Ajustes de Curvas de Permeabilidad Relativa

IX Congreso de Exploración y Desarrollo de Hidrocarburos Simposio Evaluación de Formaciones: De Archie a los No Convencionales

AJ USTESS DE CURV AJUSTE C URVAS AS EXPER EXP ERII M ENTALES PARA LA DETERM DETE RMII NAC NACIÓN IÓN DE PERMEABILIDADES RELATIVAS EN SISTEMAS AGUA-PETRÓLEO POR EL MÉTODO NO ESTACIONARIO, A PRESIÓN DE FLUJO CONSTANTE Esteban L. González1, Ricardo A. Prado 1 1: Ftad. de Ingeniería, Universidad Nacional del Comahue, Calle Buenos Aires Nº 1400, Q8300IBX Neuquén Capital. [email protected], [email protected]

Palabras clave: Ajustes clave: Ajustes analíticos, ecuaciones simples, permeabilidades relativas, sistemas agua-petróleo

ABSTRA ABST RACT CT Curve tting for determining the relative permeability in water-oil systems at a constant ow pressure by the unsteady method In the present work, the experimental curves for the water injected and the produced oil are tted by means of simple analytical functions in order to determine the relative permeabilities under unsteady conditions at a constant ow pressure. The results obtained from this technique are compared with those from other methodologies, in order to highlight the advantages of the present method, namely its simplicity and the speed of calculation.

INTRODUCCIÓN El presente trabajo trata sobre la obtención de curvas de permeabilidad relativa agua petróleo, conocida su importancia en la Ingeniería de Reservorios. Estas curvas se obtienen a partir de ensayos de laboratorio realizados en muestras de corona de pequeño diámetro. Esta determinación se puede realizar por distintos métodos, los cuales pueden agruparse en métodos estacionarios o no estacionarios. En general, estos últimos son simples de llevar a la práctica y consumen menor tiempo de estudio, razón por la cual este trabajo se basa en un método no estacionario. Una vez obtenidos los datos experimentales y planteadas las hipótesis establecidas por Buckley y Leverett (1942) y por Welge (1952) pueden obtenerse las curvas de permeabilidad relativa. En general las curvas de permeabili permeabilidad dad relativa se determinan en forma analítica o gráfica. El desarrollo analítico requiere requier e del ajuste de las curvas experimentales experimenta les y sus derivadas, lo que en muchas ocasiones resulta muy laborioso, teniendo tenie ndo en cuenta que no solo se debe tener un ajuste matemático mate mático sino que también este ajuste debe representar lo que ocurre verdaderam verdaderamente ente en el estudio.

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Generalmente las curvas de ajuste son polinomios de grado 5 o superior, en las cuales para estos casos deben determinarse al menos 8 constantes, lo que requiere normalmente de correcciones manuales. En este trabajo se proponen nuevas funciones de ajuste, las cuales fueron probadas en varios ensayos llevando a resultados concordantes con los métodos empleados actualmente, pero con menor tiempo de trabajo.

DESARROLLO El ajuste de las curvas de producción para este trabajo, se basa en curvas experimentales obtenidas por el desplazamiento de petróleo por agua en muestras de areniscas de pequeño diámetro (cilindros de 38 mm de diámetro y longitudes entre 6 y 20 cm), a presión de flujo constante y en forma no estacionaria. Por su parte, los datos experimentales para la obtención de las curvas de permeabilidad relativa son pocos y sencillos de obtener; ya que sólo se necesita disponer de algunos datos de la muestra como su longitud y su área, algunos datos de los fluidos, sus densidades y viscosidades en las condiciones del ensayo (a la presión y temperatura del estudio) y los valores medidos durante el barrido de volúmenes inyectados de agua y producidos de petróleo en función del tiempo. Las ecuaciones necesarias para la determinación de las permeabilidades relativas teniendo en cuenta los trabajos de Buckley y Leverett (1942) y Welge (1952) son:

(1) (2) (3) (4) (5)

donde: Sws: saturación de agua en la cara de salida [fracción] Swi: saturación de agua irreductible [fracción] Vo: volumen producido de petróleo [cm 3] Vt: volumen inyectado de agua [cm3]

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Simposio Evaluación de Formaciones: De Archie a los No Convencionales

Ajuste de curvas experimentales para la determinación de permeabilidades relativas en sistemas agua-petróleo por el método no estacionario, a presión de flujo constante

