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ALGEBRA LINEAL

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERU

IMPULSO EN EL PERU

2da. Edición

2 '-9 8 -2 0 0 6

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PRÓLOGO El estudio del Álgebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado nada más a los estudiantes de Matemática y Física, aquellos que necesitaban conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística muiíi variada. En el Algebra Lineal se estudia ahora en muchas disciplinas debido a 1a, invención de las computadoras de alta velocidad y el aumento general de las aplicaciones de la matemática en áreas que por tradición no son técnicas. En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los planos en R 3 , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios Vectoriales, Subespacios, base, dimensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a T ransformaciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, Dimensión, Operaciones, Matriz Asociada a una Transformación y en los Capítulos V y VI, se trata del producto interno, el proceso de GRAM - SCHMITD y las Formas Bilineales. La Lectura del presente trabajo requiere del conocimiento de un curso de matemática básica así como el cálculo diferencial e integral. Los temas expuestos en esta obra esta con la mayor claridad posible. Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas sugerencias. ♦ ♦

Lic. Juan Bemuy Barros Lic. Antonio Calderón.

♦ ♦

Doctor Pedro Contreras Chamorro. Lic. Guillermo Más Azahuanche.

Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones

E D U A R D O E SPIN O Z A R A M O S

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos.

R O N A L D , JO R G E

y D IA N A

Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo

BVPICE

CAPÍTULO I 1. ;

RECTAS Y

PLANOS EN

EL

ESPACIO

: TRIDIMENSIONAL

>

1

1.1

Sistema de Coordenada Rectangular en el Espacio.

2

1.2

Distancia entre Dos Puntos.

3

1.3

División de un Segmento según una Razón dada.

5

1.4

Ángulos Directores, Cosenos Directores y Números Directores.

7

1.5

Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determinados por Dos de sus Puntos.

8

1.6

Relación entre los Cosenos Directores de una Recta.

8

A.

LA RECTA

9

1.7

La Recta en el Espacio Tridimensional.

9

1.8

Ecuación Vectorial de la Recta.

10

1.9

Ecuación Paramétrica de la Recta en el Espacio.

11

1.10

Ecuación Simétrica de la Recta.

12

1.11

Rectas Paralelas y Ortogonales.

14

1.12

Ángulo entre Dos Rectas.

16

1.13

Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan).

16

1.14

Teorema.

18

1.15

Teorema.

19

1.16

Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta.

21

1.17

Ejercicios Desarrollados.

22

B.

EL PLANO

38

1.18

Definición.

38

IJ 9

Ecuación Vectorial del Plano.

38

1.20

Ecuaciones Paramétricas del Plano.

40

1.21

Ecuación General del Plano.

40

1.22

Planos Paralelos y Ortogonales.

41

1.23

Intersección de Planos.

1.24

Ecuación Biplanar de la Recta.

43

1.25

Intersección entre Recta y Plano.

45

1.26

Plano Paralelo a una Recta y PlanoPerpendicular a una Recta.

46

12 1

Familia de Planos,.

48

1.28

Ecuaciones Incompletas del Plano.

49

1.29

Distancia de un Punto a un Plano.,

51

1.30

Ángulo entre Recta y Plano.

53

1.31

Proyección Ortogonal de un Punto sobre un Plano.

54

1.32

Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano

55

! .33

Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no está contenida

’

43

en el Plano,

58

1.34

Ángulo entre dos Planos.

59

1.35

Ejercicios Desarrollados.

59

1.36

Ejercicios Propuestos.

75

CAPÍTULO n 2.

CONCEPTOS BÁSICOS

104

2.1.

Producto de dos Conjuntos

104

2.2.

Propiedades de dos Conjuntos

104

2.3.

Relación Binaria

104

2.4.

Aplicación de X en Y

104

2.5.

Clases de Funciones

105

2.6.

Conjunto Imagen y Conjunto Imagen Inversa

105

2.7.

Composición de Funciones

106

2.8.

Leyes de Composición Interna y Extema

107

2.9.

Campo o Cuerpo

107

CAPÍTULO III 3.

ESPACIOS VECT0«ÍAL1S

111

3.1.

Definición

111

3.2.

Ejemplos de Espacios Vectoriales

113

3.3.

Propiedades de los Espacios Vectoriales

117

3.4.

Espacio Vectorial de Funciones

119

3.5.

Espacio Vectorial de las Matrices mxn

121

3.6.

Ejercicios Propuestos

127

3.7.

Sub - espacios Vectoriales

130

3.8.

Operaciones con Funciones

153

3.9.

Combinaciones Lineales

168

3.10.

Conjunto de Combinaciones Lineales

171

3.11.

Sub - espacio Generado

173

3.12.

Independencia y Dependencia Lineal

178

3.13.

Sistema de Generadores

184

3.14.

Base de un Espacio Vectorial

186

3.15.

Dimensión de un Espacio Vectorial

191

3.16.

Dimensión de la suma

195

3.17.

Dimensión de la suma Directa

199

3.18.

Teorema

208

3.19.


213

i CAPÍTULO IV TRANSFORMACIONES LINEALES

229

Definición

229

Interpretación Geométrica

230

Teorema

230

Proposición

237

Clasificación de las Transformaciones Lineales

239

Proposición

242

Núcleo o Imagen de una Transformación Lineal

247

Teorema

252

Dimensiones del Núcleo y de la Imagen

255

Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales

260

Coordenadas o Componentes de un Vector

266

Matriz Asociada a una Transformaciones Lineales

268

Algebra de las Transformaciones Lineales

275

Composición de las Transformaciones Lineales

278

Transformaciones Lineales Inversíbles

282

Teorema

287

Isomorfismo Inducido por una Transformación Lineal

289

Cambio de Base y Semejanza de Matrices

296


303

CAPÍTULO V PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD

321

Definición

32!

Definición

323

Teorema

327

5.4.

Ortogonalidad - Conjunto Ortogonal - Conjunto Ortonormal

329

5.5.

Teorema

333

5.6.

Corolario

333

5.7.

Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT

335

5.8.

Corolario

338

5.9.

Definición

339

5.10.

Teorema

339

5.11.


342

CAPÍTULO VI <»

VALORES Y VECTORES PROPIOS

343

6.1.

Definición

343

6.2.

Valores y Vectores Propios de una Matriz

344

6.3.

Definición

345

6.4.

Teorema

350

6.5.

Polinomio Característico de una Matriz

353

6.6.

Matrices Semejantes y Diagonalización

355

6.7.

Teorema

356

6.8.

Matriz Diagonable

356

6.9.

Teorema

358

6.10.

Teorema de Cayley - Hamilton

364

6.11.


369

6.12.

Formas Bilineales

379

6.13

Matriz Bilineal Simétrica

380

6.14.

Forma Bilineal Simétrica

381

6.15.

Formas Cuadráticas

383

6.16.


385

BIBLIOGRAFÍA

387

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

1

CAPITULO I

1.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL_________________ _ PRE-REQUISITOS.- Para la comprensión adecuada de este tema de rectas y planos en R3, se requiere de los conocimientos previos de: Sistema de coordenadas en el plano. Solución de sistemas de ecuaciones. Elementos de geometría del espacio. OBJETIVOS.- Establecer los fundamentos necesarios para el trazado de planos y rectas en el espacio, respecto a un sistema de coordenadas. Al terminar este capítulo el alumno debe ser capaz de: Describir el sistema coordenado en el espacio. Situar puntos a i el sistema coordenado del espacio. Recordar las distintas formas de la ecuación general de un plano. Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geométricamente. Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geométricas. Recordar que dos ecuaciones lineales simultáneas representan una recta en el espacio. (Sistema Compatible). Representar gráficamente una recta en el espacio. Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones geométricas dadas.

Eduardo Espinoza Ramos

SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO.Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se cortan en un mismo punto O.

En la figura identificamos los siguientes

elementos geométricos.

EJES COORDENADOS.-

Los ejes generalmente son identificados por las

letras

X,

Y,

Z

y

se

habla

frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde: El eje X es la recta determinada por la intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje Y

es

la

recta

determinada

por

la

intersección de los planos Pxy y Pyz y el eje Z es la recta determinada por la intersección de los plano Pxz y Pyz. La dirección

positiva se indica por medio de una flecha. Los

coordenados

tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados

planos coordenados.

ejes

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional b)

3

PLANOS COORDENADOS.E1 plano coordenado XY que denotaremos por Pxy, es determinado por las rectas: eje X y el eje Y. El Plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz, es determinado por las rectas: eje X y el eje Z. El Plano coordenado YZ que denotaremos por Pyz, es determinado por las rectas: eje Y y el eje Z. Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 subespacios llamados octantes. Consideremos un punto P(x,y,z), cualquiera en el espacio tridimensional, a través de P(x,y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a cada uno de los ejes coordenados. Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(0,0,z) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z.

1.2.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS*TEOREMA.-

La distancia no dirigida entre dos puntos pi (xj ,yj (x2 ,y2 ,z2) ^

esPac*° tridimensional está dado por:

d ( p 1, p 2) = -J(x2 - * | ) 2 + ( > 2 -.V i)2 + ( * 2 - * l ) 2 Demostración

,Z j)

y p2

4


Sea a = P ^ 2 un vector de origen pj y extremo /

,

/

P2, entonces: i

■ a = p ,/>2 = p 2 ~p¡ = (x2 ~ x , , y 2 - y l , z 2 - z l ) —>

p,<>v V .T .K

por lo tanto la longitud del vector a es:

Y ¿ ( a >/»2 ) = I I a I! = V ¿ * 2 - *i )2 + ( ^ 2 - > ' i ) 2 + < z 2 - z i ) 2

Ejemplo.- Hallar la distancia entre los puntos rv. (- 1,-2,2) y p 2 (2,4,- 1) Solución Sea

-» a = p xp 2 = p 2 - p x = (2,4,- i ) - ( - 1 , - 2 , 2 ) = (3,6,-3)

d ( p x, P 2) = IU II = \¡32 +62 + (-3 )2 =V 9 + 3d+9 = >/54 d ( p l , p 2) = 3y¡6 Ejemplo.- Demostrar que los puntos pj (-2,4,-3), p 2 (4,-3,-2) y p 3 (-3,-2,4) son los vértices de un triángulo equilátero.

Soliición Los puntos pi , p 2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero si: d(pi,p2) ~ d(pi,p3) = d(p2, p3), ahora calculando cada una de las distancias: ^(P1.P 2 ) = V ( 4 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ))2 = V36 + 4 9 + l= V 8 ó

d( p l 5p 3) = V ( - 3 - ( - 2 ))2 + ( - 2 - 4 ) 2 + (4 - (-3 )) 2 = V í+36 + 49 = Vs 6


5

<*(P 2, P 3) = >/(-3 - 4 ) 2 + (-2 - (-3 » 2 + (4 - (- 2 » 2 = V49 + 1+ 36 = V 86 Como las distancias son iguales, entonces los puntos pi , p2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero.

1.3.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN DADA____________________ __________ TEOREMA.-

Si los puntos pi (xi ,yi ,z0 y p2 (x 2 ,y2 ,z2) son los extremos de un segmento dirigido

pjp2 ;

las coordenadas de un

punto p(x,y,z) que divide al segmento pjp^ en la Razón r = pjp + pp2 es: y \ +ry2 ' g - z ,+ r r 2 x _ —-----i ' y = ,----------, r 1+ r 1+ r 1+ r

* -1

Demostración Del gráfico se tiene: P j p / / pp 2 => 3 r eR

P2(x2,y2,Z2) tal

P(x,y,z) p i( x i>yvz iJ

o

que: P i P = r PP2 > de donde p - /?, = r( / ? 2 - p) al despejar p se tiene: 1 p_ ^ + jp^ ) ahora reemplazamos por 1+ r —► sus coordenadas respectivas:

Y ( x ,y , z) =

-

^1+^2 (x ,y, z) = (— ¡ 1+ r

);l + 0 ;2 zl + rz2s i, i ------------------- ), por igualdad se tiene: 1 + r 1+ r

jCj + nr2

1+r

>y\>Z\) + r( x2 , y 2 ,z 2))

y = -y \ + r y 2 1+r

z=• 1

+r

r * -l

6

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (5,-1,7) y (-3,3,1)

Solución P,(5.-1,7)

P2(-3,3,1)

------------ i —

..........................--------------- -------

A

-- -----.............. —

.

B

Calculando las coordenadas del punto A se tiene: p,A PjA 1 r= * = = - = r = entonces r = VL por lo tanto se tiene: Ap 2 2pjA 2 5 + ±(-3> - —

,

- l + ±<3)

-i- "

,

-

|( I )

1■ ? 2' — ■ 2

2

,5 -T

7 M i =

3 ' 3 ’T

_____

2

p^B 2 Bp, Ahora calculemos las coordenadas del punto B donde: r = : = r = - = - = 2. Bp 2 Bp 2 entonces r = 2 „ 5 + 2(-3) _ 1 _ - 1 + 2(3) A7 — — —, V7 — 1+ 2

3

COROLARIO.-

' ‘

Si

1+ 2

p(x,y,z)

5

. 7 + 2 (1 ) 9 _ , ¿.7 —— : —

3

es

7;

1+ 2

3

J. 5 .9 > , , )

ÍJ\

' 3 3

3

el punto medio del segmento pjp2 ,

PiP PjP entonces r = = z * = 1 . Luego las coordenadas del punto PP.2 medio son: .r, + x 2 2

>y -

z ,+ z 2 y¡+y2 ■, z — 2 2

Ejemplo.- Los puntos extremos de un segmento son pi (-2,1,4) y p2 (3,2,-1). Hallar la coordenadas del punto medio del segmento pjp 2 Solución

7

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Sea p(x,y,z) el punto medio de pi y P2 entonces:

-2 + 3

xx + x 2 X

2

entonces

Ja .

~

2

1 ~ 2 ’ y ~

yx+ y 2

1+ 2

3

z { + z2

4 -1

3

2

2

2

2

2

2

1 3 3

p(—,—,—) 2 2 2

á n g u lo s d ir e c to r e s , c o s e n o s d ir e c t o r e s y NÚMEROS DIRECTORES.-___________________________ Consideremos el vector a = (a\,a2,cii) en el espacio tridimensional y los ángulos a, P y y formados por los ejes coordenadas positivos y el vector — > — > — ► — >— ► — >— * a = (a t,a 2 ,a3) ; es decir: a = ¿ £ (/,a ), P = ¿ ( j , a), 7 = ¿£(A ,a). Si a H L (recta) donde a = (úfj,a 2 ,a 3) diremos que:

i)

ai, aj, a3 son los números directores de la recta L.

ii)

Los ángulos a, (3 y y se llaman ángulos directores de la recta L, y son formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recta, respectivamente.

8

Eduardo Espinoza Ramos Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180°, es decir: 0 ° < a , p , y < 180°.

iii)

A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: eos a, eos p, eos y, se denominan cosenos directores.

1.5.

EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS "PUNTOS.. -

puntos p¡ (x* yj ,z}) y p 2 (x 2 ,y2 ,z2).

Si d(pi, p 2) =1! P 1P 2 II Y tx, p y y son los ángulos directores de la recta L, entonces se X2 - * j

tiene: eos a = ¿(Pl*P2 ) eos ¡3 = y 2 ~y\ ^(Pi ,p2)

1.6.

eos y = ~2 ¿(Pl,P2)

RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA..___________ ________ _ TEOREMA.- La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L es igual a 1, es decir: eos 2 a + eos2 p + eos" y = 1 Demostración Aplicando la parte 2.5, se tiene: co sa _

~ x\ y 2 - Vi z 2 - z¡ ^ eos ¡3 = ---- -f— , eos y = — -— , de donde a • d a


9

d = -j(x 2 - * i ) 2 + ( ^ 2 - y \ ) 2 + ( z 2 ~ z \ ) 2 , por lo tanto: (*2~*i )2

2

eos a + eos p + eos / =

(yi~y\)2

(z 2~zi) 2 d2

d2

eos1 a + c o s 2 p + co s2 y = 1 OBSERVACIÓN.-

Si a = (aj, a2 ,

es un vector dirección de ia recta L,

donde || a J| = y¡a¡ + a \ + a \ , i .a

a.

II a ||

-> l|a ||

=>

a, =

entonces:

a cosa

-► -► _ y*a _ -► II a || -► -* ¿ .a

a2 —► l|a ||

«3

a2 ~ II a II COSP

=>

«3 =|| a ||c o s /

a =(|| a ||co sa , || a ||cos/?, || a ||c o s/)= || a ||(e o s a ,eos>3, e o s /).

A.

LA RECTA.-

1,7.

LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.Dado un punto /?0(xo>>’o>2o) Y un vector llamaremos

recta

que

pasa

por

a = (<31,a2,fl3) no nulo,

/>o (*o >Yo *zo)

a = (au a2,a3) al conjunto. L = { p &R * / p = p 0 + t a, / e i?}

paralela

al

vector

10

J .8.


ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.-

M

Sea L la recta que pasa por el punto Po(x0, y 0, z 0) paralelo al vector — ► a = (a{,a2,a3)

Z

sP(x »y»z )

Si p(x,y,z) de R3 es un punto cualquiera de la recta L, entonces el vector p 0p es paralelo al

S? P0= (xo*y0*zo)

vector a , es decir: p Qp// a <=> 3 t e R tal de donde p - p 0 = í a — ^ entonces p = p 0 f t a , por lo tanto la recta L

que:

PqP = t a ,

es dado por: L = {P ~ p0 4- t a /i e R } j ecuación vectorial de la recta L. Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto — > (4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3) Solución Como la ecuación vectorial de la recta es: L = { p 0 + 1 a/ / € R } reemplazando los datos se tiene: L = {(4,0,5) + /(1,-1,3) / 1 e /?} OBSERVACIÓN.-

Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo una recta que pasa por ellos.

Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P, (1,3,5) y P2 (4,2,7). Solución La ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p x +t p xp 2 ¡ t e R }, donde

/^ = ( 3 ,- l> 2 )

L = {(1,3,5)+ /(3,-1 ,2 )// 6 /f}

11

Rectas y Allanas en él Espa ció Tridimensional

Consideremos la recta L = { p Q+t a/ 1 e R }, Un punto

OBSERVACIÓN

p de R3 pertenece a la recta L si p = p 0 +1a para algún t en R, es deci r: peí

1.9.

<=>p = P q +t a para algún t real

ECUACIÓN PA RAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO.Consideremos la ecuaci ón vectorial de la recta L: De la observación anteri or se tiene:

Peí

o

L - { P a +t a / t e R} P = P0 +r a , para algún t € R

de donde, al reemplazar por las coordenadas de P, P0 y de las componentes del — ► vector a se tiene: (x,y,;z) = (x0, yo, Zo) + 1(ai, a2, a3), es decir: \x = x0 + a , í £ : - >'!=>’0 + «2 í » t e R z = z^+a^t Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L. Ejemplo.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el — > punto (5,3,2), paralela al vector a = (4,1,-1) Solución x = 5+41 Las ecuaciones paramétricas de la recta L son:

L: * y ^ l + t z =2 -t

, t€ R

12

Eduardo Espinoza Ramos OBSERVACIÓN,-

Las ecuaciones paramétricas de la recta L qué pasa por el par de puntos Px(xu y x>z x) y P2(x2, y 2 ^ 2 ) esí¿ dado por: x = Jtj + (x2 - X j ) r

l: y-=yi+(y2 - y i ) t , t e R * » * ,+ ( * 2 ~ Z |X Ejemplo.* Hallar las ecuaciones paramétricais de la recta L que pasa por los puntos Pi (1,2,1) y P2 (5,*1,1)

De acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones paramétricas de la recta L son: jc=

l + (5 -

L: y = 2 + ( - 1 - 2 ) /

x = l + 4r , t € R e s decir:

[z = 1+ (1 -1 )/

L'A y * 2 - 3 í z = l+Qí

,t€ R

1.10. ECUACIÓN SIMÉTRICA PE LA RECTA.Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L. x = x0 + a , t y = y 0 + o 2t

,té R

2 = z0 + a3t Suponiendo que a, * 0 , a2 * 0 , a3 * 0 , despejando el parámetro t de cada ecuación tenemos: t

x-x0 y - y 0 z-z0 -------- = --------- = -------- , de donde por igualdad a, a2 aj


13

Que se denomina ecuación simétrica de la recta L. Ejemplo.- Encontrar las ecuaciones simétricas de la recta paralela — y vector a = (4,-3,2) que pasa por el punto (2,5,-1)

al

Solución x - x 0 y - y 0 z -z0 como L: —-----= ----------= --------

. se tiene

L:

x-2 y - 5 z+1 ---- = ------- -- ——

OBSERVACIÓN.©

Si a3 = 0, la ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma y - y o a z =:

L:

©

Si ai = 0 a a3 = 0 . La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma: L: x = xq

Ejemplo.-

a

z = Zq

Hallar la ecuación simétrica de la recta L que pasa por P0 (-1,1,1) — ► paralela ai vector a = (2 ,0 , 1) Solución

x ~ *o y~~ y o z ~ z o como L : —--- = --------- = -------ax ao 3

ecuación simétrica de la recta L y como

x - x Q z ~ z0 a 2 = 0 , la ecuación de esta recta es L: — a y = y0 , ahora ax a. x +■1 z - 1 reemplazamos por los datos se tiene: L: = —— a y - 1

14


L! L

RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES.Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se da comparando sus vectores direccionales. Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas. — > L\ - {p0 + 1 a / 1 e R}

— y L2 = {g 0 + A b / Á e R}

La recta Lj y la recta L2 son paralelas (L t // L2) sí y sólo sí, sus vectores — ^ ► direccionales son paralelo, es decir: L\ i¡ L2 <=> a// b

OBSERVACIÓN.©

Si Li y L 2 son paralelas (Lt // L2), entonces L : = L2 ó L t n L2 = .

©

Si Lj y L2 no son paralelas (Lj K L 2), entonces L\ n L2 = <|> (las rectas se cruzan) ó Lj n L2 consta de un solo punto.

15


Ejemplo.- La recta Lj = {(1,2,-1) + ¿(5,-2 ,-3 ) / 1 e R] es paralela a la recta L 2 = {(l,-3,2) + i(-1 0 ,4 ,6 ) / i g R} puesto que el vector dirección — >

—>

de

, a = (5,-2,-3) es paralelo al vector h = (-10,4,6) que es el vector

dirección de la recta L2 .

Ejemplo.- Hallar

la ecuación de la recta L que intercepta

en ángulo

recto a la recta Li = 4(1,2,3) + t(2 ,l,-l) / 1 g R} y que pasa por el punto A(2,0,l). Solución S ea p

e L |

n L 2 => p

g

Lj

A p e L

además AP = P - A = (2t - 1, 2 + 1, 2 - 1)

como L ± L \ => AP _L a

Si AP _L a => AP. a = 0

( 2 t- 1, 2 + 1, 2 - 1) . (2,1,-1) = 0

-> por lo tanto AP =

17

4 t - 2 + 2 + t - 2 + t = 0 =>* = -

5

1 = —(-1,7,5). 3 3 3 3

Luego L = {(2,0,1) + Á,(-l,7,5) i k

g

R}

16

1.12.


ANGULO ENTRE DOS RECTAS.Consideremos las ecuaciones de dos rectas —>

—>

¿ 1={ p 0 +t ñ/t

gR

} y L2= {q0 +t h! t e R }

Un ángulo entre las rectas Lt y L 2 se define como el —> ángulo formado por sus vectores direccionales a y — ► — >— > b , es decir: , Z,2) = XXa , 6 ) - # , y es dado por la fórmula.

Ejemplo.- Encuéntrese un ángulo formado por las rectas L, = !(1,3,-2) + í ( 3 - 6 ,9 ) / / e R\ y Z,, = {(2,1,7)+ .* (1 -3 ,4 )/A e /?} Solución -> — » Como 6 = ^ ( I },C2) = ¿(a,¿ > ) donde a .¿ eos# = ■ II a ¡! ¡|6 ||

— > a =- (3 ,- 6 ,9 ), 6 -=(1,-3,-4)entonces

(3,-6,9).(l,-3,4)

3 + 18 + 36

57

3>/Í4V26

6>/9T

6V91

eos 0 = 0.99587 de donde 0 = árceos (0.99587)

1.13.

DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS _____________________ QUE SE CRUZAN).> Si Lx ={ p{) + 1 a/1

g

— > R } y L-y~{g0 + A b / A e R } son dos rectas no paralelas

(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las retas L¡ y L2 denotaremos por d ( L l , L 1) y es definido como el segmento perpendicular común a ambas rectas.

17


Si las rectas Li y L 2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que contienen a las rectas Li y L 2 respectivamente.

Si d es la distancia entre los planos Pi y P 2 donde N es la normal al plano P2; por lo tanto N es ortogonal a los vectores a y b entonces Af = a x b Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal -> fjN =

n

— > N\

-> y como 8 = jC(¿í n , A C ) entonces

IIÍVII hn .a c Hn AC . . . eos 8 = ----- ------------= —-------- , de donde \ \ M n IIII

AC\\

—> —> f i N . AC=\ \AC || eos8

...(1)

\\AC II

por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene: d =\\AC\\cos8

de donde al comparar ( 1) y ( 2 ) se tiene:

- (2)

d(Ll , L2) = \ MN. AC\

18

1.14.


TEOREMA.Sean

-> —> ={ p 0 +t a¡ t e R } y L2 ={ q0 + A b / A e R ¡ dos rectas no paralelas

(rectas que se cruzan). Demuestre que la distancia mínima entre Lj y L2 está dado por: 1Po% -(a v b) ¡ d(L\,L2) — lla lli Demostración Presentaremos en un gráfico, en intuitiva a L

forma

^% s rectas que se cruzan sin

interceptaise s

ser paralelas del gráfico

observamos que la distancia mínima entre las rectas Lj y L2 es: “La longitud del vector proyección de /?()
\ \ ( a x b) \\ , de donde

d(L\, />2 ) -

I

- a -vb 1 li (a -v b ) ||

Ejemplo.- Calcule la

distancia

oblicuas dadas por ias ecuaciones x 4-2 L2:4 Escribiendo

las

y 4-1 2 rectas

dos rectas las r+1 v-2 _ =_ y Ll :— ~

perpendicular

entre

X ~ 1

z- 3 -3 Solución dadas

en forma

vectorial

se

= { (l,2 ,-l) + r(5 ,3 ,2 )/f e /?} y L2 = {(-2 ,-l,3 ) + ,1(4,2-3), /. e distancia entre Lj y L2 es dado por:

tiene: r

\, la

19


------y ( ¡ m , L2 ) =

) donde: Po (1,2,-1), q0 (-2,-1,3) =* /vT 0 =(-3,-3,4) II (a x 6) ||

además a - (5,3,2),

i axb = 5 4

b = (4,2,-3), entonces:

j

k

3

2 = (-13,23,-2) =>

|| a x ¿ || = -v/702

2 -3

/?0g0 . a x b = 39 - 69 - 8 = - 3 8 , por lo tanto:

■

11(1,4)11

OBSERVACIÓN.-

^

'Z™2

Si las rectas

Lx y

Z2

son paralelas, entonces

d( Lx, L 2) - d ( P , L 2) , donde P es un punto cualquiera de la recta L ,.

1.15.

TEOREMA.Demostrar que la distancia del punto P a la recta

/?0 + 1 a !t e i? íes dado

por:

d (p, L) =

Vil A)/71

a ¡I2 "(p,sP- a )“ II a ll

Demostración Hacemos un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo A P0P se tiene:

20


B = £ ( p 0p, a) => eos0 = - PoP % II PoP II!! a I! además sen# =

d(P,L) Wp o p W

de donde

d{ P, L) =|| p 0p || senB

d 2 (p,L)=\\ p 0p\\2 sen29 = \ \ p 0p \ \ 2 (1 - c o s 2 9)

=I|— ||2 ( ,„

j y

r

!IP » P lñ la ||2

«a»’

llPo/’ lñl a I!2 -{PoP-*)2

d(p,L) =

Vll.PbPiriiair-CPo^-a)' lia |i

Ejemplo.- Hallar /

11}

la

distancia

>>-f2

del

punto

P(3,l,-2)

a

la

recta

r +1 Solución

Escribimos la recta en forma vectorial:

L = {(-1,--2,-1") + t( 1,1,1) / 1 e R¡

llfl>/>ll2||a || ~(PoP-a )2 La d(p,L) es dada por: d{p,L) = ¡

donde

p 0 (-1,-2,-!) y p(3,l-2) entonces

pQp

~ (4,3,-1),^ =(1,1,1),

21


1.16.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA.Consideremos una recta L ]- { p 0 4-í ai t e R } y un punto p, que no pertenece a la recta L Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la recta L, al cual denotaremos proypL de tal manera que el vector AP sea ortogonal a la recta L. Observando el gráfico se tiene: P0A = proy[':P de donde A - P 0 - proy¡;h a

a

a

A = proy'l = p 0 + p r o y p a

Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal del punto

P(2,-l,3) sóbrela

recta L = {(0,-7,2) + t (3,5,2) / 1 e R Solución A = Pq + proyp'p , donde p0p ~ (2,6,1) a

A = (0 -7 ,2 ) +

(2.6,1).(3,5,2) 1 -------- .(3,5,2) 38

22

Eduardo Espinoza Ramos 6 + 30+2 A - <<>,—7,2) +■-------- —.(3.5.2) entonces A 38

(0,- 7,2) + (3,5.2) = <3.-2.4)

A (3.-2,4)

i 1.17.

EJERCICIOS DESARROLLAPOS.-l

©

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,>2) y es Y4-1 y -f- 2 Z 4-1 perpendicular y corta a la recta L : ------ = 1—— = — 1 1 í Solución Escribiendo en forma vectorial a la recta L = {(A,-2,-1) + t (1,1,1) / 1 e Rj La recta pedida pasa por A(3,l,-2) cuya ecuación es: - 1(3,1,-2) + A (a, b, c ) ! I € Aj Lj => (1,1,1 ).(a,b,c) = 0 => a + b + c = 0

eóme L

a+b+c=0 Sea p e L Si p e L entonces:

a

...(1)

L¡ en ton ces p e L a p e L¡ de donde p (-l + t , - 2 + t , -1 + t ) , p e L] :=> p(3 + l a , 1 + /„b, -2 + Xc),

(-1 + i, -2 + t, -1 + t) = (3 + /.a, 1 + Ab, -2 + / c) de donde: —1. -t-1 —3 + Xa - 2 + t = \ + Áb - \ + t = -2 + Ac

-5 A=a-c 1 Á = -

b -a entonces a -c

b-a

c = 5b - 4a

... (2 )

23

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional de (1) y (2) se tiene:

a = 2b. c = -3b, (a,b,c) = (2b„ K-3h) = b(2J,-3)

por lo tanto la recta pedida es: ©

L = {(3,1,-2) + X (2 J ,-3) / X e R}

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular x +2 y - 3 z +2 a cada una de las rectas L , : ----- - - 1—— - — , y 2 - 1 5 x-3 2y-7 3 -z L2: 1 2 -3 Solución A las ecuaciones dadas escribiremos en forma vectorial L] = {(-2,3,-2) + 1 (2,-1,5) / t e R } , y

L2 = {(3,7/2,3) + >- (1,1,3) / * e R}.

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir: L = {(3,-3,4) + P (a,b,c) / P € R} como L _L L i , L2 entonces (a,b,c) _L (2,-1,5),(1,1,3) entonces í(2 ,-l,5 .(a ,6 ,c ) = 0 l(l,l,3 ).(a,6 ,c) = 0 3a a dedonde c = - — , b = —, 8 8

Í2a-¿>-t-5c = 0 ^

\ a + b + 3c = 0 a 3a a { a , b , c ) - { a , ~ - — ) = —(8,1-3) 8 8 8

L = {(3 ,-3,4) + 1 ( 8 ,1,-3) / 1 e R¡ ©

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-l ,2,-3) es perpendicular x -1 y + 1 z —3 a! vector a -(6,-2,-3) y se corta con la recta L , : — — ------ - -----3 2 - 5 Solución

24

Eduardo Espinoza Ramos 'Escribiendo a la recia x ~~1 3

y + 1 z-3

en fon na vectorial

2

se tiene: L = {(1,-1,3) + t(3,2,~5)/t Sea p e Li

a

g

L => p e L¡

R} a

P e L.

Si p € Lj ==> p(l + 3t, -1 + 2t, 3 - 5t) para algún t e R como b = MP = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6 ) además

— > a

— *— > => a .ó =0 => (6,-2,-3).(3t + 2, 2t - 3, -5t +6)=0

6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6 ) = 0

=>

t = 0, 6 = (2,-3,6 )

por lo tanto: L={(-l,2,-3) + 1 (2,-3,6 ) / t e R}

©

Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta L = { (l,-l,l) + t ( l ,l ,0 ) / t e R} tal que Z ( AB, AC) = 60" Solución Sea C e L => C(1 + t , -1 + t, 1) -» -» ->• ■-* A B .A C =|| AB mi AC || eos60°, —> —> AB = (0,-3,3), /íC = ( f - 2 , / - 2 , 0 ) || ZB||= 9 + 9 = 3 2 J 9 + 9 > IMC(|= 2 ( /- 2 ) 2 = 2 t - 2

donde


25

—> —^ ^ Como AB .AC =|| AB\\\\AC || eos60° , reemplazando: 6 - 3 1 = 3>/2.V 2 11 ~ l \ — => | t - 2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 como t < 2 2 entonces C(1 + t, -1 + t, 1), para t < 2. ®

Una recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra recta pasa por el punto Q(2,l,0) y es paralela al vector b = (3,8,13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección. Solución Sean L, = {(1,1,1) + 1 (1,2,3) / t e R} y L 2 = {(2,1,0)+A, (3,8,13) / i e R } . Las rectas Lt y L 2 se cortan si y solo si 3 P0 tal que P() e Lj a L2 como Pq € Lj

A L2

Si P q g L¡

P0 e Lj A

P0 E L 2

=> Po ( 1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )

P0 G L 2 => Po (2 + 3X, 1 + 8 )1, 13A,) como Po es punto común a Lj y L 2 entonces: (1 + 1, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8 X, 13X) 'l + t = 2 + 3A < 1+ 2í ~ 1 + SA resolvien d o el sistem a se tiene t= 4, X^ 1 1+ 3 / - 1 3 a L uego el punto de in tersección es P0 (5 ,9 ,1 3 )

@

Dadas las rectas L,= {(3.1,0) + t (1,0,1 ) / 1 e R} y L2={(I,1,1 )+X (2 , 1,0 )/?,eR¡. Hallar el punto Q que equidista de am bas rectas una distancia mínima, además hallar ésta distancia.

26

Eduardo Espinoza Ramos Solución

B

b = (2,1,0).

Sea A e L ¡ => A (3 + t, 1, t), B e L2 —^ B(1 + 2X, 1 + X, 1), AB=B-A=(2A~t-2y A, 1-í)

Q

^

►

a 1 AB => a . AB = 0 , (1,0,1 ).(2¡U-2,A., 1-t)=0, a =(1,0,1) de donde

2 X - 2t - 1 = 0

—^ ^~ b ±AB=> b. AB=0 => (2,1,0).(2X - 1 - 2, X, 1 - 1) - 0 => 5X - 2t - 4 = 0 ... (2) Í 2 /i-- 2 í - l = 0 formando el sistema de ( 1) y (2 ) se tiene:

5 /1 - 2 /- 4 = 0

resolviendo el sistema se tiene t = —, A= 1 2 como Q es punto equidistante de A y B entonces Q{

yl + fi 2

13 3 3 ) = Q(— ) 4 2 4

1 41 La distancia mínima d - ~~d(A, B) = — . 2 4

©

Dadas ias tres rectas

L¡ - {(1,1,2) + t (1,2,0) / t e R} L2 = {(2 ,2 ,0 ) + A,(1,- 1, 1) / A € R } . L3 = {(0,3,-2) + r (5,0,2)/ r e R}

Hallar la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas L,, L2, Lj en M, N '—¥ —^ y P respectivamente de tal manera que MN = NP.

Solución


27

M e Li = {(1,1,2) + 1 (1,2,0) / t e R} => M (1 + 1, 1 + 2t, 2) N 6 L2 = {(2,2,0) + X (1,-1,1) / X e R} =s> N (2 + X, 2 - X, X) P e U = {(0,3,-2) + r (5,0,2) / r e R{ => P (5r, 3, -2 + 2r) —^ ^ como MN = NP entonces se tiene:

^ MN = N - M =(X - t+ 1, -X - 2 t+ l, X - 2)

—^ /VP = P - N = (5r - X - 2 , 1 + X, 2r - X - 2 ), de donde (X-t+1, -X-2t+l, X-2)=(5r-X-2, 1+X, 2r-X-2), por igualdad de vectores se tiene: A -t +l = 5 r - A - 2 - A - 2 t +l = l +A A~2 = 2 r - A - 2

5r-2A+t =3 2 /1 + 2 / = 0 2r —2A =0

...(1) ...( 2 ) ...(3)

de (2) y (3) se tiene X = - 1 , r = X ahora reemplazamos en la ecuación (1).

t =~ \ ’ A =Í

• L u e g o M ( - i , - 2 , 2 ),

L = { ( - - - . - 2 ,2 ) + / ( 8 , 5 , - l ) / / e f l }

P ( y , 3,-1)

28 @

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación de una recta que pasa por p( 19,0,0) y corta a las rectas L, - {(5,0,-!) + t (1,1,1) / 1 e R}, y L2 - {(-1,2,2) + X (-2,1,0) / X e R} Solución

B g L 2 = {(-1,2,2) + X (-2 , 1,0 ) / X e R¡ -> B (-2X - 1, X + 2, 2) como los punto F, A, B son colineales, entonces. P A t i AB ~=>3 r e R tal que PA = r /IR de donde A - P = r(B - A) que al reemplazar por sus coordenadas se tiene: (t - 14, t, t - 1) = r(-2 X - 1 - 6 , X - 1 + 2 , -t + 3) t - 14 = -2rA - rt - 6/t ~ Á r - r t + 2r

por igualdad de vectores se tiene:

/ - 1 = - r t + 3r 3r + l

r - 1

... (1) ..(2) ...(3 )

de la ecuación ( 3 ) y (2 ) se tiene: t = --------, i = ------ de la ecuación ( 1) r+1 r (1 + r) t + 2 rA, + 6 r = 14 reemplazando t y X se tiene:

29

Rectas y Manas en el Espacio Tridimensional 28 luego a = PA = (t - 14, t, t - 1) para / = — , F 13

-> a =

jS4 28 15 13

13 13

L = {(19,0,0) + t (-154, 28, 15) / 1 e R} Qm

Encuentre el punto de intersección de las rectas: L {= {-1,7,17)+ t(-l,2,3)/teR} x-1 3; z Solución Escribiendo Ja ecuación L2 en forma vectorial. L 2 = {(7,0,0)+A(4, 1,-5)/A e R} Sea p € Lj a L 2 entonces p e L| a p e L2 . Si p e Li 5A)

=> p(-l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) a

p e L2 entonces p (7 + 4A, A,, -

como p e Lj a L 2 => (-1 - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) = (7 + 4A, A, -5A) ; í - l - / = 7 + 4A i 7 + 2/ = A

entonces t = -4 , A = -1.

Luego: p(3, -1,5)

1.17 + 3/ = -5 A Dadas L

las

x —\

rectas

y+ 2 =

no x~í

z-3 =

coplanares

/ o

.

_

3~z =

_

,

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-4,2,6) y forma ángulos iguales con las rectas dadas. Solución Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial. Lj ={(1,-2,3)+ t(2,2,l)/ te R }, L2 = {(1 ,3 ,-2 ) + A (3 ,0 ,4 ) / A e R} y

L3 = { (1 ,-2 ,3 ) + r ( 2 ,1 ,2 ) / r € R}

Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4 ,2 ,6 ) es decir:

30

Eduardo Espinoza Ramos L-{ (-4,2,6)+ t(a,b,c) / teR}, como 0= ¿ {Li,L)~ eos$

=

( íz,6, c).(2,2,1) 3Va2 + ¿ 2 + c2

= _

(L2,L)= ¿ (L^,L) entonces:

2c+2A + c =

3V ? +

_ =

_

+ c2

(a,ó,c).(3,0,4) 3a + 4c cosff = — p = = = = = —= = = = = = sV a2 + 6 2 + c2 Sifa^ + 6 + c

... (2)

2a + b + 2c

(a,6,c).(2,l,2)

COSU = — = = = = = = = ----p = = ^===^r

3j a 2 + b 2 +c2

3

... (3 )

+ 62 + c 2

de (1) y (2) se tiene:

a + 10b - 7c = 0


a + 5b - 2c = 0


b=c

como b = c entonces a - -3c,

(1 )

L = {(-4,2,6) + r (-3c,c,c) / r e R¡

L = {(-4,2,6) + t (-3,1,1) / 1 e R) ©

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el /r-cuy p(7,-2,9) y es x- 2 jy z+3 x +4 y -2 z perpendicular a las rectas L , :— — = — = , y L2 : 2 ~ -2 ~ 3 ’ 3 2 ~ 5 ” -2 ' Solución Los vectores direcciones de L| y L 2

son a ~ (2,-2,3),

6-

(2,5,-2)

respectivamente. Sea L la recta que pasa por el

punto

p(7,-2,9),

luego

la

recta

pedida L - {(7,-2,9) + te / teR }, pero como L JL L¡ , L 2 entonces c .1 a , 6 entonces:

31


c =axb -

Por lo tanto: n)

* 2

J -2

2

5

= (-11,10,14).

L = {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R}

Hallarla ecuación

vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a

las

rectas L! = {(3,3,4) + t (2,2,3) / 1 e R} , L 2 - {(1,6,-1) + X (-1,2,0) i X e R}. Solución A

¿r\ *

j

Sean A e h\ => A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t), B e L 2 => B (1 - A,,6 + 2X,-1) como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es

_

B

a =AB=B-A de donde se tiene:

’L

a - (-2 - 2t - X, 3 + 2X - 2t, -5 - 3t) como L J_ Li , L2

entonces:

j a .(2,2,3) = 0 [ - \ l t + 2A = 13 t ~ { i=> { resolviendo el sistema se tiene t= - 1, / =-2 , [-2 / + 5 i = ~8 a.(- 1, 2 , 0 ) = 0 — > —y por lo tanto ios puntos son A (1,1,1), B (3,2,-1), a = AB = B - A = (-2,-1,2). Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es: L = {(1,1,1) + t (-2 ,-1,2) / 1 e R) ^5)

Determinar

una

recta L tal que con las rectas Lj ={(2,l,4)+t(l,l,0)/te R}

y 1.2 ~ {(2 •" a, 1 4 a, 3 + a) / a e R) determinan un triángulo de área 5u2. Solución

32

Eduardo Espinoza Ramos Sea Si

p € Lj

a

L2

=>

p

e Lx

a

p e L2

p € L| => p(2 + t, 1 + t, 4) p € L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a)

como p e Li a L2 , entonces: (2 + t, 1 + 1, 4) = (2 + a , i + a, 3 + a) 2 + í = 2 + £¡f de donde:

1+ / = ! + a

al resolver el sistema se tiene que: t = a

1

4 = 3+ a

por lo tanto el punto p es p (3,2,4), ahora tomemos en t cercano a p así como t = 2 entonces el punto A de L2 es A (4,3,4), además B e

B(2 + a , 1 + a , 3 + a ) entonces se tiene:

a = A B ^ B - A = (a - 2, a - 2, a - 1) | —> —> además el área A = —|] a x b ¡|= 5 de a 2 - 2a - 49 = 0 de donde se tiene: las rectas pedidas son:

ax

porotra parte b = AP=P- A=(“l,-1,0) —y donde || a x b lj- 10 entonces = 1 - 5>/2, a 2 = 1+ 5^¡2 por lo tanto

L = | (4,3,4) + / ( - ! + 5^2, - l + 5>/2, 5 ^ 2 ) / t e ñ ]

L = {(4,3,4)+ / ( - ! - 5 ^ 2 , - 1 - 5 ^ 2 , - S j Í ) l t e R Sea A (l,l,2 ) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones paramétricas a: x = 4-t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R ,

encontrar un punto B

en L, tal que el vector A - B y la recta sean perpendicular. Solución

33

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional SeaL = {(4,5,3) + t(-1,3,1)/1 e R}

b = PUA = A - P 0 = (-3,-4,-1)

b a .b P0B - proy á ~ •a

P0B =

(~ l,3 ,l).(-3 ,-4 ,-l) •(-1,3,1) 11

3 -1 2 -1 10 10 30 10 P0B = ------------ = — (-1,3,1) = (— ,— ,— ) 11

11

11

11

11

10 30 10 10 30 10 P0B = B - P0 = (— ,— ,— ) =>B(4 + — ,5 - — ,3— ) 0

0

11

11

11

11

11

11

54 25 23 B(— — ,— ) 11 11 11

©

Determinar los ángulos entre una recta L paralela al vector a =(1,1,1) y los ejes coordenadas. Solución Sea L - {PQ+t a / 1 e R} , donde — > a =(1,1,1) es la dirección de la recta L y l|a ü = V 3 ,entonces: eos a = V

a = arccos(—F=-)

V3

34

Eduardo Espinoza Ramos n 1 eos p = ■ — =—= —= i.r .i ^3

0 { 1V -=> 8 = arecosí-p-) va

«i = —= i => eos f = —— lía II V3 @

, i . / = arccos(-p-) ^

Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo a! plano XY) que une las rectas Lx = ¡(l,2,0) + /( l,2 ,l) /í e R\ y L2 = {(0,0,0) + í(1,1,1)//!k r} Solución = {(l,2,0) + /(l,2 ,l)// e R) L2 = í (0,0,0) + 1( 1,1,1)/ á € /?} B

Si A eL, => A(l+1, 2 + 2t, t ) , B e L2 => B(X,A,A) co m o AB / / al plano XY entonces a - t L u ego

A (1 + 1, 2 + 2t, t) y B

(t, t,

t)

d =|| AB j|~ yjbî7+ 2)2 f 0 de donde / (/) - J~t2 + 4í + 5 / +2 / ’(*) = -7=======- = 0 \ t 2 + 4/ + 5 í/= || ©

Dadas

las

=>

/ = -2 número critico.

¡|= n/1 + 0 + Ó = 1 => rectas

í/

=1

Lx = {(l,-2,5) + /(2 ,3 ,-4 )/r e /?}

L2 = {(-2,1,2) + A(0,\y2) / A e /?}. Hallar la ecuación de la perpendicular común. Solución Las rectas Lj y L2 no son paralelas, es decir

% L2.

y

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Ahora veremos si 3 peL¡

a

L2 =>

35 p

e L*

a

p e L¿.

Sí p e Li => p (1 + 2t, ~2 + 3t, 5 - 4 t) , p e. L2 => p (-2, 1 + A, 2 + 2A) (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + A, 2 + 2A)

de donde

2 l + 2í = -2 -2 + 3í = 1+ Á 5 - 4 t = 2 + 2A

2 15 Á=— 2 13 2=— 2

por lo tanto las rectas Lj y L2 son rectas que se cruzan. 1 a = 2 0

J * 3 - 4 = 10i - 4 j+ 2 k 1

2

L = {(1,-2,5) + t (10,-4,2) / 1 e R} ; V - {(-2,1,-2) + X (10,-4,2) / A e R} 18)

Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula desde el punto

A ( 2 ,2 ,3 ),

hacia la recta L

-

{(0 , 1 +

A, -A) / A g

R}

para que lo

alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V = >¡3u i seg. Solución Sea B e L => B(0, 1+ A, -A) para algún A e R. además e = vt donde e = d(A,B) para t = 2 seg. V - J l u , e = 2 V3 d ( A , B ) = y[4 + ( A - 1 ) 2 + ( - A - 3 ) 2 =2y[3 de donde A2 + 2 A + 1 = 0

A = -1

36


Luego B(0?0,1) entonces está dado por el vector AB = B ~ A = (-2 ,-2 ,-2 ) /. 19)

AB = (-2 ,-2 ,-2 )

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0), B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-l,3,3). Solución El punto medio del segmento AB es M( 1,2,-1), y observando el gráfico este problema tiene dos soluciones. La ecuación de la recta Lj que pasa por R y S es: L, = {(-1,3,3)+ t (1,0,0)/ t e R} Sea N el punto de intersección de L con decir: Si N e L¡

N(-l + 1, 3, 3) pasa algún t e R Definimos

b = MN = N - M = ( / -2,1,4), como 60o - ¿ (L,Li) = ¿ ( a , 6) entonces:

—> eos 60°= — ^ ' f - - ; donde

a =(1,0,0) y ¿>= (t - 2, 1,4)

II a || || b ||

eos 60° =

(1 ,0 ,0 ).(/-2,1,4)

1

t-2

V ( /- 2 ) 2 + l + 16

2

yj(t-2f+ l7

a/( í —2)2 +1

+ 16 = 2 ( í- 2 )

=>

(/ - 2)2 +17 = 4(/ - 2)2

es


3 ( f - 2 r =17

=>

t =2 ± J —

=>

37

b

4)

Luego las soluciones ai problema son: ^

f — r-

L - { ( l , 2 , ~ l ) + A ( J ^ - , l , 4 ) / A e R } ; L'={ ( 1 ,2 ,- 1 ) + r ( - ^ , l , 4 ) / r s R I Dados los vértices de un triángulo A (3,-l,-l), B(l,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las ecuaciones simétricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B. Solución Tomemos los vectores unitarios n y v en las direcciones de

BA

y

B C , respectivamente

donde BA = (2 -3 ,6 ), BC = (-6,12,4) ^

BA

u=— —

BA

1„

, ^

- - ( 2 ,- 3 ,6 ) y v = -

BC

1, w ^

— - - - ( - 3 ,6 ,2 )

BC |

entonces sea b = n+ v el vector dirección de la bisectriz BD es decir: b = —(-1,3,8) = - —(1,-3,-8) . Luego los números directores de la bisectriz 7 7 BD son 1,-3, -8. Si B(l,2,-7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones simétricas son: L :

x -1 1

y - 2 _ z +7

38

¡B,


ELPLANO.-

1.18. DEFINICION.Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Sí existe un punto Po(x0,yo,Zo) de R

y dos vectores no paralelos

a = (al9a2,a3)

y

h = {h{,b2 ,¿>3) de R3 de tal manera que:

P =
1.19. ECUACIÓN VECTORIAL DEL PI Consideremos un plano P que pasa por el punto po(xo,yo?Zo) y que es paralelo a los vectores a = (as, a2, % ) y & = (6¡,

^ 3) •

Sea p € P entonces existen t, A. € R tal que:

p0p ~ t a + A h ,

de

donde

p - p 0 = / a + 2 b entonces: p = p0 +1 2l +A b , luego

P = ( pq -f t a 4 - /j/l e /?}

Que es la ecuación vectorial del plano P. Ejemplo.

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M(3,4,-5) y es —>

—►

paralelo a los vectores a = (3,4,-5) y b - (1,-2,l). Solución Como la ecuación del plano es P = {/?0 + / a + A bi t, A & R} donde


39

Po = M(3,4,-5) y a = (3,1,-1), b = (1,-2,1), por lo tanto a! reemplazar se tiene: P = {(3,4,-5) + t(3,l.-l) + Al ) / t , X e R¡ OBSERVACIÓN.®

De la ecuación vectorial del plano P = {/?0 + / a + A b! t,A e R} se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N = a xh

n N= a x b

Q)

Si N es una normal al plano P = {P0 +1 a + A a/ tyX e /?} y si p1? p2 e P entonces N es ortogonal &P\Pi - P 2 ~ P\

Q3)

Si N es la normal al plano ¥ = {pQ+ t a + A b/t,A e R} y si p - p0 es — > ortogonal a V entonces pe P. “ N

40


(jí)

Si p0 es un punto fijo dél plano P y N es su normal, entonces la ecuación del plano es:

N . ( p - : p Q) = 0

Es la ecuación de! plano que pasa por p0 y cuya normal es N ,

1.20.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO. Consideremos el plano. Si p

€

r ± { P 0 + t * + X1>/t9Á e R }

P entonces p - p 0 +t a + / l b para

t,

X

g

R,

reemplazando por sus

respectivas componentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Zo)+t(au a2, a3)+ X(b\., h2, b3) de donde por igualdad se tiene: x ~ XQ+a^ + 'b¡A + a 2?+ b2¿

z = z0 4- a3t 4- b$A Que son las ecuaciones paramétricas del plano P.

¡Ü2L

ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO.-1 Sea P el plano que pasa por el punto Po(x o, y o ,- o ) cuy° vector normal es: — » ;V = (A,B,C). Si p g P entonces:

> -•>

—■ ——> —>

p 0p ± N v de donde p 0p . N = 0 entonces — > N . ( p ~ p Q) ~ 0 . Ahora reemplazando por sus componentes:


41

(A,B,C).(x - x0, y - y0, z - z0) = 0 entonces A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Ax -r By + Cz + (-Ax0- By0 - Czo) = 0, de donde P: Ax + By + CzHQue es la ecuación general del plano P. Ejemplo.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con — ► vector normal N =(2,3,4). Solución La ecuación del plano es dado por

— ► P : N ,((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0,

P: (2,3,4).(x - 2, y - 4, z + 1) = 0,

P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0

P:

2x + 3y + 4 z - 12 = 0

1.22. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.Consideremos

los

Pi : A xx + B ]y + Clz + D x = 0

planos: —»

y

—»

P 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , donde N\ = ( A X, B X, C X) y A72 = ( A 2 , B 2 ,C 2) son sus normales, respectivamente, entonces: i)

— > El plano Pi es paralelo al plano P2 (Pi // P2) si y solo si sus normales A71

y N 2 son paralelas, es decir:

Pj//P2

Ni / / N2

42


Si N i U N 2 => 3 r € R tal que N¡ = rAf2, lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los pianos deben ser proporcionales, o sea que debe cumplirse: _ E l =£ l ~ r ^2 Ejemplo.-

^2 ^2

Los planos Pj: 3x + 5y - 7z + 2 = 0 y P2 : 6x +iOv - i4z + 5= 0 3 5 - 7 1 son paralelos porque: —= *— = ------ —= r 6 10 -14 2

Si los planos Pj y P2 son paralelos puede ocurrir que: Pj = P2 ó Pj n P2 = , es decir: [ T i H P2 ii)

Pi = P ,

6

P, r> Pi = »

El plano P| es ortogonal al plano P2 (Pi ± P2) si y solo si sus normales

—>

•y

N¡ y N 2 son ortogonales es decir: P¡ J. F

Si

N¡

1 N2

=>

1N 2

o

N\,N2

tanto

P

”

0

A i A 2+ Bj

8 -> + C\ C 2

0 ,por lo


43

Ejemplo." El plano Pp 4x - y+2z= 7 es ortogonal al plano P2; x+ 6y + z = 16 •— > — > — > — ► porque A'i. AS = 0. En efecto como A’¡- {4,-1,2), A7'?” (1,6,1), se tiene:

N X. N 2 = (4,-1,2).(1,6,1) = 4 -6+2=0.

1.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.Consideremos

los

planos:

Pj.* Axx + B^y + Cxz + Dx = 0

P2: A2x +B2y + C2z +D2 = 0 . Si el plano Pj

y

no es paralelo al plano P2

(Pi X P 2) entonces la intersección de Pi y P2 nos da una recta L, es decir:

1.24. ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denomina ecüación biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente: j A lx ^ B ly ^ C íz + D¡ - 0 \ Á2x + B2y + C2z -f D2 =s 0 La ecuación biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramétriea y —V

simétrica. El vector dirección a de la recta se determina en la forma siguiente

44


a = N \ x N 2 , donde N j y N 2 son las normales

de

los

planos

Pi

y

P2

respectivamente:

»• a = N {x N 2 = A a2

j

k

A Ci * ( 0,0,0) b2 c2

P2: AjX+B2y+CjZ+D2=0 P,: A,x+B,y+C,z+D1=0 El punto Pq (jc0 , y Q, z 0) por donde pasa la recta se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos Pj y P2. Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección de los planos Pi : 3x + y - 2z = 5 ; P2 : x + 2y + z + 5 = 0. Solución — > Calculando el vector dirección a de la recta L. i

j

k

3

1

-2 = (5,—5,5) = 5(1,—1.1)

1

2

1

ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones. ¡3x + y - 2 z = 5 Í5x + 5y = -5 i entonces i , , simplificando [ jc+ 2>'+ z + 5 = 0 U + > ’= - l

ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para x = 0, y = - l , z = -3 entonces p0 (0,-1 ,-3).


45

Luego la ecuación de la recta L en forma vectorial es:

L={(0,-l,-3) + t ( l , - l , l ) / t e R } Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar dos de ía variables en función de la tercera variable y para esto se elimina una de las variables del sistema. f 3jc+ y - 2z =5 i [jt + 2 y + z = - 5

entonces x + y = -1

de donde y = - 1 - x

ahora se toma cualquiera de las ecuaciones^ x + 2y + z = -5

=> x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x

como (x,y,z) e L

(x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x) (x,y,z) = (0,-1,-3) + (x,-x,x) = (0,-1,-3) + x ( l ,- l ,l )

Luego: L = {(0,-1,-3) + 1 (1,-L1) / 1 e R}

1.25. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.Consideremos la ecuación general de un plano: P.

Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación

vectorial de la recta L - {p 0 +t a I t e R ) . Si L y P

no son paralelos entonces al

intersectarse nos da un punto Q, es decir: L n P = {Q}. Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta L y el plano P.

46


Ejemplo»» Hallar el ponto d

sección de la recta

x-f 2 y z "" 4 L: — - — -----3........ ..-1 2

y el piano P: 2x + 3y - z + 11 = 0. Solución Escribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) i t e R] como LX P

3 p tal que p e L n P. Si p e L n P entonces p e L n p e P

como p e L entonces p(-2 + 3t, -t, 4 + 2t) para algún i € R. además p e P => 2(-2 + 3t) + 3 (-t) - (4 + 2t) + 11= 0 => t = -3 Luego:

p (-11, 3, -2).

■1.26. ?LANO PARALELO A UNA RECTA j_ PERPENDICULAR A UNA RECTA.

Y

PLANO 1

Consideremos la ecuación general del plano P: Ax 4-- ü y +■Cz + D - 0, donde N ^ (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de — > — ► L = {p 0 + i n/f e R} d o n d e a e s e l vector d i r e c c i ó n .

la

recta

— ^ La recta L es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal — ■> — ►— > ai vector normal N es decir: L // P o a 1 N

N


47

Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida en el plano P ó que la intersección es el

es decir:

Si I / / P = > I c P ó ¿ n P = $ La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es — > — > — > paralelo al vector normal N de P, es decir: L 1 P <=> a/f N

Ejemplo.- Demostrar que la recta L = {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e R} es paralelo al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 Solución

a = (3,-4,4)

►

N=(4,-3,-6)

Para demostrar que la recta L es paralelo al plano P debe de cumplirse que el vector — ► dirección a de la recta es perpendicular al — ► vector normal N del plano, es decir: L//P<=> a 1 N = > a . ^ = 12 + 1 2 -2 4 = 0

Luego como a . N = 0 entonces a l N . Por lo tanto la recta L es paralelo al plano P.

48


jl 27. FAMILIA PE PLANOS, 1 En forma similar que en la geometría analítica plana, en donde se consideraba una familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, por ejemplo, la ecuación 2x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos — ► paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos importante, es d sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya ecuaciones se expresan: íI?|: Ajx *♦*Bxy -f

+ Dj —0 .(1)

[p*: Aix + B2y + C2t+I>2 =0

Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de intersección, dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación: K x(yí|jí -f B^y 4*CjZ +

K 2 ( A2x 4- B2y hhC2z + D 2) ~ 0

donde Kj y X2 son números reaies cualesquiera

... (2)

excepto que sean ceros

simultáneamente, Si en la ecuación (2) se tiene que K* * 0, entonces a la eu

». \ {2) se puede

expresar en la forma: A xx + B xy 4* Cxz 4- D í 4- K( A2x 4- 3 2y + C2 z+ D7 ) = 0

A la ecuación (3) se denomina la

... (3)

familia de planos que pasan por la

intersección de los planos Pi y P2 . Ejemplos.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y - z + 8 = 0 , x + 6 y - 2 z ~ 7 = 0 y por el punto (1,-2,2).

Solución


49

Aplicando el concepto de familia de planos se tiene: F: 2 x - y - z + 8 + k(x + 6y - 2z - 7) - 0 como (1,-2,2) € P => 2 + 2 - 2 + 8 + k( 1 - 1 2 - 4

5 7) - 0 => k = —11

5 P: 2x -> > -z + 8 + — (* + 6y- 2 * - 7) = 0

.\ P: 27 x + 1 9 y -2 1 z + 5 3 = 0

Ejemplo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 y es perpendicular al plano 3x - 4y - 2z = 9 Solución Sea P(1 la familia de planos que pasan por la intersección de los planos 2x - y + 3z = 2

y

4x + 3y - z = 1

Pa : 2x - y + 3z - 2 + a(4x + 3y

z - 1) = 0

Pa : (4a + 2)x + (3a - l )y + (3 - a)z - 2 - a = 0,

donde su normal es:

N a = (4a + 2,3a -1,3 - a) y sea P: 3x - 4y - 2z

=

N = (3,-4,-2)

9cuya normal es:

como Pa l P => N a i / í => N . N a = 0

(3,-4,-2).(4a+2,3a-l,3-a)=0, de donde 12a+6 -12a + 4

6+2a = 0 => a= - 2

Pa : 6x + 7y - 5z = 0

[o s!

ECUACIONES INCOMPLETAS~PEL PLANO Consideremos el plano como casos:

P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A" +

+ C2 + 0,

A, B, C y D son números reales, entonces se presentan los siguientes

Eduardo Espinoza Ramos !®r

Si B = C - D = O, Á ^ O entonces el plano P: x - 0, que es el piano YZ. Si A ~ C - D - 09 B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano

XZ

3r® Si A = B = D = 0, C ^ 0 entonces el plano P: z = 0 que es el plano XY 4to Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es paralelos al piano YZ 5to Si A. = C = 0, el piano P: By + D = 0 es paralelos al plano XZ 6t0 Si A = B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es paralelos al plano XY 7mo Si C = D --=0, el plano P: Ax + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al plano XY 8to

Si B - D - 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogonal al plano XZ

9®° Si A = D = 0, el plano P: By + Cz = 0, contiene al efe X y es ortogonal al plano YZ I ©8"0

Si C - 0, el plano P: Ax + By + D ™0, es paralelo al eje Z y además es ortogonal al plano coordenado XY.

I l*vo Si B = 0, el plano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y además es ortogonal al plano coordenado XZ 12®V0Si A - 0, el plano P: By + Cz + D = 0, es paralelo al eje X y además es ortogonal ai plano coordenado YZ 13*vo Si D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(7,2,-3) y B(5,6,-4) y es paralelo al eje X. Solución

51

Rectas y Píanos en el Espacio Tridimensional

Sea P el plano buscado. P: N .[(.x,>s,z)-(7,2,--3)] = 0 como A ,B e P => AB =(■ nonnaí es:

11

---- k X

í!

__k

i

j

k

1

0

0 = (0,1,4)

-2

4

-1

=> P :( 0 ,l,4 ) .( x - 7 ,y - 2 ,z + 3) = 0

P: y + 4z + 10 = 0

1.29.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.Consideremos la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D = 0 y un punto pj (x\yy u z\) que no pertenece al plano P.

consideremos un vector unitario p N en la dirección del vector normal, es » N 1 decir: =si A 2 + B2 + C

II N II

como 0 ± ¿ ( p op {, p N) entonces p 0 p¡ , p N =¡! PnPi Ileos©

- ( 1)


(2 )

d ( p l , F) =jj p Qp l ¡¡ eos 0

En el triángulo rectángulo se tiene: de (1) y (2) se tiene que:

1 * ( A , B , C ) \ x x- x 0, d ( p i,P) = p 0p l.¿iN =N ~ Í E 7 ¥ ~ +c 2 A ( x l - x 0) + B ( y x - J o ) + C(z, - z0)

- >o, 2i ~ z 0)

| Ax¡ + By, + Cz, + ( - 4x0 - By 0 - Cr0 )| /T + ¿T +
Jxj +

+ Czj + Z)|

í2 +

Ejemplo.- Calcular dado

la

distancia

£ 2 + C2

del

punto

A(l,5,-4)

al

plano

por P: 3x - y + 2z = 6. Solución

d ( A 9?) =

¡3^0 - ,.v0 + 2z0 - ó)

¡3 —5 —8 —6j

16

V9+1+4

j\4

V14

d ( A i1, ) = OBSERVACIÓN.-

16 V¡4

Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos Pi: Ax+ By + Cz + D¡ =0 y P2: Ax + By + Cz + D2 = 0,

la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula.

