Otpornost materijala 1
1. Zadatak
ZADATAK: U točki A čelične konstrukcije postavljena su tri osjetila za mjerenje deformacija prema slici. Pri opterećenju konstrukcije izmjerene su relativne normalne (dužinske) deformacije:
y
c
b (n) (n)
b
-5
εa = 50·10 = εx -5 εb = 30·10 -5 εc = -65·10
c
A
a
a (x) x
Treba odrediti smjer i veličinu glavnih naprezanja, ako je modul elasti čnosti E = 2·10 5 MPa a Poissonov koeficijent ν = 0,3, analitički i grafički odrediti vektor punog (totalnog) naprezanja naprezanja na ravninu čija normala s osi x zatvara kut od 60°. RJEŠENJE: Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: cos 2 ϕ + ε y sin 2 ϕ + ε xy sin 2ϕ ,
ε n = ε x
gdje je
ϕ = ∠( x, n)
što bi za naš slučaj dalo za smjer a i smjer b dvije jednadžbe: ε b = ε a
cos 2 60° + ε y sin 2 60° + ε xy sin( 2 ⋅ 60°)
(1)
ε c = ε a
cos 2 120° + ε y sin 2 120° + ε xy sin( 2 ⋅120°)
(2)
koje čine sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice ( ε y i ε xy ). Rješenjem tog sustava jednadžbi dobivamo: ε xy =
54,85 ⋅ 10 −5
ε y = −40 ⋅10
−5
Posmične deformacije su pozitivne što zna či da dolazi do smanjenja pravog kuta izme đu osi x i y za vrijednost γ xy = 2 ⋅ ε xy = 1,097 ⋅10 −3 rad = 0,06285 ° = 0°3'46' ' Sada možemo odrediti normalna napreznja u smjerovima x i y te posmično naprezanje σ x =
σ y =
E 1 −ν
2
E 1 −ν
2
(ε x
(ε y
+ ν ⋅ ε y ) =
+ ν ⋅ ε x ) =
τ xy = G ⋅ γ xy = G ⋅ 2 ⋅ ε xy =
2 ⋅10 5 1 − 0,3
2
2 ⋅10 5 1 − 0,3 E 1 +ν
2
(50 ⋅10 −5
− 0,3 ⋅ 40 ⋅10
(−40 ⋅10 −5
⋅ ε xy =
2 ⋅10 5 1 + 0,3
−5
+ 0,3 ⋅ 50 ⋅10
⋅ 54,85 ⋅10
−5
τ xy :
) = 83,52 MPa
−5
) = −54,95 MPa
= 84,38 MPa
gdje je G =
E 2(1 +ν )
1/5
Otpornost materijala 1
1. Zadatak
Tim vrijednostima je određeno stanje naprezanja u točki. Iz njih možemo dobiti veli čine i smjerove glavnih naprezanja: σ 1, 2 =
σ x + σ y
±
2
1
(σ x
2
2
− σ y ) +
2 4 ⋅ τ xy
=
83,52 − 54,95
±
2
1
(83,52 + 54,95) 2
2
+
4 ⋅ 84,38 2
σ 1, 2 = 14,29 ± 109,15 σ 1 = 123,44 MPa ;
σ 2 = −94,86 MPa
Smjer glavnih naprezanja i smjer glavnih deformacija je jednak, a može se odrediti iz izraza: tg 2ϕ 0
2 ⋅ τ xy
=
=
σ x − σ y
2 ⋅ ε xy ε x − ε y
= 1, 21874
⇒
ϕ 0 =
25,31°
Time nije definirano je li to smjer prvog ili drugog glavnog naprezanja. Da bi odmah odredili smjer prvog i drugog glavnog napreznaja možemo upotrijebiti izraze: τ xy 84,38 = = 0,473 ⇒ ϕ 01 = 25,31° = 25°19' tg ϕ 01 = σ 1 − σ y 123,44 + 54,95 tg ϕ 02
τ xy
=
84,38
=
− 94,86 + 54,95
σ 2 − σ y
= −2,114 ⇒ ϕ 02 = −64,68° = −64°41'
Kontrola: Zbroj normalnih naprezanja na dvije okomite ravnine (prva invarijanta naprezanja) je konstantan:
Glavna napreznaja leže na dva međusobno okomita pravca:
σ 1 + σ 2 = σ x + σ y
ϕ 01 + ϕ 02 = 90°
123,44 − 94,86 = 83,52 − 54,95 28,58 ≈ 28,57
25,31° + 64,68° = 90° 89,99° ≈ 90° y
y
1
y 2
yx 1
A
xy
x
x
A
x
x
1 2
xy
yx y
2
Sl.1: Stanje naprezanja u to č ki A
Sl.2: Glavna naprezanja u to č ki A
NAPOMENA: Moguć je i postupak da se prvo odrede veličine i smjerovi glavnih deformacija njih odrede veličine glavnih napreznja: σ
1
=
E 1 −ν
2
(ε 1 +ν ⋅ ε 2 ) ,
σ 2 =
E 1 −ν 2
ε 1 , ε 2
i
0
iz
ε xx , ε yy i ε xy
pa se iz
(ε 2 + ν ⋅ ε 1 ) . Smjer glavnih naprezanja
jednak je smjeru glavnih deformacija.
