Álgebra 201 Sel. Sec

LEYES DE EXPONENTES :

Al finalizar el presente capítulo, Ud. estará en capacidad de :

-

Aplicar las leyes de exponentes referidas a la potenciación y radicación en los diferentes campos numéricos  ;  ;  y 

Las leyes exponencial son verdades matemáticas que siempre se cumplen. Se aplica constantemente en los cálculos matemáticos, nos permite abreviar las operación .

2.

26  2 .  2 . 2 .2  6 4  .2   .2  6 veces

3.

n n  n . n . n . n ......... .n n veces

La operación que da origen a la teoría de exponentes es la potenciación.

8

4.

Potenciación.

 1  1  1  1  1  1  2    2  .  2  .  2  .  2  . ............ .  2              8 veces

Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, al resultado de esto se denomina potencia

5

 7

7

 7 . 7 . 7 . 7. 7 . 7 . 7    7 veces

6.

 3

7



3 . 3. 3. 3. 3. 3. 3   7 veces

Representación II.

Exponente Negativo

exponente n

a = p

x a 

potencia

1

;

xa

x  0

base x   y

Exponentes Básicos I.

Exponente Natural n A  A . A . A . ...... . A

"n" veces

a

y   x

porque :

a

;

 x  0 ; y  0 ,

  no esta definido 0

;n

Ejemplos: Ejemplos: 1.

1.

3 4  3. 3 . 3 . 3  81 

21 

1 2

2 2.   3

2

3   2

2



32 22

4 veces

49

Álgebra

Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015

I.E.P. San Agustín de Antares

III. Exponente Nulo o Cero

x0  1

x a . y a  (x . y)a

x 0

;

Ejemplos:

00 = número indeterminado

porque :

2.

Ejemplo :

1. 3xy   1

 3.5  4  3 4 . 5 4

IV. Cociente de Potencias de Bases Diferentes: en este caso los términos de la fracción queda afectado a la misma potencia:

0

  3y   2.  2x      1  5  

0

23 . 43  (2 . 4)3

1.

Leyes de Exponentes: I.

x   a y y xa

Producto de Potencias de igual Base: en este caso se pone la misma base y los exponentes se suman:

porque :

a

; y  0

Número = No esta definido 0

x a . x b  x a b Ejemplos:

1.

43 4 =   3 2 2

2.

83  8  =  23  2 

1) 23 . 24  23  4  27 2) 95 .94 .97  9 5 47  92 II.

Cociente de Potencias de Igual Base: en este caso se pone la misma base y los exponentes se restan: xa  xa b b x

porque:

;

V.

3

3

Potencia de Potencia: en este caso se multiplican los exponentes, se efectuan las potencias de arriba hacia abajo

 xa

x  0

0  número in det er minado : 0

x y

Ejemplos :

1.

2.

24

2 2

6 5

a . b. c = x

a 

Observación:

28

c

b

 ax

y

Ejemplos:

 28 4  24 1.



2.

x 

 26( 5)  21

III. Producto de Potencias de Bases Diferentes: en este caso ambas quedan elevados al mismo exponente:

 x3  -3



4 2

-5

Así mismo :

50

= x 3.4.2 = x 24

= x  -3  -5  = x 15

x  = x  A

B

B

A =x

A.B

Álgebra



Radicación

III.

Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada raíz (r), de modo tal que se cumple que al ser elevada esta a un número llamado índice (n) nos reproduzca otra expresión llamada radicando (a)

n

a

o

t

e

n

c

i

a

d

e

u

n

  a

xb

R

a

c

d

i

c

a

l

:

= a xb.c

IV. Raíz de Raíz: Se multiplican los índices de los radicandos.

 : es el símbolo radical   " n": es el índice; n   n  2   "a" : es el radicando  "b" : es la raíz enésima 

 b

Se multiplica el exponente con el exponente del radicando manteniendo el mis mo índice: P

abc

ab

x = a.b.c x Observa:

x bax

n

a=b

Se cumple

Ejemplos:

 Exponente Fraccionario 1. Todo número elevado a un exponente fraccionario puede escribirse como un radical ó viceversa

2.

3

4

4 3 10

x =

3.2.4

x =

24

x

= 3 4 10 = 12 10

a

x b = b xa

 Ecuaciones Exponenciales Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán solo los casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.

Ejemplos:

1.

2 3 x

3

 x

2

2.

5 x3

3

 x5

 Leyes de Radicales I.

1.

Producto de Radicales Homogéneos: En este caso se coloca el mismo indice y dentro de la raíz el producto de los términos: a

x .a y 

Ejemplos: 1. 2. II.

Se presentan los siguientes casos:

a

Si Nx  Ny  x  y

x.y

Observación:

a

x = y

N0  N1

3

4 . 3 5  3 4.5  3 20

Ejemplo: Resolver: 9 x 1  27 x 2

5

1 . 2

Buscando bases iguales tenemos:

5

5 51 5 55  .  3 2 3 6

32x 2  33x 6

Cociente de Radicales Homogéneos: Se coloca el mismo indice y dentro del radical el cociente de los términos: a

Bases iguales :

a

Luego: 2.

x y

2x  2  3x  6  x  4

Formas Análogas : Si MM  NN  M  N

51

Álgebra


M

Observación:


1 1  M 2 4

3 x 7  5 x 7

Ejemplo(2) resuelva: Resolución

x 

x5

5

Ejemplo(1) resuelva:

 36 3

x70

Resolución

3.

x  5

Buscando formas análogas:

x5

 

 x

5

 

 62 x5

 x7

Propiedadad:

3 n

xx  n  x  n n

Si

 66

Ejemplo: Halle "x" , si:

x5  6  x56

3

xx  3  x 

3

3

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 1 01. Simplificar:

06. Calcular el valor de: 16

2

. 16 88

2 3  1  3 2 1  2 C     2  0,2      9  3    2 

02. Efectuar:

 2   2   2  2

2

2

 22

a) 8 d) 1/6

03. Reducir:

b) 6



1 2

c) 1/8 e) 1

07. Resolver: 020

23

R 1

 2

015

34

 3

017

45

 4

6

2 9 3 . 4    

018

23

9

 8  .   27 

4

04. Calcular: «R» en: 08. Calcular: 3 3  42  3

1  24  1

a) 1 d) 2 176

2a  2 . 4a  2b 8a 2 . 16b  2

 R  30

b) 2 c) 3 e) No se puede.

09. Reducir:

642 / 3 . 165 / 4 . 20 .

05. Simplificar: V

a) 3n  1 d) 3n1  1

3n 3  3n1 3.3n1

b) 24

 3

4

10. Calcular: T

c) 1  3n

2n 2  2n1



2 2n1



e) 18 52

Álgebra



Semanal

Diaria

06. Resolver:

01. Simplificar:

 1 L   2

8 veces     x. x.......... x I x. x .........x 

a) 16 d) -16

6 veces

a) x 2

b) 3/2

c) 4/3

 1   3

2

 1   3

b) 17

3

c) -17 e) 9

07. Reducir:

3

d) x 4

1

 

e) x

A  32  32

3

2  1   27     5

1

02. Reducir:

C

2  3

a) 1 d) 8

a) 11 d) 17

23 x 24 x 25

08. Calcular:

c) 4 e) 16

a) 1 d) 4

a) 25 d) 42

4

15 . 6 93 . 42 .125

b) 2

b) 33

0

c) 35 e) 20

2  1 A   7  .36  3 3 

veces 10   2 2 x . x .......x 2 .x n 2 V x. x. x ............ x   

a) 1

" 20  n " veces

d) b) x 2

1 9

05. Calcular:

R

2n 2  2n1



2 2n1

b) 2

c)

1 3

e)

2 3

10. Calcular:

e) 1

T

b) 3

c) x 3

d) x 4

a) 1 d) 6

 525

09. Simplificar:

c) 3 e) 5

04. Reducir:

a) x

30

0

D  32  52

03. Reducir: A

c) 14 e) 82

4

b) 2

3

b) 13



a) 1 d) 1/2

216 . 162 88

b) 2

c) 4 e) 1/4

c) 4 e) 8

53

Álgebra

2 01.

LEYES DE EXPONENTES - ECUACIONES EXPONENCIALES

Reducir:

M=

06. Resolver la ecuación:

5 5  15  48 6  35 2 210  6 6  10 7  49

93 2x  27 x  2  816  x

Rpta: ...............................................................

Rpta: ...............................................................

07. Considerando : a  0 . Calcular el valor de "x" en:

1  , Calcule: 3

x 02. Si: 2

1 x 3

   8 

P  4x

2

 

 16 x

a x 1 . a2x 1 . a2  3x  1 3

1 2

4

Rpta: ............................................................... Rpta: ............................................................... 08. Resolver la ecuación:

A

03. Si:

B

5x4  5x2 5x

y

2x 3  2x 1  2x  2  2x  50 x

3 y 5  3 y 3 3y

Rpta: ............................................................... 09. De la siguiente ecuación:

A Calcular: S  36   B

a b

Rpta: ...............................................................

P

M

" b " veces   ac  x  x ac  .....x ac

x   x   x     bc

bc

a

3a

a b

3x  27x 3

Obtener el valor de:

04. Hallar el exponente final de “x” en: a

3x 

2a a  b2 2

Rpta: ...............................................................

b c

xx


x 1

 256

Rpta: ............................................................... Dar el valor de:

05. Reducir:  x. x. x A   x. 4 x 

   

8

M

 x  2

2

  x  1

2

Rpta: ...............................................................

Rpta: ...............................................................

54

Álgebra



Diaria

Semanal

01. Reducir:

06. Resolver:

P

10 4  303  423 54  250  602  702

a) 20 d) 30

b) 84 3 -x =

02. Si:

a) 20 d) 26

a) 5 d) 8

c) 12 e) 90

1 2

b) 6

c) 7 e) 9

07. Considerando que: a  0 . Calcular el valor de "x" en:

P

Calcule:

165  x  82x 3  32x 2

1 x 2 9

 





1 x 3 27



b) 21



1 x 2 81

 

a x  2 . a2  x . a2x 1  1 3

c) 22 e) 6

a) 1/8 d) 2

4

b) 2/3

c) 1/6 e) 5

03. Calcular: 08. Resolver la ecuación: R

a)

7 8

  2 2 

2n 4  2 2n

3 x  2  3 x 1  3 x  99

n3

71 8

b)

d) 8

c)

9 2

e)

15 2

a) 1 d) 5

x  M n

  x 

 x 2n

4n

m

m n

5x  mn 5x  125x 3

Hallar el valor de: M

" 2n " veces     xm  xm  .....xm

m

 xmn

a) 2

m 2  n2 2m

b) 1

d) 3 a) n d) mn

b) m

c) m/n e) 5mn

    

1 3 e) 81 c)


05. Reducir:  5 4 3 4  x . x. x E    5 x4 . x3. 3 x2 

c) 3 e) 6

09. De la siguiente ecuación:

04. Hallar el exponente final de “x” en:

2m

b) 2

xx

30

3

1

 128

Dar como respuesta el valor de: E  x2  x  1

a) x7 d) x11

b) x5

c) x34 e) x10 55

Álgebra

3

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GRADO DE UN MONOMIO) Al finalizar el tema Ud. estará en la capacidad de :

* Definir el grado de una expresión algebraica y su importancia * Identificar el grado absoluto y relativo en un monomio,con respecto a sus variable. El grado es una característica de las expresiones algebraicas, esta relacionado con los exponentes, que posee la expresión e indica el número de valores que debe tener la incógnita.

Ejemplo Para el polinomio:

El grado es absoluto si se refiere a todas las variables, y es relativo si se refiere a una de las variables.

Determine: a) El grado relativo de x b) El grado relativo de y c) El grado absoluto del polinomio

P(x; y)  6x 6 y  3x 7 y 3  2xy 5

Grados en un monomio

Solución: a) G. R. (x) = 7(Es el exponente mayor de la variable "x" en uno de sus términos)

A. Grado Absoluto (G. A.): Se obtiene al sumar los exponentes de las variables. B. Grado relativo (G. R.): El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.

b) G. R. (y) = 5(Es el exponente mayor de la variable "y" en uno de sus términos)

Ejemplo Para el Monomio:

c) G. A. (P) = 10(Es el mayor grado absoluto de uno de sus términos)

F(x; y)  a 4 x 5 y 8

Determine:

Solución:

a) El grado relativo de x b) El grado relativo de y c) El grado absoluto de F

Cálculo de grados en operaciones 1.

a) G. R. (x) = 5 b) G. R. (y) = 8 c) G. A. (F) = 5 + 8 = 13

Ejemplo: Si P(x) es de grado : a Si Q(x) es de grado : b tal que: a > b

Grados en un polinomio a)

Grado absoluto : Esta dado por el mayor grado de sus términos.

b)

Grado relativo : El grado relativo a una variable es el mayor exponente de dicha variable.

En la adición y sustracción se conserva el grado del mayor.

 Grado P(x)  Q(x)  a

56

Álgebra



2. En la multiplicación los grados se suman.

P x;y   6x5 y3  3x 4 y4  6x6 y2

Ejemplo :

x

Monomio de grado: 6+2=8 4



 x5 y  7 x7 y  x 4 y5  2



Monomio de grado: 4+4=8

Resolución :

Monomio de grado: 5+3=8

 Grado : 6 + 9 = 15

¡Atención!

