Bab 2
2.1
Distribusi Survival dan Tabel Mortalitas
Distribusi Survival
Meninggalnya seseorang merupakan sesuatu yang pasti terjadi namun kapan terjadinya tidak dapat diprediksi. Karena itu, ketahanan hidup (survival ) seseorang sampai ia meninggal dapat dianggap sebagai variabel acak. Distribusi dari variabel acak ini disebut distribusi survival. Distribusi survival dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi distribusi F (x) atau fungsi survival s(x). 2.1.1
Fungsi distribusi dan fungsi survival
Misalkan X menyatakan usia meninggal (berarti X ≥ 0). Fungsi distribusi atau CDF dari X adalah fungsi F (x) = P (X ≤ x),
(2.1)
dan fungsi survival atau SDF (survival distribution function) dari X adalah fungsi s(x) = 1 − F (x) = P (X > x)
(2.2)
Nilai F (x) dapat dibaca ”peluang seseorang meninggal paling tua pada usia x” dan s(x) dibaca ”peluang seseorang masih hidup di usia x”. Sifat di ketakhinggaan dari SDF adalah lim s(x) = 0.
x→∞
Sifat ini diperoleh dari definisi SDF dan sifat di ketakhinggaan CDF, lim s(x) = 1 − lim F (x) = 1 − 1 = 0.
x→∞
x→∞
Pada persamaan (2.1) dan (2.2) diasumsikan bahwa F (0) = 0 dan s(0) = 1. Dengan demikian persamaan (2.1) dapat dipandang sebagai peluang meninggal untuk bayi
8
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
yang baru lahir sebab P (X ≤ x, X > 0) P (0 < X ≤ x) = P (X > 0) P (X > 0) F (x) − 0 F (x) − F (0) = = F (x) = P (X ≤ x). = s(0) 1
P (X ≤ x|X > 0) =
Latihan. a. s(20) 2.1.2
Apa artinya b. P (X ≤ 70)
c. s(100)
d. F (25)
e. P (X > 35)
Peluang meninggal
1) Peluang meninggal seseorang berusia x Nilai CDF F (t) menyatakan peluang bayi yang baru lahir akan meninggal dalam waktu t tahun. Bagaimana jika yang menjadi perhatian kita bukan bayi yang baru lahir tetap sesorang yang berusia x. Jika seseorang yang berusia x disimbolkan dengan (x), maka peluang bahwa (x) akan meninggal paling tua pada usia z adalah P (x < X ≤ z)|X > x) = 1 −
Bukti.
s(z) s(x)
(2.3)
Perhatikan bahwa P (x < X ≤ z)|X > x)
dapat dibaca peluang seseorang berusia x akan meninggal paling tua pada usia z. Berdasarkan definisi peluang bersyarat, P (x < X ≤ z, X > x) P (X > x) P (x < X ≤ z) = P (X > x) F (z) − F (x) = 1 − F (x)
P (x < X ≤ z)|X > x) =
9
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
Tetapi F (x) = 1 − s(x) sehingga (1 − s(z)) − (1 − s(x)) s(x) s(z) s(x) − s(z) =1− . = s(x) s(x)
P (x < X ≤ z)|X > x) =
2) Peluang meninggal dan peluang hidup bagi seseorang berusia x Misal didefinisikan variabel acak T (x) = X − x yang menyatakan sisa hidup (x) atau seseorang berusia x. Selanjutnya, peluang P (T (x) ≤ t) dapat dibaca peluang (x) akan meninggal dalam t tahun. Untuk bayi yang baru lahir atau (0), sisa hidupnya adalah T (0) = X, sehingga P (T (0) ≤ t) = P (X ≤ t) = F (t).
Pada aktuaria, peluang hidup dan peluang meninggal untuk (x) masing-masing dinotasikan dengan t px
:
peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi
t qx
:
peluang (x) akan meninggal dalam t tahun
Berdasarkan definisinya t px dan t qx dapat ditulis sebagai t qx
= P (T (x) ≤ t) = P (x < X ≤ x + t|X > x),
dan t px
= 1 − t qx = P (T (x) > t).
Untuk t = 1, notasi 1 qx dan 1 px cukup ditulis: qx
:
peluang (x) akan meninggal dalam setahun
px
:
peluang (x) hidup setahun lagi
10
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
3) Hubungan antara peluang hidup dan fungsi survival t px
Bukti.
=
s(x + t) . s(x)
(2.4)
Berdasarkan definisi t qx dan persamaan (2.3) diperoleh t qx
= P (T (x) ≤ t) = P (x < X ≤ x + t|X > x) =1−
Akibatnya, t px = 1 −t qx =
s(x + t) . s(x)
s(x + t) . s(x)
Khususnya, untuk kasus bayi yang baru lahir atau (0), x p0
= s(x).
