x + 5x + 6h - 79

Reemplazando el dato: = ^4 + 4h^ 4 + 6h - 79 = 80 - 79 = 1

2. Simplifique la siguiente expresión: ^ x + 1h^ x - 1h^ x2 + 1h + 1 . x ! R + .

Resolución

Aplicando diferencia de cuadrados:

=

^ x + 1h^x - 1h^x 2 + 1h + 1 ^ x2 - 1h^x2 + 1h + 1

=

^ x2h2 - 1 + 1

=

x

4

=x

2

3. Calcule el valor de x3+6x si se sabe que

x=

3

Resolución

Elevando al cubo el dato: 3

x =^ 3

3

4-

3

x = 4-2-3

3

3

2h

4.

3

2

^3

4

−3

2h

1 4 42 4 4 3 1 4 4 4 2 4 4 3

2

"

3

x = 2 - 6x

`x

3

+ 6x = 2

x

4-

3

2

Capítulo 03 Práctica 1. Efectuar: (x+5)2 – (x+4)2 – (x – 3)2+(x – 4)2 a) 8 b) 16 c) 12 d) 20 e) 14 2. Efectuar: â + bhâ - bh + 2ab + 2b2 a) a+b b) a – b c) ab d) 2ab e) 4ac

4. Si se cumple: a) 3

b) 2

. Calcular: E =

c) –3

2

m + 2mn 2

n - 2mn

d) –2

e) 0

5. Efectuar: ^ x + 1h^ x + 3h^ x + 6h^ x - 2h - ^ x2 + 4xh^ x2 + 4x - 9h

a) 10 d) –10

b) 5 e) –36

c) 0

6. Si se cumple: x+x–1=6. Calcular: x3+x–3 a) 196 b) 198 c) 216 d) 144 e) 176 7.

Sabiendo que: x2+1= 3 x. Calcular: x3+x–3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3

8. Si: 32x + 32y = 27; 3x+y=11, calcule el valor de: K = (3x + 3y)3 a) 512 b) 216 c) 729 d) 125

a) a18 d) a4

b) a27 e) a24

13. Si: x3=1, x ≠1. Halle:

3. Sabiendo que: p + q = 6; pq = 10. Calcular: p2+q2 a) 16 b) 26 c) 6 d) 36 e) 0 m n + =2 n m

12. Efectuar: (a+1)(a – 1)(a4+a2+1)(a6 – a3+1)(a6+a3+1)+1

e) 343

10. Sabiendo que: S=

x + 3y 4x

a) 1 d) 4

+

; b= 16 b) 3 e) 6

5

+

5 -2

d) – 1

e) – 1

c) 4

c) 3

14. (Ex Admisión UNMSM 2007 – II) Si se cumple:

)

x3 = 8 ; x ! 2 y3 = - 1 ; y ! - 1

Hallar el valor de: (x2+2x+3)(2y2 – 2y+5). a) –3 b) 4 c) –5 d) 7 e) –6 15. Si: 25x+9x=2(15x), determine el valor de: − E= 5

7x + 1

+

3−

7x + 2

7 . (5− 7x − 1)

a) 10 d) 8

b) 2/5 e) 15

c) 5

16. (Ex Admisión UNMSM 2010 – II) Si a(b+c)=–bc y a+b+c=2, entonces el valor de: a2+b2 +c2 es: a) 4 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 4 2 x

M=3

a)

1 2

b)

xy 2

d)

x-y 2

e)

1 3

c) 9x3

xy x-y

c) xy

18. Si: bx+by=3, x+y=0. Calcule: b 2x+b2y. a) 1 b) 7 c) 11 d) 8 e) 10

a)

(x–3)(x+3)(x2+3x+9)(x2 – 3x+9)–(x3–27)2+1458 b) 27x3 e) 27

5

2

6

19. Si

11. Efectuar: a) 54x3 d) 54

c) – 1

4

.

2x y + 3x

b) 2 e) 5

6

x +1

17. Si se cumple que: x + y =66; x>y. Calcular:

1 1 4 + = , encontrar el valor de: x y x+y

2y x + 3y

^ x 4 + 1h

b) – 1

3

9. Calcular: M=(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a+b)(a – b)+1 2+

4

a) – 1

y

para: a= 16 a) 2 d) 5

x

c) 1

d)

1+a a

2 =

2 2 2 (0,5)

2

, calcula el valor de: F = a9 + a–9 b)

2

e)

2 /3

c)

3

2

Álgebra Tarea domiciliaria 10. Reducir: M=(x+y) 2+(x – y)2+2(x+y)(x – y) – 4x 2 a) x+y b) x – y c) xy d) x2+y2 e) 0

x 4y 2 . = + y x

1. Sabiendo que:

3x + 2y 5x - 2y . x + 2y 3x + 2y

Calcular: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Si: â + bh2 - â - bh2 = a + b, "a, b, 1 R +

` je a +2 b

Calcular:

3

a +b b

3

3

a) 2

b)

d) 4

e) 6

o

2

+a -b

2

12. Si: c) a – b

a b

2

^ x + 1h ^ x

2

a) 1 d) 2

2

+ 2x - 1h - ^ x - 1h

^x

2

b) 2x e) x3

- 2x - 1h

c) x

E =^

Si:

a) 1

= 3 â - bh

.

b) –3

5. Sabiendo que: a) 12

)

c) 3

3

d) 2

3

a + b = 40 . ........ ^1h

b) 10

. Calcular: a2+b2

4 ......... ^2h

a+b =

c) 16

e) –2

d) 24

e) 20

6. Siendo a, b y c números pitagóricos tales que c>b>a Determine el valor de: a) 1

4

4

c -a -b

4

2 2 â2 + b2h - â 2 - b 2h

b) –1

d) –2

e)

3

c) 2

5+

2

2

2 h^

3

3

4-

10 +

b) 8

3

3

25 h + ^

c) 9

`3

3 - 1h

16. Si: x=

2

3

2

5

a

b) 15

^m + 1h ^m - 1h ^m - 1h ^m m4+1 b) m4 – 1 m2 – 1 e) (m – 1)4

E=

a) d) 9. Si: x+x–1=5. Calcular: x – x–1 a) 2 d) 4

21 21

b) 5 21 e) 21

1 2

+ 1h

c)

^m

4

2

- 1h

m2+1

21

∧

1 3

c)

d) 10

25 + 2 x

a) 4

b) 9

d) 25

e) 36

a) 2 d) 5

e) 13 y x

d) 1

+

x y

e)

2 3

x ≠ 5

Calcular: E = 8x +

20. Si bx+b–x= c) –2

e) 6

b

c) 7

b) 1

19. Si: x3 = 125

8

j

(x+y)9– (x – y)9 – 3(x2 – y2)3[(x+y)3 – (x – y)3] a) 800 b) 8000 c) 1000 d) 125 e) 64

a)

2

3

3 ; y=1. Calcular el valor de:

18. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II) Si se satisfacen: x+y= 5 ; xy=2. Hallar:

De estas expresiones son correctas: a) Ambas. b) La primera. c) La segunda. d) Ninguna. e) No se puede determinar. 8. Simplificar: 3

2 –1

9 + 1+

d) 10

II. x + x + 1 = ^ x + x + 1h^ x - x + 1h

10

7

15. Efectuar: (m – 1)(m 2+m+1) – (m+1)(m2 – m+1) a) 2m3 b) –2m3 c) 2 d) –2 e) 0

a) 12

x - 1 = ^ x - 1h^ x + x + 1h 2

3

c

1 2

3

4

2

17. Si: (a – b)2=ab; (b – c) 2=3bc; (c – a)2=5ca; donde abc≠0 Halle: a + b + b + c + c + a

7. En un libro de Álgebra, se lee: I.

3

a) 7

2

c)

14. Calcular:

2 â b h

2

b) 2 e) 2

x2 y2

13. Calcular: E=3x2 – 5xy+3y2. Si: x= 2 +1; y= a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

14 14 4. Halle el valor de: 3â 7+ b7 h ; ab ! 0

a b b a

^ x + yh4 - ^x - y h4

x y 1. Calcular: G = 3 + = y x

a) 1 d) 4

3. Mostrar el equivalente de: 3

11. Reducir: (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) – (m 2+5m+5)2 a) –m b) –1 c) m+1 d) 1 e) 0

3 + 2

2

B

1 2

c) 16

. Calcule el valor de b 4x+b–4x

b) –3 e) 4

c) 1

Capítulo 04

4


Ejercicios resueltos 1. Calcule el valor de

x2 + y2 + z2 si

se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8

Resolución

Del dato se tiene que: x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16 Se sabe que: (x + y + z)2=x2 + y2 + z2 + 2(16) Reemplazando los datos: (8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32 x2 +y2 +z2 =32 "

`

x2 + y 2 + z 2 =

2. Calcule el valor de: J =

=

32 = 4 2

x 3 + y3 + z 3 2

2

2

x +y +z

G;

xy + yz + zx xyz

E, si se sabe que: x =

5-

2, y =

2-

3 ,z=

3-

5

Resolución

Sumando los datos se obtiene: x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a: 3xyz J = - 2^ xy + yz + zxh J = 3 = - 3 -2 2

;

E;

xy + yz + zx xyz

Por identidad condicionales: x3+y3+z3=3xyz Si: x+y+z=0

E

x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)

8 B

3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.

Resolución

Ordenando el dato: x2 - 6x + 9 + y 2 + 2y + 1 = 0

1 4 42 4 4 3

1 4 42 4 4 3

^ x - 3h2 + ^ y + 1h2 = 0

Por el teorema x2 + y2=0 x=y=0 6 " x; y , 1 R se tiene: (x - 3)2=0 / (y - 1)2=0 x=3 / y= -1 ` (x - y) 2=16 "

"

Álgebra Práctica 2

a +b 2

1. Siendo:{a,b} 1 R , tales que: 3 2 indicar el valor de: M = a2 + b3

2

+1 = a+b

,

V =

a +b

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2. Dados: {a,b,c}1 R tales que: a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) =4 y a+b+c=6. Indicar el valor de: a2+b2+c2 a) 28 b) 32 c) 36 d) 40 e) 44 3. Siendo a un valor de x que verifica la siguiente condición: x2+2x+4=0, indicar el valor de: 3 2

+

2

4

a) 25 b) 27 c) 29 d) 32 e) 36 4. Se tiene las siguientes condiciones: a+b+c=4, ab+bc+ca=3 y abc=2. Determine el valor de: (a+b)(b+c)(c+a) a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 5. Siendo "a" el valor de x que verifica la ecuación: x+1= 3 x . Calcular el valor de: N = â + 1hâ + a- 2h a) 5 d) 7

b) 3 e) 6

5

c) 2

6

6

b) e)

2 7

7

3 6

2

; a) –3

2

2

2

5

c)

3

5

b) –6

2

2

2

a b c + + bc ac ab

b) 6

c) 9

E

d) –9

c) 7

d) 8

9. Sabiendo que: a + b + c = 0 ab + bc + ac = –7 y abc = –6 Calcule: a–2 + b–2 + c–2 a) 1/2 b) 49/36 a) 7/36 b) 7/6

e) 12

e) 9

M=

2h^ 2

c) 26/36

b) 1

m

e) 8

13. Dadas las condiciones: * x=a2+2bc * z=c2 – 2ab

, si (x–y)2=(z–y)(x–z).

c) 0,2

* y=b2 – 2ac

x= 2 – 1 y=1– 3 2 . Además: z= 3 2 – Determine el valor de: (a – b – c) 2 a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 14. Sabiendo que: x+y= 3

^ xyh

^ x + yh6 - x6 - y6

15. Reducir:

.

b) 1 3

1 -1

x +y

-1

c) –1 3

3

â - bh2 + ^ b - ch2 + ^c - ah2

c) –1

e) –2

; x≠y. Reducir:

d) –2

a + b + c - 3abc

b) 1

2 +4

e) 2

. Siendo: a+b+c=6 d) –2

e) 2

16. Si: x3 +y3+z3=3xyz x+y+z≠0; siendo {x;y;z} 1 R , /

3

y + zh

+

x3

b) 16

^ x + yh3 z3

+

c) 24

^z + xh3 y3

.

d) 12

e) 28

17. Si: a3+b3+c3=5 , y â + bhâ + ch^ b + châ2 - ab + b2hâ2 - ac + c2h^ b2 - bc + c 2h = 40

hallar el valor de: a9 + b9 + c9 . a) 15 b) 10 c) 5

d) 20

e) 25

18. Si: 4a2 + 4b2 = 4c (a+b) – 2c2; {a; b; c} ⊂ R 2 2 Halle: 12b +212a

d) 2

a) 1 d) 2

b) 3 e) 5

c) 4

19. Si: ax + by + cz + abcxyz = 0, calcule el valor de: (ax + 1) (by + 1) (cz + 1) (ax − 1) (by − 1) (cz − 1)

2h

^ x + xy + z y + xz + z 2 ^ x2 + y2 + z2h

a) 0,1

z

3c

10. Siendo: {x; y; z} 1 R . Indicar el valor de: 2

y

Indicar el valor de: x3+y3+z3+3xyz a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

a) 20

8. Dados: x; y ! R tales que: x2 – xy+y2=2(x+y – 2)=4 Indicar el valor de: M = x3 + 5xy + y3 . a) 5

cx

reducir: P = ^

6

E;

e) 38

2

7. Si: a+b=–c, calcule el valor de: a +b +c ab + ac + bc

d) 0

12. Siendo: x+y+z=0 / xy+yz+zx≠0. Además: x2+y2+z2+2 1 + 1 + 1 =0

a) 3

a+b a +b

a) d)

Si: a+b+c=0 / abc≠0. a) 43 b) 42 c) 32

a) 3

3

6. Dados "a" y "b" números reales tales que: 4 2 2 2 2 a + b - ab + a + b - a b = 0 . Indicar el valor de: F=

2 2 2 2 2 2 a + b^ 2 b+ c^ 2 a + c^ 2 a + b - c h+ b +c - a h+ a +c -b h ab bc ac

3 4

ca m ca m

P=

11. Calcula el valor numérico de:

e) 0,3

a) –1 d) –5

b) 5 e) 2

c) –2

Capítulo 04 Tarea domiciliaria 1. Si: mn + p + mn - p = Hallar el valor de: K = mn + a) 1 b) 2 c) –2

p

p -

mn -

p

d) –1

e) 0

2. Simplificar: M=

â x + a - xh2 - 4 + â x - a - xh2 + 4 ;â x 2 a - xh

a) 2ax d) ax

b) 2

c) 0

E=

a) 1

2

x + 5x + 1 x

c) 3

d) 4

e) 5

4. Si se cumple que: a+b+c=0. Calcular: â + b + 2ch2 + â + c + 2bh2 + ^b + c + 2ah2 ab + bc + ac

a) –2 5.

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

Calcular: F=(a+b)2+(a+c) 2+(b+c) 2, si se cumple: a) 30

a2+b2+c2=14 y a + b + c = 6 b) 50 c) 40 d) 60 e) 70

6. Si se cumple: x+y+z=0. Calcular: 3

E=

a) 1

3

3

2

2

a)

c) –2

d) 4

d) –3

a) 1

14. Si:

2 ;b =

b) –4

a) 1

m+n

b) 2

p

−n m

c) 3

; {m; n; p} ⊂ R

d) 4

ac

b) – 3

2 3

4

1 2

d) – 5

e)

3

e) 5

5 3

4 3

10. Si: p+q+r=2 y pq+pr=–qr, hallar el valor de: c) 2

d) –2

e) –7

j2

d) 4

e) 5

e) 0

d) 1

1 4

c)

e) 2

16. Si se cumple: a+b+c=0. Hallar: a

3

â2 - bch3 + b 3 ^ b2 - ac h3 + c 3 ^c 2 - ab h3 ^c2 - abh^ b2 - achâ 2 - bch

b) a2+b2+c2 d) 9a2b2c

a) –3abc c) a3+b3+c3 e) 3abc 17. Si:

3

2

a b

+

3

a +3 c

b c

2

=0

. Hallar:

2 2

L=

5abc ^ca + bh^c a + abc + b

2

h

^ca + bh5 - c 5 a 5 - b 5

a) –5

b) 1

d) abc

e)

c) 5

abc 3

18. Si: x+y+z=0, el equivalente de: ^3x + yh3 + ^ 3y + zh3 + ^ 3z + xh3 S= ^3x + yh^3y + zh^3z + xh

p 2 + q2 + r 2

b) –4

j `

c) 3

1 3

b)

ab

c)

d) –6

5 -2 3

1 1 1 + + a b c

3

. Calcular:

3 -2 5 ; c =

2+

j `

b) 2

E=

e) –6 p−m

â3 + b 3 + c3hâ2 + b2 + c2 h abc âb + bc + ac h

c) –5

`

c) – 1

bc

a) 4

1 6

1 3

c)

x-z z2 + = 1. Hallar: z - y ^ x + y h^z - y h 2 x+y z-y J = z - x + + y z x

9. Dadas las relaciones: a+b+c=n; ab+ac+bc=2n2 y 2 2 2 abc=3n 3; reducir: E = a + b + c . a)

3-

5+

a) –3

a)

b) 3

1 3

p−m

e)

e) 5

^m + 2h3 + ^n + 3h3 + ^ p + 1h3 ; (m+2)(n+3)(p+1) ≠ 0 ^m + 2h^n + 3h^ p + 1h

=−

1 2

13. Hallar el valor numérico de: si: a=

n

â + b + chn

b)

x +y +z x +y +z + xyz xy + xz + yz

b) 2

8. Si: m + n

1 4

d)

n

a +b +c

n-1

15. Si: a3+b3+c3=30; a+b+c=3; abc=4. Calcular:

2

7. Si: m+n+p=–6. Calcular: E=

12. Si: a3+b3+c3=3abc; a+b+c≠0; {a, b, c} 1 R . Hallar: n

b) 2a–x e) –2ax

3. Si: (x – 1)2=x. Calcular: M = 3 a) 1

11. Reducir: E=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2)–(a+b+c)(ab+ac+bc) a) a+b+c b) 3abc c) a3+b3+c3 d) a2+b2+c2 e) a+b+c+abc

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Álgebra

5

Repaso

1. Siendo: n1+n=3. Calcular: E = nn a) 82

b) 27

d) 28

e) 14

n+2

1

a) 100

b) 105

c) 10

d) 120

e) 131

+

3

+

8. Si:

2. Simplificar: 10 . 3

x+3

−

4.3

a) 2

b) 3

d) 4

e) 1

3 x

x+5

3

−

−

2. 3

x+2

x+1

c) 5

10

10

10

c)

c m

e)

10

1 10

(1/10)

b)

c 101 m

d)

10

1/10

7

− 7n

n−4

− 73

G

1 8

=

7

Hallar la suma de las cifras de "n". a) 3 b) 8

c) 1

e) 3

9. Si: b, x, r ! R y se verifica: Z r 10 r 2 ] b b = 9 + 2 − (3 ) [ 44 ] x 2 x+1 = 0 \4 . 2 − 2

Entonces se puede afirmar que: a) x – b = 3 b) x + b = 3 c) |b| < |x|

d) x < b

e) x . b = 2

4. Si:

*

x+y

x

xy

y

x

−

−

1

1

y

x2

4

10. Si: =

1 3

2

3

Hallar la relación entre x e y. a) x=3y b) y=3x d) y=2x

c) x=2y

5. Si: F(x)=(3 ) ; a > 0; F(x+1) = 729 F(x–1) Halle el valor de "a". c) 3 a) 1 b) 1 9

3

d) 9

1 27

e)

6. Calcule la suma de cifras de "x", si se cumple que: 9x+1=27x–12 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

e) 14

+

2

x+1

Calcule: 2x

+

+

1

2

+

x

2

+

x

2

+

x−1

2

2 +

2

x

2

−

1

+

2

x

2

+

x−1

2

=

2

+

2

e)

2

x

2

−

3

+

2

x

2

−

4

=

62

c)

5 2

c)

81 8

5

11. Si: 3x=2y, calcular el valor de: x+4 y+2 +2 M= 3 2y + 3

a)

29 8

b)

83 8

d)

27 8

e)

85 8

12. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación: x+1

−

257

=−

64 4

x−2

−

donde x > 0, hallar "x". a) 1 b) 2

4

7. Resuelva la ecuación exponencial: x+2

x

d)

e) 2y=3x a x+1

2

=

15

7

d) 2

3. Si tenemos que: xnym=10n, x myn=10m, entonces el valor de: (xy)y/x, será: (m,n > 0,m≠n). a)

c) 112

x

a) 25

b) 20

d) 10

e) 8

248

c) 17

Capítulo 05 13. Reduzca: n m

m

20. Si:

x .

m

x

2

x

.

m

n

x

x

n

3

...

m

x

n

2

a) xn

b) xm

d) 2

e) xn/m

; x>0

Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación: 3

c) 1

24

24

a) 10

b) 7

d) 3

e) 9

15. Si: 32

2 3

2 3

5x

n

2

=

x+

55 (x − 1)

a) 14

b) 17

d) 23

e) 2

3

a) 0

b) 2

d) 4

e) 5

−

b) 4

d) 7

e) 8

a)

c) 133

, hallar el valor de 3x+2 c) 8

c) 3

−1

4 xo

a) 2

+

1

es:

b) 1

d) 4 4 x

2 x

18. Si: 3 − 4 . (3 hallar el valor de m.

d)

5 2

b)

)+3= 0

1 6

y

m

128

c)

=

16

3 4

e) 1

n

2 x

n

−

n −

2

x

3n

c) 6

e) 5

=

2

; calcular x

a) 16

b) 4

d) 1

e) 0

c) 25

5 5

22. Simplificar: R S xy S S S xy S T

xy + yx x− y + y− x x− y + y− x xy + yx

Vxy W +1 W W W +1W X

a) xy.yx

b) xy

c) xxyy

d) x-yy-x

e) (xy)x+y

4

n−2

+

2−n

+

1

n−3

+

1

a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

5

n−3

5

3−n

+

1

+

1

c) 5

5

−x

+

3 2

;

4

5

4

5

4

5

= 2 2x ;

4 ...3

8x–3. a) –2

b) 1

d) 1/2

e) 5

hallar el valor de: c) –1

25. Si: 12

3

aa

=

a)

2

b)

d)

6

e)

6

y bb = 3

Hallar el valor de a4b

19. Si: 5n

x

24. Si se cumple:

c) 3

e) 5

1 7

K

=

23. Simplificar:

2 x + 1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 + 2 x + 4 = 120 . (8x − 1)

a)

2

b) 2,5

5

d) 125

es el valor que verifica la ecuación:

El valor de

x

radicales

4 o

3

a) 3

n−2

x

x ...

21. Si: 4x-4x-1=24. Halle: (2x) x/5

x + ...

16. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación: 6x-3(2x)-4(3x)+12=0

17. Si

2

x

24 ...

Si: M ! N; calcule: M = 3

52 (x + 1)

x

1 4 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 4 4 3

14. Sabiendo que: x=

80 n 3

K=

c) 2

3

c)

12 2.

3

3

3

18

Álgebra Tarea domiciliaria a+3

1. Siendo: a2+a=5. Calcular: F = aa Indicar la suma de cifras F. a) 10 b) 11 d) 13

+

10

−

1

c) 12

e) 17

x

81 . 3

−

4.3

x

−

x+1

3

− 18

.3

x

x+1

a) 2

b) 3

d) 4

e) 1

c) 5

88621/n . 2

B B ; es:

@

a)

2 4 − n/m

b)

22 − n/m

c)

2 − n/m

d)

2 4 − 2n/m

e)

22 − n/2m

4. La suma de soluciones de: 92x–3 = 4(32x–1) – 243 es: a) 4

b) 4,5

d) 5,5

c) 5

e) 6 x+

b) 10/3

d) 17/4

e) 3

1 x

c) 5/2

0, 1

# 0, 3

0, 2

0, 4

# 0, 5

# 0, 6

0, 6

0, 8

= 0, 5 # n0, 2

a) 5/18

b) 25/18

d) 625/18

e) 175/18

c) 125/18

7. Al resolver la ecuación: 3(22x)–5(2x)–152=0 el valor de (x–5)2 es: a) 0 b) 1 c) 4 d) 9

e) 16

E=

2 2

x−3

a) 12

+ +

2

x+2

2

x−2

2

+

2

4

2m + 1

x

H

1−x

x

2x

c) 1 x

+

1/m

m

2

4m + 1

G

2

a) m/4

b)

d) 1/4

e) 4

c)

2m 5

11. Al resolver la ecuación: xx

=

a) 1/4

b) 1/8

d) 1/16

e) 1/24

2

−

4

−

1

(m + 1) 4

, el valor de "x" es: c) 1/18

12. Hallar el valor de "x" en: 4x − 3

x+ 2

=

7

x+2

a) 3/5

b) 5/3

d) 2/3

e) –5/3

n

3

c) 16

n+4

.

n

2−n

9

=

c) –1/3

9

a) 4

b) 3

d) 2

e) 1

14. Si: x=2n+1. Halle:

c) 5

22n + 1 + 4n n+1 + 4 (2n) 2

a) x/8

b) x

d) 2x

e) 4x

c) x/4

15. Resuelva e indique el valor de x 2 en: x

5

=5

d) 5

x−1

b) 14

x

+

6#4

a)

x+3

+

−x

−x

10. Al simplificar la expresión:

x

8. Calcular: x+1

x

13. Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:

6. Hallar "n", si: 0, 4

−x

+

e)

3.

0, 2

x

x

x

d) x–1

3

a) 2

x

x

b) x

21

5. Si: x2x+16=8x x, calcular:

>

x

se obtiene:

4

n − 1/2 1/m

=

−x

a) x2

=

3. El valor de:

e) 22

9. Sabiendo que: x>0 / x ≠ 1. Simplifique: E

2. Simplificar: 270 . 3

d) 18

5

2

2

b) 5 e) 2

2

c)

5

5

Capítulo 06

6


Ejercicios resueltos 4

1. Efectúe:

3

x + â + 1h x + â + b - 1h x

2

^ b - ah x + 3 - b

2

x + ax + b

; e indique la suma de los coeficientes del cociente.

Resolución

Aplicando el método de Horner: : 1 #-

1

a+b-1

a+1 +

a

-a

-b

1

-a

b-a

3-b

+ -b

-1 #-

b 1

1

-1

2 - 2h x3 + 2

2 + 1;

a

b

0

3

El cociente Q(x) es: Q(x)=x2+x - 1 `

2. Dado el polinomio: P (x) = x5 + ^3

halle el valor de P^

2 - 1h

Resolución

P(

2 - 1) es

el residuo de dividir P^ x h ' ^x -

"divisor de primer grado"

Luego por Ruffini: x-

2 +1= 0

1

0

2 -1

x=

*

^

2 - 1h =

*

^

2 - 1h^

3

2-1

2

2 -2

2 - 1h =

2

2 +1 = 3-2 2

2

2-2

3-2

2 -1

1 2

2 + 1h

A BB B BB B C

2

2 - 1 = 2 -1 = 1

0

0

2

2 +1

2

1

2 -1 3-2

2 +1

1

2 -1

4

2

` P

^

Residuo

2 - 1h = 4

Álgebra Práctica 1. Halle el término lineal del cociente que se genera al dividir el polinomio: P(x)=10x4+6x3–37x2+36x–1 entre 5x2–7x+3 a) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x 4

3

2

12x + 14x + 15x - 6x + 4

2. Si la siguiente división:

2

x + 2x - 3

,

genera un residuo R(x) tal que: R(x)=ax+b. Indicar el valor que adopta a+b. a) 36 b) 39 c) 11 d) 38 e) 103 3. Si la división

5

4

3

2

8x - 2x + x - ax + 2x + 5 4x - 3

, genera

como cociente a Q(x) y un resto igual a 2, indicar el valor que adopta: Q(1)+a a) 12 b) 7 c) 5 d) 10 e) 0 4. Calcular el resto de dividir: A^ xh . Si: B^ x h

A(x)=x100 – 9x98+7x – 5x2 – 13 y B(x)=x – 3 a) -27 b) -35 c) -37 d) -51 e) -61 5. Si: P(x)=x3–2009x2+4015x–2010. Evaluar: P(2007) a) 4017 b) –3 c) –4017 d) 3 e) –2007 6. Al dividir:

4

3

2

6x + αx + βx + γx + θ 3x^ x + 2h - 1

, se obtiene un

cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7, calcular a – b + g –q a) 23 b) 19 c) 12 d) 6 e) 13 7. ¿Cuál es el número que se le debe restar al polinomio: P(x)=2x5–2x2–x3+1, para que sea dividido en forma exacta por (x–2)? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número. a) 10 b) 19 c) 13 d) 16 e) 9 8. A partir de: G^ xh = ^ 3 + 1h x4 - 8x + 10 - 2 3 . Indicar el valor que adopta cuando x = 3 - 1. a) 2(1+ 3 ) b) 2( 3 – 1) c) 2 3 d) 2( 3 – 2) e) 2( 3 +2) 9. Hallar el resto en: (y + 4)

10

5

11. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio, tal que al dividirlo entre: (x 3 – 2x+1) deja cociente (x2 – 8) y un residuo igual a (x+3). a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 8 12. Al dividir P(x) entre (x+2) el resto que se obtiene es –1. Si la suma de coeficientes de P(x) es 5. Calcular el término independiente del residuo obtenido al dividir P(x) entre (x+2)(x – 1). a) 8 b) 15 c) 12 d) 4 e) 3 13. Calcule el residuo, al dividir: P(x)=4(x–2)120+7(x–3)51, entre x2–5x+6 a) 9x – 11 b) 9x+11 c) 11x – 9 d) 11x+9 e) 11x – 29 14. Hallar el término independiente de un polinomio tal que al dividirlo entre (x2+4) deja un cociente igual a (x – 1) y un residuo igual a (3x+2). a) 1 b) –2 c) 3 d) 4 e) 2 15. Hallar el valor de a.b –1, si en la división: (a − b) xn + (a − b) 2 xn − 1 + (a − b) 3 xn − 2 x−a+b

; b≠0

se obtiene como residuo 3bn+1 a) 1/2

b) 3

c) 1/3

d) 4

e) 2

16. Al dividir un polinomio P(x) entre (x–3) se obtuvo un cociente Q(x) y un resto igual a –2; al dividir Q(x) entre (x+2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(x) entre (x–3)(x+2) a) 8 b) –8 c) 9 d) –9 e) 10 17. Hallar el resto en: a) 69

5

b) 54

^ x + 1h12 + 5 ^ x + 1h2 + 2

c) 28

d) 36

e) 42

+ y (y + 8) + (y + 2) (y + 6) y2 + 8y + 8

a) 1 d) 4

10. Si: x=3, es un cero del polinomio F(x), luego podemos afirmar: I. F(x)÷(x+3) es exacta. II. F(x)÷(x – 3) es exacta. III. F(0)=3 IV. F(3)=0 a) solo II b) solo IV c) I y II d) II y IV e) III y IV

b) 2 e) 5

c) 3

18. Al dividir F(x) entre (x–1)(x–2) (x – 3)(x – 4) (x – 5), se obtiene como residuo (x3 – 3x + 1). Hallar el residuo de dividir F(x) entre (x – 1)(x – 2) a) 8x+2 b) 6x+2 c) 4x+2 d) 8x – 1 e) 4x – 5

Capítulo 06 Tarea domiciliaria 4

3

4x + 3x + mx + n

1. Hallar m – n, si el residuo de dividir: es 2x – 5. a) 96 b) 366 d) 12 e) 126

2

x +x-4

a) 1

c) 27

2. ¿Qué valor debe tomar m, para que el polinomio: x3 – mx2+mx – 1 sea divisible por: x 2 – x+1? a) 0 b) 2 c) –1 d) 3 e) 4 3

2

3. Si la división:

2

x + ax + c

exacta, calcule: J = a) 1 4.

2

x + ^2a + bh x + â + c + dh x + ac

es

c) 3

d) 4

b) –9 e) –18

c) 9

c) 1 4

2x + 3

6. En la división:

d) 2 3

2

2x- 2

2

indique el residuo. b) 2 e) 0

c) 3

2

2

7. Calcular el resto de la siguiente división: 5

4

2 x + 2x + 2

x-

a) –12 d) 3 3 8. Calcular: a

3

6x +6

3+

2

3x -3

2

b) 12 e) 6 6 2

+b ab

2

3 x + 12

c) 6

2

â2 - b2h x3 + 2bâ - bh x2 + 4abx + b^2b - ah â + bh x + ^ b - ah

9. Hallar el resto en: a) 0 a) 2a5

c) 3

d) 4

^ x + ah5 - x5 + a 5 x+a

b) –a5 b) 8

e) 6

11. Hallar la diferencia "m–n", si la división de: 3x2+mxy+4y2+5y+ny; entre x+y es exacta a) 2 b) –2 c) 12 d) –12 e) 5 12. Al dividir:

4

3

2

8 x - ^ 12 - 1h x -

3x -

x-

6x+m

6

13. Determinar el resto de: a) 10

b) 12

c) –2a5

a) 1

^ x2 + x + 1h

12

e) 5 2

+ x + 10

2

x +x+2

c) 9

x

+x

, se

d) 8

9

6

e) 11

3

+ 2x + 3x + 4x + 5 3

x +1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

x + 5x + 2

,

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

16. Hallar el resto en:

^ x - 2h3 ^ x + 3h2 ^ x - 2h^x - 1h

a) 16x+32 d) 16

b) 16x – 32 e) x+4

e) 14

c) 16x – 3

9 8 17. En la división: ^ x 8h + ^ x 7h . Hallar el residuo.

. Si la división:

deja de residuo ab a) 1 b) 2

d) 4

x 1 x 2 x 3 x 4 5 15. Hallar el resto de: ^ + h^ + 2 h^ + h^ + h +

e) 3

2 x - 12x + 3 x-

a) 2 d) 6 2

c) 3

14. Calcular el resto:

x-a-2

b) –1

b) 2

10

5. Hallar "a" para que el residuo de la división: 3 2 2 x - ax - ax - a , sea: 3a+2. a) –2

2

x -1

e) 5

Calcular ab, si: 10x5+x4 – 9x3+16x2+ax+b es divisible por 2x2+x – 3. a) 81 d) 27

4

obtuvo como resto 3m – 4. Calcule: m a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

2d + bc ab - bc

b) 2

8

x +x +1

10. Hallar el resto en:

e) 5

^ x - 8h^x - 7h

a) 2x+5 d) 2x – 3

b) 2x – 15 e) Ninguna

c) 2x+3

18. Al dividir P(x) entre (x+1) (x–3) se halla por resto 5x–2 ¿qué resto se encontrará sise divide P(x) entre x–3? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 19. Al dividir el polinomio F(x) entre los binomios (x – 4) y (x – 2) se obtiene como residuos 9 y 5 respectivamente. Calcular el residuo de dividir F(x) entre (x – 4) (x – 2) a) 2x b) 1 c) 2x+1 d) 4x e) 4x+1 20. Determinar el residuo de la división: 7 6 6x +2 3x +( 3 + 3

4 3 2 ) x + 4x + x +

2

2

2 x + 2x + 1

2

b) –2

2x

2

e)

2

a) 2

2x

d) –

2x

2x

2

c) 2x2

Álgebra

7


1. Dado un polinomio cúbico P(x), cuyo coeficiente 9. Hallar la suma de los coeficientes del residuo que se principal es 3 y además la suma de sus coeficientes es obtiene al dividir P(x)=x 70+x69+1 por d(x)=x2+x+1 18. Determinar el resto de dividir P(x) entre (x–4), si a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16 al ser dividido dicho polinomio P(x) entre (x2–5x+6) 10. Calcule el valor de: K = a + c − 5 , si se sabe que la su residuo es (5x+1). a−c 21 x − ax + c a) 21 b) 32 c) 41 división: 2 , es exacta. x −x+1 d) 51 e) 61 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Hallar el producto de los coeficientes del resto que 11. Para que valor de "n" la división: resulta al dividir el polinomio. x n 1 − y 3n 4 P(x) = (x–7)12 + (x–8)5 , por Q(x) = x2 – 15x + 56 , genera un cociente notable. x − y2 a) –48 b) –30 c) –27 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 d) –32 e) –45 12. Hallar el tercer término del cociente al dividir: 3. Hallar: 2K+17, si: x3+Kx+3, es divisible por: 2 75 30 a −b x –3x+1 15 6 a −b a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 a) a12b30 b) a30b6 c) a30b12 4. Al dividir un polinomio P(x) entre (x2–1) se obtiene (–2x+4) de residuo y al dividirlo entre (x 2–x–2) se d) –a30b6 e) –a30b12 tiene(8x+14) de residuo. Determinar residuo que se obtiene al dividir P(x) entre (x 3–2x2–x+2) 13. Hallar el término de lugar 6 luego de desarrollar el 2 2 cociente de: a) 10x –2x–6 b) 10x +2x+6 x28 + 128y7 c) –10x2–2x+6 d) –10x2+6x–2x x 4 + 2y e) 10x2+6x–2x a) 32x2y5 b) 32x5y4 5. Dado P(x) un polinomio mónico cúbico, divisible c) –32x4y5 d) –32x5y4 entre x2–5x+6; además al dividir P(x) entre x 2–x–2 se obtiene como residuo (8x–16). Determinar el resto e) x5y4 al dividir P(x) entre (x 2–2x+3) a) 3x–2 b) 2x–3 c) x–1 14. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: d) –2x+6 e) 6 x180 y80 6. Sea P(x) un polinomio de tercer grado. Si P(x) es M (x; y) divisible entre (x–1) y también entre (x+3); además, x9 y 4 2 al dividir P(x) entre x –4 el resto es R(x) = x+23, a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 halle P(–1). x 3α − y α 15. En el desarrollo del cociente notable el a) –28 b) –27 c) 16 x3β − yβ d) 26 e) 28 quinto término es x 36y16. Hallar el número de 7. Si un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible términos del cociente notable. separadamente por (x–4), (x–3) y (x+2); además la a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12 suma de sus coeficientes y su término independiente son 2 iguales a 72, hallar el residuo de dividir P(x) por (x –x–5) 16. Simplificar la expresión: a) –1 b) 2 c) –5 d) 7 e) 0 102 + x 96 + x 90 + ... + 1 x P= 90 72 54 8. Se tiene un polinomio cúbico que se anula para x=1; x + x + x + ... + 1 x=2 y es divisible por x–3. Si su coeficiente principal es a) x6+x3+1 b) x3+x2+1 8. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre (x+1). a) 190 b) –190 c) 196 c) x6–x3+1 d) x12+x6+1 d) –196 e) –192 e) x12–x+1 +

−

−

=

−

Capítulo 07 Tarea domiciliaria 1. Hallar el residuo de la división de: Q(x)=x3–3x2–2x–a, 11. Halla el valor de "n" del siguiente cociente notable: entre (x–4), sabiendo que "a" es el término independiente x112 + yn del cociente de la división: n 7 x

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2

x +y

4x + 1 x−3

−

a) 4 b) 3 c) 1/7 d) 9 e) 18 Hallar el valor de "m" para que el polinomio Q(x)=x3+x2–3mx+5, al dividirlo entre (x–1), dé como respuesta el doble del resto de dividir dicho polinomio entre (x–2). a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 Hallar "m+n" si la siguiente división es exacta: (m+1)x28–(n+2)x22+mx15–nx8+(2m–2)x7+1 entre (x7+1) a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) –1 Al dividir un polinomio P(y) entre (y–3) se obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a –2; al dividir Q(y) entre (y+2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(y) entre (y–3)(y+2) a) 8 b) –8 c) 9 d) –9 e) 13 Un polinomio P(x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor numérico igual a uno para x=–2, –3 y –4. Sabiendo que al dividirlo entre (x–1) el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x–2). a) 122 b) 119 c) 239 d) 241 e) 242 Si al dividir P(x) = mx3–nx2+x+2, por d(x)=x2–a+1, se obtiene como resto r(x)=2x–4. Hallar: m2+n2 a) 8 b) 13 c) 26 d) 25 e) 17 Hallar el resto de la división: (x + 1) 7 − 2 (x − 2) 2 ( x + 4) 2 x − 10 ( x + 2) x − 12x

a) 31 b) 20 c) 26 d) 14 e) 28 12. Hallar el término de lugar 14, del desarrollo de: m

31

+ n31 m+n

a) –m13n17 a) –m15n15

b) –m15n16 b) –m17n13

c) –m14n16

13. Hallar el número de términos del cociente notable: x p − y507 x 3 − yp

a) 12 b) 13 c) 15 14. Hallar el cociente de:

d) 16

+ a20 + ... + a2 + 1 10 8 2 a + a + ... + a + 1

a

e) 18

22

a) a12–1 a) a6–1

b) a12+1 b) a6+1

c) 1–a12

15. Luego de dividir: x

95

−

x x

90

80

+ +

x

85

60

x

x

− +

80

+

5

.... + x

20

... + x

+

−

1

1

Se obtiene como cociente: a) x15–x10+1 b) x15+x10+x5+1 c) x15–x10+x5–1 d) x20+x15+x10+x5+1 e) x20–x15+x10–x5+1 16. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N. a

x 2 + 2x − 3

n

− b5n − 18 2 9 a −b

e indicar su grado absoluto. a) 2x+34 b) x+2 c) 2x–2 a) 32 b) 34 c) 36 d) 40 e) 48 d) 4x+3 e) x–3 17. ¿Cuántos términos tiene el C.N. 8. Si los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto x 4m − y5n grado son números enteros consecutivos y al dividir si t5, es de grado 32 2 x y + P(x) por x–1 el resto es 35. Hallar el coeficiente del término cuadrático de P(x). a) 8 b) 7 c) 12 d) 6 e) 19 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 18. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo en el cociente 4 2 notable: 9. En el polinomio P(x)=ax –5x +3x+b, uno de sus x 40 − y20 factores es: 2x–4 y la suma de sus coeficientes es –3, hallar a2+b2. x2 + y el término que tiene grado absoluto igual a 34. a) 28 b) 35 c) 13 d) 10 e) 5 a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 12 10. Hallar el número de términos en el desarrollo del siguiente C.N.: 19. Hallar (m+n) si el término 25 del desarrollo de: x56 − y32 7

x

+

a) 3

y

129m

x

4

b) 2

c) 8

d) 5

e) 7

− a86n 3m x − a2n

a) 3

es x270a288

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Álgebra

8

Factorización

Ejercicios resueltos 1. Factorizar: a3b4c5+a3b3c5y+a2b4c5x+a2b3c5xy. Dar como respuesta el número de factores primos.