VP: volumen poral de la muestra ensayada [cm 3] qo: caudal de petróleo producido [cm 3/s] q: caudal de agua inyectada [cm3/s] kro(SwS:): permeabilidad relativa al petróleo en la cara de salida krw(SwS:): permeabilidad relativa al agua en la cara de salida k: permeabilidad absoluta [mD] L: longitud de la muestra [cm] A: área de la sección transversal de la muestra [cm 2] mw: viscosidad del agua en condiciones del ensayo [cP] mo: viscosidad del petróleo en condiciones del ensayo [cP] DP: diferencia de presión [atm]

fw(Sws): flujo fraccional en la cara de salida Como puede apreciarse en las ecuaciones (2 y 3), son necesarios los volúmenes del agua inyectada, su caudal (la derivada del volumen inyectado respecto del tiempo) y la variación del caudal con respecto al tiempo (la derivada segunda del agua inyectada con respecto al tiempo). También es necesario conocer el volumen del petróleo producido en función del tiempo y su caudal, esto es la derivada del volumen del petróleo producido respecto del tiempo. En muestras homogéneas, sin producirse movimiento de finos y con la relación de movilidades favorable, las curvas obtenidas son curvas suaves y monótonas hasta llegar al punto extremo, donde el caudal de agua debe hacerse constante y el de petróleo producido se hace cero. En general los ajustes de las curvas de inyección de agua y producción de petróleo se realizan con polinomios de la forma dada por la ecuación (6), lo cual se ajusta en forma analítica. En ocasiones esto produce curvas no monótonas, por lo cual en estas situaciones es necesario realizar reajustes manualmente, que resultan laboriosos y consumen mucho tiempo. Una posible curva de ajuste polinómico tendría la forma general de la ecuación (6) (6) donde a, b, c,…,h, k representan constantes a determinar.

METODOLOGÍA En el presente trabajo, los ajustes propuestos para las curvas experimentales de inyección de agua y producción de petróleo son funciones lineales y exponenciales, con derivadas de primer y segundo orden conocidas y de decrecimiento o crecimiento monótono.

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Ajuste de la Curva Experimental para el Agua Inyectada Las curvas de inyección de agua presentan una forma general como la mostrada en la Figura 1

Figura 1

La propuesta de este trabajo es obtener los datos para el ajuste como la diferencia entre los valores experimentales y los valores correspondientes a la recta obtenida con pendiente “m” igual al caudal constante cuando se ha llegado al punto extremo (saturación residual de petróleo, Sor) expresado en cm3/s y ordenada al origen “-b”, determinada por la recta de pendiente m que pasa por el último valor experimental del agua inyectada. Se define así la recta R1 representada por la línea roja en la Figura 2. La diferencia entre los valores experimentales con la recta R1 da por resultado el conjunto de los valores a ajustar con una función exponencial, representada en la Figura 2 por la curva azul.

Figura 2

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El ajuste a los resultados experimentales, línea verde, es obtenida como la suma de la recta y la función exponencial, tal como se desarrolla en la ecuación (7)

(7)

En la ecuación (7) Vini es el primer volumen de agua inyectada medido, al tiempo T ini. El coeficiente A es el único valor necesario para ajustar los valores de la discrepancia entre los valores experimentales y la recta R1. Con estos ajustes el caudal de agua y su variación con respecto al tiempo produce curvas suaves y monótonas como lo muestran las Figuras 3 y 4, donde se observan, respectivamente, la derivada primera (caudal, Q t) y la derivada segunda del volumen de agua inyectada con respecto al tiempo. La ecuación (7) es fácilmente derivable, quedando entonces el caudal y su derivada determinados por las ecuaciones (8 y 9).

Figura 3

Figura 4

(8)

(9)

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Ajuste de la Curva Experimental para el Petróleo Producido Por su parte las curvas de producción de petróleo presentan una forma general como la mostrada en la Figura 5.

Figura 5

En este caso, se propone que los datos para el ajuste se obtengan como la diferencia entre el valor del petróleo barrido final (recta R2 (azul) en la Figura 6 y los valores experimentales representados por la curva verde en la Figura 6. La curva de ajuste es la curva fucsia de la misma figura.

Figura 6

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El ajuste a los resultados experimentales, línea verde, es obtenida como la diferencia del petróleo barrido final y la función exponencial, tal como se desarrolla en la ecuación (10). Este ajuste es válido a partir del tiempo de ruptura Tpr, tiempo cuando rompe el frente de agua en la cara de salida de la muestra.

(10)

En la ecuación (10) la constante “c” representa el volumen total de petróleo producido, VPR es el volumen de petróleo producido en el tiempo de ruptura (TPR), tiempo cuando rompe el frente de agua en la cara de salida de la muestra. El coeficiente B y el exponente N son los únicos valores necesarios para ajustar los valores de la discrepancia entre la recta R2 y los valores experimentales. Con este ajuste el caudal de petróleo, determinado por la derivada del volumen con respecto al tiempo, se representa con una curva suave y monótona como lo muestra la Figura 7. La ecuación de dicha curva es sencilla de obtener y está dada por la ecuación (11)

Figura 7

(11)

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En adición, la Figura 8 muestra los caudales de agua inyectada y de petróleo producido y el tiempo de ruptura a partir de donde se puede calcular la curva de permeabilidades relativas. En la misma puede observarse que en el tiempo de ruptura los valores de los caudales de agua y petróleo son iguales; a partir de ese punto el caudal de agua aumenta y el de petróleo disminuye.

Figura 8

RESULTADOS A continuación se presentan los resultados de los cálculos para seis muestras distintas, incluyendo como caso 1 el ejemplo incluido en el paper de Jones y Roszelle (1978). Datos de las Muestras Empleadas En la Tabla 1 se presentan los valores de los datos necesarios para la determinación de las permeabilidades relativas y los valores de las permeabilidades efectivas calculados en los puntos extremos Procedimiento de Ajuste En la Tabla 2 se presentan los valores de los datos necesarios para la determinación de los ajustes para las curvas de inyección de agua, producción de petróleo y sus derivadas. En azul están presentadas las constantes de ajuste.

