Álgebra Lineal - David C. Lay

t t

/

2.

■

1(0.1) (-sen * eos*) / \V * / 5 ' (eos*. sen*) i i ^ 9 i i n í.o) rgura 1 Una transformación de rotación

T ransform aciones lineales geom étricas de IR2 jo j

HGURA2 El cuadrado unitaria

I.os ejemplos 2 y 3 Ilustran transformaciones lineales que se describen geométricamente. Las tablas 1 a 4 muestran otras transformaciones lineales geométricas comunes del plano. Como las transformaciones son lineales, estas quedan completamente determinadas por su acción sobre las columnas de k . En vez de solo mostrar las imágenes de y e . las tablas indican cómo una transformación afecta a un cuadrado unitario (figura 2). Es posible construir otras transformaciones diferentes a partir de las listadas en las ta­ blas l a 4; basta aplicar una transformación tras otra. Por ejemplo, un trasquilado horizontal podría ir seguido de una reflexión en el eje x2. La sección 2.1 mostrará que tal composición de transformaciones lineales es lineal. (También, véase el ejercicio 34).

Preguntas de existencia y unicidad H concepto de transformación lineal ofrece una nueva manera de entender las preguntas de existencia y unicidad que se plantearon antes. Las dos definiciones que aparecen después de las tablas 1 a 4 aportan una terminología adecuada para las transformaciones.

http://www.fullengineeringbook.net 94 of 461.

1.9

TABLA 1

Matriz de una transformación lineal

Reflexiones

T h n tfo rn n c lta

In n ^ n dH cuadrado unitario

Matrfa n tá n d r

Reflexión a través del eje X|

Reflexión a través del eje x?

Reflexión a través de la recta xj - xi

^

Reflexión a través de la recta x* *» -x i

Reflexión a través del origen

http://www.fullengineeringbook.net 95 of 461.

]

77

78 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

TABLA 2

Contracciones y expansiones (M c u a c a d o la É a rio

Contracción y expansión horizontal

J■i

ji

[*0 1?!

i]

[i] \ ------------------------ x\

r p oi —

Ííl

' k> l

0
Contracción y expansión wrtical

0 *

]

TABLA 3 Trasquilados Ihnfcrw iritM

i del cuadk~aik> unitario

Trasquilado horizontal

M atriz

[í]

IJ't [f] i i i [i] *<0

Irasqullado vertical

http://www.fullengineeringbook.net 96 of 461.

M¿] Jt> o

[i

*]

1.9

TABLA 4

Matriz de una transformación lineal

Proyecciones

TVandcranrióa

In n ^m d rl cuadrado unitario

Proyección sobre dejejt,

*2

Proyección sobre

*2

M atriz nstárakr

f1 [o

°1

oj

]

d e je *2

DEFINICIÓ N

79

Se dice que un mapeo T : R" -► R® es safare R® si cada fa en R® es la imagen de a l m en o s una x en R".

De manera equivalente. T es sobre R® cuando todo el rango de Tes codominio R®. Es decir. T mapea R" sobre R® si. para cada fa en el codominio R®. existe al menos una solución de 7(x) = b. “¿ T mapea Resobre R"7’ es una pregunta de existencia. El mapeo T no es sobre cuando existe alguna b en R* para la cual la ecuación 7\x) = b no tiene solucióa Véase la figura 3.

Tnots sobre R®

fessobre R®

FIGURA 3 ¿El rango de Tes todo 01*7

DEFINICIÓ N

Se dice que un mapeo T : R" a lo su m o una x en R".

R® es uno a uno si cada b en R® es la imagen de

http://www.fullengineeringbook.net 97 of 461.

80 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

De manera equivalente. T es uno a uno si. para cada b en IR®, la ecuación 7¡x) = b tiene una única solución o ninguna solución. “¿ T e s uno a uno?" es una pregunta de unicidad. El mapeo T n o es uno a uno cuando algún b en IR®es la imagen de m i de un vector en IR'’. Si no existe tal b. entonces T es uno a uno. Véase la figura 4.

RGURA 4

¿Cada bes la Imagen de a lo sumo un vector?

Las transformaciones de proyección que se ilustran en la tabla 4 n o so n uno a uno y no mapean R;' sobre R2. Las transformaciones en las tablas 1, 2 y 3 son uno a uno/si mapean R2 sobre R2. Otras posibilidades se muestran en los dos ejemplos siguientes. El ejemplo 4 y los teoremas que siguen muestran cómo las propiedades funcionales de ser un mapeo sobre y uno a uno están relacionadas con importantes conceptos estudiados antes en este capitulo. E JE M P L O 4

Sea 71a transformación lineal cuya matriz estándares 1 -4 A =

0 0

8

2 -1 0 0

¿ T mapea IR4 sobre R3? ¿7es un mapeo uno a uno? SOLUCIÓN Como A está en forma escalonada, podemos ver a la vez que A tiene una posi­ ción pivote en cada fila. De acuerdo con el teorema 4 de la sección 1.4. para cada b en R3. la ecuación A x = b es consistente. En otras palabras, la transfonmación lineal Tmapea R4 (su dominio) sobre R3. Sin embargo, ya que la ecuación A x = btlcnc una variable libre (porque hay cuatro variables y solamente tres variables básicas), cada bes la Imagen de más de una x Es decir. 7’/wesunoauno. ■

TEOREM A 11

S e a 7 ':R n -*R®una transformación lineal. Entonces T es uno a uno si y solo si la ecuación 7(x) - •tiene únicamente la solución trivial.

DEMOSTRACIÓN Como T e s lineal. T{9) = 0 Si T es uno a uno. entonces la ecuación 7{x) = Otiene a lo sumo una solución y. por lo tanto, solo la solución trivial. Si T n o es uno a uno. entonces existe una b que es la imagen de al menos dos diferentes vectores en Rfl. por ejemplo, a y v. Es decir, 7W = b y 71v) = b. Pero, como Tes lineal. T(m - v) = T(m - T(w) ■ b - b = 0 El vector a - v no es cero porque a * v. En consecuencia, la ecuación 7(x) = Otiene más de una solución. Así. las dos condiciones del teorema son ambas verdaderas o ambas son falsas. ■

http://www.fullengineeringbook.net 98 of 461.

1.9

TEOREMA 12

Sea F: De esta forma.

Matriz de una transformación lineal 8 1

una transformación lineal y sea A su matriz estándar.

a) T mapea Rnsobre R®si y solo si las columnas de A generan a R®: ti) Fes uno a uno si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.

DEMOSTRACIÓN a ) De acuerdo con el teorema 4 de la sección 1.4. las columnas de A generan a R" si y solo si para cada b en R® la ecuación A x = b es consistente; en otras palabras, si y solo si para cada b. la ecuación 7{x) = b tiene al menos una solución. Esto es cierto si y solo si T

mapea R” sobre R®. b) Las ecuaciones 7{x) - O y A x = O son iguales excepto por la notación. Asi. de acuerdo con el teorema 11. Fes uno a uno si y solo si A x = Otiene únicamente la solución trivial. Esto ocurre si y solo si las columnas de A son linealmente independientes, como ya se indicó en el enunciado (3) del recuadro en la sección 1.7. ■ El enunciado a) del teorema 12 es equivalente al enunciado Tm apea Resobre R® si y solos! cada vector en R“ es una combinación lineal de las columnas de A '. Véase el teorema 4 de la sección 1.4 En el siguiente ejemplo y en algunos ejercicios posteriores, los vectores columna están escritos en filas, comox = (*i, *2). mientras que 7(x) se escribe como 7{xi. *2) en vez de em­ plear la manera más formal 7f(*[, *2)). •2 •1

EJEMPLO 5 Sea F(*|, x2) = (3*| + x2, 5*1 + 7x2, x x + 3*2). Demuestre que Fes una transformación lineal uno a uno. ¿Fmapea R2 sobre R3? SOLUCIÓN Cuando x y 7{x) se escriben como vectores columna, es posible determinar por Inspección la matriz estándar de T, visualizando el cálculo fila-vector de cada entrada en A x

A

La transformación Fno es sobre R3.

Asi, T es claramente una transformación lineal; su matriz estándar A se muestra en (4). Las columnas de A son linealmente independientes porque no son múltiplos entre si. De acuerdo con el teorema \2ti), T es uno a uno. Para determinar si Fes sobre R3, examine el espado generado por las columnas de A. Como A es de 3 x 2. las columnas de A generan a R 3 si y solo si A tiene 3 posidones pivote, de acuerdo con el teorema 4. Esto es imposible, ya que A solo tiene 2 columnas. Asi. las columnas de A no generan a R3, y la transformadón lineal asociada no es sobre R3. ■

PROBLEMA DE PRÁCTICA*

•Sea F : R 2 R 2 la transformadón que primero efectúa un trasquilado horizontal que mapea e en «t> - .5®i (pero deja inalterado a a ) , y después refleja el resultado a través del eje x 2. Suponiendo que Fes lineal, encuentre su matriz estándar. (Sugerencia: Determine la ubicadón final de las imágenes de e, y «*).

http://www.fullengineeringbook.net 99 of 461.

82

CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

1 . 9 EJERCICIOS* Bi los ejercicios 1 a 10. suponga que Tes una transformación lineal. Encuentre la matriz estándar de T.

*z

1. T : R2 -» R4. 71*i) = (3. 1. 3. 1) y 7(*) = ( - 3 2. 0. 0). donde e, - ( l . 0 ) y * - < 0 . 1).

¿ 7: R» R* 7W - (1. 4). 7fe) - (-2. 9) y 7fe) - (3. -8). donde «i.

y e, son las columnas de la matriz identidad de

3x3. 3. T: Oí -> R*es una transformación de trasquilado vertical que trapea «i en « - 3tt. pero deja Inalterado a

4. T : R* -♦ R7 es una transformación de trasquilado horizontal qje no altera a i

y mapea ^ en ^ + 2«i

T: R?-* W2hace girara los puntos (en tomo al origen) a través de un ángulo de jt/ 2 radianes (en sentido antihorario).

En los ejercicios 15 y 16. llene las entradas fallantes de la matriz, suponiendo que la ecuación es válida para todos los valores de las variables.

& 7 : R2—♦ (R2 hace girar a los puntos (en tomo al origen) a través efe un ángulo de -3 w /2 radianes (en el sentido horario). 7. 7 : H* -* IR* primero hace girar puntas a través de —3rr/4 ra­

dares (en el sentido horario) y después los refleja a través del eje horizontal X|. {Sugerencia: Considere que 7"(e>) = (—1/> /2.1/ V2)\. & T : IR2 -+ R2 primero realiza una transformación de trasquilado horizontal que transforma a en + 2«» (dejando Inalterado a « ) y después refleja los puntos a través de la recta X2 • -x \. 9i T : R2 -* R2primero refleja los puntos a través del eje horizontal jT] y luego las hace girar - n /2 radiares.

Eh los ejercicios 17 a 20. demuestre que Tes una transformación li­ neal encontrando una matriz que Implerrente el mapeo. Observe que xi. x».... no son vectores, sino entradas en vectores. 17. 7Xxi. X2, xs. x<) ® Ui + 2 x2 .0. Zxí + x*. X2 - x«) lft 7Xn. X2) = Ui + 4x 2. 0. x\ - 3 x2. X|)

10l T : R2 -* (R2 primero refleja las puntos a través del eje horizon­ tal xi y luego los refleja a través de la recta X2 ■ x¡.

lft

11.

2ft 7\xi. X2, xs. X4) - 3xi + 4xj - 2x4(Observe que: T: R4-> IR)

Una transformación lineal T : R2-> ¡R2 primero refleja los pun ios a través del eje xj y luego los refleja a través del eje xj. Demuestre que ftambiénse puede describir como una transfor­ mación lineal que hace girar los puntos en tomo al orige a ¿Cuál es el ángulo de esa rotación?

12. Demuestre que la transformación del ejercicio 10 es meramente uta rotación en tomo al origen. ¿Cuál es el ángulo de rotación? •13. Sea T : R2 -♦ R2 la transformación lineal tal que 7(«0 y 7(«t) son los vectores que se muestran en la figura. Con base en la figura, dibuje el vector 7(2. 1).

14. Sea T : R2 -» R2 una transformación lineal con matriz estándar / * [a, % j. donde ^ y a ¿ s e muestran en la figura, en la parte superior de la columna 2. Utilizando la figura, dibuje la imagen (fe í _ *1 bajo la transformación T.

TXxri. X2. xs) = Cti - 5x2 + 4x.i, X2 - 6x 3)

21. Sea T : IR2 -* R2 una transformación lineal tal que 7X*i. xj) = txi + X2. 4xi + 5x2). Encuentre «tal que 7\«) - (3. 8). 22 Sea T : IR2 -* R5 una transformación lineal con 7Xxi, x¿) = (2xj - X2. -3 x i + X2. 2ti - 3x2). Encuentre x tal que 7 W - Í O . - 1 .- 4 ) . Eh los ejercicios 23 y 24. marque cada enunciado como verdadero o febo. Justifique sus respuestas. • 23 a) Una transformación lineal T :\5 f-* R*está completamente determinada por sus efectos sobre las columnas de la matriz identidadde n x n. b) Si T : R 2 - » R2 hace girar los vectores un ángulo R*es sobre R"si cada vector x en R" se mapea sobre algún vector en R*7. e) SI A es una matriz de 3 x 2. entonoes la transformación x>~* Ax no puede ser uno a uno. * 21 a) Si A es una matriz de 4 x 3. entonces la transformación x*-* Ax mapea IR3 sobre R4.

http://www.fullengineeringbook.net 100 of 461.

1.9 b) Cada transformación lineal de R" a Rmes una transforma­ ción matriclal. 4

Las columnas de la matriz estándar para una transformación lineal dp R" a R® son las Imágenes de las columnas de la matriz identidad de n x n bajo T. d) Un mapeo T : R"—* Rmes uno a uno si cada vector en R" * mapea sobre un único vector en R“. 4 La matriz estándar de una transformación de trasquilado horizontal de R2a R2tiene la forma

j, donde a y b

son ±1. En los ejercicios 25 a 28, determine si la transformación lineal espe­ cificada es a) uno a uno o b) sobre. Justifique cada respuesta.

33. Orifique la unicidad de A en el teorema 10. Sea T : R" -+ R*

ina transformación lineal tal que 7(x) - ¿fcpara alguna matriz 7?d e m x n Demuestre que si A es la matriz estándar de T, entonces A - B. [Sugerencia: Demuestre que A y Atienen las mismas columnas]. 34 Sean 5 :

-* R° y T : Rff -♦ R® transformaciones lineales. Demuestre que el mapeo x •-* 7\S(x)) es una transformación lineal (de R? a R"). [Sugerencia: Calcule 7TS(oi + d*)) para a v en R ' y escalares c y flf Justifique cada paso del cálculo, y explique por qué este proceso conduce a la conclusión daseada).

* 35. Si una transformación lineal T : R" -* R® mapea R" sobre R*. ¿es posible encontrar una relación entre m y rí? Si Tes uno a uno. ¿qué se puede decir acerca de m y rí? * 38 ¿Por qué la pregunta "¿La transformación lineal Tes sobre?’ es una pregunta de existencia?

2 8 La transformación en el ejercicio 17.

La transformación en el ejercicio 2.

¡Mj En los ejercicios 37 a 40. sea 71a transformación lineal cuya matriz estándar se presenta En los ejercicios 37 y 38. determine si Tes un mapeo uno a uno. En los ejercicios 39 y 40, determine si T mapea R5sobre R5. Justifique sus respuestas.

27. La transformación en el ejercido 19.

28 La transformación en el ejercicio 14. En los ejercicios 29 y 30. describa las posibles formas escalonadas de la matriz estándar para una transformación lineal T. Utilice la no­ tación del ejemplo 1 de la sección 1.2 29 T: R ^ R * es uno a uno.

Matriz de una transformación lineal 83

* 38 T: R4-* R3es sobre.

6 -5 -6 * 8 3 -3 9 5 -1 2 2 7 -1 2

'- 5 8 2 .-3

38

31. Sea r :R " -tR ® u n a transformación lineal, y sea A su matriz estándar. Complete el siguiente enunciado para hacerlo verda­ dero: ' 7es uno a uno si y solo si A tiene____ columnas pivo te*. Explique por qué el enunciado es verdadero. [Sugerencia: Consulte los ejercicios de la sección 1.7}.32

4 -7 3 7 6 -8 5 12 - 7 10 - 8 - 9 4 2 3 -5 _- 5 6 -6 -7

5" -8 14 -6 3,

32. Sea T : R" -* R® una transformación lineal, y sea A su matriz estándar. Complete el siguiente enunciado para hacerlo verda dero: *fmapea Rc sobre R® si y solo si A tiene______ co­ lumnas pivote’. Encuentre algunos teoremas que expliquen por qué el enunciado es verdadero.

5 6 ‘ 9 43 14 15 - 7 - 5 - 8 - 6 12 - 5 9 -5 -6 -4 13 14 15 3

-I" 4 -9 8 II

' 7 5 5 6 4 8 -ó - 6

9 —9" 4 -4 0 7 6 5

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE PRÁCTICA Observe lo que ocurre a e y e . Véase la figura 5. Primero. *i no sufre alteraciones por el trasquilado y después se refleja en - • * . Asi. 7(«0 = - * j. Segundo, ^ va a - .5«j por

^

^

Transió nnacKn
Reflexión a través del eje

FIGURA 5 Composición de dos transformaciones.

http://www.fullengineeringbook.net 101 of 461.

84 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal la transformación de trasquilado. Como la reflexión a través del eje xz cambia a ** en y deja inalterado a el vector ^ - ,5«i va a «t + .5«i. Asi, 7I«g) = + .5®]. Por lo tanto, la matriz estándar de T es

[ H e ,)

1.

7*(e2) ] = [ - e ,

e, + .5e, ] =

**]

M O D E L O S LIN EA LES EN L O S N E G O C IO S , C IEN CIA E IN G EN IERÍA

En esta sección todos los modelos matemáticos son lineales, es decir, cada uno de ellos des­ cribe un problema mediante una ecuación lineal, por lo general en forma vectorial o matridal. El primer modelo concierne al campo de la nutrición, pero en realidad es representativo de una técnica general en problemas de programación lineal. El segundo modelo pertenece al campo de la Ingeniería eléctrica. El tercer modelo introduce el concepto de una ecuación lineal en áferencias. una poderosa herramienta matemática para estudiar procesos dinámicos en una amplia variedad de campos, como ingeniería, ecología, economía, telecomunicacio­ nes y ciencias administrativas. Los modelos lineales son importantes porque los fenómenos naturales con frecuencia son lineales o casi lineales cuando las variables implicadas se man­ tienen dentro de limites razonables. Además, los modelos lineales se adaptan más fácilmente al cálculo computacional que los complejos modelos no lineales. Conforme estudie cada modelo, preste atención en cómo su linealidad refleja alguna propiedad del sistema que se modela.

Elaboración de una dieta nutritiva para bajar de paso WEB i -------'

La fórmula para la dieta Cambridge, una conocida dieta de la década de 1980, se basó en años de investigación. Un equipo de científicos, encabezados por el doctor Alan H. Howard, desa­ rrollaron esta dieta en la Universidad de Cambridge después de más de ocho años de trabajo dlnico con pacientes obesos.1 I-a fórmula de la dieta baja en calorías combina un balance preciso de carbohidratos, proteínas de alta calidad y grasa, junto con vitaminas, minerales, oligoelementos y electrolitos. Millones de personas han seguido la dieta para lograr una rápi­ da y sustancial pérdida de peso. Fbra alcanzar las cantidades y proporciones deseadas de nutrientes. Howard tuvo que incorporar una gran variedad de alimentos en la d ieta Cada alimento suministraba varios de los ingredientes requeridos, pero no en las proporciones correctas. Por ejemplo, la le­ che sin grasa (descremada) fue la principal fuente de proteína, pero contenia mucho calcio. De manera que se utilizó harina de soya para aportar proteina porque contiene poco cal­ cio. Sin embargo, proporcional mente la harina de soya contiene mucha grasa, asi que se adicionó suero de leche porque contiene menos grasa en relación con el calcio. Por desgracia, el suero de leche contiene muchos carbohidratos... El siguiente ejemplo ilustra el problema a pequeña escala. En la tabla 1 se listan tres de los ingredientes en la dieta, junto cotí las cantidades de ciertos nutrientes aportados por 100 gramos (g) de cada ingrediente.2 E JE M P L O 1 Si es posible, encuentre alguna combinación de leche descremada, harina de soya y suero de leche que aporte las cantidades exactasde proteínas, grasas y carbohidratos suministrados por la dieta diaria (tabla 1).

1H primer anuncio de este rápido régimen para bajar de peso se publicó en el tUrmaicnaJ Journal oí Cbcsily 0978) ft 321 332. * Ingredientes en la dieta desde 1984; datos de nutrientes «i Ingredientes adaptados del LEDA Agriniltural Handbooks, nútnv 8-1 y 8-8.1976,

http://www.fullengineeringbook.net 102 of 461.

1.1 0

Modelos lineales en los negocios, ciencia e Ingeniería 85

TABLA 1 dan par lOOgdr intpedk-nte Suero H vka de leche de soya

L id » Nutriente

Caritidadesfeng radbporlidkta

Proteínas

36

51

13

33

Carbohidratos

52

34

74

45

0

7

Grasa

3

l.l

SOLUCIÓN Dejemos que x\. xz y xg. respectivamente, denoten el número de unidades (100 g) de esos alimentos. Un enfoque al problema consiste en deducir ecuaciones por separado para cada nutriente. Por ejemplo, el producto

1

*1 unidades de 1 fproteínas por unidad 1 leche descremada} [de leche descremada}

da la cantidad de proteína suministrada por x\ unidades de leche descremada A esta cantidad, le agregaríamos productos similares de harina de soya y suero de leche, igualando la suma resultante con la cantidad de proteina que se requiere. Se tendrían que realizar cálculos sim i­ lares para cada nutriente. Un método más eficiente, y más sencillo conceptual mente, consiste en considerar un “vector nutriente" para cada alimento y elaborar solo una ecuación vectorial. La cantidad de nutrientes aportados por xi unidades de leche descremada es el múltiplo escalar

{

Escalar V edar *, unidades de I (nutrientes por unidad | leche descremada) [de leche descrem ada} “ 't|a i

(1)

donde m es la primera columna de la tabla 1. Sean a? y los vectores correspondientes para harina de soya y suero de leche, respedivamente, y sea b el v ed o r que lista el total de nutrien­ tes requerido (la última columna de la tabla). Luego. x 2»¿ y *3» , dan los nutrientes sum inis­ trados por x? unidades de harina de soya y *3 unidades de suero de leche, respedivamente. De esta forma, la ecuación relevante es

*ia, + x2% + x

a

=b

(2)

La reducdón por filas de la matriz aumentada del sistema de ecuadones correspondiente indica que 36 52 0

51 34 7

13 33' 74 45 1.1 3

n Lo

0 1 0

0 0 1

.277 .392 .233

A tres dígitos significativos, la dieta requiere .277 unidades de leche descremada. .392 uni­ dades de harina de soya y .233 unidades de suero de leche, oon el objetivo de aportar las cantidades deseadas de proteínas, carbohidratos y grasa. ■ Es importante que los valores encontrados para X \ , x2 y x3 no sean negativos. Esto es necesario para que la solución sea físicamente realizable. (Por ejemplo, ¿cómo se podrían emplear -.2 3 3 unidades de suero de leche?) Para un gran número de requerimientos nutrí cionales. será necesario utilizar un mayor número de alimentos para así generar un sistema de ecuaciones con una solución 'n o negativa". Por consiguiente, se necesitaría examinar muchísimas combinaciones diferentes de alimentos para encontrar un sistema de ecuaciones con tal solución. De hecho, el diseñador de la dieta Cambridge fue capaz de proporcionar 31 nutrientes en cantidades precisas empleando solo 33 ingredientes. El problema de la elaboración de la dieta conduce al sistema lineal (2) porque la cantidad de nutrientes aportada por cada alimento se puede escribir como un múlt iplo escalar de un vec­ tor. como en (1). Es decir, los nutrientes suministrados por un al Imento son proporcionales a la

http://www.fullengineeringbook.net 103 of 461.

86 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal cantidad del alimento agregado a la mezcla de la dieta. Además, cada nutriente en la mezcla es la suma de las cantidades de los diversos alimentos. I .os problemas de formulación de dietas especializadas para humanos y ganado ocurren con frecuencia. Por lo regular, dichos problemas se tratan mediante técnicas de programación lineal. Nuestro método de construir ecuaciones vectoriales a menudo simplifica la tarea de formular tales problemas.

Ecuaciones lineales y redes eléctricas WEB 1 El flujo de corriente en una red eléctrica sencilla se puede describir por un sistema de ecua-------■ dones lineales. Una fuente de voltaje, como una batería, genera una corriente de electrones que fluye a través de la red. Cuando la corriente pasa por un resistor (ya sea una bombilla o un motor), parte del voltaje se ‘ consume'*; de acuerdo con la ley de Ohm, esta ‘calda de voltaje* en el resistor está dada por V = Rl

donde el voltaje / s e mide en volts, la resistenda R e n ohms (denotados con el símbolo íl). y el flujo de corriente / en amperes (A). La red de la figura 1 contiene tres drcuitos cerrados. Las corrientes que fluyen en los drcuitos 1. 2 y 3 se denotan con /,, h c /3, respectivamente. L as dircedones asignadas a las corrientes do circuito son arbitrarias. Si una corriente resulta negativa, entonces la direcdón real del flujo de corriente es opuesta a la que se indica en la figura. Si la direcdón de corriente que se muestra se aleja del lado positivo de una batería (-jt-). alrededor del lado negativo, entonces el voltaje es positivo: de otra forma, el voltaje es negativo. E3 flujo de corriente en un circuito está regido por la siguiente ley. LEY DE KIRCHHOFF SOBRE a VOLTAJE La suma algebraica de las caldas de voltaje R Ien una direcdón alrededor de un drcuíto es Igual a la suma algebraica de las fuentes de voltaje en la misma direcdón alrededor del circuito.

E JE M P L O 2

Determine las com entes de drcuito en la red de la figura 1.