Resolución

Extraemos el factor común: a 2b3c5 E = a2b3c5[ab+ay+bx+xy] E = a2b3c5[a(b+y)+x(b+y)] E = a2b3c5(b+y)(a+x) Los factores primos son: a; b; c; (b+y); (a+x) En total son cinco &

2. Factorizar: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z). Dar como respuesta la suma de factores primos.

Resolución

Efectuando: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z)

Factor común: (x+y) P(x;y)=(x+y)(x+y+z)

Agrupando convenientemente: P(x; y)=(x2+y2+xy+yx)+(xz+yz) P(x; y)=(x2+y2+2xy)+(xz+yz) P(x; y)=(x+y)2+z(x+y)

Los factores primos son: (x+y); (x+y+z) La suma de factores primos es: x+y+x+y+z=2x+2y+z

3. Factorizar: R=(x – 3)3+125. Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.

Resolución

A potencia 3: R=(x – 3)3+53 ........ suma de cubos.

Factores primos: (x + 2)

S

/

(x 2 - 11x + 49) 1 4 4 4244 4 3

R=[(x –3)+5][(x – 3)2 – (x – 3)(5)+52]

primer grado

Desarrollando y reduciendo:

Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado es: 1 – 11+49=39

R=(x+2)(x2 – 6x+9 – 5x+15+25) R=(x+2)(x2 – 11x+49)

segundo grado

Capítulo 08 4. Hallar la suma de los factores primos de: M=2x5+5x4 – 26x3 – 65x2+72x+180.

Resolución

Agrupando de 2 en 2: M=(2x5+5x4) – (26x3+65x2)+(72x+180) Factorizando cada paréntesis: M=x4 ^2x + 5h – 13x2 ^2x + 5h + 36 ^2x + 5h Factor común: 2x+5 M=(2x+5)[x4 – 13x2+36] Luego factorizando el polinomio de cuarto grado: Luego: M=(2x+5)(x2 – 4)(x2 – 9)

"Aspa simple" x

2

-4

x

2

-9

"

- 4x

2

"

- 9x

2

suman: - 13x2 "

M=(2x+5)^ x2 - 2 2h^x2 - 32h M=(2x+5)(x+2)(x – 2)(x+3)(x – 3) Donde la suma de sus factores primos será: (2x+5)+(x+2)+(x – 2)+(x+3)+(x – 3)=6x+5

5. Factorizar: P(x)=4x 4 – 101x2+25

Resolución

P(x)=4x4 – 101x2+25 Aplicamos aspa simple: 2

-1

2

- 25

4x x

2

"

-x

"

- 100x

2

suman: - 101x2 Luego: P(x)=(4x2 – 1)(x2 – 25) Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados: P(x)=[(2x)2 – 12][x2 – 52] Finalmente: P(x)=(2x+1)(2x – 1)(x+5)(x – 5)

Álgebra Práctica 1. Factorizar: a) P(x) = x6 + 2x3 – 5x4 b) Q(x) = 2x (x–8) + 4m (x–8) c) R(x; y) = 3x3 y2 – 6xy3 2. Factorizar: a) P(x; y) = xy + 2x + ay + 2a b) Q(x; z) = xz – z2 – x2z2 + x3z c) R(x; y) = x3 – 3x2 + 2x – 6 3. Factorizar: a) P(x) = 4x2 – 12x + 9 b) R( x; y) = 25x2 – 9y2 c) Q(x; y; z) = 9x2 + 6xy + y 2 – 4z2 4. Factorizar: a) P(x) = x3 – 8 b) Q(x; y) = 27x3 + y3 c) R(x; z) = (x–1)3 + z3 5. Factorizar: a) P(x) = x2 – 8x + 12 b) Q(x) = 3x2 – 11x + 10 c) R(x; y) = x4 – 13x2y2 + 36y4 6. Luego de factorizar: M(a;b)=6ab+5b+2(3a+1)+3. Indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 b) 5 c) 9 d) 11 e) 14 7. Al factorizar: P(x)=(3x+1)2 – 4x2; un factor primo es de la forma: mx+1 (m≠1). Hallar:"m".

a) 6 a) 3

b) 5 b) 2

c) 4

8. Factorizar: P(x)=(x2 – 3)2+7x(x2 – 3)+10x2. Indique la suma de factores primos lineales. a) 2x+1 b) 2x+2 c) 2x+3 d) 2x+4 e) 2x+5 9. Factorizar: F(x;y)=6x2+16xy+8y 2+13x+14y+6 Señalar un factor primo: a) 2x+3y+4 b) 2x+4y+3 c) 2x – 3y+4 d) 2x – 4y+3 e) 2x+3y+3 10. Dado el polinomio: P(x) = x5 (x2 + 1)(x2 – 9) Se afirma: a) Un factor primo es x. b) Posee 4 factores primos. c) El factor primo de mayor multiplicidad es x. d) El factor primo de mayor grado es x2+1. e) Toda son correctas. 11. Factorizar: F(x)=x4+6x3+16x2+22x+15 Indicar la suma de términos independientes de sus factores primos. a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6

12. Factorizar: F(x)=x8+6x6+13x4+12x2 – 5 La suma de coeficientes de un factor primo es: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13. Factorizar: P(x)=12x3+8x2–13x+3, e indique la suma de sus factores primos. a) 7x+1 b) 7x+2 c) 7x+3 d) 7x+4 e) 7x–1 14. Factorizar: Q(x)=2x 5+x4–10x3–5x2+8x+4 e indique la suma de sus factores primos lineales. a) 5x–1 b) 5x c) 5x+1 d) 5x–2 e) 5x+2 15. Factorizar: P(x) = x5–x4+(b2–a2)x3+(a2–b2)x2–a2b2x+(ab)2 e indique un factor primo. a) 7+2a b) x–b c) x+b 2 2 2 e) x +b d) x +b 16. Factorizar: P(x)=6x7+7x6–5x5+42x2+49x–35 e indique un factor primo no lineal. a) x5+5 b) x5+7 c) x5+3 d) x5–7 e) x5–5 17. Al factorizar el polinomio P(x)=(x–3)(x–5)(x+2)(x+4)–x2+x–70 en Z[x], hallar el resto que se obtiene al dividir el factor primo de mayor grado de P(x) por (x+5) a) 5 b) –1 c) 28 d) –10 e) 9 18. Factorizar: P(x)=x6 – x5 – 6x4 – 5x2 – 1; e indicar el producto de los términos de uno de los factores primos de: a) 2x4 b) 3x5 c) 6x5 d) –4x4 e) 8x5 19. Factorizar: F(x)=x8+x6+x4+x2+1. Señalar uno de los factores primos obtenidos al factorizar la suma de los factores primos de F(x). a) x2+x – 1 b) x2 – x – 1 d) x4+x2 c) x2+x+1 e) x4 – x3+x2 – x+1 20. Factorizar: F(x)= x3+(x2+1)2 – (x+1)(x – 1) e indicar un factor primo. a) x2+x+1 b) x2+x+2 c) x2+2x+2 d) x2 – x+2 e) x2+2x – 1

Capítulo 08 Tarea domiciliaria 1. Factorizar: x2 – ax+bx – ab. a) (x – a)(x+b) b) (x+a)(x – b) c) (x – a)(x – b) d) (x+a)(x+b) e) (x – a – b)2

11. Factorizar: x7y3 – 2x6y4+x5y5 E indicar el número de factores de primer grado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Señalar un factor primo de:

x5 – ax4+bx4 – abx3.

2. Factorizar: a) x(a+a+b+1) c) x3(x+a)(x+b) e) x(x+a3)

b) d)

x3(x – a)(x+b) x3(x – a)(x – b)

x2+(2a+7)x+a2+7a+10 a) x+a+5 b) x – a – 5 c) x+a – 2 d) x+a+7 e) x+a

3. Indicar la suma de factores primos de: (2x2+7x)(x+5)+(6x+15)(x+5) a) 4x+13 b) 3x+8 c) 4x+8 d) 3x+13 e) 5x+4

13. Indicar la suma de factores primos de: (6x2 – 2x)(x – 4)+(4 – x)(3x+4) a) 6x+9 b) 5x+1 c) 6x+1 d) 6x – 7 e) 6x+5

4. Indicar la suma de factores primos de: x2(x+7)+6x(x+7)+9x+63 a) 2x+11 b) 2x+10 c) 3x+13 d) 2x+13 e) 3x+12

14. Señalar uno de los factores primos de: x(y2+z2)+y(z2+x 2) a) x – y b) x+2y c) x d) x – 2y e) x+y

5. Uno de los factores primos de: x2 – 4x+4 – 25y2 es: a) x – 5y b) x – 5y+2 c) x – y+2 d) x – 5y – 2 e) x+5y

15. Al factorizar: P(x)=x 3+x2 – 10x+8. Indique el factor primo de menor término independiente. a) x + 2 b) x + 1 c) x – 2 d) x+ 4 e) x + 3

6. Factorizar: x14 – (x2+6x+9) e indicar uno de sus factores primos. a) x7–x+9 b) x7 – x – 9 c) x7+x+3 d) x7 – x+3 e) x7+x – 3

16. Indicar la suma de factores primos de: 6x3+7x2 – 1

7. ¿Cuántos factores lineales tiene: 2x4 – 3x2 – 20?

17. Indicar la suma de factores primos de: 4x3+8x2 – 11x+3 a) 3x – 2 b) 2x – 3 c) 2x – 1 d) 3x + 2 e) 3x + 1

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

8. Señalar uno de los factores primos de: a) 2x+1 d) x+4

5x9y – 39x6y – 8x3y b) x+2 c) x – 2 e) x+1

9. Factorizar: 25x4 – 109x2y2+36y4. Indicar un factor primo. a) 5x+3y b) 25x2+9y2 d) x+2 e) a y d

c) x2+4

10. Factorizar: P(x)=abx2+(2a + 3b) x+6. Indicar un factor primo. a) ax+3 b) bx2+24 c) ax – 3 d) bx – 2 e) ax – 1

a) 6x + 1 d) 5x – 1

b) 6x – 1 e) 6x + 3

c) 5x + 1

18. Factorizar e indicar el factor que más se repite: x6 – x2+2x(x4 – 1)+x4 – 1 a) x – 1 b) x + 1 c) x2 + 1 d) x + 2 e) x4 – 1 19. Señale un factor primo de: M(x)=(x – 3) 5+x – 2. a) x2 + 5x – 1 b) x2 – 5x – 1 c) x2 – 5x + 7 d) x2 + 5x + 1 e) x2 + 1 20. ¿Qué término hay que sumarle a: P(x;k) = n(n + 5k) + 3(kn + 7k 2) para que sea factorizable? a) 3nk b) 6nk c) 5nk d) 8nk e) 2nk

Álgebra


9

Ejercicios resueltos 1. Hallar el MCD y el MCM de: P(x)=(x – 1)3(x+2) y Q(x)=(x – 1) 2(x+2)2(x – 3).

Resolución

MCD: los factores comunes son (x – 1) y (x+2) como debemos escoger los de menor exponente el MCD de (P(x) y Q(x)=(x – 1) 2 . (x+2) MCM: Los factores comunes de mayor exponente son (x – 1) y (x+2) y el no común (x - 3), el MCM de P(x) y Q(x)=(x – 1) 3(x+2)2 (x – 3). R=[(x – 3)+5][(x – 3) 2 - (x – 3)(5)+52] 2. Descomponer en factores y calcular el MCD y el MCM de los polinomios: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6 y Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18

Resolución

Los polinomios factorizados son: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6=(x+1)2(x – 2)(x+3) Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18=3 . (x – 2)(x+1)(x – 3); Por tanto: MCD=(x – 2)(x+1) ⇒ MCM=3 . (x+1)2(x – 2)(x+3)(x – 3) â - 3h x + ^ 2a - 5b + 3h y + 5b - 2

3. Si la fracción: de la constante.

3x - 5y + 3

adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor

Resolución

Si es independiente de las variables se cumplirá: 2 a-3 2a - 5b + 3 5b - 2 = k ( valor cons tan te) = = 3 -5 3

1 De(1): a – 3=5b – 2 ⇒ a=5b+1 .....( a) De(2): 3(2a – 5b+3)=–5(5b – 2) 6a – 15b+9=–25b+10 10b+6a=1 .... (b) De(a) y(b): 10b+6a=a – 5b ∴ 15b+5a=0 ∴ a=–3b

en (1): –3b=5b+1 ⇒ b=– 1 8

Entonces:

c m

5 K=

1 -2 8 3

=

` K =-

7 8

21 8 3

Capítulo 09 Práctica 1. Calcular el valor de "x" en función de "n" para que el MCD de: P(x)=x2+(2n+3)x+6n, Q(x)=x 2+2(n+1)x+4n ∧ R(x)=x2+(2n+1)x+2n. Elevado al cuadrado resulta ser igual a Q(x). a) n b) –2n c) –n d) 2n e) n+1 2.

Hallar el MCD de: P(x)=x3–x2–x+1 y Q(x)=x3–3x2+3x–1 a) (x – 1)2 d) (x+2)

b) (x – 1) e) (x+1)2

c) (x+1)

3. (Ex. de Admisión UNMSM 2006 – II) Determine el MCD de los siguientes polinomios: P(x;y)=x3+x2y+xy2+y3, Q(x;y)=x3 – xy2+x2y – y2 y R(x;y)=x4 – 2x2y2+y4. a) x(x –y) b) (x+y)y c) x+y d) x – y e) (x+y)(x –y) 4. Sean: P(x)=mx2+6x–n; y Q(x)=mx2 – 10x+n Si: (x–1) es el MCD de P(x) y Q(x). Hallar "m . n" a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 5. El producto del MCD y MCM de los polinomios P(x) y Q(x) es:(x – 2) 2 . (x+1)3 . (x – 1). Hallar P(x). Si: Q(x)=(x –1) (x 2 – x – 2). a) (x – 2)(x – 1) b) (x – 1)(x+1)2 c) (x – 2)(x+1)2 d) (x – 2)2(x+1) e) (x – 2)(x+1)(x – 1) 6. P(x) es uno de 10 polinomios, donde: 3x4–2x3+3x2+ax+b, es el MCM de dichos polinomios. Hallar: "a+b". Si: P(x)=x2 – 2x+1. a) –4 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5 7. Al efectuar la operación: x+y

x+y

c

1 E= + -1 + -1 x +y xy + 1 yx + 1

a) x d) 1 8. Si:

b) x – y e) 0

A B 7x + 1 + = 2 x+1 x-2 x -x-2

a) 9

b) 8

-1

m

, se obtiene: c) x+y

d) 6

e) 5

P

=

a) 1 d) a/b

+

−

9x2 + 12xy + 16y2

c1 − 3x

27x3 + 64y3

8y 4y

+

a−b a+b a−b a+b

e) a2+b2

c)

a

3

− 128y3

b) –1

d) –2

e) 1/2

, se obtiene

o

c) 2

11. Si la fracción F(x; y) es constante, para cualquier valor de x e y, calcule "A . B". F (x; y) =

a) 0

b) 4

Ax2 + 2y2 + 6 x2 + By2 + 3

c) 1/2

d) 1

e) 2

12. (Examen UNMSM 2006-I) 2

Dado: R(x) = x + 1 ; Q(x) = x2 + 1 x−1

x

Calcular: R (Q(R(x))) a)

−

1

b) x+1

x+1 x−1

a) x – 1

c)

(x − 1) x+1

b)

2

` xx − 11 j +

2

13. (Examen UNMSM 2006-I) Si:

x

x+ 1 x−1

=

Calcular:

;

x

=

x−1 x+1

x

a) x a) x2

b) x+1 b) x2–1

c) x–1

14. Si: G(x) = x + 1 ; n ∈ N x−1 Reducir: G (G ( G...G ( x) . ..)) 1 4 4 4 42444 4 3

"2n + 1" veces

a) x d)

x x

x+1 x−1

b) n n

+

1

−

1

c)

x−1 x+1

e) xn a

15. Al simplificar:

2

a

+

2

d) a–b

a) b) ab

me 54x

a) 1

+

2

b c

2

− −

c

2

b

2

+

2 ab

+

2ac

; se obtiene un

e) 2(a+b+c)

16. Reducir: R =

9. Simplificar: a+b a−b a+b a−b

24 xy

1−

numerador y denominador, cuya suma es: a) 2c b) 2b c) 2a

. Hallar: "A+2B".

c) 7

10. Al simplificar la siguiente expresión:

2

+ b2

2 ab

d)

x+1 x

2

2 x + 1 2 x

−x

2

x+1

b)

4

4

+

+

1

e)

−

x−1 x

2

−

x+1

2 x

4

c)

−1 1

x

4

+ x2 +

1

2 x

4

+ x2 +

1

Álgebra Tarea domiciliaria 1. Hallar el MCM de los polinomios: P(x)=(x+2)2(x–3)4(x+1), y Q(x)=(x+2) 5(x – 3)5(x+6) a) b) c) d) e)

(x+2)5 (x – 3)5 (x+1)(x+6) (x+2)4 (x – 3)4 (x – 2) (x+1)6 (x – 1)6 (x+2)2 (x – 3)4 (x+1) (x – 2)

b) (x2+1)2 (x – 2)2 d) (x2+1)4(x – 2)3

3. Simplificar: F(x) =

2

x - 6x + 11x - 6

a)

x+2 x+3

b)

d)

x+1 x-1

e) N.A 2

2x - 10x

4. Reducir:

2

c)

e

2

x +x-2 2

x + 2x - 3

x+5 x-3

2

oe +

b)

d) x

b)

d)

x+1 x-2

e) x

n

a +b 2

n

. Calcular: E =

a) n

b)

d) 3n

e) n + 1

2

x + 7x + 12 2

x + 6x + 9

o

x-2 x+1

c)

b) –1

β+b-n α+a-m

R=

a) 1

n

-

n

b n

nâ - b

n

h

.

c) 2n

mx - 12y , 4x - 6y

es independiente de c) –8

c) x2+1

14. Reducir: E = a)

=

c)

2xy

S= 1 x + x + 2 x - y x + y x2 - y2

b)

1 x+y

e)

x x+y

e) 0

â + bh3 - â - bh3 - 2b 3 . â + bh3 + â - bh3 - 2a 3

a+b a-b

a b

b)

d) 1

b a

c)

e) –1

15. Sabiendo que: a2+b2+c2= 3 , y ab+bc+ac= 0. Calcular: S =

a) 3

4

2

a - ^ bch

a â - b - c h

b) 4

3 5

+

4

2

b - âch

b^ b - a - c h

c) 5

E=

e) 0

5

d) –2

+

2

c - âbh

c ^ c - a - bh

d) 6

a)

G.

c)

d) x x-y

1 1+x 1 1+x

2

1-b

2

^1 + bxh2 - ^b + x h2

b) e)

1 1-x

2

x+1 x-1

c)

.

e) 7

16. Si: x2≠1 y b≠1, simplificar la siguiente fracción:

b) –1

d) – 3

d) 1

n

2na - 2nx

c) 2

4

7. Si: A(x,y)=12xn – 1 ym+1 ,y B(x,y)=16xn+1 ym – 1. Cumplen: MCM=axay4 ; MCD=bx5yb. Calcular:

2 x+y

a

12. Hallar el MCD de los polinomios: P(x)=x5+x+1, Q(x)=x5+x4+1, y R(x)=x4+x3+2x2+x+1 a) x2 – x+1 b) x2+x+1 d) x2 – 1 e) x3+x+1

a) 1 x-3 x

6. Indicar el MCD de los polinomios: A(a,b)=a2+ab – 6b2; B(a,b)=a2 – ab – 2b2 , y C(a,b)=a2 – 4ab+4b2. a) a + b b) a – b c) a – 2b d) a + 2b e) ab

a)

5x + 1 6^ x - 1h

c)

1 n

11. Si la fracción: F(x;y) =

x-1

13. Si el MCM de los polinomios: A(x)=x2+x – 2, B(x)=x 2 – x – 2, y C(x)= x 4+5x2+4; es equivalente a: x 8+Ax6+Bx4+Cx2+D. Calcular: (A+B+C+D).

c) 2

e) 2

8. Simplificar:

5x + 7 6^ x + 1h

2x + 1 x-3

x=

m^ h .

x + 6x + 5

b) 1 e) N.A.

5. Reducir:

x-2 x+3

x + 16x + 15

x - 25

a) 0 d) 3

a)

x+3 x-2

2

+

1 1 1 + + 2 3x + 3 2x - 2 x -1

“x” e ”y”. Calcular "m". a) 12 b) 8 d) –6 e) –12

^ x2 - 9h^ x - 1h 3

c

a)

10. Si:

2. Hallar el MCD de los polinomios: P(x)=(x+3)4 (x2+1)6 (x – 2)2 (x+7)6 Q(x)=(x+7)2 (x2+1)3 (x – 2)4 (x+5)6 R(x)=(x+5)4 (x2+1)2 (x – 2)3 (x+3)3 a) (x2+1)(x – 2) c) (x+1)(x+3) e) N.A

9. Reducir: M =

1 1-x

Capítulo 10

10


Ejercicios resueltos 1. Si

xo

el valor que satisface la ecuación:

3

3

2

x + 9x + 25x + 1 = x + 3

. Hallar:

2

xo + 1

Resolución

Elevamos al cubo miembro a miembro para eliminar el radical: 3

2

3

3

2

3

3

x + 9x + 25x + 1 = x + 3 + 3 (3x) ( x + 3) 2

x + 9x + 25x + 1 = x + 27 + 9x + 27 x

Reduciendo: 25x + 1 = 27 + 27x –26 = 2x 2

- 13 = xo " xo + 1 = 170

2. Si: "x" es el valor que satisfacen la ecuación: Hallar el valor de: 1+x+x 2+....+x8

2

x - 2x + 14 2

x + 4x + 2

2

+

x + 4x + 2 2

x - 2x + 14

=2

Resolución

El primer miembro de la ecuación tiene la forma: n

a +n b

b a

a + b

`

x - 2x + 14 = x + 4 + 2

; luego si: n

2

n

b =2"a =b a

2

12 = 6x 2=x entonces: 1 + 2 + 22 + ... + 28 = Nota:

2

n

1 + x + x + ... + x =

x

n

9

2 -1 = 511 2-1

+1- 1

x-1

3. Si la ecuación en "x": n2x–n2+5x=2+6nx–3n; tiene infinitas soluciones, halle el valor de "n". a) 5 b) 2 c) 1 d) 0 e) 3 Resolución

Se tiene la ecuación: n 2x–n2+5x=2+6nx–3n Ordenando convenientemente: n2x–6nx+5x=n2–3n+2 (n2–6n+5)x=n2–3n+2 Factorizando los coeficientes por aspa simple: (n - 1) (n - 5) x = ( n - 1) (n - 2) 1 44 2 44 3

A

1 44 2 44 3

B

Se obtiene una ecuación paramétrica, que por dato debe tener infinitas soluciones, entonces A=0 / B=0, es decir: (n–1)(n–5)=0 (n–1)(n–2)=0 De donde: n=1.

Álgebra Práctica 2 (x + 1) 1 - x 3 =x+ 3 5 10

1. Si el conjunto de la ecuación: es $

n+1 n

. . Halle el valor de: n2-3

a) 0

b) 6

d) 13

e) 46

c) 22

2. Con respecto a la siguiente ecuación: (a–1)(a–3)x = (a–1)(a–2) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si a=1; es compatible determinada. II. Si: a=2; es compatible indeterminada. III. Si a=3; es incompatible. a) VFV b) FFV VVF c) FFF d) FVV 3. Determine la cantidad de elementos del conjunto solución de la siguiente ecuación: 1 x−2

+

x x+1

a) 2 d) 5

=

x+4 x+7

1

+

x−2

b) 1 e) 3

c) 0

; ac ≠ 0

b) 1+a–b+c e) 1–b–c 2

x+m x+n m +n = n m mn

a) m+n

b) m–n

d) –2n

e) n–m

6. Resolver la ecuación en "x":

1 2

d) - 5

3

b)

5 6

e)

2 5

b) 8

c) 8

2

e) 6

c) 0,6

13. Resolver: n^n + 1h

b) -2 e) 1 2 2 a - 2ax + x 2

a -x

2

2

c) -1 2 2 a+x + 2 = 1; x ! a , 2 a + 2ax + x

para "x". -2

; ac ≠ 0 c) –2m

x + 2n x+1 = 5x 2nx + 1

c) 10

d) 7

12. Sean los conjuntos iguales: A = {x ∈ R / x − 2 + 4 = x} B = {5m+3} Halle el valor de m a) 0,2 b) 0,4 d) 0,8 e) 0,9

c) 1–a+b–c

, si ésta

c) -

5 21

a)

1 2

b)

1 3

d)

1 5

e)

1 6

15. Resolver la ecuación en "x": a)

46a 15

b)

47a 15

d)

49a 15

e)

50a 15

1 4

c)

5x + a +

6a

5x + a -

6a

c)

=4; a>0

48a 15

16. Siendo: a2 ! ^b - ch2 , resolver:

7. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b; se obtienen infinitos valores de "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b". a) 6

b) 9

14. Resolver:

es reducible a una ecuación de primer grado. a)

a) 10

a) -3 d) 0

x+ a+ b x+ b+ c a+ c + + 2= c a ac

5. Resolver:

11. Al resolver: 4 m2 - 2mx + x2 + x2 = m , se obtiene CS a {2}, indicar "m" para que esto sea posible

^ x + nh + ^2x + n - 1h + ^3x + n - 2h + .... + ^nx + 1h =

4. Resolver: a) 1–a–b–c d) 1 - a + b - c2

10. La ecuación en x: (x – 1)m 2 – 9(x – m)= 18; genera un conjunto solución unitario Hallar "m". a) m ! R -{3} b) m ! -{-3} c) m ! R -{-3;3} d) m ! {-3;3} e) m ! {-2;2}

d) 12

e) 14

8. Si la ecuación en "x"; (x–1)m2+(5 – 4x)m+3x – 4=0; resulta ser compatible indeterminada, encontrar el valor de "m" a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 9 9. Del problema anterior indique el valor de "m" para que el conjunto solución de la ecuación sea vacío. a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) -1

2 2 2 x+a b +c -x -1 = ^c - a - bh^b - a - ch (a + b - c) ( a - b + c)

a) a d) bc

b) c e) b+c

c) ac

17. Determine la solución de la ecuación de incógnita "x": x

+

n

n+1

K=1

i=1

/ (x + K) = /

i

a) 1/4

b) 1/2

d) –1/2

e) –1/4

c) 1

Capítulo 10 Tarea domiciliaria 1. Resolver:

6 7 21 = 2 5-x 5+x 25 - x

a) 0 2. Resolver:

b) 1

c) 2

xa + xb + a + b 2

12. Resolver:

a -b

2

=

d) 4

e) 5

1 a-b

Dando el valor de x; además a≠b a) 3 b) 2 c) 1 d) -1

e) 0

5p + q + 6p =4 5p + q - 6p

3. Resolver para "p": a)

3q 35

b)

3q 27

d)

6q 5

e)

2q 15

c)

7. Resolver:

c) 3

e) -4

d) 2

e) 1

d) 5

e) 4

3x + 7 1 +x = +8 x+2 x+2

a) -3

b) 1

c) 2

8. Resolver: x + 11 + a) 3 b) 4

c) 5

d) 7

9. Despejar "x" en: p^ x - ph + q^ x - qh a) p+q d) p2 - q2 3+

1

=

5 1 x3

3+

a)

4 3

b)

2 3

d)

10 3

e)

4 5

11. Hallar "x" en: a) 1 d) 40

4+

23 +

b) 20 e) 12

5 2 1 + 5 15

c) p2+q2 .

c)

1+

e) 6

= x; pq ! 0 .

p

b) p - q e) p+q+pq 1

10. Resolver:

a) 4 d)

8 10

. c) 30

x-3 = 3

ax + 2 =

b) 7

7 4

e)

=x+6

3x - 5 7

es:

(x+7)3. a) 1 d) –27

c)

4 7

76 133

x-3 + 2x + 5

16. Resolver:

2x + 5 =2 x-3

b) 0 e) N.A.

. Dar el valor de c) -1

17. Hallar "x" en la ecuación de 1er grado: (a+5)x2+(a+3)x+7 – 3a=0 a) 9 b) -5 c) -3 d) 11 e) 13 18. Resolver:

x+4 = 7

q

13. Resolver: ^ x - 2 + 3h^x - 5h^x + 3h = 0 . Indique su menor raíz a) 11 b) 5 c) -3 d) 2 e) 1

x=-19.

2 =0 x-2 2+ x+4

b) 4

b) 2 c) 3 e) Incompatible

15. Dar "a" si la raíz de la ecuación:

5. De la ecuación de 1er grado: (a–3)x2+bx+c=0; sabiendo además: a+b+c=6. Hallar: E=b+c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

a) 5

a) 1 d) 4

.

14. Hallar "m" si la raíz de la ecuación en x: mx + 2 3 es 2. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

5q 27

4. La siguiente ecuación es incompatible: (k2 – 4)x+6=(k+4)k – 1 Hallar:-k2 a) 0 b) 1 c) 2 d) -2

6. Resolver: 1 -

4 2x - 1 4 1 + = + 5 5 x-1 x-1

a) 1 19. Resolver:

x+2 4x - 7 + =2 x+2 4x - 7

b) 2

. Dar: x2 – x+1.

c) 3

d) 4

e) 7

x x x - 1 = abc - x â + b + ch + + ab bc ca

a) abc

b)

d) a+b+c

e) ab+c

a+b+c abc

20. Resolver:

x-3 2x - 5 x+2 + = 2 x+3 x-2 x +x-6

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c)

.

abc a+b+c

. c) 5

Álgebra

Planteo de ecuaciones de primer 11 grado Ejercicios resueltos 1. De un depósito lleno de x litros se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y queda aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.

Resolución

Traducción: capacidad del depósito

x

un cuarto del contenido

mitad de resto

1 (x - 1 x) 2 4

queda aún

1 x 4

1500 litros

Expresión: x = 1 x + 1 ( 3 x) + 1500 4 2 4

8x = 2x + 3x + 12000 3x = 12000 x = 4000 litros 2. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ellas más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda?

Resolución

Traducción: extensión de la hacienda

x (en hectáreas)

primer hermano

1 x + 80 3

segundo hermano

1 x 4

tercer hermano Expresión - ecuación: 1 1 x + 80 + x + 20 = x 3 4

4x + 960 + 3x + 240 = 12x 1200 = 5x x = 240 hectáreas

20

Capítulo 11 Práctica 1. Ana compró una bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regala 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio? a) 18 b) 25 c) 30 d) 20 e) 22 2. Un frutero compra fresas pagando S/.7 por cada 3 kg. de fresa. Si vende a S/.13 cada 4 kg. y ha ganado el precio de costo de 44 kg. de fresa. ¿Cuántos kg. de fresa vendió? a) 120 kg b) 116 kg c) 112 kg d) 105 kg e) 110 kg 3. Al examen de un curso de matemáticas, solo asistieron los 2/3 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/4 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso? a) 75 b) 180 c) 10 d) 80 e) 120 4. Juan obtiene un determinado ingreso al vender la mitad del total de sus manzanas a 3 por 5 soles y la otra mitad a 5 por 5 soles. ¿A qué precio debió vender cada manzana para triplicar el mencionado ingreso? a) 3,50 soles b) 4,00 soles c) 4,50 soles d) 3,75 soles e) 4,25 soles 5. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/.360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1/3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas no tienen dinero? a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7 6. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños. Desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿Cuántos niños hay actualmente en la escuela? a) 120 b) 160 c) 180 d) 100 e) 80 7. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos en cada conejera, le sobran 3 conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 4 8. Solo tengo pantalones de colores negro, azul y verde. Todos mis pantalones son de color negro, menos cuatro; todos son de color azul menos cuatro, y todos son de color verde, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9

9. Cierto número de gorriones están volando y se posarán en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste, quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay? a) 16 b) 14 c) 20 d) 18 e) 22 10. Una persona tiene "x" años y otra "z" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda? a) n b) x – z c) x − zn d)

x - zn n

e)

x - zn n-1

11. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino mas S/.11 y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5. ¿Cuánto cuesta cada botella de vino? a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15 d) S/.13 e) S/.11 12. Un boticario tiene cierta cantidad de kilos de una sustancia química, vende la cuarta parte y compra 12 kilos, con lo cual tiene los 3/2 de la cantidad primitiva. ¿Qué cantidad tiene de sustancia el boticario? a) 16 Kg b) 24 c) 32 d) 8 e) 48 13. Pilar tiene 2 hijos, una hija y 9 nietos. José, el primogénito, tiene un hijo más que su hermano Jorge; y su hermana Carmen tiene dos hijos más que su hermano menor. ¿Cuántos hijos tiene José? a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5 14. Para comprar "n" libros me falta S/.a; pero si compro (n−1)libros me sobra S/.b. Si todos los libros tiene el

mismo precio. ¿Cuánto cuesta cada libro? a) S/. a + 2b b) S/. 2a + b c) S/.