3. En la división los grados se restan.

En el ejemplo dado, el polinomio es de grado 8, también se suele decir que el grado de homogeneidad del polinomio es 8.

xy8  x3 y3  x7 Ejemplo :

x 4 z  y3  x3 y3

 El polinomio P(x; y) es homogéneo de Resolución :

grado 8

 Grado: 9 – 6 = 3

2.

4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente. Ejemplo :

x y  x y 3

 z9

2 6



Polinomio Ordenado: un polinomio es ordenado respecto a una variable, si los exponentes de ella van aumentando (ascendente) o disminuyendo (descendente) Ejemplo: Dado el polinomio:

10

P  x; y   x 4 y 3  2x 2 y 5  3xy 8

Resolución :  Grado : 9 . 10 = 90

i.

5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.

ii.

Es ordenado respecto a la variable "x" en forma descendente Es ordenado respecto a la variable "y" en forma ascendente.

¡Atención! Ejemplo :

3

xy  2x y  7x 7

3 6

12

Para que un polinomio esté ordenado no necesariamente los exponentes de las variables del polinomio aumentan o disminuyen en forma consecutiva

Resolución :

 Grado:

12 4 3

3.

Polinomios Especiales 1.

Polinomio Homogéneo: es aquel polinomio en el cual todos sus términos tienen el mismo grado.

Polinomio Completo: un polinomio es completo respecto a una variable si tienen todos sus exponentes desde el mayor en forma sucesiva hasta el exponente cero. Ejemplo: Dado el polinomio: P  x; y   x 3  3xy 2  4x 2 y  5

Ejemplo: Dado el polinomio:

En primer lugar ordenamos el polinomio con respecto a la variable "x" , obteniendose:

57

Álgebra



P  x; y   x 3  4xy 2  3xy 2  5

¡Atención!

En segundo lugar observamos que el polinomio es completo respecto a la variable "x"

Dos o más polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor numérico asignado a sus variables.

Observación:

Ejemplo:

En todo polinomio completo de una sola variable se cumple que el número de términos es igual al grado del polinomio aumentado en la unidad.

Se cumple para cualquier valor de "x" , verifícalo. 5.

Número de terminos

=

Grado del polinomio + 1

Polinomio idénticamente nulo: un polinomio reducido es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero. Ejemplo:

Ejemplos: Dado los polinomios: *

(x + 3) (x + 6) = x 2  9x  18

ax 2  bx  c  0

Debe cumplirse que:

2 P(x)= x  7x  2 ; tiene :

a0 ; b0 ; c 0

2 + 1 = 3 términos *

Además un polinomio es idénticamente nulo, si para cualquier valor asignado a sus variables obtendremos cero,

Q(x)= 8x  3x  x  6x  9 ; tiene: 4

3

2

4 + 1 = 5 términos. 4.

¡Atención!

Polinomios Idénticos: dos polinomios reducidos son idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

En un polinomio idénticamente nulo su grado no está definido por ser cada uno de sus coeficientes iguales a cero, o sea puede ser de la forma:

Ejemplo:

i. 0x 4  0x 3  0x 2  0x  0  0

ax2  bx  c  mx 2  nx  p

ii. 0x3  0x2  0x  0  0 ; etc , etc

identidad

Debe cumplirse que:

am ; bn ; c p

58

Álgebra



PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 3 01. Si el grado absoluto del monomio



M x;y   5a1 . x a 2 . y a



2

06. El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 3:

es igual a :16. Hallar P x   x a b  4x a  7x b  5

su coeficiente a) 25 d) 325

b) 125

Hallar: a2  b2

c) 625 e) 475

a) 3 d) 6

02. Calcular «a + b» si el monomio: M x;y   10x 3a b . y a  3b

b) 5

P  x    2A  B  x 2  Cx  B Q  x   8x 2  5x  4

c) 6 e) 8

son idénticos. Hallar: A + B + C

03. En el polinomio

a) - 4 d) -6



P x;y   15x 4 . y 3n  x 4n . y 6  8 x 3 y 2



6n

08. Sabiendo que: A x 

c) -5 e) -8

x 1 y B x   x 2  x  1 2

Hallar: A B  2  

Hallar el GR(x) b) 24

a) 1 d) 7

c) 36 e) 52

b) 3

c) 5 e) 8

09. Sea:

04. Sea el polinomio:

P x   3x 90  27x 88  3x 2  4x

P x   3ax a  5  5ax a  6  2ax a  8 ; un polinomio

Hallar: P(3)

de grado 17.

a) 13 d) 16

Señale la suma de sus coeficientes: a) 50 d) 80

b) -3

;

se cumple: GR(y) = 24

a) 18 d) 48

c) 5 e) 7

07. Si los polinomios:

tiene : G.A. = 20 y GR(x) = 11 a) 4 d) 7

b) 4

b) 60

c) 70 e) 90

b) 14

c) 15 e) 18

10. Sea : F(x) un polinomio lineal donde: F(2) = 5 ;

05. Indicar el GR(y) en el polinomio homogéneo:

F(1) = 4

Hallar: F (7)

P x ;y   8x a) 10 d) 7

2n  6

 3x . y

b) 8

5

n 2

 5y

9 n

a) 5 d) 25

c) 9 e) 4

59

b) 10

c) 20 e) 30

Álgebra



Diaria

Semanal

01. Hallar el valor de "n" para que el grado



absoluto del monomio 5xn  4 y 2



06. El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 3:

5

sea : 40 P x   2x m n  5x m  3x n  6

a) 1 d) 4

b) 2

c) 3 e) 5

Hallar: m2  n2 a) 3 d) 6

02. Calcular «a + b» si el monomio: M x;y   2x 2a  b . y b  2a

b) 4

c) 5 e) 7

07. Si los polinomios:

tiene : G.A. = 18 y GR(x) = 10

P  x    3A  B  x 2  Cx  B

a) 6 d) 5

Q  x   7x 2  9x  2

b) 7

c) 8 e) 9

son idénticos. Hallar: A + B + C 03. En el polinomio



P x;y   7x 3 . y 2k  3x 3k . y 5k  9 xk y 2k



a) 10 d) 13

7

b) 11

c) 12 e) 14

08. Sabiendo que: se cumple: GR(y) = 28

f x 

Hallar el GR(x) a) 7 d) 9

b) 4

a) 4 d) 7

Q x   2mxm  4mxm 1  6mxm 2

09. Sea:

un polinomio de quinto grado.

c) 35 e) 72

b) 9

c) 15 e) 16

10. Sea : R(x) un polinomio lineal donde: R(-3) = 8 ;

P x; y   3x 3n  8  7x 3n 4 yn1  y 20 n

b) 8

c) 3 e) 2

P x   2x 50  4x 49  5x 2  2x

a) 6 d) 8

05. Indicar el GR(y) en el polinomio homogéneo:

a) 4 d) 20

b) 5

Hallar: P(2)

Señale la suma de sus coeficientes: b) 40

g  x   x2  x  1

Calcular: f g 3    

c) 28 e) 16

04. Sea :

a) 50 d) 60

x 1 2

R(-2) = 6

Hallar: R(-4) a) 6 d) 12

c) 17 e) 15 60

b) 8

c) 10 e) 16 Álgebra

4

NOTACIÓN POLINÓMICA - GRADOS DE POLINOMIOS

01. Sea el polinomio:

Donde: coef (M) = 11 ; G.A. (M) = 23

f( x)  x(x  5)  3(x  3)  8

Rpta: .............................................................

Calcular: 07. M

f( 7  1)  f( 15  1)

Si se tiene el polinomio:

P(x;y)  2xab3  yc4  5xab1  yc8  xab2  yc6 ,

f( 11  1)

sabiendo que: GR (x) = 15 ; GR (y) = 13 Rpta: ............................................................... Hallar el grado absoluto de P(x;y) P(x)  (m  1)x 2  mx  m  1

02. Sea:

Rpta: .............................................................

Además: P(2)  4 . Calcular el valor de “m”. Rpta: 03. Siendo:

08. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:

F(z  1)  3z 2  7z  9

Determine: F (x)

P(x;y)  xn3  y2n1  (a  b)xn10  y2  (n  1)xa  yb

Rpta: ............................................................. Rpta: ............................................................. 04. Si:

f  x  1  x 2  1

09. Dado la siguiente identidad: x 3  2x 2  1  (x  1)  Ax 2  B(x  1)

Calcular:

M

f 1  f  0 

Calcular:

f  1

 A 2  B 2   A 3  B3  E   2 2   

05. Sabiendo que: P(x; y)  (5x  3y)n1  5n Es tal que la suma de coeficientes es igual al término independiente aumentado en 1024. Hallar “n”

Rpta: ............................................................. 10. Si el polinomio

P(x)   3  a  x 5  b  2  x 2   c  7  x

Rpta: 06.

se anula para cualquier valor de sus variables.

Calcular: GR(y) en el monomio: M(x; y)  (a  3b)x 2a 3b  y a b

Hallar: (a + b + c)2

.. Rpta: .............................................................

61

Álgebra



Diaria

Semanal 06. Hallar el coeficiente en:

01. Sea el polinomio: P( x)  x(x  6)  4(x  1)  5

M(x; y)  ab2  x 3a  4b  y 4a 3b

Calcular:

M

Si su G.A.(M) = 49 ; GR(x) = 23

P( 5  1)  P( 3  1) P( 2  1)

a) 1 d) 4

b) 2

a) 100 d) 50 c) 3 e) 5

b) 60

c) 20 e) 32

07. En el polinomio

02. Si: P(x)  (m  1)x 2  2mx  m  2

P( x;y )  x m 1  y n  3x m  2  y n 1  x m 1  y n  3  2x m  4  y n  2

Si: P(2)  4 . Calcular el valor de “m”.

GA (P) = 20 ; GR (y) = 16. Hallar el GR(x) a) 1 d) 4

b) 2

c) 3 e) 6

a) 6 d) 3

F(z  2)  2z 2  3z  1

03. Siendo:

a)

– 5x + 5

d)

P(x;y)  x 2  y  2  5x   y1  xy3

– 5x + 9

e) 2x 2  11x  15

b) x2 – 5x c) 5x – 5 04. Si:

x2

Dar como respuesta : a + b a) 8 d) 11

f  x  2  x2  2

09. Dada Calcular:

R

a) -2 d) 0

f 3  f 0

b) 9

la

siguiente

c) 10 e) 12 identidad:

x 3  2x 2  1  (x  1) mx 2  n(x  1)

f 1

Calcular: m2 + n3

b) -1

c) 2 e) 1

a) 1 d) – 1

05. Sabiendo que: P  x; y    7x  4y 

c) 4 e) 2

08. Indicar el valor de "  " y "  " para que el siguiente polinomio sea homogéneo:

Calcular: F (x) x2

b) 5

n 1

b) 2

c) 0 e) – 2

10. Si el polinomio:  2n

P(x)  (3  b)x 5  (a  4)x 3  (7  c)x Es tal que la suma de sus coeficientes es igual al término independiente aumentando en 81. Calcular: n

Se anula para cualquier valor de sus variables. Calcular: a + b + c

a) 3 d) 6

a) 5 d) 9

b) 4

c) 5 e) 7 62

b) 6

c) 8 e) 12 Álgebra

5

PRODUCTOS NOTABLES I Una vez que Ud. haya entendido, repasado y practicado este tema estará en la capacidad de: * Efectuar y desarrollar con fluidez los distintos casos a estudiar. * Reconocer las identidades para luego emplearlos en el capítulo de factorización. * Utilizar artificios que hacen posible el desarrollo de sus habilidades.

Comentario: Este capítulo es considerado como la "médula espinal del álgebra" ya que sirve de soporte para otros temas estratégicos, tales como: Factorización, Fracciones, Radicación, Ecuaciones, Inecuaciones, Logaritmos, etc.

3.

Efectuar:

(3x+2)2

(3 x + 2 )2 = (3 x )2 + 2 (3 x ) (2 ) + 2 2

Los productos notables son multiplicaciones conocidas cuyo desarrollo se puede recordar fácilmente, sin necesidad de efectuar la operación:

IMPORTANTE: Observe que en los desarrollos de:

 a  b 2

= a2  2ab  b2

I.

 a  b 2

= a2  2ab  b2

Binomio al cuadrado (a + b)

2

2

= (a + b)(a + b) = a + 2ab + b

El término central (doble producto) es positivo si la base es el binomio suma y negativo si es el binomio diferencia

2

(a - b ) 2 = (a - b )(a - b ) = a 2 - 2 a b + b 2

Es importante aclarar que:

Al desarrollo de un binomio al cuadrado se denomina trinomio cuadrado perfecto. En cada caso, el primero y el último término son los cuadrados de a y b, respectivamente y el término central o medio es el doble del producto de dichos números. Ejemplo(1) efectuar:

a

2

2

Ud. lo puede comprobar desarrollando en ambos miembros, más adelante veremos que se cumple también para cualquier potencia par.

(x  3)2

Corolario: Identidades de Legendre Son dos igualdades que resultan de combinar

(x + 3)2 = x 2 + 2(x)(3) + 32

(a  b)2 y (a  b)2 a través de la suma o diferencia.

= x 2 + 6x + 9

Ejemplo(1) efectuar:

- b  = b - a 

*

(a  5)2

Primera identidad de Legendre: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2 )

(a - 5)2 = a2 - 2(a)(5) + 52

*

= a2 -10a + 25

Segunda identidad de Legendre: (a  b)2  (a  b)2  4ab

63

Álgebra



Ejemplos aplicativos:

Primer término: Coeficiente del 2do término:

x . x = x2 2+3=5

2 2 2 2 1. (x + 5) + ( x - 5 ) = 2(x + 5 )

Último término:(2) (3) = 6

= 2(x 2 + 25) = 2x 2 +50 (Se ha aplicado la 1ra. identidad) 2.