SOLUCIÓN Para el drcuito 1 la corriente /, fluye a través de tres resistores, y la suma de las caldas de voltaje R I es 4 / , + 4 / , + 3 /, = ( 4 + 4 + 3)/, = 11/, La corriente en el circuito 2 también fluye en parte del circuito 1. por la pequeña rama entre A y B. Ahi la calda R I asodada es 3 /2 volts. Sin embargo, la direcdón de corriente para la rama A B en el drcuito 1 es opuesta a la elegida para el flujo en el drcuito 2. de manera que la suma algebraica de todas las caldas /?/para el drcuito 1 es 11 /, - 2>k- Como el voltaje en el drcuito 1 es + 30 volts, la ley de voltaje de Kirchhoff implica que U /i - 3 /2 = 3 0 La ecuación para el drcuito 2 es rgura

i

-3 /, +

- h = 5

El término - 3 / , viene del flujo de la corriente del circuito 1 por la rama A B (con una cal­ da de voltaje negativa porque ahí el flujo de corriente es opuesto al flujo en el circuito 2 ). El término es la suma de todas las resistencias en el circuito 2, multiplicada por la corrien­ te del drcuito. El término - 1 * h proviene de la corriente del drcuito 3 que fluye por el resistor de 1 ohm en la rama CD, en la direcdón opuesta al flujo en el drcuito 2. La ecuad ó n para el drcuito 3 es - h + 3/3 = - 2 5

http://www.fullengineeringbook.net 104 of 461.

1.1 0

Modelos lineales en los negocios, ciencia e Ingeniería 87

Observe que la batería de 5 volts en la rama CD se cuenta como parte de los circuitos 2 y 3, pero se considera de - 5 volts para el circuito 3 debido a la dirección elegida para la corriente en el circuito 3 . 1.a batería de 20 volts es negativa por la misma razón. Las corrientes de circuito se encuentran resolviendo el sistema II/, - 3 / 2 - 3 / , + 6/ 2 -

=

30

h=

5

(3)

/2 + 3 /j = —25

-

Las operaciones de fila sobre la matriz aumentada conducen a la solución: /, = 3 A, h = 1 A e k = - 8 A. El valor negativo de k indica que la corrienle real en el circuito 3 (luye en la dirección opuesta a la que se muestra en la figura 1. ■ Es conveniente observar el sistema (3) como una ecuación vectorial:

[-IH - íH R H \

t ri

j

]

(4)

r,

La primera entrada de cada vector concierne al primer circuito, y de manera similar para la segunda y tercera entradas. El primer vector resistor r, lista la resistencia en los diversos circuitos por donde fluye la corriente Una resistencia se registra como negativa cuando /, fluye contra la dirección de flujo en otro circuito. Examine la figura 1 y vea cómo calcular las entradas en n ; luego, haga lo mismo con y ís . La forma matricial de la ecuación (4).

R \ = v.

donde.

R = [ r,

r2 r3J

i = I"7' I /2

e

u da una versión matricial de la ley de Ohm. Si todas las corrientes de circuito se seleccionan en la misma dirección (por ejemplo, en sentido antihorario), entonces todas las entradas fuera de la diagonal principal de serán negativas. De una mirada, la ecuación matricial /3 = ▼permite distinguir fácilmente la linealidad de este modelo. Por ejemplo, si se duplica el vector voltaje, entonces lo mismo ocurre con el vector corriente. Además, es válido el principio do superposición. Es dedr. la solución de la ecuación (4) es la suma de las soluciones de las ecuaciones

r 30! L °J 0

.

**»

*0“ 5 0

y

m

=

r °i

0 L - 25J

Cada ecuación aquí corresponde al circuito con una sola fuente de voltaje (las otras fuentes se remplazan con los alambres que cierran cada circuito). El modelo para el flujo de co­ rriente es lineal porque precisamente las leyes de Ohm y de Kirchhoff son lineales. La calda de voltaje en un resistor es proporcional a la corriente que fluye por él (Ohm). y la sum a de las caldas de voltaje en un circuito iguala a la suma de las fuentes de voltaje en el circuito (Kirchhoff). I^ s corrientes de circuito en una red se pueden emplear para determinar la corriente en cualquier rama de la red. Si solo una corriente de circuito pasa por una rama, como de B a D e n la figura 1. la corriente de la rama es igual a la corriente de circuito. Si más de una corriente de circuito pasan por una rama, como de A a B. la corriente de rama es la suma algebraica de las corrientes de circuito en la rama (ley de Kirchhoff sobre la corriente). Por ejemplo, la corriente en la rama AB cs /, - k = 3 - 1 = 2 A. en la dirección de /,. La corrien­ te en la rama C D es /2 - /3 = 9 A.

http://www.fullengineeringbook.net 105 of 461.

88 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

Ecuaciones en diferencias En muchos campos, como ecología, economía e Ingeniería, surge la necesidad de modelar matemáilcamcnte un sistema dinámico que cambia en el tiempo. Diversos aspectos del siste­ ma se miden en intervalos de tiempo discretos, produciendo asi una secuencia de vectores Z|. *2.... Las entradas en x¿ brindan información sobre el esfatfodel sistema en el momento de la A-ésima medición. Si existe una matriz A tal que Xt = Amq, x ? = Ax¡ y. en general. x*+i = A xt

para

¿ * 0 .1 ,2 ,...

(5)

entonces (5) se llama wariftn Kne-al en íf«rendas (o rdadán de remrrandai Con esta ecuación, se pueden calcular x,. x¿, y asi sucesivamente, si Xose conoce. Las secciones 4.8 y 4.9, así como algunas otras del capitulo 7 (en el sitio Web de este libro), desarrollarán fórmulas para x¿ y describirán qué ocurre a xí conforme Ase Incrementa indefinidamente. El análisis que se presenta a continuación ilustra cómo puede originarse una ecuación en diferencias. Un tem a de interés para los demógrafos es el movimiento de poblaciones o grupos de gente de una región a otra. El modelo sencillo que se incluye aquí considera los cambios en la población de una cierta ciudad y sus suburbios durante un periodo de años. R je un año inicial — por ejemplo, 2000— y denote las poblaciones de la ciudad y los suburbios de ese año mediante r0 y Sq. respectivamente. Sea Xo el vector de población Población de la ciudad. 2000 Población suburbana. 2000 Para 2001 y los años subsiguientes, denote las poblaciones de la ciudad y de los suburbios mediante los vectores

* •-[* :]•

* * -[£ ]•

*

Nuestro objetivo es describir matemáticamente cómo podrían estar relacionados esos vecto­ res. Suponga que estudios demográficos revelan que. cada año. cerca del 5% de la población de la ciudad se muda a los suburbios (lo que significa que el 95% permanece en la ciudad), mientras que el 3% de la población suburbana cambia su residencia a la ciudad (en tanto que el 97% permanece en los suburbios). Véase la figura 2.

FIGURA 2 Porcentaje anual de migración entre la ciudad y los suburbios.

Después de un año. los habitantes originales de la ciudad, ro. están ahora distribuidos entre la ciudad y los suburbios como

[.9.055r*0 1J _

r .95 "1 ffermanecen en la ciudad r °[_ .05 J Se mudan a les suburbios

...

Los habitantes de los suburbios en 2000,.%. están distribuidos un año después como Se mudan a la ciudad Permanecen en los suburbios

http://www.fullengineeringbook.net 106 of 461.

(7)

1.1 0

Modelos lineales en los negocios, ciencia e Ingeniería 89

Los vectores en (6) y (7) explican cómo se distribuye la población en 2001 3 Asi.

[«M SM SH ;

95 05

Es decir, = M*o

{8)

donde M e s la m atriz éearfgracJáH determinada por la siguiente tabla: De: Ciudad Suburbios A: [.9 5 [.0 5

.0 3 ] . 97 J

Ciudad Suburbios

La ecuación (8) describe cómo cambió la población de 2000 a 2001. Si los porcentajes de migración permanecen constantes, entonces el cambio de 2001 a 2002 está dado por *2 = Mx 1 y. de manera similar, de 2002 a 2003 y en los años subsiguientes. En general, x*. i = M x í

para

k = 0. 1. 2 ....

(9)

I>a secuencia de vectores {r*,. x u r^,.. .} describe las poblaciones de la ciudad y los suburbios durante un periodo de años.

E JE M P L O 3 Calcule la población de la región que se acaba de describir para los años 2001 y 2002. considerando que la población en el año 2000 era de 600,000 habitantes en la ciudad y de 400,000 en los suburbios. SOLUCIÓN La población inicial en 2000 es xo =

X'

r .95 [.0 5

400 000 J ^ara

. 0 3 ] r 600,000] _ [5 8 2 .0 0 0 ] .97 J [400,000 J [ 418,000 J

Para 2002, _ _ T .95 x2 _ M%\ - |^ 05

f

.03 ] r 582.000 ] _ 565.440 ] .97 J [ 418.000 J [ 434.560 J

El modelo para el movimiento poblacional en (9) es linca! porque la correspondencia

x¿>-* x*f | es una transformación lineal. La linealidad depende de dos hechos: el número de personas que eligen cambiar su residencia de una área a otra es proporcional al número de personas en esa área, como se muestra en (6) y (7), y el efecto acumulativo de esas elec­ ciones se encuentra sumandoe\ movimiento de las personas de las diferentes áreas.

PROBLEMA DE PRÁCTICA Encuentre una matriz A y vectores x y b tales que el problema del ejemplo 1 signifique resol­ ver la ecuación A x = b

3Para simplificar.seIgnoran «ros factores que Influyen en la pohladón. como naclmlenios. muertes y movimientos migratorios hada la reglón que cómprente la ciudad y los suburbios, asi como hacia fuera de ella

http://www.fullengineeringbook.net 107 of 461.

90 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

1 . 1 0 EJERCICIOS* 1. Por lo regular, el empaque de un cereal indica el número de calorías y las cantidades de proteínas, carbohidratos y grasa contenidas en una porción del producto. A continuación se dan las cantidades para dos cereales comunes. Suponga que se pre­ parará una mezcla de eses dos cereales, de manera que contenga exactamente 295 calorías. 9 g de proteínas. 48 g de carbohidra­ tos y 8 gde grasa. a) Establezca una ecuación vectorial para este problema. In­ cluya un enunciado que explique el significado de cada va­ riable empleada en la ecuación. Ü) Escriba una ecuación matricial equivalente, y determine si es posible preparar la mezcla deseada de los dos cereales. Infurmarkn n u t r í r i i d p«r cada porción K l_ < t « nmuipnic

General M3k Clwrins*

Quaker’' 100% Nsdural Cereal

no

130

Calorías fVoteínas (g) Carbohidratos (g) Oasa (g)

Mac and Cheese a Aimle's Whole Wheat Shells and Whlte Cheddar (pasta integral y queso cheddar). ¿Qué proporcio­ nes de cada alimento deberla emplear para lograr los mismos objetivos que en el inciso a)? * 4 La dieta Cambridge aporta .8 g de calcio por día. además de los nutrientes listadas en la tabla 1del ejemplo 1.1j r cantidades de calcio por unidad (100 g) que aportan los tres ingredientes en la dieta Cambridge son las siguientes: 1.26 gde leche descremada. . 19 gde harina de soya y .8 gde suero de leche. Otro ingrediente en la mezcla de la dieta es proteina aislada de soya, que aporta los siguientes nutrientes en cada unidad: 80 g de proteínas. 0 g de carbohidratos. 3.4 g de grasa y . 18 g de calcio. a) Establezca una ecuación matricial cuya solución determine fas cantidades de leche descremada, harina de soya, suero de leche y proteína aislada de soya necesarias para suministrar tes cantidades precisas de proteínas, carbohidratos, grasa y calcio en la dieta Cambridge. Indique qué representan las variables de la ecuación.

4

3

b) [Mj Resuelva la ecuación en a) y analice la respuesta.

20

18

2

5

Eh las ejercicios 5 a 8. escriba una ecuación matricial que determine las corrientes del circuito. [M] Si dispone de MATLAB o de algún otro programa de matrices, resuelva el sistema para las corrientes del circuito.

2. Una porción de Shredded Wheat aporta 160 calorías. 5 gde pro teína. 6 gde fibra y i gde grasa. Una porción de Crispix* aporta 110 calorías. 2 g de proteina.. 1 g de fibra y .4 g de grasa, a) Establezca una matriz B y un vector «tal que Bmdé las can­ tidades de calorías, proteínas, fibra y grasa contenidas en una mezcla de tres porciones de Shredded Wheat y dos porciones de Crispix. b [M] Suponga que se desea un cereal con más fibra que Crispix pero con menos calorías que Shredded Wheat. ¿Es posible que una mezcla de ambos cereales proporcione 130 calorías. 3.20 g de proteina. 2.46 g de fibra y .64 g de grasa? Si es posible, ¿cuál es la mezcla? a

Después de tomar una clase sobre nutrición, una consumidora asidua de los productos de Anníe's®. a quien le gusta el producto Mac and Cheese (macarrones con queso), decide mejorar los ni­ veles de proteina y fibra en su almuerzo favorito agregando bró coli y pollo enlatado. 1.a información nutridonal de los alimentos mencionados en este ejercido se Índica en la siguiente tabla. i nutrkiraai per cada porción Nutriente

Calorías Proteína (g) Fibra (g)

Mar and Che»n e

Brócoli

Pollo

S bdh

270

51

70

260

10

5.4

15

9

2

5.2

0

5

a» [M] Si ella quiere limitar su almuerzo a 400 calorías, pero desea obtener 30 g de proteina y 10 g de fibra, ¿qué propor­ ciones de Mac and Cheese. brócoli y pollo deberla utilizar? b¡ [MI Ella encontró que no habla mucho brócoli en las pro­ porciones del Inciso a). asi que decidió cambiar del clásico

http://www.fullengineeringbook.net 108 of 461.

1.1 0

50 V

40 V

Modelos lineales en los negocios, ciencia e Ingeniería 9 1

12 [M] Budget* Rent A Car en Wichlta, Karsas, tiene una flotilla de 500 vehículos, distribuidos en tres sucursales. Un auto ren tado en una sucursal puede devolverse en cualquiera de las tres. Las diversas fracciones de autos devueltos a las tres sucursales re muestran en la matriz que aparece a continuación. Suponga que un lunes hay 295 autos en el aeropuerto (o que se rentan ahí), 55 autos en la sucursal de la zona este, y 150 automóviles en el establecimiento de la zona oeste. ¿Cuál será la distribución aproximada de autos para el miércoles? Autos rentados en: Aeropuerto Este Oeste Devueltos en: .10] Aeropuerto r.9? .05 .00 .90 Este .05 .05 .85j Oeste L-03

•l i (M) Sean A/y*oforno en el ejemplo 3. a) Calcule los vectores poblacionales Analice sus hallazgos. a

Fn cieña región. cada año. cerca del 7% de la población de una ciudad se muda a los suburbios, y alrededor del 5% de la po hlacián suburbana cambia su residencia a la ciudad. En 2010, había 800.000 residentes en la ciudad y 500.000 en los subur­ bios. Establezca una ecuación en diferencias que describa esta situacióa donde «o sea la población inicial en 2010. Luego, es time las poblaciones en la ciudad y en los suburbios dos años después, es decir, en 2012. (Ignore otros factores que podrían influir en el tamaño de las poblaciones).

1 ft Cada año. en cierta reglón, cerca del 6% de la población de una ciudad se muda a los suburbios, y alrededor del 4% de la pobla dón suburbana se muda a la ciudad. En 2010. habia 10.000.000 dp residentes en la ciudad y 800,000 en los suburbios, Esta blezca una ecuación en diferencias que describa esta situación, donde ^ sea la población inicial en 2010. Luego, estime las poblaciones en la ciudad y en los suburbios dos añas después, «s decir, en 2012.

“11.

En 1994. la población de California era de 31,524.000 habitan tes, y la población que vivía en Estados Unidas, pero fuera de California, era de 228,680.000 habitantes. Durante el año. se estimó que 516.100 personas se mudaron de California a otro lugar en Estados Unidos, mientras que 381.262 personas se mu­ daron a California desde diversos lugares del país.4

para k » 1..... 20.

ti) Repita el inciso a) considerando una población inicial de 350,000 en la ciudad y 650,000 en los suburbios. ¿Qué encontró?

•14L [M] Estudie cómo ios cambias en las temperaturas de los bordes de una placa de acero afectan a las temperaturas en los puntos interiores de la placa. á) Comience porestlmar las temperaturas 7”,. T2, T$, pencada uno de los conjuntos de cuatro puntos de la placa que se señalan en la figura En cada caso, el valor de Tt se aproxl ma mediante el promedio de las temperaturas en los cuatro puntos más cercanos. Consulte los ejercicios 33 y 34 de la sección 1.1. donde los valores (en grados) son (20. 27.5, 30, 22.5). ¿Cómo se relaciona esta Usta de valores con los resultados obtenidos para los puntos en los conjuntos *) y # ? ti) Sin efectuar cálculo ¿qué ocurre can las temperaturas In lerlores en á) cuando todas las temperaturas en los bordes se multiplican por 3? Compruebe su suposición. í)

Finalmente, haga una conjetura general sobre la correspon dencla de la lista de ocho temperaturas en los bordes con la lista de las cuatro temperaturas Interiores.

a) Establezca la matriz de migración para esta situacióa utili­ zando cinco lugares decimales para las tasas de migración entrante y saliente de California. Explique cómo obtuvo la matriz de migración b) M | Calcule las poblaciones proyectadas para el año 2000 en California y en otras partes de Estados Unidos, suponiendo que las tasas de migración no cambian durante el periodo de 6 años. (Esos cálculos no toman en cuenta nacimientos, mienes o la migración sustancial de personas a California y a otros lugares de Estados Unidos provenientes de otros países).

4 Dales de migración svmlnbtrados por la Unidad de ItM StlgK ttn Demográ­ fica del Departamento de Finanzas del estado de California.

Haca

20*

A

20*

http://www.fullengineeringbook.net 109 of 461.

P la ca /?

0*

0*

1

2

4

3

10* 10* ti)

40* 40*

92 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE PRÁCTICA 36 52 0

51 34 7

13 74 1.1

.

x =

XI

U J

.

b=

'3 3 ' 45 3

C A P Í T U L O 1 EJERCICIOS C OM PLEM EN TAR IO S 1. fvfarque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus e s puestas. (Si el enunciado es válido, cite hechos o teoremas pertinentes. Si es falso, explique por qué o dé un contraejem pío que muestre por qué el enunciado no es verdadero en cada caso). a) Cada matriz es equivalente por filas a una única matriz en forma escalonada. ¿í Cualquier sistema de o ecuaciones lineales con o variables tiene a lo sumo «soluciones. (j Si un sistema de ecuaciones lineales tiene dos soluciones di ferentes, debe tener un número infinito de soluciones. d) Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene variables li­ bres. entonces tiene una solución única. e) Si una matriz aumentada [A b se transforma en \C d mediante operaciones elementales de fila, entonces las ecua ckmes Ax = b y Cx = d tienen exactamente los mismos conjuntos solución. /) Si un sistema Ax = btiene más de una solución, entonces lo mismo sucede con el sistema Ax - O íj)

Si A es una matriz de m x « y la ecuación Ax = bes con­ sistente para alguna b, entonces las columnas de A generan aR -

fi) Si una matriz aumentada [A b| se puede transformar en una forma escalonada mediante operaciones elementales de fila, entonces la ecuación Ax = bes consistente. /) SI las matrices A y flson equivalentes por filas, tienen la misma forma escalonada reducida. J) La ecuación Ax - Otiene la solución trivial si y solo si no hay variables libres. Ki Si A es una matriz de m x «y la ecuación Ax - bes con­ sistente para cada b en R®. entonces A tiene m columnas pivote. /) Si una matriz A de m x n tiene una posición pivote en cada Ala. entonces la ecuación Ax = b tiene una solución única para cada benR®. ni Si una matriz A de n x n tiene n posiciones pivote, enton­ ces la forma escalonada reducida de A es la matriz identidad de n x n . ri) SI A y son matrices de 3 x 3 con tres posiciones pivote cada una. entonces A se puede transformar en B mediante operaciones elementales de fila.

c) Si A es una matriz de m x a si la ecuación Ax ■> bdene al menos dos soluciones diferentes, y si la ecuación Ax = c es consistente, entonces la ecuación Ax - c tiene muchas soluciones. p) Si A y #son matrices de m x «equivalentes por filas y sí las columnas de A generan a R“ . entonces también lo hacen las columnas de B q) Si ninguno de los vectores en el conjunto S = ( tj. v>. y} en R3 es un múltiplo de los otros vectores, entonces S es hnealmente independiente. r) Si {a v. w) es Hnealmente independiente, entonces u v y w no están en R2. s) En algunos casos, es posible que cuatro vectores generen aR J /} Si « y vestánen R”. entonces -« e stá en Gen {u v). tí Si u x y wson vectores diferentes de cero en R2. entonces w es una combinación lineal de u y v. v) Si w es una combinación lineal de ■ y ven R°. entonces ■ (5 una combinación lineal de v y w. w) Supongamos que v,. ^ y » 3 están en RJ. v? no es múltiplo de v,. y y, no es una combinación lineal de v, y v?. Por lo Onto, {vj, y.. v3} es Hnealmente Independiente. jc)

Una transformación lineal es una función.

y) Si Aes una matriz de 6 x 5. la transformación lineal x*-» Ax no puede mapear R5sobre R°. z) Si A es una matriz de m x neón m columnas pivote, en­ tonces la transformación lineal x -* Ax es un mapeo uno aunó. £ Sean a y ¿números reales Describa los posibles conjuntos so­ lución de la ecuación (lineal) ax = b. [Sugereruia: El número de soluciones depende de a y A). 2 Las soluciones U. y z) de una sola ecuación lineal ax + by+ c z B d forman un plano en R3cuando a. b y c no son todos cero. Cons­ truya conjuntos de tres ecuaciones lineales cuyas gráficas a) se intersecan en una sola recta, b) se intersecan en un solo punto, y c) no tienen puntos en común. Las siguientes figuras muestran ^áfleas características.

http://www.fullengineeringbook.net 110 of 461.

C a p itu lo

1 E je rc ic io s c o m p le m e n ta r io s

93

4 Defina una transformación lineal T adecuada utilizando la matriz en A). y replantee el problema en términos de T. & Describa las posibles formas escalonadas de la matriz A. Use la notación del ejemplo 1 de la sección 1.2. a) A es una matriz de 2 x 3 cuyas columnas generan a R2. b) A es una matriz de 3 x 3 cuyas columnas generan a R3. TYcs planos se Intersecan en una recia

T tts planos se Intersecan a i un punto

*0

b)

a

j como la suma de dos vectores, uno sobre

Escriba el vector la recta {(*. y = x /2 ).

y m 2x) y el otro sobre la recta {(r. )):

l t t Sean * . * y k los vectores en IR7 que se muestran en la figura, y sea A m [a¡ *?]. ¿Tiene solución la ecuación Ax - b? Si es asi. ¿es única la solución? Explique su respuesta

11. Construya una matriz /I de 2 x 3, que no esté en forma escalona (k de manera que la solución de Ax = Osea una recta en R3. 4 Suponga que la matriz coeficiente de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres variables tiene una posición pivote en cada columna. Explique por qué el sistema tiene una solución ¿mica. i

Determine h y k tales que el conjunto solución del sistema: L es un conjunto vacio, i i contiene una solución única, y BL contiene un número Infinito de soluciones. a)

jfi + 3xj = k 4jt| + hx2 = 8

b) —2x¡ + hxj = 1 6*t + k x 2 = - 2

12. Construya una matriz A de 2 x 3, que no esté en forma escalo­ nada. de manera que la solución de Ax - Osea un plano en R1. 13. Escriba la forma escalonada reducida de una matriz A de 3 x 3 d» manera que las primeras dos columnas de A sean columnas pivote y

14 Determine el valor o valores de a de manera que

& Considere el problema de determinar si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente: 4* i - 2 .n +

{ [ <2] . [ ü ' ^ 2 ] l * a linealmente Independiente. 15. En a) y ti, suponga que los vectores son llnealmente indepen­ de ntes ¿Qué puede dedr acerca de los números a .... /? Justi­ fique sus respuestas. {Sunertrukc Utilice un teorema para ¿)).

7*, = - 5

8* i — 3 * i + IO*j = - 3 ^ Defina vectores adecuados, y replantee el problema en tér­ minos de combinaciones lineales. Luego, resuélvalo. b) Defina una matriz adecuada y replantee el problema utili­ zando la frase “columnas de A". 4 Defina una transformación lineal / adecuada empleando la matriz en b), y exponga el problema en términos de T. 7. Considere el problema de determinar si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente para toda bi. bi. by: 2*, - 4*2 - 2*, = b, -5*1 +

*2 +

d e t 0 / 0 0 _ . 1. Con base en el teorema 7 de la sección 1.7. explique por qué las columnas de la matriz A son llnealmente Independientes. a 0 0

la

b , c 0

a 1

d c

0 0 8 9

b c • 1

o0 0 10

X} =

7 * | — 5*2 — 3*2 “ by

á) Defina vectores adecuados y replantee el problema en térmi­ nos de Gen {*». v3}. Luego, resuélvalo. b) Defina una matriz adecuada y replantee el problema utili­ zando la frase “columnas de A'.

17. Explique por qué un conjunto {vi. v3, xí) en R* debe ser llnealmente independiente cuando {*i. v?. tj ) es llnealmente Independiente y*« /joestáen Gen 1& Suponga que {Y i.^Jes un conjunto llnralmente independiente en R". Demuestre que {▼,. *i * también es llnealmente In (fependiente.

http://www.fullengineeringbook.net 111 of 461.

94 CAPÍTULO 1 la

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

Suponga que *i. * 2. tj son distintos puntos sobre una linea en R3. La recta no necesita pasar por el origen Demuestre que {*i. ¥ 3} es linealmente dependiente.