2 ( a + b) 3

e) S/.

a + 2b 2

d) S/. a+b

15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró? a) 5200

b) 4800

d) 3800

e) 3200

c) 4200

16. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas, lleno hasta los 3/5 pesa 7/4 del vagón vacío. Halle el peso de la cal. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Álgebra Tarea domiciliaria 1. Si Juan recibe S/.5 tendría el doble que si hubiera gastado S/.5. ¿Cuánto tiene Juan? a) S/.18 b) 15 c) 9 d) 10 e) 22 2. Siete veces la novena parte de la edad de José, excede en tres al doble de la tercera parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 32 años? a) 18 b) 30 c) 4 d) 10 e) 5 3. Si los 7/3 del número de inteligentes de una familia y los 5/2 de este mismo número resultan dos números consecutivos, calcular el número de inteligentes de esa familia. a) 6 b) 12 c) 9 d) 17 e) 18 4. Dos personas tienen 200 y 250 dólares, si hacen un gasto igual, la relación de los saldos es de 3 a 5; indicar cuánto tienen de saldo entre los dos. a) $ 300 b) 200 c) 180 d) 210 e) 190 5. Las edades de dos esposos se diferencian en 3 (esposo mayor que esposa). Cuando la esposa tenía 20 años nació su único hijo, hoy el hijo tiene 13 años. ¿Cuál será la edad del padre? a) 30 años b) 33 c) 36 d) 34 e) 38 6. La cantidad de naranjas que tiene una vendedora es el doble de lo que tiene otra, menos 5. Si el producto de dichas cantidades es 558. ¿Qué cantidad tiene entre las dos? a) 43 b) 48 c) 60 d) 49 e) 50 7. Si a mi edad le aumentamos 4 años y luego a este resultado lo multiplicamos por 3, obtenemos un número que no es mayor que 59, ni tampoco menor que 49. ¿Cuál es la mitad de mi edad? a) 9 b) 3 c) 7 d) 6 e) 8 8. Los 3/4 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto gallinas y las 9 restantes gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja? a) 16 b) 18 c) 144 d) 54 e) 72 9. Hallar tres números consecutivos, si se sabe que los 8/15 del intermedio sumados con la mitad del mayor, equivale al menor de ellos aumentado en 3. El menor de ellos es: a) 42 b) 41 c) 44 d) 46 e) 47

10. Tengo S/.120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría. ¿Cuánto más hubiese gastado? a) 6 b) 41 c) 44 d) 46 e) 2 11. Descomponer el número 15 en dos partes de manera que la suma de los valores inversos sea igual a 5/12. Dar la diferencia de dichos números. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 12 12. El jardinero "A" planta rosas más rápidamente que el jardinero "B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x" rosas en una hora, "A" planta "x+2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en 4 horas? a) 20 b) 16 c) 24 d) 28 e) 32 13. De un juego de 32 cartas se sacan "y" cartas y 3 más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez? a) 20 b) 16 c) 24 d) 28 e) 9 14. Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos, si cuando vende los 2/9 menos cinco huevos, añadiese 37 huevos a los que le quedan entonces el número de huevos que llevó al mercado quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta? a) 66 b) 136 c) 96 d) 108 e) 118 15. Seis veces la novena parte de la edad de Carlos, excede en nueve al triple de la cuarta parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 30 años? a) 5 años b) 6 c) 9 d) 2 e) 10 16. "A", "B" y "C" tienen en total 126 limones; si "C" le diera la cuarta parte a "A" entonces tendrían la misma cantidad, pero, si "A" le diera la mitad a "B", entonces "B" tendría la misma cantidad de "C". ¿Cuántos limones tiene B? a) 28 b) 56 c) 42 d) 48 e) 54 17. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman el número de los bueyes y cabras? a) 60 b) 40 c) 30 d) 50 e) 70

Capítulo 12

12


Ejercicios resueltos 1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I) Sea: a =

2+

5

, indique el polinomio cuya raíz es a2.

Resolución

Hallamos a2 a2 = ( 2 + 5 ) 2 =

2

2 + 2 10 +

2

5 =7+2

10

Luego si: x= a2 es raíz del polinomio pedido; lo formamos a través de: x =7+2

10

x - 7 = 2 10 2

(x - 7) = 40 2

x - 14x + 49 - 40 = 0

∴

el polinomio pedido es: x2–14x+9

2. (Ex. Admisión UNMSM 2007−II) Dada la ecuación con raíces complejas: 3x2 + (m+2)x + m = –2 Halle el máximo valor entero que puede tomar m.

Resolución

Ordenando la ecuación: 3x

2

+

(m + 2) x + m + 2

=

0

"

discriminante:

T

<0

S

por tener raices complejas

(m + 2) 2 - 4 (3) (m + 2) < 0 (m + 2) (m - 10) < 0

"

m ! < - 2; 10

>

El máximo valor entero que puede tomar m es: m=9

Álgebra Práctica 1. Resolver cada ecuación: * 9x2=16x * x2=7

11. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − I) Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: (2k+2)x2+(4 − 4k)x+k − 2=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra.

* 8x2+7x=0

2. Resolver cada ecuación: * 3x2 − 5x − 2=0 * 2x2+12x+1=0

*

3. (Ex. Admisión UNMSM 2009 − II) Halle el valor de "k" de modo que las raíces de la ecuación: (x+1)(x+2)−(x+2)(k−2)=0, sean iguales.

a) −3

b) 1

c) −4

d) 7

e) 8

4. Si: "a" / " b" son raíces de: ax2+bx+c=0, indicar el -1 valor de: 12 + 12 ; siendo: b4≠4a2c2 / abc≠0.

;α

a) d)

β

2

E

b - ac a

b)

1

e)

c

2

^b

2

- 2ach

c

2

c)

2

4b - 2ac

c

2

2

b - 2ac

2ac 2

b - 4ac

5. En la ecuación 2x2+m+1=(m − 1)x. ¿Qué valor no negativo debe darse a "m" para que las raíces difieran en la unidad? a) 7 b) 8 c) 11 d) 10 e) 9 6. Si la ecuación en "x": 3kx2+7x=x2+2k − 1, posee raíces recíprocas, indicar el valor que adopta "k". a) 2

b) 5

c)

3 5

d)

2 5

80 9

a)

x2+8x=3

e)

5 7

7. Indicar el valor de "a", si la siguiente ecuación en "x": (3a − 1)x2+(3a2 − 12)x+3a − 2=0 posee raíces simétricas. a) 2 b) 4 c) −2 d) −4 e) ±2 8. Indicar la relación entre los coeficientes de la ecuación cuadrática: mx2 +nx+p=0, si una raíz es el quíntuplo de la otra. a) n2 =4mp b) 6n2=5mp c) 5n2=36mp d) 4n2=9mp e) 5n2=4mp 9. Sea la ecuación: x2 − 2(a2 − 4a)x+a4=0; con raíces x1 / x2; indicar el valor de "a" para que se cumpla: x1= x2 ≠0. a) 2 b) −2 c) 4 d) −4 e) 1 10. (Ex. Admisión UNMSM 2005 − II) Determinar el conjunto de todos los valores de k para los cuales las raíces de la ecuación: x 2−k(x−1)−1=0 son reales y distintas. a) <− 3 ;+ 3 > b) <−3 ;2>, <2;+ 3 > c) {2} d) {−2} e) {−2;2}

31 9

b)

c)

61 9

d)

82 9

e)

9 82

12. La ecuación cuadrática con coeficientes racionales que admite como raíz al número: 2+ 3 i; siendo: i2=−1, es: a) x2+4x+7=0 b) x2+4x − 1=0 c) x2+4x+1=0 d) x2 − 4x+7=0 e) x2 − 4x+1=0 13. Si m y n son números reales de manera que las ecuaciones: (7m−2)x2+1=(5m−3)x ; 8nx2+2=(4n+2)x posean las mismas raíces, indicar el valor de: (m+n)3 a) 125 b) 27 c) −1 d) −27 e) 8 14. Si la ecuación: 3x 2–10x+p=0, tiene dos raíces reales de diferentes signos, entonces los valores reales que admite "p" es: a) <0;∞> b) <–∞; 0> c) {1; 2} d) <–1;4] e) R 15. Las siguientes ecuaciones en "x" son equivalentes:

)

(2a − b) x2 + x (a

2

+

2

b )x

2

+

=

2x 2 − 1

2 2x = − x − 2

Donde a y b son números reales. Entonces halle el valor de a . b a) –3 a) –2 b) 1 c) 2 d) 3 16. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2+mx+m=0, entonces la ecuación de segundo grado que tiene como raíces a: 2 y x2 + 2 es: x1 +

c

x2

m c

x1

m

mx2+m(m+2)x+(m+2)2=0 m2x2+m(m+2)x+m+2=0 mx2+(m+2)x+m2=0 (m+2)2x2+4mx+m2=0 mx2+m2x+m+2=0

a) b) c) d) e)

17. Si: [1+(3K+4) –1] y [1+(3K+1) –1] son las raíces de la ecuación: a2x2+a1x+ao=0, con a2≠0; a1≠0, ao≠0 entonces el valor de: T

=

(3K + 1)(a o + a1 + a2) (3K + 4) a2

a) a1 . a2− 1 d) 1

b) –2 e) 2

es: c) –1

Capítulo 12 Tarea domiciliaria 1. Calcular "k", en la ecuación: 2x2 − (k+8)x+(k+1)=0; para que la suma de las raíces sea 9 . 2

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Hallar "k", sabiendo que el producto de las raíces de la ecuación: 2x2 − (k+8)x+(k+1)=0; es 3. a) 10

b) 5

c) 4

d) 8

e) 12

3. Hallar "n", si se sabe que las raíces de la ecuación: x2 − 7x+n=0 Se diferencian en 3 unidades. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 4. En la ecuación: x2 − 2mx+m+2=0; el valor del dis criminante es 16. Hallar el mayor valor de "m". a) 2 b) 3 c) 9 d) 5 e) 11 5. Sean: x1; x2 las raíces de la ecuación: 3x2+12x+2k=0 Calcular "k", si: 1 + 1 = 2 . x1

a) 6

b) 8

x2

c) −6

d) −3

e) 4

6. Siendo "a" y "b", las raíces de la ecuación: x2+ax+b=0 Calcular el valor de: a−b

a) 9

b) 5

c) −7

d) 0

e) 3

7. Si "2" es una de las raíces de la ecuación en "x": x2 − (k − 3)x − 6=0 . Calcular la otra raíz. a) −1 b) −2 c) −3 d) −4 e) −5 8. Indicar cuál de las ecuaciones cuadráticas tiene por raíces 2 y 3 . 3

4

a) 6x2 − 17x+12=0 c) 12x2 − 17x+18=0 e) 12x2 − 17x+8=0

b) 12x2 − 17x+6=0 d) 18x2 − 17x+9=0

9. Calcule la mayor solución de la ecuación: (m−2)x2−(2m−1)x+m−1=0, si el discriminante es 25.

a) 3

b)

1 2

c)

5 2

d)

3 2

e)

1 3

10. Calcular el valor de "m" para que la ecuación: 6x2+(2m+3)x+m=0; tenga solución única. a) 3

b)

3 4

c)

1 2

d)

3 2

e)

5 3

11. Calcular "a", de manera tal que las ecuaciones: (5a − 2)x2 − (a − 1)x+2=0 (2b+1)x2 − 5x+3=0

sean equivalentes. a)

4 3

b)

1 3

c)

7 3

d)

13 3

e)

11 3

12. Resolver:

^3 - xh3 + ^ 4 + xh3

=7

^3 - xh2 + ^ 4 + xh2

; y dar como resultado

la mayor solución. a) 1 b) 2 c) 3 d) −3 e) −4 13. Dada la ecuación: ax2+bx+c=0; con abc ≠0 cuyas raíces son a y b y además: b2=ac. Calcular: E = a)

2b c

b)

α2 β

+

β2 . α

b a

2b a

c)

c 2a

d)

a b

e)

14. Si la ecuación: x2−2x+2005=0; tiene como conjunto solución { ; }.Calcular: =` ab

a) 4

b) 2

α+

β 2005 c

α

c) 8

j

+

2005

d) 16

15. Si: "r" y "s" son las raíces de la ecuación: ax2+bx+c = 0, entonces el valor de 12 + 2

a)

b + ac c

d)

b + 2ac c

2

2

b)

b - ac

e)

b - 2ac c

c

2

β

mG^α βh . +

e) 32 1 2

es:

r

s

c)

b - 2ac

2

c

2

2

16. Si las raíces de la ecuación: x2+ax+1=0, son positivas, sobre el valor de "a", lo verdadero es : a) Es necesario que a < 0 b) Es necesario que a > 0 c) a≥2 d) a≤−2 e) "a" debe ser entero 17. Hallar (m+n), si la ecuación cuadrática: 1024x2 − (mn − 8)x+n10=0; m, n ∈ R+ tiene raíces simétricas y recíprocas. a) 4( d)

2 +1) 2 +1 2

b)

2 +2

e) 3(

c) 2(

2 +1)

2 +1)

18. Sea la ecuación cuadrática:ax2 − bx+4=0; el cual tiene por conjunto solución:

)

p15 + q2 + 2 p15 + q2 + 2 ; p15 + 1 q2 + 1

se pide hallar el valor de "b". a) p − q b) p d) 1 e) 4

c)

3

p q

19. Si "a" y "b" son las raíces de la ecuación: x 2+8x−1=0 Encontrar la ecuación cuadrática de raíces:(a2+1) y (b2+1). a) x2 − 83x+83=0 b) x2 − 68x+68=0 c) x2+64x+64=0 d) x2+68x+88=0 e) x2+81x+81=0

Álgebra

13

Ecuaciones de grado superior ecuación bicuadrada

1. Resolver las ecuaciones: * 3x3+5x2=2x ⇒ C.S={ } * (x2 − 9)(x+5)=4(x2 − 9) ⇒ C.S={ } * x4 − 5x2+4=0 ⇒ C.S.={ } 2. Si una de las raíces de la ecuación: (a − 2)x3 − 2ax2+11x=6 es 1. Calcule la suma de las otras dos raíces. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Si: x1, x2 y x3 son raíces de la ecuación: x3+x+n=0; tales que: x2+x3=7. Hallar la otra raíz. a) 1 b) 2 c) –7 d) 4 e) 5 10. Dada la ecuación: xn–1–x4+29x2=(5n–1)xn–3–100x+6n+4 de raíces x1, x2, x3, x4 y x5; calcule: x1 x2 x3 x4 x5 a) 2 b) 5 c) 1 d) 10 e) 40

3. (Ex. Admisión UNMSM 2007 − II) 11. Se sabe que las raíces de una ecuación: Si a, b y c son raíces de la ecuación: x 3−2x2+3x−4=0. x3–12x2+px–28=0, están en progresión aritmética. Hallar el valor de "p". Hallar: 1 + 1 + 1 . a b c (Ex.Admisión UNMSM 2004 I - bloque I) a) 20 b) 24 c) 39 a) 4 b) − 3 c) 3 3 4 4 d) 16 e) –20 5 3 d) − 4 e) 3 ∈Z /x +12x=7x } ∧ P={x∈Z /x–2∈M} 12. Si: M={x 2 3 Hallar: (M ∪ P) – (M ∩ P) 4. Resolver: (x2+3)2=16x2 − 15, e indicar la menor a) {2; 4} b) {–2; 0} c) {–2; 0; 2; 4} solución. d) {2; 4; 5} e) {–2; 4} −4 b) a) − 12 c) −2 2 13. Si al formar una ecuación bicuadrada que tiene por e) −2 d) − 6 dos de sus raíces a: – m y 2 se obtiene: x 4–(m+n+1) x2+8n=0, se pide hallar otra ecuación bicuadrada de 5. Si la suma de raíces de la ecuación: raíces "m" y "n" (m; n ∈ Q +) 4 2 (m − 1)x − 5mx +7m+1=0, es m − 5. a) x4+35x2+324=0 b) x4–35x2+324=0 Halle el producto de raíces. a) 9 b) 5 c) 8 c) x4–45x2+324=0 d) x4+45x2+324=0 d) m+4 e) 2m e) x4–45x2+424=0 6. Formar una ecuación bicuadrada tal que el producto 14. Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la de sus raíces sea 72, siendo una de ellas − 8 ecuación: 4x4–37x2+9=0 a) x4+17x2+72=0 b) x4+38x2+72=0 17 a) 15 b) 37 c) d) x4 − 18x2+72=0 c) x4 − 17x2+72=0 4 4 4 e) x4 − 38x2+72=0 d) 37 e) 15 2 2 7. Indicar una raíz no racional de: 15. Si las soluciones de las ecuación: (x2–x)2–3(x2–x)+2=0 x4–(3K+4)x2+(K+1) 2=0; son números enteros y están en progresión aritmética, hallar la suma de los 5− 2 a) 1 + 3 b) 1 − 5 c) cuadrados de dichas soluciones. (K ∈ Z) 3 2 2 a) 10 b) 26 c) 20 d) 34 e) 18 3+ 2 d) 5 − 1 e) 2 2 16. Si: x1, x2 y x3 son (x3 ∈ Q ) las soluciones de la 8. Si una de las raíces de la ecuación: (K–4)x3–(K+4)x2+21x=5, es 5 Calcule la suma de las otras dos raíces. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

ecuación: x3–x2–3x+2=0, hallar el valor de: x1 − 1 2

x1 − x1 + 1

a) –1/2 d) 0

+

x2 − 1 2

x 2 − x2 + 1

+

b) 1/2 e) 1/4

x3 2

c) –1/4

Capítulo 13 Tarea domiciliaria 1. Resolver las siguientes ecuaciones: * x3 – 3x2 – x + 3 = 0 * x4 – 13x2 + 36 = 0 * x3 – 4x2 + x + 6 = 0 * x4 – x3 – 6x2 + 4x + 8 = 0 2. Sabiendo que: x1; x2; x3 son soluciones de: x3+ax2–5x–(a+8)=0, tales que verifican: x1+x2+x3+5x1x2x3=0. Hallar "a". a)

b)

3

d) 3

5

c) –2

e) –10

9. Construir la ecuación bicuadrada, tal que dos de sus raíces son: x1=3; x2=– 2 . a) x4 – 10x2 + 9 = 0 b) x4 – 11x2 + 18 = 0 c) x4 – 10x2 – 9 = 0 d) x4 – 11x2 – 18 = 0 e) x4 – 10x2 + 18 = 0 10. Si una de las raíces de la ecuación: 2x3 + (a – 4)x2 – (1 – 2a) x – 2 = a; es x1=2. Hallar "a". a) 6 b) –4 c) –3 d) 4/7 e) –6

3. Si: a y b son soluciones de x4 – 5a2x2+b2=0. Hallar 11. Dada la ecuación: 2x 4 + (a+1)x3 – ax2 + 3a – 1 = 0 el mayor valor de "a+b" De raíces x1; x2; x3 y x4. Calcular "a", si: x1+x2+x3+x4=3x1x2x3x4 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 4. Dada la ecuación en "x": x3+(m+3)x2+(m3–3)x+m3+2=0 d) 1/6 e) 0 De raíces x1, x2, x3; determinar el valor del parámetro 12. Si: –3 – 7 es raíz de la ecuación: x 3 + x2 + nx – 10 real "m", para que: con n ∈ Q. Hallar "n" x1+x2+x3=x1x2 + x1x3 + x2x3 a) –2 b) –4 c) –6 Indique además: a) m = –3 ∧ x1x2x3 = –2 d) –8 e) –28 b) m = 3 ∧ x1x2x3 = 2 13. Halle la relación entre "p" y "q" para que la ecuación: c) m = 0 ∧ x1x2x3 = –2 x3 + px + q = 0, tenga una raíz de multiplicidad 2. d) m = 2 ∧ x1x2x3 = 10 b) 8 p3 + q3 = 0 a) p3 + 8q3 = 0 e) m = –2 ∧ x1x2x3 = –6 5. Si las raíces de la ecuación: x4–x2+1=0 son a, –a, c) 8 p3 + 27q3 = 0 d) 8 p3 – 27 q3 = 0 b, –b e) 4 p3 + 27q2 = 0 Hallar: a4 + b4 a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 5 6. Si: x= 3 2 –1 es raíz de la ecuación: 2x3+6x2+px+q=0; p, q ∈ Z. Hallar: p+q a) 1

b) 5

c) –2

d) 3

e) 4

7. Resolver: x3–4x2–x+4=0. Dar como respuesta el conjunto solución: a) {1; –1; 2}

b) {–1; 1; 2}

d) {–1; 1; 4}

e) {–1; 1; 0}

c) {–1; 1; 3}

8. Dada la ecuación: (m–5)x5–(m+7)x4+...+ax–2m=0 Si la suma de sus raíces es 5. Calcular el producto de las mismas. a) 16 b) –16/3 c) 16/3 d) 8/3

e) –8/3

Álgebra

14


Ejercicios resueltos 1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I) Si el par (1; a) es solución del sistema: 3x − y = K 5x + y = K − 2

Halle el valor de a.

Resolución

A partir de la solución reemplazamos x=1 / y=a 3 − a = K; 5 + a = K − 2 ∴ a = −2

5 +a = 3 − a − 2

2. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − I) Determinar la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema: tenga infinitas soluciones.

Resolución

Ordenando el sistema: 6x - (a+1)y = 0 (2 - a) x + 3 = 0 Se cumple que: 6

a-2

=

a+1 3

a2 − a − 20 = 0

suma de valores de a: a1 + a2 = - (- 1 ) = 1

∴

1

3. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − I) Si: x > y, resolver:

*

x2 y xy2 = 70 .... (1) : Indique el valor de: xy − (x − y) 1 1 5 ...(2) y x 14 -

-

=

Resolución De (1) : xy (x − y) = 70 .... (1)' De (2) : 14 (x − y) = 5xy .... (2)' Multiplicando (1)' ∧ (2)': 14 xy (x y) 2 -

(x y) 2 -

=

25

=

350 xy

x − y = 5 (x > y)

En (2)': 14 (5) = 5 xy xy = 14 ∴ xy − (x − y) = 9

)

6x - ay = y 2x + 3y = ax

Capítulo 14 Práctica 1. Resolver: 6x − 5y=− 9 ; 4x+3y=13. Señalar: x + y. a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 31 2. Resolver: a)

3 5 2 = = .Señalar el valor de: x. 2x + 1 x - y + 4 y

3 11

b)

5 11

c)

3 56

d)

1 3

e)

5 33

3. Hallar "m" si el sistema es compatible determinado:

) a) R − {6} d) R − {±3}

mx + 4y = 7 9x + my = 2

b) R − {±6} e) R −{5}

c) R − {3}

4. Hallar "m + n" si el sistema es compatible indeterminado: mx + 4y = 4 .

)

5x + ny = 2

a) 12 d) 36

b) 10 e) 4

c) 8

5. En el sistema de incógnitas x e y: una solución es (2;−3); halle "n".

a)

5 7

b)

13 7

c)

19 15

)

2

mx + nxy + 7 = 0

(m - 3) x2 + ny2 = 0

d)

11 8

e)

-

21 13

6. ¿Qué valores reales toma "k" para que el sistema: ^k + 3h x + ^k - 3hy = 7 ; tenga solución única?

)

^k - 1h x + ^2k + 1h y = 2 + k

a) k ! R −{−11;0} c) k ! R

b) k ! R −{0} d) k ! R −{−11}

e) k ! R

+

7. Halle "h", para que el sistema: sea inconsistente. a) 0 d) −3 ó −2

b) −2 e) 3

)

5hx + 5y = 15

12x + ^2h - 2h y = 4h

* *

) )

y = x2 + 6

&

C.S. = "^ ; h^ ; h,

y = 5x x2 + y 2 = 5 2

&

2

C.S. = "^ ; h^ ; h^ ; h^ ; h ,

x -y =3

)

2

11. Al resolver el sistema: x = y + 1 . El mayor valor de y = x+1 "x" es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) –1 12. l resolver el sistema:

)

x2 + xy + y 2 = 16 . x + xy + y = 4

Indicar un posible valor de "x+y". a) −1 b) −2 d) –4 e) –5

c) −3

13. Hallar el valor de "m" en: x2+y2+mxy=2 x+y=8 Para que la suma de soluciones de "x" sea igual a "m+1". a) −9 b) 10 c) 7 d) −10 e) 19 Z x+y+z ] x+1 = 1 ]] 14. Resuelva el sistema: [ x + y + z = 1 . 2 ] y+2 ]] x + y + z = 1 3 \ z+3

Indique 3x+7y+9z. ;

c) −3 ó 3

8. Resolver el sistema: * (x − 2y)(x − y+1)=0 ..............................(1) * x2 − y2 − 9=0 ........................................(2) E indicar el producto de valores de "x" que la verifican. a) 48 b) 72 c) 60 d) 24 e) −48 9. Calcular "a" para que el sistema: * (a+1)x+5y=7 ..................................... (1) * x+y=5 ................................................ (2) * 5x − 3y=9 ............................................ (3) Tenga solución única a) 6 b) −5 c) 4 d) –2 e) 4

10. Resolver los siguientes sistemas:

a)

29 5

b)

38 5

d)

61 5

e)

44 5

15. Si:(a;b)

*

es 2

^ x + yh^x - xy + y ^ xyh^x + yh = 1

a) d)

3 3

5 9

c)

57 5

una 2h

solución del = 5 ; hallar "a+b".

b) 3 e) 2

4

sistema:

c) 1

16. Dado el sistema: x3 + y3 = 35; xy (x+y) = 30. Determine la suma de todos los valores reales para xey a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Álgebra Tarea domiciliaria 1. Halle "m" para que el sistema: tenga infinitas soluciones. a) −3 b) 3 d) 0 e) 1

)

2x + 2my = 2 mx - 3my = 2m + 3

;

c) −3; 3

Z 17m + 3n + 2p = 32 ] 7m + n = 15 . Indique: 2. Resuelva el sistema: [ −1 ] m . 2m + n + 2p = 6 \

a)

1 4

b) − 1

c) − 1

3

d) − 1

6

e) − 1

4

8

3. Si el sistema:

)

5x + ay = 2 ... L1 . Se representa geomé4x + 3y = b ... L 2

L2

2 Indique el valor de: a) −12 d) 16

G=

b a

)

Hallar: M = a)

5

x

c) 10

x2 - 5xy + y 2 = - 2

d) 4

)

c) 3,6

*

x -2

e) 5

y =

x+y

d) 4,9

2

2

;

e) 6,4 0.

13. Resolver:

*

14. Resolver:

c) 3

d) 5

. c) 81

d) 64

e) 9

)

x2 + xy = 5 . E indicar un valor de "y". y2 + xy = 4

a) − 1

b)

1 3

d) − 4

e)

5 3

3

2

y

x2 + y = 15 . y =2 2

3

x+y x-y

b)

x

E indicar la suma de todos los valores de : x e y. a) 4 b) −4 c) 3 d) 5 e) 0

y - x = 0, 7

x +y = 5 4 ;x2y 2xy = 1 2

10 =30 ....................................... (2) y

12. Si el sistema: * (2a+5)x+5y=7..................................... (1) * 3x+(a+2b)y=7 .................................... (2) Admite infinitas soluciones. Calcular: M=ab − aba. a) 1/3 b) −1/3 c) 2/3 d) −2/3 e) 5/3

4x2 - 17xy + y 2 = - 8 .

5. Luego de resolver el sistema:

6. Resolver el sistema:

* 2x+3 −

.

Dar como respuesta "3xy". a) 1 b) 2 c) 3

hallar "x+y". a) 1,6 b) 2,5

11. Resolver: * 2x+1+ 15 =11 ....................................... (1)

Indicar el valor de a) 25 b) 32

b) −10 e) 22


10. Determinar P y K para que el sistema sea indeterminado: * Kx − 6y = 5K − 3P ..................................(1) * (K − 4)x + 2y = 4K + 3 ...........................(2) Indicando P + K. a) 20 b) 3 c) 17 d) 23 e) 19

y

tricamente mediante la siguiente gráfica: y L1 4

9. ¿Qué valores de "m" hacen que el sistema: * (m+1)x + 3y = 8m+3 ...........................(1) * (m+4)x + 3my = 5 ................................(2) tenga solución única? a) ±2 b) R − {±2} c) 2 d) −2 e) R

e)

7 2

7. Resolver: x+ y =7 ; x − y =1. Indique: x . y a) 99 b) 91 c) 36 d) 77 e) 45 8. El siguiente sistema admite como solución: x=2; y =3. Hallar: a+b. * ax − y=1 ...................................................(1) * bx − 2y=4 .................................................(2) a) 3 b) − 2 c) 5 d) − 4 e) 7

c)

91 3

Z x2 xy xz 6 ] + + = 15. Resolver: [ y2 + xy + yz = 2 . E indicar: x+y+z. ] 2 \ z + xz + yz = 1

a) 2 b) 3 c) −3 d) 3 o −3 e) 4 2 2 16. Resolver: x - xy + y = 1 . E indicar un valor de:

)

(x+y)2. a) 0 d) 30

x2 + xy + y 2 = 7

b) 10 e) 40

c) 20

Capítulo 15

15

Sistemas de ecuaciones II m+2 3

1. Si:

=

m−3 m

7m

−

7. Si: a y b tal que ecuación:

3

Hallar la suma de los cuadrados de los valores de m. a) 34 b) 25 c) 40 d) 53 e) 13 2. Hallar los valores de "n" para que el sistema en x e y:

)

(2n + 1) x + (n + 2) y = 4 (n + 1) x + 2ny = − 7

Tenga solución única. a) R – {–2; 1} c) R – {–2/3; 1} e) R – {–2; –1}

b) d)

R –

{–1; –2/3} R – {–1; 1}

3. Hallar el valor de "m" para que el sistema en x e y: (3m2 − 2) x + (3m + 1) y

)

=−

1

5x + 2y = 4

Sea compatible indeterminado. a) –1/4 b) 1/2 d) –1/2 e) 1/4

c) –1/8

(n2 + 4) x + 4 y = 4 5x + y = n − 3

Sea incompatible a) 4 b) –3 d) –2 e) –4

c) 2

P

=

1

3

−

1

0

1 2

3

2

a) –24 d) –36

b) –30 e) –40

c) –32

6. Si x ∈ R , determinar el conjunto solución de la siguiente ecuación: x

2

0

2x

x+2

x

x+1

3

a) {0; 2} d) {0}

−x

=

0

25 x

(x − 5)

Hallar:

2

x

2x − 15

+

2

3x

−

6x + 9 x

2α

−5

β

7

a) 2 d) 7

x 2

2

−

−

x − 30

=

432

12x + 36

b) 21 e) 12

c) 96

8. Si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única. Z x + Ky + z = 3 ] [ Kx + y + Kz = 2 ] − Ky + z = − 1 \

Halle los valores reales de K. a) K ∈ R b) K ∈ R – {1} c) K ∈ R – {±1} d) K ∈ R – {–1} e) K ∈ R – {0} Z x + y + z (m − 1) = − 4 ] [ x + (m − 1) y + z = 2 ] (m − 1) x + y + z = 2 \

Sea incompatible a) –1 b) –2 d) 1 e) 0

c) 2

a) p2+q2–r2 c)

p2 + q2 − r2 2 pq

e)

r 2 + p2 − q 2 2 pr

b)

r2 + p2 − r2 2 pr

d)

q2 + r2 − p2 2 qr

11. Geométricamente el sistema:

2

b) {–1;0; 2} e) {2}

−

3x 2

10. Si pqr≠0, halle el valor de "x" en el siguiente sistema: px + qz = r qy + rx = p rz + py = q

5. Calcular el valor de P, si: 4

x

> b, son las soluciones de la

9. Hallar el valor de "m" para que el sistema en x, y, z

4. Hallar el valor de "n" para que el sistema en x e y:

)

3x 2

a

c) {1}

)

2x + (n + 1) y =

2

(m − 1) x + 6y

8

=

Viene representado por 2 rectas en el plano cartesiano, tal que dichas rectas coinciden en una misma línea al ser dibujadas. Calcule "m.n" a) 5 b) 10 c) 15 d) –10 e) –5

Álgebra 12. Al resolver el sistema de ecuaciones:

)

16. Se tiene el sistema:

4x2 + 6xy + 9y 2 = 37 2x + 3y

=

7

Hallar el mayor valor de y–x a) –1/6 b) –1/2 d) 1 e) 1/6

c) –1

13. Hallar el valor de "x" que satisface el sistema de ecuaciones: Z ] [x ] \

x+ y+ z −

1

+

9

=

y−1 + z−1 = 1

xy + yz + xz

b) 4 e) 7/2

c) 5/2

14. Al resolver el sistema de ecuaciones: Z 2 2 2 ] x + y + z = 29 [ xy + xz − yz = 14 ] x + y+z = 9 \

Hallar la suma de los valores de "x". a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10 15. Si "x" e "y" son números reales negativos, halle los valores enteros de "a" para que el sistema de ecuaciones:

)

Calcule el valor de "c", si (a+b+c) < 0 a) –10 b) –2 c) –12 d) –6 e) –4 17. UNMSM 2010-I Si x e y son números enteros positivos que satisfacen las ecuaciones: x+y 6x

27

=

a) 2 d) 3

Z a + b = 6 ................... ( I) ] [ a2 + b2 + c2 = 10.....(II) ] ab + bc + ca = 3 ..........( III) \

6x + (a + 3) y = –2

6x x+y

+

Tenga solución única. a) {a ∈ Z / –12 < a < 0} b) {a ∈ Z / –13 < a < –2} c) {a ∈ Z / –12 < a ≤ –1} d) {a ∈ Z / –13 < a ≤ –2} e) {a ∈ Z / –13 ≤ a ≤ –3}

5 2

/

xy

−

x

−

y

Hallar el valor de: 13x + 9y a) 102 b) 104 d) 103 e) 105

9

=

c) 106

18. UNMSM 2011-I Un reservorio de agua lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000 kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900kg. ¿Cual es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad? a) 3400 kg b) 3600 kg c) 3300 kg d) 3500 kg e) 3200 kg 19. UNMSM 2011-I Si: m–4p=3n y

a =

a) 4 d) 2

(a + 4) x + ay = 3

=

m−p n+p

, halle 2a

b) 8 e) 32

c) 16

20. UNMSM 2011-I Si el par (1, a) es solución del sistema:

)

3x − y = k 5x + y = k − 2

Halle el valor de "a". a) 2 b) 5 d) –5 e) –2

c) 1

Tarea domiciliaria 1. Indicar el conjunto solución de:

)

3. Resolver el sistema e indicar "xy"

3x − y

=

9

37x + 23y = 67

x + 2y

=

10

23x

a) {(7; 4)} c) {(–1; –2)} e) {(0; 1)}

b) {(11; 6)} d) {(4; 3)}

*

−

a) 5 d) 1

= =

37y = 53

a) 4/9 d) 2/5

b) 5/2 e) 9/4

c) 3/4

4. Resolver el sistema, e indicar el valor de "a+b":

2. Determinar el valor de "y", en: y x + 2 2 6x y

+

5

60

b) 4 e) 0

c) 3

Z ]] 2 [ ]8 \

3

3

a) 1 d) 7

a−2

−

a−2+

3 b+ 1 3 b+ 1

=

−3

=

b) 9 e) 8

−7

c) 5

Capítulo 15 5. Determine el valor de "x/b", en: 2ax+3by = 8 ab ax – by = –ab a) 1/3 b) 2 d) 0 e) –1

12. Si: c) 1

13. Si:

(n − 3) x + 2y = 1

Si:

Sea inconsistente a) 1 b) 5 d) –2 e) –5

c) 3

(3

−

2y

m) x + 5y

−

(2

−

m) x

4

= =

6

Sea compatible determinado. a) 1/2 b) 13/4 d) 11/10 e) 1/8

c) 16/7

9. A partir del sistema:

)

−

y

=

5

Indique lo correcto: a) Su conjunto solución es {(3; 1)} b) No presenta infinita soluciones c) Es un sistema compatible determinado d) Presenta una solución e) Todas son correctas 10. Hallar "a" para que la solución del sistema esté formada por x=3 e y=2. ax − by

=

(a + b) x + (a − b) y

4

3

b) 4 e) 2

x2 + 2y2 − 4 = 0 =

)

+ 5y = 33 b) 28 e) 38

c) 54

x2 + y2 + 45 = 6 (x + 2y) y = 2x

b) 12 e) 18

c) 8

15. La igualdad: y=ax+b, verifica la tabla: x 4 6 8 y –3 –2 C Indique: "C+1" a) –1 d) 0

0

Presente solución única. b) 6 a) 6 d) – 6 e) –

)

b) 1 e) 3

c) 2

50x + 3y = n 23x + 8y = n + 5

Presente componentes positivas en su solución. a) –3 b) –2 c) 5 d) 4 e) 6 17. Dado el sistema:

)

32x − 79 (3 x + y)

=

2 (9 y + 2)

x2 + 2xy + y 2 − 12x − 12y + 36 = 0

a) 14 d) 3

c) 5

11. Hallar el máximo valor de "K" de modo que el sistema: x− y+K

7 ∧ x 5

Hallar el valor de la expresión:

= 11

a) 3 d) 6

)

=

c) 3

16. Hallar el mínimo valor de "n" que sea entero, tal que el sistema:

3x + 5y = 14 2x

x+y x−y

a) 27 d) 9

8. Indique el valor que no debe adoptar "m" para que el siguiente sistema:

)

, tal que m y n son constantes.

14. Calcular: "x+y"

4

=

x

Calcular: xy a) 18 d) 72

7. Hallar "n" para que el sistema: 8x + (n + 3) y

n

Calcular "a" considerando: x –1 –4 –2 y 2 5 a a) 5 b) 4 d) 2 e) 1

6. Calcular "a+b" para que el sistema: (b+3)x + (2b+3)y = 18 (b–3)x + (a+3)y = 6 Admita infinitas soluciones. a) 10 b) 9 c) 7 d) 6 e) 8

)

y=m+

c) 3

3

b) e)

7 17

x 2 − 2y + 2

c) 5

Álgebra

16

Repaso

1. Un reservorio de agua, lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad? a) 3600 kg b) 3400 kg c) 3300 kg d) 3500 kg e) 3200 kg

7. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean losetas cuadradas cuyos lados miden 20cm. Si el patio tuviera 2 metros más por cada lado, se necesitaría 700 losetas más. ¿Cuántos metros tiene cada lado del patio?

2. Una joven debe lavar "n" docenas de camisas; recibirá "a" nuevos soles por cada camisa bien lavada y pagará "b" nuevos soles por cada camisa mal lavada. si recibió "m" nuevos soles en total. ¿Cuántas camisas fueron mal lavadas?

8. Un día de fiestas patrias, uno de los circos que actuaba en Lima tuvo 400 personas en palco. Al día siguiente se subió el precio de la entrada, a esta localidad en S/.25, entonces disminuyó en 50 el número de asistentes a palco, pero se recaudó S/.6250 más que el día anterior. ¿Cuál fue el valor de la entrada al día siguiente?