Finalmente:

E  x 2  5x  6

(m+3)2 - (m- 3)2 = 4 (m) (3) = 12 m Ejemplo (2) efectúe: F = (y + 5) (y - 8) [Se ha aplicado la 2da identidad] Resolución:

3.

2

2

2

2

(2x + 1) + (2x -1) = 2[(2x) +1 ] F = y 2 + (+ 5 -8)y + (+5)(-8)

= 2 [4x 2 +1] = 8x 2 +2

 F = y 2 - 3y - 40

II. Suma por diferencia

a  b a  b   a

2

b

IV. Trinomio al cuadrado:

2

Forma desarrollada Diferencia de cuadrados

(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplos:

Forma abreviada:

* (x  5)(x  5)  x 2  52  x 2  25

(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

* (a + 3)(a - 3) = a 2 - 3 2 = a 2 - 9

Observa, el desarrollo presenta en sus tres primeros términos la suma de los cuadrados de los tres términos que conforman el trinomio y luego van los dobles productos que se pueden formar con los tres términos tomados de dos en dos.

* (2x + 7)(2x - 7) = (2x)2 - 7 2 = 4x 2 - 49 * ( 3 + 5)( 3 -5) = ( 3 )2 -5 2 =3 - 25= - 22

III. Identidad de Steven: Producto de un binomio con un término en común ( x +a ) ( x+ b ) =

Ejemplo(1) Efectúa (a  b  7)2

x 2 + (a + b ) x + a . b

Término común al cuadrado

(a +b + 7)2 =a2 +b2 + 49 + 2(a)(b)+2(a)(7)+2(b)(7)

Productos de los términos independientes

= a 2 + b 2 + 49 + 2ab + 14a + 14b

Suma de los términos independientes

2 Ejemplo(2) Efectúa (m + 2n + 3p)

Ejemplo (1) efectúe: E = (x + 2) ( x + 3)

(m  2n  3p)2 

Resolución: = m 2 + 4n 2 + 9p 2 + 4m n + 6m p + 12np

64

Álgebra



V. Binomio al cubo:

de donde: D(x) : polinomio dividendo d(x) : polinomio divisor q(x) : polinomio cociente r(x) : polinomio residuo

* Forma desarrollada:

 a  b 3

 a3  3a2b  3ab2  b3

Forma abreviada: 3

3

Clases de División 3

(a  b)  a  b  3ab(a  b)

 División exacta: es cuando r(x)  0

* Forma desarrollada: (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

Luego:

Forma abreviada:

D(x)  d(x) . q(x)

 División inexacta: es cuando r(x)  0

(a  b)3  a3  b3  3ab  a  b 

Luego: En el primero de ellos, la base es el binomio suma, su desarrollo es "El cubo del primer término de la base, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo y más el cubo del segundo".

D(x)  d(x) . q(x)  r(x)

A) Ley de signos: El cociente de signos iguales es siempre positivo, y el de signos diferentes es negativo. Así:

Nótese que en este desarrollo todos los términos del desarrollo son positivos. En el segundo de ellos la base es el binomio diferencia, los términos del desarrollo son los mismos, solo que varían los signos en forma alternada.

(+) : (+) = +

(+) : (-) = -

(-) : (-) = +

(-) : (+)= -

B) Ley de Exponentes: Para dividir potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor.

Teniendo la siguiente secuencia: + - + -

am

División Algebraica

n

= am – n ; donde a  0

a

Dados dos polinomios D(x) y d(x), donde el grado de D(x) es mayor o igual que el de d(x).

x

Ejemplo:

D(x) La división denotada por D(x)÷ d(x) ó d(x) ,

10

x

5

=x

10 - 5

= x

5

Casos que presentan:

es la operación algebraica que consiste en hallar otros dos únicos polinomios q(x) y r(x), tal que:

A) División de monomios: Para dividir monomios primero se dividen los coeficientes de acuerdo a la ley de signos, luego las partes literales de acuerdo a la ley de exponentes.

D(x)  d(x) . q(x) + r x

(Identidad fundamental de la división)

65

Álgebra



Ejemplos Efectúa: 9x 5 y 3

a)

b)

-3x 2 y 2

(3x3  8x  4x 2  8)  (3x  2)

3

= - 3x y

Resolución:

-14a3b8c 7 -2a2b5c 4

=7ab3c 3

Verificando, se observa que el dividendo está desordenado, luego, ordenando el dividendo, se tendrá:

B) División de un polinomio entre un monomio: (Ley distributiva de la división).

Observa: Que al multiplicar el término hallado como cociente por el divisor, el resultado pasa al lado del dividendo con signo cambiado.

Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado. Ejemplo Efectúa:

x 2 (3x + 2) = 3x 3 + 2x 2

Ejemplo: 18x 6a5 - 9x7a9 + 27x 5a 4 3x 4a3

Pasa al dividendo como: -3x 3 - 2x 2

Propiedades

Resolución: =

18x 6a5 3x 4a3

-

9x 7a9 3x 4a3

+

27x 5a 4

a)

3x 4a3

El grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y divisor respectivamente.

= 6x 2 a 2 - 3x 3 a 6 + 9xa

Gdo(q) = Gdo(D) – Gdo(d)

C) División entre polinomios En el ejemplo anterior:

Método Clásico: Para dividir polinomios

Gdo(D)  3

se debe tener en cuenta las siguientes reglas:

Gdo(d)  1

 Gdo (q) = 3 - 1 = 2 ¡Correcto!

1ero- Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma descendente), en caso falte uno o más términos, estos se completan con ceros.

b)

2do . Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor obteniendose el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo

El término independiente (T. I) del dividendo estará determinado por el producto de los términos independientes del divisor y el cociente más el término independiente del resto.

T.I.(D) = T.I.(d) T.I.(q) + T.I.(r) En el ejemplo anterior:

3ero. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio identicamente nulo. Ejemplo

;

T.I.(D) = 7 T.I.(q) = 4 7 = (2) (4) - 1 c)

Efectúa:

66

; ;

T.I.(d) = 2 T.I.(r) = -1 ¡Correcto!

El grado máximo del residuo será una unidad menos que el grado del divisor. En el ejemplo: el residuo es de grado cero y este es de grado máximo por que el divisor es de grado 1. Álgebra



Método de Horner : se recomienda

Resolución:

emplearlo para dividir polinomios que sean de grado dos o más tendiendo en cuenta para ello las siguientes reglas:

Después de verificar que los polinomios estan ordenados y completos, procedemos de la siguiente manera:

1ero.Se completan y ordenan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola letra o variable (llamada letra ordenatriz).

4 12 -14 15 -6 4 En el caso que existan dos o más variables se asume a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes.

2

6 -3

-1 3

2do Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo y en forma vertical los coeficientes del divisor, todos cambiamos de signo a excepción del primero.

Entonces: 4 12 -14 15 -6 4 2 6 -3 -1 -4 2 4 -2 3 -2 2 0 2

3ero Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor obteniéndose el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo y el resultado se coloca en la segunda fila corriendose un lugar hacia la derecha.

El primer coeficientes del cociente se obtiene al dividir: 12  4 = 3 se observan en la segunda columna que:

4to Se reduce la siguiente columna, y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo. Llegado este momento se reducen las columnas que falten separando respectivamente los coeficientes del cociente y el resto.

- 14 + 6 = - 8  4 = - 2 (segundo coeficiente en la tercera columna) 15 - 3 - 4

5to El número de columnas que se separan para el resto lo determina el grado del divisor, contándose de derecha a izquierda y las demás le pertenecen al cociente.

= 8  4

= 2 (tercer coeficiente del cociente)

de donde:

q(x) = 3x 2 - 2x + 2 r(x) = 0x + 2 = 2

D I V I D E N D O

Método de Rufinni: Se emplea (se sugiere

cambian de signo

emplearlo) para dividir polinomios entre divisores binomios de la forma: ax  b ó cualquier otra expresión transformable a ella. C O C I E N T E resto

Pasos a seguir:

Veamos la aplicación de este método en el siguiente ejemplo:

1º

Se verifica si el polinomio dividendo está completo y ordenado. En caso falte uno o más términos estos se completarán con ceros.

2º

En caso existan dos o más variables, se asume a una de ellas como tal y las demás hacen el papel de números o constantes.

Dividir por el método de Horner: 12x 4 - 14x 3 + 15x 2 - 6x + 4 4x 2 - 2x + 1

67

Álgebra


3º

Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y está se coloca en el ángulo inferior izquierdo del gráfico.

4º

Se baja el primer coeficiente del dividendo, siendo este el primero del cociente. Luego este valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.


7º

Sólo si el primero coeficiente del divisor es diferente de la unidad, se dividen los coeficientes obtenidos por el cociente entre el coeficiente del divisor.

Esquema gráfico:

5º

6º

Coeficiente de D(x)

ax  b  0 x

Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tantas veces, hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo.

b a

Coeficiente de q(x)

a

Se reduce la columna y el resultado será el valor delresto, y este siempre será un valor numérico.

+ + + + + ….. ++ Resto

Verdadero coeficiente de q(x)

NOTA: En el esquema de Ruffini, el resto obtenido siempre es una constante.

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 5 06. Reducir:

01. Simplificar: M   x  1  (x  2)2  2x(x  3) 2

F

 x  9 2

  x  8  x  10   3

02. Simplificar: 07. Simplificar:

 5a  3b 2   5a  3b 2  4ab M  2a  b 2   2a  b 2

E

03. Efectuar: 08. Si:

(x  1)3  (x  1)3 3x 2  1

ab 2 ab  3

M  3 (7 7  5 5 )(7 7  5 5 )  2

Hallar : M  a3  b3

04. Simplificar:

09. Hallar: x + y ; si : x 3  y 3  28

M  (x  1)(x  1)(x 2  1)(x 4  1)  1

además: xy (x + y) = 12

05. Resolver:

10. Simplificar:

(x  7)(x  9)  (x  6)(x  10) P (x  4)(x  5)  (x  3)(x  6)

E  (x  5)(x 2  5x  25)  (x  2)(x 2  2x  4)

68

Álgebra



Semanal

Diaria

06. Reducir:

01. Simplificar: M  (x  2)2  (x  3)2  2x(x  5)

a) 6 d) 10

b) 7

R

c) 8 e) 13

 x  8 2   x  10  x  6   5

a) 3 d) 7

b) -4

c) 5 e) 9

02. Simplificar: 07. Simplificar: 2 2a  3b   M

a) 19 d) 10

  2a  b   2  a  b  a  b  2

a2

b) 14

N c) 11 e) 21

(x  2)3  (x  2)3

a) 1 d) 1/4

03. Efectuar:

3x 2  4 b) 4

c) 6 e) 1/6

08. Si:

M  (4 2  3 )(4 2  3 )  4

a) 1 d) 5

b) 2

ab  4 ab  3

c) 3 e) 10 Hallar :

a3  b3

04. Simplificar: E  (x  2)(x  2)(x  4)(x  16)  x 2

a) 8 d) 256

b) 2

4

a) 36 d) 12

8

b) 30

c) 28 e) 64

09. Hallar: a + b ; tal que: a3  b3  6

c) 16 e) N. A.

además: ab (a + b) = 7 05. Efectuar: a) 1 d) 6 P

a) 8/7 d) 5/6

(x  8)(x  2)  (x  3)(x  7) (x  10)(x  1)  (x  9)(x  2)

b) 1/4

b) 2

c) 3 e) 9

10. Simplificar: P  (x  3)(x 2  3x  9)  (x  2)(x 2  2x  4)

c) 5/8 e) 4/7

a) 19 d) 35

69

b) 20

c) 25 e) 42

Álgebra

6

PRODUCTOS NOTABLES - DIVISIÓN ALGEBRAICA 06. Si la división es exacta:

01. Sabiendo que: ab 

6 7 2

6x 4  13x3  4x 2  mx  n

ab  3 7  4

calcular: E 

3x 2  5x  1

a2  b2 5

Hallar: m + n Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

07. Calcular: (A - B), si la división:

02. Calcular: M

32

12x 4  12x3  13x 2  Ax  B

1  (3)(5)(17)(28  1)(216  1)

2x 2  3x  5

Rpta.: ..........................................................

deja como resto: 4x + 5

03. Sea: m2 + 2m = 13

Rpta.: ..........................................................

Calcular:

E

(m  5)(m  6)(m  3)(m  4) 2

08. Hallar "a" si la división: x 4  2x 3  3x 2  2x  a x 3

Rpta.: ..........................................................

es exacta. 3

04. Si:

ab = 1 y

3

a b 1 ab

Rpta.: .......................................................... 09. Hallar el resto en:

Calcular :

2

Ea  b

2

3x 3  2 3x  2x 2  9

Rpta.: ..........................................................

05. Si:

x

Calcular:

x 3

1 4 x R  x3 

Rpta.: ..........................................................

10. Sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es : 10

1 x3

8x3  4x 2  6ax  15 2x  1

Rpta.: .......................................................... Hallar: "a"

Rpta.: .......................................................... 70

Álgebra



Semanal

Diaria 0

1

.