A ~~ A

d(Pk,Pa) J

a

___

2 +b 2+c 2

Ejemplos.- Hallar la distancia entre los planos paralelos P t: x - 3y + 4z = 10 y P 2: x - 3y + 4z = 6. Solución

53

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Aplicando la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos. P¡: x - 3y + 4z =10

y

P2: x - 3y + 4z - 6 = 0

d(V p Ia ~ D21 _ l - 10~ (~6)l ” y¡A2 + B 2 + C 2 VT+9+1Í6

4 _ _ 2^ V26 13

2>/26 13

•••
1.30. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.Consideremos la ecuación vectorial de una recta

L = {p 0 + t a / 1 e R} y la

ecuación general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es N = ( A,B,C)

a N n cos Q ------------- ? además se tiene a = — - 0 , entonces: II a || || Jv ||

2

sen a = sen(~ - 0 ) = cos 0 =

por lo tanto:

II a || i| AHI Que es la expresión para calcular el ángulo a formado por una recta y un plano

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Hallar el ángulo 0 que forma la recta L = {(l,8,l)+t (1,1,2) / teR} con el plano Fi 2x - y + z = 7, Solución —>

Sea 0~j C(L, F) 1,1)

—>

donde a = (1,1,2) vector dirección de la recta y /V= (2,-

el vector normal del plano P. Ahora aplicamos la relación para calcular el

ángulo 0. sen$:

de donde: sen 9 = — entonces 0 = 60°. 2

1.31. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN í PLANO.La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + Cz + D=' 0 con normal A^ÍAJf^C) es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por — ........

Proyp , ,de tal manera que el vectorp Qp es ortogonal al p< > ' P Para hallar el punto p0

trazamos por el punto p una recta L ortogonal al plano P es — ^ decir: L = {/? + í N / 1 e R} de donde L n P = p0

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Ejemplo.- Hallar

la proyección

55 ortogonal

del

punto A( 1,2,3)

sobre

el plano P: x - y + 3z = 4 Solución

IL

— ► como P: x - y + 3z = 4, donde #= (1,-1,3) es la normal de P y L la recta que pasa por el punto A(l,2,3) y es perpendicular al plano P — ► entonces L - {A + t NI t g R} es decir: L = {(1,2,3) + t( l,- l,3 ) / 1 e R}

Sea B e L n P => B

g

L

a

B

g

P.

Si B g L => B(1 + 1, 2 - 1, 3 + 3t) para algún t como B

g

g

R

4 P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 => t = ——11

7 26 21 de donde B (— , — , — ) por lo tanto la proyección ortogonal del punto A 11 1 1 1 1 7 26 21 sobre el plano P es B (— , — , — ).

11

11

11

1.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL PE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.____________ La

proyección

ortogonal

plano P: Ax + By + Cz + D =

de es

la

recta recta ^

L - {p 0 + / a/ / e /?}

sobre el

cual denotaremos por Vroyp

que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que son las proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P

56


P

L'={P0 +t P0 B / t e cuando L X P

A’ / L'

{P'+l( A ' - F ) ! t e . R } cuando L // P

Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta L = {(t, 1 - 1, 2t) / teR} sobre el plano P: x + y + z = 1 Solución

L

como L y P no son paralelos, entonces existe un punto de intersección A e L a P. Si A ¡J Si A

e

L

e

L => (t, 1 -1, 2t) para algún t € R

a

P entone A s L a A g P

como A e P = > t + l —t + 2 t = l => t = 0 => A(0,1,0) por otra parte: L = {(t, 1 -t, 2 t)/te R } - {(0,1,0)+ t (1 ,-1 ,2 )/1 e R}, de donde a\=~AB =(1,-1,2)=> B~A-(1,-1,2), B=A+(1,-1,2M0,1,0)+(1,-1,2) =>B(1,0,2) ahora calculamos el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre el plano P, para esto trazamos la recta Lj que pasa por B perpendicular al plano Lj = {(1,0,2) + A. (1,1,1) / XeR}

P es decir: Sea C

g

L|

a

P

C eL jaC eP


57

Si C € L| => C (1 + X, X, 2 + X) para algún X e R. como C € P => l+A . + X + 2 + X.= l

de donde

2

A = —— 3

y AC = C - A = ^ (1 -5 ,4 )

SiL'=Proyj; = { A + t AC 11 e R} de donde.'.

V = {(0,1,0) + /(1,-5,4) !t e /?}

Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta L = {(2 + t,l - 3t, -5t) / t g R}, sobre el plano P: 2x - y + z = 1.

Solución L - {(2,1,0) + 1 (1,-3,-5) / 1 e R}

A

£

Ir

Donde a =~AB = ( 1 ,-3 ,-5 )si A(2,l,0)=> B(3,-2,-5)

L'

ahora calculamos sus proyecciones ortogonales sobre el plano P, C = Pr ayj? y D = Proyp

para

calcular C trazamos la recta Lt que pasa por A es decir: como C € Li Si C

6

Li

A

P => C € Li

A

L, = {(2,1,0) + t (2,-1,l ) / t e R} C € P.

C(2 + 2t, 1 - 1 , t) para algún t

como C e P = > 4 + 4 t - l + t + t = l ahora calculamos el

6

R.

1 ==>t - - ~ por lo tanto 3

44 C(— 33

1 3

puntoD,para esto trazamosla rectaL2 que pasa por el

punto B, es decir: L2= {(3,-2,-5) + t ( 2 ,- l , l ) / t e R}, como D € L2 a P entonces:

58

Eduardo Espinoza Ramos D

e

L2 => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + 1) para algún t € R.

como D eP => 6 + 4t + 2 + t-5 + t= 1 => t

1

7 5 16 D(—,— ,---- ) de donde 3 3 3

3

/. L ’= P r o y f =

3 3

3

) + í(4 ,-1 7 ,3 1 )// £ /?}

1.33. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.- __________ La distancia mínima L \

d(L.P)< ! \

L = {p0 + f a /í e R}

y

entre una recta un

plano

P:

— ► N . ( p - Q 0) = 0, donde la recta L no está contenida en el plano P y además L es paralela a P es dado por la fórmula. QqPq ' N 11*11

Ejemplo.- Hallar la distancia de la recta L = {(-2,1,5) + t (3,-4,4) / 1 e R} al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 Solución Tomemos un punto del plano. z = 0, y = 5, x = 5 entonces Q0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5)

J(¿ .D | ^

Q0 p 0 = Q0 - p 0 = (7,4,-5)

^ 1 ; (7>4' - 5M4’ ~3’ ~6) | - 128-12 + 3Q¡ _ jt6 V16 + 9+ 9+36

VóT

VóT


59

1.34, ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.Consideremos las ecuaciones generales de dos planos Pj:AiX+Biy+ Cj z+D]=0, cuya normal es N = ( Ax, Bx, Cx) y P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, cuya normal es N 2 = { a 2 , B 2 ,C2Y El ángulo 0 formado por los planos Pj y P2 es igual al ángulo entre sus vectores

>

►

normales N x y N 2 respectivamente y es dado por la expresión siguiente.

Ejemplo.- Hallar el ángulo formado por los planos Pi.* x - y = 4 y P2: x+z = 6 Solución Pi: x - y = 4 de donde ~Ñ\ = (1,-1,0),

Si 0 3 ¿ (Pj, P2) - ¿ ( A^ , N 2 )

P2: x + z = 6 de donde

entonces

eos# = *

II II N,

N,

.

(1,-1,0).(1,0,1)

cos 0 = —

" — V2>/2

1-0 + 0

1

= -----------= —, 2 2

= (1,0,1)

.

1

,

a

,AO

como cos (9 = — entonces 0 = 60 2

1.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.©

Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A(l,0,-1) y B (2,1,3) y que además es perpendicular al plano Pj = {(x,y,z) e l ^ / x + y - z + l^ O }

60

Eduardo Espinazo Ramos Solución como P lP j

__ ^

N. i

que: A,Be P => ~AB // P, ~AB = (1,1,4)

* N,=

A

como TV-L A B , N. entonces: i N = 1

P i^

1

de donde tenemos que:

j

k 1 4 = (-5,5,0) = -5(1,-1,0)

1 -1

N = -5(1,-1,0)

— ► P: N . ((x, y, z) - (x0, y0, zo» = 0 de donde

Luego

©

=> N { //P, además se tiene

P: x - y = 1

Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto p(l,2,-3) y por la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY. Solución La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el

N P(1,2,3)

Pq(4,0,0)— * a = (1,1,0))

í x ~ y ‘-2 z - 4 plano XY es la recta L:\ [ z=0 Escribiendo la ecuación

de la recta L en forma

vectorial para z = 0 = > x - y = 4 ^

x~y+4

Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0) Luego L = {(4,0,0) + 1 (1,1,0) / 1 6 R} ahora calculamos la normal — ► a =(1,1,0) entonces:

N = p 0p x a , donde

p 0p = (-3,2,-3)

y


61

—>

k

i N = -3

j 2

-3

1

1

0

= (3,-3,-5), como el plano P pasa por p(l,2,-3)

P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] - 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2, z +• 3) = 0 P: 3x - 3y - 5z = 12 ( 3)

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) y hace ángulos iguales con las rectas L { = {(1,4,2) + 1 (1,1,1) / 1 e R} L2 : eje OX, L3 : eje OY Solución El plano pedido es: P: N . ( p - p 0) = 0, de donde N = (A,B,C) y p0 (3,1,-2) el punto por donde pasa el plano. La condición del problema es: /C (Lj ,P) = ¿C ( L2 ,P) = £ (L3 ,P), donde: para ¿C (Lj ,P) = ¿ ( L2 ,P), se tiene:

— >— > ^ 0

— *— >

= ^ L L — =- J L L - , donde a = (1,1,1), ~b = (1,0,0), A =(A ,B ,C ) II N INI 7 ¡|

|| ÍV || || b ||

efectuando operaciones se tiene que:

(>/3 - X ) A - B - C = 0

... (1)

para ¿ (L2 ,P) = ¿C (L3 ,P) se tiene:

sen f) =

jy .-L

im n m i

=

iia iiiic |

efectuando operaciones se tiene:

, donde b = (1,0,0), c = (0,1,1), N = (A,B,C)

A -B

, (2)

62

Eduardo Espinoza Ramos ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: C = (V3 - 2)B como N = (A,B,C) = ( B , B , ( - J 1 - 2 ) B ) =

B #0

Por lo tanto P: (1,1, V 3- 2 ) . ( x - 3 , y - l,z + 2) = 0 P: x + y + ( S - 2 ) z + 2 y f í - S = 0 ©

Sea ju = (a,b,c) y N = (A,B,C) vectores no nulos de R3 tal que — ►— ► JVJL// si p0 (x0,yo,Zo) es un punto del plano n - A x + B y + Cz + D - Q . Demostrar que L = {/?0 + t p¡ t g R} está contenida en n. Solución — > — > Como N I . ju

— >— > jV. // = 0 => Aa + Bb + Ce = 0 además

L = {/?0 + / /// /

g

J?} ~ {(x0, yo» Zo) + t (a,b,c) / 1 e R}

por demostrar que

L e 7t: Ax + By + Cz + D = 0 Sea p e L => p (x0 + t a, y0 + 1 b, z0 + 1 c) como p0 g 7i => A(x0 + t a) + B(y0 + t b) + C(z0 + t c) + D = 0 + Byo + Cz 0 + Z) + t(A& + Bb + Ce) ~~ 0,

=

o =

0

+ 1 (Aa,

Bb, Ce)

= 0 + to =

0,

entonces p

g k

luego L c

k.

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(3,4,l) y es ortogonal a los planos P j : x -y = 4, P2: x + z = 6. So|uct6n

Rectas j Planos en el Espacio Tridimensional

63

Sea P ] : x -y = 4 de donde N l =(1,-1,0) P2: x + z = 6 de donde N-, = (1,0,1) P: N .(p - A) = 0 es el plano pedido como P JL Pi , P2 entonces N { , N , ilP de donde la normal N de P es:

= (-1,-1,1)

como P: Ar .(p - A)=0, al reemplazar se tiene, P: (-1,-1, l).(x - 3, y - 4,z-l)=0 P: x + y .- z = 6

©

Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.2,-3) y sea paralelo al plano 3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos? Solución Sea

Pi: 3x - y + 2z = 4, donde

Ar, = (3,-1,2) y P elplano pedido,

como

P // P! entonces P: 3x - y + 2z + D = 0 pero (1,2,-3) e P => 3 - 2- 6 + D = 0 => D =

5

por lo tanto el plano es P: 3x - y + 2z + 5 = 0. ladistancia entreambos planos paralelos se tiene:

64 ©

Eduardo Espinoza Ramos Encontrar la ecuación del plano que pasa por ios puntos P¡ (1,0,-1) y P2 (-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6. 4x - y + 3z = 0 Solución

para determinar el vector normal al plano P, primero hallaremos

el vector

—>

dirección v de la recta de intersección.

N.

X

J

k

1

-2

-1

3

N-y =

=(1,-17,-7) donde N x =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3)

ahora trasladamos el vector v paralelamente al plano buscado y con el vector PxP2 = (-2,2,2) se obtiene la normal N al plano P, es decir: i N = p xp 2 v v - -2 1

j 2 -17

k 2 = (20,-12,32) -7

considerando el punto pi(l ,0,-1) en el plano y la normal N =(20,-12,32)se tiene: — > P: N .(p - pi) = 0, reemplazando se tiene. P: (20,-12,32).(x - 1, y, z + 1) = 0 P: 5x - 3y + 8z + 3 = 0

65

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Si

P

es

un

plano

tal

que:

P n eje x = { ( a ,0 ,0 ) / a ^ 0 ,a e R},

P n eje y = {(0,b,0) / b ^ 0, a e R}. Demostrar que P tiene la ecuación.

Solución

Sea a = AB = B - A = (-a,b,0)

b = ~AC = C - A = (-a,0,c) i

j

k = (be, ac,

N = &x b — - a b O -a

0

c

La ecuación del plano es: P: N . ( p ~ A) = 0, reemplazando se tiene: P: (be, ac, ab). (x - a, y, z) = 0 =>

P: bcx + acy + abz = abe

y + _z = i . P: -x + Z. a b e ®

Demostrar

que

la

ecuación

del

plano,

L: x = x 0 +axt, y = y 0 +a 2 t, z = z 0 +a3t ,

que

te R

pasa

'¿o bx

a Solución

=0

la

recta

y es perpendicular al

plano P: ax + by + cz + d = 0, se puede representar en la forma:

a,

por

66

Eduardo Espinoza Ramos En la recta L: x - v0 +a¡/, y ~ y Q+ W = (a , ¿>, c ) . Sea P,; A i. (p ~ p 0 ) = 0 , el plano buscado donde:

íVi = a x N =

Pi : (

a2

h

*

J

a\

a 2

a

b a\

“3 c

P, : !. v -.v,)

a

a2

r/3

b

c

Pi :

a2

= (l jb

a\

a2> c

a

ax a3

a2> c

c

a

c

a\ a

).(jc-jr0, y - y 0’ z - z 0) = o a,
a\ a

a2 b

^•-•v0

y-y0

z -z 0

a\

C12

a2

a

b

c

a3 c

=o

=0

Si A,B,C y D son todos no nulos. Demuéstrese que el tetraedro formado por los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen igual a V -

1 D ABC Solución Sean P, Q, R, los puntos de intersección del plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los ejes coordenados respectivamente, es decir:

P { - ~ 0,0), Q(0 , - ^ , 0 ) y í ( 0 , 0 , ~ ) A

B

el volumen V del tetraedro OPQR es:

C

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional I V-

67

—y i [OP OQ OR ] ! de donde se tiene:

61

D “> I) D OP = ( - — ,0,0), O 0 = (O ,-— ,0), OR -■ (0,0,- —) A B C

1 6

o -— A

0

0

0

D -----0 B

r.

0

(T ^

0

Dados los puntos

D3 _ 1 D 3 ~~ 6 ABC ~ 6 ABC _ 1

V=-

D3

6 ABC

D ----c P j: 2x + 2y - 2z + 2 = 0 y P2: x - 2y - z = 1 y el punto

A(2,l,4). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es paralela a P2 y que haga un ángulo de 30° con P j. Solución —y P ,: 2x + 2y - 2z + 2 = 0, de donde su normal es N ] = (2,2,-2) —^ P2: x - 2 y - z - 1, de donde su normal es N 2 = (1-2,-1) Sea ¿ = {(2,1,4) + f w/f e d o n d e

u - (a,b,c) y || w ||= 1

( 1)

como L / /P2 => w. A2 = 0 => a - 2 b - c = 0 por otra parte se tiene:

P j) = 30u,entonces sen 30° = —

u. N,

II a l i l i l í

donde II

vi

2 a + 2 b - 2 c = -^ -.2 \¡3 => 2¿? + 2 b - 2 c = 3 ... (2)

2

como |¡ u ||= 1

a 2 + 62+ c2 = 1

(3 )

68

Eduardo Espinoza Ramos 2±v2 ^ l a + Ib - 2c = 3 i 1 ± c2 - 1i [\ a ?‘ + b~

resolviendo el sistema setiene:

2±yÍ2

u = (a,h,c) = (—— — , 4 Luego se tiene: (l2 )

l

2 ± ji

2

4

1,

entonces

b ~—

c“

r-

2

±4 l

r-\

)= - 2 ± v 2 , 2, - 2±V2 4

i. ={(2,1,4) + t (2 ±

, 2, ~~2 ± V2) / / e i?}

Hallar la ecuación del piano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al plano XZ y hace un ángulo 6 - árceos * con el plano x + 2y + 2z - 5. Solución __ x + 2y + 1 z = 5

P r x + 2y + 2z= 5gea

de

donde

= (1,2,2) y P2 = XZ P3

? tal que P3i.P2 y además

Sea

■ —^ í¥ 3 = (
la norma de P3 puesto

que 2/3 es paralelo al plano XZ y XZ±P3. — “-y donde N { = (1,2,2) y N 3 =(a,0,c)

Además eos 6 = II Ni IIII N 3 || eos 0 -

(1,2,2 ).(
£

1

c + 2c

3

3 / 0 + c“

+ c“ = a + 2c entonces se tiene: a = — ~c 4


por lo tanto

—^

69

3c c = ( - — ,0,c) = ——(3,0,—4) 4 4

Luego P3: jV3.(/?-(0,01)) = 0, al reemplazar se tiene: P3 : (3,0,~4).(x, y, z -1 ) = 0

P3 : 3x - 4z + 4 = 0

Un plano pasa por el punto A(3,l,-1), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = 4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación. Solución —► Sea Pt : 2 x ~ 2 y + z = -4 , de donde TVj = (2,-2,1) y P el plano por calcular, —^ Luego como Pji_P / /P y como el intercepto Z con P es -3 entonces —y B(0,0,-3) es un punto del plano P y además A, B e P => AB/ /P de donde —> —> —^ AB = (-3,-1,-2) como TVj, AB/ /P entonces la normal P es A dado por: 1 N = N xx A B = -3

2

j

k

-1 -2 = (-5 -1 ,8 )

-2 1

P: N . ( x - 3 , y - 1 , z + l) = 0, de donde P: (-5,-l,8).(x - 3, y - 1, z+ 1) = 0, por lo tanto:

P: 5x + y - 8z - 24 = 0

Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen y tiene una normal que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos OX y OY. Solución Sea P el plano buscado, cuya normal es N = (cos a , cos p , cos y)

70

Eduardo Espinoza Ramos 7 > ^¡2 como a = p = 60° :=> eos" a + eos" ¡3 + eos" y = 1 ==> eos y = ±--~~ 1 1 V2 1, N = ( - , - , i ---- ) = —(l,l,± v 2 ) 2

2

2

2

La ecuación del plano es: P: x + y ± - J l z + D - 0

como d ( 0 , P) = 2

|0+0 + 0 + £>|

i ,

— -v—.--.- - = 2 de donde ¡ D | = 4 => D = 4 v D = -4 Ví +1 +2

Si D ^ 4 entonces Pt : x + y ±\[?.z + 4 = 0; D =-4 entonces P2: x + y ± J l z - 4 = 0 I5j

Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga al punto (2,2 ,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano

+ 2 y - 3z -f 2 = 0

Solución La ecuación del plano pedido es de la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XV 1 í :ormal del plano P es N = ( A , B yO). Si Pj: S x + 2 y - 3 z + 2 = 0, de donde /V) =(V3,2,-3) M .N El ángulo formado por P| y P es 0=60° que es dado por: eos 6 - —— -— II Ni II II ÍV|| ^3A +2 B 1 + I 2 2 /— eos60° = — i de donde —= — ¡ - -------- => 2 \ A ‘ +B = ->J3A + 2B 4 y/A2 + B 2

2

4J 7 + B 2

4 ( A 2 + B 2) = 3 A 2 + 4 B 2 + 4 J 3 A B => A = 4^3B

...(1)

71

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional c o m o ( 2 ,2 ,2 ) e

P

=>

2A + 2B + D = 0

... ( 2 )

de (1) y (2) se tiene D = - ( W í + 2)b

... (3)

reemplazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0 P: A S B x + B y - (8^3 +2)5 = 0,

B * 0

=>P: A S x + y - % S - 2 = 0

La recta L| = { ( 5 + 1 , - 1 , 0) / 1 e f?} se refleja en el plano n:

-y+z -

2x

1=0,

Hallar la ecuación de la recta reflejada. Solución Se observa que Si p2 e

ají =>

p2 p 2 (5

además p2 € /r :

+ /, - / ,

2 (5

de donde P2 ( 2 ,3 ,0 ) com o

n: 2 x - y + z - l =

—> e n to n c e s N ± z r

p2

0)

e

L {a

p a ra

p 2 e /r

algún teR

+ /) + /+ 0 - 1= 0 => t=-3 también

P^ ( 5 ,0 ,0 ) e Lx

0, de d o n d e

TV = ( 2 , - 1 , 1 )

—> => N f / Z 3 d e

donde:

Lj = {(5,0,0) + A(2,-l,l) / X e J?} A e L3 r\7t Si

2 (5

A e

¿ 3=>

A e L3

a

A e x

A( 5 + 2 / 1 , - A , A ) p a r a a lg ú n X e R , a d e m á s A e i t e n t o n c e s

+ 2 X ) + A, + X - 1 = ; 0 e n t o n c e s

A = - ^ , de donde:

4 2 , |, - |) = > Á ? = ( 3 , - |, |) ^ B ^ = Pl-B = 2 Á ^ = 2 ( 3 ,- |,|) = (6,-3,3)

P1P2 ~

P 2 ~ P 1 = ( - 3 , 3 , 0 ) => B p 2 - p 2 - B = (3 ,0 ,3 ) c o m o B p 2 / / L

entonces L = {(2,3,0) +

r ( 3 ,0 , 3 ) / r e

R}

y

p2 e

L

Eduardo Espinazo Ramos

72

D ado

el plano P: x -

2y

+ 3z - 8

la recta

y

L:

x

+4

5- z = —~ , y ~ -1 . H allar

la

ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2,-1) paralela al plano dado y corta la recta L. Solución

-v-f- 4 5A la ecuación de la recta L : -------------4 -3 vectorial L = {-4,-4,5) + t(4,0,3) i t e- R}.

2

,

y=

-1,escribiremos en fo

Sea L, la recta por determinar, es decir: I, = -¡(0,2,~ 1) + r(a,Z>,c)/ r e /?}como Lj corta a L => 3 p e 1, ¡ n L Si

p e

p f: L¡ -> p(n¿, 2 + rb, - 1 + rc)

Lj a p

e

p eL

L ■=>

p(-4 4- 4t, -1, 5 + 3x)

de donde por igualdad (ra,2+- rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) entonces: 4t —4

-4 + 41 ~

ra

... ( ) 1

- \ - 2 + rb

r

5 + 3/ = -1 + re

6 -3 1

como P: x -2y + 3z -■ 8 de donde

N

a _L A' donde a ~(ayb,c) Si a ± reemplazando (1) en (2) se tiene. de donde:

12 a = — r

3 , b = —

N

4/ - 4 r

6 , c =

r

- (1,-2,3) como Lj / /P entonces

r

=> a . N = 0 => a - 2b + 3c = 0 ... (2) 6

18-9/

r

r

+ — + -------

como

■0 => t = 4 x 3 /d t

a = {a,b,c) = —( 4 - 1 - 2 ) r

.-.I, = {(0,2-1) + /t(4 -1,-2)/ a e/?}


73

E l i n t e r c e p t o Y d e u n p l a n o e s m e n o r e n u n a u n i d a d q u e s u in t e r c e p t o

Z

y

m a y o r e n 2 u n i d a d e s q u e s u in t e r c e p t o X , s i e l v o l u m e n e n c e r r a d o p o r e l p l a n o y lo s tr e s p l a n o s c o o r d e n a d o s e s 1 5u3, H a l l a r la e c u a c i ó n d e l p la n o .

Solución L o s p u n to s

por

donde

p asa

( 0 , 0 , a ), ( 0 , a - 1 ,0 ), ( a - 3 , 0 ,0 ) y

n

el p la n o

son:

la e c u a c i ó n d e l

p la n o e s :

n\ N.(x,y,z) = d

donde

( 0 , 0 , a ) e 7i =>

( A , B , C ) .( 0 ,0 , a ) = d

( 0 , a - 1 ,0 ) e ti

A = (A ,B ,C ) aC = d

=> ( A , B , C ) .( 0 ,a - 1 ,0 ) = d

B ( a - 1 ) = d => ( a - 3 , 0 ,0 ) e

71

( A , B , C ) .( a - 3 ,0 ,0 ) = d => A ( a - 3 ) = d . d e d o n d e

A -

^

a -

d _

3

c

= ^

a d e m á s se tie n e q u e : V = —

a

6

a - i

= 15

com o

ti:

-► N . ( x , y tz) = d

d o n d e F = 1 5 w3 ABC

d

d

d

3

5

6

( a - 3 ) ( a - l ) a = 9 0 => a - 6 d e d o n d e

1 1 1 = > n : d ( — , —, — ) . ( x > y , z ) = d 3 5 6

x y z n : ~ + —+ —= 1 3 5 6

H a l l a r la e c u a c i ó n d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 ,- 1 ,1 ) , p e r p e n d i c u l a r a la re c ta 3 x = 2 y = z, y p a ra le la al p la n o x + y - z = 0 S o lu c ió n

Sean L = {(1,-1,1) + ^(a,b,c) / X e R} la r e c t a

buscada

L x: 3 x ~ 2 y - z

74


i 1 L±JLX => (a,Z>,c).(—, —, 1) = O 3 2 com o

el

p la n o

P:

x

y

+

-

2 a + 3b

z

=

0,

de

... ( 1)

+6 c = O donde

N - (1,1,

por ser

1)

FUL => N.(a,b,c) = 0 (1,1,-1).(íi,¿>,c) = 0

e n to n c e s a + b -

c= 0

... ( 2 )

Í 2 a + 3b + 6 c = 0 a h o r a r e s o l v e m o s e l s is te m a s ig u ie n te : a

( a ,b , c ) = ( 9 c ,- 8 c ,

c) =

R } lo

que e s

Sean

n x: 3x + y - z = 1

c ( 9 , -8., 1)

ig u a l a e x p r e s a r

y

en la

+

p o r lo ta n to fo rm a .

b -

c ~ 0

j a - 9c

=> ]

[ b = - Se

L = { ( 1 ,- 1 ,1 ) + 7 , ( 9 ,- 8 ,l ) / X e

x -1 y +1 z -1 L: — — = -------- = -------9 -8 1

zr2: x - y + 3 z ~ \ , dos p la n o s . Hallar las ecuaciones

p a r a m é t r i c a s d e la r e c t a L q u e p a s a p o r la s p r o y e c c i o n e s

del punto

Q ( 1 ,1 ,1 )

s o b r e c a d a p la n o .

Solución

D e l g r á f i c o s e o b s e r v a q u e la r e c t a p ro y e c c io n e s d e l p u n to Q p u n to s A y B .

L

p a s a p o r lo s p u n t o s

AyB

q u e s o n la s

s o b r e c a d a p l a n o , p o r lo t a n to c a l c u l a r e m o s lo s

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional L x,

P a r a e l p u n t o A t r a z a m o s la r e c t a

75 e s d e c i r : L x = {(1,1,1) + / ( 3 , 1 , - 1 ) / 1 e R ]

c o m o A e L xr \ 7 l x e n t o n c e s A e L x a A e / T , . S i A e L x => A (1 + 3 t, 1 + t, 1 - 1)

2 p a ra

de

a lg ú n t € R , a d e m á s A e 7 t x = > 3 ( l + 3 t ) + l + t + t - l = l = > / = - — , 5 9 13 e l p u n t o A (— , — , — ) • P a r a e l p u n t o B tr a z a m o s la r e c t a L 2 , e s

donde

d e c i r : L 2 = { (1 ,1 ,1 )+ í ( l , - 1 , 3 ) / í e / ? } c o m o B e ¿ 2 n

Si B e L y

=>

B (1

+ t,

1 - t, 1 + 3 t)

p a ra

adem ás B e ; r 2 = > l + t - l + t + 3 ( l + 3 t ) = l

a lg ú n

=>

L2

712 => B e

t-

t e

a B g 7V2

R

2 -

11 9 13 5 ¿?(y y , — , y y )

d e d o n d e el p u n to

Sea

a = AB 5

9

=

p o r lo t a n t o l a r e c t a L p e d i d a e s :

11

13

L = {(yy, yy, yy) + A(l,l ~ 2 )

/ A

<=R]

c u y a s e c u a c io n e s p a r a m é tn c a s es:

x =—+p 11

L:

,P

e R

13 z = — -2 P

11

1.36. EJERCICIOS PROPUESTOS.O

U n a re c ta p a s a p o r e l p u n to

Lx ~

A(-2,l,3), es p e r p e n d i c u l a r

{(2,2,1) + r(l,0,-l) / 1 e /?} .

H a lla r

la e c u a c i ó n

e in t e r c e p t a a la r e c t a

v e c to ria l

de d i c h a

r e c ta .

R p t a . L = { ( - 2 ,1 , 3 ) + A .( 1,1 ,1 )/A, e R } .

76

©


Por los puntos A (-ó,6,-5) y B (1 2 .-6 ,l) se ha trazado una recta. puntos de intersección de esta recta con los planos coordenadas. Rpta.

H allar

(9,-4,0), (3,0,-2), (0,2,-3)

Dados los vértices de un triángulo A (3.6,-7), B (-5,2,3) y C(4,-7,~2). ecuaciones paramétricas de su mediana, trazada desde el vértice C. Rpta, x = 4 + 5 t ,

O

los

H allar

las

= -7 - 111, z = -2

y

Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto A(-l,0,2), es ortogonal a la recta I,r-¡ = j(2,2,0) + /(5.-2,-3)/í e /?} y que corta con la recta X - 1

‘ ©

y

2-1

5

1

= - = ----- .

2

Rpta. L= {(-1,0,2)+t(32,65,10)/t g R}.

H a l l a r la s e c u a c i o n e s d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o M ( - 4 , - 5 ,3 ) x +1 c o n la s d o s r e c ta s . L : -------- = 3

1

v -f-3

2-2

-2

-1

x -2 ; '

R p ta .

‘ L :

2

x +• 4

la s

e c u a c io n e s

p e rp e n d ic u la r

x-\ 3 ©

al

de

v e c to r

la

re c ta

que

p asa

a = ( 6, - 2 , - 3 )

por

c —3

3

- i

y

el p u n to

se

= --------= -----------------------------

2

c o rta

la

con

2

es

re c ta

2+ 3

L: —

R p ta .

- 5

D a d a s la s r e c t a s

A ( -1 2, 3 ),

JT+1 v - 2

v + 1 2 -3

se c o rta

y + 5

3 H a lla r

y

v -(-1 z - 1 L 0 : --= 1-= ------3 - 5

- =- — - - = —

6

o

I , = { ( 3 ,l,0 ) + t ( l , 0 , l ) / / e R \ y £ , = { ( 1 , 1, 1 ) + > 1 (2 , 1 ,0 ) / ^ e /? }.

H a lla r e l p u n to Q q u e e q u id is ta d e a m b a s re c ta s u n a d is ta n c ia m ín im a , a d e m á s

h a l l a r e s ta d is t a n c i a .

Rpta.

13 ? Q (— , * 4 2

3 -~ ) y 4

H a l l a r la e c u a c i ó n d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 2 , 0 , l ) l a r e c t a L x = { ( 1 ,2 ,3 ) + 1( 2 , 2 , 3 ) 11 e /?}

y que

a

-v/ 6 -------

4

in t e r c e p t a a

e n á n g u l o r e c to . R p t a . L = { ( 2 , 0 , 1 ) + M - 3 3 , 1 8 ,1 0 ) / t e R }

77


La recta

L p asa

por el p u n t o

x-~l

z-3

4

2

la recta L :-------- = ------ - = * 3

A ( 2 , i , 5 ) y adem ás intercep ta y

y +2

es p e rp en d icu la r a

Determinar la ecuación de la recta L. Rpta. L~ {(2,1,5 )-H(28, -11, -20)/t e R}

Hallar la

e c u a c ió n

de

la

re c ta

que

pasa por el punto medio d e

AB

donde

A ( - 5 , - 4 , 4 ) y B ( 3 , - 2 ,- 4 ) y q u e c o r ta a la r e c t a L x = {(1,1,1) + ¿ ( - 3 , - 8 , - 3 ) / 1 e /?(

Rpta. ©

D e te r m in a r

la

d is ta n c ia

m ás

c o rta

Rpta.

L 2 : x ~ y ~ 2 6 ■+*z

(l^ )

e n tr e

la s

,

= y ■= z

p u n t o q u e e q u i d i s t a d e a m b a s r e c ta s u n a d i s t a n c i a m ín im a . 13

3

4

2 4

U n a r e c t a L j p a s a p o r lo s p u n t o s A ( 2 , l , - 1 ) y B ( 5 , - l , 3 ) lo s p u n t o s C ( - 4 , 2 ,- 6 )

y c o rta p e rp e n d ic u la rm e n te a

Rpta.

L2.

H a l l a r la

3

y o tra

re c ta L 2 p a s a p o r

Lx. H a l l a r

la e c u a c i ó n

L 2 = { ( - 4 ,2 ,- 6 ) + /( 2 ,l 1 ,- 7 ) / í e

de

R}

e c u a c i ó n v e c t o r i a l d e l a r e c t a q u e in t e r c e p t a u n á n g u l o r e c t o a la s L x = { ( 3 ,4 ,3 ) + í ( 2 , 2 , 3 ) / 1 e

R}

y

l 2 = { (1 ,6 , - l ) + ¿ ( - 1 , 2 , 0 ) ¡ A e

Rpta. (l^ )

2x

d { L x , L 2 ) = 13>/2w

Rpta. P(—

re c ta s

L x:

re c ta s

/?}, L 2 = {(3 ,2 ,1 ) + ¿ ( 2 .1 ,0 ) / /l e R ] ,

S e a n la s r e c t a s I , = { ( 5 ,1 ,2 ) + / ( 2 , 0 , 2 ) / f e

Hallar u n

L = { ( - 1 , - 3 ,0 ) + > .(1 ,4 ,2 )/ X e R }

R)

L = { ( l,6 ,- l) + t( - 2 ,- l,2 ) /t e R}

Dado lo s v é r t i c e s d e u n tr i á n g u l o A ( l , - 2 , - 4 ) , B ( 3 , l , - 3 ) y C ( 5 , l , - 7 ) . H a l l a r las ecuaciones p a r a m é í r i c a s d e la a l t u r a bajada desde el v é r t i c e B al la d o o p u e s to . Rpta. x = 3t + 3, y = 1 5 t + l , z = 1 9 t - 3

(^ )

H a lla r

la

e c u a c ió n v e c to ria l d e u n a

corta a las r e c t a s

L x = {(1,1,1)

recta q u e pasa p o r

+ / ( 2 , 4 ,5 )

e l p u n to A ( 2 ,l,- 1 )

y

/ 1 e R\ y L 2: eje x. R p ta . L -{ ( 2 ,l,- l) - K ( 1 3 ,8 ,- 8 ) /1 e R}

78


XJj

D a d o lo s v é r t i c e s de u n t r i á n g u lo A { 3 ,- 1 ,- 1 ) , B ( l , 2 , - 7 ) y C ( - 5 , 1 4 ,- 3 ) . H a l l a r la s e c u a c i o n e s c a n ó n i c a s d e la b i s e c t r i z d e l á n g u lo i n te r n o d e l v é r t i c e B . jc -

1

v -2

z+ 7

~3

-8

Rpta. L: ——= ——- = — — 1 ( l j |)

D a d o s lo s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o A ( 2 , - l , - 3 ) , B ( 5 , 2 ,- 7 ) y C ( - 7 , l 1 ,6 ). H a l l a r la s e c u a c i o n e s c a n ó n i c a s d e la b i s e c t r i z d e l á n g u lo e x te r n o a i v é r t i c e A .

Rpta. (j*^)

x - 2 y +1 L:--------= - — ó -1

24- 3 — “7

H a l l a r u n a recta L que intercepta a la s r e c t a s L x = { ( 2 , l , - l ) 4 - f ( 3 , 4 , Q ) / 1 e R] y L 2 = { (1 ,1 ,2 ) + t ( - 4 , 3 , 0 ) / i €: /?}

f o r m a n d o u n á n g u lo 0 = a r c t g V 2

con cad a

u n a d e e lla s .

Rpta. ( 2^

I 1= { ( | | . | | . - l ) + t ( l - 7 ^ ) / í «= r \ , U = | ( | i ,

-1) + A(~l,7,5)/1 6 /?[

E n c o n t r a r la longitud del c o r d e l q u e s e n e c e s i t a p a r a lleg ar desde e l p u n t o P ( 8 ,6 , 5 ) h a s t a u n a v a r a r e c t a d e m a d e r a q u e p a s a p o r lo s p u n t o s A ( 3 ,5 ,3 ) y

[629 B ( 8 ,3 ,l) .

21)

R p ta .

H a lla r la e c u a c i ó n

d e la r e c t a L q u e p a s a p o r e l p u n t o L x = {(1 + 2 t , 5 r, 14 -t)í t

o r t o g o n a l a la r e c t a

:

L "

L as

= 5 re c ta s

= 2

d (P .I) ^ v

R pta.L=

e

/?}

V3

M ( i ,0 ,2 ) q u e es

y q u e s e c o r ta c o n la r e c t a

{ ( 1 ,0 ,2 ) +

t(53,- 1 4 , - 3 6 ) / t

e R)

- 3

Lx

y

L2

de

v e c to re s

d ire c c io n a le s

( - 3 ,1 , 2 )

r e s p e c t i v a m e n t e , s e i n t e r c e p t a n e n ( 4 , 1 ,1 ) . H a l l a r la r e c t a ( ó r e c t a s )

y

( 1 , 2 ,3 )

L3

q u e al

i n t e r c e p t a r a la s d o s p r i m e r a s , d e t e r m i n a n u n tr i á n g u l o i s ó s c e l e s c o n b a s e e n i>3 y c u y a á r e a e s ó V l 9 u 1 .

79

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 23)

H a l l a r la s r e c ta L q u e p a s a p o r e l p u n t o A { 5 , 0 ,0 ) q u e c o r ta a l e je y e n u n p u n to B d e ta l m o d o q u e f o r m a c o n e l o r i g e n u n t r i á n g u l o d e a r r e a 3 0 i T .

e

R p t a . L = { ( 5 ,0 ,0 ) + t ( - 5 ,± 1 2 ,0 ) / 1 \2 y

H a l l a r la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e la p e r p e n d i c u l a r c o m ú n a la s r e c ta s , dadas

por

la s

L x: x - 3 t - 7

e c u a c io n e s

L 2 : x - t + 1 , y = 2 / - 9 , z - - t - 12.

( 2^ )

R}

, y = - 2 ¿ + 4 , z = 3¿ + 4

y

R p t a . L : x = 2t~5 , y = - 3 t + l , z = - 4 t

U n a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 1 ,2 ,3 ), h a c i e n d o u n á n g u l o d e 3 0 ° c o n e l e je X y 6 0 ° c o n e l e j e Y . H a l l a r s u e c u a c ió n .

Rpta.

®

D a d o s u n p u n to A e n la r e c t a

que

d e te rm in a n

la

e c u a c ió n

v e c to ria l

de

L x = { ( l,- 2 ,5 ) + / ( 2 , 3 ,- 4 ) / 1 g R )

Rpta.

á n g u l o r e c to .

( l$ )

la y

re c ta

un

AB

s e g m e n to

que

||

L,

AB que

||= 1 0 in t e r c e p t a

a

la s

re c ta s

L 2 = { ( - 2 ,1 ,- 2 ) + ¿ ( 0 ,1 ,2 ) / Á e R} 9

L =

9

en

25 , — ) + r ( - 3 0 , 1 9 7 , - 1 3 7 ) / 1 g /?}

H a l l a r la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o P 0 ( 3 , - 3 , 4 ) y q u e e s o r t o g o n a l a c a d a u n a d e la s r e c ta s y

( 25)

f ( ± V 3 , 1 , 0 ) / / e /?}

L x u n á n g u lo d e 3 0 °. H a l l a r la d i s t a n c i a d e A a B .

Rpta. H a lla r

{(1,2,3) +

x —1 y - 1 z -1 L x: --------= --------- = ---------y u n p u n t o B e n la r e c t a 2 3 4

L 2 = { ( 3 ,0 ,8 ) + t ( 1 ,2 .5 ,2 ) ! t e R} f o r m a c o n la r e c t a

L =

:

x - 3 2 y - l 3 -z -------= ------------ = --------- . 1 2 - 3

D a d a s la s f e c t a s

Lx q u e

p o r lo s p u n t o s C ( 7 , 4 , 3 )

L x = { ( - 2 , 3 , - 2 ) + ¿ ( 2 ,- 1 ,5 ) / 1 e R }

R p t a . x = 3 - 7 t, y = -3 + 1 l t , z = 4 + 5 t

p a s a p o r lo s p u n t o A ( 2 , l , 2 ) y B ( 5 , 4 ,5 ) y y

D ( 1 0 ,8 ,5 ) .

L2

que p asa

Eduardo Espinazo Ramos

80

a)

¿Cuál es la menor distancia entre ambas rectas?

b)

¿Calcular un vector ortogonal a ambas rectas cuya longitud sea igual a la Rpta. a)

d is ta n c ia m e n o r?

(jj)

D e t e r m i n a r u n a r e c ta L ta l q u e c o n la s = { (2 + A, 1 +

Rpta. ( 3 Í)

A,

3+

A) f Á e

L = | ( 4 , 3 ,4 ) + 1( 1 ±

r e c ta s

a = (-2,1,1)

b)

d = V ón,

L x = { ( 2 ,1 ,4 ) + /( 1 ,1 ,0 ) / / e /? } ,

R \ . D e te r m in e u n tr i á n g u lo d e á r e a 5

5V 2 , - 1± 5 ^ 2 , ± 5 ^ 2 ) / 1 e

u2 .

r)

de lo s p u n t o s A, B , C y D e s u n p a r a l e l o g r a m o si las los tres p r i m e r o s p u n t o s s o n A ( l , 2 , 3 ) , B ( 0 , - l , 4 ) , C(-l,2,6). e c u a c i ó n de la r e c ta q u e pasa p o r lo s p u n t o s C y D .

L a u n ió n c o n s e c u t i v a c o o rd e n a d a s d e H a l l a r la

Rpta. (3 2 )

¿ C u a le s s o n lo s

puntos

d e la r e c t a

L = { ( 0 ,5 ,5 ) + t ( - 1 , - 3 , l ) / t €

L - { ( * ,y , z ) e R 3

ix

R}

- y = z j ta le s q u e ,

j u n t o c o n e l p u n t o ( 0 ,0 ,2 ) d e t e r m i n a r u n tr i á n g u lo e q u i l á t e r o ? . H a l l a r u n a e c u a c i ó n d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o P0 (0,1,1) re c ta s

Lx = {(1,— -2,0) + r( 1,2,1) / 1

e

y corta a las

R), L2 = j(jc,y,z) e R 3 i x = y . x - zj Rpta.

L = { ( 0 ,1 ,1 )

: ? - , l , l ) / t € R}

Dadas las rectas Lx = {(2 + t, 6+2r, \ )t t e /?} y L2 = ¡(1, 6 + r, 1) Ir e /?}. Hallar la recta L que intercepta a L x y L 2 determinando un triángulo

de

una

unidad cuadrada de área, si L pasa por el punto M(3,2,l). Rpta. L - {(3,2,1) + t(-2,5,0) ti e R} ( 3 ^)

Dado el punto A(4,3,2), determinar

dos puntos B y C de la recta

L ={(2t,3,-t) / 1 e R} tal que con A sean los vértices de un triángulo isósceles de área igual a 6 u 2, si el lado desigual esta sobre la recta L.

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional ¿6)

81

Dado el punto A(4,3,2), determinar dos puntos B y C de la recta L = {(2,-2,2) + t(3,l,l)/t e R}, tales que con A, sean los vértices de un triángulo isósceles de arrea igual a 9>/22 unidades cuadradas, si el lado desigual esta sobre la recta L.

£7)

Dado el punto Q(6,3,2) y la recta L = {(1,-1,4) + t(0 ,-l,l) / 1 e R} determinar las rectas que pasa por Q y cortan a L formando un ángulo de,60°. 3^2

2^2

Rpta.

L} = {(6,3,2) + ¿(-5,-1 + ------ - 1 2

L 2 = {(6,3,2) + ¿(-5 ,-1

3V2

3V 2 -1 + ------ ) / X e R)

2

38)

) / t e R} 2

2

Las rectas L, = {(3-2,4) + í(0,4,-4) !t e R\, L, = {(1,-1,2)+¿(-2,-1,0) / /le/?} y ¿ 3 = {(2,6-3) + a ( 3 ,-5 ,5 )/a e /?} contiene 3 aristas de un paralelepípedo. Encontrar cada uno de los otros vértices de este si (3,-2,4) y (2,6,-3) son dos de ellos. Rpta. (3,-2,4),(2,6,-3),(3,0,2),(5,1,2),(5,-1,4),(0,3,-1),(0,5,-3),(2,4,-1)

39)

Hallar la ecuación de una recta perpendicular al plano XZ, que una las rectas L , = { (l,-l,l) + í( 2 ,- l,4 ) /í e R), L2 = {(1,2,-3) + 4 - 1 , 4 ,2 ) / ^ e /?} Rpta. L ={(0,6,-l) + 1(0,1,0) / te R}

Î0)

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3,4,-5), corta a la recta Lx = {(l,3,-2) + /(4,3,2) í t e 7?} Ll : "

(4 l)

x -4 2

y

es

perpendicular

a

la

recta

y+2 = í ---- , z = 5 3

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,2,3) y que intercepta perpendicularmente al segmento de extremos (2,3,4) y (-3,2,5).

82 >42)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,1,5) y es perpendicular a los vectores (1,-1,2) y (2,1,-1).

43)

Determinar la ecuación de la recta que intercepta un ángulo recto a la recta £, ={(1,2,3) +

44)

(45) ^46)

/ 1 e R} y que pasa por el punto A(2,0,1).

Hallar el punto de intersección de las rectas si existen. a)

x y - 2 x -1 z +3 L{: — = — — = z + 1, L2: — — = v + 2 = -----3 - 1 4 ' -3

b)

L, :

x -2

y- 2 = :----- = z - 3, -3 6

x- 3 z +2 ¿ >: = y +5= — — " 2 4

Hallar la distancia entre las rectas

z

V

L : x = ~ = —, L^ \ 2 3 ' ^

x -1

= v - 4 = z +1

-1

Encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen, es perpendicular a la recta x = y -5, z = 2y -3, y que intercepta a la recta y = 2x+

1

a

z=

x

+ 2,

x y z Rpta. L: — = — = — -1 ~1 1 41^

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0( 1,0,1) y corta a las rectas Lx = {(-1,1,1) + ¿(2,0,l) !t e /?], L2: x - y + z = 1 , x + 2 y - z = 0 Rpta. L = {(1,0,1)+ M-6,7,18) / X e R j

48)

Hallar una ecuación vectorial de la recta que pasa por P(0,l,-2) y corta a las rectas Lx = {(1,4,3) + í(l,3,0) / t e /?}, L2 = |(x,y,z) e RJ / x - y = 3z

a

4 - z = x}

Rpta. L = {(0,1,-2) + 1( 13,39,-7) / 1 € R} ^49J

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,l,2) y corta a las rectas Lx - {(2,4,~l) + /(0,1,2) / í e i?}, L2: x -

y

+z = 4

a

2x + r = 6

Rpta. L = {(0,2,6) + t (1,-1 ,-2)/t e R)

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional ( s í)

83

Hallar una ecuación vectorial de la recta L cuya ortogonal sobre el plano XY esta dado por z = 0, x - 2y - 5 = 0 y cuya proyección ortogonal sobre el plano YZ esta dado por x = 0, y - z + 2 = 0.

51j

Sean

las

rectas

L1:jc -y + z - 5 = 0 ajc-3>> + 6 = 0; L2 : 2 y + z ~ 5 ~ 0

4x - 2y + 5z - 7 = 0. Demostrar que 52)

Rpta. L= {(1 ,-2,0) + t(2,1,1) ¡X e R

Hallarla ecuación de la recta que

a

/ í L2. pasa por el punto P0(l,6,-5) y es

perpendicular a cada una de las rectas. Zj: 3jc - 2 v + 3z + 9 = 0 L2: 2x + 2>’- 5 z + 10 = 0

a a

x

+ y - 2z +13 = 0;

x-y-z-Y 3= 0 Rpta. L = {(1,6,-5) + t(-21,19,-30) / t e R}

53}

Encontrar la distancia perpendicular del punto P(-l ,3,1) a la recta x-2z=l, y = l. 3V 10 Rpta. d (p , L) - —-—

54j

Hallar la distancia del punto P(6,-3,3) a la recta L:2x+2y+z=0

a

4x-y-3z -5=0

Rpta. d(p,L) = 3 Las rectas L{ = j(x,y,z) e R 3 / x - 2 y = 3, z = 2j, L 2 = {^ + t(3 ,-5 ,5 )/í e /?}, = J( x , y ' z ) e R 3 / x = 3, y + z = 2 J contiene aristas de un paralelepípedo, uno de cuyos vértices es A(2,4,-l) encontrar sus otros vértices y su superficie lateral. Rpta. a) (3,0,2),(5,-1,4),(0,5,-3),(5,1,2),(0,3,-1),(2,6,-3),(3,-2,4) b)

{2^294 -f 2>/2 +4Vó)w2

84 @

Eduardo Espinoza Ramos Demostrar y-«i i.: m,

que la y-b]

condición, mx

y W-

según la cual las dos rectas x - a 2 y - b 2 z —c 2 están situadas en a2 - a ]

un plano, se puede expresar de la forma:

c7 - c ,

-6 j

m.

Halle el punto de intersección de la recta: L: x = 4 + 5t , y = -1 + t, z = 4 - 1 y el plano 3x - y + 7z + 8 = 0. Hallar

la distancia x + y + 2z -1 = 0 x - 2 y - z -1 = 0

mas ; Zo

Rpta. P(-31,-8,l 1) corta entre las 2x - y + z - 3 = 0 A' + V 4-

Z ~~1 =:: 0

Hallar la distancia del punto P(-l,2,3) a la recta: L :

dos

rectas

cruzadas

Rpta. d(L], L1) = ■7 6

v+ 3 - 2

3

Rpta. d(P,L) = 7 Hallar la distancia mas corta entre las dos rectas x +2 y - 2 ~+\ I , = {(1-2,3) + f(2,l,l) / t e R} ; L 2 : 1

que se cruzan

Rpta. d(L], L 2 )=^~y¡3

Hallar la distancia del punto P(7,7,4) a la recta: L :

6x + 2v+z - 4 = 0

6j: - v - 2z -1 0 = 0 Rpta. d(P,L) = 11 .V= 3/

(62)

Hallar la proyección del punto P(2,-l ,3) sobre la recta L : >- = 5 / - 7 z =2t + 2 Rpta. 0(3,-2,4)

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional jc =

63)

85

0

Demostrar que la recta L: y = t , —cc
64j

a)

Esta en el plano 6x + 4y - 4z = 0

b)

Es paralela al plano 5x - 3y + 3z = 1 y esta debajo de él.

c)

Es paralela al plano 6x + 2y - 2z = 3 y esta arriba de él.

Un plano pasa por el punto

(3,1,-1),

es

perpendicular

al plano,

2x - 2y + z + 4 = 0 y su intersección con el eje z es -3. Hallar su ecuación. Rpta.

65)

k

: 5x + y - 8z = 24

jt + l y - 1 z - 2 Hallar la ecuación del plano que pasa por el recta L: —— = — — = ,y es perpendicular al plano n : 2x + y + 2z + 4 = 0.

(66)

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos extremos de los vectores —> — ► — > a = (2 ,-3 ,-1 ), b = (0,-1,4), c = (2,1,-3) si los vectores tienen su origen en Rpta. tí: 6x + y + 2z = 19

el punto p( 1,0,3).

®

x y- 6 Hallar la ecuación del plano determinado por la recta L: — = ------1 2

z +3

y

-1

Rpta. n: x - 9y - 17z + 3 = 0

el punto p(4,-3,2). (M )

Rpta. P: 2y - z = 0

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(l,0,-1) y B(2,0,2) y forma un ángulo de 60° con elplano 2x - 2y + z + 6 = 0. Rpta.

k \ 21jc + ( 4 0 -

n x:

3V 170 ) v - 7 z

=

28

2 1 x + (4 0 + 3 a /1 7 0 ) .v -7 z = 28

86 £9)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación de cada plano que contiene intercepto x en 2, intercepto y

6

en 3, y se halla a las distancia de j del origen. Rpta. P: 3x + 2y ± 6z = 6

70)

Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(-2,5,3) y B(4,8,-8) y es perpendicular al plano XZ.

JlJ

Rpta. P: 11 x + 6z + 4 - 0

Determinar los puntos de intersección y el ángulo que forman los planos 7Tt: 4x + 3y + z - 0; ;r2: x + ~ z = 15 Í2x+ 2y + z = 0 L: ] {4x - y - 3z -1 5 - 0

72) w

Calcular la distancia del punto p(6,-3,3) a la recta:

73)

Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto p(3,2,-l) y que corta a las rectas.

74)

\x~y- 0 L, : \ 3 [j c-z = 0

y

12 x - y +z ~ 0 L,: i 2 [ y - 2 z + 2 —0

Detenninar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por M y N donde A(2,4,0), B(0,0,2 ), M(3,3,3), N(-l,3,3).

^5)

Desde el foco F(0,0,10) se lanza un rayo luminoso el cual se refleja en el espejo plano n de ecuación x + y + z = 1. Hallar la dirección con la cual se lanzó el rayo, si el rayo reflejado pasa por el punto G(2_ 15).

(76)

Halle la ecuación del plano que contenga a la recta x - 3 = -(y + 5)= -(z + 2) y el punto (5,0,-4).

77)

Rpta. P: x + z = 1

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,2,-4) y es paralelo cada una

de

las

rectas

L2: 2 x - 3 y - 2 z + 8 = 0

Lt: x + y - z + 11 = 0 a

x + 2>; + z - 9 = 0

a

x ---y •+• 2 z - 7 - 0

y

Rpta. P: 29x + 9y + z - 72 = 0

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional {?§)

87

Un rayo de luz se dirige por la recta L = { ( 2 - t , -t, i ) / t e R } al chocar con el espejo plano %: 2x - y + z + 2 = 0, se refleja. Hallar la recta Lx en la cual esta Rpta. Lx = {(-5-7,1) + Á( 1,4,1)/ A e /?}

el rayo reflejado. ^9)

Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto A( 1,-1,4) y es ortogonal a cada uno de los planos P j: 2x + y - z + 2 - 0 y P2: x - y + 3 z - l = 0. Rpta. P: 2x - 7y - 3z + 3 = 0

(so)

Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XY y que pasa por los puntos A(l, 5,-3) y B(-5,-4,11).

(8 l)

Rpta. P: 3 x - 2 y + 7 = 0

Dado el plano n x\ x - y + 2z - 2 que representa un espejo, al cual incide un rayo

luminoso

que

sigue

la

trayectoria

de

la

recta

L \ ~ {(0,2,0) + í(l, 1,1)I t e R } . Hallar el punto de intercepción de la recta L 2 que contiene al rayo reflejado con el plano n: 2x + y + z = 16. 82)

El radio vector normal a un plano tiene una longitud de 5 unidades y dos de sus ángulos directores son a=45° y p = 60°. Hallar la ecuación del plano si este pasa por el extremo de su radio vector normal. Rpta. n x: *Í2x + y + z - 1 0 - 0 n -,: a/2x + y - z - 1 0 ~ 0

83}

El volumen del tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenadas es 12m3. Hallar la ecuación del plano, sabiendo que es paralelo al plano cuya ecuación es 3x + 2y + 4z + 6 = 0.

84)

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L: x = y = 2z y que además pasa por el punto A(0,1,0).

(85)

Rpta. P: 3x + 2y + 4z ± 12 = 0

Rpta. P: 2x - z = 0

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(-2,3,l) y es ortogonal a los dos planos.

P j: 3x + 2 y - z = 1 y P2: 2 x - 5 y - h 4 z - 1 Rpta. 3x - 14y - 19z + 67 = 0

88 (S&)

Eduardo Espinazo Ramos Hallar la ecuación del plano 3,2)

(S?)

que

pasa por

y C(-4,5,10).

Hallar la ecuación del plano que pasa por los punto A(2,0,-l), B(0,2,5) y es Rpta. P: x - 2y + z = 1

Hallar la recta L que es paralela a los planos P ,: 3jt + 12.y-3z = 5 y x+5 y - 3 z+ 1 P2: 3x - Ay + 9z = -7 y que corta a las rectas — —= — ~ = y L2:

(g5)

y +1 z -2 = - ---- = ------2 3 4

x -3

El pie de

Rpta. L = {(-3, -1,2) + f(-8 ,3,4) / ¿ € /?}

la perpendicular trazada desde el origen

A( 1,-2,1). Hallar la ecuación del plano P. (S í)

punto A(l,2,-4), B(4,-

Rpta. P: 1 lx + 9y + 2z - 21 = 0

ortogonal al plano 3x + y - z = 7. (ií)

los

alplano P es el

punto

Rpta. P: x - 2y + z = 6

Encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A(l,-2,1) y es perpendicular al vector OA , siendo O el origen de coordenadas. Rpta. P: x - 2y + z = 6

(S ^

Hallar la ecuación

vectorial

de

un

plano

P. Sabiendo que la

recta L = {(1,1,1) + t (0,1,1) / 1 g R} está contenida en el plano P y que el ángulo que forma el plano P con el piano n: 3x - y - z = 0

es 60°.

Rpta. P: (22,5,-5).[(x,y,z) -(1,1,1 )]=0; P': (-22,5 -5 ).[ ( x , y , z ) - ( 1,1,1)] = 0 (S Í)

Hallar la proyección ortogonal de la recta. L = {(1 + t, 1 - 2t, 2 + 3t) / t sobre el plano n: x - 2y + 3z = 33.

(93 )

oy nl = (3,-3,8)

Rpta.

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3 x - y + 2 z - 5

y 8x + 2 y - z = 3 y que contiene al origen. Rpta.

(94)

g R}

ti

: 31x + 13y - 1Iz = 0

Dos rectas I, = {(3,4,3)+ í(-2,0,l)/ / e Jí} y L2 = {(1,-24-3 )+ < (l,-2 ,l)/í e «} son paralelos a un plano P y están en lados opuestos respecto al plano. Hallar el plano P si se sabe que d(L}, P) ~ d(L2, P) = 3

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (95/

89

Un plano pasa por el punto A(5,-1,3) y dos de sus ángulos directores de su normal son a = 60° y P = 45°. Hallar la ecuación del plano. Rpta.

(9 í)

($7)

n {: x + J l y + z - 8 + <¿2 = 0 ó n 2: * + V2y + z--2 + V2 = 0

Hallar la distancia del punto p al plano n donde.

a)

p(15,-22,10), n: x + l O y + 4 z + 15 = 0

50VÍ3 Rpta. ¿(p,;r) = 13

b)

p(-10,-10,5),

ti:

63 r— Rpta. d(p,7r) = — V14

c)

p(3,-2,5),

n: 2x - y + z = 0

x + 2 y - 3 z = 18

d)

p( 1,1,5), n: 2x + 3y - 2z = 4

Dados los puntos A(3,5,l), B (-l,l,3) y C(2,4,l) del triángulo ABC, donde G es el centro de gravedad de dicho triángulo y G es la proyección ortogonal de R sobre el triángulo ABC. Si || GR ||= 6 V2 .Hallar la proyección ortogonal de G sobre el plano BCR.

(g8 )

3 Rpta.

1 ( - , 3,

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y forma un ángulo de 30° con el plano x + y + z - l = 0 . Rpta. n: 4x + 4y + z - 16 = 0

@

jc + 2 y - 3 z Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L x: — — = — — = — y es x —1 y z +1 paralela a la recta L2: —— = — = - — .Rpta. P: 7x + 6y + z - 4 = 0 Un cubo tiene dos de sus caras en los planos Px: 2x + 6y+ 3z~ 12 = 0 y P2: 6x + 1 8 y + 9 z+ 6 = 0. Hallar su área total y su volumen. Rpta. A, = 24w2

,

V = 8u

90

Eduardo Espinoza Ramos Sean los puntos A(2,3,4) y B(3,l,6) y el plano P: x + y - 4z = 3. Hallar un plano n que pasa por A y B y que forma con el plano P un ángulo de 45°. Rpta. ir: 2x - y - 2z = -7

(j&z)

Hallar la ecuación del plano n paralelo al plano

x + 3j>-2z + 14 = 0 y tal

que la suma de sus interceptos con los ejes coordenadas sea igual a 5. Rpta. 7i: x + 3y - 2z - 6 = 0 ^103)

Hallar la ecuación del plano a

ti

que contiene a la recta L :x -y -l= 0

x +- y + z = 2 y que es ortogonal al plano de coordenada X Z. Rpta.

(Í Í 4 )

Rpta. n: 4x + 6y + 5z = 1

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L,: es paralela a la recta L 2 :

®

2x + z = 3

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta x = 2t + 1, y = -3t + 2, z = 2t - 3 y por el punto A(2,-2,l)

(l05)

ti:

=—— =

y

Rpta. n: 2x ~ 2y - z 4-1 = 0

Jjc + y + 3z~ 7 = 0 Hallar la ecuación del plano P que contiene a la recta L\ \ y l3jr + 2 y - z = 0 es perpendicular al plano P j: 2x + y - 2z +1 = 0. Rpta. P: 19x + lóy + 27z = 70

^

7

)

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de coordenadas A (2,-l,l) y es perpendicular a los dos planos 2x - z + 1 = 0, y = 0 Rpta. P: x + 2z - 4 = 0

(jOS)

Determinar la ecuación de una

recta que sea paralela a los planos

P :x + z - 4 = 0 y Q :x + y = 2 e intercepta a las rectas Lx = {/(1,0,1) / 1 e R} y L2 = {(Q,1,0) + ¿(0,0,3)/¿ e R)

Rpta. L = {(1,0,1)+ t ( l , - l , l ) / t € R}

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 109^

Tres

vértices

91

de un tetraedro regular se encuentra sobre el plano

n: 5x - 7y+z+2 =0 y el cuarto vértice sobre la recta L={(l+t, 2+t,-3+2t)/ teR }. Hallar el volumen de dicho tetraedro. IlO j

1 3

Rpta. V - ~ u 3

Dados los puntos A( 1,2,3), B(4,5,6) y C(7,8,8). Hallar el conjunto M de puntos O de i?3 tal que A,B,C y P sean los vértices de un tetraedro de volumen igual a 6 unidades cuadradas.

^111^

Rpta. M: x

Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A(-2,-3,5) y B(4,6,-10) y que es perpendicular al plano XZ.

(íji)

y + 13 = 0 ó M: x - y - 11 = 0

Rpta. P: 5x + 2z = 0

Hallar las ecuaciones de cada uno de los planos que se hallan a 2 unidades del origen y tiene una normal que hace un ángulo de 60° con ambos eje X, eje Y. Rpta. jc + y + V2z = - 4 ; x-^y-yflz-4

113^

x + y - y f l z = -4 ; x +y - y f l z = 4

Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula desde el punto A(2,2,3) hacia la recta L = { ( 0 , 1 + r, - r ) / r e R} para que la alcance al cabo de 2 segundos, siendo su velocidad V =
ílÍ4 i

Una partícula comienza a moverse en la dirección en el punto A( 15,-22,10) y se mueve con una velocidad constante V = (1,1,1) ¿Cuánto tarda la partícula en alcanzar al plano n: x + lOy + 4z = -15 ?

(ll^

Rpta. t = 10 seg.

¿En qué dirección debería moverse la partícula del problema anterior para alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo del problema anterior ¿Cuál es el tiempo mínimo? 50 r— Rpta. (1,10,4), tm = — tJ39 seg.

92

Eduardo Espinoza Ramos Hallar el ángulo

entre

la

recta

de

intersección

de

los

planos

3x + y + 3 z = 5 ; x - y + z = 2 y la recta de intersección de los planos 8x - y + 7z = 3 ; x - y + z = 2

Rpta.