24 la siguiente ecuación describe una rotación de Glvens en R3. Encuentre a y A. a2 + A2 = 1

ZO. Sea T : R" -» R " una transformación lineal, y suponga que 7W = ▼.Demuestre que 7f-n) = —t O . Sea T : R 3 -» R 3 una transformación lineal que refleja cada vector a través del plano xz = 0. Es decir, 7Ui. x1. xs) = Ui. - x 2. x3). Encuentre la matriz estándar de T. 22. Sea A una matriz de 3 x 3 con la propiedad de que la transfor marión lineal x ~ Ax mapea R3sobre R3. Explique por qué la transformación debe ser uno a uno. 23L Una rotación de Givenses una transformación lineal de R"a R" empleada en programas de cómputo para crear una entrada cero en un vector (por lo general, una columna de una matriz). La matriz estándar de una rotación de Clvens en R2 tiene la forma

[; 1 }

23l Un gran edificio de apartamentos se construirá empleando técni­ cas de construcción modular. El arreglo de los apartamentos, en cualquier piso en particular, se selecciona a partir de tres planes básicos, ní plan A tiene 18 apartamentos en un piso, incluyendo 3 unidades de 3 recámaras, 7 unidades de 2 recámaras, y 8 unlefedes de I recámara. Cada piso del plan ^incluye 4 unidades de 3 recámaras. 4 unidades de 2 recámaras, y 8 unidades de 1 re­ cámara. Cada piso del plan Oiene 5 unidades de 3 recámaras. 3 unidades de 2 recámaras, y 9 unidades de 1recámara. Suponga que el edificio tiene un total de xi pisos del plan A, xz pisos del plan B. y * pisos del plan C. él ¿Qué interpretación puede darse al vector x,

Encuentre a y Atales que

J gire a

^ j.

A) Escriba una combinación lineal formal de vectores que ex­ prese el número total de apartamentos de una. dos y tres re­ cámaras del edificio. c) |M| ¿Es posihle diseñar el edificio con exactamente 66 uni­ dades de tres recámaras. 74 unidades de dos recámaras, y 136 unidades de una recámara? Si es asi. ¿existe más de una forma de hacerlo? Explique su respuesta.

Una rotación de Glvens en IR2. WEB

http://www.fullengineeringbook.net 112 of 461.

Autoevaluación 95

A U TO E V ALU AC IÓ N 1. Para el sistema de ecuaciones

X t+ X j + x ,

6

=

x , - x , = -2

jr, + 3Xj = 11 a) ( - 1 , 2. - 3 ) es solucióa b) No hay solución. c) (0. 1 . 2) es solución. d ) {1 . 2 ,3 ) es solución. 2.

Encontrar la forma escalonada reducida de la matriz

1 2

4 5 -9

-3

-5 -A 9

l

2

-1 2

4

2

3. La siguiente matriz es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales.

1 0 0

6 0 0

6 0 0

-1

2

-4

3

5 4

0

-2

-8

a) Si el sistema es consistente determinar la solución o las soluciones y en caso contrario determinar por qué es inconsistente. b) Si las variables son jri. X2. x$, xs, determinar cuáles de éstas son básicas y cuáles libres. e)

Si hay una infinidad de soluciones, escribir las soluciones en forma vectorial para­ métrica.

-14 3 yb = 3 . Determinar si b s e puede escribir como com­ 3 12 binación lineal de sti y %¿. En otras palabras, determinar si existen pesos x\ y x i tales que * i ®i + *2% = b Para cada inciso determinar si la ecuación Ax = b es consistente para todos los valores posibles de b\, b¡ y Ag. En caso de no serlo determinar todos los valores posibles de b\. y ¿3 para los cuales si hay solución. En caso de que haya una infinidad de soluciones, escribirlas en forma vectorial paramétrica.

-1

4

4

S ean ai =

1 . Jfe = -2

1 a) Sean A

-2 3

4 b) Sean A = 1 -1

-3 5 -4

2 -1

yb =

AJ

- 6 .

-1 3 y* 3

A 4

Y : A

UJ

Determinar si la columnas de la matriz siguiente forman un conjunto linealmente inde­ pendiente. -2 4 1 4 0 -4 7 12 2 i' 7. ¿Para qué valores de b los vectores dientes?

-6 y v = 1

http://www.fullengineeringbook.net 113 of 461.

-4 24 son linealmente indepenb

96 CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

5 6 2 .w = 2 yz = -3 6

& ¿Para qué valores de h los vectores i

24 -8 son lineal­ AJ

mente dependientes? La población de una ciudad en 2010 fue de 600000 habitantes, mientras que la pobla­ ción de los suburbios en 2000 era de 900000. Si se supone que los estudios demográficos muestran que cada año 5% de la población de la ciudad se mueve a los suburbios (el 95% se queda en la ciudad) y que el 2% de la población de los suburbios se mueve a la ciu­ dad (el 98% restante se mantiene en los suburbios). Calcular la población de la ciudad y de los suburbios en el año 2012 si se ignoran los nacimientos, muertes y demás movi­ mientos de población. i a Si T es una transformación lineal de R3 a IR2 tal que T{ej) =

7 te ) =

y

encuentra la imagen del vector z =

I L Sea T: R4 -♦ R3 la transformación lineal cuya matriz estándar es A

r?) Calcular la Imagen del vector v =

Determinar un vector cuya imagen sea z c)

T{e2) =

19 25 -21

Encontrar un vector distinto de cero cuya imagen sea el cero.

http://www.fullengineeringbook.net 114 of 461.

1 -2 3 -A -9 1

-1

-2 3

http://www.fullengineeringbook.net 115 of 461.

¿m

Álgebra de matrices COMPETENCIAS A DESARROLLAR 1

Manejar las matrices, sus operaciones y propiedades para modelar y resolver adecuadamente problemas de aplicación en ingeniería, administración, economía, computación, etcétera.

2

Utilizar las matrices, sus operaciones y propiedades, con la finalidad de representar y resolver problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales en las áreas de administración, economía, ingeniería, matemáticas, etcétera.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ♦ Calcular la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar. Identificar cuándo dos matrices pueden multiplicarse; calcular la multiplicación. ♦ Enunciar y ejemplificar las propiedades de las operaciones de matrices. Identificar distintos tipos de matrices: cuadradas, triangulares superiores, triangulares inferiores, diagonales, identidad, simétricas, de banda, de \tendermonde. entre otras. Identificar las matrices elementales, sus propiedades y su relación con las operaciones elementales por renglón en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Identificar cuándo es conveniente particionar una matriz y cómo hacerlo. Definir y determinar la existencia de la inversa de una matriz. ♦ Calcular la inversa de una matriz utilizando el método de Gauss-Jordán y comprobar que A~XA = a a ' = l. Relacionar la existencia de la inversa de una matriz con la dependencia o independencia lineales de sus vectores columna. Definir el concepto de matriz mal condicionada. Calcular la inversa de distintos tipos de matrices: matrices diagonales, triangulares, particionadas y factorizadas (LU). Utilizar software matemático para el cálculo de la inversa de una matriz A x = b. ■ Resolver problemas de aplicación de matrices.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ♦ Representar sistemas de ecuaciones lineales como ecuaciones matriciales de la forma A x = b. Resolver los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa de la matriz del sistema, cuando esta exista. Analizar las características de un sistema de ecuaciones lineales y elegjr el método de solución adecuado (inversa, eliminación gaussiana o GaussJordan) para resolverlo. Relacionar la existencia de la inversa de una matriz con la solución de un sistema de ecuaciones. Resolver problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones e interpretar las soluciones. Analizar y resolver problemas relacionados con el modelo de Leontief. ♦ Encontrar la factorización LU de una matriz, cuando esta exista. ♦ Resolver sistemas de ecuaciones utilizando la factorización LU de la matriz del sistema y analizar la eficiencia computadonal de este método de solución.

http://www.fullengineeringbook.net 116 of 461.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR 3 Comprender el concepto de subespacio vectorial de R " como una estructura algebraica e identificar los subespacios que se pueden asociar a una matriz. 4 Construir bases de un subespacio utilizando las operaciones de vectores. 5 Determinar la dimensión de un subespacio. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ♦ Identificar si un conjunto de vectores es o no un subespacio vectorial de R°. ♦ Encontrar el espacio nulo de una matriz. Encontrar el espacio columna de una matriz. Defina- y encontrar distintas bases para subespacios vectoriales dados. ♦ Determinar si un conjunto de vectores es base de un subespacio vectorial. Definir y determinar la dimensión de un subespacio vectorial. ♦ Determinar el rango de matrices. ♦ Determinar la existencia de la Inversa de una matriz utilizando el concepto de rango. Resolver un sistema de ecuaciones y determinar la dimensión del espacio solución.

t

Se sugcre trabaja* los problemas marcados con un punto primero en forma Individual y. luego, discutirlos con todo el grnpo y el profesor.

t

lo s ejercidos marcados oon un asterisco deben trabajarse en ooteboraddn con los comporteros de dase. Se sugere formar cxU'pos de dos o tres cstudontes.

6 Aplicar las transformaciones lineales y sus

propiedades para representarlas con matrices. 7 Relacionar las operaciones de matrices con las operaciones de transformaciones lineales. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Representar una transformación lineal como una matriz. Encontrar matrices de transformación. ♦ Proporcionar la inversa de una transformación lineal. Aplicar las transformaciones lineales a los gráficos por computadora. Relacionar la composición de transformaciones lineales con el producto de matrices.

http://www.fullengineeringbook.net 117 of 461.

ORGANIZADOR GRÁFICO

http://www.fullengineeringbook.net 118 of 461.

Modelos de computadora en el diseño de aeronaves

Para diseñar la siguiente generación de aeronaves comerciales y militares, los ingenieros de Boeing’s Phantom Works usan el modelado tridimensional (3D) y la dinámica de fluidos computacional (DFC). De esta manera, estudian el flujo de aire alrededor de un avión virtual para responder importantes preguntas de diseño antes de crear los modelos físicos. Este método ha reducido en forma drástica los tiempos y costos del ciclo de diseño; y el álgebra lineal desempeña un papel de suma importancia en el proceso. La aeronave virtual comienza como un modelo matemá­ tico "de alambre" que existe solo en la memoria de la compu­ tadora y en las terminales de presentación gráfica. (Se muestra el modelo de un Boeing 777). Este modelo matemático organiza e influye en cada paso del diseño y la manufactura de la aeronave, tanto en el exterior como en el interior. El análisis de DFC concierne a la superficie exterior. Aunque tal vez el acabado exterior de la aeronave parezca liso, la geometría de la superficie es complicada. Además de alas y fuselaje, un avión tiene cabinas, estabili­ zadores, dispositivos de sustentación, aletas y alerones. La forma en que el aire fluye alrededor de estas estructuras determina cómo se desplaza la aeronave por el cielo. I-as ecuaciones que describen el flujo del aire son complicadas y deben tomar en cuenta la admisión de los motores, los gases expelidos y las estelas que dejan las alas de la aeronave. Para estudiar el flujo del aire, los ingenieros necesitan de una des­ cripción sumamente detallada de la superficie de la aeronave. Una computadora crea un modelo de la superficie al su­ perponer, primero, una malla tridimensional de "cuadros" so­ bre el modelo de alambre original. En esta malla, los cuadros

caen completamente dentro o completamente fuera de la aero­ nave. o se intersecan con la superficie de esta. La computadora selecciona los cuadros que se intersecan con la superficie y los subdivide, reteniendo solo los más pequeños que aún se intersecan con la superficie. El proceso de subdivisión se repite hasta que la malla se vuelve extremadamente fina Una malla típica puede incluir más de 400.000 cuadros. 0 proceso para encontrar el flujo de aire alrededor de la aeronave implica la solución repetida de un sistema de ecuacio­ nes lineales A x = bque puede implicar hasta dos millones de ecuaciones y variables. El vector 1»cambia a cada momento, con base en datos que provienen de la malla y de las soluciones de ecuaciones previas. Usando las computadoras más rápidas dis­ ponibles comercialmente, un equipo de Phantom Works puede tardar desde unas cuantas horas hasta varios dias para configurar y resolver un solo problema de flujo de aire. Después de que el equipo analiza la solución, podrá hacer pequeños cambios en la superficie de la aeronave, y comenzar de nuevo todo el proceso. Es posible que se necesiten miles de corridas de DFC. En este capitulo se presentan dos conceptos importantes que ayudan en la solución de los enormes sistemas de ecuaciones de este tipo: • Matrices panicionadas: Un sistema típico de ecuacio­ nes de DFC tiene una matriz de coeficientes "dispersa" con la mayoría de entradas iguales a cero. El agrupar las variables en forma correcta conduce a una matriz particionada con muchos bloques de ceros. En la sección 2.4 se presenta este tipo de matrices y se describen algunas de sus aplicaciones.

101

http://www.fullengineeringbook.net 119 of 461.

10 2

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

• Factorizaciones de matrices: H sistema de ecuaciones es complicado, Incluso cuando está escrito con matrices partidonadas. Para simplificar aún más los cálculos, el programa computacional DFC aplicado en el Boeing utiliza lo que se conooe como faclorización LU de la matriz de coeficientes. En lasectión 2.5 se analiza la factorizadón LU y otras fadorizadonos m atridales útiles. M ás adelante, en varias partes de este libro, aparecen más detalles respedo de las fadorizadones. Para poder analizar una soludón de un sistema de flujo de aire, los ingenieros tienen que visualizar el flujo de aire sobre la superfide de la aeronave; para ello, utilizan gráficos generados por com putadora y el álgebra lineal proporciona las herramientas para trazarlas. El modelo de marco de

la moderna DFC ha revolucionado el diseño de aeronaves. U Boing Blended Wing Body se encuentra en diseño y etirará en funcionamiento en 2020 o tal vez antes.

alambre de la superfide de la aeronave se almacena como

de zonas pequeñas, y hacerla girar para ver partes que

datos en muchas matrices. Una vez que se presenta la imagen

quedan ocultas en determinado ángulo. Cada una de estas operaciones se realiza con una multiplicación adecuada de matrices. En la secdón 2.7 se explican las ideas básicas.

en una pantalla de computadora, los ingenieros pueden modificarla a escala, hacer acercamientos y alejamientos

|

w eb]

Nuestra capaddad para analizar y resolver ecuaciones aumentará considerablemente al adqui­ rir la habilidad de realizar operadones algebraicas con matrices. Más aún, las definiciones y los teoremas de este capitulo ofrecen algunas herramientas básicas para manejar las múltiples aplicadones del álgebra lineal que implican dos o más matrices. Para matrices cuadradas, el teorema de la matriz invertible de la secdón 2.3 reúne la mayoría de los conceptos tratados anteriormente en el libro. En las secciones 2.4 y 2.5 se examinan matrices partidonadas y fadorizadones de matrices, las cuales aparecen en la mayor parte de los usos modernos del álgebra lineal. En las secdones 2.6 y 2.7 se describen dos aplicaciones interesantes del álge­ bra de matrices a la economía y a los gráficos generados por computadora.

2 .1

OPERACIONES DE MATRICES Si A es una matriz de m x a es decir, una matriz con m filas y n columnas, entonces la entrada escalar en la i-ésima fila y la /é s im a columna de A se denota mediante av y se llama entra­ da ( i . j de A. Véase la figura 1. Por ejemplo, la entrada (3, 2) es el número 032 en la tercera fila, segunda columna. Cada columna de A es una lista de m números reales, que identifica un vector en R ". Con frecuenda, estas columnas se denotan mediante a,.... af, y la matriz A se escribe como A

= (a, *

— *,1

Observe que el número ay es la i'-ésima entrada (desde arriba) d e l/é s im o vector columna a> Las entradas « S á g ra le » en una matriz A = [íjv] de m x n son a\ 1. a n . aja......y for­ man la dlagml principal de A. Una matriz ilayital es una matriz cuadrada de n x n cuyas entradas no diagonales son cero. Un ejemplo es la matriz identidad de n x n, In Una matriz d e m x n cuyas entradas son todas cero es una matriz cero o matriz n u la y se e s ­ cribe como 0. El tamaño de una matriz cero, por lo general, es evidente a partir del contexto.

http://www.fullengineeringbook.net 120 of 461.

2 .1

Operaciones de matrices 10 3

Columna

J Fila /

•

y

•••

*i/»

an

•

*u

••*

aía

. aa>\

■*

v

***

am a .

a,

*/

•b

RGURA 1 Notación matrícla!.

Sum a y m últiplos escalares La aritmética para vectores que se describió anteriormente tiene una extensión natural hada las matrices. Se dice que dos matrices son ifflalw si tienen el mismo tamaño (es dedr, el mismo número de filas y de columnas) y si sus columnas correspondientes son iguales, lo que equivale a d ed r que sus entradas correspondientes son iguales. Si A y B son matrices de m x n, entonces la suma A + fíe s la matriz de m x n cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes en A y fí. Puesto que la suma vectorial de las columnas se realiza por entradas, cada entrada en A + ¿fes la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + /?está definida solo cuando A y £ so n del mismo tamaño. EJEMPLO 1

Sean 4 1

0 3

ri * = [3

2 }

1 5

11 7J

■5

1

6]

.2

8

9J

Luego, /! + « = [

pero A + C no está definida porque A y Ctienen diferentes tamaños. Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo «calar rA es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que sucede con los vecto­ res. - 4 significa ( -l ) A. y A - d esig u al que A + (—1)5. EJEMPLO 2

S i A yZ ? son las matrices del ejemplo 1. entonces

A

En el ejemplo 2 no fue necesario calcular A - 2 # co m o A + ( - 1 ) 2 # porque las reglas usuales del álgebra se aplican a las sumas y los múltiplos escalares de matrices, como se verá en el siguiente teorema.

TEOREMA 1

Sean A, f í y Cm atrices del mismo tamaño, y sean r y s escalares. a) A + B = B + A A) (A + B ) + C = A + ( B + Q c) A + 0 = A

d) r(A + B) = rA + rB e) (r + 5)j4 = M + í A /) rCsd) = (rrM

http://www.fullengineeringbook.net 121 of 461.

10 4

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices Cada igualdad del teorema 1 se comprueba al mostrar que la matriz del lado izquierdo tiene el mismo tamaño que la del lado derecho y que las columnas correspondientes son iguales. El tamaño no es problema porque A, B y C sondel mismo tamaño. 1.a igualdad de co­ lumnas es consecuencia inmediata de las propiedades análogas de los vectores. Por ejemplo, á las columnasy-ésimas de A, B y C son ay. k/ y tj, respectivamente, entonces las columnas y-ésimas de {A + B) + C y de A + {B + C) son (% + k j + cj y

a, + (ky + c¿.

respectivamente. Ya que estas dos sumas vectoriales son iguales para cada j , la propiedad A) queda comprobada. Debido a la propiedad asociativa de la suma, se puede escribir simplemente A + B + C para la suma, lo cual se calcula como (A + B) + C. o bien, como A + (B + Q . I jo mismo se aplica a sumas de cuatro o más matrices.

M ultiplicación de m atrices Cuando una matriz B multiplica a un vector x transforma a x en el vector B x Si después este vector se multiplica, a la vez, por una matriz A, el vector resultante es A(Bx). Véase la figura 2. M i triplicación

M ultiplicación

por B

por A

z*

• Bk

*AW

FIGURA 2 Multiplicación por B y luego por A.

Asi. A(Bx$ se produce a partir de x por una composición de mapeos. las transformaciones lineales estudiadas en la sección 1.8. Nuestro objetivo es representar este mapeo compuesto como la multiplicación por una sola matriz, que se denota con AB. de manera que = (AB)x

(1)

Véase la figura 3.

M ultiplicación

M iltlphcaclón

por A

p o r/? *

Bu

*A ( B W

M ultiplicación por AB f ig u r a

3 Multiplicación por AB.

S Á e s d e / n x / 7 , B e s d e n x p y x está en R'’. las columnas de B se denotan como k \ .... ky„ y las entradas de x como x\..... Xp. Por consiguiente. Bx = *,k, + ••• + x¡kP Por la linealidad de la multiplicación por A, /4(flx) = M(.vib|) H-----+ A ( x pbp) = X| /4b, + ••• + x pA b p

http://www.fullengineeringbook.net 122 of 461.

2 .1

Operaciones de matrices 10 5

El vector A{Bé >es una combinación lineal de los vectores /lb¡..... Ab[r usando las entradas de x como pesos. En notación matricial, esta combinación lineal se escribe como A(B m) = [Ah, Asi. la multiplicación por [Ahí la matriz buscada!

DEFINICIÓN

Ah¡ -

Ah,]*

Ab¡ ••• Abj,] transforma a x en A(Bx). ¡Ya encontramos

Si A es una matriz de m x n. y s i fies una matriz de n x p eó n columnas b¡..... I^.entonces el producto A B es la matriz d e m x p cuyas columnas son A b)..... Abp. Es decir, A B = A \y

b, -

bpl = [Ab,

Ab¿ - A \ ]

Esta definición hace que la ecuación (1) sea verdadera para toda x en H*. La ecua­ ción (1) demuestra que el mapeo compuesto de la figura 3 es una transformación lineal y que su matriz estándar es AB. La multiplicación de matrices corresponde a la composición de transformaciones lineales.

EJEMPLO 3

Calcule AB. donde A =

SOLUCIÓN Escríba f i = [ b ,

Abi “

’2 1

b.

-*]■ J

A\>2 =

bt

bj J =

"2 1

[ í - 2

/Ib? =

' 0 1 13

J

i AB = A | b ,

-s ]* B =

51

M y calcule:

11 1 -1 Luego.

P

[”

i 0 13

[! JI5] 2 ,1 L~9 J

♦ ■

t

t

” ] t

A b,

Ab}

A b,

Observe que como la primera columna de A fíe s Ab,. esta columna es una combinación lineal de las columnas de A asando como pesos las entradas de b ,. Un enunciado sim ilar es verdadero para cada columna de AB.

Cada columna de A fíc s una combinación lineal de las columnas de A usando pesos de la columna correspondiente de B

Evidentemente, el número de columnas de A debe corresponder al número de filas en fi para que una combinación lineal como Ab| esté definida. Además, la definición de AB mues­ tra que A B tiene el mismo número de fila s que A y el mismo número de columnas que B. EJ EM PLO 4 Si A es una matriz de 3 x 5 y fi una matriz de 5 x 2. ¿cuáles son los tamaños de A B y de BA. si tales productos están definidos?

http://www.fullengineeringbook.net 123 of 461.

10 6

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices SOLUCIÓN Cómo A tiene 5 columnas y Atiene 5 filas, el producto Afl está definido y es una matriz de 3 x 2:

tí

A tí * * * * * *

5x2

3x2

* * * * * * * * * * * * * * *

3x5

Hay

rsan

'Ihmaito de Atí El producto HA no está definido, porque las dos columnas de B no se corresponden con las tres filas de A ■ La definición de A B e s importante para el trabajo teórico y las aplicaciones, pero la siguiente regla ofrece un método más eficiente para calcular cada una de las entradas de AB cuando se resuelven a mano problemas sencillos.

REGLA FILA-COLUMNA PARA CALCULAR A B Si el producto A B e s lá definido, entonces la entrada en la fila i y la columna J de A B e s la suma de los productos de las entradas correspondientes de la fila / de A y la columna j de B. Si (Afl)v denota la entrada (i, J) en A B , y si A es una matriz de m x n. entonces (AB)¡) = a n b \j + a a h j + ••• +

Pára comprobar esta regla, sea B = [b ••• %,]. La columna j de A B es ,4b/, y pode­ mos calcular /1b,, usando la regla fila-vector para calcular Ax. como vimos en la sección 1.4. La /-ésima entrada de A h j es la suma de los productos de entradas correspondientes de la fila i de A y del vector b,i que es precisamente el cálculo descrito en la regla para calcular la entrada (¿j) de AB. EJEMPLO 5 Use la regla fila-columna para calcular dos de las entradas de A t í para las matrices del ejemplo 3. Una inspección de los números implicados aclarará cómo los dos métodos para calcular A B producen la misma matriz. SOLUCIÓN Para encontrar la entrada de la fila 1 y la columna 3 de AB, considere la fila 1

de A y la columna 3 de B. Multiplique las entradas conrespondíentes y sume los resultados, como se muestra a continuación: I

AH- ~ \ 2

3i r 4

3

l 1 JL1 -2 3J — 5

D

□

2<6)+3(3)ira

□ J - | d □□ 21] oj

Para la entrada en la fila 2 y la columna 2 de AB. use la fila 2 de A y la columna 2 de R

[2

3][4

3

— L 1 ~ 5 JL 1 " 2

6] _ r n 3J

LD

□ 1(3) + —5(—2)

http://www.fullengineeringbook.net 124 of 461.

2i ] _ m

□

21]

□ J

13

D J

LD

2 .1 EJEMPLO 6

Operaciones de matrices 10 7

Encuentre las entradas de la segunda fila de AB. donde

A =

* 2 - 5 0' -1 3 -4 6 -8 - 7 ’ -3 0 9

SOLUCIÓN De acuerdo con la regla fila-columna, las entradas de la segunda fila de A B pro­ vienen de la fila 2 de A (y de las columnas de B); *

2 -5 0' -1 3 -4 7 6 -8 -7 9 1.3 -3 0

1

□ - 4 + 21 - 12 □ □

* _ fi"l

2J

□

6+ 3 -8 □ □

□ ' 5 □ □

1 □ □

Observe que puesto que el ejemplo 6 pedia solamente la segunda fila de AB. se podría haber escrito solamente la segunda fila de A a la Izquierda de B para calcular

I"'

3

- 4( J " ‘ ] = t5 ’ l

Esta observación acerca de las filas de A B es cierta en general, y es consecuencia de la regla fila-columna. Dejemos que fila, {A) denote la r'-ósima fila de una matriz A. De esta forma. fila, (AB) = fila, (A) ■B

( 2)

Propiedades de la m ultiplicación de m atrices El siguiente teorema lista las propiedades estándar de la multiplicación de matrices. Recuerde que I„ representa la matriz identidad d e m x m . y que I„x - x para toda x e n R".

TEOREMA 2

Sea A una matriz de m x n. y sean B y Cmatrices con tamaños para los que las sumas y los productos indicados están definidos. a) A (B Q = (AB)C

(ley asociativa de la multiplicación)

ti) A ( B + Q = A B + A C

(ley distributiva izquierda)

c) ( B + Q A = B A + CA

(ley distributiva derecha)

d) r(AB) = (rA)B = A(rB) para cualquier escalar r e) L A = A = AI„

(identidad para la multiplicación de matrices)

DEMOSTRACIÓN Las propiedades ti) a e) se consideran en los ejercicios. La propiedad a) es consecuencia de que la multiplicación de matrices corresponde a la composición de trans­ formaciones lineales (que son funciones) y se sabe (o es fácil comprobar) que la composición de funciones es asociativa A continuación se presenta otra demostración de a) que se basa en la ‘definición de columna" del producto de dos matrices. Sea C = («i ••• epl

http://www.fullengineeringbook.net 125 of 461.