06. Determinar el valor de "p" para que la división

Sabiendo que: ab 

8 7 2

2x 4  x3  3x 2  10x  p

ab  4 7  5

calcular: E 

x2  x  2

a2  b2 2

a) 6

b) 12

d) 2 7

c)

a) 1 d) 8

7

sea exacta a

b) 2

c) 4 e) 16

07. Si la siguiente división:

e) 0

2x 4  7x3  16x 2  Ax  B

02. Dar el valor más simple de:

2x 2  3x  4 T

16

26(52  1)(5 4  1)(58  1)(516  1)  1

a) 5 d) 03. Si:

b) 10

a) 1 d) 1/2

+ 3a = 7

a) 5 d) 11

b) 8

xy = 1 y

Calcular: a) 8 d) 7

x  y

c) 9 e) 12

a) 113 d) -117

b) 2

2x 4  3 2x 3  12x 2  3 2x  2

2

x 2

b) 5

x

Calcular:

c) 4 e) 6

a) 0

a) 70 d) 95

1 5 x x3 

c) -7 e) 77

09. Hallar el residuo en:

b)

d) 3 2 05. Si:

c) 3 e) 1/3

4x3  3x 2  nx  10 es exacta. Hallar "n" x5

x3  y3 3 xy

2

b) 2

08. Si la división :

(a  6)(a  5)(a  3)(a  2) Calcular: Q  3

04. Si:

A B

e) 15

5

a2

deja como resto: 13x + 3. Determine :

c) 25

2

c) 2 2 e) 4 2

10. Indique la suma de los coeficientes del cociente: 1

3x 4  5x3  x 2  x  2 3x  1

x3

b) 90

c) 80 e) N.A.

a) 2 d) 5 71

b) 3

c) 4 e) 6 Álgebra

7

COCIENTES NOTABLES I Al finalizar el presente tema Ud. estará en la capacidad de: * Reconocer los diferentes casos de cocientes notables * Obtener en forma directa el desarrollo de un cociente notable * Emplear fórmulas y técnicas para calcular un término cualquiera en el desarrollo de un cociente notable Según la combinación de signos se pueden analizar 4 casos, dando en cada caso ya sea entero completo.

Ciciente notable es aquel cociente que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división.

Son de la forma:

x m  am xa

x m  am  q x   R(x)  0 xa

Donde: * "x" y "a" son los términos del divisor.

xm  am R(x)  q x   R x   0 x a x a

* m    , m  2 (m: Números de términos)

xm  am xa

xm  am xa

m

 xmk ak 1

xm1  xm2a  xm3a2  ...  am1 ;  m

k 1

x

m1

x

m 2

ax

m 3 2

m1

a  ...  a

2am

m

 xmk ak 1  x  a

2am  ;m xa

k 1 m

xm  am xa

x a xa m

m

 1

xm 1  xm 2a  xm 3a2  ...  am1   m Impar 2am ; xa   m par

x m1  x m 2a  x m3a2  ...  am1 

xm 1  xm 2a  xm 3a2  ...  am1   m par 2am ; xa   m Impar

x m1  x m 2a  x m3a2  ...  am1 

72

k 1 mk k 1

x

a

k 1

m

k 1 mk

 1

x

ak 1 

k 1

m

2am xa

k 1 mk k 1

 1

x

a

k 1

m

k 1 mk k 1

 1

k 1

x

a



2am xa

Álgebra



Fórmula del término general m

Para la división :

x a xa

Además:

m

tk = ( ) xk-1am-k tk = término de lugar k contado del término final

El témino de lugar "k" del cociente q(x) viene dado por:

Ejemplo explicativo:

tk = ( ) x m - k ak - 1 de :

signo Donde: x : es el 1er término del divisor a : 2do término del divisor m : número de términos del cociente

x153 + a102 x 3 + a2

.

Calcular: a) Número de términos del C.N. b) Hallar: el t 23 y t 44 Resolución

Regla para determinar el signo

a) Número de términos del C.N. : a) Si: d(x) = x - a ; todos los términos del C.N. son positivos

153 102 = =51 términos 3 2

 

b) Si d(x) = x + a ; se tiene

51-23

b) t 23 =+ x3

i) Términos de lugar impar son positivos ii) Términos de lugar par son negativos

t 44 =+  x 3 

a   t

51-44

22

a 

2 43

23

=+ x 84a44

 t 44 =- x 21a86

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 7 16 m 1 x 8m  20  y  

Desarrollar los siguientes cocientes notables: 01.

02.

E 

R

x 5  a5 xa a6  b6 ab

F 

T

m 5  n5 m n

xm1  y 2m

06. ¿Cuál debe ser el valor de "n" para que la siguiente expresión sea un cociente notable?

x6  y6 x y

x 2n  yn20 x 2  y3

03.

K

a12  b16 a3  b 4

L 

07. Calcular el número de términos siguiente cociente notable:

x 24  y 48 x 6  y12

5 n 6 x 5n3  y  

xn -y5n-18 ; es notable. 04. Si el cociente: x2 -y9

xn1  yn 2

08. El cociente:

Hallar el valor de "n"

x 4n12  y 4n3 x n 8  y n 9

05. Hallar el valor de "m" para que el cociente sea notable:

; es notable .

Hallar el número de términos.

73

Álgebra



09. Hallar el cociente notable de los siguientes desarrollos:

10. Cuál es el cociente notable que dió origen a los siguientes desarrollos:

F = x14  x12  x10  ... x 4  x 2  1

T = x 6n  x 4n  x 2n  1

G = x 39  x 36  x 33  ...  x 6  x 3  1

W  x12 m  x10 m  x 8m  x 6m  x 4m  x 2m  1

Diaria 01.

07. Calcular "m" en el siguiente cociente notable :

Desarrollar el siguiente cociente notable : E

02.

x 2m  3  y3m  3

4

x 2m  1  y3m  5 a) -1 d) 5

b) 1

c) 3 e) 6

Desarrollar el siguiente cociente notable : R

03.

m n mn 4

08. Desarrollar el siguiente cociente notable:

x5  y5 x y

x 4n-1 - z 2n+ 4 x 2n-5 - z n-1

Desarrollar el siguiente cociente notable:

Q

a) 2 d) 5

a b 12

18

a 2  b3

x

y

x 36 + x 33 + x 30 +....+ x 6 + x 3 +1

2a

x  y2 3

a) 1 d)10

a)

b) 8

c) 5 e) 15 c)

05. Hallar el valor de "m" para que el cociente:

x15m+50 - y15m-10 , sea notable x m+1 - y m-2 a) 4 d) 1

b) 3

x3  1

x39  1 x 1

x37  1 b) x 1 d)

x2  1 x 1

10. Hallar el C.N. que dió origen al siguiente desarrollo:

c) 2 e) 6

x10n + x 8n + x 6n + x 4n + x 2n + 1 a)

06. Hallar el valor de "k" para que el cociente sea notable:

x13n2 x2

b)

x10n  2 x2

x12n  1 c) x 1

pk 1  y 2k 10 p2n  y 2n b) 8

x39  1

x36  1 e) x 1

Semanal

a) 5 d) 18

c) 10 e) 7

09. Hallar el cociente notable del siguiente desarrollo:

04. Si el cociente es notabledetermine "a": 6a  24

b) 3

c) 11 e) 21

d)

74

x12n  1 x 2n  1

e)

x12n  1 x 2n  1 Álgebra

8

TEOREMA DEL RESTO COCIENTES NOTABLES

06. Hallar el número de términos del cociente notable:

01. Calcular el residuo al dividir:

x 4n12  y 4n3 x n 8  y n 9

x15  15x12  12x 9  9x 6  6x 3  3 x3  1 Rpta.:

Rpta.:



(x  4x  5) 2

52

 (x  4x  3) (x  2)2 2

25



 07. Hallar “n” n  Z , en el cociente notable:

02. Calcular el resto de la división:

x 9n12  y 2n x3  y2

 (x  2)

2

2

Rpta.:

Rpta.:

08. Hallar el término de lugar 14 del desarrollo de: 03. Determine el resto al dividir:

(x  2)(x  1)(x  3)(x  4)  5 x 2  2x  7

x31  y31 xy

Rpta.:

Rpta.:

04. Calcular el resto al dividir:

09. Dado el cociente notable:

( x  4)10  x 5 ( x  8)5  ( x  2)( x  6) x2  8x  8

P96  m72 P8  m6 Calcular el término de lugar 11.

Rpta.: Rpta.: 05. Obtener el valor de “m”, luego de dividir: 10. Calcular: a + b; sabiendo que el t17 del

mx 6  (4m  3)x 3  m(x  1)2  2 , sabiendo x 1 que el resto es 8

cociente notable:

x a  yb es: x115  y112 x5  y7

Rpta.:

Rpta.:

75

Álgebra



Semanal

Diaria

06. Si:

01. Hallar el resto de:

3x 60  5x 45  3x 30  2x15  x 5  7 x5  1 a) 3 d) 6

b) 5

x 5n3  y 5n30 xn1  yn 2

Es un cociente notable. Indicar el número de términos en su desarrollo.

c) 2 e) 19

a) 3 d) 12

02. Al dividir: 07. Hallar "n"

(x2  5x  7)39  3(x2  5x  5)41  (x  1)(x  4)  7 x2  5x  6

b) 7

a) 1 d) 4

c) 1 e) 9

2

b) 2

c) 3 e) 5

x 21  y 21 xy

(x  1)(x  2)(x  3)(x  4) x 2  5x  5

b) 1



08. Hallar el término de lugar 15 en el desarrollo de :

03. Calcule el resto de la siguiente división:

a) – 1 d) 3

c) 9 e) 15

n  en el cociente notable x 4n16  y 3n x2  y3

Se obtiene como resto: a) – 6 d) 4

b) 6

a) x 6 y14

c) 2 e) 5

b) x 3 y 8

d) x 4 y 9

c) x 9 y 6 e) x10 y 2

04. Calcular el resto al dividir: 09. Dado el cociente notable:

x12  a20 x 3  a5

(x  2)40  x 20 (x  4)20  (x  1)(x  3) x 2  4x  2 a) 1 d) 4

b) 2

Calcular el término de lugar 3.

c) 3 e) 5

a) xa10 d) xa

05. Obtener el valor de "k" luego de dividir: x 4   5k  2  x 2  k  x  1  1

;

xm  yn es : x115 . y112 x5  y7

sabiendo que el resto es : 7 a) 3 d) 6

b) 4

c) x2a4 e) x3a10

10. Calcular: "m + n" , sabiendo que el t17 del cociente notable:

2

x 1

b) x3a

a) 470 d) 950

c) 9 e) 7 76

b) 480

c) 400 e) 380 Álgebra

9

FACTORIZACIÓN

1. Conceptos Previos. a)

* g(x) = x 2  7 es primo en  ; ya que :  x2  7

Polinomios sobre un conjunto numérico: un polinomio está definido sobre un conjunto numérico cuando sus coeficientes están en dicho conjunto numérico.







 x 7 x 7   

Ejemplos:

c)

f(x) = 5x 3  3x 2  4x  9 está definido en  g(x) = 7x 4  5 x 3  3x 2  5 está definido en  b)

2

Polinomios irreductible (o primo) sobre un conjunto numérico: es aquel polinomio que no acepta transformaciones o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes, pertenecientes a dicho conjunto numérico.

Factor algebr aico o divisor algebraico: Un polinomio no constante, es factor algebraico de otro polinomio, cuando lo divide exactamente, es decir si f(x) es un factor de g(x) es divisible por f(x). Ejemplo: * a + 5 es factor de a2  7a  10 , ya que

a2  7a  10  a  2 es exacta a5

Todo polinomio primo presenta como únicos divisores a el mismo y a cualquier constante no nula.

* x - 3 no es factor de x 3  7, ya que

x3  7 x3

no es exacta. Ejemplo:

2. Factorización f(x) = x + 3

La factorización es un proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados factores primos, dentro de un conjunto numérico.

g(x , y) = x + y - 5 En cualquiera de los dos casos anteriores no es posible transformarlos a una multiplicación de polinomios no constantes, por lo tanto, f(x) y g(x , y) son primos en  o  .

Veamos:

f x   x4  9

* Factorización en el conjunto 

Postulado. Todo polinomio de la forma (ax + b) es irreductible en cualquier conjunto numérico.

 

f  x   x2

2







 32  x 2  3 x 2  3   primo en 

Veamos ahora los siguientes casos:

 existen 2 factores primos en 

* f(x) = x 2  25 no es primo en  , ya que:

 x  5  x  5 =  

77

Álgebra



* Factorización en el conjunto  , tenemos:





f  x   x2  3 x2  3

4.



Sea:

a b y c 

Donde: a , b y c son primos entre sí:

    x 2  3   x  3  x  3     2  x 2  3  x 2  3   

# factores    1   1   1 Ejemplo

primo en 

Determinar el número de factores de x2 y2 Observaciones: Resolución 1.

2.

Generalmente el conjunto en el que se ha de trabajar es el delos RACIONALES (  ) salvo se indique lo contrario.

Desagregando a la expresión en cada uno de sus factores, se tendrá:

El número de factores primos, como lo hemos visto anteriormente depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En el conjunto numérico de los racionales, el números de factores primos se calcula contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables, denominados también factores algebraicos). Así por ejemplo:

1 x y xy x 2 y2

x2 y2 x2 y

f(x) =  x  3 2  x  5 

x y2

tiene 2 factores primos

x2 y2

g(h) = h(h + 1)  h  2   h  3  tiene 4 factores primos. 2

3

Como se observará existen 9 factores, los cuales se obtendrán directamente, a través de la relación anteriormente mostrada.

p(x ; y) = x 2 y 2  x  2y 3  x  3y 4

# factores = (2 + 1) (2 + 1) = 9

tiene 4 factores primos. 3.