13 0 - árceos ( -^== )

Determinar una ecuación de la recta L que satisfaga a la vez las condiciones siguientes: i)

Esta contenido en el plano P determinado por los puntos p0(0,0,0), p ,(2,2,0) y p2(0,l,-2). y - 1

x + l

ii)

Sea perpendicular a la recta Lx:

=2z . 3 21 19 4 Rpta. I = {(- — , - — , ~ —) + f(2,- 3 ,1 0 )//€ /? } 2

iii)

P ara p o rP n L r

L = {Q0 +r. a / / g R} y el plano

Demostrar que la intersección de la recta. k\

(P o-Qo)N ( p - p 0).Ar = 0 ,e se lp u n to A(Q0 +(— -----) a ) . a.iV

Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A(xQ, y 0 ,z0) y es -+

—»

I

V

paralela a los dos vectores a = (ax,a2,a3) y b = [bX9b2,b3J se puede expresar * -* o

y ~ y o

z ~ zo

=0

en la forma: bx

b2

¿>3

Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A(xx, y x, zx) y B{x l?y 2 '>z ’}) y es Para^ a a^ vector & =*(ax, a2,a3) se puede expresar en la y~yi forma:

x2 - xx

y2- yx

z2 - z x - 0


93

Demostrar que la ecuación del plano que pasa por tres puntos ^(x p j/p Z ,) y 2?(x2,y 2,z2) y

se puede expresar en la forma: x~x

y-y\

z -z,

x2 - x ,

y2 - y }

z2 - z ,

=

0

Z3 ~ Z1

Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto p 0 (x0, y 0, z 0) y es

perpendicular

a

los

dos

n x: Axx + B xy + CxZ + D x = 0,

planos

j i 2 : A 2x -f # 2y + C2Z + D 2 = 0 se puede representar en la forma siguiente:

* -* o

y~yo

z ~ zo =0 B,

Demostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta y - y 0 +tb,

z = z0 + t e

y por el punto

y-y j

x-x, forma:

x ¡~ xo a

á [ x { , y l ,z¡)

y\-yo b

L\ x = x0 + 1 a ,

se puede expresar en la

z-zj z \ ~ zo

e

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,3,2), es paralelo al plano tc= {(1,4,0)+ /(U,1) + ¿(0,1,2)/ í ,/ l e i?} y forma un ángulo de 60° con la recta L ,= { (l,-2 ,3 ) + / ( l , 0 , l ) / / e * } . Rpta. ¿ = ((l,3,-2) + í(3±2>/2, 2 ± J l , l ) / f e /fj Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y que forma un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0.

94 126)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar

en

el

eje

x

un

punto

equidistante

de

los

dos

planos

7C\: 12.v- 16y +15z + l = 0 y n 2: 2x + 2 y - z - l = 0 Hallar un punto C del plano n: x - y + z - 3 = 0, tal que con los puntos A (2,l,l) y B( 1,6,4) sean los vértices de un triángulo equilátero.

@

Í2 x + y - z = 3 Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta L: j ^ ^ y es ortogonal al plano 2x + y - z - 3 = 0. Rpta. 4 x ~ 7 y + z-~9 = 0

^09)

Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 2 x - y + 2z + 4 = 0 sabiendo que el punto (3,2,-1) equidista de ambos planos.

130;

Rpta. 2x - y + 2z - 8 = 0

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,4,-6) y es paralelo a los planos x + 2y -z = 4 , 3x - y + 2z = -ó. R pta. L= {(3,4,-6) + 1 (-3,5,7) / te R}

®

Jjc+ v + z - 2

= 0

Hallar la ecuación de la proyección de la recta L : ^ [jt+ 2y + z = 0

sobre el

plano P: 3x + y + 3z - 1 = 0 ^132^

Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los plano Pj y P2 donde P j: 3x + 10y + 5z + 6 = 0 , P2: x-f4y + 3z + 4 = 0 y sea paralela a la recta L = {(1,5,-1) + 1(3,2,- 3 ) /t e R}.

(l3 3 )

Determinar la ecuación vectorial de la recta que sea paralela a los planos P^ x + z - 4 = 0 y P2: x + y = 2 e intercepta a las rectas Z,j:{/(l,0,l) + í e /?} y ¿ 2 ={(0,l,0) + /l(0 ,0 ,3 )//l6 i? |


95

La proyección ortogonal de la recta L sobre el plano Pj: x - 2 y - 3 z = 0 es la rectas ¿^{(1 + 5/, 2 + ¿, t - \ ) / 1 e /?} y la proyección ortogonal de L sobre el plano P2:x + y + 2z = 6 es la recta Z,2:{(l + í, 1-f t, 2 - t ) í t e /?}. H allarlas ecuaciones paramétricas de la recta L. 135)

Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (2,6,1) y contiene a x z la recta L: — = —; y = -5. R pta. 88x - 13y - 65 = 0 3 8

136J

Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3,4,1) y es perpendicular a los planos

137)

x - y = 4 , x + z = 6.

Rpta. x + y - z - 6 = 0

Hallar las ecuaciones de los planos paralelos que cortan en ángulo recto a los planos Pj : x + z - 2 = 0 y P 2: x - y f 3 = 0. Sabiendo que uno de ellos pasa por el punto p( 1,1,1) y el punto q(2,-1,2) equidistan de ambos. Hallar la ecuaciones del plano que pasa por la recta de intersección de los planos P j: x + y - z = 0, P2: x + 2y + z + 6 = 0 y es paralelo a la recta que pasa por los puntos A (l,-l,l) y B(2,l,2). Dadas las rectas

= ¡(3,4,5) + í(0,1,-2)// e R \ , L2 = {(4,-2,l) + ¿(l,2 ,3 )/¿ e R\

y L 3 = {(0,0,0) + ^ (2,1,0) / P e R } . Hallar la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos A,B y C respectivamente de tal modo AB = B C , se sabe además que estos puntos están alineados y que al plano solicitado es paralelo a la recta x = y = z .

R pta. 19x - 20y + z - 81 = 0

Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 12x - y - 17z = 14 Rota. 12x - v - 17z = 6

96 141)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A (-1,2,0) y B(3,-l,2) y 1 que forma ángulo 9 = arccos(~™) con el plano Pt : x - f y - 4 = 0.

I43t)

La distancia del punto Q(l,0,3) del plano P es 3. Si P pasa por la recta [*5jc - 6y + 2z +15 = 0 L: ) . Hallar la ecuación del plano P. [x-~2y + z + 3 = 0

143)

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (3,0,l) y forma un ángulo de 60° con la intersección de los planos P,: 2x + y - 2 z - 2 = 0, P2 ={(3,2,2) + í(l,2,2) + A( 2 , l , l ) / í , i e /?}

144)

Dadas

las

rectas

no

coplanares

concurrentes

en

0(1,-2,3)

x -1 y +2 z - 3 jc-1 3 - z jc~ 1 y + 2 z - 3 ; —■ — = — — = —— t _ — y = -2, L, : = - ----- = -------. 2 2 1 3 -4 2 1 2 Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto M(-4,2,6) y forma t

ángulos iguales con estas rectas. 145j

Rpta.

3x - y - z + 20

Hallar la ecuación del plano n que pasa por A( 1,4,-2), es paralela a la recta L={(2,6,5)+t (1 ,-2,0)/teR} y tal que la distancia de n a L sea igual a 1.

(146) V J

3 - y z +3 Consideremos las rectas L : x = -1; — ^ = ------1 1 1

y

x + 1 3 - y z - l : ---- = ------- = -----2 1 1 1

de modo que L es una recta que corta ortogonalmente a L { y L2; si n x es el plano que determina

L 2 y L; n 2

es el plano que determina L2 y L.

Determinar el ángulo formado por n { y n 2 . (147)

Dados

los

planos

n 2: x - y + z + 4 = 0 y x-5 y -7 z rectas L : ------ = =-; 1 1 2 1

7üx: 3x + 2y + 5z-f 1 = 0,

7tv 2x + 3 y - z - 1 3 = 0 y las 3 ^ jc + 2 y - \ z L*s: ------- = - — = —. Determinar la ecuación del plano que pasa punto de 0 3 4 intersección de dichos plano y es paralelo a ambas rectas.

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (l48)

91

Si L = {(í -1 , 2 - 1 9 0) / 1 € /?} y P: x + z - 1 = 0 un plano. Hallar la recta Lx, contenida en P, tal que ¿ ( L , Lj) = 60° Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 y 3x + y - z = 0 y paralelo al plano 12x - y - 17z = 4 Rpta. 12x ~y~- 17z= 12

(l^®)

Hallar la

ecuación

del

plano que

pasa

a

través

de

la

recta

L ={(1,8,1) + 1 (l,-3,l)/teR } y forma un ángulo de 60° con el plano 2x-y+z= 7. Rpta. x + y + 2z = 11 ; 1 lx + 2y - 5z - 22 = 0 151)

Un rayo de luz parte del punto (1,4,2) se refleja en el espejo plano YZ, este rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano YZ y este último rayo reflejado pasa por (5,1,4). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado. 19 18 Rpta. L = {(— ,0, — ) + /(6,5,2) / / € / ? }

152)

Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M(3,-2,-4) paralelamente al plano

ti :

3

x

-

2y

x~2 y + 4 z-1 L . ----- - = ----- = ------- . 3 -2 2 (153)

-

3z

- 7 =

0

y

que corta a la recta

3 v+ 2 Rpta.------ - = = 5 -6

íx-2z-3 = 0 La recta L: ] , intercepta al plano x + [y - 2z = 0

3y

z-f 4 -----9

- z + 4 = 0, encontrar el

punto de intersección p y encontrar la ecuación de la recta en éste plano que pasa por p y es perpendicular a L.

Rpta. (1 ,-2,-1) ,

x -l

y +2

z

+1

-5

154)

Hallar

la

ecuación

del

plano

que

pasa

por

la

intersección

Lx ={(9,5,4) + /(1,1,2)/ f e R} y L 2 ={(1,2,3) + Á(2,1,1)/Á e /?}

de

siendo la

distancia del plano al origen igual a V234 unidades. Rpta. 1 l(x - 11)+ 7(x - 7) + 8(x - 8)= 0

98 (155)

Eduardo Espinoza Ramos Un hombre se encuentra en 0(0,0,0), lanza una flecha desde A(0,0,16) hacia un blanco en B(50,12,16) que se encuentra sobre el plano 25x - 6y - 1178 = 0, haciendo impacto a 0.1 unidades del blanco. Si la flecha fue lanzada con una trayectoria paralela al plano XY, hallar el ángulo que debió girar el hombre para no fallar.

(156)

Rpta. 3.62°

Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(3,-5,2) y es perpendicular a cada uno de los planos 2x + 3y - z - 5 = 0 , x - 2y + 2z - 3= 0. Rpta. 4x - 5y - 7z - 23 = 0

(157^

Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos Pj: 5x + 3 y - z - 9 = 0 y P2: 3 x -2 y + 5 z ~ 6 = 0, se quiere aumentar un plano mas a la puerta, tal que pase por la recta de intercepción de ambos planos y que sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta Lx ~ {(3,1,6) + ¿(1,1,0) i 1 e R } . Hallar la ecuación de dicho plano. Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0

(158)

Hallar la ecuación de una recta que pasa por (3,1,2) y corta a las rectas L\ = {(2,4,-l) + f(0 ,l,2 )// e /?}, ¿ 2:

í jc —y + z = 4 ' ^ [2 x + z = 6 Rpta. L ={(3,l,2)+t (-1,10,1 l)/t gR}

(159)

Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 2x + 3y

5z - 0,

contiene al origen, y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1,-1,3) y (2,1,-2). 160)

Rpta. 5x - 5y - z = 0

Hallar una recta en el plano determinado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,0) y C(0,1,-2) y que corta ortogonalmente a la recta L:

( l6 l)

x +1

y- 1 = '-■■■— = 2z.

Dados los puntos A(l,-3,4); B(3,-2,2) y el plano n: 2x - 2y + z = 12. Hallar los puntos C y D del plano n tal que A,B,C y D son los vértices consecutivos de un cuadrado.


(162) V

99

Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta

Í5jc-4y-~2z = 5 L: 1

7

U

+ 2

z

- 2

= 0

sobre el plano P: 2 x - y + z - l = 0 163J

Hallar la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas que se x-2 y +3 z + 2 , interceptan L : ------ = ------- = 1 4 -1 3

Í3x + 2y + z = ~2 :i 2 [ x - y + 2z = l Rpta. 4x + 7y - 3z + 7 = 0 íx +y - 4 z = 0

(164)

165)

Cuáles son los puntos B y C de la recta L: \

tales que junto con

[x + y = 4 el punto A(3,-2,4) determinan un triángulo equilátero.

Un rayo de luz parte un punto (2,1,6), se refleja enel espejo plano rayo reflejado se refleja nuevamente en el plano

XZ, este

YZ, y este ultimo rayo

reflejado pasa por (3,8,2). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado. 13 22 Rpta. L = { ( 0 — — ) + t (5, 9,-4)/t e R}. (166)

x-\ y +2 5~z y-1 z +2 Dadas las rectas L : ------ = -------= ------ ,L7: x = -2 , ------- = que se 2 3 4 1 2 cruzan. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-l,-2,0) que sea perpendicular a L{ (en el espacio) y corte a L2. Rpta. L={(-l,-2,0) + t(-l,6,4)/t€=R}

167)

Hallar la ecuación del plano n que contiene a la recta L: x - y - 1=0, x + y + z -2=0 y que es ortogonal al plano coordenado XZ. Por el punto A( 1,0,1) se traza una perpendicular al plano P: 2x+ y - z = 7. Si B es el pie de dicha perpendicular, determinar un punto C, en la recta: L

=

{(-1,1,0)

+

t (0,1,5) / 1 e R} de modo que el volumen del tetraedro cuyos

vértices son A,B,C y D, es igual a 4w3. D es el punto de intersección de la 3 25

100 169)

Eduardo Espinoza Ramos Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos P}: 5x + 3y - z - 9 = 0 y / \ : 3 x - 2 y + 5 z - 6 = Q, Se quiere aumentar un plano mas a la puerta, tal que pase por la recta de intersección de ambos planos y que sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta L x = {(3,l,6) + f(l,l,0)/f € i?}. Hallar la ecuación de dicho plano. Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0

170)

Una

partícula

comienza a moverse en el A( 15,-22,10) y se mueve con una

velocidad constante v = (1,1,1). ¿Cuanto tarda la partícula en alcanzar al plano: x + lOy + 4z = -15?. (171J

\\ 12) ^173j

Rpta. t = 10 seg.

¿En que dirección debería moverse la partícula del problema anterior para alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo que en el problema anterior. ¿Cual es el tiempo mínimo?. -> 50 r— Rpta. a = (l,1 0 ,4 ),ím = — V39 seg. 39 Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \x-y ~ 0 Í2 x - y +z = 0 corta a las rectas: L , : i y L~>: \ [x-z = Q [> '-2 z + 2 = 0 Dados

los

planos

P =

(3,2,-1) y que

n x: 3x + 2y + 5z +1 = 0,

n 2 \ x - v + z + 4 = 0, x - 5 y -7 z L: - = ~; 1 1 2 1

n x\ 2x + 3y-~z~13 = 0 y las rectas 3 x + 2 z —1 z j . ------ -- — - _ Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto 0 3 4 de intersección de dicho planos y es paralelo a ambas rectas. Rpta. 5x - 4y + 3z + 13 —0 (174J

Se tiene dos túneles que parten de la superficie (Suponer que la superficie es lisa y es el plano XY) desde los puntos

(0,5/2,0) y /?lj5(5,2,0) y llegan

respectivamente, a los puntos p 2A(~7-U-~7) V /?25(~5,3,-5). Hallar la mínima distancia quedebe tener un túnel que debequedar a nivel (paralelo al plano XY) y va a servir parainterconectara los túneles A y B. Rpta. d= 2.457

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional \l7 fy

101

La unión consecutiva de los puntos A, B, C y D es un paralelogramo. Si las coordenadas de los tres puntos son A(l,2,3), B(0,-l,4), C (-1,2,6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D. Rpta.

(l76)

L= {(0,5,5)+ t(-l,-3 ,l) /t€R}

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-3,-4) y que intercepta en los ejes coordenados segmentos de igual magnitud y diferente de cero. Rpta. P: x + y + z + 5 ~ 0

(s177^

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3,-l,4) y también por la recta de intersección de los planos x + 2y~~z = 4 ; 2x - 3y + z = 6. Rpta. 3 x - y - 10 = 0

(l78)

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x + y - 2 z + 2 = 0 y x - 3 y - z + 3 = 0 y es perpendicular al plano X Y. Rpta. x + 7y - 4 = 0

179/

Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x -- y - 5z = 4 ; 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 12x - y - 17z + 14 = 0. Rpta. 12x - y - 17z - 1 2 = 0

(*8®)

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,4,-6) y es paralelo a los planos x + 2y - z = 4; 3x - y + 2z = -6. Rpta. L = {(3,4,-6) + t(3,-5,-7) / 1 e R}

(S i)

Determinar la proyección de la recta L = {(1 ,-2,1) + 1( 1 1 , 1 ) / 1 € R} sobre el plano n: 4x + 2 y - 2 z - 1 = 0.

(l82)

Rpta. I - = {(^ 2

^ ^) + í( l,- l,l) / t s R } 4 4

Hallar la proyección de la recta L = {(1,2,-1) + t(2,l,-l) / 1 € R} sobre el plano i: x + y - z - 8 = 0.

7

Rpta. Ln = {(3,3,-2) + / ( 2 , - l ,l ) / í 6/?}

102

Eduardo Espinoza Ramas Un plano es paralelo al plano P: 2x + 2y + z - 1 - 0 y el punto (2,2,2) e$) equidistante de ambos planos, hállese la ecuación del plano. Rpta. n: 2x + 2y + z - 19 = 0 Hallar la ecuación del plaño que pasa por el punto M(l,2,-3) y es paralelo a las r x-1 y 4-1 z - 7 rectas L : •= = --------, 1 ? -3 3i

1"

:

jc + 5 y - 2 z+3 = - =— - . 3 i - 2 - 1 -i Rpta. 9x + 1 ly + 5z - 16 = 0 í* = 2f + l

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L :

y = -3/ + 2 y por el z = 2/ - 3

punto M(2,-2,l). 186)

Rpta. 4x 4- 6y + 5z - 1 = 0

í 2x 4- y —z 4-1 = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : < y es [x 4- y 4- 2z +1 = 0 paralelo al segmento limitado por los puntos P{(2,5,-3) y P2 (3,-2,2). Rpta. 9x + 7y 4- 8z 4-7 = 0

|x ~ ^ + ^ 187)

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L, :
188J

Rpta. 13x - 14y 4- I lz 4- 51 = 0

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta: Lx : es perpendicular al plano P: 3x

4

2y - z - 5

=

y

0. Rpta. n: x - 8y - 13z + 9 = 0

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x - 2y 4- z - 3 = 0, x - 2z = 0 y es perpendicular al plano x - 2y 4- z + 5 = 0. U n t a 1 1v - I x i - í _ v ~

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (*9o)

Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x - y + z =4, 2x + y

(l9 y

103

2z = 6 y por el origen.

Hallar la ecuación cartesiana de un plano

Rpta. x + 5y - 7z = 0

que contenga a la recta g L = (1,2,-3) + t( 1,-4,2) / t e R} y se encuentra a una distancia de —== V41 unidades del punto P(2,-4,-5). Rpta. 6x + 2y + z = 7 ; 30x + 2y - 1 lz = 67

104


CAPÍTULO II

X __ CONCEPTOS BÁSICOS.2.1.

PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.Sean X, Y dos conjuntos cualquiera, llamaremos producto cartesiano de X por Y al conjunto denotado por XxY y definido asi: XxY = {(x,y) / x e X

2.2.

y e Y}

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.Ax B * BxA

© © © © 23.

a

A x (B u C ) = A x B u A x C A x (B

C) = A x B - A x C

© © ©

A x x A = (¡) A x (B n C) - A x B n A x C (A x 13) x C =A x (B x C)

Si A cz B => A x C c B x C , , V C S i A c C y B c D = ^ A x B c i CxD

RELACIÓN BINARIA.Dados X,Y dos conjuntos; diremos que R es una relación binaria de X en Y, si y solo si, R es un subconjunto de X x Y.

2A.

APLICACIÓN DE X EN Y*Diremos que f es una aplicación ó función de X en Y, si y solo si, para cada x € X, existe un único y

e

Y, tal que y = f(x).

105

Conceptos Básicos NOTACIÓN.-

Ejemplo.-

2^

A la aplicación f de X en Y denotaremos por: f: X-»Y, donde D f = X .

f: [-4,4] —» [0,4] tal que f ( x ) = \ ¡ l 6 - x 2

CLASES DE FUNCIONES,Sea f: X -> Y, una función, entonces: a)

f es inyectiva, sí y sólo sí se cumple: x u x 2 &X a

2^

xí

* x 2 => f ( x i ) * f ( x 2)

b)

f es suryectiva, sí y sólo sí para todo y e Y, 3 x € X tal que y = f(x).

c)

f es biyectiva sí y sólo sí, es inyectiva y suryectiva.

CONJUNTO INVERSA.i)

IMAGEN

DEFINICIÓN.-

Sea

f: X

Y

CONJUNTO IMAGEN __________ _______

Yuna función

y A c X llamaremos

imagen de A segúnf al conjunto denotado por: . f(A )« { f ( x ) / x € A} c Y Que viene a ser el conjunto de todas las imágenes correspondientes a los elementos del conjunto A cz D j ~ X . ii)

PROPIEDADES DEL CONJUNTO IMAGEN.Sea f : X -» Y una función y A, y B subconjuntos del dominio X entonces: @

A cX ,B cX ,A cB

©

A cX ,B cX

=> f(A )c f(B )

=> f(A u B) = fi(A) u f(B)

106

Eduardo Espinoza Ramos ©

AcX,B c X

=> f ( A n B ) c f(A) n f(B)

la igualdad se cumple cuando f es inyectiva. ©

A cX ,B cX

'=> f(A) - f(B) c f(A - B)

la igualdad se cumple cuando f es inyectiva. iii)

DEFINICIÓN.- Sea f: X —> Y y B c Y , llamaremos pre - imagen o imagen inversa de B según f, al conjunto denotado por: f - l (B) = { x e D f / f ( x ) e B }

Que viene a ser el conjunto de contra imagen correspondiente a elementos del conjunto B c Y . tv)

PROPIEDADES DE LA IMAGEN INVERSA DE UN CONJÜNTO.Sea f: X —» Y una función y A c Y, B c Y

2.7.

©

SiAcB

©

f-'{AvB) = f-'(A)vf-'iB)

©

f ~ i( An B) = f ~ i( A ) n f ~ \ B )

©

f-\A-B) =f-\A)-f-\B)

entonces:

=>

COMPOSICIÓN PE FUNCIONES Sean f: X -> Y, y g: Y -» W, dos funciones, llamaremos función composición de g con f ó f seguido de g, a la función denotada por g o f: X -> W, tal que: .

(gof) (x) = g(f(x)), V x e Dgof

107

Conceptos Básicos

2.8.

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA.a)

DEFINICIÓN.-

Sea A *

<|>, un conjunto, llamaremos ley de

composición interna definida en A, a toda aplicación de A x A en A. es decir:

F : AxA —* A í -:r', v*

<

(a,b)->F(a,b) = aFb b)

DEFINICIÓN.-

Sea A, k dos conjuntos (k se denomina conjunto de operadores o escalares).

Llamaremos ley de composición externa definida en A y con operadores en k, a toda aplicación de kxA en A, es decir: • : lexA

Á

(X,a) - * X ia ) ~ X * a

2.9.

CAMPÓ O CUERPO.A un conjunto k * <(>le llamaremos campo o cuerpo si en k están definidas dos leyes de composición interna (suma y producto) y además verifican las siguientes propiedades. Ira . Suma:

+: k x k (a»b)

»v /n b

i)

a + b = b + a, V a,b e k, conmutativa.

ii)

a + (b + c) = (a + b) + c, V a,b,c e k, asociativa

iii) Existe 0 e k tal que a + 0 = 0 + a = a, V a e k “0” es llamado el elemento nulo o cero.

108

Eduardo Espinoza Ramos iv)

V a e k,

3 - a e k, llamado opuesto o inverso aditivo tal que:

a+(-a) = (“a)+a” 0 2do. Producto:

k

:kx.k

(a,b)

t(a,b) ^ a.b

i)

a.b = b.a, V a,b e k, conmutativa.

ii)

a.(bx) = (a.b).c, V a,b,c € k, asociativa.

iii) Existe 1 e k llamado elemento identidad tal que: 1.a = a.l=a, V aek. iv) V aek, a*0, existe un elemento a~l llamado el inverso de a, tal que a.a~l = 1. v)

Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. a.(b + c) = a.b + a.c

Ejemplo.-

-

(a +b).c = a.c+b.c

Son campos o cuerpos los conjuntos siguientes: R = conjunto de los números reales. Q = conjunto de los números racionales. C = conjunto de los números complejos.

Ejemplo.-

Consideremos el conjunto siguiente: Q(\Í2) = {a + b y f í / a9b e Q ) . Demostrar que (Q(y¡ 2), +, • ) es un cuerpo. Demostración

Primero definiremos las operaciones siguientes: (a + b j 2 ) + (c + d j 2 ) = (a + c) + (b + d ) j 2

109

Conceptos Básicos (a + by¡2).(c + d yf l) = (ac + 2bd) + (bc + ad)y¡2

probaremos solamente la parte iv) del producto que es V a e k, 3 a~l tal que a.a~{ = 1, los demás axiomas son inmediatos de verificar. Sea a + b y ¡ 2 * 0 , (b * 0) debemos probar que existe c + d>¡2 tal que (a + by[2).(c + dy¡2) = 1 Pero (a + b\Í2).(c + d\¡2) = (ac + 2bd) + (be + ad)y¡2 = 1 ,ac + 2 b d - \ De donde < \bc + ad = Q

.... (1) ... (2)

De (1) y (2) despejamos c, es decir:

1 -2 bd a

c =-—

a

, c=

b

de donde

ad 2 2 = ---------=> b - 2 b d ~ - a d b

2 2 ( I b " - a )d ~ b

de donde d - — ----- , c 2b2 - a 2 ’

Luego c + d 4 l = -

2b2 - a 2

J t + — 2 J-V2 2b - a 2b - a ■■ Q(y¡2) es un campo.

Ejercicio.©

El conjunto Z(V2) = {a + b^fi.! a,b e Z} con las operaciones de adición y multiplicación definidas en el ejemplo anterior no es un campo.

110

Eduardo Espinoza Ramos Dado el conjunto Q ( y ¡ ^ ) = {a + b >f ^5/ a,beQ} . Probar que es un cuerpo con las operaciones de C.

(^ )

Si

a

es

una

Q (a) = {a + b a / a,b

raiz g

de

la ecuación

x2 + x + 2 = 0

Q}, es un cuerpo.

Sea a = -^(1 - íV3 ), probar que el conjunto Q (a) = {a + b a / a,b un cuerpo.

entonces

g

Q}, es

Espacios Vectoriales

111

CAPITULO III

3.

ESPACIOS VECTORIALES.-

3.1.

DEFINICIÓNSean V * <|>un conjunto, k un campo y dos operaciones una de suma (+) y la otra de producto (.), entonces diremos que el objeto (V, + k , .) es un espacio vectorial si se verifican las siguientes condiciones. A)

EXISTE UNA APLICACION SUMA.

+ : VxV - a V (x,y) -> +(x,y) ===x + y

Llamado ley de composición interna (la suma de dos vectores es un vector) y cumple los axiomas siguientes: A¡ x

+ y = y + x, V x,y

g

V axioma conmutativa.

A2

x + (y + z) = (x + y) + z, V x,y,z

A3

V x e V, existe 0 e V tal que x + 0 = 0 + x = x donde “0” se

g

V, axioma asociativa.

denomina elemento neutro aditivo o cero. A4 .- V x

g

V, existe-x

g

V, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0, donde-x

se denomina opuesto de x. B)

EXISTE UNA APLICACIÓN PRODUCTO.-

• : k x V -> V (X,x)

.(X,x) = A.x

112

Eduardo Espinoza Ramos Llamado ley de composición externa (el producto de un escalar por un vector es un vector) y cumple con los axiomas siguientes: Bx

a(Px) = (aP)x, V x, a , p e k

B2

(a + P)x = ax + px, V x e V, a , P e k

B3 .- a(x + y) = ax + ay, V x,y e V, a e k B4 .- V x g V, existe 1 e k elemento idéntico multiplicativo tal que 1.x = x. OBSERVACIÓN.(í)

Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de k se llaman escalares. Como V está definido sobre los elementos de k, se dice que V es un k espacio vectorial.

(3 )

Si k = R, V se llama espacio vectorial real. Si k = C, V se llama espacio vectorial complejo.

(? )

Un conjunto V * <|> para que sea un espacio vectorial sobre un campo k debe tener definidas dos operaciones “suma” y “multiplicación por un escalar” y que cumple las ochos axiomas mencionados, en caso que no cumpla con alguno de dichas axiomas no es un espacio vectorial.

(ó )

Al conjunto de los polinomios de grado < 3 con coeficientes complejos denotaremos por k[x] es decir: k[x] = {P(*) / P(x) = a3x 3 + a2x 2 + a{x + a0; at e k = C}

113


3.2.

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES.©

El conjunto V = R, con las operaciones de suma y producto de R es un espacio vectorial sobre R. El conjunto V = R 2 = {(jc, y) e R 2 / x e R a y e R } y k = R (el cuerpo) con la suma de pares ordenados (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) y el producto >,(a,b) = (A.a,A,b), k e R

por un escalar:

es un espacio vectorial sobre R. ®

En R 2 cualquier recta que pase por el origen, es un espacio vectorial sobre R. Por

ejemplo

el

conjunto

V = {(jc, y) e R 2 / 3x - 2y = 0}

con

las

con

las

operaciones de suma y producto de un escalar con las de R 2 . El

conjunto

V = R 3 = {(jc, y 9z ) / x s R

a

y eR

a

z e R}

operaciones de un escalar por un elemento de/?3 es un espacio vectorial sobre R. ©

En R 3 cualquier plano que pasa por el origen es un espacio vectorial sobre R. Por ejemplo V = { (jc ,y ,z)e /?3 1 x - y - z = 0}

@

El conjunto V = R n = {(jc1,jc2,...,jc/í) / x í e R}

es un espacio vectorial.

Con las operaciones usuales de suma, es decir: (xl9x 29...9x n) + ( y x, y 29...9y n) = {x x + y l9x 2 + y l9...9x n + y w) y el producto por un escalar A(x{, x 2

x n) = (Ax¡, Áx2

Axn), X e R

114

Eduardo Espinoza Ramos En el conjunto V = R 2, definimos las siguientes operaciones: (a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) Ma,b) = (Xa,A.b) comprobar que (V, + , R ,.) no es un espacio vectorial. En efecto:

i)

Sí u,v e V => u = (a,b), v = (c,d) Probaremos que u + v = v + u , V u,v

e

V

u + v = (a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) = (d + b, c + a) = (c,d) + (a,b) = v + u se cumple ii)

Si u,v,w e V => u = (a,b), v = (c,d), w= (e,f) u + (v + w) = (u + v) + w u + (v + w)=(a,b) + [(c,d) + (ejO M ^b) + (d + f, c+ e) = (b + c + e, a + d + f)

... (1)

(u+v)+w = [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (b + d, a + c) + (e,f) = (a + c + f, b + d +e)

...

(2)

de (1) y (2) se tiene: u + (v + w) * (u + v) + w por lo tanto (V, + ,R ,.) no es un espacio vectorial El conjunto V -

{ ( x ,y )

las operaciones

de R 2 en esté caso falla el opuesto, pues (3,-9) e V sin

g

R 2 / x + y < 1}, no es un espacio vectorial con

embargo -(3,-9) = (-3,9) g V puesto que -3 + 9 * 1 . ( 9)

El conjunto R no es un espacio vectorial sobre k = C, pues si z á

g

g

R entonces az é R, es decir no es una ley de composición externa.

Cy

Espacios Vectoriales 10)

115

Probar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, P[x] = {anx n + an_íx n~l +... + a lx+,a0, n e N , a0, a u ...,an s R] es

un

espacio de suma y producto por un escalar del álgebra elemental. ,p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (al + bx) x +...■+ (an +b„)xn donde p(x) = aQ+ a {x + a 2x 2 + ... + anx n y q(x) = b0 + b{x + b2x 2 + —+ bnx n Ap(x) = Aa0 + Áa]x + Áa2x 2 +... + Aanx n

Solución Ahora probaremos las axiomas 1ro.

La suma de polinomios es conmutativa.

SGap(x) = a0 +alx + ...+anx n ,q(x) = b0 + ¿ 1x + ... + ft,Jx 'í dos elementos de P[x] />(*) + tf(x) = (a 0 +b0) + (a, +¿,)jc + (a 2 +b2) x 2 +... + (a„ +b„)x" = (b0 + a 0) + (b , + a , ) x + ( b 2 + a 2) x 2 +... + {b„ + a„ )x " =q(x) + p(x) 2do.

La suma de polinomios es asociativa

Consideremos polinomios de P[x] /?j(x) = a 0 + a!X + a 2x 2 +... + a wr " p 2{x) = b0 + b¡x + b2x 2 +... + bnx n P i ( x ) = c0 + c¡x + c 2x 2 + ... + c nx n

(P\ (x) + (p 2 (x) + p 2(x)) = (pj (x) + p 2 (x)) + p 2(x) se verifica.

116

Eduardo Espinoza Ramos 3er.

Elemento neutro para la suma.

El elemento neutro es el polinomio nulo q(x) = 0, puesto que para cualquier p(x) e P[x] se verifica que: p(x) + q(x) ~ p(x) + 0 = p(x) 4to.

El elemento opuesto para la suma.

Dado cualquier polinomio p ( x ) = a Q + a xx + ... + a nx n de P[x] se verifica que el polinomio p ( x ) = ~ a 0 - a xx ~ . . . - a nx n es su elemento opuesto, puesto que p ( x ) + p ( x ) = q ( x ) = 0 5to.

El producto por un escalar verifica la propiedad distributiva respecto a la suma de polinomios.

Es decir:

Sí p l (x), p 2 (x)

g P[ x]

ya

g

R

a[Px( x ) + P2 ( x ) ] = aP2 ( x ) + aP2 (x) 6to.

La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares.

Es decir: a , p

g

R y p(x)

g

P[x].

(a + P)p(x) = a p(x) + p p(X) puesto que {a + p ) p ( x) = (a + fi)(a0 + a 1x + a 2x 2 +... + a nx n ) a ( a 0 + alx + a 2x 2 +.. . + a nx n) + P( üq +tf1x + fl2-x‘2 + ••- + cinx n ) = a p(x) + p p(x) 7mo. El producto de un escalar verifica la propiedad asociativa. Es decir: sí a, p

g

R y p(x) e P[x]

(aj3)p(x) = (ajB)(aQ+ a xx + a 2x 2 +... + fl„x") = a[j3a0 + p a xx + p a 2x 2 +... + /3anx n] = a(Pp(x))

Espacios Vectoriales 8vo.

117 Existe un elemento unidad 1 € R, tal que l.p(x) = p(x) para

todo polinomio p(x) de P[x] con lo cual se ha probado que el conjunto P[x] de polinomios de coeficientes reales es un espacio vectorial sobre R.

3.3-

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.Sea (V, +, R ,.) un espacio vectorial, entonces se tiene: i)

El elemento “0” de la propiedad A3 es único. Demostración Supongamos 3 0 ’e V tal que é?'+n =m , V u , v e V Por la propiedad A3 tenemos que: u + 0 = u, V u g V

Se cumple:

0 + 0 ’= 0 ]

f > pues 0 ,0 'e F son elementos neutros de V. 0 '+ 0 = 0 J

Y por la propiedad conmutativa se cumple: 0 ' = 0 + 0 ' - Q'+Q = 0 ii)

=> 0 ' = 0

por lo tanto “0” es único.

El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo, es decir: V u g V se tiene O.u = 0. Demostración O.u + u = O.u + 1.u = (0 + l)u = 1.u = u; sumando (-u) a cada miembro tenemos: (O.u + u) + (-u) = u + (-u), por la propiedad asociativa tenemos: O.u + (u + (-u)) = u + (-u), por lo tanto:

O.u + 0 = 0 de donde O.u = 0.

118

Eduardo Espinoza Ramos iii)

Si elproducto de un escalar por un vector es el vector nulo entonces el escalar es “0” o el vector es nulo es decir:

Sí Xx = 0 = > X = O o x = 0

Demostración ler. caso)

Suponiendo que x # 0 y Ax = 0 => X = 0 En efecto sí X * 0 => A ' 1 A = 1, V X e k Sí A.x = 0 => A~l (Ax) = A~l0 = 0 => (A~l .A)x = 0

=> 1.x = 0 => x = 0

lo cual es una contradicción entonces X = 0 puesto que x * 0. 2do. caso) Suponiendo que ^ 0

y k = 0 => x ^ 0

en efecto sí X * 0 => 3 A~l => A~l (Ax) = A~x0 => (A~].A)x = 9 iv)

=> 1.x = 0 => x = 0

El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto es decir: sí X e k, x e V, (-X)x = -(Xx) Demostración Teniendo en cuenta A4 de 2.1., la suma de opuesto en k y BA de 2.1 se tiene: -(Xx) + Xx = 0 = 0.x = (-X + X)x -(Xx) + Xx = (-X)x + Xx .=> por lo tanto (-X)x = -(Xx)

-(Xx) = (-X)x


3.4.

119

ESPACIO VECTORIAL DEFUNCIONES.Al conjunto de todas las funciones f con dominio un conjunto X * <|>y rango un cuerpo k, denotaremos por k x , es decir: kx ={f/f:X-+k} un elemento que pertenece a k x es una función f : X —> k ahora en k x definimos la suma de funciones y el producto de un escalar por funciones. i)

Sí f , g e k x entonces f + g: X->k es tal que (f + g)(x)=f(x) + g(x), VxeX

ii)

Sí X e k y f e k x , entonces kf: X—» k es tal que: (Xf)(x) = A,f(x),V x e X

Luego el conjunto ( k x ,+, k , . ) , provisto de dos operaciones suma (+) y producto (.) es un espacio vectorial sobre k, para esto probaremos los axiomas. A ¡ : Sean f 9g e h x

=> f,g : X -* k

y f + g : X -» k

=> (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x), V x e X de donde f + g = g + f, pues f(x), g(x) e k = (R,Q,C) donde la adición es conmutativa. A2 : Sean j \ g , h e k x => f,g,h: X-»k, por probar que (f+g)+h = f+ (g + h) Sea x eX , [(f + g) + h](x) = [(f + g)(x)] + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x), V x e X

...(* )

[f + (g + h)](x) = f(x) + [(g + h)(x)] = f(x) + [g(x) + h(x)] => [ f + (g + h)[(x) = f(x) + [g(x) + h(x)], V x e X

...(* * )

120

Eduardo Espinoza Ramos como f(x), g(x), h(x) € k = (R,Q,C) entoncesde (*) y (**) se tiene: ((f + g) + h](x) = [ f + (g + h)](x), V x e X (f + g) + h = f + (g + h) A3 : Sea “0” la función cero, 0: X -> k tal que 0(x) = 0, V x e X => V / e £ * , f : X - » k s e t i e n e : (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x), V x € X => (f+ 0 )(x ) = f(x), V x € X =>

f + 0 = f => . V / e l f c * , 3 f e k x / f + 0 = f

A4 : V f e k x sea - f : X —> k definida por (-f)(x) = -f(x) => [f + (-f)](x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) - f(x) = 0 = 0(x) V x € X de donde se tiene:

f + (-f) = 0

V / e k x , 3 (- f ) e k x / f + (-f) = 0 i? ,: Sean f , g e k x y l e k => [^(f + g)](x) = X(f + g)(x) = X(f(x) + g(x)) => [X(f + g)](x) = X[f(x) + g(x)]

... (*)

(Xf + >-g)(x) = (M)(x) + (X.g)(x) = Xf(x) + Xg(x)

... (**)

Mf(x) + g(x)] = >.f(x) + A.g(x) pues

X, f(x), g(x) e

multiplicación es distributiva respecto a la adición

k

•=

=> de (*) y (**) se

tiene: [X(f + g)](x) = (A.f + >.g)(x), V x e X entonces X(f + g) = Xf +Xg


121

B2 : Sea f e k x y X, p e k entonces se tiene: [(X + p)f](x) = (X + p)f(x) = Aflx) + pf(x) = (Xf)(x) + (kg)(x) = (Xf + Xg)(x), V x € X entonces (X + P)f = Xf + pf i?3 : Sea f e k x y X, p e k entonces se tiene: [(*p)f](x) = (^P)f(x) = Mpf(x)) = MPf)(x) = [Mpf)](x), V x € X (A,p)f = X(fif)

entonces [(A,p)f)(x) = [A,(pf)](x)

B4 : Sea/ e k x y, 1 e k entonces (l.f)(x) = l.f(x) = f(x), V x e X entonces 1.f = f por lo tanto V = k x es un espacio vectorial sobre k. CASOS PARTICULARES.-

k x = { / / / : X -> k)

i)

S i X = R y k = R = > k x = { / / / : R -» /?} espacio vectorial sobre R.

il)

Si X = [a,b] y k - R => k x = { f / f : [a,b]~> R} espacio vectorial sobre R.

iii)

X = R, k = R, f es continua, entonces kx ={f /f : R

3.5.

R es continua} espacio vectorial sobre R.

ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES mxn, a)

DEFINICIÓN.-

Sean m,n enteros positivos fijos X = {(i,j) /1 k}

122

Eduardo Espinoza Ramo% Sí f e k x => f : X -> k (h j ) - > f 0\ j ) = fij í f es una matriz de orden mxn sobre R. Casos particulares: m = 3, n = 2 entonces X = {(i¿) /1 

X = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

Sí f e k x

=> f: X -> k

(1.1)->/(l,l) = / u (1.2) -> f (l ,2) = f n (2.1) —> /(2,1) = f i \ (2.2) -> /(2 ,2 ) = / 22 (3.1)->(3,1) = / 31 (3.2) -» (3,2) = / 32

Luego se tiene:

/ll

f\2

/ = fu

fl2

./3 1

/ 3 2 . 3x2

Ahora para l < i < m y l < j < n

fu

f\2

f\n

/2 1

Í22

Í2 n

_fm\

fm2

Jmn _

se tiene: / =

123

Espacios Vectoriales b)

IGUALDAD DE MATRICES.- Sea f , g e k x , entonces: y¡l

/¡2

-

fin

~8u

812

*

S \n

/21

fll

-

fin

82 \

S l2

*

S2n

_/ml

fm l

*•

_Sm\

Sm2

Vi V?

n

/=

6 VI VI

c)

fm n _

f“ g O

f ij ~ S ij

es decir:

/ , , = g u , f u = g 12

, VI

Smn

_

f m„ = g„

SUMA DE MATRICES: /ll+ g l!

f} 2 +

8}2

Al + 8n

Í 2 2 + Í 22

-

f \ n + 8\n

— Í 2n + 82 n

f +g =

_fm \

d)

8m \

“*

fm 2 ^~8m2

fm n

gm

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.Sean / e k x y ). e k = R entonces *f\\

¿fl2

- ^fin

^Í2\

^ fl 2

— ^f l n

Ifm

1

* fm 2

¿L.

124

Eduardo Espinoza Ramos Luego el conjunto de todas las matrices de orden mxn sobre k = R denotado por k x - R mxn está provisto de dos operaciones suma (+) y producto (.). Probaremos que (k x ,+, : Sea f , g e R x

es un espacio vectorial sobre R = k.

=> f,g: X -> R de donde

7n

f\2

*-

f\n

fi\

fll

•”

fin

/=

’ g ii

>

•

fm l

Jm \

7 i+ s n /2 1

^ fm \

8\

+8n

8m l

1 + /1 1

¿> 2 1 + / 2 1

_8m\

fm \

8

_8m\

f\2 + 8 \2

fm 2

822

822 + Í22

8m2

por lo tanto f + g = g + f

•

8 mi

8 \2 + f\2

fm 2

•

8 \n

•

S2n

~

fm n _

J 22 +

g \2

822

8m2

f\n

8 \n

^2n

82n

fm n

8mn

*••

8 \n + f\n

•

82n

f2 n

8 mn

fm n

8mn

_


125

A2 : Sean f , g , h e R x => f,g,h: X —> R fu

f\2

*** fin

fl\

fll

•-

' f u +Aii

fin

g | „ +Al «'

8m2+flm2 ■

^mn _

.

f+(g+h) =

•- fmn_

_fnú fml y ¡ i + ( & i +Aii)

f n + i g n + hn )

/2l + (&21 + ^21) J 22 + (-822 + 1*22 )

Jm \

••• ■

gl2+ /h2 g22 +1*22

+(fm l

+ h m \)

f m 2 + Í 8 m 2 + h m2)

•••

fin

+ (Si„ + h\»)

— f2 n + ( g 2 n + ^ 2 n )

-

fm n + Í8m n

+ hmn )_

asociando los f¡j + (g y + h¡j) y descomponiendo como suma de dos f + ( g + h) = ( f + g ) + h

matrices se tiene:

A j : Sea la matriz

0

0 ... 0

0

0 ... 0 tal que V / e R x se tiene:

0=

0 0 /ll

f\2

/2 1

f2 2

fin —

/ 2n

0

0

'0

0

....

0

0

0

....

0

'

+

=/ .

_fm \

fm 2

—

0

0

..

■ °.

126

Eduardo Espinoza Ramos V / e R x , 3 Oe R x / f + 0 = f ~f\l

~~f\2

~~fl\

-

~ f\n

-

“f i n

A4 : V / e R x sea - / =

~~fm2

\r fm \

**•

~~fm n\

fu ~f\\

f\2

~~f\2

••

fin

~~f \n

"0 0

/21 “ /21

fl2

“

-

fin

~~Í2n

0 0

Í22

. .. .

0“

v 0

1 •

1

.—

/ + (-/) =

fm2 ~~fm 2

fm n ~ fm n

_

0 0

• °.

Luego V f e R x , 3 - f e R x / f + ( - f ) = 0 B {: Sea / € R x , A,,p e R se tiene: (A,p)f = ^(Pf) B2 : Sea

/ e R x , X,p e R se tiene:

(k + p)f ~ A,f + p f

# 3 : Sean f , g e R x 9 k e R se tiene A,(f + g) = A,f + kg B4 : V / e ^ ,

3 /

g

R x tal que f I = f

estas propiedades se prueban en forma similar a las primeras propiedades. Por lo tanto se tiene que el conjunto de matrices R x de orden mxn provisto de las dos operaciones de suma y producto es un espacio vectorial sobre R.

127


3.6. ©

EJERCICIOS PROPUESTOS.Averiguar si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales: a)

V = {(x,y) e R 2 / x + y = 1} con las operaciones de R 2 .

b)

V = {(x,y) e R 2 / x < y ) con las operaciones de R 2 .

c)

W - {(x,y) e R 2 / x - y e Z] con las operaciones de R 2 .

d)

V = {(t,2t,e1)/1 e R} con las operaciones de R 3 .

e)

W = {(x,y , z ) e R 3 / x + y = z} con las operaciones de R 3.

R pta.

( 2)

a)

No es espacio vectorial

b)

No es espacio vectorial,

c)


d)


e)

Es espacio vectorial

Sea V = {Áx + f k x f A, f$ e R } , de donde f(x)

g(x) = e x son funciones

reales, probar que V es un espacio vectorial sobre R. Sea V un espacio vectorial sobre k y F un sub-conjunto de k, demostrar que V también es un espacio vectorial sobre F. Sean U y W V = {(u,w) / u ©

e

dos

espacios

vectoriales

sobre

un

cuerpo

k. Sea

U, w e W}. Demostrar que: V es un espacio vectorial sobre

k.

Probar que V - {(x,y , z ) e R 2 / - 2 x + 3 y - z = 0} es un espacio vectorial con las operaciones de R 3 .

128 @

Eduardo Espinoza Ramos Sean V = R 2, k = R, la adición definida en R 2 por (a,b) + (c,d)= (a + c, b + d) y el producto de un número real por un elemento de R 2 definido mediante X(a,b) = (Xa,A,b). Probar que ( R 2,+,/£,.) es un espacio vectorial. Sean V = R 2, k = R, la adición en R 2 definida por (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) y el producto definido mediante X(a,b) = (a,a), averiguar si ( R 3,+, /?,.) es o no espacio vectorial. Sea

V = R2

y

k

=

(a9b) + (c,d) = ^ +

+^

R, y

la

adición

en

R2

definida

por

Pro<ûcto definido mediante.

X(a,b) = (Xa,Xb). Determinar si ( R 2,+, R,.) es un espacio vectorial. Considerando V = R r

o

sea el conjunto de las funciones reales con variable

real y k = R, investigar si son espacios vectoriales sobre R los conjuntos siguientes: i)

El conjunto de las funciones continuas.

ii) El conjunto de las funciones derivables. iii)

El conjunto de las funciones pares, o sea las funciones f e R R tales que f(x) = f(-x).

iv)

El conjunto de las funciones impares, es decir, las funciones / e R R tales que f(-x) = -f(x).

v)

El conjunto de las funciones constantes.

vi) El conjunto de las funciones positivas.


129

Probar que

V = {A e R 2*2 !Tr (A) - 0} es un espacio vectorial con las

operaciones de R 2 x 2 V = {A e R 2x2 / A 1 = - A}

Probar que

es un espacio vectorial con las

operaciones de R 2 x 2

(12

Probar que

V- {

x

y

0

z


/x,y,zeR}

operaciones de R 2 x 2 0

0

a

Probar que V = { 0

b

0 / a yb , c e R ]

c operaciones de R


0 0

3x3

En cada uno de los conjuntos siguientes no son espacios vectoriales indicar las propiedades que no se cumple: i)

V = {(jc, y) e R 2 / y < 3} con las operaciones de R 2 .

ii)

V = {(*,y) e R 2 / xy = 0} con las operaciones de R 2 .

iii)

V = {(x, ^ ) g / ? 2 /| jc| + | ^| <1} con las operaciones de R 2

Determinar

si

(C 2,+,C,.)

es

un

espacio

vectorial,

definiendo

(Z\,Z2) +(Z[ +zj¡) =(z¡ +z \ , z 2 +z[) Z (Z ,,Z 2) = (ZZ1,ZZ2) ®

Si

V a Rn

es

un

conjunto

no

vacio,

probar

V1 - \u e R n /u.v = 0, para todo v e V } es un R - espacio vectorial.

que

130

3,7.


SUB-ESPACIOS VECTORIALES^ a)

DEFINICIÓN.-

Sea

(V,+,k,.)

un

espacio

vectorial

cualquiera,

diremos que W * <|>, W c V es un sub espacio vectorial de V sí y sólo sí (W,+,k,.) con las operaciones definidas por V es un espacio vectorial. OBSERVACIÓN.Fijado un espacio vectorial V , los subconjuntos <|> y V son subespacios llamados sub espacios triviales. (fy

Cualquier sub espacios diferente de los triviales se denomina sub espacio propio. Un espacio vectorial tiene muchos sub espacios por ejemplo todas las rectas que pasan por el origen en el plano R 2 .

(4 ^

Para probar que un sub conjunto W de un espacio vectorial

V

sea un sub

espacio es suficiente probar las operaciones de suma y producto, las demás axiomas definidas en V también se cumplen en W y esto veremos en el siguiente teorema. b)

TEOREM A.-

Sean (V,+,k,.) un espacio vectorial, y W * <¡>, W c V, diremos que (W,+,kv) es un sub espacio vectorial de (V,+,k,.) sí y sólo sí:

¡)

Vx,yeW

=>x + y e W

ii)

Vêk, V x e W ^ h e W

Demostración =>) Si w es un sub-espacio de V entonces se cumple (i), (ii) esto es inmediato de verificar

Espacias Vectoriales

131

<=) Por hipótesis tenemos que si se cumple (i), (ii) probaremos que (w,+,kv) es un espacio vectorial. A¡ : x + y = y + x, V x,y g W esto se verifica, pues x,y g W cz V y en V se cumple A{. A2 : (x + y) + z = x + (y + z), V x,y,zG W, esto se verifica pues x,y,z e W c= V y en V se cumple A2 . A3 : V x e W , En efecto x

3 0 6 W tal que x + 0 = 0 + x = x, g

W => (-l)x = -x e W por (ii) entonces x+ (-x) = 0

g

W

por (i) A4 : V x

g

W, 3 (-x)

g

W tal que x + (-x) = 0 en virtud de (i), (ii).

En forma similar se puede verificar que (W,+,k,.) cumple las condiciones restantes de espacio vectorial.

©

c)

EJEMPLO DE SÜBESPACIOS VECTORIALES.-

Sea

(/?3,+ ,/?,.) un espacio vectorial, averiguar ¿Cuál de los siguientes sub

conjuntos son sub espacios vectoriales? a)

W ~ {(*, y, z) e R 3 ¡ 2x + y - z = 0} Solución i)

W * <|> puesto que (1,-1,1)

ii)

(xl , y l9z l )9(x29y 29z 2) e f V => (x l , y l , z l ) + (x2, y 2, z 2) e f V (por verificar)

g

W verificar 2(1) - 1 - 1 = 0

132

Eduardo Espinoza Ramos o. ¡ ( x ^ y ^ z O e W Si < [(x2, y 2, z2) e l V

Í2xx+ y x- z x = 0 => < \ 2x2 + y 2 - z 2 = 0

sumando

2(x, + x 2)+ (y , + y2) - ( z 1 + z2) = 0

iii)

=>

( x i + x 2, y i + y 2, Z i + z 2) e W

=>

(ATi ,

, iíj) + (or2, >^2. ^2 ) € ^

Sea X e R, (x,y,z) e W => X(x,y,z) e W, por probar: Si (x,y,z) e W

=> 2x - y + z = 0 X(2\ - y + z) = A,(0) 2(Xx) - (Xy) + (Xz) = 0 =>

(X\,Xy9Xz) e W

=>

X(x,y,z) € W

Luego de (ii), (iii) se concluye que W es un sub espacio de /?3 . b)

W = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z} Solución i)

W*4> pues (1,0,1) e W

ii)

(x], y l , z l X ( x 2, y 29z 2) € W => (x1, y 1, z l ) + (x2,
Si < [(■^2 »^ 2 *^2 ) e ^

=> 4 1*2 —Z2

sumando

JCj +JC2 = Zj + z 2


133 =>

( x \ + x 2, y x + y 2, z x + z 2)& W

=>. (xl , y l , z l ) + (x2, y 2, z 2) e W üi)

Sea X

e

R, (x,y,z)

Si (x,y,z)

e

e

W => X(x,y,z)

e

W (por verificar)

W => x = z A,x = Xz

=>

(>ux,^y,>.z)

e

W

^(x,y,z)

e

W

por lo tanto W es un sub espacio de R * . c)

W = { ( x , y , z ) s R 2 / z = x + 2} Solución i)

W * <(> puesto que (1,2,3)

ii)

(xl , y l , z l ),(x2, y 2, z i ) e W => (^ i, jî, 2:1) -h (jc2 , >^2, ^ 2 ) e ^

e

W

(por verificar)

sumando

z¡ + z 2 = x¡ + x 2 + 2 + 2 =>

(xl + x 2, y l + y 2, z i + z 2) e1V

Por lo tanto W no es un sub espacio de R 3 .

134

Eduardo Espinoza Ramos d)

W = { ( x , y , z ) e R i ¡ \ x\ = \ y\ ) Solución i)

W * <)> puesto que (1,-1,4) e W

ii)

(xl , y l , z l ), (x2, y 2, z 2) e W => ( jc, , y , , z ¡ ) + (x2, y 2, z 2) e w ¡(x^yêW Si ( \ ( x 2, y 2, z2) e W

¡\ xl \ = \ y l | => (, , , , sumando | |* 2 | = |y 2 I 1 * 1

1+

1 * 2

1=

1 .Vi

\+ \y2

I

I*i + x 2 I* Iy i + y 2 I Por desigualdad triangular =>

(x{ + x 2, y x + y 2 , z x + z 2) £ W por definición de W

=>

(x\>y\>Z\) + ( x29y 29z 2) e W

Por lo tanto W no es un sub espacio de R 3 . ©

Sea V = R 2 un espacio vectorial sobre R y W = {(x,y) / x e Z} ¿W es un sub espacio de V? Solución i)

W vt <|> puesto que (2,a) e W , a e R

»)

(xí , y l ), (x2, y 2) ^ f V => (xl , y l ) + ( x 2, y 2) e W í(W ,)e J F Sí , [(x2, y 2) e W

(porverificar)

íx,eZ -

,

\x2 e Z x x + jc2 e Z

(jcj + jc2 , >>i + y 2 ) € ^ Por definición de W (^ 1^ 1) + (^ 2 »^ 2 ) e W se cumple

Espacios Vectoriales iíi)

Sea X

135

e R,

Si (x,y)

g

(x,y)

g

W

W => x

=>

g

X(x,y)

g

W

(por verificar)

Z

1 x => X x g Z por ejemplo A = —, —g Z Por lo tanto W no es un sub espacio de V. Sea

V = {(*,y ) l x, y &R} = R 2y JF = {(*, y ) e R 2 / x + y = 0} probar que W

es un subespacio de V. Solución i)

W * <)> puesto que (0,0)

g

U)

( x l9y x)9(x2, y 2) e W

=> (x}, y {) + (x2yy 2) e W

Si \

^

W e^

W => 0 + 0 = 0

=»

(por comprobar)

sumando \ x2 +y i = ° (*! +X2) + ( j , + >-2) = 0

=>

(x¡ + x 2, y j + y 2) g JF por definición de W

=>

(JC|, >î) +-(^2 »JP2 ) e ^

iii) X e R , (x,y) Si (x,y)

g

g

W => X(x,y)

g

secumple

W

W => x + y = 0 => Xx + Xy = 0 => (A,x,A,y) => ^(x,y)

g

g

W por definición de W

W

por lo tanto W es un subespacio de V.

136 @

Eduardo Espinoza Ramos Sea V = {(x, y ) f x , y e R} - R 2 y W = {(x, y) e R 2 / x + y = 3} probar que W no es un subespacio de V. Solución i)

W *<|> puesto que (2,1) e W => 2 + 1 = 3

*0

(x\>y\)Ax29y 2) e W

=> (x{, y \ ) + (x2*y2) e W

(porverificar)

k + > ”i = 3 Si ^ => < „ sumando \ ( x 2, y 2) e W r 1x2 + y 2 =3 (x, + * 2) + 0 'i + >>2) = 6 * 3 =>

(jcj + x 2, y i + y 2 ) £

=>

( x \ , y i ) + ( x 2 9y 2) é W -

Por definición de W

por lo tanto W no es un subespacio de V. Demostrar que el conjunto W = {(jc, y) e R 2 / y = mx) es un subespacio de R 2 . Solución i)

W * <|> puesto que (0,0) e W ya que 0 = m(0) = 0

»)

(xl , y l ),(x2, y 2) e W

=> (*i,.Vi) + (*2>3'2)€ ^

(por probar) s.

Ííw ,)^ (x2, y 2) e W

^

sumando \y 2 =mx2

yi + ^ 2

= » » (* i + * 2 )

(jct + x 2, y\ + y 2 ) e ( x i , y i ) + (x2, y 2) s W

por definición de W

Espacios Vectoriales til)

137

X e R, (x,y) e W => X(x,y) e W (por probar) Si (x,y) € W => y = mx => Ay - m(Xx) => (Xx9Xy) € W por definición de W ==> X(x,y) e W por lo tanto W es un subespacio de R 2 .

NOTA,- W geométricamente es el conjunto de rectas en R 2 que pasan por el origen de lo cual se puede afirmar que toda recta que pasa por el origen es un subespacio vectorial. Sea P[x] el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a tres, indicar si el conjunto W = {peP/ p(2)=p(-2) = p(0) = 0} es un subespacio de P. Solución i) x ii)

W * <|> es inmediato Si p,

Si

W

q e

¡peW [qeW

p+

q

e

W (por probar)

í p(2) = p(~2) = p(0) = 0 => 1 } q(2) = q(-2) = q(0) = 0

sumando

P(2) + q(2) = p(-2) + q(-2) = p(0) + q(0) = 0 (p + qX2) = (p + qX-2) = (p + qX0) = 0 => iii)

X e R,

p

e

p+q

e

W


W => XpE W (por probar)

138

Eduardo Espinoza Ramos Si p

E

W

=>

p(2)

p(-2)

-

=

p(0)

=

O

=> A,p(2) = A,p(-2) = A,p(0) = XO => (Ap)(0) = (X,p)(-2) = (A.p)(0) = O => Xp

e

W por definición de W.

por lo tanto W es un subespacio de P. Sea P[x] el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a tres, indicar si el conjunto W = {p e P / p(0) = 1} es un subespacio de P[x]. Solución i)

W* <|> es inmediato

ii)

Si p,q e W Si

ípeW [q e W

=> p + q € W (por probar) => ^

[p( 0) = 1 sumando U (0) = 1 P(0) + q(0) = 2 (p + qX0) = 2 * l => p + q ¿ W


por lo tanto W no es un subespacio de P[x], Sea V = F espacio vectorial de todas las funciones de variable real, averiguar si el conjunto definido por: W = {f e F / f(a + b) = f(a) + f(b) es un subespacio de V. Solución i)

W * <|> puesto que la función cero pertenece a W

ii)

f,g e W => f + g

e

W (por probar)

a

f(Xa) = X-f(a)}

139

Espacios Vectoriales c. { f e W ( f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) ai < =>< |g e W | g(a + b) = g(a) + g(b)

a

f (¿ a ) = Af(a)

a

g(Áa) = Ág(a)

f(a+b) + g(a+b) = (f(a)+g(a)) + (f(b)+g(b))

a

f(Á.a)+ g(Aa) = MI a) + A.g(a)

(f+g)(a+b) = (f + g)(a) + (f + g)(a) + (f + g)(b) => iii)

X

f+ge W g

Si f

a

(f + g)(Mi) = k ( f + g)(a)


R, f e W => Xf e

sumando

e

W (por probar)

W => f(a + b) = f(a) + f(b)

a

=> af(a + b) = af(a) + af(b)

f(X,a) = Xf(a) a

=> (af)(a + b) = (af)(a) + (af)(b)

af(Xa) = a(^f(a)) a

X(af(a)) = A,(af)(a)

entonces a f e W por definición por lo tanto W es un subespacio de F. ©

Sea V = C = { f / f : R - > E es continua) y consideremos los siguientes:

Wx = { f e C /

f ( t ) d t = 0}

;

W2 = { / e C / | f ( t ) d t = 1}

averiguar si los subconjuntos W¡ y W2 son subespacios de V. Solución Analizando al conjunto Wx. puesto que W¡ c V

i)

Wj

ii)

f , g e W { => f + g e W x (porprobar)


140

. Si

f/e lF , gsW x

sumando g(t)dt = 0

í/(,w,+í'

m d t+ ^ (í)* = o

I

( f ( t ) + g(t))dt = 0

j\/

+ gX ')í* = 0

iU) k e R , f e W l => A f e W ,

SÍ/eF,

f f(t)dt

A

í

=>

Z + g e lF ,

porprobar

=0

f ( t ) d t = A(0)

(Af)(t)dt = 0

por lo tanto Wx es un subespacio de V. ahora analizaremos al conjunto W2 . i)

W2 * puesto que W2 czV

ii)

f , g e W 2 => f + g e W 2 (porprobar)

tfeW ,


141

f(t)dt = 1

s, \ f * w>

sumando

\& ew 2

g(t)dt = l

[ m d t+ | g ( o * = 2

í

( f + g)(t)dt = 2 * 1

f + g * w :2

por lo tanto W2 no es un subespacio de V. 10J

Sea

V —R nxn el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden nxn

sobre el campo R, definimos los conjuntos: T ^ { A e R Hxn/ a iJ= a Ji9 Vi, 7 }

S = {A e R nxn / atj = - a j¡, Vi, y}

;

Determinar si los conjuntos T y S son subespacios de V. Solución Analizando al conjunto T. i)

T * <|) puesto que la matriz nula es un elemento.

¡i)

A,B e T

Si

=> A + B g T

ÍAeT < \BST

(porverificar)

íai j = aji => < \by-bj,

®y =>

V 1,1 sumando

by - Qj¡ + bjí

[ay + b i j ] e T

=> A + B e T

=> [«y] + [¿>y] e T

142

Eduardo Espinoza Rameé ¡ii)

A, g R, A e T => A, A Si A e T

T (por verificar)

g

=>

ay - a p , V i j

=>

AUy = ÁUjí , V Íj

=>

[AaJ¿] g T por definición de T

=> Alcijj ] g T ,

de donde

XA

g

T

por io tanto T es un subespacio de V. ahora analizaremos al conjunto S. i)

S *<|> pues contiene al vector nulo.

ii)

A, B

g

S => A + B

fA e S Si < \BSS

g

S (por comprobar)

k=-«y, => < \hy-~bj, <*ij

w .. V 1,1 sumando

b ij ~ ~ ( a j i + b j i )

[ay + by ] g S

por definición de S

=> [av ] + [ b y ] e S => A + B iii)

g

S

A, g R, A g S => U g S

Si A

g

S

(por verificar)

a y = - a ^ , V ij

ij

ji» ^


143 =>

[A/iji ] e S por definición de S

=> .¿[ay ]

g

5,

XA e S

de donde

por lo tanto S es un subespacio de S. ©

Sea V = { / / / : [0,1] -> *} un espacio vectorial real y sean T = jf

e

V / f(0) + f(l)

=

0} y H = {f g V / f(x)

>

0}

Determinar si los conjuntos T y H son subespacios de V. Solución Analizando el conjunto T. i)

T * <|) puesto que T cz V

ii)

f,g e T => f + g CSi

¡ f eT

< \geT

g

T (por verificar)

_ í / ( 0 ) + / ( i) = 0 => iii) X e R, f € T Si f e T

f + g e T por definición de T.