10 8

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

Por la definición de multiplicación de matrices. BC = [8 c i

Bcp \

•••

A (B C ) = [A (B cx)

•••

A (B c p )\

Recuerde de la ecuación (l) que la definición de A B hace que A(Bx) = (4 5 )* para toda x. de manera que A (B Q = [(AB*i -

(AB *,] = (ABIC

■

Las leyes asociativa y distributiva de los teoremas 1 y 2 expresan, en esencia, que es po­ sible agregar o eliminar parejas de paréntesis en expresiones maiririales de la misma manera que sucede en el álgebra de números reales. En particular, se puede escribir el producto como A B C y calculado ya sea como A (B Q o (AB) C.1 De manera similar, un producto de cuatro matrices ABCDse. puede calcular como A(BCD) o ( A B Q D o A(BQD, y así sucesivamente. No importa cómo se agrupen las matrices al realizar el cálculo de un producto, siempre y cuando se conserve el orden de izquierda a derecha de las matrices. F3 orden de Izquierda a derecha en productos es importante porque, en general, AB y BA, no son iguales. Esto no es sorprendente, ya que las columnas de A B san combinaciones lineales de las columnas de A. mientras que las columnas de BA se construyen a partir de las columnas de B. La posición de los factores en el producto AB se enfatiza al decir que A se multiplica por la derecha por B o que B se multiplica por la izquierda por A. Si A B = BA, se dice que A y B c a n u t a n una con la otra. EJEMPLO

7

Sea A =

B =

•

[i

j. Muestre que estas matrices no

conmutan. Es decir, compruebe que A B * BA. SOLUCIÓN AB =

'5 r 3 -2

BA =

'2 4

'2 4

0‘ 3

0 ‘ '5 f 3 3 -2

El ejemplo 7 ilustra la primera de la siguiente lista de diferencias importantes entre el álgebra de matrices y el álgebra de números reales. Para ver ejemplos de estas diferencias, consulte los ejercicios 9 a 12.

ADVERTENCIAS: En general. A B * BA. Las leyes de la cancelación no se aplican en la multiplicación de matrices. Es decir, si A B = AC. en general no es cierto que B « C. (Véase el ejercicio 10). a Si un producto A B es la matriz cero, en general, no se puede concluir que A = 0 o B * 0. (Véase el ejercicio 12).

L í

Potencias de u n a m atriz WEB |

Si A es una matriz de n x n y k e s un entero positivo, entonces Ak denota el producto de k

1 Cuando

Res cuadrada y C tiene menos columnas que las filas de A es mas eficiente calcular A(BQ en vez de

(AB,C

http://www.fullengineeringbook.net 126 of 461.

2 .1

Operaciones de matrices 10 9

copias de A: Ak = A—A i Si A es dlferenic de cero y * e s tá en M", entonces -4**es el resultado de multiplicar repe­ tidamente Aveces a x por la izquierda por A. SI k = 0. entonces >4°*deberla ser la misma x. Por consiguiente. A °se interpreta como la matriz identidad, I.as potencias de matrices son útiles tanto en la teoría com o en las aplicaciones (secciones 2.6. 4.9. y más adelante en el libro).

La tran sp u esta de una m atriz Dada una matriz A á e m x /7.1a tran sp u e sta de A es la matriz de n x m. que se denota con A'. cuyas columnas se forman a partir de las filas correspondientes de A.

EJEMPLO 8

Sean R =

1 I 5 -2

Ü

Por lo tanto.

A1

TEOREMA 3

Sean A y f í matrices cuyos tamaños son adecuados para las siguientes sumas y pro­ ductos. a) CA Y - A A)

(A +

B}r =AT+Br

c) Para cualquier escalar r. (M ) T = rA r

d) ( AB)T= B TAr

I.as demostraciones de a) a c) son directas y se omiten. Para d). véase el ejercido 33. Por lo regular. (A ft r no es igual a ATfír, aun cuando A y Atengan tamaños tales que el producto / l rA^esté definido. La generalización del teorema 3d) a produdos de más de dos factores puede expresarse con palabras de la siguiente forma:

La transpuesta de un producto de matrices es igual al produdo de sus transpuestas en orden inverso.

Los ejercidos incluyen ejemplos numéricos que ilustran las propiedades de las trans­ puestas.

http://www.fullengineeringbook.net 127 of 461.

110

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

------ NOT AS NUMÉ RI CAS -----------------------------------------------------------------------------------1. La manera más rápida de obtener A B en una computadora depende de la forma en que la computadora guarde las matrices en su memoria. Los algoritmos estándar de gran eficiencia, tales como los de LAPACK. calculan A fí por columnas, como en nuestra definición del producto. (Una versión de LAPACK escrita en C++ calcula AB por filas).

2. La definición de AB se presta en sí misma al procesamiento paralelo en una compu­ tadora. Las columnas de B se asignan individualmente o en grupos a diferentes procesadores que. de manera independiente, y por lo tanto simultánea, calculan las columnas correspondientes de AB.

PROBLEMAS DE PRÁCTICA* 1.

Puesto que los vectores en H "se pueden considerar como matrices de n x 1. las propie­ dades de las transpuestas del teorema 3 también se aplican a vectores. Sean

Am[ *

“i] y *■[*]

Calcule (/üt) r. x rA r. x x ry x rx. ¿Está definida A V 5?

• 2. Sean A una matriz de 4 x 4 y sea x un vector en R 4. ¿Cuál es la forma más rápida de calcular A2*? Cuente las multiplicaciones.

2 . 1 EJERCICIOS* En los ejercicios 1 y 2. calcule cada suma o producto si la matriz está definida SI alguna expresión no está definida, explique por qué. Sean 7. Sí A es una matriz de 5 x 3 y el producto /U?es 5 x 7 , ¿cuál es el tamaño de 5? R ¿Cuántas filas tiene 6 si BCts una matriz de 5 x 4? 1. - 2 A B - 2 A . A C CD

• a Sean A =

2. A + 3 R 2 C - 3 E D R EC En lo que resta de este conjunto de ejercicios y los que siguen, su ponga que todas las expresiones matriciales están definidas. Es decir, los tamaños de las matrices y los vectores Implicados ‘ajustan* de manera correcta. & Sea A m ^

j. calcule

- A y (3^)A

- 3 de A si los hay. harán que AB ** BA1

1Q Sea -4=|^

i]

M -!

Compruebe que AB ■ ACy. sin embargo. B+ C.

'1

En los ejercicios 5 y 6 calcule el producto AB de dos maneras: a) con la definlcióni donde Ab: y Ab¡ se calculan por separado, y ti) por la regla de la fila-columna para obtener AB.

■

-?1] ■

* 11. Sean A =

4L Calcule A - 5h y (5£)A donde

J j . ¿Qué valor(es)

] yH

[-?

2 3

3'

2 4 5

5

6

y D=

r05 l0

0 3

0] 0 . Calcule

0

2J

A D y DA. Explique cómo cambian las columnas o filas de A cuando se multiplica por D por la derecha o por la Izquierda. Encuentre una matriz d» 3 x 3. que no sea la matriz Identidad o la matriz cero, tal que AB = BA.

* 12 Sea >4

^

j

Construya una matriz B de 2 x 2 tal

que AB sea Igual a la matriz cero. Utilice para Bdos diferentes columnas no nulas (distintas de cero). * Se sugiere trabajar los problemas marcados con un pinto primero en forma Individual y, luego, dtscutlrbs con todo el g n jjo y el profesor t Ix>s ejercidos marcados con un asterisco deben trabajarse en colaboración con los compañeros de d a » . Se sugiere formar equipos de dos o tres estudiantes.

http://www.fullengineeringbook.net 128 of 461.

2 .1 13 Sean r i.....r , vectores en H". y sea Q una matriz dp m x n. Bcrlba la matriz [Qri Qr,| como un producto de dos matrices (ninguna de ellas Igual a la matriz identidad).

Operaciones de matrices 1 1 1

22. Demuestre que si las columnas de B son llnealmente depen

denles, entonces también lo son las columnas de AB.

* 23. Suponga que CA = /„(la matriz identidad de n x rí). Demuestre qje la ecuación Ax - O tiene únicamente la solución trivial. Sea U la matriz de 3 x 2 de costos descrita en el ejemplo 6 Explique por qué A no puede tener más columnas que filas. de la sección 1.8. I-a primera columna de U lista los costos por dólar de producción para elaborar el producto B, y la se- • 2 4 Suponga que A es una matriz de 3 x n cuyas columnas ge gtnda columna lista los costas por dólar de producción para neran a Rs. Explique cómo construir una matriz D de n x 3 el articulo C (Los costos están por categorías de materiales, tal que AD ■ 4 mano de obra y gastos indirectos). Sea q, un vector en R2 25. Suponga que Aes una matriz de m x n. y que existan las ma­ que liste la producción (medida en dólares) de los productos B trices C y D de n x m. tales que CA = Ia y AD = /,* De­ y C manufacturados durante el primer trimestre del año. y nuesto que m = n y C - D. [Sugerencia: Piense en el pro sean %. qj y los vectores análogos que listan las cantl ducto CAIJ[. dades de productos B y C manufacturados en el segundo, tercero y cuarto trimestres, respectivamente. Dé una des 2 a Suponga que AD = 4 (la matriz identidad de m x m). De cripclón económica de los datos en la matriz UQ, donde nuestra que para toda b en R". la ecuación Ax = b tiene una 0-
14

las cuales las sumas y los productos indicados están definidos. Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. 13 a) Si Ay £?son matrices de 2 x 2 con columnas «i, espectivamente. entonces AB= * b a b |.

y bi, b:.

b) Cada columna de ABes una combinación lineal de las co­ lumnas de B usando los pesos de la columna correspondiente


Calcule ■7te, te u wr* y ten'

27. Sea a =

c) AB+ AC= A(B+ Q d) Ar + Br = (A+ B)r t) 1.a transpuesta de un producto de matrices es igual al pro­ ducto de sus transpuestas en el mismo orden

1&

En los ejercicios 27 y 28. considere los vectores en R1' como ma­ trices de n x 1. Para u y te en R" el producto de matrices Brtees una matriz de 1 x 1, que se llama proferto escalar producto inferno de u y v. Por lo general, se escribe como un único número real sin corchetes. El producto de matrices uv 'es una matriz d e n x n . que se llama producto n tr r in r de a y Los productos n » y uvr se presentarán más adelante en el libro.

a) la primera fila de ABes la primera fila de A multiplicada por 5por la derecha. b) Si A y Bscm matrices de 3 x 3 y B = |b¡ be b>|. enton a s AB = [Abi + Ahí + Abs|. cj Si Aes una matriz de n x n entonces (A*)r « (A1)2 d) (/ABQT - (?ArBT e) La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de sus transpuestas.

28. Si ■ y te están en !Rn. ¿cómo se relacionan u'tey ter«í? ¿Y cómo » relacionan w d y vb ';? 29. Compruebe el teorema 2Z>) y 2c). Use la regla fila-columna.

La entrada (/._/) de A(B + Q se puede escribir como O iA bij + c i ) + ••• + a ^ b n j + c^J

o II + cij) 4-1 30. Compruebe el teorema 2d). [Sugerencia: La entrada ( j,^ en

(ra/i)6iy+ ••• + (rodAiy). 31. Demuestre que

17.

Si A — ^ _3

y AB » [

determine la pri­

mera y la segunda columnas de B. 18 Suponga que la tercera columna de flestá conformada en su totalidad por ceros. ¿Qué se puede decir acerca de la tercera columna de AHÍ l a Suponga que la tercera columna de Bes la suma de las dos pri­ meras columnas. ¿Qué se puede decir acerca de la tercera co­ lumna de AB? ¿Por qué? 20. Suponga que las dos primeras columnas de B. k, y b son guales. ¿Qué se puede decir acerca de las columnas de AB? ¿Porqué? SL Suponga que la última columna de 4/?está conformada en su totall&d por ceros, pero B. por sí sola, no tiene columnas de aros. ¿Qué se puede decir acerca de las columnas de A?

4 = A. donde A es una matriz d e n Suponga que Ij l • «para toda x en R".

x a

32. Demuestre que AI = A cuando A es una matriz de m x n

[Sugerencia: Use la definición (de columna) de A/J. 33. Demuestre el teorema 3di. (Sugerencia: Considere la pésima fila de (Afl)7}. 31 Dé una fórmula para (Aftt)T. donde x es un vector, y A y 5 son matrices con los tamafias adecuados. 35. [M|I.ea la documentación de su programa de matrices y escriba

los comandos que producirían las siguientes matrices (sin intro­ ducir cada entrada de la matriz). a) Una matriz de 4 x 5 de ceros. tí) Una matriz de 5 x 3 de unos. c) la matriz identidad de 5 x 5. d) Una matriz diagonal de 4 x 4. con entradas diagonales 3. 4. 2. 5.

http://www.fullengineeringbook.net 129 of 461.

112 CAPÍTULO 2 Álgebra de matrices Una forma útil de someter a prueba ideas nuevas o de hacer con Jeturas en álgebra de matrices es realizar cálculos con matrices se lecckmadas en forma aleatoria I-a comprobación de una propiedad para unas cuantas matrices no demuestra que la propiedad sea válida en general, pero permite que la propiedad sea más creíble. Además, es posible descubrir si una propiedad es falsa realizando unos cuan tos cálculos.

Luego, someta a prueba (A + B)(,A - B) = A2 - # d e la misma forma para tres pares de matrices aleatorias de 4 x 4. Escriba un informe de sus conclusiones.

3ft [MI Use al

menos tres pares de matrices aleatorias A y B de 4 x 4 para someter a prueba las Igualdades (A + B)r = Ar + B~ y (AB) r = B tAt, asi como (Afy7 = /4r¿?r (Véase el ejercicio 37). Escriba un informe de sus conclusiones. [Nota: La mayoría de los programas de matrices usan A' para representar A7!.

9Bl (M| Escriba el comando o los comandos necesarios para crear

rna matriz de 5 x 6 con entradas aleatorias. ¿Dentro de qué rango de números se encuentran las entradas? Diga cómo crear amatoriamente una matriz de 4 x 4 con entradas enteras en tre - 9 y 9. {Sugerencia: Si .res un número aleatorio tal que 0 < x < 1. entonces -9.5 < I 9 U - .5) < 9.51. 37. (M| Construya matrices aleatorias Á y /? d e 4 x 4. y comprup be si AB = BA. La mejor manera de hacer esto es calcular AB - BA y comprobar si esta diferencia es la matriz cero. Des pués compruebe AB - BA para tres pares más de matrices alea­ torias de 4 x 4. Escriba un Informe de sus conclusiones.

[MJSea

1 0 0 0 0

r°

0 S = 0 0 .0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

°i

0 0 1 0_

Calcule S* para k = 2, 4L [M] Describa con palabras qué ocurre cuando se calcula Ai. Á10, A20 y Ax para

38. (M| Construya una matriz aleatoria A de 5 x 5 y compruebe si {A + D(A - I) = A2 - 1. La mejor manera de hacer esto es calcular {A + l)(A - I) - (A7 - A y verificar que esta difelencla sea la matriz cero. Realícelo para tres matrices al azar.

A=

r 1/4

1/2 L 1/4

1/2 1/3 1/6

1/ 4 1/6 7/12 j

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA

L

\ _2

=£

2

} Demaneraque 04*)r = (-4

• * '- [ »

3 ][_ J

~’ ] = [ -4

2]. También.

2]

Las cantidades (Áx) r y x 7Ár son iguales, por el teorema 3d). Después.

> i-[S «’x = [5

1]

3 ] ^ j - [ 2 5 + 9]»34

Una matriz de 1 x 1 como x Tx generalmenle se escribe sin corchetes. Por último. A Tx T no está definida, ya que x T no tiene dos filas que correspondan a las dos columnas d eÁ 7! 2.

Ia manera más rápida de calcular A2x es calculando A(Ax). 0 producto A x requiere 16 multiplicaciones. 4 por cada entrada, y >404*) requiere 16 más. En contraste, el pro­ ducto A2 requiere 64 multiplicaciones, 4 por cada una de las 16 entradas en A2. Después de eso, A2x requiere 16 multiplicaciones más. para un total de 80.

2.2 LA INVERSA DE UNA MATRIZ 0 álgebra de matrices brinda herramientas para manejar ecuaciones matriciales y crear di­ versas fórmulas útiles, de manera sim ilar a lo que sucede en el álgebra con números reales. En esta sección se investiga el análogo matricial del reciproco, o inverso multiplicativo, de un número diferente de cero.

http://www.fullengineeringbook.net 130 of 461.

2.2

La Inversa de una matriz 1 1 3

Recuerde que el inverso multiplicativo de un número como 5 es 1/5 o 5 '. Este inverso satisface la ecuación 5"* • 5 = 1

y

5 - 5“ * - 1

\ a generalización m atrldal requiere ambas ecuaciones y evita la notación con diagonales (para división), ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Además, una genera­ lización completa solo es posibles! las matrices implicadas son cuadradas.1 Se dice que una matriz A de n x n es im>ertíble si existe otra matriz C de n x n tal que CA = I y

AC= 1

donde I = I„. la matriz identidad de n x n. En este caso. C e s una inversa de A. En efecto. C está determinada únicamente por A. ya que si B fuera otra inversa de A. entonces B = B I = B{AC) = (BA)C = IC = C. Esta inversa única se denota mediante A~1. tal que. A ~ 'A - I

y

A A ~1 = /

Una matriz que no es invertible en ocasiones se llama m atriz ¡ i n g J a r y una matriz invertible se llama m atriz no a n s i a r

E JE M P L O 1

- 7 ] y C = [~ 3

Si A =

J][ “ - [ m

3

2]

" 2 ] entonces

” [ó “]>

u

°]

Por lo tanto. C = A ~ \

■

A continuación se presenta una fórmula sencilla para la inversa de una matriz de 2 x 2. junto con una prueba para saber si existe la inversa.

TEOREMA 4

Sea>l = [ *

. Si ad - b e # 0. entonces A es invertible y

A '*

1 - a d - be

Si ad - be = 0, entonces A no es invertible.

La sencilla demostración del teorema 4 se esboza en los ejercicios 25 y 26. La cantidad ad - b ese llama determ in an te le A, y se escribe como del A = ad - be El teorema 4 establece que una matriz A de 2 x 2 es invertible si y solo si det A * 0. 1 Podría decirse que una matriz ^ d c m x n t s Invertible si existen matrices C y D de n x m. tales que CA = /« y AD - L- Sin embargo, estas ecuaciones Implican que A es cuadrada y C - D. Por lo tanto. A es Invertible como ya se definió V íase los ejercicios 23 a 2S en la sección 2. t .

http://www.fullengineeringbook.net 131 of 461.

114

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

EJEMPLO 2

Encuentre la inversa de A =

^

^

SOLUCIÓN Ya que det A = 3(6) - 4(5) = - 2 * 0. A es invertible, y

r 6 - 4l _ r

“ - 2 L-5

6/<-2) - V ( - 2 ) i r - 3

3 j ~ |_—5/(—2)

2]

3/(-2)J ~~ [5/2 -3/2J

Las matrices invertibles son indispensables en álgebra lineal, sobre todo para cálculos algebraicos y deducciones de fórmulas, como en el teorema siguiente. En ocasiones, una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemático de alguna situación de la vida real, como en el ejemplo 3 que se presenta un poco más adelante.

TEOREMA 5

Si A es una matriz Invettíble de n x n, entonces, para cada b e n fft". la ecuación A x - b tiene la solución única

x = i4~'b

DEMOSTRACIÓN Tome cualquier b en M". Existe una solución porque cuando se sustituye A~ 'b p o rx .s e tiene A x = Á(A_ ,b) = (A4_ ,) b = /b = b. Asi que A~ ‘b e s una solución. Para probar que la solución es única, demuestre que si u es cualquier solución, entonces u debe ser. de hecho, A~ 'b. En efecto, si Am = b. podemos multiplicar ambos miembros por A ~l y obtener A~lAm = A 'b.

/■ = A ’b

u = A~ 'b

y

■

EJEMPLO 3 Una viga elástica horizontal tiene soportes en cada extremo y está sujeta a fuerzas en los puntos 1, 2 y 3. como indica la figura 1. Sea en R3 tal que liste las fuerzas en estos puntos, y sea en tal que liste las magnitudes de deflexión (es decir, de movi­ miento) de la viga en los tres puntos. Con base en la ley de Hooke de la física, se puede demostrar que

y

f

R3

y = Df donde D es una matriz de flexibilidad. Su inversa se denomina matriz de rigidez. Describa el significado físico de las columnas de D y I T '. *1

SOLUCIÓN Escriba Á = I«i

42

*3

y observe que D = D h = ¡¡M

D*

De,]

Interprete el vector«, = (1. 0 .0 ) como una fuerza unitaria aplicada hacia abajo en el punto 1 (con fuerza cero en los otros dos puntos). De esta form a Dt\, la primera columna de D. lista las deflexiones de la viga debidas a una fuerza unitaria en el punto 1. Descripciones similares son válidas para la segunda y tercera columnas de D. Para estudiar la matriz de rigidez D \ observe que la ecuación = D ‘y calcula un vector de fuerza cuando se da un vector de deflexión Escriba

f

f

y.

d

- ' = c r ' h = [ c r '*

z r 1*

z r 1^ ]

Ahora interprete como un vector de deflexión. De esta forma. l> lista las fuerzas que crean la deflexióa Es decir, la primera columna de I T 1lista las fuerzas que deben aplicarse

http://www.fullengineeringbook.net 132 of 461.

2.2

La Inversa de una matriz 1 1 5

en los tres puntos para producir una deflexión unitaria en el punto 1 y deflexión cero en los otros puntos. De manera similar, las columnas 2 y 3 de D 1listan las fuerzas requeridas para producir deflexiones unitarias en los puntos 2 y 3. respectivamente. En cada columna, una o dos de las fuerzas deben ser negativas (apuntan hacia arriba) para producir una deflexión uni­ taria en el punto deseado y deflexiones cero en los otros dos puntos. Si se mide la flexibilidad, por ejemplo, en pulgadas de deflexión por libra de carga, entonces las entradas de la matriz de rigidez están dadas en libras de carga por pulgada de deflexión. ■ La fórmula del teorema 5 se utiliza muy pocas veces para resolver en forma numérica una ecuación A x = b porque la reducción por filas de [A b] casi siempre es más rápida (La reducción por filas también es más precisa en general, cuando los cálculos requieren el redondeo de los números). Una posible excepción es el caso 2 x 2. ya que los cálculos men­ tales para resolver A x = b en ocasiones resultan más fáciles usando la fórmula para A *, como en el siguiente ejemplo. E JE M P L O 4

Use la inversa de la matriz A del ejemplo 2 para resolver el sistema

3*! + 4x 2 — 3 5xi + 6 x 2 = 7 SOLUCIÓN Este sistema es equivalente a A x = V por lo que

, - ‘" b“ [v 2 -3/2] [ 7 ] = [ 4 ] H3 siguiente teorema aporta tres datos útiles acerca de las matrices invertibles.

TEOREMA 6

a)

Si A es una matriz invertible, entonces A 1es invertible y (>,-»)-* = ^

A) S A y # so n matrices invertibles de n x n, entonces también lo es AB. y la inversa de A B es el producto de las inversas de A y B e n el orden opuesto. Es decir. {AB)~l = B ~ 'A ~ X c)

Si A es una matriz invertiblc, también lo es Ar. y la Inversa de <4r es la transpuesta d e A ~ x. Es decir. (AT)-' = ( A - y

DEMOSTRACIÓN Para comprobar el enunciado a), se debe encontrar una matriz Ctal que A~XC = /

y

CA~X = I

De hecho, estas ecuaciones se satisfacen colocando a A en lugar de C. Por lo tanto. A~x es Invertible y A es su inversa. A continuación, para demostrar el enunciado A). se calcula: (AB i{B-lA-*) = A{BB X)A ~ ' = AIA~X - AA‘ X = I Un cálculo similar indica que (B~xA ~ l){AB) = / En el enunciado c) utilice el teorema 3
http://www.fullengineeringbook.net 133 of 461.

116

CAPÍTULO 2

Á lg e b ra d e m a tr ic e s

Existe una conexión importante entre las matrices invertibles y las operaciones de fila que conduce a un método para calcular inversas. Como se verá, una matriz invertible A es equivalente por filas a una matriz identidad, y es posible encontrar A 1 observando la reduc­ ción po r filas de A a !.

M atrices elem entales Una m atriz «Iwm-u tal es aquella que se obtiene al realizar una única operación elemental de fila sobre una matriz identidad. El siguiente ejemplo ilustra los tres tipos de matrices ele­ mentales. E JE M P L O 5

Sean

0 1 0

0" 0 «J

II «N u;

r i E, = 1 0 L-4

ro L°

i 0 0

0~ 0 . 1

E>=

'1 0 0

0 1 0

0' 0 5

Calcule E\A. E¿A y E$A. y describa cómo se pueden obtener estos productos por medio de operaciones elementales de fila sobre A. SOLUCIÓN Compruebe que c Ex A

L;

4a

E tA

h — 4b

f i - 4c J

E jA =

a d

c I /

. s8

b e 5h

p

'

L*

h

\ a

b

n

c

,

'J

»J

Al sumar a la fila 3 la fila 1 de A multiplicada por - 4 . se obtiene £*,A (Esta es una operación de remplazo de filas). Con un intercambio de las filas 1 y 2 de A se obtiene E¿A, y multipli­ cando la fila 3 de >1 por 5 se obtiene ■ La multiplicación izquierda (es decir, multiplicación por la izquierda) por E\ en el ejemplo 5 tiene el mismo efecto en cualquier matriz de 3 x n Esta operación suma a la fila 3 la fila 1 multiplicada por - 4. En particular, ya que E] • I = E\. vemos que E, se autoproduce mediante esta misma operación de fila sobre la identidad. Así. el ejemplo 5 ilustra la siguien­ te propiedad general de las matrices elementales. Véase los ejercicios 27 y 28.