(2.5)
4) Peluang (x) akan meninggal antara usia x + t dan x + t + u t|u qx
Bukti.
= t px −
t+u px .
(2.6)
Berdasarkan definisinya, t|u qx
= P (t < T (x) ≤ t + u) = F (t + u) − F (t) = P (T (x) ≤ t + u) − P (T (x) ≤ t) =
t+u qx
− t qx
= t px −
t+u px
Untuk u = 1 cukup ditulis t| qx . Rumus
t|u qx
juga dapat dinyatakan sebagai t|u qx
Bukti.
= t px u qx+t .
(2.7)
Karena t qx
=1−
s(x + t) s(x)
dan 11
t px
=
s(x + t) s(x)
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
maka t|u qx
s(x + t) s(x + t + u) − s(x) s(x) s(x + t) − s(x + t + u) = s(x) s(x + t) s(x + t) − s(x + t + u) = s(x) s(x + t) s(x + t + u) = t px 1 − s(x + t) =
= t px u qx+t .
Daftar lambang (x)
:
seseorang berusia x
X
:
variabel acak yang menyatakan usia meninggal
T (x)
:
variabel acak yang menyatakan sisa hidup untuk (x)
s(x)
:
peluang hidup sampai usia x
t px
:
peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi (masih hidup di usia x + t)
t qx
:
peluang (x) akan meninggal dalam t tahun
t|u qx
:
peluang (x) akan meninggal antara usia x + t dan x + t + u
Latihan Apa arti dari simbol-simbol berikut: a. P (X ≤ 30) b. P (X > 30) c. s(40) d. F (50) e. 5 p20 f. 5 q20 g.
2|5 q20
12
Nunung Nurhayati
2.1.3
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
Curtate-Future-Lifetime (CFL)
CFL untuk (x) adalah variabel acak yang menyatakan bilangan bulat terbesar pada variabel acak T (x). Dengan kata lain jika K(x) CFL untuk (x) maka K(x) = ⌊T (x)⌋
(2.8)
dengan K(x) = 0, 1, 2, . . . Contoh Misal T (x)= 25 tahun 4 bulan 2 hari. Maka K(x) = 25 tahun. Misal T (x)= 20 tahun 11 bulan 26 hari. Maka K(x) = 20 tahun Distribusi dari CFL PMF dari K(x) adalah P (K(x) = k) = P (k ≤ T (x) < k + 1) = P (k < T (x) ≤ k + 1) = k px − = dan CDF-nya FK(x) (y) =
k+1 px
k| qx
y X
k| qx
=
y+1 qx .
k=0
2.1.4
Laju Kematian
Laju kematian (laju mortalitas) untuk (x) didefinisikan sebagai P (x < X ≤ x + △x|X > x) △x→0 △x
µ(x) = lim
(2.9)
Laju kematian µ(x) juga dapat diartikan peluang (x) akan meninggal sesaat lagi (dalam waktu yang sangat singkat). Pada analisis survival laju kematian disebut juga fungsi laju kegagalan atau hazard rate function (HRF).
13
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
Berikut akan ditunjukkan bahwa hubungan antara laju kematian, PDF, CDF, dan fungsi survival adalah µ(x) =
Bukti.
fX (x) −s′ (x) fX (x) = = 1 − FX (x) s(x) s(x)
(2.10)
Dari definisi peluang bersyarat P (x < X ≤ x + △x) P (X > x) FX (x + △x) − FX (x) = 1 − FX (x) FX (x + △x) − FX (x) = s(x)
P (x < X ≤ x + △x|X > x) =
Dari definisi turunan FX (x + △x) − FX (x) = FX′ (x) △x→0 △x lim
Tetapi, dari definisi fungsi densitas, FX′ (x) = fX (x). Akibatnya, laju kematian P (x < X ≤ x + △x|X > x) 1 △x→0 △x s(x) FX (x + △x) − FX (x) 1 = lim △x→0 △x s(x) fX (x) = s(x)
µ(x) = lim
Karena s(x) = 1 − FX (x) dan s′ (x) = −FX′ (x) = −fX (x) maka fX (x) = −s′ (x), sehingga µ(x) =
fX (x) fX (x) −s′ (x) = = . 1 − FX (x) s(x) s(x)
Hubungan antara peluang hidup dengan laju kematian n px
= e−
Rn 0
14
µ(x+s)ds
(2.11)
Nunung Nurhayati
Bukti.