=> Xf e T (por verificar)

=>

f(0) + f(l) = 0

=>

A.f(0) + Xf(l) = X(0)

=>

(Xf)(0) + (M)(1) = 0

=>

/.feT

por definición de T.

por lo tanto T es un subespacio de V.

144

Eduardo Espinoza Ramos Ahora analizaremos el conjunto H. i)

H *<|> por lo menos contiene a la función cero.

ii)

f, g

g

H => f + g

\f e S

Si

g

S por verificar

í/ W -°

sumando

Ig(J¡r) > 0

[geS

f(x) + g(x) > 0 (f+gKx)S0

iii) I g R , f Si f

g

g

f+g

g

H

por definición de H

H => A, f

g

H

por verificar

H ==> f(x) > 0 X f(x) > 0 si X > 0 X f(x) < 0 si X < 0, de donde

Xf € H

por lo tanto H no es un subespacio de V. (l2 )

Si V = F conjuntos de todas las funciones definidas en R. demostrar que el conjunto de todas las funciones f que satisface la ecuación diferencial / ” ( jc) + 5 / ( jc) = 0 es un subespacio de V = F. Solución Sea / / = { / € F / / ' '

( jc) + 5 f ( x )

= 0}

Probaremos que H es un subespacio de V i)

H * <|) pues contiene a la función cero.

ii)

f,g

g

H => f + g

g

H por verificar


145

c. ¡ f e H Si < \geH

[ / ”(*) + / ( * ) = O => i ~ I g''(x) + g(x) = 0

sumando

( / " (*)■+ g " (*)) + ( /( * ) + g(x)) = 0 ( / + £ )” « + ( / + £ ) « = 0 => f + g e H por definición de H. iii)

IgR, feH Sí f e H

=> X f e H por verificar

=> f " ( x ) + f { x ) = 0 => y " ( x ) + # ( * ) = A(0) =>

(¿f )"(x) + (¿f)(x) = 0

=>

X, f e H


por lo tanto H es un subespacio de V.

®

9o Sea V = R x el espacio vectorial de todas las matrices de la forma donde a,b son reales cualquiera es un subespacio de V. Solución

Sea / / = {

a

b

b

a

/a,beR}

Probaremos que H es subespacio de V. i) ii)

H * <(> pues por lo menos tiene a la matriz nula. A,B g H

A +B gH

por verificar

(2 b b

a

146


Sí

a

b

\AgH

b

a

\BgH

c

d

d

c

\

A +B =

a

b

b

a

A

B]

f i

iii)

A g R, A

g

+

c

d

d

c

=

a+ c

b+d

b+d

a+c

A + B eH

gH

por definición de H.

Á -

H => A A

Sí A e H =>

A=

AA =

H

g

a

b

b

a

por verificar

Aa

Ab

V

b'~

Ab

Aa

y

a\

eH


Por lo tanto H es un subespacio de V = R 2x2

©

Sea V = { f: [0,1] -» R / f es una función} el espacio vectorial de las funciones reales, analizar si el conjunto

W = { / g V / / ( —) =

2

subespacio de V. Solución i)

W * <|>, puesto que contiene por lo menos la función cero.

ii)

f,g e W =>

f

+g

g

W por verificar

* / . O } es un

2


147

í f eW sí r

geW

f(K. m + m 2 2

=>

g(0) + g(D 2

,h__

2

sumando

« 1 ) + „ ( ! ) = / ( ° ) + / Q ) ., g ( ° ) + gQ)

2

2

2

2

(/+ g X I ) = a ± £ M ± í Z l g M

f+g e W iil)

k R ,

fe W

Sí f e W

=>


X f e W . por verificar ,( 1 ) ./< 2 > ± M 2 2 1

A /(0) + A /(l)

2

2

( Z / )(1)

=> X f

(A /)(0) + (/l/X l)

W

g

por definición de W.

Por lo tanto W es un subespacio de V. Dado

el

espacio

vectorial

(/?4,+,/?,.)

investigar

4

S=

{ (jc ,, jc2, jc3 ,jc4 ) g

= 1} es un subespacio de R 4 .

i?4 /=i

Solución i)

S * <|> puesto que (1,0,0,0)

g

S

si

el

conjunto

148

Eduardo Espinoza Ramos ii)

X = (xl , x 2, x 3, x 4), Y = ( y l t y 2, y 3, y 4) e S

=> x + y e S

por comprobar si se cumple

Si

X = (xl ,x2,xJ,x4) e S

1=1

sumando

4

l, = 0'l>>'2»>'3.>'4)e S

ii=i» 4

4

51=1> * 21=1>

= 1+ 1

4

¿ M * , +>>,) = 2 * 1 í=i =>

=> => d)

©

(*i

+yi,x2+y2,*} + > ’3 . Jt:4 + > ’4 > « 5

( X\ , X 2 >X3, x 4 ) + ( y l , y 2, y i ,4 )«‘ S

x + y g S, por lo tanto S no es subespacio de R * . EJER C IC IO S PROPUESTOS.-

Analizar si W es un subespacio de /?3 en cada uno de los siguientes casos: a)

W = { ( x , y , z ) e R 3 / x = 2y)

b)

W ={{x,y,z)eR3/ x < y < z }

c)

W = { ( x , y , z ) e R 3 / x. y = 0}

d)

W = {(x,y,z)eR' !x =y - z }

e)

W = {(x,y, z ) e R 3 ! x = y 3}

f)

W = {(x,y, z) e R 3 l k xx + k 2 + k 3z = 0, k¡ e R]

149

/ sparios Vectoriales ( ')

Consideremos S = {(x, y) e R 2 ! x > y } , investigar si S es un subespacio de (i?2,+,/?,.)

(
Consideremos W -- {(x,

y)

el

espacio

e. R 2 f y = 2x}

vectorial y

(¿?2,+,/?,.)

y

los

subconjuntos

T ~ {(x, y) e R 2 / y = x + 1} averiguar si son

subespacio de i?2 ( l)

Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios de R 2 . T = { { x , y ) e R 2 /(x~~y)2 = (x + y ) 2}

O

;

5 = {(.v, y) e R2 f ^ + y = v - | }

Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios de R 3 , donde: a)

W = { ( x , y , z ) e R 3 / z = 0}

c)

W ={(x,y,z)eR3 /x = z

d)

W = {(x,y,z) e R 3 / x + 3y + z = 2}

b)

W = {(x,y,z) e R 3 / z = 3x +y}

y = 3}

a

n

(ó )

Probar que S = {(x,,x2,...,x„) g / ? " = 0 ,

ai e R } es un subespacio

i=i

d e /? ". Demostrar

que

el

siguiente

5’ = { (x ,^,z)g /?3 /x + j > - z = 0 (S )

subconjunto, a

definido

en

la

forma:

x + 2>y + 3z = 0} es un subespacio de R 3.

Considérese el espacio vectorial (/?3,+,/?,.) analizar cual de los siguientes conjuntos son subespacios de /?3.

Eduardo Espinoza Ramoi

150 a)

^ { ( x j , z ) e i ? 3/x = ^ z }

c)

H = {(*,y , z )

Sea V = R r = { /

©

g R 3 ixz g Rr

W = {(x,y,z) e R* / | * + z |= z}

b)

= 0}

/ f : R - > R} espacio vectorial sobre R:

a)

Probar que W = {f e V / f es acotada} es un subespacio vectorial de V.

b)

Probar que W = {f g V / f(-x) = f(x), V x e R} es un subespacio de V.

c)

Probar que W = {f e V / f(-x) = -f(x), V x e R } es un subespacio de V.

d)

Probar que W = {f e V / f es continua} es un subespacio de V.

¿Cuál de los siguientes conjuntos dados son subespacios de R n (n > 3)? a)

W = {(x{, x 2,...,xn) e R n / x x >0}

b)

W = {(jc1,x 2 v..,Jcn)G7?n / x x + 3x 2 = * 3 }

c)

W = { ( kXl , X 2 , ...,Xa ) e R " ¡ x 2 =AT,2 }

©

Analizar si W = {(xt , x 2

(l^

Sea

x n) g R ” / x n g Z} es un subespacio de R n .

V = M 2x2(R) espacio vectorial de matrices cuadradas sobre R y sean

Wx = {[ciij ] e M 2x2 (R) / a xx + a 12 = 0}, W2 = {[a^ ] e M 2x2 (R) i a xx + a 21 = 0} Demostrar que Wx y W2 son subespacios de V. (l^

Dado el espacio vectorial subconjuntos:

S = {A

T = { A g M 2x2( R ) / A =

( M 2x2(R),+,R,.) . Diga Ud. sí los siguientes

g M 2x2 (R ) /

a

1+ a

0

0

,

A■

a

b1

-b

c

,

a , b , c GR }

a g í ? } . Son subespacios de M lxl ( R)

Espacios Vectoriales (í^

151

A nalizar sí lo s sigu ien tes subconjuntos de i?4 son su b esp acios de R 4 . S = { ( x , v, z , u ) g R 4 / x 2 + y 2 >

T

©

0

- {(x, y , z , u ) e R 4 / 2 x - y - u

x 2 + u 2 <

,

x ~ 2 y = z}

v

Determinar si los sigu ien tes subconjuntos de T - {(.X|, x 2 , x 3, x 4 ) e

R 4

0}

/ por lo m en os en

son subespacios.

R 4

es cero}

x¡

S = { ( x ] , x 2 , x 3 , x 4 ) e R 4 / x xx 4 = 0 }

(l^

D em u éstrese que lo s sigu ien tes subconjuntos de R 4 son su b esp acios.

a) b)W (l^

@

W = { ( x 9y

9z , t ) e R 4 / x + y

= { ( x 9y 9z 9t ) e R 4 / 2 x

+y

- t

z - t -

=0 ,

0}

z = 0}

Analizar cuales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de W = {(x,

b)

W ={ ( x ,y , z , u ) E R 4

Sea

V = {f: [a,b] -*■ R / f es continua} el espacio vectorial de las funciones

y,z,

u) e

R 4

/ 1u |> u ,

R 4 .

a)

/ x 2 + y 2

continuas analizar si S = { / e V /

^9)

=0 ,

x

= u}

+ u 2 =0}

f ( x ) d x * 0} es un subespacio de V.

Demostrar que (S,+,R,.) es un subespacio de R nxn , siendo S el conjunto de las matrices triangular superior. Sea el espacio vectorial ( R r ,+9R,.) donde

R r = { / e R r / / : R —» R }.

Averiguar cual de los siguientes subconjuntos de R r son subespacios vectoriales.

Eduardo Espinoza Ramos a)

W = { f e. R r / /(O ) + / ( l ) = 0}

b) W = { / e R r//(O ) = /(l)}

c)

W = { f e R « / f ( x ) > 0}

d)

W = { f e R R / f ( x 2) = ( f ( x ) ) 2}

e)

W = { f e R r / /(3 ) = 1+ /(-5 )}

Demostrar que S = {(z, w) e C 2 / Z = iw) es un subespacio de (C 2,+, C ,.). Considerando (C 2,+,/?,.) el espacio vectorial de los pares ordenados de números complejos sobre el cuerpo de los reales, investigar si los siguientes conjuntos son subespacios del mismo. a)

S ~ {(z,u) e C 2 / z 2 + u 2 = 0}

c)

5 = {(z, m) e C 2 / Re(z) = Re(w)}

d)

S = {(z, u)

Sean

^

e

C 2 / Im(z) = 0 y

F2

dos

a

b)

S = {(z,m) e C 2 / z + 2u e R}

Re(z - w) = vectores

Im(z)} en

/?2.

Demuestre

que

H = {V/V = a Vl +bV2; a,b e R} es un subespacio de R2 Sean

Fj ,V2

vectores arbitrarios en un espacio vectorial en V. Sea

H = {V s V / V - ax V¡+a2 V2 + ... + an Vn; al,a2,...,an e i?} Demuestre que H es un subespacio de V. Sea H = {(x, y , z, w) e R 4 / ax + by + cz + dw = 0} donde a, b, c y d son números reales no todos nulos. Demuestre que H es un subespacio propio de R 4 (a H se le conoce como un hiperplano en R 4).

153

Espacios Vectoriales *26)

Sea H =■{ x^x2,...,xn e R n / a sJ s +a2x2 +...>+ anxf¡ = 0} donde a}%a2,...,at7 son números reales, no todos nulos. Demuestre que H es un sub-espaeio propio de Rn (a H se le conoce como un hiperplano en Rn ).

•' 7)

Si A es una matriz de orden nxm y H = {x e R m i Ax

0} D em uestr que íl es

un subespacio de R m (a H se le co n o ce com o el núcleo de la m atriz A ). !? )

indicar si los sigu ien tes subconjuntos son o no su b esp acios vectoriales de los esp acios vectoriales que se indican en cada caso.

a)

W-

b)

W = { ( x , y , z ) e R 3/ x 2 + y 2 - z = 0} de R3

c)

W = { ( x , y ) e R 2 / e x + y = 0} de R 2

{{x ,

y) e R 2 i x > 0 e y > 0} de R 2

Rpta.

3.8.

No son subespacios vectoriales.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS, a)

INTERSECCIÓN DE SUB-ESPACIOS.-

Sea {S,}íe/ una familia de subespacios

del

espacio

vectorial (V,+,k,.), a la intersección de dicha familia de subespacios denotaremos por S =

. /=i

TEOREM A.-

La intersección de toda familia {tS'l-}J-e/ de subespacios del espacio vectorial (V,+,k,.) es un subespacio de V. Demostración

Sea S =

la intersección de la familia de subespacios de V.

154

Eduardo Espinoza Ramos Probaremos que (S,+,k,.) es subespacio de (V,+,kv) i)

0 g S ¡ , Vi

por ser subespacios de V entonces

O g^^S,

1=1

definición de intersección de donde S * <|). ii)

x, y e S =■p 'j S¡

=> x + y e S =

S¡ por probar

/=!

i=l

SíxeSAyeS

=>

x

A y e ^|*S / , V i /=i

g

<=! => => =>

x e S¡ a

y e S¡ 9 V i

g

I

I

g

x + y e S¿, Vi por ser subespacios x+y

S¡ = S definiendo n

g

1=1

Luego x + y e S iii )

X

g

k,

x

g

S=

S¡

=> Ax e S = | ^ |

/=i Si

x g

por probar

/=i

, Vi => x e S ¡ , Vi, definiendo

5 ' = | ^ 5 ,/

n

/=!

=>

Ax g 5,

por ser subespacios

Ax g

Sf = S definiendo n /=i

por lo tanto X x

g

Luego 5 = 1 ^ ^

S es subespacio de V

= 5 por

Espacios Vectoriales Ejemplo.-

155 En el espacio vectorial (i?3,+?R,.) consideremos los subespacios T = {(x, v, z ) 6 Í ? 3 / z - - 0 ¡ y

H = {(x, y, z) e R" I x ~ 0} ,

la

intersección de estos subespacios es: T n H = {(x, y, z) e R 3 / x = 0 a z = 0} esto significa que los puntos genéricos

de

T

H es (0,y,0) es decir

a

T n H = {(0,y f i ) e R 3 / y e R} = eje Y

Ejemplo.-

W es un subespacio de V <=> i)

0 ) y v,w

e

W => av + bw

e

W, V a,b

e

k

Solución

=>) Como W es un subespacio de V => 0 contiene al cero v,w

e

W y a,b

e

e

W por que todo subespacio

k => av

condición (ii) de subespacio) entonces av + bw se cumple (i), (ii) <=) Supongamos que W cumple i) y ii) =>

e

W, bw

e

W.

e

W (por la

156

Eduardo Espinoza Ramos i)

O

W

e

V +

w

Sí v

e

==>

E

W

, Sí v, w

*

W

e

v -i- w

=>

= 1 .v +

1.w

e

W por (ii)

=>

W W y X

e

k

=> A,v = Xv + Ov

e

W por (ii) =>

Xv e W

Luego W es un subespacio de V. Ejemplo.-

Sean U y W dos subespacios de un espacio vectorial V=> U n W es también un subespacio de V. Solución

Como U y W son dos subespacios d e V => O e U y O e W (por que todo subespacio contiene al cero) =>

0

e

Sean v,w

U nW e

Un W

...(1 ) =>

v,w

e

U

=> av + bw

a v, w

e

U

a

e

W av + bw e W,V a,b

e

k

puesto que U y W son subespacios => au + bw

e

U n W , por lo tanto

U n W es un subespacio de V. b)

UNIÓN DE SUBESPACIOS.Si T y H son dos subespacios de (V,+,k,.) entonces T u

H no

necesariamente es subespacio de V, esto la ilustraremos con el siguiente ejemplo, consideremos el espacio vectorial (/?2,+ ,R,.) y los subespacios T y H que se muestran en la figura.


157

Tenemos que x e T yeT

=>

xg

T

u

H

=> y e T u H

pero x + y í T u H con el cual se tiene que T u H n o necesariamente es un subespacio.

c)

SUMA Y SUMA DIRECTA DE SUB-ESPACIOS.DEFINICIÓN.-

Sean Se

Wl llama

y W2

dos subespacios de (V,+,k,.).

la suma de los subespacios W¡ y W2 al

conjunto definido por: W = Wi + W 2 = { x e V / , x * z x l + x 2, x l e W l

TEOREMA.-

a

x 2 e W 2}

La suma de dos subespacios de (V,+,k,.) es un subespacio de V. Demostración


158 Sean

W¡ y W2 dos subespacios de (V,+,k,.) debemos probar que

W - Wx+ W2 es un subespacio de V i)

Que W * <(>, pues 0 eW¡ a

0 e W 2 => 0 + 0 = 0 e ITj + OeW

=> ii)

Sí x , y e W = W1+W2

=> x + y e W = Wl +W2

f x e W = Wl +W2 Sl \ y e W

=

Wx+W2

=> W*<|>

íx

^

\y

= xl +x2, =

x¡ eW¡

y x + y 2, y x e W {

x + >' = (*, + y l ) + (x2 + ^ 2 ), * ] + > ' , £ » ' ,

a

e W2

a

x2

a

y2 eW2

x 2 + y 2 <=W2

por lo tanto jc + y e W = W¡ +W2 iii)

Xek, lek

xg

a

W = W1+W2 => A x e W = Wx +W2

xgW

=>

lek

a

x

=

x { +x2, x { e W {

a

x2

eW2

=>

Ax = Ax¡+Ax2, Ax¡ e W¡ a Ax2 e W 2

=>

A x e W = Wl +W2

Luego W = WX+W2 es un subespacio de (V,+,k,.) Ejemplo.- En el espacio vectorial ( R 3,+, R,.) consideremos los subespacios W¡ = { ( x ,,0 ,z i) e ^ 3 / x lyz¡ e R} y W2 ~ {(0, y 2, z 2) e R 1 1 y 2, z 2 e R } entonces el subespacio suma:


159

W = Wx -i- W2 = {(x, v, z) e /?3 /(.x, y, z) = (x, di Z|) + (O, y2, z2) g F7, ( x , 0 ? Zj ) 6 lf)

es

decir

que

está

formado

por

todos

los

3 ’ ( O , V2 » - 2 ) € ^ 2 Í

términos

de

la

forma

(x, v, z } = (xj , y 2 , Zj -f Z'2) es decir que es R 3 luego W -• W¡ + ÍF? - /?j

DEFINICIÓN.-

Sea V un espacio vectorial sobre k, W¡ y W2 dos subespacios de V, diremos que V es la suma directa de Wx y W2 sí:

i)

V = Wx +W2

ii)

Wx n W 2 = {6}

y denotaremos por W¡ © W2 = F . En resumen: V = W} e W 2 ={u + v / u e W x En general F * fFj © W2

a

v e W2j y Wl n W 2 ={0}

160

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-

En

( R 2,+,R9.)

consideremos

los

subespacios

W¡ = {(x,y) e R 2 l y ~ x} y W2 = {(x,y) e R 2 / y = -x} probar qu e R 2 = W, @W2 . Solución i)

Todo elemento (x, y )

gR

2 se puede expresar como :

( , ^ ) = (£ ± 2 1 ,£ ± > :)+ (Í Z Z , Z Z £ )

es decir: R 2 = W¡ + W2 obsérvese que (£ ± Z £ ± Z )€ÍFl

ii)

y (£ z Z , Z z £ ) € »r2

Ahora probaremos que

Wl n W 2

= {(0,0)}

como

{(0,0)} cz W¡ n

W2

siempre se cumple sea

(x , y ) e W l n W 2

=>

(x , y ) e W {

=>

y=x

de donde x = y = 0 => (x,y) Luego

W x n W 2 cz

g

a

a

(x , y ) g W 2

y = -x

{(0,0)} Wx n

{(0,0)}

por la parte (i), (ii) y la definición se tiene: Ejemplo.-

En Wx

( R 2,+,R,.)

R 2 = Wx ©fV2

consideremos

= { ( x , y ) e R 2 í y = 0} y W 2 = {(x,y)

que R 2 =WX® W 2 .

{(0,0)}

W 2 -

los g

subespacios

R 2 ¡ x = 0} probar


161 Solución

i)

Probaremos que R 2 - W l +W2 para esto, todo elementos (x, y)

g

R 2 , se expresa como

(x,y) = (x,0) + (0,y) se observa que: R 2 =W¡ + W2 y (jc,0) e Wt ii)

Sea (x, y) e Wx n W2

=>

a

(0 ,y) e R 2

(x, y) e W{

a

=>

y= 0

~

=>

(x,y) = (0,0)

x

a

(x ,

y)

g

W2

0

de donde Wl n W 2 ={(0,0)} por lo tanto de (i), (ii) y la definición Ejemplo.-

En

(/?3,+ ,/?,.)

R 2 = W¡ ®tV2

consideremos

los

subespacios

Wl = { ( x , y , Z) e R 3 / y = 0} y W2 = {(x,y, z) e R 3 / x = z = 0}. Demostrar que R 3 = W¡ © W2 . Solución

i)

Todo elemento (x, y, z ) e R 3 se puede expresar como (x,y,z) = (x,0,z) + (0,y,0) donde (x,0, z ) e W t

(0,^,0)

a

g

W2

R 3 = W í +W2 ii)

Sea (x, y, z) eW¡ n W 2 => (x, y, z ) e W l

a

(x,

y, z) e W2

162

Eduardo Espinoza Ramos f ( j , V, z) € W¡ Sí \ [(x,y,z)eWj

=>

(x,0,z) = (0,y,0)

=> x = y = z = 0

Luego (x,y,z) = (0,0,0) => W¡ n W2 = {(0,0,0)} por la parte (i), (ii) y la definición. ( R 3,+,R,.)

Ejemplo.* En

consideremos

w \ = { ( x ,y ,z ) e /? 3 / x = 0}

y

R3=

© W2

los

subespacios

W2 = {(x ,y, z) e R 3 ! y = 0}

¿ R 3 =W, ®W2? Solución i)

Todo elemento (x, y yz ) e R 3 se puede expresar como

(x ,y , z ) = (0,y , | ) + (x ,0,| )

ii)

R 3 =W¡+ W2

donde

Sea a e R 3 => a - (x,y,z) de donde a

e

fV¡

n

W2 => a eW¡

¡asW, Sí \ 1 [ a e 1^2

a

a eW2

a = (0 ,y ,-|) de donde a = (x, 0,—) 2

(0 ,y ,^ ) = (x,0,-^)

x = y = 0, z = z

Luego a = (0,0,z) = z(0,0,l) => V z ^ O a * (0,0,0) => Wx n

* {(0,0,0)}

por lo tanto R 3 * Wé 0 W2


163 V = {/ i f \

Sea

R) el espacio vectorial de todas las

funciones de R en R. subespacio Vi =

de

Sea

todas

Vp = { / g V i f ( - - x ) = f ( x ) }

el

las

y

funciones

{ f e V ! f (—x) = - / (x)}

elsubespaciode

pares todas

las

funciones impares. Comprobar que v = v p e v ¡ Solución i)

Debemos probar que

V = Vp

+V¿, esta condición se cumple del hecho

que cualquier función de R en R se puede expresar como:

/ ( * ) = \ [/(* ) + / ( - * ) ] + \ [/(* ) - / ( - * ) ]

donde -“ [/(* ) + / ( - x ) ] e s una función par, y ^ [ / ( * ) - / ( - * ) ] es una función impar. Por lo tanto V = Vp + V¡

ii)

Probaremos que V n V¡ = {0} Sea / E ^ n F , -

por lo tanto

=>

feV p

a

/ g F,

=>

f(-x) = f(x), V X

=>

2f(-x) = 0, V x

G

g

R

R

Vp r \Vi = {&}

Luego de (i) y (ii) y la definición F = Vp © V¡

A

f(-x) = -f(x), V X

=> f = 0

G

R

164


Sea

V - {A ~ [a{j ] nxn /

matrices

cuadradas

e R} el espacio vectorial de las

sobre

el

campo

R

y

consideremos

U = {A e V / A = A 1} , el espacio de las matrices simétricas y W = {A e V i A = - A 1}

el

subespacio

de

las

matrices

antisimétricas. Demostrar que V = U © W Solución i)

Demostremos que V = U + W Sea A una matriz arbitraria de orden n, a la matriz A es posible expresarla como

A = - ( A + A ‘) + - ( A ~ A ‘ ) 2 2 donde probaremos que ~ (A + A 1) e U y —(A - A1) e W es decir

+ A')]' = j [ A r + (Ary] = ± ( A + A‘)

Luego - i (A + A*) es simétrica =>

-^(A + A ' y e U

[ ± ( ¿ - A‘ )]' = l [ A ‘ ~ ( A ‘ )' ] = - I (A - A‘ )

Luego •- (A - A1) es antisimétricas =>

ii)

Demostraremos que U n W = {0}

(A - A*) e W de donde V =U+W

Espacios Vectoriales Sea A

165 g

U

o

W

=> A e U

A

a

g

W

=>

A = A1

a

A - -A 1

=>

A = A'

a

A =-A'

=>

A = 0 Luego U n W = { 0 ¡

Luego de (i) y (ii) y la definición:

V = U®W

NOTA.- Extenderemos la definición de la suma de subespacios al caso en que n > 2. La suma de los subespacios Wx, W2

DEFINICIÓN.-

Wn de (V,+,k,.) es el

conjunto n

w = W{ +W 2 +... + WA:

n

= { x e V / x = ' y ' X,

a

Xi eW, }

n Luego resulta que

W=

Wi un subespacio de (V,+,k,.) además, si tales

subespaciosson disjuntos dos a dos, ósea i * j diremos que

W

es

la

suma

directa

=>

Wl n Wj = {0} entonces

de ellos,

y

escribiremos

W = W{ @W2 ® W 3 ®„ .®Wn TEOREM A.- Sean V un espacio vectorial sobre k, V¡ y V2 subespacios sí y sólo sí para todo a e V, se puede expresar de modo único en la forma a - a x + « 2 donde a l eV¡

a

a 2 e V2 .

Demostración =>) Supongamos que V ~V¡ ®V2 => i)

V = Vx + V2 , ii)

Vx n V 2 = {0}

166

Eduardo Espinoza Ramos Sea a eV¡ +V2

3a¡ g F,

=>

a 2 g V 2 tal que a = a¡ + a 2

a

deseamos demostrar que a - a¡ + a 2 =>

a l + a 2 = a [ + a t2 => «i - a ( = como a í9a¡

g

V{

==> a x - a [

a 2, a 2 g V 2 => =>

a¡-a{= Luego a

0

g

a

a 2 gV2

~ai Vl

(pues Vl es un subespacio de V)

«2 ~ ° 2 e ^ 2 (pues F2 es un subespacio de V)

a 2 - a 2 =0

a

g

donde a[ g V¡

=>

a

=

a¡

a

=a2

a 2

V = V¡ +V2 tiene una representación única.

<=) Sea a e V

=>

a = a¡ + a 2 donde a x g V¡

a 2e V 2 esto se

a

representa de modo único. v = v + 0 donde 0 g Fj

a

v

eV¡

0

g F2

a

v = 0 + v donde

v g V2 => como una suma para v es única =>

F1 n V 2 = {0} entonces Ejemplo.-

a

v = 0 =>

F = Ft ® V2

Sean

U = {(r,_y,z) g / ? 3 /jc + j >+ z = 0}, F = { ( x ^ z ) g R 3 f x = z } , JF = {(0,0, z ) g R 3 / z Probar que

i)

g R}

sub espacios de /?3 .

R 3 =U +W

¿ R 3 = U ® W ‘?

ii)

* 3 = F + lf

¿R 3 =V@W?

Solución

iii)

R 3 ‘= U + V

¿R3 = U Q V ?

Espacios Vectoriales i)

167

U = {(x,y,z)<=Ri / x + y + z = 0}, W = {(0,0,*)€ /?3 / z e /?} Sea a e R 3 => a = (x,y,z) que se puede expresar como: a = (x,y,z) - (x,

(x, y, -x - y) € U Sea a e U n W

-x -

y,

a

y)

+ (0, 0, x + y + z) y como

(0, 0, x + y + z) e W

=> a € U =>

a

aeW

0 + 0 + z = 0 =>

entonces

R3 =U +V

~^> x + y + z = 0

a

x=y=0

z=0

=> a = (0,0,0) luego U n W = {(0,0,0)} r

ii)

3 =u ® w

V = { ( x , y , z ) e R 3 l x = z} y W = {(0,0,z) e R 3 / z e R} sea a e R 3 => a = (x,y,z) = (x,y,x) + (0,0,z - x) donde (x,y,z) e V

a

Sea o te V n W => x=z a x=y=0

(0,0,z - x) e W entonces a e V

iii)

a e W de donde

=> x = y = z = 0

entonces a = (0,0,0) luego r

a

= V +W

V n W = {(0,0,0)}

3 = v @w

U = { ( x , y , z ) e R 3 /jc + >>+ z = 0} y V = {(*,>>, z) e Sea a e R 3

3 / x = z}

=> a = (x,y,z) = (0, x - z, z - x) + (x,y- x + z,x)

Donde (0,x - z,z - x) e U Entonces R 3 = U + V

a

(x,y - x + z,x) e V

168

Eduardo Espinoza Ramos Sea a e U n V

=> a e U

a

a

V

g

=> x + y + z = O

a

x=z

=> 2x + y = O => y - -2x como a = (x,y,z) = (x,-2x,x) = x(l,-2,l) Vx*0

a * (0,0,0) =>

por lo tanto

R3 *U@ V

Ejemplo.-

U n V * {(0,0,0)}

Supongamos que U, V y W son subespacios de un espacio vectorial, probar que:

(U n V) + (U n W) c= U n (V + W)

Solución ( U n V ) + ( U n W ) = {u + v / u e U n V sea a

g

(U n V) + (U n W)

fu e U n V como < [veUnW =>

u+vgU

de donde

3.9.

3

[ueU => { [veU

n (V + W)

=>

u g

a

Uo V y vG Ü nW /a =u+v

a ueV a

vg

a

g

veUnW }

W

„ „ lly =>u + v e U a u +vgv+ W

U n (V + W)

( U n V ) + ( U . n W ) c U n (V*+ W)

COMBINACIONES LINEALES.DEFINICIÓN.-

Sea

(V,+,k,.) un espacio vectorial y A * <(> donde

A = {Vj , v2

vn} c= V una familia o conjunto de vectores

de V, llamaremos combinación lineal de elementos de A, a todo vector de la forma


169

DEFINICIÓN.-

Diremos que el vector v e V e s una combinación lineal de los elementos de A, si existen escalares a x, a 1,...,an e k , tal que

Ejemplo.-

Sea (/?2,+,/?,.) un espacio vectorial, expresar en cada caso, si es posible, el vector v como combinación lineal de Vj, v2 donde:

1)

v = ( 7 2 ,-1 ), v, = (7 3 ,2 ), v2 = (-7 6 ,2 ) Solución v es combinación lineal de Vj y v2 si existen a , P e R

tal que

v = crvj + /3v2 ósea

(72, -1) = «(73,2) + (3{-76,2) (72,-1) = (73a -76/?,

2 a + 2(3) de donde

a =

272-76 2 (73+ 76)

7 3 a - 76/? = 72 2 a + 2/5 ='-1

272 - 73 2(73 + 76)

Luego el vector v se puede expresar como combinación lineal de los vectores vx y v2.

2 7 2 -7 6

2 7 2 -7 3

V~ 2(73 + 76) V‘ + 2(73 + 7 6 ) V2

170

Eduardo Espinoza Ramos 2)

v = (2,4), v, = (-1,3), v2 =(2,~6) Solución v e s combinación lineal de los vectores

que v = avl + fiv2 ósea:

Vj y v2 si existen a , (3 e R tal

(2,4) = a(l-,3) + (3(2,-6) (2,4) = (-a + 2p, 3 a - 6p) de donde

-3 a + 6J3 = 6

=2

-a + 2 p

3a-6j3 = 4

3 a ~ 6 /? = 4

0 * 10

Luego 3 a,(3 e R tal que v = avj + /fr2 Por lo tanto v no se puede expresar en combinación lineal de los vectores v, y v2 . Sea ( R 2x2,+,/?,.) el espacio vectorial de las matrices de orden 2,

Ejemplo.-

las C=

0 o 1 1

matrices

A=

"1

0“

0

1

, B=

"1 0" 1 0

. Determinar todas las combinaciones lineales de A,B y C que den

la matriz nula N Solución Debemos de obtener a ,(3 y y en R, tales que: (f

i

1

"0

(f

0

0

O

0

0 i

1

t

O

+

O

+ 1

=

O

a

'o

O

0

0

1 0

+r

O

a

0'

1

1

1

0

'1 +fi

, efectuando la multiplicación

i

0"

i

'l

a

aA + pB + yC = N o sea

, efectuando la suma

Espacios Vectoriales ~a + p P+y

171

0 " a+y

“0 0~ _° 0

por igualdad de matrices

a +P = 0 p + y = 0 de donde a = p = 0 a +y - 0 Luego la única combinación lineal que satisface la relación propuesta es la trivial

3.10. CONJUNTO DE COMBINACIONES LINEALES.Sea A * <|)

un conjunto de vectores de (V,+,kv) ahora formaremos el

subconjunto de V cuyos elementos sean todas las combinaciones lineales de los vectores de A, a este conjunto denotaremos con el símbolo A , que se lee “A raya” Si A = {vj, v2

vn} un conjunto de vectores de V entonces A se escribe así:

A=

fa¡ e k a

vi e A}

i~l________________ __ Ejemplo.-

El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores V,

=(1-2,0) y

v2

= ( 2 - 2 - 1 ) de R 3 es

A = {«(1, -2 ,0 ) + J3( 2, -2, -1 ) / a , / 3 e R } O sea A = {(a + 2 p , - 2 a - 2 p , ~ P ) / a , p e R} Como A g R 3 => (jc, y , z ) e A de donde (x,y,z) = (a + 2p, -2a - 2p, -P)


172 a +i p ~ x

l a + Afi = l x

-la - i p - y

-la -ip =y

-p^z

~P ~ z

de donde l x + y + 2z = 0

i p = 2x + y

=>

por lo tanto

- Iz = lx + y

= {(*, y 9z) e R3 / l x + y + l z = 0}

TEOREMA.- Sea (V,+,kv) un espacio vectorial y A = {vl9 v2,...,v#I} cz V ; demostrar que el conjunto de las combinaciones lineales de la familia de vectores de A es un subespacio del mismo es decir (A,+, k,.) es un subespacio de V. Demostración = l.vl + 0.v2 + ... + 0.vw es decir Vj e A

i)

Siendo

ii)

Poi definición se tiene:

v{

=> A * <¡>.

n

ve A

v{

=> 3 a 1, a 2,...,an e k / v =

a

vf

eA

i=i n

=>

v

Si u , v e A

Sí

j w e ,4 VG^Í

a

ai ek

a

v

¡

e V , puesto que A c V

v e V, Por lo tanto A a V

Luego v e A ii i )

= ^ ^ a¡ v¡ i=i

:

u + v e A por probar /i u = y ' a iv¡ i=\ n

V=I ^ '

entonces:


173 n

n

4/=!

/=!

n

té+ V=

iv)

Si a e k, v e A

i-\

/-!

=> a v e A por probar n

Síaek

a ve A

a e k

v■

a

’=

]La'v ' /= /=i1

—n

n«

a v = a ^ a ¡ \\ = (a a , )v, 1i=l =1 /=!

£

==>

nn aa vv = =^ i /= /=i1

=> a v e A

por lo tanto (^, +, A:,.) es un subespacio de V.

3.11. SUB-ESPACIO GENERADO.a)

DEFINICIÓN.-

Sea V un espacio vectorial sobre k y A c V un subconjunto de V no vacío, el conjunto de todas las

combinaciones lineales de un número finito de elementos de A es un subespacio de V y se denomina el subespacio generado por A y se denota por:

Si A es finito, por ejemplo A = {vj , v2 un subespacio finitamente generado.

vn} decimos que U = L(A) es

174


En el espacio vectorial ( # 3,+,/?,.) consideremos A = {(1,2,-1). (3,0,1)}, hallar el subespacio L(A). Solución

Sea A - {v'!, v2} donde vx - (1,2,~1) , v2 = (3,0,1) L(A) = {avl + p v2 / a , P e R } = {a( 1,2,-1) + p(3,0,1) / a,P e R} como L(Á) cz /?3 entonces (x,y,z) € L(A) =>

(x,y,z) = a (l,2 ,-l) + p(3,0,l) = ( a + 3p, 2a, -a + p) de donde

a + 3/? = x 2a = y - a +P - z Luego

—+ 3/3 = * ^

=> x - 2y -- 3z = 0

2

L(A) = {(x,y, z) e R 3 ¡ x - 2 y - 3 z = 0}

Ejemplo.-

Determinar el subespacio de ( /í3,+ ,/?,.) generado por la familia A cuyos elementos son los vectores v, = (2,1,2) y v2 = (1,2,1). Solución

L(Á) = {avx + flv2 / a , p e /?} = (a(2,l,2) + p (l,2,1) / a,p e R} como L{A) cz R 3 ==> (x,y,z) e L(A) entonces: (x,y,z) = a(2,l,2) + P( 1,2,1) = (2 a + p, a + 2p, 2 a + P) de donde x - 2 a + fi y = a + 2P z = 2a + p

=> x = z , y e R


175

Luego el espacio generado por los elementos A es: L{A) - {(x,

z) € R J i x = z\

Ejemplo.-

Demostrar que ios

siguientes

generan el mismo

conjuntos

subespacio

de

vectores

de

A = {(1,0,-1), (0,-2,1)1 «

B = {(1 ,-2,0), (2,-2,-1)} Solución Por demostrar que L(A) - L(B) A genera el subespacio L(A) de i?3 entonces: L(A) = { a (l,0,-1) + P(0,-2,l) / a, p e R} Como L ( A ) c z R 3

(x,y,z)e L(A) de donde (x,y,z) = a (l,0 ,-l) + p(G,-2,l)

(x,y,z) = (a, -2p, -a + p) por igualdad se tiene: x y = -2/3

=>

z - ~ a + ¡3

Luego L(Á) = {(jc, y, z) e R? i 2x + y + 2z = 0} B genera el subespacio L(B) de R 3 entonces L(B) = { a(l,-2,0) + p(2,-2,-l) / a,p e R} Como L ( 8 ) c z R 3 => (x,y,z) e L(B) entonces (x,y,z) = a(l,-2,0) + P(2,-2,-l) = (a + 2p, -2a - 2p, >P}, por igualdad se tiene:

176

Eduardo Espinoza Ramos x - a + 2/3

x = a + 2/3

jc+ —+ z

=0 2 2x + y + 2z = 0

y = - 2 a -2/ 3 z =-0

z =-fi

L(B) = { ( x , y , z ) e R 3 / 2 x + y + 2z = 0)

Luego

Por lo tanto de (1) y (2) se tiene: Ejemplo,-

L(A) = L(B)

Hallar un vector en R 3 que genera la intersección de U y W donde U es el plano XY:

U = {(jc, y,0) e R 3, / jc, y e R} y W es

el espacio generado por los vectores (1,2,3) y (1 ,-1,1) Solución Sea (x,y,z) -e U a W r=> (x,y,z) e U a (x,y,z) e W ^=> z = 0 y como (x,y,z) = (x,y,0) e W => ■(x,y,0) = a(l,2,3) + P (l,-l,l) (x,y,0) = (a + P, 2 a - p, 3a + P) de donde x ~ a + /3 y = 2a -J3 0 = 3a + J3 (.x, y, 0) = ^

(1,2,3) - (x + y y i , -1,1)

= [ ~ f ( * + y), | ( * + y), 0 ] =

^

( -2 ,5 ,0 )

=

a

=

El vector que genera la intersección de U y W es (2,-5,0).

( -2 ,5 ,0 )

Espacios Vectoriales b)

177

PROPOSICIÓN.-

Sea el espacio vectorial (V,+,k,.), A=

{ v , , v 2 , . . . , v w} c:

A ^

^

V y {w, }íé/ una familia de

subespacios tales que A c w¡, para todo i e I, entonces: L{Á) - f b /£/ Demostración i)

Probaremos que L(A)

=í > ¡el

sea v e L(A), entonces existen escalares

, a 2,

.

e k tal que:

n V= y^ a j vj , Vj e A , Vj = l,2,...,n y=i pero como A c w,-, V i e I, Vj = l,2,...,n n

=>

v= ^

a yvy ; v1,v 2,...,v„ e w , , Vi e I

j =i

=>

v e w f, V i e l

=> v e P | w f

=> L{A)cz

¡el iel

ii)

Ahora verificaremos que

|^ |

í> ¡el

cz L(A)

iel

Ac=L(A), en efecto, para Vj e A , j= l,...,n se puede escribir siempre: Vj = O.v, + ... + 0.vy-_, + l.v; + 0.vy+1 + ... + 0.v„, Vj = 1,2,...,n =>

A c L(A) => L(A) = wio para algún i0 e I

178


Luego de (i) y (ii) se tiene:

OBSERVACIÓN.»

L(A) = I h

A la proposición que se demuestra también podemos enunciar diciendo que L(A) es el menor de todos los subespacios que contiene a A.

3.12.

INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL.a)

DEFINICIÓN."

Un conjunto de vectores

{iq, v2

vn } * $ de un

espacio vectorial V sobre un campo k, diremos que es n linealmente (Id) sí y sólo sí a ( - 0 => a¡ 0 . v/ i - 1 ,2,. , ,,n

Si

{vj,v2,...,vrt} no cumple esta condición diremos que (v,, v2

vn J

es linealmente dependiente (l.d) es decir: n £ „ , v , -- $ y a¡ * 0 para algún i entre 1 y n .

Ejemplo.-

Determinar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

1)

V = R 2 , k = R, v, = (2,4), v2 =(0,3) Solución Sea avl + bv2 = (0,0), la combinación lineal


179

a(2,4) + b(0,3) = (0,0), de donde(2a, 4a + 3b) = . Í2a = 0 por igualdad se tiene: < 4a + 36 = 0 como a = b = 0 por lo tanto

2)

(0,0)

a=0 4a -f 36 = 0 => 6 = 0

= (2 ,4 ), v2 =(0,3) son l.i

K = / f3, k =R, v, =(1,3,V I), v2 = (0 ,0 ,0 ),v3 = (1 ,0 ,1 0 ) Solución avj + 6 v2 + ¿ v3 = (0,0,0) la combinación lineal

a ( l,3,4 l ) + 6(0,0,0) + c ( ! ,0,10) = (0 ,0 ,0 ), de donde

2

(a + ™, 3a, \¡2a +10c) = (0,0,0), por igualdad

a +~ = 0

n

2

3a = 0

a =0 .

c=0

V2a + 10c = 0

¿>*0

como a = c = 0 y b * 0 por lo tanto: vi , v2, v3 son l.d. OBSERVACIÓN.-

Toda combinación lineal que contiene al vector cero es Id.

3)

V = R } , k = R, v, = (1,2,-3), v2 = (2,-1,1) y v3 = (-1,8-11)

Solución

180

Eduardo Espinoza Ramos av| + /3v2 + yi>3 = (0,0,0) la combinación lineal: a (l,2 ,-3) + (3(2,-1,1) + y(-l,8,-l 1) * (0,0,0), de donde: (a + 2p - y, 2 a - p + 8y, -3a + p -1 ly) = (0,0,0), por igualdad se tiene: a +2 /3 -y = 0 , n o í\ 2 a ->3 + 87 = 0 ^ -3 c r+ /?-1 1 ^ = 0

f fl0 a + 15/? = 0 < l-3 a .+ /? -lly = 0 1 ^ '

=>

=>

a - ---- B a 2 y? r =y

para p = -2, a = 3, y = -1 luego 3v1 - 2v2 - v 3 - (0,0,0) por lo tanto son l.d. 4)

V = C 2 , k = C, a , = (i,0) , a 2 = (0,i) , 12 = -1 Solución Sea a e V = C 2 => a = (u,v) pero u,v e C entonces u = a + bi y v = c + di con a,b,c,d e R

a = (a + bi, c + di) como

a x = ( /,0 ) ,a 2 = ( 0 , / ) e C 2 => a¡ = (0 + /, 0 + 0./) y cr2 = (0 + 0./, 0 + /) O e C 2 => 0 = (0 + O.i, 0 + O.i) Sea la combinación lineal:

a a { + b a 2 = (0,0), con a,b € C

(ax + ¿ 1/)(/,0) + (a 2 -f ¿>2/)(0,l) = (0 + 0./, 0 + 0./) (axi - b x, 0) + (0, a 2i - b 2) .,= (0 + 0./, 0 + 0./) (axi - b x, a 2i - b 2) = (0 + 0./, 0 + 0./) =» a | . i — = 0 + 0./ a a 2i - b 2 = 0 + 0./ ¿ij = 0 , a 2 = 0, b2 = 0, bx = 0 de donde a x, a 2 sonl.i

Espacios Vectoriales Ejemplo,»

181 En el espado vectorial de funciones funciones

es

{e*,e2*},

determinar

el conjunto de si

son

linealmente

independiente. Solución a e 1 + ¡ k l! = 0 , la combinación lineal como ae1 + p e 2* = 0 , derivando se tiene:

ae* + Ifte 2* = 0

resolviendo el sistema a = P = 0 por lo tanto {e*, e 2t} son linealmente independiente. Ejemplo.-

En (/?7,+,/?,.) donde I = [0,1] determinar si los vectores ví =sen t y v2 = eos/ son linealmente independiente. Solución .

^ t , ía s e n / + /?cos/ = 0 avx + Bv2 = 0 , la combinación lineal { , denvando [a eos t - p sen / = 0 ahora resolviendo el sistema se tiene:

a =

0

cosí

0

~ sen t

sen /

eos/

cosí

-se n /

0 -0

=0

- sen2 1- eos2 t

sen /

0

eos /

0

0-0

sen/

eos/

-sen2 / - eos2 t

eos /

--sen /

=0

182

Eduardo Espinoza Ramos Luego la única solución es: a = p = 0 Por lo tanto {sen t, cos t} es linealmente independiente. Ejemplo.-

Sabiendo

que dos

vectores

v{

y

v2

son

linealmente

independiente en (V,+,k,.) demostrar que v{ + v2 y v2 son linealmente independiente. Solución Consideremos la combinación lineal de la familia de vectores {vj + v2, v2} que sea igual al vector nulo con escalares a y p que determinaremos. a ( vl + v2) + f)v2 ~ 6 *por distributividad respecto de la suma en k av, + (a + p ) v 2 = 0 , como v, y v 2 son l.i entonces a = 0

a

a+ p = 0

de donde a = P = 0 por consiguiente v, + v2, v2 son linealmente independiente, b)

PROPOSICIÓN.- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial: Un vector v e V es l.i sí y sólo sí v * 0. Si v1,v 2,...,vw son

l.i. entonces v},v2,...,vm donde 1 < m < n

también son l.i. Solución =>) asumamos que V es l.i. en V. por el absurdo supongamos que v = 0 entonces av = 0, Va e k, en particular si elegimos a * 1, tenemos que l.v = 0 lo cual es una contradicción con el hecho que V es l.i. Luego v * 0


183

<=) Ahora asumiendo que v * 0 av = 0

=>a =O v v =0

pero como v * 0 por hipótesis, resulta que a=0 y en consecuencias V esl.i. n

n

n

at = 0 , para todo

i = 1,2,...,n

por ser Vj, v2,...,vw linealmente

independiente

=>

ai -

0 , para todo i = 1,2,. . .,m pues m < n

Vj, v2, . . vm son linealmente independiente. c)

Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial, S c V , diremos que S es linealmente independiente,

si

todo

subconjunto

finito

de

S es

linealmente

independiente. En caso contrario diremos que S es linealmente dependiente. d)

PROPOSICIÓN.-

Sea S y 5" subconjuntos de V tal que S a S ' , entonces

O )

Si 5 ’ es linealmente independiente, entonces S también lo es.

©

Si S es linealmente dependiente, también lo es S ' . Demostración

Ejercicio para el lector

184


3.13. SISTEMA DE GENERADORES.a)

DEFINICIÓN.-

Consideremos un espacio vectorial (V,+,k,.) la familia ¿ = (vi 5v2

vn} * ^ de vectores de V es un sistema

de generadores de V sí y sólo sí todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de los vectores de A, o bien A es un sistema de generadores de V sí y sólo sí el subespacio generado por A es V. NOTACIÓN.La abreviatura de “sistema de generadores” es “S.G.” La abreviatura de “combinación lineal” es “C.L.” Expresando en forma simbólica la definición se tiene:

A es un S.G. de V o

v € V => v = ^ ^ a jvi o bien: ;=i

A es un S.G. de V <=> L(A) = V Ejemplo.- Determinar si el conjunto de vectores A= {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} de (/?3,+,/?,.) constituye un sistema de generadores de R 3 . Solución Veremos si se cumple L(A) = R 3 para que sea S.G. (x, y, z) e /?3 => (x,y,z) = a ( 1,1,1) + p( 1,1,0) + y( 1,0,0)

(x,y,z) = (a + p + y, a + P, a ) de donde

x = a +fl + y y = a +p z =a

... (1)

a= z p =y - z Y =x - y


185

reemplazando los valores de a ,p y y en (1) (x,y,z) = z( 1,1,1) + (y - z)( 1,1,0) + (x - y)( 1,0,0) Luego ( x , y , z ) e R 3 se puede expresar como combinación lineal de los vectores (1,1,0), (1,1,0) u (1,0,0) Por lo tanto genera a R 3 es decir L(A) = R 3 Entonces A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} es S.G. OBSERVACIÓN.- El concepto de sistema de generadores de un espacio vectorial. es independiente

de

la

independencia

o

dependencia lineal del sistema, ósea un sistema de generadores puede ser linealmente independiente o no. b)

PROPOSICIÓN.- - Si la familia A = {v,, v2

v„} es un S.G., L.D. de

V entonces existe vy g A tal que A - {vy} es un S.G. de V. Demostración Por ser A un sistema de generadores de V, se define n

v e V => v = ^ ^ a r , v/

. ” (1)

1*1 como A es linealmente dependiente entonces algún vector dé A, digamos v; , es combinación lineal de los restantes, ósea 3 Vj tal que v;- =

¡5i \\ i=j

... (2)

186

Eduardo Espinoza Ramos teniendo en cuenta (1) y (2) se puede escribir r

r

r

r

r

v^ctjV j +Y a ñ = a j ' ^ p ivi + ^ j x ¡ v x = ' ^ \ a j p i +a,)ví = i*j

i*j

Í*j

¡*j

i*j

En consecuencia, A - {v j} es un sistema de generadores de V.

3.14. BÁSE 0 1 UN ESPACIÓ V É C tO ftlÁ t a)

DEFINICIÓN.-

Una base de un espacio vectorial V es un conjunto A cz V, A * <|>tal que:

I)

A es un conjunto linealmente independiente,

ii)

A genera a V es decir L(A) = V.

Ejemplo.-

Probar que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de (R 3,+, R,.) _Solución ____

A

Probaremos que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es linealmente independiente a(l,0,0) + P(0,1,0) + y(0,0,l) = (0,0,0) la combinación lineal (a,p,y) = (0,0,0) => a = P = y = 0 Luego {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es un conjunto linealmente independiente Ahora probaremos que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} genera a R 3 Es decir que ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) = R 3 pero ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} <= R 3 esto siempre es cierto y para probar R 3 c. ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} sea (x , y , z ) e R 3 => (x,y,z) = x( 1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)


187

entonces (x,y,z) e L {(1,0,0),' (0,1,0), (0,0,1)} de donde R* c ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} por lo tanto R } = ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} Luego {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de /?3 . Ejemplo.-

Hallar una

base

para

A = { (x ,y ,z ) & R 3 / 2 x + y + 2 z = 0}

subespacios de (R 3,+, R,.) Solución Sea (x,y,z) e A => 2x + y + 2z = 0 => y = -2x - 2z, luego (x,y,z) = (x, -2x - 2z, z) = (x, -2x, 0) + (0,-2z,z) = x(l,-2,0) + z(0,-2,l), x,z €R A = L{(l,-2,0), (0,-2,1)} El conjunto {(l,-2,0), (0,-2,l)} es una base, pues: i)

{(1 ,-2,0), (0,-2,1)} es linealmente independiente.

ii)

A = L{(l,-2,0), (0,-2,1)}

b)

PROPOSICIÓN.- Un conjunto de elementos {vj, v2

vn} del espacio

vectorial V sobre un campo k forma una base sí y sólo sí V veV , v puede ser expresado de una única forma como combinación lineal de vr, v2

vn .

.Demostración =>) Asumamos que

vw es una base, sabemos que V v € V se

puede expresar como una combinación lineal de Vj, v2

vn.


188

Supongamos que v se puede expresar de dos formas es decir: n n v = ^Tâ,v( = ^ v , , entonces: «•I

/«I

——-

- b¡)v, = 0 , pero como i=l

v ,,v 2,...,v„ son l.i. entonces a¡ -b¡ = 0 , V i = l,2,...,n

dedonde

a¡ <=) Reciprocamente.

Asumamos que v1,v 2,...,vll tiene la propiedad

que V v e V, v puede ser expresado de una única forma como combinación lineal de los vectores v ,,v 2,...,v„ por lo tanto es ¿ (vi »v2»•••»vn) = Y >nos resta probar que v ,, v2,..., vB son l.i. n

n

i=i

i=i

Supongamos que

, entonces, por.la unicidad

a, = 0 , V i= l,2,...,n. Luego {v,,v2,...,vw} forma una base. c)

LEMA.-

Sea

un conjunto de generadores para el

espacio vectorial (V,+,k,.). n

Sea v * 0, v

g

ai v, sí a¡ * 0 para algún i, entonces

V tal que v = ^ /=i

V = L{Si} donde S, = S u {v} u {v,}, S, = {v,, v2

vM , v, ví + 1 vm}

Demostración Sea u

g

V un elemento arbitrario, mostraremos que u se puede expresar

como una combinación lineal de elementos de S¿. n

Por hipótesis v = L{s} => u =

b¿vt

*••(!)


189 n

n

0 * v = ^ aivi => v = ^ ayvy + aivi i=l y'*i

Además tenemos que:

^ v ,.= - + Y ( - ^ ) v ,....( 2 )

*

V

*'

reemplazando (2) en (1) se tiene: n

^

u = ¿nv, +...+b¡(— + Y ( - ^ - ) v )+...+&„v„ a‘ = (b¡

)v,

a‘

+ (¿ 2

ai

a<

)v2 + ... + A ) v a¡

3 + ... + (*„

, b¡a^ denotando c, =¿>, — — , c2 =b2 — L-£- , , a/ fl“i de donde se tiene

¿wz-/

u = CjV| + c2v2 +--- + c,v+...cnv„ •••

d)

, c„ =bn —

)v„

PROPOSICIÓN.- Sean

y -

l i s ,}

(V,+,k,.)

un

espacio

vectorial,

S = {v,,v2,..., v„} <= V y S'= {ul , u 2,...,um} c z L { S } . Si S' es linealmente independiente, entonces m < n. Demostración Consideremos Vj - L { S }

190

Eduardo Espinoza Ramos Supongamos que ax * 0 (reordenando si fuera necesario) y por el lema anterior L{ul , v 2,.. ., v„}^Vl ahorasea 9 * u 2 e ¥ , => u2 = blu] +b2v2 + ... + bnvn => ¿l- ^ 0 , i > 2 ; pues de suponer lo contrario resultaría

u 2 - b 2u x que es una

contradicción ya que u2 es linealmente independiente . Suponemos que b2 * 0 (reordenando si fuera necesario) y aplicando nuevamente el lema anterior tenemos que: L = {ux, u 2, v3

vn} = Vj

afirmación m < n

por el absurdo, supongamos que m > n, entonces el proceso anterior se podría seguir inductivamente hasta obtener L{ul , u 2 pero s i m > n

m > n + 1 =>

=>

un} = v,

u„+l por estar en F, seria

combinación lineal de u lyu 2,.’..,un , lo que es una contradicción con el hecho de que {u}, u 2

um} es l.i., dicha contradicción proviene de a ver

supuesto que m > n. e)

COROLARIO.-

Sea

(V,+,k,.)

un

espacio

vectorial.

Si

5 = {v , , v 2,..., v„} y S'= {ui , u 2,—, u m} son bases del espacio vectorial V, entonces n=m. Demostración i)

S base de V =>

L{S} = V por otra parte, S ’c V = ¿{5}, y S ’

linealmente independiente por ser base de V, en virtud de la proposición (d) m < n.

Espacios Vectoriales ii)

191

Análogamente, S' base de V => L{S'} = V como S c V = L{S'} y S linealmente independiente por ser base de V, aplicando nuevamente la proposición (d) resulta que n < m.

tu eg o de i) y ii) se sigue que m = n. OBSERVACIÓN.Del corolario podemos observar que si V tiene una base infinita, entonces cualquier otra base tiene un número infinito de números. Todo espacio vectorial posee una base finita o infinita. T)

Todas las bases de un mismo espacio vectorial son coordinables, quiere decir que existe una bisección B x

B2

3.15. DIMENSIÓN PE UN ESPACIO VECTORIAL. a)

DEFINICIÓN.-

El espacio vectorial V se denomina finita dimensional (o de dimensión finita) si posee una base constituida

por un número finito de vectores (es decir sí tiene una base finita). 1)

V = k " , S = {e¡, s 2

2)

F = AÍ2i 2(/?),1 f =R, S = {

DEFINICIÓN.-

0 0

o >

0 0

1 O LO

b)

1 0

1

£„} 1

Ejemplo.-

»

1 0

»

0 0 0

1

}

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo k de dimensión finita y

{vj, v2,...,vw} una base de V,

entonces por definición la dimensión del espacio vectorial V es el número “n” lo cual denotamos por dim¿ V = n (donde “n” es número de vectores que constituyen una de las bases de V)


192 OBSERVACIÓN.-

Si V tiene como único elemento el vector nulo, convenimos que la dimensión de V es cero, es decir dim k {0} = 0 . Si V tiene una base infinita, la dimensión de V denotamos por dim* V = oo . Ejemplo.1)

Una base de R 3 es {(1,0 ,0 ),(0,1,0),(0 ,0,1)} entonces su dimensión es: dim* R 3 = 3.

2)

Si V = k n un espacio vectorial sobre k donde {ex, e 2

s n} es una base

de k n entonces dim¿ k n = n. 3)

Si V - M 2x2 ( 8 ) el espacio vectorial de matrices cuadradas, k = R y 1 0 0 0

0 >

1

0 0

»

0 ’ 1 0 o

0

0

o 1

} una base de

M 2x2(R)

entonces

dimA A/», v2 ('/?) = 4 . Ejemplo.-

Determinar

una

base

del

espacio

vectorial

V = {(x, y , z) e R 3 / x ~ y = 0, r j e H } de dimensión finita. Solución Calculando una base de V. Si (x,y,z) e V => x ~ y = 0 => y = x (x,y,z) = (x,x,z) = (x,x,0 ) + (0 ,0 ,z) (x,y,z) = x( 1,1,0) + y(Q,0,1) como {(1,1,0),(0,0,1)} son l.i. entonces es una base de V y dim* V = 2 ,

Espacios Vectoriales c)

193

PROPOSICIÓN.-

Sea

(V,+,k,.)

dimensional

un

espacio

(asumamos que

vectorial

finito

dim k V = n ) se

cumple: i)

Si S = {íí, ,U2,.

u m¡ c F , donde m > n, entonces S es l.d. sobre k.

H)

Sí S = {ux, w2

u m} c V donde m < n entonces £{£} g: V

iii)

Si S = {n,,«2,.. u n} es l.i. sobre k, entonces S es una base para V.

¡v)

Si S = {iij ,z¿2v un } genera V, entonces S es una base para V:

Demostración (Queda como ejercicio) d)

LEMA.- Sea S = {v,,v2,...,vw} un subconjunto l.i. de un espacio vectorial V sobre un campo k, si 0 ^ v e Ve s un vector que v g L{S} entonces S' = {v,

v} es también l.i. sobre k.

Demostración Sea a xvx + a 2v2 +••• + a mvm

- 6 , la combinación lineal afirmamos

que a = 0 ,pues si suponemos que a / 0 tenemos Ct

Ot

v = — LVj— Ly2 _ a a

(X

— — vm a

=>

v e

L{S}, lo cual es una

contradicción ya que por hipótesis se tiene v g L{S} entonces a = 0 y como a x ~ a 2 - ... = a m = 0 resulta que 5" es l.i. e)

TEOREMA.- (Complementación de Bases) Sea V un espacio vectorial sobre un campo k, tal que: dimA V = n , W subespacio de V y {vj, v2,..., vm} es base de W, entonces se cumple:

194


m
ii)

Si

m

<

n,

entonces

existen

vm+l,..., vn e V

tal

que

vw, vm + l vn} es una base para V.

, v2

Demostración i)

Sea {m1,í/2vm»„} una base para V entonces V = para £{zj|,M2,.•••>**„} 3 {v^ v2,...,vm} y en virtud de laproposición vm} es base

(d) de (3.14.) se tiene que m < n pues como {v,, v2 en l.i. ii)

Si m < n, entonces W g; V , luego existe vm+l e V tal que: vm+l e w

=> vm+1 0 L{vx, v2 ,..4 vm} => por el lema (d) se tiene

{v,,v2,...,v.(„ ,v m+1} es l.i. Si L{vj , v2

vm, vm+x} = V , entonces la prueba finaliza.

En caso contrario, esto es si Z,{vl9 v2,..., vw, vw+1} <£ V , existe vm+2 G F

tal

vw+2 figI{ v ,, v2,..., vm, vw+2}

nuevamente en virtud del lema d) se tiene {v¡, v2

entonces

v/w, vw+1, vm+2}

es l.i. Si

L{v| , v2

vm, vm+I, vw+2} = F ,

entonces

la

demostración

concluye, en caso contrario seguimos el proceso anterior pero por hipótesis la dim¿ F = /?, entonces existirán solo un número finito vm+1, vw+2,:.., vm+p e F una

base

cuando

tal qué {v,, v2 ,...,Vm, vm + 1 vm+p} m + p = 0

ya

que

es

para n = m + p,

{vu v2,...,vm, v m+l,...,vm+p} es l.i. y además genera V.

Espacios Vectoriales f)

195

COLORARIO.-

Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre k entonces se verifica que: V = W <=> dim* V = dim* W Demostración

i)

Si el subespacio W es el mismo V, entonces es obvio que dim* W ~ á \ m k V .

ii) Supongamos que W es un subespacio de V y que verifica dim * W = dim * V . Si la dimensión común es 0, entonces tanto W como V tienen un único elemento al vector nulo y son idénticos. Si la dim k W = dim k V = n > 0 entonces consideremos una base de W, {hj,vv2,...,w,,} estos n vectores son l.i. en V y de acuerdo al corolario (e) de (3.14.) constituye una base de V entonces son un S.G. de V lo cual nos dice que todo vector de V pertenece a W, o sea V cW y por la definición de subespacios W c V , resulta que W = V.

3.16. DIMENSIÓN DE LA SUMA.TEOREM A.- Sean U y W dos subespacios de (V,+,kv) y la dimensión de V es finita, entonces se verifica que: dim*(£/ + W) = dim¿ U + dim¿ W -d im ¿(£ / n W ) Demostración Como V es de dimensión finita sobre k, sea dim¿ U = p> dim* W = q y dim k ( U n W ) = r .

196

Eduardo Espinoza Ramos Consideremos U nW *
vr } una base para U n W, como U n W

es un subespacio de U y W respectivamente, por el teorema de complementación de bases, completamos la base {v¡, v2

vr } a bases para U

yW . Sean: {vl9v2,...,vr , u x,...9up_r } base para U y {v,, v2,..„ vr , w , n ^ r } base para W. AFIRM ACIÓN.-

El conjunto {vt , v2

vr , m,

u p„r , w

, wq_r } es una

base para U + W. La demostración de esta afirmación es: i)

Que sea linealmente independiente. Consideremos la combinación lineal

y 'a ¡vi + 2 ^ “' + ¿L /'*’1= 6 /=1

¿

1=1

a«v<

1=1

=>

= - ^ ¡ c. wi 1=1

^

(1)

1=1

-

Í=1

ci w¡ € U n W , pues de la relación (2), por un lado por ser igual

i=i a una combinación lineal de elementos de {v,, v2

vr , W j u p_r }, está

en U y por otro lado por una combinación lineal de elementos de { v , v r, wq_r }, está en W.