De donde se debe tener en cuenta que:

Si se cambia de signo a un número par de factores, la expresión no se altera. Sea:

# factores algebraicos    1   1   1  1

ya que aquí se descarta al 1 porque es un polinomio de grado cero.

F(x) = (x - 4) (2 - x) (x + 3) (5 - x) Si se cambia de signo al factor (2 - x) y (5 - x), se tendrá.

3. Factorización por el Método del Factor Común.

F(x) = (x - 4) (2 - x) (x + 3) (x - 5) Se recomienda utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen uno o más factores comunes. Estos factores pueden ser monomios o polinomios. 78

Álgebra


a)


Factor Común Monomio

6x3  15x2  3x2

Cuando los términos de un polinomio tienen uno o varios factores numéricos o literales que aparecen en todos ellos, se dice que tales factores forman un factor común. Así, por







Factor común monomio

ejemplo, el polinomio 3x 2  12x tiene los factores 3 y x comunes a los dos términos, formándose así el monomio "3x" como factor común. Los polinomios que tienen un factor común pueden factorizarse como una aplicación de la propiedad distributiva, así:

 Dividimos 6x3

3x2  2x

 Dividimos 15x2

3x2  5

 6x 3  15x 2  3x 2  2x  5 

Ejemplo 2 Factorizar: 2x 2 y  6xy 2  8x 2 y 2 Resolución: 1º

3x 2  12x  3x . x  3x . 4  3x x  4 

Hallamos el M.C.D de los coeficientes 2 ; 6 y 8. Así:


2  6 8 2 1  3 4

El Factor Común Monomio sobre los enteros, se determina fácilmente hallando el M.C.D de los coeficientes de todos los términos del polinomio dado, el cual será el coeficiente del factor común y escribiendo a continuación de él las variables comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio..

 M.C.D  2 ; 6 y 8   2

2º

Luego, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio común. Los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación. O sea paréntesis, corchetes o llaves.

Por lo tanto, el factor común es : 2xy

 Divi dim os 2x 2 y  2xy  x  Divi dim os 6x 2 y  2xy  3y  Divi dim os 8x 2 y 2  2xy  4xy

Ejemplo 1: Factorizar : 6x 3  15x 2 Resolución: 1º

2º

 2x 2 y  6xy 2  8x 2 y 2  2xy  x  3y  4xy 

Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 6 y 15. Así:

6 - 15 2 - 5

3

El menor exponente con que aparece la variable "x" es 1 y el menor exponente con que aparece la variable "y" es 1.

b)

Factor Común Polinomio En el caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, osea aplicando la propiedad distributiva.

 M.C.D 6 y 15  3

El menor exponente con que aparece la variable "x" es 2, osea x  por lo tanto, el

ab  ac  a b  c

factor común es: 3x 2 Luego:

79

Álgebra



Ejemplo 1

Resolución

Factorizar: 5a (x - y) + 10b2 (x - y)

Agrupamos el primero con el segundo y el tercero con el cuarto.

Resolución: 1º

x 2  2x  cx  2c 

Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 5 y 10.

x 2  2 x  c x  2 c 

Sacamos factor común “x”

Así:

Sacamos factor común “c”

5  10 1  5 2º

5

 M.C.D.  5 y 10   5

 x  x  2  c  x  2

El menor exponente del polinomio común (x - y) es 1.

Sacamos factor común "(x - 2)"

Luego:

= (x - 2) (x + c) 5ax  y10b2 x  y 5x  y 



 x 2  2x  cx  2x   x  2  x  c 


Dividimos 5a x  y 5 x  y  a

Ejemplo 2

Dividimos10b x  y5x  y 2b 2

2

Factorizar: 2yz + 7y - 2z - 7



 5a  x  y  10b2  x  y  5  x  y a  2b2



Resolución: Agrupamos el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, obtenemos:

4. Factorización por Agrupación de términos

2yx  7y  2x  7  2yz  2z  7y  7

Se agrupan los términos de 2 en 2 ó en 3 en 3, etc. de acuerdo con el número exacto de grupos que se puedan formar de modo que resulte un factor común polinomio. Luego se procede a factorizar, según la regla del caso anterior.

Sacamos factor común “2z” Sacamos factor común “7”

 2z y  1  7 y  1

Ejemplo 1. Sacamos factor común "(y - 1)" 2

Factorizar: x  2x  cx  2c

= (y - 1) (2z + 7)  2yx  7y  2z  7   y  1 2z  7 

80

Álgebra



5. Factorización por el criterio de identidades

6. Criterio del aspa simple: se aplica para factorizar polinomios de la forma

Consiste en aplicar los productos notables en forma inversa

P(x;y) = Ax 2n  Bxn yn  Cy 2n Para ello debemos indicar lo siguiente:

a) Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P)

A  2AB  B   A  B  2

2

 Se adecua la expresión a la forma indicada 2

anteriormente, luego se descompone convenientemente los términos extremos incluyendo signos.

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.

Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si éste coincide con el término central de la expresión, se concluye que los factores serán las sumas horizontales, así.

Ejemplo:

16x 2  40xy3  25y 6   (4x)2

 2(4x) 5y3

 (5y3 )2

 

(4x  5y 3 )2 

Binomio alcuadrado

Ax 2n + Dx n

Bxn y n

Ex n

b) Diferencia de Cuadrados:

Cy 2n Fy n

+

EFxn y n + DGxn yn

Gy n

Bx n y n

A  B  (A  B)(A  B) 2

2

Son factores primos: x  4b 4

Ejemplo(1) factorizar:

2

 (Dxn  Fyn ) (Exn  Gyn )

Resolución: Se tiene :

x  2

2





  2b   x  2b x  2b 2

2

2

2

2

Ejemplo(2) factorizar: x  2xy  y  z




6a2 3a 2a

6

+

- 4b 2 4b -b

5ab

8ab + - 3ab 5ab

Resolución: Son factores primos. Se escribe así la expresión :

 

x  y  z3 2

2



 xyz

3

 (3a + 4b) (2a - b)

 x  y  z  3


c) Suma o Diferencia de Cubos

x8 x4

A 3  B3  (A  B)(A 2  AB  B2 ) Ejemplo factorizar :

x4

x4y4

- 6y 8 - 3y 4 2y 4

-3x 4 y 4 + 2x 4 y 4 - x4 y4

27x 3  8

Son factores primos:

Resolución:

 ( x 4  3y 4 ) ( x 4  2y 4 )

(3x)3  23  (3x  2)(9x 2  6x  4)

81

Álgebra



Para: x = 1  P(1) = 13  6 1  3 1  10 P(1) = 0 2

7. Método del Aspa Doble: Se emplea para factorizar polinomios de 6 términos, cuya forma general es:

Como: P(1) = 0  1 es un valor crítico de un polinomio

2 2 P  x; y   Ax F   Bxy   Ey   Cy   Dx    1º

2º

3º

4º

5º

6º

*

Determinación de los valores críticos de un polinomio

Donde x, y: son las variables 1. Procedimiento: 1.

2.

3.

Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general, defaltar algun término se completa con ceros

Ejemplo: P  x   x3  6x 2  3x  10  V.C.   1 ,  2 ,  5 ,  10

Se trazan dos aspas simples entre el 1er, 2do , 3er término y 3er, 5to y 6to término.

2.

Aspa de comprobación entre 1er, 4to y 6to término

5.

Se verifican las aspas, simples y el aspa grande. 6. Se toman los factores en forma horizontal Ejemplo: Factorizar:

3y

- 7

4x

2y

- 1

 Divisores de :2  1 , 2   V.C        Divisores de:5  1 , 5 

V.C =  1,  2 , 

la expresión factorizada es:  P(x;y) = (5x + 3y - 7) (4x + 2y - 1)

1 2 , 5 5

Procedimiento para factorizar:

08. Método de los divisor es binomicos: este método se aplica para factorizar polinomios de cualquier grado, que admiten factores de primer grado. *

Cuando el primer coeficiente es diferente a la unidad, además de lo anterior, se toman los valores fraccionarios que se obtienen de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente. Ejemplo: P  x   5x3  5x 2  2

P(x;y) = 20x 2 + 22 xy + 6y2 - 33x - 17y + 7 5x

Cuando el primer coeficiente es la unidad, se toman todos los divisores del término independiente con su doble signo.

Valor crítico de un polinomio (V.C.): Son todos los valores que puede tomar la variable de un polinomio y reemplazando en el polinomio hacen que su valor numérico sea igual a cero.

i).

Se halla, por lo menos un valor crítico del polinomio, calculando así un factor.

ii).

El otro factor se determina por RUFINNI, el polinomio a factorizar entre el divisor obtenido

iii). Se calcula tantos valores críticos como sea necesario. iv)

Para obtener los demás factores se divide por Ruffini cada valor crítico, en forma sucesiva, hasta obtener un cociente de segundo grado que nos permita aplicar aspa simple.

v)

Cuando los términos del polinomio son positivos sólo se prueban valores negativos.

Ejemplo: P  x   x3  6x 2  3x  10 Resolución:

82

Álgebra



Ejemplo factorizar: P(x) = x3  4x 2  x  6 Divisores de : 6   1 ;  2 ;  3 ;  6 V.C. Para : x =

1 x=1

1

1

 P 1  1  4 1  1  6 3

2

4

1

-6

1

5

6

5

6

0

cociente

P(1) = 0

x 2  5x  6 x 3

 x  1   x  1 es factor del polinomio.

Seguimos factorizando:

Luego por Ruffini:

 x 2  5x  6  x  3 x  2 

x

2

 x3  4x2  x  6  x  1x  3 x  2 

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 9 e indicar un factor primo

01. Factorizar cada uno de los polinomios: I. M  p2a  p2b  p2c 10 5

II. P  5a

7 8

11 9

b  10a b  25a b

b) x + 1 d) a - b - c

P  a;b   a  2a b  4ab  8b 3

2

2

2

b) a  2b

2

c) a + b

2



e) 2x 2  5

b) 7x

c) 5x e) 5x - 2

Indicar un factor primo.

b)  2x  5y 



d) x 2  2x  9

08. Factorizar: Q  x   x 4  10x 2  9

2

a) x + 9 d) 5x + 1

 4x  3y 2



c) x 2  3x  18 e) x + 3

a) 6x d) 5x + 1

e) a + 4b

a)  2x  8y 2

d) 4x 2  3y 2

b) x 2  3x  9

Dar como respuesta la suma de los factores primos.

3

04. Factorizar: M  4x 2  20xy  25y 2

c)

a) x 2  2x  9

07. Factorizar: P  x   6x 2  x  1

03. Indique un factor de:

a) a  b d) a + 2b

d) m2  8

E  x 3  27

F  x; a   a  x  1  b 1  x   cx  c

2

c) m2  7y

06. Factorice e indique un factor primo.

02. Factorizar e indicar un factor:

2

b) m + 1 - 7y

e)  m  7 2

III. E  3xy  3my  3xn  3mn

a) x + a + b + c c) a + b + c e) a + b - c

a) m + 2 - 7y



b) x - 9

c) x 2  3 e) 5x - 2

09. Factorizar: P  x; y   3x 2  xy  10y 2

2

05. Factorizar: E   m  12  49y 2

Indicar un factor primo. 83

Álgebra


a) 3x + 2y




P  x   2x 2  3x

c) 3x 2  y 2 e) 2x - 5y

b) 3x - 5y

d) x - 5y

a) 2x - 1 d) 2x + 1

10. Factorice e indique un factor primo:

Diaria



2





 14 2x 2  3x  45

b) 2x - 3

c) 2x + 5 e) 2x + 3

Semanal

01. Factorizar cada uno de los polinomios

06. Luego de factorizar: Q  27x 3  8y 3 Indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes

I. M  x 3 y  x 3 z  x 3 w II. P  4x 9 y 7  8x10 y 6  16x11 y 5 2

2

2

2

III. E  m x  m y  n x  n y 02. Factorizar e indica un factor:: E  m  x  2  n  x  2  p  2  x 

b) p + n

b) 73x 2  2y 2

d) 3x + 2y

e) 9x 2  6xy  4y 2

07. Factorizar: P  x   2x 2  11x  5 Dar como respuesta la suma de sus factores primos

e indica un factor a) mnp d) x + 2

a) 3x  5y 2 c) 3x - 2y

c) x - 4 e) m - n + p

a) 4x - 3 c) 3x - 6 d) 3x

03. Factorice e Indicar un factor primo

b) 4x - 2 e) 3x + 2

08. Factorizar: M  x; y   4x 2  27xy  18y 2

F  x; y   x 2 y 2  2xy 2  3x 2 y  6xy

Indicar un factor primo.

Indicar un factor primo a) x + 1 d) y + 2

b) x + 3

b) x 2  9

a) x - 6y

c) y + 1 e) y + 3

c) x 2  12

d) x 2  1

e) x 2  4

09. Factorizar: R  x   x 4  13x 2  36

04. Factorizar: H  x; y   16x 2  24xy  9y 2

Indicar un factor primo a)  4x  3y 2

b)  2x  5y 2

c)  4x  3y 2 d)  4x  y 2

e)  2x  3y 2

a) x - 3

d) x 2  9

b) x 2  12

e) x 2  4

c) x 2  1

05. Factorizar: R  x; y    x  4 2   y  2 2

10. Factorice e indique un factor primo:

Indicar la suma de los factores primos: a) 2x + 2y + 4 c) 2x e) 2x - 8



C(x)  x 2  6

b) 2x + 6 d) 2x - 4

a) x + 2 d) 3x + a 84



2





 3x x 2  6  10x 2

b) 2x - 1

c) 6x + a e) x 2  x  6 Álgebra

10

FACTORIZACIÓN FRACCIONES ALGEBRAICAS

01. Factorice e indique uno de los factores :

06. Factorizar:

M(x;y)  x3  y3  x 2 y  xy 2

P(x)  x3  2x 2  5x  6

Rpta : .......................................................