Si se realiza una operación elemental de fila con una matriz A de m x a la matriz resultante se puede escribir como EA, donde la matriz f d e m x m s e crea al realizar la m iaña operación de fila sobre

Puesto que las operaciones de fila son reversibles, como se demostró en la sección 1.1, las matrices elementales son invertibles, porque si E se produce aplicando una operación de fila sobre /. entonces ex iae otra operación de fila del mismo tipo que convierte a E d e nuevo en / Por lo tanto, existe una matriz elemental E tal que F E = /. Puesto que E y E corres ponden a operaciones inversas, también E E = /.

http://www.fullengineeringbook.net 134 of 461.

2.2

La Inversa de una matriz 1 1 7

Toda matriz elemental ¿ e s Invertible. La Inversa de ¿'es la matriz elemental del mismo tipo que transforma a ¿"de nuevo en /.

E JE M P L O 6

Encuentre la inversa de E x

1 0 -4

0

Ol 1 0 . 0 1J

SOLUCIÓN Para transformar ¿i en /.su m e la fila 1 multiplicada por + 4 a la fila 3. La matriz elemental que hace esto es '

1 o +4

0 Ol t o 0 lj

■

0 siguiente teorema ofrece la mejor manera de "visualizar" una matriz invertible, y con­ duce de inmediato a un método para encontrar la inversa de una matriz.

TEOREMA 7

Una matriz A de n x n e s inveitible si y solo si A es equivalente por filas a /* y. en este caso, cualquier secuencia de operaciones elementales de fila que reduzca A a l a también transforma a l„en A~l .

DEMOSTRACIÓN Suponga que A es invertible. Entonces, como la ecuación A x = k tiene una solución para toda k (teorema 5). A tiene una posición pivote en cada fila (teorema 4 de la sección i .4). Puesto que A es cuadrada, las n posiciones pivote deben estar sobre la diago­ nal. lo que implica que la forma escalonada reducida de A es I* Es decir, A ~ - In A la inversa, ahora suponga que A — /» Entonces, puesto que cada paso de la reducción por filas de A corresponde a una multiplicación izquierda por una matriz elemental, existen matrices elementales ¿ i ......¿á ta le s que A ~ E XA ~ E 2( E XA ) ----------£ ,,4 ) = /„ Es decir,

E , - E XA - I a

(1)

Puesto que el producto Ep..... ¿ i de matrices invertibles es invertible. (1) conduce a = ( £ , . . . £ , ) - , / ll A = (£„■• • £ , ) - ' Por lo tanto. A es invertible, porque es la inversa de una matriz invertible (teorema 6). También. A ~ ' = [ < £ , . . . £ , ) - • ] ■ '= £ , - . - £ ,

Asi. A ~ 1 = Ep ••• E\ • lo que indica que A~l resulta de aplicar ¿ i ..... ¿J.sucesivamente a I» Esta es la misma secuencia en ( i) que redujo A a b ■

Un algoritm o p ara d e te rm in a r 4 -1 Si colocamos A e / lado a lado para formar una matriz aumentada \A I\, entonces las operaciones de fila en esta matriz producen operaciones idénticas sobre A e /. De acuerdo con el teorema 7. hay operaciones de fila que transforman a A en 1„y a /„ en A o A no es invertible.

http://www.fullengineeringbook.net 135 of 461.

118

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

ALGORITMO PARA DETERMINAR A 1 Reduzca por filas la matriz aumentada \A /]. Si A es equivalente por filas a I, en ­ tonces [A /] es equivalente por filas a [ / A 1]. De otra manera, A no tiene inversa

E JE M P L O 7

[:i

Encuentre la inversa de la matriz A

. si acaso existe.

SOLUCIÓN

[A

/] =

*0 1 1 0 4 -3

2 3 8

1 0 3 0 2 1 0 -3 -4

1 0 0

0 i 0

0“ 0 1

*1 0 0 1 4 --3

3 2 8

0 1 0

1 0 0

0' 0 1

0 1 1 0 0 - -4

0* 0 1

"1 0 0

0 1 0

3 2 2

0 1 0 1 3 -4

0* 0 1

*1 0 0

0 1 0

3 2 1

0 1 3 /2

I 0 -2

0 ' 0 1/2 _

*1 0 0

0 1 0

0 -9 /2 0 -2 1 3 /2

7 4 -2

3 /2 ' -1 i/2 _

F3 teorema 7 señala que. como A — /. A es invertible, y - 9 /2 -2 3 /2

L

A~ • = [

7 --3 /2 4 -1 -2 1/2

1

Es buena idea comprobar la respuesta final:

AA - i

[ 01

1 0

2 l [-9 /2 3 -2

7 —3/2*1 [ I i n 4 -1 = = 0°

1

Lo

0 I 0

°1 0 ij

4 -3 8 J [ 3 /2 - 2 1 /2 J [o No es necesario comprobar que A lA = /, ya que A es invertible.

O tro pu n to de vista de la inversión de m atrices Denote las columnas de /„ por c*......De esta forma, la reducción por filas de \A [/ A " *1 se puede ver como la solución simultánea de los n sistemas A x = *i,

A x = ffc..........

.Ax = e ,

/la

(2)

donde todas las “columnas aum entadas' de estos sistemas se han colocado al lado de A para formar ¡A c< ^ ••• = (A /]. La ecuación AA 1 = / y la definición de multiplicación de matrices indican que las columnas de A 1 son precisamente las soluciones de los siste­ mas de (2). Esta observación es útil porque algunos problemas aplicados requieren encontrar solamente una o dos columnas de A En este caso, solo se necesita resolver los sistemas correspondientes en (2).

http://www.fullengineeringbook.net 136 of 461.

2.2

La Inversa de una matriz 1 1 9

----- NOTAS N U M É R IC A S ------------------------------------------------------------------------En la práctica, rara vez se calcula A ~ x, a menos que se necesiten las entradas de A ~ l. Calcular tanto A~l como /4"’b requiere aproximadamente tres veces más operaciones aritméticas que resolver con reducción por filas A x = b y la reducción por filas quizá resulte más precisa.

PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1.

Utilice determinantes para establecer cuáles de las siguientes matrices son invertibles: o)

2. Encuentre la inversa de la matriz A

2 . 2

E JE R C IC IO S *

Encuentre las Inversas de las matrices en los ejercicios 1a 4.

En los ejercidos 9 y 10. marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. * a

i

Utilice la Inversa que encontró en el ejercicio I para resolver el sistema &ri + 6xj — 2 5xt + 4xj = —I

a

Utilice la inversa que encontró en el ejercicio 3 para resolver el sistema 7x, + l r 2 o - 9 —6 j T] - 3xj =

4

7. Sea, A . [ ¡

- [ 'I ] . ! *

y -. = [ ! } a) Determine A~1y utilícela para resolver las ecuaciones /lx -b ;.

Ax - b.>.

b) las cuatro ecuaciones del inciso o) se pueden resolver can el mismo conjunto de operaciones de fila, ya que la matriz de coeficientes es la misma en cada caso. Resuelva las cuatro ecuaciones del inciso a) mediante la reducción por filas de la matriz aumentada [i4 b h¡ b, b. ] S

, si existe.

Suponga que F es lnvertlble y A - PBP~\ Determine B en términos de A

a) fóra que una matriz B sea la Inversa de A las ecuaciones AB = 7y BA = /debenser verdaderas. ti) Si A y B son de n x /re lnvettlbles. entonces A~'B~Xes la inversa de AR c) Si A m

^

j y ab -

cd * 0. entonces A es lnvertlble.

d) Si A es una matriz Invertible de n x n. entonces la ecuación Ax = b « consistente para toda b en R". e) Toda matriz elemental es lnvertlble. * l a a) Si A es lnvertlble. entonces las operaciones elementales de fila que reducen A a la Identidad también reducen

¿Ha-4 ti) Si A es Invertible, entonces la Inversa A~' es A misma. c) Un producto de matrices invertlbles de n x /jes invertible, y la Irversa del producto es el producto de sus inversas en el mismo orden. d) Si A es una matriz de n x n y A x ^ p e s consistente para todajm {I, 2......n}. entonces A es invertible. Nota:*|...,, p representa las columnas de la matriz identidad. e) Si A puede reducirse por filas a la matriz identidad, entonces A debe ser lnvertlble. 11. Sea A una matriz lnvertlble de n x n, y sea B una matriz de n x p. Demuestre que la ecuación AX - 0 tiene una solución tWca 12. Utilice álgebra de matrices para demostrar que si A es Inver­

tible y

satisface AD= I, entonces D = A~'.

* 11 Suponga que AB - AC, donde B y Cson matrices d e n x p y i4es lnvertlble. Demuestre que B = C. ¿Esto es cierto, en ge reral. cuando A no es Invertible?

http://www.fullengineeringbook.net 137 of 461.

12 0

14.

CAPÍTULO 2

Álgebra de mal rices

Suponga que (B - C)D = 0. donde B y C son matrices de m x n y Des Invertible. Demuestre que B = C.

* 1S Sea A una matriz Invertible de n x n. y sea B una matriz de n x p. Explique por qué A ~l Bse puede calcular por reducción de filas: Si \A B [--------- [/ A l entonces X = A~lB. Si A es mayor de 2 x 2. entonces la reducción por filas de ¡A B\ es mucho más rápida que calcular a A~l y a A-1 B. lft. Suponga que A y B son matrices de n x a tí es invertlble y Atí es Invertible. Demuestre que A es Invertlble. [Sugerencia.' Con «adere que C = AB. y despeje A en esta ecuación|.

17.

Suponga que A B y C son matrices invertlbles de n x n Demuestre que ABC también es invertlble al obtener una ma trlz Z?lal que (ABQD = I y D{ABC¡ = I.

18. Itesuelva la ecuación AB = BC para A. suponiendo que A, B y Cson matrices cuadradas y Bes invertible.

27. Sea A una matriz de 3 x 3. a) Lfce la ecuación (2) de la sección 2.1 para demostrar que fll^ (A) = fila, (7) • A , para i = 1. 2. 3. ti) Demuestre que si las filas 1 y 2 de Ase intercambian, en toncas el resultado se puede escribir como EA, donde E es una matriz elemental formada al intercambiar las filas 1 y2de l c) Demuestre qu? si la fila 3 de A se multiplica por 5. enton cas el resultado se puede escribir como EA. donde E se forma al multiplicar la fila 3 de /por 5. 28 Suponga que se remplaza la fila 2 de A por flla2 (A) - 3 • fila, (A). Demuestre que el resultado es EA. donde Ese forma a partir de /al remplazar fila* (/) por fltoí (/) - 3 • filai (A). Encuentre las Inversas de las matrices en los ejercicios 29 a 32. si existen Use el algoritmo presentado en esta sección 6

7

19l Si A, B y Cson matrices invertibles n x n, ¿la ecuación C 1 (/I + X)B~' ~ 1„tiene una solución. A? Si es asi, encuéntrela.

]

* a i Suponga que A B yX son matrices d e n x neón A. X y A - AX invertibles, y suponga que (A - AX)~' = X~'B (3) 33 Use el algoritmo de esta sección para encontrar las Inversas de

a) Explique por qué Bes invertlble. ti) Despeje Afen la ecuación (3). SI se necesita Invertir una ma trlz, explique por qué esta matriz es invertlble.

■1

0 1 1 1

0 0 1 1

0‘ 0 0 1

?

* a . Explique por qué las columnas de una matriz A de a x n son hnealmente independientes cuando A es invertible.

l¡

¡

* 22. Explique por qué las columnas de una matriz A de n x n ge­ neran a R“ cuando A es invertlble. (Sugerencia.- Repase el teorema 4 de la sección 1.4].

Sea A la matriz de n x n correspondiente, y sea 5 su inversa. Infiera la forma de B,y después demuestre que A tí = I.

23.

24.

?i

1 y 1 1

r¡

31 Repita la estrategia del ejercicio 33 para inferir la inversa B de

Suponga que A es de n x n y que la ecuación Ax - 0 tiene solamente la solución trivial. Explique por qué A tiene n co­ lumnas pivote y es equivalente por filas a /„ De acuerdo con d teorema 7. esto Indica que A debe ser Invertlble. (Este ejer­ cicio y el 24 se mencionarán en la sección 2.3). Suponga que pata una matriz A de n x n. la ecuación Ax * b tiene una solución para toda b en R". Explique por qué A debe rer Invertible. [Sugerencia: ¿A es equivalente por Alas a /„?]

Ijos ejercicios 25 y

26 demuestran el teorema 4 para

o0 0 . n. Demuestre que AB= I.

33 Sea A

-1 2 I

- 7 —3"] 15 6 . Encuentre la tercera columna de 3 2 I

A 'sincalcular las otras columnas. 25. Demuestre que si ad - be - 0. entonces la ecuación Ax - 0 tiene más de una solución ¿Por qué esto implica que A no es in\ertible? [Sugerencia: Primero, considere a - b - 0. Después. si a y Ano son ambas cero, considere el vector x =

38 |M] Sea A

-9 185

-2 7 ] 537 Encuentre la segunda

154 52 143J y tercera columnas de A 1sin calcular la primera columna.

a a Demuestre que si a d - be * 0. la fórmula para A 1funciona. Los ejercicios 27 y 28 demuestran casos especiales de los hechos acerca de matrices elementales establecidos en el recuadro que sigue al ejemplo 5. Aquí A es una matriz d e 3 x 3 e / = A. (Una demos melón general requerirla un poco más de notación).

[-25365

37. Sea A

[i 0

Construya una matriz C de 2 x 3 (por

prueba y error) usando sólo 1. - 1 y 0 como entradas, de tal forma que CA = k Calcule ACy ohserve que A C * h-

http://www.fullengineeringbook.net 138 of 461.

2.3

• 3& Sea

A

«

J

^J Construya una matriz

D,

41. [M| Sea

de

.0130 .0050 .0020 .0010

4 x 2 , usando solo I y 0 como entradas, de tal forma que AD = k- ¿Es posible que G4 = U para alguna matriz C de 4 x 2? ¿Por qué? 3 a [MJSea '.011 n = .003 .001

.003 .009 .003

Caracterizaciones de matrices lnvertibles 1 2 1

.0050 .0100 .0040 .0020

.0020 .0040 .0100 .0050

.0010 .0020 .0050 .0130

la matriz de flexibilidad para una viga elástica, como la del ejemplo 3, con cuatro puntos en los que se aplican fuerzas. Las unidades son centímetros por newton de fuerza. Las me deiones en los cuatro puntos identifican deflexiones de .07. .12. .16 y .12 cm. Determine las fuerzas presentes en los cua tro puntos.

.001 .003 .011

una matriz de flexibilidad, con la flexibilidad medida en pul jpdas por libra. Suponga que se aplican fuerzas de 40. 50 y 30 Ib sobre los puntos 1, 2 y 3. respectivamente, en la figura I del ejemplo 3. Encuentre las deflexiones correspondientes.

pvf] Con Dcomo en el ejercicio 41. determine las fuerzas que producen una deflexión de .22 cm en el segundo punto de La viga, con deflexión cero en los otros tres puntos. ¿Cómo están relacionadas la respuesta al problema y las entradas de ü " 1? [Sugerencia: Primero conteste la pregunta para una deflexión de 1 cm en el segundo punto).

40. [M] Encuentre la matriz de rigidez D~' para la D del ejer­ cicio 39. Liste las fuerzas que se necesitan para producir una deflexión de .04 pulgadas en el punto 3. con deflexión cero en los otros puntos.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1. a) del ^

= 3 -6 —(—9) • 2 = 1 8 + 1 8 = 36. El determinante es diferente de

cero, de manera que la matriz es invertible. b) d e t j ^

^

j = 4 -5 -

c) d c t £ _ ^

( - 9 ) - 0 = 20 ^ 0. La matriz es invertible.

= 6 - 6 - ( —9 )(—4) = 3 6 - 3 6 = 0. La matriz no es invertible.

[ - 1I

-2 5

-I I 6 0

5

-4

5 0

[ 01 - 23 - 15 0

6

10

[ 01 - 23 - 15 0

0

0

1 1 -5

0 0' 1 0 0

I

0 0" 1 0 0

1

1 0 0' 1 1 0 -7 -2

1

Así. \A / I es ahora equivalente por filas a la matriz de la forma \B D\. donde f ie s una matriz cuadrada y tiene una fila de ceros, l-as operaciones de fila adicionales no van a transformar a fien I, así que el proceso se detiene. A no tiene una Inversa

2.3

CARACTERIZACIONES DE MATRICES INVERTI BLES Esta sección constituye un repaso de la mayoría de los conceptos estudiados en el capítulo 1, en relación con sistemas de n ecuaciones lineales de n Incógnitas y con matrices cuadradas. El resultado principal es el teorema 8.

http://www.fullengineeringbook.net 139 of 461.

12 2

CAPÍTULO 2

Álgebra de mal rices

TEOREM A 8

E teorem a de la matriz Invertlble Sea A una matriz cuadrada d e n x a Entonces, los siguientes enunciados son equiva­ lentes. Es decir, para una A dada, los enunciados son todos ciertos o todos falsos. a) A es una matriz invertible. A) A es equivalente por filas a la matriz identidad de n x n. c) A tiene n posiciones pivote. d) La ecuación A x = ttle n e solamente la solución trivial. e) Las columnas de A forman un conjunto linealmente independiente. f ) La transformación lineal x *-* A x es uno a uno. g) La ecuación A x = b tiene al menos una solución para toda b en

R".

h) Las columnas de A generan IR". ij

La transformación lineal x *-* A x mapea R" sobre

j)

Existe una matriz C de n x n tal que CA = /.

R".

k) Existe una matriz D d o n x n tal que A D = I. D /4r es una matriz invertible.

(b)



*

u (0 <=

HGURA 1

00 * * (h) <=> (i) (d) <=> (c) «=> (f)

(a) <=> (1)

Primero, se necesita alguna notación. Si la veracidad del enunciado á) siempre implica que el enunciado j) sea cierto, se dice que a) implica a j), y esto se representa como a) «=*j). La demostración establecerá el “círculo’ de implicaciones que se ilustra en la figura 1. Si cualquiera de estos cinco enunciados es cierto, entonces también lo son los demás. Por úl­ timo. la demostración relacionará los enunciados restantes del teorema con los enunciados incluidos en este circulo. DEMOSTRACIÓN S el enunciado a) es cierto, entonces A ~ l funciona para C en j ). de ma­ nera que á) =>j ). Luego, J) => d) por el ejercicio 23 de la sección 2.1. (Regrese y lea el ejercicio). También, d) =» c) por el ejercicio 23 de la sección 2.2. Si A es cuadrada y tiene n posiciones pivote, entonces los pivotes deben estar sobre la diagonal principal; en tal caso, la forma escalonada reducida de A es /„ Por lo tanto, c) => A). También, A) => a) por el teorema 7 de la sección 2.2. Esto completa el círculo de la figura l. Ahora, a) => A) porque A ~ l funciona para D. También. Á) => g) por el ejercicio 26 de la sección 2.1, y g) => a) por el ejercicio 24 de la sección 2.2. Asi que g) y A) están vincu­ lados al círculo. Además, g), h) e i) son equivalentes para cualquier matriz, de acuerdo con el teorema 4 de la sección 1.4 y el teorema 12a) de la sección 1.9. Por consiguiente, h) e i) están vinculados al círculo a través de g). Como d) está vinculado al círculo, también lo están e) y A. porque d), e) y f) son todos equivalentes para cualquier matriz A. (Véase la sección 1.7 y el teorema 12A) de la sección 1.9]. Por último, a) =* /) de acuerdo con el teorema 6c) de la sección 2.2, y /) a) por el mismo teorema intercambiando A y A r. Esto completa la demostración. ■ Según el teorema 5 de la sección 2.2. el enunciado g) del teorema 8 también se podría escribir como: “ La ecuación A x = b tiene una solución única para toda b en R, r . Este enun­ ciado realmente implica a tí) y. por lo tanto, implica que A es invertible. El siguiente hecho es consecuencia del teorema 8 y del ejercicio 12 de la sección 2.2.

Sean A y 5 matrices cuadradas. Si A B = /. entonces A y Z?son invertibles, con B = A 1 y A = B~l.

http://www.fullengineeringbook.net 140 of 461.

2.3

Caracterizaciones de matrices lnvertibles 12 3

El teorema de la matriz invertible divide al conjunto de todas las matrices de n x n e n dos clases disjuntas: las matrices invertibles (no singulares) y las matrices no invertibles (sin­ gulares). Cada enunciado del teorema describe una propiedad de toda matriz de n x n inver­ tible. La negación de un enunciado del teorema describe una propiedad de toda matriz singular de n x n. Por ejemplo, una matriz singular de n x tino es equivalente por filas a In. no tiene n posiciones pivote, y tiene columnas linealmente dependientes. Las negaciones de los otros enunciados se consideran en los ejercicios. E JE M P L O 1

Use el teorema de la matriz Invertible para determinar si A es invertible:

SOLUCIÓN 1 0 r • " 21 4 -- 0 0 1 0 -1 - » J Lo

A~

0 " 21 1 4 0 3j

Por lo que A tiene tres posiciones pivote y. por lo tanto, es invertible, de acuerdo con el enun­ ciado c) del teorema de la matriz invertible. ■ El poder del teorema de la matriz invertible radica en las relaciones que establece entre tantos conceptos importantes, tales como la independencia lineal de las columnas de una matriz A y la existencia de soluciones para ecuaciones de la forma A x = b. Sin embargo, se debe enfatizar que el teorema de la matriz invertible se aplica solo a matrices cuadradas. Por ejemplo, si las columnas de una matriz de 4 x 3 son linealmente independientes, no puede usarse el teorema de la matriz invertible para obtener cualquier conclusión acerca de la exis­ tencia o inexistencia de soluciones a ecuaciones de la forma A x = b.

T ransform aciones lineales invertibles Recuerde de la sección 2.1 que la multiplicación de matrices corresponde a la composición de transformaciones lineales. Cuando una matriz A es inverllble, la ecuación A~l A x = x se puede ver com o un enunciado acerca de transformaciones lineales. Véase la figura 2.

Multiplicación por A x»

• A* Multiplicación por A'1

RGURA 2 A~1transforma Ax de regreso 3 x

Se dice que una transformación lineal T : Rn S : R ” -► Rn tal que

R n es m vertible si existe una función

5 (7 { x ))= x

p a ra to d a x e n R "

(1)

7(5(*)) = x

para toda x e n Rn

(2)

E3 siguiente teorema establece que si dicha S existe, es única y debe ser una transformación lineal. Se dice que S e s la inversa de T y se escribe como T ~ \

http://www.fullengineeringbook.net 141 of 461.

12 4

CAPÍTULO 2

Álgebra de mal rices

TEOREM A 9

Sea T : R° -*■ Jtfl una transformación lineal y sea A la matriz estándar para T. Asi, T es invertible si y solo si A es una matriz invertlble. En tal caso, la transforma­ ción lineal S dada por 5{x) = A~ 'x es la única función que satisface las ecuaciones (i) y (2).

DEMOSTRACIÓN Suponga que T e s invertible. Entonces (2) indica que T e s sobre R" porque si b está en R * y x = 5(b). entonces 7{x) = 7{S{b)) = b. asi que toda b está en el rango de T. Por lo tanto. A es invertible, de acuerdo con el teorema de la matriz invertible, enunciado í). Bar el contrario, suponga que A es invertible y sea S[x) = A 'x. Entonces. S o s una trans­ formación lineal y evidentemente satisface (1) y (2). Por ejemplo. ^ 7 (x )) = 5í/ix) = / l - , ( /lx ) = x Por consiguiente. T e s invertible. La demostración de que 5 es única se describe de manera general en el ejercido 38. ■ E JE M P L O 2 de R" en R12?

¿Qué se puede decir acerca de una transformación lineal T uno a uno

SOLUCIÓN Las columnas de la matriz estándar A de T son linealmente independientes (según el teorema 12 de la secdón 1.9). Por lo que A e s invertible, de acuerdo con el teo­ rema de la matriz invertible, y T mapea R ° sobre R". También. T es invertible, según el teorema 9. ■

------ NO TAS NU M ÉR ICAS -----------------------------------------------------------------------------------En la práctica, se puede encontrar ocasionalmente una matriz 'casi singular" o mal condicionada una matriz invertible que puede convertirse en singular si algunas de sus entradas se modifican ligeramente. En este caso, es posible que la reducdón por filas produzca menos de n posidones pivote, debido al error de redondeo. Ade­ más, los errores de redondeo, algunas veces, hacen que una matriz singular parezca invertible. Algunos programas de matrices calculan un número d e ccndkkn para una ma­ triz cuadrada. Cuanto mayor sea el número de condición, más cerca estará la matriz de ser singular. El número de condidón de la matriz identidad es 1. Una matriz singular tiene un número de condición infinito. En casos extremos, un programa de matrices podría no distinguir entre una matriz singular y una matriz mal condicionada. Los ejercicios 41 a 45 ponen de manifiesto que los cálculos de matrices llegan a producir errores sustanciales cuando un número de condición es grande.

| WEB |

PROBLEMAS DE PRÁCTICA»

1. Determine si A =

es invertible.

2. Suponga que para cierta matriz A de n x n. el enunciado g) del teorema de la matriz Invertible no es verdadero. ¿Qué puede decirse acerca de las ecuaciones de la forma A x = b? a

Suponga que A y B son matrices de n x n y que la ecuación ABx = § tiene una solu­ ción no trivial. ¿Qué puede decirse acerca de la matriz AB?

http://www.fullengineeringbook.net 142 of 461.

2.3

Caracterizaciones de matrices lnvertibles 12 5

2 .3 EJER C IC IO S * A menos que se especifique lo contrario, suponga que en estos ejer ciclos todas las matrices son de n x n En los ejercicios 1 a 10. de­ termine cuáles de las matrices son lnvertibles. Use tan pocos cálculos como sea posible. Justifique sus respuestas.

d) Si la ecuación Ax ■ btiene al menos una solución para toda b en R”, entonces la transformación x *-*■Ax no es uno a uno. e) Si existe una b en R" tal que la ecuación Ax = b es con­ sistente. entonces la solución es única. 13. Una nurfrtx tria n ^ fa r superior de m x n ® aquella cuyas entradas debajo de la diagonal principal son ceros (como en el ejercicio 8). ¿Cuándo es Invertible una matrtz triangular supe dar cuadrada? Justifique su respuesta.