=> ^ cíwí = f M /=1

1*1

entonces reemplazando (3) en (1) tenemos

...(3)

Espacias Vectoriales

197

r

p -r

r

' Y ' , aivi + / M ‘ i=i i=i

P-r

i=i

+bi )vi + 7 &,», = 0 ¿=i

=6» => »=i

«,+¿,=0

,

b. = 0 pues

r

V í= l,2 ,...,r ,

{ v j v r , W| u

— (4)

V/ = l,2 ,...,/? ~ r p _ r

} es una base para U => como

b¿ = 0 ,

Vi = 1,2,..., p - r en (1) se tiene: V 1 V * I a' = 0 7 a.v. -f > c. w.= 0 => < ¿ j 1 1 jLé ' 1 =0 1=1 i=i

’ v ^= l 2 , . . , r , V i = l , 2,

. (5)

(6)

pues {v!,...,vr , w,,...,H^„r } es una base para W. => de (4), (5) y (6) resulta que: a ¡ - 0, V i = => ti)

b¿ = 0 , V i = l,...,p - r, c x = 0 , V i = l,...,q - r

{v,,..., vr , M j u p_r , w ,,..., Wg- r } esl.i.

Que genera a U + W. Sea v e U + W, por definición de subespacio suma: v = u + w, donde u e U y w e W r

p -r

r

q -r

pero « = ^ a , v , . + ' £ b iul y w = ^ c , v , . + ' ^ d , w i i=l

=>

V= ( ^ a . v , +

1=1

/=1

/=1

)+( / % , v,. + Z Z - W- )

198


= X

1=1

(a‘ + C‘ )V' + S

1=1

b,u‘ +

1=1

d‘ W‘

=> {vii,v 2 ,...,vr ,ii 1,...,i//,_r ,iv 1,...,w ^ r } genera a U + W de (i) y (ii) la afirmación queda demostrada como {vlt, v2

vr , u l 9...yu p_r , ivj

wq_r } es una base de U + W resulta

que: dim ¿ (£/ + W) = r + (/? - r) + (<7 - r) = p -1- q - r ~ dim¿ U + dim¿ W - á \ m k ( U r \ W ) Ejemplo.-

Determinar la dimensión de la suma de los siguientes subespacios de (i?3,+,/?,.), U = {(x,y,z) e R 3 / x + y - z = 0} y W = {(xi. y , z ) e R 3 / x ~ z = 0} Solución

Por calcular dim(U + W) = ? Como dim(U + W) = dim U + dim W ~~dim(U n W) Calculando una base para U, sí (x,y,z)

e

U entonces x + y - z = 0:=> z - x + y

Luego (x,y,z) = (x,y,x + y) = (x,0,x) + (0,y,y) = x( 1,0,1) + y(0,1,1) como {(1,0 , 1),(0 , 1, 1)} es linealmente independiente entonces {(1,0 , 1),(0 , 1, 1)} es una base de U de donde dim U = 2 Calculando una base para W, si (x,y,z) e W entonces Luego (x,y,z) = (x,y,x) = x( 1,0,1) + y(0,1,0)

x -z=0

=> z = x


199

Como {(1,0,1),(0,1,0)} es iinealmente independiente entonces {(1,0,1),(0,1,0)} es una b ase de W

de d o n d e dim

W = 2

Ahora calculando una base para U n W

Sí (x,y,z) e U r\ W -=> (x,y,z) = (x,0,x) = x( 1,0,1) Luego {(1,0,1)} es una base de Por

lo tanto se tiene: Dim

U

(U + W )

n W

= dimlJ

dim

IJ n

dimW

+

-

W

=

1

dim UnW

-

2+2-- I =-: 3

d im (U + W ) = 3

3.17.

DIMENSIÓN DE LA SUMA DIRECTA.-"] S i U y W s o n d o s s u b e s p a c i o s d e l e s p a c io v e c t o r i a l ( V ,

Sí U n

W -

J0}

(c o n ju n to s d i s j u n t o s ) e n to n c e s d i m ( U ® W ) ~ d i m U + d i r n W .

E s d e c ir q u e la d i m e n s i ó n d e la s u m a d ir e c ta e s ig u al a l a s u m a d e la s d im e n s io n e s d e U y W .

En e s t e

caso U n W

E je m p lo .-

= {9 } , e n to n c e s

d im U n

S i A = { ( 1 ,0 ,1 ,0 ) ,( 1 ,0 ,1 ,1 ) } e s V4 ( R ) V4

(R).

y

un

W - 0

s is te m a d e g e n e ra d o re s d e U d e

B = { ( 3 ,0 ,2 ,1 ) } e s u n s i s t e m a d e g e n e r a d o r e s d e W

P r o b a r q u e d im (U ®

W)

- d im

U + d im

Solución Como

U =

L{A} = { a (l,0,1,0) + p (l,0,1,1)/ a,p e R}

Como U cz V4(R )

(x,y,z,w) = a( 1,0,1,0) + P (l,0,1,1)

W

de

200

Eduardo Espinoza Ramos (x,y,z,w) = (a + p, 0, a + (3, a ) por igualdad

x~a +p y - a + ft z=0

x = y, z = 0, w e R

J

w= a (7 = {(x, y, z, w) e R l x = y, z = 0}, calculando una base de U Sí (x,y,z,w) € U => (x,y,z,w) = (x,x,0,w) = x( 1,1,0,0) + w{0,0,0,1) Luego una base de U es {(1,1,0,0),(0,0,0,1)}, de donde dim U = 2 Como W = L{B} = {a(3,0,2,1) / a e R} Si (x,y,z,w) € W => (x,y,z,w) = a(3,0,2,1) x = 3a

y =0 2 = 2a

w =a

x = 3w =>

y =0 z = 2w

Luego W = {(x, y, z, w) e R 4 / w = ~

^ , y = 0} una base de W será:

Si (x,y,z,w) = (3w,0,2w,w) = w(3,0,2,l) entonces una base de W es: {(3,0,2,!)}, de donde d i m W = l Calculando U n W es decir:

U = {(x9y 9z,w) e R 4 / x = y ,z = 0} W = {(x,y,z,w ) e R 4 i z - 2w, x = 3w, y = 0}

como z = 0, w = 0, y = 0, x = 0 entonces


201

U n W = {(0,0,0,0)} => dim U n W = 0 dim U ® Ejemplo.-

W = dim U + dim W = 2 + 1 = 3 Sean los subespacios vectoriales

de V4(R )

A = {(x9y 9z,w) e R 4 / x + y - z + w = 0} y B - {(jc,y,z, w) e R 4 / x - y - z - w = 0} Determinar

a)

Una base de A y dim A

b)

Una base de B y dim B

c)

Una base de A n B y dim A n B

d)

Calcular dim (A + B) Solución

a)

Calculando una base para el subespacio A x + y - z + w Ô

=>

z= x + y + w

Sí (x,y,z,w) e A entonces (x, y, z, w) = (x, y, x + y + w, w) - (x, 0, x, 0) + (0, y, y, 0) + (0, 0, w, w) (x, y, z, w) = x( 1,0,1,0) + y(0,1,1,0) + w(0,0,1,1) Luego A = L{(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} es decir que : {(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} es un sistema de generadores y además es linealmente independiente (probarlo) Por lo tanto una base de A es {(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} y dim A = 3 b)

Calculando una base para el subespacio B

202

Espacios Vectoriales x - y -- z -

0

w

x=y+z+w

Sí (x.y,z,w) e= B entonces (x, y, z,

w)

( x , y , z, w )

-- (y + z + w, y, y( 1 ,! , 0 , 0 )

z, w )

= (y, y, 0, 0) + (z, 0, z, 0) + (w,0, 0, w)

+ z (l ,0 ,1 ,0 ) + w ( l , 0 , 0 , 1)

Luego B = L ~ {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}, es decir que: {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} es un sistema de generadores y además son linealmente independiente (probarlo) Por lo tanto una base para B es{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} y c)

su

Calculando una base para el subespacio A n B fx + y ~ z + w = 0

(x = 0

íx = 0

\x-y~ z-w -0

[y + z + w = 0

[w = ~ y - z

Sí (x ,y ,z ,w )eA n B -v (x,y,z,w) = (0,y,z, -y - z) = (0,y,0,-y) + (0,0,z,-z) (x,y,z,w) = y(0,1,0,-1) + z(0,0,1,-1) Luego A nB - L {(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}, es decir que {(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)} es un sistema de generadores y además linealmente independiente (probarlo) Por

lo

tanto

una

base para A n B

es {(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)} y su

dim A n B = 2

d)

Calculando dim (A + B) dim (A + B) = dim A + dim B - dim ( A n B ) = 3 + 3 - 2 = 4 (por la parte a,b,c) /. dim (A + B) = 4


203

Ejemplo.-

Si U está generado por {(1,2,1),(0,1,2)} y W está generado por {(1,0,0),(0,1,0)}

a)

Hallar una base para U n W

b)

Determinar dim (U + W) Solución

Calculando los subespacios generados U = L{( 1,2,1),(0,1,2)} = { a (l,2 ,l) + P (0 ,l,2 )/a ,p Si (x ,y ,z )e U

e

R}

(x,y,z) - a (l,2 ,l) + P(0,l,2)

(x,y,z) = (a, 2 a + P, a + 2P) por igualdad 'x = a
(y —2 x = B => j z - x [ 2 ~

^

=>

z - x

v - 2 x = -------

2y

- 4 x -

2 z-x

3x - 2y + z = 0 Luego U - { ( x , y , z ) e R 3 13 x - 2y + z = 0} Calculando una base deU : 3 x - 2 y + z = 0 => z = 2y - 3x (x,y,z)

g

U => (x,y,2y - 3x) = (x,0,-3x) + (0,y,2y) = x(l,0,-3) + y(0,l,2)

Luego U = L{(1,0,-3),(0,1,2)} es decir que {(1,0,-3),(0,1,2)} es un sistema de generadores

y

además

es linealmente independiente por lo tanto una

baseU es {(1,0,-3),(0,1,2)} y d i m U = 2 W = L{( 1,0,0),(0,1,0)} = {«(1,0,0) + p(0,1,0) / a,p € R} Si (x,y,z)

e

W => (x,y,z,) = a ( 1,0,0) + P(0,1,0)

(x,y,z) = (a,p,0)

==> x = a , y = p , z = 0

204


W = {(x , y,

2) e R 3 i

2=

e s e l p la n o X Y lu e g o u n a b a s e p a r a W e s

0}

{ ( 1 ,0 ,0 ) ,( 0 ,1 ,0 } y d im W = 2

a)

Calculando una base para U n W como 3x - 2y + z = 0 y z - 0

=> y = 3

si (x,y,z) e U n W => y = —

x

z=0

(x, >>, z) = (x, | X, 0) = ^ (2,3,0) Luego U n W = L {(2,3,0)} => una base d e U n W

es L {(2,3,0)} y

dim U n W = l b)

Calculando dim (U + W) dim (U + W) - dim U + dim W /.

dim (U n W) = 2 + 2 - 1= 3

dim (U + W) = 3

Ejemplo.-

Sean

V = {ax2 +bx + c / a,b,c e R } ,

T = L{(x + 1)2}. Demostrar que:

S = L{x2,( x - 1 ) 2} V = L{S}® L{T}

Demostración i)

La inclusión L{S} + L{T} c V es fácil de ver

ü)

Probaremos la inclusión V cz L{S} + L{T} ax2 +bx + c = a x 2 + / ? ( x - l ) 2 + ^(x + l)2 , donde

y

Espacies Vectoriales

205

a x 2 + y ?(jc-l)2

a

y(x + l)2 e T

a x 2 + bx + c = (a + y3 + y ) x 2 + ( 2 y - 2 / 3 ) x + f i + y por igualdad de polinomios tendremos que: a +p +y - a l y - i p =b

resolviendo el sistema hallamos los valores de a , J3 y y:

P +y - c b +c 3c - b a = a - c , /?==—— , 7 = —— 4 4 por lo tanto se tiene V = S + T de (i) y (ii) iii)

Ahora veremos que S n T = {0} sea P(x) e ( S n T )

=>

P(x) e S

a

P(x)g T

=> a x 1 + P ( x - 1)2 = / ( x + l)2 =>(a + P ) x 2 - 2px + p = yx1 + 2yx + y a +P = y de donde

- 2 p = 2y

=> a = p = y = 0 por lo tanto S n T = {0}

0 =7 Luego como V= S '+ T y S n T = {0} entonces se tiene Ejemplo.U=

{ ( jc,

V= S©T

Sea V = R 3 es el espacio vectorial sobre R.

y,z)e R2/ x +

- z = 0} y W = {(x,.y,z) e R 2 ¡ x - y = -3z}

calcular dim (U n W) Solución

206

Espacios Vectoriales U n W = {(x,y,z) e V / x + 2 y - z = 0

a

x - y = -3z}

5z 3x = 3y - 9z = -5z => x = — 3 U n W = {(x,y,z) e V7 3y = 4z

a

x = -5z}

a

3x = -5z

Calculando una base d e U n W (x,y,z)

e

(U

n

W) => 3y

=

4z 4

5 3

Luego U n W = L {(-5,4,3)} es decir que U n W e s generado por (-5,4,3) y que es l.i. Luego {(-5,4,3)} es una base d e U n W de donde dim (U n W) = 1 Ejemplo.-

Sea el espacio vectorial (R 2,+,/?,.) y W = {(2t,-t) / t

e

R},

encontrar U <£ R 2 tal que R 2 = W 0 (7 Solución Como W = {(2t,-t) / 1 g R} = {t(2,-l) / 1 e R} W = L{(2,-1)}

{(2,-1)} es una base para W c= R

Completando dicha base para R 2 y sea {(2,-1),(2,1)} definimos U = L{(2,1)} y R2 =W eU


207 Sea

el

espacio

vectorial

(/?3,+ ,/?,.)

y

W = {(x, v, z) e R 3 / 3 x ~ y + z = 0} a)

Hallar una base para W.

b)

Encontrar un subespacio U de R 3 tal que R 3 = W 0 U Solución

a)

W ~ { { x , y , z ) e R 3 / 3 x - y + z = 0} Calculando una base para el subespacios de W. Sí (x,y,z)

e

W

=>

3x - y + z = 0 => y - 3x + z

(x,y,z) = (x, 3x + z, z) = (x,3x,0) + (0,z,z) = x( 1,3,0) + z(0 ,l,l) Luego una base de W es {(1,3,0),(0,1,1)} b)

Ahora completaremos la base {(1,3,0),(0,1,1)} de W a una base de R 3 y sea {(1,3,0),(0,1,1),(1,0,0)} definimos U = L{(1,0,0)} y R 3 = W @ U

Ejemplo.-

En

el

espacio

vectorial

( R 1x l,+,/?,.)

W = { A e R 2x2 / T r (A) = 0} a)

Hallar una base para W.

b)

Construir U subespacio de R lx2 tal que R 2x2 - W ® U Solución

a)

Calculando una base para W Sí A e R lxl

=> A =

a \\

a \2

a 2\

a 22

eW

=> a n + a 22 = 0

consideremos

208

Espacios Vectoriales i

—

0"

0

~1_

“0

+ an

o 7

0

1

0 0

0 0

1 0

0

0 -1

una

matriz

1 0 0

0

U = L{

0

"

0

0”

a21 0 _

”0 0~ + a2l

1 0

'0 0‘ ’ o_ 1 0

de donde

} es una base de W y su dimensión es: dim W = 3

mas

de

R l x l , que

sea

linealmente

independiente

R 2x2

0

0

i 0

5

-1

0

a l2~

1 0 0

0

1 O O

1 {

g

0

"0

dim R 2x2 = 4 , luego completaremos la base de W con

Se conoce que

1 O

b)

i

1

+

1

o

..o...I

°

Luego W = L{

0

_0

f

0 0 í

“l

au

—

" an_

Ja2\

a 22_

n

qT

a \2

_a 2\

a\ i

i__ .

a \\

»

1 0 ">2 } es una base para R “x definiremos ’ 0 0/ 1 0

} y se cumple que R 2x2 = W ® U

3.18. TEOREMA.Sea V un espacio vectorial sobre k de dimensión finita, si W es un subespacio propio de V, entonces: dim(— ) = dim V - dim W W Demostración Sean dim V = n y dim W = m, donde m < n


209

Consideremos {vj,v2v..,vw} una base para W, entonces por el teorema de complementación

de bases,

extenderemos

dicha base para V, esto es

existen vm+1,...,v„ elementos de V tal que {v,, v2,...,vm,v m+1,...,v„} es una base para V. AFIRM ACIÓN:

i)

{vm+1 + w,...,vn +w} es una base de — prueba de la W afirmación.

Que sea linealmente independiente. Sea a m+l( v m+l + w ) + ... + a n ( v n +mO = 0

+ w = h>

(w

es el caso de

V W

— )

V i.om+\vm+x+w) + ... + {anvn +w) = w (def. de (•) en — )

w

V

=> («m+ivm+i +-. + a„V„) + W= w (def. de (+•) en — )

w

=> « m+ivm+i +... + a„vn e W

dedonde

a m+]vm+1 +... + a„v„ =a, v, +... + a mvm (porser {v,,v2,...,vm}) a,vj +... + amvm - a m+lvm+i a, ~... = a m = a m+i = ...■= a„ = 0

= 6 entonces puesto que {v1(...,vm,v m+1,...,v„} es

base de V y por lo tanto es linealmente independiente. Luego como a m+í = a m+2 =... = an = 0 linealmente independiente

ii)

Que genera a —

se tiene que

es

210

Espacios Vectoriales V Sea v + w e — , como v e W se puede expresar

V=

nti mm n ^ a , V, = J ^ a ¡Vi + ^ a iVl

/=1

1

i~ rn

^=> v + w =

i—m+\ ti

' a^) + ^ ^ i=l

w

)+ w =

/~m+l

ri

' aivi + w) + ( ^ ^ a¡v¡ + w) /'=!

w m = vv+ ( > ^ <,v, + w) pues ^ ' a l v¡ i=m+l

i=m+l

e

fF

i=l

n

= ^ i=m+\

+ w , puesto que w es el caso de

jF w

= ( 0 m +l Vm+l + w ) + ... + ( a rtV„ + w )

= « W+l ( v « +1 + w ) +

(v „ + w )

entonces, para todo v + w e — , se tiene que

v + w = a m+Á v m+\

+w) + ... + a„(vn +W)

v

Luego — = L{vm+l +w ,...,vw+w} de (i) y (ii) la afirmación queda W probada

De la afirmación se tiene que: M

V dim — ~ n - m - dim V - dim W W


211

Ejemplo.-

En

el

espacio

subespacios

vectorial

( R 4,+,/?,.),

U = { (x ,y, z,t )

g

R 4 / 2jt + y - z - /}

W = { ( x ,y ,z ,t ) e R 4 / x - y +z = 0 Hallar:

a)

dim (U + W)

b)

R 4 R4 Una base para — , —- , U W

consideremos

a

x

los y

= 2t ) .

R4 UnW

Solución a)

Calculando dim U, dim W y dim (U n W) Como U = {(jc, y, z, /) e R 4 i 2x + y -

Para U : (x,y,z,t)

g

z

- í} entonces

U => 2x + y - z = t d e donde se tiene

(x,y,z,t) = (x,y,z,2x + y - z) = (x,0,0,2x) + (0,y,0,y) + (0,0,z,-z) = x( 1,0,0,2) + y(0,1,0,1) + z(0,0,1,-1) Luego U=L{( 1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} de donde {(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} es una base de U => dim U = 3 ParaW : Sí (x,y,z,t)

Como W = { (x ,y, z,t ) e R 4 f x - y + z = 0 g

W => x - y + z = 0

a

x = 2t

=>

a

x

= 2t)

y = x + z = 2t + z

(x,y,z,t) = (2t,2t + z,z,t) = (2t,2t,0,t) + (0,z,z,0) = t(2,2,0,l) + z(0,1,1,0) Luego W = L{(2,2,0,1),(0,1,1,0)}, dedonde {(2,2,0,1), (0,1,1,0)}, es una base para W => dim W = 2 ParaUnW:

212

Eduardo Espinoza Ramos„ U n W = {(x,y,z,t) e R4 / 2x + y - z = t

a

x-y+ z= 0

a

x =■2t\

- {(jc, y, z,t) € R 4 ¡ x = t = O a 7 = z} si (x, jv M ) Luego

=> (x,y,z,t) = (0,z,z,0) = z(0,1,1,0)

U n W = L{(0,l,l,0)}, de donde

deünW

{(0,1,1,0)}

esuna

base

=> d i m ü n W = l

Como dim (U + W) = dim U + dim W - dim (U n W) = 3 + 2 - 1 ==4 b)

Calculando una base para

W

de la parte (a) se sabe que {(2,2,0,1),(0,1,1,0)} es una base para W, entonces

el

teorema

de

complementación

de

bases,

existen

(1,0,0,0), (0,0,0,1) e R 4 , tal que {(2,2,0,1),(0,1,1,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1)} es una base para R 4 . Luego por el teorema (3.18) {(1,0,0,0) + w, (0,0,0,1) + w} es una base R4 R4 para — y dim — = 2 W W

Calculando una base para

R4

—

de la parte (a)

se sabe que

{(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} es una base para U, completando dicha b a se p a ra /? 4 . Entonces por el teorema de completamiento de bases existe (0,1,1,1) e R 4


213

Luego en virtud del teorema (2.18) {(0,1,1,1) + u} es una base para

y

R4 dim(— ) - 1 U Calculando una base para

R4 UnW

De la parte a) {(0,1,1,0)} es una base d e U n W Completaremos

para

una

base

{(0,1,1,0),(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1)} base de

de

R4

entonces

R 4 entonces por el

teorema (3.18.) se tiene: {(1,1,0,0) + U n W, (1,0,0,0) + U n W, (0,0,0,1) + U c W } es una base p ara

R4 A. R4 y dim UnW UnW

=3

3.19. EJERCICIOS PROPUESTOS Dado U, W, T subespacios de un espacio vectorial V. Demostrar que: (U n T) + ( U n W ) c U n ( T + W) ©

Dado U y W subespacios de V. Demostrar que: U u W es un subespacio deV <=> U c W ó W c U

©

Dados

los

subespacios

U = {(x,y, z) e R 3 / x + y - z = 0}

W = { { x , y , z ) e R 3 / 2 x - 3 y + 4z = 0} de R 3 . a)

Hallar U n W

b) Probar que R 3 = U + W

y

214

(3 ^


Sean

U = { (* , y , z , t ) e R 4 / x + y = O ;

W - {(jc, y , z y t ) e

©

a)

Determinar U n W

c)

¿U + W = R 4 ?

R4 /

z - t -

x - y ~ z + t =

0}

b)

0}

y

s u b e s p a c io s d e R 4 .

¿U + W es suma directa?

Justifique

Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el campo R y sean U - {A e V I A = A 1}

conjunto

de

matrices

simétricas

y

W - {A e V / A - - A 1} conjunto de matrices antisimétricas, demuestre que: V=u ® w (é )

Sean

U,

V

y

W

subespacios

U = { ( x , y , z ) e R } / x + y + z = 0},

de

(R 3,+ ,R, .), donde

V = {(x ,y, z) e R* / x =

y

W = {(0,0,z)/z e R}.

©

a)

Calcular U + V, U + W y V + W

b)

Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte (a) la suma es directa.

Dada

la recta L x = {(*,>>) e R 2 / y = 5 x } , hallar otra recta L 2

tal que

R 2 = L{ ® L 2 . Dado el subespacio T = {(jt, y, z) g R 3 / 2x ~ 3y - 2z - 0} de (R 3,+, R ,.) . Hallar todos los subespacios S de R

3

3

tal que S © T = R .

Determinar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a)

V = R 2 , k = R, v, = (2,4), v2 = (0,3)


©

215

b)

V = R \ k = R, v, = (1,3, -J l) , v2 =(0,0,0), v3 = (^ ,0 ,1 0 )

c)

V = C 2 , k = C,

v, = (i,0 ), v2 = (O ,/), í 2 = -1

d)

V =C 2 , k = C,

v, = (i',2), v2 =(0,1 + 0

e)

F = C 2 , k = C, v, = ( l + 3 i ,0 , v2 = ( 2 i- 6 ,- 2 )

Dado el espacio vectorial ( R 3,+,/?,.). Determinar si los siguientes vectores son linealmente independiente: a)

©

A = { ( 1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}

b) B = {(1,-1,0),(1,1,2),(1,0,1)}

Probar que los vectores (-2,4) y (1,-2) son linealmente dependiente en (* 2

(l^

Sean los vectores Vj =(-1,0,2) y v2 =(-1,2,4) en R 3 , determinar si los vectores v = (-1,1,3) y u - (1,2,2) son combinación lineal de Vj y v2 .

J3)

Determinar si el vector v = (1,2,3) es combinación lineal de la familia cuyos elementos son los vectores de R 3 . Vl = (1,0,—1), v2 = (0,1,-1) , v3 = (1,1-2)

^14^

¿Son

los vectores

= (1,1,2,4) ,

v2 = (2,-1,-5,2) ,

v3 = (1,-1,-4,0)

y

v4 =(2,1,1,6) linealmente independiente en R 4 ? Sabiendo que los vectores v{, v2 son linealmente independiente en (V,+, K , .). Demostrar que

+ v2 y v2 son linealmente independiente.

216

Eduardo Espinoza R am oí Sabiendo que vl , v2, v3 son vectores linealmente independiente del espacio (V, +, k, .) averiguar la dependencia e independencia lineal de los siguiente conjuntos. a)

(l^

{vj + av2 + bv3, v2 + cv3, v3}

b)

{vj,v2 + av3, v3 + b2) , a,b,c e R

En un espacio vectorial V sobre k, sean Vj, v2, v3 linealmente independiente; Determinar sí los siguientes conjuntos son linealmente independiente: a)

{vj + v2 - v3, v2 + v3,2vj}

b)

{vx + 2v2 + 3v3,2vt , v { + 2v2 + 3v3} |

Dados los vectores (1,-4,6), (1,4,4) y (0,-4,x) del espacio R 3 sobre el cuerpo de los reales, determinar x para que sean linealmente independiente. (l9 )

Si los vectores u,v y w son linealmente independiente, entonces los vectores u + 2v —3w, 2u + v - w, 3u + 5v - 6w son linealmente independiente.

(2®)

Si u, v

y w son linealmente independiente. Demostrar que los vectores

u + 2v + 3w, v - 2u - w, -v - w son linealmente dependiente. Si los vectores u + v, v + 2w, u - 3w son linealmente independiente, demostrar que los vectores 4u + 2v - 7w, 3v + 7w, w - u - v

son linealmente

independiente. ^2)

¡23)

Si u, v y w son vectores linealmente independiente en V mostrar que: i)

u + v - 2w, u - v - w y u + w son linealmente independiente.

ii)

u + v - 3w, u + 3 v - w y v + w son linealmente dependiente.

Si los vectores u + v, v - w, u - 2v -3w

son linealmente independiente,

determinar como son los vectores 6u - 5v - 13w, 2v + 3w, 2u - v + w. Demostrar que si a, b y c son tres números reales distintos, entonces los vectores ( l , a ,a 2),(l,¿>,¿>2) y (l,c ,c 2) de R 3 son linealmente independiente.

Espacios Vectoriales ^25/

217

Hallar los valores de x, para los cuales los vectores u = (x,l - x, x), v = (2x, 2x - 1, x + 2)

y

de V3 son linealmente

w = (-2x, x, -x)

independiente. 6)

Demostrar que los vectores u, v y w de V3 son linealmente independiente de V3 <=> [uvw] * 0 51 u, v y w son vectores linealmente independiente de V3 analizar la dependencia lineal de los vectores:

(2 ^

a)

u + v, u - v, uxv

b) u + v, u + (uxv), v + (uxv)

c)

u, v, (u + v)x(u - v)

d) u - v, v + w, u + w

Dado el espacio vectorial (F,+,R,.) y consideremos f,g,h f(t) = sen t, g(t) = eos t y

h( t ) ^ t 2 ,

g

F definidas como

hallar los números reales tales que

af + bg + ch = 0. (2 ^

Supongamos que u, v

g

V

$on

vectores linealmente independiente de V,

probar que wx = au + b v , w2 = cu + dv son linealmente independiente, si y solo si ad - be * 0. (3 ^

En R 2 , (a,b); (c,d) son linealmente independiente si y solo si ad - be * 0.

(3 ^

Dados

los

52 = {(x,yyz)

subespacion g R 3/ x

de

R3;

Sx = {(x , y, z )

g

R3/ x = y + z j ;

+ y = ~zj ¿Cumple que R 3 = Sx © S2 ? Rpta.

No se cumple

Considere los subespacios V y W c R3 asi definidos V = {(x,x,x) / x W = {(x,y,0) / x,y

g

R}. Demuestre que R 3 = V ® W .

g

R};

218

(33)


m= ( Í , 2) y v - (-1 ,2 ),

D ado

p asan p o r

el origen

f2

F} y

sean

re s p e c tiv a m e n te la s

rectas

que

R~ y contienen u y v respectivamente. Demuestre

en

que R 2 =F] ® F 2 . (34)

Pruebe que ei conjunto U de las matices triangulares inferiores y el conjunto W d e la s m a tric e s tr ia n g u la r e s s u p e r io re s s o n s u b e s p a c io s v e c to r ia le s d e M (n x n ), q u e M (n x n )

(35^

q u e n o se

cumple

S e a V u n e s p a c io d e d im e n s ió n fin ita , e x is te

(^6 ^

=U+Wy

Sea

un subespacio

V = Rs

un

tal que

U c: V

e s p a c io

v e c to ria l

v = (2 ,-2 ,3 ), w = (3,2,-5)

fo rm a

V

si =

M (n x n )

S c

S

©

so b re

=

V es

U

un

0 W. s u b e s p a c io . P r o b a r q u e

U.

k = R, Probar que u = (1,3,5);

una base de R .

Dado el espacio S = {(x9y , z ) e R 3 / jc = y = 3z} de R 3 . Hallar todos los subespacios T de R 3 , tal que S ® T = R 3 ^5)

Determinar el subespacio

S

de ( R 3 1-, R , . ) generado por los vectores (2,0,1) y

(-1,0,1), hallar una base de

S

y su dimensión.

Sea S = L{(1,0,1),(1,1,0)} y T = {(0,-1,1),(1,5,4)}. Verificar que R 3 es la suma de S y T, pero no es la suma directa de dichos subespacios. (40)

Sea V = R 4 y v, = (1,2,0,3), v2 = (1,4,3,-1), v3 = (2,6,3,2) elementos de R 4 , definimos:

Wx = {ve R 4 / v = av, + bv2, a , b e R} W2 = { v e / ? 4 / v = a y 3, a e R }

i)

Calcular Wx r \ W2

ii)

De un vector de R 4 tal que no pertenezca a Wx.

Espacios Vectoriales (41)

219

SÍ V = R 2,

W¡ = {(x,y) e R 2 / 2 x = 3y} W2 = { ( x , y ) e R 2 / y = 0} R 2 = Wx © W2

Probar que: @

Si V = L{(1,1,-1),(2,1,-2),(1,2,-1)} y W = L{(1,0,-1),(3,2,-3)} Demostrar que V = W

^ 3)

S = {(x,y, z) e R 3 í x = y + zj

Sí

y

T = {(x 9y , z ) e R 3 / 3 x - 3 y = -z }

subespacios de R 3 . Hallar dim (S + T) @

EnR \

S

=

L {(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)},

T

= L{( 1,2,2,-2),(2,3,2,-

3),(l,3,4,-3)} determinar: S n T y S + T ¿e x iste S ® T? ¿porqué? (^5 )

Determinar

el

subespacio de

v j = ( l,- l,2 ) , v2 =

(£&)

Demuestre

que

(7?3,+,/?,.)

generado por los vectores

(0-1,1), v3 = (1,1,0).

los siguientes conjuntos de vectores generan el mismo

subespacio de R 3 .

(4 ^

a)

A=

b)

A

{(1 ,0 ,-1 ),(0 ,-2 ,1 )},

= {(1 ,-1 ,1 ),(3 ,0 ,1 )},

B=

{(1 ,-2 ,0 ),(2 ,-2 ,-1 )}

B = {(-2 ,-1 ,0 ),(5 ,-2 ,3 )}

Determinar dosbases en cada uno de los siguientes espacios vectoriales de dimensión finita. a)

V = {(x,y 9 z) g R 3 / x - y = 0}

b)

W = {[aij] e M 2 x2 ( R ) / a n + a 22= 0}

220


@

Si V = L{( 1,0), (2,2),(3 ,0 )} calcular dim V.

(4 9 )

Si F - L {(1 ,0), ( - —, 0), (3 ,0 )} dem ostrar que dim V = 1

(50)

D ados los su b esp acios de (i? 4 , + , /?,.) S = { ( x , y ,z , w ) e R 4 / x + y + z + w - Q }

y T - { (x ,yyz,w) e R 4 / x - y - z - w = 0} (S í)

R3

En

obtener la d im en sión de S + T.

V = {(x,y,z) e R 3 / 2x ~ y + z = 0}

consideremos

y

S = {(*,y , z) g R 3 / jc- 2y ~ z = 0}. Hallar:

a)

dim (V + U)

b)

dim (V n U)

c)

Una base de V nU

Supongamos que U y W son subespacios de V y que dim U = 4, dim W = 5 y dim V = 7. Hallar la posible dimensión de U n W . @

Si S=L{(2,5,-l,l),(2,l,l,-l),(2,-l,2,-2)} y T=L{(3,4,1,-1),(3,5,1,-1),(1,2,1,-1)}. Determinar S + T, S n T , dim (S + T) y dim (S n T) Dados

los

subespacios

S = {(x, y , z j ) e R 4 / x - y = z - /}

y

T “ {(x, y \ z , t ) e R 4 / 2x~~ y - 3 z = t} de R 4 , Hallar S + T, S n T , sus bases y dimensiones. (^5 )

Consideremos en V4 (R) los subespacios S = L{(2,2,-1,2),(1,1,1,-2),(0,0,2,-4)} y T = L{(2,-l,l,l),(-2,l,3,3),(3,-6,0,0)}. Hallar las bases de los subespacios S, T, S + T, S n T y sus respectivas dimensiones. Si S = L{(1,2,-1,-2),(3,1,1,1),(-1,0,1,-1)} y T = L{(2,5,-6,-5),(-1,2,-7,-3),(3,3,1,-2)}. Hallar S + T y S n T, bases y dimensiones. ¿Existe S 0 T? justifique

Espacios Vectoriales (57)

Demostrar que en k-espacio vectorial V, de dimensión n > 1, todo conjunto de n vectores

(5 8 J

221

, v2

vn son linealmente independiente sí y sólo sí generan a V.

Sea V en k - espacio vectorial, Si u x, u 2 i...,un son vectores de V que son linealmente

independiente

tales

que

S = Z{M1,w2,...,wr }

y

T = L{ur+j , u r+2 >•••,u„} con r < n, demostrar que existe S 0 T $9 )

Sí S = L{(1,2,-1,-2),(3,1,1,1),(-1,0,1,-1)} y T = L(2,5,-6,-5),(-1,2-7,-3),(5,8,-5,-7)}. Demostrar que: a)

^60/

SnT =T

b)

S + T=.S

Sea V el espacio vectorial de las matrices de orden qxq con entradas números reales W¡ = {A e V / A = A 1} y W2 = {A e V J A = - A 1} donde A t denota la matriz transpuesta de A:

(61J

a)

Pruebe que W¡, W2 son subespacios vectoriales de V.

b)

Demuestre que V = Wx + W2 , y que W} n W2 = {6 }

c)

Calcular dim W2

Sea

M 2 x3 (R) el espacio vectorial de las matrices 3x3 de componentes reales,

definimos:

0 = {A = [ay ] g M 3jc3(R ) / a y = - a J¿}

¿Es 0 un subespacio de M m (R) ? Justifiqúese En caso afirmativo, hallar una base de 0. ¡62^

Si

V ~ I{m1,m2,w3,...,m/i} y si ux es combinación lineal de u 2 , u 3 ,...,un ,

demostrar que V = L{u 2 , u 3 ,...,un}

222

Eduardo Espinoza Ramos Si V = M 2X2 (R) >sobre k = R

’

0'

; T es una base?

1__

0 ’

1o i O

r

i

1o ¡ o

O

í

í

1 '0

O O

i o

L.

Sea V = {[au ] e M 2 x2 ( R ) / a n + a 22 =0} 1

(0

~0

y

"0 0"

~o

(/ =

0

0

,

1 0

} c F , ¿U es una base?

Sea V = M 2X2 (R) espacio vectorial de matrices cuadradas sobre R y sean W = {laiy] e M 2 x2 ( R ) / a n + a ¡2 = 0} y W2 ={[a 0 ] e M 2 x2 ( R ) / a u + a 21= 0} a)

Demostrar que W¡ y W2 son subespacios de V.

b)

Hallar la dimensión de Wx, W2 , Wx + JF2 y Wx n W2

Determinar si los vectores (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1) forman una base de R 3 .

®

Probar que {(1,0,0),(1,1,0),(1,2,1)} es una base de R 3 . Demostrar que el conjunto de vectores u3

=(1,2,3,4),

u4

ux

=(1,1,1,1),

u 2 = (1,-1,1,-1),

=(1,0,2,0) generan R 4 .

Sea S = {( jc , y, z) e R 3 / 3x - y + z = 0} probar que S es un subespacio de R 3 , encontrar una base de S. Para los subespacios S y T de R 3 definida por: S = {(jc,y,z) e R 3 / 3 x + y - 5 z = 0} encontrar la dimensión de S + T.

y

T = {(x,y,z) e R 3 / x - y + 3z = 0}

lispacios Vectoriales @

Sí

223

W = {{x, y, z)&R* / x + y + z = 0}

a) Demostrar que W es un subespacio de b)

R *.

Hallar 2 vectores que generan a W. R 3 = R 2 +{í(l - 1 ,1 ) //e R}donde R 2 = {(x, y , 0 ) / x , y e R}

(72)

Probarque:

13)

Sean L¡ y L 2 dos rectas distintas que pasan por el origen en R 2 , probar que R 2 =£, + L 2

(7
Probar que R 2 = L, + Z,2 , donde

75J

Sí L = {t(l,-l,l) / 1 e R} y P = {(x,y,z)/ x + y + z = 0}. a)

(76)

En

= {/(1,1) í t & R ) , L 2 = {2(2-1) / 2 e /?}

Hallar L n P /?3 ,

consideremos

Probar que R 3 = L + P

b) los

subespacios

(7j = {(jc, j \

= jy = z},

z ) / x

U 2 —{(*,y , z ) / x + y + z = 0}. Demostrar que R 3 = t/j © U 2 (77)

^&)

Encontrar una base para cada uno de las siguientes subespacios de R 3 . a)

S - {(x,y,z) / 3x - 4y + z = 0}

b)

S = {(x,y,z) / x + y - z = 0

a

2 x - y + z = 0}

Las soluciones de la ecuación homogénea x + y + z + t = 0 subespacio vectorial, hallar uña base para este subespacio. Sí U = L{(1,2,0),(0,2,1)} y W = L{(0,0,2),(0,1,0)}.

a)

Encuentre una base para U n W

b)

Determinar la dimensión de U + W

forma un

224

Eduardo Espinoza Ramos Verifique que R 3 = U (&W , donde U={(x,y,0)/x,y

©

Si

a)

U=

{(x , v,

z) e R 1 / 2x +

3 v + - = 0} y

W

=

g

{(x, y, z) e R 4 ¡ x + 2 y - z b)

Encuentre una base para U n W

R} y 'W={(0,0,z)/z e R} = 0}

Determine dim (U + W)

@ dimensión de W. Sea V - R 3 y sea W el subespacio generado por (1,0,0) y sea U el subespacio generado por (1,1,0) y (0,1,1). Demostrar que V es la suma directa d e W y U ,

©

Sea

W = {(x, y, z,t) e R 4 / x + y + z + t = 0},

probar

que los ' vectores

{(2,0,0,-2),(2,0,-2,0),(8,-2,-4,-2)} forman una base de W.

©

Hallar la dimensión de (W n U) + (V n T), sí: W - {(*, y, z) e R 3 / 2y - 3r - 4.x},

U = {(jc, y , z ) e R 3./ 2x + 2z = y}

y

T - {(x,y, z) e R 3 / x + 3y = 3z} Dados los subespacios vectoriales de R 3 f r = { (x ,y ,z )e /? 3 /x + y = 0} y T = { ( x , y , z ) e / y - z = 0}. Hallar

WnT

y W+T

a)

WuT,

b)

Determinar cuales de los tres subconjuntos de (a) son subespacios vectoriales

c)

Comprobar si se verifica W ® T = R 3

Espacios Vectoriales (8 ^

225

Dados los subespacios vectoriales de R 4 . W = {(x ,y ,z,/)

g

R 4 ¡ l x ~ y, 2z = 1 \ , U - {(x,y, z,/) e R 4 / x + y + z + t = 0}

T = {(x, y, z,t) e R 4 / x = y - z = t } , se pide

(8 ^

a)

Calcular los subespacios vectores de W + U, W + T, U + T

b)

Calcular los subespacios vectoriales d e W n U , W n T , U n T

c?)

Calcular las dimensiones de los subespacios de (a) y (b)

Hallar el subespacio vectorial W = L{v,u} d e R 4 donde v = (1,2,0,3) y u = (0,-1,2,1). ¿Para qué valor de a se verifica (2,a,-2,5)

^9)

g

W

Dado el subespacio vectorial de i?3, W = {(x,y, z ) e R * / x + y + z = 0} y el conjunto de vectores S= {(l,0,-l),(0,l,-l),(3,2,-5)} se pide:

(90)

(91^

a)

Comprobar que S es un sistema de generadores de W.

b)

Encontrar un subconjunto de S formado por dos vectores que sea también sistema de generadores de W.

Dados los vectores v3 = (1,2,0,0), v2 ~ (1,2,3,4), v3 = (3,6,0,0), se pide: L { v x, v2, v3}

.

a)

Hallar el subespacio vectorial de

b)

Dar una base de dicho subespacio y su dimensión.

Dados los subespacios vectoriales de

W = L{( 1,0,1),(2,1,0)},

R \

U = {(a,a + b,~~a) g R 3 / a,b e R} y T = {(x,y,z)

g

R 3 / x = z, y = 0}, se pide:

a)

Estudiar si el vector v = (2,0,2) pertenece a algunos de estos subespacios.

b)

Dar una base de cada uno de ellos

c)

Calcular sus dimensiones.

226 (9 ^

Eduardo Espinoza Ramok Dados los subespacios vectoriales de R 3 W = {(a, 2a, a + b) / a,b

(93)

(^4 )

g

R}, T = {(x, y , z )

g

R 3 / x = 0, y = 0} . Se pide

a)

Hallar W n

b)

Obtener una base para W n T y otra para W + T

T

yW+T

Dados los vectores v{ = (1,2,1), v2 = (0,1,1) y v3 = (2,5,3) se pide: a)

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes

b)

Determinar el subespacio vectorial W generado por estos tres vectores.

c)

Hallar una base y la dimensión de W.

d)

Determinar el subespacio vectorial

e)

Determinar el subespacio vectorial L{vx, v2, v3, u 2 } donde u 2 = (0,1,0)

L{vx, v2, v3, ux} donde ux= (1,3,2)

Dados los subespacios vectoriales de R 3 , W=

{(x ,

y, z) e R 3 ! x = y, y = 2z j ,

T = {(4a, a + b, b ~ a) g R 3 / a, b e R) se pide

(95 )

a)

Calcular W n T y W + T

b)

Hallar una base y la dimensión siendo W n T y W + T

Si S y T son dos subconjuntos de i?3 tales que dim S = 1, dim T = 2 y S no es subconjunto de T. Demostrar que S © T = R 3.

@

Sí S=L{(1,-1,0,2),(2,0,3,-1),(4,0,-2,1)} y T=L{(1,-1,1,0),(2,2,-l,2),( 1,-5,4,-2)}. Hallar S n T y S + T hallar la dimensión de S, T S n T y S + T

(9?)

Sea V = {A e M 3xl( R) / A = A ' } . Probar que dim V = 6

Espacios Vectoriales £8)

227

Determinar el subespacio S = L{(2,0,1),(1,0,-1)} de (/?3,+ ,/?,.). Hallar una base S y su dimensión.

29)

Dado los subespacios de (i?4,+,/?,.), S = L{(2,2,-1,2),(1,1,1,-2),(0,0,2-4)} y T = L{(2,-1,1,1),(-2,1,3,3),(1,-2,0,0)}. Hallar una base de S, de T y de S + T, Hallar dim S, dim T, dim (S + T) y dim (S n T).

lO C y

Analizar si

S

= { ( x , y 9z 9 w ) e R

/

x-y

=

z

a

x + z -

w}

es un subespacio

de ( R 4,+, R,.) en caso afirmativo. Hallar una base y su dimensión. (101j

Obtener en R , los subespacios generados de los conjuntos siguientes: A = {(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)} y B = {(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3)}

(102J

S = {(x,y,z) g R / x = y + z}

Si

y

T = {(x,y 9 z ) e R

/3 x -3 y = -zj

Hallar dim (T -f S) (103J

Hallar un vector en R 3 que genera la intersección de U y W donde U es el plano XY:

U = {(a,b,0) / a,b e R} y W es el espacio generado por los

vectores (1,2,3) y (1,-1,1). (104J

Sea V ~ R 3 y sea W el subespacio generado por (1,0,0) y sea U el subespacio generado por (1,1,0) y (0,1,1). Demostrar que V es la suma directa de W y V.

105y

SeaF =

{ (x , v , z , 0

e R 4 / x - y + z - t = 0} y í / = { ( x , y , z , 0 ^ / ? 4 / 2 x + y + 2 z + / = 0 } .

Hallar la dimensión de los siguientes subespacios. U n V, U + V,

v+u U

v+u ’ VnU

Rpta.

2,4, 1,1, 1,2

R4 U

R4

228 {106)

Eduardo Espinoza Ramos Si V = {(*, >\ z ) e R 3 í 3x + 2y + 5z - 0}. Probar que R 3 =' F © F 1

10?)

Sea 0 V2] = {a + b yf l l a,b e R} . Probar que dim¡V2] = 2

lO S j

D ados

lo s

s u b e s p a c io s

de

R3 .

- { ( jc , y , z ) e

R3 / x

R pta.

S 2 - { (jc, y , z ) e R 3 / x ~ y + z = 0 ] . H a l l a r d \ m ( S ] + S 2 )

^109j

Sea

V

=

R2

un

e sp a c io

v e c to re s e n V , ta l q u e

(1 1 0 ^

Sea

F

v e c to ria l s o b re k =

R , sea

- 2 y + 3z = 0},

u - (a,h)

y

3

v =

a d - b e * 0 , p ro b a r q u e u y v c o n s titu y e u n a b a s e

= { a 0 + a xt + a 2 c o s 2 t + a 3e 3t / a¡ e R ,

/ I(í) = 2 ¿ -1 , / 2(/) = f+

c o s 2 í,

t e R)

P ro b ar

que

la s

/ 3(f) = 3 + e3/, f 4 (t) = - t + e3t

(c,d) de

V.

fu n c io n e s c o n s titu y e n

u n a b ase de V .

Hallar las dimensión de (Sx n S 2 ) + (Si + S 4 ) si: S\ = {(*» y, z) / 2 y - 3 z = - 4 x } , S 2 = {(x, y, z) 1 2 x + 2 z = y ] , S3 = {(x ,y ,z)/x + 5z = 4y}, S 4 - {(x ,y ,z)/x + 3y = 3z} Rpta. (ll^

2

Sean U, W y S subespacios de un espacio finito dimensional V tal que V = U + W + S. Probar que V = U © W @ S , si y solo si: dim V = dim U + dim W + dim S.

Transformaciones Lineales

229

CAPÍTULO IV

4.

TRANSFORMACIONES LINEALES.En el presente capítulo expondremos el concepto de transformación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, las propiedades generales y los tipos especiales de transformaciones lineales, se introduce la estructura de Núcleo y de la imagen de una transformación lineal y se estudia la relación entre sus dimensiones, al fijar una base en cada espacio se determina la matriz asociada a una transformación lineal y finalmente se trata de los espacios vectoriales de las transformaciones lineales y el espacio dual de un espacio vectorial.

4.1.

DEFINICIÓN.Consideremos dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo k, a la función T: V -* W, llamaremos una transformación lineal u homomorfismo sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones. i)

T(x + y) = T(x) + T(y), V x ,y € V Es decir: Que la imagen de la suma de dos vectores de V es igual a la suma de sus imágenes en W.

ii)

T(Xx) = rT(x), V x e V, X e k Es decir: Que la imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.

230

4.2.


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.Sea T: V —> W, una transformación lineal.

43.

TEOREMA^ Sean (V,+,k,.) y (W,+,k,.) dos espacios vectoriales, la función T: V -> W es una transformación lineal sí y sólo sí T(ax + Py) = aT(x) + pT(y), V a,p

g

k y V x,y

g

V

Demostración Suponiendo que T: V —> W es una transformación lineal entonces (i), (ii) son validos; como V es un espacio vectorial => ax, Py

g

V, V a ,p c k y V x,y

g

V

Entonces ax+pyG V ahora por la parte (i) se tiene: T(ax+Py) = T(ax)+T(Py) y por la parte (ii) se tiene: T(ax + py) = T(ax) + T(Py) = aT(x) + PT(y), V x,y T(ax + Py) = aT(x) + PT(y) recíprocamente supongamos que: T(ax + Py) = aT(x) + PT(y), V a,P Entonces como a ,p e k

g

k y V x,y

=> a = P = l

g

V

g

R, V a ,p

g

k

231

Transformaciones Lineales Pues 1 g k

T(l.x + l.y) = T(x) + T(y) se verifica i)

Sí a = X, b = O, X90 .*. T(A,x) = X Ejemplo.-

g

k entonces

#

T(kx + O.y) = AT(x) + O.T(y) = XT(x)

se verifica (ii), por lo tanto T es una transformación lineal.

Probar que I : V-> W I(x) = x, V x

g

(transformación

identidad) tal

que

V es una transformación lineal. Solución

i)

I(ax + Py) = a x + Py = al(x) + pi(y) I(ax + Py) = al(x) + pl(y), V x,y

g

V, a , P

g

k

Por lo tanto I es una transformación lineal Ejem plo.-

Determinar

si

la

aplicación / : R 2 - » R 3

definida

f(x,y) = (2x, -y, x) donde k = R es una transformación lineal. Solución 0

/[(•*!> y \ ) + (* 2 . y 2 )] = / ( * i >y \ ) + / ( * 2 >y 2 ) por probar

/[(*l>J'l) + (*2 .>'2 )] = /(*l +* 2 >yi +>'2 ) = (2(x, + x 2 ),-y¡ - y 2 , x , + x2)

=(2*1 -y\, xi)+(2*2 -y2 . * 2 ) = f ( x i , y l ) + f ( x 2 , y 2) ii)

f(A,(x,y)) = >-f(x,y) por probar f(^(x,y)) = f(Xx9Xy) = ( 2 Xx 9 -Xy 9 Xx) = X(2 x, -y, x) = A,f(x,y) por lo tanto / : R 2 r + R 3 es una transformación lineal.

por

232


Sea T: R 3 -» R 3 tal que T(x,y,z) = (x,2,z) ¿T es una transformación lineal? Solución

Sean (x{9y X9 z x) ^ R 3 9 (x 2 , y 2 9 z 2) G

entonces

(x\>y\>z\)+(x 2 >y2 ’z 2 ) zz(x \ + x i>y\ + ^2»z i + z 2> T[(xl , y x, z l ) + (x 2 , y 2 , z 2)] = T (xl + x 2,y , + y 2 , z x + z 2) =

( xl + x 2 , 2 , z l +

z 2)

...(1 )

T ( xl , y l , z l ) + T ( x l 9y 2 , z 2) = (xl X z l ) + (x 2 X z 2) = (*! ■fx2,4 ,z1 + z 2)

... (2)

de (1) y (2) tenemos T[(xu y u z l ) + (x 2 9 y 2 , z 2 ) ] * T ( x l 9y l 9 z l ) + T ( x 2 9 y 2 9 z 2) por lo tanto T no es una transformación lineal. Ejemplo.-

Sean los subespacios R n y R m, x e R n un vector y A una matriz de R mxn, comprobar que la función

T : R n -> R m

definida por T(x) = Ax, A fijo, es una transformación lineal. Solución i)

Probaremos que T(x + y) = T(x) + T(y), x , y e R n T(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = T(x) + T(y) T(x + y) = T(x) + T(y)

Transformaciones Lineales ii)

233

Probaremos que T(Xx) = A,T(x), l e R , x e R n T(Xx) = A(Xx) = A,Ax = A,T(x) /.

T(Xx) = XT(x)

por lo tanto de (i), (ii) T es una transformación lineal. Ejemplo.-

Sea el espacio vectorial V = { f / f :

R -* R continua} sobre el

campo R, definimos: T : V —>V tal que T ( f ( x ) ) =

f(t)dt

Probar que T es una transformación lineal. Solución i)

T(f(x) + g(x)) = T(f(x)) + T(g(x)), V f,g e V por probar

T ( f ( x ) + g(x)) = n ( f + g)(x))=

f<

(f + g)(t)dt

= | (/( O + g(t))dt = £ f { t ) d t + £ g(t)dt = T(f(x)) + T(g(x))

T(f(x) + g(x)) = T(f(x)) + T(g(x)) ii)

T(W(x)) = XT(f(x)), V f e V y Á e R por probar

W (x )) = 7W X*))=

f«

(¿f)(t)dt

= £ A f ( t ) d t = a £ f(í)dt = AT( f( x) ) T(A.f(x)) = XT(f(x) por lo tanto de (i), (ii), T es una transformación lineal.

234

Eduardo Espinoza llamos Ejemplo.-

Consideremos V un espacio vectorial y f : V -» R, g : V —> R dos transformaciones lineales, sea F : V —» R 2 una aplicación tal que F(v)=(f(v), g(v)), V veV , demostrar que F es una transformación lineal. Solución

i)

F(v + w) = F(v) + f(w), V v,w e V por demostrar: F(v + w) = (f(v + w), g(v + w)) = (f(v) + f(w), g(v) + g(w)) por ser f y g transformación = (f(v), g(v)) + (f(w), g(w)) - F(v) + F(w) por lo tanto F(v + w) = F(v) + F(w)

ii)

F(>.v) = XF(v), V v e V, X e R por demostrar F(Xv) = (f(^v), g(^v)) = (Ai'(v), ^-g(v)) por ser f y g transformación = A,(f(v), g(v)) = X F(v),

por lo tanto F(>.v) =

a F (v)

Luego de (i) y (ii) F es una transformación lineal. Ejemplo.-

Si

T : R 2 - + R 3 es una transformación lineal

tal

que

T(l,2) = (1,0,-1), T(2,l) = (2,1,-2) hallar T(x,y) Solución Expresaremos a (x, y) e R 2 como combinación lineal de (1,2) y (2,1) (x,y) = a (l,2 ) + P(2,l) (x,y) = (a + 2p, 2 a + P),. Por igualdad se tiene:

...(1 )


235

a =

x ~ a + 2 fi y = 2a +P

p

T (x, y) =

3

=

2y -x 2x - y

reemplazando en (1)

* (1,2)+— ——(2,1)], T transformación lineal 3

T{\, 2

) +

T( 2,1) =

(1,0, -1) +

™ x ,2 y - x ^ 2 y -jr , 2 x 2x - y T( x, y ) = (— — ,0 ,----- -— ) + (—(2 x - y ) , — -—

T(x,y) = (x,— y

Ejemplo.-

(2,1, -2 )

2^ j(2 x -y ))

,-x)

Si F es una transformación lineal de R 3 en R 2 tal que F(0,-1,1) = (1,2), F(l,-1,0) = (3,4) y F(1,0,0) = (5,6). Hallar F(x,y,z) Solución

Escribiremos a ( x , y , z ) e R 3 en combinación lineal de (0,-1,1), (1,-1,0) y (1,0,0) esdecir: (x,y,z) = a(0,-1,1) + p( 1,-1,0)+ y(l,0,0) (x,y,z) = (P + y, - a - p, a), por igualdad tenemos

...(1 )

236

Eduardo Espinoza Ramos x ~ p +A y =- a - p

a - z =>

p - - ( y + z)

reemplazando en (1)

A - x +y +z (x,y,z) - z(0,-1,1) - (y + z)( 1 1 ,0 ) + (x + y + z)( 1,0,0) como F es una transformación lineal, entonces F(x,y,z) = F[z(0,-l,l) - )y + z)(l,-l,0) + (y + 2z)(l,0,0)] = zF (0,-l,l) - (y + z)F(l,-l,0) + (x + y + z)F( 1,0,0) - z( 1,2) - (y + z)(3,4) + (x + y + z)(5,6) = (z - 3y - 3z + 5x + 5y + 5z, 2z - 4y - 4z + 6x + 6y + 6z) = (5x + 2y + 3z, 6x + 2y + 4z) F(x,y,z) = (5x + 2y + 3z, 6x + 2y + 4z) Ejemplo.-

Si V = M 2 x2 (R) conjunto de las matrices de orden dos y sea T : M 2 x2 (R)

R

una aplicación tal que:

donde A e M 2x2 (R)

T(A) = a n + a 22

¿T es una transformación lineal?

Solución

a2\ a22J i)

lb2\ b22

T(A + B) = T(A) + T(B) por comprobar T(A + B) = T{ a\\ a 2\

a \2 a 22]

[p2\

^ \2 ^ b 22

a \2

a\\

Ü2 j

+ ^11

"t" b2 1

#22

^22

) ~ ( all + ^ l ) + ( a 22 + ^22)


237

- ( a n + a 22) + (bn +b22) = T(Á) + T(B) T(A + B) = T(A) + T(B)

1

to

T( ÁA) = T(Á

_a 2 \

1! «s 1

T(AA) = A.T(A), V A e M 2x2 (^ ) y A. e R por probar 1

ii)

Aa2l

a 22 _

—Aa^ j + Aa22 —

Ácix2 A,q22

)

^ 22) —A 7 (j4)

i

T(AA) = AT(A) Por lo tanto de (i) y (ii) T es una transformación lineal.

4.4.

PROPOSICIÓN.Sean

(V,+,k,.), (^V,+,k,.) dos espacios vectoriales y T: V

W una

transformación lineal, se cumple las,siguientes afirmaciones.

a)

c)

, 7’( J ] a (.ví ) = ^ a , . T ( v f) n

n

t=l

1=1

b)

T(ov) = ew

T(-v) = -T(v) Demostración

a)

La demostración se hace por inducción 2

i)

Si n = 2, se cumple T ( ^

a ivi ) = T ( ax + a 2 v2 )

1=1

= a 1r ( v 1) + a 2r ( v 2), Vj, v2 e V a x, a 2 e k pues T es transformación lineal

238


Supongamos que para n = h con h > 2 se cumple. h+1

h

T { ^ a ivl ) = ^ a ¡T(v¡) /=1 /=1 n ^ ^ íL j a ‘V/ ^+ T(a h+\ vh+1) Pues T es transformación lineal. /=i h

-

a t T(v,) 4- a A+1T(vh+l) de (ii) T transformación lineal 1=1 a+i

=

or, r( v .) , por lo tanto como se cumple para n = h + 1, /=! h>2

entonces se cumple V n > 2 b)

T(0V) = T(0V + 9V) = T(9V) + T(0V), T es transformación lineal T(0V) - T{0V) = T(9V) + T(0V) - T(0V) 9 W= T (9 V) + 0 W => T(0V) = 0 W

c)

T(-v + v) = T(-v) + T(v) por ser T transformación lineal n e v) = T{V) + n - v ) = e w T (—v) = - T (y) + 6 W= —T{v)

... T(-v) = -T(v)

239


4.5.

CLASIFICACIÓN

DE

LAS

TRANSFORMACIONES

Sean (V,+,k,.), (W,+,kv) dos espacios vectoriales y f: V

W una

transformación lineal es decir que se cumple (i) y (ii) en esta definición f no tiene ninguna condición salvo que solamente sea una función por lo tanto daremos los siguientes conceptos: f es un monomorfísmo <=> f es inyectiva f es un epimorfismo <=> fe s sobreyectiva f es isomorfismo <=> f es biyectiva Si V = W, entonces la transformación lineal f se llama endomorfismo y si esta es biyectiva entonces recibe el nombre de automorfismo, es decir un automorfismo es toda transformación lineal biyectiva de un espacio vectorial en sí mismo. Ejemplo.-

Si

/ : R2

R2

es

una

aplicación

definida

por

f(x,y) = (x + y, x - y) ¿f es un automorfismo? Solución Para que f sea un automorfismo debemos probar que f sea una transformación lineal biyectiva a)

f es una transform ación {ineal. 0

f ( ( x i , y l ) + ( x 2 , y 2)) = f ( x x + x 2 , y, + y 2) = (x] + x 2 + y 1 + y 2 , x l + x 2 - y l - y 2) = (*i + y u x r - y i ) + (x 2 + y 2 , x 2 - y 2) = f { x \ , y \ ) + f ( x 2, y 2)

240


f(^(x,y)) = f(A.x, Xy) = (Xx + Xy, Xx - Xy) = X(x + y, x - y) = A,f(x,y)

por lo tanto de (i) y (ii) f es una transformación lineal, b)

f es inyectiva Sean

( jc ,

,

), (x 2 , y 2) e /?2 , tal que

f ( x x, y x) = f ( x 2 , y 2) => (jf, + y ¡ , .v, - v ,) = ( x 2 + y 2 , x 2 - y 2 )

Luego A x l , y l ) = f ( x 2 , y 2). => (* i, J i ) = (*2 >>’2 ) Por lo tanto f es inyectiva. c)

f es suryectiva V (x 2 , y 2 ) e R 2, 3 (xt , y ¡ ) e R 2 tal que f ( x l , y l ) = ( x 2 , y 2) ( jc, + y x, jc, - j , ) = (x2, y 2 ) por igualdad se tiene:

íxi + y l = x 2

[ = x2 +y2 I 1 2

[•*1 -> '1 ^ v2

1

_ *2 - v 2

2

x2 + y 2 x2 - y 2 2

’

2

x 2 +y 2 | x 2 - y 2 x 2 +y 2 2

2

’

= (*2 *y 2 ) > Por * °tanto f es sobreyectiva Luego de (a), (b) y (c) f es un automorfismo.

2

x2 - y 2 2

Transformaciones Lineales Ejemplo.-

Sea

241 f : R 2 - + R 3 una

transformación lineal definida por

f(x,y) = (x + y, 0, x + y) ¿f es monomorfísmo, epimorfísmo? Solución F es monomorfísmo si f es inyectiva Si x * y se tiene (x,y) * (y,x) sin embargo f(x,y) = f(y,x) Por lo tanto f no es inyectiva Por lo tanto f no es un monomorfísmo f es un epimorfísmo si f es sobreyectiva V (x, y, z) g R 2 tal que f(a,b) = (x,y,z) Luego para (3,1,2) e R 3 no existe ( x , y ) e R 2 / f(x,y) = (3,1,2) Por lo tanto f no es sobreyectiva con lo cual f no es un epimorfísmo Ejemplo.-

La aplicación / : R* - * /? 3 definida por:

f(x,y,z) = (y,-x,z)

¿f es un automorfísmo en R 3, ? Solución Para que f sea automorfísmo debe probarse que f sea una transformación lineal biyectiva. a)

f es una transform ación lineal. »)

/ ( ( * i ,y\ , z i )+(*2 >y 2 >z 2 )) = / ( * i + x2 >y\ + y 2 »z \ + z 2 ) = Cvt '+yi,-*x\ - x 2 , z x + z 2) = (yí - x l , z l ) + ( y 2 - x 2 , z 2 ) = f ( x l , y l , z l ) + f ( x 2, y 2, z 2)

242


f(A.(x,y,z)) = f(Xx,>.y,A,z) = (kyr -Xx, Xz) = ?t(y,-x,z) = ^f(x,y,z)

por lo tanto (i), (ii) f es una transformación lineal. b)

f es inyeetiva. Sean (x ,, y x, z ,), (x 2 , y 2 , z 2 ) e R 3, tal que A x x, y x, z x) = f ( x 2 , y 2, 2 2 ) ( y x, - x x, z x) = ( y 2 , - x 2 , z 2)

=>

xx =x2

Luego f ( x x, y x, z x) = f ( x 2 , y 2 , z 2)

a

yx=y2

a

zx = z2

(xx, y x, z x) = ( x 2 , y 2 , z 2)

fe s inyeetiva c)

f es sobreyectiva V (x, y, z) e R? , 3 (a, b , c ) e R 3 tal que f(a,b,c) = (x,y,z) (b,-a,c) = (x,y,z)

b = x, a = -y, c = z

Luego V (x, y 9 z) e R 3 , 3 (a,b,c) = (-y,x,z) tal que f(a,b,c) = f(-y,x,z) = (x,y,z) .*.

f es sobreyectiva

por lo tanto de (a), (b) y (c) f es automorfismo.

Sean V y W

dos espacios

vectoriales sobre k y T: V -> W

una

transformación lineal, entonces sé cumple las siguientes afirmaciones. a)

T(Vl ) = { T ( a ) e W / a e V x} es un subespacio de W para cualquier subespacio V¡ deV .