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
Dari definisi laju kematian µ(y) = −
s′ (y) d = − ln s(y) s(y) dy
atau −µ(y)dy = d ln s(y) Dengan mengintegralkan kedua ruas dari x sampai x + n diperoleh −
Z
x+n x
µ(y)dy = ln s(y)|x+n x s(x + n) s(x)
= ln
= ln n px Misal s = y − x maka ds = dy. Jika y = x maka s = 0 dan jika y = x + n maka s = n. Akibatnya n px
= e−
Rn 0
µ(x+s)ds
.
Untuk kasus bayi yang baru lahir, hubungan antara peluang hidup, fungsi survival, dan laju kematian adalah − x p0 = s(x) = e
Rx 0
µ(s)ds
,
x≥0
(2.12)
PDF dari variabel acak sisa hidup T (x) fT (x) (t) = t px µ(x + t)
Bukti.
Karena T (x) variabel acak kontinu maka PDF-nya d d d FT (x) (t) = P (T (x) ≤ t) = t qx dt dt dt s(x + t) d 1− = dt s(x)
fT (x) (t) =
15
(2.13)
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
s′ (x + t) s(x) s(x + t) s′ (x + t) =− s(x) s(x + t) =−
= t px µ(x + t),
t ≥ 0 (dari persamaan (2.4) dan (2.10).
Selain itu, karena fT (x) (t) =
d q dt t x
dan t qx = 1 − t px maka
d d d (1 − t px ) = − t px = t px µ(x + t) t qx = dt dt dt
2.2
Tabel Mortalitas (TM)
Tabel mortalitas adalah tabulasi nilai fungsi-fungsi dasar qx , ℓx , dx dan fungsi tambahan lainnya yang didaftar berdasarkan usia x atau rentang usia (x, x + 1) dengan x = 0, 1, 2, . . . , ω dan ω batas usia yang mungkin (contoh lihat Bowers, et al., 1997, hal. 60-63 ). Saat ini Indonesia sudah mempunyai tabel mortalitas sendiri yaitu TMI 2011 yang merupakan perbaikan dari TMI 1999. TMI 2011 disusun berdasarkan data mortalita dari 40 perusahaan di industri asuransi jiwa di Indonesia yang meliputi 23.511.563 satuan polis. 2.2.1
Hubungan TM dengan fungsi survival
Misalkan terdapat ℓ0 bayi yang baru lahir dan setiap bayi diindeks dengan j = 1, 2, . . . , ℓ0 . Definisikan variabel indikator Ij (x) =
(
1, jika bayi ke-j masih hidup di usia x 0, jika bayi ke-j meninggal sebelum usia x.
Ketika Ij (x) = 1, peluang bahwa bayi tersebut masih hidup di usia x, sama saja dengan nilai fungsi survival s(x), sehingga P (Ij (x) = 1) = s(x) dan P (Ij (x) = 0) = 1 − s(x). Akibatnya, E[Ij (x)] = 0 P (Ij (x) = 0) + 1 P (Ij (x) = 1) = s(x).
16
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
Jika Lx menyatakan jumlah bayi yang bertahan hidup sampai usia x, maka Lx =
ℓ0 X
Ij (x)
j=1
Karena E[Ij (x)] = s(x) maka E[Lx ] =
ℓ0 X
E[Ij (x)] = ℓ0 s(x).
j=1
Selanjutnya, E[Lx ] disimbolkan dengan ℓx . Dengan kata lain ℓx menyatakan banyaknya bayi yang diharapkan masih hidup sampai usia x dan ℓx = ℓ0 s(x).
(2.14)
Misalkan n Dx menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x dan x + n, dan n dx menyatakan ekspektasinya. Maka n dx
= E[n Dx ] = ℓ0 s(x) − ℓ0 s(x + n) = ℓ0 [s(x) − s(x + n)] = ℓx − ℓx+n .