+ 12an a+b

b)

an - m a+b

-

d)

12an m a+ b

a)

m

c)

m an 12a + b

e)

12am n a+ b

-

-

3. Un tanque puede llenarse por dos bombas A y B en 20 minutos; por las bombas A y C en 30 minutos; y por las bombas B y C en 40 minutos. ¿En cuántos minutos podrá llenar el tanque la bomba B? a) 24 b) 48 c) 35 d) 36 e) 42 4. Mario desea comprar un lote de terreno de forma rectangular. Se sabe que el doble del perímetro del terreno excede en 168 metros al ancho del terreno. Hallar el área máxima del terreno que puede comprar Mario. a) 588m2 b) 300m2 c) 540m2 d) 630m2 e) 672m2 5. Las dimensiones de un paralepípedo están en progresión aritmética y suman 24u. Si el volumen es 440u3. Calcule la dimensión de mayor longitud. a) 11 b) 12 c) 13 d) 15 e) 16 6. Un comerciante cambia una arroba de camote por un costal de trigo y 2000 soles. Luego cambia otra arroba por un costal de papas y 3000 soles o un costal de trigo y un costal de papas. ¿Cuánto cuesta 2 arrobas de camote? a) 5000 d) 15000

b) 2500 e) 1000

c) 10000

a) 12m d) 30m

a) S/.55 d) S/.70

b) 2m e) 15m

b) S/.65 e) S/.85

c) 6m

c) S/.75

9. Si uno de los lados de un rectángulo es el doble del otro y su área es 450m 2. Determine su perímetro. a) 100m

b) 80m

d) 600m

e) 40m

c) 90m

10. Las dos soluciones de x 2− 3x−10=0 son soluciones de una ecuación bicuadrada de coeficiente principal 3. Hallar la suma de coeficientes de la ecuación bicuadrada. a) 72 d) 216

b) 116 e) 221

c) 174

11. Una fracción irreductible tiene denominador 2. Si a esta fracción le restamos 13/6 se obtiene la inversa de la fracción con signo opuesto. Determine el numerador de la fracción. a) 9 b) 5 c) 1 d) 7 e) 3 12. El producto de dos números pares consecutivos es 728. La suma de las cifras del número mayor es. a) 6 b) 9 c) 8 d) 10

e) 3

13. Una caja contiene 2240 nuevos soles en billetes de 20 y 100 nuevos soles. Hay doble número de primeros que de los segundos billetes. ¿Cuántos hay de cada clase? a) 32 y 16 b) 24 y 12 c) 31 y 15 d) 48 y 24 e) 30 y 15

Capítulo 16 14. Se compran dos piezas de tela: una a "x" soles el metro y otra, que tiene "x" metros más, a "y" soles el metro; si por cada pieza se pagó lo mismo. ¿Cuántos metros se compraron en total? a)

x (x + y) (y - x )

b)

x+y

c)

y (x + y) (x - y)

d)

x (x + y) (x - y)

e)

x (xy + 1) (xy)

x-y

15. ¿Qué número debe agregarse a los términos de la fracción 1/x para que resulte x - 2 ? x+2

2

-x

a)

x

c)

x - 3x - 2

4 2

2

x + 2x

x

e)

2

b)

x

d)

x

2

-x-2 4

2

-3x 2x

- 3x - 2 4

16. Si "x" es solución de la ecuación: x x

2

2

-

6x + 10

+

8x + 17

=

(x - 3) 2 (x + 4)

2

, entonces el valor de:

2

2x +x+1 es. a) −1/2 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

17. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de tiros acertados fue: a) 76 b) 78 c) 72 d) 74 e) 70 18. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra? a) 18 personas b) 36 personas c) 6 personas d) 12 personas e) 20 personas 19. Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 más de lo que cobran por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo? a) S/.1,50 b) S/.0,75 c) S/.1,00 d) S/.2,00 e) S/.0,50 20. Se compró cierto número de lapiceros por S/.100,00. Si el precio de la unidad hubiera sido S/.1,00 menos, se tendría 5 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros se compró? a) 18 b) 25 c) 20 d) 30 e) 28

Tarea domiciliaria 1. Una enfermera proporciona a su paciente una tableta cada 45 minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para nueve horas de turno si debe suministrarlas al inicio y término del mismo? a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 12 2. A un cierto número de personas se les iba a pagar S/.35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/.42. ¿Cuántas personas iban a recibir S/.35? a) 4 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9 3. ¿En cuánto debe aumentar el numerador de una fracción para que al disminuir el denominador en sus 2/5, la fracción aumente en sus 11/9? a) En su cuarta parte b) En su sexta parte c) En su tercera parte d) En su novena parte e) En su quinta parte 4. Gasté los 2/9 de mi dinero en ropa y luego los 3/5 del resto en comida. ¿Qué fracción de todo lo gastado es lo que me queda?

a) 3/7

b) 14/31

d) 31/45

e) 13/31

c) 14/45

5. En un congreso hay peruanos, chilenos y argentinos. Si los peruanos representan los 2/3 de los chilenos y los chilenos los 5/8 de los argentinos. ¿Cuál es la fracción de peruanos con respecto al total? a)

10 53

b)

10 51

d)

10 49

e) 10/47

c)

10 43

6. Un recipiente contiene agua, en sus 2/3 partes. Si se extrae 1/5 de la parte no llena y después se añade 1/4 de la parte llena en ese momento. ¿Qué fracción del recipiente queda lleno? a) 3/4 b) 3/5 c) 4/5 d) 5/6 e) 2/5 7. De un juego de 32 cartas se saca primero "x" cartas y tres más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía le quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez? a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 3

Álgebra 8. En una máquina de escribir mecánica se puede puede preparar una nómina de 120 horas, pero digitando la misma nómina en una computadora se le prepara en 80 horas. ¿En cuánto tiempo se prepara toda la nómina si se pone a trabajar en ambas? a) 46 b) 48 c) 50 d) 52 e) 53 9. Se ha pagado una deuda de S/.265 con monedas de S/.5 y S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuántas suman las monedas de S/.5 y de S/.2? a) 81 b) 82 c) 83 d) 84 e) 85 10. El jardinero "A" planta rosas más rápidamente que el jardinero "B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x" rosas en una hora "A" planta "x+2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en cuatro horas? a) 6 b) 8 c) 12 d) 24 e) 32 11. Se compra cajones de naranja a S/.100 cada uno y cada cajón contiene 20kg. Primero se vende la mitad a S/.20 el kilogramo, después la cuarta parte a S/.15 el kilogramo y por último el resto se remata a S/.10 el kilogramo ganando S/.11250 en total. ¿Cuántos cajones de naranja se habían comprado? a) 65 b) 70 c) 55 d) 50 e) 54 12. Cuando se pregunta a Juanito cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo el mismo número de hermanos y de hermanas". Cuando se le pregunta a María cuántos hermanos tiene responde así: "Tengo la mitad de hermanas que de hermanos o lo que es lo mismo, tengo el doble número de hermanos que de hermanas". Sabiendo que Juanito es hermano de María, diga Ud. ¿Cuántos hermanos hay de cada sexo? a) 3 hombres y 2 mujeres b) 4 y 3 c) 5 y 4 d) 6 y 5 e) 5 y 2 13. Dos corredores, Pedro Pedro y Juan, parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra distantes 60 km, la velocidad de Pedro es cuatro kilómetros por hora menos que la de Juan. Después de llegar Juan a la segunda ciudad, emprenden inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con Pedro a 12 kilómetros. ¿Cuál es la velocidad de Pedro? a) 6 km/h b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 14. Los lados de un triángulo son "a", "b" y "c"; se añade al lado "a" una longitud "d/2", se le quita al lado "b" la longitud "d/4" y se le agrega al lado "c" una longitud "5d/6". ¿Cuál debe ser la longitud "d" para que el perímetro del segundo triángulo sea el triple del perímetro del primer triángulo? a)

24 (a b c) + + 19

b)

24 (a b c) + + 13

c)

6 (a b c ) + + 7

e)

12 13

d)

12 (a b c) + + 19

(a+b+c)

15. Un comerciante tenía determinada suma de dinero. El primer mes gastó S/.100 y aumentó a lo que quedaba un tercio de ese resto. Al mes siguiente volvió a gastar S/.100 y aumentó a la cantidad restante un tercio de ella. El tercer mes gastó de nuevo S/.100 y agregó la tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del inicial. ¿Cuál fue el capital inicial? a) S/.1480 b) 1500 c) 1400 d) 2380 e) 7400 16. Se reparten S/.3000 entre cuatro personas de tal manera que a la primera le corresponda S/.400 más que a la segunda a esta 3/5 de lo que le corresponde a la tercera, y ésta S/.600 más que a la cuarta cuar ta persona. ¿Cuánto recibió la segunda persona? a) S/.500 b) 490 c) 575 d) 600 e) 1000 17. Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda pero antes de servir este pedido se le inutilizan 140 libros y por lo tanto, sólo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron? a) 2 000 b) 3 000 c) 1 760 d) 3 250 e) 3500 18. Un hombre debe realizar un viaje de 820 km en siete horas, si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h y el resto en auto a razón de 55 km/h. ¿Cuál es la distancia recorrida en avión? a) 200 km b) 500 c) 600 d) 700 e) 750 19. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más dos años. Hace tres años la relación de sus edades era como 3 a 1. Dentro de cinco años la suma de sus edades será: a) 36 años b) 30 c) 26 d) 20

e) 46

20. En una granja del estado de chihuahua tenían sembrados 480 hectáreas más de papas que de cereales. Después de haber recolectado el 80% del cultivo de papas y el 25% del de cereales quedaron en el campo 300 hectáreas más de cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas de cereal habían sembrado en la granja? a) 800 b) 1000 c) 1360 d) 720

e) 1200

Capítulo 17

Desigualdades - inecuaciones de 17 primer grado Ejercicios resueltos 1. Resolver:

3x 7 x 5 10 20

2

1 7x 5 20

Resolución

El MCM de todos los denominadores es 20, luego: 4(3x) − 2(7) − x>4(1) − 7x 12x − 14 14 − x>4 − 7x 7x

Transponiendo términos: 12x − x+7x > 4+14

18x>18 x> 18 18

x>1 x∈<1;+∞>

1

+3

2. Resolver: ................................................................................ .......... (I) * 5x − 3y>2 ...................................................................... * 2x+y<11 .................................................. ........................................................................... .............................. ..... (II) * y+ 1 > 37 − 2

10

1 5

................................................ ...................................................................... ...................... (III)

Resolución

De la inecuación III: y>

37 1 1 10 5 2

y>

30 10

"

y > 37 - 2 - 5 10

⇒ y>3 ................. a

Multiplicando a la primera inecuación por 2 y a la segunda inecuación por -5, se tiene: 10x −6y > 4 −10x −5y > −55 −11y > −51

y<

51 11

.........(b)

De (a) y (b) se tiene 32+3(4) 5x>14 x> 14 → x>2,8 5

En (II): 2x<11 – 4 ⇒ 2x<7 x<3,5 como: 2,8
Álgebra Práctica 1. Sean los intervalo acotados: A = <–3; 6], B = [–7; [–7; 3> Calcular el número de valores enteros que se encuentran en: * A∪B Rpta: * A∩B

Rpta:

* A–B

Rpta:

* B–A

Rpta:

2. Dados los intervalos: A = [–3; 5> B = {x ∈ R / / x > 3} C = {x ∈ R / / –5 < x < 4} Halle : (A ∩ B) – C a) <4 <4; 5> b) [4; 5] d) <4 <4; 5] e) <2 <2; 4>

Si: J = $ 2 − x

x+2

! R /

a #x

5x - 3 x 2 6

9. Al resolver:

2

b

. c) 10

5 - 3x 7x + 1 +1 3 4

.

Se obtienen un C.S. x !1 a ; + 3 2. Calcular: (b−a), b siendo ` a j una fracción irreductible. b) 9

c) 28

d) 20

e) 19

10. Señalar qué tipo de valores deberían de tomar "a" y "b" para que el sistema: ax+a>a ; bx−2b>−3b.

c) [4 [4; 5>

Tenga como C.S. al vacío, siendo "a" y "b" no nulos. a) a>0 b) a>0 c) a<0 b<0 b>0 b<0 d) a<0 e) a0 11. Resolver: −x< 4 - 7x <1 − 3x. 3

a) < 1 ;+∞>

b) <2;+∞>

c) <−∞:− 1 >

d) <−∞;2>

2

Luego indique el producto del mayor valor de G y el menor valor de H. b) –8 e) –12

<

Halle el valor de a+b+ab a) 8 b) 2 d) 4 e) 4/5

a) 14

1 2y – 5

a) –7 d) –10

3

b

3. A partir de los datos: Si: –3 ≤ x < 1, halle la variación de la expresión: G = 4 – 5x Si: y ∈ <1; 2], halle la variación de la expresión: H=

8. Dado el intervalo: J = <– 1 ; 1]

2

e) <−∞;−2>

c) –19 12. Hallar la suma de valores enteros de "x" que verifican: 4x+3y<16, y − 2x>−12. Si:{x;y} 1 Z . +

4. Halle el mínimo mínimo valor de la expresión: expresión: 2 J = x – 8x + 6, si se sabe que: x ∈ R a) 1 b) 2 c) –9 d) –10 e) –11 5. Si: x ∈ [–5; 3], halle la variación de la expresión: J = x2 – 4x + 9 a) [3; 49] b) <2 <25; 39> c) [5; 54] d) [3; 25> e) <5; 54> 6. Determine el el máximo valor que alcanza la siguiente expresión: 32 x

a) 8 d) 3

2

−

6x + 13

a) 6

c) 4

7. Halle el máximo número entero, entero, menor o igual que la expresión: x ∈ [–3; 3] E (x) = 3 + x + 3 − x ; a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

x-a

13. Resolver:

b

2 2

2

c) 17 x-b a

2

2

d) 13

e) 15

. Sabiendo además que:

(a−b)∈<−b;0>

a) x< − a2+b2 c) x>a2+b2 e) x
b) x< − (a2+b2) d) x>−a2 − b2

14. Sean: A y B conjuntos soluciones s oluciones de: x+3 x-1 ..................................... (1) >1 ∧ x>−3 ..................................... 4

b) 16 e) 6

b) 14

2

3y + 7 -2

2

y-1 3

................................................ ..................................................... ..... (2)

Respectivamente. Calcular: AC∩B. a) <−∞;−3] c)

[−3; 23 11

>

e) <−∞;− 19 > 11

b) <−∞; 23 > 11

d) <5;+∞>

Capítulo 17 Tarea domiciliaria 1. Si: 3 ≤ a ≤ 5; hallar la variación de: M = 2a − 7; indicando la suma del menor y mayor valor. a) 2 b) 4 c) 3 d) −3 e) −2 2. Si: −2 ≤ a ≤ 3; hallar la variación de: E = 8 − 3a; indicando el menor valor. a) 14 b) −3 c) −1 d) –2 e) 3 3. Si: 3 ≤ a ≤ 5 / −2 ≤ b ≤ 0 , hallar el mayor valor de: K=a−b+2

a) −3 d) 8

b) 3 e) 9

c) 10

M=a−b+3

b) −8 e) −2

c) −10

5. Si: 2 ≤ x ≤ 7 / −3 ≤ y ≤ 5. Hallar el intervalo para: N = 2x − y + 1

a) −1
b) −1≤N<17 e) 0≤N≤17

c) 0≤N≤18

6. Si: 3 ≤ a ≤ 8 y 2,7 ≤ b ≤ 3,3; ¿cuál es el mayor valor que toma a ? b

80 27

a)

b)

80 33

c)

10 9

d) 0,9

e) 1,1

7. Si: 2 ≤ a ≤ 10 / 4 ≤ b ≤ 18; hallar el mayor valor de: b . a

5 9

a)

b) 9

c)

9 5

d) 2

e)

2 5

8. Si: 2
a) 6 d) 5

b) 12 e) 10

c) 7

10. Si: −2
a) 11 d) 13

b) 12 e) 10

el menor valor. a) −2 d) 1

c) 14

b) −1 e) –3

13. Si: x ! <3; 5>; entonces: 1; 1 3 2

b)

1; 1 5 2

d)

1; 2 5 3

e)

1; 1 7 5

- 2;1

12 a-8

indicando

c) 2

2 3x - 5

a)

14. Si: x !

4. Si: 5 ≤ a ≤ 10 / 6 ≤ b ≤ 16, hallar el menor valor de: a) 8 d) 2

12. Si: −4 ≤ a ≤ 2; hallar la variación de:

; pertenece a: c)

- 1; 1 5 3

@; indicar qué valor no puede tomar:

y = 2x + 4 . 2x - 3

a) −5

b) − 1

d) −7

e) − 1

c) −4

2 4

15. Si: −5
+

! R

valor de "M". a) 1 d) 4

tal que:

M=

a b + b a

b) 2 e) 5

; indicar el menor c) 3

18. Si: a,b ! R / a>0 / b<0; indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda : a) a+b≥0 b) a . b<0 c)

1 a-b

d) a+b2≥0

>0

a) VFVV d) FFVV

b) FVFV e) FVVV

c) VVFV

19. Sean los intervalos acotados: A=<−3;6], B=<−7;3], C=[2;9>. Calcular el número de valores enteros que se encuentran en: * A+B ..................... Rpta: * A , B , C ..................... Rpta: * (A + C) − B ..................... Rpta: 20. Hallar el máximo valor entero que toma: G(x)=3x−9. Si: x - 1 ! [3;4>.

c m 3

a) 80 d) 243

b) 27 e) 729

c) 81

Álgebra

Inecuaciones de 2º grado - valor 18 absoluto Ejercicios resueltos 1. Hallar el conjunto solución en la siguiente inecuación: 2x

2

+

x−5

x

#

2

2x

−

−

9

Resolución

Aplicamos la siguiente propiedad: 2

x

= x

(x

2

+

2

(+)

A ambos miembros elevamos al cuadrado: 2x

2

(2x

2

(2x

2

+

x

−

3x + 4 )(3x − 7 ) ( x + 2) # 0

1 44 2 44 3 1 4 4 4 24 4 4 3

2

5

#

x

2

−

2x

−

9

+

2 2 2 x − 5) # (x − 2x − 9)

+

x − 5)

2

−

(x

2

−

#0

(3x − 7) (x + 2) # 0

(+) (−)

2

3x

(−) (+)

−7$0

2

x$

2x − 9) # 0

x + 2 #0

7 3

x #−2

1 4 4 4 4 4 42 4 4 4 44 4 3

(x

2

+

3x + 4) (3x

3x x

2

−

x − 14) # 0

z

3x

−7

x#

2

2. Resolver: 6 x ! R −

1

<

x+ 2

Resolución 2

3x − 1

(3x − 1)

2

<

<

2

x+2

(x + 2)

2

(3x − 1) 2 − (x + 2) 2 < 0 (2x − 3) (4x + 1) < 0

−3

x+2$0

7 3

x$

−2 # x #

Sx

3x

−7#0

−1

3 2

4

x!<− 1 ; 3 4 2

>

+3

=

x!

8

−

2; 7 3

B

7 3

−2

Capítulo 18 Práctica 1. Resolver las inecuaciones cuadráticas mostradas: I. 8x2 ≤ 16x

................... C.S. =

II. x2+x ≥ 6

................... C.S. =

III. x2+8x+3 ≤ 0

................... C.S. =

IV. –x2+6x+1 ≤ 0

................... C.S. =

8. Luego de resolver: |x − 3|=5. Indique la suma de soluciones. a) 8

b) −2

d) 10

e) −16

9. Luego de resolver: |6−|x − 1||=4. Indicar la suma de la mayor solución y la menor solución.

2. Indicar el valor de verdad de cada proposición: I. (x–8)2 ≥ 0

&

C.S. = R

a) 0

b) 1

II. (x–8)2 < 0

&

C.S. = R − " 8 ,

d) 3

e) 10

III. (x–8)2 ≤ 0

&

C.S. = " 8 ,

IV. (x–8)2 > 0

&

C.S. = f

3. Si

6 x ! R

se verifica:

x

2

+ 11 2

$ mx

b) 1

d) 3

e) 4

. Indicar

el

b) 2

d) 9

e) −3

c) 2

c) 8

5. Hallar el mayor valor "m" que satisface a: 2

m # 1 − 6x + x ; 6 x ! R

a) −3

b) −5

d) −7

e) −4

c) −8

6. ¿Cuántos enteros no negativos verifican: 4x2–4x–49 < 0? a) 3

b) 2

d) 5

e) 1

c) 4

7. Determinar "m" para que la ecuación: x2–2(m–1)x+4m–7=0, tenga raíces reales. a)

m ! R − < − 2; 4

c)

m ! R − < − 4; 2

e)

m ! R − " − 2 ; 4 ,

a) 2 d) −3

b) 4 e) −5

c) 251/2

11. Indique la menor solución: |x+3|=|2x − 1|.

4. Al resolver la inecuación: x2–9x+18<0. Se obtiene que: x ! < a; b > . Hallar a + b. a) 0

c) 2

10. Si: x1 y x2 son las soluciones de: |3x − 5|=2 − x; tal que x1 > x2. Calcular: 4x1 − 2x2.

máximo valor entero que adopta "m" a) 0

c) 6

>

b)

m ! R − < 2; 4 >

>

d)

m ! R − "2 ; 4 ,

a) 1 d) −2

b) −1,5 e) −3

c) − 2 3

12. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − I) Indicar cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. 6a, b ! R . a a

I.

=

b b

II. 2|a| − 3|b|≥ −5|b| III. |a − b|≤|a+b| IV. |a − b|≤ 2|a+b| a) I

b) II

d) II y IV

e) IV

c) I y II

13. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − II) Luego de resolver: 2|x − 3|2 − 7|x − 3|+3=0

Indicar la suma de los cuadrados de las soluciones. a)

109 2

b)

91 2

d)

111 2

e)

77 2

c)

123 2

14. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − II) Si a, b y c son las soluciones no negativos de la ecuación:||x − 3| −5|=2 entonces el valor de

a+b+c es: a) 12

b) 16

d) 2

e) 10

c) 6

Álgebra 15. Determine el conjunto solución en cada caso: I. |14x − 1|<9 II. |3x − 2|>5 III. |9x − 1|≤|8x − 33| IV. |x+8|≤|2x − 1|+|9 − x|

20. Hallar la suma de los valores de "x" que verifican la ecuación: x2 − 6x=2|x − 3|+6.

16. Resolver: |x+2|≤2x − 1.

21. Si: A={x∈ R /|2x − 3|>−x}; B={x∈ R /|x+3|
a) x∈[ 1 ;+∞>

b) x∈[− 1 ;+∞>

2

a) 9

b) 10

d) 8

e) 12

3

c) x∈[3;+∞>

1 2

d) x∈<0; >

e) x∈< 1 ;+∞>

a)

- 9; + 3 2

b)

d)

- 3; 9 2

e)

2

17. (Ex. Admisión UNMSM 2005 − II) Si: A={x∈ R /|x − 3|2 − 3|x − 3| − 18>0} , y 1 R ∈ 1 2x + 8 12

B={x∈ /

[

;2]}. Entonces: A

a) [2;9]

b) [2;9>

d) <2,9>

e) f

C∩ C

B es:

c) <2;9]

c) 6

9; 3 + 2

c)

8 -29 ;+ 3

$ - 92 .

22. Si: A={x∈ R /|x − 3|≤2 ∧ |x − 6| ≤2}. Determinar el conjunto A. a) {4 ; 5}

b) [4 ; 5]

d) {4}

e) {5}

c) <4;5>

23. Si |x − a|<2b donde: b>0 a que intervalo pertenece: b . x - a + 3b

18. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − II) Halle el menor valor de x que satisfaga las siguientes inecuaciones: a. a ≤ x ≤ a + 20 b. |x − a|2 − 7|a − x| − 60 ≥0

a)

; 15 ; 1E

d) f

@

b)

1 ;1 5

e)

; 15 ;+

c)

1;1 5

3

24. Si: (2x+5)∈<−10;11]∩[7;10>. Determinar el menor valor que toma A si: x +- 5 # A . x 7

a) a+5

b) a+6

d) a+8

e) a+12

c) a+7

19. (Ex. Admisión UNMSM 2010 − I) Dada la ecuación: 2|x+ 1 |2 − 7|x+ 1 |=−6. 2

2

Halle la suma de sus soluciones. a) −2 d)

3 4

b) −1 e) − 11 4

c) − 3 4

1 3

a)

5 3

b)

d)

3 5

e) 1

c)

2 3

Capítulo 18 Tarea domiciliaria 1. Indicar el conjunto solución de: x2–10x+29<0 a) <–3; 7> b) [–3; 7] c) R d) f e) <1;29>

9. Resolver: ||x − 2|− 6|=0. Luego indicar el producto de las soluciones. a) 0 b) −24 c) −32 d) 84 e) 12

2. Hallar el mínimo valor que adopta M; tal que: x ∈ R , en: 4 + 6x − 3x2 # M

10. Resolver: x2 − 4|x|+4=0. E indicar el número de soluciones mayores que 2. a) 1 b) 2 c) 3

a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

d) 4

3. Si a>0, ax2+(1–2a)x+a>0; conjunto de valores de "a". 1; 3 4

a)

a!

c)

a!< − 1 ;3> 4

e)

a!< −

8

−

>

∀

x

∈ R

. Hallar el

b)

a ! < 1; 3 > 4

d)

a! 1 ;3 > 4

8

Hallar: E = 10A − 5B.

a) 13

b) 15

d) 19

e) 21

c) 17

2

5. Dado el polinomio: P(x)=x –6x+11. Determine la constante K de modo que P(x) ≤ K tenga por solución al intervalo 6 0; r @, donde: r > 0. Calcular: 2K − 5r. a) −8

b) −3

d) −4

e) 5

c) 7

6. Determine el mayor valor de "N" en: −

4x + 29,

6 x ! R

a) 24

b) 25

d) −24

e) −25

c) 26

7. Si: ax2+(1–2a)x+a>0, ∀ x ∈ R . Hallar el conjunto solución de "a". a)

65;

d)

<

+

3

e) 2;3

3; + 3 >

4. Sean A el mayor numero real tal que: 4+2x+5x A 2 ∀ x ∈ R y B el menor número real tal que: 4–2x–5x ≤ B.

2

11. Resolver: ||x2 − 1|−x|=x Luego indicar el valor del doble de la mayor solución entera, e indicar el número de soluciones. a) 2;2 b) 2;6 c) −2;6 d) −2;2

2≥

N#x

e) 0

>

1; + 3 > 4

b)

<

1 ;3 2

e)

<

5; + 3

>

c)

63 ; 2 >

>

8. Resolver: |16 − 2x2|=0. Luego se afirma que: a) Tiene solo una solución, cuyo valor es 2 2 . b) Tiene solo dos soluciones, siendo una de ellas cero. c) Tiene como raíz a cero. d) Tiene dos soluciones. e) x ∈ R

12. Si se cumple:

)

x+ 1 2y − 2

2x − 3

= =

.

y−1

Calcular: (x+y)2; además {x,y} ⊂ Z. a) 5 b) 1 c) 25 d) 125

e) 625

13. Resolver:|x − 2|>3 e indicar el intervalo solución. a) x∈<−∞−1>∪<5;+∞> b) x∈<−∞;−2>∪<2;+∞> c) x∈<−∞;+∞> d) x∈f e) x∈<5;+∞> 14. Resolver:|1+x|≤3∧|x|≥3, e indicar su intervalo solución. a) x∈<−∞;−3>∪[3;+∞> b) x∈<−4;3>∪<4;+∞> c) x∈[−4;−3] d) x∈[−4;3> e) x∈f 15. Indicar el intervalo de valores negativos que verifican:: |x2 − 4|≤|3x|. a) x∈[−12;−3]

b) x∈[−1;3]

c) x∈[−6;−2]

d) x∈[−4;−1]

e) x∈<∞;4> 16. Resolver:|5x − 1|
1; 1 6 4

b)

; 16 ; 14

d)

; 16 ; 14 E

e)

1; 1 6 4

c)

B

0; 1 6

Álgebra

19

Funciones I

Q , además: 1. Si "f" es una función tal que: f: Q + 2 3 f={(7; x ), (x; 4x),(7; 2x), (x ; x), (x ; x)} Determine el cardinal del rango. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Sean las funciones: f(x) = 4 9 − x2 ; g(x) = x + 5 y h(x) = x5+4x3–x+2 x−2 Determine: Dom(f) ∩ Dom(g) ∩ Dom (h) a) R – {2} b) <–2; 2> c) <–3; 3> d) [–3; 3] – {2} e) <–3; 3> – {2} 3. La siguiente tabla muestra parte del dominio y rango de una función lineal f. x 2 f(x) 10

5 a

8 b 28 37

La suma de a y b es: a) 25 b) 40 d) 30 e) 35

c) 45

4. Dado: M = {x ∈ N / |x| ≤ 5} Sea "f" una función de M en R , definida por: f (x) =

5−x

+

1 x−2

x

+ 1 c) <1; 3>

8. Hallar el rango de la función cuadrática "f" la cual satisface: f(0)=11 ; f(–1)=6 ; f(1)=18 Para todo pre-imagen real de "f". a) [2; +∞> b) [1; +∞> c) [3; +∞> d) [–1; +∞> e) [0; +∞> 9. Halle el rango de la función: f(x) = –x2 + 2x Sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) <–∞; 0] b) <–∞; 1] c) [0; +∞> d) <–∞; 1> e) R 10. Determine el rango de la función "H" definida por: H(x) = x2 – 2 (|x| + 1) + 7 a) [6; +∞> c) [–4; 4] b) R d) [–8; 3> e) [4; +∞> 11. Si: <–5; –4> es el dominio de la función "f", definida por: f (x) = x + 1 . Obtener el rango de la función x+3

Donde la suma de los elementos del rango de la función es: a + a 1 + b 1 + 2 , entonces a . b, es: a) 1 b) 3 c) 6 d) 2 e) 5 −

7. Halle el rango en: f(x) = 4 − a) [1; 3> b) [1; 3] d) <2; 3] e) [0; 3]

−

5. Calcular el rango de la siguiente función: f(x) = 5 |x| – 2; x ∈ [–1; 4> De como respuesta el valor de la menor imagen. a) –10 b) –3 c) –2 d) –4 e) 5 6. Dado: A = {x ∈ Z / |x| ≤ 4} Sean f y g funciones de A en R , definidas por: f(x) = x2 – 3 y g(x) = 1 − x +1 Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de g. a) {0; –2; –3} b) {–3; –2; –1} c) {1; 2; 3} d) {–3; –2; 1} e) {–1; 0; 1}

a) <–2; 1> d) <2; 4>

b) <2; 3> e) <1; 2>

12. Sea la función: f (x) 4x x2 Halle: Ran (f) ∩ Dom (f) a) [0; 1] b) [0; 2] d) [1; 3] e) [0; 4] =

c) <0; 1>

−

c) [1; 2]

13. Si "f" es una función cuadrática; cuya regla de correspondencia la conforma solo un polinomio mónico de término independiente unitario. Hallar: f(2x). Si f(3) = 13. a) x2 + x + 1 b) x2 – 2x – 1 c) 4x2 + 2x – 1 d) 4x2 + 2x + 1 e) 4x2 – 4x + 1

Capítulo 19 14. Hallar el rango de la siguiente función: f (x) =

(x2 − x ) (x2 + 2x) x2 + x − 2

a) R 0+ c) R 0+ – {1; 4} e) {1; 4}

b)

R –

d)

R 0 – +

{1; –2} {2; 4}

G (x) = 4

2

−

4 x

+

6

1

–3

a) 2 d) 2–6

b) 2 e) 2–7

c) 2

–5

d)

b) e)

; 13 ; 3E ; 13 ; 9E

−

1

Hallar el Ran (f) a) <–1; 2] b) <0; 1> d) <0; 2] e) <–1; 1]

; 13 ; 4E

c)

R ;

c) <–2; 1]

A ⊂ R+, tal que:

x2

y Ran (h) = <1; +∞> Halle el conjunto A. a) <2; 3> b) <1; 2> c) <0; 1> d) <–2; 2> e) <3; 4> h (x)

2 f (x) = x + x + 1 x2 − x + 1

; 13 ; 2E ; 13 ; 6E

4 x − 2x + 3 2

20. Dada la función: h : A

16. Halle el rango de la función "f", si:

a)

19. Dada la función: f (x) =

15. Halle la menor imagen de la siguiente función: x

18. Hallar el menor valor del rango de la función: f(x) = x2 – |x| + 1, si: Dom (f) = [–3; 3] a) 1 b) 0,75 c) 1,5 d) 2,5 e) 2

=

2

−

x

17. Calcule: Dom(f) ∩ Ran (f) de la función: f (x) =

)

3x; x !

6

−

2; 3 >

x2; 3 # x < 5

a) [–2; 5> d) <–6; 25>

b) [–6; 25> e) [–5; 10>

c) <–2; 5>

Tarea domiciliaria 1. Si el siguiente conjunto; es una función: F = {(4; 4), (x; 5), (4; x 2), (2; 6)} Calcule el valor de: P = x + F(−x)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 4

a) −25

b) −35

d) −55

e) −65

5. Sea f una función constante tal que: 2f (10) + f (20) f (3, 5) − 5

2

2. Calcular el dominio de: G (x) = 4x − x , y de como x respuesta el resultado del número de valores enteros incluidos en dicho dominio. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6

3. Calcular el rango en: F(x) = 4x − 8; x ! − 2 ; 5 > y de como respuesta el valor de la menor imagen. a) −16 b) −17 c) −18 d) −19 e) −20 4. La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f. x 2 6 40 b −1 −13 −175 f(x) a La suma de a y b es:

c) −45

=

8.