Transformaciones Lineales b)

243

Si Wx es un subespacio de W entonces: T~l (]Wx) = {a e V / T ( a ) e W x} es un subespacio de V.

c)T es inyectiva <=> T(a) = 0 w => a - 6 v d)

Si {v1? v2,...,vr } son linealmente independiente y T es inyectiva => {T(vx\ T ( v 2

T(vr )} es linealmente independiente en W. Demostración

a)

i) Sea J3X, p x e T(VX)

=> J3X + p 2 <=T(VX) por probar

Sí P x e T ( V x) => 3 a x e V x/ T ( a x) = /3x P 2 e T(V,) => 3 a 2 e V x/ T ( a 2) = p 2

sumando

n a x) + T ( a 2) = p x + P 2 como T es una transformación lineal entonces T ( a x + a 2) = T ( a x) + T {a2) = p x + p 2 , entonces T ( a x + a 2) = P x + P 2

y

como

a x, a 2 e Vx

y Vx

es un

subespacio de V entonces a x + a 2 €. Vt => p x + p 2 e T(yx) ii)

Sea X e k, P

g T(Vx)

Si p e T(VX)

=>

subespacio de V

=> X P e T(Vx) por probar

3 a e Vx tal que T(a) = P

ycomo Vx es

A a e Vx => T(Xa) = XT(a) = Xp

244

Eduardo Espinoza Ramos Como T(ka) = Á,p => A p e T(VX) T(VX) es un subespacio de W b)

i)

T ~ \ W X) * + 0 ' s T~ x(fV¡) como Wxes un subespacio de W => 6 ' e =>

ii)

=> T( 6 ) = 0'

0 e V => T ~ \ W { ) * 4 -

Sean a , , a 2 s T ~ \ W x) Sí a , € T '](Wx) a 2 e T~l (fVt )

=>

=> ¿ a , + a 2 &T~l (Wx) l 3 /?, efV¡ tal que

r(a,) = fi¡

=> 3 fi 2 e W x tal que T ( a 2) - fii sumando

T(ccx) + T {a 2) = P\ + P 2 como T es una transformación lineal. T ( a x + a 2) = T ( a x) + T ( a 2) = fl\ + P 2 V como w \ es un subespacio deW => J3x +J32 g W x => a x + a 2 e T ~ l (Wx) iii) S í ^ e k , a s T - \ W ¡ ) a e T ~l (Wx) =>

=> ¿ / l a e T 1^ ) ?

3 f i e Wx / T(a) = P y T(A.a) = XT(a) = Xp

como Wx es un subespacio de W y A e k / l a e T~l (W{). T~l ( fV[) es un subespacio de V.

z$ A J 3 g

Wx entonces

Transformaciones Lineales c)

245

=>) Supongamos que T es inyectiva (hipótesis) Supongamos T(a) = 0' y por otra parte T(0) = 6 ' =>

T(a) = T(0) => a = 0

<=) Supongamos que T(a) = 0'

=> a = 0

Supongamos que T(a) = T(P) => T(a) - T(J3) = 0' T ( a - p ) = 0' => a - p = 0 => a = p, a y P son cualquiera => T es

=>

inyectiva. r

a, T(vt ) = 0 ' , como T es transformación lineal

d) /=i

r

r

(vf.) =

) = 6 ' y como T es inyectiva /=!

1=1 r

y^ a ivi - 0 i=i

=>

y como {v1? v2,..., vr } son l.i.

a x = a 2 = ... = a r = 0

por lo tanto {T(v{), T(v 2 ),...,T(vr )} es l.i.

Ejemplo.-

Si F : M 2x2 (R ) -> R 2 / F (

a ll

a 12

a21

^22

) - ( ^ n 4- a 22 ,¿* 2 1 )

¿F es transformación lineal? ¿F es inyectiva? Solución

246


Si a , p e M 2x2 (R)

’«11 a12

cz -

=>

all _a21

T(a

+

p)

a12

t\2 ~

au +bll

£*22 _

_a 2 \ + *21

+

a 22 _

p 2\

— ((« ii +¿?n ) +

( « 22

+

^22 )'>a 2 \

+ ^

b\\

b\2

^ 2 1 ^22

a22_

_a21 a +p

II

i)

a \2 + t\ 2 a 22 + b22 _

2l )

= («i, + a 22, a 21 ) + (*,, + 622,ó 21)= T (a ) + T(p)

ii)

Sea X e R, a e M 2x2 (R)

=>

=

¿«, t _ i« 21

>¿«i12 ¿ « 22_

T(Aa) = (A«n + Aa 2 2 ,Aa2l) = ¿(« n + « 22 >a 2i ) ~ ^ T(a) Luego T es una transformación lineal. a =0

=> « =

"«ii

an

_a 2 \

a2 2 _

=> («n + « 22,« 21) = (0,0)

=>

_a21

..J

Jfc

a e M 2x2 0R)

) = (0,0) a2 2 _

dxi + «22 ~ 0 a2 \ = ^

Luego

Ejemplo.-

«,1

«12

_«2i

«22 _

Sí F : R 4

*

"0 0" 0

0

ní

=>

1

F es inyectiva sí F ( a) = 0'

«n = “ a 22 0 *21

F no es inyectiva.

R 6 tal que F ( x j, x 2, x 3, x 4) = (0, *! ,0, x 2, x3, x 4)

¿F es una transformación lineal? ¿F es inyectiva?

Solución

Transformaciones Lineales i)

247

F[(xl 9x 2 , x 3 , x 4) + ( y l 9y 2 , y 3 , y 4)] = F ( x l + y l 9x 2 + y 2, x 3 + X v * 4 + y 4) = (0,*i + y l 90 9 x 2 + y 2 >*3 + ^ 3 ^ 4 + ^ 4 ) = (O, JC, ,O, *2,* 3,x 4 ) + ((),;>! A y 2 9y 3 , y 4) = F ( x X9x 2 9 x 3 9 x 4 ) + F ( y l 9y 2 , y 3 , y 4)

ii)

F(A(xx, x 2 , x 3 , x 4)) = AF(x¡, x 2 , .r3, x 4) por comprobar F{A{xx, x 2, x3, x 4 )) = F (A ri, Ax2, /Lv3, Ar4 ) = (0, Axx,0, Áx2, Ax3, /bc4) = A(0, Xj ,0, x 2, * 3 , x 4 ) = AF(xx, *2 5* 3 »*4 ) Luego de (i) y (ii) F es una transformación lineal. F(x,y,z,w) = (0,0,0,0,0,0)

=> (x,y,z,w) = (0,0,0,0)

F(x,y,z,w) = (0,x,0,y,z,w) = (0,0,0,0,0,0) => x = y = z = w = 0 Luego F(x,y,z,w) = (0,0,0,0,0,0) => (x,y,z,w) = (0,0,0,0) entonces F es inyectiva.

4.7.

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN _________________ ___ LINEAL.a)

DEFINICIÓN.-

Sea T: V -> W una transformación lineal llamaremos núcleo de la transformación lineal T al conjunto

denotado por “N(T)” y queda definido como: 1 W ) ={ye V /T (v )^9 j

Es decir el núcleo de T es el conjunto formado por todos los elementos de V tales que sus imágenes mediante T es igual al elemento nulo de W.

248


El núcleo de toda transformación lineal es la pre-imagen del vector nulo N { T ) ~ T - l {dw)

del segundo espacio, es decir:

por definición, un vector perteneciente a V es un elemento del núcleo sí y sólo sí su imagen es el vector nulo de W. x € N(T) o Ejemplo.-

T(x)~0w

Determinar el núcleo de la transformación lineal

/ :

-» R2

tal que f(x,y,z) = (x - z, y - z) Solución N ( f ) = {(*, y , z ) e R 3 / f ( x , y, z) = (0,0)} como f(x,y,z) = (0,0) de donde (x - z, y - z) = (0,0) por igualdad se tiene: \x-z- 0 ( [y -z = 0

=> x = z

a

y = z => x = y = z

Luego N ( f ) = {(jc, y, z) e R 3 / jc = y = z) Representa una recta en R 3 .

249


z il

x

OBSERVACIÓN.- De la definición de núcleo de una transformación lineal f :V

W observamos que N(f) c V

También demostraremos que f ( 0 v) = 6 w de donde 9 V g N ( f ) y de esto se tiene que el núcleo de toda transformación lineal f es no vacío. b)

PROPOSICIÓN.-

Sean (V,+,k,.) y (W,+,k,.) dos espacios vectoriales y f : V —>W una transformación lineal, demostrar que:

(N(f),+,k,.) es un subespacio de (V,+,k„.) Demostración i)

N(f)*<|> de la observación

ii)

Si x,y

g

N(f) => x + y

g

N(f) por probar suman(j0 / ( * ) + / (y) = 0 W

/ C f) = « w / ( x + y) = 6 W por que f es transformación lineal => x + y iii)

X

g

k, x

g

g

N(f) definición de núcleo

N(f) => h G N(f) por probar

250

Eduardo Espinoza Ramos Sí x e N(f)

f ( x ) = 0W

Xf (x) = XGW

=>

/ (Ax) = 0 W puesto que f es transformación lineal

=>

X x € N(f) definición de núcleo.

Por lo tanto N(f) es subespacio de V. c)

DEFINICIÓN.-

Sea T: V -> W una transformación lineal. Llamaremos imagen de la transformación lineal T al conjunto

denotado por Im(T) que definiremos como: Itn(J) ** {w € W / 3 v e V

a

T(v) =

También se puede expresar en la forma:

Im(T) = {T(v) / v e V}

lm(T) Es decir: w e W es un elemento de la imagen de T, si existe v e V tal que T(v) = w esto quiere decir que la imagen de una transformación lineal es la totalidad de las imágenes de los vectores del primer espacio. OBSERVACIÓN.-

Sabemos que T(0V) = 0 W de donde 0 W e Im (r) lo que significa que Im(T) * <|).

Transformaciones Lineales d)

251

PROPOSICIÓN.- Sean (V,+,k,.) y (W,+,k,.) dos espacios vectoriales y f: V -> W una transformación lineal, demostrar que:

(Im(f),+,k,.) es un subespacio de (W,+,k,.). Demostración

i)

Im(f)*<|> por la observación

ii)

Si u + v

g

Im(f) =>

f « e lm (/) < [ v e lm ( / )

u + v € Im(f) por probar

Í3 jce K / f ( x ) = u => < [ 3 y e V / f ( y ) =v

sumando

f(x) + fl[y) = u + v, f transformación lineal f(x + y) = u + v y x + y e V => iii)

u + v € Im(f) definición de imagen

Sea X

e

Xu

k, u e Im(f)

e

Im(f) por probar

Sí u g Im(f) => 3 x g V / f(x) = u Xf(x) = Xu9 por ser f transformación lineal f(A,x) = Xu9 X x g V, de donde X u

g

Im(f) por definición de Imagen.

Por lo tanto (Im(f),+,k,.) es un subespacio de W. Ejemplo.-

Sea

/ : R 2 —» R 3

la transformación

lineal

definida por

f(x,y) = (x + y, x - y, x + 2y). Hallar Im(f) Solución Im (/) = {(x, y, z ) e R 3 f 3 (a, b) e R 2

a

f ( a , b ) = (x 9y,z)}

f(a,b) = (x,y,z) de donde (a + b, a - b, a + 2b) = (x,y,z) por igualdad se tiene:

252

Eduardo Espinoza Ramos x +y

a +b - x a-b =y

2 a = x +y

-

' b a - 2 y Jt z

a +2 b = z x +y 2

2 y +z

3

=> 3x + 3y = 4y + 2z

-a 2 2 y +z - a

=>

3x - y - 2z = O

lm(f) = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - y - 2 z ~ 0 }

4.8.

TEOREMA.Sean (V,+,k,.), (W,+,k,.) espacios vectoriales y T : V —> W una transformación lineal, se cum ple:' : N(T) = {0v}

a)

T es inyectiva o

b)

Seai/.{v1,v 2v:-*vi,} {T(v{ ) , T ( v 2

c)

conjunto linealmente dependiente en V, entonces

T(vn)} es linealmente dependiente en W.

Si’ {Vj, v2,.:.,v/I'} son vectores de V tales que {T(vx),T(v 2 linealmente independiente en W* entonces {vr, v2

T(vn)} son

vn} son linealmente

independiente. d)

Si

{vl9v2,...,v/l} es un conjunto linealmente independiente y T es una

transformación lineal inyectiva,: entonces

{T(vx) ,T(v 2 \ .. ., T(vn )} es

linealmente independiente de W. Demostración a)

=>) Asumiendo que T es inyectiva probaremos que N(T) = {0V} se debe cumplir que {0V} c= N(T)

Transformaciones Lineales 9V s N

253 => {9v } c z N , ahora falta probar que N a {0V}

sea x e N(T) =>T(x) = 0 W = T(0V) =>

=> x = 0 v

x e { 0 v} =>N (T) a {0V}

N(T) = {0v} <=) Por demostrar que T es inyectiva. Es decir:

sí T(x) = T(y) => x = y

F(x) = F(y)T ( x ) ~ T ( y ) = 0 w => b)

^

T (x-y) =0w

x - y e N(T) => x - y - 9 V => x = y

Como {v1,v 2,...,vrt} es linealmente dependiente

=>

3 i

tal que

n

a¡ Vj =0V a

a¡ * 0,

aplicando T (transformación lineal) se tiene:

/=i n

T ( ^ a ivi ) = T( 0 v) 1=1

entonces {T(v{), 7(v2 c)

n

a

a i * 0 => ' ^ a iT(vi ) = 0 w a i=i

*0

T(yn)} son linealmente dependiente en W.

Consideremos una combinación lineal en V. n

^ ' a ivi = 9V por demostrar que a l = a 2 = ... = a n = 0 í=i n

aplicando la transformación lineal T se tiene:

T( ^

a ivi ) = T(0V) = 0W

254

Eduardo Espinoza Ramos n

' ^ a ¿T{vi ) = 9W como T(v{ /=i entonces {v,, v2 d)

T(vn) son linealmente independiente

v„} son linealmente independiente,

Consideremos una combinación lineal en W. n

a iT(vi ) ~ 0 W, aplicando Transformación Lineal 1= 1

n

n

=> ' * T a ivi e N ( T ) i=\

i-\

como T es inyectiva por la parte (a) se tiene: n

^ a i vl = e v => a¡ = 0 , V i = 1,2,...,n 1=1 por

ser

v{,v 2,...,vw

{T(v{), T(v2 Ejemplo.-

linealmente

independiente

por

lo

tanto

T(vn)} es linealmente independiente.

Sea T : R 2 -» R 2 una transformación lineal, probar que: T es inyectiva <=> T(1,0) y T(0,1) es linealmente independiente. Solución

=>) T es inyectiva => T(1,0) y T(0,1) son linealmente independiente consideremos la combinación lineal en R 2 . aT ( 1,0) + PT(0,1) = (0,0)

a = P = 0 por probar


255

como T es una transformación lineal entonces; T [a( 1,0) + p(0,1)] = (0,0) => T(a,P) = (0,0), como T es inyectiva =>

(a,p) ==(0,0) => a = P = 0

por lo tanto T(1,0) y T(0,1) son linealmente independiente.

4.9.

DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y DE LA IMAGEN.TEOREM A.-

Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial de dimensiones finita y f : V -> W una transformación lineal entonces: dim V = dim N(f) + dim Im(f) Demostración

1ro. Suponiendo que Im(f) = {0} => dim Im(f) = 0, de donde se tiene: dim(v) = dim N(f) 2do. Suponiendo que Im(f) * {0} y como V tiene dimensión finita entonces Im(f) tiene dimensión finita, es decir que: si{w1,w 2,...,wr }es un conjunto linealmente independiente en Im(f), entonces existe un

conjunto linealmente independiente en V={v1,v 2,...,vr } tal que

/ ( v j ) = w,-, i= l,2,...,r 3ro. Si

N ( f ) * {6 V} , asumimos que {ul , u 2^..,u p } es una base de N(f),

ahora debe probar donde dim V = r + p i)

Si

que {v1, v2,..., v/. , w1, m2,..., m/,} es una base de V y

dim Im(f) = r y

dim N(f) = p

{Vj, v2 j..., vr , m!, w2 v •»wp } genera a V

Xj , x 2,..., j

c

únicos tales que

lineal de {v1,v 2,...,vr ,w1,w2,.,.,wp } es decir:

V v

=>

existe escalares

e

V es combinación

256

Eduardo Espinoza Ramos v = x xvx + x 2 v2 +... + x rvr + y xux +... + y pu p Si v € V => f(v) e Im(f) => existen escalares X \ , X 2 >.••> X r

tal que f ( v ) - X lW] +X 2 W2 + — +

X r*Vr

por que wx, *v2,..., wr es una base de la lm(f) como / (v,) ==w¡, Vi = l,2,...,r, entonces: / ( v) = *1 / ( v j ) + x 2/ ( v2) + ... + xr / ( v r ) = f ( xi vi + *2 v2 + •• ■•+ x r v r } Por Que f e s transformación lineal / ( v ) - /( * iV j + x2v2 + ... + xr vr ) = 0 f {y ~~ x xvt - x2v2 - . . . - x rvr ) = 0 por que f es transformación lineal. =>

v - x xvx - x 2 v 2 - . . . - x rvr e N ( f ) , definición de N(f)

Luego

{v-jcjVj - x 2 v 2

—Jtr vr }

es

combinación

lineal

de

{uX9u l 9...,up } porque es base de N(f) es decir existen y i , y 2 >—>yp ta* que: v - x xvx - x 2 v 2 ~~...~xrvr = y xu x ^ - y i ^ i + —+ y Pu P » de donde se v = x xvx + x 2v2 + ... + x r vr + y xu x +... + y pu p

tiene: por lo tanto ii)

Ahora

{vj, v2

probaremos

vr , u x que

u p } genera a V. {v1,v 2,...,vr ,M1,...,Mp }

independiente Xiv, + x 2v2 +... + x rvr + y xu x + ... + y pu p = 9 V f ( x xv i + x 2v2 +... + xr vr +>-!«, + ... + y pu p ) = f ( 0 v)

es

linealmente


257

X \ f { v l ) + ... + x rf { v r ) + f { y lux + y 2 u 2... + y pu p ) = 0 w jf,w, +... + x rwr + f ( y lu l + y 2 u 2...+ y pu p ) = 0 w como {w], w 2

wr } es una base de Im(f)

=> x l = x 2 =... = x r = 0

de donde

f(y\U\ +y2u2 +-+ypup) =0w => y\»\ +y2ui +- + y PuP *N(f ) ycom o {ul 9u 2 ,...,up } es una base de N(í) => y x = y 2 =... = y p = 0 por lo tanto {vj, v2

x { = x 2 =... = x f. = y x =... = y p = 0 de donde

vr , W

j } es linealmente independiente en consecuencia

{vx, v2,..., vr , w}, w2

u p } es una base de V.

4to. del paso 3ro. se tiene

que:

dim V= r + p y como dim Im(f)=r y

dim N(f)= p dim V = dim N(f) + dim Im(f) Ejemplo.-

Dado r : /?4 —> /?3 tal que: T(x,y,z,w) = (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)

a)

Probar que T es una transformación Lineal

b)

Hallar N(T), Im(T) y dim(N(T)), dim (Im(T)) Solución

a)

Sea x = (x}, x 2 , x 2 , x A), y = ( y l , y 2 , y i , y A)

258

Eduardo Espinoza Ramos x + y = (x J + y,,X 2 + JV2 ,X3 + ^ 3 ^ 4 + ^ 4 ) por probar: T(x + y) = T(x) + T(y) T(x + y) = T(xx + y l9x 2 + y 2,x 3 + y 3,x 4 + y 4)

i)

= (*1 + y¡ ~ x 2 - y 2 -f 2x3 + 2y 3 + 3x4 4-3y4, x 2 + y 2 + 4x3 + 4 y 3 +3x4 + 3y4, x, + y , + 6x3 4-6y3 + 6x4 4-6j>4)

= (xj - x2 + 2x3 + 3x4 , x2 + 4x3 + 3x4 , x x + 6x3 + 6x4) + + 0> i ~ y i + 2 y 3 4 -3 y 4 , y 2 + 4 y 3 4 -3 y 4 , y 1 4 -6 y 3 4 -6 y 4 )

= T(x) + T(y) X e R, x e

Ii)

, T(Xx) = A,T(x) por probar

T(Ax) = TA(x j , x 2, x3, x4) = TÍ^Xi, /lx2, Ax3, >íx4) =

(Ax|

-

>íx2 + 2 Ax3 4- 3>íx4 , Ax2 4- 4Ax3 + 3>íx4 , Ax¡ 4- 6Ax3

4- 6 A x 4 )

= A(x¡ - x 2 4- 2 x 3 4- 3x4 , x 2 4- 4x3 4- 3x4 , Xj 4- 6x3 4- óx4 ) = AT(x) por lo tanto T : R* -> R 3 es una transformación lineal b)

Calculando N(T) = núcleo de la transformación N ( T ) = {(x , y , z , w ) e R 4 / T ( x , y , z , w ) = (0,0,0)} T(x,y,z,w)=(0,0,0), de donde se tiene: (x -

y

4* 2 z 4- 3w,

y 4- 4 z

por igualdad se tiene:

4* 3w, x 4- 6z

4-

6w) = (0,0,0)


259

x r - y + 2z + 3w = 0 j; + 4z + 3w = 0

' =>■

x +6 z +6 w = O

{

ur + 6z + 6w = O

=> i

[>* + 4z + 3w = 0 L

jc = ~ 6 z - 6 w v = ~ 4 z -3 w

si (x,y,z,w) € N(T) => (x,y,z,w) = (-6z - 6w, -4z - 3w, z, w) (x,y,z,w) = (-6z,-4z,z,0) + (-6w,-3w,0,w) = z(-6,-4,l,0) + w(-6,-3,0,l) Luego N(T) = L {(-6,-4,1,0), -(*6,-3,0 ,1)} de donde una base de N(T) es {(-6,-4,1,0), (-6,--3,0,1)} de donde dim(N(T)) = 2 Calculando Im(T) = imagen de la transformación Im (r) = {(x,_y,z) € R 3 / 3 (a,b,c,d) € R 4

a

T(a,b,c,d) = ( x , y , z )}

T(a,b,c,d) = (x,y,z) => (a - b + 2c + 3d, b + 4c + 3d, a + 6c + 6d) = (x,y,z) a - b + 2 c + 3d = x por igualdad

=> {

a + 6c + 6d - z

a + 6c + 6¿/ = x + y a + 6c + 6 d = z

=> x + y = z

Im (r) = {(jc, y, z) e R 3 / x + y = z } , calculando una base para Im (T) si (x,y,z) € Im(T) => z = x + y, reemplazando (x,y,z) = (x,y,x + y) = (x,0,x) + (0,y,y) = x( 1,0,1) + y(0,1,1) luego Im(T) = L {(1,0,1), (0,1,1)} de donde una base para Im(T) es {(1,0,1), (0,1,1)} => dim(Im(T)) = 2

260

4.10.


TEOREMA FUNDAMENTAL TRANSFORMACIONES LINEALES.-

DE

vn} una base de

Sean (V,+,k,.)y (W,+,k,.) dos espacios vectoriales y {v}, v2 V, Si {w,, w2

LAS

} un conjunto cualquiera de vectores de W, entonces existe

una única transformación lineal T: V —>W tal que T{vt ) = w¿, Vi = 1,2,.. .,n Demostración i)

Existencia Sea v

g

*

V

v se puede expresar de una única forma como

n

, Vi = l,2,...,n, cii e k como {vj, v2

} es base de V.

i=\ n Definimos T: V - » W como T(v) =

a, w¡ i=I

Afirmamos: que T es una transformación lineal. En efecto: Sean u,v e V y a,b e k probaremos que: T(au + bv) = aT(u) + bT(v) n

u = ^ T a (.v, fu e V Como < )veV

1=1

/; V= 2 ¿ / V , /•=1

T (au + bv) = T

a ¡ v, + ¿>^ ' b¡ v,) = 7’( ^ ^ (aa¡ )v, + i=i

/=i

i=i

(bb¡ )v,) í=i


261 n

n

= t C T í m +bbi )vl ) = yy ' ( a a i +bbi )w¡ 1=1

i=i

n

n

í=1

í=1

=

Wi =

+ ¿?XV)

por lo tanto T(au + bv) = aT(u) + bT(v) ii)

Unicidad: n Sea T : V -> W otra transformación lineal tal que T ’(v) = /=i Mostraremos que T = T n

Sea v e V, r*(v) = ^ /«i

w,- por definición de T'

= T(v) por definición de T Luego r ( v ) = T (v ), V v g V entonces F = T Luego de i) y ii) queda demostrado. Ejemplos.-

Sea

f :R3

R 2 una transformación lineal definida de tal

manera que a los elementos de la base {(1,1,0),(1,2,1),(0,1,3)} en R 3 le hace corresponder los vectores (1,3), (5,1) y (0,1) respectivamente. i)

Hallar la imagen de un vector cualquiera de R 3

ii)

Hallar la imagen de (3,-1,5) y N(f) Solución

262


A la tema (x, y rz) e R 3 expresaremos en combinación lineal de los elementos de la base {(1,1,0),(1,2,1),(0,1,3)} (x,y,z) = a ( 1,1,0) + p( 1,2,1) + y(Q, 1,3) = (a + p, a + 2p + y, P + 3y) 5x - 3y + z a = ------ ^ ----x = a +p por igualdad

y = a +2 p +y

=>

P-

z = p + 3y r = 5x-3y+ z

2 x - y +z

^ 3 y - z - 3 x „ , %^ x - y + z (1,1,0)+ ------ (1,2,1)+ ------------------- (0,1,3) -

(x,.y,z) =

3y~z~3x

como «1,1,0) = (1,3), f(l,2 ,l) = (5,1), f(0,l,3) = (0,1) como f es una transformación lineal / ( * , y, z) =

/ ( i, i, 0) + 3-V~ f ~ 3x- /(1,2,1 ) + ^ 2 1 1 / ( 0 , 1,3)

5 x - 3 ^ + z + 15^-5z-15ac 1 5 s -9 y + 3z + 3 .y -z -3 :r + xZy + z =( ^ 13x-7>> + 3z. ------ ) = (6y - S x - 2 z ,

••

ii)

^ \ /c * 1 3 x -7 j/ + 3z^ f ( x , y , z ) = ( 6 y - 5 x - 2 z , ------)

Calculando /(3 ,-l,5 ) = (-31, y )

)


263

N ( f ) = {(*, y, z)

e

R / / ( x , y , z ) = (0,0)}

como f(x,y,z) = (0,0) de donde se tiene: (6y ~ 5 x - 2z,

Z) = (0,0)

11

1lx + 4>’ = 0

6 y - 5x - 2 z = 0

1 3 x -7 y + 3z = 0

(x,y,z) e N(f)

por igualdad

6 y -5 x

z=

z=

43 x 4

(x,y,z) = ( x , ~ x , - ^ - x ) 4 4

11 t —43^ (/ x , y , z )^ = x(n1 ,- — -) 4 4 Luego

Ejemplo.-

=

4

4

S eaV = A/2jc2(/?)

y

W =R3 y

1 0

1 1 ’ 0 0 0 0

i 5

i

1 1

1 0

1 1

una base de V en W consideremos los vectores wx = (2,1,1), W'2 = (2,1,1),

w3 = (0,0,0),

w 4 = (-1,0,1) •

transformación lineal. Solución a —

Sea a e M 2x2W

a ll

a \2

entonces

a 2 1 a 22 u\ l

W12

a 2\

a 22

=a

"1

0'

0 0

+b

"1 0

1“ 0

"1 1"

"1 1

1 0

1 1

Hallar

la

264 ja

1


_«21

a+b+c+d

b +c +d

c +d

d

«22

au ~ a + b + c + d a ]2 =b + c + d

a ~ a\\ ~ a \2 b = a X2 —a 21

a2] - c + d

c = a 21

Q22 ~ d

d = a22

- ( an - % )

a =

_«21 «22.

~ u 22

'1 0' '1 r '1 \ '1 r +(a, 2 -O ji) + («21 "«22) + «22 0 0 ° 0 ° 1 1 1 ax

a2

a3

04

T(a) = (flu - a n )T(a\) + (an - a 2 X) T (a 2) + {a2[ - a 2 2 ) T(a3) + a 2 2 T ( a 4) T(a) = (axx —tífj2 )(2,1,1)4-(a 12 — 21 )(2,l,l) + (a 2i ■“ fl22X®*®»®)"*-fl22(“”^W ) 7’(a) = (2úfn —2^21 ~~a 2 2 *a \\ ~ a 2 1 ’a li ~ a 2 l +a 2 2 ) Ejemplo.-

Hallar la transformación lineal

/ : R3 —

que asigna a los

vectores de la base {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,0)} en R 3 , los vectores de la base {(1,2),(1,2),(-1,1)} en R 2 respectivamente. Solución Determinaremos la imagen de un vector genérico ( x , y , z ) e R 3 y para esto expresaremos a (x,y,z) como combinación lineal de la base dada (x,y,z) = a ( l , l , l ) + p (l,l,0 ) +y(l,0,0) = (a + P + y, a + P, a), por igualdad


265

(x,y,z) = z( 1,1,1) + (y - z)( 1,1,0) + (x - y)( 1,0,0) f(x,y,z) = z f ( l , l , l ) + ( y - z ) f ( l , l , 0 ) + (x -y )f¡[l,0 ,0 ) = z(l,2) + (y - z)(l,2) + (x - y ) ( - l , l ) = (z + y - z -x + y, 2z + 2y - 2z + x - y) f(x,y,z) = (-x + 2y, x + y) OBSERVACION.-

Rotación de un Vector (x,y) dp R 2

Si rotamos un vector de posición OP - (x, y) ensentido antihorario hasta tomar la posición OP' = ( x \ y ' ) (ver gráfico) genera el ángulo 0, afirmamos que esta rotación define una transformación lineal. En efecto: Las coordenadas de (x, y) e R 2 son:

i

Y

... (D

Las coordenadas de (x', v ’) e R 2 son: x ’ ~ r cos(a + 0 )

í

y ' = r sen (a + 0 )

De la ecuación (2) se tiene: x' = rcos(^ + a ) = r[cos 0 eos a - sen 0 sen a] = r eos a eos 0 - r sen a sen 0 = x eos 0 - y sen 0

266

Eduardo Espinoza Ramos y ' ~ r sen(9 + a ) = r[sen a eos 9 + eos a sen 9 ] = r sen a eos 0 + r eos a sen 0 = y eos 0 + x sen 0 Luego (x \ y ') = (x eos 9 - y sen 9, y eos 9 + x sen 9)

( x ' t y 9)--

eos#

-sen 9

X

sen 9

eos 9

y_

La ecuación (3) define una transformación lineal de

... (3) en IR , y que puede

ser expresado del modo siguiente. T(x,y)

eos 9

-sen 9

X

sen 9

eos 9

y_

... (4)

T(v) = A0.v Siendo v(x,y); A0 =

feos#

-sen

sen 9

eos 6

Donde A0 es la matriz asociada a la transformaron de T

4.11.

COORDENADAS O COMPONENTES DE UN VECTOR.Consideremos únicamente espacios vectoriales de base finita, donde para éste caso a una base {vj, v2

vn } del espacio vectorial (V,+,k,.) denotaremos con

el símbolo [v] = {vl , \?2

v/7}

Si

{vj, v2

} es una base de (V,+,k,.) entonces a cada vector x e V se

expresa en combinación lineal de la base, es decir que existen y son únicos los escalares x {, x 2 ,-",xn tal que


267

respecto de la base dada, el vector v g V queda caracterizado por los coeficientes de la combinación lineal o sea por los elementos x ] luego a los coeficientes x l , x 2

,

x n se llaman coordenadas o componentes del

vector x e V respecto de la base dada, si se elige otra base del espacio V, entonces el mismo vector x e V admite otras coordenadas o componentes x \ , x 2l ,...,x]„. Dada la base [V] = {vj, v2,...,vn) del espacio (V,+,k,.) podemos expresar a cada vector x € V como una matriz columna, cuyos elementos sean las coordenadas de x respecto de la base [V] y a ésto escribiremos así:

Ejemplo.-

Hallar las coordenadas de x = (-2,3) perteneciente a (i?2,+ ,/?,.) respecto de las bases

i)

[V] = {(1,1),(1,0)}

ii)

[W] = {(-2,3),(1,2)}

Solución i)

A las coordenadas de x = (-2,3) expresamos en combinación lineal de [V]. (-2,3) = a ( 1,1) + p( 1,0) = (a + p, a ) por igualdad í-2 = a + fí [3 = a

a =3 ^

J3 = - 5

268


ii)

A las coordenadas de x = (-2,3) expresamos en combinación lineal de [W] (-2,3) = a(-2,3) + P(l,2) = (-2a + p, 3 a + 2p) por igualdad

4.12. MATRIZ ASOCIADA LINEAL.-

A

UNA

TRANSFORMACIÓN

Consideremos una transformación lineal f : V -> W entre los espacios V y W de dimensiones finitas dim V = n, dim W = m. Consideremos una base en cada espacio vectorial [V] = {vj,v2,...,v„} una base de V; Si x e V entonces

existen

[W] = {wj, w2,..., wn} una base de W.

escalares

a }, a 2 ,.*•>«„

X = a [ V l + £ * 2 v 2 + — + a / i v rt

y por (4.11.) las coordenadas de x respecto a la base [V] es:

únicos

tai

que


269

Si la imagen de x e V es y e W, se tiene:

y = f(x)

como y g W entonces se puede expresar de modo único como combinación y = a\ wx + a 2 w 2 +... + o^mwm

lineal de la base [W] o sea: donde los escalares a } , s o n

las coordenadas de la imagen de x

respecto de la base [W]. / a\ a{

ym =

vi ahora por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, f queda caracterizado unívocamente por los valores que toma cualquiera de la base de V, es decir: m

Enseguida asignamos a cada escalar asociado a cada vector de la base

un doble subíndice; el primero, {wx, w2

correspondencia con el vector de la base [V]. f ( v x) = an w, + a2¡ w2 4... 4 am,wm f ( y 2 )=--al2 wx 4 a 2 2 w2 4 ...4 am2 wm | / ( v 3 ) = al3H¡ +a 2 Jw2 +... + am3 wm Luego

f ( Vn ) = a \nWl + a 2nw 2 + - + a mnWm

wm}, y el segundo, en

270

Eduardo Espinoza Ramos Los n.m escalares a¡} que están en las combinaciones de los vectores que son imágenes de los elementos de la base de V constituyen una matriz cuya transpuesta denotaremos por: “ 12

“ 13

“l/i

“ 21

a 22

a 21

“ 2 /»

“mi

“ m2

m3

ésta matriz recibe el nombre de “matriz de la transformación lineal f respecto de las bases [V] y [W]. La matriz de la transformación lineal es del tipo mxn donde m es la dimensión del segundo espacio y n del primero. Luego para hallar la matriz de una transformación lineal f respecto de una base en cada espacio, se determinan las imágenes dadas por f de los vectores de la base del primer espacio se expresa estas imágenes en términos de la base del segundo espacio, o sea como combinación lineal de los vectores de la segunda base, la transpuesta de la matriz de los coeficientes es la matriz de la transformación lineal respecto de las bases de ambos espacios. Si A es la matriz de la transformación lineal f respecto de las bases [V] y [W] y si

la matriz columna correspondiente al vector x e V, cuyos elementos

son las coordenadas de este respecto de la base de V, entonces la imagen de x, expresada en términos de la base de W, se obtiene multiplicando por A al vector columna X ^ o sea Ejemplo.-

Una transformación

/ ( * ) m 4X{r\ ** lineal

f(x,y,z) = (x - 2z, y + z).

*

/ : R 3 - » R 2 está definida por:

Transformaciones Lineales a)

271

Hallar la matriz A de f respecto de las bases {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en R 3 y {(2,0),(0,2)} en R 2 . Solución / ( l , 1,1) = (-1,2) = a, (2,0) + ¡3, (0,2) = - 1 (2,0) +1(0,2) / ( 2 , 2 ,0) = (2 , 2 ) = a 2 (2 ,0) + p 2 (0, 2 ) = 1 ( 2 ,0) +1(0 , 2 )

/ ( 3 , 0,0) = (3,0) = a 3(2,0) + A (0,2) = j (2,0) + 0(0,2) f

1

Luego la matriz A de f respecto a las bases dadas es A =

2

1

2

1 1 0 b)

Mediante A, obtener la imagen de (-2,2,-2) e R . Solución Calculando las coordenadas de x = (-2,2,-2) con respecto a la base [V]

(-2,2,-2) -

a( 1 , 1 , 1 ) + P(2,2,0) + y(3,0,0) - (a +

2p + 3y, a

+

2p, a ) a = -2

a + i p + ^y = - 2 a 4- 2 p = 2

por la igualdad de vectores se tiene:

a ~~2 /

A •2

X [V] -

2 4 3)

=>

P ~2

r =-

272

Eduardo Espinoza Ramos f f (~2,2, -2 ) = AX,

'-i , 2 2

2

1 1 O

\

-2 2

_4 ^ 3)

= (1 + 2 - 2,-2 + 2 + 0) = (1,0) = y [w] Ejemplo.-

Sea T : i?4 -» i?3 una transformación lineal definida por: T(x,y,z,w) = (x + 2y, x -3 z + w, 2y + 3z + 4w)

Si [V] y [W] son las bases naturales para R 4 y R 3 respectivamente: a)

Encuentre la matriz A de T respecto de las bases [V] y [W].

b)

Use A para encontrar T(x,y,z,w) Solución

a)

Sea [V] = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} base de R 4 [W] = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base de R 3 . T( 1,0,0,0) = (1,1,0) = 1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 0(0,0,1) T(0,1,0,0) = (2,0,2) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 2(0,0,1) T(0,0,1,0) = (0,-3,3) = 0(1,0,0) - 3(0,1,0) + 3(0,0,1) T(0,0,0,1) = (0,1,4) = 0(1,0,0) + 1(0,1,0) + 4(0,0,1) 1 2

0

0

Luego la matriz A de f respecto de las bases dada es: A = 1 0 0 2

-3

1

3 4


Como

273

( x , y , z , w ) = ( x , y , z , w ) [¡J.]

y

T(x,y,z,w)m =T(x,y,z,w)

X y

entonces T(x, y, z, w) = A

“1 i

0

0~

T ( x , y , z , w) = 1 0

-3

1

3

4

0

2

por lo tanto

X y = (x + 2y, x ~ 3 y + z, 2 y + 3z + 4 w) z w

que está de acuerdo con la definición de T. Ejemplo.-

Sea T : R 3 -» R 2 una transformación lineal definida por: ty , , * 1 1 . 5 7 T(x,y,z) = ( - - - — y - r - z ,

1

7

- x - - y + - z )

si [V] = {(1,0,1),(2,0,0),(0,1,1)} y [W] = {(1,2),(0,3)} son bases de R 3 y i?2

respectivamente, encuentre la matriz A de T respecto de las bases dadas. Solución

7X1,0,1) = (2,7) = a x(1,2) + f i x(0,3) = 2(1,2) +1(0,3) T (2fifi) = (-1,7) = 7(0,1,1) = (-3,0)

=

(1,2) + /A (0,3) - - 1(1,2)+ 3(0,3) ■

cr3(1,2) +

(0,3)

-

-3(1,2) + 2(0,3)

Luego la matriz A de T respecto a las bases dadas es: A =

Ejemplo.-

Sea A =

4

2

0

1 3

1

(2 1

-1 3

-3

274


a)

Encuentre la transformación única 7 : R 3 —> R 2 tal que la matriz de T referidas de las bases. [V] = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}

[W] = {(1,0),(1,1)} de R 3 y R 1

y

respectivamente sea A. b)

Encuentre T(x,y,z) Solución

a)

Si [ T \ V][W] = A , entonces se tiene: T( 1,0,0) = (4,0), T(1,1,0) = (2,1) y 1(1,1,1) = (1,3) Por lo tanto: 7(1,0,0) = (4,0) = a { (1,0) + fi{(1,1) = 4(1,0) + 0(1,1) 7(1,1,0) = (2,1) = a 2 (1,0) + f i 2 (1,1) = 2(1,0) +1(1,1) 7(1,1,1) = (1,3) = a 3(1,0) + fi 3 (1,1) = 1(1,0) + 3(1,1) T es única porque una transformación está completamente determinada por la imagen de una base.

b)

Como T(x) = A.X^Vj entonces

(x,y,z) = a(l,0,0) + p (l,1,0) + y (l,1,1) = (a + P +y, p + y,y) x = a + f3 + y por igualdad

y =P+r z =y

a ~x -y

=> P = y - z y=z

(x,y,z) = (x - y)( 1,0,0) + (y - z)( 1,1,0) + z( 1,1,1) T(x,y,z) = (x - y)T( 1,0,0) + (y - z)T( 1,1,0) + zT( l, l,l ) = (x-y)(4,0) + (y-z)(2,l) + z(l,3) = (4x-4y+2y-2z + z, 0 + y - z + 3z) T(x,y,z) = (4x - 2y - z, y + 2z)


275

Que es lo mismo si se aplica.

T(x, y , z ) = A y

\ r

4

2

1

0

1 3J

KZ J[V]

y-z

= ( 4 x ~ 2 y ~ z , y + 2z)

K z J

Comprobaremos el resultado empleando esta expresión de T(x,y,z) para encontrar las imágenes de los vectores de [WJ. T( 1,0,0) = (4.0), T(1,1,0) = (2,1), T ( l,l,l) = (1,3)'

4.13.

ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.Al conjunto de todas las transformaciones lineales entre los espacios vectoriales V y W, sobre el cuerpo k, denotaremos por L(V,W) es decir: L(V,W) = {f: V

W / fe s transformación lineal}

Ahora en L(V,W) definimos la suma de funciones y el producto de escalares por funciones: ( f + g)(x) = f(x) + g(x), V X E V

(af)(x) ~ af(x), a e k a)

TEOREMA*-

Sea f

V

y

W

espacios vectoriales sobre el cuerpo k y sean

y g transformaciones lineales de V en

W

demostrar

que la función f + g es una transformación lineal. Demostración Sean f,g: V -» W transformación lineal y a , p e V, a, b a a + bp e V entonces

e

k entonces


276

(f+g)(aa+bP) = f(aa+bp) + g(aa+ bp) = (af(a) + bf(p)) + (ag(a) + bg(P)) = a(f(a) + g (a » + b(f(P) + g(P)) = a(f + g)(a) + b(f + g)(P) como (f + g)(aa + bp) = a(f + g)(a) + b(f + g)(P), V a,b e k. Luego f + g es una transformación lineal. b)

TEOREMA.- Sea V y W espacios vectoriales sobre el campo k y f una transformación lineal de V en W, c e k, demostrar que cf es una transformación lineal. Demostración Sean c

g

k, a,b e k y a,p e V entonces

(cf)(aa + bP) = c[f(aa + bp)] = c[af(a) + bf(p)] = (ca)f(a) + (cb)f(P) = a(cf(a) + b(cf(P)) entonces (cf)(aa + bp) = a(cf)(a) + b(cf)(P) cf es una transformación lineal. Ejemplo.-

Sean

/ : R 4 -> R 3

y

g : R 4 - ± R 3 , dos transformaciones

lineales definidas por: f(x, y, z, w) = (x + 2y, 3y + 4z, -2x + 5w) y g(x, y, z, w) = (2x + y + z + w, y + 2z + w, 2x - 3y + 4z) y las bases [V] = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)} [W]= {(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)} de^ R 4 y R 3 respectivamente. a)

Encontrar la matriz A de f y la matriz B de g referidas a las bases de R 4 y R3.


277

Encuentre f + g y demuestre que f + g = A + B respecto de las bases [W].

c)

Encuentre rf y demuestre que rf = rA referidas a la base de [V]. Solución

a)

Calculando la matriz A de f respecto de la base [V]. /(1,0,0,0) = (1,0-2) = a , (1,0,0) + p x(0,1,0) + y x(0,1,1) = 1(1,0,0) + 2(0,1,0) - 2(0, / ( l , 1,0,0) = (3,3-2) = a 2 (1,0,0) + p 2 (0,1,0) + y 2 (0,1,1) = 3(1,0,0) + 5(0,1,0) -2(0,1,1) / ( l , 1,1,0) = (3,7,-2) = a 3 (1,0,0) + ft 3 (0,1,0) + y 3 (0,1,1) = 3(1,0,0)+ 9(0,1,0)-2(0,1,1) / ( l , 1,1,1) = (3,7,3) = « 4 (1,0,0) + p 4 (0,1,0) + / 4 (0,1,1) = 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 3(0,1,1) 1 3 Luego la matriz A de f es:

A=

3 3

2

5

9 4

-2

-2

-2 3

en forma semejante calculamos la matriz B de g. g( 1,0,0,0) = (2,0,2) = 2(1,0,0) - 2(0,1,0) + 2(0,1,1) g( 1,1,0,0) = (3,1,-1) = 3( 1,0,0) + 2(0,1,0) - 1(0,1,1) g( 1,1,1,0) = (4,3,3) = 4( 1,0,0) + 0(0,1,0) + 3(0,1,1) g( 1,1,1,1) = (5,4,3) = 5(1,0,0) + 1(0,1,0) + 3(0,1,1)

[V ]

y

278

Eduardo Espinoza Ramos 2

3 4

B = -2

Luego la matriz B de g es:

2 0

2 b)

5 1

-1 3

3

Para encontrar f + g respecto a las bases [V] y [W] necesitaremos los vectores coordenados de (f + g)(x) esto implica que: (f + g)(x) = f(x) + g(x) " 1+ 2

3+3+

3+4

3+5"

"3

6

7 8"

2 -2

5+ 2

9+0

4+1 = 0

7

9 5 = A +B

-2 + 2

-2 - 1

-2 + 3

3+ 3

U + S\v][W] ~

c)

0 -3

1 6

Para encontrar la matriz de rf, debemos encontrar los vectores coordenados de rf(x) referidas de la base [V], ' Ir (r/)(x ) = r/(x ) =

4.14.

3r

3r

3r

' 1

3

3

3"

2r

5r

9r

4r = r

2

5

9

4 =■rA

—2r

—2 r

-2 r

3r

-2

-2

-2

3

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES.a)

DEFINICIÓN.-

Sean f : V -> W y g :W -» U, dos transformaciones lineales entre espacios vectoriales sobre un mismo

campo k. La función compuesta g o f : V -» U es definida por: (g o f)(x ) = g(f(x)), V x 6 V b)

TEOREM A.-

La composición de dos transformaciones lineales, es una transformación lineal. Demostración


279

Sean f y g dos transformaciones lineales definidas en (a) a,b e

k,

x,y e V => ax + by e V

(g o f)(ax + by) = g(f(ax + by)) = g(af(x) +bf(y)) = g(af(x)) + g(bf(y)) = a(g(f(x))) + b(g(f(y))) = a(g o f)(x) + b(g o f)(y) g o f es una transformación lineal. Ejemplo.-

Sean / : R 2 —>/?3 y g: /?3 -»7?2 definidas por: f(x,y) = (x, x + y, y) y g(x,y,z) = (x + y, z) definir g o f y f o g. Solución f

9 ► R3

R2

g of (g o f)(x,y) = g(f(x,y)) = g(x, x + y, y) = (2x + y, y) ••• (g o f)(x,y) = (2x + y, y) 9 -► R3

R3

fog (f o g)(x,y,z) = f(g(x,y,z)) = f(x + y, z) = (x + y, x + y + z, z) (f o g)(x,y,z) = (x + y, x + y + z, z)


280 Ejemplo.-

Sea f : R 3

R tal que f(x,y,z) = x + 2y - z y

g : R R2

tal

que g(x) = (2x,x). Hallar g o f. Solución (g o í)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x + 2y - z) = (2(x + 2y - z), x + 2y - z) = (2x + 4y - 2z, x + 2y - z) (g o f)(x,y,z) = (2x + 4y - 2z, x + 2y - z) Ejemplo.-

Consideremos las transformaciones lineales / :

R 3 -> R

g : R- > R 2 definidas por: fl¡x,y,z) = x - y + z

y g(x) = (x,0)

Determinar el núcleo de g o f. Solución Para calcular el núcleo de g o f, determinaremos g o f.

*►R2

gof (g o f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x -

y

+ z) = (x - y + z, 0)

(g o f)(x,y,z) = (x - y + z, 0) N ( g o f ) =

\(x,y,z)eR 3

l(g o

f)(x,y,z)

= {0 ,0 )}

(g o f)(x,y,z) = (0,0) de donde (x - y + z, 0) = ((^0) N ( g o / ) =

{(x,y,z)e R 3

/ x - y +

z

=

0}

<=> x - y + z = 0

y


281

Si f : R 4 —>R 3 y g: R }

R 2 son transformaciones lineales

definidas por: f(x, y, z, w) = (x + 2y, x - z, w + 2 z), g(x,y,z) = (2x +

y, 3 y

+ 4z) entonces g o f : R 4 - > R 2 , sean [V], [W], [U] las

bases naturales de R 4 , R 3 y R 2 respectivamente. a)

Encontrar (g o f)(x,y,z,w)

b)

Encuentre las matrices A de f, B de g y C de g o f. Solución

a)

(g o f)(x,y,z,w) = g(f(x,y,z,w)) = g(x + 2y, x - z, 2z + w) = (2x + 4y + x - z, 3x - 3z + 8z + 4w) = (3x + 4y - z, 3x + 5z + 4w) (g o f)(x,y,z,w) = (3x + 4y - z, 3x + 5z + 4w)

b)

Calculando la matriz A de f. f( 1,0,0,0) = (1,1,0) —1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 0(0,0,1) f(0,1,0,0) = (2,0,0) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1) f(0,0,1,0) = (0,-1,2) = 0( 1,0,0) - 1(0,1,0) + 2(0,0,1) f(0,0,0,1) = (0,0,1) = 0( 1,0,0) + 0(0,1,0) + 1(0,0,1) 1 2 Luego la matriz A de f es:

4=

0 0 Calculando la matriz B de g. g( 1,0,0) = (2,0) = 2(1,0)+ 0(0,1) g(0,l,0) = (1,3) =1(1,0) + 3(0,1) g(0,0,l) = (0,4) = 0(1,0) + 4(0,1)

0

0

1 0 - 1 0 2

1

282


Luego la matriz B de g es:

B-

2

1 0

0 3 4

Calculando la matriz C de g o f (g o 0(1,0,0,0) = (3,3) = 3(1,0) + 3(0,1) (g o 0 (0 ,1,0,0) = (4,0) = 4(1,0) + 0(0,1) (g o 0(0,0,1,0) = (-1,5) = -1(1,0) + 5(0,1) (g o 0(0,0,0,1) = (0,4) = 0(1,0) + 4(0,1) Luego la matriz C de g o f es:

C=

3 4 - 1 0 3 0

5

4

4.15. TRANSFORMACIONES LINÉALES INVERSIBLES.a)

DEFINICIÓN.-

Una transformación lineal

T : V -» W

se dice

inversible si existe una función F : W -» V tal que T o F = I w y F o T = Iv . NOTACION.-

Si T es inversible => F es único y F = T~l

b)

Sí T : V -> W es una transformación lineal inversible, su

LEMA.-

inversa T~l : W -> V , también es una transformación lineal. Demostración Sean a,b e k , f$x, p 2 ^ W deseamos probar que: T~l (afiy + b p 2) = a T - \ p x) + bT~x

)

Sean p x, f$ 2 e W

únicos tal que

=> 3 a ¡ , a 2 e V

Transformaciones Lineales T{a i ) = p

{

283 a

T { a 2) = J32 además T~l (J3l ) = a l , 7’_ i ( / í 2 ) = a 2

como V es un espacio vectorial => a a x + b a 2 e V

=>

V a,b e k y como T es una transformación lineal T ( a a x + b a 2) = a T ( a x) + b T ( a 2) = afí\ +b/32 T ( a a x + b a 2) = afix +bf52

=>

a a x + b a 2 es el único vector de V que

es aplicado en afix + b p 2 entonces T~\ a( 3x +bfl2) ~ a a x + b a 2 = aT~l (fix) + bT' l (fi2) entonces + b p 2) = aT~x(/?,), V a,b e k y

V

fll,ft2 e W

T~l es una transformación lineal de W sobre V. OBSERVACIÓN.(1)

T es inyectiva

[(2)

T es suryectiva

i)

T es inversible <=>

ii)

T es inyectiva <=> N(T) = {0}

iii)

T es suryectiva

Ejemplo.-

<=> T(V) = W

Sea T : R 3 —> R 3 tal que T(x,y,z) = (3x, x - y, 2x + y + z) probar que:

1)

T es una transformación lineal.

2)

¿T es inversible? de serlo hallar una eg resió n para T~l como aquella que define a T.

Solución

284

Eduardo Espinoza Ramos 1)

Sean a,b e R, (* ,, x 2 , x 3) e R 3 , ( y x, y 2 , y 3) e R 3 a(xx, x 2 , x 3) + b{yx, y 2 , y 3) = (axx + byx, ax 2 + by 2 ,ax 3 + by3) T(a(xx, x 2, x 3) + b (yx, y 2, y 3)) = T(axx + byx, ax 2 + by2, ax 3 + by3) = T(a(xx, x 2 , x 3)) + T(b(yx, y 2 , y 3)) = aT (x x, x 2 , x 3) + b T {y x, y 2 >y3) T es una transformación lineal Sea ( x , y , z ) e N(T) cz R 3

=> T(x,y,z) = (0,0,0)

(3x, x - y, 2x + y + z) = (0,0,0) por igualdad x=0,x-y=0,

2x + y + z = 0

=> x = y = z = 0

Luego N(T) = {(0,0,0)} ==> T es inyectiva y dimN(T) = 0 Como dim N(T) + dim T ( R 3) = dim R 3 = 3 entonces Como dim i?3 = dim T ( R 3) ==> T ( R 3) = R 3 => T es suryectiva por lo tanto T es inversible Ahora calculamos T~l Sea (a,b,c) e T ( R 3) => B ( x , y , z ) e R 3 tal que T(x,y,z) = (a,b,c)

a

T {(a,b, c) = (x, y , z )

(3x, x - y, 2x + y + z) = (a,b,c) por igualdad se tiene: a x =— 3

3x = a x-y - b 2jc + y + z =

=> c

z = c - a +b


285

Luego 7 - W ) - , f . ü = “

«—

»)

Probaremos que (ToT~x)(a ,b, c)~(a, b, c) y (T~xoT)(xyy , z ) = (x, y , z )

( r o T ' ) ( a , b , c ) = r ( 7 ^ ‘(a,6,c)) = T ^ , ^ ~ , c - a + b) = (a,b,c)

( f ' o r x ^ , y, z) = r _1 (x, y, z) = r -1 (3x, X- y,2x + y + z) = (x,y,z) c)

TEOREM A.-

Sean V y W espacios vectoriales finito dimensionales y T: V -» W una transformación lineal, entonces T es

inversible sí y solamente sí T transforma una base de V en una base de W. Demostración =>) Asumiremos que T es inversible, y sea {vj, v2

vn} una base de V.

Consideremos los vectores vv, = 7 ’(h'|),h>2 = T(w 2 ) , w3 = 7’(h'3),...,w „ = T(w„ ) AFIRM ACIÓN (1). En efecto,

sea

Los vectores wx, w 2 ,—, w n son l.i.

a xwx + a 2w2 +-» + a #lwll ~ 0 W entonces por ser T~l una

transformación lineal se tiene: a xT~x{wx) + a 2 T~x(vv2 ) + ... + a nT~x(wn) = 6 V =>

«jVj + « 2v2 + —+ entonces a¡ = a 2

Luego {wXiw2

= ^v

y como {vj, v2

=0 son linealmente independiente.

vn}

una base de V

286

Eduardo Espinoza Ramos {vvj, w 2

AFIRM ACIÓN (2).

} genera el espacio vectorial W.

T l (w) e V

En efecto, sea w e W => n =>

T V ) = £ a iv¡ =* 1=1

Luego {wx, w2

w = T(T 1

= yy t, a >T(vi ) = ^ , a ‘w‘ i-\ i=1

wn} genera W de las afirmaciones (1) y (2) {wx, w2

}

es una base de W. <=) Ahora asumiremos que {wl5 w2,..., w„} es una base de W. Mostraremos que T es inversible. Definamos F : W -> V tal que F (w i ) = vi , V i = l ,2 ,...,n lo cual siempre es posible en virtud del teorema fundamental de las transformaciones lineales, entonces: n Si v € V, donde v = ^Sjâ/v, , tenemos que: ¿= i

n

(F o T)(v) = F(T(v)) = F { y ' a, F(v,)) por ser T transformación lineal ¡=i n

a¡

=

) por definición de T.

í=i

/i = y 1a, F (w ,) por ser F transformación lineal. í=i


287

n = yT* a t v¡ por definición de F. i=\

=V

(F o T)(v) = / v

/.

...(1 )

n

por otro lado sí w e W donde w =

, entonces (T o F)(w) = T(F(w)) i=\

n

b¡ F(w¿)) por ser F transformación lineal

=r

;=1 n

=T

v,-) , por ser definición de F. 1=1

w = ^ 1b¡T(Vj) por ser T transformación lineal. M n ~^

^ W| Por ser definición de T. i

=w

/.

( T o F) ( w) = I w

...(2 )

de (1) y (2) T es inversible y su inversa es F.

4.16.

TEOREMA.Sea T: V —> W unatransformación lineal entre dos espacios vectoriales de igual dimensión. Entonces lassiguientes afirmaciones son equivalente.

i)

T es inversible.

Ii)

T es inyectiva.

iii)

T es suryectiva.

iv)

T transforma bases en bases.

288

Eduardo Espinoza Ramos Demostración i)

=> ii) T(u) = T(v)

=> T~](T(u)) = T~](T(v))

u = v por ser T inversible ii)

=> iii) sea

{v1,v 2,...,vw} cz V

{r(v, ) , r ( v 2

r(v„)}

una base para V, como T es inyectiva es linealmente independiente en W; pero

como dim W = n, entonces {TXvj), T(v 2

T(vn )} es una base para W.

n

Luego sea w e W, donde w= ^ ' ai w; entonces existe v € V donde /=! n

v= ^ a ,v , i= l

n

tal que T(v) = T

n

a,v,) = ^ 1=1

n

a ,T(v¡) = ^

a,w¡ = w

/=1

Í=\

En consecuencia T es suryectiva. iii)

=> iv) Sea

{v1,v 2,...,vn} una base de V y T(vi ) = wi , V i = 1,2,...,n sus

imágenes mediante T probaremos que {w}, w 2

wn} generan W.

En efecto, para todo w e W, existe v e V donde n

n

n

v = V ' a (v, tal que w = T(v) = T a ¡ v,) = ^ 1=1

1=1

1=1

n

a ,T(v¡) = ^ a íW¡ 1=1

por ser suryectiva, por otra parte como dim W = n, entonces {h>i, w2,..., wn} es una base de W. Luego T transforma bases en bases. iv)

=> i) fue demostrado en c) de 3.15)

289


4.17. ISOMORFISMO INDUCIDO TRANSFORMACIÓN LINEAL.-

POR

UNA

TEOREMA.- Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo k, T: V -> W una transformación lineal y n :

v

~ * v /n {T) la proyección

canónica, Entonces: 1)

T

Existe una única transformación lineal T:

-►w

c /

-> W tal que Ton = T V/Ñ(T ^

i¡)

% r ( r ) £ l m
i)

Definimos T :

-> W

V + N(T) - * T ( V + N(T)) = T(v) PROBAREMOS QUE T ESTA BIEN DEFINIDA.- Es decir que la definición de T no depende del representante de la clase. Sea pues, Fj + N(T) = V2 + N ( T ) => V, - V2 e N(T) => n v x- v 2) = 0 => r(v ,) = r(v 2) =>

r(v 1 + N (r)) = r(v 2 +iV (r))

T esta bien definida. T ES UNA TRANSFORMACION LINEAL.-

En efecto:

290

Eduardo Espinoza Ramos T{a(vx + N(T)) + b(v2 + N(T))) =

+ ,V(F)) + (bv2 + AXD))

TXtfVj + M’2) + N(T) = r(^v¡ f ¿>v2 ) = aTXvj) + h.T(v2 ) = ar(v, + N(T)) + /?7;(v2 + ^ ( D ) T es una transformación lineal sobre k. T o n - T , en efecto: (Ton)(v) = T{n{v)) = 7Xv+ A7(r)) definición de jc = T(v) definición de T Ton = T UNICIDAD.Supongamos que existe otra transformación lineal

con las mismas propiedades de T , luego f (v + N(T)) = T(v) = T{v + N(T)) ii)

f =T

Que y N(T) = lm(T)

Es decir probaremos que T :

a)

—» lm(7’) es un isomorfismo.

7 ES UN M ONOM ORFISM O.-

En efecto:


291

N(T) = {v + N(T) / T(v + N ( T )) = 0W} = {v + N(T) / 7\v) =

= {v + N(T) / v e N(T)}

= N(T) (que es el cero del espacio cociente

% (T)

T es un monomorfísmo b)

T ES EPIM ORFÍSM O.-

Pues

I m (r ) - { r (v + N(T)) í v e V ) = (T(v) / v e V} = Im(T)

T es un epimorfísmo de (a) y (b) y la definición de isomorfismo, T es un ismorfismo

con lo cual completa la demostración del teorema. Ejemplo.-

Sea T : R3 R 2 tal que T(x,y,z) = (2x + z, -y + 2z) determinar su núcleo y el isomorfismo inducido. Solución

N(T) = {(x,y , z ) z R l i T(x, y , z) = (0,0)} T(x,y,z) = (0,0) de donde (2x+z, -y+2z)-(0,0) => 2x + z = 0 N(T) = {(x,y, z) g R 3 / 2x + z = 0 una base de N(T) es:

a

a

-y + 2z = 0

y = 2z}

(x,y,z) = (x,-4x,-2x)

(x,y,z)=x(l,-4,-2)=> N(T)=L{(l,-4,-2)} es una base de N(T) => d im N (T )= l

292

Eduardo Espinoza Ramos por el teorema 3.16 sabemos que existe un isomorfismo. T:

h n (r)

ta* 9ue T{{x, y , z) + N(T)) = (2 x + z, - y + 2 z )

(ejercicio probar el teorema 4.17) Ejemplos.-

Sea / : R 3 - » /? 2 y g : R 3 - > R 2 dos transformaciones lineales definida por f(x, y,z) = (y, x + z) y g(x,y,z) = (2z, x - y ) hallar

fórmulas que definan las transformaciones lineales f + g y 3f

2g.

Solución S e a ( / + g ) : R* -> R 2 / ( / + gX x.y,z) = / ( * , y .z) + g ( x , y , z ) , V(x, y, z) e /?3 (f + g)(x,y,z) = (y, x + z) + (2z, x - y) = (y + 2z, 2x - y + z) (f + g)(x,y,z) = (y + 2z, 2x - y + z) (3f-2g)(x,y,z) = 3f(x,y,z)- 2g(x,y,z) = 3(y, x + z ) - 2(2z, x - y ) = (3y, 3x + 3z) - (4z, 2x - 2y) = (3y - 4z, x + 2y + 3z) (3f —2gXx,y,z) = (3y - 4z, x + 2y + 3z) Ejemplo.-

Determinar la

la

transformación

transformación

lineal

lineal

T~x

de

definida

por

inversa

T : R i - y R*

T(x,y,z) = (2x, x + 2y, x + 3z) Solución Calculando T~x(x, y, z ) , para ésto se tiene: \ / ( x, y ,z ) e R } ,

3

(a , b , c ) e R 3 / T( a,b, c) = ( x , y , z ) y T ~ ' ( x , y , z ) = (a,b,c)

como T(a,b,c) = (x,y,z) de donde (2a, a + 2b, a + 3c) = (x,y,z) por igualdad


293 JC

2a = x a + 2b = y

=>

< =

a + 3c = z c=

7’~l(jc,j/,r) = (L

Ejemplo.-

4

2y - x 4 2z-x

6

’

6

Determinar la

la

transformación

transformación

lineal

lineal

inversa

T : R 3 -> R 3

T~x de

definida

por

T(x,y,z) = (2x + 2y, x + y, x + y + z). Solución Calculando T~], para ésto se tiene: V(x, y , z ) e R 3, 3 (a,b, c) e /?3talque T(a,b,c)=(x,y,z) y T ~ ' ( x , y , z ) = (a,b,c) pero T es inversible o

T es inyeetiva

Veremos si T es inyeetiva T ( x ], x 2, x i ) = T ( y x, y 2, y i ) (2x, + 2 x 2,

=>

(x1,x 2,x 3) = ( y ,,y 2>.y3)

+ x 2,=(2y¡ + 2 y 2, y ] + y 2, y x + y 2 + y 3)

2x, + 2x2 = 2 y i +2y 2 x, + x 2 = y , + y 2 x, + x 2 + x 3 = y , + y 2 + y 3 x3 = y 3 pero x, * y x, x 2 * y 2

por lo tanto T no es inyeetiva => 3 T 1

de donde

294


Sea

/ : R 2 —» R 1

la transformación lineal

definida

por

f(x,y) = (2x - y, x + y) a)

¿f es inyectiva?

b)

Hallar la inversa de T si existe

Solución a)

Si N(f) = {(0,0)} => fes inyectiva núcleo de f = N(f) = {(jc,y) e R 2 / f ( x , y ) = (0,0)} como f(x,y) = (0,0) entonces se tiene: (2x - y, x + y) = (0,0) por igualdad tenemos: 2x - y = 0

x +y = 0

iz>x = y = 0

=>

(x,y) = (0,0)

Luego N(f) = {(0,0)} => fe s inyectiva Como f es inyectiva entonces tiene inversa. Ahora calculamos la inversa / ~ l (x, y) V ( x , y , z ) e R 2 , 3 ( a , b , c ) e R 2 / f(a,b) = (x,y) y f ~ ' ( x , y ) = (a,b) como f(a,b) = (x,y), de donde (2a - b, a + b) = (x,y) por igualdad tenemos

2a -b =x

a +b = y

Luego /

x +y 3 2 y - jc

\ x , y ) = ( ^ ~ , ~y

X)


295

Sean los conjuntos

V = { ^ (x ) = a + b x 2 + e x 4 ¡ a , b , c e

W - {(p, r,s, t) e R 4 / p + r + s + t = 0}

donde V y W

R}, son

espacios vectoriales sobre R. Sea f : V —» W la transformación lineal definida por: f ( a + b x 2 +cx4) = ( a - b , b - c,2c - a - c ). Demostrar que f es un isomorfismo. Solución f es un isomorfismo si y solo si f es inyectiva y suryectiva por lo tanto debe demostrar que f es inyectiva y suryectiva. f es inyectiva <=> N(f) = {0} N(f) = (q(x) e V / f(q(x)) = (0,0,0,0)} donde q(x) - a + b x 2 + e x 4 , donde / (^(x)) - f ( a +

(a

bx2

+ e x 4 ) = (0,0,0,0)

b, b - c, 2c - a, -c) = (0,0,0,0) => a = b ^ c = 0

por lo tanto N ( f ) - {(0,0,0,0)} = (0 + 0x2 + Ox4} Luego f es inyectiva. f es suryectiva si donde

q(x)

V (p,r,s,t)

g

W existe q(x)

= a + b x 2 -f e x 4

(a -- b, b - c, 2c - a, -c) = (p,r,s,t) por igualdad

g

V tal que f(q(x)) = (p,r,s,t)


296 Luego 3 q(x) = (-5 - 21 ) + (r - t )x 2 + (~t )x 4

= f ( ( ~ s ~ 2 t) + (r “ t )x 2 + (-/).* 4 ) = (p, r, s,t) con suryectiva.

lo

cual

f

es

Como f es inyectiva y suryectiva => f un ismorfismo.