3 2 -4

0 -3 "] 0 4 7

0

[ a

J

r 0 8 —3 2 3 2 1

■-1 - 3 3 5 -2 -6 0 -1

oo.

14. Una iw ti li triangjiar inferio r de m x n es aquella cuyas entradas arriba de la diagonal principal son ceros (como en el ejercicio 3). ¿Cuándoes invertible una matriz triangular inferior cuadrada? Justifique su respuesta.

I -3 - 6 ] o 4 3 3 6

°J

*3 0 0 0

4 1 0 0

7 4 2 0

* l ü ¿Puede ser lnvertlble una matriz de 4 x 4. cuando sus columnas no generan a ¡R*? ¿Por qué? 4' 6 8 1

*la

* 17. ¿Puede una matriz cuadrada con dos columnas idénticas ser invertible? ¿Por qué?

‘ 4 0 - 3 —7" 9 9 9 -6 [MI 7 - 5 10 19 4 -1 -1 2 ‘5 6 |M | 7 9 8

3 4 5 6 5

Si una matriz A de n x nes lnvertlble. entonces las columnas de A7”son llnealmente independientes. Explique por qué.

* 18. ¿Puede una matriz cuadrada con dos filas Idénticas ser inver­ tlble? ¿Por qué? * 19l Si las columnas de una matriz D, de 7 x 7. son linealmente independientes, ¿qué se puede decir acerca de las soluciones (fe Dx = b? ¿Por qué?

1 7 2 8 3 10 4 -9 2 11

’

En los ejercicios 11 y 12. todas las matrices s o n /ix n . Cada inciso de estos ejercicios es una implicación de la forma ‘si (enunciado 1), entonces (enunciado 2)'. Marque cada Implicación como verdadera 0 falsa, considerando lo siguiente. Una implicación es verdadera si el enunciado 2 es verdadero siempre que el enunciado 1 sea cierto. Una implicación es falsa si existe un caso en el que el enunciado 2 es falso, pero el enunciado 1 es verdadero. Justifique sus respuestas. 11. a) SI la ecuación Ax = Otiene únicamente la solución trivial, entonces A es equivalente por filas a la matriz identidad de nxn. b) SI las columnas de A generan a R". entonces las columnas son llnealmente independientes. c) Si A es una matriz d e n x n . entonces la ecuación Ax = tiene al menos una solución para toda b en R".

b

d) Si la ecuación Ax - O tiene una solución no trivial, enton ces A tiene menos de n posiciones pivote. e) Si ATno es lnvertlble. entonces A no es invertlble. 12. <í) Si existe una matriz D de n x n tal que AD • /. entonces DA = 1. A) SI la transformación lineal x*-* /txmapea R 'e n R°. enton res la forma escalonada reducida de A es / c) SI las columnas de A son llnealmente independientes, enton res las columnas de A generan a R°.

20.

Si A es una matriz de 5 x 5 y la ecuación Ax = bes consistente pora toda b en R5. ¿es posible que. para alguna b la ecuación Ax = b tenga mas de una solución? ¿Por qué?

*21. Si la ecuación Cb = ▼tiene más de una solución para alguna ▼en R”, ¿pueden las columnas de la matriz Cde n x n generar a R'? ¿Por qué?

*22.

Si las matrices E y F de n x n tienen la propiedad de que £ F » /. entonces E y F conmutan Explique por qué.

* 23. Suponga que F es una matriz de n x a Si la ecuación I x - y es inconsistente para alguna yen R". ¿qué se puede decir acerca de la ecuación Ex = •? ¿Por qué? * 24 Si una matriz C de n x n no se puede reducir por filas a L ¿qué se puede dedr acerca de las columnas de G? ¿Por qué? * 25l Compruebe el enunciado del recuadro antes del ejemplo 1. * 26. Explique por qué las columnas de A2generan a R" siempre que las columnas de una matriz A de n x n son llnealmente inde­ pendientes. * 27. Sean A y Fmatrices de n x n . Demuestre que si ABe s invertlble. también lo es A No podrá utilizar el teorema 6b). porque no es posible suponer que A y i?son lnvertibles. [Sugerencia: Existe ina matriz IPtal que ABW = 1. ¿Por qué?]. 28. Sean A y B matrices de n x n. Demuestre que si AB es Inver­ tible, también Fio es. * 2 a SI / es una matrtz de n x n y la transformación x •-♦Ares uno a uno. ¿qué más puede decirse acerca de esta transformación? Justifique su respuesta.

http://www.fullengineeringbook.net 143 of 461.

12 6

CAPÍTULO 2

Álgebra de mal rices

3 a Si /Íes una matriz de n x n y la ecuación Ax = b tiene más de uta solución para alguna b entonces la transformación x —* Ax no es uno a uno. ¿Qué más se puede decir acerca de esta trans­ formación? Justifique su respuesta.

41. (MI Suponga que un experimento conduce al siguiente sistema de ecuaciones:

31. Suponga que Aes una matriz de n x «con la propiedad de que ta ecuación Ax - b tiene al menos una solución para toda b en R". Sin utilizar los teoremas 5 u 8. explique por qué cada ecuación Ax - btiene, en efecto, exactamente una solución.

a) Resuelva el sistema (3). y después resuelva el sLstema (4) que se presenta a continuación en el cual los datos a la dere­ cha se redondearon a dos decimales. En cada caso, encuentre la solución exacta.

32. Suponga que A es una matriz de n x neón la propiedad de que b ecuación Ax = 0 tiene solamente la solución trivial. Sin uti­ lizar el teorema de la matriz Invertible, explique directamente por qué la ecuación Ax = b debe tener una solución para toda ben R". En los ejercicios 33 y 34, Tes una transformación lineal de R2 en ¡R2. Demuestre que Tes Invertible y encuentre una fórmula para T *. 33. l\x\. xd - (-5*1 + 9 *2.4*1 - 7*2) 34 7Ui. j&) = (2*i - 8x7. - 2 * + 7 xj) 35. Sea T : R" -* R" una transformación lineal invertlble. Expli­ que por qué fe s tanto uno a uno como sobre R”. Use las ecua dones (1) y (2). Después, dé una segunda explicación usando uno o más teoremas. 36 Suponga una transformación lineal T : R" -* R° con la pro piedad de que T\w) = 7\x) para algún par de vectores distintos o y ▼en R". ¿Puede Tmapear R° sobre IR"? ¿Por qué? 37. Suponga que T y U son transformaciones lineales de R" a R" tales que TlUfá) = x para toda x en R". ¿Es cierto que LA7(x)) ” xpara toda xen R"?¿Por qué? 38. Sea T : R" -► R° una transformación lineal invertible, y sean 5 y U funciones de IR” en R” tales que S(7\x)) = i y ÍÁ7(x)) » xpara toda xen R°. Demuestre que U[x) “ 5(v) para toda v en R”. Esto demostrará que T tiene una Inversa única, como se establece en el teorema 9. [Sugerencia: Dada cualquier v en R", se puede escribir r = 71x) para alguna x ¿Por qué? Calcule S(x) y (Ay)). 38 Sea T una transformación lineal que mapea R" sobre (Rn. Demuestre que T 1existe y mapea ¿"en R". ¿ T 1es también uno a uno? 4 1 Suponga que Ty S satisfacen las ecuaciones de invertlbilldad (1) y (2). donde fe s una transformación lineal. Demuestre di ledamente que 5 es una transformación lineal. [Sugeren­ cia: Dadas n y v en R". sea x = 5W. y - Sy). Entonces. 7(x) = a 7(y) = y ¿Por qué? Aplique 5 a ambos miembros
4.5*, + 3 .1 * , = 19.249 1 .6 * ,+ 1.1*2 =

6.843

(3)

4 5 * ! +3.1*2 = 19.25 1 .6 * i+ 1.1*2= 6.84

tít Las entradas del sistema (4) difieren de las del sistema (3) en menos del .05%. Encuentre el porcentaje de error cuando se utiliza la solución de (4) como una aproximación a la solu­ ción de (3). c) Lhe un programa de matrices para producir el número de condición de la matriz de coeficientes de (3). Los ejercicios 42. 43 y 44 ilustran cómo utilizar el número de con­ dición de una matriz A para estimar la exactitud de una solución calculada de Ax = b. Si las entradas de A y b son exactas con a pro ximadamente r dígitos significativos, y si el número de condición deAesaproxlmacbmente 101(siendo k un entero positivo), entonces la solución calculada de Ax - b debería ser exacta hasta al menos r - ¿dígitos significativos. 42. |M] Sea A la matriz del ejercicio 9. Encuentre el número de condición de A Construya un vector aleatorio xen R4y calcule b » A x Después use un programa de matrices para calcular la solución Xj de Ax = b ¿En cuántos dígitos concuerdan x y x,? Encuentre el número de dígitos que el programa de matrices almacena con precisión, e informe cuántos dígitos de exactitud se pierden cuando se usa X( en lugar de la solución exacta x 41 |M] Repita el ejercicio 42 para la matriz del ejercicio 10. 41 [MI Resuelva Inecuación Ax ■ b para obtener una b(jue sirva para encontrar la última columna de la Inversa de la matriz de Hilbert de quinto orden ■ 1 1/2 1/3 1/4 .1 /5

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

1/4 1/5 1/6 1/7 1/8

1/51 1/6 1/7 1/8 1/9.

¿Cuántos dígitos de cada entrada de xespera que sean correc­ tos? Explique su respuesta. [Nota: La solución exacta es (630, -12800, 58700. -88200. 44100)1, 4S [M] Algunos programas de matrices, como MATLAB. tienen una orden para crear matrices de Hilbert de varios tamaños. Si es posible, use un comando inverso para calcular la inversa de una matriz de Hilbert A de duodécimo orden o mayor. Calcule A4~‘. Realice un informe de sus hallazgos.

http://www.fullengineeringbook.net 144 of 461.

2.4

Matrices partlclonadas 12 7

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1. Es evidente que las columnas de A son linealmente dependientes, ya que las columnas 2 y 3 son múltiplos de la columna 1. Por lo tanto, A no puede ser invertible, de acuerdo con el teorema de la matriz invertible. 2. Si el enunciado g) no es verdadero, entonces la ecuación A x * b es inconsistente para al menos una b en R /I. & Aplique el teorema de la matriz invertible a la matriz A B en lugar de A. Entonces, el enun­ ciado d) se convierte en: 'A B x = O tiene solamente la solución trivial". Esto no es cierto. Por lo tanto. A fino es invertible.

MATRICES PARTICIONADAS Una característica clave de nuestro trabajo con matrices ha sido la capacidad para considerar a una matriz A como una lista de vectores columna y no tan solo un arreglo rectangular de números. Este punto de vista ha resultado tan útil que seria deseable considerar otras partí d o n e s de A. indicadas por las lineas divisorias horizontales y verticales, como en el ejemplo 1 que se presenta a continuación. Las matrices particionadas se presentan en la mayoría de las aplicaciones modernas del álgebra lineal porque la notación resalta la estructura esencial de los cálculos matriciales. como se mostró en el ejemplo introductorio de este capítulo acerca del diseño de aeronaves. Esta sección ofrece una oportunidad para revisar el álgebra matricial y usar el teorema de la matriz invertible. E JE M P L O 1

La matriz

r A =

0 2

3 -5

.-8

-6

-1 4

5 0

9 -3

—2 ] 1

3

1

7

-4 _

también se puede escribir como la m atriz p a r tk k n a d a de 2 x 3 (o p a r hlnqmwj de A \\ ¿2 i

¿12

An

¿ 2j

¿23

cuyas entradas son los Noques (o las submatrices)

1

00

II

/ll, = [ - 5 M

2.4

5 -i]-6

3 ],

A '2 = [ l

-5 }

¿22 = [1

7 ],

A* m [

í]

¿23 = [ - 4 ]

E JE M P L O 2 Cuando una matriz A se presenta en un modelo matemático de un sis­ tema físico, como en una red eléctrica, un sistema de transporte o una gran compañía, tal vez resulte natural considerar A como una matriz particionada. Por ejemplo, si un tablero de circuitos de microcomputadora consta principalmente de tres microcircuitos VLSI (very large-scate integraied. es decir, integrados a escala muy grande), entonces la matriz para el tablero de circuitos podría tener la forma general

¿ =

¿II

¿12

¿1 3

¿21

¿22

¿23

. ¿31

¿32

¿33

l-as submatrices en la "diagonal” de A —a saber. A n. A?? y A33— se refieren a los tres cir­ cuitos VLSI, mientras que las otras submatrices dependen de las interconexiones que haya entre esos microcircuitos. ■

http://www.fullengineeringbook.net 145 of 461.

12 8

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

Sum a y m ultiplicación escalar Si las matrices A y 5 son del mismo tamaño y están particionadas exactamente en la mis­ ma forma, resulta natural efectuar una partición sim ilar de la suma ordinaria mal ricial A + R En este caso, cada bloque de A + B es la suma (matridal) de los bloques correspondientes de A y B. La multiplicación por un escalar de una matriz paiticionada también se calcula bloque por bloque.

M ultiplicación de m atrices p articio n ad as Las matrices particionadas se pueden multiplicar utilizando la regla fila-columna como si las entradas del bloque fueran escalares, siempre que para un producto AB. la partición por columnas de A equivalga a la partición por filas de B.

EJEMPLO

3

Sean

r 6 [2 - 3 1 1 5 -2 A = .0 - 4 - 2

4i

0 -4 3 -1 7 -1 5

2

Las cinco columnas de A están particionadas en un conjunto de tres columnas y. luego, en uno de dos columnas. Las cinco filas de B están particionadas de igual manera (en un conjunto de tres filas y después en uno de dos filas). Se dice que las particiones de A y B e s ­ tán conform adas ¡«ara la n n itip lk a r ió n p o r bloques Es posible demostrar que el producto común A B se escribe como

AB = \ A"

[ a 2í

/t|2ir/?l1 í/l,,/*1+ÁnB21 A n ] [ B 2\

=

[AuBx + A n B ii

= \ -6

I 2

4“ 2 I

Es importante escribir cada producto menor de la expresión para A B con la submatriz de A a la izquierda, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Por ejemplo.

uih Por lo tanto, el bloque superior es

AnB,

+ ¿ ,,8 .-[ '* j j ] + [ ”

7 ] = [ -6

2]

I-a regla fila-columna para la multiplicación de matrices por bloques ofrece la manera más general de considerar un producto de dos matrices. Cada una de las siguientes formas de ver un producto ya se describió mediante particiones sencillas de matrices: 1. la defini­ ción de A x usando las columnas de A, Z la definición de columna de AB, 3L la regla filacolumna para calcular AB, y 4 las filas de Á ficomo productos de las filas de A y la matriz B. Una quinta manera de ver AB, usando de nuevo particiones, se presentará más adelante en el teorema 10. Los cálculos del siguiente ejemplo preparan el camino para el teorema 10. Aquí, col¿(,4) es la ¿vésima columna de A, y la fila* (B\ os la Á-éslma fila de B.

http://www.fullengineeringbook.net 146 of 461.

2.4

E JE M P L O 4

Sea A

Matrices partlclonadas 12 9

a » - [ ; /d J. Compruebe que

AB = col, (A) filai(fi) + coh(A) Ílla 2(/J) + cotaíA) fila3(5) SOLUCIÓN Cada uno de los términos anteriores es un producía extemo. (Véase los ejerci­ d o s 27 y 28 de la secrión 2.1). Por la regla fila-columna para calcular un producto m atridal.

col, M)fila, = [ , ] [ „

*] = [ ^

coljM)fllastfil “ [ s ] [ f

/ 1 ==[ £

“ ]

5/ ]

De modo que 3

- 3b + d + 2 f ] b-4d+ 5f

T - 3 a + c + le [ a - 4c + 5e

]TcoW>l)fila*<5) k= l

Es evidente que esta matriz es A B Observe que la entrada (1. 1) de AB es la suma de las entradas (1. 1) de los tres productos extemos, la entrada (1, 2) en >15es la suma de las entra­ das {1. 2) de los tres productos externos, y asi sucesivamente. ■

T E O R E M A 10

Expansión columna-fila de AB Si A es de m x n y B es de n x p, entonces fila,(5) fila2(5) >15= (col, {A)

col2(>4)

coUA)|

( 1)

fila„(5) = col|(>l)filai(5) + ••• + coln(A) fila¿(5)

DEMOSTRACIÓN Para cada índice de fila i e índice columna j. la entrada (/, Jf en col^A) fila*(5) es el producto de a,* de coljfA) y bq de filai(5). Por lo tanto, la entrada (/, j de la suma que se muestra en la ecuación (1) es o n b ij <* = 1)

+

a n b ij (A = 2)

+

•••

+

a¡nbnJ (A - n)

Esta suma también es la entrada {i,j) de AB, por la regla fila-columna

Inversas de matrices particionadas El siguiente ejemplo ilustra los cálculos relacionados con inversas y matrices particionadas. E JE M P L O 5

Se dice que una matriz de la forma

es triangular superior por bloques. Suponga que A,| es de p x p, A 22 es de q x q. y >1 invertible. Encuentre una fórmula para A~l.

http://www.fullengineeringbook.net 147 of 461.

13 0

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices SOLUCIÓN D enote/! *1con B, y efectúe una partición de B para que

r-4 .i *,ir*« L°

B22

o]

J [0 7fJ

(2)

Esta ecuación matricial proporciona cuatro ecuaciones que conducen a los bloques des­ conocidos B| | ......B¿2. Calcule el producto a la Izquierda de (2), e Iguale cada entrada con el bloque correspondiente en la matriz identidad a la derecha. Es decir, establezca A \\B \\ + A\2Bí \ = lp

(3)

A \\B \2 + A \2Bi 2 = 0

(4)

A22&1 = 0

{5)

A 22B22 ~

(®)

Por sí misma, (6) no establece que A& sea invertible. Sin embargo, ya que A22 es cuadrada, el teorema de la matriz invertible y (6). juntos, indican que A22 es invertible y B¡2 = A^2 . Ahora, al multiplicar por la izquierda ambos lados de (5) por A22, se obtiene Bzi = A ¿ 0 = 0 por lo que (3) se simplifica a A \iB u + 0 = Ip Ya que Áu es cuadrada, esto demuestra que A\ 1 es invertible y B\ 1 = A¡¡. Por último, asando estos resultados con la ecuación (4) se encuentra que A \\B \2 ■ - A 12B 22 = —A\2A22

A~l =

r -An L 0

-A22\ r _

y

A \i r [ 0

B\ 2 =

A ^ A \ 2A^2

~ A X|' A \2Áyy 1 A-A

\

Una matriz «Kaganal p a r hlaqncw s una matriz partidonada con bloques cero fuera de la diagonal (de bloques) principal. Una matriz de este tipo es invertible si y solo si cada blo­ que sobre la diagonal es invertible. Véase los ejercidos 13 y 14.

------ NO TAS NU M ÉR ICAS -----------------------------------------------------------------------------------1. Cuando las matrices son demasiado grandes para caber en la memoria de alta ve­ locidad de una computadora, partidonarlas permite trabajar solamente con dos o tres submatrices a la vez. Por ejemplo, un equipo de investigadón de programa­ ción lineal simplificó un problema al particionar la matriz en 837 filas y 51 co ­ lumnas. La soludón del problema tardó aproximadamente cuatro minutos en una su percomputadora Cray.1 2. Algunas computadoras de alta velocidad, en particular aquellas con arquitectura de conducdón vectorial, realizan cálculos m atridales con mayor efid e n d a cuando los algoritmos usan matrices partid onadas.2 3. Los programas de computadora profesionales para álgebra lineal numérica de alto desempeño, como LAPACK. utilizan de manera intensiva cálculos de matrices particionadas.

1 E l tiempo de solución no prece muy Impresionante hasta saber que cada bloque de las 51 columnas contenía, aproximadamente. 250,000 columnas Individuales. |E1 problema original tenia 837 ectecianes y más de 12.750,000 variables! C asi ICO millones de las más de 10 m il mlDones de entradas eran diferentes de cero. Véase Robert E. Bixby tí al.. *Vcry Large Scale Linear Programmlng: A Case Study in Comblnlng Interior P d n i and Sm plex Methods*. Opewñons Research. 40. niim . 5 (1992): 885 897. 1 la Impórtatela de tos algortmos de matrices por bloques p ra calados de computadora se describe en Mairix Ccmputations. 3a. ed. de Gene H, G dub y Charles F. van Ijoan (Baklmore: Johns Hopklns Urtversity Press 1906).

http://www.fullengineeringbook.net 148 of 461.

2.4

Matrices partlclonadas 1 3 1

Los siguientes ejercicios permiten obtener práctica con el álgebra matricial e ilustran los cálculos comunes que se encuentran en aplicaciones.

PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1. Demuestre que

j

y es invertible y encuentre su inversa

2. Calcule X TX, donde A'está partícionada como \X\

X¡t],

2 .4 EJER C IC IO S * En los ejercidos 1 a 9. suponga que las matrices están partlclonadas de manera conformada para la mulUpÜcación por bloques. Calcule los productos que se Indican en los ejercidos 1 a 4.

En los ejercicios II y 12. marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas. * 11. a) Si A = |A| A2I y B = [5, Bi\, con A x y A2 de las mis mas dimensiones que fí, y fy. respectivamente, entonces A + B — |Aj + B\ Ai + /y .

* S1 14- [í|¡ A¿] y * “ [ £ } en,0nCB ^ En los ejercicios 5 a 8. encuentre fórmulas para X. Y y Z en términos de A B y C. y Justifique sus cálculos. En algunos casos, tendrá que hacer suposiciones acerca del tamaño de una matriz para obtener una fórmula. {Sugerencia: Calcule el producto a la Izquierda e Iguálelo al lado derechoj.

: ] [ ; : ]

nes de A y B están conformadas para la multiplicación por bloques. * 12. a) SI A,, A*. 5, y B¿ son matrices d e / i x n 4 = | ^ j. y B=[B\ B¿\. entonces el producto BA está definido, pero AB no lo está. tí) Si A = ^

^ j . entonces la transpuesta de A es

*p s][¡ ?]-[;;] 13. Sea A =

> [ ;:;] [ •

•]■[; : i

rA * [o

z] / J

B ]\X / J|_o

Y o

[/ L°

0 0] ° >\

• a Suponga que Bu es una matriz Invertible. Encuentre las ma­ trices Aíi y Ají (en términos de los bloques de B) de tal mane ra que el producto que aparece a continuación tenga la forma Indicada. Además, calcule Q 2 (en términos de los bloques de B). (Sugerencia: Calcule el producto a la Izquierda e Iguálelo al fado derecho].

Encuentre P. Q y R.

Q c J, donde B y C son cuadradas. Demuestre

que Aes invertlble si y solo si B y Cson invertibles. 14 Demuestre que el bloque de matriz triangular superior A en el ejemplo 5 es Invertlble si y solo si tanto Ai 1como A22 son Inver tibies. [Sugerencia Si Ai j yAj?son lnvertíbles, la fórmula para A-1, que se dio en el ejemplo 5. en realidad funciona como la Inversa de AJ. Este hecho de Aes una parte Importante de varios algoritmos de computadora que estiman valores propios de ma trices. Los valores propios se analizan en el capitulo 7 (en el sitio Web). * 15. Cuando se lanza una sonda espacial, es necesario hacer algu­ nos correcciones para colocar la nave en una trayectoria exacta. La radio telemetría proporciona un flujo de vectores. *1..... x* qje arrojan Información en diferentes momentos sobre cómo se compara la posición de la sonda con la trayectoria prevista. Sea Xk la matriz [xi — x*j. la matriz Ci¡ “ X tX f se calcula conforme se analizan los datos del radar. Cuando llega x*. se d»be calcular un nuevo Gm . Como los vectores de datos llegan a alta velocidad, la carga computac tonal podría ser grande. Pero la multiplicación de la matriz partícionada ayuda muchísimo. Calcule las expansiones columna fila de C* y G** 1. y describa lo que se debe calcular para actualizar G*a la forma C*+|.

http://www.fullengineeringbook.net 149 of 461.

13 2

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices Suponga qup A - j/„es Invertible y considere la ecuación (8) como un sistema de dos ecuaciones matridales. Resuelva la ecuación superior para x y sustituyala en la ecuación inferior. El resultado es una ecuación de la forma lKi)a = y. donde W(jt) es una matriz que depende de s. WW se denomina Junción de transferencia del sistema porque transforma la entrada u en la salida y Encuentre IHs) y describa cómo está relacionada con el sistema de matriz particlonada del miembro izquierdo de (8). Véase el ejercicio 16. Suponga que la función de transferencia s) del ejercicio 19 es invertible para alguna s. Es posible demostrar que la fun cíón de transferencia inversa Ufa)-1, que transforma salidas en entradas, es el complemento de Schur de A - BC - $!„ para b matriz que se presenta a continuación Encuentre este com­ plemento de Schur. Véase el ejercicio 16.

La sonda Gallleo fue lanzada el 18 de octubre de 1989 y llegó cerca de Júpiter a principios de diciembre de 1995. a.

l a Sea A =

t

:)te ®

i]

17. Suponga que la matriz por bloques A del lado izquierdo de (7) y i4u son invertlbles Demuestre que el complemento de Schur S d? Au es Invertible. \Sugereruia: Los factores externos to­ talizadas en el lado derecho de (7) siempre son Invertibles. Compruebe esto). Cuando A y A\\ son ambas invertibles, (7) conduce a una fórmula para A ~ \ utilizando S~ *. A¡xl y las otras entradas de A 18. Sea A'una matriz de dalos de m x n tal que X TX es invertible, y sea M » ¡m - X[XrXj~iX T. Añada una columna a los datos y forme * |.