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Tabla 1

Tabla 2

En los gráficos de las Figuras 9 a 14, representativas de cada uno de los casos estudiados, se muestran los diagramas de los valores experimentales, del volumen de agua inyectada y del volumen del petróleo producido. A continuación se muestra el proceso de ajuste para ambos casos (agua y petróleo) y seguidamente la representación de los respectivos caudales. Los últimos gráficos de cada caso presentan la variación del caudal del agua inyectada en el tiempo y la representación del fenómeno de ruptura, donde puede observarse que para el T PR los caudales de agua inyectada y petróleo producido coinciden.

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Caso 1: paper Jones Roszelle SPE 6045 (1978)

Figuras 9. Caso 1

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Caso 2: 8-20-6S

Figuras 10. Caso 2

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Caso 3: 1-3-3

Figuras 11. Caso 3

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Caso 4: 1-2-4b

Figuras 12. Caso 4

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Caso 5: 30-3

Figuras 13. Caso 5

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Caso 6: 4-10-18

Figuras 14. Caso 6

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Determinación de las Permeabilidades Relativas Empleando las ecuaciones 7 y 10 con las constantes indicadas en la Tabla 2 se obtienen los ajustes de los volúmenes del agua inyectada y del petróleo producido. Determinadas estas expresiones para cada caso analizado, se encuentran los respectivos caudales empleando las ecuaciones 8 y 11 y con la ecuación 9 se encuentra la derivada del caudal del agua inyectada. Utilizando estas expresiones en las ecuaciones 1 a 5 se calculan las permeabilidades relativas al agua y al petróleo en función de la saturación de agua y la curva de flujo fraccional. El proceso descripto se presenta en la Tabla 3. Las curvas resultantes de este procedimiento se presentan, para cada caso estudiado, en las Figuras 15 a 20 en dos escalas diferentes, a la izquierda en escala lineal y a la derecha en escala logarítmica.

Tabla 3. Exp. = Valor experimental - Cal. = Valor calculado.

En cada una de las Figuras 15, 16, 18 y 20 se comparan las curvas calculadas para cada caso con las curvas obtenidas por otros métodos. En la Figura 15 la comparación se realiza con las curvas del paper de Jones y Roszelle (1978). En las restantes figuras la comparación tiene lugar con curvas calculadas con el método propuesto por Jones y Roszelle (1978) y determinadas en el laboratorio CEPCom de la Universidad Nacional del Comahue. Como puede observarse en dichas figuras, la concordancia entre las curvas obtenidas por las distintas metodologías es muy buena. Adicionalmente, con el método propuesto de ajustes simples, para estos casos estudiados, el cálculo de las permeabilidades relativas resultó mucho más sencillo y rápido que con la metodología empleada anteriormente en el laboratorio.

CONCLUSIONES En este trabajo se presenta una nueva metodología para el cálculo de las permeabilidades relativas agua petróleo por un método no estacionario a presión de flujo constante. Las ecuaciones a emplear para los ajustes de los datos experimentales, volumen de agua

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inyectada y volumen de petróleo producido en función del tiempo, son ecuaciones sencillas con derivadas analíticas conocidas. Las constantes a determinar para los ajustes son solamente tres, de fácil obtención en forma manual o por el método de mínimos cuadrados. Las derivadas de las funciones de ajuste son monótonas, por lo cual no trae aparejado el inconveniente de tener que hacer reajustes manuales. Los resultados conseguidos mediante esta metodología son similares a los obtenidos por otros métodos analíticos y/o gráficos mucho más laboriosos.

Figuras 15. Caso 1

Figuras 16. Caso 2

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Figuras 17. Caso 3

Figuras 18. Caso 4

Figuras 19. Caso 5

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Figuras 20. Caso 6

REFERENCIAS CITADAS Crotti, M. A. and Cobeñas, R. H. (2001), “Scaling

Buckley, S.E. and Leverett, M.C. (1942), “Mechanism

Up of Laboratory Relative Permeability Curves.

of Fluid Displacement in Sands”, Trans. AIME,

An Advantageous Approach Based on Realistic

146, 107-116.

Average Water Saturations”, SPE 69394, 1-7. Dake,

L.

(2001),

“The

Practice

of

Reservoir

Engineering”, Ed. Elsevier. Johnson, E.F., Bossler, D.P. and Naumann, V.O. (1959) “Calculation of Relative Permeability from Displacement Experiments,” Trans. AIME 216, 370-372. Osoba, J. S., Richardson, J. G., Kerver, J. K., Hafford

Jones, S.C. and Roszell e, W.O. (May 1978), “Graphical Techniques for Determining Relative Permeability from Displacement Experiments”, J. Pet Tech., 807-817. Welge, H.J. (1952), “A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive”, Trans. AIM E, 195, 91.

J. A. and Blai r P. M. (1951) Laboratory Measurements of Relative Permeability. pp 3020.

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