2/5
Otpornost materijala 1
1. Zadatak
Određivanje vektora punog (totalnog) naprezanja na ravninu čija normala s osi x zatvara kut od 60°: 2
y
2
σ n = σ x cos ϕ + σ y sin ϕ + σ xy sin 2ϕ σ n = 52 ,74 MPa
n t
n
n
x
τ nt =
σ y − σ x
x
A
sin 2ϕ + τ xy cos 2ϕ
2 τ nt = −102 ,15 MPa
xy
nt
yx y
ρ n =
2
2
σ n + τ nt = 114 ,96 MPa
GRAFIČKO RJEŠENJE
Konstrukcija Mohrove kružnice: U koordinatnom sustavu odre đujemo položaj točaka Nx (σx,τxy) i Ny (σy,τyx). Vodimo ra čuna o predznaku posmi čnih naprezanja (posmična naprezanja su pozitivna ako vanjsku normalu rotiramo u smjeru kazaljke na satu da bi se poklopila sa smjerom posmi čnih naprezanja). Dužina NxNy promjer je na kojem konstruiramo Mohrovu kružnicu naprezanja. y τ
y
n
r
yx
τ n > 0
+
xy x
A
N y ( σ y ,τ yx )
n
x
r
xy
yx
τ n < 0
-
y
τ yx
σ
0
S
τ xy
N x ( σ x ,τ xy ) σ y
σ x =
83 ,5 MPa
σ x + σ y
2
3/5
x
Otpornost materijala 1
1. Zadatak
Određivanje pola Mohrove kružnice: Kroz to čku Nx provlačimo paralelu s normalom x, a kroz točku Ny provlačimo paralelu s normalom y. Te se paralele sijeku na Mohrovoj kružnici u točki koja odre đuje pol Mohrove kružnice. Ako kroz pol povu čemo bilo koju normalu, druga točka u kojoj ta normala sije če Mohrovu kružnicu naprezanja definira normalno i posmično naprezanje na ravninu čija je to normala. τ
N y ( σ y ,τ yx )
τ yx
σ
0
S
τ xy
P
N x ( σ x ,τ xy ) σ x =
σ y
83 ,5 MPa
σ x + σ y
2
Određivanje iznosa i smjera glavnih naprezanja: Točke N1 i N2 u kojima Mohrova kružnica naprezanja siječe os apscisu određuju veličine glavnih naprezanja (posmi čna naprezanja tj. ordinate tih točaka jednake su 0), a spojnice to čaka N1 i N2 s polom odre đuju smjerove glavnih naprezanja. τ
N y ( σ y ,τ yx )
τ yx
2
τ max σ 2
1 σ 1
N 2 ( σ 2 ,0 ) 0
S
σ
N 1 ( σ 1 ,0 )
2ϕ 0
τ xy
ϕ 0
P
N x ( σ x ,τ xy ) σ y
σ x =
83 ,5 MPa
σ x + σ y
2 σ 2 = −94 ,9 MPa
σ 1 = 123 ,4 MPa
4/5
Otpornost materijala 1
1. Zadatak
Određivanje normalnog i posmi čnog naprezanja na ravninu sa normalom n koja s osi x zatvara kut od 60°: Kroz pol Mohrove kružnice povla čimo paralelu s normalom n. Koordinate druge točke u kojoj taj pravac sije če kružnicu određuju veličine normalnog i posmi čnog naprezanja na ravninu s normalom n.
y r
n
r
τ
σ n
σ n
σ y τ yx
τ nt
N y ( σ y ,τ yx )
τ yx
2 τ nt
ρ n
σ 2
1 σ 1
N 2 ( σ 2 ,0 ) 0
S
σ
N 1 ( σ 1 ,0 )
2ϕ 0
τ xy
60°
τ xy
ϕ 0
r
N x ( σ x ,τ xy )
P
σ y
σ x =
σ x
83 ,5 MPa
σ x + σ y
2 σ 2 = −94 ,9 MPa
σ 1 = 123 ,4 MPa
5/5