Calcular: B = f(1020)+f(31)+f(2560) a) 21

b) 22

d) 24

e) 25

c) 23

6. Hallar el rango de la función cuadrática "f" la cual satisface: f(0) = 9 f(−1) = 7

f(1) = 19 Para todo pre-imagen real de "f". a)

: 8 27 4

c)

<

17 ; 3 + 4

>

e)

<

11 ; 3 + 5

>

+

3

>

b)

: 811 4

d)

<

+

3>

27 ; 3 + 4

>

Álgebra 7. Hallar el rango de la función: f(x) = –x2+4x Sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) < − 3; 1 b) < − 3; 4

@ ; 2@

c)

<−

3

e)

<−

3; 4

@

d)

<−

3; − 1

>

x

−

=

4 x x

a) {–4; –3} c) {1; –3} e) {5; –3}

b) {–5; –3} d) {–3; 7}

4; 20 > , Además: Ran F = [m; n>. Calcular: S=16m–45n–1

a) −17 d) −20

/ 4x ! < −

b) −18/ e) −21

c) −19

10. Dado: A = " x ! Z / x # 3 , sean f y g funciones de A en R , definidas por: f(x)=x2–2 y g (x) = 1 − x + 2 Hallar la intersección del rango de f con el dominio de g. a) {–2; –1} b) {–3; –2; –1} c) {–1; 0; 1} d) {–1; –2; 0} e) {1; 2; 3} 11. Dadas las funciones: f(x) = 5x + 6; 18

−

7x

−

x 2 . Hallar Ran (f)

x! +

;

7; 1 5 5

−

>

y

Dom (g)

a) [–2; –1]

b) [1; 2]

c) [–1; 2]

d) [–1; 3]

+

1

a) 61 ; 4 @ c) 61 ; 9@ e) 61 ; 8@

F (x) =

F = " (x; y) ! R 2 / F (x) = x 2 − 2x

=

9− x

17. Si: F : R

9. Dada la función:

g (x)

f (x) =

b) 61 ; + 90@ d) 6− 7; 1@

16. Dadas las funciones: F(x) = x2+3x–3 G(x) = x2+x+m Calcular el mínimo valor entero de "m" tal que 6x ! R , se cumpla que: F(x) + G(x) ≥ 0. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

>

8. Calcular el rango de la función: f (x)

15. Hallar el rango de:

*

"

2x

R ,

es una función definida por:

3 F (x)

x$3

3x F (x) − 3x + 1

x<3

−

/

x! 1 3

Determine el valor de: P = F(4) + F(2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Sea la función: f(x)=x6–3x4+3x2–12; Dom (f) = <−2; 2> Determinar el mínimo valor de "f". a) −15 b) −13 c) −12 d) −10 e) −9 19. Se define la función: f (x) = "x , / f (x) = n * n G x < n + 1; n ! Z, 6 x ! R

A partir de dicha definición se establece que la solución de la ecuación: f(2x) + f(3x) = 2; es x ! a; b > . Hallar "ab". a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/6 e) 3/4

6

20. En la figura adjunta se muestra un trapecio isósceles: 1

e) [1; 4] 12. Si "f" es una función lineal, tal que: f(1)=20 / f(−1)=0. Halle la pendiente de la recta que representa f. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 13. Sea: f(x)=x2–4x+5; Dom f = [0; 3]. Si n y N son el mínimo y máximo valor de f(x), respectivamente, hallar: N – n. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1 14. Sea "f" una función definida por: f (x) x 1 Hallar el Ran (f) a) <−1; 1> b) 6− 1; 1@ c) R / 6− 1; 1@ d) R / < − 1; 1 > e) < − 3; − 1 =

−

@

−

x

−

2

h 45º x Expresar el área sombreada en términos de "x". a)

(x − 1) 2 8

c)

x 4

e)

(x + 4) (x − 4) 8

2

b)

(x + 2) (x − 2) 8

d)

(x + 1) (x − 1) 8

Capítulo 20

20

Funciones II

1. Si la gráfica de la función "f": f(x) = x2 – 3x + 2m pasa por el punto (5; 20). Halle la imagen de –3 mediante "f". a) 12 b) 8 c) 18 d) 28 e) 38

5. La gráfica de la función: f(x) = –x2+6x–5, intersecta al eje "x" en los puntos "P" y "Q", y al eje "y" en el punto "R". Hallar el área de la región triangular PQR. a) 15 u2 b) 10 c) 12 d) 20 e) 30

2. Obtener la gráfica de la función constante "g" tal que:

6. Esbozar las gráficas de las siguientes funciones: I. f : R R / y = f(x) = |x|

g (10) + g (15) g (7) − 3

a)

=

8

b)

y

II. y = y

III. f={(x;y) ∈ R 2 / y = 8 – |x–2|}

4

4

IV. f(x) = |2x+1|+4

x c)

x d)

y 4

e)

y 4

x

–4

x 2

x

y x –4

3. Esbozar los gráficos de las siguientes funciones: I. f : R R / y = f(x) = 3x – 12 II. y = − 2 x– 6 3 III. f = {(x; y) ∈ R 2 / 2y + 3x = 12} 4. Dadas las siguientes funciones: 2 R / y = f(x) = x + 3 f : R 2 R / y = g(x) = –x + 2x g : R 2 R / y = h(x) = 3x – 6x + 1 h : R cuyas gráficas están representadas por parábolas cuyos vértices son V 1, V2 y V3 respectivamente. Calcular: d12 + d22 , si: d1 es la distancia de V1 a V2; y d2 es la distancia de V2 a V3. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16

7. Si las gráficas de las funciones f y g se intersectan en el punto (m; n). Indicar el valor de: E = 2m+3n donde: f(x) = 2 – 3x g(x) = |x+8| – 2 a) –14 b) 7 c) 13 d) –36 e) 17 8. Halle las coordenadas de uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones: g(x) = –2x2 – 6x + 8 h(x) = –x + 1 a) (1; 3) b) (0; 1) c) (1; 0) d) (5; 4) e) (2; 5) 9. Si la gráfica de la función: f(x) = 2 x2 + x + 5n – 5 pasa por el punto (3; 26). Halle el menor valor que toma dicha función. a) –1/4 b) 3 c) 24/5 d) 39/8 e) 10 10. La resistencia de un material de aluminio está dada por la función: f(x) = 10 x (12 – x) 9 siendo "x" el peso ejercido sobre el material. Para que peso la resistencia es máxima y cuál es la resistencia máxima a) 15; 36 b) 6; 30 c) 6; 40 d) 10; 25 e) 11; 40

Álgebra 11. Indicar la suma de valores de "n", para que las gráficas de las funciones: f(x) = –nx2 – 5x + 4 g(x) = 11x + n sean tangentes. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

17. Halle el área de la región determinada por el gráfico de la relación: R= {(x; y) ∈ R 2 / x ≤ y ≤ 4 − x2 }

12. Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = |2x| y g(x) = x + 5

18. El perímetro de un terreno de forma rectangular es "8a". Indique el intervalo de variación de la función A; si ésta representa el área de dicho terreno. a) [0; 8a2] b) <0; 4a2] c) [0; 4a2] d) <0; 8a2> e) <0; 2a2]

2

a)

20 3

d)

40 3

u2

b)

32 3

e)

16 3

c)

38 3

13. Grafique la función: f(x) = |x–2| – 1 Si: 0 ≤ x ≤ 4 Luego, calcule el área de la región determinada por la gráfica de "f" y el eje "x". a) 3 u2 b) 1 u2 a) 1 u2 2

c) 4 u2

d) 2 u2

14. Una avispa se mueve según la trayectoria descrita por la curva: y = x2 – 10x + 29 Hallar la menor distancia de la trayectoria al eje "x". a) 4u b) 5u c) 6u d) 2u e) 1u 15. Halle la suma de los valores de "K", tal que la recta: y=Kx, sea tangente a la curva: x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0 a) 0,75 b) –1,5 c) 6/5 d) –0,75 e) 1,5 16. Halle el área de la región limitada por el gráfico de la relación: R = {(x; y) ∈ R 2 / y = |x–2| ∨ y=2} a) 20 u2 b) 10 u2 c) 8 u2 d) 4 u2 e) 2 u2

≠ u2 4

b)

≠ u2 2

d) 2p u2

e)

≠ u2 3

a)

c) p u2

19. Si un lado de un campo rectangular va a tener como límite natural un río, halle las dimensiones del terreno rectangular más grande que puede cercarse usando 240m de valla para los otros tres lados. a) 120m de largo y 60m de ancho. b) 100m de largo y 40 de ancho c) 200m de largo y 20 de ancho d) 50m de largo y 200m de ancho e) 100m de largo y ancho 20. Un fabricante de cajas emplea piezas de 8 × 15 pulg. cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Calcule la longitud necesaria del lado del cuadrado por cortar si se desea tener de cada pieza una caja sin tapa del máximo volumen posible. a)

1 3

pulg

b)

d) 2

1 5

c)

5 3

e) 5

21. Sea la función lineal: R , cuya regla de correspondencia es: f: R f(x) = |ax2 – 3ax + a – 2 | + ax2 Indicar los valores del perímetro real "a" que define completamente la función "f". a) a ∈ <0; 8 > 5

b) a ∈ <– 8 ; 1> 5

c) a ∈ <– 8 ; 0> 5

d) a ∈ <1; e) a ∈ R

5 3

>

Capítulo 20 Tarea domiciliaria 1. Hallar la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos (−1; 3) ∧ (2; 0) a) y = −x + 2 b) y = −x − 2 c) y = x + 2 d) y = 2x + 1 e) y = x − 2

b)

y

y

x

F(x) = 4 − x

Y los ejes de coordenadas. a) 16u2 d) 32

b) 8 e) 4

x d)

y

y

x c)

c)

c) 12

7. Graficar : y = (x − 2) 2 − 1 a) b) y

2. Graficar: F(x) = x − 3 ; si: x ∈ [4; 6] a)

6. Hallar el área de la región encerrada por :

x d)

y

y

y x

x

x

x e)

e)

y

y x x

3. Hallar los puntos de intersección en el eje x, de la función: F(x) = x2 + 2x − 15 a) (−5 ; 0) ∧ (3 ; 0) b) (−3 ; 0) ∧ (5 ; 0) c) (5 ; 0) ∧ (3 ; 0)

b)

y

x

d) (−5 ; 0) ∧ (−3 ; 0) c)

e) (0 ; 0) ∧ (−5 ; 0) 4.

8. Graficar : y = x2 − 2|x| a) y

Hallar "m" en: y = 2x2 + 3x − 2m. Si su gráfica es:

x d)

y

y

y

x

4 e) 2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

x

y

x c) 3

5. Se tiene la función lineal F, tal que se cumple: F(0)=F(2)−16, además (0 ; 7) pertenece a la gráfica

de la función. Hallar la pendiente de la gráfica. a) 7 b) 6 c) 8 d) −8 e) −7

x 9. Sean las funciones: F(x) = x2 − 2x − 3 ∧ G(x) = x + m Cuyas gráficas se cortan en 2 puntos tales que al unirse forman la diagonal de un cuadrado, si uno de esos puntos es (3, 0). Hallar el área de dicho cuadrado. a) 3 u2 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

Álgebra 15. El área de la figura sombreada es "a" u2. 10. Sea: Calcular "a" f : R R / y = x 2 – 2x – 3 y 2 g : R R / y = 2x + 9 F(x)=5– x 2 Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección: a) {(6 ; 21) , (−2 ; 5)} b) {(6 ; 21)} c) {(−2 ; 5)}

d) {(6 ; −2)}

–a

e) {(5 ; −2), (21 ; 6)} 2

11. Sea la función de: f(x)=2x –ax+a–2 con D ≤ 0. Se puede afirmar que: a) b) c) d) e)

La gráfica corta en 2 puntos al eje x. La gráfica no corta al eje x. La función presenta un máximo La gráfica corta en un solo punto al eje x No se puede afirmar

a) 3 d) 5/2

x

a

b) 5 e) 3/2

c) 4

16. Dadas las funciones cuadráticas : I. f(x) = 3x2 + 7x − 1 II. g(x) = x2 + 2 x + 1 3

9

h(x) = 2 − x + 5x 2

12. Sean las funciones: F(x)=x2+3x−3, G(x)=x2+2x+m, H(x)=F(x)+G(x), siendo H(x) una función que cumple: H(x) ≥0, ∀ x ∈ R . Según ello calcular el menor valor entero de: "m". a) 5 b) 7 c) 9 d) 4 e) 8

III. IV. y(x) = 4x − 3 + 2x 2 ¿Cuántas de estas funciones tienen gráficas de manera que intersectan al eje x en dos puntos diferentes? (Sugerencia: D > 0) a) solo I b) solo II c) II y III d) II, III, IV e) I, IV 17. Se definen: f(x) = x3 − 5x + m ; g(x) = x + 3 Hallar "m" tal que : f(g(f(2))) = − 1

Indicar la suma de los valores de "m" a) 0 b) 3 c) − 2 d) − 3 e) 2

13. Hallar el área de la región formada al unir los puntos: M; N; P de la gráfica: y M = (0; 8) 18. Conociendo : N = (a; 0) f(x) = x2; g(x) = 3x + 18 P = (b; 0) Identifique uno de los puntos de intersección de las 3 M x y= +8 funciones : f(x) y g(x) 8 a) (2 ; 8) b) (3 ; 9) c) ` 1 ; 1 j P N x y=– 20u2 2

a) d) 45u

30u2 2

b) e) 50u

4 x+n 3

c) 40u

2

14. Hallar el área de la región triangular formada al unir los puntos de intersección de la parábola: f(x) = −x2+4 con los ejes coordenados.

a) 6u2

b) 8u2

d) 5u2

e) 10u2

c) 16u2

d) (−2 ; 4)

2 4

e) (−3 ; 9)

19. Hallar el rango de : F(x) = |x − 7| + 7

a)

y ! R

c)

y ! 7; + 3 >

e)

y ! " 7,

6

6

b)

y!

d)

y ! R − " 7 ,

−

7; + 3

>

20. Sean las funciones f y g definidas en R por: f(x) = x2 + 2 ; g(x) = x + b. Hallar la suma de todos los valores de "b" que cumplen: f [g(b + 3)] = g[f(b − 3)]

a) 0 d) −

b) 1 17 3

e) 17

c)

17 3

Capítulo 21

21

Logaritmos I

Ejercicios resueltos 1. Si: Log 2= x, Log 3= y, el valor de la expresión Log (

8 ) − 3 log 60 en 27

Resolución

Aplicando las propiedades: Log A + Lob B = Log ( A . B) " A, B, 1 R + A Log A − Log B = Log ( ) B

4

Entonces: Log ( 8 ) − 3 Log 60 = Log 8 − Log 27 − 3 (Log (6 # 10)) 27 =

Log 23 − Log 33 − 3 (Log 3 + Log 2 + Log 10) S

1

Además: n

Log x = n . Log x

; x>0

Entonces: Log ( 8 ) 27

−

3 Log 60

=

3 Log 2

−

3 Log 3

−

3 Log 3

= 3x − 3y − 3y − 3x − 3 = −6y − 3 `

Log 8 27

−

3 Log 60 = − 3 (2y

2. Si: Log4 y = 2 y Log4 ( x

+

1)

2 3

y )=5 16

El valor de

x

es:

Resolución

Aplicando las mismas propiedades y la definición: Log 4 y = 2 ) y = 42

`

y = 16

Del segundo dato: Log 4 x 2 + log4 y 3 − log 4 16 = 5 2 . Log 4 x

+

3 Log 4 y

−

2=5

S

2

2 log 4 x = 1 " log 4 x = 1 .... x = 41 /2 = 2 2

−

3 Log 2

−

3

términos de x e y, es:

Álgebra Práctica 1. Si: a+b=ab y 1 loga (ab)

+

1 log b (a + b)

a) 2 d) 0,5

x

=

−

1. Indique: x/2.

b) 4 e) 1

2. Hallar el valor de: Log2 a) –1/3 d) –5/3

c)

2

10. (Ex. Adm. UNMSM 2004 − I) Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4711, calcular log 2880 con cuatro cifras decimales. a) 1,4116 b) 1,7236 c) 2,2236 d) 1,7080 e) 2,0103 11. Si: a > b > c > 1, reducir:

2

0, 25

b) –2/3 e) –2

c) –4/3

E=

3. Calcular: K = Log

(Log 32 4)

4 8 25 B a) 0,25 d) 1

b) 0,5 e) 1,25

c) 0,75

4. Si: Log 4 = x; log 9 = y, el valor de la expresión: Log 1024 + 2 Log 36 en términos de x e y es: 81

a) 5x−24 d) 4x − 3y

b) 3x − 4y e) 7x

2 5Log b 3 + 7Log7b =

5. Si: Indique (b2+2) a) −5 d) −1

c) 2x − 5y

4 .

log 3 2

a) 1 d) 125

3Log b 5 + Log 3 3 3

b) 5 e) "1; − 5,

c) "5; − 1,

b) 5 e) 625 500

3−a 1−a

d)

2−a 2 (1 − a)

e)

3+a 3 (1 + a)

c)

b)

2

e)

log 11

+

c)

log 4

2

2

9. Reducir: 1 1 1 + + 1 + log3 (10e) 1 + Ln (30) 1 + log ( 3e)

b) log 3 e) log (3e)

+

1 3. 4

+

... +

1 n (n + 1)

Calcular: Log (n2 + 10n) a) 3 Log 2 b) 2 Log 2 d) 2 + Log 2 e) 2 + Log 3

2 5x 15) − +

;2

+

1 log3 5

a) 7/3 d) 4/3 2

1 2. 3

E

−

n =

n

c) 3 + Log 2

=

3Logx 25

b) 2 y 4 e) 2 y 5

E ;1

−

1 log 45 9

c) 3 y 5

E 8 LnLn253 B

b) 5 e) 10–1

c) 1/2

16. Si: Logaba=4; a>1, b>1. Calcular: Logab (

Calcular "b" 2

;11. 2

a) 2 d) 1/5

2−a 1−a

loga 3 = logb 2 ∧ ab=10 log 6

c) abc

ac b

12. (Ex. Adm. UNMSM 2005 − I) Si: Log 15 = a, Log 21 = b y Log 35 = c Calcular: Log 49 a) b+c−a b) a − b + c c) 2a − b + c d) b − 2a + c e) c − a − b 13. (Ex. Adm. UNMSM 2002) Si se verifica que:

E=

8. Si:

a) 1 d) Ln (30)

e) 2

a) 2 y 3 d) 3 y 4 15. Calcular:

c) 25

b)

log 7

d) 1

5Log x (x

3−a 3 (1 − a)

d)

b)

14. (Ex. Adm. UNMSM 2011 − I) Halle los valores de "x" que satisfacen la ecuación:

a)

a)

a) 1/2

10

log 5 6 B 9

7. Si: Log 2 = a, calcular: log5 3

log 5

logc b . log b (a2 c2)

Log 11

6. Indicar el valor de:

8log32

logc a + 1

c) Ln (10)

b) 5/6 e) 17/6

3

a) b

c) 13/6

17. Si: Log4 x + Log x 2 = 3 . Hallar el mayor valor de 2 logab, siendo a y b soluciones de la ecuación. a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 1/4 e) 1 18. Si: log3 5 = a ; entonces: log15 81 es: a) 4 (a+1)–1

b) 2 (a + 1)–1

c) (a+4)–1

d) 3 (a+2)2

e) 4(a+2)–1

Capítulo 21 Tarea domiciliaria 1. Calcular: E = Log2 a) −4 d) −2

2

(1) 8

b) −6 e) −1

c) −8

12. Si: Antilogc Antilogab = ab; a, b, c Reducir: E = Cologca + Cologcb a) 0 b) ab d) −ab e) − ab

2. Si: a3b3 = a + b; ab ≠ 1 / a + b > 0 Hallar "x", de: (a + b) Logab x = 64 a) 1/2 d) 4

b) 2 e) 6

3. Reducir: E = Loga2b3 (a Si: a > 0 / b > 0 a) 5 d) 2

5

c) 8 4

4. Resolver:

. b ) + Log a2 b3 (ab )

c) 3

Log7 (x 2 + 9x − 5) Log7 5 x + 4

a) 9 d) 11

=

10

b) 13 e) 15

–81

c) 21

b) 81 e) −16

d) –9

−

" 1,

c)

ab

Log x − Log y = Log 2 2x+y = 64 ; El valor de "x" es:

a) 4 d) 2

5. Si: Log x = 3. Hallar el valor de: Log2x3 a)

+

! R

13. Si: Log 3 = m / Log 2 = n Reducir en función de "m" / "n" la expresión: E = Log 180 a) 1 + 2m + n b) 1 + m + 2n c) m + n + 2 d) 1 + m + n e) 2 + 2n + m 14. En el sistema:

5

b) 4 e) 1

11. Calcular: E = Colog6 Antilog3 (Log312 + 1) a) 1/2 b) 2 c) −2 d) 1/4 e) −1/2

b) 8 e) 1/4

c) 6

15. Resolver para "x" Log b

c) 9

6. Reducir la expresión: Log3(Log25)+Log3(Log57)+Log3(Log78)

a)

b

d)

b

2

x a + Log x ab = 4b 8

2

b)

ab

8

e)

ab

2

c)

a

8

8

16. Si: 6Log2 3 + 10Log x = 3Log2 6 + Log x x a) 5 b) 4 c) 3 El valor de "x" es: d) 2 e) 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Dada la ecuación: x Log4 + Log(Log3) = Log(Log81) 17. Indicar la suma de los 999 primeros términos de la El valor de "x" que le verifica es: sucesión: a) 6 b) 1 c) 8 Log (1 + 1); Log (1 + 1 ); Log ( 1 + 1 ); ... 2 3 d) 5 e) 4 a) 1/2 b) 7 c) 3/2 d) 5 e) 3 8. Si: Log 2 = a; Log 3 = b, hallar el logaritmo de 5 en base 6 en términos de "a" y "b". 18. Hallar el valor de "n", si: Log3 9 + Log3 92 + ... + Log3 9n = Log3 928 a) 1 b) a + b c) a + b a−b ab a) 5 b) 6 c) 7 d) 1 − a e) a − 1 d) 8 e) 9 a+b a+b 9. Si:

=3

a

A = Log

b

b

; a > 0. Reducir: 3

a

+ Log

a) 8/3 d) 8 Log7 5

a) 5 d)

a 24 − Log 3

b) 5/2 e) 2

10. Calcular el valor de Log 7Log5 x

b3

x

b

a2

c) 4

x , si:

= Log Log 5 x

b) 7 5

Co log Anti log x

19. Resolver la ecuación: (Log x) Log Log x = 10 − 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 20. Si: Log2006Log2005Log2004x=0. Hallar "x"

e)

5

c) 5

5

7

a) 20042006

b) 20052006

c) 20052004

d) 20042005

e) 20062005

Álgebra

22

Logaritmos II

Ejercicios resueltos 1. Si se satisfacen: 10x−1 +10y+2 = 2p − 1 x − y - 3 = Log (

Hallar: 10x–1 − 10y+2

p+q−1 ) p−q

Resolución

Del dato: 10x−1 + 10y+2 = 2p − 1 ..... (1) Factorizar: 10y+2 10y+2 (10x−y−3+1) = 2p − 1 ..... (a) Usando la otra condición por definición de Log: p+q−1 reemplazando en (a): p−q

10x−y−3 = 10y+2

; p p q q 1 1E +

−

+

−

=

2p − 1

10y+2 = p - q ... (b) en (1): 10x−1 = p+q−1 ..... (c)

Restando: (c − b): 10x−1 − 10y+2 = 2q−1

2. Si: – xn = Log ( 3 ) + Log ( 4 ) 2 + ... + Log ( n + 1) n 1 , entonces el valor de: −

2

3

n

E=

10− xn (n + 1) n − n ; n!

es:

Resolución

Del dato, por propiedad: 2

xn = Log

3

3 . 4 . 5 ... (n + 1)

Tener en cuenta que: n! = 2 . 3 . 4 ... n Reemplazando

n−1

2 . 32 . 43 .... nn − 1

Por definición: 10 xn =

2

3

3 . 4 . 5 ...... (n + 1)

(n + 1) E = 2 . 3 . 4 ... n n−1 n! (n + 1)

;

n−1

2 . 22 . 43 ...... nn − 1

E = n+1 - n = 1

Elevando a la (−1): 10 − xn =

2

3

2 . 3 . 4 ... n 2

E

3

n−1

3 . 4 . 5 ... (n + 1)

n−1

=

2 . 3 . 4 .... n (n + 1) n − 1

n −

n=

(n + 1) (n + 1)

n

n−1

−

n

Capítulo 22 3. Resolver: x log8 20 = 1 + log 45; Indique el valor de: 4x2 − 2x + 1

Resolución

x log820 = log44 + log45

Reemplazando:

log820x = log420

4x2−2x+1 = 4 .

log

23

20 x = log

22

201

x = 1 3 2

&

`

x= 3 2

4. Halle la suma de las raíces de la ecuación: Log 4 x 2 + Log x 4

Resolución

Multiplicamos cada miembro por Log4x: (2 log 4 x

+

Log x 4 = 3) . Log 4 x

2 Log24 x

−

3 Log 4 x

+

Factorizando:

1=0

2 Log 4 x

−1

= 0

Log 4 x

−1

= 0

Log 4 x = 1 2

log 4 x = 1 x

x1 = 2 ` x + x 1

2

=

6

= 4

2

−

3=0

9 4

−2 .

3 2

+ 1 = 7

Álgebra Práctica 1. Halle la solución de la siguiente ecuación: Log3(Log9(Log9x81)) = 0 a) 93 b) 327 c) 927 −1 d) 320 e) 99 2 3x 5) − +

2. Si: 5 loga(x soluciones. a) −1 d) 4

11. Hallar el producto de las soluciones de la ecuación logarítmica: x = 2 logx (4x) a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4

=

3 loga 5,

hallar la suma de sus

b) 2 e) 5

3. Resuelva: 5 4x − 52 (x de soluciones. a) Log5 2 b) d) Log46 5 e)

+

1)

c) 3 46 = 0 ,

+

e indique la suma c)

Log25 4 Log2 5

log x 7

−

a) 109 d) 103

6. Al resolver la ecuación:

2

7. Resolver la ecuación: log2x ` a) "2− 3, d) "28,

b) "2 − 4 , e) "2− 9,

j

+

a) d)

6 e5

b) e)

7 e8

log(3 + x) 4 log(4 − x) 4

=

1,

e

c) "2− 8,

5 e6

3 5

−

)

−

ln

x

e11 14

a) d) e

−

ln 3 y

=

3

e12 15

b) e) e

13

c) e

b) 2 e) −2

ax + y

a) Logab d) Loga8 Log3 3 − Log3 3

8

9. Si "x" satisface la ecuación: 2 ( 2 ) Log4 (x 1) calcular: x2−1 a) 8 b) 24 c) 35 d) 15 e) 48 10. Al resolver el sistema: ln x ln y = 2 ; Hallar el valor de x/y.

hallar

c) 0

=

16 ; a x − 2y

1 4

=

b) Loga64 e) Loga4

c) Loga16

17. Si:

log x 2 + log 8x 2 = 0

c)

log 3 5 . log5 x = 2. log x 2 . log 2 3, 0 < x < 1 ,

4

8. Al resolver la ecuación: 6 Lnx − 6 = 5 , hallar el Lnx producto de las soluciones: 11 e 6

c) 1/4

15. Si: x x x (256) log4 x = x x , hallar el valor de x . 4 a) 44 b) 4 c) 1 d) 2 e) 23 16. (Ex. Adm. UNMSM 2010 − I) Sea "a" un número real positivo diferente de 1. Halle el valor de "y" que satisface el sistema de ecuaciones:

hallar el mayor valor de: log2 (x +7x+14) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 1 4

Log x x 2

b) 1 e) 1/2

a) 1 d) −1

c) 107

log(x + 3) 10 −

=

9x − 1.

12

b) 106 e) 105

x logb ( a ) b p

1

2 + log x (x − 1) 2 + Log x 1 x2

14. Si:

5. (Ex Adm. UNMSM 2004 − I) Hallar el producto de las soluciones de: =

−

a) 2 d) 4

Log25 46

4. Si a es la solución de la ecuación: 2 Log2 x + Log 4 x = 3 ; hallar el valor de a + a + 1 a) 21 b) 16 c) 24 d) 12 e) 9

Log x

1

12. Si: logb a + log b p = x , calcular: a) ap b) bp c) ab d) a e) p 13. (Ex. Adm. UNMSM 2004 − I) Hallar el valor de "x" en la ecuación siguiente: −

=

4

32 ,

2

+

3

Log3 3 − Log3 3

4

+

5

Log3 3 − ... − Log3 3

2n

=−

21

Indique: (n–20) a) −1 b) 1 c) 21 d) −21 e) 0 18. Si "f" es una función definida por: f(x) = log(4x–3)(3–2x), hallar el dominio de f. a) <0; 1> c)

<

1; 3 2

e)

<

3; 3 4 2

b) <1; 2> d)

>

> −

<

3; 3 4 2

>

"1,

19. Una colonia de virus AH1N1 crece de acuerdo a N(t)=n 0ekt, t en horas, Si la cantidad de virus se duplica cada 3 horas. ¿Cuánto tardará la colonia en triplicar su cantidad inicial? a)

3 ln 3 horas ln 2

b)

c)

3 ln 2 horas ln 3

d) 3 ln 3 horas

e) 2 ln 3 horas

3

ln 2 horas 2

Capítulo 22 Tarea domiciliaria 11. Hallar el valor de "x" en la ecuación:

1. Hallar: Log2 (64)1, 5 a) 1,5 d) 9

b) 6 e) 29

c) 8

2. Hallar "x", si: Log3x5 + Log3x2 = 28 a) 81 d) 729

b) 27 e) 123

c) 243

3. Resolver: Log0,5(x+1) − Log0,5(x−3) = 1 a) −5 b) 4 c) 5 d) 7 e) No tiene solución 4. Si: Lognm=2 y Logmp=3. Calcular: logn3 (m2 p4) a) 1/3 d) 16/9

b) 7/3 e) 3/7

c) 28/3

5. Resolver: Log2 3 x + 1 log2 (x − 2) = 1 3 Y dar como respuesta la suma de las soluciones. a) 1 d) 4 6. Dada la ecuación: y=1,5. a) Ln 2 d) Ln 3/2

b) 2 e) 5 y

=

ex

c) 3

−

4e 2

−

x

; encontrar "x", para

b) Ln 3 e) Ln 1

c) Ln 4

b) 5 e) −5

c) 3 2

8. Resolver la ecuación: 13Log5 (2x 13x 19) = 2Log5169 Y calcular el producto de las soluciones. a) 1 d) 11,5

−

+

b) 8 e) 7,5

9. Si el logaritmo de 2 50 en base Calcular: Log505 + Log10y10 + y a) 1 b) 2 d) 6 e) 8

c) 1,5 2

10. Si: Log23.Log34.Log45...Log20012002.Logyx=Log20032002

2x log 3

15. Hallar el equivalente de:

=

n

Log 2 n

+

Ln 2

n

+

n

Log 3

+

Ln 3

+

n

Log 4

+

n

Ln 4

.... + n Ln x

+

... + n Log x

G

n

a) Log e d) Lognn

b) Ln x c) Log n n e) Log x 16. Sabiendo que: a=logx7; b=logx3; c=logx21 Reducir: P = a) 7 d) 31

(a + b + c) (xa + x b + xc) xLog x (b − a) + xLog x (2c − b) + xLog x a

b) 3 e) 41

c) 21

17. Sabiendo que: a y b son las raíces reales positivas de la ecuación: x2 – 4x + m2 = 0. Hallar el valor de: L

=

Logm a b + Logm aa + Logm b b + Logm ba

a) −4 b) 4 c) −8 d) 8 e) 6 18. Hallar una solución de la ecuación: Ln (ex)

+

Ln (ex)

−

Ln ( x ) e Ln ( x ) e

=

3+2

2

b) e2 e) e5

a) e d) e4

19. Hallar "a", si: Logn a a)

p

a) 7 d) 10

d)

p− p

c) 9

=

2

Calcular la suma de cifras de: (x+y+2003) b) 8 e) 12

1

14. A condición de que el polinomio: P(x) = x4 + nx3 + mx2 + px + q Es un cuadrado perfecto. Hallar: Logp (n2 . q) a) 2 b) 1/2 c) 4m e) 3m2 d) 3m

2 es "y".

c) 4

−

a) 3 b) 3−1 c) 3−2 d) 3 e) 3−3 12. Resolver: 2 log3x + 3 log27x = 15 Dar como respuesta: 5 x a) 2 b) 3 c) 4 d) 27 e) 81 13. Si Log 2 = 0,30103; cuántas cifras tiene. N = 520 . 2100 a) 44 b) 45 c) 46 d) 47 e) 49

S=

7. Si 3x=5 el valor de: (x+2).log 45(243) es: a) 7 d) −3

Log x x

p −1

aa

a

c) e3

p =

b) pp e) p−1

p a a − y

a

n

= aa

c) p−p

Álgebra

23

Repaso

1. Considerando: Dom F = <−5; 3]. Calcular su rango, si: F(x) = 2x 2 − 10 a) [0;40>

b) [−10;40]

d) [8;40]

e) [−10;40>

c) [0;40]

2. Calcular: "a+1" en F(G(−1)) = −3a. Sabiendo que: F(x) = 3x2 + 10x − a − 2 G(x−2) = 3 − |x − 6| a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

b) 3

d) 8

e) 12

a) 2

b) 8

d) 4

e) 3

R

=

" (x ; y) ! R 2 / y $ (x 2) 2 / y # x ,

b) 105u2

d) 80u2

e) 50u2

−

y

y

c) 7 a)

x

b)

y

x y

c) 4 c)

c) 100u2

x

d)

x

y

4. Hallar el área de la región triangular formada al unir los puntos de intersección de la gráfica de: F(x) = x2 − 4x − 21 con los ejes cartesianos. a) 125u2

c) 9

8. Grafique la relación:

3. Sea "f" una función lineal tal que su gráfica pasa por (4; 10) y además f(2)+2f(0)=0. Indique el valor de su pendiente. a) 2

7. Calcular "m" tal que: f(x)=−2x2+16x+m adopte máximo valor igual a 35.

e)

x

9. Calcular la oferta máxima, si la función oferta "l" de una empresa está dada por: 5. Calcular el área de la región formada por las gráficas de las rectas: y=2x−6; y=x+4 y los ejes coordenados. l(x)=−2x2+60x+50 tal que "x" representa unidades en soles. a) 41u2 b) 32u2 c) 100u2 a) 300 b) 500 c) 400 d) 45u2 e) 18u2 d) 200 e) 650 6. Hallar la relación entre "m" y "n", tal que las gráficas de 10. Si: la recta: f(x)=−3x+n y la parábola: g(x)=x 2+x+m, sean tangentes. a) m−n=−4

b) m=4n

d) m−n=4

e) mn=4

c) m+n=4

M = Log2 3 log3 4

log4 5i

Hallar el valor de: M a) 36 d) 9

log4095 4096

log144 81

b) 8 e) 25

c) 16

Capítulo 23 11. Si: aKlogb 7 = K; logn ( 7

log b a1

6 K ! Z,

el valor de:

+ 7logb a2 + 7Log b a3 + ... + 7 log b an ) x

donde: 2x-n=1 a) 1

b) 2

d) nx

e) nn

c) 2x

e) a6+1

13. Si: log3 64 + co log3 (log 3 (anti log 9 x))@ = 1

c) 3/2

e) 9

log7 20 log5 20

Antilog0,2log0,29−log0,9antilog0,94=5 • −lnp=cologep 2008

log 2 2009

= 2009

log 2 2008

a) VFVVV

b) VVFVV

d) VVFFV

e) VVVVV

15. Sabiendo que: log56=ap; log310=bm; log215=cn El valor de: (ap+1)−1+(bm+1)−1+(cn+1)−1; es: a) log5 6 log3 10 log215 b) log26 c) log215 d) 1 e) 7/6

a) 3

b) 12

c) 24

e) 2

2

17. Si: a = log32 ; b=log52 Calcule log154 en términos de a y b. a) ab c)

1 a

e)

ab a+b

+

1 b

b)

2ab a+b

d)

a b

+

b a

1 log(a + 1) ab

+

1 log(b + 1) ab x

2

−

5x + 2

a) 1

b) 2

d) 5

e) 8

=

0

, tiene por raíces a y b. c) 3

19. Si x e y verifican:

= log7 5

• •

6(y2) logx z @1 + log x y

Si la ecuación:

14. En las proposiciones marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda: −1 • log37 = (log73) •

2

18. Calcule:

entonces: x es igual a: a) 318 b) 29 d) 10

z=

1 + log y x

d) 2

12. Si: 2 . 5Loga x + 3 . xloga 5 = 125 para: a > 0; x>0; a≠1. Calcular: x3+1 a) (a2+1)3 b) 23a+1 c) a12+1 d) a+1

16. Si: x = 4 3 ; y = 3 4 ; Calcular el valor de:

y 9

=

anti log 1 + anti log 2 + ... + anti log x .... (I)

log (y+10) = 3x − 5 .............................. (II)

Calcule: c) VVVVF

y x

a) 9999

b) 3330

d) 6660

e) 9990

c) 3333

20. En el sistema: log3 6log1 /2 x @ > 1 log x ( y + 1) > 0

Hallar la variación de x+y. 0; 1 8

a)

<

d)

<−

>

1; 1 4

>

b)

<−

e)

<

1; 1 8

0; 4 >

>

c)

<

0; 1

>

Álgebra Tarea domiciliaria 1. Sea la función: F

=

6. ¿Qué relación deben cumplir m y n para que la gráfica

"(2; 24), (a2; a + 3), (a − 3; 7), ( 2; a!), ( 2a; 10) ,

y sean los conjuntos D: Dominio de F y R: Rango de F. Hallar: n(D) . n(R) . F(8) a) 2!

b) 3!

d) 5!

e) 6!

c) 4!

2. Obtener la pendiente de: F(x) = Ax + B + 2 Sabiendo que la gráfica de F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; −2)

a) −2

b) 4

d) 3

e) 1

c) 5

3. Hallar el área del triángulo sombreado, si L es una recta de pendiente −3.

de la recta g(x) = n − 3x sea tangente a la gráfica de la parábola: f(x) = x2 + x + m?

a) m = n − 4

b) mn = 4

c) m = 4n

d) m = n + 4

e) m = 4 − n

7. Sea la función lineal: cuya regla de correspondencia es: f(x) = |ax2 − 3ax + a − 2| + ax 2 − ax + 3 Indicar los valores del parámetro real "a" que definen completamente la función "f". 8 5

a)

a ! < 0;

c)

a ! < − 8;1 5

>

e)

a ! < − 8; 0 5

>

>

b)

a ! < 1; 5 3

d)

a ! R

>

8. De la gráfica: y

y b

(-1;15)

S a

x

a) 12u2

b) 32u2

d) 24u2

e) 16u2

x

L

Si el área "S" del rectángulo es máxima; hallar dicha área.

c) 18u2

a) ab

b)

ab 2

ab 3

e)

ab 6

d)

c)

ab 4

4. Calcular el valor absoluto de la diferencia de las raíces 9. Sea la gráfica de la función F: del polinomio: y f(x) = −x2 + bx + c Si este toma como valor máximo 9. a) 8

b) 6

d) 3

e) 9

-b

c) 12

5. Halle uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones: f(x) = |2x − 25| g(x) = 5 − 3x

x

b

Hallar el valor de "b", tal que el punto (400; 798) ∈H(x), siendo: H (x)

F(2 x) −

=

−

F(x2)

b

a) (6 ,−20)

b) (−6 ; 23)

a) 9

b) −5

c) (6 ; 13)

d) (−20 ; 65)

d) −8

e) −3

e) Dos anteriores son correctas

c) −9

Capítulo 23 10. Señale el producto de las raíces de la ecuación: 81Log x 3 = 27 x

a) 1/3

b) 1/9

d) 1/81

e) 1/243

c) 1/27

nn

(n logn x) logn x = n

d) n

n+1

b) 3a + 2b + 1

c) 4a+b+1

d) a+2b+1

17. El valor de la expresión: Log3 4 Log 27Log4 9 10 9

b) n

c) n

n

e)

n

n

n−1

n−1

12. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación: Log2 x = Log2

a) 2a + 3b + 1 e) 3a+b+1

11. Señale el valor de "x" que verifica la igualdad: a) n

16. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b

x

a) 0,001

b) 0,1

d) 1 000

e) 100 000

b) 17

d) 21

e) 32

c) 19

c) 10

18. Halle el producto de las raíces de: Log x 2x

a) 16

; será:

x2 = 2

a) 2 d)

b) 4 2

c) 8

e) N.A.

13. Indicar el producto de las raíces de la siguiente 19. UNMSM 2011 - II ecuación: Sea: f: <–2;7] → R la función definida por: x log5x − 2 = 125 f(x)=5 – |x – 1| a) 5 b) 15 c) 125 Halle el rango de f: a) <2;1> b) [–1;2> d) 25 e) 1/5 c) <–2;6]


*

Log2 xy − Log 2 x y

=

e) <–1;2]

8

2Log x = 4Log y

e indicar el producto de valores "x". a) 10 b) 100 c) 1/10 d) 1

e) 0

b) 5

d) 10

e) 12

20. UNMSM 2011 - II: Si: 22y+1 + 5 . 2y = 12. Halle 2(y+1) a) log2 3 b) 3 log2 5 c) 7 log2 7

15. Si "a; b, ! Z+ distintos de la unidad y además: ab=1 obtenga el valor de: aLogb 0, 5 + bLoga 0, 2 a) 2

d) [–1;5]

c) 7

e) 1 log2 3 2

d) log2 9

Álgebra

24

Progresiones

Problemas resueltos 1. Timoteo no pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/.600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago?

Resolución

Datos: S = 12 950; a1 = 600; r=50 1) Como:

2) Como: an = a1 + (n − 1) r an = 600 + (14 − 1) 50 ∴ an = S/. 1 250

Sn = 62a1 + (n − 1) r @ n 2

Luego: 12 950 = 62 (600) + (n − 1) 50@ n 2

Operando: n = 14 2. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al lado de una calzada; los árboles están a 8 m de distancia y el montón de arena está a 10 m antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena?

Resolución

1º

2º

3º

30º

10 8 8 Ojo: Para cada uno lleva la arena y regresa al montón (hace doble recorrido) S = 20 + 36 + 52 + .... &

r = 16

Sn = 62a1 + (n − 1) r @ n 2

n = 30

S = 6 2 (20) + ( 30 − 1) 16 @ 30 2

a1 = 20

S

=

640 + 464@ . 15

∴

S = 7560

Capítulo 24 3. Se deja caer una pelota desde una altura h=270 m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo?