4.18. CAMBIÓ DE BASE Y SEMEJANZA DE MATRÍCES A)

M ATRÍCES DE PASAJE.-

Sea

(V,+,k,.) un espacio vectorial de

dimensión finita

y

consideremos dos

bases de V, (Y] = {vj,v2v..,vw} y [v'] = {v{,vj,—»v«} ahora definimos dos endomorfismos. 1ro. f : V -> V tal que f ( v j ) = v j, i V j= l,2 ,...,n expresando a cada imagen como combinación lineal de la base [V], se tiene: n

La matriz P de ésta transformación lineal respecto de la base [V] en cada espacio es:

P = (P¿J) 1

P recibe el nombre de matriz de pasaje de la base [V] a la base [v'] 2do. g : V -> V tal que g(v^) = v f , V j = l,2,...,n en

fo rm a s im ila r al c a s o a n te rio r es:


297

F=( P' } )' es la matriz de g respecto de la base [v'] en cada espacio diremos que es la matriz de pasaje de la base [v'] a la base [v]. OBSERVACIÓN.» Las matrices de pasaje P y F son inversas entre sí, es decir que P F = F P = I En efecto:

de (1) y (2) tenemos que:

n

n

V j= Z

n

n

v *k = 2 - ! Pkj 2 j Pík V i= Z

A---1

A'=l

i—l

k=\

n

Z

PkjPik V/

i= l

i=1 A'=l como vi

Ovj +0v2 +... + lvy +... + 0vw

resulta que el único término nulo de la sumatoria anterior se obtiene para i = j y vale 1. n

=Stj

Luego k=\

Por definición de producto de matrices y de matriz identidad resulta P F = / en forma similar se deduce que F P = I . En consecuencia, ambas matrices son inversibles, y cada una es la inversa de la otra. B)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.Consideremos la matriz de pasaje P de la base [V] a la base [V ’] y sea x € V

298

Eduardo Espinoza Ramos P ro b arem o s que:

X [v] - P X W ]

y X

D onde

^

s o n la s m a tr ic e s d e la s

coordenadas

de x e V

en

las

b a s e s [V ] y [ V '] re s p e c tiv a m e n te .

En

e fe c to :

e x p re sa m o s a

x com o

c o m b in a c ió n

lin e a l d e c a d a

b ase y

te n ie n d o e n c u e n ta (1 ) e s c rib im o s :

n

n

n

y~i

y=i

/=i

n

n

n

=Xj=) X/=i

p" v'

n

^ S¿=i (Xy=i /''a' )v'

n p e ro

x = ^

, p o r la

u n ic id a d d e

la

c o m b in a c ió n lin e a l s e tie n e

i=i n

a , = ' ^ P ü a j’ , j =

l,2 ,...,n

L u e g o p o r d e fin ic ió n d e p ro d u c to d e m a tric e s , d e la s r e la c io n e s a n te rio re s se d ed u ce.

r Ot\ > «2

«2

=P

, o sea que:

X [V] = P X [ r ]

(3 )

\ a n)

X [ yn = P - ' X lv

y c o m o P e s n o s in g u la r re s u lta .

de

donde

a

c o o rd e n a d a s.

(3 )

y

(4 )

se

lla m a n

fó rm u la s

de

••• (4) tra n s fo rm a c ió n

de

Transformaciones Lineales C)

299

M ATRICES DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y CAMBIO DE BASE.Consideremos una de

f

tr a n s f o r m a c ió n lin e a l

re s p e c to

de

la s

b ases

f : V -» W y

[V] =

A

e

k mxn la en

{vj

m a triz V

y

[ W ] = { w 1? vv2 ? . . . , w m } e n W .

Si se

hace

lineal í

un

cambio de

b a s e e n c a d a e s p a c io , e n to n c e s la tr a n s f o r m a c ió n

caracterizado

e s tá

par

de bases [I ' *] y

Qe

k mxf;

de pasaje

\W

lo s

E s d e c ir, q u e

dos pares

son

B e k mxn

] y consideremos las

d e [V ] a [ F f]

Ahora probaremos que las respecto de

p o r u n a m a triz

y

m a tric e s

de b ases

de [W\

a

A y B

B = Q

e q u iv a le n te s .

V, [V]

* W, [w] ái

P

Q B

Se verifica que: 1)

X [ r i = P X [r] por la parte (b)

2)

Ym = QY{ir] por la parte (d)

P s k mxn

y

d e la tr a n s f o r m a c ió n lin e a l f

verifican

A

m a tric e s

[ W' }.

P a ra e s to c o n s id e r e m o s e l d ia g ra m a s ig u ie n te .

V, Mi \

re s p e c to d e l n ú m e ro

* W , [w']

1A P


300 Y¡wj =

3)

por ser transformación lineal de matriz A respecto de

las bases [Vj y fW]. 4)

Ym

= B X {V] , p o r s e r t r a n s f o r m a c i ó n

lineal de matriz

B

respecto de

l a s b a s e s [ V 1] y [ W ' ] .

L uego

d e (2 ), (3 ) y (1 ) se d e d u c e .

V '] =Q - 'Y m = Q T ' ¿ x m = Q - ' A P X w B ~ Q ~ lA P

d e e s ta re la c ió n y d e (4 ) re s u lta :

ósea

R e c íp r o c a m e n te , si A y B s o n m a tric e s e q u iv a le n te s e n e s p a c io s

v e c to ria le s

so b re

k, de

d im e n s io n e s

n

y

que B - A

k mxn , V y W s o n

m

re s p e c tiv a m e n te ,

e n t o n c e s A y B c a r a c t e r i z a n a u n a m i s m a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l f: V —» W re s p e c to d e d o s p a re s d e b a se s .

D)

M ATRÍCES SEMEJANTES.Sea

f

: V

—» V

p a r tic u la r d im V

un -

e n d o m o rfism o

que

lo

to m a m o s

com o

un

caso

n y A la m a tr iz f r e s p e c to d e la b a s e [V ] = [W ] e n

c a d a e s p a c io .

S i e fe c tu a m o s

un

c a m b io

a la

p a s a je P = Q , e n to n c e s s e tie n e :

nueva

b ase

B = P

lAP

[ P ] - [)¥']

con

m a triz

de

d o n d e B e s la m a tr iz d e f

re s p e c to d e la n u e v a b a s e [ P ] .

L a s m a tric e s A re s p e c to

de

la s

y B de k nnn, que bases [ V ] y [ W ] ,

re p re s e n ta n el m is m o e n d o m o rfis m o se

lla m a n

s e m e ja n te s ,

d ire m o s q u e :

" A.es (.mejante a B L a s e m e ja n z a

3 P no singular /

de matrices es

una

B =

P~l A P

.

relación de equivalencia,

por

lo

ta n to

Transformaciones Lineales Ejemplo,»

í)

301

Sea / : —» R 3 una transformación f(x,y,z) = (x + y, x - y, x - z)

lineal

definida por

Determinar la matriz A de f respecto de la base canónica [V] en cada espacio.

ii)

Obtener la matriz P de pasaje de la base canónica [V] a la base [F f] = |(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.

lii)

Aplicando el resultado de (i) y (ii) calcular la matriz B de f, respecto de la base [V1] en cada espacio. Solución

I)

Como [V] - {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base canónica Calculando la matriz A. f( 1,0,0) = (1,1,1) = 1( 1,0,0) + 1(0,1,0) 4- 1(0,0,1)

f(0,1,0) = (1,-1,0) =1(1,0,0) - 1 (0,1,0) + 0(0,0,1) f(0,0,1) = (0,0,-1) = 0(1,0,0) + 0(0,1,0) - 1(0,0,1) 1 Luego la matriz A de f es:

1

0

A = 1 -1

0

1 0 ü)

-1

Calculando la matriz P de pasaje de la base canónica [V] a la base ' [F'] = UU,1), 0,1,0). (1,0,0)} ( 1, 1, 1) = 1( 1,0,0 ) + 1(0 , 1,0) + 1(0 ,0 , 1)

( 1, 1,0) = 1( 1,0,0) + 1(0 , 1,0) + 0(0 ,0 , 1) (1,0,0) =1(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1)

302

Eduardo Espinoza Ramos 1 1 1 Luego

P= 1 1 0 1 0 0

iii)

Calculando B = P 1AP por el método de Gauss se calcula P 1

1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0 1 1 0 -1 -1 -1 1 1 1 0 -1 -1 1 1 1 0 0 -1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 f 2 ~ f\ 0 0 1 -> f l - J\ 1 0 0 -1 1 -1 0 1 1 0 0 0 1 -1 -1 0 1 -> f 3 + f 2 1 0 0 f\ +/3 0 1 -1 -1 1 0 -> ~ /3 0 1 o í\~ f 2 0 1 -1 1 -1 0 0 0 1 Luego 0 1 1 -1 0 1

1

P~

1 1 1

0

0

1

B = P lAP = 0

1

-1

1 1 o

1 -1

0

1 o

o

0

0

1

0

1

-1

1 -1

0

303

Transformaciones Lineales 1

0

- f

1

1

f

0

-1

2

1

1

0

0

2 - 1

1

0

0

“0 =

1

1

f

- 1 0

2

2

0

4,19.

EJERCICIOS PROPUESTOS,-

I)

D e te r m in a r c u a l d e la s s ig u ie n te s a p lic a c io n e s s o n tr a n s f o r m a c io n e s lin e a le s d o n d e k = R.

©

/ :

R 3 - > R

©

/ '

R 3

©

/• •

R 3 ->

©

f -

R

©

/ :

R3 -»

©

2

2

-► R 3

R3

d e f in id o p o r f( x ,y ,z ) = (y ,x )

d e f in id o p o r f ( x ,y ,z ) =

(x

+ 1, y + 2 , 0 )

d e f in id o p o r f ( x ,y ,z ) = (x - y , 0 , y +

tal

que

f ( x , y ) = ( x + 1, y +

R 2

tal

que

f ( x ,y ,z ) = (x + y , x + z )

/:

R 2 -» R 2

tal

que

/(x ,

©

/:

R 2 -» R 2

tal

que

f ( x , y ) = (1 + x , y )

©

/ : R2 - »

tal

que

f ( x 9y) = ( x 2 9y)

©

/ : R 2 -> R 2 tal

que

f ( x ,y ) = (x - y ,

/ : R 2 —» R 2 tal

que

f( x ,y ) = (2 x - 3 y , x - y )

/ : R 2 - > R 3 tal

que

f ( x ,y )

/ : R 3 -> R3 tal

que

f ( x ,y ,z )

-> R 2

R 2

3)

y) = (x 2, y -f x)

0)

= (x + y, y - x, = (0, x + y , 0)

-x )

z)


304 (133

/ : R 3 —» R 3 tal que f(x,y,z) = (xy, z, x)

(14)

/ : R 2 -> R 3 tal que f(x,y) = (x,y,0) + (-1,0,0)

15} (16)

-> R

/:

tal que f(x,y) = (2x, -y, x)

/ : R 2 -> R tal que f(x,y) = xy

( í? )

f:

R -» R tal que f(x) = |x|

(w )

f:

R —» R tal que f(x) = sen x

(l9 )

f:

R -> R tal que f(x) = tg x

/ : R 2 —>R 2 tal que f(x,y) = (sen x, y) II) ©

Resolver los siguientes problemas: SeaW = C([0,1])

el espacio vectorial de todas las funciones continuas sobre el

intervalo 0 < x < 1 y sea T : V -> R la función definida mediante la regla F(f) =

©

í

/ ( x) dx. ¿Es F una transformación lineal?

Determinar sí la función F : R 2 —» R 2 definida por

F (x,y)

= ( y f x , % f y ) es

una transformación lineal. ©

Sea

A una matriz de orden mxn fija, entonces T : R n —> R m, definida por

T(x) = AX. Analizar si es una transformación lineal. (T )

Demuestre que sí

T : V -> W

T(u - v) = T(u) - T(v), V u,v e V.

es una transformación lineal, entonces


©

Dada si

©

la

función

305

F : M 2xi ( ^ )

R

a

b

c

|) = a 4 b , a n a l i z a r d ]

d e fin id a p o r F (

e s u n a tra n s fo rm a c ió n lin e a l

a D ada

la

F : M 2x2 ( R ) - > R , d e f i n i d a p o r

fu n c ió n

b

F(

a

b

c

d

) = det c

d

a n a l iz a r si e s u n a tr a n s f o r m a c ió n lin e a l.

©

Dada la función analizar si es

©

©

D e te rm in a r

una

:R n

T

b)

T : R ->

c)

T : i? 4

d)

T :

R2

M lxl (R ) -» R ,

d e fin id a

por

a

b

c

d

) = a2 + b2

F(

transformación lineal

cual de

a)

F:

la s

siguientes

fu n c io n e s s o n tra n s fo rm a c io n e s lin e a le s .

R tal que T{xl ,

) - *1 + x 2 + ... + xw.

R n tal que

T (x ) = ( x ,x ,...,x )

R1

T ( x ,y ,z ,w ) = ( x z ,y w )

R

ta l q u e

ta l q u e

T ( x ,y ) = x y

A n a liz a r c u a l d e la s s ig u ie n te s a p lic a c io n e s s o n tr a n s f o r m a c io n e s lin e a le s . a)

T : M nn --> M nn t a l q u e

T (A ) = A B , d o n d e B e s u n a m a triz fija d e n x n .

b)

T : M tm

T ( A ) = A 1A

c)

M nn t a i q u e

T : M mn - > M mp

ta l

que

T (A ) =

AB, donde B

e s u n a m a triz fija d e

o rd e n n x p .

d)

T \ D n -> D n

ta l

que

T(D)

=D2 (D

d ia g o n a le s d e n x n ).

e)

T : D n

D n

ta l q u e

T (D ) = I + D

n

es

el

c o n ju n to

d e m a tric e s

306 $0)

Eduardo Espinoza Ramos Estudiar si las sigu ien tes aplicacion es son transform aciones lin eales,

a)

T : P2 —» P\ tal que T(a0 + a lx + a 2x 1) = a 0 + a {x

b)

T : P2 —>

c)

T : P2 —> PA tal que T(P(x)) = [P(x)}2

d)

tal que T( a0 + a xx + a 2x 2) = a l + a 2x

T : R - + P n tal que T(a) = a + ax + ax 2 +... + ax n

Si C[0,1] es el conjunto de funciones reales. Analizar cual de las aplicaciones son transformaciones lineales. T ( f ( x ) ) = f 2 {x)

a)

T: C[0,1] -► C[0,1] tal que

b)

T: C[0,1] -> C[0,1] tal que T(f(x)) = f(x) + 1

c)

T: C[0,1] -> C[0,1] tal que

T(f(x)) =

J\ x).g(x)dx , donde g es una

función fija en C[0,1] d)

T : C'[0,1]-*C[0,1]

tal que

T ( f ( x ) ) = ( f( x ) . g ( x ) ) \ donde g es una

función fija en C[0,1] e)

f)

|2 j

Si

T: C[0,1] -» C[l,2] tal que T(f(x)) - f(x - 1)

T :C [0 .1 ]

/ : R 2 —» R 2

R tal que T( f ( x ) ) ^ f ( - )

es

una transform ación

f(0 ?2) = (3,1) encontrar f(x,y).

lineal

y si

f( 1,1) = (2 ,0 )

y

307

Transformaciones Lineales (o )

Si / : R 2 -> R 1 f(0,1)

(í^

una transformación

es

lineal

y

si

f(l,0) = (3,4)

y

(“1,2) encontrar f(x,y).

Si T : R 3,

R 2 , es

una transformación

lineal tal que f(l,-l,-l) = (1,2),

T(l,-1,0) = (3,4), T( 1,0,0) = (5,6). Hallar T( 1,1,1) y T(x,y,z) ©

Si F es una transformación lineal de R 3 en R 2 tal que F (l,- l,l) = (2,0), F(1,1,0) = (0,1), T(0,1,1) = (-1,-1)- Hallar F(x,y,z).

(l^

Si f : R 2 í ( 0 , l ) - (- 1 ,2 )

(l7^

La

función

R2

una t r a n s f o r m a c i ó n

es

lineal

y

si

f(l,0) = (3,4)

y

e n c o n t r a r f( x ,y ) .

T:R

2

—>R 2,

es

lineal

y

verifica

T(l,2) = (1,0,2),

T (2,l) - (0,2,~1) determinarT(3,3) y T(l,-1) ©

Se da una transformación lineal / : R 2 f( 1,1,0) = (2,1,3,0)

(t9^

y

f(

R 4 tal que f( 1,0,0) = (1,0,1,-1)

y

1,1,1)-(0,0,0) encontrar f(x,y,z).

Hallar una transformación lineal T tal que T (l,l) = 2, T(0,1) = 1 siempre que exista.

(20 )

Hallar una transformación lineal T si existe tal que T(1,1,1) = 3, T(0,l,-1) - 1 y T(0,0,1) - -2.

©

Sí T(l,3,-2) = (2,1,5),

T(2,3,l) = (-1,3,4) y T(-4,2,l) = (5,2,-2). Hallar

T(x,y,z) y T( 1,1,1) (^ í)

Si

T : R 2 —>R y

es una transformación lineal tal que T(l,2) = (1,0,-1),

T(2,l) = (2,1,-2) hallar T(x,y).

308

Eduardo Espinoza Ramos Si

T : R 3 ~ * R 3 es una transformación lineal tal que T(l,2,3) = (0,2,1),

T(4,5,6) = (0,1,1) y T(7,8,l) = (1,1,1). Hallar T(x,y,z), V ( x , y , z ) e R 3 . Sea T : R 2 -> R 2 un endomorfísmo tal que T(1,0) = (2,1), T(0,1) = (1,-1), determinar la imagen del triángulo rectángulo cuyos vértices son (1,1),(4,1) y (1,5).

III)

©

Resolver los siguientes problemas: Sea la transformación lineal T : R 2 -> R 6 tales que T(5,-l) ( 5,6,2,1,3,4) y T(2,-3) “ (1,05,-2,3,-1). i)

©

®

Hallar T(x,y)

¿T es una transformación biyectiva?

ii)

Sea
M nxl(R)/
donde si

i)

cp es una transformación lineal.

ii)

(p es un isomorfísmo.

Sea f : R 3

R 3 definida por la regla

f(x, y, z) = (x ■+• 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y). Hallar N(f) y Im(f)

©

Determinar el núcleo, la imagen y las dimensiones de ambos en la transformación lineal f : R 3

©

R 2 tal que f(x,y,z) ==(x + y + z, y -f z)

Sea la transformación lineal / : R 2

R 3 definida por

f(x, y) = (x + y, x - y, x + 2y), determinar N(f), ím(f) y sus dimensiones.

Transformaciones Lineales / ‘T'v (ó )

f

©

si e s

D e te rm in a r

309 una tra n s fo rm a c ió n

lin e a l

y

c a lc u la r

M (í)

y

Im (f)

sí

: Q * —» Q' * ta l q u e f ( x , y , z ) = ( x - y , 2 z -- y , x - 2 z )

Sea

T :

R2

R 2

d e fin id a

p o r l '( x .y ) =

(x

- y, y ) p ro b a r q u e

T

es

una

tr a n s f o r m a c ió n lin e a l y c a lc u la r N (T ), Im (T ).

©

S i T : R 3 —> T (x , y,

(

9)

z) =

R2

( x --

D e te rm in a r

e s u n a tra n s fo rm a c ió n lin e a l ta l q u e :

y-

el

z , 2 x --y - z ). H a lla r N ( T ) y í m ( f )

n ú c le o ,

im a g e n

y

la s

d im e n s io n e s

de

la s

s ig u ie n te s

tr a n s f o rm a c io n e s lin e a le s .

(ío )

a)

/:

b)

/

R3 : R ¿

A n a liz a r

si

R2 R

la

a f i r m a t i v o , H a lla r

ta l q u e

ta l q u e

fu n c ió n

f ( x ,y ,z )

= (x + y +

z, y

+

z)

f ( x , y ) = x. - 2 y

dada T

es

u na tr a n s f o r m a c ió n

N (T ), I m ( T ) y s u s d i m e n s i o n e s s í f :

lin e a l,

R4

en

caso

R ¿ , ta l q u e

T ( x , y , z , w ) = ( x + y - z , x - z +- w )

©

Sea

/ :

f(x,y,z,w)

r:= ( z + w - y , 2 x -- 2 z , x + 3 y - 2 z +

R 4 - •> / ? 4 ,

una

tra n s fo rm a c ió n

3w, y - x

b a s e p a ra N (f), Irn (f) y su d im e n s ió n .

(Í2 )

D ado

f :

R4

/? 3 , ta l q u e :

T ( x ,y ,z ,w ) = (x - y + 2 z + 3 w , y + 4 z + 3 w , x + 6 z + 6 w )

a)

P r o b a r q u e T e s u n a tr a n s f o r m a c ió n lin e a l,

fe)

H a lla r N (T ), Im (T ) y d im N (T ), d im Im (T )

lin e a l

ta l

que

+ z + 2 w ). H a lla r u n a


310 (íj)

Analizar si la función T: R 3 —» R 2 tal que T(x,y,z)

(x,y,-z) es una

transformación lineal. Hallar bases para N(T) y Im(T). 14;

S iT es una transformación lineal definida por T(x,y,z)=(x+2y-z, y+z,x+y--2z), analizar si T es inyectiva. Hallar una base, la dimensión de N(T), Im(T).

¿5/

Analizar si la aplicación T : R -> R , tal que

T ( x ,y )

= (x - 2y,

es una transformación lineal, si lo es hallar además N(T),

Im (T ),

2x

- y,

x

probar si

+ y) T

es

inyectiva, suryectiva y biyectiva. 16)

Si T: R 5 —> R 4 , es definida por: T(x,y,z,u,w)=(x+2y+u+3w, y + z + w, x+3y+z+u+4w, -2x--3y + z - 2u ~ 5w)

17)

a)

Hallar dim N(T) y una base de N(T).

b)

Hallar dim Im(T) y una base de Im(T).

Hallar

una

transformación

lineal

T : R 4 -> R 3

tal

que

lineal

T : R4

tal

que

N(T) = L {(2,1,-1,2), (3,0,1,-1)}

Hallar

una

transformación

R*

N(T) = L{(2,-1,0,1), (3,1,1,-2)}

(19)

Hallar

una

transformación

lineal

T : R 3 -* R 2

sabiendo

que

N(T) = L{(1,2,3)} (20)

Consideremos (C,+,R,.) y f : C

C, definido por f ( z ) = z + Im (z).

Determinar si f es una transformación lineal y en caso afirmativo clasificarlo.

Transformaciones Lineales 21)

V ~{a + hx 2

Sea l,x 2

+

311 ex 4 / a, h , c e R} e s p a c i o

, x 4 W - {(p,r,sj) e R 4 I p

g e n erad o p o r

r + s +t

+

= 0}

d e fin im o s

lo s

p o lin o m io s

T : V —» W

por

T ( a + b x 1 + e x 4 ) - (a - b , b - cJ2c - a - c ) . P r o b a r q u e T e s u n a tra n s fo rm a c ió n lin e a l y h a lla r N (f) e Im (f).

(22)

V

Sea W = { (r,

t) e

= { (* , y ,

R3

T ( x ,y ,z ,w ) = (x -

linea!, además ( 23)

i r +

z,w )e R 4 /x =ay

+

bz +

cw , a,

b, c f i j o s }

y

5 + 1 = 0 } d o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s T : V —» W

y , -a y - b z , y -

d e te rm in a r

N(T),

cw )

ta l q u e

p ro b a r q u e T e s u n a tra n s fo rm a c ió n

Im (T ) y su s d im e n s io n e s .

R4

H a lla r u n a tra n s fo rm a c ió n lin e a l T :

—»

3 ta l q u e s u n ú c le o s e a g e n e r a d o

p o r l o s v e c t o r e s ( 1 , 2 , 3 , 1 ) y ( 0 ,- 1 ,3 ,- 4 ) .

(¡ 1 4 )

H a lla r u n a tr a n s f o r m a c ió n lin e a l

T

:

R 4 R 3c u y o n ú c l e o e s g e n e r a d o

por

(1 > 2 ,3 ,4 ) y ( 0 , 1 , 1 , 1 ) .

25)

Hallar

la

transformación

T: R

lineal

R

tal

que

lineal

tal

que

M(T) = L{(0,1,-1),(2,1,3)}. £ 6)

Si

F : R 4 —» R 4

es

una

transformación

N(F) = L{(1,0 , 1 , 1 ) , (0,1, 1 , 1 ) } , F (l, 1 , 0 , 1 ) =

( 1 , 0 , 0,1),

F(l, 1,1,0) =

( 0 ,1 ,1 ,0 ) .

Hallar F(x,y,z,w) 21)

Sea la transformación lineal T : R 3 -» R 3 definido por la regla T(x,y,z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y) i)

Hallar la imagen de T

iü)

¿Cuál es la interpretación geométrica de la imagen y el núcleo de T respectivamente?

ii)

Hallar el núcleo de T

312

Eduardo Espinoza Ramos R pta.

Im (r) = {(x,y,z) s R 2 /8 y -1 4 jt + 5z = 0} N(T) = { ( x , y , z ) e R 3/ x = - t, y = -t, z = /}

|2ít)

Defina una transformación lineal T : R 2 —> R 1 cuyo núcleo sea la recta y = x y su imagen sea la recta y = 2x. Rpta.

T(x,y) = (-bx + by, -2bx + 2by) = (x - y, 2 x - 2 y); si b = -1

Sea V el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas sobre k y M una matriz arbitraria en V, defínase T: V —» V mediante T(A) = AM + MA, con A e Y, mostrar que T es lineal. Sea V = {P(x)~ aQ+a]x + a2x 2 / P es un polinomio de grado menor o igual que 2}. Sean txJ 2 >t3 tres números reales distintas arbitrarias, definimos L}(P) =

i = 1,2,3 donde P 6 V; probar que las funciones

, L2 y L$

sobre V son linealmente independiente y forman una base de V*. Construir una transformación lineal T : R 2 -> i?3 tal que T(l,2) = (1,-1,2); T(l,3) - (3,0,1); 1(1,1) = (-1,-2,3) ¿32}

S e a la tr a n s f o r m a c ió n lin e a l T : V

T ( x ,y ,z ) = (x +

3y

+ 4z, 3x + 4y +

W ,

7z,

V=

R 3 , PF = i ? 3 d e f i n i d a p o r :

-2 x + 2 y ),

donde

I m ( T ) = { ( x ,y ,z ) e W / 1 4 x - 8 y - 5 z = 0}

N ( T ) = { ( x ,y ,z ) g V / x = -t, y = -t, z = t ¡ ,

d im V =

dim

(I m (T ) ) + d im Ñ (T )

comprobar q u e :

Transformaciones Lineales (33^

Sea T :

->

313

la aplicación lineal definida por:

T(x,y,z,s,t) = (x + 2y + z - 2s + 4t, 2x + 5y + 4z - 5s + 5t, x + 4y + 5z - s - 2t) Hallar una base y la dimensión de la imagen de T. R pta. {(1,2,1 ),(0,1,2) ¡ forman una base de Im(T) ademas dim Im(T) = 2 ^4)

Sea

:

T

R 3

—>R 3 la aplicación lineal definida por

T(x,y,z) = (x + 2y - z, y + z, x + y - 2z) Hallar una base y la dimensión del núcleo de T. R pta. N(T) = L {(3,-1,1)}; dim N (T )= 1 @

Sea la base S =, V2 , V 3 } donde V¡ = (1,2,3); V2 = (2,5,3) a)

Determine la regla de correspondencia de la transformación lineal T : R 3

b)

y V3= (1,0.10)

R 2

, sabiendo que

T ( V X)

= (1,0),

T(V2)

= (1,0), 7’(K3) = (0,1)

Calcular T( 1,1,1)

R pta. T(x,v,z) = (30x - lOy - 3z, -9x + 3y + z) T( 1,1,1) = (17,-5) (3ó)

Sea la transformación lineal

T

:

V2 - ^ V 2

a)

¿Es T inyectiva?

b)

Hallar la inversa de T, si existe.

R pta:

T es inyectiva J -W

)=

definida por T(x,y) = (2x - y, x + y)

314


(37)

Supóngase que la aplicación lineal T: V -> W, es invectiva y suprayectiva, probar que la aplicación inversa T~l : W —> V es también lineal.

(38)

Probar que toda transformación lineal T :

k 2

—>k~ es de la forma:

T(x,y) = (ax + by, ex + dy) Probar ademas que T es un isomorfismo si y solo si ad - be & 0 IV) ©

Sea

T : V3( R ) —>V4 (R)

una

transformación

lineal

tal

que

T(x,y,z) = (x + y, y - 2z, 2x + y, 2x + 3z) y dadas {(1,0,2),(0,1,3),(1,2,3)} base de V3 (R) y {(1,1,1,1),(1,-1,1,1),(1,-1,-1,1),(1,-1,-1,-1)} base de V4 (R) . Hallar la matriz asociada a T respecto de las bases dadas.

©

Sea

T : R 2 —> R 2

una

transformación

lineal

donde

t n = {(1,1,0).(0,0,*), (3,0,0)} una base de R 3 [W] = {(2,3),(1,Ó)} una base de R 2 , T( 1,1,0) = (1,2), 7X0,0, *) = (2,0), T(3,0,0) - (6,4) encuentre la matriz de la transformación respecto de las bases dadas y encuentre las imágenes de los vectores z { = (2,4,3), z 2 = (4,6,2).

©

Sea

T : R4 R4 ,

una

transfonnación

lineal

donde

[V] = {jc, - (1,0,0,0), x2 - (0,2,9,0), x3 = (0.0,1,1), x4 = (0,0,1,0)1 - [W] donde T (xx) = (2,3,4,),

T ( x 2 ) - (1,4,0,6),

T(x 3 ) - (0,3,2,0),

T(x 4 ) - (3,0,2,1).

Hallar la matriz de la transformación lineal respecto de las bases dadas y encuentre las imágenes de los vectores z, - (2,2,4,3), z 2 = (4,0,1,1).


©

Sea

la

315

transformación

/ : R 2 —>R }

lineal

definida

por

f(x,y) = (x + y, x - y, x + 2y), hallar la matriz de f respecto de las bases {(1,2),(2,0)} de R 2 y {(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} de R i .

©

Una

transformación

lineal

/:

R l —►R 2

está

definida

por

f(x,y,z) = (x - 2z, y + z). a)

Hallar la matriz A de f, respecto de las bases {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en R-' {(2,0),(0,2)} en R 2 .

b)

©

Medíante la matriz A, obtener la imagen de (-2,2,-2).

Dada la transformación lineal / : R 1x2 -» R 3 definida por: . a b\ f I ^ ^ ¡ = )(a-tb~~c,a + b. + d,b + c + d)

a)

Obtener \

r

vi

u

í

b)

(7 )

la

fl

O'j

,i

íj

de

matriz

f°

0N

lo

b

(o n

í

respecto

de

las

bases

J en R 2xZy {(0,2,l),(2,0,l),(0,l,l)}en/?3 .

b

Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de

Los vectores r, = (1,1-1), v2 = (1,0,1), v3 = (2 ,1,-1) forman una base de R 3 y

los

vectores

wx = (1,0,1,0), w 2 = (0,1,1,0), w 3 = (1,0,0,1), w4 = (1,1,1,0)

forman una base de i?4 definamos una transformación lineal / : R 3 -» R 4 , tal que / ( v x) = w 2 - Wj , / ( v 2 ) =

f ns + w4 ,

/ (v3) = Wj + 2w2 + 2w3 + / , hallar las bases para N(í) y Im(f).

316

Eduardo Espinoza Ramos Sea / : R 3 —» R 2 una transformación lineal definida de tal manera que a los elementos de la base R 3 le hace corresponder los vectores (1,3),(5,1) y (0,1) respectivamente. i) ii) Sea

Hallar la imagen (3,-1,5) y N(f). Hallar la imagen de un vector cualquiera de R 3 . {vt , v2, v3} base de R 3 donde vx =(1,2,3), v2 =(2,5,3), v3 =(1,0,10).

Hallar

la

transformación

lineal / : R 3 —>R 2 tal que f(l,2,3) = (1,0),

f(2,5,3) = (1,0), f(l,0,10) = (0,1). Calcular f(l,l,l). & )

Hallar la matriz asociada a la transformación lineal T : R 2 —> R 2 definida por: R pta. A =

T(x,y) = 2x + y, x - y)

(í^

"2

1

1 -1

Sea T : R 3 -» R 2 la aplicaron lineal definida por: T(x,y,z) = (3x + 2y - 4z, x - 5y + 3z). Hallar la matriz de T en las siguientes bases de R 3 y R 2 :

B - { w lyw2 ,w3} y B' ~ \uu u2} donde w{ =(1,1,1),

w2 =(1,1,0), w3 = (1,0,0), Wl =(1,3), u2 = (2,5)

RPta-

(Í 2 )

1T ]bb' =

-7

-33

-13

4

19

8

Encontrar la representación matricial de cada una de las aplicaciones lineales escritas a continuación respecto a las bases canónicas de los Rn . T : R 2 -> R 3 definida por T(x,y) = (3x - y, 2x + 4y, 5x - óy)

Transformaciones Lineales T : R4

317

R 2 definida por T(x,y,z,t) = (3x - 4y + 2z - 5t, 5x + 7y - z - 2t)

T : R —» R 4 definida por T(x,y,z) = (2x + 3y - 8z, x + y + z, 4x - 5y, 6y)

R pta. [ r ] = 2

4

5

-6

'2

J'X —A

O Z

—j

5

-1

—2_

1

3

-8

1

1

II

-l

II

*3

7

4 0 -5 0 6

Sea la aplicación lineal T :

donde A -

0

1 2

3

1 3

5 -2

J

8

1 es la matriz

13 -3

de T en la base canónica. a)

Hallar la imagen de T

R pta.

Dada

b)

Halla el núcleo

a)

La base de la imagen de T es:

b)

{(1,-2,1,0),(-7,3,0,1)} es una base del N(T), dim N(T) = 2

la

transformación

lineal

{(1,1,3), (0,1,2)}, dim Im(T) = 2

T : P3

P2

T(a 0 + a]x + a2 x 2 +a 3 x 3) = al +a2x 2 se pide: a)

Hallar la matriz asociada a T.

b)

Hallar el núcleo de T y la imagen de T.

c)

Hallar una base del núcleo de Ar y una base del rango A. 0

Rpta.

de T

a)

Ar

1 0

0

= 0

0

0

0

0

0

1 0

definida

por

318

Eduardo Espinoza Ramos b)

Una base de N(T) es {l,x3} Una base de la Im(T) es {1, jc2}

0 10 0 AT — 0 0 0 0

c)

0

( |§ )

0

1 0

Sea T : /} -» P2 una transformación lineal definida por T(P(x)) = x P(x), hallar la matriz de T con respecto a las bases B = {qu q2} , B' = {PlyPlJPi } .

8 21 Rpta.

A-

-1

-3

-2

-5

Sea la aplicación T : R 2 -» R 2 definida por: T(x,y) = (2x - 3y, x + 4y), hallar la matriz T relativa respectivamente a las siguientes bases de R 2 , B = {el 9e2} y B' = {ul 9u2} , donde e¡ *(1,0), e2 =(1,3), ux =(1,3), u2 = (2 ,5 ).

Rpta.

Sea A =

2

5 -3

1 4

7

IT]##’ "

-8

23

5

-13

la matriz en la base canónica de la aplicación matricial de

T relativa a las bases {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} y {(1,3),(2,5)} de R 3 y R 2 respectivamente.

Rpta.

[T]bb, =

-12

-41

-8

24

5

Una transformación lineal T : R 3 -> R 2 esta definida por: T(x,y,z)= (x-2z, y+z)

Transformaciones Lineales a)

319

Hallar la matriz A de T, respecto de las bases B = {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en R 3 =V B' = {(2,0),(0,2)} en R 2 =W

b)

Mediante A, obtener la imagen de (-2,2 , -2) e R 3

c)

Determinar la matriz B de T, respecto de las bases canónicas en ambos espacios.

d)

Obtener la matriz C de la misma transformación lineal, respecto de la base canónica en R3 y la base B' en R 2 dado en a).

R pta.

a)

A=

-I

i 2

1

1 0

2

2

es la matriz de la transformación lineal T

respecto de las bases B y B ’. b)

T(-2,2,-2)= 1(2,0) + 0(0,2)

c)

B=

1 0

-2

0 1

1

es la matriz de T respecto de las bases

canónicas. 1 d)

0

-1

C=

0 i

i

2 2

0

Supóngase que T : R 2

R 2 , esta definida por T í * l =

con respecto a la base Bx = B 2 =

-2 y

'x - 2y' <2x + y y

, Hállese Ar

320


Rpta.

T : R 3 -+R2

Sea A=

\2

-1

3

3'

la transformación

5 4 Ar — 5 4

lineal cuya

13 4 3 4

representación

es

respecto de las bases ordenadas B = {(1,0,-1),(0,2,0),(1,2,3)}

0

y B ’ = {(1,-1),(2,0)}. Hallar la representación de T respecto de las bases matriciales para R 3 y R2 .

Rpta.

'13 2 5

1

3f 2 l 2.

2 1 2

. 2

Sea T : M 22 -> M 22 el operador lineal definido como T(A) = A ', encuentre la matriz de T con respecto a la base 'l

0'

2=

'0

f

0 0

0'

'0

0'

0

1

S es la base

II

m

í! pr>

0 0

'0 ,

5 = {M,,A/2,i

1 0

1 0 canónica de M 22

'

Rpta.

A=

0 0

0 10 0 0 0

1 0

0

0

0

1

Producto Interno y Ortogonalidad

321

CAPÍTULO V 5. 5.1.

DEFINICIÓN.Sea V un espacio vectorial sobre el campo k, donde k = R

ó

k = C,

llam arem os producto interno sobre V a una función < , > : V x V —►k si

satisface las siguientes condiciones. i)

= + , V U,V,W € V

ii)

< m, v > = < v,u > , donde la barra indica la conjugación compleja.

Iii)

“ a y < u,av > = a < w, v > V a e k , V u,v € V

Iv)

> 0 y “ 0

v = 0, al par (V, < , > ) se le denomina

esp acio vectorial con producto interno.

OBSERVACIONES.™ D e la d efin ició n se observa que <,> es una función que hace corresponder

a cada par de vectores u,v e V un escalar real o complejo. ©

Si k = R, la condición ii) y segunda parte de iii) resultan = y = a respectivamente.

Ejemplo.-

Sea

V=Rn

y = ( jj,y 2

y

x , y e R n,

donde

y n) en éste espacio definimos.

x = (xl , x 2,...9xH) 9

322

Eduardo Espinoza Ramos <, >: R " x R ñ -► R (x,y) -> n

donde

< x , y >= x[y l +x 2 y 2 +'- + xnyn =

,

así deñnida la función

<, > cumple con la condiciones del producto interno. En efecto. i)

Sí z = (zl9z 2,...,zH) e R n n

n

n

z,y >= y \ x , + z,)>> = /=!

ii)

< x ,y >= 1=1

iii)

+ ^ T z,»,. = + i=l

= ^ T y,x, = <_y,x> 1=1

W *1 Si a e k, < ax.y > = ^ ( a x , ) y , = ^ a ( x , y , ) = a ^ x . y , = a < x,y > 1=1

n

iv)

i=l

< x,x > = i=i

1=1

n

=£ x / >0 (=1 n

x f = 0 => x¿ = 0

^x,x> = 0 => i=i

n < x , y > = ^ x,^, es un producto interno. r=l

»'=1

323

Producto Interno y Ortogonalidad Ejemplo,-

V

Sea

=C

” ,

k

=

€

y

i = ( . r 1, . i 2 , . . . , í , i ) £ C " ,

n í vi,

>'2

) e C fl, d e f in im o s :

< x 9y > =

jy-

/=i La función definida así es un producto interno, veamos que cumple las condiciones de la definición: i)

Si Z = ( Z |, Z 2 v , s ) e C " n

< x + z, y > =

n

/=! n II)

< x. v > -

y

y¡

/=!

+

z,. y,. = + ¿-I

n a; y,

/=!

iii)

n

(x, + z, )y¡ =

x¿ ~ < y ,x :

y, = M

/=!

;i

n

n

1=1

(ax,- )y, = ^ «(*, y¿) = /~1

1=1

Si a € C, < ax, y > =

x, y¡ = a

n ti < x, a y >■■= ' ^ x , ( a y l) = ' ^¡j x,a y,M

= y ^ a ( x ,y ,) = a ^ x , y ¡ = a < x , y > /=1 i=l

iv)

< Jt,X > = ^ T x jxj - ^ T j X, |2 £ 0 /=! /=!

324

Eduardo Espinoza Ramos n

= o <=>

¡2 = o i=l

<=> | jc,- j = 0 , V i= l,2 ,...,n <=> x = 0 Ejemplo.-

Consideremos V = R 2 y definimos <,> : R 2 x R 2 =Xiyi - 3 x 2y 2, donde

x - ( x ¡ , x 2),

R , tai que: y = ( y ¡ ,y 2 )

averiguar si la función así definida es un producto interno. Solución i)

Sea z = (z1,z 2) e / ? 2 < X+ z, y >= ( xx + z x) y x - 3(x2 + z2 ) y 2 = (xxy x - 3 x 2 y 2) + ( z xy x - 3 z 2 y 2) = +

ii)

< x ,y >=x,y¡ - 3 x 2y 2 =y,X! - 3 y 2x 2 = < y , x >

iii)

Sea a e R < a x ,y >= (a*!)y} - 3(ax2)y 2 = a(xxy x - 3 x 2y 2) = a < x5y > análogamente = a

iv)

< x, x >= x 2 - 3x 2 no siempre es mayor que cero en consecuencia < x, y >= x xy x - 3x2y 2 no define un producto interno.

Ejemplo,-

Sea V = {f : [0,1]

R / f es continua}, definimos en este

espacio vectorial una función < / , g >=

f{t)g(í)dt.

Verificar que la función así definida es un producto interno.

325

Producto Interno y ÚrtogonaUdad Solución i)

Sea h € ¥

< / + h,g > - ^ { / + h)(í)g(t)dt =

f (t )g (t )d t +

h(t)g(t)dt

= + (ii), (lii) en forma similar iv)

= 0 => f= 0 por demostrar supongamos que f * 0 => 3 í0 e [0,1] tal que / (x0) * 0

< / . / >= | n o g m d t = | f 2m

como f es continua en [0,1]

= 11 f ( t ) i2 dt

=> j / Í O ¡ ¿

también continua en [0,1]

además j f ( t 0) Y > 0. Como 1/ ( / ) ¡z es continua => 3 8 > 0 tal que sí t

g<

t0 ~ S , t 0 + S >

entonces | / ( / ) j2> 0 , 0 < t < 1

•••(*)

Antes de proseguir daremos dos propiedades del cálculo elemental 1ro. Sea g : [a,b]

R, sí g(x) > 0, V x e [a,b] y [c,d] c [a,b] entonces

g(x)dx < £ g(x)dx

2do. Sí g(x) > 0. V x e [c,d] (de 1ro.) entonces I g(x)dx > 0 .

r-

326

Eduardo Espinoza Ramos Luego regresando a (*) tenemos que:

0< f°

|/ ( í ) |2 dt<

•lo-s

f í / ( / ) ! 3 dt = 0

4)

lo cual es una contradicción, la contradicción proviene del hecho de haber supuesto f * 0, luego concluimos que f ~ 0. Ejercicio Consideremos el espacio vectorial A=

a

d

d

c

(jR2,+, i?,.)

y la matriz simétrica

, definimos: <, >; R 2 x R 2 -» R , tal que

< x , y >=(x1?x2)

a d

d~ ' y , donde x = (xl 9x 2), y = { y \ , y 2)c y i.

Determinar las condiciones para que la función así definida sea un producto interno.

5.2.

DEFINICIÓN.Sea V un espacio vectorial sobre k, con producto interno (<,>), la norma de un vector v e V es denotado por || v ¡|, y definido por || v |¡ = y[< v, v > , > 0 Ejemplo.»

En R 2, v = (3,1) < v , v > = 9 + l = 10

|¡ V ¡¡ =

Ejemplo.-

yj<

V, V > =

M

Sea V ~ {f: [0,1] —> R / f es continua}

327


/* f > = J J / 2( 0 ^ »caso particular, sea

! /! ! =

f ( x

) =e

' ,f

2(x)

=e

2'

¡ i f ¡ ¡ = J j ‘ e 2xd x = i ¡ ~ ( e 2 - l )

IS.3.

TEOREMA.Sea V

u n e s p a c io v e c to ria l s o b re

Vae

i)

||a v ¡¡ = |aj ||v |j,

Sil)

|¡

< ||u || ¡!v i|5 V

Iv )

|ju + v||

< ¡|u || + j|v |!, V

k,

c o n p ro d u c to in te rn o , e n to n c e s s e c u m p le ,

k, V v e V u,v

eV ,

u,v

ii)

||v ¡| > 0

(d e s ig u a ld a d d e

€ V,

(desigualdad

y

||v || = 0

Cauchy -tria n g u la r)

|¡ a v ! | - 1/ < a v , a v > ~ y f a a < v , v >

= i j\ a 2 k v , v > = | a | v '< v , v > = | a 11| v ||

II)

íii)

E s c o n s e c u e n c ia d ir e c ta d e la d e f in ic ió n d e p r o d u c to in te r n o ,

P ro b arem o s q u e

le r.

Caso:

Sí

| ¡ < || u || || v ||,

V u ,v

e V

u ~ 0

 = < 0 ,v >

=> ¡ < 0 ,v > | = 0 = ||0 || ¡|v ||

v

= 0

SCH W A RTZ)

Demostración i)

<=>

328

Eduardo Espinoza Ramos < v.u > Sí u * 0, definimos v - v — —w

2do. Caso:

i! u í! afirmamos que = 0 En efecto: - < v- — ~ —~U,U >

= <

II«II2

< v, u >

V,U >

<

~r~

U, U

>

ll«l!2 „ (l2 n

= —

-V

M

,

¡9

y - S i “ II = °

M

Luego 0 < || w || = < v - ——— u, v — -—y - m >

; < V- — - -™~— ~V’ > - < V_

II«II2

< V, U >

lí« II

< V, U > < V, ■< V ,V > ------- — — - < M, V > --

II«II2

I!« II

í« II2

’

u>

- - -- - W>

II«II2

u>

< M, V > .. 2 — < U, V > = II V I r

< V, V >

< V,

------- - U%

< V~

>

II«II2 II < « > v > l|2

l!«ll2

tomando extremos se tiene:

0 < II v i ! 2 - —

=>1

ii «ii2

-

á ¡I V ||2 => | | 2 < ( | | « ¡III v | ! ) "

ii « i r

| ¡ < !| u |¡ || v |¡ iv)

Probaremos ahora que:

i! u +

V

i! < II u|¡ + II v II

Producto Interno y Ortogonalidad II

u+

329

V || • - =

+ V> +

= + + + = || u|j2-f || v |¡2 + < w, v > + = !i «!¡2 + ! | v | j 2 +2 Re(< «, v >)

..,(1)

<¡| w| 2 +|| v ¡1“ +2 | |

. . . (2)

< ¡ | « l i 2 + | | v | | 2 + 2 1| u IHI v||

...(3)

= (i!«¡l + ll v|¡)2 Luego extrayendo

la

raíz cuadrada a ambos miembros de la desigualdad

tenemos: N O T A .»

0

|| u + v || < j¡ u || + || v ||

En la demostración

de

(iv)

se h a h e c h o u so de:

@

z+z =2Re(r), V z e C

Re(z) < | z

j,

Vz e C

L a p a rte (iii) d e l te o re m a .

;SA r

ORTOGON \ LJB >J> - CONJUNTO CONJUNTO ORTONORMAL.D E F I N I C I Ó N .»

Sea

( V ,+ ,k ,.)

donde

i)

D ados

NOTA.» Ii)

u,v

e

V,

k =

R

d ire m o s q u e

un

e s p a c io

ORTOGONAL _____________

v e c to ria l

con

p ro d u c to

in te rn o

ó k = C.

u,v son ortogonales sí y sólo sí = 0.

Si u es ortogonal a v denotaremos por “u i. v”

Sea W

c

V

un

subconjunto,

definimos

el

conjunto

W 1 = {v e V / < v, w>= 0, Vh»€ Wj W 1 se denomina conjunto ortogonal a W.

330

Eduardo Espinoza Ramos iii) Sea W c V u n subconjunto, diremos que W es un conjunto ortogonal si y sólo sí V u,v € W tal que u * v implica que ~ 0 iv) Sea W cz V un subconjunto, diremos que W es un conjunto ortonorrnal sí y solo si W es ortogonal y ||u|| = 1 , V u e W. OBSERVACIÓN.-

Sea V un espacio vectorial con producto interno, si W es un subespacio de V, entonces V L es también un

subespacio de V dejamos al lector la verificación. Ejemplo.1)

Sea

( R 2,+,/?,.)

un espacio vectorial sobre R y u , v e R 2

u = (x,y),v = (-y,x) entonces = -xy + xy = 0 2)

donde

=> u ± v

Sea el espacio vectorial ( R n,+, /?,.) y W = {(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,...,1)} W es un conjunto ortonorrnal pues < ei , e j > = 3 ^.

3)

Sea el espacio vectorial V = { f : [0,1] -* R / f es continua} con producto interno como < f , g > =

I f (t )g{ t)dt consideremos el conjunto:

W = {h{t) = 1, f n {t) = y¡2 eos 2 7tnt, g n(t) = \¡2 sen I n n t í n s N} que W es un conjunto infinito ortonorrnal. Solución i)

Fijamos h(t) = 1. Primero hagamos variar f n (t)

probar

331

Producto Interno y OrtogonaUdad

< h, /„ > - J* i

- j^V2cos2;z7tf dt = ~ ^ ~ sen 2 n x t j ' R

jz

~ — - ( s e n 2 w ;r - s e n 0 ) = 2n n 2nn

L uego

< h,

fn

> = 0,

(0 - 0 ) = 0

V n e N

A h o ra h a g a m o s v a ria r g « ( 0

< A, gn > = j* 1 g* ( 0 * =

J l.s e n ln nt

Tj —

II )

2n

< h ,g n > - 0,

Sean f m ( i ) ,

< f„ ,g„ > = J

eos;rw/ j

_Jy ”■( e o s 2 ,T f! - e o s 0 ) = —

2;t n

L uego

dt =

(/)

n

(1 - 1 ) = 0

V n € N

ta l q u e

m - n .

f , M ) g „ { t ) d t = |* 2 c o s 2 « ; r í .s e n 2 7 Z 7 J í d t

Í

sen A n n t d t = —

1

/*

1

— eos 4 n n t i = — — (1 - 1) • Ann ' o Ann

Luego < f „ , g n > = 0 , V n e N iii) Sean f m( í ) , g n (/) tal que m * n

8 n >= JV «(0g„(0< ft =

2(cosIntel)(sen 2 nm)dt

332


= | [sen 27t(n + m)í 4- sen 2n(n - m)]dí

= [------——— eos 27r(n + m ) - -— eos 2 n(n - m)t] / 2 7t{n + m) 2 n(n - m ) /

1( 1 - 1)

1

27u(n -»- m)

2 x(n - m)

~(1 1) ~ 0

Luego < f m, g n > = 0 , V m * n iv)

Ahora demostraremos que|| f n || = 1 y \\gn |¡ = i, V n e N a)

|| f n || = / < f n, / w~> , elevando al cuadrado

II / j f = < / „ , / „ > = | / « ( O * = 2 1 eos2 2nnt dt

=

(1 + eos Attn i\d t = [í + — -— sen A n n t ] j = 1 + 0 = 1

Luego || /„ 112= 1, en consecuencia || /„ || = 1, V n e N b)

|| g„ || = J < g n,g„ > , elevando al cuadrado

IIS„ II2 = < g n, g „ > = ^ g l ( t ) d t = 2 ^ s e n 7 2 ant dt

- j^(l + eos 4nnt)dt = 1 - 0 = 1

Luego || g„ ||2 = 1, entonces || g„ |¡ = 1, V n e N


333

De (i), (ii), (iii), (iv) concluimos que: W = {1, f n(t) = yjl cos 2Tint^ g n (t) = yÍ2 sen 2nnt / n e N }

en

un

conjunto

ortonormal infinito.

5.5.

TEOREMA.Sea V un espacio vectorial con producto interno y W = {v,, v2 conjunto ortogonal donde

v,*o,

vn} c= V un

V 1 = l,2,...,n, W es linealmente

independiente sobre k. Demostración n

Sea ^ SflyV, = 6 , fijamos k donde 1 < k < n y consideremos vk , calculando: /=i n

n

< ^ a¡vb vk > = < e >vk > Í=1 como W es ortogonal < vi,,

=>

< v/>v* > = 0

— 0)

1=1 >=0 , V i * k

n v* > = ak vk > = 0 ya que v* * 0 y

Luego de (1) tenemos í=i

< v k>vk >= IIv* ll2 > ^ entonces a k = 0 , V k ívi >v2 >•••*vn} es linealmente independiente.

5.6.

COLORARIO.Sea V un espacio vectorial con producto interno,. W = {vj, v2 conjunto ortogonal donde v¡ * 0 , V i = 1,2,.. .,n

v„} c= V un

334


Sí v = > a, y, , entonces a, = — ’- ^ r - » 1 ^ k < n ~ ¡|vA |í2 Demostración n

< v,vk > = ^ < aiv¡yvk > , i=i

1
n

=^

a¡ < v¡>vk > = ak < v,vk >

1= 1

= «* IIvk II2. ^

donde

ak

=
OBSERVACIONES. ©

Si W es ortogonal se tiene que ak = < v, vk > , 1 < k < n

©

Si v es combinación lineal de los elementos de W. n

Entonces v = y ——V*--- v1=1 m u 2 Ejemplo.-

Sea (/?3,+ ,/?,.) un espacio vectorial sobre R. W

=

{ ( 3 ,0 ,4 ) ,( - 4 ,0 ,3 ) ,( 0 ,1 ,0 ) }

Expresar

( 3 ,1 ,2 )

un conjunto ortogonal de

Solución - a , ( 3 ,0 ,4 ) + a 2

.

como combinación lineal de los elementos de

W.

( 3 , 1 ,2 )

R *

(-4,0,3) +

a 3 ( 0 , 1 ,0 )

donde haciendo uso de la observación tenemos


9 + 0 + 8 _ 17_

- £ Í £ ’U ) ,( 3 ,0 ,4 ) > 1

|¡ ( 3 , 0 , 4 ) !|2

335

9 + 16

~

< ( 3 ,1 ,2 ) , ( - 4 , 0 , 3 ) > U l~

¡| ( - 4 , 0 , 3 ) ||2

a

-1 2 + 0 + 6 “

(3 ,1 ,2 )

= —

9+16

0 + 1+ 0

< ( 3 ,1 ,2 ) , ( 0 ,1 ,0 ) > | | ( 0 , 1 , 0 ) i¡2

“ 25

"

6 “

25

]

1

(3 ,0 ,4 ) - A

25

( - 4 , 0 , 3 ) + 1 ( 0 ,1 ,0 )

5 .7 7 "' FRQCESODE O RTO G O NALIDAD DE G R A M -S C H M ID T. TEOREM A,- Sea Y

un

espacio vectorial sobre k con producto interno finito

dimensional (dim V = n). Si Vj, v2

vm (m < n) son vectores

linealmente independiente de V. Entonces se puede construir vectores ortogonales w], w2 para cada

1,2,..» jn, el conjunto \v], v2 w{, w2

generado por

Demostración Definiremos la base por inducción Sea Wj = Vj

< vs, v, > ^

= v2

vk}sea una base del subespacio

además{wx, w2

^ Í VI »v2 »•••» v k ) *

W1

< w{, w2 >= 0 es decir que w2±w l

wm e W tales que

wk }

es una

base de

336


AFIRMAMOS.-que vv2 * 0 En efecto si w~> - 0

vs = —

- k\ lo cual es contradictorio con el

¡¡

‘

I!2

hecho de que v x

y v2 son linealmente independiente.

Construimos w, =

- ——— 11*2 II

- - —■ lililí

w, afirmamos que w3 ^ 0

En efecto, si suponemos que w3 = 0 , entonces < v3 , w? > < V3 , W, > V3 = ----- =2 W2 + ----- =2-----\—

II Wí II2 es decir

v3

W

IKlf es una combinación lineal de w} y w 2 pero

y w 2 son

combinaciones lineales de Vj y v2, entonces v3 seriacombinación lineal de vi y v2 9ue es una contradicción,

pues{v l , v2, v3} sonlinealmente

independiente, con lo que queda probado que w3 * 0 . Supongamos que se ha construido que {w x, w2

, w2

w k} es base de L{v x, v2

wk vectores ortogonales, tales

v k}, 1 < k < n

Ahora construimos el vector vk+l del modo siguiente:

wW

----------------------------------------------------------------------------- . . . ( ! )

= v í+ 1—

Ii

l!

II *i II

afirmamos que w*+l * 0 si suponemos que w¿+1 = 0 , de (1) tenemos


337

k

Z

< Vi i , W- > - - T 1- ?

,=,

- ( 2 )

11 w ' - i!'

-es combinación lineal de {vj,v2,...,vk ¡ , entonces de (2)

pero cada

concluimos que vAf S es también una combinación lineal de los vectores

Vj?v2,,..,vA que es una contradicción puesto que {vl9 v2,..., vAfl} son ünealmente independiente.

wk+i * e < wA+f, w¡ > = 0 , V j = 1,2,...,k

ahora afirmamos que:

<

En efecto, sea 1 j 0

j0

donde

es fijo.

k ^ < , < w k+

> =

< >"*+i

» w t ' w Jo >

—II w,’ „2 |k

> — ¿ÍL-L— < w

i~\

>

> - < V * +1 , w Jo >

= < ^ + |, W -

C pues < Uy,H'‘ > = i

w

II Wj II

si

0

i * j0

7

| l l w /0 ll

si

l = Í0 ’

^ J o ^ k

Luego se tiene < wk+l , Wj > = 0 , V 1 < j < k

Entonces {w,, w2,

wA+1} es un conjunto ortogonal y en consecuencia

linealmente independiente por el teorema 5.5 y por lo tanto base de Z,{vj, v2,..., v¿} haciendo uso de (1) podemos proseguir hasta obtener {h^ , w 2

wn} conjunto

ortogonal

y

por

consiguiente

base

de

338

5.8.


COLORARIOvectorial

T o d o e sp a c io

c o n p ro d u c to in te rn o fin ito

dim ensional tiene una base

ortonormal. Demostración

Sea V espacio vectorial tal que dim V = n una base

{ v j,v 2 v ..,v w}

de V,

Gram - Schmidt existen {w}, w 2

entonces por

w l? w 2 , . . . , v r n

el p ro c e so

v e c to re s o rto g o n a le s

w n} es una base de V .

re construimos tij = — — , luego || ui ||= 1 ii ** ii { w j , u 2,..., u n}

Ejemplo.-

es una base ortonormal para V.

Ortogonalizar la base {(1,3),(2,1)}

de

R2

Solución

W, =(1,3) (1,3) = (2,1) -1(1,3) = ^(3,-1)

1

■)

Luego {(1,3),—(3,—1)} es una base ortogonal para R~ y

V IO

Ejemplo.-

Hallar u n a

ortogonalización

b a s e o rto n o r m a l a p a r tir d e la b a s e

{(1,0,1),(2,-1,1),(1,2,1)! de R \

y

por

de

lo ta n to


339 S o lu c ió n

w , = ( 1 ,0 ,1 ) = v ,

w 2 - v 2 ~ ~ > 2 ’ Wl2 > M’, — ( 2 , - 1 , 1 ) — " 0 > “ M ) , 0 , 0 , 1 ) > (1 0 , 1 ) ¡i w , ¡I2

II ( 1 , 0 . 1 ) II2

= ( 2 , - l , l ) - |( l ,0 , l ) = i ( l , -2 ,-1 )

< v*, w? > < v 7, w ] > = Vi - — ^ h s - “— —— w, II w 2 II

‘

H

l f

= ( l ,2 ,l ) + |( l ,- 2 ,- l ) - ( l ,0 ,l ) = |( l , l , - l )

{ ( 1 , 0 , 1 ) , — ( 1 , - 2 , - 1 ) , — (1 ,1 - * - ! ) } e s u n a b a s e o r t o g o n a l d e i ? 3

2

3

6 T so

1 I 1 { - = • ( 1 , 0 S1 ) , - 4 ^ ( L - 2 , - 1 ) , ~4= r( 1 , 1 , - 1 ) } v2 s¡6 V3

D E F I N I C I Ó N .-

S e a V u n e sp a c io

es

una

base

o rto n o r m a l d e i? 3

1

vectorial

c o n p ro d u c to

interno y W

c u a lq u ie r s u b c o n ju n to

d e V . L la m a re m o s “ c o m p le m e n to o rto g o n a l” d e W al c o n ju n to W ( 5 . 4 -- i i ) q u e e s e l c o n j u n t o

de

d e fin id o e n

to d o s lo s v e c to r e s d e V q u e s o n o r to g o n a le s a

to d o v e c to r d e W .

5 .1 0 .

T E O R E M A .-

S e a V u n e s p a c io v e c to ria l s o b re k fin ito d im e n s io n a l (d im V = n ) c o n p ro d u c to in te rn o

< , > , p a ra c u a lq u ie r s u b e s p a c io W c

V s e c u m p le q u e :

V = W


340

Demostración 0

Si W={0}, entonces V = W 1

ii)

Si {0} * W
vn } una base de

y

se c u m p l e

V,

V - W (&W1

que

tal que {v¡, v 2

vm} es

base de

una

W donde m < n por el proceso de ortogonalízación de Gram ~ Schmitd existe

base

{ W j, w 2

wn}

es u n a

b a s e o rto n o rm a l

ortonormal de W en v i r t u d

Ahora demostraremos que W 1 = £{wwfl, wm^2 a)

Tenemos

que

< w- , w¿ > = 0

para

de

V,

entonces

d e l t e o r e m a 5 .5 .

} to d o

j

#

i»

lu e g o

^ + 1, ^ 2, ...,^ pertenece a W 1 .

b) (pues {wj, w2 =>

wm

w n} es base ortonormal de V)

a ¿ =; pero u e W

-^> u es ortogonal acualquier

elemento de W, en particular lo es a } = a 2 =... = am = 0 entonces de (1) W

con wl , w 2 ,..-i wm

=>

Producto

Interno y O rtogonaU dad

341 W 1 = L{w m+l, wn + 2 h„ }

d e (a) y (b) se c o n clu y e que:

p o r lo ta n to

E je m p lo ,-

V = W ® W 1

H a lla r el c o m p le m e n to d e W

= {(x9y , z ) e R 3 12x + y - c = 0 } .

S o lu c ió n C alculando una b a s e para W (x ,y ,z ) e W

=> 2 x + y - z = 0 => z = 2x + y

(x ,y ,z ) = (x, y, 2 x + y) = ( x , 0, 2 x ) + (0 , y, y)

de donde

( x , y ,z ) = x ( 1 ,0 ,2 ) + y ( 0 , 1 ,1 )

W *

L

{ ( 1 ,0 ,2 ) ,( 0 ,1 ,1 ) }

E xtenderem os la b ase de W a una base para R 3 . Sea

{(1,0,2), (0,1,1), (1,0,1)} la e x t e n s i ó n

p ro c e so d e

ahora ortogonalizarem os m e d í a n t e e l

Gram - Schm idt.