Indicar la suma de coeficientes de los factores primos.

02. Factorize y señale un factor primo:

Rpta : .......................................................

P  x  y  x(y  z)  y(x  z) 2

2

07. Simplificar:

Rpta : .......................................................

E

ax  bx  ay  by a2  ab

Rpta : .......................................................

03. Factorizar: F  (a  b  3)2  5a  5b  21 Indicar el producto de los términos independientes de sus factores.

08. Efectuar lo siguiente:

Rpta : .......................................................

P

04. Factorizar:

x 2  2x  35 x 4 y3  x5 y2 x 2  10x  25

Rpta : .......................................................

M( x)  (x  1)(x  2)(x  2)(x  5)  13

09. Reducir:

Indicar el número de factores.

E Rpta : .......................................................

a 1 a 1 2a2   2 a 1 a 1 a 1

Rpta : .......................................................

05. Factorizar:

P(x;y)  6x 2  7xy  2y 2  13x  7y  5

10. Reducir:

Indicar un factor primo

F Rpta : .......................................................

x2  x  2 x 2  7x  12  x 2  2x  3 x 2  6x  9

Rpta : .......................................................

85

Álgebra



Semanal

Diaria

06. Factorizar: P(x)  x 3  5x 2  2x  24

01. Indicar uno de los factores: M  a3  b3  a2b  ab2

a) a2 – 2b d) a4 + b4

b) a – b

Indicar el número de sus factores primos. a) 1 d) 7

c) 2ab e) a + b

b) 3

07. Simplificar:

02. Señalar un factor primo:

E F  m2  n2  m(m  p)  n(m  p)

a) m + p d) n + p

c) 5 e) 9

ac  bc  ad  bd a2  ab

Indicar su numerador.

b) m – n + p c) 2mn d) m + n + p

a) c + b d) a + b

b) a

c) b e) c + d

03. Factorizar: 08. Efectuar lo siguiente: F(x)  (x  x  1)  16(x  x)  23 2

2

2

P

Señalar que factor no pertenece a F(x). a) x – 3 d) x + 2

b) x – 1

c) x + 4 e) x + 1

x(x  2) a) y(x  1)

04. Factorizar:

d)

x 2  3x  2 x3 y2  x4 y x 2  4x  3

y(x  1) b) x(y  5)

c)

y(x  2) x(x  3)

x e) y

5x 3

N(x)  (x  2)(x  3)(x  2)(x  1)  3

09. Reducir: Indicar el término independiente de un factor primo obtenido. a) 5 d) 4

b) 2

c) – 5 e) 7 a)

12 2

a 1 d) 4

05. Factorizar:

Indicar un factor primo b) x – y + 1

b)

4 2

a 1

8 a 1 e) 8

c)

2

10. Reducir:

P(x; y)  5x 2  16xy  3y 2  11x  5y  2

a) x + 3y + 1 d) 2x + y + 5

1 4 3(a  1)  10   a 1 a 1 a2  1

P

E

c) x + 3y + 2 e) 5x + y + 6

2 a 1 d) 3 a)

86

a2  5a  6 a2  a  20  2 a2  a  2 a  3a  4

b)

3 a3

a2 a 1 e) 2 c)

Álgebra

11

RADICACIÓN ALGEBRAICA I Al finalizar el presente tema Ud. estará en la capacidad de:  Establecer las propiedades fundamentales de la radicación en el conjunto de los números reales  Simplificar y reducir radicales, operar expresiones irracionales, sean estas numéricas o literales  Extraer raíz cuadrada a polinomios.

Radiación, es la operación que consiste en hallar a una expresión llamada raíz, de modo que se cumpla que al ser elevada esta a un número llamado índice nos reproduzca la cantidad denominada subradical o radicando.

*

3

343  7

*

* 25 es un número imaginario porque no existe un número real "x" alguno, tal

x2  25

que : n

a  r

a=r

25  5

n

Clasificación de los Radicales Donde:

n = índice (Nº natural mayor que 1) a.

a = cantidad subradical o radicando r = raíz = símbolo radical

Radicales Homogéneos: son aquellos radicales que se caracterizan por tener el mismo índice. Es importante tener en cuenta las operaciones de multiplicación o división entre radicales homogéneos. Ejemplo :

Así : 3 8  2  23  8

3

x ; 3 ab ;

3

x 2 z  radicales homogéneos

Leyes de signos b. 1)

impar

Nº positivo = raiz positiva

2)

impar

Nº negativo = raiz negativa

3)

par

Nº positivo

Radicales Semejantes: son aquellos que se carecterizan por tener el mismo índice y además el mismo radicando. Es importante tener en cuenta que las operaciones de adición o sustracción sólo se pueden efectuar entre radicales semejantes.

= raiz 4

4)

par

*2 x ; 5

Nº negativo = no tiene ningún valor real

32  2

14 x  radicales 4

* 3 3 ab – 7 3 ab = – 4 3 ab

Ejemplos : 5

x ;

homogéneos

y se llama raíz imaginaria

*

4

*

9 3

87

Álgebra



Leyes de los Radicales (recordar)

Ejemplos :

a) Raíz de un producto:

n

n

x8 y3 z  x 2 4 y3 z

b)

3

16x4 y8  3 23.2.x3.x.y6.y2  2xy2 3 2xy2

n   y a; b  

donde:

c)

b) Raíz de una fracción: a  b

n

a

n

b

b  0  n   ; a;b  

m

n a      

n

am

2

3 4.3a2ab2b

3 2 = .32 ab 3ab = 6ab 3ab 3

Al introducir un factor en un radical se eleva el factor a introducir a una potencia igual al índice.

; r nr

3

243a3b3 =

IMPORTANTE: si hay números dentro de la raíz se descompone en sus factores primos, y se extrae el factor que tiene como exponente a un múltiplo del índice de la raíz.

IMPORTANTE am 

2

d) 3 27a3 (b  2c)  3a3 b  2c



c) Potencia de una raíz :

n

4

n

ab  a . b

n

a)

amr

Ejemplos : d) Raíz de raíz : a) 23 5  m n

a 

mn

a

a 

n m

5.23 

3

40

donde : m ; n

De aquí se deduce el siguiente artificio : m n

3

2 b) x 2 y 3 2xy 2 = 3

3

2 2   3 x y  

=

3

16x 7 y 5 27

a

Observa: al permutar el orden de los índices la igualdad no se altera.

3

 2xy  2

Operaciones con radicales 1. Suma y Resta: si los radicales no son semejantes la operación se deja indicada; si lo fueran, se separa al radical como factor común de todos los términos y se opera con los coeficientes.

Al extraer un factor en un radical, cada exponente se descompone (si es posible) en el producto de otras dos una de las cuales tiene por exponente el mayor múltiplo del índice contenido en el exponente inicial y se extrae el factor del radical con un exponente igual al cociente de dividir dicho exponente entre el índice.

•

Ejemplo 1 : Efectuar : 83 a  43 a  2 a  5 a

88

Álgebra


3. Potencia de un radical: basta con

123 a  3 a

Resolución

•


elevar la cantidad subradical o radicando al exponente al cual está elevado el radical.

Ejemplo 2 :

n a 

m

Efectuar : 35 x  y 5 x  2z 5 x 5

Resolución

n

 am

Ejemplos :

x  3  y  2z 

7

6 35 6 5  6 5 7 1.  a   (a )  a  

2. Multiplicación y División: si se trata de radicales homogéneos; se toma la raíz del mismo índice al producto o división de radicandos. Si tienen diferente índice se procede previamente a la homogenización.

•

5

2 3 5 10 15  2 3 2.  7 x y   7 (x y )  7 x y  

4. Raíz de un radical: En estos casos, se escribe la misma cantidad subradical afectada de un solo radical, cuyo índice será igual al producto de los índices de los radicales.

Ejemplo 1 : 3

Efectuar :

5x 2 y.3 2xy

Resolución :

3

•

m n

(5x 2 y)(2xy) 

3

10x 3 y 2

•

Ejemplo 1 Hallar la raíz séptima de: 3 x 2

Ejemplo 2 :

Resolución

Efectuar : 3m x 2 .3m y5 .3m x 2 y 2

73

Se pide:

Resolución :

3m 2 5 2 2

x y x y 

•

a mn a

x2 

7.3 2

21 2

x 

x

3m 4 7

x y

Ejemplo 3 : Efectuar

•

3 .3 2 .6 3

35 4

Ejemplo 2 Efectúe :

x

Resolución

Resolución: 35

Homogenizando índices se tendrá: 2.3 1.3 3.2 1.2 6

3

.

6

•

6

. 3 = 33 . 22 .6 3

2

6

= 33.22.3 =

6

x4 

3.5 4

89

15 4

x

Ejemplo 3

Efectúe:

324

x 

5

6

2 a 5b

Álgebra



Resolución x 4  6x3  x 2  32x  18 56

2a5b 

5.6.2

2a5b 

60

2a5b

x4

(2x 2  3x)3x  6x3  x 2

5. Raíz cuadrada de Polinomios

(2x 2  6x  5)( 5)

6x3  9x 2  10x 2  32x  18

Para extraer la raíz cuadrada a un polinomio, debe tenerse en cuenta las siguientes reglas:

10x 2  30x  25  2x  7   

1) El polinomio debe ser de grado par. 2) Se completa y ordena el polinomio con respecto a una sola letra o variable, en caso falte uno o más términos estos se completarán con cero. 3) Se agrupan los términos del polinomio de dos en dos, a partir del último término. 4) Se extrae la raíz cuadrada al primer término del polinomio, que será el primero de la raíz, luego este se eleva al cuadrado y el resultado se resta del polinomio. 5) Se "bajan" los dos términos siguientes del polinomio, seguidamente se baja y duplica la raíz encontrada, luego dividimos los primeros términos de los bajados entre el primer valor duplicado y el cociente encontrado será el segundo término de la raíz, y con su propio signo se adiciona y a la vez se multiplica por el valor duplicado de la raíz, para luego el resultado restarlo del polinomio. 6) Se baja el siguiente grupo de dos términos y se repite el paso anterior, tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado de la raíz, o en todo caso si la raíz es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo.

Luego raíz: x 2  3x  5 resto:

-2x - 7

6. Radical Doble: se denomina radical doble aquella que presenta la siguiente forma general:

n

Ejemplo:

A +5

B

24 ;

radical doble se puede descomponer en la suma o diferencia de dos radicales simples, bajo la siguiente fórmula:

Ejemplo 1 Encontrar la raíz cuadrada de: 3

11  120

Tr ansfor mación de radicales dobles a radicales simples: todo

A B 

4

x 2  3x  5

AC  2

A C 2

donde: C  A 2  B

2

x  6x  x  32x  18 Nota:

Resolución

A 2  B (Debe ser un cuadrado perfecto)

Verificando, el polinomio está ordenado y completo, luego procedemos de la siguiente manera:

Ejemplo transformar el radical doble a radicales simples:

90

3 8 Álgebra



ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante. Factor racionalizante (F.R.): es la expresión irracional que multiplicada por el denominador irracional lo convierte en una expresión racional

3C 3C 3 8   ; 2 2

Resolución:

donde: C  32  8  1  C  1 entonces: 3 

3 1  2

8 

3 1  2

a)

2 1

Racionalización de denominadores monomios: Si el denominador es de la forma m

Observación: Estos radicales dobles se pueden resolver dándole la forma de binomio procediendo la forma general:

a  b  2 ab  donde :



a b



2

 a  b a  b 

a

Ejemplo:

S = a + b (suma)

b)

Ejemplos:

bm  n

. En

m

bn



a m

.

bn

m

bm  n

m

bm  n

a m bm  n b



Racionalización de denominadores binomios: Cuando una fracción presenta un denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma dependerá del binomio original

Transformar el radical doble a radicales simples:



52 6

Denominador binomio de la forma: a

Resolución: 6 = 3.2 y 5 = 3 + 2 ; entonces: 52 6  3  2

2.

m

estos casos el factor racionalizante es conocido también como el conjugado del denominador.

