Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.
Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.
Martínez R., Héctor Jairo Álgebra lineal / Héctor Jairo Martínez R., Ana María Sanabria R.-- Santiago de Cali : Programa Editorial Universidad del Valle, 2014. 404 p. ; 24 cm.-- (Institucional) Incluye bibliografía e índice alfabético 1.Álgebras lineales 2. Ecuaciones lineales 3.Espacios Vectoriales I. Sanabria R., Ana María I.Tít. II. Serie. 512.5 cd 21 ed. A1434465 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Universidad del Valle Programa Editorial
Título: Álgebra lineal Autor: Héctor Jairo Martínez R. & Ana María Sanabria R. ISBN: 978-958-765-094-5 Colección: Ciencias Naturales y Exactas Primera edición
Rector de la Universidad del Valle: Iván Enrique Ramos Calderón Vicerrectora de Investigaciones: Angela María Franco Calderón Director del Programa Editorial: Francisco Ramírez Potes c Universidad del Valle c Héctor Jairo Martínez R. & Ana María Sanabria R. Diagramación: Juan Carlos Pérez Méndez Diseño de Carátula: Hugo Nievas Impreso en: Unidad de Artes Gráficas - Facultad de Humanidades Universidad del Valle Ciudad Universitaria, Meléndez A.A. 025360 Cali, Colombia Teléfono: (+57)(2) 321 22 27-Telefax: (+57)(2) 330 88 77
[email protected] Este libro, o parte de él, no puede ser reproducido por ningún medio sin autorización escrita de la Universidad del Valle. El contenido contenido de esta obra corresponde al derecho derecho de expresión expresión del autor y no compromete compromete el pensamiento institucional de la Universidad del Valle, ni genera su responsabilidad frente a terceros. El autor asume la responsabilidad por los derechos de autor y conexos contenidos en la obra, así como por la eventual información sensible publicada en ella. Cali, Colombia - Enero de 2014
CONTENIDO
Prólogo
xi
Agradecimientos
xv
1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . 1.2. Conceptos básicos . . . . . . . . 1.3. Representación matricial . . . . 1.4. Eliminación de Gauss . . . . . . 1.5. Solución simultánea de sistemas 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . .
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1 1 2 10 13 29 32
2. Vectore ectoress de IR 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4. Co Com mbina binaci ción ón lin linea eall y con conjun junto toss gen gener erad ado o y gen gener erad ador or 2.5. 2.5. Produ Product cto o Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Rectas, planos e hiper perplanos . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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45 45 45 49 53 58 65 68 82 11 6
3. Matrices 3.1. Introducción . . . . . . . . . 3.2. Definición y tipo de matrices 3.3. 3.3. Suma uma y prod produ ucto cto por por escal scalar ar 3.4. Producto de matrices . . . . 3.5. Matrices invertibles . . . . .
139 . 139 . 14 0 . 14 142 2 . 14 6 . 1 53
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. . . . . . . . . . . . . . de matr matric icees . . . . . . . . . . . . . .
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3.6. Transpos posición de matrices 3.7. Matrices elementales . . . 3.8. Factorización LU . . . . . 3.9. Determinantes . . . . . . . 3.10. Ejercicios . . . . . . . . .
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4. Espacios vectoriales 4.1. Intro ducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Definición y propiedades bá básicas . . . . . . . 4.3. Sub espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . 4.4. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . 4.6. 4.6. Coor Coord denad enadas as respe especcto a una una bas base ord ordeenada nada.. 4.7. Rango y nulidad de una matriz . . . . . . . 4.8. 4.8. Product Producto o escalar escalar y bases bases ortonor ortonormal males es en IR 4.9. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . 4.10. Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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161 164 171 180 199
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2 11 211 212 217 219 231 240 240 252 263 269 277 281
5. Transformaciones lineales 5.1. Intro ducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Definición y propiedades bá básicas . . . . . . . . . . . . . 5.3. Espacios Espacios vectori vectoriales ales asociados asociados a una transformac transformación ión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. 5.4. Matr Matriz iz asoc asocia iada da a una una tran transf sfor orma maci ción ón line lineal al . . . . . . 5.5. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Alge lgebra de transfor formaciones lineales . . . . . . . . . . 5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 5 295 296
6. Valores y vectores propios 6.1. Intro ducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. 6.3. Cara Caract cter eriz izac ació ión n de valor alores es y vec vecto tore ress prop propio ioss . . . . . . 6.4. 6.4. Inde ndepend pendeencia ncia de los los vecto tore ress pro propi pios os . . . . . . . . . . 6.5. 6.5. Pro ropi pieedade dadess de de las las mat matrice ricess se semeja mejan ntes tes . . . . . . . . . 6.6. 6.6. Valores alores y vec vector tores es propio propioss de una trans transfor formac mación ión lineal lineal 6.7. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. 6.8. Matr Matric icees simé siméttrica ricass y diago iagon naliz alizac ació ión n . . . . . . . . . . 6.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 5 345 346 353 353 356 356 362 362 364 368 375 375 380
305 308 308 318 326 336
A. Factorización PLU
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A.1. In I ntroducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 A.2. A.2. Exis Existe tenc ncia ia y cálc cálcul ulo o de de la la fac facto tori riza zaci ción ón PLU PLU . . . . . . 38 389 9
Bibliografía
401
Índice Alfabético
403