Calcule WTW. La entrada (1,1) es X rX Demuestre que el com­ plemento de Schur (ejercicio 16) de X TXse puede escribir en la forma Aftfc. Es posible demostrar que la cantidad A/*;)-1 s la entrada (2, 2) de ( W/7M') *• Esta entrada tiene una Interpre tación estadística útil, a la luz de las hipótesis adecuadas. En el estudio de ingeniería de control de sistemas físicos, un con­ junto estándar de ecuaciones diferenciales se transforma en el si­ guiente sistema de ecuaciones lineales por medio de transformadas d? l a place: "c"-

B I

~C

/.I

a) Compruebe que A2 • /cuando A =

2

J

Si A\i es invertible, entonces la matriz

S - Azi - i4j|A,'|lÁiiSe llama canptnnm todeS churde A\\. Por otra parte, si A n ts invertible, la matriz A\\ - AnA¡\Ati se llama complemento de Schur de An- Suponga que A\ i es In­ vertible. Encuentre X y Ktal que

W -[X

A - B C -s i,

" ][;]= [* ]

■

donde A es de n x n, Bes de n x m, Ces de m x n, y ses una variable. El vector aen R"es la 'entrada' del sistema, yen R" es la 'salida* del sistema, y j e n R*es el vector de 'estado', (En realidad, los vectores x u y y son funciones de s, pero esto no afecta los cálculos algebraicos de les ejercicios 19 y 20).

tí) lite matrices partic tonadas para demostrar que M 2 = / cuando 0 1 0 2 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 BL Generalice la idea del A de 6 x 6. M 0 C una matriz de 2 x 2 funciona.

0‘ 0 0 1

ejercicio 21 al construir una matriz Al 0 0' B 0 tal que M? I. Haga a C 0 D no nula. Muestre que su construcción

tSL Use matrices particionadas para demostrar, por inducción, que el producto de dos matrices triangulares inferiores también es triangular inferior. [Sugerencia: Una matriz A\ de (A + 1) x (k + I) se puede escribir en la forma presentada a continua ción, donde aes un escalar, eestá en R', y ¿ e s una matriz trian­ gular inferiorde k x k.

* 24 Use matrices particionadas para demostrar por inducción que para n - 2, 3..... la matriz A de n x n que se presenta a conti­ nuación es Invertible y que Bes su inversa. 1 1 1

0 1 1

0 0

1

1

I

1 -1 0

•

0' 0 0

1 0 1

- 1

.. . 0 0 1

•

1. ...

0‘ 0 0

-1

I.

• 0

http://www.fullengineeringbook.net 150 of 461.

2.5 Para el paso de induceton, suponga que A y B son matrices de (k + 1) x (k + I). y particlone A y Bde una manera similar a ka que se presenta en el ejercicio 23.

c) Construya una matriz de 50 x 50 de la forma C =

Sin utilizar reducción por filas, encuentre la inversa de 1 3 0 0 0

2 5 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 7 5

Factorizaclones de matrices 13 3

Nota: Tal vez no sea necesario especi­

ficar los bloques de ceros en C\.

0 0 0 8 6

[MI Para las operaciones de bloque, podría ser necesario intro­ ducir o recurrir a submatrices de una matriz grande. Describa las funciones o los comandos de un programa de matrices que realice las siguientes tareas. Suponga que A es una matriz de 20 x 30.

87. [M] Suponga que debido a restricciones de memoria o al tama­ ño su programa de matrices no puede trabajar con matrices de mós de 32 filas y 32 columnas, y suponga que algún proyecto requiere las matrices A y flde 50 x 50. Describía los comandos o las operaciones de su programa para matrices que realizan las siguientes tareas. a) Cálculo de A + B ti Cálculo de AR c) Resolución de Ax = b para algún vector b en RM. supo­ niendo que A se pueda particlonar en una matriz por blo­ ques de 2 x 2 con A\\ una matriz lnvertible de 20 x 20. A¿2 una matriz Invertible de 30 x 30. y An una matriz cera [SutftTíMcúi: Describa sistemas adecuados más pequeños que puedan resolverse sin usar matrices inversas].

a) lYesente la submatriz de A de las filas 5 a 10 y de las columras 15 a 20. b) inserte una matriz B de 5 x 10 en una matriz;», comenzando en la fila 5 y la columna 10.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA

1. Si

es invertible, su inversa tiene la forma / A

Olí* W l\[Y

*1 \

z

r W [ AW + Y

. Compruebe que X 1 AX+Z\

Así. W, X, Y, Zdeben satisfacer W = / X = 0. AW + Y = 0. y A X + Z = I. Como con­ secuencia. Y = - A y Z = I. Por lo tanto.

[í

? ] - [ ; ?i

El producto en el orden inverso también es la identidad, de modo que la matriz de bloque es invertible, y su inversa es invcrtlble).

*

2.5

U "]

(También podría recurrir al teorema de la matriz

[$][*■ *j]=[S¡ S ] Usparticiorasde'ry;rseeon'

forman de manera automática para la multiplicación por bloques, ya que las columnas de A^son las filas de X. Esta partición de X TX se usa en varios algoritmos de computadora para cálculos de matrices.

FACT0RIZACI0NES DE MATRICES Una factorización de una matriz A es una ecuación que expresa a A como un producto de dos o más matrices. Mientras que la multiplicación de matrices implica una síntesis de da­ tos (combinando el efecto de dos o más transformaciones lineales en una sola matriz), la factorización de matrices es un análisis de datos. En el lenguaje de la ciencia computadonal. la expresión de A como un producto equivale a un procesamiento previo de los datos de A, organizando esos datos en dos o más partes cuyas estructuras son más útiles de algún modo, quizá por ser más accesibles para realizar cálculos.

http://www.fullengineeringbook.net 151 of 461.

13 4

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices Las factorizaciones de matrices y. después, las factorizarionesde transformaciones linea­ les se presentarán en un gran número de secciones clave a lo largo de este libro. Esta sección se enfoca en una factorización que constituye el centro neurálgico de varios importantes pro­ gramas de cómputo usados ampliamente en aplicaciones, com o en el problema de la aeronave descrito en la introducción del capítulo. Algunas otras factorizaciones que se estudiarán des­ pués. se presentan en los ejercicios.

La factorización LU La factorización LU. descrita a continuación, está motivada por el muy frecuente problema industrial y de negocios que consiste en resolver una sucesión de ecuaciones, todas con la misma matriz de coeficientes: Á x = k ,.

A x = b . ..........

A x = b,,

(1)

Véase el ejercicio 32. por ejemplo. También vea la sección 7.8 (en el sitio VVeb), donde se usa d método de la potencia inversa para estimar los valores propios de una matriz resolviendo una secuencia de ecuaciones, como en (1). una a la vez. Cuando A es invertible, se podría calcular A ~ x y después calcular A~ 'b |. A ~ lb>. y así sucesivamente. Sin embargo, resulta más eficiente resolver la primera ecuación en la se­ cuencia (1) con reducción por filas y obtener una factorización LU de A al mismo tiempo. Después, las ecuaciones restantes de (1) se resuelven con la factorización LU. Rimero, suponga que A es una matriz d e m x n que se puede reducir por filas a su for­ ma escalonada sin intercambios de fila. (Más adelante, se tratará el caso general). Entonces, A se puede escribir en la forma A - LU. donde L es una matriz triangular inferior d e m x m con números 1 en la diagonal, y U es una forma escalonada de m x n de A. Por ejemplo, véase la figura 1. Una factorización de este tipo se llama f a d o r b a d é a LU de A. La matriz L es Invertible y se llama matriz triangular inferior unitaria.

1

0 0 1

0 1

* •

•

•

•

•

0 ■ 0 0 0 0 1 0

•

•

*

•*

■

«

•

•

0 0

0 0

■

•

0

0

L RGURAi

U

Una factorización LU.

Antes de estudiar la forma de construir L y U, es necesario examinar la razón de su uti­ lidad. Cuando A = LU. la ecuación A x = b se escribe como L(Ux) = b Escribiendo y en lugar de U x se puede encontrar x resolviendo el par de ecuaciones ¿y=b

( 2)

ÍÁ = y Primero se despeja y de /.y = b. y luego se resuelve Ux = y para obtener x. Véase la figura 2. I-as dos ecuaciones resultan fáciles de resolver porque L y U san triangulares. E JE M P L O 1

Es posible comprobar que

2' 3 -7 -2 0 -3 5 1 6 -4 0 -5 12 -9 5 -5

1 0 -1 1 2 -5 -3 8

0 0 1 3

0' 0 0 1

http://www.fullengineeringbook.net 152 of 461.

2’ '3 - 7 - 2 0 - 2 -1 2 1 0 0 -1 0 0 -1 0

2.5

F a c to riz a c lo n e s d e m a tr ic e s

13 5

M ultiplicación por/4

X*

•b

t *

M ultiplicación por U f ig u r a

2 Faeto rizarió n del m apeo

M ultiplicación por L

x-* A x

Use esta faetorizarión LU de A para resolver A x =

b. donde b=

SOLUCIÓN La solución de Ly = b requiere únicamente de 6 multiplicaciones y 6 sumas, porque la aritmética ocurre solo en la columna 5. (En L, los ceros debajo de cada pivote se crean automáticamente con la elección de las operaciones de fila). 1 0 -1 1 2 -5 8 -3

0 0 1 3

0 0 0 1

-9 ' 5 7 II

"1 0 0 0

0 I 0 0

0 0 1 0

0 -9 ' 0 -4 0 5 1 1

Entonces, para Ux = y. la fase "regresiva" de la reducción por filas requiere de 4 divi­ siones. 6 multiplicaciones y 6 sumas. (Por ejemplo, para producir ceros en la columna 4 de [ U y] se requieren una división en la fila 4 y tres pares de multiplicación-suma para sumar múltiplos de la fila 4 a las filas de arriba).

y] =

3 -7 -2 2 -9 ' 2 -4 0 - 2 -1 0 0 -1 1 5 0 0 -1 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 3' 4 0 0 -ó 1 -1

Para encontrar x se requieren 28 operaciones aritméticas o "flops" (operaciones de pun­ to flotante), excluyendo el costo de encontrar L y U. En contraste, la reducción por filas de [A k ] a ( 7 *] requiere de 62 operaciones. ■ La eficiencia computacional de la faetorizarión LU depende de que se conozcan L y U. El siguiente algoritmo muestra que la reducción por filas de A a su forma escalonada U equivale a una faetorizarión LU, porque produoe L prácticamente sin trabajo ex tra Des­ pués de la primera reducción por filas, L y U se obtienen al resolver ecuaciones adicionales cuya matriz de coeficientes es A.

Un algoritm o de faetorizarión LU Suponga que A se puede reducir a una forma escalonada í/utílizando solo remplazos de filas que suman un múltiplo de una fila a otra situada debajo de esta. En este caso, existen matrices elementales triangulares inferiores unitarias E\...... Fv tales que Ey - E lA = U

(3)

Luego. A = (Ey - £ ¡ ) - 1U = L U donde

L= (E ,

- £ * ,) - •

http://www.fullengineeringbook.net 153 of 461.

(4)

13 6

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices Es posible demostrar que los productos y las inversas de las matrices triangulares inferiores unitarias también son triangulares inferiores unitarias. (Por ejemplo, véase el ejercido 19). Así, ¿ es triangular inferior unitaria Observe que las operaciones de fila en la ecuadón (3), que reducen A a U. también re­ ducen la ¿ e n la ecuadón (4) a I, debidoa que Ep ••• E \L = (Ep ••• E\){Ep ••• £ i) _l = / Esta observación es la clave para construir L

ALGORITMO PARA UNA FACTORIZACIÓN LU 1. Si es posible, reduzca A a una forma escalonada ¿/con una sucesión de operaciones de remplazo de filas.

2.

Coloque las entradas de ¿ d e tal manera que la misma secuencia de operaciones de fila reduzca ¿ a ¿

El paso 1 no siempre es posible, pero cuando lo es, el argumento anterior indica que existe una factorizadón LU. En el ejemplo 2 se mostrará cómo implementar el paso 2. Por consírucdón, ¿ satisfará {Ep ••• E \ ) L = /

donde se usan las mismas E\......Ep que en la ecuadón (3). Asi. ¿ será invertible, de acuerdo con el teorema de la matriz invertible, con {Ep ••• E\) = ¿ _ l. A partir de (3). L ~ XA = U. y A = LU. Por lo tanto, el paso 2 produdrá una ¿ aceptable. E JE M P L O 2

Encuentre una factorizadón LU de

A ~

'2 4 -1 5 - 2 ' - 4 - 5 3 - 8 1 2 - 5 - 4 1 8 -6 0 7 - 3 I

SOLUCIÓN Como A tiene cuatro filas, ¿d e b e ser de 4 x 4. La primera columna de ¿ e s la primera columna de A dividida entre la entrada pivote superior: 1 -2 1 -3

0 1

0 0 1

0 0 0 1

Compare las primeras columnas de A y ¿. la s operaciones de fila que crearon ceros en la primera columna de A también crearán ceros en la primera columna de ¿ . Para lograr que esta misma correspondencia de operaciones de fila sea válida para el resto de ¿. se examina una reduedón por filas de A a una forma escalonada U. Es dedr, se resaltan las entradas en cada una de las matrices que se utilizan para determinar la secuencia de las operadones de fila que transforman A en U. [Véase las entradas resaltadas en la ecuadón (5)].

A =

2 4 -1 5 -2 ' -4 -5 3 -8 1 2 -5 -4 8 1 -6 0 7 -3 1

42 =

'2 0 0 0

4 -1 3 I 0 0 0 0

5 -2 ' 2 -3 2 1 4 7

'2 4 -1 5 -2 ' 0 2 -3 3 I 0 - 9 - 3 - 4 10 4 12 - 5 _ 0 12 '2 0 0 0

4 -1 3 1 0 0 0 0

http://www.fullengineeringbook.net 154 of 461.

5 2 2 0

(5)

-2 ' -3 1 5

U

2.5

Factorizaclones de matrices 13 7

Las entradas resaltadas de la ecuación (5) determinan la reducción por filas de A a U. En cada columna pivote, divida las entradas resaltadas entre el pivote y coloque el resultado en L :

1

4

1 -2 1 -3

1 -3 4

i

0 1

0 0

0 ' 0

1

-3 4

1 2

0

-2 y

1 2

K

-3

1

Un cálculo fácil comprueba que estas L y í/satisfacen que L U = A.

■

En el trabajo práctico, casi siempre son necesarios los intercambios de fila, porque se usa el pivoteo parcial para lograr una precisión a lta (Recuerde que este procedimiento selecciona, entre las posibles opciones de pivote, una entrada en la columna que tenga el mayor valor ab­ soluto). Para manejar los intercambios de fila la factorización LU anterior se puede modificar con facilidad para producir una L que sea triangular inferior permutada, en el sentido de que un reordenamiento (llamado permutación) de las filas de L puede hacer que L sea triangular inferior (unitaria). La factorización L U permutada resultante resuelve A x = b en la misma forma que antes, excepto que la reducción de (I b ] a [ / y ] es consecuencia del orden de los pivotes de L de izquierda a derecha, empezando con el pivote de la primera colum na Una referencia a una “factorización LU’ normalmente incluye la posibilidad de que L pueda ser triangular Inferior permutada. ----- NOTAS N U MÉ R I C AS ---------------------------------------------------------------------------Los siguientes comeos de operaciones corresponden a una matriz densa A d e n x n (con la mayoría de sus entradas distintas de cero), donde n es moderadamente grande. por ejemplo, n a 30.1 1. El cálculo de una factorización LU de A requiere 2rP/3 flops (aproximadamente lo mismo que reducir por filas [A b]). mientras que encontrar A ~ x requiere alrededor de 2r? flops. t

Resolver Ly = b y U x = y requiere alrededor de 2 rt flops, ya que cualquier sis­ tema triangular r tx n se puede resolveren aproximadamente r f flops.

3L 1.a multiplicación de b por A~l también requiere cerca de 2r f flops, pero el resul­ tado quizá no sea tan preciso como el obtenido a partir de L y U (debido al error de redondeo cuando se calculan tanto a A~l como a A~ ’b ). 4

Si A es dispersa (la mayoría de sus entradas son cero), entonces L y U podrían ser dispersas también, pero es probable que A~ 1 sea densa. En este caso, una solución de A x = b con una factorización LU es mucho más rápida que usar A ~l. Véase el ejercicio 31.

Factorización de m atrices en ingeniería eléctrica La factorización de matrices está Íntimamente relacionada con el problema de construir una red eléctrica de propiedades especificas. El análisis que se presenta a continuación permite vislumbrar la relación entre factorización y diseño de circuitos. 1 Véase la sección 3.8 de Applird linear Algebra, 3a. ed , dé Ben Noble y James W Daniel (Engierood C tlífc. NJ: Prentlce-Hall, 1988). Recuerde que para nuestros prepósitos, un fiop es xo +.

http://www.fullengineeringbook.net 155 of 461.

13 8

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

Suponga que el cuadro de la figura 3 representa algún tipo de circuito eléctrico, con una

j j

entrada y una salida. H voltaje y la corriente de entrada se registran mediante ^ 1 (con el voltaje v en volts y la corriente i en amperes), y el voltaje y la corriente de salida se registran

^ j. Con frecuencia, la transformación

como V

u -ra matriz A, que se llama matriz de transferencia, tal que

es lineal. Es decir, existe una

[íM s] /, terminales de entrada

...............

k „ *2

drcuito

déarico

terminales desallda

k .............

FIGURA 3 Un circuito con terminales de entrada y salida.

En la figura 4 se muestra una red en escalera . donde dos circuitos (podría haber más) están conectados en serie, de modo que la salida de un circuito sea la entrada del siguiente circuito. El circuito de la izquierda en la figura 4 es un circuito en serie, con resistencia Rt (en ohms). •\

r. .......

h

vx

‘i

\*t

•4

U ......J Un drtulto en serle f ig u r a

Un circuito con derivación

4 Una red en escalera.

El circuito de la derecha en la figura 4 es un circuito con derivación, con resistencia Rj. Con base en la ley de Ohm y las leyes de KirchhofF, es posible demostrar que las matrices de trans­ ferencia de los circuitos en serie y con derivación, respectivamente, son, r« [o

-* ii 1 J

v y

Matriz de transferencia cfel circuito en serie

r

1

°i ij Matriz de transferencia del circuito con derivación

EJEMPLO 3 a) Calcule la matriz de transferencia para la red en escalera de la figura 4. b) Diseñe una red en escalera cuya matriz es S O L U C IÓ N

a)

Sean A\ y An las matrices de transferencia de los circuitos en serie y con derivación, res­ pectivamente. Entonces, un vector de entrada x se transforma primero en ,4|X y luego en Ai{A\x). La conexión en serie de los circuitos corresponde a la composición de transfor­ maciones lineales, y la matriz de transferencia de la red en escalera es (observe el orden)

AtÁ' " [-!/*, l][o "'i'] “ [-I/*, I+*',/*,] http://www.fullengineeringbook.net 156 of 461.

(6)

2.5

b)

Para factorizar la matriz

-8 5

Factorizaclones de matrices 13 9

j en el producto de matrices de transferencia, como

en la ecuación (6). se buscan las R\ y Afe de la figura 4 que satisfagan -R x I + R \/R i De las entradas (1. 2). se tiene que R x = 8 ohrrts. y de las entradas (2. 1). \/R ¿ = .5 ohm y Rz = 1/.5 = 2 ohms. Con estos valores, la red de la figura 4 tiene la matriz de trans­ ferencia deseada. ■ Una matriz de transferencia de red resume el comportamiento de entrada y salida fias especificaciones de diseño) de la red. sin referencia a los circuitos internos. Para construir fí­ sicamente una red con propiedades especificas, un ingeniero determina al principio si es posi­ ble constiuir (o realizar) dicha red. Después, trata de factorizar la matriz de transferencia para obtener matrices correspondientes a circuitos más pequeños que quizá ya fueron fabricados y estén listos para ensamblarse. En el caso común de la corriente alterna, las entradas de la m a­ triz de transferencia normalmente son funciones con valores complejos. (Véase los ejercicios 19 y 20 de la sección 2.4 y el ejemplo 2 de la sección 3.3). Un problema estándar consiste en encontrar una realización mínima que use el menor número de componentes eléctricos

P R O B L E M A D E P R Á C T IC A

Encuentre una factorizadón LU de A =

' 2 - 4 - 2 6 - 9 - 5 2 - 7 - 3 4 -2 -2 -6 3 3

3 8 9 . [Nota: Resultará que A -1 4

tiene solamente tres columnas pivote, de manera que el método del ejemplo 2 solo produce las tres primeras columnas de L l.as dos columnas restantes de L provienen de /5],

2 .5 EJER C IC IO S * En los ejercicios I a 6. resuelva la ecuación .4* = k usando la fectorizaclón LU dada para A. En los ejercidos 1 y 2. resuelva también Ax - k por reducción ordinaria de columnas

http://www.fullengineeringbook.net 157 of 461.

14 0

8

CAPÍTULO 2

A =

Álgebra de matrices

■ 1 3 2 0 r -2 -3 -4 12 -2 .b = 0 4 -3 6 3 -1 —5 - 3 - 8 49 2 ‘ 1 0 2 0 0' ’ l i -2 0 0 0 1 0 i 1 0 0 0 -2 3 -3 4 -1 -5 0 1 3 0

0' 12 0 1

• 22 (Factorización LU reducida). Con A como en el problema de práctica, encuentre una matriz 5 de 5 x 3 y una matriz Cde 3 x 4 tales que A = BC. Generalice esta idea para el caso donde A e s m x n, A = LU .y U tiene solamente tres filas diferentes efe cero.

*23

Encuentre una factorización LU de las matrices de los ejercicios 7 a 16 (con L triangular inferior unitaria). Observe que MATLAB gene­ ralmente producirá una factorización I-U permutada porque utiliza pivoteo parcial para lograr exactitud numérica.

* 9. 11.

[ ? L -3

‘ ' '

13.

1S

‘

3 -9 9

5' -4

1

21 0 -4 9 14 J

3 7 6 19 -3 -2

«1 3J 0 ia r -105 2 L *° 10

21

r 2

4 3J

1 3 -5 - 3 ' 4 -1 - 5 8 4 2 -5 - 7 -2 -4 7 5_

4 |_ -6

1 5 -2 -1

14

' 2 -6 4

a) Demuestre que Aes la suma de cuatro productos exteriores. (Véase la sección 2.4). &) Sea rn = 400 y n = 100. Explique por qué un programador (fe computadoras preferiría almacenar los datos de Aen for ma de dos matrices Cy D.

8 r«

L12

0 5 2" 3 -1 3 - 3 9 16 17

18

3 13 5

4'

-5

16 J

(Factorización de rango). Suponga que una matriz A de m x n admite una factorización A « CD, donde Ces de m x 4 y Des de 4 xn .

• 24 (Factorización QR). Suponga que A = QR donde Q y R san n x n. R es Invertible y triangular superior, y Q tiene la pro­ piedad de que QrQ = l Demuestre que para cada k en R". la ecuación Ax - k tienp una solución única. ¿Qué cálculos con Q y producirán la solución?

21

9 4J

1 5' 3 20 6 31 -1 -1 - 4 7 1 7

4' 2 -3 -4 8 -7 6 -5 14 -6 9 --12 8 -6 19

17. Cuando A es inverüble. MATLAB encuentra A~1al factorizar A - ¿¿/(donde L puede ser triangular inferior permutada), in­ viniendo L y U, y luego calculando U~lL~l. Use este método pera calcular la inversa de A en el ejercicio 2. (Aplique el algo ritmo de la sección 2 .2 a ¿ y a U). 18. Encuentre A~1como en el ejercido 17. usando A del ejerdelo 3. l a Sea A una matriz de n x n triangular inferior con entradas di ferentes de cero en la diagonal. Demuestre que Aes Invertible y A-1 es triangular inferior. [Sugerencia: Explique por qué A puede convertirse en / usando solo remplazos de filas y esca­ lamientos. (¿Dónde están los pivotes?). También explique por qué las operaciones de fila que reducen A a / transforman a I en una matriz triangular inferior!. 20. Sea A » LU una factorización LU. Explique por qué Ase puede

* 25l (Descomposición en valores singulares). Suponga que A UDVT, donde U y Vson matrices den x n con la propiedad de que IfiU = l y VTV - I. y donde Des una matriz diagonal con números positivos .....
(Factorización espectral). Suponga que una matriz A de 3 x 3 admite una factorización como A = P D P ~ donde Pes alguna matriz invertible de 3 x 3. y Des la matriz diagonal

Muestre que esta factorización es útil cuando se calculan po­ tencias grandes de A. Encuentre fórmulas relativamente senel Das para A2. A3 y A1 (¿es un entero positivo), usando P y las entradas en D. 27. Diseñe dos redes en escalera diferentes con salida de 9 volts y 4 amperes cuando la entrada sea de 12 volts y 6 amperes. 28 Demuestre que si tres circuitos con derivación (cuyas resisten­ cias son R\. R¡, Ry) se conectan en serie, la red resultante tiene la misma matriz de transferencia que un único circuito con de­ rivación. Encuentre una fórmula para la resLstencla que haya en ese circuito. 2ft a) Encuentre la matriz de transferencia de la red que se ilustra en la figura.

reducir por filas a ¿/utilizando solamente operaciones de rem­ plazo. (Este hecho es el recíproco de lo que se demostró en el libro). a . Suponga que A = BC donde B es Invertible. Demuestre que cualquier sucesión de operaciones dp fila que reduzca Ba / tam b*én reduce A a C. Lo contrario no es cierto, puesto que la ma­ triz cero puede factortzarse como O - B • 0. l/K ejercicios 22 a 26 ofrecen una vlsuallzación de ciertas factorizaciones de matriz ampliamente utilizadas, algunas de las cuales se analizan posteriormente en el libro.

A *i

h

*1

A) Sea A =

h

r•• •

•5

R zl

5/3

h

h

4

•i»

una re<* en escalera-

cuya matriz de transferencia sea A encontrando una factorización matricial adecuada de A,

http://www.fullengineeringbook.net 158 of 461.

2.5 3Q Encuentre una factorización diferente de la matriz de transfe rencia A del ejercicio 29 y. a partir de ello, diseñe una red en «calera diferente cuya matriz de transferencia sea A.