P = a . b (producto)

1.

bn el factor racionalizante es

b

Denominador: a  b  F.R.  a  b Denominador: a  b  F.R  a  b

Transformar los radicales dobles a simples: a) 5 + 24 = 5 + 4.6

Ejemplos:

= 3 + 2 + 2 3.2 = 3 + 2

*

a b 

c

a



b 

c

b c

.

b c



a



b c



bc

b) 7 - 40 = 7 - 4.10

= 5 + 2 - 2 5.2 = 5 - 2

*

c ) 28 + 5 12 = 28 - 5 2 4.3



= 25 + 3 + 2 25.3 = 5 + 3

a b  c

b  c

.

b c b c



a



b c



bc

Denominador binomio de la forma: 3

Racionalización

a



a

3

b

Cuando los denominadores son binomios cuyos radicales resultan ser de índice tres los factores racionalizantes se obtienen así:

La racionalización, es la operación mediante la cual se transforma una expresión cuyo denominador es irracional en otra equivalente pero con denominador racional. Para esto se multiplican

Si denominador: 91

3

a  3b Álgebra


 F.R. :

3

a  ab  2

3

3

Si denominador:

3

b


2

2

3



4 5 3

a  3b 

 F.R.:

3

a2 

3

 2

Ejemplo:

3



4

3

2



3

3

 . 5  3

3

16  3 20  3 25

3

16  20 

4 . 5

16 

3

 25 

3

3

16  3 20  3 25 3

ab  3 b 2



2

3



3

20 

3

25



9

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 11 06. Hallar: B - A, en:

01. Calcular:

E

50 

72  18

8 

a) 6/5 d) 8/3

11  2 30 

2

a) 39 d) 68

b) 10/3

c) 1 e) 3/5

F  3 4 8 + 4 2

a) 0

b) 1

32 2

c)

d) 3 2

M=

a b

.

a b

.



13  2 42 

b) 4

7



2

c) 8 e) 6

08. Racionalizar y reducir:

2

1

A 

03. Reducir: 3 2 6

B

c) 38 e) 52

8  2 12 

a) 2 d) - 2

e) 2 2

3 7 2

b) - 38

A 

07. Efectuar:

02. Efectuar: I=2 8 -

9  2 18 

3 3

a b

3 3 3

3 2

a) -

3

d) 7

3

3



5 

b) 2



2

5

c)

3

3

e) 0

a b

09. Efectuar: a) a4b5

b) ab 2

c) a3b2

d) a6b7

M 

e) 2ab



4



2 1

4

2

8 6

a) - 2 d) 1

04. Efectuar: W  11  2 18  1 

1



b) 2

c) 4 e) 2  2

d) -2

p

d)

9 + 2 14 -

b) 2 2 2

2 

b) 2

2



1 2

c) -1 e) 0

4 2x 2 y 3

Dar la suma de las cifras signficativas de :

5+2 6 +

a) -1

1

se obtiene: m 4 nxp y ; m,n,p .

05. Efectuar: R =

6 2



4xy

10. Al racionalizar: a) 3

1



10 + 2 21

mn ; m  1

a) 4 c) 11 e) dos son correctas

c) 3 2 e) 0 92

b) 7 d) 5 Álgebra



Diaria

Semanal

01. Reducir la expresión:

E =

72 

0

. Hallar: B - A, en:

8  50

32 

a) 2 d) 1/6

6

15 - 2 54 +

b) 6/

a) 18 d) 61

c) 3/5 e) 3/4

b)

d) - 3

c) -

2

b) 37

c) 83 e) N.A.

07. Efectuar: M 

3 50 4 I = 2 18 2 + 4 - 3 2 2 2

2

A+ B

2

02. Efectuar:

a) 3

8 + 2 12 =



12 + 2 35 -

a) - 3 d) - 7

2

8 + 2 15 -

b) 3

7



2

c) 2 e) 9

e) 0

2

08. Racionalizar y reducir:

03. Reducir: 5 3

M=

5 4 2

a b .

a b

.

5 3 2

A =

a b

5 5 10

1

2

+

2+ 2

-

6- 2

6 2

a b

a) a d) a/b

b) 2b

a) - 1 d) 2

c) ab e) ab²

b) 0

c) - 2 e) 1

09. Efectuar: 04. Efectuar:



T  12  2 27  1 

a) 1 d) 7

b) 4

4



3 1

4

3

F =

 a) 1

c) 6 e) 9

a) 3 d) 4

5 -

-

3

3 5+ 2

b) 0

-

c)

d) 2 2

05. Efectuar: Q =

2

1 3 +

2

2

e) - 2

10. Racionalizar:

8 + 2 15 - 12 - 2 27 -

b) -1

32 + 2 135 +

3

c) -3 e) N.A.

P=

3 5

27a2b

Indicar el denominador racionalizado a) 9a4b5 d) a2b3

93

b) 3

c) ab e) 6ab

Álgebra

12

RADICACIÓN RADICALES DOBLES RACIONALIZACIÓN

06. El valor de la siguiente expresión:

01. Efectuar:

K  3 8x 4  3 2x 5  3 4x 3

2 2  3 2 3    3  3  1 3  1 

M

Rpta: ............................................................ Rpta: ............................................................ 02. Simplificar: 07. Efectuar:

R

x  x2  4  x  x2  4 R

3  2 2  17  2 72  19  2 18

Rpta: ............................................................ Rpta: ............................................................ 03. Reducir:

P

08. Sabiendo que:

a3  3 a5  8 a7 24

a

11  2 30  9  2 18 

Rpta: ............................................................

Calcular: a4 + b4 Rpta: ............................................................

04. Calcular el valor de:

M



5

2 .

a b

5

3 .

10

09. Efectuar:



5

7

M

Rpta: ............................................................

1 8 6



1 6 2



1 2 2



1 2

Rpta: ............................................................

05. Reducir:  1  1  1  F 3   2    6  3  2  6 

10. Racionalizar: F

3 3

732

Rpta: ............................................................ Indicar el denominador racionalizado.

94

Álgebra



Diaria

Semanal

01. Efectuar:

06. Reducir:

P  5 2a3  5 4a4  5 4a3 a) 16a3 d) 4a5

b) 32a10

M

c) 2a2 e) 4a3

3  3 1 3  1    2  2  3 2  3 

a) 2 2

b) 3 2

c)

d) 2 6

02. Simplificar:

15

e) 3 5

07. Efectuar:

E

x x 9  x x 9 2

a) 1 d) 4

2

b) 2

J

c) 3 e) 5

a) 2 d) – 3

03. Reducir: 6

P=

32 2 

a5 

3

a2 

12

3

a

4

52 6 

b) – 1

c) 1 e) – 4

08. Calcular: A + B

a3

13  2 22  14  2 33 

a24

a) d) a2

b)

a12

7  2 12

c) d) a36

A B

a5

a) 5 d) 7

b) 1

c) 8 e) 3

04. Calcular el valor de: 09. Reducir: M

a) 5 6 d)



7

b)

3 . 7 5 . 14 2

2



7

F

c) 2 15 e) 3 10

30

2 5 3

a) 1 d) 2

05. Reducir:

3



5 2

b) 0



1 3 2

c) 2 2 e) – 2

10. Racionalizar: 1  1   M 2    10   5  2  5  

a) 3,4 d) 3,7

b) 3,5

1   10 

P

c) 3,6 d) 3,8

3 3

10  1

Indicar el denominador racionalizado a) 1 d) 6

95

b) 2

c) 3 e) 9

Álgebra

13

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1º GRADO Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:  Determinar la resolución de una ecuación algebraica dentro del conjunto de los números reales.  Exponer con relativa amplitud las diferencias cualitativas respecto a la resolución de ecuaciones polinomiales.

Se denomina ecuación a igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas "incógnitas" y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Discución de la raíz solución

Las incógnitas se representan con las últimas letras del alfabeto:

Si: a  0; b  R  x 



0 Si: a  0; b  0  x  ; "x" admite cualquier 0 valor por lo tanto la ecuación es "Compatible Indeterminada"



Si:

x , y , z , u , v , ..............

x  7  10

Así:

se observa que la igualdad se verifica sola para x = 3; en efecto si sustituimos la "x" por "3" tenemos: (3) + 7 = 10 ; osea : 10 = 10

b ; "x" no admite 0 ningún valor, por lo tanto la ecuación no tiene solución, entonces es una ecuación "Incompatible o Absurda" a  0; b  0  x 

Resolución de ecuaciones: Se siguen los siguientes criterios:

A una ecuación de 1er grado también se le llama "ECUACIÓN LINEAL" cuya forma general de representarla es:

1.

ax + b = 0

2. donde: 3.

: es la incógnita  x   a y b : son los coeficientes

4. Su solución viene dada por:

x=

b es una ecuación a "Compatible Determinada"



Si a los miembros de una ecuación se le suma o se le resta una cantidad determinada, la igualdad se mantiene. Se puede suprimir 2 términos idénticos que figuren al mismo tiempo en los 2 miembros de una ecuación. Se puede trasladar un término de un miembro a otro con tal que se cambie el signo, y la igualdad se mantiene. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una cantidad determinada la igualdad se mantiene.

b a

96

Álgebra



PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 13 13 01. Resolver cada una de las ecuaciones:

06. Resolver :

I. 3(x + 2) - 5(4 - 7x) = 8 II. 3x  ( 2x  4)  11x  4 III. 5x + 3 (x - 1) = 4 (x - 2) IV. 3(2x  1)  5(2  x)  2(x  1)

3(x  2)  2(x  2)  x(1  2)  4x  8

a) –8 d) 8

b) 16

c) 33 e) –25

V. x  3  4(x  5)  2(1  2x)  9 07. Hallar "x" en cada caso: 02. Hallar : x I. 2  3x    8  2x     2x

2x – (x  3)  5(x  1)  7(x  3)

a) 3/4

b)

19 3

d) 6

II. x  5  3x  5x  (6  x)  3

c) 4 e) 5/2

08. Resolver :

03. Resolver :

3x – 1 – (x – 4) –  2(x – 3) – 3(1 – 2x) = x – 2

23x  17(x  3)  8(1  5x)  59

a) 7 d) –3

b) 0

a) 1 d) 4

c) –2 e) 2

2(3x – 3) – 4(5x – 3) = x(x – 3) – x(x + 5)

5(2x  1)  4(5x  2)  19  2(x  12)

b) 1

a) –8 d) 15

c) 7/9 e) –1/6

b) 1

c) 3 e) 4

10. Resolver :

05. Hallar "x" en cada caso:

x  a2  a2  (b  c)2   b2  x  c 2  

I. 2(2 – 3x) – 3(3 – 2x) = 4(x + 1) + 3(4 – 5x)

a) ac d) a + b

II.

c) 3 e) 5

09. Hallar: "x"

04. Resolver :

a) 8/9 d) 4/5

b) 2

b) bc

c) 0 e) b + c

4x - (3x + 9) = x + 2 - (2x - 1)

97

Álgebra



Diaria

Semanal

01. Resolver cada una de las ecuaciones: I)

06. Resolver : 5(x  3)  3(x  3 )  x(1  3 )  2x  6

4(x  1)  2x  3  11

II) x  1  3(x  1)  1  x

a) 10 d) 17

III) x  (2x  1)  8  (3x  3)

b) 12

c) 16 e) 25

07. Hallar: "x", en la ecuación:

IV) 43  2x  8(x  3)  39

6x  (2x  1)   5x   (2x  1)

02. Hallar: x 5(2x  1)  3(x  3)  3x  6

a) 2 d) 5

b) 7

y encontrar: 1 

c) 18 e) 4

a) 5 d) 3

x2 2 b) –2

c) 0 e) 1

03. Resolver : 08. Resolver en cada caso: x  3  4(x  5)  2(1  2x)  9

a) 1 d) –12

b) 0

I. 9x – (5x + 1) –  2 + 8x – (7x – 5) + 9x = 0

c) 2/5 e) 4/7

II. 5(x - 1) - 4(x - 2) = 3(x - 3) - 2(x - 4) + 4

04. Resolver: 09. Resolver en cada caso: 5(x  1)  16(2x  3)  3(2x  7)  x

I. x(x - 8) + 9x + 10 = x (x - 7) + 90 a) 2 d) –1

b) –2

c) 1 e) 4

II. x(x  7)  6x  3  x(x  1)  23

05. Resolver en cada caso:

10. Resolver :

I. 7(18  x)  6(3  5x)  (7x  9)  3(2x  5)  12

x  m2  m2  (n  p)2   n2  x  p2  

II. 7(2x - 5) - (4x - 11) = 9(x - 6) + 29 a) m + n d) np

98

b) pm

c) nm +1 e) m – n

Álgebra

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1º GRADO

14

( CASOS DIVERSOS ) Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:  Despejar la variable "x"; previamente eliminando signos de colección.  Hacer uso de la resolución de ecuaciones con coeficientes racionales

01. Hallar "x" en cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 9 d) 6

b) 11

c) 12 e) 8

07. Resolver:

a) 2 ( x + 3) = 5 (x – 1) – 7 (x – 3) b) 9x – (2x – 1) = 7x – (3 - 5x) + (24 – x)

x2 x3 x4 x5     2 3 4 5

c) x – [ 5 + 3x – { 5x – (6 + x)}] = 3 d) 16x - [ 3x -(6x - 9x)] = 30 + [-(3x + 2) -(x+ 3)]

a) 0 d) 1/4


II. (2x + 3) (3x + 1) = 6  x 2  x  1  26

(x–a)(x–1) = (x–b)(x–2)

03. Resolver:

a)

2b  a 1 a  b

d)

a  2b ab

I. ( x + 3 ) ( x – 3 ) – 2 ( x – 13 ) = x² + 16 II. (x + 6) (x - 2) + 16 = x (x + 8)

ba 1 a  b

c)

ba ab

e)

ba a  b 1

(a  x)2  a(a  1)  x 2  a2

I. ( x  2 )2  x  2x 2  ( x  2 )2 II.  x  2   3  x 2  17 2

a)

a2 2

d)

a 1 2


2x x 7   5 10 4 

b)

09. Resolver "x"

04. Hallar "x" en cada caso:

x

c) 3 e) –2

08. Hallar "x"

I. (8x – 2) (3x + 4) = (4x + 3) (6x – 1)

I. 3x 

b) 2

b)

a –1 2

c)

a 1 a

e)