Ketika n = 1, 1 dx cukup ditulis dx . Penulisan t px , t qx dan µ(x) sebagai fungsi dari ℓx : ℓx+t , t px = ℓx
ℓx − ℓx+t , t qx = ℓx
ℓ′x µ(x) = − ℓx
Bukti ℓ0 s(x + t) ℓx+t s(x + t) = = s(x) ℓ0 s(x) ℓx ℓx − ℓx+t ℓx+t = t qx = 1 − ℓx ℓx s′ (x) ℓ0 s′ (x) ℓ′x µx = − = =− s(x) ℓ0 s(x) ℓx
t px
=
Akibatnya
17
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
ℓx+1 ℓx ℓx − ℓx+1 dx qx = = ℓx ℓx
px =
Daftar lambang K(x)
:
bilangan bulat terbesar dari sisa hidup T (x)
px
:
peluang (x) hidup setahun lagi
qx
:
peluang (x) meninggal dalam setahun
k| qx
:
peluang (x) meninggal antara usia x dan x + 1
µ(x) atau µx
:
peluang (x) akan meninggal dalam waktu yang sangat singkat
Lx
:
jumlah bayi baru lahir yang masih hidup di usia x
ℓx
:
jumlah bayi baru lahir yang diharapkan masih hidup di usia x
n Dx
:
banyaknya (x) yang meninggal dalam n tahun
n dx
:
banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam n tahun
dx
:
banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam setahun
ω
:
usia tertua pada tabel mortalitas
Beberapa Hukum Mortalitas 1. Hukum De Moivre (1729) µx =
1 , ω−x
dengan 0 ≤ x ≤ ω
dengan ω menyatakan usia tertua dimana seseorang masih hidup. 2. Gompertz (1825) µx = Bcx ,
B > 0, c > 1, x ≥ 0
3. Makeham (1860) µx = A + Bcx dengan B > 0, A ≥ −B, c > 1, x ≥ 0 4. Weibull (1939) µx = kxn dengan k > 0, n > 0, x ≥ 0
18
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
Latihan 1. Untuk soal berikut, gunakan rumus-rumus yang menyatakan hubungan laju kematian dengan FX (x), fX (x), dan s(x). (a) Tentukan FX (x) dan fX (x) jika s(x) = e−x , x ≥ 0. 1 , x ≥ 0. (b) Tentukan s(x) dan fX (x) jika F (x) = 1 − 1+x 2. Diberikan s(x) = 1 − x/100, untuk 0 ≤ x ≤ 100. Tentukan µ(x), FX (x), fX (x), dan P (10 < X < 40). 3. Diberikan s(x) = (9000 − 10x − x2 )/9000, untuk 0 < x ≤ 90. Tentukan q50 − µ50 . p 4. Diberikan s(x) = 1 − (x/100), untuk 0 ≤ x ≤ 100. Tentukan: (a).
17 p19 ,
(b).
13 q36 ,
(c).
15|13 q36 ,
5. Misal µ(x) = kx, untuk x > 0 dan
(d). µ(36), (e). E[T (36)].
10 p35
= 0, 81. Tentukan nilai
6. Misal µ(x) = 0, 0001, untuk 20 < x < 25. Tentukan
20 p40 .
2|2 q20 .
7. Misal variabel acak T mempunyai PDF fT (t) = ce−ct , t ≥ 0, c > 0. Tentukan E[T ], Var(T ), median(T ), modus(T ). 8. Misal variabel acak T (x) mempunyai PDF fT (x) (t) =
(
t , 100−x
0 ≤ t < 100 − x
1,
t ≥ 100 − x
Tentukan ˚ ex = E[T (x)], Var[T (x)], median(T (x)). 9. Diberikan tabel mortalitas berikut: x
px
ℓx
dx
0
0,9
10000
......
1
0,8
2
0,6
3
0,3
4
0
(a) Tentukan nilai s(x) untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 (b) Isi kolom ℓx dan dx . 10. Berdasarkan tabel pada soal sebelumnya, tentukan (a). 3 d0 ,
(b). 2 q1 ,
(c). 3 p1 ,
(d). 3 q2 .
19
Nunung Nurhayati
Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed
11. Diberikan µx =
2 2 + , x + 1 100 − x
0 ≤ x < 100
Tentukan banyaknya yang meninggal untuk usia antara 1 dan 4 tahun, jika ℓ0 = 10000. 12. Misal µx = k + e2x untuk x ≥ 0 dan
40 p0
= 0, 5. Tentukan nilai k.
13. Diberikan ℓx = 2500(64 − 0, 8x)1/3 ,
0 ≤ x ≤ 80.
Tentukan PDF, mean, dan variansi dari X. 14. Misal 1| qx+1 = 0, 95, 2| qx+1 = 0, 171, dan qx+3 = 0, 2. Tentukan qx+1 + qx+2 . Tugas Buat tabel mortalitas dengan kolom-kolom x, ℓx , dx , 1000qx , yang didasarkan pada hukum Makeham 1000µ(x) = 0, 7 + 0, 05(100,04 )x . Gunakan radix ℓ0 = 100.000 dan usia tertua ω = 100. Software yang digunakan bebas, tetapi akan mendapatkan nilai tambah jika dikerjakan menggunakan pemrograman macro pada MS Excel.
20