• SL [M] Considere la placa térmica en la siguiente figura (consulte el ejercicio 33 en la sección 1.1). o * o * a*

cr

1

3

5

7

2

4

6

8

b) Use la factorización LU para resolver Ax - b c) Obtenga A~l y observe que A~1 es una matriz densa sin estructura de banda. Cuando A es grande. L y Use pueden almacenar en mucho menos espacio que A~l. Este hecho es otra razón para preferir la factorización LU de A en lu­ gar de A~x. 3C. [MJ l-a matriz de handa A que se ilustra a continuación pue (fe servir para calcular la conducción Inestable de calor en una varilla para la cual las temperaturas en los puntas p¡.....p.\ cambian con el tiempo.2

20°

20*

Aor

10* 10* 10° 10°

' 4 - 1 - 1 -1

4 0

-1

Ajt

P\

La solución al problema de flujo de calor enestado estable para la placa de la figura se aproxima al resolver la ecuación Ax = b donde b - (5. 15. 0. 10. 0. 10. 20. 30) y -1

Factorizaclones de matrices 1 4 1

0 -1 4 -1 -1 4 -1 0 -1 4 -1 -1 -1 0 4 0 -1 -1 -1 4 -1 -1 0 4 -1 - I

Ax

Pl

Pi

Ax

PK

La constante Cde la matriz depende de la naturaleza física de la varilla, de la distancia Adentre los puntos de la varilla, y del tiempo Ai que transcurre entre mediciones sucesivas de tem peratura. Suponga que para k = 0. 1, 2..... un vector en R4 lista las temperaturas en el tiempo kAi. SI ambos extremos de la varilla se mantienen a 0*. entonces los vectores de temperatura atlsfácen la ecu ació n /ü ,i = t j ( ¿ = 0. 1....), donde (1 + 2C) -C -C (I+2C) -C

Las entradas fallantes en A son ceros. Las entradas de A dife­ rentes de cero se encuentran dentro de una handa a lo largo de la diagonal principal. Tales matrices Je banJa se presentan en diversas aplicaciones, y con frecuencia son extremadamente gandes (con miles de filas y columnas, pero con bandas relati­ vamente angostas). a) Utilice el método del ejemplo 2 para construir una factor! ación LU de A. y observe que ambos factores son matrices
Ax

-C (1 + 2C ) -C

-C (1+2C).

a) Encuentre la factorización LU de A cuando C = 1. Una ma­ triz como A con tres diagonales diferentes de cero se deno mina matriz tridiagonal. Los factores L y U son matrices b¡diagonales. b¡ Suponga que C m 1 y fe ■ (10. 15. 15, 10)r. Use la factor! zación LU de A para encontrar las distribuciones de tempe­ ratura*:. fe. ts y ti

1Véa» Bfcswa N. Datta, NuméricaI linear Algebra and AppUaiikms (Pacific Grave, CA: RroakVGole, 1994), pp. 200-201.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE PRÁCTICA ' 2 - 4 - 2 3' 6 - 9 - 5 8 2 - 7 - 3 9 4 -2 -2 -1 -6 3 3 4 '2 -4 -2 3' 0 1 -1 3 0 0 0 5 0 0 0 -5 0 0 0 10

‘2 -4 -2 3" 0 3 1-1 0 - 3 - 1 6 0 6 2 -7 0 - 9 - 3 13 ' 2 —4 - 2 3' 0 3 1 -1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0

Divida las entradas de cada columna resaltada por el pivote en la parte superior. I-as co­ lumnas resultantes forman las tres primeras columnas de la mitad Inferior de L Esto basta para hacer que la reducción por filas de /.a /corresponda a la reducción de A a U. Use las dos

http://www.fullengineeringbook.net 159 of 461.

14 2

CAPÍTULO 2

Álgebra de mal rices últimas columnas de Is para hacer que L sea triangular inferior unitaria

i 1 3 1 2 -3

2 .6

1 -1 2 -3

1 -1 2

•

.

L =

1 0 0 1 3 0 1 -1 1 2 2 -1 2 -3 -3

0 0 0 1 0

0' 0 0 0 1

EL MODELO DE LEONTIEF DE ENTRADA Y SALIDA I

web

I

El álgebra lineal desempeñó un papel fundamental en el trabajo de YVassily Leontief, gana­ dor del Premio Nobel, como se mencionó al principio del capítulo 1. El modelo económico descrito en esta sección es la base de modelos más complejos usados en muchas partes del mundo. Suponga que la economía de una nación se divide en n sectores que producen bienes o servidos, y sea x un vedar de producción en R"que lista la producdón de cada sector en un año. También, suponga que otra parte de la economía (que se llama sector abierto) no produce bienes ni servidos, sino que solamente los consume, y sea d un verter de demanda final (o cuenta de demandan finafavi que lista los valores de los bienes y servicios demandados a los diversos sectores por la parte no productiva de la economía El vector d puede representar la demanda del consumidor, el consumo del gobierno, el superávit de producdón, las exportad o n es u otras demandas externas. Conforme los diversos sectores elaboran bienes para satisfacer la demanda del consumi­ dor. los productores crean por si mismos una dem anda intermedia adicional de bienes que necesitan como insumos para su propia producdón. Las interrelaciones de los sectores son muy complejas, y la conexión entre la demanda final y la producdón es poco clara. Leontief se preguntó si hay un nivel de producdón x tal que las cantidades produddas (o "suministra­ das") equilibran exactamente la demanda total de esa producdón. de modo que cantidad produdda

x

demanda intermedia

demanda final d

( 1)

La suposición básica del modelo de Leontief de entrada y salida es que. para cada sector, hay un vector de consuno unitario en R ” que lista los insumos necesarios p o r unidad de producción del sector. Todas las unidades de entrada y salida se miden en millones de dóla­ res. y no en cantidades como toneladas o fanegas. (Los precios de los bienes y servicios se mantienen constantes). Como un ejemplo sencillo, suponga que la economía consiste en tres sectores —manu­ factura. agricultura y servicios— , con los vectores unitarios de consumo c,. y c3 que se muestran en la siguiente tabla.

http://www.fullengineeringbook.net 160 of 461.

2.6 E l modelo de Leontlef de entrada y salida

Manufariura

A jr n á tn r a

Servicial

M anufactura

.50

.40

20

Agricultura

.20

.30

.10

S e rvicio s

.10

.10

.30

C o a f ra d n por:

14 3


EJEMPLO 1 unidades?

¿Qué cantidades consumirá el sector de manufactura si decide producir

10 0

SOLUCIÓN Calcule

Para producir 100 unidades, manufactura ordenará (es decir, 'demandará') y consumirá 50 unidades de otras partes del sector de manufactura. 2 0 unidades de agricultura y 10 unidades de servidos. ■ Si manufactura decide producir x \ unidades, entonces *id representa las dem andas in ­ te rm e d ia ste manufactura, porque las cantidades de atiCi se consumirán en el proceso de crea­ ción de las xy unidades de producción. De la misma forma, si x 2 y x 3 denotan las produedones planeadas de los sectores de agricultura y servicios. y x&% listan las demandas interme­ dias correspondientes. La demanda intermedia total de los tres sectores está dada por {demanda intermedia} = jtiCj + X2 C¿ + = Cx donde C es 1.: m atriz

«leconsum o |ci

e¿

(2)

«h], a saber,

(3)

Las ecuadones (1) y (2) producen el modelo de Leontlef.

EL MODELO DE LEONT1EF DE ENTRADA Y SALIDA, O ECUACIÓN DE PRODUCCIÓN

*

=

Cantidad producida

Cx

Demanda Intermedia

+

d

(4)

Demanda final

La ecuadón (4) también se puede escribir como I x - C x = d. o (/-C )* = d

(5)

EJEMPLO 2 Considere la economía cuya matriz de consumo está dada por (3). Suponga que la demanda final es de 50 unidades para manufadura. 30 unidades para agricultura, y 20 unidades para servicios. Encuentre el nivel de producción «que satisfará esta demanda.

http://www.fullengineeringbook.net 161 of 461.

14 4

CAPÍTULO 2

Álgebra de mal rices

SOLUCIÓN La malriz de coeficientes en (5) es ’ \ I - c

=

0 0

0 1 0

°1 0 --

r .5 2

.4 .3

.2 " .1 =

>J

L>

.1

.3

r 5 -.1 L-i - .2

- .4

.7

- .2

- .1

.7

Para resolver (5). reduzca por filas la matriz aumentada .5 - . 4 - . 2 .2 .7 - . 1

.1 - . 1

.7

50] 30 1

f 5 ~ 1 -2

20J L-l

7

-2 -1

-1

7

-4

500* 300

200

n

Lo

0 1 0

0 0 1

226 119 78

La última columna se redondea a la unidad más cercana El área de manufactura debe pro­ ducir aproximadamente 226 unidades, agricultura 119 unidades, y servicios únicamente 78 unidades. ■ S la matriz I - C e s invertible, entonces se puede aplicar el teorema 5 de la sección 2.2 con A remplazada por ( / - O . y a partir de la ecuación { / - C )x = d se obtiene x = ( / O '¿ E l siguiente teorema indica que. en la mayoría de los casos prácticos. / - C e s inver­ tible y el vector de producción xes económicamente factible, en el sentido de que las entradas de x son no negativas. En el teorema, el término su m a d e colum na denota la suma de las entradas en una co­ lumna de una matriz. En circunstancias ordinarias, las sumas de columna de una matriz de consumo son menores que 1 porque un sector deberla requerir menos de una unidad de insumos para generar una unidad de producción.

TEOREMA 11

Sea Cía matriz de consumo de una economía, y sea di la demanda final. Si C y d tie­ nen entradas no negativas, y si cada suma de columna de Ces menor que uno. entonces { / - Q - 1 existe y el vector de producción ,=

(/_ c r 'd

tiene entradas no negativas y es la solución única de x = Cx + d

0 siguiente análisis sugerirá por qué el teorema es cierto, y conducirá a una nueva ma­ nera de calcular ( / - O " 1.

Una fórm ula p ara (/ - O Imagine que la demanda representada por d se propone a las distintas industrias al inicio del año. y que estas responden estableciendo sus niveles de producción en x = d. lo cual satisfará exactamente la demanda final. Conforme las industrias se preparan para producir d, emiten órdenes solicitando materia prima y otros insumos. Esto crea una demanda intermedia de insumos de Cá. Para satisfacer la demanda adicional de C A las industrias necesitarán como insumos adicionales las cantidades de C(CÍ) = CXd Desde luego, esto crea una segunda ronda de demanda intermedia, y cuando las industrias deciden producir aún más para satisfacer esta nueva demanda, se genera una tercera ronda de demanda, a saber. (X C 1 d) = C3d . y así su­ cesivamente. En teoría, este proceso podría continuar de manera indefinida, aunque en la vida real no ocurriría en una sucesión tan rígida de acontecimientos. Podemos elaborar un diagrama de esta situación hipotética de la siguiente forma:

http://www.fullengineeringbook.net 162 of 461.

2.6 E l modelo de Leontlef de entrada y salida

Demanda que debe üa*k£aterir

Inam x nrcmarim pora aaíéticer esta demanda

d

CA

la ronda

CA

C(CA¡ = C*A

2a ronda

OA

C(C 24 - O A

3a ronda

C-A

C{C*d = C*A

Demanda final

14 5

Demanda intermedia

El nivel de producción x q u e satisfará toda esta demanda es x = d + Cd +

C7d + C

3d

+ •••

= ( / + C + C 2 + C 3 + ---)d

(6)

Para que la ecuación (6) tenga sentido, considere la siguiente identidad algebraica:

(7)

( I - C W + C + C z + - + C*) = l - C m+l

Es posible demostrar que si las sumas de columna en C son todas menores que 1, entonces l - C es invertible. O " se aproxima a la matriz cero cuando m crece de manera arbitraria, e / - C " f 1 -* /. (Esto es análogo al hecho de que si un número positivo / es menor que 1. entonces tm —►0 conforme m aumenta). Con base en la ecuación (7). se escribe ( / - Q - i ~ / + c + C *+ C 3 + - + C cuando las sumas de columna de (7son menores que 1.

(8)

La aproximación en (8) significa que el miembro derecho puede acercarse a ( / - Q ~ l tanto como se desee al haoer a m suficientemente grande. En los modelos de entrada y salida reales, las potencias de la matriz de consumo se aproximan a la matriz cero con cierta rapidez. Asi. (8) realmente ofrece una manera práctica de calcular ( / - Q ~ x. De la misma forma, para cualquier 4 los vectores C ”é se aproximan al vector cero rápidamente, y (6) es una manera práctica de resolver ( / - C )x = 4 Si las entradas de Cy d son no negativas, entonces (6) indica que las entradas de x también son no negativas.

Importancia económica de las entradas de (/ -

C)

“1

Las entradas de ( / - C)~ 1son significativas porque pueden servir para predecir cómo tendrá que cambiar la producción x conforme cambie la demanda final 4 De hecho, las entradas de la columna j de ( / - Q -1 son las cantidades aumentadas que los diversos sectores ten­ drán que producir para satisfacer un aumento de I unidad en la demanda final de producción del sector J Véase el ejercicio 8.

----- NOTA N U M ÉRICA -----------------------------------------------------------------------------En cualquier problema de aplicación (no solo en economía), una ecuación A x = b se puede escribir siempre como ( / - Q x = b. con C = / - A. Si el sistema es grande y disperso (con cero en la mayoría de sus entradas), es posible que las sumas de colum­ na de los valores ahsolutos en C sean menores que 1. En este caso. C" -* 0. Si C" tiende a cero con la suficiente rapidez. (6) y (8) representarán fórmulas prácticas para resolver A x = b y encontrar A~x.

http://www.fullengineeringbook.net 163 of 461.

146 CAPÍTULO 2 Álgebra de mal rices

PROBLEMA DE PRÁCTICA Suponga que una economía tiene dos sectores: bienes y servidos. Una unidad de producdón de bienes requiere insumos de .2 unidades de bienes y .5 unidades de servidos. Una unidad de producdón de servicios requiere Insumos de .4 unidades de bienes y .3 unidades de servidos. Existe una demanda final de 20 unidades de bienes y 30 unidades de servidos. Implemente el modelo de Leontief de entrada y salida para esta situación.

2 . 6 EJERCICIOS*

Los ejercidos 1 a 4 se refieren a una economía dividida en tres sec­ tores: manufactura, agricultura y servicios. Porcada unidad de pro­ ducción. manufactura requiere de . 10 unidades de otras compañías pertenecientes a ese mismo sector, de .30 unidades del sector agricul­ tura y de .30 unidades de servicios. Por cada unidad de producción, agricultura usa .20 unidades de su propia producción. .60 unidades de manufactura y . 10 unidades de servicios. Por cada unidad de pro ducción. el sector de servicios consume . 10 unidades de servicios. .60 unidades de manufactira. pero ningún producto de agricultura. 1. Construya la matriz de consumo adecuada para esta economía, y determine cuáles demandas intermedias se crean si agricultura planea producir 100 unidades. í . Determine los niveles de producción que se necesitan para sa­ tisfacer una demanda final de 20 unidades para agricultura, sin (femanda final para los otros sectores. (No calcule una matriz inversa). i

Determine los niveles de producción necesarios para satisfa­ cer una demanda final de 20 unidades para manufactura sin demanda final para los otros sectores. (No calcule una matriz inversa).

4 Determine los niveles de producción necesarios para satisfacer una demanda final de 20 unidades para manufactura. 20 para agricultura y 0 unidades para servicios. & Considere el modelo de producción x = Cx + d para una eco­ nomía con dos sectores, donde

r° 5*iJ- d-pi U •■ d l»J

Use una matriz inversa y determine el nivel de producción nece­ sario para satisfacer la demanda final. 6 Repita el ejercicio 5 con C = ^

'^ J y d = [

• 7. Sean C y d como en el ejercicio 5. a) Determine el nivel de producción necesario para satisfa­ cer una demanda final para una unidad de producción del sector 1. Hj Con hase en una matriz inversa, determine el nivel de producción necesario para satisfacer una demanda final

http://www.fullengineeringbook.net 164 of 461.

2.6 E l modelo de Leontlef de entrada y salida

= [ 30] + [ ó ] ,exP^

c) Con base enel hecho de que

que cómo y por qué están relacionadas las respuestas a los Incisos a) y b) y al ejercicio 5. &

Sea Cuna matriz de consumo de nxncuyas sumas de columna son menores a 1. Sea xel vector de producción que satisface la demanda final d y sea Ax un vector de producción para satis facer una demanda final diferente Ad a) Demuestre que si la demanda final cambia de d a d + Ad entonces el nuevo nivel de producción debe ser x + Ax. Así. Ax indica las cantidades en que debe cxmbUv 1a pro dicción para compensar el cambio Aden la demanda. b) Sea Ad el vector en R” con 1 en la primera entrada y ceros en las demás. Explique por qué la producción correspon diente Axesla primera columna de ( / - C}"1. Esto muestra que la primera columna de (/ - Cl~l indica las cantlda d»s que deben producir los diverses sectores para satisfacer un aumento de una unidad en la demanda final para la pro^ dicción del sector 1.

a

lü

12. Sea Cuna matriz de consumo tal que C* -* 0 cuando m -+ » , y para ra ** 1, 2..... sea A» = / + C + — + C*. Encuentre nía ecuación en diferencias que relacione A, y A - i y, a par­ tir de ella, obtenga un procedimiento iterativo con la finalidad tfe calcular la fórmula (8) para ( / - O -1. 13. |M| 1.a siguiente matriz de consumo Cestá basada en datos de

entrada y salida para la economía de Estadas Unidos en 1958. con datos para 81 sectores agrupados en 7 sectores de mayores dimensiones: 1. productos no metálicos personales y domés ticos. 2 productos metálicos finales (como vehículos motori­ zados). 2 productos básicos de metal y minería. 4 productos básicos no metálicos y de agricultura. Senergia. & servicios, y 7. entretenimiento y productos diversos.2 Encuentre los nive les de producción necesarios para satisfacer la demanda final d O^s unidades están en millones de dólares). .1588 .0057 .0264 .3299 .0089 .1190 .0063

Resuelva la ecuación de producción de Leontlef para una eco­ nomía con tres sectores, considerando que c -

p2 .3 L-i

.2 .1 .0

.0 '

.3 .2

y

d=

f4600! L»J

La matriz de consumo C para la economía de Estados Unidos en 1972 tiene la propiedad de que cada entrada de la matriz ( / - O es diferente de cero (y positiva).1¿Qué dice esto acer­ ca del efecto de aumentar la demanda de la producción sola mpnte en un sector de la economía?

11. l¿ ecuación de producción de Leontlef. x - Qt + d general mente está acompañada por una enuckn «le precio dual. p = Crp + v donde p es un verte*- «le precio cuyas entradas listan el precio por unidad de producción de cada sector, y ves un rector de v» fcr ipTjprioniyas entradas listan el valor agregado por unidad de producción. (El valor agregado incluye salarlos, utilidades, depredación, etcétera), Un hecho importante en economía es que el producto interno bruto (FIB) se puede expresar de dos maneras: (producto interno bruto) - p d - v'x

14 7

d

.0064 .2645 .1506 .0565 .0081 .0901 .0126

.0025 .0436 .3557 .0495 .0333 .0996 .0196

.0304 .0099 .0139 .3636 .0295 .1260 .0098

.0014 .0083 .1594 .0083 .0201 .3413 .0142 .0070 .0236 .0204 .0483 .0649 .3412 .0237 .0020 .1722 .2368 .3369 .0064 .0132 .0012

‘ 74.000" 56.000 10.500 25.000 17.500 196.000 5.000

14 (MI El vector de demanda del ejercicio 13 es razonable para los datos de 1958, pero el análisis de Leontlef de la economía mencionado en el mismo ejercicio utilizó un vector de demanda más cercano a los datos de 1964: d - (99640. 75548. 14444. 33501. 23527. 263985. 6526) Encuentre los niveles de producción necesarios para satisfacer esta demanda. ISl (M) Use la ecuación (6) para resolver el problema del ejerci­ do 13. Considere que = d y para k = 1. 2.....calcule ¿Cuántos pasos se necesitan para obtener uta respuesta al ejercicio 13 con cuatro cifras significativas?

x^ = d +

x®

Compruebe la segunda Igualdad. [Sugerencia: Calcule p x de dos maneras). 1Wasslly W. Leontlef. 'The \Vbrid Eccnomy of thc Year 2000*. Scientific American, septiembre de 1980, pp, 206 231.

1 Wasslly W. Leontlef. 'The Structure of thc U.S. Economy*. Sciem ific Ame rican .abril de 1985. pp. 30 32.

http://www.fullengineeringbook.net 165 of 461.

14 8

CAPÍTULO 2

Álgebra de matrices

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE PRÁCTICA Se cuenta con los siguientes datos:

liw nrn m e sa r » por unídad de producción Bim n

X!>KK1S

Ik n o n b «terna

Bienes

.2

.4

20

Servicios

.5

.3

30

Compradas par.

El modelo de entrada y salida de Leontief es x = Ck + d donde

-

2.7

m

A P L IC A C IO N E S A L O S G R Á R C O S P O R C O M P U T A D O R A

Los gráficos por computadora son imágenes desplegadas o animadas en una pantalla de compu­ tadora Las aplicaciones de los gráficos por computadora están ampliamente difundidas y proliferan con rapidez. Por ejemplo, el diseño asistido por computadora (CAD) es una parte integral de muchos procesos de ingeniería, como el proceso de diseño de aeronaves descrito en la introducción de este capítulo. La industria del entretenimiento ha realizado el uso más espectacular de los gráficos por computadora; desde las efectos especiales en las películas Mairix a la Xbox de Playstation 2. La mayoría de los programas interactivos de cómputo diseñados para los negocios y la industria utilizan gráficos por computadora en los despliegues de pantalla y en otras funcio­ nes. como el despliegue gráfico de datos, la autoedidón. y la producdón de diapositivas para presentaciones comerciales y educativas. Por consiguiente, cualquier persona que estudie un lenguaje de computadora siempre pasa algún tiempo aprendiendo a asar gráficos de. por lo menos, dos dimensiones (2D). En esta secdón se examinará algo de las matemáticas básicas que se usan para manipu­ lar y desplegar imágenes gráficas, como el modelo de alambre de un avión. Una imagen (o dibujo) de ese tipo consta de varios puntos, líneas redas o curvas conectados, e información sobre cómo llenar regiones cerradas delimitadas por esas redas y curvas. Con frecuencia, las líneas curvas se aproximan utilizando segmentos de línea red a cortos, y una figura se define matemáticamente por medio de una lista de puntos. Entre los símbolos gráficos más se n a 11os utilizados en 2D están las letras usadas como etiquetas en la pantalla. Algunas letras se guardan como objetos de alambre: otras, con porcio­ nes curvas, se almacenan con fórmulas matemáticas adidonales para las curvas. E JE M P L O 1 La letra N mayúscula de la figura 1 está determinada por ocho puntos o vértices. Las coordenadas de los puntos se pueden almacenar en una matriz de datos. D. 8

6 5

1

coordenada x coordenada y

r° L°

2 .5 0

3 .5 6.42

4 6 0

Wrtiee: 6 5 6 5.5 8 8

7 5.5 1.58

8 0] 8

J

Además de D. es necesario especificar cuáles vértices están conedados con líneas, pero aquí se omite este detalle. ■ RGURA 1

jVreguiar.

La prindpal razón para describir los objetos gráficos por medio de segmentos de lí­ neas red a s es que las transformaciones estándar en los gráficos por computadora mapean segmentos de línea sobre otros segmentos de línea. (Por ejemplo, véase el ejerdeio 26 de la sección 1.8). Una vez transformados los vértices que describen un objeto, es posible co-

http://www.fullengineeringbook.net 166 of 461.

2 .7

A p lic a c io n e s a lo s g rá fic o s p o r c o m p u t a d o r a

14 9

néctar sus imágenes con las lineas rectas adecuadas para producir la imagen completa del objeto original.

EJEMPLO 2

A partir de A =

j. describa el efecto de la transformación de

trasquilado x ►-* A x sobre la letra N del ejemplo 1. SOLUCIÓN Por la definición de multiplicación de matrices, las columnas del producto AD contienen las imágenes de los vértices de la letra N. 1

2

3

4

5

6

7

8

0 0

.5 0

2.105 6.420

6 0

8 8

7.5 8

5.895 1.580

2 8

Los vértices transformados se dibujan en la figura 2. junto con los segmentos de linea correc­ tores que corresponden a los de la figura original. ■ La vVcursiva de la figura 2 se ve demasiado ancha Para compensar ese hecho, se puede

FIGURA 2

reducir la anchura mediante una transformación de escala que afecta las coordenadas Arde los

¿VInclinada.

puntos. E JE M P L O 3 Calcule la matriz de la transformación que realiza una transformación de trasquilado, como en el ejemplo 2 , y que después modifica a escala todas las coordenadas x por un factor de .75. SOLUCIÓN La matriz que multiplica la coordenada a-de un punto por .75 es

- r .

t]

Asi que la matriz de la transformación compuesta es Transformación compuesta de Ar.

" -[• ? !][: [.75 - [ o

”]

.1875] 1

J

E3 resultado de esta transformación compuesta se muestra en la figura 3.

■

I as matemáticas de los gráficos por computadora están intimamente relacionadas con la multiplicación de matrices. Por desgracia, trasladar un objeto a una pantalla no corresponde directamente a la multiplicación de matrices porque la traslación no es una transformación lineal. La manera estándar de evitar esta dificultad es introducir lo que se conoce como coor­ denadas homogéneas.

xz

H ------ 1------------- 1------ 4- 2 2 4 Traslación por

C oordenadas hom ogéneas Cada punto U y) en R 2 se puede identificar con el punto (x; y. 1) en el plano en R 3 que se encuentra una unidad por encima del p lanoxy. Se dice que U y) tiene coordenadas homogé­ neas (x; y. 1). Por ejemplo, el punto (0.0) tiene coordenadas homogéneas {0.0. 1). Las coor­ denadas homogéneas de puntos no se suman ni se multiplican por escalares, pero se pueden transformar mediante multiplicación por matrices de 3 x 3.

EJEMPLO 4 Una traslación de la forma (a; y) *-* {x + h. y + X) se escribe en coorde­ nadas homogéneas como {x. y. 1) (a + h. y + k. 1). Esta transformación se puede calcular mediante la multiplicación de matrices:

http://www.fullengineeringbook.net 167 of 461.

15 0

CAPÍTULO 2

Á lg e b ra d e m a tr ic e s

E JE M P L O 5

Cualquier transformación lineal sobre R2 se representa con respecto a las

coordenadas homogéneas por medio de una matriz particlonada de la forma

^ ^j. don­ q

de A es una matriz de 2 x 2. Ejemplos típicos son: eos ip - s e n 9 0 sen