2a – 1 2

c)

2m  n m

10. Resolver para "x"

2x

 1 II. 8   7   5 5 

mx  m 3mx 2  n n

06. Resolver en cada caso: I.

2x  3 x2 x   1 2 3 2

x 4 II. 2  8  13 5

99

a)

m  2n 2m

d)

m  2n 3

b)

mn 2

e) m – n

Álgebra



Diaria

Semanal

01. Hallar "x" en cada una de las siguientes ecuaciones:

06. Hallar "x"

5x  2 3x  4 7x  5   2 3 4

a) 3 ( x – 2 ) + x = 2x – 4 b) 7 ( x – 3 ) = 9 ( x + 1 ) – 38 c) 9x – ( 5x + 1 ) = { 2 + 8x – ( 7x – 5 ) } + 9x d) 2x – 7 [ 2x + 4 – 3(x + 2) ] = 3x – ( –x – 8 )

a) 1/3 d) -13/3

c) 7/8 e) 7/2

07. Hallar "x"

x 1 x2 x3 x4    2 3 4 5

02. Si al resolver la ecuación: ( 2x + 3 ) ( 3x – 5 ) = ( 6x – 1 ) ( x + 2 )

a) 67/53 d) 5/7

a Se obtiene la fracción irreductible: b

b) 60/31

c) 27/13 e) 3/7

08. Hallar "x" si:

Hallar: a + b a) –1 d) 13

b) -12/13

b) –3

( x + a ) ( x - 1 ) - 2a( a - 1) = 2a( x - a ) + x2

c) –23 e) –10

a) a

03. Determine "x" en cada caso:

d)

b) - a

c) 2a

a1 a

e) a - 1

I. (x - 5) (x + 3) + 2 = x2 - 5x+ 3 09. Resolver para "x" II. ( x - 2 ) ( x + 2 ) - 3 ( x - 7 ) = x² + 25 (x  a)2  (x  a)2  4 (x  3a)  4x

04. Determine "x" en cada caso: a) 1 d) 4

I. (x  1)2  (x  2)2  (x  3)2  x 2  6 II.  x  1   x  2   2x 2  3 2

b) 2

c) 3 e) 6

2

10. Hallar "x"

05. Determine "x" en cada caso:

I.

2x x 1 x    3 2 4 2

II.

3x 17  2 4



ax  a 3ax  2  b b

3 x  4 2

100

a)

a  2b 2a

d)

5a  b b

b)

a  2b a

c)

2a  b 2

e)

3a  b 2 Álgebra

15

ECUACIONES CUADRÁTICAS • Reconocer las ecuaciones cuadráticas a x 2  b x  c  0 , las cuales tienen en su formación características y propiedades inherentes bastante usuales en la resolución de ecuaciones. • Aplicar los métodos de solución de tal manera que nos conlleve a las raíces de la ecuación.

Ecuaciones de segundo grado Por fórmula general:

Concepto: Llamada también ecuación cuadrática, es aquella ecuación polinomial que tiene 2 raíces y que tiene la forma: 2

ax  bx  c  0

; a0

–(2)  (2)2 – (4)(1)(–2) 2(1)

x

–2  12 –2  2 3  2 2

 x  –1  3  1 x  –1  3   x 2  –1– 3 

Observación: Será ecuación cuadrática mónica, siendo: a =1 ;ó sea: x 2  bx  c  0



a; b; c  son los coeficientes x a  es la incógnita

Donde:

x

 CS. –1 – 3 ; – 1  3

Una ecuación cuadrática se puede resolver factorizando o aplicando la siguiente fórmula general:



Análisis de la Discriminante Sea: ax 2  bx  c  0

b  b2  4ac x 2a

   b2 – 4ac ; (discriminante)

•

donde:   b2  4ac , se llama discriminante.

Si:  > 0 ; las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación :

•

o iguales (raíz única)

1x 2  2x  2  0  a

 b

Si:  = 0 ; las raíces de la ecuación son reales

 c

•

Si:  < 0 ; las raíces de la ecuación son complejas y conjugadas.

Resolución: Identificando: a = 1 ; b = 2 ; c = - 2 101

Álgebra



Propiedades de las raíces:

Reconstrucción de una Ecuación de 2° grado

Sean: "x1" y "x2" las raíces de la ecuación:

Siendo x x y x 2 ; las raíces de una ecuación de 2° grado, se define:

ax 2  bx  c  0; a  0

Sr  x1  x 2 (suma de raíces) Se puede propiedades :

establecer

las

siguientes

Pr  x1 x2

(producto de raíces)

Entonces dicha ecuación será: a) Suma de raíces:

x 2   Sr  x  Pr   0

b x1  x 2   a

Ejemplo: b) Producto de raíces: x1 . x 2 

Formar una ecuación de 2° grado sabiendo que sus raíces son:

c a

3  5  y 3  5 

Resolución: c) Diferencia de raíces: Sean : x1  3  5 y x 2  3  5 x1  x 2 

 a

Calculamos: Sr  3  5  3  5  6

d) Cociente de raíces:

2

Pr  (3  5 )(3  5 )  32  5  4

x1 b    x2 b  

Luego la ecuación será: x 2  6x  4  0

Rpta.: Tener en cuenta:



Si las raíces son simétricas se cumple que:

x1   x2





Propiedad: Si las ecuaciones:

Si las raíces son recíprocas se cumple que:

e1 : ax 2  bx  c  0 ; a  0

x1 . x 2  1

e2 :mx 2  nx  p  0 ; m  0

A su vez:

1 1 b  – x1 x 2 c

Tienen las mismas raíces o son equivalentes; entonces se cumple: a b c   m n p

102

Álgebra



PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 15

01. Resolver las siguientes ecuaciones señalando el conjunto solución "C.S.".


2 4  5 x 1 x

2 I. x – 3x – 28  0

Indicar la menor solución:

2 II. 2x – 7x  3  0

III. 12x 2 – 4x – 1  0

4 5 d) –1 a) –

02. Resolver las siguientes ecuaciones señalando el conjunto solución:

b)

5 4

c) 2 e) 1/2

07. Resolver:

I) x2  49 II) x2  9x

2x 4  5 x –1 x  2

III) 4x 2  –25x 03. Resolver las siguientes ecuaciones empleando la fórmula general: I) x 2  7x  5  0

Indicar una solución: a) –1/2 d) 7

b) 6

c) 5/6 e) 2

08. Indicar la solución de: II) x 2  2x – 1  0

x  5x  1  7

04. Resolver: a) –15 d) 9

 2x – 3 2  23   x  5 2

b) 7

c) 1/3 e) 7

a) 6 : 7 : 8 d) 5 : 6 : 7

05. Resolver: 3x  x – 2  –  x  1 x – 13   13

a) 3 d) 2

b) –3

c) 3 e) 6

09. Hallar 3 números consecutivos de modo que el mayor entre el menor sea igual a los 3/10 del intermedio.

Indique la mayor solución: a) 70 d) 1/3

b) 4

b) 7 : 8 : 9

c) 4 : 5 : 6 e) 8 : 9 : 10

10. La longitud de un rectángulo excede al ancho en 12 m. Si cada dimensión aumenta en 3 m: su superficie es igual a 133. ¿Cuál es el área inicial del rectángulo?

c) 5 e) –2

a) 60 m2 d) 64

103

b) 50

c) 65 e) 72

Álgebra



Diaria

Semanal

01. Resolver las siguientes ecuaciones sseñalando el conjunto solución "C.S.".


x – 2 2x – 3  1 10 x5

2

a) x – 3x – 28  0 b) 2x 2 – 9x – 11  0

Indicar la menor solución:

c) 5x 2 – 13x  6  0 02. Resolver las siguientes ecuaciones señalando el conjunto solución:

a) 5 d) –5

b) –18

c) 18 e) 16

07. Resolver: a) x2  64

8x 5x – 1  3 3x  5 x  1

b) x 2  7x c) 9x 2  –16x

Indicar una solución: 03. Resolver las siguientes ecuaciones empleando la fórmula general. a) x 2  5x – 2  0

a) 10 d) 7

b) –10/7

c) 10/7 e) –1

08. Indicar la solución de:

b) x 2 – 3x  1  0 x  4x  1  5

04. Resolver: a) 1 d) 4

 5x – 4 2 –  3x  5  2x – 1  20x  x – 2   27

b) 6

c) 2 e) –1

a) 2 d) 3

05. Resolver: 2x  5x – 1 – 7  x – 2    x  4 

b) 2

b) 6

c) 15 e) 9

10. Un terreno rectangular mide 40 m de largo por 26 m de ancho. Si en ambas dimensiones aumentamos "x" metros de modo que el área aumenta en 432 m2. ¿Cuál es el valor de x?

2

Indique la menor solución: a) –1/9 d) 3/2

c) 3 e) 5

09. El producto de 2 números consecutivos es 7 unidades más que el siguiente consecutivo. Hallar el número menor.

Indique la mayor solución: a) 7 d) 5

b) 2

c) 1/9 e) 2/9

a) 5 d) 6

104

b) 7

c) 8 e) 9

Álgebra

24

ECUACIONES DE 2DO. GRADO (II)

Aplicando propiedades 01. Hallar la suma de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) 4x 2  3x – 7  0

07. Forar una ecuación de 2do. grado cuyas raíces son:

x1 

b) 3x 2 – 7x  9  0

6 4 y x2   5 5

c) 5x 2  10x  3  0 a) 25x 2 – 10x – 24  0

02. Hallar el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) 3x 2  x – 9  0

b) 5x 2 – 20  0 c) 4x 2  x – 2  0

b) 7x 2  6x  1  0

d) 5x 2  x – 3  0

c) x 2  4x  10  0

e) 3x 2 – 2  0

03. Sea la ecuación cuadrática:

m  6  x2 – 2mx  10  0

08. Formar uuna ecuación de 2do. grado cuyas raíces son:

Si la suma de sus raíces es 2/3. Hallar "m". a) 1 d) 8

b) 2

x1  3  5 y x 2  3 – 5

c) 3 e) 10

a) x 2  5x  6  0

04. Sea la ecuación cuadrática:

 2n – 5  x2 – 8x  3  0

b) x 2 – 6x  4  0 c) x 2  x – 2  0

8 Si la suma de las raíces es . Hallar "n" 5 a) 5 d) 9

b) 6

d) x 2 – 6x  9  0 e) x 2 – 3x  6  0

c) 7 e) 10

09. Hallar un número sabiendo que su cuadrado es igual al sextuplo del número, disminuido en 5.

05. Si una de las raíces de la ecuación:

5x 2 – 2nx  n – 2   0

a) 3 d) 9

es: 2 hallar el valor de "n". a) 1 d) 7

b) 6

x2 x 3 –  5 2 10

06. Formar una ecuación de 2do. grado cuyas raíces son: x1  –3 y x 2  10 b) x 2  x – 2  0

c) x 2  7x – 15  0

d) x 2 – 7x – 30  0

c) 5 e) –1

10. Resolver:

c) 4 e) 10

a) x 2  4x – 30  0

b) 4

Indicar la menor raíz. a) 7/2 d) 5/2

e) x 2  6x – 5  0 105

b) 3

c) –1/2 e) N. A. Álgebra



Aplicando Propiedades Semanal

Diaria 01. Hallar la suma de las raices de las siguientes ecuaciones: a) 4x 2 – 8x  6  0 2

b) 7x  20x – 1  0 c) x 2  4x – 3  0

06. Formar una ecuación de 2do. grado cuyas raíces son: x1  –5 y x 2  8 a) x 2  3x – 40  0

b) x 2 – 3x  40  0

c) x 2 – 3x – 40  0

d) x 2  13x  10  0

e) 2x 2 – 5x  3  0

02. Hallar el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:

07. Formar una ecuación de 2do. grado cuyas raíces son: x1 

a) 3x 2  6x  12  0

2 7 y x2  – 3 3

b) 8x 2  x  1  0

a) 5x 2 – 6x  3  0

c) 3x 2 – 7x – 6  0

b) 9x 2  15x – 14  0 c) 3x 2  5x – 7  0

03. Sea la ecuación de 2do. grado:

d) 9x 2 – 5x  6  0

 2n – 3  x2 – n – 1 x  12  0 Si la suma de las raíces es : w

e) 5x 2 – 3x  9  0

2 . Calcular 3

08. Formar una ecuación de 2do. grado cuyas raíces son: x1  2  3 y x 2  2 – 3

"n". a) 0 d) 3

b) 1

c) 2 e) 2/3

m  4  x2  7x   2m  3   0

c) 2x 2 – 3  0

d) x 2  4x  2  0

09. Hallar un número, tal que su cuadrado es igual al quíntuplo de dicho número, disminuido en 6.

Si el producto de raíces es : 7. Calcular "m". b) 7

b) 2x 2 – 6x  2  0

e) x 2 – 4x  1  0

04. Sea la ecuación de 2do. grado:

a) 6 d) –5

a) 3x 2 – 4x  1  0

a) 3 d) 14

c) 8 e) 12

7x 2 –  2n – 1 x  6  0

x2 x 3 – – 7 2 14

Calcular: "n" b) 3

c) 9 e) 90

10. Hallar una de las soluciones de la ecuación:

05. Si una de las raíces de la ecuación es: 2

a) 2 d) 6

b) 7

a) –1/2 d) 7

c) 5 e) 9 106

b) –3

c) 1/2 e) 1/7 Álgebra

Álgebra 201 Sel. Sec

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