Resolución

h=270 2

1

` 25 j h

` 25 j h S

=

h+2

;`

2 5

1

j hE

2

+

;`

2 5

2

j hE

+

2

3

` 25 j h

;`

2 5

3

j hE

+

....

1 4 4 4 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 44 4 4 4 3

P.G.

S

=

h

+

;`

2h

2 5

1

2

+

S = h + 2h

+

+

....

E

2h

8 23 B

;1 t q E 1

R 2 S 5 S = h + 2h S SS1 − 2 5 T S=

3

j ` 25 j ` 52 j −

V W W WW X

7 (270) 3

S

&

=

h

+

S

=

7h 3

S = 630

4. Hallar la suma límite: S=

1 2 1 2 1 2 + + + + + + .... 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7

Resolución

Agrupando convenientemente: S

=

c

1 7

+

1 7

3

+

1 7

5

+

m c

....

+

2

1 7

2

+

1 7

4

+

1 7

6

+

Aplicando la fórmula para cada caso: S límite

=

t1 1

−

q

J 1 N J 1 N J 1 N J 1 N K O K 2O 2 K 7 O K 7 O 7 7 O K O S=K + 2K +2 =K O O KK 1 − 1 OO K 48 O KK 48 OO K 1 − 12 O 2 2 2 7 P 7 P L 7 P L L L7 P S=

7 2 9 3 + = = 48 48 48 16

SLí mite =

3 16

m

....

Álgebra Práctica 1. Indique el término general en cada progresión: ÷ 7 . 12 . 17 .... a n ÷ −6 . −2 . 2 ... a n ÷ 18 .11 . 4 .. a n

2. Hallar la razón de una P.A., si se sabe que el primer término es 6, y la suma del cuarto y noveno término es 45. a) −2 b) 3 c) 2 d) 4 e) −3 3. (Ex. Admisión UNMSM 2005 − II) Dada una P.A. cuya 5º y 8º término son 1 y 2 respectivamente, hallar el 37º término. a) 37/3 b) 40/3 c) 12 d) 35/3 e) 41/3 4. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − II) Una deuda de 4 500 000 soles será pagada de la siguiente manera: S/.5000 el primer mes, S/.15 000 el segundo, S/.25 000 el tercero, S/.35 000 el cuarto mes, y así sucesivamente. ¿En cuántos meses la deuda quedará cancelada? a) 36 meses b) 32 meses c) 60 meses d) 30 meses e) 48 meses 5. Entre "m" y 930 se interpolan 133 medios aritméticos, siendo el último de éstos 924. Calcular la suma de cifras de "m". a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

9. Siendo: a1, a2 y a 3 términos consecutivos y positivos de una progresión aritmética decreciente. Indicar entre qué límites varía su razón, si se cumple: 7 + 5a2 > 13a1 − 8a3 a) <−5; 4> c) <−∞; 1/3> e) <−1/3; 4>

b) <−1/3; +∞> d) <−1/3; 0>

10. Dividir 20 en 4 partes que estén en P.A. tales que el producto de la primera por la cuarta esté en relación con el producto de la segunda por la tercera, como 2 es a 3. Indicar la mayor parte. a) 10 b) 8 c) 6 d) 12 e) 14 11. (Ex. Admisión UNMSM 2007 − II) Dadas las sucesiones: 2, 4, 8, 16, 32, .... y −22, −21, −20, −19, ...

Halle "n" de tal manera que la suma de los n primeros términos de la segunda sucesión sea igual a la suma de los 9 primeros términos de la primera sucesión. a) 59 b) 89 c) 79 d) 77 e) 73 12. Si los radios de una sucesión de círculos son: 1, 1 , 1 , 1 , ..... , en mts. 2 4 8 La suma de sus correspondientes áreas es igual a: b) 2pm2 a) 3 pm2 c) 4 pm2

c

m

4

d) 1,3pm2

6. Dada la P.A.:

e) 2,4pm2

3

13. Tres números están en P.A. decreciente y aumentados en 2, 1 y 5 respectivamente forma una P.G. de tres "b" términos "b" términos términos cuya suma es 35. Indicar la razón y el Si la suma de todos los términos de esta progresión es producto de los 3 términos de la P.G. respectivamente. 1377, hallar la razón. a) 1/2 y 1000 b) 2 y 35 c) 1/2 y 35 a) 13/20 b) 11/20 c) 9/20 d) 2 y 1000 e) 2 y 100 d) 7/20 e) 1/4 14. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 7. Una progresión aritmética de 3 términos es tal que la 50 y 100 se forma una progresión geométrica cuya suma de los 2 primeros términos es al tercero como 5 es a razón es: 7. Hallar la razón, si el producto de los 3 términos es 224. a) 1/2 b) 1/3 c) 2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 4/3 e) 5/3 d) 8 e) 10 15. Los lados de un triángulo rectángulo forman una P.G. 8. Se va a pagar una deuda de 150 dólares en cuotas que Hallar el seno del menor de sus ángulos agudos. forman una progresión aritmética. el primer pago que se realizará será de 30 dólares y cada pago posterior b) 1 a) 1 2 5 − 2 5+1 será de 2 dólares menos que el pago anterior. ¿En 2 2 cuántas cuotas se terminará de pagar? c) 1 d) 1 ( 5 − 2) 5 −1 2 2 a) 6 b) 7 c) 4 e) 1 ( 5 − 1) d) 25 e) 19 ' a ....................17 .................... b 1 44 2 44 3

1 44 2 44 3

2

Capítulo 24 16. Entre 2 y 162 y entre 3 y 19683 se han interpolado 18. Luego de interpolar geométricamente 2 términos el mismo número de medios proporcionales. Hallar entre 3/4 y 1/36. Hallar la suma de dichos términos. la diferencia de las razones de las progresiones a) 1/7 b) 1/5 c) 1/3 formadas, si la razón de la primera es 1/3 de la razón de la segunda. d) 1/2 e) 2/5 a) 3 b) 4 c) 5 19. Si el quinto y octavo término de una progresión d) 6 e) 7 geométrica son 5a y 8a respectivamente ¿Cuál es la razón? 17. Sumar: a) 2, 5 3 10, 4 b) 0, 4 3 25 1 1 2 1 3 1+2

` 2j + 3` 2j

+4

` 2j

a) 1

b) 2

d) 4

e) 8/3

+ .....

c) 3

c)

0, 4

3

5

e)

2, 5

3

25

d)

25

3

4

20. Calcular la suma límite: 2

S = 1+ 3

` 12 j + 5 ` 12 j

a) 2 d)

6

+7 1

3

` 2j

b) 4

+ ....

c) 5

e) 6

1 2

Tarea domiciliaria 1. Hallar "x" de:

÷ (x − 1) : 11 : (x + 7)

a) 2

b) 4

d) 8

e) 10

c) 6

2. En una P.A. los términos que ocupan los lugares 54 y 17 son −130 y 55 respectivamente. Hallar la razón.

a) −5

b) 5

d) −135

e) 135

c) 50

b) 9

d) 3

e) N.A.

c) 4

b) 12

d) 22

e) 16

c) 13

b) 3

d) 5

e) 6

c) 53592

d) 56883

7. En una P.A. el término de lugar "r" es t y el término de lugar "t" es "r". Indique la razón. a) −1 b) −3 c) −2 d) 6 e) −4

a) n=mp

b) m2=np

d) m=n+p

e) m=np

c) 4

c) m=(np)2

9. Dado la P.A.: (a+b)−1; (b+c)−1; (a+c)−1 Indique: R =

5. La suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética es n(3n+1), cualquiera sea "n". Entonces la razón es: a) 2

b) 63331

8. Si: (m−n)−1 (2m)−1; (m−p)−1 están en P.A. ¿Qué relación es correcta?

4. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente tiene como suma 42 y como producto 2688. Hallar el tercer término. a) 11

a) 566624 m e) 762332

3. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es 117, la razón es 2 y el primer término es 5. Hallar el valor de "n". a) 13

6. Un vagón se desprende de un tren que sube a una pendiente: recorre durante el 1er segundo 8,20m; durante el segundo 38,20m; durante el tercero 68,20m; y durante el cuarto 98,20m; se desea saber. ¿Cuánto recorre en un minuto que dura su descenso?

b

2

+

a

c

2

2

a) 1/2

b) 4

d) 2

e) 1

c) 1/4

Álgebra 10. Si las raíces de la ecuación: x4 − (m+4)x2 + 4m = 0 están en progresión aritmética. Los valores de "m" que hacen posible que esto suceda son: a) ±36 b) ±2/3 c) 6 y 2/3

d) 36 y 4/9

e) −36 y −4/9 11. En la progresión geométrica: x+1, 3x–1, 5x+1,... Hallar el término que ocupa el lugar 7 a) 64

b) 128

d) 512

e) 1024

c) 256

12. Al interpolar 2 términos en P.G entre 3/4 y 1/36. Hallar la suma de dichos términos. a) 1/7

b) 1/5

d) 1/2

e) 2/5

c) 1/3

13. Una familia está constituida por 4 miembros: el padre y tres hijos. Si el menor de estos tiene 32 años. Calcular la edad del padre sabiendo que dichas edades están en P.G y que la suma de las edades de los otros dos hijos es 90. a) 64,5

b) 62,5

d) 58

e) 5

c) 56,5

14. Hallar: A+B si: A 1 2 1 2 = + + + + .... B 6 36 216 1296 A B

Es una fracción irreductible

a) 43

b) 42

c) 81

d) 77

e) 148

15. Calcular la suma límite: 2

S = 1+ 3

a) 2 d)

6

` 12 j + 5 ` 12 j

+7 1

b) 4 1 2

e) 6

3

` 2j

+ ....

c) 5

16. En un círculo de radio R; se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un círculo; en este otro cuadrado, y así sucesivamente (indefinidamente) se quiere saber el limite de la suma de las áreas de los círculos. a) pR2

b) 2 pR2

d) 1/2 pR2

e) 3/4 pR2

c) 4 pR2

17. Tres madres impacientes esperan consulta con niños de 1;37 y 289 días de nacido respectivamente. El médico para entretenerlas les pide que averigüen dentro de cuántos días las edades de sus niños estarán en progresión geométrica. a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

18. Conociendo la suma "S" de los "n" primeros términos de una P.G. y la suma "T" de las recíprocas de estos términos hallar el producto de los "n" primeros de dicha progresión. a)

` TS j

n 2

d) ^Shn/2

b)

` T5 j

n 2

c)

(T) n/2

e) ^SThn/2

19. La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación. En cada una de las siguientes oscilaciones la masa recorre 3/4 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Calcular la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta que teóricamente quede en reposo. a) 64

b) 128

d) 56

e) 92

c) 32

20. Según un estudio estadístico, se ha encontrado que cada 15 años la cantidad de habitantes de una pequeña población aumenta en el doble; si actualmente existen 14,329 habitantes, calcule en qué año y con cuántos pobladores se fundó este pequeño poblado, si se sabe eran menos de 10 personas. (Considerar que este estudio se realizó en el año 2000) a) 1838; 7 b) 1852; 7 c) 1850; 7 d) 1837; 11

e) 1852; 11

Capítulo 25

Factorial, número combinatorio y 25 binomio de Newton Ejercicios resueltos 1. Hallar el valor de x sabiendo que x!=110(x − 2)!.

Resolución Aplicando la propiedad: n!=n . (n − 1)! 2 veces seguidas al primer miembro: x . (x − 1) . (x - 2) !=110 (x - 2) !; x>2; x ∈ Z x . (x − 1)=11.10 ∴ x=11

2. En el desarrollo de (1+3x2)19, calcule el coeficiente de x 6.

Resolución

Para encontrar el coeficiente que acompaña a x 6 primero debemos conocer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton. n â + bhn = Cno .an + ^ C1 h an - 1 b + ... + ^

n

n-1

Cn - 1 h ab

n

19 2 3 3 6 ^C19 3 h^3x h = ^ C3 h 3 x

n

=

3 6 19! 3 x 3!^19 - 3h !

=

3 6 19! 3 x 3!16!

=

19.18.17.16! 3 6 3 x 6.16!

+ Cn .b

Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x 6, obtenemos:

4 6

6

= 19.17.3 x = 26163x

Por lo tanto el coeficiente que acompaña a x6 es 26163.

20

3. Si los coeficientes del primer y último término del desarrollo de P(x;y)=^3a2 x3 + ay7h son iguales. Hallar el coeficiente del término de lugar 18.

Resolución

Veamos los términos:

3

20 t18 = C17 ^3a 2 x 3h ây 7h

"

Coef. t18 = C17 3 .a .a , donde a

"

Coef.t18 = C 3 3 .3

20

20 t1 = C0 ^3a 2 x 3h

7 20

20 t21 = C20 ây h

Por dato: 320a40=a20 a= 1 "

3

17

"

20 3

20 3

`

6

-

17

23

=

1 3 20 # 19 # 18 6

Coef.t18 = 380 # 3

=

- 19

#

3

- 20

Álgebra Práctica 1. Calcular:

E=

+ 24! B; 47!49! 8 23!25! E. + 48!

a) 3 d) 2

b) 4 e) 8

c) 6

a) 24 d) 3

n ^ n - 3h n +4

c) 3

30

9 = 5

k=0

. c) 4

4. Resolver: Cn0 + Cn3 = 221. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 5. Dar la suma de valores que puede tomar "y" en: 24

23

a) 11 d) 32

b) 23 e) 18

+

n

23

C10 = C xy

c) 25

6. (Ex. Admisión UNMSM 2009−I) Si: C12 + Cn2 + Cn3 = 12 , halle el valor de: C26n . a) 56 b) 28 c) 24 d) 210 e) 14 7. Hallar "n" en el desarrollo de (x2+xy)n, si posee un término cuya parte literal es x 9y9. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 9 8. Hallar m si la suma de coeficientes de los desarrollos de (x+1)m y (3x+1)2m−6 son respectivamente iguales: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 9. En el desarrollo de (x+1)43 los coeficientes de los términos de los lugares (2p+1) y (p+2) son iguales. Hallar p si es mayor que 2. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

n

b) 3n e) 7n

c) 4n

13. (Ex. Admisión UNMSM 2009 − II) Si: /

b) 5 e) 2

C11 + C9

n

n

A = C0 + 4C1 + 16C2 + 64C3 + ...^ n + 1h sumandos

a) 2n d) 5n

2. Resolver: n!+(n+1)!=n+2 a) –1 b) 2 e) –2 d) 1 3. Calcular "n", si:

d) 10 e) 11 12. Determinar el valor reducido de:

e o 30 k

20

k

3 +

/ k=0

halle n (n ∈ N). a) 31 d) 27

e o 20 k

2n

k

7 =8

e o, 2n

/ k=0

b) 19 e) 32

k

c) 29

14. (Ex. Admisión UNMSM 2009 − II) Hallar el coeficiente de x 3 en el desarrollo del binomio (2x+(2x)−1)11. a) 2640 b) 330 c) 660 d) 1320 e) 5280 15. (Ex Admisión UNMSM − 2005) Halle el valor de "n" de modo que: n

/ ^2R + 1h R=0

a) 18 d) 15

eo n

R

=2

n+4

b) 16 e) 20

c) 17

16. Hallar el número de términos irracionales en el 48 desarrollo de:^3 x + 4 x h . a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46 17. Sabiendo que la suma de todos los exponentes en el 16 desarrollo de A x = xn + 1 + n - 11 es 272.

^h c

Calcular el término constante. a) 2760 b) 2360 d) 1820 e) 1260

x

m

c) 2120

18. Calcular el coeficiente de x 7 en el desarrollo de: (2x2+x − 1)5. a) 120 b) −120 c) 60 d) −60 e) 240 7 2 10. Si el único término central del desarrollo de: 19. Hallar el coeficiente de: x y en el polinomio desarro2y llado de: (x+y)5 . (2x − y) 4. A(x;y)=(3x2− x )n es de sexto grado. a) 12 b) 18 c) 24 d) −48 e) 48 ¿Cuál es el exponente de "y" en dicho término? a) 2 b) 3 c) 4 20. Hallar el exponente de "x" en el noveno término del d) 5 e) 6 desarrollo del binomio: (x + 1 ) 40 x 11. Hallar el valor de n en el desarrollo de: a) 20 b) 22 c) 24 A(x;y)=(x2+y5)n Si la suma de los grados absolutos de todos los d) 26 e) 28 términos de igual a 252. a) 7 b) 8 c) 9

Capítulo 25 Tarea domiciliaria 1. Hallar la suma de soluciones de la ecuación: n-4 = 1

a) 3 d) 7

b) 4 e) 9

c) 5

)

â - 3h !

11. Calcular "x", si:

x

x

x

5

a) 5 d) 8

6

x+3

x+2

C + 2C + C + C 7

= C

8

3

b) 6 e) 10

24

n

.

c) 7 n

n

n

n

= 2. Resolver el siguiente sistema: indicando 3C C 2C 4C nC ^ h a b !=6 2 2 12. Hallar "n", en: 1 + n2 + n3 + n4 + ... + nn = 78 a +b como respuesta. 1 C C C C a) 43 b) 57 c) 65 1 2 3 n-1 d) 78 e) 86 a) 1 b) 6 c) 12 d) 13 e) 14 3. Reducir: 53! + 52! + 1. 51! 13. Calcular "n", en: n+4 n+4 n+4 n+4 n+4 2 2 2 a) 51 b) 52 c) 53 C + C + C + C + ... + C = 1024 0 1 2 3 n+4 d) 542 e) 552 a) 6 b) 52 c) 4 4. Hallar la solución de la siguiente ecuación: 840 d) 3 e) 8 n + = 127

n

a) 1 d) 7 5. Si:

b) 3 e) 9 8!

= 14

^nh^m!h

14. Hallar el cuarto término de:(x2+2y)4. a) −30x3y2 b) 28xy3 c) 32xy2 d) −28x2y3 e) 32x2y3

c) 5

, calcular "m+n".

15. Calcular el cuarto término de: ` x

4

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9 2

2

2^ a!h ! + a!^ a! - 1h ! 3^ b!h ! + b!^ b! - 1h !

a) 0,5 d) 0,3 8

10

+C

0

6

a)

C

d)

C

0

13 5 3009

8. Calcular: C a) 3006 d) 3009

.

b) 0,6 e) 0,2

7. Reducir: C

13

12

+C

2

+C

3

4

14

b)

C

e)

C

. c)

4

13

C 3

14 5

3009

+C 0

c) 0,75

11

+C

1

3009

+C 1

1009

b) 3007 e) 3010

3009

-C 2000

.

10. Indicar el producto de las soluciones de: x 4

a) 42 d) 84

x

=C 2x - 14

b) 90 e) 108

a) 10

b) −10

d) −20

e) 30

6

j.

c) 72

c) 20

16. La potencia (2+x)a−b tiene doce términos y (4−x)b−c contiene diez términos. ¿Cuántos términos tendrá el desarrollo de (1+x)a−c? a) 19

b) 20

d) 22

e) 23

c) 21

17. Hallar el valor de "n" en (x+y)n, si el coeficiente del tercer término es 15. a) 4 b) 5 c) 7 d) 3 e) 6 18. Señalar el término independiente en el desarrollo de:

;

1 72

3

x +

c) 3008

9. Hallar "x": 1+2.2!+3.3!+...+x . x!=719. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

C

4 x

c) 10

6. Sabiendo que: a +b =2ab. Simplificar: E =

-

72

a)

C

d)

C

25 72 29

x 72

b)

C

e)

C

28

5

E

c)

72

C 26

72 27

19. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 11 I. El número de términos de:^5x3 − y2h es 12. II. La suma de coeficientes de: (5x−y3−3z)6 es 64. III. La suma de exponentes de x e y en el desarrollo de: (x3+5y2)6 es 210. a) VVV b) FFF c) VFV d) VVF e) VFF

Álgebra

26

Radicación

Ejercicios resueltos: 24 ,x 2 2. 3 3x + 2 + 3x 2

1. Racionalizar el denominador de:

Resolución 24

#

3x - 2

3x + 2 +

A B BB BB B BB BC

3x + 2 -

3x - 2

3x + 2 -

3x - 2

A BB BB BB B B B C

Se obtiene: 24^

3x + 2 -

3x - 2 h

^3x + 2h - ^3x - 2h

=

24 ^

3x - 2 h

3x + 2 4

= 6^

3x - 2 h

3x + 2 -

∴ El denominador racionalizado es 1. 15

2. Indicar el denominador racionalizado de:

6+3

3 +2

2+6

.

Resolución

Agrupando el denominador: Se tiene: =

15

^3 +

2 h^2 +

3h

#

=

15 ^3 -

2 h^ 2 -

2 + 3h + 2^

2 h^2 -

3h

2 h^2 -

3h

2 + 3h = ^3 +

2 h^2 +

3h

A BB B B C A BB B B C

A B BBB C A BB B B C

=

^3 ^3 -

3^

3h

^32 - 2h^22 - 3h 15 ^3 - 2 h^ 2 - 3 h 7

∴ El denominador racionalizado es 7. 5

3. Racionalizar el denominador de:

5+

3-

2

.

Resolución

Agrupando convenientemente: 5 5 +^

2h

3-

A BB BB B BB BC

5^

5-

2h

3+

5-5+2

6

S

∴

5 -^

#

3-

5 -^

3-

2h 2h

=

5^

5 -^

A B BB B BB B B C

#

6

S6

=

El denominador racionalizado es 12.

5

6^

5-

512

3+

2h

3+ 32h

2

2h

Capítulo 26 Práctica 1. Efectuar: ^5 a) 2 d) −

5 h^

2-2

2h - 3

5+

10

2

)

1

2. Efectuando: nemos:

2

x -1

2

x+

x -1

x-

x -1

2

a) 2x

b) 3x

a) 5x

b) x/2

2

x-

x -1

x+

x -1

-

2

3

a)

3 +1

b) 2+

d)

3 − 1

e)

3-

3-

4-2

c)

3

3

5

•

3

•

3

3+

3

2

6 7-

3

3

3 − 2

a)

2 2

b)

4. Si: a2=14+6 5 . Halle a3. a) 27+25 5 b) 72+32

d)

5 2

e)

d) 27+27

e) 68+32

5

5. Simplifique:

4-

15

5+

21 -

5-

21

b)

d)

35

e)

a) d)

2

x -1 2

x -4

2

7. Halle: ^ a) 576 d) 228

2+

4 2 x - 5x + 4 +

e)

x -2

c)

2

2

x -1

4

.

b) 72 e) 64

c) 144

8. Racionalizar los denominadores de: • •

6 9

•

4 2

3

2+2

•

3

a) 2 d) 8

x y z

a) 3 c) 3 e) 5

5 −5 3 +2

30

5 −5 3 −2

30

3 +2 5 −4

30

2

; para

3 2

c)

1 2 3

I=

2+ x x+8

c)

; para

1 12

2 x - 1h

^ 2 + x - 1h^ x -

;x 2 1

x

b)

x 2

d) 2

x

e)

2x 4

7

2^

5-

b +

a) 2 d) 12

3h

5

c) 4 30

b) 3 d) 3

x

, equivale a: d , siendo: a>b>c>d>0.

40 + 5

c -

18. Al racionalizar:

5 +2

c)

48 - 8

24 - 24

2

Calcule: ad − bc.

3

9 +5 -

3+

2 3

a) 3

a -

2 5 3

b) 3 e) 11

10. Indicar el equivalente de:

x-1-

a) x+3 b) x–3 c) x+6 d) 2x+1 e) x+1 16. Indique uno de los radicales simples de:

7 10

1 7

x+1-2

f=

k

17. Si el radical:

9. Indicar el denominador racionalizado de: N=

4

4 3 2x + 8x 2x + 4

6h

3 +

3

4 +1

e) 0,2

2

2-

3 +

2 x - 4; x 2 3 .

2

10 +

2

b) 0,25

N=

7

x -4

3

25 +

3

15. Racionalizar e indicar el denominador de:

c) 1

b)

•

14. Calcular el verdadero valor de: a) 1 3 d) 0,5

.

5 3

2 2x - 5 - 2

3

x=−8.

15 +

a)

5

5

4+

3 5

6. Reduzca:

c) 72+24

7

•

13. Halle el verdadero valor de: x=3.

?

3 +2

5

; para x=16.

a) 6−1 b) 3−1 c) 2−1 d) 4−1 e) 8−1 , obte- 12. Racionalizar los denominadores de:

c) 4x

3. ¿Cuál es el equivalente de:

x -4 x - 16

11. Halle el verdadero valor de: J =

c) 0

b) 5 2 e) −3 3

5

.

2

5 +5 3 +2

30

5 +5 3 −2

30

b) 6 e) 0 2 15 1+

3+

c) 10 28 5+

7

, se obtiene:

a)

3 + 5 + 7 − 1

b) 1+

3 + 7 −

c)

3 + 5 −

7 − 1

d) 4+

7 −

e)

3 + 7 −

5 − 1

19. Si: 3 3 2 - 1 = 3 a + 3 b + 3 a,b,c ! Q. a) 1/2 b) 1/3 d) 1/5 e) 1/6

c

5

3

; calcular a+b+c; c) 1/4

Álgebra Tarea domiciliaria 1. Efectuar: E = 3 a) 6 d) 2

2.

3

8-

2. Simplificar:

16 - 2

10 +

12 +

140

84

a) x d) x

y h^ x -

b) y e) xy

f

a) 3 d) 3 −

2

3-

3 -1

3

5. Simplificar:

pe

b) 2 e) 3 ^17 +

x +

768 h

2

^3 −

3h

12 − 2

27

o

3

+

c)

1 4

768 h

7x + 2 - 2

y

8x + 2

15x + 2x - 1

d) e) 1

8x + 2

15x + 2x + 1

.

1 4

4

2

3

d) 4

3

e) 2

6

c) 3

15 4+

3

2 .

7

a +

3

b +

1-

.

c

.

2

c)

3+2 8+4

3

c) 686

b) 1 e) 2

2

2

obtenemos una ex-

2+3

presión que adopta la forma: 3 Hallar: E= a+b+c. a) 243 b) 655 d) 717 e) 309 7+5

3.

2

3 +2+

3

3

2

.

b) 3 − e) 1

c) 3+

2

2

1

2

10x + 7x + 1

a)

2-

d)

2-

2 4 4

8

2

15. Racionalizar:

2

2+

4

4+

b)

2-

e)

2-

4

4

8 +2

2

2

2+

4

8

4

2 2

1 1+

2-

c)

3

6

3+

72

.

2

12 + n 3 + 4n 3n ; 0

6n –

2

2+n

Indicando el denominador resultante. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

^n – 2

b)

2h

n

2n – n ^n –

d)

2 – nh

1

2

2n – n

^n –

2

1

2h

2

4x

1 4

− 7 + 16

2

x +x+

; siendo : x < 1 . 8

b) − 1 − 2x

c)

4

1 4

+2x

a)

2

c)

3

e)

2

3

3

23

3

4 + 6

3

b) 0 e) 108

2

para: x=9.

a) 1

c) 1

d)

x -3

2

b)

2

3

d)

3

3

4+ 6

2-

2 3

2

2 +2

4 +1 3

3

4

x - 81

2

1

5

17. Racionalizar:

e) − 1 +2x

9. Calcular el verdadero valor de: a) Absurdo d) 18

1 4

16. Racionalizar y simplificar la expresión: 3 2 se obtiene:

2h

2

− 2x

d) x −

−1

b) 2

4

15x - 2x - 1

2n – n^

1 4

para: a=

2

de:

14. Hallar el equivalente racionalizado de:

2

2n + 12 + 4

a)

a

6

a) 3 + 2 d) 3 − 2

7. Escoger un radical equivalente a la expresión:

8. Reducir:

a+

a) 4

2

c)

e)

2

a) −1

− 6

15x - 2x - 1

8x - 2

c)

a -1

a -1

3 +1

288 h 4

- ^28 -

2

2n + n

a-

2

a-

-

numérico

1

b)

a)

a -1

13. Racionalizar:

+ ^17 -

6x + x - 1 +

8x + 2

2

a+

d) − 3

b) 2 c) e) 2 2 6. Indicar el radical doble equivalente: a)

valor

12. Calcular: E = 21

a) 2 d) 1

5x + 2

y h.

x +y +

3 1 4

el

11. Luego de efectuar: 3

c)

3

288 h

^28 +

2

c) 3

x+y +

1

E=

.

b) 2 e) 3 1 ^ x + 2 y

10. Hallar

48

c)

60 +

a) 1 d) 2

4. Efectuar:

6

b) 3 e) 1

3

3. Efectuar:

3 +1 .

3

A=

1 3

25 +

3

20 +

b) 9 5-

3

4

e)

3

3

16

. c)

5-

3

2

3

3-

3

2

;

Capítulo 27

27

Cantidades imaginarias

Problemas resueltos 9

1. Calcular el valor de: E = (1 + i)9 1+i

Resolución

Como i9 = i E=

(1 + i) 1+i

9 =

(1 + i)

8

Pero: (1+i)8 = [(1+i)2]4 = (2i)4 = 16i4 = 16 Finalmente: E = 16 2. Calcular: E =

i

−5

−

i

i

− 15

−6

−

+

i

i

− 49

− 50

−

−

i

i

− 18

− 23

+

+

i

i

− 400

− 35

+

i

+

2i

− 14

− 441

Resolución

Transformar las potencias: 0

E=

1 i

−

1 3

i 1 (− 1)

+

−

1 i

6 4 4 4 47444 4 8

1 1 2 + + (− 1) 1 (− 1) 1 − 1 1 +1 + 3 (− 1) i i i3 −

1 4 4 4244 4 3

0

S

0

3 i E= =3 1 i

3. Hallar "a" y "b" si se verifica la siguiente igualdad:

ai 1 + bi

=

3a + 4i ; a, b ! R a + 3b

Resolución

Efectuando en aspa: ai (a + 3b) = (1 + bi) (3a + 4i) (a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3 abi + 4bi 2 (a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3 abi + 4b(–1) Ordenando: 0 + (a2 + 3ab)i = (3a - 4b) + (4+3ab)i

Igualamos partes reales e imaginarias:

)

3a − 4b = 0 ................ (1) a2 + 3ab = 4 + 3ab ....( 2)

Resolviendo: De (2): a2 = 4

∴ a = ±2

En (1): 3 (±2) = 4b

` b

=!

3 2

Álgebra Práctica 1. Calcular: E = i12517+i5555+i22222+i−333+i8 a) −1 b) 1 c) i d) −i e) 0

11. A partir de: (1+i)2 + (1+i)4 + (1+i) 6 + (1+i)8=x+yi. Calcular:

1−i

3

+

i

=

i

a) 4 d) 1

2

+

1 i

+

3

c) 10

1

+

4

.... +

2

+

i

i+

0; 3

4

i 1+i 1−i +

1 i

c)

− 17 − 9i

+

e)

19 + 17i 13

i

5

+

i

a) 10 d) 5i

6

18. Simplificar: E =

20. Siendo: i=

b) −3i e) −10

donde:

=

i

c) −7 2 i

+

3 i

2

+

4 i

3

+

... +

c) ni

i

c) −2

=

−

1

,

calcular: a) −1 d) i

−1 +

i +

2i

c) 8i

a − bi

+

i

a + bi

a + bi

−

i

a − bi

b) −1 e) −i

19. Reducir: w1 = donde: i 1 a) 1+i d) 2i+1

15 + 9i 26

(1 + i) 2 (1 + 3i) , i−3

1

c) 100

17. Calcular: Z2, siendo: Z = a) 4i b) 2i d) 16i e) 0

d) 15+3i

E=

−

b) 5 e) 3

=

10. La expresión: equivale a: a) 1 d) 2

c) i/8

b) −i e) 0

a) 1 d) i b)

3

1

(1 + i) n + ( 2i ) n = 64i

z1

13

−

397 i

396

b) 396(1+i) d) 243(1+i)

3

a)

=

16. Un valor de "n" que verifica la igualdad:

z1 + z2

9i

; i

b) −1 e) 6

a) i d) −ni

z2 − 19 +

6

1 + 2i 3 + 4i 5 + 6i 7 + 8i + + + + ... "n" divisiones 2–i 4 – 3i 6 – 5i 8 – 7i

a) 1 b) 2 c) i d) −i e) 1/2 9. Sean los números complejos: z1 = 2+3i; z 2 = 1+i. Calcular: E =

(1 + i)

15. Realizar la suma:

c) 2 3

1

a) 198(1+i) c) 397(1+i) e) 199(1+i)

20

b) 3 e) 0

8. Calcular: E = 1 + i + i

c) 1/5

14. Indicar el equivalente de: E =

c) 2i

i

1

b) −1/8 e) i/16

a) 1 d) −1/7

a + (b + 2) i

b) 4i e) 0 1

+

1+i

5 − 7ni ; 10 + 2i

c) 2−i

10 − 19i + 2x + (7x+4y)i + 5y = 0 a) 7; −3 b) 5; −4 c) d) −4; −5 e) 4; −2 Calcular: A = (i+1)20 − (i−1)20 − 2i

i

−

13. Hallar "n", para que al dividir los siguientes números complejos, el resultado sea puramente real:

5. Hallar los valores de x e y en la siguiente ecuación:

7. Calcular: E = 1 +

=

b) 1/4 e) 1/3

a) 1/8 d) −i/8

z1 = 3+2i z2 = −4−2i z3 = 3−2i Calcular: z1 + z2 + z3 a) 1+i b) 2−2i d) 3−i e) i

a) −2 d) −2i

; donde: i

12. Sumar: S = 1 + i + 1 − i

3. Si:

6.

x−y

a) 1/2 d) 1/6

2. Efectuar: A = 1 + i + i 2 + i3 + i4 + i5 + ... + i 243 a) 1 b) i c) −1 d) −i e) 0

4. Hallar: a . b, si: 5 − 4i + 2 a) 4 b) −4 d) 6 e) 18

x+y

−2

4

4i

c) 0 i−

6

−8 5

i

;

−

b) i−1 e) 2i−1

c) 1−i

−1, 2

W=

3

4

2−i+ i

2

843

i + i + i + i + .... i

b) 1 e) −i

− i3

c) 1/2

Capítulo 27 Tarea domiciliaria 1. Reducir:

(6i

20

+ i 34) (3 + 2i) 16

(3i

13

+ 2i )

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Sea: z=(a-3)+(2a-1)i. Si "z" es real, calcular "a". a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 1/3 e) 5 3. Sea: w=(2b-3)+(2b+1)i. Si "w" es imaginario, calcular "b". a) 1/2 b) -1/2 c) 3/2 d) -3/2 e) 5/2 4. Reducir: i a) 0 d) -i

5 5

10 9

+i

18 17

+i

b) i e) 3i −6

5. Efectuar:

3

.

−6 +

−8

.

3

a) 3 d) 12

−9 .

−1 +

3

− 16 − 64

b) 6 e) 4 i

6. Calcular:

2

c) 9

13

i

b) 2 e) 5 i i

32

46

+

+

i

i

54

+

520

c) 3

a) i

b) –i

d) –1

e) 2i

8. Si: z1=i9+i7+i3 y z2=i8-i3. Calcular: Re(z1+z2) c) –1 a) 0 b) 1 e) –2 d) 2 9. Calcular la suma: G=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n a) n b) 2n c) -n d) 0 e) 4n 20 19 18 17

10. Efectuar: i a) 0 d) 3i

11. Simplifique: a) 1/4 d) 1/4i

+i

25

28 27 26

+i

33

36 35 34

b) i e) -i

=c

1+i 1−i

−

1−i 1+ i

c) 2i

i

m

b) -1/4 e) -4

2i

G

−1

−1

c) –3/8

16. Determine la parte real del complejo z: =

(1 − i)

5

(1 + i)

5

−

1

+

1

a) −0,04 d) 1

b) 0,04 e)

a) −1 d) i 18. Sea:

z

=

c) 0

2 4

` 1 2 xi j −

+

P^

7h

b) 1 e) −i

c

725 + 47i 47 − 725i

25

m c +

c) 1/2 41 + 28i 28 − 41i

32

m

−

1

Calcule: Re(z) a) 1 d) 2

b) −1 e) −2

c) 0

b) −1 e) 1/2

c) i

19. Reducir:

c c

−

1 2

1 − 2

+

3i 2

−

3i 2

30

m m

30

a) 1 d) −i 20. Dar: z , si:

c) 1/16

2

15. Calcule "n", si: [(1+i) 7+(1–i)7]n=4096 a) 8 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3

Calcule el valor de c) 1

c)

14. Determinar "p/q", si: (1+2i) 2+(2+3i)2+(3+4i)2=p+qi a) 3/8 b) 3 d) –3 e) 8

2

673

i

b) 0 e) 2 i

4

i

5

i+

17. Si: P (x) = ` 1 + xi j

65

−i

(1 − i)

13. Si se cumple que: (1+i)2+(1+i) 4+(1+i) 6+(1+i) 8=m+ni Hallar "m+n" a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) 2

z

+ i5 + i20

a) 1 d) 4 7. Reducir:

c) 2i

12. Calcule: a) 1 d) 2i

z

=

1+i i

+

i 1−i

a)

–i

b) i

d)

1−i 2

e)

c) 1–i i+1 2

Álgebra

28

Repaso

1. Si: x1, x2, ... xn son "n" números reales positivos, y la media aritmética de sus logaritmos en base 10 es 2. ¿Cuál es el valor de la media geométrica de 2x1, 2x2, ...2xn? a) 200 b) 400 c) 100 d) 50 e) 600 2. Los números positivos x e y, satisfacen el sistema: 2 Log3 x + 2 Log3 y = 0 . Halle: x+y.

)

Log2 x

−

Log2 y

=

a) 9/4 d) 1

2

b) 3/4 e) 4/5 3

b) 5/6 e) 17/6

c) 13/6

a (1 − b 2 )

a)

1 log (1 + b2a) b 2

b)

2 log b

c)

1 log (b2a − 1) b 2

d)

2 log b (1 − b2a)

e)

1 log (1 − b2a) b 2 n

1

c m;

=

a

b

−1 !

Ln (ab) Ln (a)

Ln (ab) Ln (a)

c)

!

e)

2!

