Cálculo Diferencial Diferencial CÓDIGO: 100410 Momento 3 - Actividad Colaborativa 3
UNIDAD No. 3 Análisis de las derivada derivadas s y sus aplicacion aplicaciones. es.
Presentado a: Ing. Edgar Orley Moreno
utora
!ntre"ado #or: $odri"o I. %&nde' (e)*án C+di"o: ,-,-010
Gru#o: 10010!"""
UNI/!$IDAD NACIONA A2I!$A A DIANCIA UNAD !CU!A D! CI!NCIA 25ICA !CNOOG6A ! ING!NI!$6A 07.04.801, 2o"otá D.C.
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INTRODUCCION
#ara el desarrollo de esta $ase la numero III% continuamos traba&ando con derivadas y sus aplicaciones donde traba&amos de igual manera la curva tangente de una recta y su pendiente partiendo por su puesto de la derivada% pero en este caso de una $unci'n trigonom(trica.
)e la misma manera en el presente colaborativo encontraremos una serie de e&ercicios encaminados a desarrollar nuestra *abilidad para resolver derivadas y derivadas de una $unci'n trigonom(trica% como tambi(n ad+uirir la *abilidad para el mane&o del so$t,are eogebra en esta temática especi$ica las derivadas.
En este caso espec$ico las derivadas aplicando las reglas para las derivadas% la derivada implcita y a calcular la derivada de orden superior.
3
CONTENIDO
INTRODUCCION.................................................................................................................... 2 Fase .1.................................................................................................................................. 4 Ejercicio 1.......................................................................................................................... 4 Comprobación en Geogebra................................................................................................ ! Ejercicio 2.......................................................................................................................... " Ejercicio 3........................................................................................................................ 1# Ejercicio $ase 2.................................................................................................................... 12 Desarro%%o ma&em'&ico ( sopor&e )e %a comprobación )e %a gr'*ca.............................. ..13 Fase .3................................................................................................................................ 14 CONC+U,IONE,...................................................................................................................1I+IOGR/FI/..................................................................................................................... 1!
4
Fase .1 Estudiante 1- Rodrigo I. Méndez Kekhán
Ejercicio 1 f ( x )= x × 2 2
x
Solución:
d x 2 ( 2 x ) =2 x x ( x log ( 2 ) +2 ) dx
Ahora encontraremos la derivada empleando la diferenciación implícita Donde: La derivada de:
f ( x ) es f ( x ) '
'
f ( x )=
d x 2 ( 2 x ) dx
Ahora usamos la regla de producto Donde:
d ( u v )= v du + u dv , donde : dx dx dx 2
v = x
'
f ( x )= x
2
(
d x x d 2 ( 2 ) + 2 ( x ) dx dx
)
x
u=2
-
Ahora la derivada de
'
x
f ( x )=2
(
2 es 2 log ( 2 ) x
x
)
d x ( 2 ) +2 x log ( 2 ) x 2 dx
Ahora debemos usar la regla de la potencia Donde:
d n ( x )=n x n−1 ,donde n=2 : d ( x2 )=2 x : dx dx f ´ ( x )=2 x log ( 2 ) + 2 x 2 x
x
2
Ahora simplificamos la expresión y obtenemos:
1+ x
f ( x )=2 '
x
2
x + 2 x log ( 2 )
!
Comprobación en Geogebra:
"
Ejercicio 2 2 2 x + y =16 Solución
Derivada de una función implícita
f ( x , y ) =O
0
2
2
x + y =16 dy − x 2 2 de x + y =16 : y ´ = dx y Donde:
y =( x ) Debemos derivar en ambos lados la ecuación con referencia a x asi:
d 2 2 ( x + y ) = d ( 16 ) dx dx Donde
d 2 2 ( x + y ) =2 x +2 y d ( y ) dx dx d 2 2 ( x + y ) dx
Aplicando la regla de suma/diferencia
( f ± g )' =f ' ± g '
Donde
¿
d 2 d 2 ( x ) + ( y ) dx dx
d 2 ( x ) =2 x dx d 2 ( x ) dx
Aplicamos la regla de la potencia
d a ( x )= a× x a−1 dx
¿ 2 x 2−1 ¿ 2 x Donde
d 2 ( y )=2 y d ( y ) dx dx d 2 ( y ) dx Aplicamos la regla de la cadena
df (u ) df du = × dx du dx Asumimos que y =u
d 2 d ( u ) ( y ) dx dx d 2 (u ) du Aplicamos la regla de la potencia
d a ( x )= a× x a−1 dx
¿ 2 u 2−1 ¿ 2u
Donde 2u=
d ( y ) dx
1#
Ahora sustituimos en la ecuación 2u=
u= y
d ( y ) dx
¿ 2 x +2 y
d ( y ) dx
d ( 16 )=0 dx d ( 16 ) dx Sabiendo que
d ( a )= 0 dx 2 x + 2 y
¿0
d ( y ) =0 dx
Luego entonces
d ( y ) la asumimoscomo y ´ dx 2 x + yý = 0
Debemos despear '
'
y : y =
− x y
Ahora restamos !x en ambos lados de la ecuación '
2 x + 2 y y −2 x = 0−2 x
"peramos y obtenemos '
2 y y =−2 x
11
Ahora debemos dividir entre !y 2 yy ´ −2 y = 2 y 2 y Simplificando nos queda que: '
y =
− x y
Ejercicio 3
Dada:
Hallar:
f ( x )=e f (x) x
Solución:
)erivada de orden superior
d x f ( x )=e dx
)onde/ )ebemos trans$ormar a
f en una constante para ello debemos sacar la
constante
( a × f )' =a × f '
¿ f
d ( x e x ) dx
12
A*ora aplicamos la regla de producto
( f × g )' =f ' × g + f × g '
x
f = x , g =e
)onde/
(
¿ f ´
d ( x ) e x + d ( e x ) x dx dx
)
d ( x ) dx
Aplicamos la regla de derivaci'n d ( x ) =1 dx ¿1
d x ( e )= e x dx d x (e ) dx
Aplicamos la regla de derivaci'n
¿ e x
d x ( e )= e x dx
¿ f (1 × {e} ^ {x} + {e} ^ {x} x)
¿ f ( {e} ^ {x} + {e} ^ {x} x)
13
Ejercicio ase 2. ra$ica segn video propuesto para comprobar la $unci'n de una derivada.