Wl =(1,0,2)

H, = (0,1,1) - ! í 5 d ^ M k 2 £ ) ± (i f 0 ,2 ) = U - 2 , 5,1) II (1,0,2) I!2 5

n n n

< ( 1 ’ ° ’ 1 )’ 5 (

2 ’5’ !) >

1

< ( 1 ,0 ,1 ) ,( 1 ,0 ,2 ) >

W3 = (1,0,1)---------- :--------- -------------—(—2,5,1)-— -------- — -— -(1 ,0 ,2 ) || ^(-2,5,1) ||2 5 ll(l,0,2)||

= 7 ( 2 ,1 ,- 1 ) o

W x =¿{(2,1-1)}

342


5.11. EJERCICIOS PROPUESTOS.©

Sean x - (.y,, .v? ). y = (y¡ ,_y2) G ^ 2. averiguar si las funciones continuación definen un producto interno sobre

©

a)

f ( x , y ) = x ly i + 3 x 2y 2

b)

f ( x , y ) = x ly l - 2 x ly 2 - 2 x 2y l + 5 x 2y 2

Sean

x

= (xj, x 2) , y - { y \ * y i ) ^ R 2 ¿para

dadas

a

R ¿.

qué

valores de k la función

f ( x , y ) = xty¡ - 3 x ^ 2 ~3x2iyl + kx2y 2 es un producto interno sobre R 2 ?

©

Dado w = (wj, w2) y v = (vj,v2) elemento de C2. Averiguar sí la función: / (w, v) = WjVj + +(1 + i)u{ v2 +(1 - i)u2 Vj + 3u2 v2 define un producto interno sobre C 2. En caso de que resulte ser producto interno hallar la norma de u = (2 -3 /, 1+ 2/) e C 2 .

©

Verificar

que

el

siguiente

es

un

producto

interno

en

R2

 = x iy i - x ty 2 ~ x 2y x + 3.r 2y 2 donde u -- (x, , x 2) , v = ( y x, y 2) ■

©

P ro b ar

ii

in te rn o

en R*

donde

= ( x 1, x 2 , x 3 ) y v = ( y j , y 2 , y 3 ) .

a)

©

que cada uno de los siguientes no es un producto

Sea

< i/, v > =

V

el

xj y , +

e s p a c io

x

2y o

v e c to ria l

b)

de

lo s

< w, v > ~ Xj y 2 x

p o lin o m io s

so b re

< / > £ > = í f(t)g(t)dt define un producto interno en V.

3 + y j x 2y 3

R,

p ro b a r

que

Valores y Vectores Propios

343

CAPÍTULO VI

16.

VALORES Y VECTORES PROPIOS.C o n s i d e r e m o s u n e s p a c i o v e c t o r i a l ( V , + , k , . ) y u n e n d o m o r f i m o f : V —> V , e n m u c h a s a p lic a c io n e s e s ú til e n c o n t r a r u n v e c t o r v

e

V ta l q u e f( v ) y v s e a n

p a r a le lo s , e s d e c ir : s e b u s c a u n v e c t o r v y u n e s c a la r X ta l q u e f ( v ) = X v y é s ta r e la c ió n e s la q u e e s tu d ia r e m o s .

6.1.

DEFINICIÓN.S e a V u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e k y f : V —> V u n e n d o m o r f i s m o , u n

X

e k

es

un

Valor

n ú m e ro

p r o p i o ” d e f, s i e x i s t e u n v e c t o r v * 0 , v e V , t a l q u e :

f ( v ) = A.v

Todo vector v que satisface ( 1) se

...( 1 ) lla m a

vector

p ro p io

de f correspondiente

al

a u t o v a l o r X, N O TA .

©

Las

e x p re s io n e s

u v a lo r

p ro p io ” ,

“ v a lo r

c a ra c te rís tic o ”

y

“ v e c to r p ro p io ” , “ v e c to r c a r a c te rís tic o ”

y

“ a u to v a lo r ” s o n s in ó n im o s . ©

L as

e x p re s io n e s

“ a u to v e c to r”

Ejemplo.-

C o n s id e re m o s

son el

tra n s fo rm a c ió n f ( x ,y ) = ( 2 x , 2 x - 2 y ),

el

e s c a la r

s in ó n im o s .

e s p a c io f

lin e a l X = 2

es

v e c to ria l : R 2

R 2

(R 2 , +,/?,.) d e fin id a

y

la por

u n v a l o r p r o p io d e f, p u e s t o q u e e l

v e c t o r n o n u lo ( 2 ,1 ) e s ta l q u e : f ( 2 ,1) = (4 ,2 ) = 2 (2 ,1 )

y

(2 ,1 ) e s u n v e c to r p ro p io a s o c ia d o a l v a lo r p r o p io 2 .

344


Consideremos / : R 3 por

f ( x ,y ,z )

:: (x,y,-z).

R 3 una transformación lineal definida H a lla r

los valores

p ro p io s

y

v e c to re s

propios. Solución

f(x,y,z) = X(x,y,z) - (x,y,-z), para x * 0 , y * 0 , z * 0

de donde se tiene que: Xx = x, Xy = y, -Xz - z

=> X = ± 1 son los

v a lo re s p ro p io s

y sus

v e c to re s

propios (x,y,-z) * (0,0,0) Ejemplo.-

Encuentre los autovalores y siguientes

a u to v e c to re s

transformaciones

correspondientes f : R2

lin e a le s

R2

ta l

a la s que

f(x,y) - (2y, x) Solución

f(x,y) = (2y,x) = X(x,y), de donde Í2 .V - A x [x = Ay

2>> = ¿ V , y *

0,

i 2 = 2

=>

X

= ±y¡2

Los autovalores de f son X - ±V2 2y = Xx, x = Xy para i = V2 , se tiene 2y = V2jc ,

x

= V 2j

=> V 2j = x

(x,y) = ( J Í y , y ) = {>f29\)y Luego los

6.2.


son

, t

e R

VALORES ¥ VECTORES PROPIOS DE UNA MATR1 / " ] Sea

A

una matriz de

c o m p le jo ) que:

se llama

o rd e n n x n

con componentes reales. El número X (rcaí o

a u to v a lo r d e A

si e x is te u n v e c to r y d ife re n te

de

c e r o ta l


345 *

A v = Xv

. .. (2 )

E l v e c t o r v # 0 s e l l a m a a u t o v e c t o r d e A c o r r e s p o n d i e n t e a l a u t o v a l o r X.

DEFINICIÓN.S i A e s u n a m a triz c u a d r a d a , e n to n c e s u n e s c a la r X e s u n v a lo r p ro p io d e A si s a ti s f a c e la e c u a c ió n .

d e t (X I - A ) = 0

A la e c u a c ió n ( * ) s e le d e n o m in a la e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a d e A .

E je m p lo .-

E n c u e n tre lo s v a lo re s p ro p io s d e la m a triz

3

2

-1

0

A =

S o lu c ió n

2 -3

2 -3

-2

1

2

d e t(2 7 - A ) = \ A I - A \

A 2 - 3 A 4- 2

0

E je m p lo .»

•= >

-2 ]

1

O i___

r

!

r ~ ' O .

= A

C4

m i___

r O

AI - A

2j

= 2

X = 1, X = 2

~ 32 + 2 = 0

e s to s s o n v a lo r e s p r o p io s d e la m a tr iz A .

O b te n e r lo s v a lo r e s y v e c to r e s p r o p io s , s i e x is te n , d e la m a tr iz "2 A 0

3 S o lu c ió n

"2

r

°

3

" 2 - 2

-1 .1

O1

O

= A

1

'l A I - A

i____

C a lc u la n d o lo s a u to v a lo r e s X d e la m a tr iz A .

o

6.3.

'

346

Eduardo Espinoza Ramos A - 2

-\

d e t(> l/ - A ) - \ A I - A \ ^

= (A -2 )(i-3 ) = 0 O

de

donde

A, = 2 ,

A = 3

A - 3

s o n lo s v a lo re s p ro p io s d e A p a r a

A = 2 c a lc u la m o s

lo s v e c to r e s p ro p io s

\

~A - 2

-1

" ( x 1^

ro 1

donde

O

= 0

__

(A I-A )

i

Oxj - x 2 = 0

x2 - 0

Ojcj - x 2 = 0

*1=1

p a ra

J

'O''

- l )

fVi l

lo -lj

^ 2 y

(0 =>

,o J

=

■0 '

loj

A = 3 , c a lc u la m o s lo s v e c to r e s p ro p io s d e A

(A I-A )X =

1 -n ,o

ZZ

(x

x\

o,

X{ - x 2 = 0

r e e m p la z a n d o s e tie n e :

f e fe c tu a n d o o p e ra c io n e s

V0 => x x = x 2

* = ( * 1 , * 2 ) = ( * l >*1 ) = *1 ( U ) p o r lo ta n to lo s v e c t o r e s d e la m a tr iz A s o n ( 1 ,0 ) y (1 ,1 ).

O B S E R V A C I Ó N .-

S i A e s u n a m a tr iz d e o rd e n n x n , e n to n c e s la s s ig u ie n te s a firm a c io n e s s o n e q u iv a le n te s .

0

A e s u n v a lo r p r o p io d e la m a tr iz A .

©

E l s i s t e m a d e e c u a c i ó n (A I - A ) X r~ 0 t i e n e s o l u c i o n e s n o t r i v i a l e s .

E x is te u n v e c t o r X e n R n d if e r e n te d e c e r o , ta l q u e A X = A X .

347


Si

es

X

un

e c u a c io n e s a

X9y

íl

lo:*

valor propio de A , entonces e i e s p a c i o s o l u c i ó n d e l sistema d e I = 0 se denomina e l e s p a c i o p r o p i o d e A c o r r e s p o n d i e n t e diferente de cero e n e l espacio p r o p i o d e A c o r r e s p o n d i e n t e

a X. E je m p lo .-

H a lla r

A =

lo s

v a lo re s

3

-2

-2

5

0

y

v e c to re s

p ro p io s

de

la

m a triz

O1 0

0 5 Solución

C a lc u la n d o lo s v a lo re s p ro p io s d e A .

i XI -

A ¡= 0

"!

0

0

1

0 0 A-3

0 0

A-3

0 0

0

A-5

2

(A - 5)(A - 3 )2 = 0

Sea

x

=>

-2

0

-2

3

0

0

0

5

' 3

° l-

1

= 0

de donde

X

= 3,

X

= 5

s o n lo s v a lo r e s p r o p io s d e A .

u n v e c to r p ro p io d e A

x =

es u n

= 0,

0]

v e c to r p ro p io d e A c o rre s p o n d ie n te a

n o triv ia l d e

(X I - A ) X = 0

X sí y s ó lo sí x e s u n a s o lu c ió n

e s d e c ir , s o lu c ió n n o triv ia l d e :

348 O

2

i 0

*2 1—__

0

0

0

■( * )

o 1

A - 3

"0" =

1

2

1

f

A - 3

....... 1

Eduardo Espinozii Ramos

si X = 1, la ecuación (*) se transforma en:

0 “ ~*i “

"~2

2

2

-2

0

0

0

-4

"

0

"

x2 = 0 0 3 _

~2xl + 2 x 2 = 0 2x¡ - 2 x 2 = 0 x? = 0 -4 x 3 = 0

x

=

'

V

V

x 2

=

=

*i

'

1

los vectores propios de A correspondiente a

son

i

'2 2 OJ

*i -

=>

x 2 ~ -J tj,

1

x\

x2 3

=1

i

5, la ecuación (*) se transforma en:

X =

2x{ + 2x2 = 0

x

X

0

0

Si

JC,

1

.

=

-x {

= X,

-1

0 “ ~Xj “ " 0 “ 0 x2 = 0 0 0 3 _

x3 e R

0 +

X3 0 1

0

X3 ..

2 2 0

p o r l o t a n t o l o s v e c t o r e s p r o p i o s d e A c o r r e s p o n d i e n t e s a X. ™ 5 s o n l o s v e c t o r e s d i f e r e n t e s d e c e r o d e la f o r m a .

*1

x =~

-X |

V3 -

" = Xj

'0

1' -1 0

+

X3 0 _1

349

Valores y Vectores Propios O B S E R V A C I Ó N .-

endomorlUm. * e n V , donde V e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l de d i m e n s i ó n f i n i t a y m a y o r ó i g u a l a 1 s o b r e e l cuerpo de lo » c o m p l e j o s a d m i t e v e c t o r e s p r o p i o s . lo d o

P e r o s í e l c u e r p o n o e s C-,

P o r e je m p lo »

Sea / :

entonce* p u e d e

( / ? 2 ,+» / ? ,,) R 2

el

n o e x is tir v e c to re s p ro p io s .

e s p a c io

v e c to ria l

so b re

R

y

/f * , ta l q u e :

f ( x ,y ) = (x e o s 0 - y s e n 0 , x s e n 0 + y e o s 0 )

si e x is te ( x , y ) € R 1 , ( x ,y ) /

(0 ,0 h

ta l q u e p a r a a l g ú n l e R ,

f ( x , y ) = A .( x ,y )

e n to n c e s :

(x e o s 0 -

y

sen 0, x sen 0 * y eos 0) =

(kx9 ' k y )

A - eos #

sen#

-se n #

A -e o s#

E l s i s t e m a a d m i t e s o l u c i ó n n o t r i v i a l s i:

(A ~ eos # )2 4- s e n 2 # ~ 0 => X2 -- 2A eos # -t-1 = 0 => A =

eos

# ± Veos2 # -1

S o lo e x is te v e c to re s p ro p io s si 0 = n n .

C o n s id e re m o s ( f l 2

C, . )

e x is te n v a lo re s y v e c to re s p ro p io s . E l e n d o m o rfís m o

f re p r e s e n ta u n a r o ta c ió n d e l p la n o d e á n g u lo

0 a lre d e d o r d e l o rig e n .

350

6.4.


TEOREMA.Si

f

:

V- >V

es

una


[V] - {v1? v2,...,vw} f o r m a d a por los

lin e a l,

v e c to re s

y además

e x is te

una base

propios de f correspondientes a

los valores propios Xx, X2, ~ ; k n, entonces la matriz de f respecto de

e s ta b a s e

es la matriz diagonal. o 0

^

o ...

o

...

o

...

Á„

0

D =

0

0

0

Demostración

La matriz de f respecto de la base [V] se obtiene determinando las imágenes de los vectores de dicha base, y teniendo en cuenta la definición de vector propio: f(v l)

=

Áí vl

= Ál v l + 0v2 + 0v3 +... + 0 v n

f i y 2 ) = ^ 2 V2 ~ ^ V1 + ¿ 2 v 2 +

f ( Vn )

+ 0vw

= Á n Vn = 0v, + 0v2 + OVj + ...+ Á„V„

0 ...

0

0

¿2

0

o

0

0

0

Al

En consecuencia

0

...

D=

... A„


351

OBERV ACIÓN.0

teorema demostrado,

D el

d ire m o s

que

la


lin e a l

f

es

d ia g o n a h z a b le .

©

dim V

y fi

= n

-> V

V

e n to n c e s

de

m a tric e s

En

té rm in o s

propios distintos,

e s u n e n d o m o rfís m o q u e a d m ite n v a lo re s

f es

d ia g o n a liz a b le ,

d ire m o s

e n to n c e s e x is te

que

A e k nxn

si

a d m ite

n

p e k nxn n o s i n g u l a r , t a l q u e

v a lo re s P ~ xA P

e s d ia g o n a l.

E je m p lo .”

D e te r m in a r ” 3

lo s

v a lo re s

y

v e c to re s

p ro p io s

de

la

m a triz

- f

A -

y la m a triz d ia g o n a l D .

Solución C a lc u la n d o lo s v a lo re s p r o p io s d e A .

d e í(A / - A ) - | X I - A i =

( X • 3)(A . -- 2 ) - 2 = 0

U - 3 2

1 ^

= 0

A2 - 5A + 4 = 0

de donde

e n to n c e s

4 = 1 s o n lo s v a lo r e s p r o p io s Á; — 4

p a ra c a d a v a lo r d e X

(XI - A )X = 0

Si ¿ 1 = 1 ,

resolveremos

el s is te m a

A - 3

1

2

A - 2_

"0'

e s d e c ir:

r -22 2

r

S 1'

0

Si

propios distintos,

”0 "

_1.

x2

A

. X2 .

0

-2xl + x2 = 0 2xj - x 2 = 0

x 2 = 2*1

352


V ’V ’ *1 ’ -;íi _2_ .■*2. 2jc, L uego

x' =

e s u n v e c to r p ro p io a s o c ia d o a X ] = ! .

'i

i

i

X\

0

X ,"

*1

'0 '

_

K>

k>

r

__H i

S Í Á-y = 4 ,

..... i

1

v2,

+

x2

”

0 x 2 =

2x, + 2x^ - 0

r - xl

_*2_

- i

_-*l-

1 L uego

x ”=

e s u n v e c to r p ro p io a s o c ia d o a A = 4 , -1

L o s v e c to re s x ', x "

s o n lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te y fo r m a n u n a b a s e d e R 2

1

0

0

4

D =

A e s d ia g o n iz a b le , y su fo rm a d ia g o n a l e s:

P e s la m a tr iz c u y a s c o lu m n a s s o n lo s v e c t o r e s p r o p io s e s d e c ir :

=>

|

'i

P~l =

r

2

1

_3

3

!

““

A P =--

i

-1

K) L ___

2

i to

1

!

1

u> 1

p =

”1

.2

l]

“í

0"

- ~ i.r _°

4-

= D

P

AP = D


6.5.

P O L IN O M IO D E F I N I C I Ó N .-

353

CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ.El

p o lin o m io

c a ra c te rís tic o

d e te r m in a n te d e la m a tr iz

de

u n a m a triz

XI - A

e s d e c ir:

A - a u

- a , 12

- a 2\

A - a 22

A

e

es

k nui

el

P (A ) = áet{AI - A) =

- a «1

An2

d e s a r r o lla n d o e l d e te r m in a n te s e tie n e :

P ( A ) = A n + c n _ xA n ~ + . . . + c x A + c {)

E je m p lo » -


D e te r m in a r e l p o lin o m io ~ -l A =

2

de

la m a tr iz

A

s ie n d o

- 3 '"

2

2- 6

2

2- 6

Solución A + 1

P(A)

= \A f- A

| =

- 2

3

-2

A - 2

6

-2

-2

A + 6

= (X + 1 )[ (X - 2 ) ( X + 6 ) + 1 2 ] - ( - 2 ) [ - 2 ( X + 6 ) + 1 2 ] + 3 ( 4 + 2 ( X - 2 ) )

P ( A ) = (A + i)(A2 + 4 A ) - 4 A + 6A

L a s ra íc e s d e

P(A.) = 0

son:

de donde Ax = 0 , A2 - - 3 ,

A3

=>

P (A ) = A3 + 5A2 + 6A

+ 5A ~ + 6 A = 0

= -2

=>

A(A

+ 3)(A- +

2)

=

0

354

Eduardo Espinoza Ramos P R O P IE D A D E S .-

E l e s c a la r

A e k nxn s í y s ó l o s í X e s r a í z r ie l

A e s u n v a lo r p ro p io d e la m a triz

p o lin o m io c a ra c te rís tic o d e A .

©

Si

X

es

un

v a lo r p ro p io

c o n s ig u i e n te ta m b ié n lo e s

de

A

e n to n c e s

XI - A

o sea

A

- XI

e s s in g u la r,

y

por

de

A.

d e t (A I - A ) = 0 .

E n c o n s e c u e n c ia , A e s u n a ra íz d e l p o lin o m io c a r a c te rís tic o .

©

Supongam os

que

X

sea

una

E n t o n c e s d e t (A I - A ) = 0

ra íz

ósea

del

que

p o lin o m io

AI - A


y A - AI

s o n s in g u la re s ,

e s to s ig n ific a q u e A e s u n v a lo r p ro p io d e A

E je m p lo .-

E n c u e n t r e l o s v a l o r e s c a r a c t e r í s t i c o d e la m a t r i z

4

0 1

-2

1

0

-2

0

1

S o lu c ió n

Sea

A - 4

0

2

A - i

0

2

0

A —i

P ( A ) = d e t( A I - A ) =

P ( A ) = ( A - 1)

-

(A -

A - 4

-1

2

Á - l

-1

= (A - 1 ) [ ( A - 4 ) ( A - 1 ) + 2 ]

1) ( A 2 - 5 A + 6 ) =

(A - 1)(A - 2)(A -

d e d o n d e lo s v a lo r e s p r o p io s d e A s o n :

3) = 0

A l = 1, A 2 = 2 , A 3 = 3

Valores j Vectores Propios

¡ó,ó,

355

MATRICES SEMEJANTES ¥ DÍAGGNALIZACION.M A T R I C E S S E M E J A N T E S .» S e a n i a s m a t r i c e s A y B d e o r d e n n x n s e d i c e q u e la m a t r i z A e s s e m e j a n t e a la m a t r i z B st e x is t e u n a m a tr iz P i n v e r t i b l e d e o r d e n n x n ta l q u e

O B S E R V A C I O N .»

B -

P '' A P

L a d e f in ic ió n d a d a ta m b ié n s e p u e d e e x p r e s a r a s í:

L a s m a tric e s A y B d e o rd e n n x n s o n s e m e ja n te s sí y s ó lo sí e x is te u n a m a triz in v e r tib le P ta l q u e P B = A P .

E je m p lo .»

D é d o s m a tric e s s e m e ja n te s .

”2

1 "

A =

Sea

"4 B =

, 0

.5 “3_

-1 ^

'3

- r

~ 3 ...

J

~ !.

‘ 2

- f

"3

- f

-1

1

- i

[4

-2 "

'2 -1“ -1 1_

-2 “ y

P =

PB = L5

AP = -i

L° com o

d e t(P ) = 1 ^ 0 ,

E je m p lo .»

D -

J

P e in v e r tib le p o r lo ta n to A y B s o n s e m e ja n te s .

D é u n a m a triz s e m e ja n te u n a m a triz d ia g o n a l. “1

Sea

_

0 0

0

0

.. 1

0

0

2

-6 ,

A =

d o n d e P es in v e rtib le p o rq u e

r2

4

0

1

i P A -

3

5

3 ’ ~ -6 -1

2

1 . .2

~3

-25™

y

2

1

8

2

2

7

-2 5 "

i

8

2

7

= _

^

e n to n c e s

’2

4

-5 “

0

-1

1

_6

_

_

d e t ( P ) == 3 * 0 ,

-3

p

10 , 14

"2

4

3

0

1

-1

3

5

7

356

Eduardo Espinoza Ramos 0

'l 0 0 como

PA

0

0“ "2

4

3“

0

0

1

..1

2. 3

5

=DP

"2

4

3“

0 -1

1

6 10

14

entonces A y D son

s e m e ja n te

[6.7. ~^rÍE Q R E ]^-~ S i A y B s o n m a tric e s s e m e ja n te s d e o rd e n n x n , e n to n c e s A y B tie n e el m is m o p o lin o m io c a r a c te r ís tic o y p o r lo ta n to , tie n e lo s m is m o s v a lo r e s p r o p io s .

Demostración C o m o A y B s o n s e m e ja n te s

=>

3

P in v e r tib le ta l q u e

B = P " 1A P

y

d e t ( B - Á I ) = d e t ( P ~ l A P - A I ) = d e X ( P ~ xA P - P A A I P ) = d e t ( P ~ ' [ A P ~ Á I P ] )

= d e t[P

= dctlP

(A - Af)P ] = deX (P ')d eX (A - Al)deX(P)

' ) d e t ( P ) d e t ( A - A I ) = d e t(P

' / J )d e t( 4 - A I )

= d e t ( I ) d e t ( A - / J ) = d e t ( A - A.I)

e s to s ig n if ic a q u e A y B tie n e n la m is m a e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a y c o m o lo s v a lo re s p ro p io s s o n ra íc e s c a r a c te rís tic o , tie n e lo s m is m o s v a lo re s p ro p io s .

6 8.

MATRIZ DIAGQNIZABLESe

d ic e

que una

m a triz

c u ad rad a A

in v e r s ib le P ta l q u e P ~ l A P

es

d ia g o n iz a b le , si e x is te

una

matriz a

s e a d ia g o n a l; s e d ic e q u e la m a tr iz P d ia g o n a liz a

la m a tr iz A .

Si e x is te u n a m a tr iz o rto g o n a l P ta l q u e

P~ lA P

e s d ia g o n a l, e n to n c e s

A

es

d ia g o n iz a b le o rto g o n a lm e n te , y s e d ic e q u e P d ia g o n a liz a o rto g o n a lm e n te a A .

357

Valores y Vectores P ropios

E je m p lo ,-

E n c u e n tre

una

m a triz

"3

f

1

3

P

que

d ia g o n a lic e

donde A -

Solución C a l c u la n d o lo s v a lo r e s p r o p io s d e A .

A -3

-1

-1

A - 3

= 0

P ( Á ) = d e t ( A I -- A ) =

P ( A ) = ( A - 3 ) ’ -1 = 0

A

=>

~ 6A + 8 = 0

e n to n c e s

A¡=2 (1 - 2 )(k - 4) = 0

= A2 = 4

L a m a triz d ia g o n a l

2

0

Ó

4

D -

C a lc u la n d o lo s v e c to r e s p r o p io s d e A .

P a ra e s to c a d a v a lo r d e A re s o lv e m o s e l s is te m a .

i / l - 3

~V _*2.

*1 - “ *1 .

—Y x\

r -i

~ A j

+ X2 = 0

n

x -■

-1 _ - * 2 .

A A

'

í

-1

- f A

-1

!

'- i S í,

de donde

____ i

( k l ~ A )X = 0

U

'0 ' 0

.

=>

X2 = ~ X X

o rto g o n a l m e n te

a

A

358


L uego

Sí,

X =

x' -

e s u n v e c to r a s o c ia d o a X x - 2

~1

- f

-1

1

"V

x¡

X\ ~ x 2 " 0

0_

-x l + x2 = 0

T

v

-

*1

X2

L u e g o jc " =

xi

1

e s u n v e c to r p ro p io a s o c ia d o a 1 2 - 4

- i

i

P =

“1

r

2

2

ii

r

o,

i

ft

L uego

"0“

_ _*2_

i

1

2.

_2

"1 P~ A P —

1

"

2

~ 2

3

1

1

_1

_2

1“ ~ 1 3_

-1

‘3

1

f

2

2

1_

3 1 __ i___ .2

2_

"1 _2

- f

~ i

r

2 _

”2 _°

2

I 3“ 2 2 " 1 1 ~)—3 - 1 — 2 2j

1 1

0" 4_

L u e g o A e s u n a m a triz d ia g o n a liz a b le .

6.9.

TEOREMA. Una matriz A de orden nxn es lin e a lm e n te

d ia g o n iz a b le

sí y sólo

*' t u :

independiente.

E n ta l c a s o , la m a tr iz d ia g o n a l D s e m e ja n te a A e s tá d a d o p o r :

vectores propios


359 O

O

O

Á2

O

O

O

A»

O

O

O

O

D =

donde

Si

P

...

A

A h A 2 ,..., A n s o n lo s v a l o r e s p r o p i o s d e A .

es

una

m a triz

cuyas

c o lu m n a s

so n

v e c to re s

p ro p io s

lin e a lm e n te

i n d e p e n d i e n t e d e A , e n t o n c e s D = P ' 1A P .

D e m o s tra c ió n

P r im e ro s e s u p o n e q u e A tie n e n v e c to re s p ro p io s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te que d ife re n te s )

c o rre sp o n d e

lo s

v a lo re s

p ro p io s

(n o

n e c e s a ria m e n te

A i , A 2 , . . . , A /} .

' Pl 2 '

'V A, Sea v¡ =

a

=

A,

Pin

P22 , V,

■-

~Pu

v„ =

y

A » .

sea

P

Pin'

¿22

••• A„

P,a

■-

=

A *

P „n_

E n to n c e s P e s in v e rs ib le y a q u e s u s c o lu m n a s s o n lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te . A h o r a b ie n .

360

Eduardo Espinoza Ramos ü^n

~a \ \

a \2

a 2\

a 22

"

_®n\

<*„2

*..

•

~Pn P iv

a 2n

Q nn _ f n X

P\2

•••

V

Pl2

■-

P2n

P„2

■-

Pm _

m a triz c u y a c o lu m n a i e s

A

E n to n c e s

■

P 22

-

P„2

■-

A P = PD

\ P XX

& iP \i

...

A n P ln

¿1*21

¿2^22

-

K ?2 n

, \ P n\

^ l^ n l

—

K P nn_

A P =

y

07

Pl X

Pn

y a s í A P e s la

1

' Pxx

= A v f = A¡v¿ ,

A =

y s e v e q u e la c o lu m n a i d e A P e s

4

P in

0

P,m _

0

0 4

0

’ KPxx

^Px2

■..

0

\P 2 X

A 2 P l2

••

K .

_ ^ \P n \

ôP n2

. ..

0 '

. ..

. ••

*

A n P ln

} P ' ln l nn

_

y c o m o P e s in v e rs ib le , s e p u e d e m u ltip lic a r a m b o s la d o s

p p r la iz q u ie r d a p o r P ~ l p a r a o b te n e r:

D = P ~ lA P


361

O B S E iv v A C I Ó N .-

S i A e s u n a m a triz d e o rd e n n x n , e n to n c e s la s s ig u ie n te s a firm a c io n e s so n e q u iv a le n te s .

©

A e s d ia g o n a iiz a b le .

©

A tie n e n v e c to re s p ro p io s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te .

O B S E R V A C I Ó N .-

S i u n a m a triz A

d e o rd e n n x n tie n e n v a lo re s p ro p io s

d ife re n te s e n to n c e s A e s d ia g o n iz a b le .

E je m p lo .-

D e te rm in a r si A =

-1

4

-2

-3

4

0

-3

1

3

e s d ia g o n iz a b le .

S o lu c ió n C a l c u la n d o lo s v a lo r e s p r o p io s d e la m a tr iz A .

A + 1 - 4 P(A ) = ¡A l - A ¡=

2

A - 4

0

3

-1

A -3

P (X ) = ( X - l ) ( X - 2 ) ( X - 3 ) = 0

L a m a triz d ia g o n a l e s D -

A h o ra

c a lc u la n d o

lo s

-4

1

0

0

0

2

0

0

0

3

v e c to re s

3

A - 4

3

-1

2 IV 0 1 A - 3J h _

Ay = 1 ,

^

re s o lv e m o s el s is te m a :

~A + 1

= 0 ,

3

d e s a rro lla n d o el d e te rm in a n te

i

2 = 2, ^3= 3 .

s o n lo s v a lo re s p r o p io s d e A .

p ro p io s

de

A

(X I - A ) X =

~0~ =

0 0

p a ra 0

e s to ,

de donde

cada

v a lo r

de

X

362


~2 -4 Sí Ax 1,

3 -3 _3 -1

2' V "0‘ 0 x2 = 0 entonces 0 —2_ .*3. 5x{ - 5x 2 = 0

2xx- 4x 2

+ 2x3 = 0

= X2

< 2>xx - 3 x 2 = 0

3jcj -

x2 - 2x3

3x2 - x 2 ~ 2 x3

=0

2x1 = 2x->

T *2" = x2 = X, 1

x - x X

1

-*2_

es un vector propio asociado a Ax - \ .

Luego

X =

Sí Á2

'3 -4 2 , 3 -2 3 -1

'0 ' 2 ' ’V 0 x2 = 0 -1 *30

entonces

3

x 22 = — 2 x 1x

3jcj - 4 x2 + 2x3 = 0 «3jCj - 2jc2 = 0 3xx - x2 - x 3 = 0

6xx - 5*2 + * 3=0 ¿6xi

15 . x\ +xi = ír - —

X-t = — x.


L uego

;c " =

e s u n v e c to r p ro p io a s o c ia d o a Á 2 = 2

3

2" ’V O

A3 = 3 ,

-4 7

4 Sí

363

-

1

0

“0"

x2

=

e n to n c e s

0 0

*3.

I 4xj ~ 4 x 2 + 2*3 = 0 x 2 = 3*j

i

- 0

3*j - * 2

lx3 ” ^X)

[ 3 . r } - jc2 = 0

X, =

*2

e s u n v e c to r p ro p io a s o c ia d o a

v"

'1 Sea

P =

3 4

r

_ V3 .

L uego

= JCj

3x, ■£> ¿i i_

x -

“1 "

r v

1 1

2

“ 3

r

3

3

3

4

=>

P "1=

-5

3 "

-I

3

-2

0

-1

1

= 3

364

Eduardo Espinazo Ramos -5

" 3

com o

6.10.

D - P

-1

4

- 2 “ “1

2

f

3

-2

-3

4

0

1

3

3

0

-1

1

-3

1

3 _

!

3

4

r 3

-5

2

f

"1

0

0“

-2

6

-4

1

3

3

0

2

0

0

-3

3

1

3

4

0

0

3

AP =

=

3 “

1A P

3 " "1

=>

=

A e s u n a m a triz d ia g o n iz a b ie .

TEOREMA DE CAYLEY - H AM ILTQ I^~ T E O R E M A 1 .-

Si

P (X ) y Q (X )

X

cuyos

son

p o lin o m io s

c o e fic ie n te s

de

P ( X ) = Q ( X ) ( A - IX ) e n t o n c e s

en

la

m a tric e s

v a ria b le c u ad rad a s

e s c a la r y

P (A ) = 0.

Demostración S i Q (X ) e s tá d a d o p o r la e c u a c ió n :

P(X) = (£ 0 +

Q(/ i )

= B 0 + B XÁ + B 2 A 2 +

+ B 2á 2 + ... + B nA n ) ( A - A l)

= B 0 A + B XA A + B 2 A A 2 + ... + B „ A A " - B 0 á - B , á 2 - B 2 A 2 - . . . - B „ A n+‘

P ( A ) = B 0 A + B , A A + B 2 A A 2 + . . . + B „ A A " - B 0 A - B XA 2 - B v l 3

s u s titu y e n d o A e n lu g a r d e

- B „ A n+i

X s e o b tie n e :

P ( A ) = B 0 A + B l A 2 + B 2 A i + . . . + B „ A n+i - B 0 A - B XA 2 - B 2 A 3 - . . . - B „ A n+l

P(A) = 0

sí

Valares y Vectores Propios TEOREMA 2.-

365 Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica, es decir, si P(X)=0

es la ecuación

característica de A, entonces P(A) = 0.

aM - A

a \2

a2l

a ^ - A

« i» ...

a 2n

Se tiene P(Á) = det (A -Á I) =

«»l

Es claro que cualquier factor de A - A.I es un polinomio de X, así, la adjunta de A - XI es una matriz de orden nxn en la que cada componente es un polinomio en X es decir: Pn (X)

Pn (A)

••

P

P2M )

Jfe(¿)

••

p

P nA »

Pn 2 < ¿ )

-

P

M 2M

)

adj(A - AI) =

M

Esto significa que se puede pensar en adj(A - XI) como un polinomio, Q(X) en X cuyos coeficientes son matrices de orden nxn. Luego det(A - XI) * [adj(A - X1)][A -

XIJ

Pero de#A-fcI) = P(X)I sí P(A) -

+ a ^ A * '1+...+aiA + a 0

entonces se define:

P{A) - P (A )I « A"I + a ^ A " '1+ ...+ 0 |A I + a0I

366


por lo tanto, de (*) se tiene P(A,) = Q(X)(A - XI) Luego por el teorema (1) se tiene P(A) = 0. Ejemplo.-

Calcular la matriz inversa aplicando el teorema CAYLEY HAMILTON. -2

-2

-5

1 Solución

Calculando el polinomio característico de A P(A) = \ M - A \ =

Á+2

2

5

A-l

= A +A-12

Sea P(A) = A 2 + A - \ 2 1 = 0

-

Multiplicando por A~l a la ecuación (1) =0

12A~l = A + I

-2

-2

-2

-5

1

A + I-12A

12A ' 1 =

5

_L 2l -

A~l =

12 5_

12

©

1 A= 0

-12

12 2_

12 J

2 2 2

1

2 Solución

2

( 1)

367


Calculando el polinomio característico de A. X -\

-2

-2

0

X -2

-1

1

-2

X-2

P(X) = \ X I - A \ =

=0

P(X) = X3 - 5X2 + M - 4 = 0 de donde P(Á) = A - 5 A

+8^-4 =0

multiplicando por A~l a la ecuación (1) A 2 -5A + 8 /-4 A ~ l =0

=>

4A_> = A 2 - S A + 8I

2

1 0 0“ 'l 2 2" 2 2' 4A~X= 0 2 1 - 5 0 2 1 + 8 0 1 0 0 0 1 1 2 2 ~1 2 oJL. "1

-1

10

4 A' = -1

6

-3

6

4A

-i

3 4 ■ 0 -5 4 8”

2 ’ 0

-2

-1

4

-1

-8

-4

2

-10 -2 -10

-10 -5 -2 2

, de donde A 1 =

1

-2

Ejemplo.-

Sea

A e k "**

y

0

-1

f(x) = x3 - 2 x 2 + x - l

característico, prueba que A es invertible. g g iB ti& a

—

su polinomio

368


Por el teorema de Cayley Hamilton, tenemos que f ( A ) = A3 - 2 A 2 + A ~ / = 0 A3 - 2 A 2 +A = I

=>

A(A2 - 2 A + I) = 1 sea B - = A 2 - 2 A + I

entonces AB = I por lo tanto A tiene inversa y la inversa de A es A '1= A2 -2A + I

Ejemplo.-

Sea A e k 3*3 , P(x) un polinomio, pruebe que si k es un valor propio de A, P(X) es un valor propio de P(A). S b ig c lé n

Sea el polinomio P(jc) = ax3 + b x 2 +cx + d

como Av = k \ , donde v * 0

entonces A3v = X \

(aA)3v = (aA3)v

A2v = A2v

(bA2)v = (bX2)v

Av = Av

(cA)v = (cA)v

dv = dv

dv - dv

Sumando (aA3)v + (bA 2)v + (cA)v+ dv~ (aA? )v + (bA2 )v + (cA)v + dv (aA3 +bA2 +cA + dl)v = (aA3 + bÁ2 +cÁ + d ) v =>

P ( X ) e s u n a u to v a lo r d e P ( A ) p u e s

v * 0

P (A )v

=-*P (k)v

e n to n c e s c o m o , el p ro c e s o se

c u m p le p a r a c u a lq u ie r p o lin o m io P ( X ) e n to n c e s si X e s u n v a lo r p ro p io d e A , se c u m p le

que P ( X )

es

un valor p r o p i o

d e P (A ).


369

6.11. EJERCICIOS PROPUESTOS.I)

E n c u e n tre

lo s

a u to v a lo re s

y


c o rre s p o n d ie n te s

a

la s

s ig u ie n te s

tr a n s f o r m a c io n e s lin e a le s .

( l )

T :

R 2 -> R 2

ta l q u e

©

T :

R 3 —> R 3

ta l q u e T ( x ,y ,z ) = (x + y , x - y + 2 z , 2 x + y - z )

©

T:

R 4 —> R 4

ta l q u e T ( x ,y ,z ,w ) = (x , x +

(

4)

© II)

T :/?*

T:

E s tu d ia r

- » R 2t a l q u e

R 3 —> R~

si

la s

y, x

+

y+

z, x +

y

+ z + w)

T ( x ,y ) = (4 x + 3 y , 3 x - 4 y )

ta l q u e

siguientes

T ( x ,y ) = (x + y , 2 x + y )

T ( x ,y ,z ) = ( 2 y - z , 2 x - z , 2 x - y )

a p lic a c io n e s lin e a le s q u e s e in d ic a n a c o n tin u a c ió n

tie n e n c o m o a u to v a lo r e s y a u to v e c to r e s a s o c ia d o s lo s q u e s e in d ic a n e n c a d a uno

de

lo s c a s o s :

f ( x ,y ) = ( x + 2 y , - y ) , \ = 1, v = ( 1 ,0 )

®

f( x ,y ,z ) = (x - y + z , y - 2 z , x + 5 z ),

f ( x ,y ,z ,w ) = (x + y , x - z , y + z , w ),

III)

X = 3 , v = ( 1 ,1 ,1 )

X = 0,

v = (1 ,- 1 ,1 ,0 )

O b te n e r lo s a u to v a lo r e s y a u to v e c to r e s a s o c ia d o s s i e x is te n

d e la s m a tric e s

s ig u ie n te s c o n e le m e n to s e n R .

©

©

A=

2 0

A=

1

©

3

10 -9 ] 4

2¡

©

1

-1

4

3

0

3

4

0

A=

r3

()'

8

©

-1

-2

-7

1

2

370


®

1

0

0

1

©

A=

Obtener los autovalores y autovectores asociado si existen de las matrices siguientes con elementos en R.

1

A=

I

o

4

'0

0

- 0 2

0

-

©

A= 0

0

10 0

1'

1 0

©

A= 0 2

1 0 0

2

6 0 0

7_

1

4

6

II O II

o

i

JL

1" 3

1

0 1 2 -1

2 0

©

‘0 -2

1

©

II

6 -3

5

0

1

1

-2

1----O

2

1

o

1 2

2" o

2

2"

"2 5 -6" 4 6 -9 3 6 -8

o

1

1

II

0

"1 II

3"

O

A

2

o

13)

"1

-4

1 00

II

©

1 0

1' O

1 0

II

1 -7

0

©

II

-1 1

"5

O

O

l-M 1 II

©

'5

19

-2

13 -1

-1 3 -4

1

0 1

1

0

t II

0

-1

-2

©

-2

I 5 1

1

0

1

1

0

rn ' 1

O

II

©

-2

©

IV)

A=

-1

0

0

1


371

V)

©

Sea A x=

una

m a triz

cuadrada de orden 3x3 tal que;

'2 0 0' '0 6 2 ' 1 1 0 y 5 = 3 3 2 0 2 1 6 0 -1

AX

donde

B,

obtener los valore* y vectores propios de

la matriz A.

©

5 4 2 Dada la matriz A = 4 5 2 , hallar los valores y vactorci propios de A y 2

2

2

los espacios característico de A.

©

©

Sea T : R 3 -» R 3, una transformación lineal definida por T(x,y,z) = (x,y,0) a)

Hallar la matriz A asociado a T

b)

H a lla r lo s v a lo re s y

vectores propios de A»

Dado la transformación lineal T : R 3 -> R 3 definido por T(x,y,z) = (x,y,-z), hallar los valores y vectores propios de la matriz A (A matriz asociado a T).

©

Dado T ( x ,y ,z )

la

transformación

= (2x +

y

lineal

T : R 3 —> R 3,

definido

por

+ z, 2x + 3y ^ 4z, -x - y - 2z), hallar los valores y vectores

propios de A (A matriz asociado a T). 1 -1

©

Hallar los valores y vectore» propios de la matriz A = 3 2

diagonalizar.

4

2 -1 I

-1

372

©

©


Investigar si la siguiente matriz es diagonizable A

Sea A =

1

-

0

- 0 2

0

i

4

4

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

a)

Encuentre los valores propios reales y vectores propios de A

b)

Encuentre las matrices no singular P y P ] y una matriz diagonal D tal que D = P~xA P .

Sea A =

1

2

0

0

I 2

1

0

0

0

a)

Encuentre los valores propios reales y vectores propios de A.

b)

Encuentre las matrices no singular P ^ P~l y una matriz diagonal D tal que D = P~'AP.

Sí

A=

1

0 0

0

0 0

0-2

0

a)

¿Cuáles son los valores y vectores propios de A?

b)

Encuentre las matrices no singulares P y P 1 y una matriz diagonal D tal que D = P~lA P .

Valores y

Vectores Propios 1

0

0

1

373

A =

y

i

r

°

i

/? =

D e m o s tra r q u e A

y

B

tie n e n

el m is m o

p o lin o m io c a ra c te rís tic o .

0

®

®

Si A =

0

1

0

I

0

1

0

0

a)

E n c u e n tr e lo s v a lo re s y v e c to re s p r o p io s d e A .

b)

E n c u e n t r e la m a t r i z P t a l q u e P

Si

A =

2

-3

51

0

-1

5

0

0

s e a u n a m a triz d ia g o n a l.

j

4 1

a)

E n c u e n tr e lo s v a lo r e s y v e c to r e s p r o p io s d e A .

b)

E n c u e n tr e la m a tr iz P ta l q u e P ~ l A P

Sea

T : P2 -» P2

T ( a 0 + a {x + a 2 x

s e a u n a m a triz d ia g o n a l.

d e fin id a p o r:

) = (5 a 0 + 6 rq + 2 a 3 ) - ( a ¡ + 8 a 2 )x + ( a 0 - 2 a 2 )x~

e n c u e n tr e lo s v e c to re s

®

1A P

y v a lo re s

p ro p io s d e T .

S i lo s v e c to re s p r o p io s d e la m a triz

"1

a

b)

1

c

d

c1

e

f j

m

í 1] son

1

9

0

í y

11 - i

v

°J

d e t e r m i n a r a , b , c , d , e y f.

E n c u e n tre

lo s v a lo r e s p r o p io s y lo s v e c to r e s p r o p io s p a r a la t r a n s f o r m a c ió n

li n e a l d a d o . D e t e r m i n a r si e x i s t e o n o u n a b a s e

c ¿ d e v e c to re s p ro p io s p a ra el

d o m in io d e T , e n c u e n tr e si e x is te , u n a m a triz d ia g o n a l q u e re p r e s e n ta a T .

374

a)

T: R 2

R 2 tal que T(x,y) = (2x + y , 2x + 3y)

b)

T : R 3 —> R 3 tal que

c)

T: R 3 - ± R 3 tal que T(x,y,z) = (2x, 2y, 3z)

d)

T: R 3

e)

T: R 4 -» R 4 tal que

f)

T: R 3 - > R 3 talque T( x, y , z ) = (x + z , 0 , - x + y + —z)

g)

T : R3

R 3 tal que

T ( x ,y ,z )

= (x, x + y ,

+ y + z)

x

T(x9y , z) = ( 3 x - £ + Z , 4 x - z 94 x - 2 y + z)

T ( x ,y ,z ,w )

= (3x, 2 y ,

x

+ 2z, 2 w )

R 3 tal que T(x,y,z) = (3x + 2y + 4z, 2x + 2z, 4x + 2y +3z)

Encuentre una matriz P que diagonalice a A, y determinar P~lA P , donde: '-1 4 -20

12' 17

1

11

A =

2

a)

O O 1 1

ii

A= 0

2

c)

0

6 -1 2 0 -2 0 3 0

O

0 0-2 1

Determinar si A es diagonizable, en caso de que así sea, encuentre una matriz P

'19

-6'

-4

4 4

-2 ' 0

1

3

II

-9

b)

'-1 A = -3 -3

O

1 1

17

7

A=

a)

-9

O Q[

que diagonalice a A. n

©


1 5 0 0 1 5


~-2 0

0

0"

0

0

~- 2

0

0

0

-2

0

0

3

0

0

0

5 3

0

0

1

3-

0

0

0

a

b

c

d

II

A =

Sea A -

0" -5 0

3_

, demuestre que:

a)

A

es diagonizable sí

b)

A

no es diagonizable sí

(a

-

d )

(a

2 + 4a b e > 0

-d)1 +

Aabc <

0

Determine los valores y vectores propios de la matriz

A y

determine si

A

es

diagonizable, si lo es encuentre P tal que P~ lAP = D . ”-2

-2"

_-5

1_

'3 - 5" A= : 1 -1

1

‘4 ^ = 1

1 -2 “ 2 1 1

A=

6 3

6" 2

' 3

-1"

r 2

4.

3 2 A= -5 l -

h)

1

1

A=

"2 _5 - 2 '1 - 3 2 A = -1 0 -1

-f -1

'- 3 k)

f)

-1 A= 1 1 '3

-1

S l K>

1 -1 0

e)

i un

II

“

j)

b)

ii

d)

A=

U

a)

w

(ií)

0 -2

'qj

d)

375

-1

i)

^ =

"7 -2 - 4 ' 3 0 -2 6

2

-7 4

-5 ' 3

1

2

2 .

1)

( -1

-2

-3

"3 0 0" 1 0 0 2_

,4 = 0 0

376


Sea X el autovalor de la transformación lineal T: V

V, demostrar que el

conjunto formado por los autovectores asociados a X y el vector nulo es subespacio de V. Suponga que

y Á2 sus autovalores diferentes y distintos de cero de

T: R 2 —» R 2 , Demostrar que:

a)

Los auto vectores

y

v2 correspondientes son linealmente

independiente. b)

^ (vi) y T(v2) son linealmente independiente.

Encuentre la matriz ortogonal Q que diagonaliza la matriz simétrica dada, después verifique que Q l AQ = D , una matriz cuyas componentes diagonales son los valores propios de A. "3

a)

yí =

d)

"1 v4 = -1 -1

4

4“ -3

b)

-1

-1"

1 -1

~1 1

A=

f 1 2

~2

:2 2 -1 2 :1 1

'- i e)

A=

C)

2 2

A=

0

Dadas las matrices siguientes: '9 -4 7 6

-7

8 -4

-7 -6

9

-9

0

se pide:

1' -7 -8 1

'15 0 -9 7 6 -7 14 0 -8 9 0 -9

0 -3 6 -6 0 5 _” 2 0 2

"9 6 -7 * 1 -14 -5 '

1

_

-1" -6 1 8

"

1 -1

-f 1

'

1 -1 0

~1

0'

2 -1

-1 1

Valones y Vectores Propios

377

lu n a u to v a lo re s y a u to v e c to re s . b)

D e te rm in a r

si

son

d ia g o n a liz a b le s ,

c a lc u la n d o

cuando

sea

m a tric e s V n o s in g u la r y D d ia g o n a l p a r a q u e s e v e rifiq u e

p o s ib le

la s

A = P D P ~l .

E s tu d ia r p a r a q u e v a lo r e s d e lo s p a r á m e tr o s s o n d ia g o n iz a b le s la s m a tr ic e s . ‘

A =

1

a

r

0

l

10

0

0

c

A =

,

2a

2a

0

1

a

2

-a

0

-a

E n c u e n tr e la e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a y lo s v a lo r e s y v e c to r e s p r o p io s d e la s s ig u ie n te s m a tric e s :

"5

-8

1

0

~2

4

0

r

-2

1

0

~2

0

1

1

1

0

-7

1

0

"7 e)

A =

1

- 1 1

7

2 0

(28)

-1

A=

1 0

0

0

1

3

0

0

0

0

0

.2

1

1

0 0 12

1

0 0 11

2

0“

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

5_

' -2

0

-3 6 '

0

-3

0

-3 6

0

-2 3 _

6

3 -

7 1

3

11 8

A = 0

0

0

0

-

2

0

A p lic a n d o e l te o re m a d e C A Y L E Y - H A M IL T O N , h a lla r A 3

0

0

A =

f)

l

E n c u e n t r e l o s v a l o r e s p r o p i o s d e A 9 , s í:

1

1

“

0 (l? )

"2 1“ II

-1

1!

A =

0

0

“ 5 Xl

d)

2 “

6

4

2 1, s í:

378

(29)


Ver si las matrices A y B son semejantes o no, si lo fueran, encontrar matriz P tal que P "0 1 0" A= 0 0 1 , 0 0 0

AP = B .

"0 0 0" B= 1 0 0 0 1 0

-1 Encuentre una matriz P que diagonalice a la matriz A; sí A = -3 -3

©

una

4 -2 4 0 1 3

Hallar la matriz P, si existe, que diagonalice a cada una de las matrices.

a)

"3 0 A= 0 0

0 0 0“ 3 0 0 0 1 2 0 3 2_

b)

“-2 0 A= 0 0

-1 7 0 0

0 0 1 0

Hallar la matriz A de orden 3x3 que tiene como valores propios: Í 2) Á2 = 2

y

Ay = 5

y como vectores propios

2 9

0" 0 0 1 A¡ = - 1 ,

í 1 "

Í_21

1

,2 ,

y

-2

, 2,

respectivamente. Si los valores propios de una matriz A son A¡ = 1 y A2 = -1 y los vectores propios correspondientes son

^0] y f l] ’ hallar ^ matriz B qUe cumple con la

relación P~xAP = B donde P =

(S í)

2

-3

1

4

Probar que A y A 1 tienen el mismo polinomio característico.

379

Valores y Vectores Propios E n c o n tr a r lo s v a lo r e s y v e c to r e s p r o p io s d e la s m a tr ic e s d a d a s .

3_

8

9

18

-2

-3

—7 _

c)

-1

-3

-9

0

5

18

A =

1

2

2

-9 '

1

0

-5

K>

2

4

'- 5

O

4“ i!

2

JO

[ '3

i

Í3 5 )

6/12» FORMAS BILINEALES,D E F I N I C I Ó N .-

S e a n (V ,+ ,k ,.) u n e s p a c io v e c to r ia l y f u n a f u n c ió n d e en

b ilin e a ls o b re

V

sí

k , e n to n c e s

la

fu n c ió n

f : V xV -» k

es

una

V 2

fo rm a

y s ó lo sí e s lin e a l r e s p e c to a lo s d o s a r g u m e n to s e s d e c ir:

f : V x V - » k e s fo r m a b ilin e a l s o b re V si s a tis fa c e :

i)

L in e a lid a d re s p e c to a l p rim e r a rg u m e n to .

f í a x + b x ' , y ) = a / ( jc, y ) 4- b / ( jc' , y )

II )

L in e a lid a d re s p e c to a l s e g u n d o a rg u m e n tó . / ( x , c v + c /y ’ ) = c / ( j c , y ) + í / / ( j c , > • ')

V. x , y , x ' , y ' e V , a , b , c , d e k

#

OBSERVACIÓN.S i f e s u n a fo rm a b ilin e a l s o b re V , e n to n c e s se v e rific a q u e :

f ( a x ,y ) = a f ( x ,y ) - f( x ,a y )

E je m p lo .-

Sea

g : V 2 -+ k

d e fin id a p o r

u n a fo rm a b ilin e a l, d e m u e s tr e q u e

g y (x) = g (x, y )

Solución g y (a x ) = g ( d x , y ) = a g (x , y ) = a g ^ (x )

g y (a y ) = g ( x , a y ) ^ a g ( x , y ) ^ a g y (y)

e s u n a fo rm a lin e a l.

g y : V -> k

380


Ejemplo.-

Sea (£",+,£,.)

espacio vectorial y la función / : k nx k n

k

n

definida por / (jc, y ) = ^ *jc,

es una forma bilineal sobre A:* .

i=i

Solución i)

/ (ax + bx \ y ) = a /(x , j ) + ó / (;t’, y ) , por comprobar. n

n

n

f ( a x + b x \ y ) = ^ ( a x , + bx*i )yi = ' ^ a x iy i +^¿>x¡>-, 1=1

1=1

n

1=1

u)

n

xtyi +

=

1=1

=a f ( x , y ) + b f ( x \ y ) 1=1

/ ( ^ í y + < / y ) = c / ( x )^ ) + d / ( x , y ) n

«

w

f ( x , c y + d') = J ' x i(cyi + dy\)FC = c ^ x iy ¡ + d ^ x ty\ ¿=i

í=i

•

i=i

= cf(x,y) +df(x,y') n

f (x, y ) =

x,y ( es una forma bilineal sobre k n / =i

6.13. MATRIZ DETJNA FÜ&MA BILINEAL.Sea V un espacio de dimensión n > 1 y [ V ] - {v1,v2,...,vn} una base de V, y la forma bilineal / : V 2

k , entonces f está caracterizada por los valores

a y = / (v¿, v ¡ ) que son los elementos de la matriz A e k*™, llamada matriz de

f respecto de la base [V].


381

En efecto, si x o y son dos valores cualquiera de V, que expresado en términos de la base | V | es

donde x e y son las matrices columnas cuyos elementos son las coordenadas de x e y respecto de la base | V |.

6,14.

FORMA B1LINKAL SIMÉTRICA.- I DEFINICIÓN.- I a forma hilineal /

:

V1

k es simétrica sí y sólo sí

f(x.y) ^ t\y,x), V x,y e V PROPIEDADES La matriz

A e k nx"

representa una forma hilineal sí y sólo sí A es simétrica.

©

Sea f la forma hilineal simétrica asociada a A, f es simétrica <£> f(x,y) = f(y,x) => x' Ay = v* Ax

©

Sea A simétrica, entonces: f ( x , y ) ~ x í Ay = ( x t Ay ) f - y ' A ' x ^ y ' A x ^ f ( y , x )

Luego f es simétrica Ejemplo.-

Determinar la forma escalar de las formas cuadráticas asociadas a las formas bilineales g(x, y ) - x f Ay en los siguientes casos:

382

Eduardo Espinoza Ramos 3 i)

A--= -y/2 0

-V 2

0

1

0

0

-1

" H)

'1

0

A= 0 0

-1

0'

0

0

Solución ’

g ( x , y ) = (xl, x2,x3)

0"

3 -J2

1

0

0

0

-1

yi _■*

3.

y¡ = (3x, - 4 í x 1, -y¡íxx+ x2, - x 3) y 2 L-M

= 3x,y, - -J2x2yl - >¡2xxy 2 + x2y 2 - x3y 2 Ejemplo.*

Desarrollar la forma bilineal simétrica asociada a la matriz A, '1

siendo:

A = -1 _2

-1

2 '

3

1

1

-2_

Solución

y(j«r, JK) =

' 1

-1

= (jc, , x2,X3) -1

3

2" ".Vi" 1 ^2

2

1

-2 .^3. y\

= (x, - x 2 + 2 x ¡ , - x ¡ 3 x 2 + x 3 , 2 x ¡ + x 2 - 2 x 3 )

yz >’3

= x]y l - x 2y { + 2x3y x ~ * iy% + * ^ 2

+ ^ 2

+2î>'3 + ^ 2^ 3

Valores y Vectores Propios E je m p lo ,-

383

D e s a r r o lla r la fo r m a b ilin e a l s im é tr ic a a s o c ia d a a la m a tr iz A ,

A =

s ie n d o :

1

-1

2

-1

3

1

2

1-2

Solución

f ( x , y ) = x ' A y = ( x ¡,x2, x3)

' 1

-1

-1 2

2 '

y\

3

1

yt

1

-2

yi. yi

•x, + 3 x 2 + x 3 ,

2xx + x 2 - 2x3 )

yi ■y y.

■X Í y i - x z y s - 2 . v ,. V |

6.15.

- x xy 2

+ 3 x 2y 2

+ x 3y 2 +2 x xy 3 + x 2y 3 - 2 x 3y 3

FORMAS CUADRÁTICAS.D E F I N I C I Ü N .,-

S c a n (V ,+ ,k ,.) u n e s p a c io g : V 2 -~>Jc

una

v e c to ria l d e d im e n s ió n fin ita y

fo rm a

b ilin e a l

s im é tric a

e n to n c e s u n a fo rm a c u a d r á tic a a s o c ia d a a la fo r m a b ilin e a l s im é tric a fu n c ió n

f:

V

—>

k

d e fin id a

por

f(x )

=

g (x ,x )

-

< x ,x >

so b re

V

g e s la donde

n < x ,y >

= y , , v , 1=1

Si

V - k n y s i A g k nxn e s í a m a t r i z s i m é t r i c a d e l a f o r m a b i l i n e a l g , e n t o n c e s

la f o r m a c u a d r á t ic a a s o c ia d a e s tá d e f in id a p o r:

n

n

Í*\

j-\

f ( x ) = x‘Ax

384


observamos que el desarrollo de una forma variables x {, x 2

c u a d r á tic a , e n

términos

» corresponde a un polinomio homogéneo de

de

g ra d o

la s 2

donde los coeficientes de los términos cuadráticos son los elementos d e l a diagonal de la matriz simétrica correspondiente, y cada coeficiente d e un término rectangular x¡Xj es el duplo del elemento Q{J de la ecuación. DEFINICIÓN.- Una forma cuadrática x f Ax es no degenerada sí

y

sólo sí

A

es no singular. La matriz correspondiente a la forma cuadrática / : R 3 -> R definida por:

1 -1 2 /( * ) = x \ + 2** + 2*3 - 2 ^ * 2 +3x¡x3 es A =

- 1

2

2

0

0

2

Determinar la matriz de la forma cuadrática sobre R 3 definida

Ejemplo.*

2

2

por f ( x ¡, x 2, x 3) = x l -4 * 1 * 2 + 2 x 2

Solución ‘1 A = -2 0 Ejemplo.-

-2 2 0

0' 0 0

A=

1

-2

-2

2

La matriz de la forma cuadrática f i x , y ) ~ a x 2 ■¥bxyJr c y 2 es:

b

— c 2


DEFINICIÓN.-

385

Sea

V

y s e a A u n a m a triz s im é tric a d e n x n e n to n c e s

u n a fo rm a c u a d rá tic a e n

f ( x x, x 1 , . . . , x „ ) = A v .v

fo rm a:

E je m p lo » -

x l , x 2 , . . . , x n e s u n e x p o n e n t e d e la

E n c u e n tr e u n a m a tr iz s im é tr ic a A , ta l q u e la f o r m a c u a d r á t ic a s e p u e d e e s c r ib i r e n la f o r m a A X .X

1)

X j2 + 2 x J X

2

+ X

+ 4x !

2

JC3

+ X

2X 3

4- 3 x ^

+ lx

j

JC4 -

2x

2

x

4

4-

JC2

S o lu c ió n

2

1

7

2

1

1

3

2 ~1

2

3

3

0

7 — -1

0

1

6.16. EJERCICÍOSPRü PÚÉSTOSLÍ (T )

H a lla r la m a tr iz s im é tr ic a q u e c o rre s p o n d e a c a d a u n o d e la s s ig u ie n te s fo r m a s c u a d rá tic a s .

a)

f ( x ,y ) ~ 4 x 2 ~ 6 x y - 7 y 2

c)

f(x ,y ,z ) = 3x2 + 4 x y - y 2 + 8xz~6yz + 3z2

d)

/ (jc, y , z) =

x

- 2yz

+ 5jcz

b)

f{ x ,y ) ^ x y + y

386 ©

Eduardo Espinoza Ramos H a lla r

una

d ía g o n a iíe e re la c ió n

m a triz

la forma

que

k

g v ( * ) - g (jc , y )

U na

fu n c ió n "1

2

Transformación

de

c u a d rá tic a

e x is te e n tre

Sea g : V "

©

o rto g o n a l

c o o rd e n a d a s

f ( x , y ) = i6 * 2 + 24xy + 9 y 2 ,

la s c o o r d e n a d a s

una forma bilineal. es u n a

de

ig u a le s (x ,y )

D e m o s tra r

que

y la

g v : V

así

c o rn o

que la


k ,

definida p o r

forma l i n e a l .

b ilin e a l

f

so b re

J?3

e s tá

c a ra c te riz a d a

por

la

m a triz

-1 “

A = 1 0 -2 0

©

1

1

i)

O b te n e r f( x ,y )

ii)

D e t e r m i n a r la m a tr iz

de

{ ( 1 , 1 , 1 ) , (1X0),(1,0,0)}

S e a n g u n a f o r m a b i l i n e a l s i m é t r i c a s o b r e V y f la f o r m a c u a d r á t i c a a s o c ia d a . D e m o s tra r q u e :

(ó)

0

g( x, y ) =

-4 [/(-*■+ y ) -

ii)

g(x, y) = ~ [ f ( x + y) - f ( x ) -

f(x

- >-)] /(j)]

Determinar la matriz de ia forma cuadrática sobre /f3 definida por f ( x ¡ , x 2 , Xj ) = x,2 - 4x¡ x 2 + 2.x2

■‘ibliúgrafia

387

¡BIBLIOGRAFÍA ( IJ

Fundamenuk s cf Linear Algebra por KATSLMI NOMIZU

y¿)

Elemento. Je Algebra Lineal por LOWELL J. PAIGE y J. DEAN SWIFT

)

Algebra

y

A n á lis is

de

Funciones Elementales por M.

POTAFOV,

ALEXANDROV \; l )

)

A lgebra Lineal, por KOLMAN BERNARD A lg e b ra L in e a l p o r

SE YMOUR LIPSCHUTZ

' }

A lgebra Superior por

(7 }

Algebra Línea! por S E R . G E LANG

(n )

Introducción al Algebra Lineal p o r

Q

L in e a r

0 (¿)

L i n e a r A l g e b r a p o r-

0

A lgebra por

A lg e b ra L in e a l p o r

A»

G. KUROSCH

R O B ER T

M ÍS C H A

R, STOLL y EDWARD T. WONG

GEORG1E. SHILOV

JORGE ANTONIO LUDLOW - WIECHERS

(' i)

In tro d u c c ió n

(i i )

A lg e b ra L in e a l

(l4)

A lg e b ra L in e a l p o r

0

P ro b le m a s d e A lg e b ra L in e a l p o r

¡L )

F u n d a m e n to s d e A lg e b ra L in e a l p o r

(i

7)

a! A l g e b r a Lineal

L in e a l

por

HOWARD ANTON

por PALERMO SAENZ, FRANCISCO JOSE VASQUEZ

STANLEY I. GROSSMAN

Introducción al Algebra Lineal A lgebra

COTLAR

D. FADDIEEV, I. SOMINSKI A. I. MALTSEV

p o r B .C , T E T R A

por JOSEPH HEINHOLD

y BRU N O

RIEDMÜLLER

V.

Álgebra lineal - Eduardo Espinoza Ramos-FREELIBROS.ORG.pdf

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