3b − a 4

b)

b

d)

2b − a 4

e)

6b − 11a 4

Ln a

c) nb–x

b) d)

Log2b2 − Log3c = 3

2x

=

b

Ln (ab) Ln (a)

− 1 ! Ln (b)

7. Si a, b, c ∈ <1;+∞> y se cumple: Log2(ab2) + Log3c3=10 2

+

1!

Ln (ab) Ln (a)

Log3 ( a ) = 4 Log3 2 b

4x −

343 . B 8 3125

−a

c)

4

3b − 11a 4

4e

Ln a

2x +

4

=

a

Ln b

−

b

Ln a

c) Loga2

10. Si " , es el conjunto solución de la ecuación: x

o

Log(x + 3) 22 −

Log(3 + x) 4 log(x − 6) 4

=

entonces halle el valor de

1 x

2 o

− 4 xo

b) 16 e) 56

c) 32

A = " r; s , es el conjunto solución de

log5 x +

2

Log

y determine el valor de 2x. a) 2a b) ab d) Log3a e) Logab

B=ax; donde a>0, x≠0. Calcular el 11. Si:

6. Las soluciones de la ecuación: a x con a>1, b>1, son:

m

a)

a) 8 d) 48

valor de x LogB(A). a) n–b b) nb d) –nb e) n–b+x

a)

c

c) 6

8. Si: Log 5 = a, Log 2401 = b 125 Calcule en términos de a y b el

e

4. Sean: b>1, sen x>0, cosx>0 y Logb(senx)=a Hallar: logb(cos x)

A

b) 4 e) 12

9. Resolver la ecuación

; ba E

a) 7/3 d) 4/3

5. Si:

a) 1 d) 8

c) 5/2

3. Si: Logaba=4; a>1, b>1. Calcular: Logab

a.c b

Halle el valor de:

log5 125 log5 x

la ecuación:

7 2

=

entonces el valor de: r 2+s2, es: a) 450 b) 600 d) 750 e) 900

c) 625

12. Al resolver el sistema:

)

Log3 (Log 2 y) = 1 + Log 3 (Log 2x ) .... (1)

(x + y) 2 − (x − y) 2 = 324 .................... (2)

Calcule el valor de: a) 1/6 d) 10/3

T=

x

1 y

b) 2/3 e) 6

+

x y

c) 3/2

13. Si: Log 2 = 0,301 y S es el conjunto solución de la ecuación: 16x =100 (4x−1−1), entonces halle la suma de los elementos del conjunto S. a) 1,301 b) 1,161 c) 3,322 d) 2,301 e) 2,161

Capítulo 28 14. Si: Log 2 = a y Log 3 = b, halle el conjunto solución de la ecuación: 2 (9 x) + 15 (4 x) = 13 (b x) ; x ! 1 a)

1−a a+b

b)

1−a b−a

d)

1+a b−a

e)

a−1 b−1

c)

1+a a+ b

15. Sea "M" el conjunto determinado por: M = " x ! R /

Log x (2x) x

18. Sea A un conjunto determinado por:

$

A = x ! R / Log (2x − 1) 3 + Log (x − 2) 7

Halle n(A ∩ Z). a) 0 d) 3

Log73

b) 1 e) 4

=

.

3 − Log 8

c) 2

19. Al resolver la ecuación:

= 4,

−

Halle el conjunto M C b) f c) <0;+∞> a) R d) <−∞;0> e) <1; 2] ∪ <3; +∞>

2

1 + Log 1 x 3

=

1 + Log 1 x

1

3

Hallar la suma de sus soluciones. a) 1/9 b) 16/9 d) 29/9 e) 31/9

c) 28/9

16. En la ecuación logarítmica: Log(328)=Log(3)+Log(32)+Log(33)+ ... + Log(3m) 20. Hallar el complemento del conjunto solución de la Determine el valor de m. ecuación: 1 1 a) 7 b) 8 c) 9 Log(x 1) (x 2 – 4) = 2 ( ) + 1 + Log2 3 1 + Log 3 2 d) 12 e) 15 a) R b) R –{3; 4} 17. Si: {xo} es el conjunto solución de la ecuación: d) f c) R –{3} x x2 Log x (x ) + Log x2 (x ) = 4 e) R –{5} 2 Halle el valor de: xo + xo + 1 +

a) 3 d) 9

b) 5 e) 13

c) 7

Tarea domiciliaria 1. Resuelva: Log (x

5) + Log (x + 2) Log (x 3)

−

=

2

−

a) d) 2.

' 1 ' 1 19 5

18 5

b)

5 $ 19 .

c)

' 1 19 3

e) "18,

d) 2

e) 1

b) 4

d) −4

e) −12

e) 7x+4y

5. Sea: A

=

Log2 m

3

2

nm m n

A

c) b

3. Si: Log 2 + Log 3 + 2 Log 2 = Log (5x+4) Calcule: Log2x8 a) 16

d) 4x−3y

c) 2x−5y

−

−

n>0

B

Indique: 2 2 2 2

2 2 + 2 Log b a + 2 Loga b2 + 2

b) a

b) 3x−4y

B = Log2 6(n − m) (m + n) + m2@; m >

Sea a; b ∈ R +, reduzca:

a) ab

a) 5x−2y

c) 12

4. Si: Log 4 = x; Log 9=y; el valor de la expresión: Log 1024 – 2 Log 36 en términos de x e y es: 81

a) m

b) n

d) m+n

e) m−n

c) mn

6. Sea: A = Log27(m+n)2−Log27(m−n)2 B = Log27 m − n ; m > m+n

n>0

Indique: 33A+3B a) d)

m + n m − n

n m

b)

m − n m + n

e) mn+1

c)

m n

Álgebra 14. Resuelva: 54x − 52(x+1)+46=0, e indique la suma de soluciones.

7. Si: Log 27=3m; Log 64=3n. Halle (Log43+Log34)mn a) m+n

b) m2n2

d) m2−n2

e) m−n

c) m2+n2

b) Log254

d) Log465

e) Log25

Log b 3

+

7

Log7b2

=

Log b 5

3

+

Indique (b+2) a) −5

b) 5

d) 1; −5

e) −1

Log9

3

A = antilog3log3 (log69+log64) B = log4antilog4(log8128−log82) Indique: A2 + B2

3

c) 5; −1

9. Si: Log 3 3 − Log 3 32 + Log 3 33 − Log 3 3 4 + ...... − Log 3 3 2n = − 21

b) 1

d) −21

e) 0

c) 21

Indique:

Log 2 4 3

c) 8

d) 16

e) 32

con m>n

10. Si: +

b) 4

1 6log (m 2 − n2) 4 − log (m + n) 2 − Log (m − n) 2 @ 2

a) −1

Log2 3 2

a) 2

16. Calcule el antilogaritmo de:

Indique: (n−20)

+

Log 2 5 4

+

... + Log 2 n + 1 n

=

5

a) m2+n2

b) m2−n2

d) m−n

e) 1

c) m+n

17. Efectúe: anti log2 anti log7 log x anti log 5 co log 7 1 x

8

n+1 2

a) 31

b) 32

d) 15

e) 30

c) 16

a) 32

b) 30

d) 28

e) x

B

c) 22

18. Calcule "x" si se cumple:

11. Si: 3Log3(m + n) − 3Log3(m + 2n) +

3Log3 (m + 3n) ... − 3Log 3 (m + 10n) = −

Halle: 2n−1

a) 10

b) 11

d) 8

e) 7

c) 9

2

n

cco log

d) n

m^log ln xhcco log 13 m = e 3

b)

n+1 2

b) −6

d) −8

e) 8

c) 6

3

c) n(n+1)

a) 2

b) −2

d) −3

e) 5 n

1

/ 2 5

c x16y m = 6 . Indique: x + y

a) 12

b) 4

d) −4

e) 8

2

x

=

5 2

c) 3

20. Si se verifica:

e) (n+1)−1

13. Si: Log22y=3; Log4

ln 2

x

log3 x + log 1 x + Log 4 x + Log

log n2 + log n4 + .... + log n2n n+1

1 64

19. Halle el valor de "x" que verifica:

n log n2 + log log n − log log nn + log n

2

ln x

a) 18

12. Reduzca:

a)

c) Log2546

15. Sea:

8. Si: 5

a) Log52

c) −12

k

=

2

log(

k )3 k 1

=

3

−

halle el valor de n a) 9 b) 27 d) 12

e) 144

c) 81

Capítulo 29

29


1. Si los números enteros "x" e "y" satisfacen la ecuación: 9. Si: P(2x+1)=3x+2 y P(x−2)=ax+b 3x+1+2y = 2y+2 − 3x, el valor de 3x/y es: Hallar el valor de 4a+6b. a) −5 b) −7 c) −90 b) 1/3 c) 1/9 a) 3 d) 3 e) −9 d) 1 e) 9 10. En el polinomio Q(x) se cumple que la suma de 0 1 2 coeficientes es el cuádruplo del valor que toma su 9 6 2. Si: aa 55 / b 1 término independiente, tal que: 3 Q(x−1)=(3mx−4m)2+(3x−4)4m−x2+4 a Hallar el valor de: Hallar la suma de coeficientes del polinomio Q(x) 5 (b − 2) a) 2 b) 8 c) 20 a) 1 b) 5 c) 52 d) 16 e) 32 d) 53 e) 55 −

c m

−

=

=

3. ¿Qué valor debe tomar "n" para que se verifique la 0 igualdad: x− n . (x2) − 2n . x 3 = x − 2 a) 11/8 b) −11/5 c) 11/12 d) 12/11 e) −11/12 −

m 12

4. Si: 4 m2+m−2. a) 40 d) 34 5.

=

m

−

m 1 . 9 12

; m ! N;

hallar el valor de:

b) 38 e) 30

c) 36

Calcular "x", si: 5x+1−5x−1+5x+2−5x−2=18600 a) 3 d) 7/2

6. Si:

x

=

n

b) 4 e) 9/2 3 n+2

n+1

9

9

7 (3 b − 1)

y

n

9

Hallar la suma de x+2b a) 4/3 b) 2 d) 5 e) 7 7. Si al simplificar: M =

valor de b − a.

a) 1 d) 9 8. Si:

)

b+1

âb

+

2 (3 )

b 1−b a . (bab) a a

b.

a

=

3

−

ah

2ab

; b >0

c) 0

14

e)

7

a

2

a

a

4

2

0

a) 1 d) 8 1

13. Si: (x) x

x

8

+

hallar el valor numérico de:

a

b) 2 e) 16

c) 4 15 (3x) + 21 x1 /x + 3 ( 3x) 2

= 3 , reducir: N =

21 + 5 (3 x) + x2

b) 2 e) 5 − 8x =

a) 2 3 d) 2

8

, hallar: 3x

c) 3

x

b) 3

2

e)

3

3

2

` xxx 1j1 /3

15. Si: x =3. Calcular: M =

3

b) 2 e) 0

a) 2 d) 3

3

c) +

+

`

27 x− x

j

x+1

x2x − 1

c) 4

16. Hallar "n" enla siguienteigualdad: a) 6 d) 7

x2 + 2xy + y 2 − 12x − 12y + 36 = 0

19

3 2 a − (a + 1) = − 1,

U=

14. Si:

3

y 7b = (343) 3 , hallar: a3−b3/2 b) −1 c) −2 e) 2

x

x

x... = x 31/32

1 4 4 42 4 4 4 3

n radicales

32x − 79 (3 x + y) = 2 (9 y + 2)

b)

a

= (125) 4

x

y el de b es −4. Hallar el

b) −4 e) −5

a) 3

b

2

b a

Hallar el valor de la expresión: d)

−

2b

12. Si:

a

a) 1 d) 4

c) 3

a b (a ) b

El exponente de a es

c) 5

11. Si: (625) 3 a) −3 d) 0

x 2 − 2y + 2

c) 5

b) 4 e) 3

c) 5

17. Simplificar: S

=

;`

x

n

a) x d) x3n

2 n

j

−

2

n 2

. ^x h 2

−

n

E

2n

^x 3

b) x e) 1

−

n 3 3

h

−

n

. ^x

4n

−

1

c) x

−

h n

1

; x ≠ 0

Álgebra Tarea domiciliaria x

1.

x 25 5 Calcular el valor de "x" en: ^4125 h = 425

a) 1/2 b) 4 c) 2 d) 1/4 e) 8 2. Calcular el valor de "n" si se cumple: (3

x

2

+

1 x

yb

zc

a) a d) 1

xa

b) b e) 0

12. Reducir:

c) c

S=

n+ 1 . 4

n

3

1 . 3

n−2

3

13. Si:

10 (2

x

'

8

x

x x .

9

x

x

n−1

)

n−1

−

1

+

6

+

(3

n−1

n − m

=

n−1

)

+

−

1

15 +

(5n − 1) − 1

V 72 W W W W W X

n

n

n

m

m

m

a) 2 2 d) 2 /2 8. Simplificar: 3

3

E=

1+

3

3

9

a) 9 d) 1/3 9. Si: a

a

=

3 9

3

.

1+

5

6

y

b=

−9

c m 1 3

3

3

3

9

2 /4

8

8

8

8

`

b) 5 e) 55

c) 9

8

8

4

8 8

8

j

−1 8 7 8

E

b) 8 e) 4 7

m

7

+

−

3

m

+

3

−

(21) m

+

m

3

−

m = −

27

−

27

−

1

n

2m

y

c) 49

j

2n

`

b) 1/48 e) 91

15. Determinar: M =

x

E= a+ b+ c

" 1,

3m−2n=18, hallar el

8 7 m − n + 35 7 m − n M= m−n m+ n 7

a) 56 d) 49

−

c) 11

b) 100 e) 81

`

8

; m ! Z+

b) 21 e) 26 −

3

c)

m

+

8

x

2 + 3

c) 61

−x

x

j

+

x

2

−x

+

3

x

x

6 +1

c) 1/3

c) 36

(12a + b) (18 b + c) (36 a + c) (22a + b + c) (3a + 2c + b)

a) 4 d) 25 18. Si al simplificar:

b) 9 e) 36

c) 16

9

c) 3

M=

a b b (a )

+

b 1− b a (bab) a a

(ab b a a ) − 2ab

; b > 0 el exponente de a es

2

−10 2

a 5 (b − 2)

a) 1 d) 53

c)

b) 1/9 e) 27 5

3

4 1 x + 4 x 3

.

a) 6/5 b) 6 d) 1/2 e) 5/6 16. Si: 4–m/12=m−19m/12, m ∈ Z Hallar el valor de m2+m–2 a) 40 b) 38 d) 34 e) 30 17. Si: a, b, c, ∈ Z+, simplificar:

....

b) 3 2 e) 2 3

;

S=m

14. Simplificar:

n−1

a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 7. Hallar: P=nm−1−1, si se cumple que: n + m

−

3 1 x + 3 x 3

b) 4 e) 1/9

a) 25 d) 64

c) 9

a) 1 b) 6 c) 30 d) 10 e) 18 6. Señalar el exponente de "x" después de simplificar: R4 S S6 P=S 3 S S T

1 x

valor de: (m+2−n)2

n

a) 3 b) 6 d) 27 e) 81 5. Calcular el valor de la expresión: C = n−1

x+

a) 10 d) 15

4. Resolver y calcular el valor de: 9

, calcular el valor de:

a) 3 d) 1/3

a) 3 b) 5/3 c) 5/9 d) 1/3 e) 8/5 3. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z 11. Simplificar: después de simplificar: a) 1 a d) 2 y b c a zc R a b x b c =

2

=

2

M=

n 3 3 ) = 27

3

10. Si:

, hallar el valor de: c) 52

b a

y el de b es −4, hallar el valor de b − a.

a) 1 d) 9

b) −4 e) −5

c) 0

Capítulo 30

30 Polinomios - productos notables 1. Si p(x) =x+1 y p(p(p(x)))=ax−b, hallar: p(a+b) a) −2

b) −1

d) 1

e) 2

c) 0

2. Si: p(2x+1)=3x+2 y p(x−2) =ax+b, hallar el valor de 4a+6b. a) −5

b) −7

d) 3

e) 5

c) −9

7. Si: P(x)=ax4 + 6ax3 + (bx + 1) 2 y Q(x) = 4x4 + 6ax3 + 25x2 − 10x + 1 son polinomios idénticos, hallar a+b a) 1 b) −1 c) 9 d) −9

8. Sean p(x) y q(x)=(2−a)x3+(a2+2)x2+d, dos polinomios idénticos tal que: p(x−1)=ax3−(b−2) x − c + d

3. Dado el polinomio: p (x; y) = x

n2 − 1

+

x

m−1

r n

y +x y

+

y

y, hallar: m+n+q−r.

b) 2

d) 4

e) 5

Hallar: a+b+c. a) −1

b) 7

d) 4

e) −5

c) 0

1 −q

completo y ordenado con respecto a las variables x e a) 0

e) 4

c) 3

9. En el polinomio P(x) se cumple que la suma de coeficientes es el cuádruplo de su término independiente, tal que: P(x−1)=(3mx−4m)2+(3x−4)4m−x2+4 Hallar la suma de coeficientes del polinomio P(x). a) 2 b) 8 c) 20

d) 16 e) 32 4. Si: P(x,y)=x14+myn−5xny2m+4+7y49; es un polinomio homogéneo, hallar el grado relativo respecto a la 10. Si el polinomio: variable x. P (x, y) = x n − 1 y 2 − 3x 2y 4 + kx α − k y β , es homogéneo con n>0>k y a−b=3, y la suma de coeficientes es a) 28 b) 25 c) 22 k2−k−5. Hallar el valor de n−k−a+2b. d) 20 e) 18 a) −3 b) 1 c) 4 5. Dado el polinomio: P (x) = `2a + 2 j xn 3

+

2

−

d) −5

6axn + a − 1

e) 2

mónico y de grado 6, hallar la suma de los coeficientes 11. Si: x>0, y>0 y xy −1+x−1y=3, hallar el valor de: del polinomio q(x), si q(x+2)=4x n/2−(6a+1)x+3an 3 3 a) 8

b) 6

d) 2

e) 0

c m c 3xy m

M = 3x y

c) 4

+

a) 320

b) 340

d) 486 e) 527 6. Dado el polinomio: P(x,y)=14xa+b+3yb−2+ 19 xa+b+1yb+4−5xa+b−1yb+1 12. Simplificar: (m2 3m 1) (m2 3m 1) (m2 de grado absoluto 18 y además: P b m2 m 1 GRx 6p (x, y)@ GRy 6p (x, y)@ 6 , hallar a . a) m+4 b) m a) 25 b) 32 c) 49 d) m+1 e) m+2 d) 121 e) 343 =

−

=

−

−

+

−

+

−

+

c) 402

+

3 )2 − (m2 − 3 )2

+

m

; m>0

c) m+3

Álgebra 13. Si: a3+b3+c3=5 y

(a+b)(a+c)(b+c)(a2−ab+b2)(a2−ac+c2)(b2−bc+c2)=40 9

9

14. Si:

x2 y

W=

e

y2 x

xy yx

+

=

yx xy

3 (x

y) ; halle:

−

4

o

d) −2−4

e) 16−1/2

4n 2p W= m +n +1 ; 6 m 4m + p2n + 1

a) mnp

6

W=

x

e

+

m, n, p !

6

y

+

c)

b) b+c−a

d) 1/abc

e) 1

c) 2 (y+z)

6

z

=

xz

+

a) 16−1

b) 32

d) 16

e) 8

W=

4

o

e

(x + y) 4 + 3 x 2 y 2 4 x2 y 2

o

a) 11

b) 7

d) 4

e) 8

27

W

0 , halle:

yz

18. Si: xy−1=3 − x−1y, halle:

mnp

e) 2

9 3 xyz − (x + y + z) xy

+ R

−1

+

a) x/y

c) −6

19. Simplificar:

b) 1

d) m+n+p 16. Si:

c) 4−2

m–n +8 n–p +8 p–m =0

Halle:

(b +

x2 yz + xy2 z + xyz2 c − a) (c + a − b) (a + b − c) (a + b + c)

6 x ! 0, y ! 0

b) 23

8

Halle: W=

a) 16

15. Si:

c) 5

e) 25 −

x = b +c − a y=c+a−b z=a+b−c

9

Hallar el valor de: a + b + c a) 15 b) 10 d) 20

17. Si:

, 6 x, y, z ! R − " 0 ,

c) 18

=

n 1 2 −

1 + 3 (22 + 1) (2 4 + 1) (28 + 1) .. ( 2128 + 1)

1 + (2 + 1) (2

2

+

a) 0,5

b) 2

d) 0,25

e) 1

1) (2

4

+

1) (2

8

+

1) ... n factores

c) 4

20. Operar: 3

1+

2

7

3

3

a) 1 d) 2

+3

1–

2

7

3

3

b) 2 7

e) −2

c) 3 3

Capítulo 30 Tarea domiciliaria 1. Si: F(x) es un polinomio de coeficiente principal 7. Si: P(x)=Q(x), donde: positivo que verifica: P(x) = a(x+1)2+b(x−2)+2 F (F(x)) = 4x − 3

Q(x) = (x−2)(x+1)+(x+3)(x+2)

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La suma de coeficientes de F(2x−1) es 1.

a) 0

b) 1

II. F(5)=17

d) −1

e) −2

III. El término independiente de F(3x−1) es 3. a) VVV

b) FFF

d) FVF

e) FVV

c) VFF

2. Hallar el término independiente del siguiente polinomio mónico: P(x) = (a3 − 7) x 5 + ax3 + a2x + a2+1; a ∈ R a) 3

b) 2

d) 1

e) 5

c) 4

3. Calcule "n" en el siguiente polinomio: P (3 −

x ) / (2x − 9) n − 4 ( nx − 4) + n (x − 9) 9 9

Si en P(x) su término independiente más 9 veces su suma de coeficientes es cero. a) 11

b) 21

d) 5

e) 4

P (x, y) = x

y

+

5x

b−5

y + 6x y

+

10

x y

es homogéneo. a) 24

b) 23

d) 21

e) 20

c) 22

5. Si el polinomio: P(x) = 18xa−8+32xa−b+15+18xc−b+16 es completo y ordenado en forma ascendente, calcular: a+b+c a) 18

b) 32

d) 38

e) 92

c) 36

b) 2

d) 4

e) 7

b) 5

d) 1

e) 0

c) 3

c) −4

9. Si: (2x+5) 7−(x−1)7=(x2+9x+18) . P(x) + ax + b Calcular: a + b , siendo: 6 5 P(x) = aox + a1x4+a2x3+....+a5; ao ≠ 0 a)

2 (47 + 1) 3

b)

3 (47 1) + 2

d)

3 (47 − 1) 2

e)

3 (46 − 1) 2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 0

c)

2 (47 − 1) 3

3x

c) 3

11. Si: a+b+c=20 a2 + b2 + c2 = 300 Calcular: (a+b)2 + (a+c)2 + (b+c)2 a) 500

b) 600

d) 800

e) 900

c) 700

12. Sabiendo que:

)

6. Determinar la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado. P(x) = axa−4+bxa+b−5+cxc−b+3 a) 1

a) 3

10. Sabiendo que: x2 + 1 = Calcular: x3 +x–3 8 c +4

c) 2

8. Dado el polinomio: P(x) = x (ax3+bx2+cx+d) Calcular: 2a+b; sabiendo que: p(x) ≡ p (1 − x)

c) 3

4. Calcular "a+b+c" si el polinomio: a+3 2

Calcular: a . b

a

3

+

b

3

=

40 ....... (1)

a + b = 4 ............... ( 2)

Calcular: a2 +b2 a) 10

b) 12

d) 24

e) 20

c) 16

Álgebra 13. Mostrar el equivalente de: x 3 − 3x + 2; a partir de: x

=

3

9+

80

+

3

9−

80

a) 20

b) 21

d) 23

e) 24

c) 22

14. Si: 2x2 + 2y2 = (x+y)2 − (x−y)2 Calcular: ( x )10 y

a) 1024

b) 512

d) 0

e) 32

c) 1

a+ b+ c

=

=

d) 25

c) 16

e) 36

2

b +1 2

a + 1

a) 1 d) 2

2

+

b

a +1

18. Siendo "x" ∧ "y" dos números reales que verifican: x2 + y2 = 8. ¿Cuál es el máximo valor que puede asumir: x+y? c) 4 a) 2 b) 2 2 e) 2

2

+

2+ 2

3)2

2

−

2

−

a) 4

b) 5

d) 16

e) 25

3

−

6

E

c) 9

^ x + y − 2 zh3 + ^ y + z − 2 xh3 + ^ z + x − 2 yh3

2

b + 1

b) 2 2

e) 1/3

c) 1

20. Si: x+y+z=0, Calcular:

16. Si: ab=1, calcular: a

d) 1/2

; (1

13...... ( 2)

Calcular: a3 + b3 + c3 a) 4 b) 9

b) 2

19. Reducir:

4....................... (1)

(a + b) (a + c) (b + c)

a) 3

d) 4

15. Con las condiciones:

)

17. Si: x + 2yz + x − 2yz = 8yz Calcular: x + 2yz − x − 2yz

e) 1/2

xyz

c) 4

a) 9

b) 27

d) 81

e) –81

c)

–27

Capítulo 31

31

Repaso

1. Determine el conjunto: A

=

'(x

−

a) {1} d) {-1}

1) ! R / x

−

9. Indique la solución de:

1

2

+

x

−

2

3

=

b) {2} e) {-2}

x

−

4

3

+

x

−

4

5

c) {3}

=

3x ax + 1

Sabiendo que se reduce a primer grado. a) 7/5 b) 7/3 c) -3/7 d) -2/3 e) 1/7 3. Para qué valor de "m" la ecuación: (m2 – 5m + 6) x = m m–1–3m presenta infinitas soluciones a) 2 b) 3 d) –2 e) –2 o –3

c) 2 o 3

4. Calcular "n" si la ecuación: (n2–25)x = (n–3)n–1–16 es incompatible. a) 5 b) –5 c) ±5 d) –3 e) –4 5.

6.

7.

8.

2x + 2

x

2

−

1

a) 17 d) 9

=

3

2

+

x−1

b) 13 e) 21

c) 19

10. Reducir para x>0; n ∈ Z, n ≥ 2008:

2. Indicar la solución de la ecuación: x+ a x+ 1

1

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + ( x + n) (x − 1) + (x − 2) + (x − 3) + .... + ( x − n) 0, 5

2

a)

c n 2+ n m

d)

` n 2 1j +

0, 5

0, 5

2

b)

c n 2− n m

e)

` n 2− 1 j

=

n+x n−x

c)

` n2 j0, 5

0, 5

11. Se tiene dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad, el primero se consume en "a" horas y el segundo en "b" horas (a>b), si se encienden simultáneamente. ¿Dentro de cuánto tiempo la altura del mas lento será "n" veces la altura del más rápido? a)

ab (n − 1) an − b

b)

ab (n − 1) n−b

d)

an − b ab (n − 1)

e)

b (n − 1) an − b

c)

b (n − 1) n−b

12. Se tiene dos depósitos de vino de diferente calidad. El Halle el número de elementos del siguiente conjunto: primero contiene 20 l y el segundo 30 l . Si se saca de 4 4 " , cada uno la misma cantidad y se echa al primero lo B = x ! R / ( 2x − 1) 1 − x = 3 1− x que se saca del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad a) 0 b) 1 c) 2 ha pasado de un depósito a otro, si el contenido de d) 3 e) 4 los dos ha resultado de la misma calidad? b) 10 c) 11 a) 12 l Resolver: d) 13 e) 15 8 2 8 8 x−2 + x −4 − x+2 =1 13. En un autobús se observa que hay 56 personas, de e indicar el valor de: x − 1 2x − 2 las cuales 22 están sentadas. Los varones que están a) 2 b) 4 8 c) 5 8 sentados son tantos como las damas que están 3 4 paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es 2 d) e) 2 la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos Calcular "x" a partir de la igualdad: varones hay en el autobús? 3 2 2 x + 5x + 3 x + 9 x + 5x + 3 a) 40 b) 26 c) 38 = 3 2 2 x + 2x + 7 x + 9 x + 2x + 7 d) 42 e) 34 a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 14. Un cilindro de 1,80 m de altura pesa vacío 15 kg y d) 1/9 e) 5/3 lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse En la ecuación: para que su peso sea exactamente igual a su altura m n expresada en centímetros? − = 0 1 + nx 1 + mx a) 10cm b) 25 c) 12 2m Determinar: , si se sabe que es compatible d) 15 e) 27 n indeterminada. 15. Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule a) 1 b) –2 c) 2 la cantidad de agua que contiene 11 litros de leche adulterada, los cuales pesan 11,28 kg. d) 3 e) –1 b) 4 c) 3,26 a) 3 l

Álgebra 19. En un año Don Chuma gastó en comer la mitad de d) 2,25 e) 2 lo que gastó en beber y Florencio gastó en beber 16. Una señora va al mercado a comprar tomates; para la mitad de lo que gastó en comer, resultando un comprar 5 kg y le falta "a" soles, pero si hubiera gasto total entre los dos de S/.16200. Esta misma llevado "b" soles más habría comprado 2 kilos más y cantidad gastaron el año siguiente, pero Don Chuma aún le hubiera sobrado "a" soles. disminuyó en la octava parte el gasto en la bebida y ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora? Florencio lo aumentó en la mitad. ¿Cuánto gastó Don Chuma en los dos años? b) a c) b/a a) b + a 2 a) 20700 b) 21700 c) 20300 b+ a 5b − 12a d) e) d) 31700 e) 70200 3 2 17. Un padre reparte su herencia entre sus hijos de la 20. Halle el máximo valor de S. siguiente manera: al primero le da S/.A más la enésima parte del resto, al segundo le da S/.2A más la enésima 15cm parte del resto, al tercero S/.3A y la enésima parte 20cm del resto, y así sucesivamente. Al final se observa que cada hijo recibió la misma cantidad. ¿De cuánto era S la herencia? a) A(n–1)2 b) A n2 c) A(n+1)2 a) 10 cm2 b) 75 cm2 c) 50 cm2 2 2 d) A(n–2) e) A(n+2) d) 70 cm2 e) 55 cm2 18. Tres cirios de una misma calidad y diámetro con duración para 2h, 4h y 6h respectivamente, se prenden simultáneamente, repentinamente se apagó el primero observándose que lo consumido hasta ese momento por los tres era 90cm; 1,5 h después la altura de la mayor era la mitad de los consumido por los otros dos. ¿Cuál era la altura del primer y tercer cirio inicialmente? a) 24 y 72 cm b) 64 y 192 c) 88 y 264 d) 32 y 96 e) 13 y 36

Tarea domiciliaria 1. Una persona tiene "a" años y otra "b" años. ¿Dentro 4. Al resolver: 3(x–1)+a(2 3x − 2 +a)=0 de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces Se obtiene como una solución a "b". la edad de la segunda? Calcular: E=a2–2a–3b a) n b) a–b c) a–bn a) –2 b) –3 c) –4 d) a–bn/n e) (a–bn)(n–1) d) –5 e) –6 2. Hallar el valor de "a" para que la siguiente ecuación 5. Resolver: sea incompatible: 3x − 2 + 2x − 1 = 5x − 4 + 4x − 3 7 x −9 Indicando luego la naturaleza de su raíz. = 0 2 (3ax − 5) + 2 a) Primo b) Par c) Irracional a) 5/6 b) –7/12 c) 3/8 d) Impar e) Fracción d) 1/10 e) –3/11 6. Sobre la ecuación: 3. Se ha pagado una deuda de S/.265 soles con monedas de S/.5 y de S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de 5 y de 2 soles? a) 82 b) 81 c) 83 d) 84 e) 79

3 x+2

−

5x x

2

−

4

=

2 x−2

+

x x

2

Se puede afirmar que: a) Admite solución x=2 b) Admite solución x=-2 c) Es indeterminada

−

4

Capítulo 31 d) Es incompatible e) Tiene solución diferente de 2 y –2 7. Resolver: 2x − x − 4 − x + 4 = 0 e indicar la suma de sus soluciones a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) 10 8. Resolver la siguiente ecuación: 3 2x + 1

2 2x − 1

−

−

x+3 4x

a) 4 d) 10

2

−

1

=

0

b) 6 e) 12

c) 8

15. La edad años de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número N; y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos años tiene la tortuga? a) 276 b) 245 c) 120 d) 189 e) 164 16. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y cuarta vez después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego? a) 84 b) 72 c) 94 d) 96 e) 86

9. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces 17. Hallar una fracción que al agregarle su cubo, la suma el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro que resulta es igual al cubo de la misma fracción hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días multiplicada por 13/4. más, ambos habrían trabajado igual número de días. a) 2/5 b) 4/9 c) 2/3 Indique la suma de los días que trabajó cada uno. a) 40 b) 50 c) 60 d) 1/3 e) 3/4 d) 80 e) 120 18. Una librería tiene para la venta un cierto número 10. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le jardinero B en la proporción de 4 a 3 cuando B planta hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda, pero x rosas en una hora A planta x+2 rosas. ¿Cuántas antes de servir este pedido se le inutilizaron 240 libros rosas planta B en 4 horas? y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, solo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. a) 6 b) 8 c) 32 ¿Qué cantidad de libros se vendieron? d) 24 e) 12 a) 2000 b) 1760 c) 2240 11. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la d) 3000 e) 3520 de su hijo y actualmente es el triple. Halle la suma de las edades actuales. 5 5 1+x x 5 19. Resolver: 1+x + = a) 88 b) 98 c) 90 x 64 d) 30 e) 40 a) 7 b) 5 c) -2 12. Resolver: a) 17 d) f

x−1

+

3=

d) 4

3x − 2

b) 2 e) 3

c) a y b

=

3x

a) 30 d) 12

+

5−x

+

−

2x − 12

b) 17 e) x

20. Resolver en x: 6x + 2a + 3b + c 6x + 2a 3b c

13. Si: x ∈ [3; 5], calcular: A

e) 1

c) 4x–7

14. Antonio le dijo a Carlos; cuando tenías mi edad yo tenía la edad que tenía Luís y Luís tenía dos años. Si nuestras edades están en la relación de 13/7. Hallar la edad de Antonio actualmente a) 14 b) 18 c) 15 d) 13 e) 17

−

=

2x + 6a + b + 3c 2x + 6a b 3c −

a)

ac b

b)

ab c

d)

1 abc

e)

ac b

2

−

c) abc

Álgebra

32

Ecuaciones de 2do. grado

1. Hallar el mayor valor de "n"; si la ecuación: (2n+1)x2+(7n+2)x = −6n−1 tiene raíces reales e iguales a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. Si la ecuación:

9. En un rectángulo, si al lado mayor le aumentamos una longitud igual al lado menor, su área aumentaría presenta como raíces x1 ∧ x2; Hallar el valor de en 25u2. ¿Cuánto debemos aumentar al lado menor verdad de las siguientes afirmaciones: para que la relación de áreas sea de 1 a 3? I. Si: x1 = 3x2, entonces: 3b2=13ac a) 5 b) 12 c) 15 II. Si la suma de los cuadrados de sus raíces es igual d) 8 e) 10 a su producto entonces: b2=2ac. III. Si: a=b=c, entonces la ecuación no tiene raíces 10. La suma de tres números es 21, el cociente de dos reales. de ellos es 2,5; y la suma de estas dividida por el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el mayor de los a) VVF b) VFV c) FFV números? d) FVV e) VFF a) 10 b) 11 c) 12 2 Si r y s son raíces de: 3x +5x=2, hallar la suma de d) 15 e) 17 raíces de: x2 + 9 (r2+s2)x + 2r + s = 0. 11. Dada la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, los a) 27 b) −27 c) 37 coeficientes a, b y c forman una progresión aritmética, si r1 y r2 son las raíces de la ecuación y cumplen d) −37 e) 30 a+b+c=3 (r1+r2) y b+7=r1r2. Hallar "abc" 2 Si la ecuación: x +mx+m+2=0; (m ∈ Z) tiene una a) 105 b) 34/9 c) +104/9 raíz que es el doble de la otra. Hallar el número de d) 54 e) 104/9 valores enteros en el intervalo de <0; m> a) 2 b) 3 c) 4 12. Formar una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son la suma y el producto de las raíces d) 5 e) 6 respectivamente de la siguiente ecuación: 2 Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x −5x−3=0, 2x2 − 3x + 5 = 0 hallar el valor de x1 (x1−1)+x2(x2−1) a) 6x2−8x−7=0 b) 4x2−3x−15=0 a) 25 b) 26 c) 27 c) 3x2−4x+15=0 d) 3x2−4x+2=0 d) 28 e) 24 e) 4x2−16x+15=0 2 Si: 3x +(m−3)x + 5 = 0, tiene raíces simétricas y (m+1)x2+7x+n−3=0, tiene sus raíces recíprocas. 13. ¿Qué valor debe tener "m" para que las raíces de la ecuación: mx2 − (m+3)x+2m+1=0, difieran en dos Hallar "n". unidades? a) 5 b) 8 c) 7 a) −1 b) 9 c) 1 d) 10 e) 12 d) 11 e) 6 Si las ecuaciones: 14. ¿En qué tiempo harían A, B y C un trabajo juntos, si (m−1)x2 + (n+2)x + 6 = 0 A solo, puede hacerlo en 6 horas más; B solo puede 4x2 + 5x + 2 = 0 hacerlo en una hora más; y C solo en el doble de son equivalentes. Hallar: tiempo? a) 10 b) 13 c) 14 a) 1/3 horas b) 4/3 horas c) 2/5 horas d) 16 e) 20 d) 2/3 horas e) 7/5 horas ax

3.

4.

5.

6.

7.

8. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. x2+x+1=0, no tiene solución real. II. 25x2+100x+100=0, tiene solución única. III. x2+3 3 5 x + 3 25 = 0, tiene raíces reales diferentes. a) VVV b) VFV c) FFF d) VVF e) FVV

2

+

bx + c = 0; "a, b, c , 1 R / a ! 0

m.n

Capítulo 32 15. Un muchacho y una chica parten al mismo tiempo 18. En la ecuación: ax 2−(a−5)x+1=0, el producto de del mismo lugar en el mismo camino y en la misma las raíces es igual a la diferencia de las mismas. Hallar dirección. El a 6 km/h y ella a 5 km/h. Después de 3 la mayor raíz. horas, el muchacho regresa; a qué distancia del punto a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 de partida se encuentra la muchacha. d) 1/6 e) 1/5 a) 4 km b) 3 km c) 2 km 19. Determinar "m" en la ecuación: d) 5 km e) 6 km x2−(3m−2)x + (m2−1)=0 16. En un río cuya velocidad de corriente es de 3km/h, un de modo que una raíz sea el triple de la otra. botero encuentra que demora lo mismo para hacer a) 1 b) 11/14 c) −1 30 km de bajada que para recorrer 18 km río arriba d) −11/14 e) 14/11 (de subida). ¿Cuál debe ser la velocidad, en km/h, de remada en agua quieta? 20. ¿En cuánto tiempo harán Yuri, Emilio y Niltón un trabajo juntos, si Yuri sólo puede hacerlo en 5 horas a) 6 b) 9 c) 12 más, Emilio sólo en una hora más y Niltón sólo en el d) 15 e) 3 triple del tiempo? 17. Hallar el valor de "K" si las raíces de la ecuación de a) −1 b) 1 c) 5/2 segundo grado son iguales: x2+2(k+2)x + 9k=0 d) −5/2 e) 3 a) 1 b) 3 c) 4 d) a ∨ c e) 2

Tarea domiciliaria 1. Dado el siguiente conjunto unitario: P

=

" x ! R / ( 2n + 1) x2 + 6n + 1 = (− 7n − 2) x,

Determinar el mayor valor de "n". a) 4 b) 8 d) 16

e) 20

5. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 − 5x = 3, hallar el valor 2

x1

c) 12 a) 25

+

2

x2

−

b) 26

x1 − x2

c) 27

d) 28 e) 29 2. Si la ecuación: x2+ax=−b, {a; b} ⊂ R , presenta como raíces a x1 ∧ x2; hallar el valor de verdad de las 6. Si: 8x2+(7m−21)x−16=0, presenta raíces aditivas siguientes afirmaciones: y (m+1)x2+6x+n−5=0 presenta raíces recíprocas. 2 − 13b = 0 I. Si: x1 = 3x2 3a Hallar "n". II. Si la suma de los cuadrados de sus raíces es igual a) 5 b) 7 c) 9 al producto de las mismas entonces a2=2b. d) 11 e) 12 III. Si: a=b=1 entonces la ecuación no tiene raíces reales. 7. Si las ecuaciones: a) VVF b) VFV c) FFV (m−5)x2+(p+3)x+18=0 d) FVV e) VFF 4x2+3x+9=0 Son equivalentes. 3. Si m y n son raíces de: 3(1−x2)=5x+1, hallar la Hallar: m × p suma de raíces de: x 2+9 (m2+n2) x + 2m + n = 0 a) 35 b) 37 c) 39 a) 27 b) −27 c) 37 d) 41 e) 43 d) −37 e) 30 8. Indicar verdadero (V) o falso (F): 4. Si el conjunto: {a; b} está formado por todas las I. x2+x+5=0 no tiene solución real 2 soluciones de la ecuación: x +cx+c+2=0 (c ∈ Z) tal II. 15x2−90x+135=0 tiene solución única que: a − 2b = 0. Hallar el número de valore enteros III. x2 + 3 3 5 x + 3 25 = 0 tiene raíces diferentes y en el intervalo de <0; c> reales. a) 2 b) 3 c) 4 a) VVV b) VFV c) FFF d) 5 e) 6 d) VVF e) FVV

Álgebra 9. Las dos soluciones de: x2−3x−10=0, son también soluciones de una ecuación bicuadrada de coeficiente principal 3. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio de dicha ecuación bicuadrada. a) 72

b) 116

d) 216

e) 224

c) 174

10. Hallar la suma de las raíces complejas de la ecuación: 3x

2

+

3

x

a) 2/5 d) 1/3

+

2x x

2

+

b) 3/2 e) 2/3

1

=

7

c) 1/3

15. Si Pedro le regala S/.2 a su hermano Juan, Pedro queda con el doble de lo que reúne Juan; ahora, si Pedro gasta S/.3, queda con el triple de lo que tiene Juan. ¿Cuántos soles tiene Pedro inicialmente? a) 18

b) 16

d) 8

e) 6

c) 12

16. En una semana un establecimiento vendió 40 manteles, los blancos costaban S/.4,95, y los estampados S/.7,95. En total las ventas fueron de S/.282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron? a) 10 y 30

b) 20 y 20

d) 15 y 25

e) 16 y 24

c) 12 y 28

11. Dos números naturales consecutivos son tales que su 2 2 suma y producto son también números consecutivos. 17. Halle el valor de: (x − y ) en: x+ y= 5 Hallar el cuadrado de la suma del menor con el duplo del mayor. xy = 3 a) 49 b) 16 c) 25 a) 8 3 b) 10 5 c) 5 13 d) 64 e) 81 d) 13 7 e) 2 2 12. Del producto de dos números enteros positivos 18. Las suma de tres números es 5, el primero menos consecutivos se resta la suma de los mismos y se el segundo más el tercero es 1. El primero menos el obtiene 71. El número mayor es: tercero es 3 más que el segundo. Calcular los números. a) 10 b) 8 c) 7 a) 4; 2 y −1 b) −5; 2 y 8 c) 3, 7 y −5 d) 6 e) 9 d) 1; 7 y −2 e) 0, 2 y 3

)

13. Un padre tiene "x" años y su hijo "y" años. Dentro de cuántos años tendrá el padre el triple de la edad de su hijo. a) x+3y d)

b) x−3y

c)

x + 2y 2

e) x+2y

x − 3y 2

14. Al resolver el sistema:

)

3x + 4y α

x+y

=

3

Se obtiene y=3x. Hallar " a" a) −2 b) 1 d) 4 e) 7

)

xy = 6 x2 y + xy2 + x + y = 63

Calcule el valor de x2o + y2o a) 47 b) 51 d) 63 e) 69

c) 55

20. Luego de resolver:

3α − 6

= α+

19. El par de números reales (xo; yo) es una solución del sistema:

c) 3

*

2 x y

+

−

( x

y +

−

1

=

1) 2 = 1

7 , calcular el valor de "y"

a) 4

b) 25

d) 81

e) 100

c) 49

Capítulo 33

33

Sistema de ecuaciones

1. Respecto al sistema lineal:

)

ax + ( a + 1) y = 2

(a + 2) x + (a + 3) y = 4

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. p : ∀ a ∈ R ; x+y=1 q : ∀ a ∈ R ; la solución es única. r : Si: a=2008 (2007; −2008) es solución. a) VVV b) VVF c) FVV d) FVF e) FFF 2. Dado el sistema lineal:

)

3mx + 6y

6. Indique para qué valor negativo del parámetro l el sistema lineal: Z lx + y + z = l ] [ x + ly + z = 1 ] x + y + lz = 1 \

tiene infinitas soluciones. a) 0 b) −1 d) −2 e) −3

5

2x + my = 1

Halle los valores de "m" para los cuales el sistema tiene solución única que pertenece al conjunto A. A = {(x; y) ∈ R 2 / y ≤ x – 1} a) [5/3;2> b) <−2; 2> c) <−1; 0> d) <−2; 3> e) <3; 4> 3. Si el sistema lineal: (2n − 1) x + ny = 6 15 x + 4y = 3 2

*

Presenta infinitas soluciones, calcule el valor del parámetro "n". a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 1 4. Si el sistema lineal:

)

2x − my = 1 x+y

=

; m!Z

m

tiene C.S. = {(a; b) / b < 0}, calcule la suma de valores de "m" a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2 5. Dado el sistema lineal: Z ]x + y + z = 4 [ 2x − 3y + 5 z = 7 ] 6x + y + 9z = 21 \

entonces, indique lo correcto. a) Tiene infinitas soluciones b) No tiene solución c) Tiene solución única d) (2; −1; 0) es una solución e) (−1; 0; 3) es una solución

− 2

7. En la figura adjunta se muestran las gráficas de 3 rectas. y

2

=

c)

d b 1

Q

3 P

-4 a c7 Calcule el valor de (19a+2d) a) 59 b) 60 d) 62 e) 63

12

x c) 61

8. Dado el sistema de ecuaciones no lineal:

)

x2 + xy + y 2 = 12 x

−

y

=

6

calcule el mayor valor de: x+y a) 0 b) 1 d) −2 e) −1 9. Dado el sistema:

)

c) 2

x2 + 4y2 = 25 x + 2y

=

7

Si: 2y>x, entonces el valor de x/y, es: a) 1 b) 2 c) 3/2 d) 8/3 e) 3 10. Si: xy 5x + 4y

=

6;

xz 3x + 2z

Determine el valor de: a) 5 d) 12,5

=

E

yz

8; =

b) 7,5 e) 25

3y + 5z y x z

=

6

−

c) 10

Álgebra 11. Dado el sistema de ecuaciones:

15. ¿Para qué valor de "n" el siguiente sistema tiene solución única:

4 5 5 − =− x + y − 1 2x − y + 3 2 3 1 7 = − + x+y−1 2x − y + 3 5

El valor de "x+y" es igual a: a) –1 b) 0 d) 2 e) 3

)

(n + 2) x + (1 − n) y

c) 1

12. Dado el sistema lineal de incógnita x e y. Z x y ]] − 2 = 1 − a2 ab b [ ] x + y = a + ab2 \b a

d)

x + y + 2 − 2x − 3y − 7 = − 3 x + y + 2 + 3 2x − 3y − 7 = 14

Se obtiene que el valor de (x+y) es: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 14. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales: Z x + 2x + x = 2 3 ] 1 [ 3x3 + 6x2 + 3x1 = ] 3x x 3 \ 1 3

−

−

c)

<−

e)

<

1 ;+3 2

1; 3 + 2

d)

>

<−

1 ; 3 + 4

>

>

16. Si el sistema lineal: =

5

4ax + 3ay = b

es indeterminado, calcule un valor de ab. a) 25 b) −12 c) 10 d) 36 e) 45

)

23

−

R

17. Indique para qué conjunto de valores de "n" el sistema lineal:

13. Resolver el sistema siguiente: 3

b) f

a)

) e) −b

ab

5

nx + ( n + 1) y = 3

(a2 − 5) x + ay

Si se sabe que: ab<0, calcule el valor de y a) (ab)2 b) ab c) −ab

=

2 6

=

e indique el resultado de: x 1+x2+x3 a) 3/2 b) 9/2 c) 7/2 d) 10 e) 15/2

x + ny = 3 nx − 3ny = 2n + 3

es inconsistente a) {−3} b) {−3; 1; 0} c) {3; −1; 0} d) {0; −3} e) {0} 18. ¿Para qué valores del parámetro "m" el sistema lineal adjunto tiene soluciones de componentes no negativas: Z ]x + y + z = 5 [ 2x + y − z = 3 ]x − y + z = m \

a) −9 ≤ m ≤ 0 c) 0 ≤ m ≤ 5 e) 0 ≤ m ≤ 9

b) −3 ≤ m ≤ 5 d) 5 ≤ m ≤ 9

Tarea domiciliaria 1. Halle (y−x) en:

)

3x − 2y

2

=−

5x + 8y = − 60

a) −4 d) −1 2. Resolver:

b) −5 e) 2

)

3

x−y+1 x+y+4

Calcular "x". a) 16 d) 19 3. Resolver:

)

=

−

y

= =

5. Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3. a) 15 y 45 b) 20 y 40 c) 25 y 35 d) 17 y 43 e) 24 y 36

3

4

b) 17 e) 20

x+ y x

=

c) 1

c) 18

−

a

Hallar: y − ax

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

6. Resuelva: Z

]] a − x + b − y = a x y ; Hallar: "y". [ a+y b + x ] + = b x y \

1+ a

1

4. La base de un rectángulo es 6cm mayor que su altura. el perímetro es 32 cm. Encuentre las dimensiones. a) 5 y 11 b) 4 y 12 c) 3 y 13 d) 2 y 14 e) 1 y 15

c) 2

a) 2−b d)

a−b 2

b) b−a e)

b−a 2

c)

a+b 2

Capítulo 33 7. La razón entre los ángulos de un triángulo es 2, 4 y 6 14. Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del el triángulo es: ancho, está encerrado por "x" metros de cerca para protegerlo. El área en términos de "x" es: a) Isósceles no rectángulo 2 2 b) 2x2 b) Rectángulo no isósceles a) x c) 2x 2 9 c) Rectángulo isósceles 2 2 x d) x e) 72 d) Isósceles 18 15. Halle "x . y" en el sistema: e) Equilátero

)

8. Resolver:

Z1 2 7 ]x+ y = 6 [2 1 4 ] + = \x y 3

a) 2 d) −1

b) 3 e) −2

c) 1

9. Determinar el valor de "a" en el sistema: (3a + 1) x + 2y

=

(a + 1) x + y

28

=

25

Para que tenga solución única a) R − " 1 , b) R − " − 1 , d)

R −

e)

"2,

R −

)

=

c)

R

" −1,

=

d) 3

c) −2

e) −2 o 3

11. Si el sistema:

*

16. El último día del año "x" un tío y su sobrino cumplen 30 y 5 años respectivamente. ¿En qué año la edad del sobrino será el 50% de la edad del tío? a) x+20 b) x+15 c) x+10 d) x+5 e) x+8

)

x+y

+

2

2

x

−

y

x−y =

=

5

6

a) 48,5 d) 45

K−4

no tiene solución, calcular "K". a) 5 b) 2

c) 3/5

se tendrá que: x 2+y2 es igual a:

4

3x + (K − 1) y

b) 1/2 e) 7/5

17. Siendo "x" e "y" números positivos, con "x" mayor que "y" que satisfacen el sistema:

10. Sabiendo que el sistema: Kx + 2y

x2 y + xy 2 = 1

a) 2/3 d) 4/3

Hallar: "x−y"

)

x3 + y3 = 5

x+ y= m 2 3x + ny = 6

Presenta más de una solución. Hallar: "m . n" a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 12. Juan y Abel tienen juntos S/.450, además la cuarta parte de lo que tiene Juan equivale a la quinta parte de lo de Abel. ¿Cuánto tiene cada uno? a) 100 y 350 b) 220 y 230 c) 200 y 250 d) 300 y 150 e) 180 y 270 13. Hallar la suma de dos números tales que dividiendo el mayor por el menor cociente sea 7 y el resto 4, y que la división del triple del mayor por el doble del menor el cociente sea 11 y el resto 4. a) 62 b) 64 c) 66 d) 68 e) 70

b) 42 e) 45,5

c) 40,5

18. Halle el valor de "x+2" en el sistema: Z2 1 ]x+ y =3 ]] 4 6 [ y + z = 10 ] ]3 2 1 \x z −

=

a) 3 d) 4

b) 2 e) 5

c) 1

19. La suma de tres números es 100. El tercero es 15 menos que cinco veces el segundo. Dos veces el primero es 10 más trece veces el segundo. Calcular los números. a) 213,32 y −145

b) 10, 50 y 40

c) −120, 80 y 140

d) 70, 60 y −30

e) 150, 60 y −110 20. Determine "x.y" al resolver el sistema:

)

8y − 2 x + 1 = 24 y2 + 22x = y (2 x + 1)

a) 2 d) 8

b) log 2 e) 16

c) 2 log 2

Álgebra

34

Inecuaciones - Valor absoluto

1. Si: a, b son reales; se definen las operaciones: a ∗ b = b − a y a # b = 2a + b. Indique el mayor valor entero que verifica: [(x+3)∗(x+2)]∗(x+6) ≥ x # (x+2) a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 2. Si: x ∈ <–2; 3]. Indique el número de valores enteros que asume: x3 + 7 + x (x + 1) 3

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

3. Dada la función "f", definida por: 2

F (x) = x m

+

nx + 1

Calcular el mayor valor entero que asume "n". (m > 0). Si: F (x) > m (n2 + n ) ; 6 x ! R n

a) 0 d) −3

m

b) −1 e) 4

c) 2

(a + m) x − am − x2 x (x − a − n) + an

,

es [p; q> − { a }; y 0 < m < a < n. Calcular: (p+n)2 − 2 mq

a) m+n d) m−n

c) m2+n2

b) mn e) m/n

9. Si: 0 0 a) <0; 2> b) <0; 1> c) <1; 2> d) <0; 2> − {1} e) f

4. Si el dominio de la función: f (x) =

8. La suma de las raíces de la ecuación: 2 |x – 3|2 + |7x – 21| – 15 = 0 es: a) 11/2 b) 6 c) 7 d) 9/2 e) 5

12. Dado el sistema:

)

ax + 2y 5x

5. De las afirmaciones siguientes, indique la correcta: |4x – 13| > 21 I. Si: x∈<–2;5> II. Si: x2 − 4x + 4 < 7 x<9 |x – 1| + |x – 5| = 4 III. Si: |x – 3| < 2 a) I b) I y III c) III d) I y II e) Todas

a)

6. Sabiendo que: {m; n} ⊂ N. Indique la suma de soluciones de la ecuación:

e)

nx − m

+1 +

nx − m

a) m/n d) 2m/n

+2 +

nx − m

+3 +

b) 2n/m e) mn

..... +

nx − m

+

m

=

m

2

+

7m

2

c) n/m

7. Luego de resolver: |2x−3| ≤ |x+4| + |x−7| Señale la suma de los valores enteros no negativos que la verifican. a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

−

ay

= =

7

2

Calcular los valores de "a" a fin de que el sistema tenga soluciones positivas: a < − 4; + 3 7

b)

>

c) 6 a < − 3; 35 > 2

a < − 3; − 4 7

>

,<

a < − 4 ; 35 7 2

d) a ∈ f 35 ; + 3 > 2

13. Resolver: 1 x−1

+

x−1 $2

a) [–1; +∞>

b) <–∞; 1>

c) {1}

d) <−1;1>

e) <1;+∞>

>

Capítulo 34 14. Juan le dice a Luis: "Si al quíntuplo de lo que tengo 18. Si: le restamos el triple de lo que tú tienes, quedarían A = {x ∈ R / |x – 3|2 – 3|x – 3| – 18 > 0} más de dos soles; y si al doble de lo que tengo le A = {x ∈ R / 1 ∈ 8 1 ; 2B} aumentamos lo que tú tienes, no llegamos a reunir ni 12 2x + 8 once soles". ¿Cuánto tiene Juan, si Luís tiene más de C∩ C Entonces A B , es: tres soles? a) 1 b) 2 c) 3 a) f b) [2; 9] c) <2; 9> d) 4 e) 5 d) [2; 9> e) <2; 9] 15. Indicar el mínimo valor que toma: 19. La suma de dos lados de un triángulo es igual a 4 M= ; si: x >0 120m. ¿Cuánto deben medir dichos lados para que x 3+ el área del triángulo sea máxima? 1 + x (x + 1) a) 3/5 b) 6/5 c) 9/5 a) 50; 70 b) 60; 60 c) 80; 40 d) 1/5 e) 1 d) 100; 20 e) 90; 30 16. Luego de resolver la inecuación: (m>0) ||2x2−14x+24|+m|x2+3||<||3x2−27x+54|+mx2+3m| 20. Halle la suma de las raíces de la ecuación: 5 x +x Indicar la suma de valores enteros que no la verifican: = 0 2 5 4 x x + + a) 30 b) 33 c) 36 a) 2 b) 1 d) 40 e) 43 c) 0 d) –1 17. Dado el sistema: 3 x + x−2 #6 e) –2

)

x

2

−x $m

Calcular el valor de "m" si el conjunto solución del sistema posee 2 elementos a) −1 b) 2 c) −2 d) 1 e) 0

Tarea domiciliaria 1. (UNMSM 2006 − I) Halle la suma de los números naturales, tales que su cuadrado es menor que su séxtuplo disminuido en cinco. a) 7 b) 10 c) 11 d) 9

e) 8

2. Obtener el intervalo al cual pertenece: x3 + 6x2 + 12x + 13 Si se sabe que: x ∈ <–3; 0> a) <3; 13> b) <0; 8> c) <4; 13> d) <−∞; +∞> e)

es [m, n] − {p}

Calcular: m+n+p

R

2

−

b) VVV e) FVV

c) FVF

6. Resolver la ecuación: ||x| + 5| + ||x| + a| = a+7 Si: a > 0 a) { } b) {±1} c) {0} d) {1} e) {−1}

∀ x ∈ R

x

c) 7

5. Indique la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes: |x − 5| + |x − 7| = 2 I. 5 III. x > 0 x + 1 ≥ 2 a) VFF d) VVF

+

4. Si el dominio de la función: F (x) =

b) 6 e) 9

x

R 0

3. Sea la función: f(x)=(m−2)x2 + mx + 1 Calcular "m" para que: f(x) ≥ 0, a) [2; +∞> b) <–∞; 2] d) f c) R +

a) 5 d) 8

5x + 6

7x − x

2

−

12

7. Resolver: |3x−5| ≤ |2x+3| + |x−8| Indique el conjunto solución. b) <−∞; 8] a) [ − 3 ; 8 ] c) [ − 3 ; 3 > 2 2 e) f d) R

Álgebra 8. Hallar la suma de los dos mayores valores enteros 15. Si: a (x−a)2 + a2 2x – 5 < 2x a) <−∞; a+b> b) x−3 c) <−∞; c−b> d) a) 4 b) 5 c) 6 e) d) 3 e) 7 9. Hallar el conjunto solución de m, para que se cumpla 16. Luego de resolver la inecuación: la inecuación en "x", mx 2+(m+2)x+6>2m; ∀x∈R , |x2+5| + 2x > |x 2−x+1| + 7 m>0. Indique como respuesta el cuadrado del menor valor entero que la comprueba. c) <2; +∞> a) < 4 ; 9> b) < 2 ; 2> 9 a) 2 b) 4 c) 9 9 d) <1; 4> e) < 1 ; 4> d) 16 e) 25 9 10. Al resolver la inecuación: 6 5 x −1 x −2 $ ; hallar el conjunto solución. 4 4 x

+

1

x

+

17. A partir de: a (x−b) > 0 b (x − a) < 0

2

a) [−1; +∞>

b) <−1;+∞ >

d) <1; +∞>

e) [0; ∞>

c) [1;+∞ >

11. Resolver: (x2−4)(1−x)(x2+x+1)27(x2−5x−6) > 0 Indique la suma de los enteros no negativos que la verifiquen a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 12. Calcular "m" de forma tal que la inecuación: (2x+3)(x+m) ≥ x(x+3) se verifica: ∀ x ∈ R a) [0; 3] b) [0; +∞> c) <−∞; 3] e) f d) R x+1 x # 2−x x+3

Se obtuvo como solución: <− ∞,a> ∪

c) −6

x−9 x−2

#

13 x−2

a) 247 d) 250

b) 273 e) 243

c) 253

19. Si "S" es el conjunto solución de la inecuación: (x

−

2 2) (1 − x )

(x + 1)

2− x

$

0,

c) S ⊂ [1; 2>

d) S ⊂ [2; 3>

e) S ⊂ [–2; 1> 20. Hallar el complemento del conjunto solución de: x2 + 3 |x – 3| + 5 ≥ 6x a) <1; 3] b) [2; 4] c) [2; 4>

14. Resolver el sistema en Z : Z ] x + 7 > 49 [ x − y < 10 ] x + 2y < 112 \

Señale el valor de "x". a) 34 b) 38 d) 43 e) 83

18. Hallar la suma de los valores enteros que satisfacen la inecuación:

Entonces se puede afirmar que: a) [1; 2] ⊂ S b) [–1; 1] ⊂ S

13. Al resolver:

Calcular: ab+a+b a) −1 b) −5 d) −7 e) −8

con a < b < 0 se puede afirmar: a) abx > 0 b) (x−a)(x−b) > 0 c) x2 = 0 d) a < x < b e) x+a+b > 0

d) <2; 4> c) 42

e) <–1; 1>

Capítulo 35

35

Funciones

1. Hallar: a2–b2, para que el conjunto "A" sea una función: A = {(2; 4); (1; 3); (2; a+b); (1; a–b)} a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 7 2. Sea la función F: F = {(2; 3); (3; 4); (1; 5); (5; 7)} Calcular: J = F(F(1)) + F(F(2)) + F(1) + F(2) a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

IV. El mínimo valor que toma el dominio de F (x) = x + 2 es igual a –2. V. Una recta horizontal, puede intersectar a una función en más de un punto. a) VVVVV d) FVVVV

b) VVVVF e) VFVVV

c) VVFVV

7. Calcular el rango en: F(x) = 3 – 5x, x ∈ [–2; 3] a) [10; 15] d) [–12; 13]

b) [–11; 13] e) [12; 13]

c) [–12; 14]

3. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función? a) b) 8. Sea la función polinomial: y y f(x) = mx7 + 5x4 + nx – 3 sabiendo que f(–1)=6; calcule: f(1) a) –3 b) 0 c) –4 d) –3 e) –2 x x c) d) 9. UNMSM 2008 y y Dado: A = {x ∈ Z / |x| < 4}, sean "f" y "g" funciones de A en R definidas por: f(x) = x2 – 3 y g (x) = 1 − x + 1. Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de "g". x x a) {0;–2;–3} b) {–3;–2;–1} c) {1; 2; 3} e) d) {–3;–2;1} e) {–1; 0; 1} y

x 4. Calcular el dominio de: f(x) = 4 − x2 ; y dar como respuesta el número de valores enteros de dicho dominio. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5. Calcular la suma de valores enteros del dominio de "f": f(x) = 4 x + 5 − 4 8 − x a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

10. UNMSM 2002 Dada la función: f(x) = |a |x –b| + b |x–a||; en donde: a > b > 0. Calcular: f ( a + b ) 2

a) 2 a2 – b2 c) (b2 – a2) /2 e) 2 b2 – a2

b) (a2 + b2) / 2 d) (a2 – b2) / 2

11. UNMSM 2007 - II Halle el rango de: f(x) = 4 − a) [0; 3] b) <1; 3> d) [1; 3] e) [1; 3>

x

+

1

c) <2; 3]

6. Indicar verdadero (V) o falso (F): 12. UNMSM 2009 - I I. El dominio de F(x)=x+5 es el conjunto de los Halle el área de la región limitada por las gráficas de reales. las funciones: f(x) = |2x| y g(x) = x2 +5 2 II. El rango de F(x)=(x–3) +1 es un conjunto de a) 20 u2 b) 40 u2 c) 38 u2 números positivos. 3 3 3 III. El punto (0; 0) representa una función. d) 32 u2 e) 16 u2 3

3

Álgebra 13. UNMSM 2010 - I Halle el rango de la función: f(x) =–x2 + 2x, sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) <–∞; 1> b) <–∞; 1] c) <–∞; 0] d) [0; +∞> e) <–∞; ∞> 14. UNMSM 2010-II Sea f(x) una función, cuyo gráfico es una recta si f(4)=7 y f(3)=1. Determine f(–2) a) 30 b) –26 c) –29 d) 12 e) –15

17. Hallar el mínimo valor que puede tomar la función: g:R R: g(x) = x2 – 2x – 12 a) 14 b) –11 c) –13 d) 1 e) –1 18. Si: g(x) = 4x 2–4x+5. Hallar el valor mínimo de g. a) 1 b) –4 c) 4 d) –1 e) –23 19. Si: f(x) =–x2+10x–21. Hallar el valor máximo de f. a) 25 d) –21

b) –4 e) 21

c) 4

15. Si la gráfica de la función: f(x)=2x 2+x+m, pasa por el punto (3; 26). Halle la ordenada de abscisa 2 que 20. Hallar el área de la región formada por la función: pertenece a f(x). g:R R; g(x)= –2x+3, con sus ejes coordenados. 2 a) 12 b) 18 c) 15 a) 3 u b) 6 c) 1/9 d) 24 e) 5 d) 9 e) 9/4 16. Hallar uno de los puntos de intersección de las gráficas de: f(x) = x2 – 5x + 6; g(x) = x+1 a) (2; 1) d) (6; 2)

b) (5; 6) e) (1; 5)

c) (5; 1)

Tarea domiciliaria 1. Hallar el área del triángulo que resulta de intersectar la función identidad con la función constante: y=4 y el eje "y"? 2

a) 4u

b) 8

d)

e)

2

y 2/3

c) 6 –2

3

2. Halle el rango de la función: h(x) = a) [–1; 1] d) R –{–1; 1}

e)

b) <–2; 2> e) <–1; 1>

1+x

−

x

1−x

4. Graficar: R = {(x; y) ∈ R 2 / y ≥ x2 – 2x + 1} a) b) y y

c) <0; 1]

3. Graficar la relación: R = {(x; y) ∈ R 2 / y ≥ 3x – 2} a) b) y y 2

2/3

x

–2 c)

–2 d)

y 2/3 –2

x

1 c)

d)

y

x x

y –2

1 x

–2/3

e)

x

x

y 1

x

y

1

x

Capítulo 35 5. Graficar la relación: R = (x; y) ∈ R 2 / x2 + y2 ≤ 9 ∧ y ≤ |x|} a) b) y y

e)

y x

x

x

9. Sea la función: f(x)=5x–4x2, indicar: Dom(f)∩Ran(f) c)

d)

y

a) [0; 1] d) [1; 3/2]

y

x

x

b) [–1; 3/2] e) <–∞;

a) 1 d) 3

y x

]

10. Sea G una función constante, tal que: G (5) + G (− 1) G (4) − 8

e)

25 16

c) [3/2; 5/2]

=

6 , calcular G(x).

b) 2 e) 12

c) –2

11. Dada f(x)=x2+6 y g(x)=5x. Calcular una de las raíces de f(x)=|g(x)|

a) 4 b) –2 c) 0 6. Indicar (V) o falso (F): d) –4 e) 6 I. El dominio de F(x)=3x+b, es el conjunto de los números reales. 12. Dada la función: F(x)=ax2+b, cuya gráfica se muestra y II. G(x)=x2; x ∈ [2; 5] y f={(4; 16); (5; 7)} presentan un punto común en sus gráficos. 2 III. El rango de f(x)=(x–2)2–4, es un conjunto de nú1 meros positivos. –3 c x a) VVV b) VFF c) VFV d) VVF 7.

e) FVF

A partir de: f={(x;y)∈R2 /y=–|x|+2} se puede afirmar: I. Su mínimo valor es –2. II. Su máximo valor es 2. III. Su dominio está dado por el conjunto de los números reales. a) solo I d) I y III

b) I y II e) todas

8. Graficar: G(x)= |x–5| – 3 a) y

c) II y III

–2 Calcular:

b ac

a) 6 d) 3

b) 3 e) 1

3

13. Graficar: R = {(x; y) ∈ R / y ≥ 4} a) b) y

b)

c)

x x

5 d)

y

x

c)

–4 d)

y

y

y 4

x –3

y

y

x 5

3

4

3 –3

c) –

2

x

x

4

x

Álgebra e)

16. Sean: f(x)=mx2+mx+5 y g(x)=x 2–mx–m, las reglas de las dos funciones que se intersectan en un solo punto. Hallar "m".

y x

a) 5/4 d) 2/5

–4

14. Hallar el valor mínimo de: f(x) = x2 – 2x – 3; x ∈ <–14; 4> a) 4 b) –3 d) –1 e) –5

a) 10 u2 d) 13 u2

c) –4

x y=–x b) 15 u2 e) 16 u2

c) 4/5

17. Hallar el área de la región limitada por: f(x)=|x| – 6 y g(x) =6 – |x| a) 49 u2 b) 72 u2 c) 25 u2 d) 18 u2 e) 24 u2

15. Hallar el área de la región sombreada: y

x=–4

b) 3/4 e) 1/2

c) 8 u2

Capítulo 36

36

Logaritmos - progresiones

1. Si: log x = -2/3; calcule el valor de: Log3 (10x2) - colog x a) -8/27 b) 21/13 c) -2/3 d) -19/27 e) 7/9

d) <0;1/3>

9. Si: Log5(Log3(x-5)) < Log52 ∧ log1/3(y+5)
2. Si xo es la solución de la ecuación:

`

Logx

Ln x Ln x

1 +1 −

Log x

j

1 = Ln ( ) e

Calcule el valor de Ln xo. a) 11 b) 1/9 d) 1/11 e) 10/9

yLn x = e9 .......... (2)

Calcule el valor de: Ln ` x + y j 2

b) 3 e) 1/e

c) 6

4. Resuelva: Log2 (3 Log 25) =

Log3 (Log 5) Log3 2

c) 3/4

5. Indique la solución de la ecuación: x2 + 1 = Log x+12-2x a) 2

b) 1/2 2 2

d)

+1

c)

2 -1

e) 3/2

6. Calcule el valor de x1x2 , si x1 y x2 son las soluciones de la siguiente ecuación: Ln xLn x + 4 = e Ln x2 3

2

a) e d) 4

e

b) e e) e2e

c) 1

7. Si las raíces de la ecuación cuadrática en "x": x2 Log (2n–5) + 2x + Log n10 = 0; son reales, entonces la variación de "n" es: a) < 2; 5 c) < 2; 3 b) < 5 ; 3 > d)

@ < 5 ; 5@ 2

e)

2 < 1; 3

@

@

8. Resuelva la inecuación: Log1/2x > Log1/3x a) <0; 1>

b) <0;1/2>

3; 25 2

>

b)

<

0; 7 2

d)

<−

3; 13 2

>

e)

< 13 ;16 2

c)

>

<

13 ; 16 2

>

@

−

−

11. En la P.A. ÷3 .... 30 .... p, el número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a los comprendidos entre 30 y p; si además la suma de todos los términos es 570. Hallar la razón. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Log5 ( 1 + 3) x +5

E indique el valor de x-1 a) 1 b) Log32 d) 16 e) Log23–2

<−

+

Ln (xy) = 6 ....... ( 1)

a) 2 d) e

a)

10. Si: 3Log x x 1 + 16 = 4 (3Logx + 3x 1) ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos? I. Posee 3 raíces II. Una de sus raíces es: 10Log3 4 III. La menor de sus raíces es: Log312 a) I, II y III b) II y III c) solo III d) solo II e) solo I

c) 11/9

3. Dado el sistema de ecuaciones:

)

e) <1;+ 3 >

c) <0;+ 3 >

12. Si los términos de lugares p, q, r de una P.A. son a, b, c respectivamente, calcular el valor de la expresión: (q – r)a + (r – p) b + (p – q) c a) q b) r c) p d) 0 e) abc 13. Sobre el radio de una semicircunferencia describimos otra circunferencia, sobre el radio de esta nueva circunferencia describimos otra nueva circunferencia y así sucesivamente. Hallar la suma de las longitudes de todas las semicircunferencias siendo el radio de la primera "r". a) pr a) pr/2 b) 2 pr a) pr/4 a) pr/8 14. Calcular el número de términos de una P.G. de razón 2, siendo 189 la suma de ellos y la suma de sus cuadrados 12285. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. Una persona tiene que pagar una deuda de S/.3600 nuevos soles en 40 pagos anuales que forman una P.A. cuando ya había pagado 30 de las anualidades convenidas, fallece dejando una tercera parte de la

Álgebra deuda sin pagar, entonces ¿El importe del primer pago es? a) 83 b) 77 c) 56 d) 55 e) 51 16. Calcular el valor límite de: 1 7

+ 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ..... 7

2

7

3

7

4

a) 1/8 d) 1/16

5

6

7

7

b) 3/32 e) 3/16

c) 1/32

17. En una P.G. de términos positivos la suma de los términos 2do, 3ero y 4to es 78, además el producto del 1ero y 3ero es 36. Halle el cuarto término de la P.G. a) 52 b) 53 c) 54 d) 57 e) 58

19. Sea la sucesión geométrica: S : '' 1: 1 : 22 : 1 : 1 m

n

+4

8

16

Calcule el valor de (m+n) a) 2 b) 4 d) 8 e) 5

c) 7

20. De una P.G. con el primer término y distinto de cero y q ≠ 0 y una sucesión aritmética con el primer término igual a cero, se suman los términos correspondientes de las dos sucesiones y se obtiene una nueva sucesión: 1, 1, 2, ..... entonces la suma de los diez primeros términos de la nueva sucesión es: a) 435 b) 531 c) 654 d) 124 e) 978

18. Una persona caminó 1 Km el primer día, 3 km el segundo día, 5 km el siguiente día y así sucesivamente. Después de tres días, parte otra persona y recorre 12 km el primer día, 13 km el segundo, 14 el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos días tardará la primera persona en alcanzar a la segunda persona? a) 12 b) 14 c) 13 d) 18 e) 21

Tarea domiciliaria 1. Si: a = Log23 b=Log35. Halle Log512 a)

1+a ab

d)

1+ b 2ab Log(2 − x) 2

b)

2+b 2ab

e)

a+b 2+b

c)

2+ a ab

2 + Log (Log x ) =3 2. Si: (2 − x) 4 2 Entonces el valor de: (x+5) 2, es: a) 81 b) 25 c) 100 d) 1 e) 9 2

3. Si: 3x 2x a) Log35 −

=

5

, calcule el valor de "x". b) Log3 15 + 1

c)

Log 3 5

+

1

e)

Log 5 3

+

1

d)

Log3 15

4. Si xo es la solución de la ecuación logarítmica: Log2 (3x + 2) − Log 2 2x − 1 = Ln e , Calcule el valor de a) 1/4 d) –1

Log x

3 o

b) 1/3 e) –1/4

4

c) 1

5. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: Log x (x + 4) (2x − 1)

=

Log x (x + 4) (2x − 1) 2

a)

8− 4; 12 B

b)

<−

c)

<

d)

<−

e)

<

3: − 4 @ , 62; + 3

1; + 3

"1 ,

>

3; − 4

1; + 3 2

> −

@

,<

> −

1; + 3 2

> −

"1,

"1,

6. Si: Log 2 = 0,30103..., calcule la cantidad de cifras del número "N". N = 230 x 1020 a) 31 b) 32 c) 28 d) 29 e) 30 7. Si Log a y Log b son las soluciones de la ecuación: x2 – 4x + 2 = 0, determine el valor de: Log2 a2 + Log2b2 a) 12 b) 36 c) 48 d) 8 e) 24 8. Al resolver la inecuación: Log2/5(3x-2) > -2; se obtuvo como conjunto solución . Halle el valor de: a+b a) 13/12 b) 15/13 c) 41/12 d) 8 e) 25

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