14 Fase .2 Rodrigo I. Méndez Kekhán
Desarro!!o ma"em#"ico $ sopor"e %e !a comprobación %e !a gr#ica. f ( x )= sen x f ´ ( x )=cos x f ( x )= SenU ( x )
f ´ ( x )=cos U ( x )∗U ( x ) '
C&an%o ' ( 3 dy =f ´ ( x )=cos3 x∗3 x ' dx dy =3−0.99 dx
Donde la pendiente de la recta seria: m=−0.99
1-
Fase .3 Cada estudiante deberá analiar y redactar un escrito de no más de 21 párra$o de e4tensi'n en donde argumente como aplicara el uso de las derivadas en su pro$esi'n% recuerde argumentar un conte4to posible y real en el +ue usted en su pro$esi'n% pueda aplicar los conceptos de la unidad 3. 5aga uso de una buena redacci'n y ortogra$a% sea breve y vaya al punto. #or $avor% realiar el escrito con sus propias palabras% abstenerse de copiar y pegar in$ormaci'n de la 6eb o de otras $uentes +ue no sean de su autora sin realiar un uso correcto de citas bibliográ$icas segn lo +ue se establece en la normatividad A#A.
Rodrigo I. Méndez Kekhán
Como sabemos la Ingenier)a %e Te!ecom&nicaciones es una rama de la ingeniera% +ue resuelve problemas de transmisi'n y recepci'n de se7ales e intercone4i'n de redes% por ende% el t(rmino telecomunicaci'n se re$iere a la comunicaci'n a distancia a trav(s de la propagaci'n de ondas electromagn(ticas donde se incluye
muc*as tecnologas% como radio% televisi'n%
tel($ono%
comunicaciones de datos y redes in$ormáticas8 por tanto% la Ingeniera de 9elecomunicaciones nos capacita para dar soluci'n a problemas de trasmisi'n y recepci'n de se7ales e intercone4i'n de redes% cuando *acemos re$erencia a casos el de ondas% el poder y la $le4ibilidad del Cálculo *acen de esta matrera una *erramienta de bastante utilidad en muc*os campos de estudio% entre algunas de las casi in$initas aplicaciones encontramos las derivadas% en el campo de la Ingeniera
de
9elecomunicaciones%
se
pueden
mencionar/
los
cambios
instantáneos de una corriente el(ctrica% variaciones del $lu&o magn(tico% de la carga el(ctrica% etc. :iendo de bene$icio para resolver problemas de má4imos y mnimos% en caso de las derivadas y por ende un camino *acia las integrales% como ayuda para el
1!
análisis grá$ico de $unciones comple&as% tambi(n en la $ormulaci'n de conceptos básicos de Control% Conversi'n de energa% Circuitos El(ctricos% entre otros.
CONC*U+IONE+
:e desarroll' por medio de actividad grupal los e&ercicios correspondientes a la unidad 3 derivadas con la temática de derivadas donde se abordaron los conceptos y las reglas para estas% identi$icar y dar soluci'n a una derivada de orden superior entre otros aspectos de $undamental importancia en el cálculo di$erencial.
Elaboramos de $orma colaborativa el traba&o en el +ue se incluy' la participaci'n de todos los integrantes del grupo colaborativo.
Identi$icamos la importancia +ue tienen las derivadas para la comprensi'n y desarrollo de las mismas dentro de los temas +ue se estudiaron en esta unidad correspondientes a la numero tres 23 las derivadas y sus aplicaciones.
1"
,I,*IOGR-FI-
#uan $elipe %u&o' $ern(nde') *!+,+a-) DERIVADAS-I (PARTE 1 de 2) - 1/2) .ecuperado a partir de https://)youtube)com/atch0v1A2xr3D345l3
#uan $elipe %u&o' $ern(nde') *!+,+b-) DERIVADAS-I (PARTE 2 de 2) - 2/2) .ecuperado a partir de https://)youtube)com/atch0v14%,67"6a8uA
ulioprofe) *!+,+a-) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1) .ecuperado a partir de https://)youtube)com/atch0v1s.9;
ulioprofe) *!+,+b-) DOMINIOS DE FUNCIONES ) .ecuperado a partir de https://)youtube)com/atch0v1q"7%=6ox#yg
ulioprofe) *!+,>-) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 2) .ecuperado a partir de https://)youtube)com/atch0v1xx?b3ehplA
